Ana Monica PURCARU i Cuprins Introducere......................... ...1 Chestionar evaluare prerechizite ............................................................................................... 4 Modulul I Algebr Liniar.. .................................................................................................... 5 Introducere. ..................................................................................................................... 5 Competene ..................................................................................................................... 5 Unitatea de nvare I.1. Spaiivectorialeeuclidiene................................................. 6 I.1.1. Introducere... ..6I.1.2. Competene................ 6I I. .1 1. .3 3. . S Sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. . D De ef fi in ni i i ie e. . E Ex xe em mp pl le e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . 6 6 I I. .1 1. .4 4. . C Co om mb bi in na a i ie e l li in ni ia ar r . . S Si is st te em m d de e g ge en ne er ra at to or ri i. . L Li in ni ia ar r i in nd de ep pe en nd de en n i i l li in ni ia ar r d de ep pe en nd de en n . .. .. . . . 8 8 I I. .1 1. .5 5. . B Ba az z . . D Di im me en ns si iu un ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. .. . . .9 9 I I. .1 1. .6 6. . S Sc ch hi im mb ba ar re ea a b ba az ze ei i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. .1 11 1 I I. .1 1. .7 7. . S Su ub bs sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. . O Op pe er ra a i ii i c cu u s su ub bs sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .1 13 3 I I. .1 1. .8 8. . S Sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e e eu uc cl li id di ie en ne e i i u un ni it ta ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . . . .. .. .1 15 5 I I. .1 1. .9 9. . O Or rt to og go on na al li it ta at te e n nt tr r- -u un n s sp pa a i iu u v ve ec ct to or ri ia al l e eu uc cl li id di ia an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .1 17 7 I.1.10. Rezumat........................ .17 I.1.11. Test de autoevaluare a cunotinelor... ...................18 I I. .1 1. .1 12 2. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. . . . . .. .1 18 8Unitatea de nvare I.2. Transformri liniare..............................19 I.2.1.Introducere...................................................................19 I.2.2.Competene..........................................................................................19I I. .2 2. .3 3. .Noiunea de transformare liniar...................................... ... ...............19 I I. .2 2. .4 4. .Transformri liniare pe spaii vectoriale finit dimensionale....... ... .........22 I I. .2 2. .5 5. .Transformri liniare pe spaii vectoriale unitare (euclidiene)....... ... ...24 I.2.6.Rezumat........................................................................................ ... ...26 I.2.7. Test de autoevaluare.......................................................................... ...26 I I. .2 2. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .2 26 6Unitatea de nvare I.3. Valori proprii. Vectori proprii..............................................27 I.3.1.Introducere................................................... .......27 I.3.2.Competene .................. ... ...................................27 I I. .3 3. .3 3. .Valori i vectori proprii.................. ... ......................................................27 I I. .3 3. .4 4. .Reducerea unei matrice la forma diagonal........ ... .................................29 I I. .3 3. .5 5. .F Fo or rm ma a J Jo or rd da an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .3 32 2 I.3.6. Rezumat.................................................................... ....................................34 I.3.7. Test de autoevaluare.................................... .............................34 I I. .3 3. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. . . .. .. .. .. .. . 3 34 4 Unitatea de nvare I.4. Forme biliniare i forme ptratice........... .............................35 I.4.1. Introducere.............................................................. ... ......................................35 I.4.2. Competene..................................................................... ..................................35I I. .4 4. .3 3. . Forme biliniare. Definiie. Exemple. Matrice ataat. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .3 35 5 I I. .4 4. .4 4. . Forme ptratice. Reducerea la forma canonic.................................................38 I I. .4 4. .5 5. . C Cl la as si if fi ic ca ar re ea a f fo or rm me el lo or r p p t tr ra at ti ic ce e. .S Si ig gn na at tu ur r . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .4 42 2 I.4.6. Rezumat......................................................................... ...................................43 I.4.7. Test de autoevaluare a cunotinelor.................................................................43 I I. .4 4. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .4 44 4 Tem de control 1-Algebr liniar............................................. ... ...... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .4 44 4 iiModulul II Geometrie analitic.............................. .. .................................................................45 Introducere. ..................................................................................................................... 45 Competene..................................................................................................................... 45 Unitatea de nvare II.1. Sp pa a i i u ul l v ve ec ct to or ri ia al l e eu uc cl li id di ia an n a al l v ve ec ct to or ri il lo or r l li i b be er ri i. . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. . . . 4 46 6 II.1.1. Introducere.... ... ...............................................................................................46 II.1.2. Competene....... ... ...........................................................................................46I II I. .1 1. .3 3. . S Sp pa a i iu ul l v ve ec ct to or ri ia al l a al l v ve ec ct to or ri il lo or r l li ib be er ri i. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .4 46 6 I II I. .1 1. .4 4. . C Co ol li in ni ia ar ri it ta at te e i i c co op pl la an na ar ri it ta at te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 50 0 I II I. .1 1. .5 5. . P Pr ro od du us su ul l s sc ca al la ar r. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 51 1 I II I. .1 1. .6 6. . P Pr ro od du us su ul l v ve ec ct to or ri ia al l. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 54 4 I II I. .1 1. .7 7. . P Pr ro od du us su ul l m mi ix xt t. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 56 6 I II I. .1 1. .8 8. . D Du ub bl lu ul l p pr ro od du us s v ve ec ct to or ri ia al l. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 57 7 I II I. .1 1. .9 9. . Rezumat............................................................. ... ..........................................58 II.1.10.Test de autoevaluare a cunotinelor........................ ......................................58 I II I. .1 1. .1 11 1. .R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .5 58 8Unitatea de nvare II.2. Planul i dreapta n spaiu. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . .. .. . . . . .. . . .. .. . . .. .. . . .. . . . . .. .. . . .. .5 59 9 II.2.1. Introducere.......................................................................................................59 II.2.2. Competene................................................. ... ..................................................59I II I. .2 2. .3 3. . Ecuaii de plane................................................................................................60I II I. .2 2. .3 3. .1 1. . P Pl la an nu ul l d de et te er rm mi in na at t d de e t tr re ei i p pu un nc ct te e n ne ec co ol li in ni ia ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 60 0 I II I. .2 2. .3 3. .2 2. . P Pl la an nu ul l d de et te er rm mi in na at t d de e o o d dr re ea ap pt t i i u un n p pu un nc ct t e ex xt te er ri io or r d dr re ep pt te ei i. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .6 61 1 I II I. .2 2. .3 3. .3 3. . P Pl la an nu ul l d de et te er rm mi in na at t d de e u un n p pu un nc ct t i i d do ou u d di ir re ec c i ii i n ne ec co ol li in ni ia ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .6 61 1 I II I. .2 2. .3 3. .4 4. . P Pl la an nu ul l d de et te er rm mi in na at t d de e p pu un nc ct t i i d de e u un n v ve ec ct to or r n no or rm ma al l. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .6 62 2 I II I. .2 2. .3 3. .5 5. . E Ec cu ua a i ia a g ge en ne er ra al l a a p pl la an nu ul lu ui i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 62 2 I II I. .2 2. .3 3. .6 6. . E Ec cu ua a i ia a p pl la an nu ul lu ui i p pr ri in n t t i ie et tu ur ri i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 62 2 I II I. .2 2. .4 4. . F Fa as sc ci ic co ol le e d de e p pl la an ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 63 3 I II I. .2 2. .5 5. . E Ec cu ua a i ii i d de e d dr re ep pt te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 64 4 I II I. .2 2. .5 5. .1 1. . D Dr re ea ap pt ta a d de et te er rm mi in na at t d de e d do ou u p pu un nc ct te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 64 4 I II I. .2 2. .5 5. .2 2. . D Dr re ea ap pt ta a d de et te er rm mi in na at t d de e u un n p pu un nc ct t i i u un n v ve ec ct to or r n ne en nu ul l. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 64 4 I II I. .2 2. .5 5. .3 3. . D Dr re ea ap pt ta a c ca a i in nt te er rs se ec c i ie e a a d do ou u p pl la an ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 65 5 I II I. .2 2. .6 6. . P Po oz zi i i ii i r re el la at ti iv ve e d de e d dr re ep pt te e i i p pl la an ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 67 7 I II I. .2 2. .6 6. .1 1. . P Po oz zi i i ia a u un ne ei i d dr re ep pt te e f fa a d de e u un n p pl la an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 67 7 I II I. .2 2. .6 6. .2 2. . P Po oz zi i i ii il le e r re el la at ti iv ve e a a d do ou u d dr re ep pt te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 67 7 I II I. .2 2. .7 7. . U Un ng gh hi iu ur ri i i i d di is st ta an n e e n n s sp pa a i iu u. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 69 9 I II I. .2 2. .7 7. .1 1. . U Un ng gh hi iu ul l d di in nt tr re e d do ou u p pl la an ne e o or ri ie en nt ta at te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 69 9 I II I. .2 2. .7 7. .2 2. . U Un ng gh hi iu ul l d di in nt tr re e d do ou u d dr re ep pt te e o or ri ie en nt ta at te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6 69 9 I II I. .2 2. .7 7. .3 3. . U Un ng gh hi iu ul l d di in nt tr re e o o d dr re ea ap pt t i i u un n p pl la an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 70 0 I II I. .2 2. .7 7. .4 4. . D Di is st ta an n a a d de e l la a u un n p pu un nc ct t l la a u un n p pl la an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 70 0 I II I. .2 2. .7 7. .5 5. . D Di is st ta an n a a d de e l la a u un n p pu un nc ct t l la a o o d dr re ea ap pt t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 70 0 I II I. .2 2. .7 7. .6 6. . D Di is st ta an n a a d di in nt tr re e d do ou u d dr re ep pt te e o or ri ie en nt ta at te e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 70 0 II.2.8. Rezumat.......................................................................................................72 II.2.9. Test de autoevaluare a cunotinelor..................... ..........................................72 I II I. .2 2. .1 10 0. .R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 72 2 Unitatea de nvare II.3.T Tr ra an ns sl la a i ii i i i r ro ot ta a i ii i. . S Sc ch hi im mb b r ri i d de e r re ep pe er re e n plan i n spaiu.................................................................................. ................................................73 II.3.1. Introducere.......................................................................................................73 II.3.2. Competene................................................................................. ....................73I II I. .3 3. .3 3. . Translaia i rotaia reperului cartezian. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 73 3 I II I. .3 3. .4 4. . Trecerea de la reperul cartezian la reperul polar n plan. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 77 7 I II I. .3 3. .5 5. . Trecerea de la reperul cartezian la reperul cilindric n spaiu. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 78 8 I II I. .3 3. .6 6. .Trecerea de la reperul cartezian la reperul sferic n spaiu. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .7 79 9 iii I II I. .3 3. .7 7. . Rezumat. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .8 80 0 I II I. .3 3. .8 8. . Test de autoevaluare a cunotinelor. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .8 80 0 I II I. .3 3. .9 9. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e............... .........................80 Unitatea de nvare II.4. Conice.................................................... .................................81 II.4.1. Introducere.................................................................................................. 81 II.4.2. Competene................................................................................................. 81I II I. .4 4. .3 3. . N No o i iu un ni i g ge en ne er ra al le e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 81 1 I II I. .4 4. .4 4. . C Ce en nt tr ru ul l u un ne ei i c co on ni ic ce e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 83 3 I II I. .4 4. .5 5. . R Re ed du uc ce er re ea a l la a f fo or rm ma a c ca an no on ni ic c a a e ec cu ua a i ie ei i u un ne ei i c co on ni ic ce e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 85 5 I II I. .4 4. .5 5. .1 1. . M Me et to od da a v va al lo or ri il lo or r p pr ro op pr ri ii i . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 8 86 6 I II I. .4 4. .5 5. .2 2. . M Me et to od da a r ro ot to o- -t tr ra an ns sl la a i ie ei i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .8 88 8 I II I. .4 4. .6 6. . Rezumat. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 90 0 I II I. .4 4. .7 7. . Test de autoevaluare a cunotinelor . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 90 0 I II I. .4 4. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e ....................................... 90Unitatea de nvare II.4. Cuadrice............................................................................. 91 II.5.1. Introducere................................................................................................. 91 II.5.2. Competene ................................................................................................ 91I II I. .5 5. .3 3. . S Sf fe er ra a. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 92 2 I II I. .5 5. .3 3. .1 1. .E Ec cu ua a i ii il le e s sf fe er re ei i . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 92 2 I II I. .5 5. .3 3. .2 2. . I In nt te er rs se ec c i ia a u un ne ei i s sf fe er re e c cu u o o d dr re ea ap pt t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 93 3 I II I. .5 5. .3 3. .3 3. . P Po oz zi i i ia a u un nu ui i p pl la an n f fa a d de e o o s sf fe er r . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 94 4 I II I. .5 5. .3 3. .4 4. . P Pu ut te er re ea a u un nu ui i p pu un nc ct t f fa a d de e o o s sf fe er r . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 95 5 I II I. .5 5. .4 4. . E El li ip ps so oi id du ul l. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 97 7 I II I. .5 5. .5 5. . H Hi ip pe er rb bo ol lo oi id du ul l c cu u o o p p n nz z . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 98 8 I II I. .5 5. .6 6. . H Hi ip pe er rb bo ol lo oi id du ul l c cu u d do ou u p p n nz ze e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 00 0 I II I. .5 5. .7 7. . P Pa ar ra ab bo ol lo oi id du ul l e el li ip pt ti ic c . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 00 0 I II I. .5 5. .8 8. . P Pa ar ra ab bo ol lo oi id du ul l h hi ip pe er rb bo ol li ic c . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 01 1 II.5.9. Rezumat . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 02 2 I II I. .5 5. .1 10 0. . Test de autoevaluare a cunotinelor . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 02 2 I II I. .5 5. .1 11 1. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e ...................................102 Unitatea de nvare II.6. Generarea suprafeelor .....................................................103 II.6.1. Introducere ................................................................................................103 II.6.2. Competene ...............................................................................................103I II I. .6 6. .3 3. . S Su up pr ra af fe e e e c ci il li in nd dr ri ic ce e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 04 4 I II I. .6 6. .4 4. . S Su up pr ra af fe e e e c co on ni ic ce e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 04 4 I II I. .6 6. .5 5. . S Su up pr ra af fe e e e d de e r ro ot ta a i ie e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 06 6 I II I. .6 6. .6 6. . Rezumat . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 08 8 I II I. .6 6. .7 7. . Test de autoevaluare a cunotinelor . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 10 08 8 I II I. .6 6. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e .....................................108 Tem de control 2-Geometrie analitic...........................................................................109 Modulul III Geometrie diferenial...........................................................................................110 Introducere ....................................................................................................................110 Competene....................................................................................................................110 Unitatea de nvare III.1. Elemente de geometrie diferenial a curbelor plane..111 I II II I. .1 1. .1 1. . I In nt tr ro od du uc ce er re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 11 1 I II II I. .1 1. .2 2. . Competene...............................................................................................111 I II II I. .1 1. .3 3. . R Re ep pr re ez ze en nt ta ar re ea a a an na al li it ti ic c a a c cu ur rb be el lo or r p pl la an ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 12 2 I II II I. .1 1. .4 4. . T Ta an ng ge en nt ta a i i n no or rm ma al la a l la a o o c cu ur rb b p pl la an n n nt tr r- -u un n p pu un nc ct t o or rd di in na ar r . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 13 3 I II II I. .1 1. .5 5. .Lungimea unui arc de curb plan. Elementul de arc.......................................115 I II II I. .1 1. .6 6. .C Co on nt ta ac ct tu ul l a a d do ou u c cu ur rb be e p pl la an ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 16 6 I II II I. .1 1. .7 7. .C Ce er rc cu ul l o os sc cu ul la at to or r a al l u un ne ei i c cu ur rb be e p pl la an ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 17 7 iv I II II I. .1 1. .8 8. .P Pu un nc ct te e m mu ul lt ti ip pl le e a al le e u un ne ei i c cu ur rb be e p pl la an ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 11 18 8I II II I. .1 1. .9 9. . n nf f u ur r t to oa ar re ea a u un ne ei i f fa am mi il li ii i d de e c cu ur rb be e p pl la an ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 12 21 1I II II I. .1 1. .1 10 0. . E Ev vo ol lu ut ta a ( (d de es sf f u ur ra at ta a) ) u un ne ei i c cu ur rb be e p pl la an ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 12 22 2 I II II I. .1 1. .1 11 1. . C Cu ur rb bu ur ra a i i r ra az za a d de e c cu ur rb bu ur r a a u un ne ei i c cu ur rb be e p pl la an ne e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 12 23 3 III.1.12. Rezumat. ................................................................................................ 125 I II II I. .1 1. .1 13 3. .Test de autoevaluare................................................................................ 125 III.1.14. R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 12 25 5 Unitatea de nvare III.2. Elemente de geometrie diferenial a curbelor n spaiu126 III.2.1. Introducere............................................................................................... 126 III.2.2. Competene.............................................................................................. 126I II II I. .2 2. .3 3. . R Re ep pr re ez ze en nt ta ar re ea a a an na al li it ti ic c a a c cu ur rb be el lo or r n n s sp pa a i iu u. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 12 26 6 I II II I. .2 2. .4 4. . L Lu un ng gi im me ea a u un nu ui i a ar rc c d de e c cu ur rb b n n s sp pa a i iu u. . E El le em me en nt t d de e a ar rc c. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 12 28 8 I II II I. .2 2. .5 5. . Tangenta la o curb n spaiu... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 13 30 0 I II II I. .2 2. .6 6. . Planul normal la o curb n spaiu.....................................................................132 I II II I. .2 2. .7 7. . Planul osculator la o curb n spaiu.......................................................... 133 III.2.8. Normala principal la o curb n spaiu............................................................134 III.2.9. Binormala la o curb n spaiu .................................................................. 136 III.2.10.Planul rectificant l la a o o c cu ur rb b n n s sp pa a i iu u. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 13 37 7 I II II I. .2 2. .1 11 1. .T Tr ri ie ed dr ru ul l l lu ui i F Fr re en ne et t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 13 38 8 I II II I. .2 2. .1 12 2. .C Cu ur rb bu ur r . . T To or rs si iu un ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 13 39 9 I II II I. .2 2. .1 13 3. .F Fo or rm mu ul le el le e l lu ui i F Fr re en ne et t . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 14 40 0 I II II I. .2 2. .1 14 4. .C Ca al lc cu ul lu ul l c cu ur rb bu ur ri ii i i i a al l t to or rs si iu un ni ii i . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 14 41 1 I II II I. .2 2. .1 15 5. .C Cl la as se e r re em ma ar rc ca ab bi il le e d de e c cu ur rb be e n n s sp pa a i iu u. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 14 42 2 I II II I. .2 2. .1 16 6. . Rezumat ................................................................................................. 144I II II I. .2 2. .1 17 7. . Test de autoevaluare............................................................................... 144 III.2.18. R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 14 44 4 Unitatea de nvare III.3. Elemente de geometrie diferenial a suprafeelor ........ 145 III.3.1Introducere............................................................................................... 145 III.3.2 Competene .............................................................................................. 145III.3.3 3. .R Re ep pr re ez ze en nt ta ar re ea a a an na al li it ti ic c a a u un ne ei i s su up pr ra af fe e e e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 14 45 5 I II II I. .3 3. .4 4C Cu ur rb be e t tr ra as sa at te e p pe e o o s su up pr ra af fa a . . C Cu ur rb be e c co oo or rd do on na at te e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 14 47 7 I II II I. .3 3. .5 5P Pl la an nu ul l t ta an ng ge en nt t i i n no or rm ma al la a l la a o o s su up pr ra af fa a . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 15 50 0 I II II I. .3 3. .6 6P Pr ri im ma a f fo or rm m f fu un nd da am me en nt ta al l a a u un ne ei i s su up pr ra af fe e e e. . A Ap pl li ic ca a i ii i a al le e a ac ce es st te ei ia a. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .1 15 53 3 III.3.7 Rezumat ................................................................................................... 157 I II II I. .3 3. .8 8 Test de autoevaluare ................................................................................. 157 III.3.9 R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 15 57 7 Tem de control 3-Ecuaii difereniale ........................................................................... 157 Bibliografie..159 1 INTRODUCERE Cursuldefase adreseaznprincipalstudenilordeanulIdelaFacultateadeInginerie ElectricitiinaCalculatoarelor,programuldestudii:ManagementulEnergiei,carese pregtesc s devin ingineri la forma de nvmnt: IFR(nvmnt cu frecven redus).Acest cursreprezintunghidpractic,careincludenoiunile,rezultateleteoreticedebaz, precumitipuriledeproblemecareaparncadruldisciplinei:ALGEBRLINIAR, GEOMETRIE ANALITIC IDIFERENIAL(ALGAD). Aceste ramuri ale matematicii constituie o component important a pregtirii tiinifice a fiecruistudentdinnvmntulsuperiortehnic,prinnumeroaseleaplicaiipecareleau,prin abilitiledecalculpecareledezvoltiprinnumeroaselemetodedemodelarematematicpe care le propune. Cunotiele prezentate n acest curs sunt fundamentale pentru pregtirea studenilor att prin contribuia adus la definirea unei gndiri riguroase a fiecrui student, dar i prin aceea c ele i gsesc n ntregime aplicabilitate n practic. Asimilareaproblemelorteoretice,aexempleloriaexerciiilorprezentatencurspermit studentului s redescopere funcia modelatoare a matematicii i s o exerseze n acest sens. Cursul a fost scris astfel ca limbajul, noiunile i succesiunea unitilor de nvare s fie n concordan cu programa analitic de la forma de nvmnt: zi.Paragrafeleteoreticesuntsusinutedenumeroaseexempleideproblemerezolvate,care dau posibilitatea aprofundrii noiunilor cuprinse n paragraful respectiv. Lucrareancearcsrspundunornecesitideadncireapregtiriindomeniul matematicii a tuturor celor interesai. Obiectivele cursului Obiectivul principal al acestui curs este de a-i iniia pe studeni n tainele a trei dintre ramuriledebaz alematematicii: algebraliniar, geometria analiticidiferenial, att de necesare unei culturi tehnice solide. Competene conferite Dup parcurgerea i asimilarea materialului studentul va fi capabil: sacumulezeisoperezecucunotineledebazdindomeniulalgebreiliniare, geometriei analitice i difereniale; spunnpracticcunotineleacumulateattladisciplinelematematice,ctila celelalte discipline de specialitate, utilizatoare ale noiunilor; s-i formeze o gndire logic, un limbaj matematic adecvat i s-i dezvolte capacitatea de analiz i sintez; s-i formeze capacitatea de autoevaluare. 2 Resurse i mijoace de lucru

DeoareceacestcursesteparcursnanulI,vominsistamaimultasupramoduluide utilizare eficient a acestuia.Coninuturile unitilor de nvare sunt ntrerupte de diverse sarcini de lucru. Acestea sunt anunateprintr-oimaginesugestiviautitlulTODO:.Esteindicatrezolvareacu consecven a cerinelor formulate n sarcinile de lucru, imediat dup parcurgerea coninuturilor tematice i a exerciiilor rezolvate,intitulate sugestiv Exemple. Fiecareunitatedenvareconineuntestdeautoevaluare,carepermitecititoruluis verificesingurcalitateansuiriicunotinelorstudiate.ncazulapariieiunorneclaritin legturcurezolvareatestelordeautoevaluaresepotfolosirspunsurileisugestiilede rezolvarealeacestora,careseafllasfritulfiecruitestdeautoevaluare.Dacneclaritile persistesteindicataselualegturacututorele,launadintrentlnirileprevzuteprin calendarul disciplinei. Parcurgereaunitilordenvareaferenteprimuluimodulnunecesitexistenaunor mijloace sau instrumente de lucru. Modululaldoileaialtreilea,destinategeometrieianaliticeidifereniale,necesit utilizareaunuicalculatoravndacceslainternet,iarcainstrumentedelucru:calculatorde buzunar, rigl, compas, echer, raportor i creioane colorate. Structura cursului

Materialulcursuluiestestructuratntreimodule:primulmodulestedestinatstudiului algebreiliniare,modululII,geometrieianalitice,iarnmodululIIIsestudiazgeometria diferenial. Cursul cuprinde un numr total de treisprezece uniti de nvare. ModululIcuprindepatruunitidenvare:UI.I.1-Spaiivectorialeeuclidiene,UI.I.2- Transformriliniare,UI.I.3-Valoriproprii.VectoripropriiiUI.I.4-Formebiliniareiforme ptratice. Modulul II conine ase uniti de nvare: UI.II.1- Spaiul vectorial euclidian al vectorilor liberi, UI.II.2- Planul i dreapta n spaiu, UI.II.3-Translaii i rotaii.Schimbri de repere n plan i n spaiu,UI.II.4- Conice, UI.II.5- Cuadrice i UI.II.6- Generarea suprafeelor. ModululIIIcuprindetreiunitidenvare:UI.III.1-Elementedegeometriedifereniala curbelorplane,UI.III.2-ElementedegeometriediferenialacurbelornspaiuiUI.III.3- Elemente de geometrie diferenial a suprafeelor. Elementeleconstitutivealefiecruimodulsunt:cuprinsul,introducerea,competenele, unitile de nvare itema de control, care ncheie modulul. Temadecontrol1-cuprindeexerciiidebazdinalgebraliniar,temadecontrol2-cuprindeaplicaiidebazdingeometriaanalitic,iartemadecontrol3-dingeometria diferenial. Cele trei teme de control, rezolvate, vor fi transmise tutorelui, scrise de mn i ndosariate. Rezultatele obinute de ctre studeni la temele de control, vor fi ncrcate pe platforma e-learning a Universitii Transilvania Braov, pn la o dat prestabilit. Fiecareunitatedenvareare ca elemente constitutive:titlulunitii, cuprinsulunitii,o introducere, competenele unitii de nvare, durata medie de parcurgere a unitii de nvare, coninutul unitii de nvare, rezumatul, testul de autoevaluare cu rspunsuri i indicaii. 3 Cerine preliminare Parcurgereacursuluipresupunecunoatereanoiunilorirezultatelordealgebri analizmatematicdinclaseleaXI-aiaXII-aigeometriaclaselorIX-XI,predaten liceu. Discipline deservite Alegereatemeloracestuicursinsuimoduldetratareallorauiunaltscop utilizareaacestuiinstrumentdeinvestigaieidecalculin :fizic,inginerie,economie, statistic, etc. Sepotenumeranumeroasedisciplinedinplanuldenvmntcaresedezvoltpe bazacunotinelordobnditencadruldisciplineidefa:fizicteoretic,mecanic, rezistenamaterialelor,mecanicafluidelor,organedemaini,prelucrrimecanice, mecanisme, termotehnic, metoda elementelor finite, teoria elasticitii i plasticitii, etc. Durata medie de studiu individual Parcurgerea de ctre studeni a aspectelor teoretice i ale exemplelor unitilor de nvare ale cursului intitulat:ALGEBR LINIAR, GEOMETRIE ANALITIC IDIFERENIALse poate face n 2-3 ore pentru fiecare unitate. Evaluarea PentrudisciplinaALGEBRLINIAR,GEOMETRIEANALITICIDIFERENIAL, evaluarea are dou componente: evaluarea continu i evaluarea final.Evaluareacontinuvafifcutpebazatemelordecontrol(notatedetutore).Punctajul propus pentru notarea fiecrei teme se afl menionat dup enunul subiectelor.Nota obinut la fiecare tem de control, reprezint cte 15 % din nota final.Evaluarea final pentru acest curs este examenul scris. Nota obinut la examenul scris, reprezint 55% din nota final. NUEZITAISLUAILEGTURACUTUTORELEPENTRUAOBINEALTEINDICAIISAUPRECIZRI,SAUPENTRUADEPIEVENTUALELEBLOCAJENNVARE ! SPOR LA TREAB ISUCCES! 4 Chestionar evaluare prerechizite 1.Fie matricile: |||

\|=1 10 1A , |||

\|=2 15 3B . S se calculeze A+B, AB, BA, A2. 2.S se calculeze determinanii: 1 8 09 2 26 7 21= di 3 0 05 2 31 0 22= d . 3.S se studieze dac matriceaA =||||

\|1 0 30 1 23 2 5 este inversabil i n caz afirmativ s se determineinversa ei. 4.S se rezolve sistemul de ecuaii liniare: = = . 0, 1 22 12 1x xx x 5.S se rezolve sistemul de ecuaii liniare: = + + = + = + + . 6 5 3, 1 2 3, 1 34 3 2 14 3 2 14 3 2 1x x x xx x x xx x x x 6.S se defineasc structurile algebrice de grup abelian i de corp. 7.S se completeze rezultatele: sin (a+b) = , sin 2a = ,= + a a2 2cos sin. 8.S se calculeze:.3 3 4cos6sin ctg tg + + 9.S se scrie cinci derivate ale unor funcii elementare. 10. S se scrie cinci primitive ale unor funcii elementare. 5 M MO OD DU UL LU UL L I I. . A Al lg ge eb br r l li in ni ia ar r Cuprins Introducere................................................................................................................................ 5 Competene............................................................................................................................... 5U UI I I I. .1 1. . Spaii vectoriale euclidiene. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6 U UI I I I. .2 2. . Transformri liniare. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .1 19 9 U UI I I I. .3 3. . Valori proprii. Vectori proprii ..................................................................................... 2 27 7 U UI I I I. .4 4. . Forme biliniare i forme ptratice. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 3 35 5 Tem de control 1-Algebr liniar.......................................................................................... 44 Introducere Algebra liniar, domeniu important al algebrei abstracte, constituie fundamentul i furnizeaz metode de lucru pentru geometria analitic dar i pentru o serie de ramuri ale matematicii, fizicii teoretice, mecanicii, al disciplinelor tehnice n general. Noiunile sale abstracte de: spaiu vectorial, transformri linare, valori i vectori proprii,formebiliniareiformeptratice,auaplicaii relativ imediate n disciplinele caresepredauviitoriloringineriipermitomaibunsintetizareacunotinelor domeniiloramintite,precumiodezvoltarematematicriguroasadiverselor concepte fizice folosite. Competene Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil: -sidentifice,sdefineasc,scaracterizezeisexemplificeprincipalelenoiunii rezultateteoreticedealgebrliniarreferitoarelaspaiilevectorialeeuclidiene, transformrileliniare,valorileivectoriipropriicorespunztoriuneitransformri liniare, precum i la formele biliniare i ptratice; -sutilizezenexerciiiprincipalelerezultatereferitoarelaspaiilevectoriale euclidiene,transformrileliniare,valorileivectoriipropriicorespunztoriunei transformri liniare, precum i la formele biliniare i ptratice. 6Unitatea de nvare I.1. Spaiivectorialeeuclidiene Cuprins I.1.1. Introducere ................................................................................................................... 6 I.1.2. Competene .................................................................................................................. 6I I. .1 1. .3 3. . S Sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. . D De ef fi in ni i i ie e. . E Ex xe em mp pl le e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 6 6 I I. .1 1. .4 4. . C Co om mb bi in na a i ie e l li in ni ia ar r . . S Si is st te em m d de e g ge en ne er ra at to or ri i. . L Li in ni ia ar r i in nd de ep pe en nd de en n i i l li in ni ia ar r d de ep pe en nd de en n . .. .. .. .. .. .. . 8 8 I I. .1 1. .5 5. . B Ba az z . . D Di im me en ns si iu un ne e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 9 9 I I. .1 1. .6 6. . S Sc ch hi im mb ba ar re ea a b ba az ze ei i. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .1 11 1 I I. .1 1. .7 7. . S Su ub bs sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. . O Op pe er ra a i ii i c cu u s su ub bs sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 13 3 I I. .1 1. .8 8. . S Sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e e eu uc cl li id di ie en ne e i i u un ni it ta ar re e. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 15 5 I I. .1 1. .9 9. . O Or rt to og go on na al li it ta at te e n nt tr r- -u un n s sp pa a i iu u v ve ec ct to or ri ia al l e eu uc cl li id di ia an n. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 17 7 I.1.10. Rezumat ................................................................................................................... 17 I.1.11. Test de autoevaluare a cunotinelor ........................................................................ .18 I I. .1 1. .1 12 2. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1 18 8 I.1.1. Introducere Pe lng diverse structuri algemrice precum cele de monoid, grup, inel, modul sau corp, n studiul disciplinelor aplicate intervine cu prioritate structura de spaiu vectorial. ncadrulacesteiunitidenvaresetrecnrevistprincipalelerezultatereferitoarela obiectul de studiu de baz al algebrei liniare, care este conceptul deK-spaiu vectorial. I.1.2. Competenele unitii de nvare Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil: -s defineasc i s exemplifice noiunea de spaiu vectorial; -s verifice liniara independen sau liniara dependen a unui sistem de vectori; -s rein i s utilizeze noiunile de: baz i dimensiune i s opereze cu schimbri de baze; -s decid cnd o submulime nevid a unui spaiu vectorial este un subspaiu vectorial al acestuia i s opereze cu subspaii vectoriale; -s defineasc, s exemplifice i s aplice noiunile de:produs scalar , spaiu vectorial euclidian i unitar; -s defineasc conceptul de ortogonalitate. Durata medie de parcurgere a acestei uniti de nvare este de 2 ore. I I. .1 1. .3 3. .S Sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e. . D De ef fi in ni i i ie e. . E Ex xe em mp pl le e Definiia 1.Fie V o mulime nevid, ale crei elemente se noteaz cu litere latine (a, b, x, y, z, u, v, w, ..., x1, x2, ...) i se numesc vectori i fieK un corpcomutativ(cmp), alecrui elementese noteaz prin (k, l, ...) sau prin litere greceti (, , , ...) i se numesc scalari. Un triplet (V, +, ,K KK K ), care const dintr-o mulime V de vectori, o lege de compoziie intern pe V, + : V V V, (x, y) x + y, numit adunarea vectorilor i o lege de compoziie extern pe VnraportcuK,:KVV,(,x)x(sau(,x)x),numitnmulireacu scalari, se numete spaiu vectorial pesteK, sau spaiu liniar pesteK, sauK-spaiu vectorial (liniar), dac:I. Perechea (V, +) este un grup abelian. II. nmulirea cu scalari satisface urmtoarele patru axiome: 1.Oricare ar fi K i pentru orice x, y V rezult (x + y) = x + y. 2.Oricare ar fi , K i pentru orice x V rezult ( + )x = x + x. 3.Oricare ar fi , K i pentru orice x V rezult ( )x = (x). 7 4.Oricare ar fi x V, dac 1 este identitatea luiK, atunci 1 x = x. Elementulneutrungrupul(V,+)senoteaz0isenumetevectorulnulalspaiului vectorial, iar simetricul unui element x n grupul (V, +) se noteaz cu x i poart denumirea de opusul vectorului x. CndKestecorpulR alnumerelorreale,unK-spaiuvectorialsenumetespaiu vectorial real, iar pentruK =C, spaiu vectorial complex. Dac nu exist pericol de confuzie, se va nota unK-spaiu vectorial (V, +, ,K) mai simplu, prin V/ K KK K, sau prin V. Exemple 1 1.V={0},careconstdintr-unsingurvector(celnul),esteK-spaiuvectorial, pentru orice cmpK i se numete spaiu vectorial nul. 2.Spaiivectorialearitmetice.Fie(K,+,, K)uncmpin N,iar nK= = 43 42 1ori nK K ... ( ) { } n i x x x x xi n, 1 , ..., , ,2 1= = K ,pentrun1i 0K={0},(0- elementul zero al lui K).Dac,pentru = = ) ..., , , ( , ) ..., , , (2 1 21n ny y y y x x x xnKi K,se definete: I. ) y ..., , (n 1 1+ + = +nx y x y x i II.) ..., , (1 nx x x = , atunci(nK,+,, K)esteun K-spaiuvectorialisenumetespaiul coordonatelor(sauspaiularitmetic).Pentru K= Rin=2saun=3seobine planul real, sau spaiul real. 3.Spaiivectorialedematrice.Pentruuncmp(nK ,+,,K)im,n *K ,fie mulimea matricelor de tip m n (cu m linii i n coloane), cu elemente dinK, { } n a Aij n m, 1 j , m 1, i , a ) ( ) (ij= = = =K K M . Dac, pentru A = (aij), B = (bij) ) (n mKMi K, se definete: I.A + B = (aij + bij) i II.A=(aij),atuncitripletul( ) K K , , , ) (n m +M esteunK-spaiu vectorial, numitK KK K-spaiul vectorial al matricelor de tipul m n. 4. Spaii vectoriale de funcii continue.Fie [a, b] Ri{ } continu f b a fb a = R ] , [ :0] , [C . Dac, pentru Ri pentru orice 0] , [,b ag f C , se definete: I.(f + g)(x) = f(x) + g(x), oricare ar fi x [a, b] iII. ( f)(x) = f(x), pentru orice x [a, b], atunci tripletul (0] , [ b aC , +, ,R ) este unR -spaiu vectorial, numit spaiul vectorial al funciilor continue pe [a, b]. Teorema 1.ntr-unK-spaiu vectorial, (V, +, ,K), au loc proprietile: 1. Oricare ar fi x V rezult 0 x = 0. 2. Oricare ar fi K se obine 0 = 0. 3. Oricare ar fi K i oricare ar fi x V rezult () x = ( x) = (x). 4. Din x = 0 se obine = 0 sau x = 0. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.5. Verific axiomele din definiia 1 a spaiului vectorial n cazul Exemple1-2., 8pentru n=3 (spaiul real). S ne reamintim Structura algebric de spaiu vectorial const dintr-un grup aditiv comutativ V i o operaie de nmulire extern definit pe K Vcu valori nV, care satisface patru axiome, unde K este un corp comutativ (cmp). Elementele spaiului vectorial V se numesc vectori, iar cele ale cmpului K se numesc scalari. I I. .1 1. .4 4. . C Co om mb bi in na a i ie e l li in ni ia ar r . . S Si is st te em m d de e g ge en ne er ra at to or ri i. . L Li in ni ia ar r i in nd de ep pe en nd de en n i i l li in ni ia ar r d de ep pe en nd de en n Fie V unK-spaiu vectorial i {xi}iI o familie de vectori din V, adic xi V, pentru orice i I(I-omulimedeindici),iar{i}iIofamiliedescalaricuproprietateacexistnumaiun numr finit de indici i I cu proprietatea i 0 - numit familie de suport finit. Definiia 2. Senumetecombinaieliniaravectorilorxirelativlafamiliadescalari{i}iI, suma: I ii ix . Definiia 3. OsubmulimeS={x1,...,xn},SV,senumetesistemfinitdegeneratoripentru spaiul V, dac oricare ar fi x V, exist 1, 2, ..., n K astfel nct: ==nii ix x1(adic se poate spune c x este o combinaie liniar de vectorii submulimii S). Unspaiuvectorialsenumetefinitgenerat,dacexistunsistemfinitdegeneratorial su; n caz contrar, se numete infinit generat. Definiia 4. Fie V unK-spaiu vectorial i S = {xi}i I V o familie de vectori din V. Mulimea Ssenumetefamilie(mulime)liniarindependentdacpentruorice{i}iI,iK,din combinaia liniar I ii ix = 0 rezult i = 0, oricare ar fi i I (evident {i}iI este o familie de suport finit). O familie (mulime) S = {xi}i I V care nu este liniar independent, se numete liniar dependent, adic exist scalarii {i}i I K, nu toi nuli, astfel nct I ii ix = 0. Exemple 2 1. nR [X] familiaB = {Xi}N i este liniar independent. 2.nspaiularitmetic nK ,sistemulB ={e1,...,en}ncare ii) 0 ..., , 0 , 1 , 0 ..., , 0 , 0 ( e = , este liniar independent. 3.nspaiul) (n mKM ,mulimea{ }n 1, jm 1, iijE=== B ,i0 ...... 0 ...... 0.......... ..........0 ...... 1 ...... 0.......... ..........0 ...... 0 ...... 0jEij|||||||

\|= , este liniar independent. 4. n spaiul funciilor 0] b , a [Cfamilia de funcii fn : [a, b] R , fn(x) = enx, n N, este o familie liniar independent.

Propoziia1.Oricesubmulimeaunuispaiuvectorial,formatdintr-unsingurvectoreste liniar independent dac i numai dac acel vector este diferit de vectorul nul. 9 2. DacS={x1,,xn} Vesteomulimeliniardependent,atunciexistcelpuinun vector al lui S care poate fi exprimat printr-o combinaie liniar de ceilali vectori ai lui S. 3. Fie S = {x1, , xk}, xi 0,k 1, i=o mulime liniar dependent. Atunci exist xj, 2 j k, astfel nct:,11= =jii i jx x i K. 4. Orice submulime a unei mulimi liniar independente este liniar independent. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.8. Observaia 1. Reciprocele propoziiilor 2 i 3 din propoziia 1 sunt evidente. Exemple 3 n spaiul vectorial 3Rse consider vectorii: x = (1, 2, 3), y = (2, 3, 1), z = (a+3, a+1, a+2), a R . S se afle valorile parametrului a pentru care aceti vectori sunt liniar dependeni i s se scrie relaia de dependen liniar. Soluie: Pentrucavectoriidaisfieliniaridependeni,trebuiesexistescalariireali1, 2, 3 nu toi nuli astfel nct s aib loc relaia:1x + 2y + 3z = 0, sau1(1, 2, 3)+ 2(2, 3, 1) + 3(a+3, a+1, a+2) = (0, 0, 0). Se obine sistemul liniar i omogen: ( )( )( )= + + += + + += + + +, 0 2 3, 0 1 3 2, 0 3 23 2 13 2 13 2 1 aaacare are soluii nebanale dac determinantul su este nul:) 6 ( 32 1 31 3 23 2 1+ =+++aaaa.Decipentrua=6vectoriidaisuntliniardependeni. Pentru a afla relaia de dependen liniar se nlocuiete cu a= 6 nsistemul de mai sus: = += += +. 0 4 3, 0 5 3 2, 0 3 23 2 13 2 13 2 1 Seexprim1,2nfunciede3dinprimeledou ecuaii:1 = 3; 2 = 3; 3 0.nlocuind n combinaia liniar i simplificnd cu 3 se obine relaia de dependen liniar:x + y + z = 0. Stabilete care dintre urmtoarele mulimi de vectori sunt liniar dependente: i)S1 = {x1 = (3, 1, 5), x2 = (6, 2, 15)}. ii) S2 = {x1 = (1, 2, 3), x2 = (2, 5, 7), x3 = (3, 7, 10)}.R: ii) S ne reamintim O submulime S a unuiK - spaiu vectorial V se numete liniarindependent dac pentru orice combinaie liniar (de vectori din S cu scalari dinK) nul, rezult scalarii nuli. n caz contrar, submulimea S se numete liniar dependent. I I. .1 1. .5 5. . B Ba az z . . D Di im me en ns si iu un ne e Fie V unK-spaiu vectorial iB = {xi}i I V o familie de vectori din V. Definiia 5.MulimeaBse numete baz a spaiului V dac este o familie liniar independent i dac este un sistem de generatori pentru V. Teorema 2.(deexisten)FieV{0}unK-spaiuvectorialfinitgenerat.Dinoricesistemde generatori finit al lui V se poate construi o baz a sa. 10 Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.8-9. Teorema 3. Fie V unK-spaiu vectorial finit generat.Atunci:1.(teoremacompletrii)Oricemulimeliniarindependentdintr-unsistemde generatori poate fi completat cu vectori din sistemul de generatori pn la o baz a lui V. 2. (lema schimbului) Dac S este un sistem de generatori al lui V i {y1, , yr} este o mulime liniar independent de vectori din V, atunci: i) r m i ii){y1,,yr,xr+1,,xm}esteunsistemdegeneratoripentruV(dupoeventual renumerotare a vectorilor x1, , xm). Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.9-10. Teorema4. Fie V {0} unK-spaiu vectorial finit generat. Toate bazele lui V sunt finite i au acelai numr de elemente. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.10. Aceast teorem permite: Definiia 6. SenumetedimensiuneaunuispaiuvectorialfinitgeneratV,numruldevectori dintr-obazalui,notat:dimV.Spaiulnul:{0}aredimensiuneazero.Unspaiuvectorialde dimensiune finit se numete: spaiu vectorial finit dimensional. Observaia 2. 1. Dac exist o baz a spaiului cu o infinitate de vectori, atunci dimensiunea este i spaiul se numete infinit dimensional. 2. Spaiile vectoriale finit dimensionale, de dimensiune n se mai noteaz Vn. Exemple 4 1. Fie nKspaiul vectorial aritmetic. Vectorii e1 = (1, 0, 0, ..., 0),e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, 0, 0, ..., 1), determin o bazB= {e1, e2, , en}. Pentru a demonstra cBeste o mulime liniar independent relaia 1e1+ 2e2 + ... + nen= 0 este echivalent cu 1 = 2 = ... = n = 0. Pe de alt parte oricare ar fi x nK , rezult x = (x1, x2, , xn) = x1e1 + x 2e 2 + ... + xnen, deciBgenereaz pe V. 2. Spaiul vectorialKn [X] al tuturor polinoamelor de grad n are dimensiunea n+1, o baz fiindB= {1, X1, X2, , Xn}, numit baz canonic dinKn [X]. Se observ c mulimeaBeste liniar independent: adic din 0 + 1X1 + 2X2 + ... + + nXn = 0 se obine 0 = 1 = 2 = ... = n = 0i orice polinom de grad n este o combinaie liniar finit de elemente dinB . 3.Spaiul vectorial) (n mKMal matricelor dreptunghiulare are dimensiunea m n. ObazestemulimeaB ={Eij,1im,1jn},Eijfiindmatriceacareare elementul 1 la intersecia liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind nule. Teorema 5. Fie V unK-spaiu vectorial n-dimensional. AtunciB= {e1, e2, , en} este o baz a sa dac i numai dac oricare ar fi x V,, e x xn1 ii i = =cu xi K unici. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.11. Definiia 7. Scalarii xi din = =nii ie x x1 se numesc coordonatele vectorului xn bazaB . nspaiulvectorial 3R seconsiderurmtoarele sistemedevectori:B ={e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 0), e3 = (1, 2, 3)},B = {e1 = (1, 3, 3), e2 = (2, 2, 3), e3 = (6, 7, 9)}.Arat c mulimileBiB sunt baze. R:BiB sunt liniar independente i au cte 3 elemente. 11 S ne reamintim O submulimeBa unuiK - spaiu vectorial V se numete baz pentru V, dac este liniar independent i genereaz pe V. Se numete dimensiune a unui spaiu vectorial finit generat V, numrul de vectori dintr-o baz a lui, notaie: dim V. I I. .1 1. .6 6. . S Sc ch hi im mb ba ar re ea a b ba az ze ei i Fie V unK-spaiu vectorial n-dimensional, iarB= {e1, e2, , en} iB = {e1, e2, , en}doubazealeluiV.AtuncipentruoricexV,seobine = =nii ie x x1,undexiKsunt coordonateleluixnbazaB i = =njj je x x1' ' ,unde xjKsuntcoordonateleluixnbaza B (xi,xjsuntunicecf.teoremei5).nplus,sepotexprimavectoriiej,n j , 1 = nbazaB , adic:, '1= =nii ij je s e n j , 1 =unde sij - K unici. Definiia 8.Matricea S = (sij) ) (n K M , unic determinat, ce are ca elemente, puse pe coloane, coordonatele sij din egalitile, '1= =nii ij je s e n j , 1 = , se numete matricea de trecere de la baza Bla bazaB ', iar egalitile, '1= =nii ij je s e n j , 1 =se numesc relaii de trecere. Observaia 3.Cum det S 0 (altfel ar rezulta c vectorii ej sunt liniar dependeni (absurd)) rezult c matricea de trecere este nesingular i deci are inversa: S1. Mai departe folosind relaiile de trecere se obine:= ==nii ie x x1= =nji ie x1' ' =|||

\| = =njnii ij je s x1 1' = =|||

\|niinjj ijx s1 1e 'i cum scrierea ntr-o baz este unic, rezult: = =njj ij ix s x1' , n i , 1 = . Aceste egaliti exprim legea de schimbare a coordonatelor unui vector la schimbarea bazelor. Observaia 4. Prin convenie se noteaz:) (x...xxX1n21K||||||

\|=nM ,) (x'...x'x'X'1n21K||||||

\|=nM , ) (...... ... ......11 11Knnn nns ss sS M ||||

\|= , ) (e...eeB1n21K||||||

\|=nM i ) (e'...e'e'B'1n21K||||||

\|=nM . Atunci relaiile de trecere se exprim n forma matriceal:B =ST B, 12 undeST este transpusa matricei S, de trecere de la bazaBla bazaB , iar legea de schimbare a coordonatelor unui vector la schimbarea bazelorse exprim n forma matriceal: X = S X. S-a obinut astfel: Teorema6. FieVun- K spaiuvectorial,dimKV=n 0, oricare ar fi x V, x 0,0= 0. 2.x =x , pentru orice Ri x V. 3.y x+x+y , oricare ar fi x, y V (inegalitatea triunghiului). Norma din aceast teorem se numete norm euclidian. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.20. Observaia 10. Primele dou proprieti ale normei asigur c orice element x din V poate fi scris nformax=x e,undee =1.Vectorulecuproprietateae =1senumeteversor. Evident, versorul asociat unui vector nenul este:xxe =1. Observaia11.PesubmulimeaV-{0},inegalitatealuiCauchy-Schwarz,y x y x , ,se transcrie:1,1 y xy x. Aceast observaie justific urmtoarea definiie: Definiia18.1.Fie(V,)unspaiuvectorialeuclidianix,ydoivectorinenulidinV. Numrul [0, ] definit de: y xy x=,cos , se numete unghiul vectorilor x i y. 2. Un spaiu vectorial dotat cu o norm se numete spaiu vectorial normat.3. Unspaiuvectorialnormatncarenormaprovinedintr-unprodusscalarsenumete spaiu prehilbertian. n spaiul 0] e , 1 [Cal funciilor continue pe intervalul [1, e] arat c= g f , =edx x g x f x1) ( ) ( ) (lneste un produs scalar.R: Verific axiomele din definiia produsului scalar . S ne reamintim Se numte produs scalar pe un spaiu vectoral V, o aplicaie< , > : V V K, ce verific patru axiome : UnK- spaiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar se numete spaiu vectorial euclidian cnd R K=i spaiu vectorial unitar cndC K= . 17 I.1.9. Ortogonalitate ntr-un spaiu vectorial euclidian Ortogonalitateaesteunadintrecelemaiimportanterelaiintrevectoriiunuispaiu vectorial euclidian. Definiia19.Fie(V,)unspaiueuclidian.DoivectoridinVsenumescortogonali,dac produsullorscalarestenul.OsubmulimeSVsenumeteortogonal,dacvectorii si sunt ortogonalidoictedoi,adic0 , = y x ,oricarearfix,yS,xy.Omulimeortogonalse numete ortonormat, dac fiecare element al su este de lungime (norm) egal cu unitatea. Propoziia 4. Fie (V, ) un spaiu euclidian, dim V = n. 1. Orice mulime ortogonal din V, format din elemente nenule este liniar independent. 2. Orice mulime ortogonal din V, care conine n elemente nenule este o baz a lui V. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.22. Pentru studiul spaiilor vectoriale euclidiene se utilizeaz baze ortonormate.Conform definiiei 19, bazaB= {e1, e2, , en} V este ortonormat dac: == =. , 0, , 1,j i dacj i dace eij j iSimbolul ij se numete simbolul lui Kronecker. Teorema 14.(procedeul de ortonormare Gram-Schmidt)Fie (V,) un spaiu euclidian iS = {v1, , vp} V o mulime de vectori liniar independeni. ExistomulimeortonormatS={e1,,ep}Vdevectoriastfelnct[S]=[S].DacS formeaz o baz n V, atunci S este o baz ortonormat. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.23. Definiia20.DousubspaiivectorialeU,WVsenumescortogonale(UW)dacpentru orice x U i pentru orice y W, rezult0 , = y x(adic orice vector al lui U este ortogonal pe orice vector al lui W). Dac n plus, U W = V, atunci W se numete complement ortogonal al lui U i se noteaz: W = U . Observaia 12. Dou subspaii ortogonale au n comun doar vectorul 0, sau sunt disjuncte. Definiia21.Oaplicaiebijectivh:UVntredouspaiieuclidiene(U,g)i(V,g)se numete izomorfism dac: 1.Oricare ar fi , Ri pentru orice x, y U are loch(x + y) = = h(x) + h(y). 2.Oricare ar fi x, y Rare loc g(x, y) = g(h(x), h(y)). Teorema 15. Toate spaiile euclidiene, finit dimensionale sunt izomorfe ntre ele. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.24. S ne reamintim Doi vectori dintr-un spaiu vectorial euclidian se numesc ortogonali, dac produsul lor scalar este nul. O submulime a unui spaiu vectorial euclidian se numete ortogonal, dac vectorii si sunt ortogonali doi cte doi i ortonormat, dac este ortogonal i fiecare element al su are lungimea egal cu unitatea.

I.1.10. Rezumat n cadrul acestei uniti de nvare se prezint noiunile de:K-spaiu vectorial, una dintre cele mai importante structuri algebrice, utilizate att n diferitele ramuri ale matematicii ct i n disciplinele aplicate i de subspaiu vectorial al acestuia cu exemplificri, precum i operaii cu subspaii ale unuiK-spaiu vectorial. Se definesc 18 noiunile de liniar independen i liniar dependen a unui sistem de vectori. Submulimile de vectori liniari independeni i liniar dependeni permit definirea noiunilor de baz i de dimensiune ale unuiK-spaiu vectorial. Se prezint de asemenea spaiile vectoriale pe care s-a definit un produs scalar, ceea ce permite concretizarea noiunilor de lungime a unui vector, unghi a doi vectori, ortogonalitate. I I. .1 1. .1 11 1. . Test de autoevaluare a cunotinelor 1. Continu definiia : FieV unK-spaiu vectorial i S = {xi}iI V o familie de vectori din V. Mulimea S se numete familie (mulime) liniar independent dac 2. Definete noiunile de baz i dimensiune ntr-un K spaiu vectorial. 3.Continudefiniia:SubmulimeaV`senumetesubspaiuvectorialalKspaiului vectorial V dac 4.Continudefiniiile:i)FieVunspaiuvectorialcomplex( C-spaiuvectorial). Se numete produs scalar pe V, o aplicaieii) Se numete lungimea (sau norma) unui vector x V n spaiul euclidian (V, ) 5.i)EnuninegalitatealuiCauchy-Schwarz.ii)Definetenoiunilede:vectori ortogonali, mulime ortogonal i mulime ortonormat. 6.Stabilete care dintre urmtoarele mulimi de vectori sunt liniar independente: i) S1 = {x1 = (8, 1, 0), x2 = (6, 5, 1)}. ii) S2 = {x1 = (- 1, 5, 3), x2 = (- 2, -5, 7), x3 = (1, 2, 10)}. 7. Studiazcaredintreurmtoarelesubmulimidinspaiularitmetic 3R formeaz subspaii vectoriale: i)S1 = {x = (x1, x2,, x3) 3R | x1 + x2 + x3 = 5}, ii) S2 = { x = (x1, x2,, x3) 3R | x1 = 0}. 8.Fie [U] subspaiul generat de sistemul de vectori U = {(2, 3, 11, 5), (1,1, 5, 2), (0, 1, 1, 1)} i [V]subspaiulgeneratdesistemuldevectoriV={(2,1,3,2), (1,1,3,4),(5,2,6,2)},[U],[V] 4R .Demonstreazcacestesubspaii generate sunt suplimentare. Verific teorema lui Grassmann. 9.Fie] X [nrspaiul vectorial real al polinoamelor de grad n i fie 1Pmulimea polinoamelor pare (p(X) = p(X)) i 2Pmulimea polinoamelor impare (p(X) = p(X)). Arat c: i) 1Pi 2Psunt subspaii vectoriale ale lui] X [nr ,ii)] X [nr= 1P 2P . I I. .1 1. .1 12 2. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e 1 1. . R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ia a 4 4. . 2 2. . R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ii il le e 5 5. . i i 6 6. . 3 3. .R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ia a 9 9. . 4 4. . i i) ) R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ia a 1 15 5. . i ii i) ) R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ia a 1 17 7. . 5 5. . i i) ) R Re ev ve ez zi it te eo or re em ma a 1 12 2. .i ii i) ) R Re ev ve ez zi i d de ef fi in ni i i ia a 1 19 9. . 6 6. . i i) ) i i i ii i) ). .7 7. . i ii i) ). . 8 8. .R Re ev ve ez zi id de ef fi in ni i i ii il le e1 11 1- -3 3 i i1 14 4. .9.i)Verificcondiiiledinteorema7(de caracterizareaunuisubspaiuvectorial).ii)Revezidefiniia11iteorema10 (recitete i Exemple 7, aplicaia 2 a paragrafului I.1.7. 19 Unitatea de nvare I.2. Transformri liniare Cuprins I.2.1.Introducere..................................................................................................................... 19 I.2.2.Competene.................................................................................................................... 19I I. .2 2. .3 3. .Noiunea de transformare liniar................................................................................... 19 I I. .2 2. .4 4. .Transformri liniare pe spaii vectoriale finit dimensionale.......................................... 22 I I. .2 2. .5 5. .Transformri liniare pe spaii vectoriale unitare (euclidiene) ....................................... 24 I.2.6.Rezumat......................................................................................................................... 26 I.2.7. Test de autoevaluare....................................................................................................... 26 I I. .2 2. .8 8. . R R s sp pu un ns su ur ri i i i c co om me en nt ta ar ri ii i l la a t te es st tu ul l d de e a au ut to oe ev va al lu ua ar re e . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 2 26 6 I.2.1. Introducere n studiul spaiilor vectoriale, un rol important este jucatde transformrile liniare. Un rol aparte este jucat de transformrile liniare bijective, numite izomorfisme de spaiivectoriale.Cuajutorulacestoradinurmsepunnevidenanumitespaii vectoriale, al cror studiu prezint o importan deosebit n cadrul studiului algebrei liniare,elefiindizomorfecuoclasntreagdespaiivectoriale.Unastfelde exempluestespaiuvectorialaritmetic nr ,careesteizomorfcuorice- r spaiu vectorial n-dimensional. I.2.2. Competeneleunitii de nvare: Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil: sdefineascisexemplificenoiuniledetransformareliniar,formliniar, transformarep-liniar,endomorfism,monomorfism,epimorfism,automorfism, izomorfism; s decid cnd o aplicaie dat ntre dou spaii vectoriale este o transformare liniar; sdefineascisexemplificenoiuniledesubspaiuimagine,nucleuirespectiv contraimagine i s le aplice n exerciii; sdefineasc,sdetermineisexemplificenoiunilederangidefectalunei transformri liniare; s determine matricea asociat unei transformri liniaren raport cu o pereche de bazeconsiderate,precumitransformarealiniarcorespunztoareacesteia,nanumite ipoteze; s defineasc noiunile de adjunct, respectiv transpus a unei transformri liniare, peceledeendomorfismhermitian,respectivsimetriciantihermitian,respectiv antisimetric,precumipeceledeoperatorunitar,respectivortogonal,translaiei izometrie. Durata medie de parcurgere a acestei uniti de nvare este de 2 ore. I I. .2 2. .3 3. . N No o i iu un ne ea a d de e t tr ra an ns sf fo or rm ma ar re e l li in ni ia ar r Definiia1.FieV1iV2dou- K spaiivectoriale.Senumetetransformareliniar(operator liniar) de la V1 la V2 orice aplicaie T : V1 V2 cu proprietile: 1.Oricare ar fi x, y V1, s rezulte T(x + y) = T(x) + T(y), (proprietatea de aditivitate). 2.Pentru orice K i oricare ar fi x V1, s rezulte T( x) = T(x), (proprietatea de omogenitate). 20 Condiiile 1 i 2 sunt echivalente cu condiia: 3.Oricare ar fi , K i pentru orice x, y V1, T( x + y) = T(x)+ T(y). Observaia1.Operaiile din spaiile vectoriale V1 i V2 au fost notate la fel, subnelegndu-se n care din cele dou spaii acioneaz. Observaia2.DacnparticularV2=KatuncitransformarealiniarTsenumeteform liniar pe V1. Exemple 1 1. FieK[X]-spaiul vectorial al polinoamelor n nedeterminata X cu coeficieni din corpul comutativK. Aplicaia de derivare D :K[X] K[X] este o transformare liniar, numit operator de derivare. 2. Fie 0] , [ b aC -spaiul vectorial al funciilor reale, continue pe [a, b]. Aplicaia T : 0] , [ b aCR , =badx x f f T ) ( ) ( , oricare ar fi f 0] , [ b aC , este o transformare liniar. Se noteaz: HomK(V1, V2) = {T : V1 V2 | T - transformare liniar} sauL LL L K KK K(V1, V2) i se citete:mulimeatransformrilorliniaredelaV1laV2.ncazulcndV1=V2=V, transformarealiniarT:VVsenumeteendomorfismiL LL L K KK K(V)estemulimea endomorfismelor pe V. Definiia 2.Se numete transformare p-liniar de la V1 n V2, o aplicaieT : 2 1 1 1V'-ori p' " deV ... V V 4 4 3 4 4 2 1 liniar n fiecare argument. n cazul p = 1 se obine definiia 1. n continuare se va discuta numai cazul transformrilor liniare.

Propoziia 1.MulimeaL K(V1, V2) are o structur natural de- K spaiu vectorial n raport cu operaiile:oricare ar fi T1, T2 L K(V1, V2), T1 + T2 : V1 V2, (T1 + T2) (x) = T1(x) + T2(x), pentru orice x V1. Oricare ar fi K i pentru orice T L K(V1, V2), T : V1 V2, ( T) (x) = T(x), pentru orice x V1. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.38.Definiia 3.1. T L K(V1, V2) injectiv, se numete monomorfism. 2. T L K(V1, V2) surjectiv, se numete epimorfism. 3.TL K(V1,V2)monomorfismiepimorfism(adicotransformareliniaribijectiv)se numete izomorfism de spaii vectoriale. Spaiile vectoriale V1 i V2 n acest caz se numesc spaii vectoriale izomorfe. 4.T L K(V) bijectiv, se numete automorfism. Propoziia2.1.DacT:V1V2esteunizomorfism,atunciT1:V2V1estedeasemenea izomorfism. 2. Dac T1 : V1 V2 i T2 : V2 V3 sunt izomorfisme, atunci T2o T1 : V1 V3 este tot izomorfism(T2o T1:V1V3,(T2o T1)(x)=T2(T1(x)),pentruoricexV1isenumete compunerea transformrilor liniare T1 i T2). Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.38-39. Teorema 1. n raport cu operaiile de adunare i compunere a transformrilor liniare, mulimea L K(V) are o structur de inel. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.39. Observaia 3.Mulimea izomorfismelor dinL K(V) are o structur de grup fa de compunerea transformrilor. Teorema 2. Dac T : V1 V2 este o transformare liniar, atunci: 21 1. T(0) = 0. 2. T(x) = T(x), oricare ar fi x V1. 3. Dac V1 este un subspaiu al lui V1, atunci: { } v x T V x exist V v V T = = ) ( , ' ) ' (1 2 1 este subspaiu n V2. 4. Dac V2 este un subspaiu n V2, atunci imaginea invers: { }2 1 21' ) ( ) ' ( V x T V x V T = este subspaiu n V1. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.39-40.Consecina1.1. T(V1) este un subspaiu n V2, notat: Im T. 2. T1(0) este un subspaiu n V1, notat: Ker T. 3. T1(V2) este un subspaiu n V1. Definiia 4. Subspaiile Im T, Ker T,T1(V2) senumesc subspaiu imagine, nucleu i respectiv contraimagine. Definiia5.dim(ImT)senumeterangulluiT i se noteaz: rang T. dim(Ker T)se numete defectul lui T i se noteaz: def T. Propoziia 3.Fie T : V1 V2 o transformare liniar. Atunci: 1. T este injectiv, dac i numai dac Ker T = {0}. 2. T este surjectiv, dac i numai dac Im T = V2. Demonstraie: Rezult direct din definiia injectivitii i surjectivitii unei transformri liniare. Propoziia 4.Dac T : V1 V2 este o transformare liniar injectiv i {x1, x2, , xn} V1 este o mulime liniar independent de vectori din V1, atunci {T(x1), T(x2), , T(xn)} este o mulime liniar independent de vectori din V2. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41.Teorema 3.Fie V i W douK-spaii vectoriale. FieB= {e1, e2, , en} o baz a lui V, iar f1, f2, , fn, n - vectori arbitrari din W.1.Exist o transformare liniar unic T : V W care satisfaceT(ei) = fi,n i , 1 = . 2.Dacf1,f2,,fnsuntliniarindependeni,atuncitransformarealiniarTdeterminat de condiiile T(ei) = fi,n i , 1 =este injectiv. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41.Teorema 4. Fie T L K(V) o transformare liniar n spaiul vectorial V, dim V = n. Atunci are loc:dim V = rang T + def T. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.41-42. Exemple 2 S se demonstreze c aplicaia T : 2R 3Rdefinit prin: T((x1, x2)) = (x1, x2, x1 + x2), este o transformare liniar. Soluie:T((x1, x2) + (y1, y2)) = T((x1 + y1, x2 + y2)) = (x1 + y1, x2 + y2, x1 + y1 + x2 + y2) = (x1, x2, x1 + x2) + (y1, y2, y1 + y2) = T((x1, x2)) + T((y1, y2)),oricare ar fi (x1, x2), (y1, y2) 2R . Analog: T((x1, x2)) = T((x1, x2)) = (x1, x2, x1 + x2) = (x1, x2, x1 + x2) = T((x1, x2)), oricare ar fi Ri pentru orice (x1, x2) 2R . Verific dintre urmtoarele aplicaii care sunt transformri liniare: i) T : 3R 3R , T(x) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1), unde x = (x1, x2, x3). 3R . ii)T : 3R 4R , T(x) = (x1 + x2, 0, x1 + x2 + x3, x4). iii)T : 3R 3R , T(x) = (x1, x1 + x2, x2 x3). R: i) i ii). 22 S ne reamintim Fie 1V i 2Vdouk- spaii vectoriale. Se numete transformare liniar de la 1V la 2V orice aplicaie2 1: V V T cu proprietatea: 1V y x, , , R ( ) ). ( ) ( y T x T y x T + = + Dac n plus T este bijectiv, atunci ea se numete izomorfism. Dac 1V =2V , atunci T se numete endomorfism. { } { } 0 ) ( | ) 0 ( ; ) ( , exist |111 2= = = = =x T V x T v x T V x V v T Ker ImT . I I. .2 2. .4 4. . T Tr ra an ns sf fo or rm m r ri i l li in ni ia ar re e p pe e s sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e f fi in ni it t d di im me en ns si io on na al le e Fie V i W dou- K spaii vectoriale, dim V = n, dim W = m i T : V W o transformare liniar. Teorema 5.DacB= {e1, e2, , en} este o baz a lui V, iarB = {f1, f2, , fm}este o baz a luiW,atunciexistomatriceinumaiunaA=(aij)detipulmnastfelnct = =mii ij jf a e T1) ( .nplus,dac = =njj je x x1areimaginea, ) (1= =mii if y x T atunci = =njj ij ix a y1,m i , 1 = . Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.42.Dac se noteaz: ||||||

\|=n21x...xxX , ||||||

\|=m21y...yyYse obine scrierea matriceal: Y = AX a lui T. Definiia 6. A, se numete matricea asociat transformrii liniare T n raport cu perechea de baze considerate. ncontinuareseconsidercazulparticularaltransformrilorliniareTL K(V),dim V = n. Teorema 6.DacA=(aij)iA=(aij)suntmatriceletransformriiliniareTnbazeleBrespectivB i S este matricea trecerii de la bazaBlaB n V, atunci:A = S1 A S. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.43. Consecina 2.RangulmatriceiasociateuneitransformriliniareTntr-obaznVeste invariant la schimbri de baze. Definiia 7. MatriceleA,B) (n nKM senumescasemeneadacexistomatricenesingu-lar S ) (n nKM , astfel nct B = S1 A S. Observaia4.1.Asemnareamatriceloresteorelaiedeechivalenpespaiulvectorial ) (n nKM . Fiecare clas de echivalen corespunde unui endomorfism T al lui V i conine toate matricele asociate endomorfismului T relativ la bazele spaiului vectorial V. 2. Matricele asemenea au urmtoarele proprieti: -Deoarece S este nesingular, matricele B = S1 A S i A au acelai rang; acest numr se mai numete rangul endomorfismului T i este asociat clasei de asemnare a matricei A. -Deoarece:detB=det(S1)det(A)det(S)=det(A),toatematriceleuneiclasede echivalenauacelaideterminant.Astfel,sepoatedefinideterminantulunuiendomorfismal spaiului V, ca fiind determinantul matricei asociate endomorfismului relativ la o baz dat. Exemple 3 1. Se consider T : 3R 3R , astfel nct T(e1) = (1, 1, 1), T(e2) = (0, 1, 0), T(e3) = 23 =(0, 1, 0), undeB= {e1, e2, e3} este baza canonic din 3R . i) S se calculeze T(u), unde u = (1, 2, 3). ii) S se determine KerT i ImT. Soluie:i)MatricealuiTnbazaB este: ||||

\|=0 0 11 1 10 0 1A . Din relaia: Y=AX se obine: ||||

\|+ + =||||

\|||||

\|=13 2 113210 0 11 1 10 0 1xx x xxxxxY , adic:T(x) = (x1, x1 + x2 + x3, x1), deci T(u) = (1, 6, 1). ii)KerT={x 3R |T(x)=0},deunderezult: == + +=, 0, 0, 013 2 11xx x xxsistemliniar omogen, simplu nedeterminat, cu soluia x1 = 0, x2 = , x3 = , adic KerT = {(0, , ) | R }.Din definiie, ImT = {y 3R| T(x) = y}, deci: == + +=,,,3 12 3 2 11 1y xy x x xy x unde y = (y1, y2, y3). Se noteaz y1 = y3 = m i y2 = n astfel nct: ImT = {(m, n, m) | m, n R }. 2.SsedeterminerangulidefectultransformriiliniareT: 3R 3R definit prin: T(x) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3),x = (x1, x2, x3) 3R , explicitnd cte o baz n KerT i ImT. Soluie: Conform definiiei, KerT este mulimea vectorilor x = (x1, x2, x3) 3Rpentru care T(x) = 0, deci:(x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3) = (0, 0, 0). Se obine sistemul:= + += + += + +, 0, 0, 03 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x dublu nedeterminant i care are soluia (x1, x2, x1x2).n concluzie orice vector x KerT are forma:x = (x1, x2, x1x2) = x1(1, 0,1)+x2(0,1,1).Vectoriie1=(1,0,1)ie2=(0,1,1)suntliniari independeni, de aceea {e1, e2} este o baz pentru KerT i dim KerT = 2. Se obine c def T = 2. Avnd n vedere definiia subspaiului ImT i definiia lui T rezult c oricevectordinImTaretoatecomponenteleegale.Decioricaredoivectoridin aceastmulimesuntliniaridependeni.DacxImTatuncixsepoateexprima funcie de vectorul f = (1, 1, 1). O baz n ImT este format de acest vector, rezult c rang T = 1. Determin transformarea liniar T : 3R 3Rastfel nct T(vi) = ui, i =3 , 1 , unde v1 = =(2, 3, 5), v2 = (0, 1, 2), v3 = (1, 0, 0) i respectiv u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, -1), u3 = (2, 1, 2).R: T(x) = (2x1 -11x2 +6 x3 ,x1 - 7x2+ 4x3 , 2x1 - x2) , unde x = (x1, x2, x3). 24 S ne reamintim Matricea asociat transformrii liniare T, ( W V T : ) n raport cu perechea de baze considerate, are coloanele alctuite din coordonatele vectorilor ),... ( ), (2 1e T e T ) ( ,ne Tn raport cu baza W. Scrierea matriceal a lui T:. X A Y = I I. .2 2. .5 5. . T Tr ra an ns sf fo or rm m r ri i l li in ni ia ar re e p pe e s sp pa a i ii i v ve ec ct to or ri ia al le e u un ni it ta ar re e ( (e eu uc cl li id di ie en ne e) ) Definiia 8. Fie V, W dou spaii vectoriale unitare (n particular euclidiene) cu produsul scalar, care s-a notat la fel: < , > i fie T L K(V, W). 1. Transformarea liniar T* : W V definit prin relaia: y x T y T x ), ( ) ( ,*= , oricare ar fi x W i pentru orice y Vse numete adjuncta (respectiv: transpusa) transformrii liniare T. 2. Un endomorfismT L K(V) se numete hermitian (respectiv: simetric) dac T* = T. 3. UnendomorfismT L K(V)senumeteantihermitian(respectiv: antisimetric) dac T = T*. Teorema 7.Fie(V,)unspaiuvectorialunitar,dimV=n.EndomorfismulTL K(V)estehermitian dac i numai dac produsul scalar) ( , x T xeste real oricare ar fi x V. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.44.Teorema 8.Fie (V, ) un spaiu vectorial unitar, dim V = n, T L K(V) i T* L K(V) adjuncta sa.Dac matricea lui T ntr-o baz ortonormatBeste A, atunci matricea lui T* n bazaBeste A* = AT, matricea adjunct a lui A (elementele lui A* se obin prin transpunerea conjugatelor complexe ale elementelor din A). Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.45. Teorema 9. Fie (V,) un spaiu vectorial unitar. Fie *1T , *2Tadjunctele transformrilor liniare T1, T2. Atunci: 1. (T1 + T2)* = *1T+ *2T . 2. (T1oT2)* = *2T o*1T . 3. (T*)* = T. 4. (T)* = T*,pentru orice K. 5. (1V)* = 1V, (0)* = 0. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.45-46.Definiia 9. Fie(V,)unspaiuvectorialunitar(saueuclidian,nparticular),dimV=n.Un endomorfismT:VVsenumeteoperatorunitar(respectivortogonal),dactransformorice baz ortonormat ntr-o baz ortonormat, n spaiul V complex (respectiv real). Definiia 10. O matrice A = (aij) ) (n R Mse numete matrice ortogonal dac este inversa-bil i A1 = AT. Teorema 10. Fie (V, ) un spaiu vectorial euclidian, dimV = n. Dac T :VV este un endomorfism, atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1.T este operator ortogonal. 2.T pstreaz produsele scalare. 3.Matricea A n orice baz ortonormatB V are proprietateaAT = A1. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.46-47. Consecina3.Din condiia 2 rezult c un operator ortogonal pstreaz distanele i unghiurile. Propoziia 5.Dac A ) (n R Meste o matrice ortogonal, atunci det A = 1. 25 Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.47. Definiia 11.O matrice ortogonal A ) (n R M , cu det A = +1 se numete matrice de rotaie n nR . Definiia12.Mulimea matricelor ortogonale este un subgrup al grupului GL(n,R ) numitgrupul ortogonalinotatO(n),iarmulimeamatricelorderotaieesteunsubgrupalluiO(n)numit grupul special ortogonal, notat: SO(n). Observaia6.Existialtetransformri(aplicaii)pespaiieuclidiene,nafaratransformrilor ortogonale,cepstreazdistanaeuclidian:translaiaiizometria,caresevordefinin continuare. Definiia 13. FieVunspaiuvectorialeuclidian.FunciaV V : T definitprinT(x)=x+a, oricare ar fi x V i a V, a fixat se numete translaie de vector a. Observaia7.ntruct T (x + y) = x + y + a i T (x) + T (y) = x + y + 2a rezultT (x + y) T (x)+ + T (y) n cazul a 0, deci translaia de vector a 0 nu este un operator liniar. Propoziia6.1.DacT 1esteotranslaiedevectora1,iarT2esteotranslaiedevectora2, atunci T 1oT 2 = T 2oT 1 este tot o translaie de vector a1 + a2. 2. Dac Teste o translaie de vector a, atunci T 1 exist i este translaia de vector (a). 3. Orice translaie pstreaz distana euclidian. Pentru demonstraie a se consulta [43]-pag.48. Consecina4.CompunereadefinetepemulimeatuturortranslaiilorluiVostructurdegrup comutativ, numit grupul translaiilor, care este izomorf cu grupul aditiv comutativ V. Definiia 14.Ofuncief:VV,surjectivicarepstreazdistanaeuclidiansenumete izometrie. Observaia8.1.Dacsearenvederedefiniia,transformrileortogonaleitranslaiilesunt izometrI.2. Dac f1, f2 : V V sunt izometrii atunci i compunerea lor este tot o izometrie. Teorema 11.Fie