Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

12
Rezolvarea analitica si sintetica a unor probleme de geometrie in spatiu Articolul de fatǎ isi propune: Prezentarea altor trei metode pentru calculul distantei dintre douǎ drepte necoplanare una sinteticǎ si celelalte douǎ drept aplicatii ale produsului mixt. Scopul acestui articol este de a ingloba intr-o schema gener 121e48b ala rezolvarea acestei probleme(determinarea distantei dintre doua drepte necoplanare) si abordarea dintr-o alta perspectiva a problemelor de acest gen, atat din punct de vedere metodologic cat si creativ. Problema determinǎrii distantei dintre douǎ drepte necoplanare a mai fost tratatǎ in G.M. nr. 9 /2004 de cǎtre profesorii Valentina si Ion Cicu (o metodǎ sinteticǎ) si in G.M. nr. 8 /2006 de cǎtre regretatul prof. dr.Florin Cirjan (o metodǎ analiticǎ - ca aplicatie a produsului scalar). Metoda 1.(vezi G.M. nr. 9 / 2004 ) Distanta dintre douǎ drepte necoplanare se poate calcula fǎrǎ determinarea pozitiei segmentului care defineste distanta, utilizand o formulǎ de calcul. Astfel , pentru calculul distantei dintre dreptele necoplanare AB si CD d(AB,CD), putem utiliza formula (1) d(AB,CD)= , unde V(ABCD) este volumul tetraedrului ABCD iar este mǎsura unghiului dintre dreptele AB si CD. Aceastǎ relatie este cunoscutǎ sub numele de formula lui Chasles. Metoda 2. Calculul distantei cu determinarea pozitiei segmentului care o defineste, utilizand produsul mixt .Produsul mixt al trei vectori si este numarul care se determina calculand determinantul format cu coordonatele celor trei vectori scrise pe liniile determinantului.

Transcript of Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Page 1: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Rezolvarea analitica si sintetica a unor probleme de geometrie in spatiu 

            Articolul de fatǎ isi propune:

Prezentarea altor trei metode pentru calculul distantei dintre douǎ drepte necoplanare una sinteticǎ si celelalte douǎ drept aplicatii ale produsului mixt.

Scopul acestui articol este de a ingloba intr-o schema gener 121e48b ala rezolvarea acestei probleme(determinarea distantei dintre doua drepte necoplanare) si abordarea dintr-o alta perspectiva a problemelor de acest gen, atat din punct de vedere metodologic cat si creativ.

Problema determinǎrii distantei dintre douǎ drepte necoplanare a mai fost tratatǎ in G.M. nr. 9 /2004 de cǎtre profesorii Valentina si Ion Cicu (o metodǎ sinteticǎ) si in G.M. nr. 8 /2006 de cǎtre regretatul prof. dr.Florin Cirjan (o metodǎ analiticǎ - ca aplicatie a produsului scalar).

Metoda 1.(vezi G.M. nr. 9 /   2004 ) Distanta dintre douǎ drepte necoplanare se poate calcula fǎrǎ determinarea pozitiei segmentului care defineste distanta, utilizand o formulǎ de calcul.

Astfel , pentru calculul distantei dintre dreptele necoplanare AB si CD  d(AB,CD), putem

utiliza formula (1) d(AB,CD)= , unde V(ABCD) este volumul tetraedrului ABCD iar  este mǎsura unghiului dintre dreptele AB si CD. Aceastǎ relatie este cunoscutǎ sub numele de formula lui Chasles.

Metoda 2. Calculul distantei cu determinarea pozitiei segmentului care o defineste, utilizand

produsul mixt .Produsul mixt al trei vectori  si   este numarul 

 care se determina calculand determinantul format cu coordonatele celor trei vectori scrise pe liniile determinantului.

Page 2: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

In figura de mai sus, dreptele necoplanare sunt   si   cu vectorii directori

 si  .Dreapta perpendicularǎ comunǎ celor douǎ drepte este   care are ca vetor

director pe  .Din   si  , rezultǎ  .

Dacǎ   si   atunci cele douǎ plane   si  au ecuatiile :

Page 3: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

, respectiv  , unde   (respectiv  ) este

vectorul de pozitie al punctului  ( respectiv  ).Ecuatia dreptei perpendiculare comunǎ

este datǎ ca intersectia celor douǎ plane  si  .Deci avem:

In continuare se determinǎ coordonatele punctului M (respectiv N) ca intersectia a douǎ drepte.

 si  

In final se determinǎ distanta dintre dreptele necoplanare   si  ca distantǎ dintre

punctele M si N; .

Metoda 3. Calculul distantei dintre douǎ drepte necoplanare fǎrǎ determinarea pozitiei segmentului care o defineste.Aceastǎ metodǎ are la bazǎ tot produsul mixt.

Dacǎ dreptele necoplanare sunt   si   cu vectorii directori   si   se considerǎ douǎ

puncte    si  .Avem figura de mai jos:

                                             

Page 4: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

                           

                                                        h    

                                                                           

 

                       

                                  

                                 

Vectorii   ,   si   determinǎ un tetraedru a cǎrui inǎltime este distanta cǎutatǎ ( vezi demonstrarea sinteticǎ din G.M. nr. 9 / 2004).Se stie din interpretarea geometrica a produsului mixt ca volumul paralelipipedului determinat de trei vectori este valoarea absoluta a produsului mixt .

Avem

inǎltimea tetraedrului format de vectorii    ,   ,    h.

Scriem volumul tetraedrului in douǎ moduri :

(1) 

(2) 

Din (1) si (2) rezultǎ formula de calcul pentru distanta cǎutatǎ :

In continuare vom utiliza metodele1, 2 si 3 descrise in articolul de fata pentru rezolvarea aplicatiilor 1 si 3 din G.M. nr. 9 / 2004  cuprinse in articolul''In legatura cu distanta dintre doua drepte necoplanare''(respectiv problemele 2.1. ,2.2. si 2.3. din G.M. nr.8/2006 tratate in articolul ''Rezolvarea analitica a unor probleme de geometrie in spatiu'') .Pentru utilizarea metodelor 2 si 3 alegem reperul   cu originea in varful A, iar   si 

Page 5: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Problema 1. Sa se calculeze distanta dintre o diagonala a cubului si o muchie ce nu o intersecteaza.

                                                                                        

                                                                        

                                                                          

                                                                            

                                                                  D                             C

                                                  A

                                                                              B       

Solutie(metoda 1.) .

.Dacǎ inlocuim in aceastǎ

relatie   

si   obtinem  .

Solutie(metoda 2.) .

 

Page 6: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Solutie(metoda 3.) .

,

unde  ,  .Se obtine:

 ,   si  .

Problema 2. Sa se calculeze distanta dintre o diagonala a cubului si o diagonala a unei fete ce nu o intersecteaza.

Solutie(metoda 1.) .

                                                                                           

                                                                        

                                                                          

Page 7: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

                                                                            

                                                                  D                             C                          E

                                                  A

                                                                             B       

.Fie   astfel incat   si  . Calculand laturile  , din reciproca teoremei lui Pitagora rezultǎ cǎ   este dreptunghic

in B.Se  obtine  .

Mai departe inlocuim   si   ;

obtinem  .

Solutie(metoda 2.) .

 

Page 8: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Solutie(metoda 3.) .

,  , de unde

obtinem  .

Problema 3.Sa se calculeze distanta dintre diagonalele a doua fete ce nu se intersecteaza.

                                                                                          

                                                                        

                                                                          

                                                                            

                                                                  D                             C

                                                  A

Page 9: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

                                                                              B       

Solutie(metoda 1.) .

.

 deoarece   este

echilateral.Obtinem  .

Solutie(metoda 2.) .

Solutie(metoda 3.) .

,  , de unde

obtinem  .

Cele trei probleme prezentate, se mai pot rezolva utilizand produsul scalar cu determinarea pozitiei segmentului care defineste perpendiculara comuna - metoda 5. (vezi G.M. nr.8/2006  articolul ''Rezolvarea analitica a unor probleme de geometrie in spatiu'',de prof. Dr. Florin Cirjan) sau fara determinarea pozitiei segmentului urmand algoritmul redat in metoda de mai jos - metoda 4.

Metoda 4. Fie   ,   doua drepte necoplanare si fie MN perpendiculara lor comuna.

Page 10: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

                            

                                                             M                             

                                                                                     

                                                                                       

                                                                                          A

                                                                      

                                                                                 B

                                                          N

                                

                              

                         

Page 11: Rezolvarea Analitica Si Sintetica a Unor Probleme de Geometrie in Spatiu

Presupunem ca sunt cunoscute doua puncte  ,   astfel incat este cunoscut

vectorul  .Daca   este vectorul director al dreptei   si   este vectorul director al

dreptei   atunci vectorul   se exprima astfel:   unde numerele reale   si   sunt inca nedeterminate.Ele vor fi determinate din conditiile de

ortogonalitate 

Acestea constituie un sistem  de ecuatii liniare in necunoscutele   si   .Dupa determinarea

lui   si   aflam  = = .

Metoda 5.  Determinarea distantei dintre dreptele necoplanare   si   cu determinarea pozitiei segmentului MN care defineste dreapta perpendiculara comuna.Consideram aceeasi figura ca mai sus.

Din  , iar din  ,

unde   sunt functii liniare .Necunoscutele   si   se determina din conditiile de

ortogonalitate  .Se determina coordonatele punctelor M si N iar

apoi 

            In incheiere, invitam cititorii sa incerce utilizarea celor cinci metode pentru rezolvarea unor probleme in conditii mai generale.