Subiecte Algebra 12Analiza combinatorica 2

1. Termenul care contine pe x2 in dezvoltarea ( 3√

x +√

a)100 este:a) T95; b) T96; c) T97; d) T98; e) T99.

2. Termenii rationali ai dezvoltarii(√

7− 3√

2)20

sunt:a) T2, T6, T11; b) T1, T7, T13, T19; c) T6, T12, T18; d) T7; e) T12, T13, T14.

3. Cel mai mare termen al dezvoltarii(

15

+ 45

)200este:

a) T39; b) T200; c) T121; d) T161; e) T69.4. Suma coeficientilor dezvoltarii (7x2 − 6y3)

33este:

a) 1; b) 2; c) 333; d) 72; e) 0.

5. In dezvoltarea(x + xlg x

)5avem T3 = 106. Numarul de valori posibile

pentru x este:a) 0; b) 1; c) 2; d) 3; e) 4.6. Fie S1 = C1

n + 2C2n + ... + nCn

n si S2 =∑n

k=1(k2 + 1)k!. Atunci:

a) S1 = n, S2 = (n + 2)!; b) S1 = n2, S2 = (n + 1)!; c) S1 = 2n+1, S2 =(n!)2; d) S1 = n2n, S2 = (n+2)!; e) S1 = n ·2n−1, S2 = (n+2)!− (n+1)!−1.

Rezolvarea corecta a grilei: 1.a; 2.b; 3.d; 4.a; 5.c; 6.e.

Indicatii pentru rezolvarea grilei:1. Termenul general este: Tk+1 = Ck

100 ( 3√

x)100−k

(√

a)k

= Ck100x

100−k3 a

k2 ,∀k =

0, 99. Termenul care-l contine pe x2 se deduce din conditia 100−k3

= 2 ⇔ k =94. Deci termenul este T95. Varianta corecta este a).

2. Termenul general este: Tk+1 = Ck20

(√7)20−k (

3√

2)k

= Ck207

20−k2 2

k3 ,∀k =

0, 19. Deoarece 2 si 7 sunt prime pentru ca termenul Tk+1 sa fie rational tre-buie ca 20−k

2∈ N si k

3∈ N. Obtinem k ∈ {0, 6, 12, 18}. Varianta corecta este

b).

3. Termenul general este: Tk+1 = Ck200

(15

)200−k (45

)k,∀k = 0, 200. Avem:

Tk+1

Tk

=Ck

200

(15

)200−k (45

)k

Ck−1200

(15

)200−k+1 (45

)k−1=

804− 4k

k.

Conditia Tk+1 > Tk implica

804 > 5k ⇔ k <804

5.

1

De aici k ∈ {1, 2, ..., 160} . Termenul cautat este T161. Varianta corecta ested).

4. Suma coeficientilor dezvoltarii se obtine luand x = y = 1. Variantacorecta este a).

5. Termenul general este: Tk+1 = Ck5 x5−k

(xlg x

)k. Cum T3 = 106 ⇒

C25x

3(xlg x

)2= 106 de unde x3+2 lg x = 105 ⇔ lg x(3 + 2 lg x) = 5. Notand

t = lg x vom avea ecuatia 2t2 +3t−5 = 0 cu solutiile t1 = 1 si t2 = −52. Daca

t1 = 1 ⇒ lg x = 1 ⇒ x = 10 iar daca t2 = −52⇒ lg x = −5

2⇒ x = 10−

52 =

1√105

. Varianta corecta este c).

6. Pentru prima suma vom folosi faptul ca kCkn = nCk−1

n−1,∀k = 1, n.Avem:

S1 = C1n + 2C2

n + ... + nCnn = nC0

n−1 + nC1n−1 + ... + nCn−1

n−1

= n(C0

n−1 + C1n−1 + ... + Cn−1

n−1

)= n · 2n−1

de unde S1 = n · 2n−1.Pentru a doua suma avem:

S2 =n∑

k=1

(k2 + 1)k! =n∑

k−1

(k2 + 2k + 1− 2k)k!

=n∑

k=1

(k + 1)2k!− 2n∑

k=1

k · k!

=n∑

k=1

(k + 1)(k + 1)!−n∑

k=1

k · k!

= (n + 1)(n + 1)!− 1 = (n + 2− 1)(n + 1)!− 1

= (n + 2)!− (n + 1)!− 1.

Varianta corecta este e).

2