REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUATII LINIARE

1. Daca numarul de ecuatii = numarul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n , adica detA ……. (exemplu : sistem cu 3 ecuatii , 3 necunoscute si rang A = …… ) , atunci sistemul este …………………... solutia sistemului este ………. si pentru rezolvarea sa se aplica REGULA LUI ………iar solutiile sale sunt date de FORMULELE LUI ………….. :

, , …… , unde , , ……… , se obtin din ……………………………..

prin ………………………………………………………………………………………………………….

2. In studiul compatibilitatii unui sistem OARECARE de ecuatii liniare se folosescurmatoarele 2 teoreme : TEOREMA LUI KRONECKER – CAPELLI : …………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………….TEOREMA LUI ROUCHE : ……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3. Daca rang A = r < n , unde n este numarul de necunoscute si sistemul este compatibil , vom avea r necunoscute …………………… si ………. necunoscute ………………………… Necunoscutele secundare le vom nota cu ……………………. , iar necunoscutele principale se vor exprima in functie de necunoscutele secundare . Un sistem compatibil cu - 1 necunoscuta secundara se numeste …………………………………. ,

- 2 necunoscute secundare se numeste …………………………………. ,- 3 necunoscute secundare se numeste …………………………………. ,

analog pentru celelalte situatii . Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare are …………………………. de solutii .

4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUATII LINIARE OARECARE :

I ) Studiem daca sistemul este compatibil : scriem matricea A a sistemului si calculam rang A , afland astfel si ……………………………………….. II ) Prin bordarea minorului principal ( numit si ………………………………..) cu …………………….. ………………………… , obtinem ……………………………( numit si …………………………………..) Calculam minorul (minorii ) caracteristic ( caracteristici ) si obtinem urmatoarele 2 situatii , conform TEOREMEI LUI …………. :

1 ) …………………………………………………………………………………………………………………… 2 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. III ) Daca sistemul este COMPATIBIL , procedam astfel : 1 ) Selectam dintre ecuatiile sistemului acele ecuatii care «  se sprijina «  pe minorul principal . In aceste ecuatii , pastram in membrul stang necunoscutele principale si ………………………… …………………………………….. pe care le notam cu ………………………………………………… 2 ) Rezolvam sistemul astfel obtinut cu REGULA LUI ………….. sau cu metodele invatate in clasele de gimnaziu .

5 . SISTEME DE ECUATII OMOGENE Forma generala a unui sistem liniar omogen cu m ecuatii si n necunoscute este :

- obs. ca intr – un sistem liniar omogen , toti termenii liberi sunt …..

Un sistem liniar omogen este compatibil ……………… , el avand mereu solutia …………………………. numita solutia nula ( banala sau triviala ) .Daca presupunem m = n , atunci :

sistemul este compatibil determinat ( are solutie unica ) daca si numai daca ………………………….. sistemul este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de solutii ) daca si numai daca ………………

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

1. Dacă numărul de ecuaţii = numărul de necunoscute = rangul matricei sistemului = n, adică detA ……….. ( exemplu: sistem cu 3 ecuaţii, 3 necunoscute şi rang A =…), atunci sistemul este……….. …………………........, soluţia sistemului este ………. şi pentru rezolvarea sa se aplică REGULA LUI ………………..,iar soluţiile sale sunt date de FORMULELE LUI …………..:

, , …… , , unde , , ……… , se obţin din …………………………….. ……..prin ………………………………………………………………………………………………………………………

2. În studiul compatibilităţii unui sistem OARECARE de ecuaţii liniare se folosesc următoarele 2 teoreme:

TEOREMA LUI KRONECKER–CAPELLI: ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

TEOREMA LUI ROUCHE : …………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….3. Daca rang A = r < n, unde n este numărul de necunoscute şi sistemul este compatibil, vom avea r necunoscute …………………… şi ………. necunoscute ………………………… Necunoscutele secundare le vom nota cu ……………………. , iar necunoscutele principale se vor exprima în funcţie de necunoscutele secundare. Un sistem compatibil cu - 1 necunoscută secundară se numeşte …………………………………., - 2 necunoscute secundare se numeşte …………………………………., - 3 necunoscute secundare se numeşte …………………………………., ş.a.m.d. Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare are …………………………. de soluţii.

4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUAŢII LINIARE OARECARE

I) Studiem dacă sistemul este compatibil: scriem matricea A a sistemului şi calculăm rang A, aflând astfel şi ……………………………………….. II) Prin bordarea minorului principal ( numit şi ………………………………..) cu ………………………………. …………………………, obţinem ……………………………( numit şi …………..…………………………..) Calculăm minorul (minorii) caracteristic ( caracteristici) şi obţinem următoarele 2 situaţii, conform TEOREMEI LUI ………….: 1) …………………………………………………………………………………………………………………… 2) …………………………………………………………………………………………………………………….

III) Dacă sistemul este COMPATIBIL, procedăm astfel: 1) Selectăm dintre ecuaţiile sistemului acele ecuaţii care « se sprijină«  pe minorul principal. În aceste ecuaţii, păstrăm în membrul stâng necunoscutele principale şi ……………... ………………………… …………………………………….. pe care le notăm cu…………………………… 2) Rezolvăm sistemul astfel obţinut cu REGULA LUI ………….. sau cu metodele învăţate anterior.

5. SISTEME DE ECUAŢII OMOGENE Forma generală a unui sistem liniar omogen cu m ecuaţii şi n necunoscute este:

- observăm că într–un sistem liniar omogen, toţi termenii liberi sunt …..

Un sistem liniar omogen este întotdeauna compatibil, el având mereu soluţia …………………………., numită soluţia nulă ( banală sau trivială ).

Dacă presupunem m = n, atunci: sistemul omogen este compatibil determinat ( are solutie unică) dacă şi numai dacă ……………………………... sistemul omogen este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de soluţii) dacă şi numai dacă……... ……………

REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE

1. Dacă numărul de ecuaţii = numărul de necunoscute = rang = , adică (unde = matricea sistemului) ( exemplu: sistem cu 3 ecuaţii, 3 necunoscute şi rang A = 3), atunci sistemul este compatibil determinat, soluţia sistemului este unică şi pentru rezolvarea sa se aplică REGULA LUI CRAMER, iar soluţiile sale sunt date de FORMULELE LUI

CRAMER : , , ……, , unde , ,… , se obţin din determinantul prin

înlocuirea coloanei corespunzătoare lui cu coloana termenilor liberi.

2. În studiul compatibilităţii unui sistem OARECARE de ecuaţii liniare se folosesc următoarele 2 teoreme:

TEOREMA LUI KRONECKER–CAPELLI: Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă şi numai dacă ( unde = matricea sistemului, iar

= matricea extinsă a sistemului).

TEOREMA LUI ROUCHE : Un sistem de ecuaţii liniare este compatibil dacă şi numai dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli.

3. Daca , unde este numărul de necunoscute şi sistemul este compatibil, vom avea necunoscute principale şi necunoscute secundare.

Necunoscutele secundare le vom nota cu ……, iar necunoscutele principale se vor exprima în funcţie de necunoscutele secundare. Un sistem compatibil cu → 1 necunoscută secundară se numeşte compatibil simplu nedeteminat, → 2 necunoscute secundare se numeşte compatibil dublu nedeterminat,

→ 3 necunoscute secundare se numeşte compatibil triplu nedeterminat, ş.a.m.d. Un sistem compatibil cu una sau mai multe necunoscute secundare are o infinitate de soluţii.

4. ALGORITM DE REZOLVARE A UNUI SISTEM DE ECUAŢII LINIARE OARECARE

I) Studiem dacă sistemul este compatibil: scriem matricea a sistemului şi calculăm rang , aflând astfel şi minorul principal (determinantul principal). II) Prin bordarea minorului principal cu una dintre liniile rămase şi cu coloana termenilor liberi, obţinem minorul caracteristic sau minorii caracteristici. Calculăm minorul (minorii) caracteristic ( caracteristici) şi obţinem următoarele 2 situaţii, conform TEOREMEI LUI ROUCHE: 1) Dacă toţi minorii caracteristici sunt nuli, atunci sistemul este compatibil şi continuăm rezolvarea. 2) Dacă există un minor caracteristic nenul, atunci sistemul este incompatibil, iar soluţia este . III) Dacă sistemul este compatibil, procedăm astfel: 1) Selectăm dintre ecuaţiile sistemului acele ecuaţii care «se sprijină«  pe minorul principal. În aceste ecuaţii, păstrăm în membrul stâng necunoscutele principale şi trecem în membrul drept necunoscutele secundare, pe care le-am notat anterior cu … 2) Rezolvăm sistemul astfel obţinut cu REGULA LUI CRAMER sau cu metodele învăţate anterior.

5. SISTEME DE ECUAŢII OMOGENE

Forma generală a unui sistem liniar omogen cu ecuaţii şi necunoscute este:

- observăm că într–un sistem liniar omogen, toţi termenii liberi sunt .

Un sistem liniar omogen este întotdeauna compatibil, el având mereu soluţia , numită soluţia nulă ( banală sau trivială ).

Dacă presupunem , atunci: sistemul omogen este compatibil determinat ( are solutie unică) dacă şi numai dacă . sistemul omogen este compatibil nedeterminat ( are o infinitate de soluţii) dacă şi numai dacă .