REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ

REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ

ALEXANDRU ISAR IOAN NAFORNIŢĂ

Editura "Politehnica"

Prefaţã

Autorii lucrãrii sunt bine cunoscuţi ca specialişti în domeniul prelucrãriisemnalelor, atât analogice cât şi numerice, având preocupãri de duratã referitoare lanoile reprezentãri timp-frecvenţã de tip “wavelet”. De fapt, aceste reprezentãri auconstituit şi obiectul unor seminarii la care autorii au prezentat rezultate personale,unele dintre acestea fiind comunicate la manifestãri ştiinţifice internaţionale. O carteasemãnãtoare nu a mai apãrut la noi în ţarã şi chiar în lume sunt doar câteva (3-4).Faţã de acestea se remarcã prin nivel, prin viziune unitarã şi prin rigurozitate. Se poateafirma cã lucrarea de faţã este o monografie întocmitã pe baza unei foarte vastebibliografii, formatã cu precãdere din articole şi cã ea reprezintã o sintezã originalã devaloare. Lucrarea este rezultatul unui efort îndelungat şi susţinut. Cartea se adreseazãunui cerc de cititori cu o pregãtire prealabilã temeinicã în teoria semnalelor, care au obunã bazã matematicã. Lucrarea are nouã capitole şi conţine peste patru sute de pagini.Bibliografia citatã numãrã o sutã patruzeci şi opt de titluri, printre care şi articole aleautorilor. O analizã mai atentã a conţinutului lucrãrii scoate în evidenţã faptul cãproblemele legate de transformãri de tip “wavelet” ocupã majoritatea volumului şicã de fapt cartea este destinatã, în fond acestora, încadrându-le însãîntr-un context mai general, firesc de altfel, al transformãrilor timp-frecvenţã.Consider cã aceastã opţiune a autorilor este corectã, cel puţin din douã motive. Primulîl constituie noutatea, faptul cã transformarea “wavelet” este mai recentã şi sunt puţinecãrţi care sã o trateze în toatã complexitatea sa. Cel de al doilea motiv este importanţaaplicaţiilor. Dacã, probabil, transformarea de tip “wavelet” a apãrut şi s-a aplicat înexplorãri seismice, pentru detectarea zãcãmintelor petrolifere, acum cercul aplicaţiiloracestei transformãri se lãrgeşte continuu. Sigur, se putea scrie o carte separatã despreaceste transformãri, dar ideea autorilor de a trata unitar reprezentãrile timp-frecvenţãmi se pare fericitã. Mereu avem nevoie de sinteze şi generalizãri. Fãrã ele acumulãrileştiinţei se pierd.

În capitolul introductiv autorii cautã sã explice cât mai simplu sensul noţiuniide reprezentare timp-frecvenţã a unui semnal. Cititorul este obişnuit cu reprezentãrilesemnalelor, separat în domeniul timp şi separat în domeniul frecvenţã (transformãrileFourier). În cazul semnalelor nestaţionare spectrul se modificã în timp. De aici aparenecesitatea reprezentãrii timp-frecvenţã. Un prim demers spre generalizare este fãcutde autori în chiar primul capitol, unde se prezintã proprietãţile dorite pentru acestereprezentãri, indiferent de tipul lor. În capitolele urmãtoare se va reveni frecventasupra acestor proprietãţi, atunci când se vor prezenta diferitele transformãri uzuale.

Capitolul al doilea se referã la reprezentarea timp-frecvenţã de tipultransformare Fourier scurtã, folosind la început o fereastrã rectangularã care sedeplaseazã de-a lungul axei timpului, permiţând în acest fel explorarea întreguluisemnal şi determinarea spectrului corespunzãtor poziţiei ferestrei. Deşi atrãgãtoareprin simplitatea sa, aceastã transformare are multe inconveniente, care au determinatapariţia altor tipuri de ferestre care au în vedere nu atât trunchierea semnalului câtmodificarea sa, în sensul accentuãrii pãrţii centrale şi reducerii pãrţilor laterale.Se obţin astfel proprietãţi mai avantajoase. Proprietãţile fiecãrei ferestre sunt bineevidenţiate în lucrare.

În capitolul trei se continuã prezentarea transformãrilor introducându-se unnou tip de fereastrã, dependentã de semnal şi care este chiar semnalul de analizat.Într-un anumit sens este vorba despre o transformare adaptivã, care prezintãnumeroase avantaje. Se subliniazã legãtura acesteia cu transformarea Fourier scurtã.

Şi transformarea Wigner-Ville, care formeazã obiectul capitolului patru poatefi redusã la transformãri prezentate anterior. Se evidenţiazã continuitatea logicã adiferitelor capitole, fapt care va fi exploatat în capitolul şase în care autorii expun ogeneralizare a transformãrilor prezentate anterior renunţând şi la condiţia ca semnalelede prelucrat sã fie de energie finitã.

Capitolele cinci, şapte şi opt se referã la reprezentãrile timp-frecvenţã de tip“wavelet”. Ele reprezintã partea cea mai dezvoltatã din carte, de fapt motivaţia ei. Suntprezentate bazele teoretice ale acestor transformãri ortogonale, probleme legate dediscretizarea lor, precum şi algoritmi şi programe de calcul. Consider cã acestea suntcele mai valoroase capitole ale lucrãrii, umplând un vid din literatura în limba românã.

Capitolul nouã, dedicat aplicaţiilor, este foarte scurt fãcând numeroasetrimiteri la bibliografie. Chiar şi aşa, prin succinta prezentare a domeniilor în care seaplicã: radar, medicinã, metrologie, explorãri seismice, telecomunicaţii, prelucrareaimaginilor, acest capitol reprezintã un argument convingãtor în aprecierea valorii pecare o au reprezentãrile timp-frecvenţã şi deci constituie un imbold pentru studierea şiaprofundarea lor.

În concluzie consider cartea “Reprezentãri timp frecvenţã” de un înalt nivelştiinţific, stimulativ pentru o gândire atât analiticã cât şi sinteticã.

Timişoara, 20. 03. 1998 Profesor dr. ing. Eugen Pop

NOTAŢII UTILIZATE

( )r tss autocorelaţia semnalului ( )s tCGn codul Gray al numărului n( )* conjugare complexă∗ convoluţieE x energia semnalului x$V estimata lui V

Q factorul de calitate al unui filtru s factorul de scară al unui semnal, scara unui semnalϕ funcţie de scară0 ϕ funcţie de scară ortogonalăψ funcţie "wavelet"σ()t funcţia treaptă unitate

( )p tT impuls dreptunghiular de durată 2TA închiderea mulţimii A

normăK( , ) nucleu↑ operator de dublare a scării~F operatorul dual operatorului FH operatorul Hilbert↓ operator de înjumătăţire a scăriiE operator de mediere statisticăR operatorul rest× produs cartezian, produs scalar⊗ produs tensorial( )ω i t pulsaţia instantanee

r regularitatea unui semnal, rezoluţia unui semnalF dr restricţia transformării Fourier la perioada principală

( )x ta semnalul analitic asociat semnalului ( )x t ( )x tv semnalul obţinut prin reflectarea semnalului ( )x tBπ2 spaţiul semnalelor de energie finită şi bandă limitată

( ) supp x t suportul semnalului x(t)F transformarea Fourier a semnalelor în timp continuuFd transformarea Fourier în timp discret( )X ω transformata Fourier a semnalului x(t)( )X Ω transformata Fourier în timp discret a semnalului [ ]x n

X(z) transformata z a semnalului [ ]x n

CUPRINS

1. INTRODUCERE 17 1.1. Conceptul de reprezentare timp frecvenţă 17

1.1.1. Localizarea semnalelor în planul timp-frecvenţă 211.2. Proprietăţi cerute unei reprezentări timp-frecvenţă 22

2. REPREZENTAREA TIMP-FRECVENTA DE TIPULTRANSFORMARE FOURIER SCURTA

28

2.1. Exprimarea reprezentării timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă ca şi produs de convoluţie

28

2.2. Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă

32

2.3. Exemplu 40

3. REPREZENTAREA TIMP-FRECVENTA DE TIPUL “FUNCŢIEDE INCERTITUDINE”

45

3.1. Exprimări alternative ale funcţiei de incertitudine 453.2. Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie

de incertitudine52

3.3. Exemplu 60

4. REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL WIGNER-VILLE

64

4.1. Exprimări alternative ale reprezentării de tip Wigner-Ville 644.2. Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul

Wigner-Ville66

4.3. Exemplu 78

5. REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL“WAVELET”

80

5.1. Exprimări alternative ale reprezentării de tip “wavelet” 805.2. Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul

“wavelet”82

5.3. Exemplu 84

6. GENERALIZĂRI 86

8 Cuprins

6.2. Clasa reprezentărilor biliniare. Clasa lui Cohen 916.2.1. Cazul reprezentărilor timp-frecvenţă 92

6.2.2. Cazul reprezentărilor timp-factor de scară 95 6.3. Legătura dintre teoria reprezentărilor bidimensionale şi teoria semnalelor aleatoare

99

6.3.1. Distribuţii de putere 102

7. DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ 1067.1. Discretizarea reprezentărilor liniare 106

7.1.1. Discretizarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă

109

7.1.2. Discretizarea reprezentării de tip “wavelet” 1237.1.2.1. Baze ortonormale de funcţii

“wavelet”134

7.1.2.2. Conceptul de analiză multirezoluţie

144

7.1.2.3. Conceptul de descompunere orotogonală

158

7.1.2.4. Caracterizarea analizelor multirezoluţie cu ajutorul polinoamelor

176

7.1.2.5. Algoritmul lui Mallat 1927.1.2.6. Derivarea şi integrarea în

analizele multirezoluţie198

7.1.2.7. Variaţiuni pe tema bazelor ortonormale de funcţii “wavelet”

200

7.1.2.8. Baze biortogonale de funcţii “wavelet”

228

7.1.2.9. Generalizarea conceptului de analiză multirezoluţie

255

7.1.2.10. Pachete de funcţii “wavelet” 272 7.2. Analiza semnalelor nestaţionare folosind un dicţionar timp- frecvenţă

294

7.3. Discretizarea reprezentărilor biliniare 298 7.4. Atomi timp-frecvenţă şi reprezentări biliniare 302

8. ALGORITMI ŞI PROGRAME DE CALCUL AREPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

308

8.1. Utilizarea algoritmului FFT la calculul reprezentărilor timp- frecvenţă

308

Cuprins 9

8.2. Calculul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare “wavelet” continuă folosind algoritmul lui Mallat

310

8.2.1. Iniţializarea algoritmului lui Mallat 310 8.2.2. Implementarea algoritmului lui Mallat 315 8.2.3. Algoritmul lui Mallat în cazul semnalelor

bidimensionale320

8.3. Algoritmi pentru analiza timp-frecvenţă a semnalelor nestaţionare folosind pachete de funcţii “wavelet”

324

8.4. Programe pentru analiza timp-frecvenţă 326 8.4.1. Programul JTFA 326

8.4.2. Pachetul de programe Mega Wave 2 336 8.4.3. Despre WaveLab 338

9. APLICAŢII 3509.1. Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în Radar 3509.2. Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în explorarea

seismică352

9.3. Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă la detecţia defectelor mecanice

352

9.4. Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în medicină 3539.5. Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în metrologie 356

9.5.1. Măsurarea frecvenţei instantanee 3569.5.2. Măsurarea benzii instantanee 3649.5.3. Compresia datelor în aparatura de măsurare 366

9.6. Aplicaţii în telecomunicaţii 3799.6.1. Aplicaţii la prelucrarea semnalului vocal 379

9.6.2.Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot folosind funcţiile “wavelet”

382

9.6.3. Aplicaţii la prelucrarea imaginilor 388 9.6.4. Alte aplicaţii în telecomunicaţii 390Bibliografie 391Index 400

10 Cuprins

CONTENTS

1. Introduction 17 1.1. The Time Frequency representation Concept 17

1.1. Time Frequency Localisation 21 1.2. Properties Requested for a Time-Frequency Representation

22

2. The Short-Time Fourier Transform 28 2.1. The Short Time Fourier Transform Like a Convolution 28 2.2. Properties of the Short Time Fourier Transform 32 2.3. An Example 40

3. The Ambiguity Function 45 3.1. Alternative Formula for the Ambiguity Function 45 3.2. Properties 52 3.3. An Example 60

4. The Wigner-Ville Time Frequency Representation 64 4.1. Alternative Formula for the Wigner-Ville Representation 64 4.2. Properties 66 4.3. An Example 78

5. The Continuous Wavelet Transform 805.1. Alternative Formula for the Continuous Wavelet

Transform80

5.2. Properties of the Continuous Wavelet Transform 82 5.3. An Example 84

6. Generalisations 86 6.1. Linear Representations Case 86 6.2.The Class of Quadratic Representations. The Cohen's Class 91 6.2.1. The Time-Frequency Representations Case 92 6.2.2. The Time-Scale Factor Representations Case 95 6.3. The Relation Between the Quadratic Representations Theory and the Random Signals Theory

99

Cuprins 11

6.3.1. Power Distributions 102

7. The Discretization of Time-Frequency Representations 106 7.1. The Discretization of the Linear Representations 106 7.1.1. The Discretization of the Short Time Fourier Transform

109

7.1.2. The Discretization of the Continuous Wavelet Transform

123

7.1.2.1. Orthonormal Bases of Wavelets 134 7.1.2.2. The Multiresolution Analysis Concept 144 7.1.2.3. The Orthogonal Decomposition Concept 158 7.1.2.4. The Description of the Multiresolution Analyses with Polynomial Functions

176

7.1.2.5. The Mallat's Algorithm 192 7.1.2.6. Differentiating and Integrating in Multiresolution Analyses

198

7.1.2.7. Orthonormal Bases of Wavelets. Variation on the theme

200

7.1.2.8. Biorthogonal Bases of Wavelets 228 7.1.2.9. The Generalisation of the Multiresolution Concept

255

7.1.2.10. Wavelet Packets 272 7.2. The Analysis of Non-Stationary Signals using a Time- Frequency Dictionary

294

7.3. The Discretization of Quadratic Representations 298 7.4. Time-Frequency Atoms and Quadratic Representations 302

8. Algorithms and Programs to Compute the Time FrequencyRepresentations

308

8.1. Using the FFT Algorithm to Compute the Time-Frequency Representations

308

8.2. Computing the Continuous Wavelet Transform using the Mallat's Algorithm

310

8.2.1. The Mallat's Algorithm Initialisation 310 8.2.2. The Mallat's Algorithm Implementation 315 8.2.3. The two-dimensional Case 320 8.3. Algorithms using Wavelet Packets 324 8.4. Soft for Time-Frequency Analysis 326 8.4.1. About JTFA 326

12 Cuprins

8.4.2. About MegaWave 336 8.4.3. About WaveLab 338

9. Application 350 9.1. Time Frequency Analysis in Radar 350 9.2. Application of the Time Frequency Representations to Seismic Data Processing

352

9.3. Time Frequency Analysis in Machine Fault Detection 352 9.4. Application of the Time Frequency Representations in Medicine

353

9.5. Time Frequency Representations in Metrology 356 9.5.1. The Instantaneous Frequency Measurement 356 9.5.2. The Instantaneous Bandwidth Measurement 364 9.5.3. Data Compression 366 9.6. Application in Telecommunications 379 9.6.1. Application to Speech Processing 379 9.6.2. The Enhancement of the Signal to Noise Ratio using Wavelets

382

9.6.3. Application to Image Processing 388 9.6.4. Other Application in Telecommunications 390References 391Index 400

Cuprins 13

TABLE DE MATIERES

1. Introduction 17 1.1. Le concept de représentation temps fréquence

1.1.1 Localisation des signaux dans le plan tempsfréquence

21

1.2. Des propriétés demandées à une représentation temps fréquence

22

2. La représentation temps fréquence de type Fourier à court terme 282.1. Fourier à court terme comme produit de convolution 282.2. Les propriétés de la représentation temps fréquence de

type Fourier à court terme32

2.3. Un exemple 40

3. La représentation temps fréquence de type fonction d'ambiguïté 45 3.1. Autres formules pour la fonction d'ambiguïté 45

3.2. Les propriétés de la représentation temps fréquence de type fonction d'ambiguïté

52

3.3. Un exemple 60

4. La représentation temps fréquence de type Wigner- Ville 644.1. Autres formules pour la représentation de Wigner-Ville 644.2. Les propriétés de la représentation temps fréquence de

type Wigner- Ville66

4.3. Un exemple 78

5. La représentation temps fréquence de type transformée en ondelettescontinue

80

5.1. Autres formules pour la représentation temps fréquence de type transformée en ondelettes continue

80

5.2.Les propriétés de la représentation temps fréquence de type transformée en ondelettes continue

82

5.3. Un exemple 84

6. Des généralisations 866.1. Le cas des représentations linéaires 86

14 Cuprins

6.2. Les représentations bilinéaires. La classe de Cohen 916.2.1. Le cas des représentations temps fréquence 926.2.2. Le cas des représentations temps échelle 95

6.3. La relation entre les représentations bidimenssionelles et la théorie des signaux aléatoires

99

6.3.1. Distributions de puissance 102

7. La discrétisation des représentations temps fréquence 1067.1. La discrétisation des représentations linéaires 106

7.1.1. La discrétisation de la représentation temps Fréquence de type Fourier à court terme

109

7.1.2. La discrétisation de la représentation temps Fréquence de type transformée en ondelettes continue

123

7.1.2.1. Bases orthonormées d'ondelettes 134 7.1.2.2. Les analyses multirésolution 144 7.1.2.3. Les décompositions orthogonale 158

7.1.2.4. La caractérisation des analyses multirésolution à l'aide des polynômes

176

7.1.2.5. L'algorithme de Mallat 1927.1.2.6. La dérivation et l'intégration dans

les analyses multirésolution198

7.1.2.7. Variations sur le thème des bases orthonormées d'ondelettes

200

7.1.2.8. Bases biorthogonales d'ondelettes 228 7.1.2.9. La généralisation de la notion d'analyse multirésolution

255

7.1.2.10. Paquets d’ondelettes 2727.2. L’analyse des signaux nonstationnaires en utilisant un

dictionnaire temps fréquence294

7.3. La discrétisation des représentations bilinéaires 298 7.4. Atomes temps fréquence et représentations bilinéaires 302

8. Algorithmes et logiciels pour le calcul des représentations tempsfréquence

308

8.1. L’utilisation de l’algorithme FFT pour le calcul desreprésentations temps fréquence

308

Cuprins 15

8.2.1. L’initialisation de l'algorithme de Mallat 310 8.2.2. L'implémentation de l'algorithme de Mallat 315 8.2.3. L’algorithme de Mallat pour les images 320

8.3. Algorithmes pour l’analyse temps fréquence basés sur les paquets d’ondelettes

324

8.4. Quelques logiciels pour l’analyse temps fréquence 326 8.4.1. Le logiciel JTFA 326

8.4.2. Le logiciel Mega Wave 2 336 8.4.3. Sur WaveLab 338

9. Applications 3509.1. Les applications des représentations temps fréquence en

Radar350

9.2. Les applications des représentations temps fréquence en exploration seismique

352

9.3. L’utilisation des représentations temps fréquence pour la détection des défauts mécaniques

352

9.4. Les applications des représentations temps fréquence en médicine

353

9.5. Les applications des représentations temps fréquence en Métrologie

356

9.5.1. L’estimation de la fréquence instantanée 3569.5.2. L’estimation de la bande de fréquences

Instantanée364

9.5.3. La compréssion de données en métrologie 3669.6. Quelques applications en télécommunications 379

9.6.1. L’utilisation des représentations temps Fréquence pour le traitement de la parole

379

9.6.2. L'augmentation du rapport signal/bruit en utilisant les ondelettes

382

9.6.3. L’utilisation des représentations temps Fréquence pour le traitement des images

388

9.6.4. Autres applications en télécommunications 390Bibliographie 391Index 400

Capitolul 1

INTRODUCERE

"Prelucrarea semnalelor" are ca scop modelarea matematică a fenomenelor utilizate întehnică. Garanţia evoluţiei în acest domeniu de cercetare este permanenta îmbunătăţire apreciziei cu care modelele create descriu realitatea fenomenului modelat. De aceea e necesarsă se utilizeze metode matematice tot mai evoluate. Deşi fenomenele staţionare sunt maisimplu de modelat, în prezent este tot mai cerută analiza fenomenelor nestaţionare.

1.1. CONCEPTUL DE REPREZENTARE TIMP FRECVENŢĂ

Unul dintre semnalele cel mai des utilizate este semnalul sinusoidal. Acesta este descrismatematic de funcţia:

x (t) = o o oA sin tω (1)

parametrizată după constantele: A o- amplitudine şi ωo- pulsaţie. Pentru cunoaşterea acestuisemnal este suficientă cunoaşterea legii sale de variaţie în timp (relaţia (1)) şi a parametrilorsăi A o şi ωo. Este evident vorba de un semnal staţionar. Un alt exemplu de semnal staţionareste impulsul descris în relaţia :

( )x (t) = (t) (t ) 1 1A σ σ τ− − (2)

Parametrii acestui semnal sunt: amplitudinea sa A1 , durata sa τ, precum şi momentuldeclanşării, t = o 0.

Pe baza celor două exemple se poate afirma că semnalele staţionare au parametriiconstanţi. Această observaţie este valabilă şi pentru semnalele aleatoare staţionare, dacăconsiderăm că în acest caz, parametrii semnalului sunt momentele sale statistice (media,dispersia, ...).

De aceea se poate afirma că semnalele nestaţionare (deterministe) au parametriivariabili în timp. Astfel, dacă :

A coso o= t10ω (3)sau:

ω o = t (4)

semnalul descris de relaţia (1) va fi unul nestaţionar.În primă aproximaţie semnalul din relaţia (1) este util pentru descrierea funcţionării

unui oscilator, putând fi folosit pentru proiectarea acestui circuit. Dar variaţiile tensiunii dealimentare a oscilatorului se reflectă asupra amplitudinii

18 1.1. Conceptul de reprezentare timp frecvenţă

semnalului de la ieşirea sa, iar variaţiile de temperatură pot produce modificări ale frecvenţeide oscilaţie. De asemenea, relaţia (1) nu este adecvată pentru descrierea regimurilor de pornireale oscilatorului. Iată de ce, la o analiză mai atentă, semnalul de la ieşirea unui oscilatortrebuie considerat ca fiind nestaţionar.

Şi în cazul semnalelor aleatoare, folosite pentru modelarea unor fenomene reale(vibraţiile unei maşini unelte, zgomotul unui motor electric, ş.a.), ipoteza de staţionaritatetrebuie evitată tot mai frecvent.

Fenomenele nestaţionare pot fi clasificate în doua categorii: adaptive şi evolutive[85].

În cazul fenomenelor nestaţionare adaptive, nestaţionaritatea este suficient de lentăpentru a se putea presupune, pentru intervale scurte de timp, că parametrii semnalelor suntconstanţi.

Fenomenele nestaţionare evolutive necesită modalităţi de descriere globală avariaţiilor parametrilor lor. De aceea, în acest caz, aceste variaţii pot fi rapide.

Rezultă că pentru analiza semnalelor nestaţionare adaptive este necesară o prelucrarelocalizată în timp. De aceea în acest caz nu poate fi utilizată transformata Fourier. Aceastăafirmaţie este justificată de următorul fragment din articolul "Cables et Transmision" scris deJ.Ville în anul 1948:

"Dacă considerăm un fragment de muzică compus din mai multe măsuri şi dacă onotă, "la", de exemplu, figurează o dată în acest fragment, analiza Fourier ne va prezentafrecvenţa corespunzătoare cu o anumită amplitudine şi cu o anumită fază, fără a localiza "la"- ul în timp. Ori, este evident că pe parcursul bucăţii există momente de timp când nu se audenota "la” ".

Deci a apărut necesitatea introducerii unor noi transformări. Reprezentările timp-frecvenţă sunt uneltele necesare pentru analiza semnalelor nestaţionare. Această analizăpresupune identificarea parametrilor acestor semnale. Pe lista acestor parametri trebuieincluşi: momentele de timp de începere şi terminare a semnalului, energia sau putereasemnalului, amplitudinea instantanee, frecvenţa instantanee, banda de frecvenţă instantanee asemnalului, etc.

Se reaminteşte definiţia frecvenţei instantanee a unui semnal, [37]. Se consideră înacest scop semnalul real x(t).

Definiţia 1 Se numeşte transformată Hilbert a semnalului x(t), semnalul:

H x(t) = t

x(t) = t

x( )

t dVP

1 1

π πττ

τ

∗

−−∞

+∞

∫

Definiţia 2 Se numeşte semnal analitic asociat semnalului x(t), semnalul:

x (t) = x(t) + j x(t) a H

1 Introducere 19

Definiţia 3 Se numeşte anvelopă a semnalului x a (t) , semnalul:

A(t) = x (t) + x(t) 2 2H

Definiţia 4 Se numeşte pulsaţie instantanee a semnalului x(t) , semnalul:

ω πi a iarg(t) = ddt

x (t) = f (t)2

În funcţie de aplicaţia avută în vedere este importantă estimarea unuia sau mai multorparametri ai semnalului nestaţionar. Acum câţiva ani firma Hewlet Packard a început săproducă o gamă de aparate numite analizoare în domeniul modulaţiei. Primul produs dinaceastă gamă a fost HP-5371A. Aceste aparate măsoară frecvenţa instantanee a semnalelor pecare le analizează. În figura 1.1.1 este prezentată o reprezentare "timp-frecvenţă" ideală asemnalului nestaţionar:

( )x(t) = (t) tA coso oω ; cu

[ )[ )[ )

ω

ππ

πo (t) =

f , t t , t f , t t , t

2 f t t , t , in rest

3 5 6

22

0

1 1 2

2 3 4

∈∈

∈

,,

, ,

Semnalul analitic asociat acestui semnal are forma:

x (t) = e (t) ta o

jA o⋅ ω

Frecvenţa instantanee a semnalului x(t) este:

( )[ )[ )[ )

f (t) = ddt

(t) t =

f , t t , t , f , t t , t ,

f , t t , t ,0, in rest

1 1 2

2 3 4

3 5 6i o

12π

ω

∈∈

∈

Se constată că linia îngroşată din figura 1.1.1 este tocmai graficul acestei funcţii.Analizând reprezentarea tridimensională din figura 1.1.1, se constată faptul că semnalul x(t)se declanşează la momentul t1, fiind o sinusoidă cu frecvenţa f1, până la momentul t2, cândsemnalul încetează, pentru a se redeclanşa la momentul t3, fiind o sinusoidă cu frecvenţa f2până la momentul t4 când încetează pentru a doua oară declanşându-se din nou la momentult5 fiind o sinusoidă cu frecvenţa f3 până la momentul t6 când se sfârşeşte definitiv. Seconstată că proiecţia "reprezentării timp- frecvenţă" din figura 1.1.1 pe planul

20 1.1 Conceptul de reprezentare timp frecvenţă

Figura 1.1.1. O reprezentare timp frecvenţă ideală.

( )A, t reprezintă oscilograma semnalului x(t) , că proiecţia pe planul ( )f, A reprezintă

spectrul "ideal" al semnalului x(t) şi că proiecţia pe planul ( )f, t reprezintă frecvenţa

instantanee a aceluiaşi semnal. Proiecţia pe planul ( )A, t permite analiza în domeniul timp a

semnalului considerat. Proiecţia pe planul ( )A, f permite analiza semnalului în domeniul

frecvenţă iar proiecţia pe planul ( )f, t permite analiza în domeniul modulaţiei [69].Analizoarele în domeniul modulaţiei afişează legea de variaţie temporală a frecvenţeiinstantanee a semnalului de analizat. Figura 1.1.1 este o reprezentare timp-frecvenţă asemnalului x(t). Se remarcă faptul că această reprezentare face o localizare perfectă îndomeniile timp şi frecvenţă ale semnalului considerat. Într-adevăr, momentele t1, t2, t3, t4, t5 şit6 ca şi frecvenţele f1 f2 şi f3 pot fi exact localizate cu ajutorul acestei reprezentări. De aceeaaceastă reprezentare a fost numită ideală. O astfel de reprezentare nu poate fi obţinută înpractică, dar poate fi utilizată ca model pentru optimizarea reprezentărilor timp-frecvenţă carese utilizează în practică.În realitate există o limitare a concentrării unui semnal în planul timp-frecvenţă, dată deprincipiul lui Heisenberg [99].

1.1.1. LOCALIZAREA SEMNALELOR ÎN PLANULTIMP-FRECVENŢĂ

Într-adevăr, pe baza dualităţii transformatei Fourier semnalele de durată limitată(perfect localizate în timp) sunt de bandă nelimitată, (deci nu sunt localizate

1. Introducere 21

în domeniul frecvenţă). Reciproc, semnalele de bandă limitată au durata infinită. De aceeapentru măsurarea acestor cantităţi se utilizează noţiunile de "durată efectivă",σt şi de “bandăde frecvenţe” efectivă, σω definite astfel:

σ τ τ τ σ ω ω ωωt X2 2 2 2 2 2 = x( ) d ; = ( ) d

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Conform principiului lui Heisenberg [99] este adevărată inegalitatea:

σ σπ

ωt2 2

2 ⋅ ≥

Cu cât durata efectivă a unui semnal este mai scurtă cu atât banda sa efectivă de frecvenţe estemai largă. Deci nici un semnal nu poate fi localizat oricât de bine şi în domeniul timp şi îndomeniul frecvenţă. Semnalul cu cea mai bună localizare în planul timp-frecvenţă este acelapentru care în ultima relaţie este valabil semnul egal. Acesta este semnalul Gaussian:

x(t) = e t−π2

2

Pentru toate celelalte semnale localizarea în planul timp-frecvenţă se face în intervaleşi mai lungi. Câteva exemple sunt prezentate în tabelul 1.1.1. Se constată că existăsemnale, cum este de exemplu impulsul dreptunghiular, care nu pot fi localizate în planultimp-frecvenţă. Totuşi, şi aceste semnale au o anumită "semnătură" în planul timp-frecvenţă.Pe baza acesteia ele pot fi identificate în planul timp-frecvenţă. Revenind la exemplul din figura 1.1.1 se constată că semnalului x(t) i s-a asociat ofuncţie de două variabile, reprezentarea sa timp-frecvenţă. În continuare se va notareprezentarea timp-frecvenţă a semnalului x(t) cu ( )TFx , tω . Semnalul x(t) va fi consideratde energie finită. Reprezentarea timp-frecvenţă va fi privită ca şi un operator care transformă

spaţiul ( )R2L într-un spaţiu ( )R×AL2 . Cel mai adesea acesta va fi ( )22 RL . Valoareaoperatorului TF aplicat semnalului x este deci funcţia de 2 variabile ( )TFx , tω . Valoareaacestei funcţii în punctul ( )t , o oω reprezintă valoarea la momentul to, a componenteispectrale de pulsaţie ωo a semnalului considerat.

Deci funcţia ( )TFx , tω are semnificaţia de densitate spectro-temporală a semnaluluix(t). Funcţia ( )TFx o , tω are semnificaţia de spectru instantaneu al semnalului considerat.

Pentru a fi util în analiza semnalelor nestaţionare, operatorul TF ar trebui să aibecâteva proprietăţi. În continuare se face un inventar al acestor proprietăţi.

22 1.1.1 Localizarea semnalelor în planul timp-frecvenţă

Tipul semnalului Expr. analitică a semnalului Transformata FourierGaussian

e t−π2

2

2

2

2 e −ωπ

Chirp ( )24

2απ

α β e + t− j( )( )24

4

2

2 2 + j

e

+ α π

α β

ω α β

α β−

− j

Impulsdreptunghiular

1

2 2t t +

t t

t

o

o oσ σ

− −

sinc ω2

Tipulsemnalului

σ t2 σω

2 σ σωt2 2

Gaussian 1

2ππ 2 π

2

Chirp 1

4α( )2 2π α β

α + 2 π β

α21 2 +

2

ImpulsDreptunghiular

t o12

∞ ∞

Tabelul 1.1.1. Localizarea în planul timp-frecvenţă a câtorva semnale uzuale.

1.2. PROPRIETĂŢI CERUTE UNEI REPREZENTĂRITIMP-FRECVENŢĂ

Aceste proprietăţi trebuie să răspundă unor deziderate legate de:- interpretarea fizică a reprezentării considerate,- compabilitatea reprezentării considerate cu celelalte reprezentări utilizate în

prelucrarea semnalelor- evidenţierea nestaţionarităţilor din structura semnalului analizat.

În continuare se prezintă câteva proprietăţi ale reprezentărilor timp-frecvenţă care lefac capabile să corespundă dezideratelor de mai sus. După cum s-a arătat deja semnificaţiafizică a unei reprezentări timp-frecvenţă este cea de densitate spectro-temporală de energie.În acest sens, este necesar ca energia semnalului analizat să reprezinte integrala densităţiispectro-temporale de energie. E deci util ca să aibe loc proprietatea:

1. Introducere 23

P1. ( )TF Ex x t, dt d = 2

ω ω π− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ (5)

Dar energia semnalului x(t) poate fi calculată pe baza relaţiilor:

x(t) dt =

2 E x− ∞

∞

∫ (6)

X( ) d = 2 Ex

ω ω π2

− ∞

∞

∫ (7)

Comparând relaţiile (5) şi (6), respectiv (5) şi (7) rezultă utilitatea proprietăţilormarginale descrise de relaţiile:

P2. ( )TFx t, d = 2 x(t)

ω ω π− ∞

∞

∫ 2 (8)

( )TF Xx t, dt = ( )

ω ω− ∞

∞

∫ 2 (9)

Aceste proprietăţi marginale arată necesitatea ca densităţile energetice de o singurăvariabilă x(t)

2 şi X( ) ω

2 să se poată calcula pe baza reprezentării timp-frecvenţă

( )TFx t, ω .Relaţiile (8) şi (9) arată că densităţile energetice de o singură variabilă sunt funcţii

reale şi pozitive. Din necesitatea ca reprezentarea timp-frecvenţă să reprezinte o funcţiereală pozitivă rezultă proprietatea:

P3. ( ) ( ) ( ) +∈×∈∀ R t, , RR t, ωω xTF (10)

( ) ( )R x(t) 2L∈∀

Tot din raţiuni de interpretare fizică ar fi util ca:

P4. Reprezentarea timp-frecvenţă să fie o transformare cauzală;şi ca:

P5. Reprezentarea timp-frecvenţă să fie o transformare inversabilă.

Cea mai utilizată reprezentare în domeniul prelucrării semnalelor rămâne

24 1.2. Proprietăţile cerute de la o reprezentare timp-frecvenţă

transformarea Fourier. De aceea este util ca reprezentările timp-frecvenţă să fiecompatibile cu acestă transformare. Următoarele cinci proprietăţi ale reprezentărilortimp-frecvenţă sunt utile scopului de compatibiliazare cu transformarea Fourier. Defapt ele sunt echivalente unor proprietăţi corespunzătoare ale transformării Fourier. Prima dintre acestea corespunde proprietăţii de translaţie în timp atransformării Fourier.

P6. Fie x (t) to o,ω semnalul obţinut prin translatarea în planul timp-

frecvenţă a semnalului x(t) :

( )x (t) = x t t e j t

t oo oo

,ωω−

Legătura dorită între reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor x(t) şix (t) to o,ω este:

( ) ( )TF TFto o

o ox x t, = t t ,

,ωω ω ω− − (11)

Următoarea proprietate dorită pentru reprezentările timp-frecvenţă corespundeproprietăţii de dilatare a transformării Fourier.

P7. Fie x (t)k semnalul obţinut prin dilatarea semnalului x(t) :

( )x (t) = k x k t , k >k 0

Legătura dorit• între reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelorx(t) şi x (t)k este :

( )TF TFkx xt, = k t,

kω

ω

(12)

Una dintre cele mai importante proprietăţi ale transformării Fourier este cea defiltraj. Această operaţie este descrisă în domeniul timp prin convoluţie. Proprietateacorespunzătoare a reprezentărilor timp-frecvenţă ar fi:

P8. Fie y(t) semnalul obţinut prin filtrarea semnalului x(t) cu unfiltru cu răspunsul la impuls h(t) :

y(t) = x(t) h(t)∗

1. Introducere 25

Legătura dorită dintre reprezentările timp-frecvenţă ale semnalelor x(t), h(t)şi y(t) este:

( ) ( ) ( )TF , = TF , TF , -

dy h xt t s s sω ω ω−∞

∞

∫ (13)

O altă proprietate importantă a transformării Fourier este cea de modulaţie.Proprietatea corespunzătoare pentru reprezentările timp frecvenţă ar fi:

P9. Fie y(t) semnalul obţinut prin modularea de produs asemnalului x(t) cu semnalul m(t):

y(t) = x(t) m(t)

Legătura dorită dintre proprietăţile timp-frecvenţă ale semnalului x(t), m(t) şi y(t)este:

( ) ( ) ( )TF t, = TF t, TF t, -

dy m xω ω ξ ξ ξ−∞

∞

∫ (14)

În sfârşit, o altă posibilitate remarcabilă a transformării Fourier a semnalelor

de energie finită este că aceasta reprezintă o izometrie între spaţiile ( )R2L şi ( )R2L .Este deci conservat produsul scalar:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RLRL ω, YωXπ

= x(t), y(t) ; R L(t) 2221y x(t), 2∈∀

[99]. Conservarea produsului scalar în cazul reprezentărilor timp-frecvenţă s-ar puteaexprima prin următoarea proprietate de unitaritate:

P10. Oricare ar fi semnalele x(t) şi y(t) de energie finită, are locrelaţia:

( ) ( )TF , TF , -

d d-

= d

x y* *t t t x(t) y (t) tω ω ω

∞∞

∞∞

− ∞

∞

∫∫ ∫2

(15)

Formula din relaţia (15) poartă numele lui Moyal [59]. Următorul grup deproprietăţi ale reprezentărilor timp-frecvenţă ar fi utile pentru evidenţierea

26 1.2. Proprietăţile cerute de la o reprezentare timp-frecvenţă

nestaţionarităţilor semnalului de analizat. După cum s-a arătat deja în paragrafulanterior este de dorit ca reprezentarea timp-frecvenţă analizată să localizeze binesemnalul de analizat în planul timp-frecvenţă. De aceea ar fi util ca reprezentareatimp-frecvenţă considerată să conserve suporturile temporal şi/sau frecvenţial alesemnalului de analizat. Proprietatea de conservare a suporturilor are enunţul următor:

P11.( )x(t) t T t t Tx = , TF , = , 0 0> ⇒ >ω (16)

( ) ( )X B t Bxω ω ω ω = , TF , = , 0 0> ⇒ > (17)

Ar fi, de asemenea util, dacă pe baza reprezentării timp-frecvenţă s-ar putea decidedacă semnalul de analizat este staţionar sau nu.

După cum s-a arătat în paragraful anterior un semnal staţionar determinist esteunul care are toţi parametrii constanţi. Deci un semnal staţionar determinist poate fiprivit ca şi o sumă de componente, fiecare având amplitudinea instantanee şi frecvenţainstantanee constante.

Reprezentarea timp-frecvenţă a unui astfel de semnal ar trebui să fieindependentă de timp. De aceea proprietatea de staţionaritate a semnalului de analizatîn planul timp-frecvenţă ar putea avea următorul enunţ:

P12. Fie x (t)s un semnal staţionar determinist. Atunci are locrelaţia:

( ) ( ) R t 0 = t

t, ∈∀

∂ω∂ xTF

(18)

În sfârşit, ar fi evident util dacă reprezentarea timp-frecvenţă a unui semnal s-arconcentra cât mai mai mult în jurul curbei din planul timp-frecvenţă care descriefrecvenţa instantanee a acestui semnal (aşa cum se vede în figura 1.1.1). În acest modar fi uşor de estimat legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului analizat pebaza reprezentării sale timp-frecvenţă. Proprietatea care exprimă această concentrareare următorul enunţ:

P13. Fie x (t)a semnalul analitic asociat semnalului x(t) cufrecvenţa instantanee f (t)i . Atunci are loc relaţia:

( ) ( )TFx iat, = f (t)ω ω πδ − 2 (19)

În ultima relaţie cu δ s-a notat distribuţia Dirac.

1. Introducere 27

Alte proprietăţi utile pentru reprezentările timp-frecvenţă sunt prezentate în[59].

Orice reprezentare timp-frecvenţă ar trebui să aibe cele 13 proprietăţi enunţatemai sus. Din păcate nu există nici o reprezentare timp-frecvenţă care să aibe toate cele13 proprietăţi.

De aceea pentru diferite clase de semnale de analizat este utilă folosirea unorreprezentări timp-frecvenţă diferite.

În continuare se prezintă câteva reprezentări timp-frecvenţă dintr-operspectivă istorică.

Capitolul 2

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP TRANSFORMAREFOURIER SCURTĂ

În anul 1890, în teza sa de doctorat, Sommerfeld a folosit pentru prima oarănoţiunea de spectru instantaneu. Ideea sa era să înlocuiască analiza Fourier "globală",care pierde noţiunea de cronologie, printr-o succesiune de analize "locale" relative la ofereastră de observare alunecătoare. Această idee s-a materializat în anul 1945 prininventarea "sonografului". Prin construcţie acest aparat lucrează în domeniulfrecvenţă. El măsoară succesiv puterea de la ieşirile unor filtre trece-bandă conectateîn derivaţie. Rezultatul analizei făcute de sonograf se numeşte sonogramă. Sonogramareprezintă pătratul modulului reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformareFourier scurtă (RTFTFS). Descrierea acestei reprezentări timp-frecvenţă este:

( )TF , = ( ) ( ) e d

xSTFT jt x w tω τ τ τωτ− −

− ∞

∞

∫ (20)

unde w (t) reprezintă fereastra de observare. De obicei se consideră că fereastra deobservare este un semnal de energie unitară:

w (t) = L22 1

Pe baza relaţiei (20) se constată faptul că la momentul t, funcţia( )TF , x

STFT t ω reprezintă spectrul semnalului x( ) w( t)τ τ − , obţinut prinlocalizarea în timp, în jurul momentului considerat, a semnalului de analizat, x( )τ .Modificând t de la − ∞ la + ∞, fereastra temporală "mătură", forma de undă aîntregului semnal de analizat. Rezultă că fereastra temporală folosită este responsabilăpentru localizarea temporală a semnalului de analizat. Dar, după cum s-a arătat deja,cea mai bună localizare în planul "timp-frecvenţă" o are semnalul Gaussian. De aceea,o reprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă cu proprietăţi bunede localizare în planul timp-frecvenţă ar trebui să fie aceea care foloseşte fereastratemporală Gaussiană. Acest tip de transformare Fourier scurtă se numeşte transformareGabor. Pentru a putea analiza proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă este utilă prezentarea unor exprimări alternative ale acestorreprezentări timp-frecvenţă.

2.1 EXPRIMAREA REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPTRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ CA ŞI PRODUS DE CONVOLUŢIE

Se consideră familia de funcţii: ( )w ( ) = e w( t)

Rωωτ

ωτ τ, ,t

jt

−∈ 2

2.1 Exprimarea RTFTFS ca şi produs de convoluţie 29

Relaţia (20) poate fi rescrisă ca şi produs scalar dintre semnalul de analizat şi fiecareelement al acestei mulţimi. Într-adevăr:

( )TF , = ( ), ( )xSTFT

t Lt x wω τ τω, 2 (21)

Această exprimare are avantajul că transferă propietăţile produsului scalar asuprareprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Valoareareprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă în punctul decoordonate ( )t , o oω depinde de funcţia:

w ( ) = e w( t )ωω ττ τ

0 0

0

,tj

o−

Transformata Fourier a acestei ferestre temporale este:

( )( ) ( ) ( ) ( )

W ( ) = e w( t ) = w( t ) + =

= w(t) + = e W + t t + 0

ωω τ

ω ω ω ω

ω τ τ ω ω

ω ω ω ω0 0

0

0

, F F

F

tj

o o o

j + o

jo

e o o

− −− ⋅ − ⋅ (22)

În continuare această transformată Fourier va fi numită fereastră frecvenţială. Seconstată că fereastra temporală w ( )ω τ

0 0,t este centrată pe momentul to şi că fereastra

frecvenţială ( )W tω ω0 0,

este centrată pe pulsaţia - ωo. Deci la momentul to, prinmodificarea lui ωo între − ∞ şi + ∞ , fereastra frecvenţială ( )W tω ω

0 0, "mătură"

spectrul semnalului x(t). La momentul to şi la pulsaţia ωo, reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă descrie semnalul x(t) într-o regiune dinplanul timp-frecvenţă limitată de suporturile ferestrelor temporală w ( )ω τ

0 0,t şi

frecvenţială ( )W tω ω0 0,

. Prin modificarea valorilor to şi ωo, poate fi acoperit întregplanul timp-frecvenţă.

Rezultă că localizarea în planul timp-frecvenţă a porţiunii din semnalul x(t)analizată la momentul to şi la pulsaţia ω o , depinde de localizarea în planul timp-frecvenţă a ferestrei w ( )ω τ

0 0,t. De aceea se poate afirma că dintre toate

transformările Fourier scurte cea care face cea mai bună localizare în planul timp-frecvenţă a unui semnal este transformarea Gabor.

Pe lângă fereastra Gaussiană se mai folosesc şi alte ferestre temporale înprelucrarea semnalelor. Câteva dintre acestea, folosite în analiza spectrală, suntprezentate în tabelul 1.2.1. Din analiza tabelului se constată că nici una dintre acesteferestre nu are o localizare în frecvenţă satisfăcătoare.

30 Reprezentarea timp frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă

Tipulferestrei

Descrierea analitică σ t2 σω

2

Dreptun-ghiulară 1

2 2t t +

t t

t

o

o oσ σ

− −

to

12

∞

Hamminggenerali -zată

( )α αα α

π

σ σ

w (t) =t

+t

t

t +t

t t

0Hg

o

o o

cos1

12

2 2

−

− −

( )α σ

π α αα πt

o22 2

2

6 6

12=

t +

−∞

Hann05, wHg 05

2, σ t ∞

Hamming054, wHg 054

2, σ t ∞

Blackman

k + t

t+

tt

t +t

tt

042 052

0084

2 2

, , ,cos coso o

o o

π π

σ σ

− −

finit ∞

Tabelul 1.2.1 Exemple de ferestre temporale.

Revenind la relaţia (21) şi considerând că fereastra temporală este o funcţiereală se poate scrie:

( ) [ ]TF t, = x( ) e w( t) dxSTFT *

ω τ τ τωτj −− ∞

∞

∫Cu notaţia:

x( )e = u(t tj t− ω )ultima relaţie devine:

( )TFxSTFT

t, = u(t) w( t) dt = u(t) w (t ) dt = u(t) w (t) ω τ τ− − ∗− ∞

∞∨

− ∞

∞∨∫ ∫ (23)

unde s-a folosit notaţia: w (t) = w( t) ∨ −

2.1 Exprimarea RTFTFS ca şi produs de convoluţie 31

Realţia (23) a dat titlul acestui paragraf. Importanţa sa rezidă în faptul că permite onouă interpretare fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul tranformare Fourierscurtă. Într-adevăr, pentru fiecare pulsaţie, ω , se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Fourier scurtă reprezintă răspunsul sistemului liniar şi invariant întimp cu răspunsul la impuls w (t) ∨ , la semnalul u(t) . Acest semnal se obţine prinmodularea semnalului x(t) , folosind semnalul purtător e− j tω .

În figura 1.2.1 este prezentată schema sistemului analogic care transformăsemnalul x(t) în reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

x(t)

Figura 1.2.1 Sistem analogic de implementare a reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

O exprimare alternativă a relaţiei (23) este:

( ) ( ) [ ]TFxSTFT j t j t

j t j tt, = e x( ) w( t) e d = e x(t) w (t)e ω τ τ τω ω τ ω ω− ⋅

− ∞

∞− ∨− ∗∫ (24)

cu implementarea prezentată în figura 2.2.1.

Fig. 2.2.1. O altă metodă de implementare a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourierscurtă.

modulare filtrare trece-jos

w(-t)

e− j tω

( )TFxSTFT t, ω

( )TFxSTFT t, ω

w(-t) e− j tω

e − j tω

x(t)

Filtrare trece bandă modulare


2.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPTRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ

La fel ca şi în cazul transformării Fourier şi reprezentarea timp-frecvenţă detipul transformare Fourier scurtă poate fi calculată mai uşor pe baza proprietăţilor sale.De aceea este important studiul acestora.În primul rând trebuie remarcat că aceastăreprezentare este descrisă de un operator liniar.

R1. ( ) ( )∀ ∈ x (t), x (t) R1 22L şi ( ) C , ∈∀ βα

( ) ( ) ( )TF TF TFx xSTFT

xSTFT

xSTFT

α β ω α ω β ω1 2 1 2 + t, = t, + t,

Demonstraţie:

( ) ( )TF x xSTFT jα β

ωτω α τ β τ τ τ1 2 1 2 +

-

t, = x ( ) + x ( )) w t e d( −∞

∞−∫

sau pe baza liniarităţii operaţiei de integrare:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

TF

TF TF

x xSTFT j j

xSTFT

xSTFT

α βωτ ωτω α τ τ τ β τ τ τ

α ω β ω

1 2

1 2

1 2+−

∞

∞

∞

∞−− −∫∫t, = x ( ) w t e d + x ( ) w t e d =

= t, + t, - -

În consecinţă, pentru evaluarea reprezentării timp-frecvenţă de tip transformareFourier scurtă poate fi aplicat principiul superpoziţiei. Această observaţie permiteextinderea clasei semnalelor ce pot fi analizate cu reprezentarea timp-frecvenţă detipul transformare Fourier scurtă de la clasa semnalelor de energie finită la alte clasede semnale, cum ar fi de exemplu semnalele periodice. În continuare se verifică dacăreprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă are proprietăţilespecificate în paragraful 1.2. Se calculează integrala dublă:

( )I TFxSTFT = t, dt d

ω ω− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫Se începe cu calculul integralei:

( )I TFxSTFT

1 = t, d

ω ω− ∞

∞

∫

2.2 Proprietăţile RTFTFS 33

Ţinând seama de definiţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourierscurtă, ultima integrală devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )I = x( ) w t d = x( ) w t =

= x w

1

= F F F

()

τ τ ω π τ τ ω τ

π

τ− −

− ∞

∞−

∨

∫ 2

2

1

0

(0) t

S-a demonstrat că:

( )TF t, d = x(0) w

xSTFT tω ω π

− ∞

∞∨∫ 2 () (25)

Valoarea integralei I este deci:

I = x( ) w t dt = x( ) w t dt

2 0 2 0π π∨

− ∞

∞∨

− ∞

∞

∫ ∫() ()

Până acum s-a presupus că fereastra temporală w()t este de energie unitară.Dacă facem ipoteza suplimentară că fereastra temporală este şi absolut integrabilă,atunci putem afirma că integrala I este convergentă.

Dar valoarea sa este diferită de energia semnalului x(t). Deci proprietatea P1nu este satisfăcută. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtănu este o densitate spectro-temporală de energie. Totuşi trebuie remarcat că ea

reprezintă o izometrie până la o constantă de proporţionalitate între spaţiile ( )R2L şi

( )22 RL , [89].

R2. ( )TF ExSTFT

xt, dt d =

ω ω π2

2− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ (26)

Demonstraţie:

( ) ( ) ( )TFxSTFT t, = x( ) w t ω τ τ ω F −

Se calculează pentru început integrala:


( ) ( ) ( )I TF dxSTFT= t,

-d = x( ) w t

-

ω ω τ τ ω ω2 2

∞

∞

∞

∞

∫ ∫ −F

Aplicând relaţia lui Parseval se obţine:

( ) ( )I = 2 x( ) w t-

d = 2 x( ) w t d-

π τ τ τ π τ τ τ− −∞

∞

∞

∞

∫ ∫2 2 2 (27)

Cu notaţiile:

x( ) = f( )τ τ2

şi ( )w t = g( t)τ τ− −2

ultima relaţie devine:

( )I = 2 f( ) g( t) d = f(t) g (t)

π τ τ τ π− ∗− ∞

∞∨∫ 2

De aceea:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

TF

t

xSTFT t, d dt = 2 f(t) g (t) dt = f(t) g (t) =

= f(t) g

ω ω π π

π

22 0

2 0 0

− ∞

∞

− ∞

∞∨

− ∞

∞∨

∨

∫∫ ∫ ∗ ∗F

F F

(28)

Dar:

( )F f(t) = x(t) dt =

02 E x

− ∞

∞

∫şi:

( )F g (t) = w (t) dt = w (t) = w(t) =

∨ ∨ ∨

− ∞

∞

∫0 12 2 2

2 2L L

În consecinţă:

( )TF ExSTFT

xt, dt d =

ω ω π2

2− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Relaţia (26) este demonstrată.


De fapt şi funcţia ( )TFxSTFT t, ω

2 este o reprezentare timp-frecvenţă. Ea poartă

numele de spectrogramă. Pe baza observaţiei R2 se poate afirma că spectrograma areproprietatea P1, adică se poate spune că această reprezentare timp-frecvenţă este odensitate spectro-temporală de energie.

În continuare vom utiliza pentru spectrogramă următoarea notaţie:

( ) ( )TF TFxS

xSTFTt, = t, ω ω

2(29)

Trebuie remarcat că spectrograma nu mai are proprietatea de liniaritate (R1).În schimb profitând de liniaritatea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformareFourier scurtă poate fi scrisă relaţia:

( ) ( ) R (t) x 21 L∈∀ şi ( )R (t)x 2

2 L∈ şi ( ) C , ∈∀ βα

( ) ( ) ( ) ( )TF TF TF TFx + xS

x + xSTFT

x STFT

xSTFT

α β α βω ω α ω β ω1 2 1 2 1 2

2 2

t, = t, = t, + t, =

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

= t, + t, t, + t, =

= t, + t, + t, t, +

+ t, t, = t, + t, +

+

*

* *

* *

α ω β ω α ω β ω

α ω β ω αβ ω ω

α β ω ω α ω β ω

⋅ ⋅ ⋅ ⋅TF TF TF TF

TF TF TF TF

TF TF TF TF

xSTFT

xSTFT

xSTFT

xSTFT

xS

xS

xSTFT

xSTFT

xSTFT

xSTFT

x S

xS

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

( ) ( )( )21 2

Re t, t, * * αβ ω ωTF TFx

STFTxSTFT

S-a demonstrat în acest fel că:

( )

( ) ( ) ( ) ( )( )TF

TF TF TF TF

x xS

xS

xS

xSTFT

xSTFT

α β ω

α ω β ω αβ ω ω

⋅ ⋅

1 2

1 2 1 2

2 22

+

t, =

= t, + t, + Re t, t, * * (30)

Proprietatea exprimată de relaţia (30) se numeşte biliniaritate.De fapt o transformare T este numită biliniară dacă satisface relaţia:

T T T

T T

x + x , x + x = x x + x x +

+ x x + x x * *

α β α β α β

αβ α β

1 2 1 22

1 1

2

2 2

1 2 2 1

, ,

, ,(30')


În cazul spectrogramei:

( ) ( ) ( )( )T TF TFxSTFT

xSTFT x x t, = t, t,

*1 2 1 2, ω ω ω

adică: ( ) ( )T TFx

S x x t, = t, 1 1 1, ω ω

Ţinând seama de această observaţie se constată identitatea relaţiilor (30) şi (30').Deci spectrograma este o reprezentare timp-frecvenţă biliniară. Cel de-al

treilea termen din relaţia (30) este numit termen de interferenţă. El exprimă modul încare se influenţează reprezentările timp-frecvenţă ale componentelor x (t)1 şi x (t)2 înstructura reprezentării timp-frecvenţă a semnalului α β x (t) + x (t)1 2 . Evident elderanjează "lizibilitatea" spectrogramei semnalului α β x (t) + x (t)1 2 .

În continuare se verifică dacă reprezentarea timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă sau spectrograma prezintă proprietăţi "marginale" utile. Cualte cuvinte se verifică dacă proprietatea P2 din paragraful 1.2, este sau nu verificatăde către aceste reprezentări timp-frecvenţă. În acest scop trebuie estimate integralele:

( ) ( )

( ) ( )

I TF I TF

I TF I TF

xSTFT

xSTFT

xS

xS

1 2

3 4

= t, d ; = t, dt ;

= t, d ; = t, dt ;

ω ω ω

ω ω ω

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

∫ ∫

Integrala I1 a fost calculată în relaţia (25). Întrucât:

2 02

π x( ) w (t) x(t)∨ ≠

rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu arecomportări "marginale" utile (nu verifică proprietatea P2). La aceeaşi concluzie s-ar fiajuns şi calculând integrala I2. Integrala I3 a fost calculată în relaţia (27). Deoarece:

( )2 x(t) w (t) x(t)π2 2 2∗ ≠∨

se poate afirma că nici spectrograma nu verifică proprietatea P2.Analizând proprietatea P3 din paragraful 1.2 se constată că nici aceasta nu este

verificată de reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă


( ( ) C t, ∈ωSTFTxTF ). În schimb se poate afirma că această proprietate este verificată

de spectrogramă. În continuare se verifică cauzalitatea celor două reprezentări timp-frecvenţă care reprezintă subiectul acestui paragraf. Prima dintre ele, reprezentareatimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, se poate exprima pe bazaconvoluţiei dintre semnalele u(t) şi w (t)∨ (relaţia (23)). Deci ea poate fi privită carăspuns al sistemului cu răspunsul la impuls w (t)∨ la semnalul u(t). Dar acest sistemnu este unul cazual. În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă detipul transformare Fourier scurtă nu este cauzală. Din acest motiv rezultă că nicispectrograma nu este cauzală. În consecinţă nici una dintre reprezentările timp-frecvenţă descrise în acest paragraf nu are proprietatea P4 din paragraful 1.2. Încontinuare se analizează inversabilitatea celor două reprezentări timp-frecvenţă(proprietatea P5 din paragraful 1.2). Conform proprietăţii următoare reprezentareatimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este inversabilă:

P5. ( ) ( )x(t) = 1

2 , w t e d d

πτ ω τ ω τωτTFx

STFT j−−∞

∞

−∞

∞

∫∫ (31)

Nu acelaşi lucru se poate afirma însă şi despre spectrogramă. Într-adevăr, pot existadouă semnale x (t)1 şi x (t)2 distincte pentru care:

adică:

( ) ( )

( ) ( )

TF TF

TF TF

xSTFT

xSTFT

xS

xS

1 2

1 2

t , t ,

t , t ,

ω ω

ω ω

≡

≡

Dacă spectrograma ar fi descrisă de un operator inversabil, atunci ultimarelaţie ar implica identitatea semnalelor x (t)1 şi x (t)2 . În concluzie spectrograma nuare proprietatea P5 din paragraful 1.2.

Se analizează în continuare modul în care reacţionează cele două reprezentăritimp-frecvenţă care constituie subiectul acestui paragraf la translaţii în planul timp-frecvenţă. Se consideră în acest scop semnalul x (t)to o,ω definit în enunţul proprietăţiiP6 din paragraful 1.1. Se stabileşte legătura între reprezentările timp-frecvenţă alesemnalelor x (t)to o,ω şi x(t) .

( ) ( ) ( )TFxto o

STFTo

j jo

,ω

ω τ ωτω τ τ τt, = x t e w t e d

− − −

− ∞

∞

∫


Făcând schimbarea de variabilă:τ − t = uo

se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )TFxto o

STFT jo

jo o o

,ω

ω ω ω ωωt, = e x u w u t t e du t u

− − − −

− ∞

∞

− −∫

Legătura căutată este deci:

( ) ( ) ( )TF TFxto o

STFT jxSTFT

o oo o

,ω

ω ωω ω ωt, = e t t , t− − − − (32)

Deci relaţia (11) (care descrie proprietatea P6 din paragraful (1.1) nu este satisfăcutăstricto-senso. Ea este totuşi verificată cu excepţia unui factor de proporţionalitate demodul unitar. Luând modulul în cei doi membrii ai relaţiei (32) şi ridicând la pătrat seobţine:

1P6. ( ) ( )TF TFxto o

SxS

o o,ωω ω ωt, = t t , − − (33)

Cu alte cuvinte spectrograma este invariantă la translaţii în planul timp-frecvenţă.Se analizează în continuare modul în care reacţionează reprezentările timp-

frecvenţă care constituie subiectul acestui paragraf la dilatare, convoluţie şi modulaţieîn domeniul timp. Se constată că nici transformarea Fourier scurtă, nici spectrogramanu au proprietăţile P7 şi P8 din paragraful 1.2, iar proprietatea P9 o are doarspectrograma [59]. Referitor la proprietatea P10, se poate afirma că reprezentareatimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nu verifică formula lui Moyal. Înschimb poate fi demonstrată o formulă de tipul:

1P10. ( ) ( )( )TF TFxSTFT

ySTFTt,

t, dt d = x(t) y (t) dt

* *ω ω ω π− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ∫2 (34)

Se constată că în cazul particular când semnele x şi y sunt identice relaţia (34) setransformă în relaţia (26). Relaţia (34) poate fi pusă şi în forma:

( ) ( ) ( ) ( )2222 RRy x, 2 = t,TF , t,TF LL

STFTy

STFTx πωω (34’)

Deci izometria până la constanta de proporţionalitate 2π, dintre spaţiile ( )22 RL şi

( )R2L , introdusă de transformarea Fourier scurtă conservă produsul scalar.


Nici spectograma nu verifică formula lui Moyal.În continuare se verifică proprietăţile utile pentru analiza nestaţionarităţilor

din semnalul de analizat, prezentate în paragraful 1.1.Se consideră în acest scop semnalul:

x(t) = (t) (t t )σ σ− − o

Suportul său temporal este intervalul [ )0, t o . Transformata sa Fourier scurtă sepoate exprima, conform relaţiei (23), în forma:

( )TFxSTFT jt, = x(t) e w (t) tω ω− ∨∗

Proprietăţi Reprezentarea timp frecvenţă ObservaţiiFourier scurtă

TFSTFTSpectogramă

TFS

Liniaritate Da Nu 1R1

Biliniaritate Nu DaDensitate spectro-temporală de energie

Nu Da 1R2

Marginale (P2) Nu NuPozitivitate (P3) Nu DaCauzalitate (P4) Nu NuInversabilitate (P5) Da Nu 1P5

Invarianţă la translaţie (P6) Nu Da 1P6

Invarianţă la scalare (P7) Nu NuConvoluţie (P8) Nu NuModulaţie (P9) Nu DaUnitaritate (P10) Nu Nu 1P10

Conservarea suporturilor (P11) Nu NuIdentif. staţionar. (P12) Nu NuConcentrare pe legea frecvenţeiinstantanee (P13)

Nu Nu

Tabelul 2.2.1 Proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă şispectogramă.

Chiar dacă suportul ferestrei temporale este limitat, suportul reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă va avea o lungime mai mare decâtlungimea intervalului [ ]0, to . În consecinţă se poate afirma că proprietatea P11, din


paragraful 1.1, nu este verificată de către reprezentările timp-frecvenţă care reprezintăsubiectul acestui paragraf.

Nici proprietatea de identificare a semnalelor staţionare, P12, nu esteverificată de către reprezentările timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă,respectiv spectrogramă. De asemenea se poate afirma că aceste reprezentări timp-frecvenţă nu se concentrează "perfect" pe legea temporală a frecvenţei instantanee asemnalului de analizat, aşa cum pretinde proprietatea P13 din paragraful 1.2.

Rezultatele obţinute în acest paragraf sunt sintetizate în tabelul 2.2.1.

2.3 EXEMPLU

În continuare se vor calcula reprezentările timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă, respectiv spectrogramă, pentru un semnal nestaţionardeterminist de energie finită. Pe acest exemplu vor fi evidenţiate proprietăţiledemonstrate în paragraful precedent.

Se consideră semnalul modulat în amplitudine:

x (t) = e t t

12

2−π

ωcos o

Se va utiliza fereastra temporală:

w(t) = e −π2

2t

adică se va calcula transformarea Gabor:

( ) ( )TF cosx

STFTo

j1

2 2

2 2t, = e e e d

t ω ω τ τπτ

πτ ωτ−

− ∞

∞− − −∫

Ultima relaţie poate fi pusă în forma echivalentă:

( ) ( )( )TF cosxSTFT t

oj

1

2 2

2t, = e e d +

ω ω τ τπ

τ τ ωτ− −

− ∞

∞−∫

respectiv în forma:

( )TF cosxSTFT t

t

oj

1

2

2

22

2t, = e e e d

ω ω τ τππ

τ ωτ− − −

− ∞

∞−∫

2.3 Exemplu 41

Pentru orice valoare a lui t, integrala din membrul drept reprezintă transformareaFourier a semnalului obţinut prin modularea în amplitudine a semnalului purtătorcos o ω τ cu un semnal modulator de tip Gaussian. Se poate deci scrie:

( )TF cosxSTFT t

o1

2

2

22

2t, = e e ( t

ω ω τ ωπ

πτ− − −

F )

Aplicând proprietăţile transformării Fourier de întârziere în timp, scalare în timp şimodulaţie se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

TF cos cos

sin sin

xSTFT t o o

t o o

o o

o o

1

2

2 2

2

2 2

1

2 2 2

1

2 2 2

4 4

4 4

t, = e e + t

+e t

j e e+ t

+e t

+

+

ωω ω ω ω

ω ω ω ω

πω ω

π

ω ω

π

πω ω

π

ω ω

π

− − −−

− − −−

−

−

−

−

(35)

De aceea spectrograma acestui semnal are expresia:

( )( ) ( )

TF cosxSTFT t

o o o

1

2

2 2 2 2

22 2 2

1

42t, = e e + e + e t

+

+

ω ωπω ω

π

ω ω

πω ω

π− ⋅ − −−

−

(36)

Analizând modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourierscurtă se constată că aceasta este rădăcina pătrată a unei sume de trei distribuţiiGaussiene. Fiecare este o distribuţie mixtă timp-frecvenţă. În cazul primilor doitermeni variabilele timp şi frecvenţă sunt separate. În cazul celui de al treilea termenvariabilele nu sunt separate, datorită factorului cos tω . Oricum, din punct de vedereal distribuţiei în domeniul timp se constată că toţi cei trei termeni au maxime înorigine (t = 0) .Ţinând seamă de faptul că:

− ≤ ≤ t 1 1cos ωrezultă :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

e e e + e + e t

e + e

+

+

+

+

− −−

− −−

−

− −−

−

≤ ≤

≤

ω ω

π

ω ω

π

ω ω

π

ω ω

πω ω

π

ω ω

π

ω ω

π

ωo o o o o

o o

cos2 2 2 2 2 2

2 2

4 4

2

2 2 2

4 4

2

2

(37)


Având în vedere că primul membru şi ultimul membru al relaţiei de mai sus nu depindde timp şi că aceasta se poate pune în forma:

( ) ( )( )

( ) ( )

1

4

1

2

2

2 2

2 2 2

4 4

2 4 4

e e e TF t,

e +e

+

+

− − −−

− − −−

− ≤ ≤

≤

πω ω

πω ω

π

π ω ωπ

ω ωπ

ωtxSTFT

t

o o

o o

rezultă comportamentul Gaussian (dat de factorul e

−π t2

2 ) al modului reprezentăriitimp-frecvenţă a semnalului din acest exemplu, în domeniul timp. Acestcomportament descrie primul factor din expresia semnalului x (t)1 . Comportarea îndomeniul frecvenţă a semnalului este descrisă de radicalul celui de al doilea membrudin relaţia (37). Aceasta este mărginit inferior de funcţia:

( ) ( )A

o o

( ) = e e

+

ωω ω

π

ω ω

π− −

−

−

2 2

4 4

şi superior de funcţia:

( ) ( )B

o o

( ) = e + e

+

ωω ω

π

ω ω

π− −

−2 2

4 4

Cu notaţiile:

( )α ω

ω ω

π( ) = e

+ − o

2

4 şi ( )

β ωω ω

π( ) = e

−

− o2

4

ultimele două relaţii devin:

A( ) = ( ) ( )ω α ω β ω−şi

B( ) = ( ) + ( )ω α ω β ω

Se constată că funcţiile α ω( ) şi β ω( ) sunt Gaussiene, centrate pe pulsaţiile − ωo şiωo. În continuare se consideră că valoarea pulsaţiei ωo este suficient de mare, astfelîncât să aibă loc relaţia:

2.3 Exemplu 43

e −

<<ωπo2

4 1

Dacă acestă ipoteză este satisfăcută atunci pot fi făcute aproximaţiile:

( )A B B( ) = ( ) ( ), ω ω α ω ω≅ ∀ ∈ −

unde B_ reprezintă un interval de pulsaţii centrat pe - ωo, respectiv:

( )A B B( ) = ( ) ( ), ω ω β ω ω≅ ∀ ∈ +

în care B + reprezintă un interval de pulsaţii centrat pe ωo.În consecinţă se poate afirma că modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul

transformare Fourier scurtă are o comportare în domeniul frecvenţă descrisă de funcţiaα ω( ) în intervalul de pulsaţii B_ şi de funcţia β ω( ) în intervalul de pulsaţii B+. Daraceste funcţii au valori maxime la pulsaţiile − ωo şi ωo. În consecinţă se poate afirmacă reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă are maxime înplanul timp-frecvenţă poziţionate pe dreptele de ecuaţie: ω ω = o şi ω ω = − o .Acest comportament descrie faptul că semnalul x (t)1 este un semnal modulat, pulsaţiapurtătoare fiind ωo. Este evidenţiat în acest mod factorul cos o tω din expresiasemnalului x (t)1 .

Deoarece, pulsaţia instantanee a semnalului x (t)1 este ωo, se poate afirma căreprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Gabor a acestui semnal seconcentrează pe legea pulsaţiei sale instantanee. Această concentrare este specificăunor funcţii Gaussiene şi nu satisface exigenţele proprietăţii P13. Având în vederefaptul că orice reprezentare timp-frecvenţă, fiind o funcţie de două variabile, poate ficonsiderată ca fiind o imagine, rezultă că pentru creşterea concentrării sale pe legea devariaţie a frecvenţei instantanee, pot fi folosite tehnicile de detecţie de maxim dinprelucrarea imaginilor. Utilizând aceste tehnici reprezentarea timp-frecvenţăconsiderată poate fi transformată într-o altă imagine care să descrie o nouăreprezentare timp-frecvenţă. Aceasta va satisface exigenţele proprietăţii P13. În acelaşimod poate fi prelucrată o reprezentare timp-frecvenţă pentru a se obţine o nouăreprezentare bidimensională care să satisfacă oricare dintre proprietăţile enunţate încapitolul precedent. Practic este vorba despre o filtrare în planul timp-frecvenţă.Evident filtrul bidimensional folosit poate fi liniar sau nu. Aceste tehnici de filtrare înplanul timp-frecvenţă sunt prezentate pe larg în [59]. Alte exemple de reprezentăritimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă respectiv spectrogramă vor fiprezentate în capitolele următoare. Este vorba în special de capitolul 8 dedicatprogramelor de calcul ale reprezentărilor timp frecvenţă. Aşa cum


se va vedea majoritatea programelor concepute pentru calculul acestor reprezentări aufacilitatea de a calcula şi reprezentarea de tipul transformare Fourier scurtă.

Deşi a fost una dintre primele reprezentări timp frecvenţă introduse totuşiexistă numeroase aplicaţii practice ale reprezentării timp frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă. Ultimul capitol al acestei cărţi va evidenţia câteva dintreaceste aplicaţii. Explicaţia rezidă în asemănarea dintre transformarea Fourier scurtă şitransformarea Fourier tradiţională. De accea este uşor de modificat un algoritm deprelucrare a semnalelor staţionare bazat pe utilizarea transformării Fourier într-unalgoritm de prelucrare a semnalelor nestaţionare bazat pe utilizarea transformăriiFourier scurte.

Capitolul 3

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL “FUNCŢIE DEINCERTITUDINE “

Unul dintre dezavantajele reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformareFourier scurtă este numărul redus de proprietăţi utile ale acestei reprezentări.O cauză este aceea că fereastra temporală folosită este o funcţie care descrie un semnalstaţionar. În consecinţă fereastra temporală nu se poate adapta la nestaţionarităţilesemnalului de analizat. Pentru a putea face această adaptare ar fi necesar ca fereastratemporală să depindă de semnalul de analizat. În acest mod se pot obţine noireprezentări timp-frecvenţă, care se diferenţiază prin legea care exprimă legăturadintre fereastra temporală şi semnalul de analizat. Una dintre acestea este şireprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. Această reprezentareeste definită de relaţia:

( )TFxFI jt, = x +

t x *

t e d

ω τ τ τω τ

2 2

−

− ∞

∞

∫

Dacă în integrala din membrul drept se face schimbarea de variabilă:

τ + t

= u2

se obţine:

( )

( )

t, = x (u) x (u t) e du =

= e x (u) x (t u) e du = e t,

*

*

*

**

TF

TF

xFI j u

t

jt

j u jt

xSTFT

ω

ω

ω

ω ω ω

− ∞

∞−

−

− ∞

∞∨ − −

∫

∫

−

−

2

2 2

(38)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţiede incertitudine este o reprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourierscurtă, cu fereastra temporală:

w( ) = x( )τ τ

3.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE FUNCŢIEI DE INCERTITUDINE

În relaţia (37), reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudineeste exprimată ca şi o integrală a produsului dintre variantele avansată şi întârziată ale

46 3.1. Exprimări alternative ale funcţiei de incertitudine

semnalului de analizat. În continuare se prezintă o exprimare alternativă a acesteireprezentări timp-frecvenţă bazată pe transformarea Fourier a semnalului x(t), X( )ω .În acest scop se constată faptul că:

( ) ( ) ( )TFxFI t, = x +

t x*

t , t R ω τ τ ωF

2 2

−

− ∀ ∈

Deci pentru fiecare număr real t, reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţiede incertitudine poate fi exprimată ca şi o transformare Fourier. De aceea, folosindproprietatea de înmulţire în timp a transformării Fourier, ultima relaţie se mai poatescrie sub forma:

( ) ( ) ( )TFxFI t, = x +

t x

t *ω

πτ ω τ ω

1

2 2 2F F

− ∗ −

−

(39)

Folosind proprietatea de translaţie în timp a semnalului x(t) se poate scrie:

( ) ( )F x + t

= e

τ ω ωω

22

− −− j

t

X

şi:

( ) ( )F x t

= e * * τ ω ω

ω−

−2

2j

t

X

De aceea relaţia (39) devine:

( )

( )

TF X X

X X

X X

xFI j

tj

t

j ut

j ut

jt

t, = e ( ) e * ( ) =

= e ( u) e * ( u) du =

= e

( u) * ( u) e du

- jut

ωπ

ω ω

πω

πω

ω ω

ω

ω

1

2

1

2

2

2 2

2 2

2

−

− −

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∗

− −

− −

∫

∫

3. Reprezentarea timp frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine 47

Efectuând în ultima integrală schimbarea de variabilă:

ωω

− u = + v2

se obţine:

( )TF X XxFI

jt

j t t, =

e v * v + e dv

v ω

πω ω

ω ω22

2 2 2−

− ∞

∞−

∫

sau:

( )TF X XxFI j t t, = v * v + e dv

v ωπ

ω ω1

2 2 2−

− ∞

∞

∫ (40)

Aceasta este o formulă alternativă celei din relaţia (37) pentru calculul reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine.

Această reprezentare timp-frecvenţă a fost utilizată pentru prima dată înradiolocaţie. În continuare se explică semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine, în legătură cu problema de bază a radiolocaţiei. Seconsideră că radiolocatorul emite unda electromagnetică s(t). În urma reflectăriiacesteia pe suprafaţa avionului şi a întoarcerii sale se recepţionează unda s(t)r .Legătura între aceste semnale este:

s (t) = s(t t ) e ( )r o

j t to− −∆ω (41)

Pe baza măsurării întârzierii to se poate determina distanţa dintre ţintă şi radiolocator.Pe baza măsurării deviaţiei de frecvenţă ∆ ω se poate măsura valoarea vitezeiinstantanee a ţintei. Spectrul semnalului s(t)r este:

S ( ) = e S( ) r

j toω ω ωω− − ∆ (42)

Filtrul adaptat la semnalul s(t) are răspunsul în frecvenţă, [130]:

H Saj t i( ) = k e * ( ) ω ωω⋅ ⋅−

unde ti reprezintă momentul la care are loc maximizarea raportului semnal pe zgomotla ieşirea acestui sistem.

48 3.1 Exprimări alternative ale funcţiei de incertitudine

Pentru: t = i 0 ultima relaţie devine:

H So ( ) = k ( )ω ω*

Răspunsul acestui filtru la semnalul recepţionat, s(t)r este:

( )y (t, t , ) = k

( ) ( ) e d*

o

j t tS S o∆ ∆ωπ

ω ω ω ωω

2− −

− ∞

∞

∫

Cu notaţia:

t t = − o τ

şi schimbarea de variabilă:

ωω

= u−∆2


y ( , ) = k

u +

u

e du e*

τ ω

πω ω τ τ

∆∆ ∆ ∆ω

2 2 22S S j u j

−

− ∞

∞

∫

Făcând abstracţie de factorul de modul unitar e j∆ω2τ

şi considerând pentru constantak valoarea 1, ultima relaţie devine:

y ( , ) = +

e d*

1

1

2 2 2τ ω

πω

ωω

ωωωτ∆

∆ ∆S S j

−

− ∞

∞

∫Dar:

Sj t* *

+

= s (t' ) e dt'ωω ω

ω∆ ∆

22

+

− ∞

∞

∫'

şi deci:

3 Reprezentarea timp frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine 49

y ( , ) = s (t' ) e

e d* +

'

1

212 2

τ ωπ

ωω

ωω

ωω τ∆

∆∆j t

jS

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ −

Cu schimbarea de variabilă:

ωω

ω

= '−∆2

şi cu observaţia:

( ) ( ' ) e d ' = s ( + t' ) ' ' +

1

2πω ω τω τS j t

− ∞

∞

∫


y ( , ) = s (t' ) s ( + t' ) e dt'*

+ '

1

2τ ω τω

τ ω∆

∆∆j t

− ∞

∞

∫

sau cu schimbarea de variabilă:

t = t' + τ2

y ( , ) = s t s t + e dt*

+ -

1

2 2

2 2τ ω

τ τω

τ ωω

τ∆

∆∆

∆

−

− ∞

∞

∫j t

Aşadar:

y ( , ) = s t s t + e dt*

1 2 2

τ ωτ τ ω∆ ∆−

− ∞

∞

∫ j t (43)

Deci modulul răspunsului filtrului adaptat la semnalul emis s(t), pentru semnalulrecepţionat s(t)r , este egal cu modulul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine a semnalului emis. Iată semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine. În continuare se arată cum poate fi utilizatăreprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine la măsurarea mărimilor toşi ∆ ω. În acest scop se stabileşte legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tipulfuncţie de incertitudine ale semnalelor, emis s(t) şi recepţionat s(t)r .

50 3.1 Exprimări alternative ale funcţiei de incertitudine

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a semnaluluirecepţionat este:

( )TFt t

sFI

r rj

rt, = s + s e d

*ω τ τ τωτ

2 2

−

− ∞

∞

∫

Ţinând seama de relaţia (41), ultima relaţie devine:

( )TFt t

sFI j t

o oj

rt, = e s t + s t e d

*ω τ τ τω ωτ∆ −

− −

− ∞

∞

∫ 2 2

sau, cu schimbare de variabilă:τ − t = uo

se poate scrie:

( ) ( ) ( )TF TFsFI j t t

sFI

r

ot, = e t, + ω ωω ω∆ (44)

Având în vedere că semnalul emis s(t) este cunoscut, reprezentarea sa timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine poate fi calculată. Ea se consideră deci cunoscută. Prinînregistrarea semnalului recepţionat s(t)r şi prin calculul reprezentării sale timp-

frecvenţă poate fi determinată exponenţiala complexă ( )e + j t to∆ ω ω . Particularizândrelaţia (44) la ω = 0 se obţine:

( ) ( )TF TFsFI j t

sFI

rt, = e t, 0 0∆ ω (45)

Se determină semnificaţia fizică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine a semnalului emis la ω = 0:

( )TFt t

rsFI

s st, = s + s d = * (t)

* 0

2 2τ τ τ

−

− ∞

∞

∫ (46)

Deci proiecţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul( )A, t, 0 reprezintă autocorelaţia semnalului analizat.În consecinţă relaţia (45) se mai scrie:

3. Reprezentarea timp frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine 51

( ) ( )

Re TF r cos r

TF r

sFI

s s

srFI

s s

r s s m

m s s m

t, = Re * (t) t I * (t) sin t

I t, = Re r* (t) sin t + I * (t) cos t

0

0

−

∆ ∆

∆ ∆

ω ω

ω ω

Prin rezolvarea acestui sistem de ecuaţii pot fi determinate funcţiile cos t∆ ω şisin t∆ ω şi deci mărimea ∆ ω.Particularizând relaţia (44) la t = 0, se obţine:

( ) ( )TF TFsrFI j t

sFIo0 0, = e , ω ωω (47)

Dar:

( )TFsFI j0

2, = s( ) e d

ω τ ωω τ

− ∞

∞

∫ (48)

funcţie care poate fi determinată având în vedere că semnalul emis este cunoscut.Deoarece s( )τ

2 este o funcţie reală şi pară, rezultă (pe baza relaţiei (48)) că funcţia

( )TFsFI 0, ω este o funcţie reală. Relaţia (47) conduce la sistemul:

( ) ( )

( ) ( )

Re TF cos TF

TF sin TF

srFI

o sFI

m srFI

o sFI

, = t ,

I , = t ,

0 0

0 0

ω ω ω

ω ω ω

Rezolvând acest sistem pentru orice valoare a pulsaţiei ω se obţin funcţiile sin o tωşi cos o tω şi cu ajutorul lor valoarea întârzierii to. Se constată că impreciziile de

calcul respectiv măsurare a reprezentărilor timp-frecvenţă ( )TFsFI t, ω , ( )TFs

FIr

t, ωsunt cauza impreciziilor de determinare ale mărimilor to şi ∆ ω . Deci incertitudineaasupra valorilor acestor reprezentări timp-frecvenţă determină incertitudinea asupravalorilor to şi ∆ ω . Iată de ce aceste reprezentări timp-frecvenţă sunt numite de tipulfuncţie de incertitudine. În încheierea acestui paragraf trebuie specificat că la fel ca şiîn cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă şireprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine poate fi exprimată ca şitransformare Fourier a unui nucleu. În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă expresia nucleului era:

52 3.2 Proprietăţile funcţiei de incertitudine

( )KSTFT , t = x( ) w( t)τ τ τ − (49)

În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine estevalabilă relaţia:

( )TFt t

xFI t, = x + x *−

−

ω τ τF2 2

(50)

şi deci expresia nucleului este:

( )Kt t

FI τ τ τ, t = x + x *2 2

−

(51)

3.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPULFUNCŢIE DE INCERTITUDINE

În continuare se investighează proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine (RTFFI). Pentru început se verifică dacă aceastăreprezentare este liniară sau biliniară. În acest scop se consideră semnalele de energiefinită x (t)1 şi x (t)2 cu reprezentările timp-frecvenţă ( )TFx

FI1

t, ω şi ( )TFxFI2

t, ω şi

constantele complexe α şi β . Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipulfuncţie de incertitudine a semnalului α βx + x1 2 .

( )TF

*

x xFI j

j

α βωτ

ωτ

ω α τ β τ α τ β τ τ

α τ τ τ β τ τ

1 21 2 1 2

21 1

22 2

2 2 2 2

2 2 2

+

*

t, = x +t

+ x +t

xt

+ xt

e d

= x +t

xt

e d + x +t

x*

−

−

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫t

e d +

+ x +t

x* t e d + * x* t

x +t

e d

*

2

2 2 2 21 2 1 2

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫ ∫

j

j j

ωτ

ωτ ωτ

τ

αβ τ τ τ α β τ τ τ

E clar că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nu este liniară.Cu notaţia:

3 Reprezentarea timp frecvenţă de tip funcţie de incertitudine 53

( )TFx xFI j t1 2 1 22 2

t, = x +

t x* t

e dω τ τ τω

−

− ∞

∞

∫ (52)


( ) ( ) ( ) ( )

( )

TF TF TF TF

TF

x xFI

xFI

xFI

x xFI

x xFI

α β ω α ω β ω αβ ω

α β ω1 2 1 2 1 2

2 1

2 2+

*

*

t, = t, + t, + t, +

+ t,

(53)

Se contată identitatea relaţiilor (30') şi (53) dacă:

( )T x x j t , t, = x +t

x* t e d

1 2 1 22 2

ω τ τ τω

−

− ∞

∞

∫

Se poate deci afirma că: 2 1R . Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este biliniară.

Ţinând seama de simetria prezentă în definiţia reprezentării timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine poate fi formulată o altă proprietate a acestei reprezentări.În acest scop se calculează:

( )TFxFI j t, = x

t x +

t e d*

− − −

− ∞

∞−∫ω τ τ τωτ

2 2

Trecând în ambii membrii la conjugata complexă se obţine:

( ) ( )TF TFxFI j

xFI* *

t, = x +

t x

t e d = t, − −

−

− ∞

∞

∫ω τ τ τ ωωτ2 2

(54)

În acest mod s-a demonstrat că:

2 2R . Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este o funcţiecomplexă conjugat simetrică.

În continuare se studiază modul în care reacţionează reprezentarea de tipulfuncţie de incertitudine la translaţii în planul timp-frecvenţă. Pentru început sestudiază reacţia la translaţii în timp.


În acest scop se consideră semnalul x(t) cu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul

funcţie de incertitudine ( )TFxFI t, ω . Fie:

x (t) = x(t t )1 − o

Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine asemnalului x (t)1 :

( )TFxFI j1 1 12 2

t, = x +t

xt

e d*

ω τ τ τωτ

−

− ∞

∞

∫

Făcând schimbarea de variabilă:

τ − =t u0

se obţine:

( ) ( )TFxFI j u to1 2 2

t, = x u + t

x u t

e du

* + ω ω

−

− ∞

∞

∫În consecinţă:

( ) ( )TF TFxFI j t

xFIo

1t, = e t, ω ωω− ⋅ (55)

Unei translaţii în domeniul timp îi corespunde înmulţirea cu o exponenţială complexă(comportare specifică transformatei Fourier). Se constată că:

( ) ( )TF TFxFI

xFI

o1t, t t , ω ω≠ −

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nu are proprietateaP5 din paragraful 1.2.

În continuare se studiază modul în care această reprezentare timp-frecvenţăreacţionează la translaţii în domeniul frecvenţă. Fie în acest scop semnalul:

x (t) = x(t) e 2

j toω

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a acestui semnal este:


( )TFxFI j j t jo

2 2 22 2 2 2

t, = x + t x t e d = x + t x t e e d*

*

ω τ τ τ τ τ τωτ ω ωτ

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

Deci:

( ) ( )TF TFxFI j t

xFIo

2t, = e t, ω ωω ⋅ (56)

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este invariantă laînmulţirea cu exponenţiale complexe în domeniul timp. Deoarece:

( ) ( )TF TFxFI

xFI

o2t, t, ω ω ω≠ −

rezultă că această reprezentare timp-frecvenţă nu este invariantă nici la translaţii îndomeniul frecvenţă. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine asemnalului:

( )x (t) = x t t e t o

j to o

o,ω

ω−

este legată de reprezentarea timp-frecvenţă de acelaşi tip a semnalului x(t), pe bazaproprietăţilor de mai sus (relaţiile (55) şi (56)) prin formula:

( ) ( )TF TFx xto o

o oFI j t j t FI,ω

ω ωω ωt, = e e t, − (57)

Deşi nu este invariantă la translaţii în planul timp-frecvenţă, totuşi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pune bine în evidenţă valorile constantelorωo şi to. Această proprietate o face foarte utilă. În continuare se studiază proprietăţile marginale ale reprezentării timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine. În acest scop se calculează:

( )I TFxFI

ω ω ω = t, d − ∞

∞

∫Se mai poate scrie:

I jω

ωττ τ ω τ = x + t

x t

e d d*

2 2

−

− ∞

∞−

− ∞

∞

∫ ∫


Dar:

( ) ( ) ( ) e d = =

−

− ∞

∞

∫ j ωτ τ ω τ π δ τF 1 2

În consecinţă:

Iω π = x t

xt

x(t)*22 2

2

−

≠

Deci nici proprietatea P2 din paragraful 1.2 nu este satisfăcută. Totuşi reprezentareatimp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are o proprietate marginală interesantăîn domeniul frecvenţă. Pentru a evidenţia această proprietate se calculează:

( )TFxFI t, = x +

t x

t d*

0

2 2τ τ τ

−

− ∞

∞

∫


u = t

τ −2


( )TFxFI

xxt, = x (u) x (u + t) du = r (t)*

*0− ∞

∞

∫ (58)

Deci proiecţia reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planulamplitudine-timp reprezintă autocorelaţia semnalului de analizat. În consecinţăvaloarea în origine a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine asemnalului x(t) este tocmai energia acestui semnal:

( )TF ExFI

x0 0, = (59)

Pentru a vedea comportarea marginală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţiede incertitudine, în domeniul timp se calculează:


( )I TFt xFI= t, dt

ω

− ∞

∞

∫

Ţinând seama de formula din relaţia (40), integrala It devine:

I X Xtj t= v v + e dt dv*

v

1

2 2 2πω ω

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

Dar:

( ) ( )1

211

πν δ e dt = = (v)j v t

− ∞

∞−∫ F t

În consecinţă:

I X Xt = *−

ω ω2 2

Se poate afirma că It nu reprezintă o densitate spectrală de energie. Proiecţiareprezentării timp frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine pe planul amplitudine -frecvenţa are expresia:

( )TF X XxFI 0

1

2 2 2, = v v + dv*

ω

πω ω

−

− ∞

∞

∫


v = u−ω2


( ) ( ) ( )TF X XxFI

XX01

2

1

2, = u + u du = r ( )*

ω

πω

πω

− ∞

∞

∫ (60)


Deci ( )TFxFI 0, ω este proporţională cu autocorelaţia spectrului semnalului de

analizat.Relaţiile (58) şi (60) îndreptăţesc afirmaţia că funcţia de incertitudine este o

reprezentare timp-frecvenţă corelativă. Ea nu este o densitate spectrotemporală deenergie, deci proprietatea P1, din paragraful 1.2 nu este verificată de aceastăreprezentare timp-frecvenţă.

Având în vedere că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine este o funcţie complexă rezultă că nu este satisfăcută nici proprietatea P3din paragraful 1.2. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine nueste cauzală. Această afirmaţie rezultă din interpretarea fizică a acestei reprezentări, carăspuns al unui filtru adaptat, deoarece filtrele adaptate nu sunt întotdeauna şi sistemecauzale. În consecinţă nici proprietatea P4 din paragraful 1.2 nu este verificată.

În schimb se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă esteinversabilă [123].

În continuare se stabileşte legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine ale semnalelor:

x (t) = k x(k t) , k > k 0

şi x(t). Avem:

( )TFxFI

k kj

kt, = x +

t x

t e d*

ω τ τ τωτ

2 2

−

− ∞

∞

∫

Făcând schimbarea de variabilă:u = k τ


( )TF TFxFI j

uk x

FIk

t, = x u + k t

x u k t

e du = k t, k

*

ω

ωω

2 2

−

− ∞

∞

∫

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este invariantă lascalare (proprietatea P7 din paragraful 1.2 este satisfăcută).Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine are şi proprietatea defiltrare (P8 din paragraful (1.2)), conform [68]:

( ) ( ) ( )TF TF TFyFI

xFI

hFIt, = , t , d

ω τ ω τ ω τ−

− ∞

∞

∫


unde:

y(t) = x(t) h(t)∗ (61)

Pe baza aceleaşi referinţe bibliografice se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine are şi proprietatea de modulaţie (P9 din paragraful1.2). Cu alte cuvinte dacă:

y(t) = m(t) x(t)

atunci:

( ) ( ) ( )TF TF TFyFI

mFI

xFIt, = t, t , d

ω ω ξ ξ ξ−

− ∞

∞

∫ (62)

Formula lui Moyal se exprimă în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine în forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TF TFx yFI

x yFI

L L L1 1 2 2 2 2 21 2 1 2t, , t, = x , x y , yR R R2 2 2

*ω ω (63)

relaţie care este verificată pentru orice semnale x (t)1 , x (t)2 ,y (t)1 şi y (t)2 de energiefinită [68]. În continuare se investighează în ce măsură reprezentarea timp-frecvenţăde tipul funcţie de incertitudine conservă suporturile temporal sau frecvenţial alesemnalului de analizat. Se consideră, în acest scop că semnalul analizat are suportul

intervalul [ ]t, t1 2 . În consecinţă semnalul x + t

τ2

va fi identic nul în exteriorul

intervalului t t

, t t

1 22 2− −

iar semnalul x t* τ −

2

va fi identic nul în

exteriorul intervalului t +t

, t +t

1 22 2

. De aceea x + t

τ2

x *

tτ −

2

va fi

identic nul în exteriorul intervalului [ ]t t , t t1 2 2 1− − . Deci suportul temporal alreprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este intervalul

[ ]t t , t t1 2 2 1− − . Se poate afirma că proprietatea P11 din paragraful 1.2 nu esteverificată. Rezultatul aplicării transformării timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine este dublarea lăţimii suportului temporal al semnalului de analizat.


Consideraţii similare pot fi făcute şi în legătură cu suportul frecvenţial. Se poatedemonstra în acelaşi mod că:

2R11

[ ] ( ) [ ]X TFxFI( ) = , , t, = , , ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω0 01 2 1 2 2 1∉ ⇒ ∉ − −

În sfârşit, se poate demonstra că nici proprietăţile P12 şi P13 din paragraful 1.2 nusunt verificate de către reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine.Mai trebuie remarcat că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudinepoate fi folosită pentru calculul frecvenţei instantanee a semnalului x(t), fiind valabilăformula [68]:

( )

( )f (t) =

j

, e d

, e d

=

i

xFI j t

xFI j

TF

TF

1

20

0

π

∂∂ τ

τ ω ω

ω ω

τω

ω τ

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫(64)

În finalul acestui paragraf trebuie menţionat că prin ridicarea la pătrat a modululuireprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine se obţine o nouăreprezentare timp-frecvenţă:

( ) ( )TF TFxSI

xFIt, = t, ω ω

2(65)

numită suprafaţă de incertitudine.

3.3 EXEMPLU

Se consideră semnalul "chirp":

( )x(t) = e , + C C Rj t− ∈α β 2

(66)

Reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine este:


( )( ) ( )

TF C CxFI j

tj

tjt, = e e e d

+ +

+

*

ω τα β τ α β τ ω τ−

− ∞

∞− −

∫ 2 2

2 2

Aducând integrandul din membrul drept la o formă mai compactă relaţia de mai susdevine:

( ) ( )TF CxFI

tj tt, = e e d

+ -

ω τ

α τω β τ2

22 2

22

−

− ∞

∞

∫

adică:

( ) ( )TF C txFI

t

t, = e +

ω β ωα τ

22

22

2

2F−

−

sau ţinând seama de expresia transformării Fourier a semnalului Gaussian, [99]:

( )( )

TF CxFI

t t

t, = e

e

ω

πα

αβ ω

α2 2

2

8

2 2

2

− −−

În final se poate scrie:

( )( )

TF CxFI t t

t, =

e +

ωπα

αα

β ω

22 2

1

822 2− −

Semnalul de analizat este complex. Amplitudinea sa instantanee este:

C t e − α 2

iar faza sa instantanee este:

β t 2

62 3.3 Un exemplu

În consecinţă pulsaţia sa instantanee este:

ω βi (t) = t2

Analizând relaţia (67) se constată că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine a semnalului "chirp" este o funcţie reală pozitivă. Deoarece:

( )TF CxFI 0 0

22, =

πα

rezultă că energia semnalului "chirp" (membrul drept al relaţiei de mai sus) nudepinde de constanta β (cea care descrie modulaţia de frecvenţă a semnaluluiconsiderat). Autocorelaţia semnalului de tip "chirp" este:

( )TF CxFI

t tt, =

e

+

0

22 2 2

22

2πα

α βα

−

adică:

r (t) =

e +

xx

tC2 2 2

2

22

πα

α βα

−

Se observă caracterul Gaussian al acestei funcţii de autocorelaţie. Atât suporturiletemporal şi frecvenţial ale semnalului de tip "chirp" cât şi suporturile temporal şifrecvenţial ale reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine suntde lungime infinită.

Proiecţia reprezentării timp-frecvenţă considerată pe planul amplitudine-pulsaţie este:

( )TF CxFI 0

22 8

2

, =

e

ωπα

ωα

−

Această formulă confirmă caracterul Gaussian al comportării semnalului "chirp" îndomeniul frecvenţă. În sfârşit, întrucât:

( ) e

+

− −

≤

αα

β ω2

1

822 2

1t t


rezultă că pentru o valoare a lui t impusă, valoarea maximă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine se obţine pentru acea valoare a pulsaţiei careeste soluţia ecuaţiei:

ω β t = − 2 0

Această observaţie justifică afirmaţia că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţiede incertitudine se concentrează în jurul legii de variaţie a frecvenţei instantanee asemnalului de analizat. De fapt se constată că la fel ca şi în cazul exemplului dinparagraful 2.3, proiecţia curbei care uneşte maximele reprezentării timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine pe planul ( )t, ω este tocmai legea de variaţie a frecvenţeiinstantanee a semnalului de analizat. Această observaţie justifică concentrareareprezentării timp-frecvenţă pe legea frecvenţei instantanee. Din păcate nici în cazulreprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă nici în cazulreprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine această concentrare nueste perfectă, nefiind descrisă de o lege de forma:

( )δ ω ω (t)− i

Capitolul 4

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL WIGNER-VILLE

Considerând semnalul de energie finită x(t), i se asociază nucleul:

( )KW V−

−

t, = x t + x t *τ

τ τ2 2

(67)

Transformarea Fourier a acestei funcţii, în raport cu variabila τ , poartă numele dereprezentare timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

( )TFxW V j−

− ∞

∞−

−

∫t, = x t + x t e d*

ωτ τ

τω τ2 2

(68)

4.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE REPREZENTĂRII DE TIPWIGNER - VILLE

Comparând nucleele reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville şifuncţie de incertitudine se constată că:

( ) ( )K KW V FI− t, = , tτ τ (69)

Deci cele două nuclee se pot obţine unul pe baza celuilalt prinschimbarea de variabilă:

t ↔ τ

De aici rezultă asemănarea remarcabilă între reprezentările timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville şi funcţie de incertitudine ale aceluiaşi semnal.

De aceea şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville poate fi privităca şi o reprezentare adaptivă. În continuare se calculează transformata Fourierbidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville.

( ) ( ) ( ) ( )F t, = , e d d

+ TF , TFxW V

xW V j t− −

− ∞

∞

− ∞

∞−∫∫α β ω α β α βα ω β

sau ţinând seama de expresia reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville:

4 Reprezentarea timp frecvenţă de tip Wigner-Ville 65

( ) ( )

( )

F , t, =

= x + x e d e d d* -

+

TFxW V

j j t

−

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞−

−

∫∫∫

α β ω

ατ

ατ

τ α ββ τ α ω β2 2

Schimbând în membrul drept ordinea de integrare, ultima relaţie devine:

( ) ( )F , t, =

= x + x e d e d e d* -

TFxW V

j j j t

−

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞− −

−

∫∫∫

α β ω

ατ

ατ

α τ βα ω β τ β

2 2

sau:

( ) ( ) ( )F , t, = , e d e d

t TF TFxW V

xFI j j−

− ∞

∞

− ∞

∞− −−∫∫α β ω τ ω τ ββ τ β

Dar, transformata Fourier a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine ( )TFx

FI τ ω, − , în raport cu variabila τ este:

( ) ( ) ( )F , = , e d

TF TFxFI

xFI jτ ω β τ ω τβ τ− −

− ∞

∞−∫

De aceea, expresia transformării Fourier bidimensionale a reprezentării timp-frecvenţăde tipul Wigner-Ville devine:

( ) ( ) ( ) ( )F F , t, = , e d

TF TFxW V

xFI j t−

− ∞

∞−−∫α β ω τ ω β ββ

Deoarece membrul drept reprezintă o transformare Fourier în raport cu variabila β ,ultima relaţie devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F F , t, = , tTF TFxW V

xFI− −α β ω τ ω β

sau pe baza teoremei simetriei:

( ) ( ) ( )F , t, = t, TF TFxW V

xFI− − −α β ω π ω2

66 4. 1 Exprimări alternative ale reprezentării de tip Wigner-Ville

În sfârşit, ţinând seama de proprietatea de conjugare simetrică a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine, se obţine:

( ) ( ) ( )F , t, = t, *

TF TFxW V

xFI− α β ω π ω2 (70)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie deincertitudine reprezintă transformarea Fourier bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Această legătură este utilă pentru demonstrarea proprietăţilor reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville pe baza proprietăţilor reprezentării timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine.

4.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DETIPUL WIGNER-VILLE

În primul rând se verifică dacă această reprezentare timp-frecvenţă este odensitate spectrotemporală de energie. În acest scop se calculează integrala:

( )I TFxW V = , d d

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ α β α β

Dar această integrală reprezintă valoarea în origine a transformării Fourierbidimensionale a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville.

În consecinţă:

( ) ( ) ( )I TF TF ExW V

xFI

x = , , = , = *

F − α β π π0 0 2 0 0 2 (71)

Deci proprietatea P1 din paragraful 1.2 este verificată, reprezentarea timp-frecvenţă detipul Wigner-Ville este o densitate spectrotemporală de energie. În continuare sestudiază proprietăţile marginale ale acestei reprezentări timp-frecvenţă. În acest scopse calculează pentru început integrala:

( )I TFxW V

1 = t, d

−

− ∞

∞

∫ ω ω


Se constată că:

I j1 2 2 = x t + x t e d d* -

τ ττ ωωτ

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Inversând ordinea de integrare rezultă:

I j1 2 2 = x t + x t e d d* -

τ τω τωτ

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫Dar:

( ) e d = d = ( )-

j ωτ ω ω τ π δ τ− ∞

∞

∫ F 1 2

De aceea:

I12

22 2

2 = x t + x t ( ) d = x(t) *

π

τ τδ τ τ π

−

− ∞

∞

∫

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville reprezintă o densitatetemporală de energie.

În continuare se calculează integrala:

( )I TFxW V

2 = t, dt

−

− ∞

∞

∫ ω

Pe baza definiţiei reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville se poate scrie:

I j2 2 2 = x t + x t e d dt* -

τ ττωτ

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫sau schimbând ordinea de integrare:

I j2 2 2 = x t + x t dt e d*

- τ ττωτ

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

68 4.2 Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville

Dar făcând în integrala interioară schimbarea de variabilă:

t = u−τ2

aceasta devine:

x t + x t dt = x (u) x (u + ) du*

*τ ττ

2 2

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

Membrul drept al ultimei relaţii reprezintă funcţia de autocorelaţie a semnaluluix ( )* t , r ( )

x x* * τ . De aceea integrala I2 devine:

I j2 = r ( ) e d

x x-

* * τ τω τ

− ∞

∞

∫

Este vorba despre transformata Fourier a autocorelaţiei semnalului x* (t), care dupăcum se ştie reprezintă densitatea spectrală de energie a acestui semnal:

( ) ( ) ( )I X X22 2 2 = x (u) = = *F * ω ω ω− −

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este şi o densitate spectrală deenergie.

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are proprietatea P2 din paragraful 1.2.

În continuare se calculează conjugata complexă a reprezentării timp-frecvenţăde tipul Wigner-Ville:

( )( )TFxW V j−

− ∞

∞

−

∫t, = x t + x t e d

* *

ω

τ ττωτ

2 2


u = − τse obţine:


( )TFxW V j u−

− ∞

∞

−

∫

*t, = x t +

u x t

u e du *

ω ω

2 2

adică tocmai expresia reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. S-ademonstrat aşadar relaţia:

( ) ( )TF TFxW V

xW V− −*

t, = t, ω ω (72)

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este reală. Din păcate ea nu este şi pozitiv definită. În continuare se va demonstraafirmaţia aceasta. În acest scop se va demonstra pentru început că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este biliniară. Se consideră în acest scop semnalelex1(t) şi x2(t). Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville asemnalului α β x (t) + x (t) 1 2 unde α şi β sunt constante complexe.Folosind relaţiile:

( )TFx xW V j1 2 1 22 2− −

− ∞

∞

−

∫t, = x t + x t e d *

ω

τ ττωτ

( )TFx xW V j2 1 2 12 2− −

− ∞

∞

−

∫t, = x t + x t e d *

ω

τ ττωτ

se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )

( )TF TF TF TF

TF

x xW V

xW V

xW V

x xW V

x xW V

α β ω α ω β ω αβ ω

βα ω

+ *

*

t, = t, + t, + t, +

+ t, 1 2 1 2 1 2

2 1

2 2− − − −

−(73)

Se constată identitatea acestei relaţii cu relaţia (30') dacă:

( ) ( )T TFl k x xW V

l kx , x t, = t, , l kω ω− ≠

respectiv:

( ) ( )T TFl l xW V

lx , x t, = t, , l = ,ω ω− 12


În consecinţă se poate afirma că:3R1 Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este biliniară. Membruldrept al relaţiei (73) poate fi pus chiar într-o formă mai simplă. Se calculează în acestscop conjugata complexă a lui ( )TFx x

W V1 2

− t, ω .

( )TFx xW V j1 2 1 22 2−

− ∞

∞

−

∫

*t, = x t + x t e d*

ω

τ ττω τ

Făcând schimbarea de variabilă:u = − τ


( ) ( )TF TFx xW V j u

x xW V

1 2 2 11 22 2− −

− ∞

∞−−

∫

*t, = x t

u x t +

u e du = t, *

ω ωω

De aceea relaţia (73) mai poate fi scrisă în forma:

( ) ( ) ( ) ( ) TF TF TF TFx xW V

xW V

xW V

x xW V

α β ω α ω β ω αβ ω1 2 1 2 1 2

2 2 2+*t, = t, + t, + Re t,− − − − (74)

Revenind la demonstraţia afirmaţiei că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu este pozitiv definită, se presupune că semnalele x (t)1 şi x (t)2 de mai sus ausuporturi compacte disjuncte, intervalele In1 şi In2. Se face notaţia:

x (t) = x (t) + x (t)o α β1 2

Se face ipoteza că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este pozitivă,oricare ar fi semnalul căruia i se aplică. Rezultă relaţiile:

( )TFxW V

k− ≥t, , k = , , ω 0 0 1 2

Prin aplicarea proprietăţii marginale din domeniul timp se pot scrie relaţiile:

( ) 2 ,1 ,0 =k , (t)x 2 = d t,TF k

VWxk

πωω∫∞

∞−

−

În consecinţă:


( ) ( ) 2 ,1 ,0 =k , In t , 0 = t,TF kVW

xk∉∀ω−

În ultima relaţie s-a folosit notaţia:

I n I n = I n 21o U

Dar pe baza proprietăţii de biliniaritate:

( ) ( ) ( ) ( ) ωβαωβωαω −−−− t,TF Re2+ t,TF + t,TF = t,TF VWxx

*VWx

2VWx

2VW x 2121o

(74)

În exteriorul intervalului In1, funcţia de două variabile ( )ω− t,TF VWx1

este nulă iar

semnalul (t)x o este identic cu semnalul (t)x 2β . De aceea relaţia (74) devine:

( ) ( ) ( ) ωβαωβωβ −−− t,TF Re2 + t,TF = t,TF VWxx

*VWx

2VWx

22122

În consecinţă:( ) ( ) 0 = t,TF Re2 , I n t VW

xx*

1 21ωβα∉∀ −

În exteriorul intervalului 2I n , ( )ω− t,TF VWx1

este nulă iar semnalul (t)x o este identic

cu semnalul (t)x1α . De aceea relaţia (74) devine:

( ) ( ) ( ) ωβαωαωα −−− t,TF Re2 + t,TF = t,TF VWxx

*VWx

2VWx

22111

De aceea:

( ) ( ) 0 = t,TF Re2 , I n t VWxx

*2 21

ωβα∉∀ −

Întrucât intervalele 1I n şi 2I n sunt disjuncte rezultă că:

( ) ( ) 0 = t,TF Re2 , R t VWxx

*21

ωβα∈∀ −


( ) ( ) ( )ωβωαω −−− t,TF + t,TF = t,TF VWx

2VWx

2VW x 21o


Integrând în ambii membrii de la ∞− la ∞ , în raport cu variabila t, se obţine:

22

221

22o )(X + )(X = )(X ω−βω−αω−

sau:

X X Xo ( ) = ( ) + ( ) ω α ω β ω2 2

12 2

22

adică:

( ) ( )α ω β ω α ω β ω α ω β ωX X X X1 2 1 22

12 2

22

( ) + ( ) X ( ) + X ( ) = ( ) + ( ) *

respectiv:

α ω β ω α β ω ω α β ω ω

α ω β ω

( ) + ( ) + ( ) ( )+ ( ) ( ) =

= ( ) + ( )

* ** *21

2 22

21 2 1 2

21

2 22

2

X X X X X X

X X

Ultima relaţie se mai scrie:

( )2 01 2 Re ( ) ( ) = , R* *α β ω ω ωX X ∀ ∈ (74)

Acest rezultat este în contradicţie cu faptul că semnalele x (t)1 şi x (t)2 sunt de duratălimitată (deci de bandă nelimitată). Conform principiului reducerii la absurd rezultă căipoteza de pozitivitate a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este falsă.Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu are proprietatea P3 dinparagraful 1.2

Negativitatea locală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Villeafectează interpretarea fizică a acestei reprezentări. Atât densitatea temporală deenergie cât şi densitatea spectrală de energie ale unui semnal sunt pozitiv definite. Deaceea şi densitatea spectrotemporală de energie ar trebui să fie pozitiv definită. Deaceea negativitatea locală a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este oinsuficienţă remarcabilă a acestei reprezentării.

Se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă nu este cauzală.Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu verifică proprietatea P4din paragraful 1.2. În schimb se poate demonstra că această reprezentare timp-frecvenţă este inversabilă.

4 Reprezentarea timp frecvenţă de tipul Wigner-Ville 73

În continuare se determină modul în care reacţionează reprezentarea timp-frecvenţă detipul Wigner-Ville la translaţii în planul timp-frecvenţă. În acest scop se determinălegătura între reprezentările timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville ale semnalelor x(t)şi :

x (t) = x(t t ) e t o

j to o

o,ω

ω−

Pentru aceasta se foloseşte faptul că reprezentarea timp-frecvenţă de tipulfuncţie de incertitudine este transformata Fourier bidimensională a reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville, se foloseşte legătura dintre reprezentările de tipulfuncţie de incertitudine ale semnalelor x(t) şi x (t)to o,ω precum şi proprietăţile de

translaţie în timp şi în frecvenţă ale transformării Fourier bidimensionale. Se obţine:

( ) ( )TF TFxW V

xW V

o oto o,ωω ω ω− − − −t, = t t , (75)

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville verifică proprietatea P6 dinparagraful 1.2. În continuare se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville a semnalului:

x (t) = k x(k t)k

Aceasta este:

( )TFxW V j

k−

− ∞

∞

−

∫t, = k x k t +

k x k t

k e d

- *ωτ τ

τωτ

2 2


k = uτ

se obţine:

( )TFxkW V j

ku−

− ∞

∞

−

∫t, = k x k t +

u x k t

u e

duk

- *ωω

2 2

adică:


( )TF TFxW V

xW V

k− −

t, = k t,

kω

ω(76)

Deci reprezentarea Wigner-Ville verifică proprietatea P7 din paragraful 1.2.În continuare se prezintă legătura dintre reprezentarea Wigner-Ville a

semnalului obţinut prin convoluţia a două semnale şi reprezentările Wigner-Ville aleacestora.

Conform [59] se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville are proprietatea de filtrare (P8 în paragraful 1.2):

( ) ( ) ( )y(t) = x(t) h(t) t, = t s, s, ds

∗ ⇒ −− − −

− ∞

∞

∫TF TF TFyW V

hW V

xW Vω ω ω (77)

Dar şi reprezentarea de tipul funcţie de incertitudine are această proprietate. Ţinândseama de dualitatea timp-frecvenţă indusă de transformarea Fourier precum şi defaptul că cele două reprezentări timp-frecvenţă sunt legate prin transformarea Fourierbidimensională rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are şiproprietatea de modulaţie (P9 în paragraful 1.2):

( ) ( ) ( )y(t) = m(t) x(t) t, = t, t, d

⇒ −− − −

− ∞

∞

∫TF TF TFyW V

mW V

xW Vω ω ξ ξ ξ (78)

În continuare se verifică proprietăţile de suport ale reprezentării timp-frecvenţă detipul Wigner-Ville. Se consideră că semnalul x(t) are suportul temporal intervalul

[ ]t, t1 2 . Produsul x t + x t *τ τ2 2

−

va fi nenul dacă:

t t + t t t t t1 2 1 222 2 2 2≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ −

ττ

şi

t t t t t t t

t t t t1 2 1 2

2 1

22 2 2 2

2 2 2 2

≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − ⇔

⇔ − ≤ ≤ −

ττ

τadică dacă:

[ ] [ ]τ t t , t t t t , t t∈ − − ∩ − −2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 1


Intersecţia este nevidă dacă:

2 2 2 22 2 2t t > t t t < t− − ⇔

sau dacă:

2 2 2 21 1 1t t < t t t > t − − ⇔

În consecinţă suportul temporal al funcţiei ( )TFxW V− t, ω este intervalul [ ]t , t1 2 .

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville conservă suportul temporal alsemnalului căruia i se aplică.

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului x(t) poate fipusă în forma:

( ) ( )

( )

( )

TFxW V−

∗

∗ −−

t, = x t + x t - =

=

x t + x t - =

=

x + t

x

*

*

* t

ωτ τ

ω

πτ τ

ω

πτ

ωτ

F

F F

F F

2 2

1

2 2 2

1

2

2

2

2

2( )

=ω

( ) ( ) ( ) ( )[ ] =

x + t x = * t1

22 2 2 2 22

πτ ω ωτF F∗ −−

( ) ( )[ ] = e e *12 24 4

πω ωω ωj t j tX X∗

Considerând că suportul frecvenţial al semnalului x(t) este intervalul [ ]− ω ω1 1,

rezultă că suportul funcţiei X( )2ω este intervalul −

ω ω1 1

2 2, şi deci că suportul

frecvenţial al funcţiei ( )TFxW V− t, ω este intervalul [ ]− ω ω1 1, . S-a demonstrat că

reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville conservă şi suportul frecvenţial alsemnalului căruia i se aplică. În consecinţă proprietatea P11 din paragraful 1.2 esteverificată de către reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Aceastăreprezentarea verifică şi proprietatea de unitaritate (formula lui Moyal). Într-adevăr,ţinând seama de legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de


tipul funcţie de incertitudine şi Wigner-Ville, relaţia (63) din paragraful 3.1 devinepentru:

x (t) = y (t)1 1 şi x (t) = y (t)2 2

( ) ( ) ( ) ( )F F* *t, , , t, , = x , x TF TFxW V

xW V

1 2 1 22− −ω α β ω α β

sau pe baza relaţiei lui Parseval, din cazul transformării Fourier bidimensionale:

( ) ( ) ( )TF TFxW V

xW V

L R1 2 2 2 1 22− −t, , t, = x , x ω ω

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville verifică şi proprietatea P10din paragraful 1.2.

Nici reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu se concentreazăperfect pe legea de variaţie a frecvenţei instantanee (aşa cum se va vedea din exemplulprezentat în paragraful următor). Totuşi există un semnal a cărui reprezentare timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are proprietatea de concentrare perfectă, dar aceastanu este un semnal de energie finită. Este vorba despre semnalul:

x(t) = tA cos 2 2πŞi asupra acestei proprietăţi a reprezentării sale de tipul Wigner-Ville se va reveni maitârziu.

Deci reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nu verificăproprietatea P13 din paragraful 1.2.

Un semnal determinist staţionar de energie finită poate fi scris în forma:

x (t) = a e s n

j t

n

nω∑Reprezentarea sa timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este:

( ) ( )TFxW V

n mj t

mn

j

sn m

n m− − − −

− ∞

∞

∑∑ ∫t, = a a e e d* +

ω τω ω ω

ω ωτ

2

Deoarece integrala din membrul drept reprezintă transformarea Fourier a semnalului( )1 τ , ultima relaţie se mai scrie:

( ) ( )TFxW V

n mj t

mn

n ms

n m− −∑∑ −

t, = a a e

+* ω π δ ωω ωω ω2

2

77 4 Reprezentarea timp frecvenţă de tipul Wigner-Ville

Reprezentarea timp-frecvenţăProprietăţi Funcţie de

incertitudineTFFI

Wigner-Ville

TFW V−

Observaţii

Liniaritate NU NUBiliniaritate DA DADensitate spectrotemporalăde energie (P1) NU DA

.

( )TFFI t, ω este oreprezentare timp-

frecvenţă corelativă

Pozitivitate (P3) NU NU( )TFx

W V− t, ω este oreprezentare timp-

frecvenţă realăCauzalitate (P4) NU NUInversabilitate (P5) DA DA

Invarianţă la translaţii (P6) NU DA

.

( )

( )

TF

TF

xto o

FI

j t j txFIo

,ω

ω ω

ω

ω

t, =

e e t, ⋅ − 0

Invarianţă la scalare (P7) DA DAConvoluţie (P8) DA DAModulaţie (P9) DA DAUnitaritate (P10) DA DAConservarea suporturilor(P11)

NU DA

Identificarea staţionarităţii(P12)

NU NU

Concentrare pe legeafrecvenţei instantanee

NU NU

Tabelul 1.4.1 Proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine şi Wigner-Ville.

De aceea se constată că nu este îndeplinită relaţia:( )

( )∂ ω

∂

t, t

= t RTFx

W Vs−

∀ ∈0

În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville nuverifică proprietatea P12 din paragraful 1.2, neputând fi utilizată pentru identificareasemnalelor staţionare.


În tabelul 1.4.1. sunt prezentate proprietăţile reprezentărilor timp-frecvenţă detipul funcţie de incertitudine respectiv Wigner-Ville.Numărul mare de proprietăţi ale reprezentării timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville facdin aceasta arhetipul reprezentărilor timp-frecvenţă de tipul densitate spectrotemporalăde energie.

4.2 EXEMPLU

Fie semnalul:

x(t) = e t − α ωtocos

2

Semnalul analitic asociat acestui semnal este:

x (t) = e e o

t j to− α ω2

Pulsaţia instantanee a acestui semnal este:

ω ωi o(t) = În continuare se calculează reprezentarea Wigner-Ville a semnalului considerat:

( )TF cos

cos

xW V t

ot

oj

− −

− ∞

∞− −

−

⋅

⋅ −

∫t, = e t + e

t e d

+

ω ωτ

ωτ

τ

ατ

ατ

ωτ

2 2

2 2

2

2sau:

( ) ( )TF cos cosxW V t

ot

o− − − − −

t, = e t e + e e

ω ω ω ω ταα τ

αα τ

2 2 2 22

22

2

2 F F

Ţinând seama de expresia transformării Fourier a semnalului Gaussian se obţine:

( )( ) ( )

TF cosxW V t

o− − − −

−−

t, =

e t e + e + e

+

o o

ωπα

ωαωα

ω ωα

ω ωα

22

1

2

1

22 2 2 2

22 2 2

(79)


Se constată că în domeniul frecvenţă această funcţie are 3 maxime, la pulsaţiile ω = 0şi ω ω= ± o . În consecinţă se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville se concentrează pe curba de variaţie a frecvenţei sale instantanee, dar căaceastă concentrare nu este perfectă. Se remarcă similitudinea dintre relaţiile (36) şi(79). De aceea comentariile făcute la exemplul de spectrogramă din paragraful 2.3 suntvalabile şi în exemplul de faţă.

Capitolul 5

REPREZENTAREA TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPUL "WAVELET"

Admiţând că semnalul nestaţionar x(t) este descris printr-o succesiune desemnale de durată limitată, dintre care primele sunt de durată mare şi cu viteză devariaţie redusă iar ultimele sunt scurte şi cu variaţie rapidă, ar fi util ca acest semnal săfie prelucrat cu ajutorul unei reprezentări timp-frecvenţă care să folosească o fereastrătemporală lungă la începutul analizei şi scurtă la sfârşit. O fereastră temporală de acestfel este:

( )w( ) = s s ( - t)τ ψ τ

unde funcţia w( )τ se numeşte "wavelets mother" iar s este un parametru numitfactor de scară care ţine seama de durata semnalului de analizat. O reprezentarebidimensională a semnalului x(t), care foloseşte o astfel de fereastră estetransformarea “wavelet”:

( )CWTx (s, t) = s x( ) s ( t) d

τ ψ τ τ−− ∞

∞

∫ (80)

Aceasta este o reprezentare de tipul timp-factor de scară.

Dacă se consideră că parametrul s este un raport de pulsaţii: s = ωωo

, ωo

fiind pulsaţia centrală a filtrului trece bandă cu răspunsul la impuls ψ τ( ) atuncitransformarea “wavelet” devine o reprezentare timp-frecvenţă adaptivă:

TFxCWT

o o( , t) = x( ) ( t) d

ω

ωω

τ ψωω

τ τ−

− ∞

∞

∫ (81)

5.1. EXPRIMĂRI ALTERNATIVE ALE REPREZENTĂRII DE TIP“WAVELET”

Folosind notaţia:ψ τ ψ τs( ) = s (s )

se observă că transformarea "wavelet" poate fi exprimată cu ajutorul unui produsscalar, pentru fiecare valoare a lui s:

5 Reprezentarea timp frecvenţă de tipul “wavelet” 81

CWTx s(s, t) = x( ), ( t) τ ψ τ −

De obicei funcţia ψ τ( ) reprezintă răspunsul la impuls al unui filtru trece-bandă. Dacăfuncţia ψ τ( ) este reală, ultima relaţie devine:

CWTx s s s(s, t) = x(t) (t) ; (t) = ( t) ∗ −∨ ∨ψ ψ ψ

Deci pentru fiecare valoare pozitivă a lui s, transformarea "wavelet" a semnalului x(t)

este răspunsul sistemului liniar şi invariant în timp, cu răspunsul la impuls ψ s∨ (t) , la

semnalul x(t). Acest sistem are răspunsul în frecvenţă:

( ) ( ) ( ) F F F F (t) = (t) = s ( s t) =s

(t) s

ψ ω ψ ω ψ ω ψω

s s∨ − − −

1

Deci pentru localizarea în timp a semnalului x(t), în cazul transformării “wavelet”,este responsabilă fereastra temporală ψs(t) iar pentru localizarea în frecvenţă,

fereastra F ψω

(t) s

− . Durata ferestrei temporale este:

σ ψσ

tt2

22 2

2

2

1 =

s u (u) du =

s − ∞

∞

∫

unde cu tσ s-a notat durata ferestrei temporale ψ τ( ), care este o constantă. Înconsecinţă localizarea temporală a semnalului x(t) depinde de parametrul s. Bandaferestrei frecvenţiale este:

σ ω ψ ω ω ψω2 2 2 2 2 2

= (t) ( ) d = s u (t) (u) du

F Fs∨

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

sau:

σ σω ω2 2 2 = s

unde s-a notat cu ωσ banda ferestrei frecvenţiale F ψ ω(t) ( ) .

82 5.2 Exprimări alternative ale reprezentării de tip “wavelet”

În consecinţă şi localizarea frecvenţială a semnalului x(t), realizată de transformarea“wavelet” depinde de parametrul s. Se constată că localizarea temporală se înrăutăţeştecu creşterea lui s şi că localizarea frecvenţială se înbunătăţeşte cu creşterea lui s. Seconstată de asemenea că:

σ σ σ σω ωt t2 2 2 2 = ⋅

În consecinţă, indiferent de valoarea lui s, localizarea în planul timp-frecvenţărealizată de fereastra ψ τs ( ) este identică cu cea realizată de fereastra "generatoare"ψ τ( ) . De aici rezultă superioritatea reprezentării timp-frecvenţă de tipul “wavelet”asupra celorlalte reprezentări timp-frecvenţă la prelucrarea semnalelor care pot fidescompuse într-o succesiune de semnale de durată limitată, cu viteza de variaţie totmai mare şi cu durata tot mai scurtă odată cu creşterea timpului.

Dacă frecvenţa centrală a filtrului trece bandă cu răspunsul la impuls ψ(t)este ωo , atunci, având în vedere legătura dintre răspunsurile în frecvenţă ale celordouă filtre,

( ) ( )F Fψ τ ω ψ τ

ωs o s

o s( ) =s

( )s

1

rezultă că:

ω ωo s o = s

De aceea se poate scrie:

σω

σω

ω ω

o s oQ

= =

Rezultă că toate filtrele trece-bandă cu răspunsurile în frecvenţă F ψ ωs(t) ( ) auacelaşi factor de calitate Q, indiferent de s.

5.2 PROPRIETĂŢILE REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIP "WAVELET"

Având în vedere exprimarea acestei reprezentări timp-frecvenţă ca şi produsde convoluţie rezultă că reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" este liniară. Eanu reprezintă o densitate spectrotemporală de energie şi nu are proprietăţi marginale


corecte. La fel ca şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip transformare Fourierscurtă şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet” prin ridicareamodulului la pătrat se obţine o nouă reprezentare timp-frecvenţă:

( ) ( )TF TFxSc

xCWTt, = t, ω ω

2

numită scalogramă. Această reprezentare timp-frecvenţă este biliniară (la fel ca şispectrograma). Scalograma este o densitate spectrotemporală de energie. De fapt, în[40], este demonstrată relaţia:

( ) ( )[ ]TF TF CxCWT

yCWTt, t, dt d = x, y

* *ω ω ω ψ− ∞

∞

∫ (82)

unde constanta Cψ se calculează cu relaţia:

Cψψ

= (u) u

du

2

− ∞

∞

∫ (83)

De aceea este necesar ca funcţia generatoare ψ τ( ) să îndeplinească condiţia:

ψ(u) u

du <

2

− ∞

∞

∫ ∞ (83')

Dacă semnalele x şi y se consideră identice atunci relaţia (82) devine:

( )TF C ExCWT

xt, dt d =

ω ω ψ2

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ⋅ (84)

Se poate deci afirma că ( )TFxCWT t, ω

2 reprezintă o densitate spectrotemporală de

energie. Nici scalograma nu are proprietăţi marginale corecte. În schimb se constată căscalograma este reală şi pozitivă pentru orice punct din planul timp-frecvenţă. Dinpăcate reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" nu are aceeaşi proprietate.Conform [42] reprezentarea timp-factor de scară de tip "wavelet" este inversabilă fiindvalabilă relaţia:

84 5.2 Proprietăţile reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet”

x( ) = (s, u) (t u) ds du

tC

CWTx s1

ψψ −

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ (85)

Scalograma, în schimb, nu este inversabilă.Fie:

x (t) = x(t t )t oo−

Se determină legătura dintre reprezentările timp-frecvenţă de tip “wavelet” alesemnalelor x(t) şi x (t)to

. Având în vedere că reprezentarea timp-frecvenţă de tip

“wavelet” se poate exprima printr-o operaţie de convoluţie care este invariantă latranslaţii rezultă că se poate scrie:

TF TFxCWT

xCWT

oto(t, ) = (t t , )ω ω−

Deci această reprezentare timp-frecvenţă este invariantă la translaţii în timp. Înconsecinţă şi scalograma are această proprietate.

Din păcate cele două reprezentări nu sunt invariante şi în domeniul frecvenţă.Deci ele nu au proprietatea P6 din paragraful 1.2. În schimb se poate afirma, [68], căacestea au proprietatea de invarianţă la dilatări (P7 în paragraful 1.2). Celelalteproprietăţi utile pentru o reprezentare timp-frecvenţă, propuse în paragraful 1.2, nusunt verificate nici de către reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” nici de cătrescalogramă. În schimb alte proprietăţi interesante ale acestor reprezentări suntprezentate în [42].

5.3 EXEMPLU

Fie semnalul de analizat:

x(t) = p (t) e ; p (t) = (t + ) (t ) T T

j t T Tω σ σ1 − −

Vom considera, pentru comoditate, că ω o = 1.În acest caz se obţine:


( )TFxCWT j

T(t, ) = p ( ) ( - t) e d

ω ω τ ψ ω τ τω τ

− ∞

∞

∫ 1

sau, cu schimbare de variabilă:

ω τ( t) = u−rezultă:

( )TFxCWT j

ut

j t ju

T t

T t j t

T

T

(t, ) = pu

+ t ( u) e du =

= e

( u) e du = e

( u) pu

+ t

+

-

- *

ω ωω

ψ

ωψ

ωψ

ωωω

ωω

ω ωω

ω ω

ω ω ω

−

− ∞

∞

−

∫

∫

1

1

1

11

1

F

Prin particularizarea funcţiei ψ(u), analiza din acest exemplu poate fi încheiată.Se poate totuşi constata că variabilele au fost separate. Comportarea în

domeniul timp este descrisă de exponenţiala complexă e j tω1 . Comportarea îndomeniul frecvenţă este descrisă de transformata Fourier a produsului

ψω

(u) pu

+ tT

.

Capitolul 6

GENERALIZĂRI

În capitolele anterioare au fost introduse câteva reprezentări timp-frecvenţă.Fiecare dintre acestea este de fapt un exemplu pentru câte o clasă de reprezentăritimp-frecvenţă. Rolul acestui capitol este de a prezenta aceste clase, prin generalizareaexemplelor din capitolele anterioare.

Toate reprezentările timp-frecvenţă prezentate până acum se aplică semnalelorde energie finită, fiind funcţionale definite pe ( )L2 R . Dacă acest spaţiu se înlocuieştecu un spaţiu mai cuprinzător atunci se obţin reprezentări timp-frecvenţă generalizate.

În sfârşit, pot fi introduse conexiuni între teoria reprezentărilor timp-frecvenţăşi teoria semnalelor aleatoare.

După cum s-a constatat există două tipuri de reprezentări timp-frecvenţă, celeliniare, ca de exemplu reprezentarea timp-frecvenţă de tip “wavelet” şi cele biliniare,ca de exemplu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville. Pentru început vorfi prezentate generalizări ale reprezentărilor timp-frecvenţă liniare.

6.1 CAZUL REPREZENTĂRILOR LINIARE

În continuare se va utiliza următoarea definiţie pentru o reprezentare timp-frecvenţă liniară.Definiţie Dacă sunt satisfăcute ipotezele: 1) A K R An⊂ × →R , C: ;

2) ( ) ( )∀ ∈ → a , , aA Kτ τ este măsurabilă şi ( )K Aτ τ, a d = , a

21

− ∞

∞

∫ ∈

3) ( ) ( ) ( )∀ ∈ → R, a , aω τ ωF K este măsurabilă şi ( ) ( )F K CA

τ ω, a da= 2

∫ <∞

atunci se numeşte reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului de energie finită x( )τ ,funcţia:

( )TF A TF K Kx x: × → − −− ∞

∞

∫R C, t, = x( ), ( t, ) = x( ) ( t, ) d*

ω τ τ ω τ τ ω τ (86)

În funcţie de expresia nucleului ( )K x, y se obţin expresiile unor reprezentăritimp-frecvenţă liniare diferite.

Dacă expresia nucleului este:

( )K j a1 τ τ τ, a = w( ) e , cu w( ) d = , = R

τ τ2

1 A− ∞

∞

∫ (87)

6. Generalizări 87

funcţie care verifică ipotezele 1), 2) şi 3) atunci se obţine reprezentarea timp-frecvenţă:

( ) ( ) ( )TF TFxj t j t

xSTFT1 t, = x( ) w*( t) e d = e t,

ω τ τ τ ωω τ ω

− ∞

∞− −∫ − ⋅

Cu alte cuvinte, pentru această alegere a nucleului se obţine reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

Dacă expresia nucleului este:

( )K21 1τ ψ τ,a = a (a )− − , cu ψ τ τ( ) d = , = R-

21 0A

−∞

∞

∫ şi ( )F ψ τ( ) =0 0 (88)

funcţie care verifică ipotezele 1), 2) şi 3) atunci se obţine reprezentarea timp-factor de

scară ( )CWT sx t, , s = a1

, respectiv timp-frecvenţă:

( ) ( ) ( )TF * TFx xCWT2 t, = x( ) ( t)) d = t, , s =

(ω τ ω ψ ω τ τ ω ω− ∞

∞

∫ −

Pentru stabilirea ultimei egalităţi s-a folosit relaţia (81) în care s-a considerat că ωo

are valoarea 1.Deoarece, alegând nucleele pe baza relaţiilor (87) şi (88), se obţin două

reprezentări timp-frecvenţă remarcabile, se poate afirma că definiţia de la începutulacestui paragraf este consistentă. O reprezentare timp-frecvenţă definită astfel are douăproprietăţi remarcabile:

P1. Pentru orice cuplu de semnale de energie finită x (t)1 şi x (t)2 , se poatescrie:

( ) ( ) ( ) ( )TF TFx xA L1 2 21 2 a, b a, b da db = c x , x*

R×∫ (89)

unde c este o constantă, şi :P2. Spaţiul H K obţinut aplicând operatorul TF oricărui semnal de

energie finită:

( ) H TF LK = R2

este un spaţiu Hilbert cu nucleu reproducător, [66]. Cu alte cuvinte are loc o relaţie detipul:

88 6.1 Cazul reprezentărilor liniare

( ) ( ) ( )TF TF Kf fAa, b =

c a' , b' a, b, a' , b' da' db'

R

1×∫ (90)

unde:

( ) ( ) ( )K K K a, b, a' , b' = , a, b a' , b'

.

Proprietăţile obţinute prin particularizările proprietăţii P1 conform relaţiilor(87) şi (88) au fost deja prezentate în capitolele 2 şi 5. Proprietăţile obţinute prinparticularizarea proprietăţii P2 conform relaţiilor (87) şi (88) sunt prezentate în [42].

Relaţia (87) arată că nucleul ( )K 1 x, a se obţine prin modularea deamplitudine a purtătoarei e jax cu fereastra temporală w(x). De aceea reprezentareatimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă este invariantă la translaţii înfrecvenţă. Relaţia (88) arată că nucleul ( )K 2 x, a se obţine prin scalarea funcţieigeneratoare ψ. De aceea reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" esteinvariantă la scalare. De fapt se spune că cele două reprezentări timp-frecvenţă suntcazuri particulare de reprezentări de grup de pătrat integral. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă corespunde grupului Weyl-Heisenberg(caracterizat de invarianţa la translaţii) iar reprezentarea timp-frecvenţă de tip“wavelet” corespunde grupului ax + b [40]. O reprezentare timp-frecvenţă liniară,invariantă atât la translaţii în planul timp-frecvenţă cât şi la scalare, ar putea fi aceea alcărei nucleu ar reuni proprietăţile nucleelor ( )K 1 x, a şi ( )K 2 x, b . Nucleul unei astfelde reprezentări ar putea fi:

( ) ( ) ( ) ( )K K K j b x3 1 2

1 1x, a, b = x, a x, b = a a x e − −ψ (91)

Se poate verifica că acest nucleu satisface ipotezele definiţiei de la începutul acestuiparagraf pentru alegerea A = R - 0 . Reprezentarea timp-frecvenţă corespun-zătoare a fost utilizată în [91]. Această nouă reprezentare timp-frecvenţă are expresia:

( ) ( )TFfgen

jot, s = s f( ) s ( - t) e d*

- ω τ ψ τ τ

ωω

τ

,− ∞

∞

∫ (92)

şi are proprietăţile P1 şi P2 enunţate în acest paragraf. Ea este invariantă la translaţii înplanul timp-frecvenţă precum şi la scalări în timp. În continuare se stabileşte o formulăalternativă de calcul al reprezentărilor timp-frecvenţă liniare bazată pe dezvoltarea înserie a acestor funcţii. Se consideră în acest scop că mulţimea de funcţii

B k k = (t)α

∈Z este o bază ortonormală a spaţiului Hilbert ( )L2 R .

6 Generalizări 89

Orice semnal de energie finită se poate exprima în forma:

x(t) = c (t) ; c = x(t), (t)k kk

k kα α∑

De aceea reprezentarea timp-frecvenţă generalizată (definită la începutulacestui paragraf) a semnalului x(t) poate fi pusă în forma:

( )

( )

TF K K

K TF

x k kk

k kk

k kk

t, = x( ), ( t, ) = c ( ) , ( t, ) =

= c ( ) , ( t, ) = c t,

ω τ τ ω α τ τ ω

α τ τ ω ωα

− −

−

∑

∑ ∑(93)

Deci reprezentările timp-frecvenţă liniare ale unui semnal de energie finită pot ficalculate pe baza reprezentărilor timp-frecvenţă ale elementelor bazei B. Dacăfuncţiile αk(t) se obţin prin translatarea unei funcţii generatoare:

α αk k(t) = (t t )−

atunci relaţia (93) se mai scrie:

( ) ( )TF TFx kk

kt, = c t t , ω ωα∑ − (94)

şi pentru cunoaşterea reprezentării timp-frecvenţă a semnalului x(t)este suficientădoar cunoaşterea coeficienţilor ck şi a reprezentării timp-frecvenţă a semnalului α(t).Reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului x poate fi calculată şi mai uşor dacă funcţia

( )TFα ωt, are un suport compact în planul timp-frecvenţă, I, şi dacă momentele detimp tk sunt astfel alese încât intervalele Ik şi Ik + 1, suporturile funcţiilor

( )TF kα ωt t , − şi ( )TF kα ωt t , − −1 , să fie disjuncte. Această condiţie este satisfăcutădacă funcţiile αk(t) au o bună localizare în planul timp-frecvenţă. Astfel de funcţii senumesc atunci atomi timp-frecvenţă [145].

Fie:

H LT T

12

2 2= , −

O bază ortonormală a acestui spaţiu este BT

j kT

t

k1

21 = e

π

∈Z

. Orice element al

90 6.1 Cazul reprezentărilor liniare

lui H1 se poate descompune în serie Fourier [99] în forma:

x(t) = c e

kj k

Tt

k

2 π

∑ (95)

De aceea orice reprezentare timp-frecvenţă liniară a acestui semnal poate fi scrisă înforma:

( ) ( )TF TFx ke pk

T

t, = c t, j k

2 T

t ( )

ω ωπ

τ2

∑

Această exprimare nu este însă cea mai avantajoasă, deoarece deşi exponenţialelecomplexe au o localizare perfectă în frecvenţă ele sunt complet nelocalizate în timp.La fel ca şi în cazul dezvoltării în serie Fourier (în relaţia (95) semnalul x(t) poate fi

prelungit prin periodicitate în exteriorul intervalului −

T T2 2

, , ieşind din spaţiul

H1) şi funcţia ( )TFx t, ω (nulă în exteriorul intervalului −

T T2 2

, ) poate fi

prelungită prin periodicitate după variabila t, cu perioada T. În acest mod se poatevorbi despre reprezentări timp-frecvenţă liniare ale semnalelor periodice. Acestea vorfi funcţii periodice de aceaşi perioadă T după variabila t.

Fie de exemplu semnalul periodic:

x(t) =

tcosT

2 π

Revenind la relaţia (86) se constată că:

( ) ( )TF Kx t, = x(t) t, *ω ω∗ − (96)

Deci această reprezentare timp-frecvenţă liniară reprezintă răspunsul sistemului liniarşi invariant în timp cu răspunsurile la impuls ( )K* t, − ω la semnalul x(t).

Dar după cum se ştie, [99], răspunsul sistemului cu răspunsul la impuls h(t) lasemnalul cos o tω este semnalul:

( ) ( )( )y(t) = h(t) t + h(t) F Fω ω ωo o ocos argÎn consecinţă reprezentarea timp-frecvenţă liniară generalizată a semnalului

6 Generalizări 91

cosinusoidal este:

( ) ( ) ( )( )TF K cos arg Kx o o ot, = ( t, ) t + ( t, )* *ω ω ω ω ω ωF F− −

Se constată periodicitatea sa după variabila t, cu perioada T.În sfârşit, ţinând seama de faptul că definiţia reprezentării timp-frecvenţă

liniară generalizată se bazează pe operaţia de convoluţie în timp (conform relaţiei(96)) şi că această operaţie este definită şi pentru distribuţii, rezultă că se pot calcula şireprezentări timp-frecvenţă liniare ale distribuţiilor.

Astfel reprezentarea timp-frecvenţă liniară generalizată a distribuţiei Diraceste:

( )TF K Kδ ω δ ω ωt, = (t) ( t, ) = ( , )* *∗ − 0

În consecinţă se poate vorbi despre reprezentări timp-frecvenţă sau timp-factorde scară definite pe spaţiul distribuţiilor temperate.

Problema reprezentărilor timp-frecvenţă liniare este însă interpretabilitatea lorfizică. În capitolele anterioare au fost prezentate şi reprezentări timp-frecvenţăbiliniare cum ar fi reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine.Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este o pseudodensitate de energie.Ea nu este o densitate spectrală de energie deoarece nu este pozitiv definită. De faptreprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville este prototipul unei întregi clase dereprezentări timp-frecvenţă, aşa numita clasă a lui Cohen.

6.2 CAZUL REPREZENTĂRILOR BILINIARE. CLASA LUI COHEN

Se studiază reprezentările timp-frecvenţă sau timp-factor de scară care pot fipuse în forma unei funcţionale biliniare.

( )c xTF Kt, = (u, u , t, ) x (u) x (u ) du du*

λ λ' ' '− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ (97)

unde λ reprezintă o pulsaţie ( )ω sau un factor de scară ( )s , iar K reprezintă nucleultranformării.

În funcţie de expresia şi proprietăţile nucleului ales se obţine o reprezentarebidimensională cu anumite proprietăţi. Dacă se impun constrângeri reprezentăriibidimensionale rezultă constrângeri asupra nucleului său. Printre aceste constrângerieste firesc să figureze proprietăţi de invarianţă la diferite transformări ale reprezentării

92 6.2 Cazul reprezentărilor biliniare. Clasa lui Cohen

bidimensionale. Dacă este vorba despre o anumită transformare T efectuată asuprasemnalului de analizat ( )x(t) R∈ L2 :

x(t) x(t)T T → (98)

invarianţa la această transformare se exprimă prin condiţia:

( ) ( ) c x c xTF TFT Tt, = t, ω ω (99)

Este firesc să se impună invarianţa reprezentărilor bidimensionale la grupul detransformări asociate la cele două tipuri de abordare: timp-frecvenţă respectiv timp-factor de scară. Se va arăta în continuare cum aceste condiţii de invarianţă genereazăclase de reprezentări bidimensionale biliniare de tipul Cohen.

6.2.1 CAZUL REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

Se va impune invarianţa la translaţii în planul timp-frecvenţă:( ) ( )c t f x c t f x o oTF TF

to o t, = t t , ,ω

ω ω ω− − (100)

unde x t o o,ω este semnalul:

x (t) = x(t t ) e t o

j to o

o,ω

ω−Ţinând seama de relaţia (97), condiţia (100) impune următoarea condiţie asupranucleelor:

( ) ( ) ( )K Ko oj u u

o oou+ t , u+t , t, e = u, u , t t , ' ''ω ω ωω − − −

sau, fixând:t = to şi ω ω = o

( ) ( ) ( )K Kj u uu+ t, u+t, t, e = u, u , , ' ''ω ω − 0 0adică:

( ) ( ) ( )K K j u uu, u , t, = u t, u t, , e ' '

'ω ω− − − −0 0 (101)De aceea se poate scrie:

( )c t f xjTF K t, = s t + , s t , , x s+ x s e d ds*ω

τ τ τ ττωτ− − −

−

−∞

∞

−∞

∞−∫∫ 2 2

0 02 2

(102)

sau:

6 Generalizări 93

( ) ( )c t f xTF K t, = s t + , s t , , x s+ x s ds*ωτ τ τ τ

ωF − − −

−

−∞

∞

∫ 2 20 0

2 2Dar:

( )

( ) ( )

F

F F

K

K

s t + , s t , , x s+ x s

= 1

2 s t + , s t , , x s+ x s

*

*

− − −

−

− − −

∗

−

τ τ τ τω

πτ τ

ωτ τ

ω

2 20 0

2 2

2 20 0

2 2Trebuie observat că:

( ) ( )F x s+ x s = s, *τ τω ω

2 2

−

−TFxW V

Cu notaţia: ( )TF KKjt, = t + , t , , e d ω

τ ττωτ

2 20 0−

−∞

∞

∫ relaţia (103) devine:

( )

( ) ( )

( ) ( )

s t + , s t , , x s + x s =

=

s, u s t + , s t , , u du =

=

s, u s t, u du

*F

F

K

TF K

TF TF

xW V

xW V

K

− − −

−

− − −

−

− −

−

−∞

∞

−

−∞

∞

∫

∫

τ τ τ τω

πτ τ

ω

πω

2 20 0

2 21

2 2 20 0

12


( ) ( ) ( )c t f x xW V

KTF TFt, =

s, u TF s t, u du ds ωπ

ω1

2−

−∞

∞

−∞

∞

− −∫∫ (104)

sau explicitând reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville din integrand:

( ) ( )c t f x KjTF TF t, = s t,u x s+ x s e dudsd *ω

πω

τ ττω τ1

2 2 2− −

−

−∞

∞

−∞

∞−

−∞

∞

∫∫∫ (105)

Se face notaţia:

( ) ( ) ( )f u, = t, e dt d + τ ω ωωτTFKj u t

−∞

∞

−∞

∞−∫∫ (106)

şi:

( ) ( ) ( )c t f xj u s u tTF

+ t, = x s+ x s e f u, dudsd *ωπ

τ ττ τωτ1

2 2 2

−

−∞

∞

−∞

∞− −

−∞

∞

∫∫∫ (107)

94 6.2.1 Cazul reprezentărilor timp frecvenţă

Aceasta este expresia generală a unei reprezentări timp-frecvenţă de tip Cohen. Seobservă că prin specificarea funcţiei de parametrizare f (u, )τ , se obţine un anumitmembru al acestei clase. În următorul tabel se prezintă condiţiile pe care trebuie să leîndeplinească funcţia de parametrizare pentru ca reprezentarea timp-frecvenţăcorespunzătoare să îndeplinească fiecare dintre proprietăţile din paragraful 1.2.

Proprietatea Condiţia asupra funcţiei de parametrizareP1 ( )f , = 0 0 1P2 ( ) ( )f , = f u, = 0 0 1τP3 Această proprietate este satisfăcută doar de reprezentările timp-

frecvenţă de tipul modul la pătratP4 ( )f u, = e

( )

ττ

ju

2

P5 ( )f u, τ ≠ 0P6 Toate reprezentările timp-frecvenţă din clasa lui Cohen satisfac

această condiţie.P7

.

( ) ( )f u, = f uk

, k , kτ τ

∀

P8.

( ) ( ) ( )f u, f u, = f u, +τ τ τ τ' '

P9.

( ) ( ) ( )f u, f u , = f u+ u ,τ τ τ' '

P10.

f ( , ) = ξ τ 1P11

( )

( )

s >

f u, e du =

> u

f u, e d =

ττ

ω τ τω τ

20

20

⇒

⇒ −

− ∞

∞

− ∞

∞−

∫

∫

j u s

j

P12 Nu există nici o funcţie de parametrizare care să facă posibilăverificarea acestei proprietăţi.

P13 Nu există nici o funcţie de parametrizare care să facă posibilăverificarea acestei proprietăţi.

Tabelul 1.6.2.1 Proprietăţi utile ale funcţiilor de parametrizare.

În tabelul următor se prezintă câteva funcţii de parametrizare, expresiilereprezentărilor timp-frecvenţă din clasa lui Cohen asociate precum şi proprietăţile pecare le verifică aceste reprezentări.

6 Generalizări 95

( )f u, τ Denumire ( )c t f xTF t, ω Proprietăţi verificate

1 Wigner-Ville x t + x t e d*

τ ττωτ

2 2

−

− ∞

∞

∫ jP1, P2, P5,P6, P7, P8,

P9, P10, P11.

e j

u2τ Richaczek x(t) ( ) e* X j tω ω−

P1, P2, P5,P6, P7, P8,

P9, P10, P11

e ± ju2

τ Page- Levin ( )∂

∂σ ω

t x(s) (t s) e ds

± − −

− ∞

∞

∫ j s

2 P1, P2, P4,P5, P6, P7,

P11

sin u

u

2

2

τ

τ

Born-Jordan

12 2

2

2

ττ τ

ττ

τ

ωτ

x s + x s e d*

+

−

−− ∞

∞−∫∫

t

t

jdsP1, P2, P6,

P7, P11

e

−

u τσ2

22 Choi-

Williams

( )στ

τ τ

τ

στ

ωτ

e x s+ x s

e ds d

*−−

− ∞

∞

− ∞

∞

−

−

∫∫

2 2 2

2

2 2

s t

j

P1, P2, P5,P6, P7

( )TFwFI *u, τ Spectro-

gramă x(s) w (s t) e ds *

− −

− ∞

∞

∫ j sω

2 P1, P3, P6,P10

Tabelul 2.6.2.1 Exemple de reprezentări timp-frecvenţă aparţinând clasei lui Cohen.

Se constată că numărul cel mai mare de proprietăţi utile le au reprezentăriletimp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville şi Richaczek. Trebuie remarcat că reprezentareatimp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville are în plus şi calitatea de a fi reală. De aceea eapoate fi considerată prototipul clasei lui Cohen. Mai trebuie observat că singurareprezentare timp-frecvenţă cauzală este cea de tipul Page-Levin şi că singurareprezentare timp-frecvenţă pozitivă din tabel este cea de tip spectrogramă. Trebuieremarcată diversitatea reprezentărilor timp-frecvenţă din clasa lui Cohen. Dealtfel aceste reprezentări timp-frecvenţă sunt subiectul unui număr impresionant delucrări, dintre care se amintesc: [59], [68], [13], [27], [108], [8]. Ultimele douăprezintă alte generalizări ale noţiunii de reprezentare timp-frecvenţă biliniară.

6.2.2 CAZUL REPREZENTĂRILOR TIMP-FACTOR DE SCARĂ

Se va impune invarianţa la translaţii şi la dilatări în timp. Fie în acest scopsemnalul:

96 6.2.2 Cazul reprezentărilor timp-factor de scară

x (t) = a

x t t

a , a0

to o

o

o

1 −

Invarianţa invocată mai sus revine la:

a t s x a t s xo

o oTF TF

to ao,(t, a) =

t ta

, a

a−

(108)

Trebuie remarcată legătura dintre variabilele s şi a (ambele introduse pentru a descriefactorul de scară):

s = a1

Ţinând seama de relaţia (97), cu λ = a, condiţia (108) impune următoarea condiţieasupra nucleelor:

( )a a u + t , a u + t , t, a = u, u , t t

a,

aao o o o o

o

o oK K' '

−

Fixând variabilele:t = to şi a = ao


( ) u, u , t, a = a u t

a,

u ta

, , K K''− − −

1 0 1

De aceea expresia reprezentării timp-factor de scară biliniară generalizată este:

( ) ( )a t s x K xW VTF TS TF

t, a = s t

a, a u s, u ds du

−

− ∞

∞

− ∞

∞−∫∫ (109)

unde s-a notat:

6 Generalizări 97

( )TS KKjt, = t + , t , , e d

ωτ τ

τωτ2 2

01−

− ∞

∞

∫ (110)

Relaţia (109) reprezintă expresia generală a unei reprezentări timp-factor de scarăafină. Cu notaţia:

( ) ( )g u, = t, e dt

ω ωTSKj u t

− ∞

∞−∫ (111)

relaţia (109) poate fi rescrisă în forma:

( ) ( )ats xj u

t

TF X Xt, a =a

g u, a

u

a +

u e dud*

a

1 1

2

1

2ω ω ω ω−

− ∞

∞−

− ∞

∞

∫∫ (112)

în care intervine funcţia de parametrizare ( )g u, ω . Aceasta clasă se mai numeşte şiclasa afină.

O reprezentare remarcabilă a acestei clase este reprezentarea timp-factor descară de tip scalogramă. Alte exemple de reprezentări timp-factor de scară afine,precum şi constrângerile impuse funcţiilor lor de parametrizare de diferite proprietăţidorite sunt prezentate în [59].

Până aici s-a considerat că semnalul de analizat este de energie finită. De faptşi reprezentările biliniare pot fi utilizate pentru analiza unor semnale care aparţin şialtor clase de semnale. Acest lucru se datorează faptului că aceste reprezentări pot fiprivite ca şi transformate Fourier. Atât membrul drept al relaţiei (105) cât şi membruldrept al relaţiei (112) pot fi exprimate cu ajutorul transformatei Fourier. Dar după cumse ştie, [99], transformarea Fourier este definită pe clase mai largi de semnale. Deaceea se poate vorbi despre reprezentări timp-frecvenţă sau timp-factor de scară alesemnalelor periodice sau ale distribuţiilor.

De exemplu, se calculează în continuare reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville a semnalului periodic x(t), cu dezvoltarea în serie Fourier:

x(t) = c e

kj k

Tt

k

2π

∑Se obţine:

98 6.2.2 Cazul reprezentărilor timp-factor de scară

( ) ( )

( ) ( )

TFxW V−

−

∗ −

t, = x t + x t =

=

x t + x t

*

*

ωτ τ

ω

πτ

ωτ

ω

F

F F

2 2

1

2 2 2

Dar:

( )F F x t + = c e = +τ

ωπ τ

2

2

2

∑ k

j kT

t

k

( )= c e = c e e =

= c e k

+ k

jkT

t

kk

j kT

t j kT

k

kjk

Tt

k T

F F

2

2

2

2

2

π τ π πτ

π

ω

π δ ωπ

−

∑ ∑

∑

şi:

( )

( )

F F

F

x t = c e =

= c e e = c e k

* *

* *

t−

−

− −

− −

∑

∑∑

τω

ω πδ ωπ

π τ

π πτ

π

2

2

2

2

2 2

kjk

T

k

kjk

Tt jk

T kjk

Tt

kk T

În consecinţă:

( ) ( )

( )( )

( )

TFT T

T

xW V

kjk

Tt

kl

jlT

t

l

lk

kl

j k lT

t

− −

−

∑ ∑

∑∑

−

∗ −

− +

t, = c e k c e l =

= c c e k l

*

*

ω π δ ωπ

δ ωπ

π δ ωπ

π π

π

2

2

2 2

2

S-a demonstrat în acest mod că reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului periodicx(t) este discretă în domeniul fecvenţă (distanţa între două componente succesive

fiind πT

) şi periodică de periodă T în domeniul timp.

6 Generalizări 99

Considerente similare pot fi făcute şi pentru celelalte reprezentări biliniareprezentate în acest capitol.

Trebuie remarcat că prelungirea prin periodicitate în domeniul timp asemnalului analizat este o cale pentru discretizarea în domeniul frecvenţă areprezentărilor timp-frecvenţă biliniare.

Mai trebuie menţionat că pot fi construite şi alte clase de reprezentări biliniareprin obţinerea transformării Fourier bidimensionale a elementelor clasei lui Cohenrespectiv elementelor clasei afine (a se vedea legătura dintre reprezentarea Wigner-Ville şi cea de tipul funcţie de incertitudine).

6.3 LEGĂTURA DINTRE TEORIA REPREZENTĂRILORBIDIMENSIONALE ŞI TEORIA SEMNALELOR ALEATOARE

Pentru început se justifică această legătură. Fără îndoială că elementul comun cel maiimportant pentru cele două teorii este noţiunea de nestaţionaritate. Această observaţielasă loc speranţei ca să poată fi caracterizate semnalele nestaţionare aleatoare cuajutorul reprezentărilot timp-frecvenţă. S-a văzut deja că deşi cadrul natural alreprezentărilor timp-frecvenţă este spaţiul semnalelor de energie finită se poate vorbidespre reprezentări timp-frecvenţă ale unor semnale care aparţin unor clase maigenerale decât ( )L2 R . În cazul semnalelor deterministe semnificaţia unei reprezentăritimp-frecvenţă era aceea de densitate spectrotemporală de energie. După cum se ştierealizările unui semnal aleator sunt semnale de energie infinită. De aceea se vor căutareprezentări timp-frecvenţă care să poată fi interpretate fizic ca şi densităţispectrotemporale de putere.

Întâi de toate se vor identifica elementele din teoria semnalelor aleatoare careau fost deja utilizate în această lucrare.

Când au fost definite noţiunile de durată şi bandă ale unui semnal, cu scopulanalizei localizării acestuia în planul timp-frecvenţă, au fost folosite formulele:

σ τ τ τ σ ω ω ωωt X2 2 2 2 2 2 = x( ) d , = ( ) d − ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫

Aceste formule reprezintă momentele de ordinul II ale variabilelor aleatoare cudensităţile de probabilitate:

x( ) τ 2 respectiv X( ) ω 2

Se poate considera că şi relaţiile care descriu proprietăţile P1 şi P2 au fostîmprumutate din teoria semnalelor aleatoare.

100 6.3 Legătura dintre reprezentările timp frecvenţă şi semnalele aleatoare

Într-adevăr, reprezentarea timp-frecvenţă: ( )TFE

x

x

t, ωπ2

poate fi privită ca şi

densitate de probabilitate bidimensională deoarece conform proprietăţii P1, are locrelaţia:

( )TFE

x

x

t, dt d =

ωπ

ω2

1− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫În această interpretare condiţiile proprietăţii P2 sunt proprietăţile marginale

ale unei densităţi de probabilitate bidimensională. În continuare se face o introducerealternativă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine bazată peteoria semnalelor aleatoare inspirată din lucrarea [56]. Să considerăm problema clasicăa testului de ipoteze binare. Pe baza măsurării semnalului recepţionat y(t) se faceipoteza Ho că s-a transmis doar zgomotul z(t) sau ipoteza H1 că s-a transmis sumadintre semnalul util x (t)u şi zgomotul z(t). Se poate scrie:

HH

o

u

, y(t) = z(t), y(t) = x (t)+ z(t) 1

Semnalul x (t)u este de forma unui semnal generator x(t), dar este caracterizat de unanumit set de parametrii care îl diferenţiază de semnalul generator. Se doreştedeterminarea parametrilor semnalului x (t)u pentru ca aceasta să fie perfect cunoscut.Prima sarcină este una de detecţie şi constă în a decide dacă la momentul t este corectăipoteza Ho sau H1. Cea de a doua este una de estimare a parametrilor semnalului şi estecondiţionată de faptul că ipoteza H1 a fost reţinută. Se notează cu V vectorulparametrilor semnalului care trebuie estimaţi. Se poate scrie:

x (t) = x (t)u Vo

Conform teoriei detecţiei optimale, [56], trebuie reţinută ipoteza H1, dacăcantitatea:

( ) max VV

v = x , yλ

depăşeşte un anumit prag. Cu alte cuvinte trebuie corelată observaţia făcută, y(t), cuun set de replici ale semnalului x(t) care se diferenţiază între ele prin valorile diferiteale elementelor vectorului V. Se declară că semnalul căutat este prezent în semnalulrecepţionat dacă cea mai mare valoare a funcţiei de corelaţie astfel obţinută estesuperioară unui anumit prag. Intuitiv, această valoare maximă ar trebui să se obţină lacoincidenţa dintre vectorul testat şi valoarea sa adevărată, deoarece atunci corelaţia

6 Generalizări 101

(neperturbată) este maximală. Se poate demonstra că într-adevăr este aşa şi că esteposibil să se estimeze V pe baza relaţiei:

( ) V max V HV

∧ = λ 1

Două exemple simple ale acestei strategii sunt furnizate de radar şi de sonar. În celedouă cazuri, există emisia unui semnal şi recepţia unui ecou. În primă aproximare,făcând abstracţie de zgomotul aditiv, se poate considera că diferenţa de structură dintresemnalul emis şi semnalul recepţionat este datorată unei întârzieri de propagare (legatăde distanţa dintre emiţător şi ţintă) şi de efectul Doppler (datorat mişcării relativedintre emiţător şi ţintă). Astfel, vectorul Vo care parametrizează modificărilesemnalului emis x(t) este un vector cu două componente, una care codeazăîntărzierea şi una care codează efectul Doppler. Dacă se presupune că semnalul emiseste de bandă îngustă şi /sau că viteza relativă este mică (aşa cum este de obicei cazulîn radar), efectul Doppler se traduce printr-o alunecare globală a spectrului semnalului,decalajul Doppler. Deci transformarea semnalului emis este descrisă de relaţia:

x(t) x( ) e = y(t) → −t j tτ ω

unde τ măsoară întârzierea iar ω decalajul Doppler.De aceea în acest caz:

( ) ( )λ τ τ ωωV t TFj txFI = x(t), y(t) = x(t) x ( ) e dt = , *

− −

− ∞

∞

∫

Dar membrul drept este reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine.Iată cum, pornind de la o problemă bine cunoscută în teoria semnalelor aleatoare, s-aajuns la necesitatea utilizării unei reprezentări timp-frecvenţă.

În literatura dedicată radarului, integrala din ultima relaţie este numită funcţiede incertitudine de bandă îngustă, sau în translaţie în sensul lui Woodward. Eamăsoară o corelaţie timp-frecvenţă, adică gradul de asemănare dintre un semnal şivariantele sale translatate în planul timp-frecvenţă.

6.3.1 DISTRIBUŢII DE PUTERE

Fie x(t) un semnal aleator de medie nulă care are momente de ordinul 4

nenule. Fie mulţimea de funcţii ortogonale k ( ) R, R t tλ λτ

∈ ∈. Acestea au

proprietatea:

102 6.3.1 Distribuţii de putere

h (s) h (s )dt d = (s s )

*t tλ λ λ δ' '−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Fie în sfârşit integrala:

( )Lx tt, = x(s) h (s) ds

*λ λ− ∞

∞

∫

unde λ reprezintă frecvenţa sau factorul de scară.Evident şi acesta este un semnal aleator, fiecărei realizări a lui x

corespunzându-i o realizare a lui ( )Lx t, λ . Se calculează fluctuaţiile acestei integrale:

( )

E L E

E

x t t

t t

t, = x(s) x (s ) h (s) h (s ) ds ds =

= x(s) x (s ) h (s) h (s ) ds ds

* *

* *

λ λ λ

λ λ

2' ' '

' ' '

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

∫∫

Cu E s-a notat operatorul de mediere statistică.Dar:

E xx x(s) x (s ) = r (s s )* ' '−

reprezintă autocorelaţia semnalului aleator considerat.De aceea ultima relaţie devine:

( ) E Lx xx t t t, = r (s,s ) h (s) h (s ) ds ds

*λ λ λ2

' ' '− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ (113)

Această funcţie de două variabile poate fi privită ca şi o reprezentare timp-factor descară a semnalului aleator x(t). Ea reprezintă o distribuţie de putere. Într-adevăr,integrala sa dublă este o constantă. Să justificăm această afirmaţie. Avem:

6 Generalizări 103

( ) E Lx xx t t t, dt d = r (s,s ) h (s) h (s )dt d ds ds

*λ λ λλ λ2

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ∫∫ ∫∫

' ' '

Conform proprietăţii funcţiilor ortogonale se poate scrie:

( ) E Lx x t, dt d = r (s, s ) (s - s ) ds ds

λ λ δ2

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ∫∫ ' ' '

sau:

( ) E L Ex xx t, dt d = r (s,s) ds = x(s) ds

λ λ2 2

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ∫ ∫

Conferind constantei din membrul drept al ultimei relaţii semnificaţia de putere asemnalului aleator x(t), rezultă că într-adevăr ( ) E Lx t, λ

2 este o distribuţie de

putere.O altă posibilitate de a introduce o reprezentare timp-frecvenţă a unui semnal

aleator este de a considera media statistică a unei reprezentări timp-frecvenţă definităpentru semnale deterministe, calculată pe ansamblul realizărilor semnalului aleatorconsiderat:

( ) E TFx t, ω

În acest mod se poate generaliza de exemplu clasa lui Cohen. Conform relaţiei(107), forma generală a unei reprezentări timp-frecvenţă din clasa lui Cohen este:

( ) ( ) ( )c t f xj u s u tTF

+

t, =

x s+ x s e f u, du ds d*ω

πτ τ

τ τωτ1

2 2 2

−

− −

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫∫

Folosind relaţia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F s t, = f u, e du = f u, t s

− −− −

− ∞

∞

∫τ τ τj u t s F

ultima relaţie se mai scrie:

104 6.3.1 Distribuţii de putere

( ) ( )E TF Fc t f xj

t, =

s t, x s+ x s e dsd*ωπ

ττ τ

τωτ12 2 2

−

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Considerând că semnalul x(t) este aleator rezultă că şi funcţia ( )c t f xTF t, ω estealeatoare. Valoarea sa medie statistică, calculată pe ansamblul realizărilor este:

( ) ( )c t f xjTF F E

t, =

s t, x s+ x s e ds d*ω

πτ

τ ττωτ1

2 2 2−

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫adică:

( ) ( )E TF Fc t f x xxj t, =

s t, r s+ ,s e ds d

ω

πτ

τ ττωτ1

2 2 2− −

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

Se constată că s-a obţinut în acest mod o nouă clasă de reprezentări timp-frecvenţăparametrizată prin intermediul funcţiei ( )F s t, − τ . Prin particularizarea acesteifuncţii de parametrizare se obţin diferite elemente ale clasei. Alegerea funcţiei deparametrizare ar trebui făcută în aşa fel încât în cazul în care semnalul x(t) ar fistaţionar reprezentarea timp-frecvenţă să devină la fiecare moment de timp densitateaspectrală de putere a semnalului considerat. Ipoteza de staţionaritate a semnaluluialeator se exprimă prin:

( ) ( )r t, t = r t txx xx' '−

Notând cu Px( )ω densitatea spectrală de putere a semnalului x(t) ar trebui să fiesatisfăcută relaţia:

( ) ( ) s t, r e ds d = ( )

F Pxx

jx− −

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ τ τ τ π ωωτ 2

Având însă în vedere că autocorelaţia unui semnal aleator staţionar şi densitatea saspectrală de putere sunt perechi Fourier, pentru ca ultima relaţie să aibe loc ar finecesar ca:

( ) s t, ds = F −

− ∞

∞

∫ τ π2

Ultima relaţie se mai scrie:

6 Generalizări 105

( ) ( ) f u, t s ds = F τ π

− ∞

∞

∫ − 2

sau cu schimbarea de variabilă:t s = w−

se obţine:

( ) ( ) f u, w dw = F τ π

− ∞

∞

∫ 2

Având în vedere că membrul stâng reprezintă o transformată Fourier calculată înorigine, ultima relaţie devine:

( ) ( ) f u, w = =

F F τ πu 0

2

sau aplicând teorema simetriei:

( )2 0 2π τ π f , =

Deci condiţia pe care trebuie să o satisfacă funcţia de parametrizare pentru careprezentarea timp-frecvenţă definită de relaţia (114) să se particularizeze la fiecaremoment de timp, în cazul semnalelor de analizat staţionare, la o densitate spectrală deputere este:

( ) f , = 0 1τ

Aceasta este tocmai condiţia ca reprezentarea timp-frecvenţă corespunzătoare dincazul semnalelor deterministe să aibe o distribuţie marginală corectă în domeniulfrecvenţă (a se vedea tabelul 1.6.2.1).

Alte clase de reprezentări timp-frecvenţă, respectiv timp-factor de scară alesemnalelor aleatoare nestaţionare sunt prezentate în [59], [108], [15], [67].

Capitolul 7

DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

Toate reprezentările timp-frecvenţă şi timp-factor de scară prezentate suntfuncţii continue de două variabile continue. Utilizarea lor presupune construcţia unoraparate care pe baza semnalului x(t) să reprezinte grafic ( )TFx t, ω . Fiind vorbadespre o reprezentare în trei dimensiuni, este utilă afişarea sa pe monitorul unuicalculator. Din păcate sistemele de calcul numeric nu pot decât să aproximeze funcţiilecontinue de variabile continue prin funcţii discrete de variabile discrete. De aceea esteinteresantă discretizarea reprezentărilor timp-frecvenţă. Aceasta se realizează prineşantionarea funcţiei ( )TFx t, ω . Se obţin eşantioanele ( )TFx o on t , m ω . Esteimportant să se cunoască valorile minime ale paşilor to şi ωo pentru ca pe baza

eşantioanelor ( )TFx o on t , m ω să se poată reconstrui exact ( )TFx t, ω . Conformteoremei de eşantionare [80], [114], ar fi necesar ca suportul în planul timp-frecvenţăal funcţiei ( )TFx t, ω să fie limitat. Pentru aceasta ar fi necesar ca atât suportulsemnalului x(t) cât şi suportul transformatei sale Fourier să fie limitate (proprietateaP11 din paragraful 1.2). Dar acest lucru nu este posibil, orice semnal de durată limitatăfiind de bandă nelimitată şi reciproc. În consecinţă funcţia ( )TFx t, ω nu va putea fireconstruită perfect din eşantioanele sale. E clar că reconstrucţia va fi cu atât mai bunăcu cât valorile to şi ωo vor fi mai mici, dar ea nu va fi niciodată perfectă. De aceea sevor căuta alte strategii de eşantionare cum ar fi, de exemplu, eşantionarea neuniformă.În continuare se va analiza pentru început discretizarea reprezentării timp-frecvenţărespectiv timp-factor de scară prin eşantionare în raport doar cu cea de-a douavariabilă, pentru ca apoi să se analizeze cazul în care se eşantionează în raport cuambele variabile. La început va fi analizat cazul reprezentărilor bidimensionale liniarepentru ca apoi să se prezinte şi cazul reprezentărilor biliniare.

7.1 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR LINIARE

Pentru început ne vom referi la discretizarea realizată prin eşationarea înraport cu cea de a doua variabilă. Acest caz este important deoarece face legătura întreteoria reprezentărilor timp-frecvenţă sau timp-factor de scară şi teoria băncilor defiltre.

Aceste sisteme, constituind ansambluri de filtre, se folosesc cu precădere înconstrucţia analizoarelor de spectru în timp real, aparate pentru analiza semnalelornestaţionare [124].

După cum s-a arătat în capitolul precedent orice reprezentare timp-frecvenţăsau timp-factor de scară liniară este de forma:

7 Discretizarea reprezentărilor timp frecvenţă 107

( ) ( )TF Kx t, = x(t) t, *λ λ∗ −

Eşantionarea acestei funcţii în raport cu cea de a doua variabilă conduce la obţinereaurmătoarelor valori:

( ) ( )TF Kx kt, = x(t) t, *kλ λ∗ −

Fiecare dintre acestea este o funcţie de timp parametrizată de valorile λ k ,

reprezentând răspunsul filtrului cu răspunsul la impuls ( )K k* t, − λ la semnalul de

analizat. Practic este vorba de prelucrarea semnalului x(t) cu o familie de filtreparametrizată de valorile λ k . În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă expresiile răspunsurilor la impuls ale acestor filtre sunt:

( )K kj kt j tk

1* t, = w( t) e = w (t) e − − ∨ω ω ω (115)

Se observă că toate aceste filtre se obţin dintr-un prototip (filtrul cu răspunsul laimpuls w (t)∨ ) prin modulaţie de amplitudine (înmulţirea cu exponenţiala complexă

e j tkω ). În consecinţă, toate aceste filtre au acelaşi gabarit. Diferenţa între răspunsurilelor în frecvenţă este dată doar de valoarea diferită a pulsaţiilor centrale ω k .

Dacă eşantionarea în domeniul frecvenţă este uniformă atunci:

ω ωk o = k , k Z∈În consecinţă distanţa dintre frecvenţele centrale a două filtre consecutive este egală cuωo. Întrucât toate aceste filtre au aceeaşi bandă la - 3 dB rezultă că factorul lor decalitate este crescător cu k. În consecinţă selectivitatea acestor filtre creşte odată cucreşterea frecvenţei lor centrale.

Aducând la intrarea unei astfel de bănci de filtre semnalul de analizat, x(t) , laieşirea fiecărui filtru se va obţine câte o secţiune verticală prin reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă a lui x(t) . La ieşirea filtrului cu numărul

de ordine k se va obţine funcţia ( )TFxSTFT

ot, k ω . În cazul reprezentării timp-factorde scară de tipul "wavelet" expresia răspunsurilor la impuls ale filtrelor din structurabăncii este:

( ) ( ) ( )K k k k k k21 1 1 1* * * t, a = a a t = a a t− −− − − −∨ψ ψ (116)

108 7.1 Discretizarea reprezentărilor liniare

Toate aceste filtre se obţin prin dilatări ale răspunsului la impuls ψ∨* (t) al filtruluiprototip. Ultima relaţie mai poate fi pusă şi în forma:

( ) ( )K k k kk

21* * t, s = s s t ; s =

ak− ∨ψ

Conform afirmaţiilor din capitolul 5, aceste filtre (pentru s = kk ) au factor decalitate constant, şi în consecinţă şi banda lor de trecere variază de la o valoare aindicelui k la alta. Este tocmai cazul analizorului de spectru în timp real [125].

De aceea se poate afirma că rezoluţia frecvenţială este constantă în cazulreprezentărilor de tipul transformare Fourier scurtă şi că rezoluţia frecvenţială creşteodată cu creşterea frecvenţei în cazul reprezentării de tip “wavelet”.

În continuare se trece la cazul eşantionării bidimensionale. În acest scop seconsideră că la ieşirea fiecărui filtru (cu răspunsul la impuls ( )K* t, k− λ ) din bancade filtre amintită mai sus se conectează câte un circuit de eşantionare ideal.Considerând că eşantioanele se prelevează la momentele de timp tm, ele vor aveavalorile:

( ) ( )TF Kx m k k t tm t , = x(t) t, *

= λ λ∗ − (117)

Problema este determinarea distribuţiei momentelor de timp tm care permite, pe bazavalorilor ( )TFx m kt , λ construcţia semnalului ( )TFx kt, λ , sau mai general asemnalului x(t) .

Legitimitatea acestei probleme provine din faptul că deşi reconstrucţiaperfectă a funcţiei ( )TFx t, λ pe baza eşantioanelor sale ( )TFx o om t , k λ (obţinute

în urma eşantionării uniforme) nu este posibilă, totuşi reprezentarea ( )TFx t, λ esteredundantă. Această afirmaţie este justificată de proprietatea P2 din paragraful 6.1:

( ) ( ) ( )TF TF Kx xAt, =

c t , t, , t , dt d

Rλ λ λ λ λ

1' ' ' ' ' '

×∫

Această redundanţă îndreptăţeşte speranţa reconstrucţiei funcţiei de douăvariabile pe baza eşantioanelor sale ( )TFx m kt , λ . Dacă totuşi această reconstrucţienu este posibilă, rămâne speranţa reconstrucţiei semnalului iniţial x(t).


7.1.1 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPULTRANSFORMARE FOURIER SCURTĂ

S-a demonstrat deja că localizarea în domeniul timp a reprezentării depinde dedurata ferestrei temporale w(t), σt şi că localizarea în domeniul frecvenţă areprezentării depinde de banda ferestrei temporale, σω .

Se poate deci afirma că semnalul de analizat este descris prin intermediulreprezentării sale timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă, la momentul t şila pulsaţia ω, într-o anumită zonă din planul timp-frecvenţă numită "celulă derezoluţie" şi descrisă de produsul cartezian:

t , t + , + −

× −

σ σω

σω

σω ωt t2 2 2 2

Cu alte cuvinte nu are rost să se caute informaţii despre acest semnal pentrumomentul t şi pulsaţia ω în alte zone ale planului timp-frecvenţă. În figura 1.7.1.1 seprezintă acoperirea planului timp-frecvenţă cu celulele de rezoluţie în cazulreprezentării de tipul transformare Fourier scurtă.

Figura 1.7.1.1 Acoperirea planului timp-frecvenţă în cazul reprezentării de tipul transformare Fourier scurtă.

E clar că o densitate minimă de eşantionare poate fi obţinută dacă se prelevează câteun eşantion din reprezentarea timp-frecvenţă cu coordonatele în fiecare celulă derezoluţie. Într-adevăr, dacă în mulţimea ( ) TFx

STFTm k m k

t , Z, Z

ω∈ ∈

nu ar exista

nici un eşantion care să îndeplinească condiţia:

110 7.1.1 Discretizarea RTFTFS

t t t + ; + ot

m ot

o k o− ≤ ≤ − ≤ ≤σ σ

ωσ

ω ωσω ω

2 2 2 2

atunci nu s-ar putea spera ca pe baza eşantioanelor achiziţionate să se determinevaloarea reprezentării timp-frecvenţă în jurul punctului ( )t , o oω . Evident că ar puteafi achiziţionate şi mai multe eşantioane având coordonatele în interiorul fiecăreicelule de rezoluţie. De aceea s-a vorbit mai sus de o densitate minimă de eşantionare.În consecinţă se poate afirma că eşantionarea reprezentării timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă la densitatea minimă de eşantionare poate fi făcută alegândcoordonatele eşantioanelor în centrele celulelor de rezoluţie.

În consecinţă paşii de eşantionare au valorile:

t = ; = o t oσ ω σω

Eşantionând în acest mod se obţine:

( )TFxSTFT

o o oj m

n t mo

o on t , m = x( ) w( n t ) e d = x( ) w ( ) d

,

*ω τ τ τ τ τ τω τω− −

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫Relaţia de mai sus defineşte o reprezentare timp-frecvenţă discretă. Aceastăreprezentare este descrisă de un operator definit pe ( )L2 R cu valori în l2 (Z). În [42]se demonstrează că acest operator este inversabil şi că operatorul invers este mărginitdacă:

t ω πo o ≤ 2 (118)

Expresia operatorului invers este:

x(t) = x( ), w ( ) w (t) , = =

, τ τω ωm n tnm

m n to o o o−∞

∞

−∞

∞

∑∑ (119)

adică:

( )x(t) = nt , m w (t) = =

,TFxSTFT

o onm

m nto oω ω

−∞

∞

−∞

∞

∑∑ (120)

Această relaţie are două interpretări. Prima interpretare se referă la faptul căsemnalul x(t) poate fi reconstruit pe baza eşantioanelor reprezentării sale timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă prelevate corespunzător unei densităţi


minime. Cea de a doua interpretare este aceea că semnalul nestaţionar, de energiefinită, x(t) poate fi descompus cu ajutorul mulţimii de funcţii

w (t) , Z, Z m nt m no oω ∈ ∈.

Dar:w (t) = w(t nt ) e,

m nt o

j m to o

oω

ω− −

Se observă că toate aceste funcţii pot fi generate pe baza funcţiei w(t), prin translatareşi înmulţire cu exponenţiale complexe. Condiţia (118) care se poate rescrie în forma:

σ σ πωt ≤ 2

exprimă necesitatea ca fereastra temporală folosită, w(t), să aibă o bună localizare înplanul timp-frecvenţă. De aceea se poate afirma că funcţiile w (t), m nto oω reprezintă

atomi timp-frecvenţă.Relaţia (120) descrie o posibilitate simplă de analiză timp-frecvenţă a

semnalului x(t). Pentru a face această analiză este suficient să se identifice valorile

semnificative ale coeficienţilor ( )TFxSTFT

o ont , mω . Acestea specifică zonele dinplanul timp-frecvenţă în care semnalul x(t) are componente semnificative.

E clar că eşantionarea cea mai eficientă corespunde cazului:

t = ω πo o 2

Ar fi foarte bine ca să se poată îndeplini această condiţie şi ca în acelaţi timp mulţimea

w (t), Z, Z m nt m no oω ∈ ∈ să reprezinte o bază ortonormală a spaţiului ( )L2 R . În acest

mod reprezentarea (120) ar fi complet neredundantă. De exemplu, dacă se considerăfereastra temporală:

w(t) = (t) = t + t χ σ σ1 21

2

1

2

− −

se poate construi mulţimea: e ( )

, + Z, Z

j m

n nm n

21

2

1

2

πτ χ τ−

∈ ∈

, care este o bază

ortonormală a spaţiului ( )L2 R , [42].Se observă că în acest caz:

t = , = o o1 2ω π


Din păcate fereastra temporală dreptunghiulară nu are o localizare suficient de bună înplanul timp-frecvenţă:

= σ σωt ∞

Deci această fereastră temporală nu îndeplineşte condiţiile pentru careprezentările timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă care o folosesc săpoate fi eşantionate eficient (complet neredundant) în scopul reconstrucţiei semnaluluide analizat. De fapt există o teoremă care arată că cele trei condiţii:

- t = ω πo o 2 ,

- w (t) , Z, Z m n t m no oω ∈ ∈ - bază ortonormală a lui ( )L2 R ,

- w(t) bine localizată în planul timp-frecvenţă (în aşa fel încât să se poatăalege t = o tσ şi ω σωo = ),sunt contradictorii.

Enunţul acestei teoreme , conform [59], este:

Teorema Balian-Low Nu există nici o fereastră temporală care să aibă o localizare

bună în timp şi în frecvenţă şi care să genereze o mulţime w ( ), Z, Zm nt m no oω τ∈ ∈

,

bază ortonormală a lui ( )L2 R , dacă:

t = ω πo o 2

De fapt acele funcţii w( )τ care pot genera baze ortonormale ale lui ( )L2 R auprodusul σ σωt infinit.

În sfârşit, paşii de eşantionare ar trebui aleşi astfel încât să fie îndeplinităcondiţia:

t ω πo o < 2

Ţinând seama de condiţiile:

t = o tσ ; ω σωo = ,

şi de principiul incertitudinii rezultă condiţia:

πω π

22 t ≤ <o o


Deci pentru reconstrucţia semnalului x(t) este necesară eşantionarearedundantă a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Dealtfel nici în cazul eşantionărilor redundante (ω πo o t < 2 ), condiţia ca mulţimea

w ( ), Z, Z m nt m no oω τ∈ ∈

să fie o bază ortogonală a lui ( )L2 R nu poate fi verificată

decât de ferestre temporale cu, [42] :

= σ σωt ∞Această obstrucţie datorată teoremei Balian-Low poate fi evitată dacă se

renunţă la constrângerea ca w = w(t n t ) e,

m nt oj m t

o oo

ωω− − şi dacă exponenţiala

se înlocuieşte cu o funcţie trigonometrică. Procedând în acest mod Coifman şi Meyerau construit bazele sinusoidale şi cosinusoidale localizate ale spaţiului ( )L2 R , [96].Elementele acestor baze sunt numite "funcţiile wavelet" ale lui Malvar, în onoarea luiMalvar care a introdus aceste funcţii într-un cadru diferit (compresia semnalelor) înarticolul său [93]. Ideea bazelor trigonometrice localizate au fost reluată şi dezvoltatăde către Mladen Wickerhauser în cartea sa [145].

Dacă se renunţă la pretenţia că mulţimea w ( ), Z, Z m nt m no oω τ∈ ∈

să

reprezinte o bază ortonormală atunci se poate lucra într-un cadru mai general dat deteoria cadrelor (frame în limba engleză). Această teorie, elaborată de R.J. Duffin şiA.C. Schaeffer, [54], este folosită de Ingrid Daubechies în cartea sa [42] pentru astudia discretizarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

În această lucrare se lucrează în ipoteza că mulţimea w ( ) , Z, Z m n t m no oω τ∈ ∈

are

structură de cadru. În continuare se prezintă câteva rezultate remarcabile ale teorieicadrelor.Definiţie Mulţimea de funcţii g ( )n n Zτ

∈, elemente ale spaţiului Hilbert H,

se numeşte cadru, dacă există două constante A şi B cu 0< ≤ < ∞A B , astfel încâtpentru fiecare f din H să fie îndeplinită condiţia:

A Bnn

f f, g f =

2 2 2≤ ≤−∞

∞

∑

Constantele A şi B se numesc marginile cadrului.Dacă: A = B atunci este vorba despre un cadru îngust ("tight frame" în limba

engleză). O bază ortogonală este un cadru îngust cu: A = B = 1.Reciproca nu este însă valabilă. Nu orice cadru îngust cu marginile unitare este o bazăortogonală.


Dacă mulţimea g ( ) Zn nτ∈

este un cadru şi dacă elementele sale sunt liniar

independente atunci această mulţime se numeşte bază Riesz. Orice cadru este omulţime completă.

Orice bază Riesz poate fi transformată într-o bază ortogonală prin procedeulde ortogonalizare Gram-Schmidt [39].

În cazul unui cadru îngust, oricare ar fi elementul f din H, se poate scrie:

f, g = f

jj J

A2 2

∈∑ (122)

Mai mult, orice element din H poate fi exprimat ca şi combinaţie liniară de elementeale cadrului îngust, în forma:

f = f, g g A j jj

− ∑1 (123)

Această formulă este foarte asemănătoare cu cea de descompunere a semnalului f într-o bază ortogonală a spaţiului H. Totuşi trebuie remarcat că din punct de vedere altransmiterii informaţiei există o deosebire fundamentală între descompunerea într-obază ortogonală şi descompunerea într-un cadru îngust. Şi anume, în comparaţie cudescompunerea într-o bază orotgonală descompunerea într-un cadru îngust esteredundantă. Această comportare se datoreşte faptului că elementele unui cadru îngustnu sunt ortogonale între ele. Condiţia de ortogonalitate:

g , g = , j = k, in restj k1

0

asigură independenţa informaţiei conţinute în elementele gj şi gk dacă j k≠ .Datorită acestui fapt descompunerea într-o bază ortogonală poate fi consideratăneredundantă. Partea din informaţia asociată lui f conţinută în gj este descrisă doar de

coeficientul f, gj . În cazul descompunerii într-un cadru îngust partea din informaţiaasociată lui f conţinută în gj este descrisă de mai mulţi coeficienţi ai descompunerii.

Oricărui cadru din H i se poate asocia un operator, numit operator al cadruluişi notat cu F. Acesta este un operator liniar care asociază spaţiul H spaţiul ( )l2 J cu:

( ) l = c = c ; c = c

2 22

J j j J jj J∈ ∈

< ∞

∑


şi care este definit prin:

( )F j j f = f, g

Acest operator este mărginit:

( )∀ ∈ ≤ f ; f f H F B2 2

Operatorul adjunct lui F se notează cu F* şi se exprimă pe baza relaţiei:

Fc j jj J

* = c g ∈∑

Prin compunerea operatorilor F* şi F se obţine operatorul F*F care este inversabil.Inversul operatorului F*F se va nota cu (F*F) - 1.

Făcând notaţia:

( )~g = g*j jF F

−1

se obţine mulţimea:

~g j j J∈

Şi această mulţime are structură de cadru cu constantele B −1 şi A −1. Operatorulacestui cadru se notează cu ~F. În [42] se demonstrează că acest operator areurmătoarele proprietăţi:

1 ( )~F F F F = * −1

2 ( )~ ~F F F F* * =

−1

3 ~ ~F F F F I* * = = d4 ~ ~

F F F F = * *

unde cu Id s-a notat operatorul identitate.

Propietatea 3 permite exprimarea oricărui element f al lui H şi cu ajutorul cadrului

~g j j J∈

:


f, g g = f = f, g g

jj J

j j jj J∈ ∈

∑ ∑~ ~ (124)

De aceea cadrul ~g j j J∈

este numit cadru dual al cadrului ~g j j J∈

.

În consecinţă pentru dezvoltarea semnalului f într-un cadru este necesară atâtcunoaşterea elementelor acestui cadru cât şi cunoaşterea cadrului dual. De aceearelaţia (124) nu este eficientă din punct de vedere al volumului de calcul pe care îlimplică. Ar fi mai utilă o relaţie de descompunere de forma:

f, g g

jj J

j∈∑

asemănătoare cu cea din cazul cadrelor înguste (relaţia (123)).În [42] se demonstrează că dacă marginile cadrului A şi B sunt suficient de

apropiate:

r = BA

− <<1 1

atunci e valabilă descompunerea:

f = +

f, g g + f

2

A BRj

j Jj

∈∑ (125)

unde operatorul rest R este definit prin:

RA B

F F = Id +

*−2

Dacă constanta r este de valoare mică atunci eroarea medie pătratică de aproximare alui f obţinută prin înlăturarea termenului R f din membrul drept al relaţiei (125) este

de valoare r

+ r f

2.

În consecinţă poate fi utilizată pentru descompunere formula aproximativă:

f +

f, g g

≅∈∑2

A B jj J

j (125')

În continuare se aplică rezultatele enunţate anterior la studiul discretizăriireprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă. Întrebările care sepun în acest caz sunt:


- Pentru ce alegeri ale lui w(t), ωo şi to poate fi caracterizată o funcţie pe

baza produselor f, wo , m ntoω ?

- Când este posibil să se descompună f , pe baza unui algoritm stabil, dinaceste produse scalare ?

Răspunsul la aceste întrebări rezultă din condiţiile care trebuiesc impuse

pentru ca mulţimea w ( )o , Z, Zm nt m noω τ

∈ ∈să aibă structură de cadru.

În continuare se va folosi notaţia:

w ( ) = w ( ) , , om n m ntoτ τω

Mulţimea w ( ), Z, Zm n m nτ

∈ ∈ constituie un cadru , dacă există constantele strict

pozitive A şi B astfel încât:

A Bm nm n

f(t) dt f, w f(t) dt , ,

2 2 2≤ ≤∑∫ ∫− ∞

∞

− ∞

∞

Dacă această condiţie este îndeplinită, atunci orice semnal de energie finită,f(t), poate fi descompus în forma:

f = f, w w = f, w w, ,

, , ,

, m nm n

m n m nm n

m n∑ ∑~ ~ (126)

Se poate demonstra că pentru ca mulţimea w ( ), Z, Zm n m nτ

∈ ∈să aibă o

structură de cadru este necesar ca să fie satisfăcută condiţia:

Ao o

≤ ≤ t

w B2 2π

ω

sau, ţinând seama de faptul că fereastra temporală este de energie unitară:

Ao o

≤ ≤ t

B2 π

ω

Dacă ar fi vorba despre un cadru îngust (A = B = 1) atunci ar fi necesar ca:ω πo o t = 2 .


Dar conform teoremei Balian-Low (extinsă la cadre) ferestrele temporale care conducla cadre înguste la care se respectă această condiţie nu sunt bine localizate în planultimp-frecvenţă.

Condiţia:ω πo o t > 2

ar conduce la reconstrucţia lacunară a semnalului f(t).Pentru

ω πo o t < 2

mulţimea w ( ), Z, Zm n m nτ

∈ ∈ poate fi un cadru, ba chiar un cadru îngust, generat

de ferestre temporale w(t) cu o bună localizare în planul timp-frecvenţă. Exemplele deferestre temporale care satisfac aceste condiţii sunt prezentate în [42]. Va fi reluat încontinuare doar exemplul ferestrei temporale Gaussiene având în vedere poziţiaprivilegiată a acestei ferestre (ea conduce la reprezentarea timp-frecvenţă de tipGabor):

w( ) = e

τπ

τ14

2

2

−

În următorul tabel sunt prezentate valorile marginilor cadrului generat pentru

diferite valori ale pasului to, în cazul ωπ

o o t = 2

.

to A B0,5 1,221 7,0911 3,854 4,1471,5 3,899 4,1012,0 3,322 4,6792,5 2,365 5,6643,0 1,427 6,772

Deci, semnalul x(t) poate fi analizat pe baza eşantioanelor reprezentării sale timp-frecvenţă de tip transformare Fourier scurtă. Pornind de la aceste eşantioane semnalulpoate fi reconstruit. În figura 2.7.1.1 este prezentat un sistem de analiză şireconstrucţie al semnalului x(t) bazat pe utilizarea reprezentării sale timp-frecvenţă detipul transformare Fourier scurtă.


Bancă de Bancă de filtre Bancă de Bancă de filtremodulatoare trece bandă circuite trece bandă

de eşantionare

e j t0− ω ( )δ t t0

x(t) y(t)

1 ( )δ t t0

e j t0ω ( )δ t t0

Sistem de analizã Sistem de sintezã

Figura 2.7.1.1 Sistem de analiză şi sinteză a semnalelor de energie finită bazat pe utilizareareprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă.

Principalul dezavantaj al sistemului prezentat în figura anterioară este că elnecesită un număr infinit de blocuri. Acest dezavantaj dispare dacă se analizează unsemnal a cărui energie se localizează aproape în totalitate într-un anumit interval timp-frecvenţă [ ] [ ]− × −T To o o o, , Ω Ω . În acest caz numărul de circuite din figuraanterioară poate fi finit. Acest fapt poate fi reformulat în forma următoarei teoremeprezentată în [42]:

Dacă funcţiile w ( ) = e w( n t ),

m nj m

ooτ τω τ − sunt elementele unui

cadru de margini A şi B şi dacă fereastra temporală w( )τ satisface condiţiile:

( ) ( ) ( )w( ) + , w( ) + τ τ τ ω ωα α

≤ ≤− −

C C1 12 2 2 2F

w(-t)

w(-t)

w(-t)

w(t) e j t0− ω

w(t)

w(t) e j t0ω


cu α > 1, atunci, oricare ar fi ε > 0 există constantele pozitive tε şi ωε , astfel încât

oricare ar fi semnalul x( )τ din ( )L2 R şi oricare ar fi constantele To şi Ωo să aibăloc relaţiile:

( )

x( ) x, w w x( ) d +

+ x( ) d + f

, ,

+

τ τ τ

τ ω ω ε

ω ω τ

ω

ε

ε

− ≤

≤ +

≤

>

>

∑ ∫

∫

n m n mm

n t T t

To

o o

o

o

BA

~

F

Ω

Ω

0

2

12

2

12

(128)

E clar că dacă semnalul x( )τ se localizează, aproape în întregime în intervalul

[ ] [ ]− × −T To o o o, , Ω Ω atunci valorile integralelor:

x( ) d

τ ττ

2

>∫

To

şi ( ) X d

ω ωω

2

>∫Ωo

sunt foarte mici. Cum şi ε poate fi oricât de mic rezultă că semnalul x( )τ poate fiaproximat oricât de bine în medie pătratică de suma:

x, w w , +

+

m n m nm

n t T t

o o

o o

,~

ω ωε

ε

≤

≤

∑Ω

Această teoremă este foarte utilă deoarece asigură aproximarea cu o calitate foartebună a oricărui semnal de energie finită localizat aproape în întregime într-un domeniudin planul timp-frecvenţă printr-o sumă (nu serie) de atomi timp-frecvenţă.Interpretarea grafică a teoremei enunţate mai sus este prezentată în figura 3.7.1.1.

În finalul acestui paragraf , se revine pe scurt la cazul bazelor ortogonale. S-aafirmat mai devreme că dacă se renunţă la constrângerea ca:


w ( ) = w( n t ) e ,

m n oj m tt t o− − ω

şi că dacă exponenţiala se înlocuieşte cu o funcţie cosinusoidală sau sinusoidală atuncifuncţiile w ( ) , m n τ devin elementele unei baze ortonormale şi au o bună localizareîn planul timp-frecvenţă chiar şi în cazul: ω πo o t = 2În continuare se prezintă definiţia funcţiilor "wavelet" ale lui Malvar aşa cum segăseşte aceasta în [96].

Figura 3.7.1.1 Mulţimea punctelor de eşantionare a reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformareFourier scurtă, necesare pentru reconstrucţia semnalului x( )t care este aproape perfect localizat în

domeniul [ ] [ ]− × −T To o o o, , Ω Ω .


Se porneşte de la un şir crescător a m de numere reale cu proprietăţile:

lim m

m→ − ∞

− ∞

a = şi lim m

m→ ∞

∞

a = +

Se notează:l = a a+ m m m1 −

şi se definesc numerele pozitive ηm cu condiţia:

η ηm m ml + + 1 ≤

Atunci, intervalele [ ]a , a + m m m m− η η sunt disjuncte două câte două. Ferestrelew ( )m τ sunt construite astfel încât să furnizeze o variantă netezită a funcţiilorindicatoare ale intervalelor [ ]a , a + m m 1 . Se impun condiţiile:

1. 0 1≤ ≤w ( ) m τ2. w ( ) = m τ 1, dacă a am m m m+ + + η τ η≤ ≤ −1 1

3. w ( ) = m τ 0, dacă am m− ≥η τ sau dacă τ η + ≥ + +a m m1 1.4. w ( + ) = w ( )m m m ma aτ τ− −1 , dacă τ η ≤ m

5. w ( t) + w ( + t) = m m m ma a2 2 1− , dacă τ η ≤ m

Se definesc funcţiile "wavelet" ale lui Malvar prin:

u ( ) = w ( ) n +

, m nm

mm

mlcos

al

τ τ πτ2 1

2

−

(129)

Se observă înlocuirea exponenţialei complexe din produsul din membrul drept cufuncţia cosinusoidală. În referinţa bibliografică anterior citată este demonstratăurmătoarea teoremă : “Şirul u ( ) , m n τ reprezintă o bază ortonormală a

spaţiului ( )L2 R ”.Exemple de funcţii w ( )m τ , modul lor de construcţie precum şi aplicaţii ale funcţiilor"wavelet" de tip Malvar sunt prezentate în [145].


7.1.2 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRII DE TIP "WAVELET"

Localizarea în timp a acestei reprezentări depinde de durata funcţieigeneratoare ψ τ σ( ), t şi de valoarea factorului de scară s iar localizarea în frecvenţădepinde de banda funcţiei generatoare ω σ şi de valoarea factorului de scară s. Deaceea se poate afirma că în cazul acestei reprezentări celula de rezoluţie este:

t s

, t +

s t t−

σ σ2 2

× −

s , + s ωσ

ωσω ω

2 2. Dacă este vorba despre

reprezentarea timp-frecvenţă de tipul "wavelet" atunci:

s = ωωo

unde ωo reprezintă pulsaţia centrală a răspunsului în frecvenţă al filtrului curăspunsul la impuls ψ τ( ) . În continuare se va considera pentru comoditate că:

ωo = 1

În consecinţă se constată că aria celulei de rezoluţie este egală cu:

s

s = tσ σ σ σω ωt

adică, aria este independentă de s (sau ω).Fie ωo

' respectiv ω1 centrele a două celule de rezoluţii învecinate. Sepresupune că:

ω ω1 = a o o'

Lăţimile de bandă ale celor două celule de rezoluţie sunt: σω0' şi σω1 . Ţinând seama

de faptul că acestea reprezintă benzile de trecere a două filtre care au acelaşi factor decalitate se poate scrie:

ωσ

ωσ

ω ω

0 1

0 1

'

'

=

adică:

124 7.1.2 Discretizarea reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet”

ωσ

ωσ

ω ω

0 0

0 1

' '

' =

ao

de unde rezultă că: σ σω ω1 0

= ao ' (130)

Având în vedere invarianţa ariei celulei de rezoluţie şi notând cu σto şi σt1 duratele

celor două celule de rezoluţie în discuţie se poate scrie:σ σ σ σω ωt to o

= 1 1

de unde rezultă că:

σσ

tt

o1

0= a (131)

Acoperirea planului timp-frecvenţă cu astfel de celule de rezoluţie (pentru a = o 2)este prezentată în figura 1.7.1.2.

Figura 1.7.1.2. Acoperirea planului cu celulele de rezoluţie în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet".

ω

t

σ t1

σ t0

σω1

σω0 '

ω1

ω 0 '


Trebuie remarcat că o astfel de acoperire impune o condiţie suplimentară asuprafuncţiei "wavelet" generatoare.

Într-adevăr, având în vedere că distanţa dintre coordonatele centrelor a douăcelule vecine (pe verticală) este:

ω ωσ σω ω

1 00 1

2 2− '

'

= +

şi ţinând seama de relaţiile de mai sus, se poate scrie:

( ) ( )ωσω

0 12

10''

a = a +o o−

sau:( )( )

ωσω

0

0

1

2 1

'

'

= a +

ao

o −(132)

În consecinţă rezultă că valoarea factorului de calitate al filtrului cu răspunsul înfrecvenţă ( )F ψ ω(t) este fixată. La fel şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă detipul transformare Fourier scurtă şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tip“wavelet” se poate vorbi despre o densitate minimă de eşantionare.

Aceasta se obţine şi de această dată dacă coordonatele punctelor în care seeşantionează sunt tocmai coordonatele centrelor celulelor de rezoluţie (din figura1.7.1.2).

Legea care descrie repartiţia acestor puncte în domeniul frecvenţă este:

ω ω ωm o m om= a = a −1 0

'

Legea care descrie repartiţia acestor puncte în domeniul timp este:

t = na t n om

o−

Se constată că este vorba despre o eşantionare neuniformă.De aceea, întrebările:

Este posibilă reconstrucţia funcţiei ( )TFxCWT t, ω pe baza

eşantioanelor ( )TFxCWT

m nω , t ? În ce condiţii ?"

sunt foarte interesante şi actuale.


În continuare urmând aceeaşi cale ca şi în cazul discretizării reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă se va studia modul în care poate fireconstruit semnalul x( )τ din eşantioanele reprezentării sale de tip "wavelet". În acestscop în [42] se studiază cadrele de tip "wavelet". În continuare se prezintă pe scurtrezultatele obţinute în această lucrare. Se face notaţia:

( )ψ τ ψ τm n o

m

om

o, ( ) = a a n t−

− −2 (133)

Următoarea teoremă arată condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească funcţia

"wavelets mother", ψ τ( ) pentru ca mulţimea ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈ să aibă o

structură de cadru.

Teoremă Dacă ψ τm n m n, Z, Z( )

∈ ∈ constituie un cadru pentru ( )L2 R cu

marginile A şi B atunci:

( )t a

( ) d

t a o o o oln

Aln

B2 2

2

0π

ψ τ ω

ωω

π≤ ≤

∞

∫F

şi: (134)

( )t a

( )

d t a

o o o olnA

lnB

2 2

20

π

ψ τ ω

ωω

π≤ ≤

− ∞∫

F

Se observă similitudinea dintre condiţia de admisibilitate a funcţiei "wavelets mother"din relaţia (83') din paragraful 5.1 şi condiţiile de admisibilitate din enunţul teoremeide mai sus. Diferenţa dintre cele două forme ale condiţiei de admisibilitate provinedin faptul că în cazul teoremei de mai sus sunt considerate doar dilatări pozitive alefuncţiei ψ τ( ), deoarece:

( )a , m Zom > ∀ ∈0

Din acest motiv sunt disociate în formula (134) domeniile frecvenţelor pozitive şinegative. Dacă s-ar fi considerat şi dilatări negative, atunci cele două condiţii deadmisibilitate ((83') şi (134)) ar fi fost identice. În continuarea acestui paragraf se vapresupune că se lucrează cu funcţii ψ τ( ) admisibile. Nu orice alegere a tripletului

( )ψ , a , to o conduce la un cadru de funcţii "wavelet", chiar dacă funcţia ψ τ( ) esteadmisibilă.


Chiar dacă se face o alegere corectă mai rămâne problema determinării marginilorcadrului.

Următoarea propoziţie este utilă în elucidarea chestiunilor menţionate mai sus.Propoziţie Dacă ψ şi ao sunt astfel încât:

( )info

om

m 1

20

a = a

≤ ≤ − ∞

∞

∑ >ω

ψ ωF

(135)

( )supo

om

m1

2

a = a

≤ ≤ − ∞

∞

∑ < ∞ω

ψ ωF

şi dacă:

( ) ( )β ψ ω ψ ωω

(s) = a a + ssup om

om

mF F∑

descreşte cel puţin la fel de repede ca şi funcţia:( ) ( )1 01 + s , + − >ε ε

atunci există o valoare M to astfel încât ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈ să reprezinte un cadru

pentru orice alegere a lui to cu t to M o< . Pentru to astfel ales marginile cadruluisunt:

( )A info

om

m o okk

o =

t a

tk

tk

a = =

2 2 2

1

2

0

πψ ω β

πβ

πω≤ ≤ − ∞

∞

− ∞≠

∞

∑ ∑

−

−

F

( )B supo

om

m o okk

o

= t

a +t

k t

k a = =

2 2 2

1

2

0

πψ ω β

πβ

π

ω≤ ≤ − ∞

∞

− ∞≠

∞

∑ ∑

−

F

În scopul reconstrucţiei semnalului x( )τ pe baza unui cadru de funcţii

"wavelet" este necesară cunoaşterea cadrelor ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈ şi

~ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈. În continuare se prezintă câteva exemple de cadre de funcţii

"wavelet".

Exemplul 1. Pălăria mexicană Este derivata de ordinul II al unei Gaussiene, normatăîn aşa fel încât să aibă energie unitară:


( )ψ τπ

τ τ( ) =

e22

3

114

2 2− − (136)

Dacă se roteşte graficul funcţiei ψ τ( ) în jurul axei sale de simetrie se obţineo suprafaţă care seamănă cu o pălărie mexicană. În tabelul 1.7.1.2 sunt prezentate

valorile marginilor cadrului ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈pentru diferite valori ale lui to şi

a = o 2.

to A B0,25 13,091 14,1830,5 6,546 7,092

0,75 4,364 4,7281 3,223 3,596

1,25 2,001 3,454

Tabelul 1.7.1.2 Margini de cadre de tip "wavelet" generate de pălăria mexicană.

Exemplul 2. Funcţia Gaussiană modulatăAceastă "wavelets mother" are expresia analitică:

ψ τπ

ω τω τ

( ) = e e e 2

14

2 2

2

− − −−

j oo

(137)

În practică se alege:ωo = 5

Fiind vorba despre o funcţie complexă rezultatul aplicării reprezentării timp-frecvenţăde tipul "wavelet" bazată pe utilizarea acestei funcţii semnalului x( )τ va fi de forma:

x, , ψm n

şi

arg m n x, , ψ (138)

Reprezentarea arg m n x, , ψ este foarte utilă pentru detectarea singularităţilor

conţinute în semnalul x( )τ .


Evident că şi în cazul reconstrucţiei unui semnal pe baza eşantioanelor reprezentăriisale timp-frecvenţă de tip "wavelet" se poate vorbi despre implementarea bazată peutilizarea unui sistem compus dintr-un bloc de analiză şi unul de sinteză.

De fapt relaţia:

x(t) = x, (t) = x, (t), = =

, , = =

, ψ ψ ψ ψm nnm

m n m nnm

m n− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∑∑ ∑∑~ ~ (138')

poate fi implementată cu sistemul din figura 2.7.1.2.

La fel ca şi în cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtăun astfel de sistem poate fi utilizat doar dacă în structura sa intră un număr finit desubsisteme. Această situaţie poate apărea dacă semnalul x(t) este localizat aproape înîntregime într-un domeniu compact al planului timp-frecvenţă. Acesta este motivulpentru care în [42] este demonstrată o teoremă referitoare la descompunerea în cadre aunor astfel de semnale. Această teoremă se referă la cadrele generate de funcţii

Figura 2.7.1.2 Sistem de analiză şi sinteză a semnalelor de energie finită bazat pe utilizarea reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul wavelet.


"wavelets mother", ψ(t) cu proprietatea că ψ şi F ψ sunt funcţii simetrice binelocalizate în planul timp-frecvenţă.

Teoremă Fie ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈ o mulţime cu structură de cadru cu

marginile A şi B generată de o funcţie ψ τ( ) cu proprietăţile:

( )ψ τ τα

( ) + ≤−

C 1 2 2 , ( ) ( )( )

F ( ) + ψ τ ω ω ωββ γ

≤−

+

C 1 2 2 ,

α β γ> > >1 0 1, ,

Oricare ar fi ε > 0, există o mulţime ( )B Toε Ω Ω, , R12⊂ , astfel încât pentru

orice semnal de energie finită x(t) să aibă loc relaţia:

( ) ( )( )

( )

x x, d +

+ x d + x

, , , , ,

− ≤

∈ <>

>

∑ ∫

∫

ψ ψ ω ω

τ τ ε

ε ωω

τ

n m n mm n B T

sau

T

o o

BA

X~Ω Ω Ω

Ω1

1

2

2

(139)

Dacă semnalul x( )τ este localizat aproape total în domeniul[ T, T] ( [ ]o− × − − ,Ω Ω1 ∪ [ ] )oΩ Ω, 1 atunci primii doi termeni ai sumei dinmembrul drept al relaţiei (139) au valori foarte mici. Cum şi ε poate fi oricât de micrezultă că semnalul x( )τ poate fi aproximat în medie pătratică oricât de bine prinrelaţia:

( ) ( )x x, , ,

, , ,≅

∈∑ ψ ψε

m n m nm n B To

~

Ω Ω1

(140)

Deci în cazul în care sunt satisfăcute condiţiile din teorema enunţată mai sus sistemuldin figura 2.7.1.2 are un număr finit de blocuri constitutive. În acest caz el ar putea fiutilizat pentru eşantionarea cu reconstrucţie perfectă a semnalului x(t) (care estelocalizat aproape total într-un domeniu compact din planul timp-frecvenţă). În acestsens ar putea fi generalizată teorema de eşantionare a lui Papoulis.


De altfel sistemul din figura 2.7.1.2 este foarte sugestiv pentru legătura care existăîntre teoria eşantionării şi teoria funcţiilor "wavelet". Printre articolele scrise peaceastă temă pot fi amintite [28], [29], [3], [111], [11], [70], [71], [72], [73], [74].

Interpretarea grafică a ultimei teoreme enunţate este prezentată în figura3.7.1.2

Figura 3.7.1.2 Mulţimea ( )B Toε Ω Ω, , 1 necesară pentru reconstrucţia aproximativă a unui semnal

aproape complet localizat în domeniul [ T T] ([ ] [ ]o o− × − − ∪, , ,Ω Ω Ω Ω1 1 pe bazaeşantioanelor reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet" a acestui semnal.

În practică se lucrează cu valoarea 2 pentru ao. Această valoare conduce lafuncţii"wavelet" de forma:

( )ψ τ ψ τm nm

m

n m, ( ) = , Z2 22 − ∈


Generarea numerică a acestor funcţii este mult uşurată de faptul că se lucreazăcu puteri ale lui 2. Nu întotdeauna însă această valoare a lui ao conduce la o structură

de cadru convenabilă pentru mulţimea ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈. De aceea se prezintă

în continuare o modalitate de completare a mulţimii ψ τm n m n, Z, Z ( )

∈ ∈ pentru a

se ajunge la o structură de cadru convenabilă. Un cadru cu o astfel de structură esteunul ale cărui margini satisfac condiţia:

BA

− <<1 1

Această condiţie este apropiată de condiţia:A B = = 1

care face cadrul să devină o bază ortonormală. După cum s-a arătat structura de bazăortonormală este cea mai puţin redundantă. De aceea un cadru cu structura apropiatăde cea a unei baze ortonormale merită să fie utilizat.

În construcţia acestor tipuri de cadre nu se mai porneşte de la o singură"wavelets mother" ci de la mai multe. Fie acestea funcţiile 1 2ψ ψ ψ, , , K N . Acestefuncţii se aleg în aşa fel încât pulsaţiile la care transformatele lor Fourier au maxime săfie diferite. Ele vor trebui să fie bine localizate în frecvenţă. Procedând în acest mod se

poate obţine mulţimea: νψm n m n, , Z, Z,∈ ∈ = , ν 1 K N .

În [42] se demonstrează că această mulţime este un cadru cu structură favorabilă.Prin analogia dintre un astfel de cadru şi o formaţie corală, acesta se mai

numeşte şi cadru pe mai multe voci. Întrebarea firească este: Cum se aleg funcţiileν ψ τ( ) ? O posibilitate de a alege versiuni dilatate, cu factori fracţionari, ale uneisingure "wavelets mother" este:

( ) ( )

υ

υ υ

ψ τ ψ τ( ) =

2 21 1− −

N N (141)

Transformatele Fourier ale acestor funcţii sunt:

( )( )

( ) ( )F F ( ) = ( )

υ

υ

υ υψ τ ω ψ τω

21

2 2

1

1 1

−

− −

N

N N

adică:

( ) ( )

F F ( ) = ( ) υ

υ

ψ τ ω ψ τ ω21

−−

N


Dacă pulsaţia la care funcţia ( ) ( ) F ψ τ ω este maximă este ωc atunci pulsaţia la

care funcţia ( )F ( ) υ ψ τ ω este maximă este:( )

υ

υ

ω ωc N c = 21−

Într-adevăr pulsaţiile υωc sunt diferite între ele. Selectivitatea funcţiilor

( )F ( ) υ ψ τ ω este impusă de selectivitatea funcţiei ( ) ( ) F ψ τ ω . Decirelaţia (141) poate conduce (prin alegerea judicioasă a funcţiei ψ τ( ) ) la cunoaştereaunui cadru pe mai multe voci. În figura 4.7.1.2 este prezentată distribuţia punctelor încare trebuie eşantionată reprezentarea timp-frecvenţă de tip "wavelet" pentru casemnalul de analizat să poată fi reconstruit folosind un cadru pe mai multe voci.

Trebuie remarcat faptul că figurile 1.7.1.2, 3.7.1.2 şi 4.7.1.2 pot fi interpretateşi altfel. Folosind distribuţiile punctelor de eşantionare din aceste figuri pot fiimaginate procedee de reconstrucţie aproximativă prin interpolarea bidimensională areprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet”. În acest context, calitatea reconstrucţieise înbunătăţeşte cu cât creşte numărul punctelor de eşantionare utilizate. Acesta esteun argument suplimentar pentru utilizarea cadrelor pe mai multe voci.

Figura 4.7.1.2 Distribuţia punctelor de eşantionare ale reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet" carepermite reconstrucţia semnalului de analizat cu ajutorul unui cadru pe 4 voci (pe decadă).

134 7.1.2.1 Baze ortonormale de funcţii “wavelet”

7.1.2.1 BAZE ORTONORMALE DE FUNCŢII "WAVELET"

După cum s-a arătat deja, analiza cea mai puţin redundantă a unui semnal deenergie finită cu ajutorul atomilor timp-frecvenţă sau timp-factor de scară are loc dacăaceştia reprezintă elementele unei baze ortonormale a spaţiului ( )L2 R . În acestparagraf se prezintă câteva exemple de baze ortonormale de funcţii "wavelet" precumşi metodele de construcţie ale unor astfel de mulţimi. Bazele ortonormale de funcţii"wavelet" sunt rezultatul unei lungi evoluţii care a început la sfârşitul secolului alXIX-lea. În anul 1873, Dubois-Raymond a dat un exemplu de funcţie continuă şiperiodică cu perioada 2π a cărei serie Fourier era divergentă într-un punct dat.Această observaţie l-a condus pe A. Haar la construcţia, în anul 1909, a unei bazeortonormale foarte simplă a spaţiului [ ]L2 0 1, . El a pornit de la funcţia:

ψ τ

τ

τH ( ) =

,

,

, in rest

1 01

2

11

21

0

≤ ≤

− < <

Elementele bazei sale sunt funcţiile:

( ) Zn Z, m n22 = )( m H

2m

n ,m H ∈∈−τψτψ −−

Un an mai târziu, G. Faber a integrat elementele bazei Haar obţinând o bazăde tip Schauder a spaţiului funcţiilor continue cu suportul [ ]0 1, . Pornind de la funcţiaψ τH ( ), prin integrare se obţine funcţia:

<τ<τ−

≤τ≤τ

τψ

rest in ,0

1 21 , 22

21 0 , 2

= )(F

Elementele bazei de tip Schauder sunt funcţiile:


( )ψ τ ψ τF m n

m

Fm

, ( ) = n2 22− − −

Dezavantajul bazei de tip Schauder este că nu pot fi dezvoltate cu ajutorul său funcţiilediscontinue. În anul 1927 profesorul Ph. Franklin de la M.I.T. a avut ideea săortogonalizeze baza lui Faber, folosind procedeul Gram-Schimdt. În acest fel el aobţinut o bază care combină avantajele bazelor de tip Haar respectiv de tip Faber [95].Dezavantajul bazei lui Franklin este că elementele sale nu au formă explicită. S. Jafarda demonstrat în anul 1987 că elementele bazei lui Franklin sunt "aproape" funcţii"wavelet". Conform aceleiaşi referinţe bibliografice o funcţie de tip "wavelet" areurmătoarea definiţie.

Definiţia 1.7.1.2.1. Funcţia ψ de variabilă reală τ este o funcţie wavelet deregularitate r, r R∈ , dacă sunt satisfăcute următoarele două condiţii:

1) ( )1 2 + ( )mτ ψ τ aparţine spaţiului Sobolev ( )H r R pentru orice

număr natural m.

2) ( )2 22

mm

m n

n Z, Z

ψ τ −

∈ ∈

este o bază ortonormală a

lui ( )L2 R .De fapt funcţia ψ este numită "wavelets mother" iar funcţiile ψ τ , ( )m n sunt

funcţii "wavelet".Funcţia ψ îndeplineşte condiţia de admisibilitate:

( )

( ) d

F ψ τ ωω

ω− ∞

∞

∫ < ∞

Pentru ca această condiţie să fie îndeplinită este necesar ca:

( )F ( ) = ψ τ 0 0

Funcţia ψ trebuie să reprezinte răspunsul la impuls al unui filtru de tip trecebandă. Dar orice astfel de funcţie are un caracter oscilant. Deoarece oscilaţiile descriupropagarea undelor (wave în limba engleză) funcţia ψ a fost numită "wavelet".Denumirea acestei funcţii în limba franceză este "ondelette". Traducerea în limbaromână ar putea fi "undişoară". Având în vedere rolul generator al funcţiei ψ ea fost


numită "wavelets mother". După cum se va vedea în continuare există şi o funcţie"wavelets father", care se va nota cu ϕ . Ea mai poartă şi numele de funcţie de scară.Ea trebuie să verifice condiţia 1) din definiţia anterioară şi în plus mulţimea

( )2 22

mm

m

n , n

ϕ τ −

∈ ∈Z Z

trebuie să fie o bază ortonormală a lui ( )L2 R .

Problema care reprezintă subiectul acestui paragraf este construcţia unor funcţii ψ τ( )care să conducă la funcţiile:

( )ψ τ ψ τm n

mm

, ( ) = n2 22 − (142)

cu proprietatea că mulţimea ψ τm n m n, Z, Z( )

∈ ∈ este o bază ortonormală a lui

( )L2 R . În continuare se vor prezenta câteva astfel de funcţii în ordine istorică.

Elementele mulţimii ψ τm n m n, Z, Z( )

∈ ∈ trebuie să fie ortonormale:

( ) ( )ψ ψm n m n, , , =

, m, n = m , n, in rest' '

' '1

0

(143)

iar mulţimea trebuie să fie completă:

( ) ( )∀ ∈− ∞

∞

− ∞

∞

∑∑ x( ) R , x( ) = x, ( ), = =

, τ τ ψ ψ τL m nnm

m n2 (144)

În continuare se stabilesc condiţii echivalente condiţiilor (108) şi (109) în domeniulfrecvenţă. Pe baza relaţiei lui Parseval se poate scrie:

( ) ( )ψ τ ψ τπ

ψ τ ω ψ τ ωm n m n m n m n, , , , ( ), ( ) = ( ) , ( ) ' ' ' 'F F1

2(145)

Dar:

( ) ( )F Fψ τ ω ψ ωω ,

( ) = e

m n

mj n mm

2 22 2− − −−

Relaţia (145) devine:

( )

( ) ( )

ψ τ ψ τπ

ψ ω ψ ω ω

ωm n m n

m mn n

m m

m m

, ,

+ - j

( ), ( ) = e

d

*

' '

''

'

'

F F

1

22

2 2

2 2 2− −

− ∞

∞

− −

− −

∫(146)


Se calculează membrul drept al ultimei relaţii. Se face schimbarea de variabilă:2−m vω =

Se obţine:

( )

( )

( ) ( )

ψ τ ψ τπ

ψ ψ

ν

π

π

m n m n

m mj v n j n

k

k

k

m m

m m

v v v

, ,

-

+

= ( ), ( ) = e e

d

*

' '

''

'

'

F F

1

22

2

2 2

2 1

2 1−

−−∞

∞

−

⋅−

∫∑

Cu schimbarea de variabilă:ω π = v k − 2

şi cu notaţia:m m = l − '

se obţine în final:

( ) ( )( )( )

ψ τ ψ τπ

ψ ω π ψ ω π

ω

π

π

ω

m n m nk

j n n

, ,

ll

=

( ), ( ) = + k + k

e d

*

l

' '

'

F F21

22 2 22

2

−∞

∞

−

− −

∑∫

Se face notaţia:

( ) ( )( )f ( ) = + k + k ll

=

*ω ψ ω π ψ ω πF F2 2 2k −∞

∞

∑ (147)

şi se obţine:

( )ψ τ ψ τπ

ω ωω

π

π

m n m nj n n

, ,

l

l

( ), ( ) = f ( ) e d

l

' ''2

1

22 2− −

−∫ (148)

unde f( )l ω este o funcţie periodică de perioadă 2π .Se pune condiţia de ortonormalitate (143). Se vor analiza două cazuri.

Cazul I.m = m'

În acest caz:l = 0

Funcţia f ( )o ω este constantă şi egală cu 1.Într-adevăr, pentru l = 0 şi n = n pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate

scrie:1

21

πω ω

π

π

f ( ) d =

o−∫

Deci componenta continuă a funcţiei periodice f ( )o ω este egală cu 1.


Pentru l = 0 şi n n≠ ' pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate scrie:

( )1

20

πω ωω

π

π

f ( ) e d =

o

j n n− −

−∫ '

Deci toţi coeficienţii Fourier ai funcţiei f ( )o ω , cu excepţia componentei salecontinue sunt identic nuli. În consecinţă:

( )f ( ) = Ro ω ω1 ∀ ∈

Această relaţie este echivalentă cu:

( ) + k = =

F ψ ω π2 12

k −∞

∞

∑ (149)

Cazul IIm m≠ '

În acest caz l ≠ 0 . Funcţia f( )l ω este constantă şi egală cu 0.Într-adevăr, pe baza relaţiilor (143) şi (148) se poate scrie:

( ) f ( ) e d = l

l1

202

πω ωω

π

π− −

−∫ j n n'

Oricare ar fi întregii l şi n' fixaţi, poate fi ales n astfel încât: n n = pl− 2 '

unde p este un număr întreg.De aceea, ultima relaţie arată că toţi coeficienţii Fourier ai funcţiei f( )l ω sunt

identic nuli. În consecinţă:( ) f ( ) = , R, l Zl ω ω0 0∀ ∈ ∈ −

Ultima relaţie se mai scrie în forma:

( ) ( )( ) ( ) F Fψ ω π ψ ω π ω + k + k = , R, l Z* l

= 2 2 2 0 0∀ ∈ ∈ −

−∞

∞

∑k

(150)

Relaţiile (149) şi (150) sunt echivalentele condiţiei de ortonormalitate în domeniulfrecvenţă.

Conform [82], echivalentul în domeniul frecvenţă al condiţiei decompletitudine (144), este sistemul de ecuaţii:


( )( ) ( ) ( )

=

+ p = , p nr.intreg impar

l Z

l l

Z

*

F

F F

ψω

ψ ω π ψ ω

21

2 2 2 0

2

0

∀

∈

∈≥

∑

∑l

o oll

Deci mulţimea ψm n m n, Z, Z∈ ∈este bază ortonormală dacă funcţia ψ

satisface condiţiile: (149), (150), (151) şi (152). Pentru a găsi o astfel de funcţie ψ, în vara anului 1985, Yves Meyer a făcut oipoteză "ad-hoc" şi anume:

supp M , , F ψπ π π π

⊂ − −

∪

8

3

2

3

2

3

8

3(153)

Dacă această ipoteză este respectată atunci devin valabile relaţiile:

( ) ( )F Fψ ω ψ ωM M = ptr. l l2 0 2≥ (154)

( ) ( )F Fψ ω ψ ω πM M + k = ptr. k 2 0 3≥ (155)

Într-adevăr:

( ) supp M , , ll l l l

F ψ ωπ π π π

22

3

2

3

2

3

2

3

3 1 1 3

∈ − −

∪

− − − −

Dacă:l ≥ 2

atunci:2

3

2

3

3−

<l

π π

şi 2

30

1−

>l

π

şi încă:

− > −−2

3

2

3

3 l

π π şi − <

−

l2

30

1 π

adică:

( ) ( ) supp suppM M = lF Fψ ω ψ ω∩ ∅2 , pentru l ≥ 2

(151)

(152)


De aceea este adevărată relaţia (154).De asemenea, suportul funcţiei ( )F ψ ω πM + k 2 se obţine prin

translatarea la dreapta cu 2kπ a suportului funcţiei ( )F ψ ωM . Pentru k=3 marginea

stângă a suportului funcţiei ( )F ψ ωM se deplasează în punctul 10

3

π. De aceea,

pentru k ≥ 3 are loc relaţia:

( ) ( ) supp suppM M + k = F Fψ ω ψ ω π∩ ∅2

În acelaşi fel se poate demonstra că pentru k ≤ −3 are loc relaţia:

( ) ( ) supp suppM M + k = F Fψ ω ψ ω π∩ ∅2

În consecinţă şi relaţia (145) este adevărată.De aceea, relaţia (149) se scrie:

( ) ( ) ( ) ( )F F F Fψ ω ψ ω π ψ ω ψ ω πM M M M2 2 2 2

2 1 2 2 4+ = = + − − (156)

Relaţia (150) conduce la:

( ) ( ) ( ) ( )F F F Fψ ω ψ ω ψ ω π ψ ω πM M*

M M* + = 2 2 2 4 0− − (157)

Relaţiile (151) şi (152) conduc tot la relaţiile (156) şi (157).Soluţiile sistemului de ecuaţii (156), (157) sunt:

( ) ( )F Fψ ω π ψ ωM M2 4− = (158)

( ) ( ) ( )F F Fψ ω π ψ ω ψ ωM M M− −2 2 12

= = (159)

( ) ( ) ( ) ( )

arg arg arg

arg

M M M

M

+

=

F F F

F

ψ ω ψ ω π ψ ω

ψ ω π π

2 4 2

2

− − −

− −(160)

Dacă:


( ) arg M = F ψ ηη2

atunci condiţia (160) este verificată. Aceasta a fost ideea care a stat la baza soluţieidate de Yves Meyer în anul 1985. El a considerat o funcţie continuă şi indefinit

derivabilă pe intervalul 2

3

4

3

π π,

, o( )ω , cu proprietăţile:

1. ( ) ( ) ( )∀ ≥

k o = o = 1

2

3

4

30k kπ π

2. 0 o( ) ; o = 0 ; o = ≤ ≤

ω

π π1

2

3

4

31

3. ( ) ( )o( ) = ; , ω ψ ω ωπ π

F M2 2

3

4

3∀ ∈

Folosind relaţiile (187) şi (188) se prelungeşte funcţia o( )ω la intervalul

− −

∪

8

3

2

3

2

3

8

3

π π π π, , . În exteriorul acestui interval funcţia se va considera

nulă. Construcţia se încheie punând:

( )F ψ ω ωω

Mj

= e o( ) 2

Această funcţie nu aparţine doar lui ( )L2 R ci chiar şi clasei lui Schwartz. În [42] estedat un exemplu de construcţie al funcţiei o( )ω . Transformata Fourier a funcţiei"wavelets mother", la care se ajunge în această lucrare este:

( )F ,ψ ω

ππυ

πω

πω

π

ππυ

πω

πω

π

ω

ω

M

j

j

sin

cos =

e , ,

e ,

0 , in rest

1

2 2

3

21

2

3

4

3

1

2 2

3

41

4

3

8

3

2

2

−

≤ ≤

−

≤ ≤

(161)

unde ( )υ ω este o funcţie indefinit derivabilă care satisface condiţiile:


( )υ ωωω =

, daca , daca 0 0

1 1

<≥

(162)

şi:υ ω υ ω( ) + ( ) = 1 1− (163)

Un exemplu de funcţie care satisface aceste condiţii este:

( ) ( )υ ω

ω

ω ω ω ω ωω

=

, daca

, daca , daca

0 0

35 84 80 20 0 1

1 1

4 2 3

<

− − − ≤ ≤≥

(164)

Comportarea în domeniul timp a funcţiei ψ τM ( ) descrisă mai sus este prezentată înfigura 1.7.1.2.1, iar comportarea sa în domeniul frecvenţă în figura 2.7.1.2.1.

Se constată buna localizare în frecvenţă şi regularitatea funcţiei lui Meyer. Dinpăcate viteza sa de scădere când τ → ∞ nu este foarte mare şi de aceea localizarea saîn timp nu este foarte bună.

Pentru determinarea, pe baza condiţiilor (149), (150), (151) şi (152) a unor noifuncţii de tipul "wavelets mother" o altă ipoteză "ad-hoc" a fost făcută de către P.G.Lemarié în anul 1986.

Având în vedere faptul că în relaţiile (149) ÷ (152) operaţiile de dilatare cu 2şi de translaţie cu 2π au un rol important, Lemarié a încercat să disocieze aceste douăoperaţii, căutând soluţii de forma:

( )F ψ ω α ω β ωL = ( ) ( )unde funcţia α ω( ) să fie omogenă iar funcţia β ω( ) să fie periodică de perioadă 4π .Pentru alegerea:

α ω ω( ) = − −p 1

relaţiile (149) ÷ (152) se reduc la:

( ) ( ) ( )β ω ω π β ω π ω π π( ) k + + + k = Z Z

2 2 2 2 2 24 2 2 4 1− −− −

∈

− −

∈∑ ∑p

k

p

k (165a)

( ) ( ) ( )β ω ω π β ω π ω π π( ) k + + + k = Z Z

− −− −

∈

− −

∈∑ ∑4 2 2 4 02 2 2 2p

k

p

k (165b)

( )42

12

2 2m p

mm

p+

Z

+ = ∈∑

β

ωω (165c)


( ) ( )4 2 21

1

2−

≥∑ l +

l

l = - ( ) ( + )*p β ω β ω β ω π (165d)

Primele două relaţii ((165a) şi (165b)) sunt suficiente pentru determinarea funcţieiβ ω( ) (modulo un factor arbitrar de modul unitar, periodic de perioadă 2π ):

β ω β ω γ ωω

( ) = ( ) e ( ) j2 cu γ ω( ) = 1 şi γ ω π γ ω( + ) = ( )2

O astfel de soluţie verifică şi relaţiile (165c) şi (165d).Funcţia ψL verifică relaţia:

( )ω ψ ω β ωpL

+1F = ( )

De aceea se poate afirma că "funcţia" ψ Lp( )+1 este o combinaţie liniară de distribuţii

Dirac centrate în multiplii întregi de 1/2. De aceea este clar că funcţia ψL este ofuncţie "spline". Deci ea este continuă şi derivabilă de p-1 ori (aceste derivate sunt şi

ele continue). Restricţia funcţiei ψL la intervale de forma k2

1

2,

k +

este un

polinom de grad mai mic sau egal cu p. Mai mult, dacă se face alegerea:

arg ( ) = β ωω2

atunci atât funcţia ψL cât şi primele sale p derivate sunt cu descreştere exponenţială.

Figura 1.7.1.2.1 Graficul funcţiei ψ τM ( )pentru alegerea funcţiei υ din relaţia (164).

Figura 2.7.1.2.1 Graficul modululuitransformatei Fourier a funcţiei ψ τM ( ).

144 7.1.2.2 Conceptul de analiză multirezoluţie

7.1.2.2 CONCEPTUL DE ANALIZĂ MULTIREZOLUŢIE

Metodele de construcţie a funcţiilor "wavelets mother" prezentate până aici sebazau pe ipoteze "ad-hoc". La sfârşitul anului 1986 Stephan Mallat şi Yves Meyer aufondat conceptul de "multirezoluţie". Pe baza acestui concept pot fi construitesistematic funcţii "wavelets mother" generatoare de baze ortonormale ale spaţiului

( )L2 R .

Definiţia 1.7.1.2.2 Mulţimea de spaţii Hilbert închise (subspaţii ale lui ( )L2 R ),

Vm m Z∈ se numeşte analiză multirezoluţie a spaţiului ( )L2 R dacă elementele sale

satisfac următoarele condiţii:

1. K KV V V V Vo− −⊂ ⊂ ⊂ ⊂2 1 1 2

2. ( ) = R

∪∈m

mV LZ

2

3. = Z

∩∈m

mV 0

4. ( ) ( )∀ ∈ ⇔ ∈ f f V Vom

m2 τ

5. Există o funcţie ϕ în Vo astfel încât mulţimea ( ) ϕ τ −∈

n Zn să

reprezinte o bază ortonormală a spaţiului Vo.

Funcţia ϕ , după cum s-a spus deja, poartă numele de funcţie de scară. Încontinuare se prezintă un prim exemplu de analiză multirezoluţie a spaţiului ( )L2 R .Exemplul 1. Analiza multirezoluţie de tip Haar:

ϕ ττ

H ( ) = , ,, in rest1 0 1

0

≤ <

Dacă se analizează mulţimea ( ) ϕ τH n−∈

n Z se constată că aceasta este

ortonormală. Pentru a demonstra această afirmaţie se calculează:


( ) ( ) ( ) ( )ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ τH H H H− − − −− ∞

∞

∫n , n = n n d*

' '

Ţinând seama de faptul că:

1. ( ) [ )supp H n = n, n+ϕ τ − 1

rezultă că:

( ) ( )ϕ τ ϕ τH H− −n , n = ' 0 dacă n n≠

De asemenea:

( ) ( )ϕ τ ϕ τ τH H− − ∫n , n = d = '0

1

1

Mulţimea ( ) ϕ τH n−∈

n Z este o bază ortonormală a spaţiului:

( )H oV L = f R ∈ 2 f este constată pe intervalul [ ) ( ) n, n+ , n Z1 ∀ ∈ .

Deci condiţia 5. este verificată.Fie f] un element al lui H oV . Se constată că funcţia f( )1 2τ este constantă pe

orice interval de forma n

, n +

2

1

2

, adică este un element al spaţiului H V1.

Deci condiţia 4° este verificată.

Se constată că odată cu creşterea lui m intervalul n

, n +

2

1

2m m

, din

definiţia spaţiului H mV se îngustează. Atunci când m tinde la ∞ , lăţimea acestuiinterval tinde la 0. De aceea se poate afirma că şi condiţia 2. este verificată.

Când m tinde la - ∞, lăţimea intervalului n

, n +

2

1

2m m

tinde la ∞. Dar

singura funcţie din ( )L2 R , constantă, este funcţia identic nulă. Deşi şi condiţia 3. esteverificată. Deoarece verificarea condiţiei 1. este trivială rezultă că într-adevăr,


mulţimea H m mV Z∈ este o analiză multirezoluţie a lui ( )L2 R . Se remarcă buna

localizare în timp şi slaba localizare în frecvenţă a funcţiei ϕ τH ( ).În continuare se demonstrează următoarea teoremă, care permite construcţia

de noi baze ortonormale ale spaţiului ( )L2 R pornind de la diferite analizemultirezoluţie.

Teorema 1.7.1.2.2 Mulţimea ( )ϕ τ ϕ τm nm

n

m

, Z

( ) = n2 22 −

∈

este o bază

ortonormală a spaţiului Vm.

Demonstraţie: Se demonstrează pentru început că mulţimea considerată esteortonormată.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

, = , =

= e , e =

= e d

,n , , ,

+

*

ϕ ϕπ

ϕ ϕ

πϕ ω ϕ ω

πϕ ω ϕ ω ω

ω ω

ω

m m n m n m n

j mm

j m

m mj n n m m

m m n m n

m

' '

'

F F

F F

F F

'

1

2

1

22 2 2 2

1

22 2 2

22 22

2 2

− − −− − − − −

− − −

− ∞

∞− −

−

∫sau făcând schimbarea de variabilă:

2−mω = vse obţine:

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ϕπ

ϕ

πϕ ϕ

πϕ ϕ

πϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ

m n m nj v n n

j v n j v n

j v n j v n

v v

v v v

v v

, ,

, = e d =

= e e d =

= v e e =

= n , n = n , n

*

''

'

'

F

F F

F ,F

F F ' '

1

2

1

2

1

21

2

2

− ∞

∞− −

− ∞

∞− −

− −

∫

∫

− − − −

Dar funcţiile ( )ϕ τ − n şi ( )ϕ τ − n' sunt elemente ale mulţimii ( ) ϕ τ −∈

n Zn

care

este baza ortonormală a spaţiului Vo. De aceea :


( ) ( ) [ ]ϕ τ ϕ τ δm n m n, ,' ', = n n = , n = n', n n'− ≠

1

0

Deci mulţimea ϕm n n, Z∈ este ortonormată.

Fie semnalul x ( )o τ element al spaţiului Vo. Se poate scrie:

( ) ( ) ( )x ( ) = x , n n Z

o on

τ τ ϕ τ ϕ τ− −∈∑

Semnalul:x ( ) = x ( )m o

mτ τ2va putea fi scris în forma:

( ) ( )

( )

x ( ) = x ( ), n n =

= x ( ), n ( )

Z

Z,

m on

m

m

on

m n

τ τ ϕ τ ϕ τ

τ ϕ τ ϕ τ

− −

−

∈

−

∈

∑

∑

2

2 2

Se calculează:

( )

( ) ( )

x ( ), ( ) = x ( ) d =

= x n d

, ,

*

*

m m n m m n

om m

m

τ ϕ τ τ ϕ τ τ

τ ϕ τ τ

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫ −2 2 22

Făcând schimbarea de variabilă:u = 2m τ

se obţine:

( )x ( ), ( ) = x (u) (u n) du = x ( ), n,

*m m n o

m m

oτ ϕ τ ϕ τ ϕ τ− −−

− ∞

∞−

∫ 2 22 2


x ( ) = x ( ), ( ) ( ), Z

, m m m nn

m nτ τ ϕ τ ϕ τ∈∑

În concluzie mulţimea ϕ τm n n, Z( )

∈ este şi completă. Enunţul este demonstrat.

În continuare se exploatează dualitatea indusă de transformarea Fourier pespaţiul ( )L2 R demonstrându-se următoarea teoremă.


Teorema 2.7.1.2.2. Dacă mulţimea ϕ τ0, Z( )n n ∈

este o bază ortonormală a

spaţiului Vo atunci mulţimea ( )1

2πϕ ω (t n)

ZF −

∈n

este o bază ortonormală

a spaţiului F Vo.

Demonstraţie: Se notează cu F Vo mulţimea formată din transformatele Fourier aleelementelor lui Vo.

Pentru început se verifică ortonormalitatea mulţimii ( )1

2πϕ ω (t n)

ZF −

∈n

.

Avem:

[ ]1

2

1

2

2

2πϕ τ

πϕ τ

ππ

ϕ τ ϕ τ δF F ' ' '( n) , ( n ) = ( n), ( n ) = n n− − − − −

Deci mulţimea 1

2πϕ τF ( n)

Z−

∈n

este ortonormală.

Fie x( )τ un element al spaţiului Vo. Se poate scrie:

x( ) = x( ), ( n) ( n)=

τ τ ϕ τ ϕ τ− −− ∞

∞

∑n

Luând în ambii membrii transformata Fourier se obţine:

Xn

( ) = x( ), ( n) ( n)=

ω τ ϕ τ ϕ τ− −− ∞

∞

∑ F

Dar:

x( ), ( n) = x( ) , ( n) τ ϕ τπ

τ ϕ τ− −1

2F F

Deci:

( ) ( ) ( )Xn

( ) = x( ) , ( n) ( n)=

ω τ ωπ

ϕ τ ωπ

ϕ τ ωF F F12

12

− −− ∞

∞

∑

Rezultă că mulţimea ( )1

2πϕ τ ωF ( n)

Z−

∈n

este şi completă şi enunţul

teoremei este demonstrat.


Aplicând teorema de mai sus în cazul spaţiilor Vm rezultă că în spaţiile F Vm

avem bazele ortonormale F ϕm n n, Z∈. De fapt dacă Vm m Z∈ este o

analiză multirezoluţie a lui ( )L2 R atunci şi mulţimea F Vm m Z∈este o analiză

multirezoluţie a lui ( )L2 R .Aceste modalităţi de construcţie a noi analize multirezoluţie, pornind de la

analize multirezoluţie deja cunoscute au fost prezentate în [71].Se continuă seria exemplelor de analiză multirezoluţie. Având în vedere că:

( )sinc pπτ

πωπ2

2

2

F← →

şi că:

ψ τ τH ( ) = p12

1

2−

pe baza ultimei propoziţii demonstrate şi pe baza exemplului E1, rezultă cel de aldoilea exemplu de analiză multirezoluţie din acest paragraf.

Exemplul 2. Analiza multirezoluţie de tip Palley - Wiener

( ) ( )ϕ τ πτP W sinc− =

( ) ( ) ( ) V L cuo = f R f = , ∈ ∀ >2 0F ω ω ω π

Se remarcă identitatea spaţiilor Hilbert Vo şi B2π (spaţiul semnalelor de energie finită

şi bandă limitată, π). Condiţia 5. din definiţia analizei multirezoluţie reprezintă pentruacest exemplu tocmai cunoscuta teoremă de eşantionare WKS [100].

Trebuie de asemenea remarcat că funcţia ϕ τP W− ( ) are o bună localizare înfrecvenţă dar că localizarea sa în timp este slabă. Teorema 2.7.1.2.2 poate fireformulată chiar şi într-o formă mai generală.

Teorema 3.7.1.2.2 Fiind dată funcţia reală, µ ω( ), continuă pe porţiuni şi bazaortonormală a subspaţiului Hilbert închis F Vm :

1

2πϕ τF m o

n,

Z( n)−

∈

şi mulţimea:


( ) ( )1

2πϕ τ ωµ ω e ( n)

,

jm o

nF −

∈ Z

este o bază ortonormală a unui spaţiu Hilbert.O demonstraţie a acestei teoreme este prezentată în [75]. Pentru ca mulţimea

( )1


,

j ( )m o

nF −

∈ Z

să reprezinte baza ortonormală a unui

subspaţiu F Vo, element al unei analize multirezoluţie este necesar ca funcţia µ ω( ) săsatisfacă condiţia:

( )µ ω µ ω( ) = ( ) m Z2m ∀ ∈ (166)Această condiţie este satisfăcută de exemplu de funcţia:

( )µ ω ωπ

( ) = sgn −2

În acest caz se obţine:( )e = j j sgnµ ω ω−

De aceea mulţimea ( )1


, Z

j ( )m o

nF −

∈

devine de forma:

( )1

2πϕ τ ω ( n),

ZF H m o

n−

∈

. Cu H s-a notat transformarea Hilbert.

De aceea se poate formula următoarea teoremă.

Teorema 4.7.1.2.1 Dacă mulţimea ϕ τm o n, Z( n)−

∈ este o bază

ortonormală a unui spaţiu Vm, atunci mulţimea H ϕ τm o n, Z( n)−

∈ este o bază

ortonormală a spaţiului H Vm.De fapt, deoarece:

( ) ( ) ( ) ( )H Hf u t = f u t2 2m m

rezultă că dacă Vm m Z∈ este o analiză multirezoluţie a lui ( )L2 R atunci şi H Vm

este o analiză multirezoluţie a lui ( )L2 R .În consecinţă se poate trage concluzia că dacă ϕ generează o analiză multirezoluţie aspaţiului ( )L2 R atunci şi funcţia H ϕ generează o astfel de analiză.

În continuare se prezintă câteva comentarii referitoare la conceptul de analizămultirezoluţie.


În primul rând trebuie observat că acest concept se păstrează chiar dacăcondiţia 5. este puţin mai generală, impunând ca mulţimea ϕ τ( n) Z−

∈n să fie o

bază Riesz a spaţiului Vo.Făcând notaţia:

( )m( ) = + kω ϕ ω π2 22F

k∑

se constată că pentru ca mulţimea considerată să fie o bază Riesz este necesar ca săexiste constantele pozitive A şi B astfel încât:

A B≤ ≤m( )ω 2

Dar m( )ω2 reprezintă transformata Fourier în timp discret a semnalului obţinut prin

eşantionarea ideală, cu pas unitar a autocorelaţiei semnalului [ ]ϕ ϕϕ(t), nr . Încontinuare se demonstrează câteva propoziţii ajutătoare, [88].

Propoziţia 1.7.1.2.2. Oricare ar fi funcţia de scară generatoare a unei baze Riesz alui Vo, ϕ τ( n) Z−

∈n există o funcţie m ( )o ω , indefinit derivabilă, astfel încât:

( ) ( )F Fϕ ω ω ϕ ω2 = m ( ) o

Demonstraţie. Deoarece spaţiul V- 1 este inclus în Vo, funcţia ϕτ

2

, element al lui

V- 1 poate fi descompusă în baza lui Vo, în forma:

( ) ( )1

2 2

1

2 2 = , n nϕ

τϕ

τϕ τ ϕ τ

− −∑

nSe face notaţia:

[ ] ( ) ( )m n = , n = , no1

2 2

1

2

1

2 2ϕ

τϕ τ ϕ

τϕ τ

−

−

Trecând ultima relaţie în domeniul frecvenţă, se obţine:

( ) [ ] ( )F F = m n e ϕ ω ϕ ωω2 oj n

n∑ −

Deci funcţia m ( )o ω reprezintă transformata Fourier în timp discret a secvenţei[ ]m no .


În continuare se consideră mulţimea o nϕ τ( n) Z−∈

, cu:

( ) ( )

( )FF

oϕ τ ωϕ τ ω

ωω ω( ) =

( )m( )

, m( ) , R≠ ∀ ∈0 (167)

Se descompune funcţia generatoare a acestei mulţimi în baza ϕ τ( n) Z−∈n .

Se obţine:

o on

ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ( ) = ( ), ( n) ( n) Z

− −∈∑

sau trecând în domeniul frecvenţă:

( ) ( )F Fo on

j nϕ τ ω ϕ τ ϕ τ ϕ ωω( ) = ( ), ( n) e Z

−∈

−∑adică, pe baza relaţiei (167):

on

j nϕ τ ϕ τω

ω( ), ( n) e = m( ) Z

−∈

−∑ 1(168)

se caută condiţiile pentru ca mulţimea o nϕ τ( n) Z−∈

să fie ortonormată. Se poate

demonstra imediat că:

( ) ( )o o oϕ τ ϕ τ ϕ τ ω( n), ( n ) = ( ) n' n− − −−' F F1 2

sau ţinând seama de relaţia Wiener-Hincin:

( )o o rϕ τ ϕ τ ϕ ϕ( n), ( n ) = n n− − −' '0 0

(168')

Deci pentru ca mulţimea considerată să fie ortonormată este necesar ca:

( ) [ ]r0 0ϕ ϕ δk = k (168'')

Trecând, în domeniul frecvenţă, cu ajutorul transformatei Fourier în timp discret seobţine:

( )rk

j k0 0

1ϕ ϕω

k e = ∑ −

adică:

( )F + k = ϕ ω π2 12

k∑ (169)


Propoziţia 2.7.1.2.2Mulţimea o nϕ τ( n) Z−

∈ este o bază ortonormală a lui Vo.

Demonstraţie: Pentru început se verifică ortonormalitatea.

( ) ( )( )

+ k = + k m + k

FF

ok k

ϕ ω πϕ ω πω π

22

2

22

∑ ∑

Ţinând seama de periodicitatea cu 2π a funcţiei m( )ω 2 , rezultă:

( )( )

( ) + k = m

+ k F Fok k

ϕ ω πω

ϕ ω π21

22

2

2∑ ∑sau ţinând seama de definiţia funcţiei m( )ω

2, se obţine:

( ) + k = F ok

ϕ ω π2 12∑

În consecinţă mulţimea este ortonormată. În continuare se demonstrează că aceastămulţime este şi completă. Fie x( )τ un semnal din Vo. Se poate scrie:

x( ) = x( ), ( k) ( k) Z

τ τ ϕ τ ϕ τ− −∈∑

ksau trecând în domeniul frecvenţă:

( ) ( )Xn

j kx( ) = x( ), ( k) e = m ( )

ω τ ϕ τ ϕ ω ω ϕ ωω−

∈

−∑Z

F F

adică:

( )X x o( ) = m ( ) m( ) ( )ω ω ω ϕ τ ωF

Revenind în domeniul timp:

x( ) = p( ) ( )τ τ ϕ τ∗ o

unde: p( ) m ( ) m( )τ ω ω↔ x


Ţinând seama de periodicitatea cu 2π a produsului m ( ) m( )x ω ω rezultăcă p( )τ trebuie să fie de forma:

( )p( ) = p kτ δ τkk

−∑În consecinţă expresia lui x( )τ devine:

( )x( ) = p k τ ϕ τkk

o−∑

Deci mulţimea considerată este completă.Cu alte cuvinte oricărei baze ortonormale o nϕ τ( n) Z−

∈ îi corespunde

baza Riesz a lui Vo, ϕ τ( n) Z−∈n , legătura între aceste mulţimi făcându-se cu

relaţia:

( ) ( )

( )( ) ( )F

FFo cu

kϕ τ ω

ϕ τ ωω

ω ϕ ω π( ) = ( )

m m = + k 2 2

2∑De aceea condiţia 5. din definiţia analizei multirezoluţie poate fi generalizată.

Se continuă seria exemplelor de analiză multirezoluţie.

Exemplul 3. Analiza multirezoluţie cu funcţii spline.

( )V Lo = x( ) R x( ) τ τ∈ 2 este o funcţie de gradul I pe [ ) k, k + , k Z1 ∈

1

1 1 0

1 0 1

0

ϕ ττ ττ τS( ) =

+ , , , in rest

− ≤ ≤− < ≤

Mulţimea 1ϕ τS n( n) Z−∈

este o bază Riesz a lui Vo.

Într-adevăr:

1

2

2

2

ϕ τ

ω

ωS

sin( )

↔


De aceea:

( ) ( ) m = + k = + k

+ k S S

k

sin

kω ϕ ω π

ωπ

ωπ

2 2

4

22

2

F∑ ∑

(170)

Dar m( )ω2 este transformata Fourier în timp discret a semnalului

rS S1 1ϕ ϕ τ ( ) obţinut prin eşantionarea ideală cu pas unitar a autocorelaţie semnalului

1ϕ τs ( ) . În continuare se calculează [ ]rS S1 1ϕ ϕ n .

[ ] ( ) ( )rS S S1 1

0 1 12

312 2

0

12

1

0

ϕ ϕ ϕ τ τ τ τ τ τ = ( ) d = d + + d = − ∞

∞

−∫ ∫ ∫−

[ ] ( ) ( )rS S S S1 1

1 1 11

61 11

0

ϕ ϕ ϕ τ ϕ τ τ τ τ τ± −− ∞

∞

−∫ ∫ = ( ) ( + )d = + d =

[ ]rS S1 1

0ϕ ϕ k = ± dacă k > 1

Deci:

( )m ( ) = + e +e = + S ω ωω ω2 2

3

1

6

2

3

1

3− −j j cos (171)

În consecinţă:

1

31

2 m ( ) S≤ ≤ω

Aşadar mulţimea 1ϕ τS n( n) Z−∈

este bază Riesz a spaţiului Vo. Pentru a

determina şi funcţia 1 0ϕ τS ( ) trebuie identificată funcţia m ( )S ω .Se va presupune că aceasta este de forma:

m ( ) = a + b e S

jω ω

Pe baza relaţiei (171) se poate scrie:


( ) ( )2

3

1

3 + = m ( ) m ( ) = a + b e a + b e S S

*cos j jω ω ω ω ω−

adică:

a + b =

a b =

2 2 2

31

6

Soluţiile acestui sistem sunt:

a = + ; b = 12

113

12

113

−

Deci:

m ( ) = + + e S

jω ω12

113

12

113

−

În consecinţă:

( ) =

+ + e

F 1

2

21

21

1

3

1

21

1

3

ϕ τ

ω

ωS

j

sinc

−

Aplicând transformata Fourier inversă se determină funcţia generatoare a bazeiortonormale de translatate a spaţiului Vo.

Se remarcă faptul că:

1ϕ τ ϕ τ ϕ τS H H( ) = ( ) ( )∗Convoluţionând în continuare cu ϕ τH ( ) se obţin noi funcţii de scară (spline de ordinsuperior):

2 1ϕ τ ϕ τ ϕ τS S H( ) = ( ) ( )∗

(şi aşa mai departe) care generează noi analize multirezoluţie ale spaţiului ( )L2 R .Acestea se numesc analizele multirezoluţie de tip Battle-Lémarié.

Formula generală de calcul este:

m S m S Hϕ τ ϕ τ ϕ τ( ) = ( ) ( )− ∗1

Această formulă poate fi rescrisă în forma:


m Sm

mk

m

mC

k

ϕ τ ϕ τ( ) = ( k) =

2 21

0

− −∑sau în forma [76]:

( ) = e

j

F m S

j m

ϕ ωω

ω1 −

−

Funcţia 1ϕ τS( ) este bine localizată în timp dar localizarea sa în frecvenţăeste mai slabă. Convoluţionând de mai multe ori cu ϕ τH ( ) se îmbunătăţeştelocalizarea frecvenţială, dar localizarea temporală se înrăutăţeşte.

În continuare se interpretează noţiunea de analiză multirezoluţie precum şicerinţele care intervin în definiţia sa. Să începem cu semnificaţia spaţiilor Vm. Fiex( )τ un semnal de energie finită şi x ( )m τ proiecţia sa pe spaţiul Vm, element al uneianalize multirezoluţie, indusă de funcţia de scară ϕ . Pe baza teoremei proiecţiei, [99],se poate scrie:

( )x x , ( n) = n Z, − − ∀ ∈m mϕ τ0 0

adică:( ) ( )x , ( n) = x ( ), ( n) n Z, ,τ ϕ τ τ ϕ τm m m0 0− − ∀ ∈ (172)

Aparţinând lui Vm, semnalul x ( )m τ se poate descompune în baza

ϕ τm o n, Z( n)−

∈ în forma:

x ( ) = x ( ), ( n) ( n), =

, m m m on

m oτ τ ϕ τ ϕ τ− −− ∞

∞

∑sau ţinând seama de relaţia (172):

x ( ) = x( ), ( n) ( n), =

, m m on

m oτ τ ϕ τ ϕ τ− −− ∞

∞

∑ (173)

Eroarea medie pătratică cu care aproximează semnalul x ( )m τ semnalul x( )τ este:

( ) ( )e x xm m2 2 2= −τ τ

Se zice că semnalul x ( )m τ este aproximarea de rezoluţie m a semnalului x( )τ .Folosind o analiză multirezoluţie pot fi deci obţinute aproximările de diferite rezoluţiiale semnalului analizat. După cum se ştie în diferite aplicaţii ale prelucrării semnalelorsunt necesare aproximări de diferite rezoluţii ale semnalului de interes.


Dacă este vorba de exemplu de deplasarea unui robot pe urmele unei ţinte în mişcareatunci din întreaga imagine achiziţionată de robot, acesta are nevoie doar de o anumităporţiune (cea care conţine imaginea ţintă). Aceasta va putea fi extrasă din imagineaachiziţionată prin scăderea rezoluţiei acesteia până la nivelul corespunzătorposibilităţii de identificare a unor obiecte cu dimensiuni comparabile cu cele ale ţintei.

Realizarea acordului dintre semnalul de analizat şi rezoluţia necesară aplicaţieieste foarte importantă pentru aplicaţia avută în vedere deoarece conduce la suprimareadetaliilor inutile (pentru aplicaţia considerată) din semnalul de analizat. Iată de ce oprimă aplicaţie a analizei multirezoluţie este în compresia semnalelor. Pe baza relaţiei (173) se constată că semnalul x ( )m τ se obţine prin analizasemnalului x( )τ bazată pe funcţiile ϕ τm n, ( ).

Dacă funcţia ϕ τ( ) are suport compact (aşa cum este de exemplu cazul funcţieiϕ τH ( ) sau al funcţiilor k Sϕ τ( ), k Z∈ ) atunci suportul funcţiilor ϕ τm n, ( ) va fide m ori mai scurt. De aceea analiza în spaţiul Vm a semnalului x( )τ va fi mailocalizată (mai detailată) decât analiza aceluiaşi semnal în spaţiul Vo (pentrum > 0).Se observă caracterul de "microscop matematic" al analizei multirezoluţie.

În continuare se prezintă modul în care poate fi utilizat conceptul de analizămultirezoluţie la construcţia bazelor ortonormale de funcţii "wavelet" ale spaţiului

( )L2 R . În acest scop se detaliază pentru început conceptul de descompunereortogonală a acestui spaţiu.

7.1.2.3 CONCEPTUL DE DESCOMPUNERE ORTOGONALĂ

Acesta este bine cunoscut în analiza funcţională, [39], şi reprezintă omodalitate de construcţie a unei baze ortonormale a unui spaţiu Hilbert pornind de labazele ortonormale ale unor subspaţii ortogonale.

Definiţia 1.7.1.2.3 Şirul de subspaţii Hilbert închise Wm m Z∈ este o

descompunere ortogonală a lui ( )L2 R , dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1. m p ≠ ⇒ ⊥W Wm p

2. ( )∪∈m

mW L Z

= R2


În continuare se vor construi descompuneri ortogonale ale lui ( )L2 Rcorespunzătoare unor analize multirezoluţie. Aceste descompuneri ortogonale vor figenerate de funcţii "wavelets mother".

În paragraful anterior s-a demonstrat că oricare ar fi funcţia oϕ τ( ) există ofuncţie m ( )o ω astfel încât:

( ) ( ) F Fo o oϕ ω ω ϕ ω2 = m ( )

În continuare se demonstrează o proprietate a funcţiilor m ( )o ω . Funcţiaoϕ τ( ) generează o bază ortonormală de translatate pe Vo.

De aceea:

( ) ( )F ok

ϕ ω π ω+ k = , R =

2 12

− ∞

∞

∑ ∀ ∈ (174)

Făcând în ultima relaţie schimbarea de variabilă:

ω ω→ 2se poate scrie:

( )( )F ok

ϕ ω π + k = =

2 12

− ∞

∞

∑sau:

( ) ( )F o ok

ϕ ω π ω π + k m + k = =

2 21

− ∞

∞

∑sau:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

+ p m + p +

+ + p+ m + p+ =

=

=

F

F

o op

o op

ϕ ω π ω π

ϕ ω π ω π

2 2

2 1 2 1 1

2 2

2 2

− ∞

∞

− ∞

∞

∑

∑

şi ţinând seama de periodicitatea cu 2π a funcţiei m ( )o ω (acesta reprezintărăspunsul în frecvenţă al unui filtru numeric):

160 7.1.2.3 Conceptul de descompunere ortogonală

( ) ( ) ( )( ) m ( ) + p + m + + p+ = = =

o o op

op

ω ϕ ω π ω π ϕ ω π2 2 2 2

2 2 1 1F F− ∞

∞

− ∞

∞

∑ ∑

Ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii o nϕ τ( n) Z−∈

rezultă:

m ( ) + m ( + ) = o oω ω π2 2

1 (175)

Deci răspunsul în frecvenţă al filtrului numeric care face legătura între generatoarelebazelor ortonormale ale spaţiilor Vo şi V- 1 are proprietatea exprimată de relaţia (175).

În continuare se consideră funcţia:

m ( ) = e m ( + ) = *1 1ω ω πω− j

o

Cu ajutorul acesteia se construieşte funcţia ψ τ( ) cu transformata Fourier:

( ) ( )F Fψ ω ω ϕ ω2 1 = m ( ) o

Fie W spaţiul vectorial generat de mulţimea ψτ

k Z2

−

∈k

şi fie:

( )W W L− ∩12 = R

În [88] este demonstrată următoarea afirmaţie.Propoziţia 1.7.1.2.3 Se consideră analiza multirezoluţie a lui ( )L2 R ,

Vm m Z∈ şi spaţiul vectorial W −1 definit mai sus. Sunt valabile următoarele

proprietăţi:1. W V− −⊥1 1

2. Mulţimea ψτ

k Z2

−

∈k

este o bază ortonormată a spaţiului

W−1,

3. V V Wo = −⊥

−⊕1 1

Demonstraţie. Pentru a demonstra consecinţa 1., se arată pentru început că:


W Vo− ⊂1

Pornind de la relaţia:

[ ]m ( ) = m n e =

o o

n

j nω ω

− ∞

∞−∑

se obţine:

( ) [ ] ( )m ( ) = e m + = e m n e

=

+*1 ω ω πω ω ω π− −

− ∞

∞

∑jo

jo

n

j n

S-a presupus că m ( )o ω este răspunsul în frecvenţă al unui filtru numeric curăspunsul la impuls funcţie reală.

Deci:

[ ]m ( ) = e m n e

=

1 ω ω ω−

− ∞

∞

∑jo

n

j n

sau cu schimbarea de indice:− −k = n 1

( ) [ ]m ( ) = m k e =

1

11 1ω ω− −−

− ∞

∞−∑ k

on

j k (176)

Se remarcă relaţia dintre coeficienţii filtrelor numerice cu răspunsurile în frecvenţăm ( )o ω şi m ( )1 ω :

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]m n = m n = m n11 11 1 1 1− − − −− − ∨n

on

o (177)

Dar ( )F ψ ω2 este transformata Fourier a funcţiei 1

2 2 ψ

τ

.

De aceea pe baza relaţiei (176) se poate scrie că:

( ) [ ] ( )1

2 21 11 = m n n

= ψ

τϕ τ

− − −−

− ∞

∞

∑ no

no (177')

Pe baza ultimei relaţii se poate afirma că toate funcţiile ψτ

k2−

sunt elemente ale

lui Vo. Deci şi combinaţiile lor liniare vor fi elemente ale lui Vo. Dar aceste combinaţiiliniare sunt şi elemente ale lui W-1. Deci:


W V o− ⊂1

Înainte de a demonstra consecinţa 1. a propoziţiei de care ne ocupăm, sedemonstrează consecinţa 2.

În acest scop se calculează în primul rând suma:

( )( )Sk

= + k

F ψ ω π22

∈∑

Z

Se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

S ok

op

op

= m + k + k = m + p + p

+ m + p+ + p+

Z Z

Z

12 2

12 2

1

2 2

2 2

2 1 2 1

ω π ϕ ω π ω π ϕ ω π

ω π ϕ ω π

F F

F

∈ ∈

∈

∑ ∑

∑

sau pe baza periodicităţii cu 2π a funcţiei m ( )1

2ω :

( ) ( )( ) = m ( ) + p + m ( + ) + p + Z Z

S op

op

12 2

12 2

2 2 1ω ϕ ω π ω π ϕ ω πF F∈ ∈∑ ∑

Ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii ϕ τo k( k) Z−∈

se obţine:

S = m ( ) + m ( + )12

12

ω ω π

Dar:

m ( ) = e m ( + ) = m ( + ) *1

2 2 2ω ω π ω πω− j

o o

şi:( )m ( + ) = e m ( ) = m ( ) + *

12 2 2

ω π ω ωω π− jo o

Deci, pe baza relaţiei (175), se poate scrie:

( )( ) ( ) = = + k = m ( ) + m ( + ) , R

Sk

1 22

12

12

F ψ ω π ω ω π ω∑ ∀ ∈ (178)

Se remarcă că şi filtrul cu răspunsul în frecvenţă m ( )1 ω îndeplineşte o condiţie detipul (175).

Capitolul 7 163

Dacă în relaţia (178) variabila ω se înlocuieşte cu ω2

se poate scrie:

+ k = F ψ

ωπ2

21

2

∑

kadică:

( ) + k = F ψ ω π2 1

2

k∑ (179)

S-a demonstrat în acest mod că mulţimea ψ τ( n) Z−∈n este ortonormată:

[ ]ψ τ ψ τ δ( k), ( l) = k l− − − (180)

În continuare se calculează produsele scalare:

2 2 2 2 2 2 21

2 11

2 1 1 1 1− − − − − − −

− ∞

∞

− − − −∫

( k), ( l) = ( k) ( l) d*ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ τ

După schimbarea de variabilă:

u = 2 1− τultima relaţie devine:

[ ]ψ ψ ψ τ ψ τ δ− − − − −1 1, k , l, = ( k), ( l) = k l (181)

În consecinţă mulţimea 1

2 2 k

Zψ

τ−

∈k

este ortonormată.

Fie x ( )o τ un element al lui Vo:

x ( ) = a ( k), o o k ok

τ ϕ τ −∑

În domeniul frecvenţă această relaţie devine:

( )Xo x o( ) = m ( ) ω ω ϕ ωF


Fie semnalul x ( )−1 τ obţinut prin filtrarea semnalului x ( )o τ cu filtrul cu răspunsulîn frecvenţă m ( )1 ω . Se obţine:

( ) ( )X Xo x o x−1 1 1 2( ) = m ( ) ( ) = m ( ) m ( ) = m ( ) ω ω ω ω ω ϕ ω ω ψ ωF F

În consecinţă semnalul x ( )−1 τ se exprimă ca şi o combinaţie liniară de elemente ale

mulţimii 1

2 2ψ

τ k

Z−

∈k

. De aceea se poate afirma că această mulţime este

completă în W−1 . În consecinţă ea este o bază ortonormală a acestui spaţiu.Consecinţa 2. a teoremei pe care o analizăm este deci demonstrată. Se revine laconsecinţa 1. Se calculează suma seriei:

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

+ k + k =

= m + k m + k + k =

= m + p m + p + p +

+ m + p + m + p + + p +

*

*

*

*

F F

F

F

F

ψ ω π ϕ ω π

ω π ω π ϕ ω π



2 2

2 2 2

2 1 2 1 2 1

12

12

1

2

ok

o ok

o op

o op

∑

∑

∑

∑sau ţinând seama de periodicitatea cu perioada 2π a funcţiilor m ( )1 ω şi m ( )*

o ω :

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

+ k + k =

m ( ) m ( ) + p +

+ m ( + ) m ( + ) + p+

*

*

*

F F

F

F

ψ ω π ϕ ω π

ω ω ϕ ω π


2 2

2

2 1

12

1

2

ok

o op

o op

∑

∑

∑

În sfârşit, ţinând seama de ortonormalitatea mulţimii ( ) o n Znϕ τ −∈

:


( )( ) ( )( )F Fψ ω π ϕ ω π

ω ω ω π ω π

+ k + k =

m ( ) m ( )+ m ( + ) m ( + )

*

* *

2 2

1 1

ok

o o

∑

Dar pe baza legăturii dintre funcţiile m ( )1 ω şi m ( )o ω :

( )

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) = e m ( + ) m ( ) +

+ e e m ( ) m ( + ) = e m ( ) m ( + ) =

* * * *

* * * *

1 1

1 1 0

ω ω ω π ω π ω π ω

ω ω π ω ω π

ω

ω π ωo o

jo o

j jo o

jo o

−

− − − −

S-a demonstrat că:

( )m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) = R* *1 1 0ω ω ω π ω π ωo o ∀ ∈ (182)

Se poate deci scrie:

( )( ) ( )( ) ( )F Fψ ω π ϕ ω π ω + k + k = R*2 2 0ok∑ ∀ ∈ (183)

Înlocuind în această relaţie variabila ω cu variabila ω2

se obţine:

( ) ( )F Fψ ω π ϕ ω π+ k + k =*2 2 0ok∑

Integrând pe intervalul [-π,π] această relaţie rezultă:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+ k + k e d = ,

p, q Z

* 1

22 2 0

πψ ω π ϕ ω π ωω

π

π

F F oj p q

k

Z

⋅

∀ ∈ ×

− −

−∑∫

sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

22 2 0

πψ ω π ϕ ω π ωω

π

π

+ k + k e d = ,

p, q Z Z

* F F oj p q

k⋅

∀ ∈ ×

− −

−∫∑



u = + k ω π2


( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

1

20

2 1

2 1

πψ ϕ

π

π

u u e du = ,

p, q Z Z

*

+

F F oj p q u

k

k

k⋅

∀ ∈ ×

− −

−∫∑

adică:

( ) ( ) ( ) u u e du =*

1

20

πψ ϕF F o

j p q u⋅ − −

− ∞

∞

∫sau pe baza definiţiei produsului scalar pe ( )L2 R :

[ ] ( ) ( )1

20

πψ ϕ e , e = , p, q Z *

F F− − ∀ ∈ ×j p uo

j q u Z

Conform relaţiei lui Parseval, ultima relaţie este echivalentă cu:

( ) ( ) ( ) ( )ψ τ ϕ τ p , q = , p, q Z− − ∀ ∈ ×o Z0 (184)

Dar:

( ) ( )1

2 2 2 p , q = p , qψ

τϕ

τψ τ ϕ τ−

−

− −o o (185)

Se poate deci scrie:

( ) ( ) p , q = p, q Z Z1

2 2

1

2 20ψ

τϕ

τ−

−

∀ ∈ ×o

De aceea rezultă că mulţimile pZ

1

2 2ψ

τ−

∈p

şi 1

2 2oq

ϕτ−

∈

qZ

sunt

ortogonale. Având în vedere că aceste mulţimi reprezintă baze ortonormale alespaţiilor W-1 şi V-1 rezultă că aceste două spaţii sunt ortogonale. Deci consecinţa 1. apropoziţiei 1.7.1.2.3 este demonstrată. Mai rămâne justificarea consecinţei 3.

Fie x ( )−1 τ proiecţia semnalului x ( )o τ din Vo pe spaţiul V-1. Se poate scrie:


x ( ) = a ( k), o o k ok

τ ϕ τ −∑şi:

x ( ) = x ( ) + d ( )o τ τ τ− −1 1

Conform teoremei proiecţiei semnalul eroare d ( )−1 τ este ortogonal pe spaţiul V-1.Deci conform consecinţei 1°, d ( )−1 τ aparţine spaţiului W-1.

Se poate scrie:

x ( ) = x ( ), k k− −

−

∑1

1

2 2 2τ τ ϕ

τϕ

τo o

ko (186)

şi:

d ( ) = x ( ), k k− −

−

∑1

1

2 2 2τ τ ψ

τψ

τo

k(187)

Ultima relaţie este valabilă deoarece:

x ( ), k = x ( ) + d ( ), k =

= x ( ), k + d ( ), k = d ( ), k

o τ ψτ

τ τ ψτ

τ ψτ

τ ψτ

τ ψτ

2 2

2 2 2

1 1

1 1 1

−

−

−

−

−

− −

− − −

(188)

Ţinând seama de descompunerea lui x ( )o τ în baza ( ) k Zo kϕ τ −∈

relaţiile (186)

şi (187) devin:

( )x ( ) = a l , k k, l− − −

−

∑∑1

1

2 2 2τ ϕ τ ϕ

τϕ

τo o o

lko (189)

şi:

( )d ( ) = a l , k k, l− − −

−

∑∑1

1

2 2 2τ ϕ τ ψ

τψ

τo o

lk(190)

Cu notaţiile:


( )a = a l , k,l− ∑ − −

1

1

2 2,k ol

o oϕ τ ϕτ

(191)

şi:

( )d = a l , k,l− ∑ − −

1

1

2 2,k ol

oϕ τ ψτ

(192)

relaţiile (189) şi (190) devin:

x ( ) = a k− −∑ −

1 1

1

2 2τ ϕ

τ,k

ko (193)

şi:

d ( ) = d k− −∑ −

1 1

1

2 2τ ψ

τ,k

k(194)

Iată cum se exprimă componentele semnalului x ( )o τ ca descompuneri în bazeleortonormale ale spaţiilor V-1 şi W-1. Deci oricare ar fi semnalul x ( )o τ din Vo existăsemnalul x ( )−1 τ (din V-1 inclus în Vo) şi d ( )−1 τ (din W-1 inclus în Vo) astfel încât:

x ( ) = x ( ) + d ( )o τ τ τ− −1 1

De aceea se poate afirma că:

V W Vo− −∪1 1 =

Conform consecinţei 2. a teoremei de care ne ocupăm rezultă că spaţiul W-1 estecomplementul ortogonal al spaţiului V-1 în raport cu spaţiul Vo.

Consecinţa 3. şi teorema propriu-zisă sunt astfel demonstrate. În continuare sefac câteva comentarii inspirate de propoziţia demonstrată.

A) Relaţiile (191) şi (192) permit calculul coeficienţilor proiecţiilorsemnalului x ( )o τ pe spaţiile V-1 şi W-1, a- ,1 k , d- ,1 k cu ajutorul coeficienţilordezvoltării acestui semnal în baza lui Vo, a ,o k .

B) Relaţiile (191) şi (192) se mai pot pune în forma:

[ ]a = a m l k,l*

− ∑ −1 2 2,k ol

o (195)

Capitolul 7 169

[ ]d = a m l k,l*

− ∑ −1 12 2,k ol

(196)

ţinând seama de definiţiile funcţiilor m ( )o ω şi m ( )1 ω .Aceste relaţii stau la baza unui algoritm modern (introdus de Mallat) de calcul

al coeficienţilor proiecţiilor semnalului x ( )o τ pe spaţiile V- m şi W- m (m > 0) carestabileşte legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet" şi filtrele piramidale. De asemeneacu ajutorul acestor relaţii se pune în evidenţă legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet"şi metoda de codare în subbenzi a semnalelor. Aceste legături vor fi evidenţiate încadrul unor paragrafe următoare din lucrarea de faţă .

C) Semnalul a0,n poate fi reconstruit perfect dacă se cunosc semnalelea- ,1 n şi d- 1,n . Într-adevăr:

[ ] [ ]x ( ) + d ( ) = a n n + d n n− − − −∑ ∑−

−

1 1 1 1

1

2 2

1

2 2τ τ ϕ

τψ

τ

no

nDar:

[ ] ( )1

2 22 2 k = m p k po o

poϕ

τϕ τ−

− −∑

şi:

[ ] ( )1

2 22 21 k = m p k pψ

τϕ τ−

− −∑

po

Deci:

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

x ( )+ d ( ) =

= a m p n p + d m p n p

− −

− −− − − −

∑ ∑∑

1 1

1 1 12 2 2

τ τ

ϕ τ ϕ τn no op

opn

Făcând schimbarea de indice:l = n + p2


[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )

x ( )+ d ( ) =

= a m l n l + d m l n l =

= a n m l n + d n m l n l

− −

− −

− −

− − − −

− −

−

∑ ∑∑

∑∑

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 2 2

τ τ

ϕ τ ϕ τ

ϕ τ

n no ol

oln

oln

o


Identificând membrul drept al ultimei relaţii cu descompunerea semnalului x ( )o τ în

baza ( ) o nϕ τ n Z−∈

, se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )a = a n m l n + d n m l n lo on

, − −− −∑ 1 1 12 2 2 (197)

S-au folosit notaţiile:

[ ]a = a- - nn1 1, şi [ ]d = d- -1 1n n,

Deci semnalul x ( )o τ poate fi reconstruit pornind de la semnalele în timp discret[ ]a- 1 n şi [ ]d- 1 n , folosind filtrele numerice cu răspunsurile în frecvenţă m ( )o ω şi

m ( )1 ω , care respectă condiţiile:

m ( ) + m ( + ) =

m ( ) + m ( + ) =

m ( ) m ( )+ m ( + ) m ( + ) = * *

o o

o o

ω ω π

ω ω π

ω ω ω π ω π

2 2

12

12

1 1

1

1

0

(198)

unde:

( ) ( )

( ) ( )

F F

F F

o o o

o

ϕ ω ω ϕ ω

ψ ω ω ϕ ω

= m ( )

= m ( )

2

2 1

(199)

D) În continuare se consideră că spaţiul Wm este complementul ortogonal alspaţiului Vm în raport cu spaţiul Vm+1.

Se constată că:

o oVϕ τ( ) ∈ şi o Vϕ τ( ) 2 1∈

Se pune întrebarea: În ce spaţiu se găseşte funcţia ψ τ( )?

Se ştie că funcţia 1

2 2 ψ

τ

generează mulţimea k

Z

1

2 2ψ

τ−

∈k

baza ortonormală a spaţiului W-1, inclus în Vo. Pe baza ipotezei 4. din definiţia analizeimultirezoluţie rezultă că ψ τ( ) ∈ V1. Dar pe baza relaţiei (180) rezultă că funcţia

ψ τ( ) este ortogonală pe mulţimea ( ) k Zo kϕ τ −∈

.


Dar această mulţime generează spaţiul Vo. În consecinţă:

ψ ∈V1 şi ψ ⊥ Vo

Dar funcţia ψ aparţine complementului ortogonal al lui Vo în V1, Wo:

V V Wo o1 = ⊕⊥

Se constată că mulţimea ( ) k Zψ τ −∈k este inclusă în Wo. Această mulţime este

completă în W0. Se va demonstra această afirmaţie prin reducere la absurd. S-apresupus că semnalul w ( )o τ este un element din Wo, ortogonal pe toate elementele

mulţimii ( ) k Zψ τ −∈k .

Se poate scrie:

( ) ( )w k Z0 0τ ψ τ, ,− = ∀ ∈k

Conform relaţiei (180) rezultă că semnalul w ( )o τ este de forma :

( ) ( )w o0 τ ϕ τ= −∑c lll

Deci semnalul w ( )o τ aparţine spaţiului Vo. Această afirmaţie contrazice ipoteza

făcută. Deci mulţimea ( ) k Zψ τ −∈k este completă în Wo. Pe baza relaţiei (181)

se poate afirma că această mulţime este şi ortonormată. În consecinţă ea este o bazăortonormală a spaţiului Wo.

La fel se poate demonstra că mulţimea ( ) ψ τm n n Z, ∈ este o bază

ortonormală a spaţiului Wm.E) Iterând de mai multe ori relaţiile între mulţimi, deja demonstrate, se poate

scrie:

V V W V W W V ( W )M M M M M Mp J

p= ⊕ = ⊕ ⊕ = = ⊕ ⊕−⊥

− −⊥

−⊥

−⊥

≤ ≤

⊥1 1 2 2 1 0

0... (200)

Dar pentru că Vm m Z∈ reprezintă o analiză multirezoluţie a lui L2( R) se poate

scrie:


( )Um Z

mV L∈

= 2 R

sau :

( )⊕ =∈

⊥

m Z mW L2 R

adică:

( )Um Z

mW L∈

= 2 R

Ţinând seama de faptul că:W Vm m− ⊂1

şi că:W Vm m⊥

rezultă că:

W Wm m− ⊥1

În consecinţă se poate afirma că m m ZW∈

reprezintă o descompunere ortogonală

a lui ( )L2 R . Pa baza unei teoreme celebre de analiză funcţională care afirmă că princoncatenarea bazelor ortogonale ale unei descompuneri ortogonale a lui ( )L2 R seobţine o bază ortonormală a lui ( )L2 R rezultă că mulţimea

( ), Z, Zψ τm n n m∈ ∈

este o bază ortonormală a lui ( )L2 R . În continuare se

prezintă două exemple de descompuneri ortogonale ale lui ( )L2 R .

Exemplul 1. Expresia funcţiei de scară corespunzătoare este:

ϕ ττ

H ( ) = , ,, in rest1 0 1

0

≤ <

De aceea:

1

2 2

1

20 2

0 =

, ,

, in restϕ

τ τH

≤ <

Se constată că:


1

2 2

1

2

1

21 = ( ) + ( )ϕ

τϕ τ ϕ τH H H

−

În consecinţă:

[ ] [ ] [ ]m n = n + noH

1

2

1

21δ δ −

respectiv:

m ( ) = + e

o

j

Hω

ω1

2

−

De aceea folosind relaţia (177') se obţine:

1

2 2

1

2

1

21 = ( ) + ( )ψ

τϕ τ ϕ τ

− −H H

adică:1

2 2

1

2

1

21 = ( ) + ( )ψ

τϕ τ ϕ τ

− −H H

Dar având în vedere că dacă funcţia ψ τα( ) este o funcţie de tip "wavelets mother"atunci şi funcţia − ( )ψ τα este o funcţie de tip "wavelets mother" rezultă expresiafuncţiei generatoare a descompunerii ortogonale de tip Haar:

ψ ττ

τH ( ) =

, , ,

, ,

1 01

2

11

21

∈

− ∈

Se recunoaşte în mulţimea ( )H Z, Zm,n

ψ τn m∈ ∈

expresia binecunoscutei baze

ortonormale de tip Haar a lui ( )L2 R .Din păcate localizarea în frecvenţă a funcţiei ψ τH ( ) nu este prea bună. În

plus această funcţie nu este nici regulată.

Exemplul 2. Descompunerea ortogonală de tip Palley -Wiener.


În [75] se demonstrează că pe baza analizei multirezoluţie de tip Palley -Wiener poate fi construită o descompunere ortogonală a lui ( )L2 R , generată defuncţia:

( ) ( )ψ τ

π τ π τπ τP W

sin sin ( ) =

2 −

Din păcate această funcţie nu este foarte bine localizată în timp.

[ ][ ]

m k = k

o P W2

2

δ şi [ ]( )

( )m k + = k +

, k Z o

k

P W2 1

1

2 1

−∈

π

Exemplul 3. Descompunerea ortogonală de tip Battle Lemarié.Când s-a studiat exemplul E3 de analiză multirezoluţie s-a determinat

transformata Fourier a funcţiei de scară de tip Battle Lemarié de ordinul 2:

( )F o BL

sin

cosϕ ω

π

ω

ωω2

2

2 2

3

2

42

1 22

=

+

Pe baza relaţiei:

( ) = m 0 0 F Fo BL o BLB L

ϕ ωω

ϕω

2 22 2 2

se determină expresia răspunsului în frecvenţă:

m ( ) = +

+ o o B Lcos

cos

cos2

2

2

22

1 22

1 2ω

ωω

ω

de unde:

m ( ) = e sin +

+

1

2

2

22 2

1 22

1 2o B L

jsin

cosω

ωω

ωω


Deci, transformata Fourier a funcţiei "wavelets mother" de tip Battle Lemarié deordinul 2 este:

( )F ψ ωπ

ω

ω

ω

ω ω

ω

BLj sin

cos

sin

cos2

2

2

2

4

22

3

2

1 24

1 22

44

41 2

4

= e +

+

+

Din păcate funcţiile ϕ τoBL2( ) şi ψ τBL2( ) nu au reprezentări compacte. Graficele lor

sunt prezentate în figura 1.7.1.2.3.

Funcţiile B-L de ordin superior sunt prezentate în [42].

a) Funcţia de scară.

b) Funcţia “wavelets mother” corespunzătoare.

Figura 1.7.1.2.3 Funcţiile generatoare de tip Batle-Lemarié de ordinul II.

176 7.1.2.4 Caracterizarea analizelor multirezoluţie cu ajutorul polinoamelor

7.1.2.4 CARACTERIZAREA ANALIZELOR MULTIREZOLUŢIE CUAJUTORUL POLINOAMELOR. BAZELE ORTONORMALE DE FUNCŢII

"WAVELET" CU SUPORT COMPACT

În paragraful anterior a fost subliniat rolul central al filtrelor cu răspunsurile înfrecvenţă m ( )o ω şi m ( )1 ω , la construcţia analizelor multirezoluţie respectiv laconstrucţia descompunerilor ortogonale ale spaţiului ( )L2 R .

S-a arătat că pentru generarea spaţiului V-1, pornind de la spaţiul Vo seutilizează filtrul cu răspunsul în frecvenţă m ( )o ω , fiind valabilă relaţia:

( ) ( )F Fo o oϕ ω ω ϕ ω = m ( ) 2 (205)

S-a demonstrat că filtrele cu răspunsul în frecvenţă m ( )o ω , trebuie să satisfacăcondiţia:

( )m ( ) + m ( + ) = , Ro oω ω π ω2 2

1 ∀ ∈ (206)

Luând în relaţia (205) pentru ω valoarea 0, se obţine:

m ( ) = o 0 1 (207)

De aceea, pe baza relaţiei (206) se poate scrie:

m ( ) = o π 0 (208)

Pentru generarea spaţiului W-1 pornind de la spaţiul Vo, se utilizează filtrul curăspunsul în frecvenţă m ( )1 ω , fiind valabilă relaţia:

( ) ( )F Fψ ω ω ϕ ω = m ( ) 2 1 o (209)

unde:

m ( ) = e m ( + ) *1 ω ω πω− j

o (210)

Rezultă:m ( ) = m ( ) = *1 0 0o π (211)


şi:m ( ) = 1 1π (212)

Filtrele cu răspunsurile în frecvenţă m ( )o ω şi m ( )1 ω , care îndeplinesccondiţiile de mai sus, au fost introduse în [129], în contextul teoriei codării în subbenzişi se numesc filtre conjugate în cuadratură (Conjugate Quadratur Filters).

În paragraful de faţă se va stabili o legătură între modalităţile de construcţie aacestor filtre şi teoria polinoamelor.

În acest scop se formulează următoarea propoziţie, [88].

Propoziţia 1.7.1.2.4 Dacă m ( )o ω2 este strict pozitivă pentru ω

π∈

0

2, , atunci:

1. ( )F oϕ ω ω π = 2

0> ;

2. ( ) ( ) F o kϕ ω ω π = ; k Z - = 2

2 0 0∀ ∈ ;

3. ( )F oϕ ω ω = = 2

0 1;

Demonstraţie. Iterând relaţia (195) se obţine:

( ) F Fon

N

o n o Nϕ ωω

ϕω

= m =

1 2 2

Luând în ultima relaţie pentru ω valoarea π se obţine:

( ) F Fon

N

o n o Nϕ ππ

ϕπ

= m =

1 2 2

Având în vedere că:

( ) m , n N - o nπ2

0 0

≠ ∀ ∈

şi că ϕ τ( ) este răspunsul la impuls al unui filtru trece jos:

178 7.1.2.4. Caracterizarea analizelor multirezoluţie cu ajutorul polinoamelor

( )F oϕ 0 0≠

rezultă că, pentru N suficient de mare:

F o Nϕπ

2

0

≠

deoarece funcţia ( )F oϕ ω este considerată continuă. În consecinţă:

( )F oϕ π ≠ 0

Consecinţa 1. a fost demonstrată.Pentru ca funcţia ψ să fie de tipul "wavelets mother" este necesar, conform

definiţiei 1.7.1.2.1 să fie regulată de regularitatea r. Această condiţie se poate exprimaîn forma:

( )τ ψ τ τm ( ) d = 0 , m, m = , , ..., r

∀− ∞

∞

∫ 0 1 (213)

adică:

( )F τ ψ τ ω ωm ( ) = = 0 0

sau:

dd

( ) = , m = , , , ... , r =

m

mωψ τ ωF 0 0 0 1 2 (214)

Se ştie că orice funcţie de tipul "wavelets mother" reprezintă răspunsul la impuls alunui filtru de tip trece bandă. De aceea ca o consecinţă directă a condiţiei deadmisibilitate (83'):

( )F ψ 0 0=


( ) F Fψ ωω

ϕω

= m 1 2 2

o


Derivând în cei doi membri ai ultimei relaţii se obţine:

( ) 22 2 2 21 1

dd

= d

d m + m

dd ω

ψ ωω

ωϕ

ω ωω

ϕω

F F F

o o

sau, pentru:ω = 0

rezultă:

( ) ( ) ( ) 22

0 020 0 01 1

dd

=d

d m + m

dd = = =ω

ψ ωω

ωϕ

ωϕ

ωω ω ω

F F F

o o

adică pe baza relaţiilor (211) şi (214):

( )m = '1 0 0

Procedând prin recurenţă se poate demonstra că:

( ) ( )m = , k = , , ..., r1 0 0 0 1k (215)

Derivând relaţia (210) se obţine:

m ( ) = j e m ( + ) + e m ( + )' -j* * '1 ω ω π ω πω ω− − j

o o

sau pentru:ω = 0

m ( ) = j m ( ) + m ( )' * * '1 0 − o oπ π


m ( ) = 'o π 0

Procedând prin recurenţă se poate demonstra că:

( )m ( ) = m ( ) = ... = m ( ) = 'o o o

rπ π π 0 (216)



( ) F Fo o oϕ ωω

ϕω

= m 2 2

(217)

Pentru:ω π = 2

se obţine:

( ) ( ) ( )F Fo o oϕ π π ϕ π = m = 2 0

Pentru:ω π = 4

se obţine:

( ) ( ) ( )F Fo o oϕ π ϕ π = m = 4 0 2 0

Pentru:ω π = 6

se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F F Fo o o o oϕ π π ϕ π π ϕ π = m = m = 6 3 3 3 0

Continuând în acest mod se poate demonstra că:

( ) ( ) F oϕ π k = , k Z -2 0 0∀ ∈

Deci şi consecinţa 2. este demonstrată.Pentru a găsi valoarea lui ( )F oϕ 0 , se utilizează relaţia:

( ) + k = =

F ok

ϕ ω π2 12

− ∞

∞

∑ (218)


( ) F Fo o oϕ ω πω

π ϕω

π + k = m + k + k 22 2

(219)

Substituind relaţia (219) în relaţia (218) şi considerând:ω = 0


se obţine:

( ) ( ) m k k =

= o o

kπ ϕ π

2 21F

− ∞

∞

∑sau:

( ) ( )

( )( ) ( )( )

m k k +

+ m k + 1 k + 1 =

=

=

o ok

o ok

2 2

2 2 1

2 2

2 2

π ϕ π

π ϕ π

F

F

− ∞

∞

− ∞

∞

∑

∑Dar:

( )( ) ( )m k + 1 = m = o o2 0π π

Folosind şi consecinţa 2., ultima relaţie devine:

( ) ( )m = o o0 0 1

2 2F ϕ

sau, pe baza relaţiei (207), se poate scrie:

( )F oϕ = 0 12

Deci şi consecinţa 3. este verificată.În legătură cu teorema demonstrată pot fi făcute următoarele comentarii:

A. ( ) ( )F ok

ϕ π p = , k = , , ..., r , p = , , ...2 0 1 2 1 2

Demonstraţie. Derivând relaţia (205), se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2F F F' ' ' = m + m o o o o oϕ ω ω ϕ ω ω ϕ ω

Pentru:ω π =

ultima relaţie devine: ( )F' = oϕ π2 0


Pentru:ω π = 2

ultima relaţie devine: ( )F' = oϕ π4 0

Se poate demonstra prin recurenţă că:

( ) ( ) F' p = , p Z - oϕ π2 0 0∀ ∈

Pentru celelalte valori ale lui k se poate proceda la fel.B. Polinoamele de grad inferior lui r sunt elemente ale spaţiului Vo.

Demonstraţie. Transformata Fourier a semnalului x(t, ) = (t )τ τ ϕ τko − , în

raport cu variabila τ poate fi pusă în forma:

( ) ( )[ ]

( )[ ]

F F

F

τ ϕ τ ωω

ϕ τ ω

ω ωϕ ωω

ko

kk

k o

kk

kj t

o

(t ) = jd

d (t ) =

= jd

d j

dd

e

− −

−

−−

−−1

1

1

Dar:

( )[ ] ( ) ( )j d

d e = t e j e '

ωϕ ω ϕ ω ϕ ωω ω ω− − −− − − −j t

oj t

oj t

oF F F

Deci:

( ) ( ) ( )[ ]F F Fτ ϕ τ ωω

ϕ ω ϕ ωω ωko

kk

kj t

oj t

o(t ) = jd

d t e j e ' − − − −−

−

−− −1

1

1 (220)

Eşantionând cu pas unitar semnalul x(t, )τ după variabila τ se obţine

semnalul: x(t, n) = n (t n)koϕ − . Ţinând seama de legătura dintre spectrul unui

semnal în timp discret şi spectrul semnalului analogic prin a cărui eşantionare s-aobţinut semnalul în timp discret [114], se poate scrie:

( ) n (t n) e = (t ) p =

ko

j n

n

ko

pϕ τ ϕ τ ω π

ω− − −−∑ ∑Ω

ΩF 2 (221)


Pentru:Ω = 0


( ) n (t n) = (t ) p ko

n

ko

pϕ τ ϕ τ π− − −∑ ∑F 2 (222)

Membrul drept al acestei relaţii este un polinom de gradul k, în variabila t. Deoarece,membrul stâng este o combinaţie liniară de elemente ale mulţimii o nϕ(t n) Z−

∈,

bază în Vo, rezultă că polinomul în t obţinut este element al lui Vo. Astfel enunţul estejustificat.

Remarca făcută stabileşte prima legătură dintre noţiunea de analizămultirezoluţie şi teoria polinoamelor. O altă legătură a fost sesizată şi exploatată deIngrid Daubechies în lucrarea [41].

Având în vedere rezultatele acestui paragraf, se constată că se poate presupunecă răspunsul în frecvenţă m ( )o ω este de forma:

( )m ( ) = + e

o

j N

Pω ωω1

2

−

(223)

Primul factor descrie regularitatea funcţiei de scară (respectiv a funcţiei "waveletsmother") iar cel de al doilea este un polinom în variabila e − j ω .

Întradevăr o astfel de alegere satisface atât condiţiile impuse de relaţia (198),cât şi propoziţia 1.7.1.2.4. Bineînţeles relaţia (223) nu este singura alegere posibilă.Avantajul său este că această alegere conduce la construcţia de funcţii "waveletsmother" cu suport compact. Într-adevăr, conform relaţiei (223) filtrul cu răspunsul înfrecvenţă m ( )o ω nu are poli. Având în vedere că este vorba despre un filtru numericrezultă că este un filtru cu răspuns finit la impuls. De aceea şi filtrul cu răspunsul înfrecvenţă m ( )1 ω este tot cu răspuns finit la impuls. În consecinţă membrul drept alexpresiei (177'):

[ ] ( )ψ τ ϕ τ( ) = m n n=

2 21 on

−− ∞

∞

∑

va conţine un număr finit de termeni nenuli. Deci dacă funcţia oϕ τ( ) are un suportcompact atunci şi funcţia ψ τ( ) are suport compact. Mai mult, se poate afirma că


lungimea suporturilor funcţiilor ϕo şi ψ depinde de alegerea lui N. Cu cât N estemai mare, cu atât suporturile sunt mai lungi.

Se poate scrie:

( )m ( ) = + e

o

j N

Pω ωω

2

2

21

2

−

(224)

Dar:

+ e

= e

=

1

2

22

2 2

2−−

j

jcos

cosω

ω ωω

De aceea:

+ e

= + 2

1

2

1

2

− j cosω ω

În consecinţă relaţia (214) se mai scrie:

( )m ( ) = +

o

NcosPω

ωω

2 21

2

După cum s-a văzut deja, filtrul cu răspunsul în frecvenţă m ( )o ω trebuie săsatisfacă condiţiile:

m ( ) = ; m ( ) = o o0 1 0π

Se poate demonstra, prin verificare, că aceste condiţii sunt satisfăcute de polinoame deforma:

m ( ) = +

+ +

+ ... +

+ +

o

N

N N

cos cos coscos

cos coscos

ωω

αω ω

ω

αω ω

ω

21

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

−

−

(225)

Aceste polinoame verifică şi condiţia:

m ( ) + m ( + ) = o oω ω π2 2

1


Cu notaţia:

Xcos

= + 1

2

ω

membrul drept al relaţiei (225) devine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ))

Q X X X X X X X

X X XNN

= + + +

+ N

1 1 2 1 1 2 1

1 2 1

1 22

1

α α

α

− − − −

− −−

...(226)

În [41] coeficienţii αk , k = , 1 N sunt presupuşi reali. Cea mai simplăalegere pentru coeficienţii αk , k = , 1 N este valoarea 0.

În acest caz:

( )Q X X o

j

H = ; m ( ) =

+ e ω

ω1

2

−

Este cazul filtrului folosit în legătură cu funcţia de scară de tip Haar.Dacă se face alegerea:

α α1 1 0 2 = ; = , k = k N,relaţia (216) devine:

( ) ( )Q X X X = 2 3 2− (227)Deci:

( ) ( )m ( ) = +

= + e

o

jcoscos cosω

ωω ω

ω2

2 41

22

1

22

− −

−(228)

Se determină funcţia m( )ω cu proprietatea că:

m( ) = ω ω22 − cos

Fie:m( ) = + e ω α β ωj

Ţinând seama de identitatea:

m( ) = m( ) m ( )*ω ω ω2

rezultă sistemul:α β

α β

2 2 2

1

2

+ =

=

cu soluţiile:


α β = +

; = 1 3

2

1 3

2

−


m ( ) m ( ) = + e

+

+

e *

oD oD

jj

2 2

4 21

2

1 3

2

1 3

2ω ω

ωω

− −(229)

Există mai multe soluţii pentru această ecuaţie. Una dintre ele este:

m ( ) = + e +

+

e

oD

jj

2

21

2

1 3

2

1 3

2ω

ωω

−−

−

Cu excepţia unui factor de tip exponenţială complexă, acestui răspuns în frecvenţă îicorespunde răspunsul la impuls:

[ ]m n =

+ , n =

+ , n =

, n =

, n =

, in rest

oD2

1 3

80

3 3

81

3 3

82

1 3

83

0

−

−

(230)

Deoarece acest filtru a fost proiectat pentru prima dată în [41] şi deoarece elcorespunde cazului N = 2, funcţia "wavelets mother" pe care o generează este notată înmajoritatea lucrărilor DAU2.

Construcţia filtrelor cu răspunsul în frecvenţă m ( )o ω poate fi continuată prinrecurenţă. Dacă se consideră că şi coeficientul α2 este nenul( αk N= , k = , 0 3 ), atunci expresia polinomului Q(X) devine:


( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )

Q X X X X X X X

X X X X

= + =

= +

3 2 1 2 1

3 2 1 2 1

22

22

2

− − −

− − −

α

α

Funcţia de scară asociată va avea regularitatea maximă dacă factorul comun dinmembrul drept va fi X3. Deci valoarea lui α2 ar trebui determinată astfel încâttermenul liber al polinomului:

( ) ( )3 2 1 2 122− − −X X X+α

să se anuleze. De aceea se obţine:

α2 3 =

Cu această alegere rezultă:

( ) ( )Q X X X X = +3 210 15 6−

adică:

m ( ) = +

+

+ +

oDcos cos cos

32

3 21

210 15

1

26

1

2ω

ω ω ω

−

Coeficienţii acestor filtre, amplificaţi cu 2 , pentru valori ale lui N cuprinse între 2şi 10, sunt prezentaţi în tabelul 1.7.1.2.4.

Câteva exemple de funcţii de scalare respectiv de funcţii de tipul "waveletsmother" sunt prezentate în figura 1.7.1.2.4.

Funcţiile "wavelets mother" obţinute astfel au un suport compact (decilocalizare bună în timp) au regularitatea prescrisă de valoarea lui N şi o localizare înfrecvenţă destul de bună. Ele pot fi considerate atomi timp-frecvenţă. Dezavantajulacestor funcţii este că nu au expresii explicite. Totuşi expresiile lor pot fi determinatenumeric.

În cadrul demonstraţiei propoziţiei 1.7.1.2.4 s-a demonstrat şi relaţia:

( ) F Fo o n o Nn

ϕ ωω

ϕω

= N

m = 1

2 2


N = 2 :

0.48296291314453410.83651630373780790.2241438680420134-0.1294095225512604

N = 3 :

0.3326705529500.8068915093110.459877502118-0.135011020010-0.0854412738820.035226291882

N = 4 :

0.2303778133090.7148465705530.630880767930-0.027983769417-0.1870348117190.0308413818360.032883011667-0.010597401785

N = 5 :

0.1601023979740.6038292697970.7243085284380.138428145901-0.242294887066-0.0322448695850.077571493840-0.006241490213-0.0125807519990.003335725285

N = 6 :

0.1115407433500.4946238903980.7511339080210.315250351709-0.226264693965-0.1297668675670.0975016055870.027522865530-0.0315820393180.0005538422010.004777257511-0.001077301085

N = 7 :

0.0778520540850.3965393194820.7291320908460.469782287405-0.143906003929-0.2240361849940.0713092192670.080612609151-0.038029936935-0.0165745416310.0125509985560.000429577973-0.0018016407040.000353713800

N = 8 :

0.0544158422430.3128715909140.6756307362970.585354683654-0.015829105256-0.2840155429620.0004724845740.128747426620-0.017369301002-0.0440882539310.0139810279170.008746094047-0.004870352993-0.0003917403730.000675449406-0.000117476784

N = 9 :

0.0380779473640.2438346746130.6048231236900.6572880780510.133197385825-0.293273783279-0.0968407832230.1485407493380.030725681479-0.0676328290610.0002509471150.022361662124-0.004723204758-0.0042815036820.0018476468830.000230385764-0.0002519631890.000039347320

N = 10 :

0.0266700579010.1881768000780.5272011889320.6884590394540.281172343661-0.249846424327-0.195946274377 0.127369340336 0.093057364604-0.071394147166-0.0294575368220.0332126740590.003606553567-0.0107331754830.0013953517470.001992405295-0.000685856695-0.0001164668550.000093588670-0.000013264203

Tabelul 1.7.1.2.4. Coeficienţii filtrelor care generează funcţiile “wavelets mother” propuse deI. Daubechies


Figura 1.7.1.2.4. Funcţiile “wavelets mother”( psi(x)) şi funcţiile de scară corespunzătoare

cu suport compact introduse de Ingrid Daubechies(phi(x)).


Figura 1.7.1.2.4. (continuare) Funcţiile “wavelets mother” cu suport compact introduse deIngrid Daubechies ( psi(x)) şi funcţiile de scară corespunzătoare (phi(x)).


Trecând la limită pentru N tinzând la infinit ultima relaţie devine:

( ) ( )F Fo o n on

ϕ ωω

ϕ =

m =

∞

12

0

sau ţinând seama de faptul că valoarea transformatei Fourier a oricărei funcţii oϕ τ( ),în origine este 1 rezultă:

( )F o o nn

ϕ ωω

=

m =

∞

12

(231)

În consecinţă, pe baza relaţiei (231) poate fi calculată transformata Fourier a oricăreifuncţii de scară corespunzătoare uneia dintre funcţiile "wavelets mother" introduse deDaubechies. Inversând această transformare Fourier poate fi obţinută expresia funcţieide scară corespunzătoare.

Mai mult, pornind de la relaţia (199):

( ) F Fψ ωω

ϕω

= m 1 2 2

o

pe baza relaţiei (221) se poate scrie:

( )F ψ ωω ω ω ω

= m

m = m

m = =

1 1 12 2 2 21 2

∞ ∞

+n n

o n o n

Folosind această relaţie poate fi determinată direct expresia funcţiei "waveletsmother". Convergenţa produselor infinite din relaţiile (221) şi (222) trebuieconsiderată în sensul distribuţiilor. In [41] se prezintă o metodă grafică, care se poateimplementa cu uşurinţă pe calculatoare numerice pentru calculul produselor infinitedin relaţiile (221) şi (222). Principalul dezavantaj al funcţiilor "wavelets mother"propuse de I. Daubechies, descrise în acest paragraf este lipsa lor de simetrie. De faptpentru nici una dintre aceste funcţii nu există vreo axă de simetrie. În consecinţă,filtrele lor generatoare, cu răspunsurile în frecvenţă m ( )

oD kω , m ( )

1D kω nu sunt

filtre cu caracteristica de fază liniară.Acesta este un dezavantaj în unele aplicaţii mai ales atunci când este vorba de

prelucrarea imaginilor.

192 7.1.2.5 Algoritmul lui Mallat

7.1.2.5 ALGORITMUL LUI MALLAT

Acest algoritm permite calculul rapid al proiecţilor semnalelor de energiefinită pe diferite subspaţii, elemente ale unei analize multirezoluţie sau ale uneidescompuneri ortogonale. El stabileşte o legătură interesantă între metodele deprelucrare ale semnalelor analogice şi metodele de prelucrare ale semnalelor discrete.S-a demonstrat deja în relaţiile (193) şi (194) că proiecţiile semnalului x ( )o τ din Vo

pe spaţiile V-1 şi W-1 se pot calcula cu relaţiile:

x ( ) = a ( )0 , − − −∑1 1 1τ ϕ τ,kk

k (233)

şi:d ( ) = d ( ), , − − −∑1 1 1τ ψ τk

kk (234)

Coeficienţii acestor descompuneri pot fi exprimaţi pa baza coeficienţilordescompunerii semnalului x ( )o τ în baza lui Vo, ( ) o kϕ τ −

∈k Z , a ,0 k cu

relaţiile (195) şi (196):

[ ]a = a m l k,ll

*− ∑ −1 02 2,k o (235)

şi:[ ]d = a m l k, , l

l

*− ∑ −1 0 12 2k (236)

Aceste relaţii permit calculul coeficienţilor proiecţiilor x ( )−1 τ şi d ( )−1 τ cuajutorul coeficienţilor a ,l0 . Fie x ( )−m τ şi d ( )−m τ proiecţiile semnalului x ( )o τ pe

spaţiile V-m şi W- m. Aceste proiecţii se pot descompune în bazele ( ) o m kϕ τ− ∈, k Z

şi ( ) ψ τ− ∈m k k, Z ale acestor spaţii:

x ( ) = a ( ), , − −∑ −m m kk

o m kτ ϕ τ (237)

şi:d ( ) = d ( ), , − − −∑m m k

km kτ ψ τ (238)


Fie x ( )− +m 1 τ proiecţia semnalului x ( )o τ pe spaţiul V- m +1:

x ( ) = a ( ), , − + − + − +∑m m k o m kk

1 1 1τ ϕ τ (239)

[ ]a = a m l k , , ll

*− − + −∑m k m o2 21 (240)

şi:[ ]d = a m l k , , l

l

*− − + −∑m k m2 21 1 (241)

În consecinţă, pornind de la coeficienţii a0,l şi iterând de un numărcorespunzător de ori, pe baza relaţiilor (240) şi (241), pot fi determinaţi coeficienţiia , −m k şi d , −m k. Având în vedere că structura bazelor spaţiilor V-m şi W-m estecunoscută rezultă că apoi pot fi determinate proiecţiile semnalului x ( )o τ pe spaţiileV-m şi W-m. Relaţiile (240) şi (241) descriu algoritmul de calcul al proiecţiilorsemnalului x ( )o τ pe spaţiile V-m şi W-m. În acelaşi timp, aceste relaţii descriu omodalitate de prelucrare numerică a semnalului [ ]a l, k− +m 1 cu ajutorul filtrelor cu

răspunsurile la impuls [ ]m l*o şi [ ]m l*

1 , în scopul obţinerii semnalelor [ ]a k−m şi[ ]d k−m . Această prelucrare presupune o filtrare şi o decimare.

De exemplu semnalul [ ]a k−m poate fi generat cu ajutorul sistemului dinfigura 1.7.1.2.5.

Într-adevăr:[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]u n = a n m n = a l m l n + 0

*

l

*− − +∗ −∑m

vm o1 12

Blocul de decimare cu 2 răspunde la semnalul [ ]u n cu semnalul [ ]u n2 . Deci:

Figura 1.7.1.2.5 Prelucrarea numerică sugerată de relaţia (240).


[ ] [ ] [ ] [ ]a n = u n = a l m l n *

l− − + −∑m m o2 2 21

S-a regăsit relaţia (240). De aceea sistemul care transformă semnalul [ ]a no însemnalele [ ]a n−m şi [ ]d n−m are structura din figura 2.7.1.2.5. De fapt sistemul dinfigură generează şi semnalele [ ]d n , k = , − k m1 . Se constată că acest sistem are ointrare şi m +1 ieşiri.

Dacă se consideră că semnalul [ ]a no are 2 1m + eşantioane nenule atunci seconstată că semnalele [ ]a n−1 şi [ ]d n−1 au 2m eşantioane nenule (datorită operaţiilorde decimare cu factor 2) că semnalele [ ]a n−2 şi [ ]d n−2 au 2 1m − eşantioane nenule şiaşa mai departe. Semnalele [ ]a n−m şi [ ]d n−m vor avea doar câte 2 eşantioane nenule.Fie semnalul [ ]y no obţinut prin concatenarea semnalelor [ ]a n−m , [ ]d n−1 , [ ]d n−2 , ...,

[ ]d n−m . Se spune că semnalul [ ]y no a fost obţinut prin aplicarea transformării

Figura 2.7.1.2.5. Sistemul numeric de proiecţie al semnalului pe spaţiile V- m şi W- k, k=1…m.


"wavelet" discretă semnalului [ ]a no . Se constată că această transformare este liniară(deoarece sistemul din figura 2.7.1.2.5 este liniar). Din păcate transformarea "wavelet"discretă nu este invariantă la translaţii (decât dacă translaţiile se fac cu multiplii de2 1m + ), deoarece sistemul considerat este variant în timp.

Să calculăm numărul eşantioanelor secvenţei [ ]y no . Acesta este:

2 2 2 2 1 2 12 1

2 122

0

11+ + + ... + = + = + =

=

m k

k

m mm∑

++−

−

Deci prin transformarea "wavelet" discretă numărul de eşantioane ale semnalului deprelucrat nu se modifică (dacă el este o putere corespunzătoare a lui 2).

Trebuie remarcat faptul că transformarea "wavelet" discretă este inversabilă.În continuare se justifică această afirmaţie. Procedând la fel ca şi la demonstraţiarelaţiei (197) se poate arăta că:

[ ] [ ]a = a m l n + d m l n , l , , − + − −− −∑m m n on

m n1 12 2 2 (242)

Deci pe baza semnalelor [ ]a n−m şi [ ]d n−m se poate determina semnalul [ ]a n− +m 1 . Pebaza semnalelor [ ]a n− +m 1 şi [ ]d n− +m 1 se poate determina semnalul [ ]a n− +m 2 .

În consecinţă pornind de la semnalele [ ]a n−m , [ ]d n−m , [ ]d n− +m 1 , ... , [ ]d n−1

poate fi reconstruit semnalul [ ]a no . Relaţia (242) poate fi implementată cu ajutorulsistemului din figura 3.7.1.2.5.Dacă la intrarea unui interpolator cu factorul 2 este adus semnalul [ ]xn atunci laieşirea sa se obţine semnalul [ ]y n , dat de relaţia:

[ ]y n = x

n , n

, in rest2

2

0

M(243)

De aceea semnalele [ ]u1 n şi [ ]v1 n din figura 3.7.1.2.5 pot fi descrise cu relaţiile:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

u u m u m

u m a m

o o

o m o

1 2 2 2 2

2 2 1 2 1 2 2

n = l n l = p n p +

+ p+ n p = p n p l p

p p

− −

− − −

∑ ∑

∑ ∑ −


[ ] [ ] [ ]v d mm1 1 2 2n = l n l l

− −∑

Se constată că într-adevăr sistemul din figura 3.7.1.2.5 implementază relaţia (242).De aceea se poate afirma că transformarea "wavelet" inversă este implementată decătre sistemul din figura 4.7.1.2.5. Şi transformarea "wavelet" inversă este otransformare liniară.Algoritmul lui Mallat este un algoritm piramidal deoarece la fiecare iteraţie a sa(proiecţie pe spaţiile V- k , W- k din spaţiul V- k +1) numărul de eşantioane al secvenţelorobţinute este jumătate din numărul de eşantioane ale secvenţei iniţiale Dacă se consideră o singură iteraţie din transformatele "wavelet" directă şi inversă sepoate obţine sistemul de analiză - sinteză din figura 5.7.1.2.5.Blocul de analiză face codarea semnalului [ ]a no în două subbenzi. Aceasta estelegătura dintre teoria funcţiilor "wavelet" şi sistemele de codare în subbenzi. Astfel desisteme sunt descrise în [79].

Sistemul din figura 2.7.1.2.5, codează semnalul [ ]a no în m + 1 subbenzi.Modul în care se face acestă codare este descris în [76]. Câteva aplicaţii interesante alesistemelor de decimare şi interpolare sunt prezentate în [75].

Utilizarea unor astfel de sisteme face legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet"şi teoria sistemelor "multirating" [142]. Algoritmul lui Mallat şi-a găsit dejanumeroase aplicaţii. O parte dintre acestea vor fi prezentate în capitolele următoare.

Figura 3.7.1.2.5. Sistem de sinteză care implementează relaţia (242).


Figura 5.7.1.2.5 Sistem de analiză şi sinteză cu funcţii "wavelet"

Figura 4.7.1.2.5 Sistemul numeric care implementază transformarea "wavelet" inversă.

198 7.1.2.6 Derivarea şi integrarea în analizele multirezoluţie

7.1.2.6 DERIVAREA ŞI INTEGRAREA ÎN ANALIZELE MULTIREZOLUŢIE

În paragraful 7.1.2.2 au fost prezentate câteva propoziţii al căror scop eraconstrucţia unor noi analize multirezoluţie pornind de la o anumită analizămultirezoluţie, deja cunoscută. Acestea sunt: teorema 2.7.1.2.2, teorema 3.7.1.2.2 şiteorema 4.7.1.2.2. În acest paragraf se arată că şi operatorii de derivare şi integrare potfi folosiţi în acelaşi scop. Fie funcţia de scară ϕ τ( ). Transformata sa Fourier poate ficalculată folosind o relaţie de forma:

( )F ϕ ωω

= m =

no n

12

∞

De aceea transformata Fourier a derivatei ϕ τ'( ) poate fi pusă în forma:

( )F 'ϕ ω ωω

= j m =

−

∞

no n

12

Ţinând însă seama de forma generală a răspunsului m ( )o ω :

m ( ) = + e

( )

o

j N

Pω ωω1

2


( )F 'ϕ ω ωω

ω

= j + e

= =

N

−

∞ ∞

n

n

n

j

nP1 1

1

2 2

2(244)

Dar:

n

njN

Nsinc

=

+ e

= 1

1

2 2

2∞

ω

ω(245)

Deci:

( )F 'ϕ ω ωω ω

= j =

−

∞

sinc PN

nn

2 21

(246)

Dar:


−

−

−

− − −j = j sinc = e e

ω

ωω

ω ω ωω ω

sinc sinc sincN N j j N

2 2 2 2

12 2

1

În consecinţă relaţia (246) se mai scrie:

( )F 'ϕ ωω ωω ω

= e e

=

− − ∞

−

j j N

nsinc Pn

2 21

2 21

sau pe baza relaţiei (245):

( )F 'ϕ ωωω ω

ω

= e e + e

=

−∞

−

−

j jj

N

nn

n

P2 22

1

1

1

2 2

Folosind notaţia:

1

11

2m ( ) =

+ e ( )

o

j N

Pω ωω

−

se obţine:

( )F 'ϕ ωωω ω

= e e m

=

−∞

−

j jo n

n

2 21

12

Fie 1ϕ τ( ) funcţia de scară corespunzătoare filtrului cu răspunsul în frecvenţă1m ( )o ω . Ultima relaţie devine:

( ) ( )F ' Fϕ ω ϕ ωω ω

= e e −

−

j j2 2

1

sau:

ϕ τ ϕ τ ϕ τ'( ) = +1 11

2

1

2−

−

Având în vedere că 1ϕ τ( ) este o funcţie de scară rezultă că şi ϕ τ'( ) este o funcţie descară. Mai multe despre legătura dintre operatorii de derivare şi conceptul de analizămultirezoluţie pot fi găsite în [135] şi în [97].

200 7.1.2.7 Variaţiuni pe tema bazelor ortonormate de funcţii “wavelet”

7.1.2.7 VARIAŢIUNI PE TEMA BAZELOR ORTONORMALE DE FUNCŢII"WAVELET" CU SUPORT COMPACT

În articolul său [43], Ingrid Daubechies revine asupra subiectului bazelorortonormale de funcţii "wavelets" cu suport compact. În acest articol autoarea studiazăurmătoarele probleme:

1. Creşterea simetriei funcţiilor ϕ şi ψ,2. Creşterea localizării în frecvenţă,3. Creşterea numărului de momente nule ale funcţiilor ϕ şi ψ.

1. Nu pot fi determinate funcţii de tipul "wavelets mother" cu suport compact,înafara funcţiei ψ H , simetrice, deoarece filtrele m ( )o ω corespunzătoare nu pot aveacaracteristica de fază liniară. Totuşi având în vedere că pentru fiecare filtru m ( )

oD kω ,

k = , 2 10 există mai multe alegeri posibile (pentru k = 2, ecuaţia (229) are maimulte soluţii posibile) se poate pune problema care dintre acestea conduce la un filtrua cărui caracteristică de fază este cel mai apropiată de una liniară. De fapt numărul de

alegeri posibile este 2 2

N

.Fiecare dintre aceste alegeri presupune fixarea unei mulţimi

de rădăcini ale ecuaţiei:m ( ) =

oD kω 0 (247)

Acestea reprezintă o submulţime a mulţimii soluţiilor ecuaţiei:

m ( ) = oD kω

20 (248)

Dar elementele acestei mulţimi pot fi grupate în perechi de rădăcini complexconjugate. Fiecare element al mulţimii rădăcinilor ecuaţiei (247) aparţine unei perechide elemente (complex conjugate) din mulţimea rădăcinilor ecuaţiei (248). Bineînţelescă o altă alegere posibilă a filtrului m ( )

oD kω poate fi făcută alegând ca rădăcini ale

ecuaţiei (247) celelalte elemente ale perechilor din mulţimea rădăcinilor ecuaţiei(248).

În acest mod se obţine însă un răspuns în frecvenţă complex conjugat.Caracteristica de fază a acestuia este la fel de neliniară ca şi caracteristica de fază afiltrului de la care s-a pornit. În consecinţă numărul de alegeri posibile ale răspunsului

în frecvenţă m ( ) oD kω este de 2 2

1N

−

. De aceea pentru N = 2 şi N = 3 există o

singură alegere posibilă (pentru N = 2 este cea corespunzătoare relaţiei (230)).În tabelul următor sunt listaţi coeficienţii filtrelor cu răspunsurile în frecvenţăm ( )

oD kω care au caracteristica de fază cea mai apropiată de una liniară, pentru k

cuprins între 4 şi 10.

7 Discretizarea reprezentărilor liniare 201n c , N n n c , N n

N = 4 0 - 0.075765714789 N = 8 5 - 0,0272190299161 - 0,029635527645 6 - 0,0511945838102 0,497618667632 7 0,3644418948363 0,803738751805 8 0,7771857516994 0,297857795605 9 0,4813596512595 0,099219543576 10 - 0,0612733591676 0,012603967262 11 - 0,1432942383517 0,032223100604 12 0,007607487325

N = 5 0 0,027333068345 13 0,0316950878101 0,029519490926 14 - 5,4213233163560 e52 - 0,039134249302 15 0,0033824159513 0,199397533977 N = 9 0 0,0010694900324 0,723407690040 1 - 4,731544985873 e55 0,633978963456 2 0,0102640640276 0,016602105764 3 0,0088592674937 - 0,175328089908 4 0,0620777893028 - 0,021101834024 5 - 0,0182337707799 0,019538882735 6 - 0,191550831296

N = 6 0 0,015404109327 7 0,0352724880351 0,003490712084 8 0,6173384491402 - 0,117990186193 9 0,7178970827633 - 0,048311742373 10 0,2387609146074 0,491055941927 11 - 0,0545689584305 0,787641141028 12 5,834627463305 e46 0,337929421728 13 0,0302248788577 - 0,072637522786 14 - 0,0115282102078 - 0,021060292512 15 - 0,0132719677819 0,044724901770 16 6,197808890541 e4

10 0,001767711864 17 0,00140091522511 - 0,007800708324 N = 10 0 7,701598089417 e4

N = 7 0 0,002681814568 1 9,563267176371 e51 - 0,001047384888 2 - 0,0086412992742 - 0,012638303403 3 - 0,0014653825833 0,030515513165 4 0,0459272392144 0,067892693501 5 0,0116098939105 - 0,049552834937 6 - 0,1594942788246 0,017441255087 7 - 0,0708805357967 0,536101917090 8 0,4716906667438 0,767764317004 9 1,7695100368539 0,288629631751 10 0,383826761145

10 - 0,140047240442 11 - 0,03553674029811 - 0,107808237703 12 - 0,03199005682112 0,004010244871 13 0,04999497206813 0,010268176708 14 0,005764912044

N = 8 0 0,001889950332 15 - 0,0203549397991 - 3,0292051455170 e4 16 - 8,043589343686 e42 - 0,014952258336 17 0,0045931735823 0,003808752014 18 5,703608432707 e54 0,261269214029 19 4,593294204519 e4

Tabelul 1.7.1.2.7. Coeficienţii filtrelor Daubechies cu faza cea mai apropiată de una liniară.

202 7.1.2.7 Variaţiuni pe tema bazelor ortonormale de funcţii “wavelet”

În figura 1.7.1.2.7 sunt date câteva exemple de funcţii de scară respectiv defuncţii de tipul "wavelets mother" generate folosind tabelul de mai sus.

Figura 1.7.1.2.7. Funcţiile de scară şi wavelets mother de tip Symmlet pentru N cuprins între 2 şi 10.


Rezultatele obţinute sunt valabile în ipoteza că la o valoare a lui N impusă, funcţiaN ψ τ( ) are N momente nule şi lungimea suportului funcţiei N ψ τ( ) este 2N - 1. Dacăse acceptă o lungime mai mare pentru suportul funcţiei N ψ τ( ), atunci aceasta poate fifăcută să fie şi mai simetrică [43].

În paragraful 7.1.2.4 au fost utilizate doar filtre (cu răspunsurile în frecvenţăm ( )ok

ω , m ( )1kω ) cu răspunsuri la impuls funcţii reale. În [64] se afirmă că dacă

răspunsurile la impuls sunt funcţii complexe, atunci se pot construi funcţii N ϕ şi N ψperfect simetrice.

Răspunsul la impuls [ ]m no este simetric dacă este îndeplinită condiţia:

[ ] [ ]m n = m no o N − −1

Cu N s-a notat numărul de coeficienţi nenuli ai răspunsului la impuls, [ ]m no . Ultimarelaţie se scrie în domeniul frecvenţă în forma:

( )m ( ) = e m ( ) o

j Noω ωω− − −1 (249)

În cazul construcţiei funcţiilor "wavelets mother", cu suport compact, generatoare debaze ortonormale ale lui ( )L2 R propuse de Ingrid Daubechies, descrisă maidevreme, se folosea descompunerea:

m ( ) = m ( ) m ( ) = m ( ) m ( )*o o o o oω ω ω ω ω

2−

deoarece funcţia [ ]m n0 era considerată reală.Dacă se renunţă la această ipoteză atunci:

[ ]m ( ) = m n e* *

= o o

j n

n

N

ω ω

0

1−

∑Cu notaţia:

[ ]m ( ) = m n e**

= o o

j n

n

N

ω ω−−

∑0

1


m ( ) = m ( )**o oω ω− (250)


De aceea pentru determinarea zerourilor funcţiei m ( )o ω , zerourile polinomuluiQ( )ω (definit în relaţia (226)) trebuiesc realocate în acord cu relaţia:

m ( ) m ( ) = ( )*o o Qω ω ω− (251)

Realocarea trebuie făcută în aşa fel încât să fie satisfăcută relaţia (249).

2. Problema îmbunătăţirii localizării în domeniul frecvenţă a funcţiilor "wavelet",elemente ale unor baze ortonormale ale spaţiului ( )L2 R este analizată în [32].

Transformatele Fourier a funcţiilor "wavelets mother" ψ, generatoare de bazeortonormale ale spaţiului ( )L2 R se concentrează într-o anumită bandă de frecvenţe .De exemplu pentru funcţia lui Meyer, ψ τM ( ), (definită prin relaţia (161)), banda de

frecvenţe este cuprinsă în intervalul 2

3

8

3

π π,

.

În cazul funcţiilor "wavelets mother" introduse de Ingrid Daubechies suportulfrecvenţial nu este finit, deoarece acestea au suport temporal compact. Totuşitransformatele lor Fourier au viteză mare de scădere în interiorul intervalului:

π ω π ≤ ≤ 2

De aceea se poate afirma că lungimea efectivă a benzilor de frecvenţe aleacestor funcţii este de ordinul de mărime al unei octave. Această localizarefrecvenţială este datorată alegerii valorii 2 pentru factorul de dilatare ao (definit înparagraful 7.1.2).

Uneori se doreşte o localizare frecvenţială mai bună. În continuare se prezintădouă metode pentru creşterea localizării frecvenţiale a funcţiilor generatoare de bazeortonormale de funcţii "wavelet", inspirate din teoria cadrelor pe mai multe voci(descrisă la sfârşitul paragrafului 7.1.2).

Deoarece valoarea lăţimii de bandă de o octavă este impusă de valoarea 2 afactorului de dilatare, rezultă că o cale naturală de a obţine o lăţime de bandă maiîngustă este să se utilizeze un factor de dilatare de valoare mai mică, de exemplu 3 2.

Din nefericire, folosind factori de dilatare neîntregi nu pot fi construite analizemultirezoluţie descrise de funcţii de scară cu suport compact, care să genereze funcţii"wavelets mother" cu suport compact.

Pentru a = o 3 2, spaţiul Vo ar trebui să fie generat de baza

( ) o n Zϕ τ −

∈n

iar spaţiul V1 de baza

32

32o

n Z

ϕ τ −

∈

n

.

Ţinând seama de faptul că Vo este inclus în V1 rezultă că se pot scrie relaţiile:


o n on

o n on

ϕ τ ϕ τ

ϕ τ ϕ τ

( ) = c n

( ) = c n

,

,

1

2

32

132

−

− −

∑

∑(252)

Dacă funcţia oϕ τ( ) ar avea suport compact, atunci secvenţele c, 1 n şi c , 2 n ar trebui săfie de durate finite.

Trecând în domeniul frecvenţă, relaţia (252) devine:

( )

( )

F F

F F

o n oj n

n

jo n o

j n

n

ϕ ω ϕ ω

ϕ ω ϕ ω

ω

ω ω

= c e

e = c e

,

,

1

23

2

23

23

23

23

23

−

− −

∑

∑(253)


u = 23ω

se poate scrie:

( )

( )

32

32

32

32

1

32

2

u = c e u

e u = c e u

,

,

F F

F F

o nj u n

on

j uo n

j u no

n

ϕ ϕ

ϕ ϕ

−

− −

∑

∑(254)

Rezultă:

( )c e u = e c e,

,

1

32

2nj u n

on

j un

j u n

n

− −∑ ∑F ϕ (255)

Dacă secvenţele c, 1 n şi c , 2 n ar fi de durată finită, atunci transformatele lor Fourier întimp discret ar trebui să fie polinoame de variabilă e − ju . Notând polinomul asociatsecvenţei c, 1 n cu ( )P ju e − relaţia (255) se scrie:


( ) ( )P Qj u j u j u e = e e − −32

sau cu schimbarea de variabilă:e = − j u v

( )( )

P vQ vv

= 3 2

Dar, chiar dacă ( )Q v este un polinom, ( )P v nu mai este o funcţie polinomială. Înconsecinţă ipoteza făcută (că secvenţele c, 1 n şi c , 2 n sunt de durată limitată) este falsă.Deci funcţia oϕ τ( ) nu poate avea suport compact. La fel se întâmplă pentru oricevaloare neîntreagă a factorului de dilatare, ao. Deci nu poate fi vorba ca o singurăfuncţie oϕ cu suport compact să genereze o analiză multirezoluţie a lui ( )L R2 cu ao

de valoare fracţionară. S-ar putea construi o astfel de analiză multirezoluţie pornind dela mai multe funcţii oϕ , aşa cum sugerează modelul cadrului pe mai multe voci.

A doua metodă de creştere a localizării frecvenţiale a funcţiei "waveletsmother" cu suport compact generatoare de baze ortonormale a lui ( )L R2 este bazatăpe folosirea unor factori de dilatare întregi, de valoare superioară lui 2. Pentruconstrucţia unei analize multirezoluţie folosind un factor de dilatare N (N > 2) estenecesară o funcţie de scalare ϕ şi N - 1 funcţii "wavelets mother" diferite ψl,l = , 1 1N − . Funcţia de scară trebuie să satisfacă o condiţie de forma:

( )o n on

Nϕ τ ϕ τ( ) = a n−∑ (256)

Trecând în domeniul frecvenţă se obţine:

( ) F Fo nj

Nn

noN N

ϕ ω ϕωω

= a e 1 −∑

Folosind notaţia:

m ( ) = a e o n

j n

nNω ω1 −∑



( ) F Fo o oN Nϕ ω

ωϕ

ω = m

(257)

Funcţiile ψ τl( ), l = , 1 1N − se exprimă ca şi combinaţii liniare ale elementelor

mulţimii ( ) o n ZNϕ τ −

∈n

.

Presupunând că funcţiile oϕ şi ψl, l = , 1 1N − au suporturi compacterezultă că există polinoame trigonometrice ( )l m l =ω , 1 1, N- care să satisfacă relaţiide forma:

( ) F Fψ ωω

ϕω

l l = m N No

Mulţimea ( ) ( ) ( ) o N n ZNϕ τ ψ τ ψ τ− − −− ∈

n , n , ... , n 1 1 generează spaţiul iVo al

analizei multirezoluţie iniţiale. Mulţimea ( ) o n ZNϕ τ −

∈n

generează spaţiul nVoo al

spaţiului Vo, iar mulţimea ( ) ψ τl n−

∈n Z generează subspaţiul nWol al spaţiului Vo.

În continuare se prezintă modul în care se face trecerea de la o analizămultirezoluţie obişnuită la o analiză multirezoluţie cu N = 4. Analiza multirezoluţieiniţială este generată cu ajutorul filtrului numeric cu răspunsul în frecvenţă m ( )o ω .

Pe baza sa se construiesc 4 noi filtre:

o o o

o

o

m( ) = m ( ) m ( )m( ) = m ( ) m ( )m( ) = m ( ) m ( )m( ) = m ( ) m ( )

ω ω ωω ω ωω ω ωω ω ω

2222

1 1

2 1 1

3 1

(258)

unde:m ( ) = e m ( + ) *

1 ω ω πωjo (259)

Cu ajutorul filtrului om( )ω se generează nVoo . Cu ajutorul filtrelor l m( )ω ,

l = , 1 3 se generează subspaţiile nWo, l.Condiţia ca toate aceste subspaţii să fie ortogonale între ele este ca matricea

M ( )ω , al cărei elemente sunt:


( )M kl , l( ) = m + k , l = , ; k = , ω ωπ

− −

1

24

1 1 4 1 4

să fie unitară pentru orice valoare a lui ω , [32]. Această condiţie poate fi verificatăprin calcul. (Se foloseşte relaţia: m ( ) + m ( + ) = o oω ω π

2 21).

Funcţia de scară a noii analize multizeroluţie se determină cu formula:

( ) ( )F n op

op

=

= m ϕ ω ω1

4∞

−

Dar:( ) ( ) ( )( )o

po

p

o

pm = m m4 2 22 2 1− − − −ω ω ω

De aceea:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )F Fn op

op

o

p

po

po n

=

=

= m m = m = ϕ ω ω ω ω ϕ ω1

2 2 1

1

2 2 2∞

− − −∞

−

În consecinţă:n o o n ( ) = ( ) ϕ τ ϕ τ (260)

Prin scalare cu 4 şi translaţie cu întregi se obţin mulţimile ( ) n om

k Z kϕ τ4 −

∈.

Acestea sunt baze ortonormale în spaţiile nVm,o ale noii analize multirezoluţie. SpaţiileiVp ale analizei multirezoluţie iniţiale erau generate de bazele ortonormale

( ) Z ko

pk

ϕ τ2 −∈

.

Se constată că este valabilă relaţia:

iV2 m = nVm,o (261)

Funcţiile "wavelets mother" ale noii analize multirezoluţie au transformatele Fourierdate de expresiile:

( ) F Fψ ωω

ϕω

l l = m , l = , 4 4

1 3

o

Pentru l = 1 se obţine:


( ) F Fψ ωω

ϕω

1 1 4 4 = m

o


( ) F Fψ ωω ω

ϕω

1 1 2 4 4 = m m

o o (262)

Dar în cazul analizei multirezoluţie iniţială era valabilă relaţia:

( ) F Fo o oϕ ωω

ϕω

= m 2 2

În consecinţă relaţia (262) poate fi rescrisă în forma:

( ) F Fψ ωω

ϕω

1 1 2 2 = m

o (263)

Dar acestea sunt tocmai relaţia de definiţie a funcţiei "wavelets mother" asociatăanalizei multirezoluţie iniţiale, ψ. În consecinţă:

( )ψ τ ψ τ τ1( ) = ( ), R∀ ∈

De aceea se poate scrie:iW2 m = nWm, 1

Pentru l = 2 se poate scrie:

( ) F Fψ ωω

ϕω

2 2 4 4 = m

o


( ) F Fψ ωω ω

ϕω

2 1 14 2 4 = m m

o

adică:

( ) F Fψ ωω

ψω

2 1 2 2 = m

(264)


În sfârşit, pentru l = 3 se poate scrie:

( ) F Fψ ωω

ϕω

3 3 4 4 = m

o

sau:

( ) F Fψ ωω ω

ϕω

3 1 4 2 4 = m m

o o

adică:

( ) F Fψ ωω

ψω

3 2 2 = m o

(265)

Mulţimile ( ) ψ τ2 4mk Z

−∈

k

generează spaţiul nW2 m, 2 iar mulţimile

( ) ψ τ3 4mk

−∈

k Z

generează spaţiul nW2 m, 3.

Funcţiile ψ1 şi ψ2 nu aveau nici o semnificaţie în analiza multirezoluţieiniţială. Ele sunt însă elementele din noua analiză multirezoluţie iniţială care aulocalizarea frecvenţială îmbunătăţită. În cadrul noii analize multirezoluţie se poatescrie:

n m o n m o n m n m n mV V W W W, , , , , = − − − −⊕ ⊕ ⊕1 1 1 1 2 1 3

Ţinând seama de legătura dintre elementele analizei multirezoluţie iniţială şielementele noii analize multirezoluţie ultima relaţie devine:

i m i m i m n m n mV V W W W2 2 2 2 2 1 2 1 3 , , = − − − −⊕ ⊕ ⊕

sau ţinând seama de legătura dintre elementele analizei multirezoluţie iniţială şielementele descompunerii ortogonale asociate, ultima relaţie devine:

i m i m n m n mV V W W2 2 1 1 2 1 3 , , = − − −⊕ ⊕

În consecinţă spaţiile nW m-1, 2 şi nW m-1, 3 trebuie să satisfacă relaţia:

i m n m n mV W W2 1 1 2 1 3 , , = − − −⊕ (266)


În figura 2.7.1.2.7 se face o prezentare schematică a celor două analize multirezoluţiestudiate, i m m

V Z

∈şi n m m

V Z∈, în scopul comparării lor.

Pe baza relaţiei (266) cele două scheme din figura 2.7.1.2.7 pot fi echivalate cuschema din figura 3.7.1.2.7. Se constată faptul că toate subspaţiile Wm de indice imparcorespunzătoare analizei multirezoluţie iniţială, iW2 m -1, se descompun în câte douăsubspaţii corespunzătoare noii analize multirezoluţie nW m -1, 2 şi nW m -1, 3. În timp ce

spaţiile iW2 m -1 sunt generate de baza ortonormală ψ τ2 1m k k− ∈, Z( ) , spaţiile nW m -1,

2 şi nW m -1, 3 sunt generate de bazele ortonormale ( ) ψ τ214 m

k−

∈− k

Z respectiv

( ) ψ τ314 m

k−

∈− k

Z. Pe baza relaţiilor (264) şi (265) se constată că semnalele

ψ τ2( ) şi ψ τ3( ) se obţin prin filtrarea semnalului ψτ

2

folosind filtrele cu

răspunsurile în frecvenţă m1 2

ω

şi mo

ω2

.Despre funcţia ψ τ( ) s-a presupus mai

devreme că transformata sa Fourier se concentrează în banda de frecvenţă [ ]π π, 2 . În

consecinţă spectrul semnalului ψτ

2

se concentrează în banda [ ]2 4π π, .

Figura 2.7.1.2.7 O comparaţie a celor două analize multirezoluţie prezentate.


Sistemele cu răspunsurile în frecvenţă m ( )o ω şi m ( )1 ω sunt filtre numerice de tip

trece jos respectiv trece sus. De aceea funcţiile mo

ω2

şi m1 2

ω

se concentrează în

intervale de forma ( )[ ]2 2 1 k , k + π π respectiv ( ) ( )[ ]2 1 2 2 k + , k + π π ,k Z∈ . În consecinţă spectrele semnalelor ψ τ2( ) şi ψ τ3( ) se concentrează înintervalele: [ ]2 3π π, respectiv [ ]3 4π π, . Se constată că lungimea acestor intervaleeste egală cu jumătate din lungimea intervalului [ ]2 4π π, . De aceea se spune călocalizarea frecvenţială a funcţiilor ψ τ2( ) şi ψ τ3( ) este de ordinul unei semioctave.

Iată cum pot fi construite noi descompuneri ortogonale ale spaţiului ( )L2 Rbazate pe utilizarea unor funcţii "wavelet" cu localizarea frecvenţială îmbunătăţită.

Subspaţiile Wm de indice par, corespunzătoare analizei multirezoluţie iniţială,iW2 n, sunt identice cu subspaţiile nW m -1 corespunzătoare noii analize multirezoluţie.

Figura 3.7.1.2.7 O reprezentare echivalentă a celor două analize multirezoluţie.


În continuare se arată cum poate fi îmbunătăţită construcţia anterioară,descompunând fiecarea spaţiu iWm, corespunzător analizei multirezoluţie iniţială, încâte două subspaţii corespunzătoare noii analize multirezoluţie. În acest scop se vordemonstra pentru început câteva rezultate ajutătoare. Relaţia:

[ ] [ ] [ ]m n m n+ k = ko on

21

2∑ δ (267)

reprezintă primul dintre aceste rezultate.Demonstraţia acestei relaţii se bazează pe faptul că mulţimea

o nϕ τ( n)

Z−

∈ este o bază ortonormală a spaţiului Vo şi pe faptul că funcţia

generatoare a spaţiului V- 1, oϕτ

2

se poate exprima în forma:

[ ] ( )1

2 2 = m n nϕ

τϕ τ

−∑ o

n(268)

Mulţimea 1

2 2 n

Zϕ

τ−

∈n

este o bază ortonormală a spaţiului V- 1. De aceea se

poate scrie:

[ ]1

2 2

1

2 2 , k = kϕ

τϕ

τδ

−


[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]2 2 2 m n n , m p k p = kon

op

ϕ τ ϕ τ δ− − −∑ ∑adică:

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]m n m p n k p = k*o o

pn∑∑ − − −ϕ τ ϕ τ δ2

1

2

sau:

[ ] [ ] [ ]m n m n k = k*o o

n−∑ 2

1

2δ (269)


Dacă se consideră că funcţia [ ]m no este reală atunci se poate afirma că relaţia (267) afost demonstrată.

Cel de-al doilea rezultat ajutător se referă la funcţiile:

( ) [ ] ( )

( ) ( ) [ ] ( )

1

2

2

2 1 1

ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

= m n n

= m n n

on

no

n

−

− − −

∑

∑

Se poate afirma că mulţimea ( ) ( ) 1 22 2ψ τ ψ τ− −∈

n n n Z , este o altă bază

ortonormală a spaţiului Wo.În continuare se demonstrează această afirmaţie. Pentru început se verifică

ortonormalitatea mulţimii considerate.

Cazul I

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ] [ ] ( )[ ] [ ]

1 12 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 21

2

ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

δ

− − − − − −

− − − −

− − ⋅ −

∑ ∑

∑∑

∑ ∑

n , m = p n p , q m q =

= p q n p , m q =

= p n m+ p = p p+ n m = n m

*

*

m m

m m

m m m m

op

oq

o oqp

o op

o op

Deci: ( ) ( ) [ ]

1 12 2ψ τ ψ τ δ n , m = n m− − −

Cazul II

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )2 22 2 2 1 1 1 1 2ψ τ ψ τ ψ τ− − − − − − − −∑∑n , m = m p m q n p ,po

qo

qp

( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )[ ] m q = m p m p n m =ψ τ − − − − − − − −+ −∑2 2 1 1 1 1 22po

p n mo

p

[ ] ( )[ ]= m p m p n m2 1 1 2o op

− − − −∑


sau făcând transformarea de indice:

l = p1−ultima relaţie devine:

( ) ( ) [ ] ( )[ ] [ ]2 22 2 2 2 21

2ψ τ ψ τ δ− − − ⋅ −∑n , m = m l m l + m n = m n

lo o

Deci: ( ) ( ) [ ]

2 22 2ψ τ ψ τ δ n , m = m n− − −

Cazul III

De fapt:

[ ]2 12ψ τ ψ τ( ) = m n ( n) −∑

n

deoarece:

[ ] ( ) [ ]m n = m n1 1 1− −no

De aceea:

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( )

[ ] [ ]1 1

1

2 2 2 2 2

2 2 2

ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ− − − − − −

−

∑∑

∑

n , m = m p m q n p , m q =

= m p m p+ n m

2 oqp

op

(270)

Dar:

[ ] [ ] ( )[ ]m p m p+ n m = r n m, op

m mo1 2 2 21

− −∑unde cu r , m mo 1

s-a notat intercorelaţia secvenţelor reale [ ]m no şi [ ]m n1 .Întrucât:

[ ] ( ) ( )[ ]r k + +21

2↔ R RΩ Ω π

ţinând seama de expresia transformatei Fourier discrete a unei funcţii deintercorelaţie, se poate scrie:


[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) r k m m + m + m +, * *

m m o oo 12

1

2 1 1↔ Ω Ω Ω Ωπ π

Dar conform relaţiei (198), membrul drept al ultimei relaţii este identic nul. Înconsecinţă:

( )∀ ∈ n Z şi ( )∀ ∈ m Z ( )[ ]r n m = , m mo 12 0−

Pe baza relaţiei (270) rezultă că:

( ) ( )1 22 2 0ψ τ ψ τ− −n , m = (271)

Deci mulţimea ( ) ( ) 1 22 2ψ τ ψ τ− −∈

n , n Zn

este ortonormată. Mai rămâne să se

demonstreze că această mulţime este completă în Wo.Pentru aceasta ar trebui să dovedim că orice funcţie de forma:

( ) ( )[ ]x ( ) = c n + c no n nn

τ ψ τ ψ τ1 1 2 22 2− −∑

este un element al lui Wo.Pe baza relaţiei (269) relaţia (271) devine:

[ ] ( )

( ) [ ] ( )

x ( ) = c m p n p +

+ c m q n q

o n opn

nq

oqn

τ ψ τ

ψ τ

2 2

2 1 1 2

1

2

∑∑

∑∑

− −

− − − −(272)

Deci semnalul x ( )o τ este o combinaţie liniară a elementelor mulţimii:( ) ψ τ −

∈k

Zk. Dar aceasta este bază ortonormală în Wo. În consecinţă orice semnal

din Wo poate fi pus în forma (272). Deci mulţimea considerată este completă. Înconsecinţă ea este o bază ortonormală a lui Wo. Pe baza faptului că Wm k Z∈

este o

descompunere ortogonală a lui ( )L2 R rezultă că mulţimea:

( ) ( )2 2 2 2 2 221

22

mm

mm

m n

ψ τ ψ τ− −

∈ ∈

n , nZ, Z


este o bază ortonormală a spaţiului ( )L2 R .Atfel s-a demonstrat că spaţiul iWm poate fi descompus în subspaţiile

ortogonale nWm, 1 şi nWm, 2 generate de bazele ortonormale:

( )2 2 221

mm

n

ψ τ −

∈

n Z

şi ( )2 2 222

mm

n

ψ τ −

∈

nZ

Mai rămâne să se studieze localizarea în frecvenţă a funcţiilor 1ψ τ( ) şi 2ψ τ( ).Trecând în domeniul frecvenţă relaţia (269) devine:

( ) ( )

( ) ( )

F F

F F

1

2 1

2

2

ψ ω ω ψ ω

ψ ω ω ψ ω

= m ( )

= m ( ) o

(273)

Având în vedere că funcţia m ( )o ω descrie un filtru trece jos şi că funcţia m ( )1 ωdescrie un filtru trece sus, rezultă că funcţia ( )F 1ψ ω se localizează în partea stângăa zonei de localizare a funcţiei ( )F ψ ω şi că funcţia ( )F 2ψ ω se localizează înpartea dreaptă a zonei de localizare a funcţiei ( )F ψ ω . De aceea se poate afirma căfuncţiile 1ψ şi 2ψ sunt mai bine localizate decât funcţia ψ. O descompunere a spaţiului

( )L2 R care foloseşte tehnica prezentată mai sus este schematizată în figura 4.7.1.2.7.

Figura 4.7.1.2.7 O nouă descompunere ortogonală a spaţiului ( )L R2 .


În continuare se dă un exemplu de construcţie a funcţiilor 1ψ şi 2ψ. Săconsiderăm că funcţia ψ ar fi funcţia wavelet de tip Haar:

ψ τ ψ τ( ) = ( )H

şi să considerăm că filtrele m ( )o ω şi m ( )1 ω ar fi cele introduse de IngridDaubechies:

[ ]m n =

+ , n =

+ , n =

, n =

, n =

, in rest

oD 2

1 3

80

3 3

81

3 3

82

1 3

83

0

−

−

Se obţin funcţiile:

12 2

1 3

831 3

81

33 1

82

1 3

83

DH H H

H H

ψ τ ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

( ) = +

( ) + +

( ) +

+ ( ) +

( )

−

−−

−−

22 2

1 3

82 3

3 1

81

33 1

8

1 3

81

DH H H

H H

ψ τ ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

( ) =

( + ) ( + ) +

+ +

( ) +

( )

−−

−

− −

cu graficele din figura 5.7.1.2.7:


Figura 5.7.1.2.7 Un exemplu de construcţie a unor funcţii “wavelets” mai binelocalizate în frecvenţă decât funcţia lui Haar.


Se compară spectrele semnalelor ψ τH ( ), 12D

H ( )ψ τ şi 2

2DH

( )ψ τ .

( ) ( ) ( )F/

/

/

/

/

/

ψ τ ω τ τω ω

ω ω

ω τ ω τ ω τ ω τ

ω τ ω τω

ωω

Hj j j j

j j j j j

( ) = e d e d =j

d e +j

d e =

= j

e e = j

e e + e =

=j

− − − −

− − − − −

∫ ∫ ∫ ∫− −

− −

− − −

0

1 2

1 2

1

0

1 2

1 2

1

0

1 2

1 2

12 2

1 1

1 11

1

ω ωω

ωω

ωω ω

ωω

ω

ωω

ωω

ω ω

ω ωω

1 2 22

22

21

2

4 41

4

44

44

22 2

22 2

22 2

+ e e = ej

= ej

=

= ej

= ej

= je

− −− −

− −−

−

−

−

− −

−

j jj j

j jj

cos cos

cos sin sinsin

sin

Deci:

( )F ψ τ ωω ωω

Hj

sinc sin( ) = j e −2

4 4(274)


( ) ( )

( )

= m ( ) =

= + e +

+

e j e =

= e + + +

e j e

F F12

2

2

2 2

2

21

2

1 3

2

1 3

2 4 4

2

84

21 3 1

1 3

1 3

2

DH o H

jj j

j j j

D

sinc sin

cos

ψ ω ω ψ ω

ω ω

ω

ωω

ω

ω ωω

−− −

− − −

−

−

( )

=

= j e + +

e +

sinc sin

sinc sinj j

ω ω

ω ωωω

4 4

2

21

1 3

1 3 4 41 3

3

2− −−

(275)

S-a obţinut:

( ) = F ψ ωω ω

H sinc sin4 4

(276)

( ) ( )

( )

F 12

2 22

21 3 1

1 3

1 3

1 3

1 3 4 4

2

21 3 1

4 2 3

4 2 321 3

1 3 4 4

DH cos sin sinc sin

cos sinc sin

ψ ω ω ωω ω

ωω ω

= ++

++

+ =

= ++

+ +

+−

−

+−

−

(277)


Pentru a compara localizările în frecvenţă ale funcţiilor ψ τH ( ) şi 12D

Hψ τ( ) sereprezintă graficele modulelor spectrelor lor folosind acelaşi sistem de coordonate, înfigura 6.7.1.2.7.

OBSERVAŢII1. În cazul în care se doreşte o localizare în frecvenţă şi mai bună, atunci procedura dedescompunere a elementelor descompunerii ortogonale se poate repeta. Spaţiul Wopoate fi descompus în 2M subspaţii fiecare dintre acestea având baza ortonormală

l Z( n) , l = , ψ τ −

∈2 1 2M M

n.

2. Funcţiile 12D

H ( )ψ τ şi 2

2DH

( )ψ τ sunt cazuri particulare de funcţii de tipul"wavelet packets" introduse de Coifman şi Meyer. Acest tip de funcţii va fi descrisîntr-un paragraf ulterior.3. În paragraful 7.1.2.4. a fost formulată condiţia ca o funcţie de tipul "wavelets

mother" să aibă o regularitate impusă pe baza anulării momentelor de ordinul m aleacestei funcţii, (233):

Figura 6.7.1.2.7 Localizarea în domeniul frecvenţă a funcţiei 12D

Hψ τ( ) este superioară

localizării funcţiei ψ τH ( ).


τ ψ τ τm ( ) d = , m = , r

0 1− ∞

∞

∫ (278)

Uneori este important ca şi funcţia de scară ϕ care generează funcţia ψ din relaţia demai sus să aibă câteva momente nule.

În acest scop este utilă condiţia:

τ ϕ τ τm ( ) d = , m = , r

0 1− ∞

∞

∫ (279)

după cum se poate vedea din exemplul următor.Fie semnalul x ( )o τ din Vo. Descompunerea sa în baza Riesz a spaţiului Vo

ϕ τ( k) Z

−∈k

este :

x ( ) = x ( ), ( k) ( k)o ok

τ τ ϕ τ ϕ τ− −∑ (280)

Coeficienţii acestei descompuneri sunt:

x ( ), ( k) = x ( ) ( k) d

o oτ ϕ τ τ ϕ τ τ− −− ∞

∞

∫ (281)

Funcţia ϕ τ( ) s-a presupus reală.Descompunerea în serie Taylor a semnalului x ( )o τ în jurul punctului k este:

( )

( ) ( )

x ( ) = x (k) + k

! x ( ) +

k!

x ( ) + +

+ k

r! x ( ) +

' =

'' =

=

o o o k o k

r

or

k

ττ

ττ

τ

ττ

τ τ

τ

− −

−1 2

2

K

K

Având în vedere că funcţia ϕ τ( ) se localizează în timp în jurul momentului 0,funcţia ( )ϕ τ − k se va localiza în jurul momentului k , şi relaţia (281) devine:

x ( ), ( k) = x (k) + x (k) ( k) ( k) d + + '

o o oτ ϕ τ τ ϕ τ τ− − −

− ∞

∞

∫ K

( )

+ x (k)

r! ( k) ( k) d + ...

or

rτ ϕ τ τ− −− ∞

∞

∫



( )

x ( ), ( k) = x (k) + x (k)

r! ( k) ( k) d + ... x (k)

o o

or

roτ ϕ τ τ ϕ τ τ− − − ≅

− ∞

∞

∫În consecinţă coeficienţii descompunerii semnalului x ( )o τ în baza lui Vo (relaţia(280)) pot fi aproximaţi cu ajutorul eşantioanelor semnalului considerat, x (k)o .

Această proprietate este foarte importantă deoarece conduce la posibilitateaanalizei semnalului x ( )o τ (care este un semnal în timp continuu) cu ajutorulcalculatorului numeric.

Într-adevăr, relaţia (280) devine:

x ( ) x (k) ( k)o ok

τ ϕ τ≅ −∑ (282)

Este deci suficient să fie cunoscută varianta discretizată x (k)o a semnalului x ( )o τpentru ca aceasta din urmă să poată fi reconstruit.

Mai mult, algoritmul lui Mallat poate fi iniţializat cu semnalul în timp discret[ ]x ko şi transformarea "wavelet" discretă a acestuia poate fi utilizată pentru calculul

transformării "wavelet" continuă a semnalului x ( )o τ .Iată cum poate fi utilizat un algoritm rapid (este vorba despre algoritmul lui

Mallat), pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă sau timp-factor de scară de tip"wavelet" a semnalului x ( )o τ . Evident aproximarea din relaţia (282) este cu atât maibună cu cât valoarea lui r este mai mare. Ar fi de dorit aşadar ca funcţia de scară ϕ τ( )să aibă cât mai multe momente nule.

Principala limitare a metodei de calcul numeric a reprezentării bidimensionalede tip "wavelet" descrisă mai sus este că aceasta presupune ca semnalul x ( )o τ să fiederivabil şi să aibă cel puţin r derivate.

În continuare se studiază cum pot fi construite funcţiile ϕ şi ψ astfel încât săaibă suport compact şi să fie îndeplinite condiţiile:

ϕ τ τ

τ ϕ τ τ

τ ψ τ τ

( ) d =

( ) d = , l = ,

( ) d = , l = ,

l

l

1

0 1 1

0 0 1

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫

∫

−

−

L

L

(283)


Trebuie observat că prin creşterea numărului de momente nule ale funcţiei ϕ(relaţia 279), creşte şi simetria acestei funcţii.

În onoarea profesorului Ronald Coifman, cel care a fost primul care a observatutilitatea acestui tip de funcţii "wavelet" cu acelaşi număr de momente nule ca şifuncţiile de scară din care provin, aceste funcţii "wavelet" au fost numite "coiflet" deordinul L [43]. Condiţiile din relaţia (283) se scriu în domeniul frecvenţă, în forma:

( )

( )

( )

F

F

F

ϕ

ωϕ ω

ωψ ω

0 1

0 1 1

0 0 1

=

dd

= , l = ,

dd

= , l = ,

l

l

l

l

L

L

−

−

(284)

Pe baza acestor condiţii pot fi formulate condiţiile corespunzătoare pentru răspunsurileîn frecvenţă m ( )o ω şi m ( )1 ω .

Acestea sunt:

( ) ( )

( )( ) ( )

m + = , l = , m =

m = , l = ,

l

l

o

o

o

L

L

ω π 0 0 1

0 1

0 0 0 1

−

−

(285)

Se caută răspunsuri în frecvenţă de forma:

( )m ( ) = + e

o

j L

Qω ωω1

2

(286)

Ultima relaţie este identică cu relaţia (223). De aceea vor fi satisfăcute condiţiile(198). Datorită ultimelor condiţii din relaţia (285), m ( )o ω trebuie să fie în acelaşitimp de forma:

( ) ( )m ( ) = + e o

j L Sω ωω1 1 − (287)

unde ( )S ω este un polinom în e j ω . Modul în care se construieşte polinomul ( )Q ωa fost deja prezentat în paragraful 7.1.2.4. Trebuie rezolvată ecuaţia:


( ) ( ) ( )1

21 1

+ e = + e

jj LQ S

ωωω ω

− (288)

în care necunoscuta este polinomul ( )S ω . Coeficienţii acestui polinom pot fi obţinuţipe baza relaţiei (288) prin identificare. În acest mod se obţine un sistem de ecuaţii.Acest sistem poate fi rezolvat direct pentru valori ale lui L inferioare lui 6. Pentruvalori mai mari trebuie folosite metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecuaţii.Aceste sisteme de ecuaţii au fost rezolvate în [43] pentru L cu valori între 2 şi 10.Rezultatele sunt prezentate în tabelul 2.7.1.2.7 pentru L cuprins între 2 şi 6.

L n [ ]m no L n [ ]m no

2 - 2 - 0,51429484095 4 -9 -0.00268241867100-1 0,238929728471 -8 0.005503126709000 0,602859456942 -7 0.016583560479001 0,272140543058 -6 -0.046507764479002 - 0,051429972847 -5 -0.043220763560003 - 0,011070271529 -4 0.28650333527400

3 -5 0.01158759673894 -3 0.56128525687000-4 -0.02932013797985 -2 0.30298357177300-3 -0.04763959030976 -1 -0.05077014075500-2 0.27302104653363 0 -0.05819625076200-1 0.57468239385412 1 0.024434094321000 0.29486719369452 2 0.011229240962001 -0.05408560709173 3 -0.006369601011002 -0.04202648046079 4 -0.001820458916003 0.01674441016291 5 0.000790205101004 0.00396788361298 6 0.000329665174005 -0.00128920335599 7 -0.000050192775006 -0.00050950539899 8 -0.00002446573400

5 -11 0.00063096104600 6 -1 0.02919587949708-10 -0.00115222485200 0 0.02311077699769-9 -0.00519452402600 1 -0.01397368789860-8 0.01136245924400 2 -0.00648008999935-7 0.01886723537800 3 0.00478300139952-6 -0.05746423442900 4 0.00172065469983-5 -0.03965264851700 5 -0.00117582219988-4 0.29366739089500 6 -0.00045122699996-3 0.55312645256200 7 0.00021372979998-2 0.30715732619800 8 0.00009937759999

Tabelul 2.7.1.2.7 Coeficienţii filtrelor generatoare ale funcţiilor de scară respectiv “waveletsmother” de tip Coiflet

2267.1.2.7 Variaţiuni pe tema bazelor ortonormale de funcţii “wavelet”

-1 -0.04711273886500 9 -0.000029232100000 -0.06803812705100 10 -0.000015072000001 0.02781364015300 11 0.000002640800002 0.01773583743800 12 0.000001459300003 -0.01075631851700 13 -0.000000118400004 -0.00400101288600 14 -0.000000067300005 0.000895594529006 -0.000416500571007 -0.000183829769008 0.000044080354009 0.00002208285700

10 -0.0000023049420011 -0.00000126217500

6 -15 -0.00014996379998-14 0.00025356119998-13 0.00154024569985-12 -0.00294111079971-11 -0.00716378189928-10 0.01655206639835-9 0.01991780429801-8 -0.06499726279350-7 -0.03680007359632-6 0.29809232347019-5 0.54750542934525-4 0.30970684896903-3 -0.04386605079561-2 -0.07465223889254

Tabelul 2.7.1.2.7 (continuare) Coeficienţii filtrelor generatoare ale funcţiilor de scară respectiv“wavelets mother” de tip Coiflet.

Nici coeficienţii lui ( )Q ω , descris în paragraful 7.1.2.4, nu pot fi determinaţi decâtnumeric pentru valori mai mari ale lui N. Câteva tehnici numerice utile în acest scopsunt prezentate în raportul de cercetare [139]. In figura următoare sunt prezentatefuncţiile de scară respectiv funcţiile “wavelets mother” de tip “Coiflet”corespunzătoare valorilor lui L cuprinse între 2 şi 5.


Figura 7.7.1.2.7 Cateva exemple de funcţii de scară respectiv “wavelets mother “de tip “Coiflet”.

228 7.1.2.8 Baze biortogonale de funcţii "wavelet"

7.1.2.8 BAZE BIORTOGONALE DE FUNCŢII "WAVELET"

Aceste baze sunt o generalizare a bazelor ortogonale prezentate în paragrafeleanterioare. Construcţia lor este inspirată de legătura dintre mulţimile de tip cadru

ψ τm n m n, Z, Z( )

∈ ∈ şi ~ψ τm n m n, Z, Z

( )∈ ∈

introduse în paragraful 7.1.2.

Utilitatea lor rezultă din proprietăţile suplimentare (faţă de cele ale bazelorortonormale) date de structura generalizată.Astfel:

- aceste mulţimi pot fi generate de funcţii simetrice,- lungimea suporturilor funcţiilor de analiză, respectiv de sinteză poate fi

diferită.În paragraful 7.1.2.5 s-a evidenţiat legătura dintre bazele ortonormale de

funcţii "wavelet" şi tehnica codării în subbenzi.În figura 5.7.1.2.5 a fost prezentat un sistem de reconstrucţie perfectă, în urma

codării în subbenzi, bazată pe funcţii wavelet. Se observă că în ambele secţiuni aleacestui sistem (de analiză şi de sinteză) se folosesc practic două tipuri de filtre,descrise de răspunsurile la impuls [ ]m no şi [ ]m n1 . Întrebarea firească este dacă nuexistă sisteme cu răspuns finit la impuls (fie acestea: [ ]m no , [ ]~m n1 , [ ]~m no şi [ ]m n1 )care să poată fi utilizate într-o schemă de analiză sinteză mai generală, cum este deexemplu cea din figura 1.7.1.2.8

Figura 1.7.1.2.8 O schemă de analiză-sinteză cu funcţii "wavelet" generalizată.


Într-un paragraf anterior s-a vorbit despre cadrul dual unui cadru dat. La fel sepoate vorbi şi despre baza Riesz duală unei baze Riesz date. Baza Riesz

d nϕ τ( n)

Z−

∈ se zice că este duală bazei Riesz ϕ τ( n) Z−

∈n , dacă:

[ ] ( )ϕ τ ϕ τ δ( l), ( k) = l, k , (l, k) Z Z− − ∀ ∈ ×dFie:

( ) ( )

FF

dϕ τ ωϕ τ ω

ω( ) =

( )

m( )2 (289)

Propoziţie Mulţimea d kϕ τ( k)

Z−

∈ este baza Riesz duală a bazei Riesz

ϕ τ( l) l Z

−∈

, în Vo.

Demonstraţie Se verifică prima condiţie.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( l), ( k) = ( l) , ( k) =

= e ,e = e d

*

ϕ τ ϕ τπ

ϕ τ ω ϕ τ ω

πϕ ω ϕ ω

πϕ ω ϕ ω ωω ω ω

− − − −

− − − −

− ∞

∞

∫

d d

j l j ld d

j l k

1

2

1

2

1

2

F F

F F F F

sau ţinând seama de relaţia (289):

( ) ( ) ( )ϕ τ ϕ τ

πϕ ω

ϕ ω

ωωω( l), ( k) =

m( ) e d

*

− − − −

− ∞

∞

∫dj l k1

2 2FF

Descompunând integrala într-o sumă de integrale, care se calculează pe intervaledisjuncte de lungime 2π, se obţine:

( )

( )

( )

ϕ τ ϕ τπ

ϕ

ωωω

π

π

( l), ( k) = m( )

e d

+

= − − − −

−− ∞

∞

∫∑dj l k

n

n

n

1

2

2

22 1

2 1 F

sau, cu schimbarea de variabilă:

230 7.1.2.8 Baze biortogonale de funcţii “wavelet”

u = nω π− 2

( )

( )( ) ( )ϕ τ ϕ τ

π

ϕ π

ππ

π

π

( l), ( k) = u+ n

m u+ n e du +

= − − − −

− ∞

∞

−∑∫d

j u n l k

n

1

2

2

2

2

22

F

Ţinând seama de periodicitatea cu perioadă 2π a funcţiei m(u)2şi a exponenţialei

complexe, ultima relaţie devine:

( )( )ϕ τ ϕ τ

π

ϕ π

π

π

( l), ( k) = u+ n

m(u) e du =

− − − ∞

∞

− −

−

∑∫d

n j u l k1

2

22

2

F

În sfârşit, ţinând seama de definiţia funcţiei m(u)2, ultima relaţie devine:

( )ϕ τ ϕ τπ

π

π

( l), ( k) = e du

− − −

−∫d

j u l k1

2

Deoarece membrul drept al ultimei relaţii reprezintă o transformare Fourier în timpdiscret inversă, se obţine în final:

[ ]ϕ τ ϕ τ δ( l), ( k) = k l− − −d

În consecinţă propoziţia este demonstrată.În continuare se determină condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească cele

patru răspunsuri la impuls pentru ca sistemul din figură să fie unul de identitate.Ieşirile sistemului de analiză pot fi exprimate în forma:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

a n = a n m n = a l m n l

d n = a n m n = a l m n l

l

l

− →

− →

∗ −

∗ −

∑

∑

1 2

1 1 2 1

2

2

o o n n o o

o n n o

(290)

De aceea ieşirea sistemului de sinteză trebuie să aibă expresia:


[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

a n = a n m n + d n m n =

= a k m n k + d k m n k =

= a p m n p + d p m n p

o o

ok

op

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 12 2

− −

− −

− −

∗ ∗

− −

− −

∑

∑

~ ~

~ ~

~ ~

(291)

sau ţinând seama de relaţia (290), ultima relaţie se mai poate scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a n = m n p a l m p l + m n p a l m p ll l

o o o op

o~ ~− − − −∑∑ ∑2 2 2 21 1

sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a n = a l m n p m p l + m n p m p ll

o o o op

∑ ∑ − − − −

~ ~2 2 2 21 1

Folosind notaţia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]m n l = m n p m p l + m n p m p l− − − − −∑ ~ ~o o

p

2 2 2 21 1


[ ] [ ] [ ]a n = a n m no o ∗

E deci necesar ca:

[ ] [ ]m n = nδadică:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m n p m p l + m n p m p l = n l~ ~o o

p

− − − − −∑ 2 2 2 21 1 δ (291')

sau:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m p n m p l + m p n m p l = n l~ ~o o

p

∨ ∨− − − − −∑ 2 2 2 21 1 δ (292)


În continuare se stabilesc condiţiile corespunzătoare în domeniul transformăriiz. Pentru început se calculează:

( ) [ ] [ ] [ ]( )A n

no o n n

n

n− −

−→

−∑ ∑ ∗12

12

2

2z = a n z = a n m n z

Fie:[ ] [ ] [ ]a n m n = a no o n n

∗→2

2

Ultima relaţie devine:

( ) [ ][ ] ( ) [ ] ( )

( )

A A A

A M A M

n

n

n

n

n

o o o o

−− −∑ ∑ −

−

− −

12 22

1

2

1

2

1

2

z = a n z = a n + a n

z = (z) + ( z) =

= (z) (z) + ( z) ( z)

La fel se poate calcula şi D −12(z ). Condiţia (289) este deci echivalentă cu:

( )

( )

(z ) = (z) (z) + ( z) ( z)

(z ) = (z) (z) + ( z) ( z)

A A M A M

D A M A M

o o o o

o o

−

−

− −

− −

12

12

1 1

1

2

1

2

(293)

Luând în cei doi membri ai relaţiei (290) transformata z se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

(z) = a p m n p + d p m n p z =

= a p m n p z + d p m n p z =

= a p z (z)+ d p z (z) = (z ) (z)+ (z ) (z)

A

M M A M D M

o opn

n

po

n

nn

n

po

p

po

− −−

−−

−−

−−

−−

− −

− −

− −

∑∑

∑ ∑∑

∑

1 1 1

1 1 1

12

12

1 12

12

1

2 2

2 2

~ ~

~ ~

~ ~ ~ ~

Deci condiţia (290) este echivalentă cu:


A A M D Mo o(z) = (z ) (z)+ (z ) (z)− −12

12

1~ ~ (294)

Luând în relaţia (292) transformate z se obţine:

[ ] [ ] z (z) m p l + z (z) m p l = z l− − −− −∑ 2 21 12 2p

o op

p

M M~ ~

sau:[ ] [ ]~ ~

M Mo op p

pp

(z) m p l z + (z) m p l z = z l2 221 1

2− −− − −∑∑

adică:[ ] ( ) [ ] ( )~ ~

M Mo op p

pp

(z) m p l z + (z) m p l z = l l2 2 121 1

2− −− − − −∑∑

sau:~ ~M M M Mo o(z) (z ) + (z) (z )= 2

1 12 1 (295)

respectiv:

( ) ( )[ ]1

211 1 1 (z) (z)+ ( z) + (z) (z)+ ( z) = ~ ~M M M M M Mo o o − − (296)

ultima relaţie este satisfăcută şi dacă se respectă condiţiile:

(z) (z) + (z) (z) =

( z) (z) + ( z) (z) =

M M M M

M M M M

o o

o o

~ ~

~ ~

1 1

1 1

2

0− −

(297)

Particularizând transformata z la transformata Fourier în timp discret relaţia (297)devine:

m ( ) m ( ) + m ( ) m ( ) =

m ( + ) m ( ) + m ( + ) m ( ) =

o o

o o

ω ω ω ω

ω π ω ω π ω

~ ~

~ ~

1 1

1 1

2

0

(298)

Acest sistem poate fi rezolvat considerând că se cunosc funcţiile m ( )o ω şi m ( )1 ω .Înmulţind prima ecuaţie cu −m ( + )o ω π şi cea de a doua ecuaţie cu m ( )o ω

se obţine:


m ( + ) m ( ) m ( ) m ( + ) m ( ) m ( ) = m ( + )

m ( + ) m ( ) m ( ) + m ( ) m ( + ) m ( ) =

− − −

o o o o o

o o o o

ω π ω ω ω π ω ω ω π

ω π ω ω ω ω π ω

~ ~

~ ~

1 1

1 1

2

0

Adunând cele două ecuaţii rezultă:

( )~m ( ) m ( ) m ( + ) m ( + ) m ( ) = m ( + )1 1 1 2ω ω ω π ω π ω ω πo o o− −

sau:~m ( ) =

m ( + )

m ( ) m ( + ) m ( + ) m ( )11 1

2ω

ω πω ω π ω π ω

−−

o

o o

Înmulţind prima ecuaţie cu −m ( + )1 ω π şi cea de a doua cu m ( )1 ω se obţine:

− − −

m ( + ) m ( ) m ( ) m ( + ) m ( ) m ( ) = m ( + )

m ( + ) m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( ) m ( ) =

1 1 1 1 1

1 1 1 1

2

0

ω π ω ω ω π ω ω ω π

ω π ω ω ω π ω ω

o o

o o

~ ~

~ ~

Adunând cele două ecuaţii rezultă:

~m ( ) = m ( + )

m ( + ) m ( ) m ( + ) m ( )oo o

ωω π

ω π ω ω π ω−

−2 1

1 1

Dacă se consideră că:

m ( ) = e m ( + ) *1 ω ω πω− j

o

atunci:

( )

( )

m ( + ) m ( ) m ( + ) m ( ) =

= e m ( + ) e m ( ) m ( ) =

= e m ( + ) + m ( )

+

*

o o

jo

jo o

jo o

ω π ω ω π ω

ω π ω ω

ω π ω

ω ω π

ω

1 1

2

2 2

−

−− −

−

Soluţiile sistemului devin în acest caz:


~m ( ) = e m ( + )

m ( ) + m ( + )

1

1

2 2

2ω

ω π

ω ω π

ωjo

o

~m ( ) = - e m ( + )

m ( ) + m ( + )

o

j

o

ωω π

ω ω π

ω2 12

12

Dacă se face şi ipoteza suplimentară:

m ( ) + m ( + ) = o ω ω π2

1

21

atunci soluţiile sistemului devin:

~m ( ) = e m ( + ) = m ( ) *1 12 2ω ω π ωωj

o

( )~m ( ) = e m ( + ) = e e m ( ) = m ( ) * *o

j j jo oω ω π ω ωω ω ω− − − −2 2 1 21

În acest caz sistemul din figura 1.7.1.2.8 se reduce la cel din figura 5.7.1.2.5.Pentru obţinerea funcţiilor "wavelets mother" cu suport compact sunt

interesante sistemele (cu răspuns în frecvenţă m ( )o ω , m ( )1 ω , ~m ( )o ω şi ~m ( )1 ω )curăspuns finit la impuls. De aceea în continuare funcţiile m ( )o ω , m ( )1 ω , ~m ( )o ω şi~m ( )1 ω vor fi considerate polinoame în variabila e jω.

În relaţiile (297) şi (298) au fost obţinute sistemele de două ecuaţii cu patrunecunoscute. Pentru rezolvarea acestora trebuie impuse încă două condiţii. Încontinuare se fac câteva observaţii asupra sistemelor de ecuaţii obţinute. Pe bazaprimei ecuaţii din sistemul descris de (297) se constată că polinoamele (z)M o şi (z)M 1 nu pot avea rădăcini comune. Pe baza celei de a doua ecuaţii se constată căperechile ( z)M o − şi (z)

~M 1 respectiv ( z)M 1 − şi (z)

~M o trebuie să aibă rădăcini

comune. De aceea polinoamele (z)~M o şi (z)

~M 1 ar putea avea forma:

(z) = ( z) (z)

(z) = ( z) (z)

~

~

M M R

M M R

o

o

1

1

−

−

(299)

Cu această alegere prima ecuaţie din relaţia (297) devine:


M M R M M Ro o(z) ( z) (z) + (z) ( z) (z) = 1 1 2− − (300)

sau:M M M M Ro o(z) ( z) + (z) ( z) = (z)1 1

12− − − (301)

Dar membrul stâng (fiind un polinom în z) nu poate avea poli diferiţi de 0. De aceeapolinomul R(z) nu poate fi decât de forma:

R k(z) = zα

Deci relaţia (301) devine:

M M M Mo ok(z) ( z) + (z) ( z) = z1 1

12− − − −α (302)

iar relaţia (299) devine:

~

~

M M

M M

ok

ko

(z) = z ( z)

(z) = z ( z)

α

α

1

1

−

−

(303)

Sistemul descris de relaţia (297) este deci echivalent cu sistemul:

M M M M

M M

M M

o ok

ok

ko

(z) ( z) + (z) ( z) = z

(z) = z ( z)

(z) = z ( z)

1 11

1

1

2− −

−

−

− −α

α

α

~

~

(304)

Se constată că încă este necesară o condiţie suplimentară.Mai pot fi făcute câteva observaţii utile. Pentru k = 0 şi α = −1, relaţia (303)

devine:~

~

M M

M M

o

o

(z) = ( z)

(z) = ( z)

− −

− −

1

1

(305)

Se stabileşte semnificaţia ultimei relaţii în domeniul timp.


Prima ecuaţie se mai poate scrie:

[ ] [ ] ( )m n z = m n z on

n

n

n

∑ ∑− − −1 1

De aceea rezultă:

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]

~

~

m n = m n

m n = m n

+

+

on

no

−

−

1

1

11

11

(306)

În acest caz prima ecuaţie din relaţia (304) devine:

M M M Mo o(z) ( z) + (z) ( z) = 1 1 2− − − (307)

adică:

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]m n m n + m n m n = non n

o∗ − ∗ − −1 1 21 1 δ (308)

Dar:[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]m n m n = m k m n ko

no

n k

k

∗ − − −−∑1 11 1

sau cu schimbarea de variabilă:

n k = p−

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]m n m n = m n p m pon

op

p

∗ − − −∑1 11 1

iar:

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]m n m n = m p m n p1 11 1∗ − − −−∑no

n po

p


( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]− − − −−∑ 1 1 21p n p

op

+ m n p m p = nδ (309)

Dar conform relaţiei (306):


[ ] ( ) [ ]m p = m p111− +p

o~


( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]− − − −+ −∑ 1 1 22 1 1p no o

p

+ m n p m p = n~ δ (310)

După schimbarea de variabilă:

n = q2ultima relaţie ia forma:

[ ] [ ] [ ] m q p m p = qo op

2 −∑ ~ δ


n = p q− 2

obţinem :

[ ] [ ] [ ] m n m n+ q = qo on

−∑ ~ 2 δ (311)

Fiind vorba de filtru cu răspuns finit la impuls se poate scrie:

[ ]

[ ]

M z z

M z z

o on

n N

N

N

o on

n N

N

N

(z) = m n = p(z)

(z) = m n = q(z)

=

=

− −

− −

∑

∑

1

2

2

1

2

2~ ~

~

~

~

(312)

unde p(z) şi q(z) sunt două polinoame.Relaţia (307) devine:

( )z p(z) ( z) + (z) z p( z) = − − −− − − −N N NM M2 2 21 1 1 2 (313)

Dar folosind relaţia (305) se poate scrie:


( z) = (z) = z q(z)M M oN

12− − − −~ ~

( ) (z) = ( z) = z q( z)M M oN N

1 1 2 2− − − − −− −~ ~ ~

În consecinţă relaţia (313) devine:

( ) ( ) z p(z) z q(z) - z q( z) z p( z) =-− − − − − −− − − − −N N N N N N2 2 2 2 2 21 1 2~ ~ ~

adică:( ) ( ) ( ) ( ) z p(z) q(z) + z q( z) p( z) = − + − + − +− − −N N N N N N2 2 2 2 2 21 2

~ ~ ~

sau:( ) ( ) ( )( ) z p(z) q(z) + q( z) p( z) = − + − +− − −N N N N2 2 2 21 2

~ ~

(314)

Dacă se presupune că este o funcţie simetrică, cu axa de simetrie identică cuordonata sistemului de axe în care se reprezintă graficul funcţiei atunci:

− = N N2 1

În acest caz relaţia (414) devine:

( )( ) z p(z) q(z) + p( z) q( z) = N N N N1 2 2 21 2− −− − −~ ~

(315)

Având în vedere că p(z), q(z), p( z)− şi q( z)− sunt polinoame în z rezultă că estenecesar ca:

N N1 2 0− < ~ (316)

O demonstraţie asemănătoare conduce la concluzia că:

~N N1 2 0− < (317)

Se poate demonstra că diferenţele ~N N2 1− şi N N2 1− ~ trebuie să fie numereimpare, [31].În consecinţă, există filtre cu răspuns finit la impuls funcţie reală, simetrice care pot fifolosite în schema din figura 1.7.1.2.8. Pentru construcţia lor pot fi utilizate relaţiilededuse în introducerea în acest capitol.


În continuare se stabileşte legătura dintre teoria codării în subbenzi şi teoriabazelor biortogonale de funcţii "wavelet". Această teorie se bazează tot pe noţiunea deanaliză multirezoluţie. Această legătură a fost evidenţiată pentru prima dată în [58].

Se consideră două analize multirezoluţie ale spaţiului ( )L2 R . Vj j Z∈ şi

~Wm m Z∈, generate de funcţiile de scară ϕ şi ~ϕ . Fie spaţiile W m şi

~W m constituite

ca şi complemente (neortogonale) ale spaţiilor Vm şi ~Vm :

V V W

V V W

m m m

m m m

=

=

− −

− −

⊕

⊕

1 1

1 1~ ~ ~

(318)

Cele două analize multirezoluţie se numesc duale dacă sunt îndeplinite condiţiile:

~V Wm m ⊥ şi ~W Vm m ⊥ (319)

O consecinţă imediată a relaţiei (319) este:

~W Wm m '⊥ pentru m m ≠ (320)

Într-adevăr pentru m m'<

W V Wm m m' ⊂ ⊥ ~

Deci:W Wm m

' ⊥ ~

Pentru m m'>

~ ~W V Wm m m⊂ ⊥ '

Deci:~W Wm m '⊥

În continuare se lucrează în ipoteza că se respectă condiţia de dualitate.Condiţia (318) se mai exprimă şi în forma:

~ϕ ψm k m l, , , = 0 şi ~ψ ϕm k m l, , , = 0 (321)


unde:

( ) ( )ϕ τ ϕ τ ψ τ ψ τm k

mm

m k

mm

, , ( ) = k , ( ) = k2 2 2 22 2− −

( ) ( )~ ~ ~ ~ϕ τ ϕ τ ψ τ ψ τm k

mm

m k

mm

, , ( ) = k , ( ) = k2 2 2 22 2− −

Cu ~ s-au marcat funcţiile duale.Mai mult, funcţiile duale trebuie să satisfacă şi condiţiile:

[ ]~ϕ τ ϕ τ δ( ), ( l) = l− şi [ ]~ψ τ ψ τ δ( ), ( l) = l− (322)

Se poate demonstra prin calcul că ultima relaţie este echivalentă cu:

[ ]~ ' 'ϕ τ ϕ τ δm l m l, , '( ), ( ) = l l ; l, l , m Z− ∈ (323)

Condiţia (322) şi relaţia (320) conduc la condiţia:

[ ] [ ]~ ' ' ' 'ψ τ ψ τ δ δm l m l, ' , '( ), ( ) = m m l l ; l, l , m, m Z− − ∈ (324)

Condiţiile de biortogonalitate de mai sus se exprimă în domeniul frecvenţă în forma:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

F ~ F

F ~ F

F ~ F

F ~ F

ϕ ω π ϕ ω π

ψ ω π ψ ω π

ψ ω π ϕ ω π

ϕ ω π ψ ω π

+ k + k =

+ k + k =

+ k + k =

+ k + k =

*

*

*

*

2 2 1

2 2 1

2 2 0

2 2 0

k

k

k

k

∑

∑

∑

∑

( )∀ ∈ Rω (325)

Deoarece funcţia ~ϕ τ ( ) defineşte o analiză multirezoluţie, ea trebuie să satisfacă ocondiţie de forma:

[ ] ( )~ ~ ~ϕ τ ϕ τ ( ) = m k k2 2ok

−∑ (326)


Având în vedere condiţiile impuse spaţiilor ~Vm , funcţia ~ψ trebuie să satisfacă ocondiţie de aceeaşi formă:

[ ] ( )~ ~ ~ψ τ ψ τ ( ) = m k k2 21 −∑k

(327)

Considerând că analiza multirezoluţie Vm este generată de filtrul cu răspunsul laimpuls [ ]m no şi că spaţiile Wm sunt generate de filtrul cu răspunsul la impuls [ ]m n1 ,condiţiile (325) se exprimă în forma echivalentă:

~

~ ~

~ ~

~

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

* *

* *

* *

* *

o o o o

o o

o o

ω ω ω π ω π

ω ω ω π ω π

ω ω ω π ω π

ω ω ω π ω π

1

1

0

0

1 1 1 1

1 1

1 1

( )∀ ∈ Rω (328)

Sistemul de ecuaţii de mai sus poate fi exprimat în forma matricială:

~ ~

~ ~m ( ) m ( + )

m ( ) m ( + )

m ( ) m ( )

m ( + ) m ( + ) =

* *

* *

o o o

o

ω ω πω ω π

ω ωω π ω π1 1

1

1

1 0

0 1

(329)

Folosind notaţiile:

~~ ~

~ ~M Mo o o o

( ) = m ( ) m ( + )

m ( ) m ( + ) ; ( ) =

m ( ) m ( + )

m ( ) m ( + )ω

ω ω πω ω π ω

ω ω πω ω π1 1 1 1

(330)

relaţia (329) devine:( ) ( )~

M M UTω ω = *

⋅ (331)unde U este matricea unitate de ordinul 2. Ultima relaţie se poate scrie şi în forma:

( ) ( )M M UT* = ω ω⋅ ~

Aceasta conduce la sistemul de ecuaţii:

m ( ) m ( ) + m ( ) m ( ) =

m ( ) m ( + ) + m ( ) m ( + ) =

* *

* *

o o

o o

ω ω ω ω

ω ω π ω ω π

~ ~

~ ~

1 1

1 1

1

0

(332)

Sistemul (332) este similar cu sistemul (197). Această similitudine face legătura dintreteoria codării subbandă şi teoria bazelor biortogonale de funcţii wavelet.Trebuie remarcat că în cazul bazelor ortonormale matricea ( )M ω este unitară.


Rezolvând sistemul din relaţia (332), pe baza regulii lui Cramer, se obţine:

~

~

m ( ) = m ( + )

( )

m ( ) = m ( + )

( )

*

*

*

*

o

o

ωω πω

ωω πω

1

1

∆

∆−

(333)

unde cu ∆( )ω s-a notat determinantul matricii ( )M ω .Relaţia (333) arată cum se generează spaţiile ~Vm şi ~W m pornind de la spaţiile

Vm şi Wm. Proiecţiile semnalului x( )τ , de energie finită, pe spaţiile Vm şi Wm secalculează cu relaţiile [76]:

x ( ) = x( ), ( ) ( )

d ( ) = x( ), ( ) ( )

, , l

, , l

m m l m l

m m l m l

τ τ ϕ τ ϕ τ

τ τ ψ τ ψ τ

~

~

∑

∑

(334)

Mai mult, în [31] este demonstrată următoarea propoziţie:Teorema 1.7.1.2.8. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:Există constantele pozitive ε şi C astfel încât:

( ) ( )

( ) ( )

F

F ~

ϕ ω ω

ϕ ω ω

ε

ε

+

+

≤

≤

− −

− −

C

C

1

1

1

2

1

2

(335)

atunci orice funcţie x din ( )L2 R poate fi descompusă în forma:

x( ) = x, ( ) = x, ( ), , ,

, , ,

τ ψ ψ τ ψ ψ τ~ ~m k m k

m km k m k

m k∑ ∑ (336)

În aceeaşi lucrare se demonstrează şi Teorema 2.7.1.2.8 Dacă:


( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )

ψ τ ϕ τ

ψ τ ϕ τ

( ) = m n + n

( ) = m n + n

2 1 1 2

2 1 1 2

− −

− −

∑

∑

no

nn

on

~

~ ~ (337)

atunci mulţimea ψ τm k m k, , Z( )

∈ reprezintă un cadru în ( )L2 R . Cadrul dual

este mulţimea ~ψm k m k, Z, Z∈ ∈. Mai mult, mulţimile ψm k k, Z∈

şi

~ψm k k, Z∈ constituie două baze Riesz ale căror elemente îndeplinesc condiţia

(324), dacă şi numai dacă este îndeplinită condiţia (322).Se poate afirma că algoritmul lui Mallat poate fi aplicat şi în cazul bazelor

biortogonale. Transformarea "wavelet" discretă directă poate fi calculată cu ajutorulsistemului din figura 2.7.1.2.5. Pentru calculul transformării inverse se poate folosisistemul din figura 4.7.1.2.5, dar sistemele cu răspunsurile la impuls [ ]m no şi [ ]m n1

trebuiesc înlocuite cu sistemele cu răspuns la impuls [ ]~m no şi [ ]~m n1 .În continuare se prezintă câteva exemple de baze biortogonale. În [31] se

alege pentru funcţia ∆( )ω expresia:

∆( ) = e ω ω− j (338)


~ ~

~

m ( ) = e m ( + ) m ( ) = e m ( + )

m ( ) = e m ( + )

* *

*

oj j

o

jo

ω ω π ω ω π

ω ω π

ω ω

ω

− −

−

⇔ −

−

1 1

1

(339)

Relaţia (338) se poate generaliza pe baza următoarei propoziţii enunţate de C. Chui,[21].

Teorema 3.7.1.2.8 Fiind date filtrele cu răspuns finit la impuls cu răspunsurile înfrecvenţă m ( )o ω şi ~m ( )o ω atunci filtrele cu răspuns finit la impuls cu răspunsurile înfrecvenţă m ( )1 ω şi ~m ( )1 ω conduc la construcţia de baze biortogonale dacă şi numaidacă sunt de forma:

[ ]~ ~m ( )= e m ( + ) k( ); m ( ) = e m ( + ) k ( ) * *1 1

12 2ω ω π ω ω ω π ωω ω− − −jo

jo


unde k( ) ω ≠ 0, ( )∀ ∈ Rω şi răspunsul la impuls al filtrului cu răspunsul înfrecvenţă k( )ω este de clasă l '.

Primul exemplu se referă la cazul funcţiilor spline. Se va nota cu N ϕ τ ( )funcţia "B-spline" de ordinul N translatată astfel încât nodurile sale să apară la absciseîntregi. Expresiile primelor 3 astfel de funcţii sunt:

1ϕ τ ϕ τ ( ) = ( )N

2

1 1 0

1 0 1

0

ϕ ττ ττ τ ( ) =

+ , ,

, in rest

− ≤ ≤− ≤ ≤

( )

( )3

2

2

2

1

21 0

1

2

3

40 1

2

21 2

0

ϕ τ

ττ

τ τ

ττ

( ) =

+,

+ ,

,

, in rest

− ≤ ≤

− −

≤ ≤

−≤ ≤

(340)

Fiecăreia dintre funcţiile N ϕ τ ( ) i se pot asocia mai multe funcţii ~N N,

( )ϕ τ .Diferenţa dintre aceste funcţii este dată de lungimea suportului fiecăreia, care depindede numărul înteg ~N . În tabelul următor sunt prezentate expresiile polinoamelorN om ( )ω şi ~ ~

N N o, m ( )ω asociate acestor funcţii.

Tabelul 1.7.1.2.8 Câteva răspunsuri în frecvenţă de filtre biortogonale

N N om ( )ω ~N ~

~N N o,

m ( )ω

1 ( )1

21 + e − jω 1 ( )1

21 + e − jω - conduce la baza Haar


3

5

− −− − − e

+ e

+ + e

+ e e 2 2 3

16 16

1

2 2 16 16

j j j j jω ω ω ω ω

e e e e + +

e+ e e e + e

3

256

3

256

11

128

11

128

1

2

2

11

128

11

128

3

256

3

256

4 3 2

2 3 4 5

j j j j

jj j j j

ω ω ω ω

ωω ω ω ω

− − −

− −−

− − − −

2 ( )1

42e + + e j jω ω− 2

4

6

8

− − −1

8

1

4

3

4

1

4

1

82 2 e + e + + e + e j j j jω ω ω ω

3

128

3

64

1

8

19

64

45

64

45

64

19

64

1

8

3

64

3

128

4 3 2

2 3 4

e e e + e + e +

+ + e e e e

j j j j j

j j j j

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω

− −

− − −− − − −

− − −

− − −

− −

− − − −

5

1024

5

512

17

512

39

512

123

1024

81

256

175

256

81

256

123

1024

39

512

17

512

5

512

5

1024

6 5 4 3

2 2

3 4 5 6

e + e + e e

e + e + + e + e

+ e e e e

j j j j

j j j j

j j j j

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

(2 35 70 300 670

1228 3126 3796 10718

15 8 7 6 5

4 3 2

− − −

− −

e e e + e +

+ e e e + e +

j j j j

j j j j

ω ω ω ω

ω ω ω ω

+ + e e e + 22050 10718 3796 3126 12282 3− − −− −j j jω ω ω

) e + e + e e + e − − − − −−4 5 6 7 8670 300 70 35j j j j jω ω ω ω ω

Tabelul 1.7.1.2.8 (continuare)


3 5

7

− − −

−

−

− −

− − − −

5

512

15

512

19

512

97

512

13

256

175

256

175

256

13

256

97

512

19

512

15

512

5

512

5 4 3 2

2

3 4 5 6

e + e e e +

+ e + + e e

e + e + e + e

j j j j

j j j

j j j j

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

(

)

2 35 105 195 865

336 3489 307 11025

11025 307 3489 336

865 195 105 35

14 7 6 5 4

3 2

2 3 4

5 6 7 8

−

− − − −

− − − −

− −

− −

− −

− −

e e e + e +

+ e e e + +

+ e e e + e +

+ e e e + e

j j j j

j j j

j j j j

j j j j

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

Tabelul 1.7.1.2.8 (sfârşit)

Polinoamele m ( )1 ω şi ~m ( )1 ω se construiesc folosind relaţiile:

[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]

m n = m n

m n = m n

11

11

1 1

1 1

− −

− −

−

−

no

no

~ ~(341)

sau pe baza relaţiei (339). Trebuie remarcat faptul că funcţiile N ϕ , ~ ~N N,

ϕ , N ψ, ~ ~N N,

ψsunt reale, au suport compact şi sunt simetrice. De asemenea se observă că filtreleN om ( )ω , ~ ~

N N o, m ( )ω , N m ( )1 ω , ~ ~

N N, m ( )1 ω , au caracteristică de fază liniară şi că toţi

coeficienţii lor sunt raţionali, numitoarele acestor numere fiind puteri ale lui 2.Această din urmă calitate conduce la implementări numerice mai rapide aletransformărilor "wavelet" discrete (directă şi inversă) în cazul în care se utilizeazăaceste baze biortogonale de funcţii wavelet. Dezavantajul funcţiilor duale de acest tip(~ ~N N,

ϕ ,~ ~N N,

ψ) este că regularitatea lor este redusă, în special pentru valori mici ale lui

N şi ~N . În [30] baza biortogonală de funcţii "wavelet". Este făcută legătura dintreaceastă teorie şi metoda de prelucrare multirezoluţie a imaginilor bazată pe folosireafiltrului lui Burt.

248 7.1.2.8 Baze biortogonale de funcþii “wavelet”

Alte exemple sunt prezentate în [112]. Performanţele filtrelor cu răspunsurileîn frecvenţă m ( )o ω şi ~m ( )o ω , m ( )1 ω şi ~m ( )1 ω introduse în acest articol suntsuperioare celor prezentate anterior.

În [141] se prezintă o modalitate de construcţie a bazelor biortogonale defuncţii "wavelet" bazată pe algoritmul lui Euclid.

Trebuie remarcat că la fel ca şi în cazul bazelor ortonormale de funcţii"wavelet" şi în cazul bazelor biortogonale de funcţii "wavelet" se poate pune problemacreşterii localizării în domeniul frecvenţă a funcţiilor "wavelets mother" obţinute. Şi înacest caz se poate pune problema unor valori ale factorului de dilatare ao superioare lui2. În paragraful 7.1.2.7 s-a arătat că în cazul bazelor ortonormale pot fi generate noianalize multirezoluţie, pornind de la o analiză multirezoluţie dată, generată de funcţiade scară oϕ , prin utilizarea funcţiei de scară ( )

o Nϕ τ şi a N - 1 funcţii de tip"wavelet" ψ τl( ), l = , 1 1N − . Unele dintre aceste funcţii "wavelet's mother"generatoarea descompunerii ortogonale corespunzătoare analizei multirezoluţieconsiderată. Şi în cazul bazelor biortogonale poate fi folosită o astfel de metodă degenerare a noi şiruri de subspaţii n m mW Z∈

asociate unei analize multirezoluţie

impusă. O astfel de construcţie este prezentată în [9].Pornind de la funcţia ϕ τ( ) şi ~ϕ τ( ) care generează analizele multirezoluţie

i m mV

Z∈ şi i m m

V~ Z∈

care satisfac condiţiile pentru construcţia unor baze

biortogonale de funcţii "wavelet" ((318), (319), (320), etc.), pot fi construite funcţiilenϕ τ( ), n~ϕ τ( ), ψ τl( ) şi ~ψ τl( ), l = , 1 1N − , care generează prin scalare cu N şitranslatare spaţiile n mV , n mV

~ , n mW , l, n mW~

, l.De fapt aceste spaţii sunt generate de funcţiile:

( ) ( )

( )

( )

n m k

mm

n m k

mm

m k

mm

m k

mm

N N N N

N N

N N

N

ϕ τ ϕ τ ϕ τ ϕ τ

ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τ

, ,

l, , l

l, , l

( ) = k , ( ) = k

( ) = k

( ) = k

l = ,

2 2

2

2

1 1

− −

−

−

−

~ ~

~ ~

(342)

Cu ajutorul fiecărui şir de astfel de spaţii poate fi realizată o descompunere alui ( )L2 R :

n m n m m m NV V W W = ... , , − − − −⊕ ⊕ ⊕1 1 1 1 1 ,

n m n m mV V W~ ~ ~

= , − −⊕ ⊕1 1 1 K ... , ⊕ − −~W m N1 1 ,


( )∪ ∪ ∪ ∪−

∈

−

∈l = Z , l l = , l = = R1

1

1

1 2N

mn m

N

m Zn mW W L~ (343)

De aceea orice semnal de energie finită x( )τ poate fi exprimat în forma:

x( ) = x, ( ) =

= x, ( )

l, , Z Zl =

l, ,

l, , Z Zl =

l, ,

τ ψ ψ τ

ψ ψ τ

~

~

m kkm

N

m k

m kkm

N

m k

∈∈

−

∈∈

−

∑∑∑

∑∑∑

1

1

1

1(344)

Construcţia funcţiilor nϕ τ( ), n~ϕ τ( ), ψ τl( ) şi ~ψ τl( ), l = , 1 1N − este descrisă în[9]. Este demonstrată şi proprietatea de biortogonalitate. În acest caz transformarea"wavelet" discretă poate fi calculată folosind sistemul din figura 2.7.1.2.8.

Figura 2.7.1.2.8 Sistem de calcul (două iteraţii) al transformării "wavelet" discretă, în cazulfuncţiilor "wavelet" biortogonale când factorul de scalare ao este egal cu N.


Transformarea "wavelet" inversă se calculează cu sistemul prezentat în figura3.7.1.2.8. La sistemele prezentate în ultimele două figuri se poate ajunge şi urmând ocale care nu iese din contextul prelucrării semnalelor în timp discret. Astfel se poateporni de la noţiunea de analiză multirezoluţie a semnalelor în timp discret. Aceastănoţiune a fost definită de Oliver Rioul în [121].

Legătura dintre teoria funcţiilor "wavelet" şi teoria băncilor de filtre numericeeste prezentată în [29]. În [126] este făcută legătura dintre conceptul de analizămultirezoluţie a semnalelor în timp discret şi teoria băncilor de filtre numerice.Rezultă scheme identice cu cele din figurile 2.7.1.2.8 şi 3.7.1.2.8.

Exemple de filtre cu răspunsurile în frecvenţă m ( )o ω , ~m ( )o ω , m ( ), l1 ω şi~m ( ), l1 ω , l = , 1 1N − şi cu răspuns finit la impuls sunt prezentate în [8]. Exemplede filtre cu răspuns infinit la impuls care au acelaşi scop sunt prezentate în [9]. Noileanalize multirezoluţie obţinute n m mV Z∈

şi n m mV~

Z∈ pot avea performanţe

superioare analizelor multirezoluţie iniţiale i m mV

Z∈ şi i m m

V~ Z∈

.

Figura 3.7.1.2.8 Sistem de calcul al transformării "wavelet" discretă inversă, corespunzătoaretransformării implementate în sistemul din figura 2.7.1.2.8.


Se poate pune, de exemplu, problema alegerii acelei analize multirezoluţiecare să realizeze cea mai bună aproximare, de rezoluţie m ,din punct de vedere al eroriimedii pătratice a unui semnal dat. Această problemă este rezolvată cu ajutorulanalizelor multirezoluţie n m mV Z∈

, n m mV~

Z∈ . O modalitate modernă de

construcţie a bazelor biortogonale de funcţii "wavelet" este bazată pe metoda numită"lifting scheme" (schema de înfrumuseţare prin operaţie estetică). Această metodă esteprezentată în [133]. Ea porneşte de la observaţia următoare:Lema 1.7.1.2.8 (Vetterli-Herley) Se fixează o funcţie de scară cu suportcompact ϕ şi fie [ ]m no filtrul cu răspuns finit la impuls asociat acesteia:

( )F ϕ ωω

= m = n

o n1

2

Se consideră două filtre cu răspuns finit la impuls [ ]~m no şi [ ]~m noo , duale în raport cu

[ ]m no , ambele biortogonale în raport cu [ ]m no :

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

m ( ) m ( ) + m ( + ) m ( + ) =

* *

* *

o o o o

o oo

o oo

ω ω ω π ω π

ω ω ω π ω π

~ ~

~ ~

1

1

cu:m ( ) = m ( ) = m ( ) = o o o

o0 0 0 1~ ~

care conduc la construcţia funcţiilor ~ϕ şi ~ϕo cu ajutorul cărora pornind de la funcţia ϕpot fi construite două perechi de baze biortogonale de funcţii "wavelet". Atunci,răspunsurile în frecvenţă ~m ( )o ω şi ~m ( )o

o ω sunt legate prin relaţia:[ ] m ( ) = m ( ) + e m ( + ) s( ) *~ ~

o oo j

oω ω ω π ωω− 2 (345)unde s( )ω este un polinom trigonometric.

Lema Vetterly-Herley are următorul corolar:Corolar 1.7.1.2.8 Fiind dată mulţimea m , m , m , m o o

o o~ ~1 1 de filtre

biortogonale cu răspuns finit la impuls, noua mulţime m , m , m , m o o~ ~

1 1 de filtrebiortogonale cu răspuns finit la impuls poate fi construită pe baza relaţiilor:

m ( ) = m ( ) + m ( ) s ( )*~ ~ ~o o

oω ω ω ω1 2 (346)

m ( ) = m ( ) m ( ) s( )1 1 2ω ω ω ω~ oo− (347)

unde s( )ω este un polinom trigonometric.


Procedeul de construcţie al noii mulţimi de filtre biortogonale cu răspuns finitla impuls se numeşte "lifting scheme". Acest procedeu conduce la construcţia unor noibaze biortogonale ale lui ( )L2 R . Modul în care se face această construcţie estedescris prin următoarea propoziţie.Teorema 4.7.1.2.8. (lifting scheme) Fiind dată mulţimea iniţială de funcţie descară şi funcţii "wavelet" biortogonale ϕ ϕ ψ ψ, , , ~ ~o o o , poate fi construită o nouămulţime de funcţii "formal" biortogonale ϕ ϕ ψ ψ, , , ~ ~ pe baza relaţiilor:

[ ] ( )ψ τ ψ τ ϕ τ( ) = ( ) sk ko

k

− −∑ (348)

[ ] ( ) [ ] ( )~ ~ ~ ~ϕ τ ϕ τ ψ τ( ) = m k k + s k k2 2oo

k k∑ ∑− − − (349)

[ ] ( )~ ~ ~ψ τ ϕ τ( ) = m k k2 21k

∑ − (350)

unde coeficienţii [ ]sk pot fi aleşi oricum.Trebuie remarcat că funcţiile obţinute sunt formal biortogonale. Teorema

4.7.1.2.8 nu garantează că funcţia ~ψ este în ( )L2 R sau că funcţiile "wavelets"obţinute generează o bază Riesz.

În consecinţă, pentru fiecare alegere a semnalului în timp discret [ ]sk trebuieverificate calităţile noilor funcţii ϕ , ψ şi ~ψ obţinute.

Dacă lungimea secvenţei [ ]sk este finită şi dacă filtrele iniţiale sunt curăspuns finit la impuls atunci toate cele 4 funcţii ϕ , ~ϕ , ψ şi ~ψ au suport compact.

Este interesant să se determine condiţii asupra semnalului în timp discret [ ]skastfel încât funcţiile ψ, ~ϕ şi ~ψ să aibă proprietăţi utile (să conducă la bazebiortogonale, să aibă cât mai multe momente nule, etc.).

În continuare se dă un exemplu de aplicare a metodei descrise. Pornind de lafuncţia ψ τH ( ) se încearcă, pe baza metodei descrise anterior, să se crească numărulde momente nule ale funcţiei "wavelet" de la 1 la 2. Întrucât este vorba despre adescompunere ortogonală a lui ( )L2 R în acest caz avem:

m ( ) = m ( ) = + e ~oo

oHjω ω ω1

2

1

2−

şi

m ( ) = m ( ) = m ( ) = + e ~1 1 1

1

2

1

2ω ω ω ωo

Hj− − (351)


Aplicând relaţia (347) se obţine:m ( ) = m ( ) m ( ) s( )1 1 2ω ω ω ωo

oH−

Pentru ca noua funcţie "wavelet" să aibă două momente nule este necesar ca:

m ( ) =

m ( ) = '

1

1

0 0

0 0

(352)

Prima condiţie este echivalentă cu:

s ( ) = 2 0 0 (353)Cea de a doua condiţie este echivalentă cu:

0 0 0 0 2 0 01 = m ( ) m ( ) s( ) m ( ) s( ) ' ' 'ooH oH− −

sau cu:

( )02 2

0 2 0 = j + +

j s( )'−

−

adică cu:

s( )= j' 04

− (354)

Pentru a obţine funcţii de scară duale şi funcţii "wavelet" simetrice se alege:

s( )= j ω ω−

4sin

În consecinţă:

m ( ) = + e + e j

=

= + e + j

+ e e e

j =

= e + e + e

1

2 2

2

1

2

1

2

1

2

1

2 42

1

2

1

2 4

1

2

1

2 2

1

16

1

16

1

2

1

2

ω ωω ω

ω ωω ω

ω ω ω

− −

−

−

−

− −

− −

− −−

−

j j

j jj j

j j j

sin

1

16

1

162 3 e e − −−j jω ω

254 7.1.2.8 Baze biortogonale de func•ii “wavelet”

Pe baza relaţiei (345) se obţine:

m ( ) = + e + e e j

=

= + e + e e j

=

= + e + e

*

~o

j j j

j j j

j j

sin

sin

ω ω

ω

ω ω ω

ω ω ω

ω ω

1

2

1

2

1

2

1

2 42

1

2

1

2

1

2

1

2 42

1

2

1

2

1

2

1

− − −

− −

− −

−

−

−

( ) ( )( )

2 8

1

2

1

2

1

161

1

2

1

2

1

161

16

1

16

1

2

1

2

2 2

2 2

3 2 2

2

−

− −

+ − −

− +

−

− − −

− − −

−

e e

=

= + e + e e e =

= + e e e e + e =

= e + e + e

j j

j j j j

j j j j j

j j j

ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

ω ω ω + e - e 1

16

1

162 3− −j jω ω

Se constată că funcţiile m ( ) oH ω şi ~m ( )o ω sunt identice cu funcţiile 1m ( )o ω şi3 1, m ( )~

o ω din tabelul 1.7.1.2.8. Deci metoda "lifting scheme" a funcţionat în acestexemplu. S-a pornit de la o funcţie de scară generatoare a unei baze ortonormale defuncţii "wavelet" şi s-a ajuns la o bază biortogonală cunoscută. E clar că metoda esteduală. Modificând filtrele mo şi ~m1 şi păstrând nemodificate filtrele ~mo şi m1, se poateajunge la mulţimea m , m , m , mo o

~ ~1 1 . Polinomul trigonometric utilizat pentru

transformare se notează cu ~s. În acest mod funcţia de scară duală rămâne neschimbatăîn timp ce funcţia de scară şi cele două funcţii "wavelet" duale se modifică. Metodelede construcţie directă şi duală pot fi iterate. Astfel după ce a fost crescut, de exemplunumărul de momente nule ale funcţiei "wavelet", se poate utiliza metoda deconstrucţie duală pentru a se creşte numărul de momente nule ale funcţiei "wavelet"duală. Alternând cele două metode de construcţie, directă şi duală, poate fi obţinută oanaliză multirezoluţie cu proprietăţi dorite. Metodele de construcţie ale bazelorbiortogonale bazate pe "lifting scheme" au unele avantaje. Ecuaţia (348) permiteaccesul direct la expresia funcţiei "wavelet" care va fi construită permiţând alegereasemnalului [ ]sk astfel încât funcţia ψ τ( ) să satisfacă anumite proprietăţi impuse,economisindu-se în acest mod mult timp de proiectare. Folosirea metodei descriseconduce la o creştere a vitezei de calcul a transformărilor "wavelet". Metoda deconstrucţie prezentată este utilă la construcţia funcţiilor "wavelet" de generaţia a 2-a,care nu reprezintă translatate şi dilatate ale unei funcţii unice.Alte modalităţi deconstrucţie ale bazelor biortogonale de funcţii "wavelet" sunt prezentate în capitoleleurmătoare.


7.1.2.9 GENERALIZAREA CONCEPTULUI DE ANALIZĂMULTIREZOLUŢIE

Paragrafele anterioare au evidenţiat importanţa conceptului de analizămultirezoluţie. Se observă chiar că există posibilitatea de a face o clasificare aanalizelor multirezoluţie, ca în tabelul 1.7.1.2.9.

Tipul de analizămultirezoluţie

Prin ce secaracterizează

Tipul descompuneriicorespunzătoare aspaţiului ( )L2 R

Tipul bazei defuncţii wavelet al

lui ( )L2 Rortogonală ( ) o kϕ τ −

∈k Z

bază ortogonală a luiVo

ortogonală ortogonală

semiortogonală ( ) ϕ τ −∈

k Zk bază ortogonală ortogonală

corespunz. lafuncţii waveletsemiortogonale

Riesz a lui Vo ortogonală Riesz

biortogonală ( ) ϕ τ −∈

k Zk bază

Riesz a lui Vo

( ) ~ϕ τ −∈

k Zk bază

Riesz a lui ~Vo

neortogonală ( ) ψ τ−∈

k Zk bază

Riesz a lui Wo

( ) ~ψ τ−∈

k Zk bază

Riesz a lui ~W0

Tabelul 1.7.1.2.9 O clasificare a analizelor multirezoluţie

Toate aceste tipuri de analiză multirezoluţie au în comun proprietăţi de tipul 1-5 din defini•ia 1.7.1.2.2 şi reprezintă descompuneri ale spaţiului ( )L2 R .A. O primă posibilitate de a generaliza conceptul de analiză multirezoluţie estebazată pe înlocuirea spaţiului ( )L2 R cu spaţiul ( )L n2 R . Este interesant cazul n = 2pentru care se obţin aplicaţii la prelucrarea imaginilor. Proprietăţile 1- 4 rămânneschimbate. Proprietatea 5 devine în acest caz:5’. Există o funcţie nϕ τ( ) în Vo astfel încât mulţimea ( ) n k nϕ τ −

∈k Z să fie o

bază Riesz în Vo. Acestă funcţie de scară corespunde unei funcţii de scară ortogonală,no ( )ϕ τ , ( )τ τ τ τ = , , ... , 1 2 n care verifică relaţia:

( ) + l , + l , ... + l = l Z

F n o n nn

ϕ ω π ω π ω π1 1 2 2

22 2 2 1

∈∑

256 7.1.2.9. Generalizarea conceptului de analiză multirezoluţie

Funcţia de scară ortogonală ( )n o nϕ τ τ τ , , ... , 1 2 este generată de filtrul cu

răspunsul în frecvenţă ( )m , , ... , o nω ω ω1 2 care are proprietatea:

( )( ) [ ]

m + , ... + = , ... n

n o n nn

ω ε π ω ε πε ε ε

1 12

0 11 2

1∈

∑

Un caz particular de astfel de analiză multirezoluţie poate fi construit cuajutorul produsului tensorial.

Pornind de la analiza multirezoluţie Vm m∈Z a lui ( )L2 R şi funcţiile

corespunzătoare ϕ ψ, , m , mo 1, se poate defini o analiză multirezoluţie a lui ( )L n2 Rprin:

n mn

nmV = V

= ⊗

1

(355)

Funcţia de scară şi răspunsul în frecvenţă al filtrului care o generează devin:

( ) ( ) ( )n n nϕ τ τ ϕ τ ϕ τ , ... , = ... 1 1 (356)

( ) ( ) ( )n o n o o nm , ... , = m ... mω ω ω ω1 1 (357)

Aceste funcţii generează 2 1n − funcţii de tip "wavelet" şi acelaşi număr defiltre corespunzătoare. Expresiile răspunsurilor în frecvenţă ale acestor filtre sunt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nn

nm ,..., =m ...m ; , ,..., , , ,...,ε ε εω ω ω ω ε ε ε1 1 1 21

01 00 0∈ − (358)

Funcţiile "wavelet" nψ τε( ) corespunzătoare se deduc şi sunt produse ale funcţiilorϕşi ψ.B. După cum s-a arătat deja, Oliver Rioul a definit conceptul de analizămultirezoluţie a spaţiului ( )l Z2 , în [122]. Se porneşte de la sistemul de reconstrucţieperfectă în urma codării în subbenzi din figura 1.7.1.2.9. Ţinând seama de expresiaprodusului scalar definit pe ( )l Z2 relaţia (290) poate fi rescrisă în forma:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

a n = a k , m k n

d n = a k , m k n

*

*

−∨

−∨

−

−

1

1 1

2

2

o o

o(359)


În teoria băncilor de filtre numerice sistemul cu răspunsul la impuls:

[ ] [ ] [ ]p c o o om n = m n = m n* *∨ −

se numeşte sistem paraconjugat sistemului la impuls [ ]m no . Relaţia (359) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

a n = a k , m k n

d n = a k , m k n

−

−

−

−

1

1 1

2

2

o p c o

o p c

(360)

De aceea relaţia de sinteză (288) poate fi scrisă în forma:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a n = a k , m k n m n k + a k , m k n m n ko o p c o o o p ck

− − − −∑ 2 2 2 21 1~ ~ (361)

Ultima relaţie reprezintă descompunerea semnalului [ ]a no în baza:

[ ] [ ] Bs o k= m n k , m n k Z~ ~− −

∈2 21 (362)

a spaţiului ( )l Z2 . Baza duală este mulţimea:

[ ] [ ] Ba p c o p c k= m n k , m n k

Z− −

∈2 21 (363)

Relaţia de reconstrucţie perfectă (309), devine pe baza celei de a doua ecuaţii dinrelaţia (306):

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ]− − − −− − −∑ 1 1 21 2 2 11 1

n n p

p+ m n p m p = n~ δ

Pentru:n = q2

ultima relaţie devine:[ ] [ ] [ ]− − −∑2 2 21 1 m q p m p = q~

pδ

Cu notaţia:q = k l−

258 7.1.2.9 Generalizarea conceptului de analiză multirezoluţie

rezult•:

[ ] [ ] [ ] m k l p m p = k l~1 12 2− − −∑

pδ

sau cu schimbare de variabilă: r = l + p2 se obţine:

[ ] [ ] [ ] m k r m r l = k l~1 12 2− − −∑

rδ

Dacă se consideră că funcţiile [ ]m no şi [ ]m n1 sunt reale, ultima relaţie se poate scriesub forma:

[ ] [ ] [ ] m k r m l r = k l~1 12 2− − −∑

rp c δ

sau:[ ] [ ] [ ] m r k m r l = k l*

p cr

~1 12 2− − −∑ δ

adică:

[ ] [ ] [ ]p c~m n k , m n l = k l1 12 2− − −δ (364)

Deci funcţiile de bază a celor două familii de analiză [ ] m n k Z1 2−∈k şi de sinteză

[ ] p c k~m n k

Z1 2−∈

sunt mutual ortogonale, cu excepţia cazului când argumentele

celor două funcţii coincid.Se poate verifica condiţia de biortogonalitate şi în cazul general. Bazele Ba şi

Bs sunt biortogonale [122].Cazul analizei multirezoluţie ortogonală rezultă pentru:

[ ] [ ] [ ] [ ]m n = m n ; m n = m n1 1p c o p c o~ ~ (365)

atunci când funcţiile de analiză şi sinteză coincid.În continuare se introduc noţiunile de scară şi de rezoluţie în timp discret.

Versiunea de scară superioară a unui semnal dat este un semnal similar dar obţinutprin eşantionare cu o frecvenţă mai mare. Versiunea de scară inferioară a unui semnalîn timp discret dat este un semnal similar dar obţinut prin folosirea unei frecvenţe deeşantionare inferioară.


Operatorul de dublare a scării este operatorul care descrie sistemul compusprin conectarea în serie a unui filtru cu răspunsul în frecvenţă α ω( ) şi un circuit deinterpolare cu 2. Acest operator se notează cu α↑ .

Operatorul de înjumătăţire a scării este operatorul care descrie sistemulcompus prin conectarea în serie a unui filtru cu răspunsul în frecvenţă α ω( ) şi uncircuit de decimare cu 2. Acest operator se notează cu ↓α .

Semnalele [ ]a n−1 şi [ ]d n−1 din figura 1.7.1.2.9 se obţin prin aplicareaoperatorilor ↓ mo şi ↓ m1. Reconstrucţia se face cu ajutorul operatorilor ↑ m~o şi↑ m~1.

Fie s(y) scara unui semnal [ ]y n . Considerând că semnalul original [ ]a no

are scara s(a ) = o 1, pot fi aplicaţi succesiv operatorii de modificare a scării pentrua se ajunge la semnalul [ ]y n de scară s(y).

De exemplu dacă:

( ) ( )y = aα β↑ ↓5 8

oatunci:

s(y) = = 21

85 8−

Există mai multe posibilităţi de a ajunge la scara 1 8/ pornind de la scara 1. E decinecesar un alt parametru pentru a caracteriza două versiuni diferite, de aceeaşi scară,ale uni semnal impus. Acest parametru se numeşte rezoluţie şi descrie cantitatea deinformaţie prezentă în semnal. Semnalul iniţial, ao, are rezoluţia 1. Semnalul ( )↓α aoare un număr de eşantioane egal cu jumătate din numărul de eşantioane al semnalului

[ ]a no . Se zice că noul semnal are rezoluţia 1 2/ . Notând cu r rezolu•ia avem:

( ) ( )r a = =

r a↓ α o

o1

2 2

Sunt valabile relaţiile:

( )

( )

r x = r(x)

r y = r(y)

, daca r(y) = s(y)

r(y) , daca r(y) s(y)

α

β

↑

↓<

2(366)

Oricare ar fi semnalul y e valabilă relaţia:


s(y) r(y)≤ (367)

În [122] este demonstrată următoarea propoziţie:Fiind dată o scară s şi o rezoluţie r (r s≤ ), există o singură versiune x a semnalului aola această scară şi cu această rezoluţie, dacă şi numai dacă:

dI = m~ m ; dI = m~ m 11oo ↑↓↑↓ (368)

unde cu Id s-a notat operatorul identitate.Dar condiţia (368) este identică cu condiţia (364) de biortogonalitate. O

versiune a semnalului original [ ]a no de rezoluţie r ( 1r < ) conţine toată informaţianecesară pentru a obţine orice altă variantă a semnalului original, de rezoluţie r'inferioară lui r.

Se defineşte semnalul reziduu al unui semnal dat x, la scara s şi de rezoluţie r,ca fiind semnalul care trebuie adăugat versiunii lui x la scara s de rezoluţie r , r ,sx ,pentru a i se dubla rezoluţia. Se poate scrie:

r ,sr2 ,sr ,s x x= d − (369)Trebuie observat că:

r 2s ≥

E uşor de observat că reziduul r ,sd se supune aceloraşi reguli de modificare a scării şia rezoluţiei ca urmare a acţiunii operatorilor de modificare a scării ca şi semnalul r ,sx .Singura excepţie este că dacă r 2=s , atunci:

0 = d m r ,s1↓ (370)

Descompunerea multirezoluţie în timp discret constă în iterarea relaţiei (369) astfelîncât să se reconstruiască semnalul original [ ]a no ca o sumă a reziduurilor de la toatenivelele de rezoluţie m2 =r − , M ,1 = m care apar:

[ ] ∑ −−

M

1 = m2 = r ,1 = s o2 = r ,1 = so a+d = na Mm (371)

Spaţiul Vo al spaţiului multirezoluţie este identic cu ( )Zl2 .Proiecţia semnalului [ ]a no din Vo pe spaţiul V-1 se realizează cu ajutorul

operatorului om↓ , obţinându-se semnalul [ ]na 1− . Proiecţia semnalului [ ]a no pe


spaţiul V- m este semnalul [ ]na m− şi este obţinută prin aplicarea operatorului ( )mom↓ .O bază a spaţiului Vo este [ ] [ ]

Zk1c poc p k2nm, k2nm∈

−− . Mulţimea [ ] Zkoc p k2nm

∈−

reprezintă o bază a spaţiului V −1 iar mulţimea [ ] Zk1c p k2nm

∈− reprezintă o bază a

spaţiului W 1− .

Succesiunea de spaţii V m m − = , M0 este un exemplu de analiză

multirezoluţie a spaţiului ( )l Z2 .Se poate demonstra că elementele analizei multirezoluţie ortogonală au

proprietăţile:V Vm m− − −⊂1 0, m = , M (372)

∩∈

−m

mVN

= 0 (373)

( )m

M

mV=

−0

2U = l Z (374)

Baza ortonormală a spaţiului Vo este mulţimea [ ] δ n k Z− ∈k . Aplicând

elementelor acestei mulţimi operatorul ( )mom↓ se obţine baza spaţiului V-m,m = , 1 M .

Noţinea de analiză multirezoluţie pentru semnalele în timp discret este strânslegată de transformarea "wavelet" discretă.

De fapt, secvenţele obţinute prin aplicarea acestei transformări sunt:

( )( )

d = m m a , m = , M

a = m a

m om

o

m om

o

↓ ↓

↓

−1

11

(375)

Transformarea "wavelet" discretă inversă poate fi descrisă cu relaţia:

( ) ( )a = m m d + m a =

o om

mm

M

oM

m~ ~ ~↑ ↑

↑−∑ 1

11

(376)

În [122] sunt demonstrate formulele de analiză:


[ ] [ ] ( ) [ ][ ] [ ] ( ) [ ]

d k = a n , m m n k

a k = a n , m m n k

m o p c om

p cm

m p c om

p c om

↑

−

↑

−

−

−

1

1

1

1

2

2

(377)


( ) ( )p c om

p c p cm

p c om

p c o p c omm m = m ; m m = m↑ ↑

− −1

1 1

1


[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

d k = a n , m n k

a k = a n , m n k

m o p cm m

m o p cM m

1

1

2

2

−

−

(378)

Funcţiile [ ]p c om mm n k− 2 formează bazele spaţiilor V-m. Funcţiile

[ ]p cm mm n k1 2− formează bazele spaţiilor W- m şi se numesc funcţii "wavelet" de

analiză în timp discret.Transformarea "wavelet" discretă inversă se exprimă prin:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a n = d k m n k + a k m n k =

o mm m

km

m

M oM M

k

~ ~1

1

2 2− −∑∑ ∑ (379)

Funcţiile [ ] m n k~om m− 2 formează bazele spaţiilor ~V m− . Funcţiile [ ] m n k~

1 2m m−formează bazele spaţiilor ~W m− şi se numesc funcţii "wavelet" de sinteză în timpdiscret.

Se poate demonstra că bazele acestor spaţii sunt biortogonale pentru oricevaloare a lui m cuprinsă între 1 şi M.

În cazul analizei multirezoluţie ortogonală:

p cm m

p c oM

oMm = m , m = m1 1

~ ~


Atunci mulţimea [ ] [ ] m n k , m n k= , M , k Z

~ ~1 1

2 2m moM M

m − −

∈ este o

bază ortonormală a lui ( )l Z2 . În [30] rezultatele prezentate anterior sunt extinse laspaţiul ( )l Z , n N2 4 ∈ .

C. În numeroase aplicaţii semnalul de analizat x( )τ are durată limitată

( ) [ ]supp , x τ α β≠

În consecinţă spaţiul care trebuie descompus este [ ]L2 α β, şi nu ( )L2 R .Este de interes construcţia unei analize multirezoluţie a acestui spaţiu. Cu

ajutorul unei astfel de analiză multirezoluţie poate fi construit un nou tip de funcţii"wavelet" numite funcţii "wavelet" pe interval.

În continuare pentru comoditate, se va considera cazul:α β = ; = 0 1

E clar că ( )x( ) L Rτ ∈ 2 . În consecinţă pentru aproximarea lui x( )τ poate fi

utilizată o analiză multirezoluţie a lui ( )L2 R . În acest scop se poate considera că:[ ]x( ) = , , τ τ0 0 1∉

Această ipoteză poate însă să introducă discontinuităţi în punctele 0 şi 1, care săafecteze calitatea aproximării semnalului x( )τ prin analiza multirezoluţie. O altăipoteză care se poate face asupra lui x( )τ este că el reprezintă restricţia la perioadaprincipală a unui semnal periodic de perioadă 1. Această ipoteză conduce laconstrucţia analizelor multirezoluţie periodice [76] şi această ipoteză poate săintroducă discontinuităţi în punctele 0 şi 1. O altă ipoteză care se poate face asupra luix( )τ este că acest semnal reprezintă restricţia semnalului x ( )p τ la intervalul [0, 1].Semnalul x ( )p τ se construieşte pe baza semnalului x( )τ . De fapt el reprezintăpentru τ > 1 simetricul semnalului x( )τ , faţă de axa de simetrie constituită deverticala dusă prin 1 şi pentru τ < 1 , simetricul semnalului x( )τ , faţă de axa desimetrie constituită de verticala dusă prin 0. Această ipoteză conservă continuitatea înpunctele 0 şi 1 pentru semnalul x( )τ , dar nu şi pentru semnalul x( )' τ . Ceea ce secaută de fapt în cazul semnalelor de durată limitată, din [ ]L2 0 1, sunt funcţii de scarăşi funcţii "wavelet" intrisec definite pe intervalul [0, 1]. În continuare se prezintă omodalitate de construcţie a unor astfel de funcţii. Se porneşte de la funcţia de scarăN ϕ τ( )corespunzătoare funcţiei "wavelet" N ψ τ( ) introdusă de I. Daubechies.

Mulţimea N m kϕ τ, k Z

( )∈

este o bază ortonormală a spaţiului NVm.


Orice monom τ αα , N≤ −1 poate fi descompus în această bază în forma:( )τ τ ϕ ϕ τα α τ= , ( ), k , km m

k∑

Restricţia acestui monom la intervalul [0, 1] poate fi exprimată cu relaţia:

[ ]( )

[ ]( )

[ ]

[ ]

τ τ ϕ ϕ τ τ ϕ ϕ τ

τ ϕ τ ϕ τ

α α τ α τ

α

0 12 2

0

011

2 2

01

2 2 1

2 1

0 1

, , k , k= N+

, , k , k=

,

, k , k= N+

,

= , ( ) + , ( ) +

+ , ( ) ( )

m mk

m mk

m N

m mk m

m

∑ ∑

∑

−

−

−(380)

Cu notaţiile:

[ ]

[ ]

τ τ ϕ τ ϕ τ

τ τ ϕ τ ϕ τ

α α α

α α α

mm

m mk

mm

m mk m

m

, L , k , k= N +

,

, R , k , k= N +

,

= , ( ) ( )

= , ( ) ( )

2

2

1

2

2 2

0

0 1

1

2

2 2 1

2 1

0 1

+

−

+

−

−

∑

∑

relaţia (380) devine:

( ) [ ] [ ]2 2 220 1

1

2

1

2 2

0 1

mm

mm

m mk =

m N

m = , ( ) ( ) +, , L , k , k

, , Rτ τ τ ϕ τ ϕ τ τα α α α α+

−

∑

Indicele m nu trebuie ales superior valorii mo pentru care:

[ ]

[ ]

1 0 1

0 0 1

∉ ∩

∉ ∩

,

,

, L

, S

τ

τ

α

α

mo

mo

Se consideră spaţiile rVm, m m≥ o:


r m m m k m N mV = , L N , k = , , R Nτ ϕ τα

αα

α≤ − − ≤ −∪ ∪

1 1 2 2 1

Fiecare element al unui astfel de spaţiu este o combinaţie liniară de funcţii din

mulţimile: [ ] τ τ ϕαα

ααm m m

k m N, L N , R N , k , = ,

, , ≤ − ≤ − −1 1 0 1

1 2 2.

Nu este greu să se găsească o bază ortonormală a spaţiului rVm. Mulţimile

τ ταα

ααm m, L N , R N

, ≤ − ≤ −1 1

şi [ ] , k , = , ϕm

k m N0 11 2 2

−

mutual ortogonale

şi toate elementele lor sunt liniar independente. Nu mai rămâne decât să seortogonalizeze funcţiile ταm, L şi ταm, R .

Mulţimea r m m oV

≥ m este o analiză multirezoluţie a lui [ ]L2 0 1, . Complementele

ortogonale ale spaţiilor rVm în spaţiile rVm - 1 sunt spaţiile rWm, generate de funcţiile"wavelet" pe interval corespunzătoare.

Amănunte despre funcţiile "wavelet" pe interval pot fi găsite în [86], [87],[83].

D. În toate tipurile de analiză multirezoluţie descrise până în prezent au fostfolosite produsele scalare definite pe ( )L n2 R sau ( )1 Z2 n . Pot fi folosite însă şiproduse scalare ponderate. Dacă w( )τ este o funcţie local integrabilă pozitivă atunciprodusul scalar ponderat de această funcţie este:

f, g = w( ) f( ) g ( ) d*

w τ τ τ τ

− ∞

∞

∫ (381)

Trebuie remarcat asemănarea unui astfel de produs scalar cu reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă:

( )( )

TFxSTFT j

w tt, = x( ), e

ω τ ω τ∨ −.,

Definiţia analizei multirezoluţie ponderată este, conform [132], următoarea:Mulţimea Vm m ∈ Z este o analiză multirezoluţie ponderată a lui ( )L2 R

dacă elementele sale au următoarele proprietăţi:

1. ( )V Vm m⊂ ∀ ∈+1 , m Z

266 7.1.2.9 Generalizarea conceptului de analiză multirezuluţie

2. ( )∪∈m

mVZ

= L R2

3. ∩∈m

mVZ

= 0

4. Există funcţii de scară ϕm k, astfel încât mulţimea ϕm k , k Z∈ să

fie o bază Riesz a spaţiului Vm.Ultima proprietate implică faptul că pentru fiecare funcţie de scară ϕ τm k, ( )

există un set de coeficienţi m , k , lo m astfel încât să fie satisfăcută o relaţie de

forma:

ϕ τ ϕ τm o m m k, k , k , l , ll

( ) = m ( )+ +∑ 1 2 (382)

Spre deosebire de cazul analizelor multirezoluţie neponderate, funcţiile de scarăϕ τm k, ( ) nu se mai obţin prin translatarea şi scalarea unei funcţii unice. Pentru fiecare

funcţie ϕ τm k, ( ) există o mulţime specifică de coeficienţi m , k , lo m . Se poate

construi şi analiza multirezoluţie ponderată duală. Ea este compusă din spaţiile ~Vm

generate de funcţiile de scară duale ~ϕm k, care sunt biortogonale în raport cu funcţiileϕm k, :

[ ]ϕ ϕ δm m w, k , k, = k k ~ '' − (383)

Funcţiile de scară duale satisfac relaţii de tipul (382), în care însă intervin coeficienţide forma ~m , , o m k l. Este valabilă relaţia:

m = , , k , l , k , lo m m m k wϕ ϕ~ + +1 2

Spaţiile Wm vor fi complementele spaţiilor Vm în spaţiile Vm+1 şi vor fi generate de

bazele Riesz ψm k Z, k ∈.

Elementele acestor baze se pot exprima în forma:


= m , k , k , l , ll

ψ ϕm m m k1 1 2+ +∑ (384)

Spaţiile ~W m vor fi complementele spaţiilor ~Vm în spaţiile ~Vm +1 şi vor fi generate de

bazele Riesz ~ψm k k Z, ∈. Elementele acestor baze se pot exprima în forma:

= m , k , k , l , ll

~ ~ ~ψ ϕm m m k1 1 2+ +∑ (385)

Funcţiile "wavelet" duale vor fi biortogonale în raport cu funcţiile "wavelet":

[ ] [ ]ψ ψ δ δm m, k , k, = k k m m ~ ' '' ' − − (386)

Exemple de astfel de analize multirezoluţie sunt prezentate în [132].E. Analizele multirezoluţie discutate până aici aproximau semnalul x( )τ prinproiecţia sa pe un anumit subspaţiu, Vm:

x ( ) = x( ), ( ) ( ), k , km mk

mτ τ ϕ τ ϕ τ∑

Această descompunere este foarte utilă în studiul operatorilor liniari, definiţi pe Vm.Fie L un astfel de operator. Se constată că:

L m mk

mx ( ) = x( ), ( ) L ( ), k , kτ τ ϕ τ ϕ τ∑

Deci, pentru a cunoaşte efectul aplicării operatorului L semnalului x ( )m τ estesuficient să se cunoască efectul aplicării operatorului L funcţiilor ϕ τm k, ( ).

În consecinţă se poate afirma că analizele multirezoluţie prezentate sunt utilela studiul operatorilor liniari. Din păcate acest tip de analiză nu este la fel de utilăpentru studiul operatorilor neliniari. De aceea s-a încercat generalizarea noţiunii deanaliză multirezoluţie în scopul obţinerii unei noţiuni noi, mai utilă la studiuloperatorilor neliniari. Această noţiune nouă a fost numită analiză multirezoluţieneliniară. Exemple de astfel de analize multirezoluţie sunt prezentate în [24]. O altăabordare a analizelor multirezoluţie neliniare este prezentată în [36]. În această lucrareideea este să se înlocuiască operatorii de proiecţie, care în cazul analizelormultirezoluţie tradiţionale sunt liniari cu operatori neliniari.


Este vorba despre operatori de "retracţie" pe mulţimi convexe.Definiţie. Operatorul continuu Rm m: H C→ ( H este un spaţiu Hilbert

închis iar Cm este o mulţime convexă) este numit "retracţie" pe Cm dacă Cm estemulţimea punctelor fixe ale operatorului Rm :

( ) C = y H R y = ym m∈ (387)

Cu ajutorul acestor operatori poate fi definită noţiunea de analiză multirezoluţieconvexă.

Definiţie: O analiză multirezoluţie convexă a lui H este o secvenţă deretracţii pe mulţimi convexe închise C Zm m∈

, submulţimi ale lui H , Rm m∈Z cu

proprietăţile:

1. ( )∀ ∈ ⊂ + m Z, C Cm m 1

2. limm

m→∞

C = H

3. C = C limm

m→∞

≠ ∅ (388)

4. ( ) ( )∀ ∈ × − ≤ −+ m,x Z H x x x xR Rm m1

5. ( ) ( )∀ ∈ × + x,m H Z R x = R R xm m mo 1

Semnalul:x = R xm m

este o aproximaţie a semnalului x de rezoluţie m. În acelaşi timp semnalul xm poate fiprivit ca şi proiecţia semnalului xm+1:

( )x = R x +m m m 1

De aceea analiza multirezoluţie convexă poate fi implementată ca şi o bancă de filtreneliniare. Filtrând semnalul xm+1 cu filtrul descris de operatorul Rm se obţine semnalulxm. Filtrând acest semnal cu filtrul descris de operatorul Rm - 1 se obţine semnalul xm - 1şi aşa mai departe. Semnalul xm este o aproximare a lui x de rezoluţie inferioară încompara•ie cu aproximarea sa prin semnalul xm+1 deoarece conţine mai puţinăinformaţie despre semnalul x decât semnalul xm+1.


Semnificaţia fizică a pierderii de informaţie de la rezoluţia m + 1 la rezoluţiam, depinde de alegerea operatorului de retracţie Rm.

Un exemplu de operator de retracţie este cel definit recurent în relaţiaurmătoare:

( )( )∀ ∈ − R R x + x = xα α αm m m1 (389)

F. O generalizare simplă dar foarte utilă a noţiunilor de funcţie "wavelet"respectiv de analiză multirezoluţie apare în cazul pachetelor de funcţii "wavelet".Pentru a introduce această noţiune este utilă folosirea următoarei notaţii:

( ) ( ) ( )m = m m , e = ,e oe eω ω ω1

1 01−

Observaţia fundamentală care stă la baza construcţiei pachetelor de funcţii "wavelet"este aşa numitul artificiu de împărţire.

Se presupune că mulţimea de funcţii ( ) f k Zτ −∈k este o bază Riesz a

spaţiului Hilbert S. Atunci funcţiile:

f ( ) = f kko oτ

τ1

2 2−

şi f ( ) = f k , k Zk

1 11

2 2τ

τ−

∈ (390)

unde:

( ) F Ff = m f eeωω ω2 2

(391)

constituie de asemenea o bază Riesz a spaţiului S:

f ( ), f ( ) k Zk

okτ τ1

∈

O analiză multirezoluţie clasică este obţinută împărţind spaţiile Vm, folosind artificiuldescris mai sus în spaţiile Vm - 1 şi Wm - 1 şi apoi făcând la fel, într-un mod recursiv,pentru spaţiul Vm - 1.

Pachetele de funcţii "wavelet" sunt funcţiile elemente ale bazelor Riesz care seobţin dacă se foloseşte artificiul de împărţire şi pentru spaţiile Wm. Pornind de laspaţiul Vm ,se obţin, după aplicarea de L ori a artificiului de împărţire, funcţiile(elemente ale unor baze Riesz):

( )( )

( )ψ τ ψ τe eL

m L

e eL m L

L L1 12 22, ... ; m, k , ... = k

−− − (392)


cu:

( ) ( ) ( )F Fψ ω ω ϕ ωe eL

eL

L1

1

2 2, ... l =

L -l= m

l

− (393)

Astfel, după L împărţiri, se obţin 2L funcţii de bază şi translatatele lor cu întregimultipli de 2L m− ca şi elemente ale bazei Riesz a spaţiului Vm. Legătura dintrepachetele de funcţii "wavelet" şi funcţiile de scară respectiv funcţiile "wavelet"corespunzătoare este:

ϕ τ ψ τ( ) = ( ), ..., ooL şi ψ τ ψ τ( ) = ( ), o, ..., o1

L

De fapt nu este necesar să se împartă fiecare subspaţiu pentru fiecare valoare a lui m.În figura 1.7.1.2.9 se prezintă o modalitate de împărţire a spaţiului V3 corespunzătoareschemei care generează pachete de funcţii "wavelet". În figură sunt notate cu * spaţiilecare aparţin unei analize multirezoluţie:

V V W W Wo o3 2 1 = ⊕ ⊕ ⊕Cu ° s-au notat spaţiile care pot participa la construcţia unui pachet de funcţii"wavelet". Baza Riesz a lui Vo corespunzătoare pachetului de funcţii "wavelet" ales în

acest exemplu este ( ) ( ) ( ) ( ) ψ τ ψ τ ψ τ ψ τo k1

112

13

1 14 2− − − −∈

k , k , k , k, , o, o , o, Z.

Un alt pachet de funcţii "wavelet" poate fi construit dacă se aleg funcţiile notate cu +în figura 1.7.1.2.9. Acestui nou pachet de funcţii "wavelet" îi corespunde următoareabază Riesz a lui V3:

( ) ( ) ( ) ( ) ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ11

12

13

1 134 2− − − −

∈k , k , k , k, , , o , , Zo o o k

Pentru funcţiile duale trebuie aplicată o procedura similară. Transformările "wavelet"

Figura 1.7.1.2.9. Schemă pentru generarea pachetelor de funcţii "wavelet".


discrete directă şi inversă, corespunzătoare primului exemplu de pachet de funcţii"wavelet" dat mai sus sunt prezentate în figura 2.7.1.2.9.

Principalul avantaj al pachetelor de funcţii "wavelet" este că avem mult mai multăliberate în alegerea bazei în care să descompunem semnalul pe care dorim să-lanalizăm. Există criterii de alegere a bazei în acord cu semnalul de analizat.M. Wikerhauser a propus un astfel de criteriu. Procedura introdusă de el se numeşte"alegerea celei mai bune baze".O prezentare exhaustivă a acestui concept este făcută în[149].

Figura 2.7.1.2.9. Transformările "wavelet" discrete, directă şi inversă corespunzătoare primuluiexemplu de pachet de funcţii "wavelet".

272 7.1.2.10 Pachete de funcţii "wavelet"

7.1.2.10 PACHETE DE FUNCŢII "WAVELET"

În continuare se dezvoltă conceptul introdus la sfârşitul paragrafului anteriorprezentându-se diferite modalităţi de construcţie a unor baze ale lui ( )L2 R . În primulrând se observă că şirul de simboluri din relaţia (392) e e1... L reprezintă exprimarea înbinar a unui anumit număr. Dacă acest număr se notează cu n atunci relaţia (392)devine:

( )

( ) [ ]ψ τ ψ τn k

m L

nm L L, m , ( ) = k , n = n2 22

−− − (394)

E clar că numărul n depinde de L.Modul de generare al acestor funcţii este prezentat în figura 1.7.1.2.10.

Se observă că pentru o valoare fixată a lui L (de exemplu L = 2) elementele cu indicipari ( )ψ ψo

222, sunt generate cu ajutorul filtrului mo iar elementele cu indici impari

( )ψ ψ12

32, sunt generate cu ajutorul filtrului m1.De aceea sunt valabile relaţiile:

Figura 1.7.1.2.10 Schema de generare a unui pachet de funcţii "wavelet" (m = 0)


( ) [ ]ψ τ ψ τ ψ τ2 2 2n o n ok

n, m , m , m( ) = m ( ) = m k ( k) ↓ −∑ (395)

( ) [ ]ψ τ ψ τ ψ τ2 1 1 12 2n n n+ ↓ −∑, m , ml

, m( ) = m ( ) = m l ( l) (396)

Relaţii identice pot fi scrise şi pentru funcţiile duale:

( ) [ ]~ ~ ~ ~ψ τ ψ τ ψ τ2 2 2n o n o n, m , ml

, m( ) = m ( ) = m k ( l) ↓ −∑ (397)

( ) [ ]~ ~ ~ ~ψ τ ψ τ ψ τ2 1 1 12 2n n n+ ↓ −∑, m , ml

, m( ) = m ( ) = m l ( l) (398)

Schema de generare a pachetului de funcţii "wavelet" duale este prezentată înpartea dreaptă a figurii 1.7.1.2.10.


( ) = ( k) ( ) = ( k)

, m, k , m

, m, k , m

ψ τ ψ τ

ψ τ ψ τn n

n n

2

2

−

−~ ~ (399)

se poate demonstra biortogonalitatea acestor funcţii:

[ ] [ ]ψ τ ψ τ δ δn n, m , m( k) , ( l) = n n k l− − − −~ '' (400)

Fie Λ n m, spaţiul Hilbert generat de mulţimea ψ τn k, m Z( k)−

∈:

[ ] ( )Λn nL

knL

, m , m , m = x ( ) = c k ( k) L Rτ ψ τ∑ −

⊂ 2 (401)

Se observă că:Λo

oo, o = V

Datorită ecuaţiilor (395) şi (396) se poate scrie:


( ) ( )Λ Λ Λ Λ2 2 1 1n o n n n, m , m , m , m= m ; = m ↓ ↓+ (402)

Se poate demonstra că mulţimea ψ τn k, m Z( k)−

∈ este o bază Riesz a spaţiului

Λ n m, .Dacă filtrele cu răspuns la impuls [ ]m no şi [ ]m n1 sunt filtre în cuadratură

ortogonale (cele care generează baze ortogonale de funcţii de scară şi de funcţii

"wavelet") atunci mulţimea ψ τn k, m Z( k)−

∈este o bază ortonormală a spaţiului

Λ n m, .Teorema 1.7.1.2.10 Prin concatenarea bazelor spaţiilor Λ n m, , n≥ 0 se obţine o

bază a spaţiului ( )L2 R .

În continuare se demonstrează această afirmaţie.Pe baza proprietăţii de reconstrucţie perfectă a bazelor biortogonale ale

spaţiului Λ n m, se poate scrie:

[ ]

[ ]

ψ τ ψτ

ψτ

n o n

n

, ml Z

, m

l Z, m

( + k) = m l k + l +

+ m l k + l

*

*

1

22

2

1

22

2

2

1 2 1

~

~

∈

∈+

∑

∑

−

−

(403)

Fie x ( ), n m τ un element al spaţiului Λ n m, . El se poate descompune în baza

ψ τn k, m Z( k)−

∈ a acestui spaţiu, în forma:

[ ] ( )x ( ) = k + k, m Z

, m*

n nk

nτ λ ψ τ∈∑


[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )( ) [ ] ( )( ) [ ]

x ( )= m l k k +l +

+ m l k k +l =

= m l +l + m l

, l

,

l ,

l,

l

* *

* *

* *

n m o nk

n m

nk

n m

o n n m n n

τ λ ψτ

λ ψτ

λ ψτ

λ ψ

1

22

2

1

22

2

1

2 2

1

2

2

1 2 1

2 1 2

~

~

~ ~

−

−

↓

↓

∑∑

∑∑

∑ ∑

+

+1 2, +lm

τ

(404)


O formă echivalentă pentru ultima relaţie este:

x ( ) = y + z , m , m , mn n nττ τ1

2 2

1

2 22 2 1

+ (405)

unde y , m , m2 2n n∈ Λ şi z , m , m2 1 2 1n n+ +∈ ΛFie:

( )( )σ ττ

x = x 1

2 2

(406)

şi spaţiul ( )σ Λn, m definit prin:

( ) σ σ = x , x , m , mΛ Λn n∈ (407)

Pe baza ecuaţiei (405) se poate scrie:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )Λ Λ Λ Λ Λn o n n n n, m , m , m , m , m= m + m = + σ σ σ σ↓ ↓ +1 2 2 1 (408)

Ultima relaţie poate fi pusă, prin recurenţă în forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )Λ Λ Λ Λ Λ Λo ok

ok k

k, m , m , m , m , m , m= + = ...= + +...+ σ σ σ σ σ1 1 2 1− (409)

În general:

( ) ( )( )

Λ Λ Λnk

k nk

k n m, m , m = + ... + , n , kσ σ

2 2 1 10 0

+ −≥ ≥

,(410)

La fel, pentru k negativ avem:

( )( )

σ kn k n , k n

Λ Λ Λ, m m ,m= + ... + , n , k

2 2 1 10 0

− − + −≥ ≤ (411)

Spaţiile, elemente ale descompunerilor (410), (411) acoperă spaţiul ( )L2 R atuncicând se parcurge mulţimea Z iar n parcurge mulţimea Z + . Elementele mulţimii

( ) ψ τn, m k , k Z , n− ∈ ≥ 0 sunt ortonormale. Combinaţiile lor liniare acoperă


spaţiul Λ Λo, m , m+ + ...1 . Dar acest spaţiu conţine spaţiul ( )σ −koΛ , m pentru

fiecare valoare a lui k. Avem:

( ) ( )σ σ− −−

ko

ko kVΛ , m = = V

Cum (pe baza unei proprietăţi a analizei multirezoluţie Vm m∈Z ):

( )V Lk k − → − ∞ → R2

rezultă că mulţimea considerată este completă. De aceea se poate afirma că aceastămulţime reprezintă o bază Riesz a lui ( )L2 R . Dacă [ ]m no şi [ ]m n1 sunt răspunsuri laimpuls de filtre ortogonale atunci mulţimea considerată este o bază ortonormală a lui

( )L2 R . Indicele m specifică faptul că descompunerea a început de la spaţiul Vm.Având în vedere că descompunerea de spaţii prezentată corespunde uneidescompuneri în subbenzi se poate afirma că indicele n descrie localizarea în domeniulfrecvenţă a funcţiei ψ τn, m ( ) (această observaţie este în acord cu afirmaţiile dinparagrafele 7.1.2.7 şi 7.1.2.8 referitoare la localizarea în frecvenţă a funcţiilor"wavelet"). În continuare elemetele pachetelor de funcţii "wavelet" vor fi privite ca şiatomi timp-frecvenţă.

În acest scop mulţimea ( )ψ ψ τs f p fs

s I f I p Is f p

, ,

= p2 21

2− −

∈ ∈ ∈

−

va

fi considerată ca fiind un pachet de funcţii "wavelet". Elementul ψ τs f p ( ) are

indicele de scară s, indicele de frecvenţă f şi indicele de poziţie p.

Această construcţie generalizează mulţimea ( ) ψ τn k, m Z , n Z, nk−

∈ ∈ ≥0

prin aceea că apare un nou grad de libertate, datorat variabilei s.Remarcă:

Factorul 2− s are o semnificaţie opusă semnificaţiei factorului 2m din formulafolosită până aici:

( )ψ ψ τn

mm

, m = n2 22 −

Indicele m avea semnificaţia de rezoluţie iar indicele s are semnificaţia de scară. Întrucât în continuare ne referim la atomi timp-frecvenţă este mai potrivit să folosimnoţiunea de scară în locul noţiunii de rezoluţie.


Mulţimea ψ τs f p ( ), p Z∈ este, conform rezultatelor precedente, o bază a

spaţiului ( )σ sfΛ . Indicele de scară dă o estimare relativă a duratei semnalului

ψ τs f p ( ) :

( ) ( ) ( ) ( )σ ψ τ τ ψ τ τ τ ψ τ τt s f p fs

fs2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 ( ) = p d = p d s

s

− −

− ∞

∞− −

− ∞

∞

− −∫ ∫/ /

Folosind schimbarea de variabilă:2− −s τ p = u


( ) ( ) ( )

( ) ( )

σ ψ τ ψ

ψ

t s f ps

f

f

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

( ) = u + p u du =

= u + p u du

s

s

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫

∫

/

sau:

( ) ( )( )σ ψ τ σ ψ τt s f o t f ( ) = s2 (412)

Dacă:

( ) [ ]supp fψ τ = , R0

atunci:

( ) [ ]supp Rs f osψ τ = , 0 2

sau ţinând seama că p este indice de poziţie rezultă:

( ) ( )[ ]supp Rs f psψ τ = , + p0 2 (413)

Banda efectivă a semnalului ( )ψ τsfp se ob•ine din:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) = p d =

= d = d

σ ψ τ ω ψ τ ω

ω ψ τ ω ω ω ψ ω ω

ω2 2 2

2

22

22

2 2

2 2 2 2

F F

F F

s f p

s

fs

sf

s sf

s

− −

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

−

∫

∫ ∫


Cu substituţia:2sω = u

rezult•:

( ) ( ) ( ) = u u du s s

σ ψ τ ψω2 2 2

22 2 2F Fs f p

sf

− −

− ∞

∞

∫adică:

( ) ( ) ( ) = sσ ψ τ σ ψω ωF Fs f p f2−

Aşadar, dacă:

( ) [ ]supp BfF ψ ω π π ω = f, f +2 2

atunci:

( ) ( )[ ]supp Bs f pF ψ ω π π ω = f, f + s s2 2 2 2− −⋅ (414)

Deci atomul timp-frecvenţă are o localizare în planul timp-frecvenţă descrisăde valorile indicilor s, f şi p. Celula de rezoluţie corespunzătoare acestui atom este un

dreptunghi de laturi ( )σ ψt s f p şi ( )σ ψω s f p al cărui centru (numit centru de

energie al semnalului ψ s fp ) are o poziţie specificată prin intermediul valorilor

indicilor s, f şi p.În continuare se consideră exemplul pachetelor de funcţii "wavelet" de tip

Haar-Walsh. În acest caz:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

( ) ( ) ( )

m n n n

m n n n

t

0

1

0

1

2

1

21

1

2

1

21

1

= + −

= − −

= − −

δ δ

δ δ

ψ τ σ τ σ

(415)

Funcţiile ( )ψ τn , n≥ 0 au suportul inclus în intervalul [0, 1]. Fie n un număr cuexprimarea binară:

n n ... n n ... no p p P1 1+

şi:


[ ]CGn p pp = n n⊕ +1

unde ⊕ reprezintă adunarea modulo 2. CG n se numeşte codul Gray al numărului n.[114].

De exemplu numărul 5 are exprimarea binară:

101Codul Gray al numărului 5 este:

111Deci:

CG 5 7 = Transformarea care descrie codul Gray este inversabilă. Inversa este dată de:

[ ]CGn p p p−

+ +⊕ ⊕ ⊕11 2p = n n n ...

Suma din membrul drept al ultimei relaţii este finită, deoarece:

n = p 0 dacă n< 2p

Reluând exemplul considerat:[ ]

[ ]

CG

CG

71

71

0 1 1 1 1

1 1 1 0

−

−

⊕ ⊕

⊕

= =

= =

[ ]CG 71 2 1− =

Într-adevăr:CG 7

1 5− = Transformarea inversă poate fi calculată şi recursiv:

CGaca CG r

par

CGr

aca CG par

nn n

n n

nn n

n n

21

1 1

1 1

21

1 1

1 1

2

2 1

2 1

2

−− −

− −

−− −

− −

= CG , d este pa

CG + , daca CG este im

= CG + , daca CG este pa

CG , d este im

(416)

Conform relaţiilor (395), (396) şi (415) elementele pachetului de funcţii "wavelet"ortogonale sunt:


ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ2 21

22

1

22 1 2 2 1n n n n n( ) = ( )+ ( ) = ( )+ ( )−

− (417)

ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ2 1 21

22

1

22 1 2 2 1n n n n n+ − −

− −( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) (418)

Pentru n = 0 se obţin:ψ τ ϕ τψ τ ψ τ

o H

H

( ) = ( )( ) = ( )1

Pentru n = 1 se obţin:ψ τ ψ τ ψ τψ τ ψ τ ψ τ2

3

2 2 1

2 2 1

( ) = ( ) + ( )( ) = ( ) ( )

H H

H H

−− −

iar pentru n = 2:ψ τ ψ τ ψ τψ τ ψ τ ψ τ4 2 2

5 2 2

2 2 1

2 2 1

( ) = ( ) + ( )( ) = ( ) ( )

−− −

Graficele acestor funcţii sunt prezentate în figura 2.7.1.2.10.

Figura 2.7.1.2.10 Graficele primelor 6 funcţii din pachetul de funcţii"wavelet" ortogonale din acest exemplu


Se observă că s-au obţinut funcţiile Walsh pe intervalul [0, 1], [114]. De aceeapachetul de funcţii "wavelet" ortogonale din acest exemplu se numeşte de tip Haar-Walsh.

Analizând figura 2.7.1.2.10 se constată că numărul de treceri prin 0 alefuncţiei ψ τn( ) este egal cu CG n

−1.De fapt această afirmaţie este adevărată pentru orice număr natural n. Într-

adevăr, fie n' numărul de treceri prin 0 ale funcţiei ψ τn( ) în intervalul (0, 1). Sepresupune că este adevărată egalitatea:

n = ' CG n−1 (419)

Dacă n' este impar ψn( )0 şi ψn( )1 au semne contrare. Funcţia ψ τ2n( ) are2 1n'+ treceri prin 0 în intervalul (0, 1). Funcţia ψ τ2 1n+ ( ) are 2n' treceri prin 0 înintervalul (0, 1). Relaţia (416) arată că şi CG n

−1 are aceste proprietăţi. Dacă n' esteimpar atunci ψn( )0 şi ψn( )1 au acelaşi semn. Funcţia ψ τ2n( ) are 2n' treceri prin 0în intervalul (0, 1). Funcţia ψ τ2 1n+ ( ) are 2 1n'+ treceri prin 0 în intervalul (0, 1). Şiîn acest caz ipoteza (419) este în acord cu relaţia (416). Dar frecvenţa unui semnalcosinusoidal este egală cu jumătate din numărul de treceri prin 0 al acestui semnal înintervalul [0, 2π]. De aceea putem afirma că frecvenţa nominală a funcţiei ψ τn( ) din

exemplul nostru este n'

2. Deci funcţia ψ τn( ) din pachetul de funcţii "wavelet"

ortogonale de tip Haar-Walsh are frecvenţa nominală 1

21 CG n− . Elementul

ψ τn k p ( ) = ( )2 22− − −

k pk

nψ τ are ca şi suport temporal intervalul

( )[ ]2 2 1k kp, p+ , a cărui lungime este 2k .Această observaţie finalizează primul exemplu de pachet de funcţii "wavelet"

ortogonale.În continuare se defineşte pachetul de funcţii "wavelet", ~ψ τs f r ( ) . În acest

scop se defineşte intervalul diadic de numere reale:

I k n k k = n

, n+

2

1

2

(420)

Există o corespondenţă naturală între intervalele diadice şi subspaţiile lui ( )L2 R :( )I s f

sf ↔ σ Λ (421)

282 7.1.2.10 Pachete de funcţii “wavelet”

În legătură cu această corespondenţă se poate demonstra următorul rezultat.Lema 1.7.1.2.10. Dacă intervalele diadice Is f' ' şi Isf sunt disjuncte sau dacăI Is f sf' ' = dar p p' ≠ atunci:

ψ ψs f p s f p ' ' , = ~' 0

Demonstraţie. Dacă s = s' şi f = f ' atunci:

I s s f' ' f = IÎn acest caz:

( ) ( )

( ) ( )

ψ ψ ψ τ ψ τ τ

ψ τ ψ τ τ

s f p s fs

fs

sf

sf

s

, = p p d =

= p p d

f p s s

*

*

~ ~ '

~ '

' ' '/ '/

''2 2 2 2

2 2 2

2 2− − − −

− ∞

∞

− − −

− ∞

∞

− −

− −

∫

∫

Cu schimbarea de variabilă:2− = usτ


( ) ( ) ( ) ( )ψ ψ ψ ψ ψ ψs f p s f f f f , = u p u p du = u p , u p f p

*~ ~ ' ~ '' ' ' − − − −− ∞

∞

∫


[ ] [ ] [ ]ψ ψ δ δ δs f p s , = f f p p = p p = , p p f p~ ' ' ' '' ' ' − − − ≠0 (422)

Dacă s = s' şi f ≠ f ' atunci:

( ) ( ) ( ) ( )ψ ψ ψ ψ ψ ψs f p s f f f f , = u p u p du = u p , u p f p

~ ~ ' ~ '' ' ' ' '− − − −− ∞

∞

∫



[ ] [ ]ψ ψ δ δsfp s f p , = f f p p = , f f~ ' ' '' ' ' − − ≠0 (423)

Dacă s'< s fie:r = s s − >' 0

Atunci:( ) ( ) ( ) ( )ψ σ ψ σ σ σs f p

sf s

sf

s rf ; = = f p∈ −Λ Λ Λ~ ~ ~

' ' ''

' '

Dar:

( ) ( )( )

( )σ σ σs rf

n r f

r fs

n−

+ −

∪~ ~'

'

Λ Λ = = '

2

2 1 1

(424)

Dacă intervalele diadice Is f' ' şi Isf sunt disjuncte, atunci fiecare termen al reuniuniidin membrul drept al ultimei relaţii este un spaţiu ortogonal pe spaţiul Λ f :

( )2 2 1r rn ff n f + , ' '

~≤ ⊥Λ Λ


( ) ( ) ( )σ σ σs rf

sf

− ⊥~'Λ Λ

adică:

ψ ψs f p s , = f p~

' ' ' 0

Lema 1.7.1.2.10 este aşadar demonstrată.Dacă:

s = s, f = f' ' şi p = p'atunci:

( ) ( )ψ ψ ψ ψs f p s f f , = u p , u p = f p~ ~ '' ' ' − − 1 (425)

În consecinţă ψ s f p s s f p∈ ∈ ∈ I , f I , p I şi ~

' ' '' ' '

ψ s s s f p f p I , f I , p I∈ ∈ ∈

sunt

biortogonale.


În continuare se "rafinează" descompunerea:

Ln

n2 = ∪ Λ

admiţând că şi indicele s variază.Fie I o acoperire diadică realizată cu intervale Is k ,disjuncte, a mulţimii R+. Se

poate formula acum următoarea teoremă.

Teorema 2.7.1.2.10 Dacă I este o acoperire diadică realizată cu intervale disjuncte

a lui R+ atunci există un pachet de funcţii "wavelet" ψ s f p s f, I I , p Z∈ ∈ care

formează o bază a spaţiului ( )L2 R .

Demonstraţie. Mulţimea ψ s f p , p Z∈ este o bază pentru spaţiul ( )σ sfΛ .

Două astfel de spaţii sunt disjuncte dacă intervalele diadice care le corespund suntdisjuncte. De aceea este suficient să se demonstreze că mulţimea

( ) ∪ ∪ ∈s f

sf s f I , Iσ Λ este densă în ( )L2 R .

Se consideră pentru început cazul s≤ 0 pentru toate intervalele Is, f din I.În acest caz fiecare spaţiu Is. f corespunde spaţiului:

( )( )

σ sf

n s f

s f

nΛ Λ= =

∪−

− + −

2

2 1 1

şi indicii acestor subspaţii sunt tocmai întregii din intervalul Is, f.Deoarece:

∪ ∪ +

s f s f I = R

avem:

( )∪ ∪∞

s = = σ s

f n nΛ Λ

0

a cărui închidere s-a demonstrat deja că este ( )L2 R .

Dacă s ≤ k, pentru toate intervalele Is, f din I, atunci:

( ) ( )∪ ∪∞

s = = σ σs

fk

n nΛ Λ

0


Închiderea membrului stâng este spaţiul ( )σ k L2 care este identic cu spaţiul L2.

Observaţii1.Dacă mo şi m1 sunt filtre ortogonale atunci mulţimea din teorema anterioară

este o bază ortonormală a lui ( )L2 R .2. Dacă I este o acoperire diadică a intervalului [0, 1) atunci pachetul de

funcţii "wavelet" ψ s f p s f, I I , p Z∈ ∈ formează o bază a spaţiului Vo.

În practică este important calculul coeficienţilor descompunerii unui semnal înbazele generate de pachetele de funcţii "wavelet".

Fie:

( )λ ψs f s f p(p) = x, ; x L R , s Z, p Z, f∨ ∈ ∈ ∈ ≥2 0 (426)

Dacă:x( ) = ( )τ ψ τ~

's f p∨

atunci:

( ) ( )λ ψ τ ψ τ ψ τ ψ τ τs f s f p s f p

s

fs

s

fs

(p) = ( ), ( ) = p p d*~ ~ ~ ''∨ ∨ − − − −

− ∞

∞

− −∫2 2 2 22 2

Cu schimbarea de variabilă:u = p ' − −2 s τ


( ) ( ) ( )λ ψ ψ δs f f f

*

(p) = u u + p p du = p p*~ ' '−

−

− ∞

∞

∫ (427)

Similar :~ ~

~ ~

λ ψ

τ λ ψ τ

s f s f p

s f s f pp

(p) = x,

x( ) = (p) ( )

∨

∨∑

(428)

Se va mai folosi notaţia λ pentru λo , produsele scalare ale lui x cu elementele

bazei spaţiului ( )σ oo oVΛ = . În continuare se vor calcula produsele scalare ale lui x

cu fiecare dintre elementele bazelor spaţiilor ( )σ sfΛ pentru s > 0 şi 0 2≤ <f s,

prin aplicarea operatorilor ( )mo ↓ şi ( )m1↓ de s ori.


Aceste calcule sunt o consecinţă a următorului rezultat.

Lema 2.7.1.2.10 Secvenţele de coeficienţi λ s f satisfac relaţiile de

recurenţă:

( )λ λs f o s f+ ↓1 2 (p) = m (p) (429)

( )λ λs f s f+ + ↓1 2 1 1 (p) = m (p) (430)

Demonstraţie.

( )( )( )

λ ψ τ ψ τ τs f s f p fs

s

+ +∨ − + −

+

− ∞

∞

−∫12 12 21

1

22 2

(p) = x, = x( ) + p d* (431)


( )

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] [ ] [ ] ( )

λ τ ψ τ τ

τ ψ τ τ

ψ λ λ

s f

s

ok

fs

ok

s

fs

ok

s k o s fk

o s f

+−

+−

− ∞

∞

− −

− ∞

∞

−

∑∫

∑ ∫

∑ ∑

− −

− −

− ↓

1 2

1

2

2

2

2 2 2 2

2 2 2

2

, f , p

(p) = x( ) m k p k d =

= m k x( ) p k d =

= m k x, = m k p k = m (p)

*

*

Demonstraţia relaţiei (430) este identică dacă se înlocuieşte mo cu m1. Pachetul de

funcţii "wavelet" ψsfp cuprinde o bibliotec• de funcţii, care se pot organiza pe

baza lemei 2.7.1.2.10. Aceste funcţii formează un "arbore binar" ale cărui noduri suntspaţiile ( )σ s

fΛ . "Rădăcina" acestui arbore este spaţiul Vo o= Λ . Acest arbore

precum şi cel corespunzător coeficienţilor λsf (p) sunt prezentaţi în figura3.7.1.2.10. De fapt, citiţi invers (de jos în sus), arborii prezentaţi pot fi consideraţi şi cafiind arbori de sinteză. Fiecare nod reprezintă "suma" celor două noduri imediatdescendente (copiii nodului).


Pentru a obţine analiza cu un pachet de funcţii "wavelet" a unei funcţii separcurg următoarele etape:

1. Se determină coeficienţii funcţiei în subspaţiul rădăcină,2. Se urmăresc ramurile arborelui din figura 3.7.1.2.10 pentru descompunerile

funcţiei date în subspaţiile descendente.Ramurile arborelui corespund indicilor s şi f şi deci unei secvenţe de operatori

( )mo ↓ şi ( )m1 ↓ . Corespondenţa între elementele pachetului de funcţii "wavelet" şiramurile arborelui poate fi găsită pe baza reprezentării binare a întregului

[ ]f , ∈ −−0 2 1k , ( )f = f ... f fk o−1 1 2, folosind următoarea teorem•.

Teorema 3.7.1.2.10. Oricare ar fi s ≥ 0 şi 0 2≤ <f s , e valabilă relaţia:

( )λ λs f o sF = ... F (p)−1 (432)

unde:

Figura 3.7.1.2.10 Arbori de analiză cu pachete de funcţii "wavelet".


Fio i

i =

m daca f =

m daca f =

↓

↓

0

11

(433)

Practic, teorema a fost deja demonstrată.În continuare se estimează complexitatea algoritmului sugerat de teorema

3.7.1.2.10. Dacă secvenţa rădăcină, (p)λ , are durata 2N D= atunci fiecare aplicarea operatorilor m0 ↓ , m1 ↓ consumă un număr de înmulţiri-adunări de ordinul demărime a lui D (O(D)). Numărul maxim de iteraţii ale algoritmului depinde devaloarea lui D. Având în vedere că după fiecare iteraţie a algoritmului durata secvenţeiobţinută este de două ori mai mică decât durata secvenţei de dinainte de iteraţie,rezultă că numărul maxim de iteraţii este:

N = log D2 (434)De aceea numărul total de opera•ii de înmulţire-adunare efectuate de

algoritmul propus este de ordinul: ( )O D log D 2 . În figura 4.7.1.2.10 se prezintă oparticularizare a arborelui de coeficienţi din figura 3.7.1.2.10 pentru pachetul defuncţii "wavelet" Haar-Walsh.

Figura 4.7.1.2.10 Ordonarea naturală a pachetului de funcţii "wavelet" Haar-Walshpentru "rangul" 8 (23, s = 3).


Secvenţa de analizat are 8 eşantioane. Numărul de ordine al liniei reprezintăvaloarea lui s. Linia 0 corespunde rădăcinii.

Numărul de ordine al coloanei este o combinaţie între indicele de frecvenţă fşi indicele de poziţie p: indicii din fiecare bloc specifică poziţia iar ( )CG−1 fspecifică frecvenţa.

Dacă fiecare din cele 4 dreptunghiuri mari din figura 4.7.1.2.10 se suprapunepeste intervalul [0, 1) atunci blocurile de coeficienţi ocupă subintervale diadice.Secvenţa de coeficienţi λ s f este conţinută într-un bloc care se suprapune peste

intervalul Is f . În figura 5.7.1.2.10 sunt prezentate graficele elementelor ψ τs f p ( ) ,

din cadrul pachetului de funcţii "wavelet" de tip Haar-Walsh corespunzătoarediferitelor blocuri din figura 4.7.1.2.10.

Figura conţine 3 coloane principale, fiecare alcătuită din două coloanesecundare. În coloanele secundare din stânga sunt prezentate graficele, ψ τs f p ( ) iar

în coloanele secundare din dreapta este prezentată poziţia coeficientului corespunzător[ ]λ s f p . Se constată că graficele funcţiilor ψ τ3, f ( ) sunt identice cu graficele din

figura 2.7.1.2.10, pentru f = n şi f = , 0 5.

Figura 5.7.1.2.10 Pachetul de funcţii "wavelet" de tip Haar-Walsh de rang 8.


Se observă că există 24 de funcţii ψ τs f p ( ) pentru un număr util de 8

coeficienţi. Cele 24 de funcţii compun o mulţime mai redundantă decât o bază. Poatefi aleasă în consecinţă o submulţime cu caracteristici de bază, adaptată la un semnalparticular sau la o problemă particulară. Când există posibilitatea alegerii unei bazepentru reprezentarea unui anumit semnal atunci poate fi căutată cea mai bună bază dinpunctul de vedere al unui anumit criteriu. În acest mod se obţine baza adaptată lasemnalul considerat. Fie B o mulţime numărabilă de baze ale spaţiului Hilbertseparabil X. Se prezintă o listă de proprietăţi utile pentru mulţimea B .

- Calculul rapid al produselor scalare cu elementele bazelor din B ,- Localizarea temporală bună a elementelor bazelor din B ,- Localizarea frecvenţială bună a elementelor bazelor din B ,- Independenţă, astfel încât să nu existe multe elemente ale unei baze care săse potrivească cu o anumită porţiune din semnalul de analizat.Pentru a alege cea mai bună bază este necesar să se aprecieze în ce măsură

fiecare bază din B are properietăţile enunţate mai sus.Înainte de a putea defini o reprezentare optimă, este necesar să se poată

aprecia care este costul memorării unei anumite reprezentări. Vom numi acest cost,cost de informaţie. Fiind dată secvenţa [ ]u k se poate defini o funcţională de cost deinformaţie corespunzătoare secvenţei [ ]u k prin:

[ ]( ) ( )Mk

(u) = u k , = µ µ

∈∑

Z

0 0 (435)

unde µ este o funcţie reală definită pe [0, ∞).Pentru orice element x X∈ se defineşte:

[ ]u k = b , xkunde bk este cel de al doilea element al bazei B din B .

Costul de informaţie al reprezentării lui x în baza B este ( )M kb , x . S-a

definit în acest mod funcţionala Mx pe B :

( )M B Ma k: , b , xB → →R (436)

S-a obţinut în acest mod costul de informaţie M al lui x în baza B. Cea mai bună bazădin B pentru semnalul x în raport cu costul de informaţie M este acea bază B pentru

care ( )M kb , x are valoarea minimă. În continuare se prezintă câteva exemple de

funcţionale de cost de informaţie.Exemplul 1. Numărul de eşantioane peste un anumit prag


Se fixează un prag ε şi se numără elementele din secvenţa [ ]u n a căror valoareobţinută depăşeşte pragul.

µε

ε(w) =

w , w , w

≥

<

0

Exemplul 2. Concentrarea în spaţiul l p , 0 < p < 2:

µ(w) = w

(u) = u

P

PPM

Exemplul 3. Entropia

Entropia secvenţei u[n] este definită cu relaţia:

E(u) = p(k) log p(k)

1

k∑ (437)

unde:

[ ][ ]

p(k) = u ku k

; p log p

= 2

2

10 dacă p = 0 (438)

Funcţionala:

[ ][ ]

l(u) = u k log u k

22

1

k∑ (439)

este o funcţională de cost de informaţie.

Exemplul 4. Logaritmul energiei

[ ]M log k

N(u) = u k

=

2

1∑


Mulţimea B poate fi numită "bibliotec•" de baze. Dacă biblioteca de baze este unarbore de "înălţime" finită L (există L nivele de descompunere), atunci cea mai bunăbază pentru un semnal x poate fi determinată prin calculul costului de informaţie înfiecare "nod" al arborelui şi prin compararea nodului "copil" cu nodul "părinte",începând de jos.În acest mod fiecare nod este examinat de două ori, odată considerându-se că este unnod "copil" şi a doua oară considerându-se că este nod "părinte". Acest algoritm decăutare este exemplificat în figurile următoare. În figura 6.7.1.2.10 au fost plasatenumere în interiorul nodurilor arborelui pentru a specifica costurile de informaţie. Semarchează cu asterisc toate nodurile de pe nivelul de jos. Costul lor total de informaţieeste egal cu 28. Se încearcă reducere acestei valori. Ori de câte ori un nod "părinte" areun cost de informaţie inferior costului total de informaţie al nodurilor

sale "copii", acest nod "părinte" se marchează cu un asterisc. Dacă nodul "părinte" areun cost de informaţie superior celui al nodurilor "copii" care-i corespund, atunci acestnod "părinte" nu se marchează cu asterisc ci i se alocă costul total de informaţie alnodurilor "copii" care îi corespund. În figura 7.7.1.2.10 aceste costuri de informaţietransferate sunt prezentate între paranteze. Rezultatul căutării celei mai bune baze esteprezentat în figura 8.7.1.2.10. Se constată că a avut loc o reducere a costului deinformaţie de la valoarea 50 la valoarea 32. Algoritmi şi programe deimplementare a pachetelor de funcţii "wavelet" precum şi a metodei de căutare a celeimai bune baze ca şi aplicaţii ale acestor metode vor fi prezentate în capitoleleurmătoare.

Figura 6.7.1.2.10 Iniţializarea algoritmului de căutare a celei mai bune baze.


.

Figura 7.7.1.2.10 Primul pas al algoritmului de căutare a celei mai bune baze.

*

*

* *

* * * *

Figura 8.7.1.2.10. Rezultatul algoritmului de căutare a celei mai bune baze.

294 7.2 Analiza semnalelor nestaţionare folosind un dicţionar timp-frecvenţă

7.2 ANALIZA SEMNALELOR NESTAŢIONARE FOLOSIND UNDICŢIONAR TIMP-FRECVENŢĂ

Dacă se construieşte un pachet de funcţii "wavelet" aplicând de L ori artificiulde împărţire, atunci se pot obţine mai mult de 2L baze ortonormale ale spaţiului Vo,dintre care doar L sunt baze ortonormale de funcţii "wavelet". Toate aceste L bazeformează o bibliotec• de pachete de funcţii "wavelet". Fiecare element al uneia dintreaceste baze este un atom timp-frecvenţă. Atomii obţinuţi în urma aplicării metodei deselectare a celei mai bune baze sunt adaptaţi la semnalul de analizat din punctul devedere al localizării în planul timp-frecvenţă.

După cum s-a văzut în exemplul dat în paragraful anterior în cazul pachetuluide funcţii "wavelet" de tipul Haar-Walsh, localizarea în domeniul frecvenţă nu estefoarte bună. Mai mult, nici indexarea atomilor în domeniul frecvenţă nu este simplă. Oclasă de atomi timp-frecvenţă cu proprietăţi superioare a fost introdusă de S. Mallat înanul 1992 [91].

El a pornit de la o funcţie temporală w( )τ şi a construit atomii timp-frecvenţăprin scalare, translatare şi modulaţie. Un atom din această clasă se exprimă cu relaţia:

w ( ) = s

w t

s e, w , ts

o j o o

oττ ω τ1 −

(440)

Se observă că în acest mod indicii de scară, s, şi de frecvenţă, ω o, sunt cuvariaţie independentă. În continuare se determină durata efectivă şi banda efectivă aleatomului definit în relaţia (476). Avem:

( )στ τ

τωt so

o o

22 2

, , t

w =

s w

ts

d− ∞

∞

∫−

Pentru t0 = 0, ultima relaţie devine:

( )στ

ωt s o2

02 2

, ,

w = s u w (u) s du , u =s

− ∞

∞

∫adică:

( ) ( ) ( )σ σ σω ωt s t to ow = s w = s w, , , , 0 1 0 (441)


Deci atomul w ( ), , os toω τ este localizat în timp într-un interval centrat pe momentul

to, de lungime ( )s wσt .Banda de frecvenţă efectivă a acestui atom este:

( ) σ ω ωω ωt s so o o o

2 22

, , t

, , tw = w d− ∞

∞

∫ F

Dar:

( )

( )( ) ( ) ( )( )

w =s

w t

s e d =

=s

w (u) e s du = s e w s

, , t

t

F

F

so j

j su t j o

o o

o

o o o o

ωω ω τ

ω ω ω ω

ττ

ω ω

1

1

−

−

− −

− ∞

∞

− − +

− ∞

∞− −

∫

∫

Deci:

( )( )σ ω ω ω ωω ω2 2 2

, , t

w = s w s ds oo oF −

− ∞

∞

∫

Pentru ω o = 0, rezultă:

( )σω2

0

22

, , t

w =us

w uduss o

F− ∞

∞

∫

sau:

σ σω ωw =s

(w), , ts o01

(442)

În consecinţă localizarea în frecvenţă a atomului considerat se face într-un

interval centrat pe ω o, de lungime 1

s (w)σω . Deci aria celulei de rezoluţie din

planul timp-frecvenţă, corespunzătoare atomului considerat este:

Ac r t = (w) (w)σ σω egală cu aria celulei de rezoluţie a ferestrei temporale w( )τ .

Fie:( )γ ω = , , ts o o

296 7.2 Analiza semnalelor nestaţionare folosind un dicţionar timp-frecvenţă

Mulţimea w ( )γ γτ reprezintă un "dicţionar timp-frecvenţă".

Această mulţime este redundantă. Pentru a reprezenta un semnal de energiefinită x( )τ cu ajutorul atomilor timp-frecvenţă din acest dicţionar se selectează o

mulţime numărabilă de atomi ( ) wZ

γ τn n ∈

astfel încât:.

( ) ( )x = a wτ τγn nn∑ (443)

Alegerea atomilor timp-frecvenţă ( )wnγ τ poate fi făcută cu un algoritm adaptiv

numit "matching pursuit". Acest algoritm are următoarele etape:

- Se alege primul atom, ( )w0γ τ astfel încât:

x, w = x, w γγ

γosup

şi se face descompunerea:

x x w w Rx= +, γ γ0 0

0

unde R x0 reprezintă eroarea de aproximare a lui x prin x w w, γ γ0 0

.

-Se alege cel de al doilea atom, ( )w γ τ1

astfel încât :

R w R wx x0

10, ,γ

γγ= su p

şi se face descompunerea:

R Rx x x = , w w + Rγ γ1 1

1

Algoritmul se continuă până când eroarea de aproximare scade sub o valoare impusă.

Dacă închiderea mulţimii w ( )γ τn n I

∈

este chiar ( )L2 R atunci:

lim Rn

xn

→∞ = 0

şi expresia lui x( )τ devine:


x( ) = , w w =

τ γ γR xn

n nn 0

∞

∑ (444)

În acest caz este valabilă şi relaţia:

x = , w 22

R xn

nn

γ∑

Algoritmul descris este inspirat din tehnicile de estimare statistică a parametrilor.Acest algoritm se utilizează şi în cazul reprezentărilor timp-frecvenţă de tipultransformare Fourier scurtă adaptivă, definită în paragraful 8.1 din [117].

Principalul său dezavantaj este volumul mare de calcul pe care îl implică.În paragraful 7.1 a fost prezentată o metodă asemănătoare de aproximare a

semnalelor de energie finită folosind cadre. În [42] este prezentat un algoritm de găsirea cadrului adaptat la un semnal dat, x( )τ . Acest algoritm conduce la minimizareaerorii de aproximare din relaţia (155'). În cazul acestui algoritm, dicţionarul timp-frecvenţă corespunzător are ca şi atomi elementele cadrelor. De aceea acest algoritmde căutare a fost numit metoda "frame".

Pe lângă metodele "matching pursuit", “cea mai bună bază” şi "frame" maiexistă şi o a patra metodă de găsire a elementelor unui dicţionar timp-frecvenţă care săse adapteze cel mai bine la dezvoltarea unui anumit semnal impus. Această metodăeste propusă de D.Donoho în [25]. Numele metodei este "basis pursuit". Ideea acesteimetode este găsirea mulţimii ψ n n∈Z într-un dicţionar timp-frecvenţă prin

minimizarea normei l1 a coeficienţilor an din formula:

x( ) a ( )τ ψ τ≅ ∑ n nn

(445)

la o eroare de aproximare impusă. Aplicaţii ale acestei metode sunt prezentate în [19].

298 7.3 Discretizarea reprezentărilor biliniare

7.3 DISCRETIZAREA REPREZENTĂRILOR BILINIARE

Calea tradiţională de analiză a unui semnal în timp continuu, cu ajutorulcalculatorului numeric, este bazată pe utilizarea variantei eşantionate a acelui semnal.Această cale este folosită, spre exemplu, la construcţia analizoarelor de spectru bazatepe utilizarea algoritmului FFT [124]. Fie x(t) semnalul de analizat şi x (t)e , varianta saeşantionată. Este vorba despre eşantionarea uniformă (ideală, cu pasul T):

( ) ( )x (t) = x(t) (t) = x kT t kT= -

e Tk

δ δ −∞

∞

∑

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă a semnalului x (t)e

este:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

TF t txeSTFT

ej j

k

j

k

j

k

t, = x ( )w( ) e d = x kT kT w( )e d

= x kT w(kT t) kT e d = x kT w(kT t) e

k T

k T

ω τ τ τ δ τ τ τ

δ τ τ

ωτ ωτ

ω ω

− − −

− − −

−

− ∞

∞−

− ∞

∞

−

− ∞

∞−

∫ ∑∫

∫∑ ∑De aceea se poate scrie:

( ) ( ) ( )( )TF TxeSTFT j

knT, = x kT w k n e k Tω ω− −∑

Dar:[ ] [ ]x n = x ne

Pentru T = 1, se obţine reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare Fourierscurtă a semnalului în timp discret x[n]:

( ) [ ] [ ]TF w k n exSTFT j kn, = x k

k =-Ω Ω− −

∞

∞

∑ (446)

De aceea se poate afirma că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul spectogramă areexpresia:

( ) [ ] [ ]TFxS j

k n, = x k w k n e k

= Ω Ω− −

− ∞

∞

∑2

(447)


Din cauza continuităţii acestei reprezentări cu variabila Ω, ea nu poate ficalculată numeric. De aceea se recurge şi la eşantionarea variabilei Ω. Având învedere periodicitatea cu 2π după variabila Ω a funcţiilor ( )TFx

STFT n, Ω şi( )TFx

S n, Ω , pe baza formulelor (346) şi (347) pot fi stabilite definiţiile reprezentărilordiscrete de tip transformare Fourier scurtă respectiv, spectogramă:

[ ] [ ] [ ]TFxSTFT j k

Nn, k = x l w l n e , k = , N l

l = − −

−

− ∞

∞

∑2

0 1π

(448)

[ ] [ ] [ ]TFxS j k

Nn, k = x l w l n e , k = , N l

l = − −

−

− ∞

∞

∑2 2

0 1π

(449)

Proprietăţile acestei reprezentări timp-frecvenţă sunt prezentate în [94]. Avândîn vedere faptul că reprezentarea timp-frecvenţă de tipul funcţiei de incertitudine asemnalului x(t) este identică cu transformarea Fourier scurtă a aceluiaşi semnalfolosind fereastra temporală:

x(t) = w(t)

se poate defini reprezentarea discretă de tipul funcţie de incertitudine a semnalului întimp discret x[n] cu relaţia:

[ ] [ ] [ ]TFxFI j k

N

m n, k = x m x m n e , k = , N

m

= − −

− ∞

∞

∑2

0 1π

(450)

Ţinând seama de relaţia (69), care reprezintă legătura dintre nucleele reprezentărilortimp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine respectiv Wigner-Ville se poate definişi reprezentarea discretă de tipul Wigner-Ville:

[ ] [ ] [ ]TFxW V j k

N

m

− −∞− −∑n, k = x n+ m x n m e , k = , N* m

=

22

0

0 1π

(451)

Aplicând reprezentarea timp-frecvenţă de tipul transformare "wavelet"continuă semnalului x (t)e se obţine:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )TFxCWT

k ke

(t, )= x kT t kT t d = x kT kT t

ω ω δ ψ ω τ τ ω ψ ω− − −∑∫ ∑− ∞

∞

De aceea reprezentarea timp-frecvenţă de tipul "wavelet" discretă a semnaluluix[n] este:

[ ] [ ] ( )TFN Nx

CWT

m n, k = k x m k m n , k = , N

=

2 21

πψ

π−

− ∞

∞

∑ (452)

În consecinţă reprezentarea timp-frecvenţă de tipul scalogramă discretă, are expresia:

[ ] [ ] ( )TFN Nx

S

m

C n, k = k x m k m n , k = , N=

2 21

2π

ψπ

−

− ∞

∞

∑ (453)

Având în vedere modul în care au fost deduse expresiile principalelor reprezentăritimp-frecvenţă biliniare discrete, în acest paragraf, rezultă că acestea aproximează cuatât mai bine reprezentările continue corespunzătoare cu cât valoarea folosită pentru Teste mai mică respectiv cu cât valoarea folosită pentru N este mai mare. La fel ca şi încazul transform•rii Fourier discrete, [57],şi în cazul transformărilor din acest paragrafse poate vorbi despre erori de aliere în timp şi în frecvenţă respectiv despre erori detrunchiere. Toate reprezentările timp-frecvenţă discrete prezentate au proprietăţispecifice, care ar merita să fie studiate. Acest studiu nu va fi prezentat în această carteavând în vedere că aici reprezentările discrete sunt privite doar ca şi un mijloc decalcul numeric al reprezentărilor continue. În consecinţă nu ne intereseazăreprezentările discrete ca obiect în sine. Având în vedere convergenţa reprezentărilordiscrete la reprezentările continue corespunzătoare, în fiecare punct al planului timp-frecvenţă, putem considera că şi reprezentările discrete se bucură de proprietăţilereprezentărilor continue deja demonstrate. Acest punct de vedere nu este nou, el stă labaza construcţiei unor programe de calcul numeric cum este de exemplu programulMATHCAD sau programul MATLAB. Formule similare pot fi deduse pentru toatereprezentările biliniare generalizate prezentate în această lucrare. Mai sus au fostprezentate atât reprezentări timp-frecvenţă discrete liniare (relaţiile (448), (452)) cât şireprezentări timp-frecvenţă discrete biliniare (relaţiile (449),(450), (451) şi (453)).Toate aceste reprezentări discrete au fost construite prin eşantionarea în domeniulfrecvenţă a unor reprezentări în timp discret corespunzătoare (de exemplu

( )TFxSTFT n, Ω ). Aceste reprezentări în timp discret s-au obţinut prin aplicarea

reprezentării continue corespunzătoare semnalului x (t)e . E clar că reprezentările întimp discret aproximează reprezentările continue în măsura în care semnalul x (t)e

aproximează semnalul x(t).


Aproximarea este afectată de eroarea de aliere. Această eroare este cu atât mai micăcu cât se eşantionează mai des (adică cu cât valoarea pasului T este mai mică). Laaceeaşi valoare a lui T valoarea erorii de aliere depinde de lăţimea benzii efective defrecvenţă a semnalului care se eşantionează. Cu cât această lăţime este mai mică cuatât şi valoarea maximă a erorii de aliere este mai mică, la o valoare fixată a lui T. Aicise manifestă diferenţa dintre transformările liniare şi cele biliniare. Această diferenţăse va analiza luând ca exemplu cuplul de reprezentări: de tip transformare Fourierscurt• (din categoria reprezent•rilor liniare) şi de tip Wigner-Ville (din categoriareprezentărilor biliniare). Admiţând că semnalul x(t) are banda de frecvenţe B estenecesar ca el să fie eşantionat cu un pas T care satisface condiţia:

22

π πT

B B

≥ ⇔ ≤ T (454)

Valoarea maximă a pasului T care poate fi utilizat pentru construcţia reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă în timp discret este deci:

TB

=π

(455)

În cazul reprezentării timp-frecvenţă de tipul Winger-Ville:

( ) ( ) ( )TFxW V

e ej

e− −

− ∞

∞

−∫t, = 2 x t + x t e d*

ω τ τ τωτ2

nu se mai eşantionează semnalul x(t) ci semnalul ( ) ( )x t+ x t*τ τ− . E clar că bandade frecvenţe a acestuia este de lăţime 2B. Deci în acest caz este necesar să seeşantioneze cu un pas de valoare maximă π2B . Deci în cazul reprezentărilor biliniareeroarea de aproximare a reprezentării continue prin reprezentarea discretă este maimare decât în cazul reprezentărilor liniare. În cazul reprezentării de tip Wigner-Villese preferă uneori calculul reprezentării semnalului analitic asociat în loculreprezentării semnalului. Spectrul semnalului analitic asociat unui semnal al căruisuport frecvenţial este simetric faţă de frecvenţa nulă este localizat într-un interval defrecvenţe pozitive a cărui lungime este egală cu jumătate din lungimea intervalului încare este localizat spectrul semnalului iniţial. De aceea pentru discretizareareprezentării Wigner-Ville a semnalului analitic asociat unui semnal se poate utilizaaceeaşi valoare a pasului de eşantionare ca şi în cazul discretizării reprezentării detipul transformare Fourier scurtă a aceluiaşi semnal. Deşi se obţine aceeaşi eroare dealiere totuşi reprezentarea Wigner-Ville discretă a semnalului analitic asociatsemnalului de analizat are un dezavantaj. Deoarece semnalul analitic asociat estecomplex, numărul de operaţii care trebuiesc efectuate este de două ori mai mare încazul calculului reprezentării discrete de tip Wigner-Ville a semnalului analitic asociatdecât în cazul reprezentării discrete de tip


transformare Fourier scurtă a semnalului iniţial (aceleaşi operaţii se efectuează atâtpentru partea reală a semnalului analitic cât şi pentru partea sa imaginară).

Metoda descrisă este avantajoasă în cazul prelucrărilor de semnal bazate peutilizarea semnalului analitic. Formulele din acest paragraf au fost stabilite în ipotezacă semnalul de analizat x(t) era continuu şi aperiodic.

Pot fi definite reprezentări biliniare discrete şi pentru semnale x(t) discrete şiaperiodice sau continue şi periodice sau discrete şi periodice. Astfel de reprezentăridiscrete sunt prezentate în [105].

Reprezentările biliniare din clasa lui Cohen respectiv din clasa afinăreprezintă practic generalizări ale noţiunii de densitate spectrotemporală de energie. Oastfel de noţiune se poate defini şi pe spaţiul ( )l Z2 . Pornind de la o astfel de definiţieîn [101] se introduc noi tipuri de reprezentări timp-frecvenţă biliniare discrete,folosind un punct de vedere pur discret.

Şi în cazul reprezentărilor timp-frecvenţă biliniare s-au încercat discretizăribazate pe teoria cadrelor. Un astfel de exemplu de discretizare este prezentat în [109].Având în vedere că descompunerile în cadre sunt operaţii liniare, pentru a putea fiutilizate aceste mulţimi la studiul reprezentărilor biliniare este necesară intoducereaunui context liniar-biliniar. Acest context este creat în ultima lucrare citată prinutilizarea mixtă a unei reprezentări liniare şi a unei reprezentări biliniare.

Tot un context liniar-biliniar este creat şi în lucrarea [67], sau în paragraful 7.2din [117]. Având în vedere noutatea referinţelor bibliografice citate rezultă actualitateaproblemei discretizării reprezentărilor timp-frecvenţă biliniare.

7.4 ATOMI TIMP-FRECVENŢĂ ŞI REPREZENTĂRI BILINIARE

La studiul discretizării reprezentărilor timp-frecvenţă liniare s-a arătat căsemnalul de analizat, x(t), poate fi reconstruit cu formule de tipul:

( ) ( )x(t) = n t , m a , n= =

l x o o mn m

TF ω τ− ∞

∞

− ∞

∞

∑∑

unde cu ( )l x o oTF n t , m ω s-au notat eşantioanele reprezentării liniare (de tiptransformare Fourier scurtă sau transformare "wavelet" continuă) iar cu ( )a , nm τatomii timp-frecvenţă. Membrul drept al ultimei relaţii reprezintă o serie de atomitimp-frecvenţă. Descompunerea atomică a semnalului x(t) este o consecinţă directă aliniarităţii reprezentării timp-frecvenţă utilizată. În acest paragraf se vor prezenta

7 Discretizarea reprezntărilor timp frecvenţă 303

modalităţi de utilizare a reprezentărilor timp-frecvenţă biliniare la descompunereaatomică a semnalelor nestaţionare. Mai mult, vor fi prezentate descompuneri atomiceale reprezentărilor biliniare. Cea mai simplă cale de descompunere liniară a uneireprezentări timp-frecvenţă biliniară este bazată pe utilizarea unei formule de tipulcelei prezentate în ultima relaţie (dar pentru funcţii de două variabile):

( ) ( )b x m mqpnm

TF Ct, = a t, , n, p, q , n, p, qω ω∑∑∑∑unde:

( )C TFm l TFb x, n, p, q = m, n, p, q

Cu b xTF s-a notat reprezentarea biliniară iar cu l TFTFb x

s-a notat reprezentarea

liniară a reprezentării biliniare.Dacă se consideră cazul particular în care reprezentarea biliniară este de tip

Winger-Ville iar reprezentarea liniară este de tip Gabor, atunci:

( )Cm TFSTFT

xW V, n, p, q = TF m, n, p, q−

iar:

( ) ( ) ( ) ( )a t, = w t, = w t n t , m e, n, p, q , n, p, qm m o oj p t q t k p to o o oω ω ω ω ω ω ω− − + −

în care:

( )w , = e

τ ωα τ

αω− −2

1 2

Deşi atomii definiţi mai sus au o localizare bună în planul timp-frecvenţă totuşidescompunerea atomică propusă se aplică cu dificultate în practică deoarece calcululcoeficienţilor C m n p q, , , este dificil. În continuare se prezintă o descompunere atomicăalternativ•. Ideea este să se facă la început o descompunere liniară a semnalului deanalizat şi reprezentarea biliniară să se aplice rezultatului. De exemplu, folosind atomiitimp-frecvenţă de tip Gabor, se poate scrie:

( ) ( )x( ) = n t , m a , nτ ω τTFxSTFT

o o mnm∑∑

cu:

304 7.4 Atomi timp-frecvenţă şi reprezentări biliniare

( )( )

a = e, n

mmt j m o oτ

απ

ατ ω τ

4 2

2− − +

Generalizând relaţia (73), se poate demonstra că reprezentarea Wingner-Ville asemnalului x(t) este:

( )

( ) ( ) ( )

t, =

= n t , m p t , q t, , , ,

= = = =

TF

TF TF TF

xW V

xSTFT

o o xSTFT

o o a aW V

qpnmm n p q

−

−

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

− ∞

∞

∑∑∑∑

ω

ω ω ω

Se poate demonstra că:

( ) ( )

( ) ( )[ ]

TFam pW V t

n pt

m qjn p

m q

j m q n p t

o o o

, n , a , q

t

t +

t, = e e

e

o

o o

− − −+

− −

+

−

+−

− −

ωα

αω ω ω

ω ω

2 2

2 1

2

2

2

Această relaţie poate fi calculată numeric folosind algoritmi rapizi. Un astfel dealgoritm este prezentat în paragraful 7.2 din [117]. Ultima relaţie reprezintă unexemplu de reprezentare timp-frecvenţă de tip serie de atomi timp-frecvenţă. Ea poatefi rescrisă în forma:

( ) ( ) ( ) ( )TF TF TFxW V

xSTFT

o o xSTFT

o o aW V

d m p

− −∞

∑t, = n t , m TF p t , q t, , n , q, a

= ω ω ω ω

0

unde cu d s-a notat distanţa:

m q + n p = d − −

Se obţine aproximarea de ordinul D a reprezentării Wigner-Ville:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

TF TF

TFS

xW V

xSTFT

o o xSTFT

o o aW V

d

D

D x

m p

− −≅ ∑t, n t , m TF p t , q TF t, =

= t,

, n , q, a=

ω ω ω ω

ω0

Prin alegerea ordinului D poate fi obţinută o aproximare a reprezentării Wingner-Villeprin reprezentarea de tip ( )D xTFS t, ω de eroare impusă. Trebuie remarcat că pentru


valori mici ale ordinului în reprezentarea ( )D xTFS t, ω nu apar termeni deinterferenţă.

Descompunerea semnalului de analizat în atomi timp-frecvenţă de tiptransformare Fourier scurtă:

( ) ( )x( ) = n t , m w , nτ ω τTFxSTFT

o o mnm∑∑

poate fi exploatată pentru construcţia unor algoritmi rapizi de calcul al unorreprezentării timp-frecvenţă şi în forma sa discretă. În cazul algoritmului prezentat maisus era exploatată reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-Ville a acesteidescompuneri. Pentru a putea folosi ultima relaţie la construcţia unor algoritmi rapizi,este necesară alegerea unui număr finit de atomi timp-frecvenţă din mulţimea

( ) w , n Z, n Z m mτ

∈ ∈. În acest scop poate fi folosit algoritmul "matching pursuit"

prezentat în paragraful 7.2. Evident, în cazul de faţă dicţionarul timp-frecvenţă va fi

mulţimea ( ) w , n Z, n Z m mτ

∈ ∈. În urma aplicării algoritmului "matching pursuit"


( ) ( )x( ) w ; x( ) w t= =

τ τ τ≅ ≅∞

∑ ∑B Bp pp

p pp

P

0 0

cu:

x( ) = =

τ 2 2

0

Bpp

∞

∑De aceea:

( ) ( ) ( )TF B B BxW V

p wW V

pp q w

W V

qp p q

q p

− − −∑ ∑≠

t, = TF t, + TF t, *, wω ω ω2

Termenii primei serii din membrul drept reprezintă elemente utile pentru analiza timp-frecvenţă a semnalului x(t), în timp ce termenii celei de a două serii sunt termenii deinterferenţe.

Deoarece:

( )1

21

2

πω ω t, dt d = w =

TFw

W Vpp

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫şi:

306 7.4 Atomi timp-frecvenţă şi reprezentări biliniare

( ) ( )

( ) [ ( )

x( ) = t, dt d = t, dt d +

t, dt d = t, dtd +

+

*

τπ

ω ωπ

ω ω

ω ωπ

ω ω

2 2

2

1

2

1

2

1

2

TF B TF

B B TF B TF

B B TF

xW V

pp

wW V

p qqq p

w wW V

pp

wW V

p qq

w

p

pp q

p q

−

− ∞

∞

− ∞

∞−

− ∞

∞

− ∞

∞

≠

−

− ∞

∞

− ∞

∞−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫ ∑∫∫

∑∫∫ ∑∫∫

∑

≠

*,

( ) ]

( )

p

p

, w

, w

t, dt d =

= + t, dt d*

q

q

W V

pp

p qq

wW VB B B TF

p q

−

− ∞

∞

− ∞

∞

−

− ∞

∞

− ∞

∞

∫∫

∑ ∑∫∫≠

ω ω

πω ω

2 1

2

rezultă că:

( ) t, dt d = *, w

1

20

πω ωB B TFp q

qwW V

p q

p q

≠

∑∫∫ −

− ∞

∞

− ∞

∞

Deci cel de al doilea termen din membrul drept al expresiei ( )TFxW V− t, ω are

energia nul•. De aceea poate fi definită o nouă reprezentare timp-frecvenţă:

( ) ( )TF B TFxAS

pp

wW V

pt, = t, ω ω

2∑ −

unde:

Bp p = x, w

Aceasta poartă numele de “spectrogramă adaptivă” (Adaptive Spectrogram). Atributuladaptiv vine de la utilizarea algoritmului "matching pursuit", iar denumirea despectrogramă vine de la folosirea ferestrelor wp.

Şi pentru reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor există o variantă adaptivă.În acest caz:

( )a (t) = e e, n

j om

t n t m toαπ

αω4 2

2− −

⋅


Parametrul α−1reprezintă dispersia funcţiei Gaussiene din ultima relaţie. Atomiia (t), m n ar putea fi adaptaţi la semnalul de analizat prin alegerea dispersiei funcţiei

Gaussiene şi a centrelor lor ( )n t , mo oω în func•ie de acesta. În acest mod seobţine:

( )a (t) = e e

p t j t

pt p p

απ

αω4 2

2− −

⋅

Transformarea Wigner-Ville a unui astfel de atom este:

( )( ) ( )

TFaW V

t

p

pp

p−− −

−

t, = e p t +

ωα

ω ω

α2

2

2

Folosind aceşti atomi, după aplicarea algoritmului "matching pursuit" seobţine reprezentarea Gabor adaptivă a semnalului x( )τ :

x( ) = a ( )=

τ τBp pp 0

∞

∑respectiv reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor adaptivă:

( )( ) ( )

TF BxASG

pp

P tp pp

p

t, = e=

t + ω

αα

ω ω2

2

0

12 2

∑− − −

cu: Bp p = x, a

Capitolul 8

ALGORITMI ŞI PROGRAME DE CALCUL A REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

O modalitate de calcul numeric a reprezentărilor timp-frecvenţă continue sebazează pe calculul numeric al integralelor din definiţia acestor reprezentări. În acestscop, pot fi folosite metode numerice, cum este de exemplu metoda coardei saumetoda tangentei sau metode mai evoluate, ca de exemplu metoda Gauss sau metodaRunge-Kuta [18]. Dezavantajul acestor metode este volumul mare de calcul care estenecesar pentru aplicarea lor. Totuşi această soluţie este cea mai comodă având învedere că există programe de matematică de uz general, cum este de exempluprogramul MATHCAD sau programul MATLAB care efectuează calculul numeric alintegralelor. Cu ajutorul acestor programe pot fi şi vizualizate reprezentările timp-frecvenţă obţinute. Trebuie menţionat că programul MATLAB are chiar un TOOL-BOX specializat pentru reprezentările timp-frecvenţă, (Time-Frequency Toolbox)realizat în urma colaborării dintre CNRS din Franţa şi Universitatea Rice din StateleUnite. Autorii acestei colecţii de subrutine MATLAB sunt François Auger, PatrickFlandrin, Paulo Gonçalvès şi Olivier Lemoine. E clar că o modalitate de calculsuperioară trebuie să se bazeze pe utilizarea unui algoritm rapid. Cel mai cunoscutalgoritm rapid de calcul este algoritmul "FFT", [114].

8.1 UTILIZAREA ALGORITMULUI FFT LA CALCULULREPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ

Toate reprezentărilor timp-frecvenţă discretizate, prezentate în paragraful 7.3,pot fi calculate folosind algoritmul FFT. Într-adevăr, relaţiile (448)-(453) pot firescrise conform tabelului 1.8.1. Se constată că toate reprezentările timp-frecvenţădiscrete pot fi exprimate în forma:

[ ] [ ]a n b n k = 1,Nk ∗ , (456)Deci calculul unei reprezentări timp-frecvenţă revine la calculul a N produse deconvoluţie. Acestea pot fi calculate cu ajutorul algoritmului FFT urmând proceduraurmătoare:

- Se calculează: [ ] FFT k a n ;- Se calculează: [ ] FFT b n ;- Se face produsul: [ ] [ ] FFT FFTk a n b n⋅ ;

- Se calculează transformarea inversă: [ ] [ ] FFT FFT FFTk− ⋅1 a n b n ;

În cazul relaţiilor (449), (451) şi (453) sunt necesare câteva operaţiisuplimentare. Dacă durata secvenţei x[n] este egală cu M atunci pentru calculul unei

8 Algoritmi şi programe de calcul 309

transformări de tipul FFT sunt necesare M log2M operaţii de înmulţire. De aceeanumărul de înmulţiri necesare pentru calculul unei reprezentări timp-frecvenţă este deordinul (N+2) M log2M. În tabelul 1.8.1 sunt prezentate exprimari ale principalelorreprezent•ri timp-frecventa favorabile pentru calculul acestor reprezentari cu ajutorulalgoritmului FFT.

TransformareaFourier scurta

[ ] [ ]xn e w n , k = , − ∨∗ −jk

Nn

N2

0 1π

Spectrograma[ ] [ ]xn e w n , k = ,

− ∨∗ −jk

Nn

N2 2

0 1π

Functia deincertitudine

[ ] [ ]xn e x n , k = , jk

Nn

N2

0 1π

∗ −∨

Wigner-Ville[ ] [ ]e x n e x n , k = ,

*22

42

2 2 0 1jk

Nn j k

Nn

Nπ π

−∗

−

“wavelet”[ ]k xn k n , k = ,

2 21

πψ

πN N

N∗

∨

Scalograma[ ]k xn k n , k = ,

2 21

2πψ

πN N

N

∗

∨

Tabelul 1.8.1 Exprimări alternative ale reprezentărilor timp-frecvenţă discrete.

În unele cazuri se poate profita de structura particulară a unei reprezentăritimp-frecvenţă pentru ca reprezentarea să poate fi calculată efectuând un număr maimic de operaţii. De exemplu [ ]TFx

STFT n, k poate fi privită ca şi transformata Fourierdiscretă a semnalului [ ] [ ]x k w k n− pentru fiecare valoare a lui n. Alţi algoritmipentru calculul reprezentărilor timp-frecvenţă în timp discret sunt prezentaţi în [13]. În[14], se prezintă metode de utilizare a algoritmului FFT la calculul reprezentărilortimp-frecvenţă biliniare. Toţi aceşti algoritmi au condus, la elaborarea unei bibliotecide programe, intitulată TFSA, [14]. Pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă de tip"wavelet" poate fi utilizat algoritmul lui Mallat. Acesta este mai rapid decât algoritmulFFT.

310 8.2 Calculul transformării "wavelet" continuă cu algoritmul lui Mallat

8.2 CALCULUL REPREZENTĂRII TIMP-FRECVENŢĂ DE TIPULTRANSFORMARE "WAVELET" CONTINUĂ

FOLOSIND ALGORITMUL LUI MALLAT

Folosind notaţia:[ ]C TFm n x

CW Tm n, , = m, n = x( ), ( )*τ ψ τ (457)

reprezentarea ( )TFxCW T t, ω poate fi aproximată prin interpolarea bidimensională:

( ) ( )TF CxCW T

m n n mnm

t, t, , , ω α ω≅ ∑∑ (458)

unde ( )α ωn m, t, sunt funcţiile de interpolare. Dar, se poate scrie:

d = x( ), ( ), , m k m kτ ψ τ (459)

Deci pentru funcţii "wavelet" reale este valabilă relaţia:

C m n m n, , = d (460)

Dar coeficienţii d , m n pot fi obţinuţi cu ajutorul algoritmului lui Mallat. De aceea acestalgoritm poate fi folosit la calculul reprezentării ( )TFx

CW T t, ω .

8.2.1 INIŢIALIZAREA ALGORITMULUI LUI MALLAT

Problema care apare este una de iniţializare. Într-adevăr, algoritmul lui Mallatporneşte de la coeficienţii descompunerii semnalului x ( )o τ (proiecţia lui x( )τ pespaţiul Vo), a , o n , în baza spaţiului Vo. În consecinţă, pentru determinareacoeficienţilor C m n, , este necesară cunoaşterea coeficienţilor a , o n . După cum s-a arătatîn paragraful 7.1.2.7, dacă funcţia "wavelets mother" are primele p momente nuleatunci pentru calculul coeficienţilor a , o n se poate folosi formula:

[ ]a = x ( ), ( n) x n, o n o oτ ϕ τ − ≅ (461)Dacă semnalul de analizat, x( )τ , este element al lui Vo, atunci pentru iniţializareaalgoritmului lui Mallat se poate folosi relaţia:

[ ]a xn, o n ≅ (462)


Aproximarea este cu atât mai bună cu cât valoarea lui p este mai mare, şi cu câtsemnalul de analizat este mai "neted".

Nu întotdeauna se face analiza timp-frecvenţă a unor semnale netede. Alteorinu se poate utiliza pentru analiză o funcţie de tipul "wavelets mother" cu destulemomente nule. În sfârşit există situaţia în care semnalul x( )τ nu aparţine spaţiului Vo.În continuare se caută soluţii pentru iniţializarea algoritmului lui Mallat pentru acestecazuri. În acest scop se caută răspunsul la impuls, h[n], al unui sistem liniar şiinvariant în timp care să răspundă la excitaţia x[n] cu semnalul a , o n .

Folosind sistemul din figura 1.8.2.1 se obţine semnalul a , o n pornind de lasemnalul x( )τ .

Figura 1.8.2.1 Sistem de iniţializare pentru algolritmul lui Mallat.

Într-adevăr, expresia semnalului u(t) este:

( )u(t) = x(t) t = x( ) (t ) d* *

∗ −∨ ∨

− ∞

∞

∫ϕ τ ϕ τ τ

Prin eşantionarea semnalului u(t) se obţine semnalul:

[ ]y(t) = u k (t k)ϕ −∑k

Semnalul în timp discret corespunzător este:

[ ] [ ]yn = u n = x( ) ( n)d = x( ), ( n)*

τ ϕ τ τ τ ϕ τ− −− ∞

∞

∫

Se constată identitatea:[ ]yn = a , o n

312 8.2.1 Iniţializarea algoritmului lui Mallat

În continuare se echivalează sistemul cu răspunsul la impuls ϕ∨*(t) cu un sistem întimp discret, cu răspunsul la impuls [ ]h n . Metoda de echivalare este prezentată înfigura 2.8.2.1.

Figura 2.8.2.1 Echivalarea sistemului cu răspunsul la impuls ϕ∨*(t) cu sistemul

cu răspunsul la impul [ ]h n .

Condiţia de echivalare este:

[ ] ( )e n = , n Z0 ∀ ∈

Notând cu Fd operatorul pentru transformarea Fourier în timp discret, ultima condiţieeste echivalentă cu:

[ ] ( ) ( ) [ ]Fd en = , , Ω Ω0 ∀ ∈ −π π (463)sau:

[ ] [ ] F F Fd d d t nxn h n = x(t) (t)*

= ∗ ∨ϕ

În consecinţă:

[ ]

[ ] h n = x(t) (t)

xn

*

=

FF

Fd

d t n

d

−

∨∗

1

ϕ(464)


La acest rezultat se ajunge şi în [128]. Deci dacă se cunoaşte expresia analitică asemnalului de analizat, x( )τ , şi expresia funcţiei de scară corespunzătoare funcţiei"wavelet" care se foloseşte la calculul reprezentării timp-frecvenţă de tip transformare"wavelet" continuă atunci se poate deduce expresia lui [ ]h n folsind relaţia (464).Folosind funcţia [ ]h n se calculează (prin convoluţie cu [ ]xn ) secvenţa a , o n . Apoi pebaza algoritmului lui Mallat se calculează coeficienţii C , m n , m = ,− −1 M . Cuajutorul acestora (prin interpolare bidimensională) se determină o porţiune din

( )TFxCW T t, ω . Această procedură are următoarele dezavantaje:

- nu se poate aplica dacă se cunosc doar eşantionale [ ]xn ale semnalului de analizat(fără a se cunoaşte expresia x( )τ );

- convoluţia x(t) (t)*

∗ ∨ϕ nu poate fi calculată numeric exact;- există situaţii în care nu se cunoaşte expresia analitică a funcţiei de scară (deexemplu în cazul funcţiilor "wavelet" cu suport compact introduse de IngridDaubechies).

În continuare se prezintă două particularizări care conduc la simplificări alerelaţiei (464) ce pot fi folosite în practică cu bune rezultate.

1) Semnalul x( )τ este de bandă limitată:

x( ) τ π∈ B2

În acest caz:[ ] F Fd

r xn = x( )τ (465)

Indicele r este folosit pentru a specifica restricţia la perioada principală atransformatei Fourier în timp discret. Cu F s-a notat operatorul care descrietransformarea Fourier a semnalelor în timp continuu. Semnalul x(t) (t)∗ ∨ϕ este şi elde bandă limitată. De aceea se poate scrie:

( ) F F Fdr

t nx(t) (t) = x(t) (t) p ( )* *

= ∗ ∨ ∨ϕ ϕ ωπ (466)

Ţinând seama de relaţiile (465) şi (466) relaţia (464) devine:

[ ]

h n = x(t) (t) p ( )

x(t) = (t) p ( )

*

*F

F F

FF Fd d

−

∨

− ∨

1 1

ϕ ωϕ ω

π

π (467)

2.) Daca se face si ipoteza suplimentara ca functia de scara este de bandalimitata:

314 8.2.1 Iniţializarea algoritmului lui Mallat

ϕ π∨ ∈*(t) B2

(este normal să se analizeze semnale de bandă limitată folosind funcţii de scară debandă limitată), atunci:

[ ] F Fdr ϕ ϕ∨ ∨* *

t = (t)


( ) [ ] [ ] F F Fdr

t n dr

drx(t) (t) = xn n

* *

= ∗ ∨ ∨ϕ ϕ

iar relaţia (467) se mai scrie:

[ ] [ ] [ ]h n = n = n * *

F Fd dr− ∨ ∨1 ϕ ϕ (468)

În acest caz sistemul în timp discret cu răspunsul la impuls [ ]h n a fost obţinut prinechivalarea sistemului cu răspuns la impuls ϕ∨*(t) pe baza metodei de echivalarecare presupune invarianţa răspunsului la impuls [114].

În cazul 1) sistemul în timp discret obţinut este echivalent cu sistemul în timp

continuu cu răspunsul în frecvenţă F ϕ ωπ∨*(t) p ( ) pe baza aceleiaşi metode de

echivalare.Relaţia (467) este propusă ca soluţie a problemei iniţializării algoritmului lui

Mallat în [146].Relaţia (468) este propusă ca soluţie a problemei iniţializării algoritmului lui

Mallat în [120], (relaţia (15) pentru x(t) = (t)δ ) şi în [1].Orice funcţie de scară cu suport compact este de bandă nelimitată. De aceea

relaţia (468) reprezintă doar o soluţie aproximativă pentru iniţializarea algoritmului luiMallat.

Multe semnale nestaţionare, de analizat, x( )τ sunt de bandă nelimitată. Deaceea şi relaţia (467) reprezintă doar o soluţie aproximativă pentru problemainiţializării.

În [146] se propune utilizarea filtrării adaptive pentru rezolvarea problemeiiniţializării algoritmului lui Mallat.


8.2.2 IMPLEMENTAREA ALGORITMULUI LUI MALLAT

În continuare se prezintă o modalitate de implementare a algoritmului luiMallat cu ajutorul unui exemplu. Dacă secvenţa de intrare a , o n este de durată limitatăatunci algoritmul lui Mallat poate fi descris cu ajutorul algebrei matricilor. Fie deexemplu secvenţa de intrare descrisă de vectorul:

[ ]a = a , a , , ao 08 07 01, , ,K

Dacă se folosesc filtre cu răspunsurile la impuls [ ]m no şi [ ]m n1 de durată egală cu 4(de exemplu filtrele DAU2), atunci, [4], primul pas al algoritmului lui Mallat poate fidescris cu ajutorul ecuaţiei matriciale:

Y M Xo o1 = ⋅ cu X o o = a şi

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

M o

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

o o o o

=

m m m mm m m m

m m m mm m m m

m m m mm m m m

m m m mm

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

0 1 2 3 0 0 0 0

3 2 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 2 3 0 0

0 0 3 2 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 2 3

0 0 0 0 3 2 1 0

2 3 0 0 0 0 0 1

− −

− −

− −

− [ ] [ ] [ ] [ ]o o o o' ' ' 'm m m1 0 0 0 0 0 3 2−

(469)

cu: [ ] [ ]m n = m n'o o2 .

Într-adevăr, se constată că:

[ ]Y T1 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1= a d a d a d a d, , , , , , , , − − − − − − − − (470)

Înmulţirea primei linii din matricea Mo cu vectorul Xo, descrie convoluţia:

[ ]a m n, '

o n o∗

Înmulţirea celei de a doua linii din matricea Mo cu vectorul Xo, descrie convoluţia:

316 8.2.2 Implementarea algoritmului lui Mallat

[ ]a m n, '

o n ∗ 1

S-a folosit relaţia:[ ] ( ) [ ]m n = m'

111 1− − −+n

o L n

unde L reprezintă durata secvenţei [ ]mo n . Permutând elementele acestui vector seobţine:

[ ]pTY1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 4 1 3 1 2 1 1= a a a a d d d d, , , , , , , , − − − − − − − − (471)

Decimarea cu 2 este descrisă prin alternarea elementelor în vectorul pTY1 . Elementele

vectorului pY1 reprezintă secvenţele a , −1 n şi d , −1 n.Separându-le se obţin vectorii:

[ ]

[ ]

X

X

T

T

11 1 4 1 3 1 2 1 1

12 1 4 1 3 1 2 1 1

= a a a a

= d d d d

, , , ,

, , , ,

− − − −

− − − −

(472)

Fie M1 matricea care reprezintă colţul din stânga sus al matricii Mo:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

M

o o o o

o o o o

o o

o o

1

0 1 2 3

3 2 1 0

0 0 0 1

0 0 3 2

=

m m m m

m m m m

m m

m m

' ' ' '

' ' ' '

' '

' '

− −

−

(473)

Cel de-al doilea pas al algoritmului lui Mallat este descris de relaţia:

Y M X2 1 11= ⋅ (474)Rezultatul este:

[ ]Y T2 2 2 2 2 2 1 2 1= a d a d , , , , − − − − (475)

Prin permutări rezultă:[ ]p

TY2 2 2 2 1 2 2 2 1= a a d d , , , , − − − − (476)

Separând elementele secvenţelor a , 2 n şi d , 2 n se obţin vectorii:


[ ]

[ ]

X

X

T

T

21 2 2 2 1

22 2 2 2 1

= a a

= d d

, ,

, ,

− −

− −

(477)

Folosind vectorii pTY1 şi p

TY2 se obţin vectorul rezultat:

[ ]Y T = a a d d d d d d, , , , , , , , − − − − − − − −2 2 2 1 2 2 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 (478)

Acesta reprezintă rezultatul aplicării transformării "wavelet" discretă semnaluluidescris de vectorul Xo.

Algoritmul de calcul al transformării "wavelet" discretă inversă constă înaplicarea în ordine inversă a operaţiilor prezentate mai sus. Bineînţeles în acest caz înlocul matricilor Mo, M1, ... trebuiesc folosite matricile ~M o

T , ~M T1 , ... .

Această metodă de implementare a algoritmului lui Mallat este descrisă şi în[115]. Revenind la relaţia (469) se constată că matricea Mo a fost construită dupăurmătoarele reguli:

- Linia I conţine coeficienţii filtrului cu răspunsul la impuls [ ]m n'o , completaţi

cu zerouri până când dimensiunea liniei devine egală cu durata secvenţei a , o n(săspunem că această durată este N).

- Linia a II-a conţine coeficienţii filtrului cu răspunsul la impuls [ ]m n'1 , la care

se adaugă zerouri după regula de la linia I. Atât [ ]m n'o cât şi [ ]m n'

1 descriu sistemecauzale. Această ipoteză nu afectează calculul transformării "wavelet" discrete dacă sefolosesc funcţii "wavelet" ortogonale sau biortogonale (datorită faptului că elementelebazelor de funcţii "wavelet" se construiesc prin translatare cu întregi).

- Restul liniilor pare se construiesc prin recircularea elementelor liniei pareanterioare folosind un pas de deplasare de valoare 2.

- La fel pentru liniile impare.Pe baza relaţiilor (469) şi (470) se constată că:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

a = m a + m a + m a + m a

d = m a + m a m a + m a

,'

,'

,'

,'

,

,'

,'

,'

,'

,

−

− − −

11 08 0 7 0 2 01

11 08 0 7 0 2 01

2 3 0 1

1 0 3 2

o o o o

o o o o

(479)

Pe baza relaţiilor care stau la baza construcţiei algoritmului lui Mallat sepoate scrie, pentru m = 1 şi k = 1:

318 8.2.2 Implementarea algoritmului lui Mallat

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

a = m a + m a + m a + m a

d = m a + m a + m a + m a

,'

,'

,'

,'

,

, , , , ,

−

−

11 0 4 05 0 2 0 3

11 1 0 4 1 05 1 0 2 1 0 3

2 3 0 1

2 3 0 1

o o o o

(480)

Pe baza relaţiilor (479) şi (480) se constată că ultimele două elemente ale vectoruluiY T1 sunt eronate deoarece la începutul ultimelor două linii ale matricii Mo apar

elemente nenule. În consecinţă se poate afirma că metoda propusă pentruimplementarea algoritmului lui Mallat are erori. De fapt aplicând semnaluluia , o n transformarea descrisă, bazată pe folosirea matricilor Mo, M1, ... se obţine unsemnal [ ]o yn (corespunzător vectorului Y T ) diferit de semnalul [ ]y no din paragraful7.1.2.6. Prin aplicarea transformării inverse (bazată pe folosirea matricilor ~M o

T , ~M T1 ,

...) semnalului [ ]o yn se obţine exact semnalul a , o n . Aceste erori pot fi diminuatedacă se consideră că matricea Mo este diagonală (deci dacă se înlocuiesc cu 0 primeledouă elemente de pe ultimile 2 linii). Se spune că metoda de implementare matricială aalgoritmului lui Mallat "are probleme" la margini. Aceste probleme apar datorităfaptului că relaţia (469) descrie de fapt convoluţii circulare pe când în structurasistemului din figura 2.7.1.2.5 (care prezintă o implementare perfectă a algoritmuluilui Mallat) apar filtre numerice obişnuite (a căror funcţionare este descrisă deconvoluţia obişnuită). Se poate afirma că metoda matricială propusă descrie corectfuncţionarea sistemului din figura 2.7.1.2.5 în regim permanent şi că problemele lamargini apar datorită descrierii neadecvate a regimului tranzitoriu al sistemuluiconsiderat. O altă interpretare a problemelor la margini este următoarea. În cazulmetodei matriciale descrise, la fiecare iteraţie numărul eşantioanelor se înjumătăţeşte(vectorul Y1 are 8 elemente iar vectorul Y2 are 4 elemente), dar nu depinde de duratarăspunsului la impuls [ ]m no , L. În cazul sistemului din figura 2.7.1.2.5, semnalele

[ ]d n−1 şi [ ]a n−1 au durate egale cu (N+L)/2, pe când în cazul metodei matricialeduratele acestor semnale sunt egale cu N/2. Această observaţie sugerează necesitateaprelungirii secvenţei a , o n în cazul aplicării metodei matriciale. Dacă secvenţei a , o n ise concatenează două secvenţe 1a , o n şi 2a , o n de lungime L/2, una înainte (1a , o n) şi

una după (2a , o n) atunci se obţine o nouă secvenţă nou o n o n o n o na = a , a , a, , , , 1 2

de lungime N+L. Dacă acestei secvenţe i se aplică o iteraţie conform metodeimatriciale, atunci se obţin semnalele [ ]d n−1 şi [ ]a n−1 de durate (N+L)/2.Prin alegerea corespunzătoare a eşantioanelor 1a , o n şi 2a , o n s-ar putea realizacompatibilizarea dintre metoda matricială şi algoritmul lui Mallat. Dacă sunt necesaremai multe iteraţii în algoritmul lui Mallat (de exemplu M) atunci lungimea secvenţelor1a , o n şi 2a , o n trebuie să fie mai mare.


Într-adevăr, în cazul semnalului din figura 2.7.1.2.5, semnalele [ ]d n−2 şi [ ]a n−2 audurate egale cu: N L

LN L L+

+

+ +

22

4 2 4 = iar semnalele [ ]d n−M şi [ ]a n−M

au durate egale cu:( )N L L L N L

N L NL

NL

M M M MM

M M

M

M

M

M M

2 2 2 2 2 21 2 2

2 2

2 1

2 1 2

2 1

2 2

21 + + + + = + + + ...+ =

= + = + +

... −

−−

−≅

Deci dacă se fac M iteraţii atunci lungimea secvenţelor 1a , o n şi 2a , o ntrebuie să fie

egală cu 2 1

2 1

M

M L−+ . În acest caz noua secvenţă nou o na , ar avea lungimea

N LM

M+ 2 1

2

− . Prin alegerea corespunzătoare a eşantioanelor acestei secvenţe s-ar

putea realiza compatibilizarea dintre metoda matricială şi algoritmul lui Mallat.Această alegere presupune rezolvarea unui sistem de ( )12- L-M necunoscute. Lavalori mari ale lui L rezolvarea unui astfel de sistem presupune consumul unui timp decalcul însemnat. Se observă similitudinea cu subparagraful C) din paragraful 7.1.2.9.În acest subparagraf au fost sugerate metode elementare pentru scăderea erorilor lamargini: 1) periodizarea semnalului a , o n cu perioada N, 2) simetrizarea semnaluluia , o n , faţă de momentele n = 0 şi n = N. Aceste metode sunt descrise în [5]. În aceeaşilucrare este descrisă şi o modalitate de calcul pe blocuri a transformării "wavelet"discretă a unui semnal în timp discret. Dacă valoarea lui N este foarte mare atuncimetoda matricială de implementare a algoritmului lui Mallat este laborioasă. De aceeaîn astfel de situaţii se preferă împărţirea în blocuri de lungime rezonabilă (de exemplu256) a secvenţei a , o n . Evident la capetele fiecărui bloc vor apărea probleme lamargini. Acestea se pot împărţi în două tipuri: interne (care apar la capetele unorblocuri vecine), externe (care apar la stânga primului bloc şi la dreapta ultimului bloc).Problemele la margini interne pot fi rezolvate cu metoda "overlap and save" descrisăîn [106]. Efectele la marginile externe pot fi diminuate prin periodizare sau prinsimetrizare. Trebuie remarcat că metoda matricială de implementare a algoritmului luiMallat este foarte rapidă. Ea necesită pentru M iteraţii ale algoritmului lui Mallat unnumăr de:

NLN

LN

LNL

NL NLM M

M M

M + + + = = 2 2 2

2 1

2 1

2 1

22

1 1

...+ +−−

−≅

înmulţiri. Se constată că pentru filtre scurte (L mic), transformarea "wavelet" discretăeste mai rapidă decât FFT. Totuşi algoritmul lui Mallat poate fi implementat şifolosind alte metode mai rapide. Acestea sunt prezentate în capitolul 6 din [122].

320 8 Algoritmi şi programe de calcul

8.2.3 ALGORITMUL LUI MALLAT ÎN CAZUL SEMNALELORBIDIMENSIONALE

În [90] Stephane Mallat extinde reprezentarea ortogonală bazată pe funcţii"wavelet" la cazul imaginilor. Acesta este un caz particular al subparagrafului A) dinparagraful 7.1.2.9. O analiză multirezoluţie a spaţiului ( )L2 2R este generată cuajutorul funcţiei de scară:

( )ϕ τ τ ϕ τ ϕ τ1 2 1 2, = ( ) ( ) (481)

Funcţiile "wavelet" ataşate au expresiile:

( )

( )

( )

ψ τ τ ϕ τ ψ τ

ψ τ τ ψ τ ϕ τ

ψ τ τ ψ τ ψ τ

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

3 1 2 1 2

, = ( ) ( )

, = ( ) ( )

, = ( ) ( )

(482)

unde funcţiile ϕ τ( ) şi ψ τ( ) generează o analiză multirezoluţie ortogonală şidescompunerea corespunzătoare ei.

Mulţimea :

( ) ( )( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1 2 2 1 2

3 1 2 3

− − − − − −

− − −∈

− − − −

− −

m m m m m m

m m mm n p

ψ τ τ ψ τ τ

ψ τ τ

p, n , p, n ,

p, n, , Z

formează o bază ortonormală a spaţiului ( )L2 2R .

Funcţia ϕ τ( ) generează analiza multirezoluţie a lui ( )L2 R , Vm m∈Z .

Funcţia ( )ϕ τ τ1 2, generează analiza multirezoluţie 2Vm m∈Z a spaţiului ( )L2 2R :

2V V Vm m m = ⊗

Cu ⊗ s-a notat produsul tensorial. Notând cu:

( ) ( )ϕ τ τ ϕ τ τmm m m

1 22

1 22 2 2, = , (483)

8.2.3 Algoritmului lui Mallat în cazul semnalelor bidimensionale 321

se poate afirma ca familia de funcţii ( ) ( )2 2 21 2 2

− − −∈

− −mm

m mm p

ϕ τ τn, p, Z

formează o bază ortonormală a lui 2Vm. Aproximarea semnalului ( )x , τ τ1 2 derezoluţie m este caracterizată de produsele scalare:

( ) ( ) ( )A m mm

mmx = x , , n nτ τ ϕ τ ϕ τ1 2 1 22 2− −− − (484)

Diferenţa dintre aproximările A m +1x şi A m x reprezintă proiecţiile semnalului( )x , τ τ1 2 pe spaţiile generate de bazele ortonormale:

( ) ( )2 2 21 1 2 2

− − −∈

− −m m mn p

ψ τ τp, n, Z

,

( ) ( )2 2 22 1 2 2

− − −∈

− −m m mn p

ψ τ τp, n, Z

şi

( ) ( )2 2 21 1 2 2

− − −∈

− −m m mn p

ψ τ τp, n, Z

.

Această diferenţă este dată de următoarele 3 imagini de detaliu:

( ) ( ) ( )Dm

m mn p

11 2 1 1 22 2

2x = x , , n, p

, Zτ τ ψ τ τ− −− −

∈

( ) ( ) ( )Dm

m mn p

21 2 2 1 22 2

2x = x , , n, p

, Zτ τ ψ τ τ− −− −

∈(485)

( ) ( ) ( )Dm

m mn p

31 2 3 1 22 2

2x = x , , n, p

, Zτ τ ψ τ τ− −− −

∈

Relaţia (482) arată că pentru generarea funcţiilor ( )ψ τ τk 1 2 1 2 3, k = , , , sefolosesc filtrele cu răspunsurile în frecvenţă:

( )

( )

( )

m , = m ( ) m ( )

m , = m ( ) m ( )

m , = m ( ) m ( )

01 1 2 0 1 1 2

10 1 2 1 1 0 2

11 1 2 1 1 1 2

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ω ω ω

(486)


Pentru orice M > 0, imaginea A ox este complet descrisă de 3M+1 imaginidiscrete:

A D D DM m m m M m− − ≤ ≤ −x, x, x, x

1 2 3

1

Descompunerea secvenţei A m +1x cu ajutorul secvenţelor A m x, D m1 x şi D m

2 x esterealizată cu ajutorul sistemului din figura 1.8.2.3.

Figura 1.8.2.3 Sistem pentru implementarea unei iteraţii în algoritmul lui Mallat în cazul bidimensional.

Transformarea inversă transformării prezentate în figura 1.8.2.3 esteprezentată în figura 2.8.2.3.

8.2.3 Algoritmului lui Mallat în cazul semnalelor bidimensionale 323

Sistemele din figurile 1.8.2.3 şi 2.8.2.3 pot fi folosite la descompunerea uneiimagini pe baza algoritmului lui Mallat respectiv la reconstrucţia perfectă a aceleiimagini.

Transformările din figurile 1.8.2.3 şi 2.8.2.3 pot fi implementate cu metodamatricială descrisă în paragraful anterior.

Figura 2.8.2.3 Sistem pentru calculul transformării "wavelet" discretă inversă, în cazul bidimensional(cazul unei singure iteraţii).

324 8.3 Algoritmi care folosesc pachete de funcţii "wavelet"

8.3 ALGORITMI PENTRU ANALIZA TIMP-FRECVENŢĂ ASEMNALELOR NESTAŢIONARE FOLOSIND

PACHETE DE FUNCŢII "WAVELET"

Algoritmul lui Mallat în forma sa modificată, descrisă în exemplul din figura2.7.1.2.9 poate fi utilizat pentru a se efectua o astfel de analiză.

În general analiza cu pachete de funcţii "wavelet" este perfect recursivă.Fiecare secvenţă de coeficienţi nou calculată devine rădăcina propriului său arbore deanaliză. Cantitatea de informaţie stocată în fiecare nod al structurii de date poate fispecificată de contorul programului de analiză cu pachete de funcţii "wavelet".

La sfârşit trebuie stocată lista coeficienţilor obţinuţi prin analiza efectuată.Orice altă informaţie poate fi memorată în tabele sau poate fi calculată cu ajutorulcâtorva parametri de bază cum ar fi durata semnalului de analizat sau numărul deiteraţii ales pentru analiza respectivă (adâncimea analizei). Este indicat să se utilizezestructuri de date pentru spaţiile de coeficienţi Λ sf care să conţină informaţii despredurata secvenţei de prelucrat, lista coeficienţilor deja calculaţi şi informaţii despre celedouă subspaţii imediat descendente.

Ordinograma unei porţiuni dintr-un algoritm de analiză cu pachete de funcţii"wavelet" este prezentată în figura 1.8.3.

Figura 1.8.3 Ordinograma unei porţiuni dintr-un algoritm de analiză cu pachete de funcţii "wavelet"


Pentru ca analiza descrisă în figura 1.8.3 să fie completă ar trebui să se construiascătoţi descendenţii nodurilor de pe un anumit nivel (corespunzător unei valori a lui Lnenule). Pentru aceasta ar fi necesar să se introducă în buclă o nouă variabilă care săindexeze aceste noduri. Decrementarea lui L ar trebui să aibă loc abia după ce aceastănouă variabilă şi-ar fi atins, prin incrementări repetate, valoarea maximă (care este ofuncţie de valoare curentă a lui L).

Coeficienţii pachetului de funcţii "wavelet" reprezintă rezultatul analizeiprezentate în figura 1.8.3. Ei reprezintă valori de eşantioane cu semnificaţia deamplitudini indexate după scară, frecvenţă şi poziţie. Aceşti coeficienţi trebuiememoraţi într-o anumită zonă de memorie, fiecărui coeficient corespunzându-i olocaţie care trebuie să conţină pe lângă valoarea sa şi alte informaţii cum ar fi nodulpărinte şi nivelul de iteraţie atins.

Subprograme de analiză cu pachete de funcţii "wavelet" sunt prezentate în[145]. Pentru a reconstrui semnalul (descompus în cea mai bună bază) sunt necesaredouă categorii de informaţie :

- descrierea bazei;- valorile coeficienţilor descompunerii semnalului în aceea bază.Folosind tehnica descrisă se obţin librării de atomi timp-frecvenţă. Cea mai

bună bază poate fi găsită reunind clase de astfel de atomi. Pentru a găsi cea mai bunăbază, aşa cum s-a prezentat în paragraful 7.1.2.10, trebuie minimizată una dintrefuncţiile de cost.

Funcţia de cost trebuie să fie aleasă la începutul procedurii. Algoritmul decăutare are o structură recursivă. La fiecare iteraţie se compară costul de informaţie alnodului părinte cu suma costurilor de informaţie ale nodurilor copii.

Dacă costul de informaţie al structurii de date părinte este inferior costului deinformaţie al oricărei structuri de date descendent, atunci nivelul acelui nod esteadăugat la descrierea prin nivele a celei mai bune baze, conţinutul acelui nod esteadăugat la zona de înregistrare a nodurilor şi descrierea anterioară a celei mai bunebaze de dedesubtul acelui nod este ştearsă. Apoi se trece la nivelul inferior. Unprogram de implementare a unei astfel de subrutina este prezentat în [145].

În aceeaşi carte, în capitolul 10 se prezintă generalizări ale noţiunii de pachetede funcţii "wavelet" în cazul semnalelor multidimensionale.

După cum s-a văzut în paragraful 7.1.2.10, folosind tehnici de căutare a celeimai bune baze prin minimizarea unei funcţionale de cost, poate fi găsită baza optimăpentru descompunerea unui semnal dat. Toate funcţionalele de cost prezentate înparagraful 7.1.2.10 erau aditive. Dacă se folosesc funcţionale neaditive atunci pot figăsite baze suboptimale folosind algoritmi mai rapizi [135]. Carl Taswell a construitastfel de algoritmi şi i-a comparat cu algoritmii care conduc la cea mai bună bază. Oastfel de comparaţie este prezentată în [136].

326 8.4 Programe pentru analiza timp-frecvenţă

8.4 PROGRAME PENTRU ANALIZA TIMP-FRECVENŢĂ

Există mai multe "produse soft" destinate analizei timp-frecvenţă. Încontinuare se prezintă pe scurt câteva dintre aceste programe.

8.4.1 PROGRAMUL JTFA

Programul JTFA (Joint Time-Frequency Analyzer) este un instrument "soft",dezvoltat de firma National-Instruments, în acord cu gama de sisteme de achiziţii dedate pe care o produce această firmă. De fapt acest analizor este unul dintreinstrumentele virtuale pe care le-au conceput specialiştii de la această firmă, [103].Acest program a fost utilizat pentru ilustrarea lucrării [117]. El este special conceputpentru calculatoare de tip PC.

Semnalul de analizat poate fi achiziţionat printr-un sistem de achiziţii de datesau generat numeric. În cel de al doilea caz, înainte de analiză, semnalul x( )τ trebuiedepus în directorul DATA din "current file". În figura 1.8.4.1 este prezentat panoulfrontal al analizorului.

Se constata ca pe panoul frontal exista trei ferestre de tip ecran si butoane decomanda si control. Pe ecranul principal (cel cu dimensiunile cele mai mari) seafiseaza reprezentarea timp-frecventa, pe ecranul de sub ecranul principal se afiseazaforma de unda a semnalului de analizat iar pe ecranul din dreapta ecranului principalse afiseaza densitatea spectrala de putere (sau spectrul instantaneu) a semnalului deanalizat. În cazul reprezentării timp-frecvenţă pentru specificarea valorii într-unanumit punct se foloseşte un cod al culorilor prezentat în stânga ecranului principal.Valorii 0 îi corespunde albul. O cunoaştere mai precisă a valorii reprezentării timp-frecvenţă într-un anumit punct poate fi obţinută cu ajutorul unui cursor care poate fideplasat manual în planul timp-frecvenţă, cu ajutorul "joy-stick"-ului virtual din parteade jos dreapta a panoului frontal, "cursor central". Coordonata curentă (x, y) acursorului şi valoarea reprezentării timp-frecvenţă (z) corespunzătoare sunt deasemenea afişate pe panoul frontal.

Deasupra ferestrei ecran din dreapta există o fereastră cu ajutorul căreia poatefi specificat tipul reprezentării frecvenţiale (densitate spectrală de putere sau spectruinstantaneu) care se doreste.

Cu ajutorul ferestrei din partea dreaptă jos a panoului frontal, "JFTA selector"se specifica tipul de reprezentare timp-frecvenţă precum şi parametrii acesteia.

Poate fi utilizată una dintre următoarele reprezentări timp-frecvenţă biliniară:- spectrograma, STFT ( )( )TFx

STFT t, ω ,- reprezentarea Wigner-Ville: WVD, ( )( )TFx

W V− t, ω ,


Figura 1.8.4.1. Panoul frontal al analizorului timp-frecven•• JTFA.

-reprezentarea Choi-Williams de tip serie: CWD, ( )( )TFSxC W t, ω ,

- spectrograma Gabor adaptivă: Gabor, ( )( )TFxASG t, ω ,

- spectrograma adaptivă: Adaptive, ( )( )TFxAS t, ω ,

În cazul reprezentărilor Wigner-Ville şi Choi-Williams poate fi făcută şi reprezentareatimp-frecvenţă a semnalului analitic asociat semnalului de analizat, dacă se apasăînaintea efectuării analizei tasta: "analytic"-ON.

În cazul spectrogramei pot fi alese câteva tipuri de fereastră: Hanning,dreptunghiulară, Blackman, Hamming. În cazul reprezentărilor CWD de tip serie sefoloseşte metoda adaptivă descrisă în paragraful 7.3.1. Parametrul D poate fi ales cuajutorul ferestrei "parameter" cu valori cuprinse între 0 şi 100. În cazul reprezentării

328 8.4.1 Programul JTFA

de tip spectrogramă Gabor adaptivă factorul α care fixează durata efectivă a ferestreitemporale poate fi ales cu ajutorul ferestrei "Gabor basis" de valoare mică, medie saumare. Şi spectrograma Gabor este o reprezentare adaptivă, valoarea parametrului p dinparagraful 7.3.1 putând fi aleasă cu ajutorul tastei "order".

Calitatea reprezentării timp-frecvenţă obţinută se apreciază cu ajutorulferestrei "matching indicator".

Pot fi obţinute şi reprezentări mai detaliate putându-se efectua operaţia"zoom". În domeniul frecvenţă pot fi făcute reprezentări în banda [ ]f , fmin max

folosind opţiunea "subband". Valoarea lui fmax poate fi modificată după cum urmează.Dacă în fereastra "bandwidth" se alege "full band", atunci fmax va fi egal cu jumătateavalorii afişate în fereastra "sampling freq". Dacă în fereastra "bandwidth" se alege"1 2n band", n = , 1 7, atunci valoarea lui fmin poate fi impusă cu ajutorul ferestrei

"start freq" iar f = f + max min n1

2 1+ × sampling freq.

Dacă se alege obţiunea "pre-emph" atunci poate fi realizată o prefiltrare asemnalului de analizat [ ]xn . Acesta este descrisă de ecuaţia cu diferenţe finite:

[ ] [ ] [ ]yn = x n factor xn− ⋅

Valoarea "factor" poate fi aleasă cu ajutorul ferestrei "factor" dintre valorile 0 şi 1.Alegerea valorii 0 nu afectează analiza. Dacă se alege valoarea 1 atunci semnalul deanalizat este în prealabil filtrat trece-sus.

În partea de sus-dreapta a ecranului se găsesc ferestrele: "block lenght" şi"start at" cu ajutorul carora se poate fixa durata semnalului de analizat şi momentul dela care să înceapă analiza. Deasupra ecranului destinat reprezentării timp-frecvenţăeste afişată durata semnalului de analizat. Această valoare depinde de valoarea"sampling freq". Dacă valoarea sa este inferioară valorii "block lenght" atunci esteanalizat în întregime semnalul de intrare. În caz contrar poate fi făcut un "zoom" îndomeniul timp, analiza începând de la momentul "start at".

În continuare se exemplifică câteva dintre afirmaţiile făcute în capitolele 2, 4,6, 7. În acest caz se reia analiza semnalului folosit în exemplele din aceste capitole.Este vorba despre produsul dintre o funcţie Gaussiană şi o funcţie cosinusoidală.

Forma de undă a semnalului analizat este prezentată în figura 2.8.4.1 iardensitatea sa spectrală de putere în figura 3.8.4.1. În figurile următoare sunt prezentatediferitele sale reprezentări timp-frecvenţă. În figurile 4.8.4.1, 5.8.4.1, 6.8.4.1, 7.8.4.1şi 8.8.4.1 sunt prezentate spectrogramele cu fereastră de tip: Hanning, Hamming,Blackmann, dreptunghiulară şi Gaussiană.


Figura 2.8.4.1. Forma de unda a semnalului de analizat.

Figura 3.8.4.1. Densitatea spectrala de putere a semnalului de analizat.

Figura 4.8.4.1. Spectrograma cu fereastra Hanning.

Figura 5.8.4.1. Spectrograma cu fereastra Hamming.


Figura 6.8.4.1. Spectrograma cu fereastra Blackmann.

Figura 7.8.4.1. Spectrograma cu fereastra dreptunghiulara.

Figura 8.8.4.1. Spectrograma cu fereastra Gaussiana.

În fiecare caz a fost folosită o fereastră de aceeaşi lungime (64 de eşantioane). Seobservă că cea mai bună localizare timp-frecvenţă o are fereastra Gaussiană şi că ceamai proastă localizare timp-frecvenţă o are fereastra dreptunghiulară. În figura 9.8.4.1este prezentată spectrograma Gabor folosind baza cu elemente de bandă largă şiordinul 3. Indicatorul de adaptare are valoarea 1,46 (relativ mică). Se observăsuperioritatea acestei reprezentări asupra tuturor reprezentărilor anterioare.

Figura 9.8.4.1. Spectrograma de tip Gabor adaptată.


În figura 10.8.4.1 este reprezentată transformarea Wigner-Ville a semnalului deanalizat.

Figura 10.8.4.1. Reprezentarea de tip Wigner-Ville.

În figura 11.8.4.1 este reprezentată transformarea Wigner-Ville a semnalului analitic alsemnalului de analizat. Se constată dispariţia termenilor de interferenţă din figuraanterioară. Preţul este o slabă înrăutăţire a localizării în planul timp-frecvenţă.

Figura 11.8.4.1. Reprezentarea de tip Wigner-Ville a semnalului analitic al semnalului de analizat.

Pentru a analiza capacitatea de separare a semnalelor în domeniul timp se consideră înurmătorul exemplu cazul sumei a două semnale de tipul celui considerat în exemplulanterior. Cel de la doilea termen al sumei este întârziat şi factorul său sinusoidal are ofrecvenţă superioară factorului sinusoidal din expresia primului termen. Forma deundă este prezentată în figura 12.8.4.1 iar densitatea sa spectrală de energie în figura13.8.4.1.

Figura 12.8.4.1. Forma de undă a semnalului din cel de al doilea exemplu.


Figura 13.8.4.1. Densitatea spectrala de energie a semnalului din cel de al doilea exemplu.

În figura 14.8.4.1 se prezintă spectrograma acestui semnal. S-a folosit ofereastră temporală de tip Gaussian cu lungimea de 64 de eşantioane.

Figura 14.8.4.1. Spectrograma cu fereastra Gaussiana a semnalului de analizat.

În figura 15.8.4.1 se prezintă spectrograma Gabor adaptivă a semnalului din exemplulal doilea. S-a lucrat cu baza cu elementele de bandă de frecvenţă medie si cu ordinul 5.Se constata o imbunatatire a localizarii frecventiale fata de figura 14.8.4.1.

Figura 15.8.4.1. Spectrograma Gabor adaptiva a semnalului din al doilea exemplu.

În figura 16.8.4.1 este prezentata reprezentarea Wigner-Ville a aceluiaşi semnal. Seobservă efectul perturbator al termenilor de interferenţa, atât în partea de jos a figuriicât şi în zona sa centrală.


Figura 16.8.4.1. Reprezentarea Wigner-Ville a semnalului din exemplul 2.

Acest efect devine mai puţin supărător dacă se calculează reprezentarea Wigner-Villea semnalului analitic asociat semnalului de analizat aşa cum se vede în figura 17.8.4.1.Termenii de interferenţă din zona centrală a imaginii afectează atât localizareatemporală cât şi localizarea frecvenţială a reprezentării. Se poate afirma că prinutilizarea reprezentării Wigner-Ville a semnalului analitic asociat semnalului deanalizat se elimină o parte din termenii de interferenţă din reprezentarea Wigner-Villea semnalului original.

Figura 17.8.4.1. Reprezentarea Wigner-Ville a semnalului analatic corespunz•tor.

În exemplul următor se pune în evidenţă proprietatea de concentrare areprezentărilor timp-frecvenţă în jurul curbei care descrie în planul timp-frecvenţă,legea de variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului de analizat. În acest scop seanalizează un semnal modulat în frecvenţă. Acesta este descris printr-o relaţie deforma:

( )x( ) = + + τ ατ βτ γ τA coso3 2

Se constată că analizând aceste figuri este greu să se afle ceva despre frecvenţainstantanee a semnalului x( )τ . Forma de undă a semnalului din al treilea exemplueste prezentată în figura 18.8.4.1, iar densitatea sa spectrală de energie în figura19.8.4.1.


Figura 18.8.4.1. Forma de und• a semnalului din exemplul al treilea.

Figura 19.8.4.1. Densitatea spectral• de putere a semnalului din al treilea exemplu.

În figura 20.8.4.1 se prezintă reprezentarea timp-frecvenţă de tip spectrogramă Gaboradaptivă a semnalului modulat în frecvenţă. S-a lucrat cu baza cu elemente de bandălargă şi cu ordinul 3. Indicatorul de adaptare are valoarea 2,34. Se constatăconcentrarea reprezentării timp-frecvenţă pe parabola de ecuaţie:

ω τ α τ βτ γi ( ) = + +3 22

Figura 20.8.4.1. Reprezentarea timp-frecventa de tip spectrograma Gabor adaptiva asemnalului din exemplul al treilea.


În figura 21.8.4.1 este prezentată reprezentarea de tip Wigner-Ville a semnaluluianalitic asociat semnalului modulat în frecvenţă. Se constată faptul că prezenţatermenilor de interferenţă scade mult "lizibilitatea" legii de variaţie a frecvenţeiinstantanee a semnalului de analizat.

Figura 21.8.4.1. Reprezentarea Wigner-Ville a semnalului analitic asociat semnalului din exemplul altreilea.

Problema reducerii termenilor de interferenţă este deosebit de actuală. Ea va fi reluatăîn capitolul destinat aplicaţiilor reprezentărilor timp-frecvenţă.

Una dintre deficienţele programului JTFA este că nu poate fi utilizat pentrucalculul reprezentărilor timp-frecvenţă liniare. Acest program nu calculează nicireprezentarea timp-frecvenţă de tip scalogramă.

Există însă alte programe care calculează reprezentări timp-frecvenţă bazatepe funcţii "wavelet". Câteva dintre acestea vor fi prezentate în continuare.

336 8.4.2 Pachetul de programe Mega Wave 2

8.4.2 PACHETUL DE PROGRAME MEGA WAVE 2

Mega Wave 2 este un produs "soft" destinat să ajute operatorul să conceapăalgoritmi de prelucrare a semnalelor şi de analiză a imaginilor. Se presupune căoperatorul cunoaşte limbajul C. Algoritmii sunt consideraţi cutii negre, fiind descrişiîn limbajul C, fără să se facă vreo ipoteză asupra contextului în care vor fi folositeaceste cutii negre. Armonizarea cu contextul este sarcina compilatorului Mega Wave2. De fapt acesta transformă algoritmul scris în C într-o comandă, o funcţie a uneilibrării sau o funcţie care să fie executată la comanda unui interpretor.

Acest produs "soft" a fost creat la Universitatea Paris-Dauphine, în cadrulgrupului de cercetare CEREMADE. El este disponibil gratuit putând fi transferat prinINTERNET, prin “anonymus ftp”de la adresa mu.ceremade.dauphine.fr. Pachetul deprograme poate fi utilizat numai pe calculatoare care au instalat sistemul de operareUNIX. Instrucţiunile de înregistrare a produsului "soft" precum şi cele de instalare segăsesc în [62]. Un algoritm este implementat ca o funcţie sau ca un set de funcţii înlimbajul C. O astfel de funcţie sau set de funcţii reprezintă un MODUL. Compilatorultransformă modulul în COMANDA MODULULUI. În acest mod modulul ajunge săfie o comandă UNIX.

Orice modul aparţine unui GRUP. Un grup recunoaşte toate modulele care sereferă la acelaşi subiect. În [62] sunt prezentate toate modulele deja create în MegaWave 2.

Printre acestea se găsesc şi module destinate utilizării funcţiilor "wavelet". Încontinuare se prezintă o listă a acestora:1. Grupul PDE (Partial Diferential Equations),2. Grupul common / char_image (descrie operaţii uzuale cu imagini),3. Grupul common / char_movie (descrie operaţii uzuale cu secvenţe deimagini),4. Grupul common / color_char_image (descrie operaţii cu imagini color),5. Grupul common / float_image (descrie operaţii de prelucrare a imaginilor),6. Grupul common / signal (descrie operaţii cu semnale),7. Grupul demo (ilustrează algoritmii din structura celorlalte grupuri),8. Grupul owave / image (descrie tehnici de prelucrare a imaginilor folosind

funcţiile "wavelet"),9. Grupul owave / signal (descrie tehnici de prelucrare a semnalelor folosind

funcţiile "wavelet"),10. Grupul snakes (descrie tehnici de interpolare a imaginilor).

În continuare se prezintă elementele grupurilor 9 şi 8.Grupul 9 este compus din următorii algoritmi:- biowave 1: calculează transformata "wavelet" biortogonală,- ibiowave 1: reconstruieşte semnalul din transformata sa "wavelet" biortogonală,


- iowave 1: reconstruieşte semnalul din transformata sa "wavelet" ortogonală,- owave 1: calculează transformata "wavelet" ortogonală a unui semnal,- precond 1d: precondiţionează un semnal,- sconvolve: filtrează un semnal.Grupul 8 este compus din următorii algoritmi:- biowave 2: calculează transformata "wavelet" biortogonală a uneiimagini,- ibiowave 2: reconstruieşte o imagine din transformata sa "wavelet"biortogonală,- iowave 2: reconstruieşte o imagine din transformata sa "wavelet"ortogonală,- owave 2: calculează transformata "wavelet" ortogonală a unei imagini,- owtrans_fimage: generează o imagine pentru vizualizarea unei descompuneri"wavelet" ortogonale,- precond 1d: precondiţionează o imagine,

În continuare se descriu pe scurt doi dintre aceşti algoritmi:OWAVE 1. Pornind de la analiza multirezoluţie Vm m∈Z a lui ( )L2 R ,

generată de funcţia de scară oϕ τ( ) se construieşte descompunerea ortogonală

corespunzătoare Wm m∈Z descrisă de funcţia "wavelets mother" ψ τ( ).Semnalul

x( )τ este descompus în forma:

x( ) = a ( ) + d ( ), , , , =

τ ϕ τ ψ τ− − − −∑ ∑∑M k o M kk

m k m kkm

M

1

Algoritmul owave 1 calculează coeficienţii a , −M k şi d , −m k. Pentru acest calcul sefolosesc filtrele [ ]m no şi [ ]m n1 corespunzătoare ale căror coeficienţi sunt memoraţi înfişierul Impulse Response. Poate fi utilizată oricare dintre soluţiile problemelor lamargini deja prezentate. De asemenea M poate fi ales de orice valoare (pentru caredescompunerea este posibilă). Transformarea "wavelet" continuă a semnalului x( )τpoate fi obţinută prin interpolarea bidimensională a coeficienţilor

a , d, , = , , Z− − ∈M k m k m M k1. Aceasta poate fi realizată de exemplu cu modulul

"make".BIOWAVE 1. Acest algoritm este foarte asemănător cu algoritmul OWAVE 1.Diferenţa constă în filtrele folosite. Fişierul Impulse Reponse conţine de data aceastarăspunsurile la impuls de filtre de tipul [ ]m no , [ ]m n1 , [ ]~m no şi [ ]~m n1 .

Există la ora actuală programe de calcul a reprezentării timp-frecvenţă de tip"wavelet" care funcţionează sub sistemul de operare WINDOWS. Majoritatea lor suntconcepute ca şi subrutine ale unor programe de matematică specializate cum ar fiprogramele: MATHCAD, MATLAB sau MATHEMATICA.

338 8.4.3 Despre Wave Lab

8.4.3 DESPRE WAVE LAB

Wave Lab este o librărie de rutine MATLAB pentru analiza cu funcţii"wavelet", pachete de funcţii "wavelet" şi cu algoritmul "matching pursuit". Manualulde utilizare "About Wave Lab" [20] poate fi transferat print ftp de la adresa:ftp://playfair.stanford.edu/pub/wavelab.

Această librărie este utilizată în activitatea didactică la universităţile Berkeleyşi Stanford. Instalarea librăriei şi modul de pornire al colecţiei de subrutine suntdescrise în manualul de utilizare citat mai devreme. Un alt document care însoţeşteprogramul WaveLab este [21]. În acest material sunt prezentate structurile de date încare sunt organizate semnalele de analizat şi rezultatele obţinute în cadrul produsuluisoft WaveLab. Poate că cel mai util document pentru caracterizarea programuluiWaveLab este [22]. În acest raport este prezentată o listă cu principalele funcţii alebibliotecii WaveLab. În continuare se vor prezenta câteva dintre aceste funcţii, maiinteresante pentru lucrarea de faţă.1. Transformarea "wavelet" continuăCWT → calculează reprezentarea de tipul transformare "wavelet" continuă,Image CWT → afişează imaginea rezultatului obţinut în subrutina anterioară ,WTMM → identifică mărimile reprezentării anterioare,Image WTMM → Afişează imaginea care conţine rezultatul anterior,Build Skel Map → Reprezintă rezultatul aplicării aperatorului morfologic "schelet"

(vezi [116]) imaginii Image CWT.În figura 1.8.4.3 este reluat exemplul semnalului modulat în frecvenţă

prezentat şi în figura 18.8.4.1.

Figura 1.8.4.3. Un exemplu de semnal generat cu ajutorul “tool-box”-ului WaveLab.


Folosind funcţiile: CWT, WTMM şi Image WTMM se calculează şi se reprezintăgrafic locul geometric al maximelor reprezentării timp-frecvenţă de tip "wavelet" asemnalului din figura 1.8.4.3. Rezultatul este prezentat în figura 2.8.4.3. A fostutilizată funcţia "wavelet" de tip pălărie mexicană.

Figura 2.8.4.3. Locul geometric al maximelor reprezentării timp-frecvenţă de tip “wavelet” asemnalului din figura anterioară. S-a utilizat funcţia “wavelet” de tip pălărie mexicană.

2.Structuri de date

Citirea datelorBrowse Image - caută fişierul Image Datasets,Image Fig - fişierul de imagini obţinut aplicând Browse Image,Read Image - încarcă un fişier din directorul Image Datasets,Read Signal - încarcă un fişier din directorul Signal Datasets

Generarea datelor


Make Brownian-generează un semnal care descrie mişcarea Browniană a unei particule,

Make Fractal - generează semnale fractale,Make Signal - generează un semnal,Make 2d Signal - generează o imagine,Makediag - generează o imagine descrisă printr-o matricediagonală,Există liste de semnale şi imagini, deja sintetizate care pot fi direct apelate.

3.Îmbunătăţirea raportului semnal / zgomot (RSZ) dacă semnalul perturbatoreste zgomot alb

WaveShrink - îmbunătăţirea RSZ prin detecţie de prag în domeniul transfor-mării "wavelet" discretă ortogonală sau biortogonală,

WPDe Noise - îmbunătăţirea RSZ prin detecţie de prag în domeniul transfor-mării "wavelet" discretă bazată pe pachete de funcţii

"wavelet". Pachetul se alege prin căutarea “celei mai bune baze”,

CPDe Noise - îmbunătăţirea RSZ prin detecţie de prag în domeniul transfor-mării "wavelet" discretă bazată pe pachete de funcţii

"wavelet” cosinusoidale. Pachetul se alege prin căutarea “celei mai bune baze”.În figura 3.8.4.3 este prezentat un alt semnal (Blocks) care poate fi generat cu ajutorulprogramului WaveLab.

Figura 3.8.4.3. Semnalul “Blocks”.


În figura 4.8.4.3 este prezentată o variantă perturbată aditiv cu zgomot alb a aceluiaşisemnal.

Figura 4.8.4.3. Semnalul “Blocks” perturbat aditiv de zgomot alb.

În figura 5.8.4.3 sunt prezentate transformările "wavelet" discrete ale semnalelor

Figura 5.8.4.3. Transformatele “wavelet” discrete ale semnalelor de dinaintea şi de dupăaplicarea procedurii de “denoising”.


iniţial (din figura 4.8.4.3) şi a semnalului obţinut după aplicarea procedurii deîmbunătăţire a raportului semnal / zgomot (denoising). S-au folosit funcţiile "wavelet"de tip Haar. În figura 6.8.4.3 sunt prezentate pe lângă semnalele din figurile 3.8.4.3 şi4.8.4.3 semnalul obţinut în urma aplicării procedurii " denoising" precum şi eroarea dereconstrucţie.

Figura 6.8.4.3. Efectul aplicării procedurii de “denoising”.

În sfârşit în figura 7.8.4.3 sunt prezentate densităţile spectrale de energie alesemnalelor din figura 4.8.4.3 respectiv a semnalului reconstruit.

Algoritmi şi programe de calcul 343

Figura 7.8.4.3. Densităţile spectrale de energie ale semnalelor de dinainte şi de după aplicarea procedurii“denoising”.

4. Transformări "wavelet" ortogonale

Transformări:

FWT_PO - Transformare "wavelet" discretă ortogonală. Problemele la margini sunt rezolvate prin periodizare,

IWT_PO - Transformare "wavelet" discretă ortogonală inversă. Problemele la margini sunt rezolvate prin periodizare,

ITWT2_PO - Transformare "wavelet" discretă ortogonală inversă pentru semnale bidimensionale,

Filtre de generare a funcţiilor "wavelet"

Make ON Filter: generează filtrele de construcţie a funcţiilor "wavelet" de tipDaubechies, Coiflets, ......

5. Pachete de funcţii "wavelet" unidimensionale

Pachete de funcţii "wavelet" Analiză / Sinteză


WP Analysis - Se reprezintă un tabel "diadic" al tuturor coeficienţilor pachetuluide funcţii "wavelet" corespunzător semnalului de analizat,WP Synthesis - Sintetizează semnalul cu ajutorul coeficienţilor de mai sus,WP Tour - Face descompunerea cu pachete de funcţii "wavelet" în cea maibună bază,

Căutarea celei mai bune bazeBest Basis: Algoritmul descris în paragraful 8.3CalcStat Tree: Construieşte un arbore ale cărui noduri sunt etichetate cu valorile de

entropie (vezi paragraful 7.1.2.10)....În figura 8.8.4.3 se prezintă transformarea "wavelet" discretă folosind pachete

de funcţii "wavelets" a semnalului din figura 3.8.4.3. În figura 9.8.4.3 este prezentat"arborele" care a condus la selectarea celei mai bune baze de tip Haar, în care s-a făcuttransformarea semnalului "Blocks" din figura 8.8.4.3.

Figura 8.8.4.3. Transformarea "wavelet" discretă folosind pachete de funcţii "wavelets" de tip Haar asemnalului din figura 3.8.4.3.

După cum se vede, criteriul de căutare a celei mai bune baze a fost minimizareaentropiei. În figura 10.8.4.3 se prezintă descompunerea atomică, în planul timp-frecvenţă a semnalului "Blocks", astfel obţinută. În continuare se prezintă câtevaconcluzii referitoare la "tool-box"-ul WaveLab.

- Această bibliotecă este exhaustivă, conţinând peste 800 de fişiere MatLab.De altfel ea este actualizată în permanenţă.

- WaveLab reuşeşte să fie o unealtă de cercetare reproductibilă, deoarece dăaccesul oricărui cercetător la uneltele pe care le-au folosit autorii săi în articolele pecare le-au publicat.


Figura 9.8.4.3. Arborele de selecţie a celei mai bune baze pentru transformarea din figura anterioară.

Figura 10.8.4.3. Descompunerea atomică în planul timp-frecvenţă a semnalului Blocks.

În acest mod pot fi reproduse oriunde în lume experienţele efectuate în laboratorul decercetare de la Universitatea Stanford.

În capitolul următor, dedicat aplicaţiilor reprezentărilor timp-frecvenţă, se vormai face referiri la WaveLab. În continuare se prezintă succint câteva produse softcare mai pot fi utilizate la analiza timp-frecvenţă a semnalelor. În acest scop a fostconsultată arhiva revistei electronice "Wavelet Digest" pe ultimii doi ani. În tabelul1.8.4.3 sunt date informaţii despre data lansării fiecărui astfel de produs "soft", desprelaboratorul în care a fost creat, despre tipul de maşină pe care poate fi utilizat, desprescopul în care poate fi utilizat, precum şi despre modul în care poate fi procurat. Încazul produselor gratuite este specificată adresa de la care poate fi transferat prinINTERNET programul respectiv. În cazul produselor care pot fi cumpărate sunt dateadrese de curier electronic de unde pot fi obţinute informaţii referitoare la achiziţie.

Tabelul 1.8.4.3.Nr.crt.

Denumirea programului Tipulcalculatorului

Adresa electronică de unde

poate fi procuratAutorul

1. MacWavelets v.100 MacIntoch http://www.intergalact.com/macwavelets/macwavelets. html

Sky Coyote

2. Uvi_Wave 2.0 PC sub Windows http://www.tsc.uvigv.es/~wavelets/uvi_wave.html

Nuria GonzalesPrelic

3. Xripple Pc sub Lynux ftp144.16.100.24,user:anonymus,passwd:your_email_adress, cd pub, hash, bin, get Xripple.tar.gz,bye

K.Sunil Kumar

4. Math Works'Wavelet Toolbox PC sub Windowssau staţie SUN

se cumpără,

http://www.mathworks.com/macwavelet.htmlM. Misiti, Y.Misiti,G. Oppenheim,J.M. Poggi

5. Wavelet Cascade Applet PC sub Windowssau staţie SUN

http://com.bell-labs.com/wavelet.html Wim Sweldens

6. Wavelet Explorer from Wolfram Research

PC sub Windows http://www.wolfram.com/mathematica/aplications

Julie Porter

7. Liftpack PC sub Windows,platformă UNIX,

MacIntoch

informaţii la: [email protected] G. Fernandez

8. E2DCT - codor de imagine ba-zat pe transf. cosinus discretă

"anonymus ftp" la picard.ifp.uiuc.edu/pub/zn/software

Zixiang Xing

9. Filtre biortogonale "hard" informaţii la [email protected] ---

10. Programe C++ pentru compresia de imagini cufuncţii "wavelet"

PC sub Windows,platformă UNIX,

MacIntoch

http://www.cs.dartmouth.edn/~gdavis/wavele/wavelet.html

Geoff Davis

11. Generator de func•ii “wavelet” PC sub Windows,platformă UNIX,

MacIntoch

http://www.dfw.net/~mcody Mac A. Cody

12. Wavelet and Filter BancksDesign Toolkit

PC sub Windows ftp://ftp.natinst.com/WaveTool.zip Shie Qian

13. Analizor timp-frecvenţă PC sub Windows ftp://ftp.natinst.com/TFmatlab.zip Shie Qian14. Multi-Scale

Image PyramidsPlatforme SUNsau MacIntosh

http://www.cis.upenn.edu/~eero Eero Simoncelli

15. Wavelet MMX PC sub Windows http://www.fastman.com/MMX/FASTMAN_MMX.html

Mike Tucker

16. Wavelet with Integer Lifting PC sub Windows,platforme UNIX

http://www.cs.kuleuven.ac.be/~wavelets/ GeertUylterhoeven

17. transformări "wavelet" în timp

realPC sub Windows,

procesoare desemnal

informaţii la

[email protected]. Nagesh

18. Analizor timp-frecvenţă PC sub Windows informaţii la:

[email protected] Soninger

Nr.crt.

Observaţii Unde a fost creat Data la care a fost anunţat în

Wavelets Digest1. Folosind extensiv interfaţa cu utilizatorul standard

MacIntosh folosirea programului nu necesită al soft

La firma Intergalact SUA Martie, 1996

2. Este un "tool-box" pentru Matlab Universitatea din Vigo, Spania Martie, 19963. Este o interfaţă grafică cu utilizatorul Institutul indian de tehnologie,

Bombay, IndiaMai, 1996

4. "Tool-box" Matlab Universitatea Paris-Sud, Orsay,Franţa

Iunie, 1996

5. "Applets" Java; permite reprezentarea grafică a unor

funcţii "wavelet" cu ajutorul reţelei INTERNET

Laboratoarele Bell SUA Iunie, 1996

6. "Tool-box" pentru "Mathematica" Laboratoarele Wolfram, SUA August, 19967. Program în C pentru construcţia funcţiilor "wavelet"

folosind schema de "înfrumuseţare prin operaţie

cosmetică" (lifting scheme)

Laboratoarele Bell, SUA Septembrie, 1996

8. "Software" pentru codarea imaginilor folosindtransformarea cosinus discretă

Universitatea Princeton, SUA Octombrie, 1996

9. Sunt filtre numerice de tipul FPGA Compania Fastman, SUA Decembrie, 199610. Librărie de programe C++ Darthmouth College,

Marea BritanieIanuarie, 1997

11. Aplicaţie bazată pe Tcl/Tk care poate rula la fel ca

şi o aplicaţie Java pe reţeaua INTERNET

--- Februarie, 1997

12. Proiectarea asistată de calculator a bancurilor de

filtreCompania National Instruments Aprilie, 1997

13. "Tool-box" pentru MATLAB Compania National Instruments Aprilie, 199714. Librărie MATLAB Universitatea din New-York,

SUAAprilie, 1997

15. Algoritmi rapizi de calcul a transformărilor

"wavelet" discreteCompania Fastman, SUA Mai, 1997

16. Librărie în C++ de transformări de tip "wavelet" Universitatea Catolică din

Leuven, BelgiaMai, 1997

17. Librărie de programe pentru procesoare de semnal Compania Crane Software,India

Iulie, 1997

18. WavePak, reprezentări timp-frecvenţă de tip

"wavelet"---- August, 1997

Capitolul 9

APLICAŢII

Se poate afirma că nu există nici un domeniu de aplicare a teoriei semnalelorîn care să nu existe aplicaţii ale reprezentărilor timp-frecvenţă. De fapt, fiecare tip dereprezentare timp-frecvenţă a apărut din nevoia rezolvării unei probleme practice.Marea diversitate a aplicaţiilor reprezentărilor timp-frecvenţă face ca încercarea de aclasifica aceste aplicaţii să fie foarte dificilă. De aceea în acest capitol va fi făcută otrecere în revistă a aplicaţiilor reprezentărilor timp-frecvenţă, insistându-se asupraacelora care au fost dezvoltate în echipa de cercetare din care fac parte autorii. Pentrucelelalte vor fi indicate surse bibliografice şi se va încerca evidenţierea performanţelorobţinute dar şi a factorilor care limitează utilizarea lor. Această expunere se va baza perezultatele teoretice prezentate în primele şapte capitole ale acestei lucrări. Acolo undevor fi necesare şi cunoştinţe teoretice suplimentare, acestea se vor prezenta pe scurt. Înconstrucţia exemplelor care vor fi prezentate vor fi utilizate cunoştinţele expuse încapitolul 8. Clasificarea aplicaţiilor este făcută după domeniile acestora.

9.1 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ ÎNR A D A R

În cazul Radarului se emit unde electromagnetice descrise prin semnale cumodulaţie liniară de frecvenţă. Aceste unde se reflectă de pe ţintă (care este un obiectîn mişcare) şi sunt recepţionate în punctul din care au fost emise. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului recepţionat este egală cu convoluţiabidimensională a reprezentării Wigner-Ville a semnalului emis cu reprezentareaWigner-Ville a unui semnal care poartă informaţii despre ţintă, [13]. Inversândreprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului care poartă informaţiidespre ţintă, poate fi determinat acest semnal. După cum s-a arătat în capitolul 3,rezolvarea naturală a problemei radiolocaţiei se bazează pe utilizarea reprezentăriitimp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine. De fapt funcţia de incertitudine asemnalului recepţionat este legată de funcţia de incertitudine a semnalului emis prinrelaţia (44). Dar în capitolul 4, s-a arătat că reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville a unui semnal reprezintă transformata Fourier bidimensională areprezentării timp-frecvenţă de tipul funcţie de incertitudine a aceluiaşi semnal. Deaceea luând transformata Fourier bidimensională în cei doi membri ai relaţiei (44) seobţine o relaţie foarte simplă între reprezentările Wigner-Ville ale semnalelor s( )τ şis( )r τ . Pe baza acestei relaţii pot fi determinate uşor valorile to şi ∆ ω. Metoda dedetecţie a ţintei descrisă mai sus nu ţine seama de zgomotul care poate perturbasemnalul recepţionat. De fapt în aplicaţiile RADAR există 4 surse de semnaleperturbatoare: 1. Ecourile fixe datorate mediului înconjurător (munţi, clădiri, ...), 2.Zgomotul propriu al sistemului RADAR,

9 Aplicaţii 351

3. Ecourile datorate condiţiilor meteorologice (ploaie, nori....), 4.Ecourile mobiledatorate altor ţinte (avion, vapor, vehicul de sol). În [61] este prezentată o metodă deeliminare a acestor perturbaţii folosind transformarea "wavelet" discretă ortonormală.Această metodă se bazează pe efectul de decorelare al acestei transformări. Acest efectva fi evidenţiat într-un alt paragraf din acest capitol. Metoda constă în următoareleetape: 1. Se realizează descompunerea semnalului recepţionat prin proiecţie pespaţiile Vm, Wm, m = , , ... − − −1 2 M , obţinându-se semnalele în timp discret

[ ]a nm şi [ ]d nm . Pentru fiecare valoare a indicelui m se efectuează un test pe bazacăruia dacă în mulţimea [ ] d nm n∈Z

există un singur minim sau un singur maximatunci semnalul [ ]d nm va fi utilizat la reconstrucţia semnalului RADAR. Folosindsemnalul [ ]a n−M şi semnalele [ ]d nm păstrate în urma producerii descrise mai sus, sereconstruieşte semnalul radar. Raportul semnal pe zgomot al semnalului reconstruiteste mai mare decât raportul semnal pe zgomot al semnalului recepţionat. Semnaluluireconstruit i se aplică procedura de detecţie standard. Instalaţiile RADAR moderne nuse rezumă doar la urmărirea ţintei. Ele produc şi o imagine a acesteia. Acest lucru esteposibil deoarece ţinta nu mai este modelată ca şi punct material (aşa cum s-a presupusîn capitolul 3). Pentru producerea imaginii este necesar ca simultan să fie emise şirecepţionate mai multe unde electromagnetice (câte una pentru fiecare punct alimaginii). Fiecăruia dintre acestea îi corespunde câte un punct de reflexie de pesuprafaţa ţintei. De aceea însumând toate undele reflectate se poate obţine imagineaţintei. Descrierea unei astfel de instalaţii RADAR este făcută în capitolul 10 al lucrării[117]. Pentru generarea imaginii se foloseşte transformarea Fourier deoarece sepresupune că semnalele recepţionate sunt staţionare. Pentru generarea unui cadru deimagine de calitate este necesar un anumit timp. Acest interval de timp nu poate fioricât de scurt având în vedere complexitatea operaţiilor care trebuiesc efectuate(achiziţia tuturor semnalelor recepţionate corespunzătoare semnalelor emise la unanumit moment, extragerea informaţiilor necesare pentru stabilirea coeficientului dereflexie corespunzător fiecărui punct de reflexie, operaţie în care se utilizează şitransformarea Fourier, sinteza imaginii ...). Dar ţinta se află în mişcare. În intervalul detimp necesar generării unui cadru de imagine a ţintei corespunzătoare unui anumitmoment de timp, ţinta îşi modifică poziţia. Pentru ca să se obţină o imagine de calitatea ţintei, pe întreaga durată a observării sale este necesar să se utilizeze tehnici decompensare a mişcării. Scopul lor este de a conferi caracter staţionar semnalelorrecepţionate specifice fiecărui cadru de imagine. Există situaţii în care chiar şi dupăaplicarea acestor tehnici, calitatea imaginii obţinute nu este satisfăcătoare deoarece nuse realizează staţionarizarea semnalelor recepţionate. De aceea este utilă înlocuireatransformării Fourier ca o reprezentare timp-frecvenţă în procesul de generare alfiecărui cadru de imagine, aşa cum se presupune în ultima referinţă bibliograficăcitată.

352 9.2 Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în explorarea seismică

9.2 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ ÎNEXPLORAREA SEISMICĂ

La fel ca şi în cazul RADAR-ului, metodele moderne de explorare seismică sebazează pe folosirea unor semnale cu modulaţie liniară de frecvenţă. Aceste semnalese transformă în unde acustice cu ajutorul unor plăci vibrante aflate în contact cusuprafaţa pământului. Reprezentarea Wigner-Ville a semnalului recepţionat este datăde convoluţia bidimensională a reprezentării Wigner-Ville a semnalului emis şireprezentarea Wigner-Ville a unui semnal care caracterizează structura subsolului dinzona testată. Cunoscând transformările Wigner-Ville a semnalelor emis şi recepţionatdupă aplicarea transformării Wigner-Ville inverse se pot obţine informaţii desprestraturile subţiri din subsol sau despre absorbţia şi dispersia acestuia. Aceste tehnicisunt prezentate în detaliu în [16]. Ele tind să înlocuiască tehnicile tradiţionale bazatepe intercorelaţie deoarece subsolul terestru are o comportare de filtru trece jos variantîn timp. Această comportare poate fi compensată prin filtrare trece sus în planul timp-frecvenţă.

9.3 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ LADETECŢIA DEFECTELOR MECANICE

Una dintre tehnicile de bază pentru identificarea defectelor mecanice ale unorinstalaţii în stare de funcţionare se bazează pe studiul vibraţiilor dezvoltate în acesteechipamente. Există două categorii de astfel de vibraţii: sincrone cu mişcarea unorsubansamble, asincrone.

Chiar în cazul vibraţiilor sincrone apar componente de intermodulaţie caurmare a variaţiilor de viteză ale subansamblelor corespunzătoare. În [60] se face otrecere în revistă a tehnicilor tradiţionale de analiză a vibraţiilor: analiza spectrală,medierea semnalului sincronă cu mişcarea sursei vibraţiilor, analiza părţii nestaţionarea vibraţiilor, demodularea în domeniul timp. O modalitate simplă de identificare adefectului este analiza vibraţiilor obiectului studiat în planul timp-frecvenţă. Practic sepoate obţine o semnătură în planul timp-frecvenţă a vibraţiilor subansambluluiconsiderat. Aceasta se poate compara cu semnătura în planul timp-frecvenţă asubansamblului înregistrată când acesta a funcţionat corect. Dacă cele două semnăturisunt diferite atunci se trage concluzia că subansamblul considerat este defect. Deexemplu, aşa cum s-a arătat în [13], folosind reprezentarea timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville poate fi obţinută semnătura în planul timp-frecvenţă a fiecărui cilindrual unui motor Diesel. În acest mod comparând semnăturile obţinute pot fi identificatedefectele la cilindrii motorului. Şi sistemele de injecţie ale motoarelor Diesel pot ficaracterizate în planul timp-frecvenţă. În acest scop pe lângă reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville poate fi utilizată şi reprezentarea timp-frecvenţă de tipscalogramă, aşa cum se arată în [38].

9 Aplicaţii 353

9.4 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ ÎNMEDICINĂ

Este binecunoscut faptul că pentru diagnosticarea maladiilor cardiovascularese utilizează electrocardiogramele. Acestea sunt înregistrări ale formei de undă asemnalului ECG. Acest semnal descrie ciclul de funcţionare al inimii corespunzătoarefiecărei bătăi a acesteia. Semnalul ECG nu este un semnal staţionar. De aceea esteutilă analiza sa în planul timp-frecvenţă. De fapt se poate afirma că cu cât maladiacardiovasculară este mai severă cu atât semnalul ECG este mai nestaţionar.

În [13] sunt prezentate reprezentări timp-frecvenţă de tipul transformareFourier scurtă respectiv Wigner-Ville ale unui semnal ECG. În acest caz prezenţatermenilor de interferenţă în reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville esteutilă, imaginea acestor termeni de interferenţă fiind utilă la stabilirea diagnosticului.De fapt au fost elaborate modele matematice pentru semnalul ECG al unui pacientsănătos şi se cunosc semnăturile corespunzătoare în planul timp-frecvenţă.Înregistrând semnătura în planul timp-frecvenţă a semnalului ECG al pacientuluitestat, acesta poate fi comparată cu semnătura standard. Dacă se remarcă diferenţeatunci se poate presupune că pacientul testat este bolnav. Analizând localizarea înplanul timp-frecvenţă a acestor diferenţe se poate formula şi diagnosticul. În prezentexistă modele matematice pentru semnalele ECG specifice pentru fiecare tip demaladie a inimii. Evident se cunosc şi semnăturile timp-frecvenţă corespunzătoare. Şiacestea sunt foarte utile pentru elaborarea diagnosticului.

Reprezentările timp-frecvenţă pot fi utilizate şi în studiul funcţionăriisistemului nervos [127]. Supravegherea electrică a sistemului nervos poate fi realizatăîn mai multe moduri. Rezultatele obţinute sunt:

- encefalograme (înregistrări ale formei de undă a semnalului EEG),- potenţiale evocate,- semnale acustice.Semnalele EEG au amplitudini cuprinse între 10 şi 100 µV iar banda lor de

frecvenţe este cuprinsă în intervalul [0,5 Hz, 40 Hz]. Ele se utilizează de obicei lastudiul somnului pacientului. Potenţialele evocate sunt semnale electrice care descriurăspunsul creierului la diferiţi stimuli externi. Aceste semnale pot fi de natură:

- vizuală,- auditivă,- somatosenzorială.Se utilizează de obicei pentru monitorizarea activităţii cerebrale în timpul

operaţiilor sau a procesului de reanimare. Amplitudinea acestor semnale este cuprinsăîntre 0,1 µV şi 10 µV. Având în vedere nivelul lor scăzut, de obicei, după achiziţiaacestor semnale li se îmbunătăţeşte raportul semnal / zgomot prin medierealunecătoare sincronă.

354 9.4 Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în medicină

Semnalele acustice produse de sistemul vascular cerebral pot fi folosite ladetectarea anevrismelor arteriale (deformări ale unor artere). Detecţia anevrismelorintracraniene, înainte de ruperea arterei în cauză este foarte dificilă datorită lipsei desemne de avertizare. De obicei apar doar simptome vagi şi nespecifice. O tehnicăieftină şi neinvazivă de diagnosticare a anevrismelor intracraniene, bazată pe utilizareasemnalelor acustice a fost elaborată recent. Această tehnică foloseşte dispozitive deînregistrare acustică cum ar fi: microfoane, hidrofoane sau dispozitive Doppler demăsurare a vitezei de curgere a sângelui pentru a detecta neregularităţi în procesul decurgere a sângelui. Aceste neregularităţi sunt specifice prezenţei unui anevrism.Semnalul electric care descrie curgerea sângelui în vecinătatea anevrismului esteprofund nestaţionar.

Toate cele trei categorii de semnale descrise mai sus (EEG, potenţial evocat,acustic) sunt nestaţionare pretându-se la analiza timp-frecvenţă. În continuare se trecîn revistă câteva tehnici de analiză a acestor semnale.

O metodă tradiţională de analiză a acestor semnale este bazată pe folosireatransformării Fourier discrete. Cu ajutorul ei pot fi obţinute: spectrul, interspectrul saufuncţia de corelaţie a semnalelor biologice descrise mai sus.

O altă metodă de analiză a semnalelor care descriu activitatea cerebrală esteaşa-numita demodulare complexă a acestora. Ea constă în filtrarea trece-bandă asemnalului bioelectric. În acest mod se poate studia comportarea unei armonici aacestui semnal în cursul timpului.

Dacă se consideră că semnalul bioelectric este un semnal modulat înfrecvenţă, cvasistaţionar, atunci în faza semnalului de la ieşirea filtrului trece-bandă segăsesc informaţii despre variaţiile frecvenţei instantanee a armonicii selectate dinsemnalul bioelectric. Demodularea complexă poate fi realizată şi în timp discretfolosindu-se transformarea Fourier discretă. La început, semnalul în timp discret[ ]x n (obţinut prin eşantionarea semnalului biologic) este deplasat în frecvenţă prin

înmulţire cu o exponenţială complexă:

[ ] [ ]~x n = x n e −j onΩ

Discretizând şi frecvenţa Ωo :

Ωo N =

m 2π

şi luând în cei 2 membrii ai ultimei relaţii transformata Fourier discretă se obţine:

[ ] [ ]~X Xk = k+ m

9 Aplicaţii 355

Semnalul demodulat [ ]d n , poate fi obţinut cu ajutorul transformatei Fourier discreteinverse, dacă aceasta este aplicată doar într-o anumită bandă de frecvenţe, (seconsideră doar K eşantioane din [ ]~

X k , în jurul frecvenţei Ωo):

[ ] [ ]d n = k e

=

1 2

2

2

NX

j nk

N

kK

K

~ π

−

∑

Faza acestui semnal este semnalul în timp discret:[ ] [ ] α n = d n arg

şi reprezentarea Wigner-Ville discretă poate fi utilizată la analiza semnalelorbioelectrice. Se preferă însă folosirea reprezentării pseudo Wigner-Ville discretă:

( )W z nj k

l

N

N

N

n, k = f (l) e

l = 2

2

1

1 −

− +

−

∑π

unde [ ]zn este semnalul analitic asociat semnalului [ ]xn , iar:[ ] [ ] [ ] [ ]f (l) = n+ l n l w l w l*

u z z − −Semnalul [ ] w n reprezintă o funcţie fereastră, reală, de lungime 2 1N − cu [ ] w =0 1.

Reprezentarea pseudo Wigner-Ville discretă poate fi rescrisă în forma:

( ) [ ] [ ] [ ]W cosN

sinNz

NN

n, k = u l l k

+ v l l k

z nl = l =

42

42

20

12

0

1 π π

−

−−

∑∑unde:

[ ] [ ] u l = f (l) ; vl = f (l)Re Imn n

Această expresie poate fi uşor calculată cu ajutorul transformării Fourier discretă.Având în vedere că de obicei semnalele bioelectrice sunt semnale modulate înfrecvenţă uneori este utilă cunoaşterea dependenţei de timp a frecvenţei lorinstantanee. Dar reprezentările timp-frecvenţă se concentrează în planul timp-frecvenţă pe frecvenţa instantanee (aceasta este una dintre condiţiile impuse uneireprezentări timp-frecvenţă, aşa cum s-a arătat în capitolul 2). De aceea ele pot fifolosite la estimarea legii de variaţie în timp a frecvenţei instantanee a semnalului deanalizat. Diferite tehnici de estimare a frecvenţei instantanee bazate pe utilizarea unorreprezentări timp-frecvenţă vor fi prezentate într-un paragraf următor.

Şi funcţiile "wavelet" pot fi utilizate în analiza semnalelor bioelectrice caredescriu funcţionarea sistemului nervos central. Această afirmaţie este dezvoltată în[119].

356 9.5 Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă în metrologie

9.5 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ ÎNMETROLOGIE

După cum s-a arătat în capitolul 1 reprezentările timp-frecvenţă au apărut dinnecesitatea de a măsura diferiţi parametri ai unor semnale nestaţionare. Utilizareametodelor timp-frecvenţă a condus la construcţia unor noi tipuri de aparate demăsurare. În acest paragraf vor fi prezentate câteva metode de măsurare bazate pereprezentări timp-frecvenţă precum şi unele aparate de măsurare care folosesc acestemetode.

9.5.1 MĂSURAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE

Fie semnalul modulat în frecvenţă cu modulator liniar:

( )2 2 cos = )x( τπτ (487)

Transformata sa Hilbert este:

( )2 2 sin = )x(H τπτ

Semnalul analitic asociat lui )x(τ este :

x ( ) = x( ) + j x( ) = e a

jτ τ τ π τH − 2 2

Argumentul acestui semnal este: arg a x ( ) = τ π τ2 2

iar frecvenţa sa instantanee:f( ) = i τ τ2 (488)

În continuare se determină reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Villea semnalului x ( )a τ . Nucleul acestei reprezentări este:

( ) ( )KW V a aj t

xa−

−

t, = x t + x t = e* ττ τ π τ

2 22 2

9 Aplicaţii 357

Deci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) t 4 2 =

= eF = t,KF = t,TF t 4 jaxVW

VW

ax

π−ωδπ

ωωτω τπ−

−

(489)

Se constată că reprezentarea Wigner-Ville a semnalului x ( )a τ se concentrează perfectpe curba:

(t)f 2 = t 4 = iππω (490)

Deci în cazul semnalului )x(τ din relaţia (487), reprezentarea timp-frecvenţă de tipWigner-Ville a semnalului analitic asociat se concentrează perfect pe curba frecvenţeiinstantanee. În continuare se consideră semnalul:

)y( cos = )x( ττ (491)

Semnalul analitic asociat este:( )ττ y j

a e = )(x

Nucleul Wigner-Ville corespunzător este:

( )

τ−−

τ

− τ 2 t y

2 + t y j

VWax e = t,K

Frecvenţa instantanee a semnalului )x(τ este:

f ( ) = y ( )i τπ

τ1

2' (492)

Un estimator al acestei funcţii se obţine înlocuind derivata cu diferenţa finită centrată:

( )$f t, = +

i

y t y tτ

π

τ τ

τ1

22 2

− −

(493)

Se constată că:

( ) ( )K xW V j f t

ai− ⋅t, = e , τ τ π τ$ 2 (494)

358 9.5.1 Măsurarea frecvenţei instantanee

Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville a semnalului x ( )a τ este:

( ) ( ) ( )( )τπ−ωδπω ττπ− ,tf 2 2 = eF = t,TF i ,tif 2 jVW

ax (495)Deci această reprezentare timp-frecvenţă se concentrează perfect pe

estimatorul frecvenţei instantanee cu diferenţă finită centrată.În consecinţă se poate afirma că frecvenţa instantanee a unui semnal de tipul

celui din relaţia (491) poate fi estimată pe baza reprezentării timp-frecvenţă de tipulWigner-Ville a semnalului analitic asociat.

În continuare se face ipoteza suplimentară că faza instantanee a semnaluluix( )τ are o variaţie polinomială:

τττ )(Q = )y( m 2 (496)

unde Q m2 ( )τ este un polinom de gradul 2 m.În acest caz:

( ) e = )(x )(Q ja

m 2 τττ

Se demonstrează că şi pentru astfel de semnale există o reprezentare timp-frecvenţă care se concentrează perfect pe curba de variaţie temporală a frecvenţeiinstantanee a semnalelor x( )τ corespunzătoare. Aceasta este reprezentarea Wigner-Ville generalizată. Ea este transformata Fourier scurtă a nucleului:

( ) ( )[ ] ( )[ ]g xW V

P

kb k

kb k

Kk

−−

−t, = x t + c x t + c

=

-*τ τ τ

1

Frecvenţa instantanee a semnalului x( )τ este:

[ ]f ( ) = ( ) + ( ) '

i m mQ Qτπ

τ τ τ1

2 2 2

Reprezentarea Wigner-Ville generalizată a semnalului x ( )a τ este:

( )( )

( )g xW VT F

a−

∑−≠

t, = e j b y t + c tk k

k = m k 0

m

ω ωF

9 Aplicaţii 359

Printr-o bună alegere a constantelor bk şi ck, se poate obţine:

( ) ( )( )g x

W V j f tKa

i− t, = e τ π τ2

adică:( ) ( )g x

W ViTF

a− −t, = f (t)ω π δ ω π2 2

Din păcate nu toate semnalele nestaţionare au expresia din relaţia (491). În schimbtoate reprezentările timp-frecvenţă prezentate în această lucrare au calitatea de a seconcentra pe curba de variaţie în timp a frecvenţei instantanee a semnalului căruia i seaplică. De asemenea, orice reprezentare timp-frecvenţă poate fi privită ca şi o imaginetimp-frecvenţă. De aceea este firească ideea utilizării metodelor de prelucrare aimaginilor pentru a extrage curba frecvenţei instantanee din imaginea reprezentăriitimp-frecvenţă. În figurile 20.8.4.1 şi 21.8.4.1 au fost prezentate reprezentările timp-frecvenţă de tipul spectrogramă Gabor adaptivă respectiv Wigner-Ville ale unuisemnal a cărui frecvenţă instantanee este o funcţie de gradul II de timp. În figurile1.9.5.1 şi 2.9.5.1 sunt prezentate imaginile obţinute prin binarizarea imaginilor dinfigurile 20.8.4.1 şi 21.8.4.1.

Figura 1.9.5.1. Rezultatul binarizării reprezentării Wigner-Ville a unui semnal modulat în frecvenţă.

Figura 2.9.5.1. Rezultatul binarizării reprezentării de tip spectrogramă Gabor adaptivă a semnaluluimodulat în frecvenţă.


Figura 3.9.5.1. Imaginea obţinută prin dilatarea imaginii din figura 1.9.5.1.

Figura 4.9.5.1. Imaginea obţinută prin dilatarea imaginii din figura 2.9.5.1.

Figura 5.9.5.1. Imaginea obţinută prin filtrarea mediană a imaginii din figura 3.9.5.1.

9 Aplicaţii 361

Figura 6.9.5.1. Imaginea obţinută prin filtrarea mediană a imaginii din figura 4.9.5.1.

În figurile 3.9.5.1 şi 4.9.5.1 sunt prezentate imaginile obţinute prin dilatareaimaginilor din figurile 1.9.5.1. şi 2.9.5.1. În sfârşit în figurile 5.9.5.1. şi 6.9.5.1 suntprezentate imaginile obţinute prin filtrarea mediană a imaginilor din figurile 3.9.5.1. şi6.9.5.1. Se constată că ultimile două imagini prezintă curba de variaţie a frecvenţeiinstantanee a semnalului analizat. De asemenea se constată dispariţia termenilor deinterferenţă din reprezentarea de tip Wigner-Ville. Iată cum poate fi obţinută aceastăcurbă pornind de la imaginea unei reprezentări timp-frecvenţă prin aplicarea a treioperaţii uzuale în prelucrarea imaginilor: binarizarea, dilatarea şi filtrarea mediană. Ocurbă asemănătoare poate fi obţinută prin interpolare folosind punctele din figura2.8.4.3. Deci şi prin prelucrarea imaginii transformării "wavelet" continuă asemnalului de analizat poate fi măsurată frecvenţa instantanee a acestuia.

Metodele de estimare a frecvenţei instantanee cu ajutorul reprezentărilor timp-frecvenţă prezentate până acum pot fi considerate ca şi tehnici de prelucrare asemnalelor în timp continuu. În continuare se prezintă metode de estimare a frecvenţeiinstantanee folosind tehnici de prelucrare a semnalelor în timp discret. Astfel demetode sunt prezentate în [15].

Prin eşantionarea uniformă a semnalului x( )τ se obţine semnalul în timpdiscret [ ]xn . Cu ajutorul transformării Hilbert în timp discret a semnalului [ ]xn , [10]se construieşte semnalul analitic asociat semnalului [ ]xn , [ ]x na . Se notează cu [ ]α nargumentul acestui semnal. Înlocuind derivata din relaţia de definiţie a frecvenţeiinstantanee cu o diferenţă finită înainte poate fi obţinut următorul estimator în timpdiscret al frecvenţei instantanee:

[ ] [ ] [ ][ ]f n = n+ ni1

21

πα α− (497)

Dezavantajele acestui estimator sunt:- este polarizat,- are dispersie mare.


O metodă de scădere a dispersiei este filtrarea semnalului [ ]f ni . În acest modse obţine un estimator:

[ ] [ ] [ ]$f n = f n h ni i ∗unde [ ]h n este răspunsul la impuls al filtrului folosit. O alegere potrivită pentru filtruldescris de [ ]h n este mediatorul numeric alunecător [125].

Performanţe superioare pot fi obţinute dacă se utilizează un filtru adaptiv. Încontinuare se prezintă o metodă adaptivă de estimare numerică a frecvenţeiinstantanee.

Pasul 1. Eşantionarea adaptivă a semnalului x( )τ .Se determină trecerile prin zero ale semnalului x( )τ . Se determină valoarea distanţeiîntre două treceri succesive prin zero. Se alege în aşa fel pasul de eşantionare încâtraportul dintre valoarea duratei dintre ultimele două treceri succesive prin zero alesemnalului x( )τ şi durata pasului de eşantionare folosit în acel interval de timp să fieun număr întreg.

Pasul 2. Fie [ ]K m numărul eşantioanelor secvenţei [ ]x na achiziţionate înintervalul de timp dintre ultimele două treceri prin zero consecutive ale semnaluluix( )τ (a m-a trecere prin zero şi a m+1 -a trecere prin zero). În [ ]K m sunt incluse şieşantioanele la momentele la care se produc cele două treceri prin zero.

Se estimează frecvenţa instantanee obţinându-se estimata [ ]f nim. Se filtrează

adaptiv acest semnal, folosind un mediator numeric alunecător adaptiv, cu relaţiaintrare-ieşire:

[ ][ ]

[ ] [ ]( )[ ]

$f m = m

m+ m k =

m

ik

K

K1

21

0

1

πα α− −

−

∑ (498)

Calculând suma din membrul drept se obţine:

[ ][ ]

[ ] [ ][ ]( )$f m = m

m + m m +i KK

1

21 1

πα α− − (499)

Dar [ ]α m +1 şi [ ][ ]α m m +− K 1 reprezintă valorile argumentului semnalului [ ]x na lamomentele la care semnalul x(t) trece prin 0. De aceea această diferenţă de argumenteeste egală cu π . În consecinţă relaţia (499) devine:

[ ][ ]

$f m = mi K

1

2(500)

Iată un estimator foarte simplu pentru frecvenţa instantanee. Pentru a aplicametoda de estimare a frecvenţei instantanee descrisă mai sus este suficient să sedetecteze trecerile prin zero ale semnalului x( )τ , şi să se măsoare pentru fiecare

9 Aplicaţii 363

cuplu de treceri prin zero succesive, distanţa temporală corespunzătoare. De aceeaaceastă tehnică se numeşte tehnică de măsurare continuă a frecvenţei instantanee.Metoda descrisă stă la baza construcţiei analizorului în domeniul modulaţiei HP5371A [143]. Aceeaşi metodă este utilizată şi la construcţia unor analizoare de spectru,la firma Tektronix [138]. Metoda descrisă poate fi implementată şi folosind unnumărător universal programabil şi un calculator de uz general [140]. Un astfel deechipament a fost construit şi funcţionează şi în facultatea noastră. El se bazează peutilizarea sistemului de achiziţii de date A DA 3100, [2]. Descrierea sa poate fi găsităîn [75]. În figurile 7.9.5.1. şi 8.9.5.1 sunt prezentate rezultatele utilizării acestui ultimaparat.

Figura 7.9.5.1 Estimarea frecvenţei instantanee a unui semnal FSK.

Figura 8.9.5.1 Estimarea frecvenţei instantanee a unui semnal vobulat.


În prima dintre aceste figuri este prezentată estimarea frecvenţei instantanee a unuisemnal FSK, iar în cea de a doua figură se prezintă estimarea frecvenţei instantanee aunui semnal generat de un generator de semnal vobulat. Estimările frecvenţelorinstantanee cuprinse în banda [100 Hz, 20 KHz] realizate cu ajutorul acestui aparat auo precizie satisfăcătoare, erorile relative comise nedepăşind valoarea de 1%.Alţi estimatori ai frecvenţei instantanee bazaţi pe reprezentările timp-frecvenţădiscrete sunt prezentaţi în [13].

9.5.2 MĂSURAREA BENZII INSTANTANEE

Această noţiune nu are încă o definiţie unanim recunoscută. În continuare prinbanda instantanee a unui semnal se va înţelege acea bandă de frecvenţă în care seconcentrează majoritatea energiei acelui semnal, măsurată într-un interval scurt detimp. Cunoaşterea benzii instantanee a unui semnal este utilă pentru eşantionareaadaptivă a acestuia. Într-adevăr, frecvenţa de eşantionare poate fi aleasă astfel încât lafiecare moment de timp ea să reprezinte un anumit multiplu al benzii instantanee asemnalului care trebuie discretizat. Acesta este modul de lucru al circuitului deeşantionare adaptivă A.S.R (Adaptive Sampling Rate) din structura înregistratoruluide forme de undă HP 5183 A [107]. Funcţionarea acestui circuit se bazează peutilizarea reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă discretă. Unsistem numeric de implementare a acestei reprezentări timp-frecvenţă este prezentat înfigura 9.9.5.1.

Figura 9.9.5.1 Sistem pentru calculul reprezentării timp-frecvenţă de tipul transformare scurtă discretă.

9 Aplicaţii 365

Semnalul de prelucrat, x( )τ , se eşantionează, folosind valoarea maximă afrecvenţei de eşantionare care poate fi realizată tehnologic (1 GHz în cazul aparatuluiHP 5183) obţinându-se semnalul în timp discret [ ]xn . Cu ajutorul sistemului dinfigura 9.9.5.1 se calculează transformarea Fourier discretă scurtă a semnalului [ ]xn .Pe baza relaţiei lui Parseval, se poate calcula energia instantanee a semnalului [ ]xn :

[ ] ( )E Xp

K

m = p, m =

2

0∑

Notând cu [ ]f m valoarea benzii instantanee a semnalului [ ]xn , valoarea energieiinstantanee cuprinsă în această bandă este:

[ ] ( )[ ]

E Xp

f m

1

2

0

m = p, m = ∑

Fie:

[ ]( )

[ ]

[ ]P

X

Ep

f m

m =

p, m

m =

2

0∑

pragul energetic la momentul m. După cum se constată valoarea lui [ ]P m indicăcantitatea din energia instantanee concentrată în banda instantanee. Condiţia:

[ ]P Pom ≥asigură printr-o bună alegere a lui Po o valoare suficientă pentru [ ]f m în aşa fel încâtaproximarea semnalului [ ]xn prin semnalul [ ]$xn obţinut prin aplicarea transformateiFourier scurtă discretă inversă semnalului ( ) ( ) [ ]( ) X X X0 1, m , , m , ... f m , m săaibă calitatea dorită. Semnalul [ ]$xn s-ar fi obţinut prin eşantionarea semnalului x( )τcu o frecvenţă de eşantionare (corespunzătoare lui [ ]f m ) de valoare mai mică decâtvaloarea frecvenţei de eşantionare folosită pentru obţinerea semnalului [ ]xn . Deaceea se poate afirma că pentru fiecare valoare a lui m există o valoarecorespunzătoare a frecvenţei de eşantionare a semnalului x( )τ . Pentru valori diferiteale lui m se obţin valori diferite ale frecvenţei de eşantionare. Iată de ce se poateafirma că este vorba despre o eşantionare adaptivă. În consecinţă, semnalul [ ]$xn seobţine prin eliminarea unora dintre eşantioanele semnalului [ ]xn . Privită din acestunghi metoda de eşantionare descrisă poate fi considerată ca şi o metodă de compresiede date. În cazul în care semnalul x( )τ este un fenomen tranzitoriu, pentruînregistrarea formei sale de undă compresia datelor este foarte importantă. Într-adevărmemoria oricărui aparat de măsurare numeric are o capacitate finită. De aceea

366 9.5.2 Măsurarea benzii instantanee

cu cât se foloseşte o frecvenţă de eşantionare mai mare cu atât durata din semnalultranzitoriu de înregistrat care poate fi stocată în memorie este mai scurtă. Dacă sefoloseşte compresia de date atunci o durată mai lungă din semnalul de înregistratpoate fi stocată în memorie. În continuare vor fi prezentate şi alte metode decompresie de date bazate pe utilizarea reprezentărilor timp-frecvenţă.

9.5.3 COMPRESIA DATELOR ÎN APARATURA DE MĂSURARE

Există mai multe metode de compresie a datelor:- prin codare cu pas variabil,- prin modulare diferenţială în impulsuri şi codare,- prin codare în subbenzi (un exemplu a fost expus anterior),- prin transformări ortonormale.În continuare se studiază ultima metodă. Este vorba despre o compresie de

date cu pierdere de informaţie controlată. Rolul transformării ortogonale este de adecorela semnalul care trebuie compresat. Prin decorelare, fiecare eşantion dinsemnalul obţinut va purta doar informaţia propice, nu şi informaţii specificeeşantioanelor vecine. În acest mod prin eliminarea unor eşantioane nu se pierde decâtinformaţia purtată de acestea (nefiind deloc afectată informaţia purtată de eşantioanelerămase).

Transformarea ortogonală care realizează decorelarea maximă estetransformarea Karhunen-Loeve. În continuare se prezintă această transformare. Înacest scop se consideră semnalul aleator x( )τ , de durată D şi se urmăreştedescompunerea sa în serie conform formulei:

x( ) = l.i.m. a ( ) , =

τ η τ τN

Dk kk

N

→∞≤ ≤∑ 0

1

(501)

unde limita este în medie pătratică, iar funcţiile η τk( ) sunt ortogonale. Esteinteresantă aproximarea semnalului x( )τ prin semnalul x ( )N τ cu:

x ( ) = a ( ) , =

N k kk

N

Dτ η τ τ01

≤ ≤∑ (501')

Se doreşte construcţia acestei aproximări în aşa fel încât semnalul în timp discret ak sănu aibă elemente corelate.

Relaţia (501) poate fi pusă în forma:

( ) limN

E N→∞−x ( ) x( ) = τ τ

20 (502)

9 Aplicaţii 367

unde cu E s-a notat operatorul de mediere statistică. Coeficienţii ak se calculează curelaţia:

a = x( ) ( ) d*k k

D

τ η τ τ0

∫ (503)

Dacă valoarea medie statistică a semnalului x( )τ este nulă atunci:

( )E Ek k

D

a = x( ) ( ) d = , k Z*τ η τ τ0

0∫ ∀ ∈ (503')

Dacă coeficienţii ak sunt necorelaţi atunci:

[ ]E k ka a = k ll* λ δ − (504)

adică:

[ ]E k

D D

k x( ) ( ) d x (u) (u) du = k l* *lτ η τ τ η λ δ

0 0

∫ ∫⋅

−

sau:

[ ] (u) x( ) x (u) ( ) d du = k ll* *η τ η τ τ λ δ

0 0

D D

k kE∫ ∫

−

Dar, E x( ) x (u)*τ reprezintă autocorelaţia semnalului aleator x( )τ , ( )rxx τ, u .Ultima relaţie devine:

( ) [ ] (u) , u ( ) d du = k ll*η τ η τ τ λ δ

0 0

D

xx

D

k kr∫ ∫

− (504')

Ţinând seama de ortogonalitatea funcţiilor η τk( ) rezultă că ultima relaţie estesatisfăcută şi dacă:

( )rxx

D

k k kτ η τ τ λ η, u ( ) d = (u)* *

0∫

368 9.5.3 Compresia datelor în aparatura de măsurare numerică

sau, deoarece funcţia de autocorelaţie este reală:

( )rxx

D

k k kτ η τ τ λ η, u ( ) d = (u)0∫ (505)

S-a obţinut în acest mod o ecuaţie integrală de tip Fredholm. ( )R x τ, u reprezintănucleul ecuaţiei, η τk( ) sunt funcţiile proprii iar λk valorile proprii.

Cunoscând autocorelaţia semnalului de descompus x( )τ , ( )R x τ, u se poaterezolva ecuaţia (505), determinându-se funcţiile η τk( ) şi constantele λk. Se poatedemonstra că transformarea Karhunen-Loeve, definită în relaţia (501') minimizeazăeroarea medie pătratică de aproximare:

( ) ( ) E E Ne = x( ) x ( )2 2τ τ− (506)

Cu alte cuvinte, nu există o altă transformare (descompunere) descrisă printr-osumă cu N termeni care să conducă la o eroare medie pătratică de aproximare a luix( )τ decât transformare Karhunen-Loeve.

În continuare se prezintă două exemple. Pentru început se consideră căsemnalul x( )τ este un zgomot alb. În acest caz:

( ) ( )rxx τ δ τ, u = , u

Înlocuind în relaţia (504') se obţine:

( ) [ ] (u) , u ( ) d du = k ll*η δ τ η τ τ λ δ

0 0

D D

k k∫ ∫

−

adică:( ) ( ) [ ]η η λ δl = k l*0 0k k − (507)

Deci: ( ) λ η σl l l l = = a = 0

2 2 2E

Având în vedere relaţiile (503') şi (507) se poate scrie:

E E Ek ka a = a a = , k ll l* *⋅ ≠0

9 Aplicaţii 369

Rezultă că eşantioanele semnalului ak nu sunt numai decorelate ci sunt şiindependente. Aceasta explică ideea utilizării transformării Karhunen-Loeve lacompresia de date. O clasă largă de semnale aleatoare staţionare cu funcţia deautocorelaţie de forma:

( ) ( ) ( )r r rxxu

x xτ ττ, u = e = u = v− − − (508)

În acest caz ecuaţia Fredholm asociată (relaţia 505') devine:

e (u) du = ( )− −∫ τ η λ η τuD

k k k0

(509)

Soluţiile acestei ecuaţii sunt:

η τ λω

ω τk

j kk

o

o( ) = e ; = + k

2

1 2 2 (510)

Iată sursa interesului pentru dezvoltările în serie Fourier.Fiind vorba despre date este interesantă transformarea Karhunen-Loeve a

semnalelor în timp discret. Semnalul de transformat, [ ]xn de durată N poate fiexprimat în forma:

[ ] [ ] [ ][ ]x = x x ... x T N0 1 1−

Fie T o transformare ortogonală. Aplicând această transformare semnalului[ ]x n se obţine:

X T = xunde:

[ ] [ ] [ ][ ]X X X X NT = ... 0 1 1−

Transformarea T poate fi descrisă matricial cu ajutorul matricei T, definită prin:

[ ]TTo N = ... η η η1 1−

unde ηk N, k = , 0 1− sunt vectori ortogonali:

[ ]η η δkT = k ll⋅ −

Transformarea inversă T−1 este descrisă matricial cu ajutorul transpusei matricei T,TT . Se poate scrie:


[ ] [ ]x = = ... = k =

T X X XTo N k

k

N

η η η η1 10

1

−

−

∑ (511)

O compresie de date poate fi obţinută dacă se reduce dimensiunea spaţiuluitransformat de la N la M (M<N). Expresia semnalului compresat este:

[ ]x = k =

M kk

M

X η0

1−

∑ (512)

Eroarea de aproximare a lui x prin xM este:

[ ]∆x = x x = k =

−−

∑M kk M

N

X η1

(513)

Eroarea medie pătratică de aproximare este:

[ ] [ ]ε η η = E x = k l =

∆ 211

E X Xl M

N

kT

lk M

N

=

−−

∑∑

Ţinând seama de ortogonalitatea vectorilor ηk ultima relaţie devine:

[ ] ε = k =

E Xk M

N −

∑1

2 (514)

Deoarece semnalul aleator de la intrare [ ]xn este caracterizat statistic prin intermediulmatricei sale de covarianţă, este utilă exprimarea erorii medii pătratice cu ajutorulacestei matrice:

C ExT = x x

Ţinând seama de relaţia (513) şi ortogonalitatea vectorilor ηk se poate scrie:

[ ]X kTk = xϕ ⋅


( ) ε ϕ ϕ ϕ ϕ = x x = x x = =

E Ek M

N

kT

kT T

kT

k M

N

Tk

− −

∑ ∑⋅ ⋅1 1

(515)

9 Aplicaţii 371

adică:

ε ϕ ϕ = =

k M

N

kT

x kC

−

∑1

(516)

Fiind cunoscută matricea Cx trebuie determinaţi vectorii ortogonali ϕk şitransformarea T care minimizează eroarea medie pătratică, ε .

Această problemă se rezolvă în [130] folosind metoda multiplicatorilor luiLangrange. Se ajunge la sistemul de ecuaţii matriciale:

C x k k k = η λ η (517)

Deci vectorii ηk sunt vectori proprii ai matricei de covarianţă a semnalului x.Valoarea minimă a erorii medii pătratice este:

ε λmink M

N

k = =

−

∑1

(518)

Transformarea definită de relaţia (517) se numeşte transformarea Karhunen-Loeve asemnalului în timp discret [ ]xn .

În continuare se prezintă o legătură între transformările Karhunen-Loeve întimp continuu şi în timp discret.

Relaţia (505) poate fi rescrisă în forma:

( )rx k L k kτ η τ λ η, u , ( ) = (u) 2 (519)

Cu notaţia:( ) [ ]r Cx xm, n = m, n

relaţia (519) poate fi rescrisă în forma:

[ ] [ ] [ ]C Nx k k km,n , n = m , m = , l

η λ η2

0 1− (520)

sau matricial:[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

C C C N

C C C N

C N C N C N N N N

x x x

x x x

x x x

k

k

k

k

k

k

k

0 0 0 1 0 1

1 0 1 1 1 1

10 11 1 1

0

1

1

0

1

1

, , ,

, , ,

, , ,

=

L

L

M M M

L

M M

−−

− − − −

−

−

ηη

η

λ

ηη

η(521)

adică:C x k k k = η λ η (522)


Ultima relaţie este identică cu relaţia (517).Dar coeficienţii ak sunr necorelaţi. Rezultă pe baza observaţiei de mai sus că şi

coeficienţii [ ]X k sunt necorelaţi. De aceea se poate afirma că matricea C x estediagonală. Conform relaţiei (522) rezultă că:

C x

o

N

=

λλ

λ

0 0

0 0

0 0

1

1

K

K

M M M

K −

(523)

Compresia semnalului [ ]X k , k = , 0 1M − se poate realiza reţinând primele Mvalori din acest semnal. Se obţine semnalul comprimat:

[ ][ ]

XX M

c k = k , k = ,

, in rest

0 1

0

−

Numărul N-M de eşantioane [ ]X k care pot fi neglijate corespunde la numărul decoeficienţi λk ai matricei de covarianţă C x care pot fi neglijaţi.

Din păcate nu există algoritmi rapizi pentru calculul transformării Karhunen-Loeve a unui semnal. De aceea este dificilă determinarea vectorilor proprii ai matriceide covarianţă. În practică se utilizează transformări ortogonale suboptimale. Acesteaating doar asimptotic performanţele transformării Karhunen-Loeve dar beneficiază deimplementări bazate pe algoritmi rapizi. Printre aceste transformări suboptimalefigurează:

- transformarea Walsh-Hadamard (prezentată în [130]),- transformarea cosinus discretă DCT,- transformarea wavelet discretă.Convergenţa asimptotică a transformării DCT spre transformarea Karhunen-

Loeve este demonstrată în [104]. În continuare se demonstrează convergenţatransformării "wavelet" discretă spre transformarea Karhunen-Loeve.

Fie semnalul aleator x( )τ . Proiecţiile acestui semnal pe descompunerea

ortogonală a lui ( )L2 R , Wm m∈Z , generată de funcţia "wavelets mother" ψ τ( )

sunt semnale ale căror descompuneri în bazele ψ τm n n, Z( )

∈ au coeficienţii

[ ]d nm :

[ ]d n = x( ), ( ), m m nτ ψ τ

9 Aplicaţii 373

Se calculează corelaţiile semnalelor [ ]d nm :

[ ] [ ] [ ]

r E E

E u

E u

E

m m m m k m l

m k m l

m k m l

m k m l

d , ,

, , RR

, , R

, ,

k, l = d k , d l = x( ), ( ) , x( ), ( ) =

= x( ) ( ) d x (u) ( ) du =

= x( ) x (u) ( ) ( ) du d =

= x( ) x (u) ( )

* *

* *

* *

* *

τ ψ τ τ ψ τ

τ ψ τ τ ψ

τ ψ τ ψ τ

τ ψ τ ψ

∫∫

∫ 2

( ) du dR

u2∫ τ

Dacă semnalul x( )τ este staţionar atunci:

( ) x( ) x (u) = u*E rxxτ τ −În consecinţă:

[ ] ( )r r um xx m k m ld , , R

k, l = u ( ) ( ) du d = *τ ψ τ ψ τ−∫ 2

( ) ( )ψ τ ψ τ τ ψ τ ψ τ τm k m l xx xx m l m ku r, , RR , , R* *( ) ( ) r u du = ( ) ( ) ( ) d − ∗∫∫ ∫

sau pe baza relaţiei lui Parseval:

[ ] ( ) ( )r rd xx m l m kmk, l = ( ) ( ) ( ) d, , R

*1

2πτ ψ τ ω ψ τ ω ωF F *∗∫

Admiţând că se lucrează cu funcţii "wavelet" reale, ultima relaţie devine:

[ ] ( ) ( ) ( )r rd x m l m kmk, l = x( ) ( ) ( ) d, R ,

*1

2πτ ω ψ τ ω ψ τ ω ωF F F∫

Dar:

( ) ( )F Fψ τ ω ψ ωωm l

mj l m

, ( ) = e

m2 22 2− − −−

Deci:


[ ] ( )

( ) ( )

r rd xx

mj

mm

j k m

m

m

m

k, l = ( ) e

e d

lR

*

1

22

2 2 2

2 2

2 2

πτ ω

ψ ω ψ ω ω

ω

ω

F

F F

− −

− − −

−

−

∫ ⋅

adică:

[ ] ( ) ( ) ( )r rd xxm j k m

m

mk, l = ( ) e d l

R

1

22 22 2

πτ ω ψ ω ωωF F− − − −−

∫Integrala din membrul drept se poate descompune într-o serie de integrale calculate peintervale de lungime 2π:

[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )r rd xx

m j k

p

p

p

mm

mk, l = ( ) e d l

=

1

22 22

2 1

2 12

πτ ω ψ ω ωω

π

π

F F− − −

−

+

− ∞

∞−−

∫∑

Cu schimbarea de variabilă:v = 2−m ω


[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )r rd xx

m j k

p

p

pm

k, l = ( ) v e v dv l

=

1

22

2 1

2 12

πτ ψ

π

π

F F− −

−

+

− ∞

∞

∫∑


w = v p − 2 πrezultă:

[ ] ( )( ) ( ) ( )r rd xxm j w k

pm

k, l = ( ) w+ p e w+ p dw l

=

1

22 2 2

2

πτ π ψ π

π

π

F F− −

−− ∞

∞

∫∑sau:

[ ] ( )( ) ( ) ( )r rd xxm j w k

pm

k, l = ( ) w+ p e w+ p dw l

=

1

22 2 2

2

πτ π ψ π

π

π

F F− −

−∞

∞

−∑∫ (524)

Dacă semnalul aleator x( )τ este un zgomot alb de valoare medie nulă şi dispersieunitară atunci:

( )( ) ( )F rxxm( ) w+ p = , w Rτ π2 2 1 ∀ ∈

În acest caz, relaţia (524) devine:

9 Aplicaţii 375

[ ] ( ) ( )rdj k

pmk,l = w+ p e dw w l

=

1

22

2

πψ π

π

π

F − −

−∞

∞

−∑∫ (525)

Dar în paragraful 7.1.2.1 s-a demonstrat, relaţia (178) conform căreia în cazulfuncţiilor "wavelet" ortogonale:

( )F ψ πw+ p = =

2 12

p −∞

∞

∑

Ultima relaţie devine:

[ ] ( )rdj w k

mk, l = e dw l

1

2ππ

π− −

−∫

În consecinţă:[ ] [ ]rdmk, l = k lδ −

Cu alte cuvinte, dacă x( )τ este un zgomot alb atunci toate semnalele [ ]d nm suntzgomote albe în timp discret. Deci prin aplicarea transformatei wavelet discretă unuisemnal în timp discret de tip zgomot alb se obţin tot semnale în timp discret de tipzgomot alb. Evident eşantioanele acestor semnale sunt necorelate. Deci transformareawavelet discretă ortogonală se comportă la fel ca şi transformarea Karhunen-Loeve laprelucrarea semnalelor în timp discret de tip zgomot alb, indiferent de tipul funţiei"wavelet" utilizată. Se trece la lmită pentru m tinzând la −∞, în cei doi membri airelaţiei (524). Se obţine:

[ ] ( ) ( ) ( )r rd xxj k

p−∞

− −

−∞

∞

−∑∫k, l = ( ) e w+ p dw w l

=

1

20 2

2

πτ ψ π

π

π

F F

sau:

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]r r rd xxj k

xx−∞

− −

−∫ −k, l = ( ) e dw = ( ) k l w l

1

20 0

πτ τ δ

π

π

F F (526)

Deci semnalul [ ]d n − ∞ este un zgomot alb în timp discret. Eşantioanele sale sunt înconsecinţă necorelate. Se poate aşadar afirma că transformarea "wavelet" discretăconverge asimptotic la transformarea Karhunen-Loeve. Demonstraţia de mai sus a fostreprodusă din [78]. O analiză asemănătoare pentru pachete de funcţii "wavelet" esteprezentată în [10]. Iată de ce este recomandată utilizarea transformării "wavelet"


discretă la compresia datelor. În [33] se demonstrează că oricare ar fi semnalul caretrebuie compresat există o anumită funcţie "wavelet" care poate conduce la realizareaunei compresii superioare celei care s-ar putea obţine folosind transformarea cosinusdiscretă. Este vorba de obţinerea unui factor de compresie superior la erori deaproximare egale. În [4] este prezentată o metodă de compresie cu pierdere deinformaţie controlată. Această metodă are următorii paşi:1. Se calculează transformarea "wavelet" discretă directă a semnalului care trebuieprelucrat, [ ]xn , [ ]y n .2. Se realizează compresia propriuzisă prin înlăturarea acelor eşantioane alesemnalului obţinut la pasul anterior care sunt mai mici decât un prag impus.3. Se calculează transformarea "wavelet" discretă inversă obţinându-se semnalul [ ]$xn .Pragul de la pasul 2 se impune într-un mod adaptiv. El se alege în aşa fel încât eroareamedie pătratică de aproximare a semnalului [ ]xn prin semnalul [ ]$xn să nu depăşeascăun procent din energia semnalului [ ]xn .

Sunt valabile relaţiile:

[ ] [ ]Exk

N

k

N

= x k = y k = =

2

0

1

2

0

1− −

∑ ∑ (527)

[ ] [ ]Exk

M

k

M

$ $ $= x k = y k = =

2

0

12

0

1− −

∑ ∑ (528)

deoarece orice transformare ortogonală conservă energia [130].

De asemenea se poate scrie:

[ ][ ] [ ]

$yn = y n , daca y n

, in rest

>

P

0

Fie [ ]o $yn secvenţa obţinută prin ordonarea descrescătoare a eşantioanelor semnalului[ ]$y n . Eroarea medie pătratică de aproximare a semnalului [ ]xn prin semnalul [ ]$xn

este proporţională cu:

[ ]ε = y k =

ok M

N

$ 21−

∑

Valoarea lui M se obţine prin rezolvarea ecuaţiei:

9 Aplicaţii 377

100E = max x

Z Mε

∈

În continuare se prezintă câteva exemple de aplicare a acestei metode. În figurile1.9.5.3, 2.9.5.3 şi 3.9.5.3 sunt prezentate trei exemple de semnale de compresat, [ ]xn(în partea de sus a figurilor) şi corespunzătoare [ ]nx (în partea de jos a figurii). Încazul fiecărui semnal compresat este indicat numărul de eşantioane din care a fostreconstruit semnalele [ ]$xn . Se constată că s-au obţinut valori mari ale factorilor decompresie. Toate semnalele [ ]nx din aceste exemple au 512 eşantioane.

Figura 1.9.5.3. Compresia unui semnal sinusoidal. Factorul de compresie este 10,66.

Recent a fost construit un nou dicţionar timp-frecvenţă de baze ortonormaleasemănător dicţionarelor de pachete de funcţii "wavelet". Elementele acestui dicţionarse generează cu ajutorul unor transformări Karhunen-Loeve localizate. Şi în acestdicţionar elementele necesare pentru descompunerea unui anumit semnal pot fi găsitefolosind algoritmul de căutare al celei mai bune baze prezentat în paragraful 8.3, [34].În [23] se demonstrează superioritatea transformării "wavelet" discretă asupratransformării Karhunen-Loeve la compresia semnalelor care pot fi modelate prinprocese aleatoare ne-Gaussiene.

Evident, compresia de date este un procedeu utilizat nu numai în metrologie cişi în alte domenii tehnice, ca de exemplu în telecomunicaţii. În continuare se vor treceîn revistă câteva aplicaţii ale reprezentărilor timp-frecvenţă în telecomunicaţii.


Figura 2.9.5.3. Compresia unui semnal dreptunghiular. Factorul de compresie este 8,53.

Figura 3.9.5.3. Compresia unui semnal modulat în frecvenţă. Factorul de compresie este 8,53.

9 Aplicaţii 379

9.6 APLICAŢII ÎN TELECOMUNICAŢII

Pe lângă aplicaţiile în RADAR ale reprezentărilor timp-frecvenţă există şi alteaplicaţii ale acestora în domeniul telecomunicaţiilor. De exemplu şi în telefonianumerică este util procedeul de compresie a datelor. De această dată este însă vorbadespre prelucrarea semnalului vocal.

9.6.1 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ LAPRELUCRAREA SEMNALULUI VOCAL

Există două scopuri majore în prelucrarea semnalului de vorbire:- analiza semnalului pentru recunoaşterea vorbirii,- sinteza numerică a semnalului de vorbire.

Practic toate aspectele comunicării prin vorbire pot beneficia de rezultatele analizeitimp-frecvenţă. Orice sistem de analiză, codare sau sinteză de vorbire prelucreazăsuccesiv segmente de vorbire având durate de ordinul a 64 de milisecunde, în ipotezacă fiecare segment de semnal este staţionar.

O prezentare a ultimilor realizări ale reprezentărilor timp-frecvenţă înprelucrarea vorbirii este făcută în [113]. Una dintre dificultăţile întâlnite la compresiasemnalului vocal este presegmentarea acestuia. Într-adevăr, având în vedereredundanţa acestui semnal, chiar şi cuvintele cele mai simple sunt descrise numeric cuajutorul unui număr mare de eşantioane. De aceea trebuiesc folosite metode de codarecare să lucreze pe blocuri. Semnalul de prelucrat este împărţit în blocuri. Succesiv,fiecărui bloc i se aplică metoda de compresie. Bineînţeles că ar fi de dorit ca fiecarebloc să reprezinte un semnal cvasistaţionar. O astfel de segmentare a semnalului deanalizat poate fi realizată cu ajutorul unui pachet de funcţii "wavelet" de tip Malvar.Această metodă de segmentare este prezentată în [144].

Metoda presupune descompunerea semnalului de analizat în cea mai bunăbază a unui pachet de funcţii "wavelet" de tip Malvar. Găsirea celei mai bune baze serealizează prin minimizarea entropiei. Această descompunere realizează o segmentareimplicită a semnalului de analizat.

O descompunere în forme de undă Malvar a semnalului x( )τ asociată partiţieiintervalului [ ]0, T :

[ ]0, = T Ik

k∪

cu:[ ]Ik k k= a , a +1

380 9.6.1 Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă la prelucrarea vocii

este descrisă de relaţia:x( ) = c ( ), ,

,

τ ψ τm k m km k∑ (529)

unde:ψ τ τ τm k m m k, , ( ) = w ( ) g ( ) (530)

şi:

( )g ( ) = cos k + a, m k

m m

m

I Iτ

πτ

2 1

2

− (531)

cu:

[ ]

[ ]

( ) [ ]

w ( ) =

b ( ) , a r, a + r

, a + r, a r

b a , a r, a + r

m

m m m

m m

m m m m

τ

τ τ

τ

τ τ

∈ −

∈ −

− ∈ −

+

+ + + +

1

2

1

1 1 1 1

(532)

unde:( )

b ( ) = + a

rm

msin sinτ

π π τ4

12

−

(533)

Fie Um un şir de operatori definiţi pe [ ]L m m2 a r, a + r− , care transformă

semnalul x( )τ în şirul de funcţii:

( ) ( ) ( ]

( ) ( ) [ ]Um

m m m m m m

m m m m m mx( ) =

b ( ) x( )+b a x a , a , a + r

b a x( ) b ( ) x a , a r, aτ

τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ

2 2

2 2

− − ∈

− − − ∈ −

(534)

Se poate scrie: U m m k m k

k

x( ) = d ( ), , τ ϕ τ∑ (535)

unde:ϕ τ χ τ τm k I m k, , ( ) = ( ) g ( )

m(536)

9 Aplicaţii 381

Cu χ τIm( ) s-a notat funcţia caracteristică a intervalului Im. iar U m x( )τ

reprezintă produsul segmentării semnalului x( )τ corespunzător intervalului Im. Încontinuare se consideră că semnalul x( )τ este definit pe [ ]0, T . Acest interval suferăurmătoarea împărţire:

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

I T

I T I T T

I T I T T

I T T I T T

oo

o

o

= ,

= , ; = / ,

= , ; = / ,

= / , ; = / ,

0

0 2 2

0 4 4 2

2 3 4 3 4

111

11012

111

112

/

/ /

/

(537)

Se consideră funcţiile "wavelet" de tip Malvar (obţinute prin particularizarea relaţiei(531) corespunzătoare partiţiei (537)) şi acestea se constituie într-un pachet de funcţii"wavelet". Căutând cea mai bună bază în acest pachet, folosind criteriul de minimizarea entropiei, se obţine mulţimea Um mx( )τ

∈I. Fiecare element al acestei mulţimi

reprezintă un segment ,corespunzător unui anumit interval al partiţiei descrisă derelaţia (537) al semnaluluix( )τ . Fiecare astfel de segment reprezintă un semnalcvasistaţionar. Oricare dintre aceste semnale poate fi ulterior compresat. Tehnicadescrisă anterior este dezvoltată în [44]. O altă extindere a metodei de segmentare şicompresie descrisă mai sus este prezentată în [134]. Au fost construite chiar şi analizemultirezoluţie segmentate respectiv baze de funcţii "wavelet" segmentate [52]. Metodade segmentare descrisă mai sus poate fi utilizată şi în cazul semnalelor ECG [78]. Otrecere în revistă a pricipalelor tehnici de segmentare şi compresie a semnalelor bazatepe funcţii "wavelet" utilizate în telecomunicaţii este prezentată în [118]. Teoriafuncţiilor "wavelet" are un puternic impact asupra tehnicilor de compresie. Acestetehnici au făcut deja posibilă includerea teoriei funcţiilor "wavelet" în standarde. Unexemplu este standardul MUSICAM pentru "CD"-urile audio de calitate. Unparametru atractiv al acestei tehnici de compresie este posibilitatea decompresieiparţiale. Dacă nu se efectuează toate iteraţiile algoritmului de transformare "wavelet"inversă, necesar la decompresie, atunci rezultatul este o aproximare de rezoluţieinferioară a semnalului care a fost compresat. Această posibilitate este interesantă înaplicaţiile care asociază operaţiile de compresie şi de transmisie. Atât transformareaortogonală directă (folosită la compresie) cât şi transformarea ortogonală inversă(folosită la decompresie) pot fi implementate cu bănci de filtre. În cazul compresieisemnalului de vorbire trebuie să se ţină seama de fiziologia urechii. De aceea sunt utiletransformări ortogonale mixte: de tip transformare Fourier scurtă în banda [20, 500]Hz şi de tip "wavelet" la frecvenţe peste 500 Hz.

382 9.6.1 Aplicaţiile reprezentărilor timp-frecvenţă la prelucrarea vocii

Teoria funcţiilor "wavelet" poate fi utilizată şi pentru codarea semnaluluivocal. O astfel de aplicaţie este descrisă în [131]. Avantajul utilizării funcţiilor"wavelet" constă în acea că pe lângă codarea propriu zisă se realizează şi oîmbunătăţire a raportului semnal / zgomot al semnalului care trebuie codat.

În continuare se prezintă modul în care pot fi folosite funcţiile "wavelet" laînbunătăţirea raportului semnal / zgomot.

9.6.2 ÎMBUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL / ZGOMOT FOLOSINDFUNCŢIILE "WAVELET"

Operaţia de îmbunătăţire a raportului semnal/zgomot este o operaţie de bază îndomeniul telecomunicaţiilor. În [76] se face o trecere în revistă a tehnicilor clasice deîmbunătăţire a raportului semnal / zgomot.

Transformarea "wavelet" discretă poate fi folosită la îmbunătăţirea raportuluisemnal pe zgomot în cazul semnalelor perturbate aditiv. În acest scop se foloseşte ometodă propusă de David Donoho, care are trei etape:

1. se calculează transformarea "wavelet" discretă a semnalului perturbat,2. se filtrează rezultatul,3. se calculează transformarea "wavelet" inversă.Succesul acestei metode este datorat proprietăţii de decorelare a transformării

"wavelet" discretă care a fost descrisă în paragraful 9.5.3. Datorită acestei proprietăţi,oricare ar fi natura zgomotului care perturbă semnalul util, în domeniul transformateisemnalul perturbator tinde să fie un zgomot alb, [17]. Se cunosc numeroase metode defiltrare pentru diminuarea efectului perturbator al zgomotului alb. De asemenea,datorită naturii statistice diferite a semnalului util şi semnalului perturbator apare oseparare bună a acestora în domeniul transformat.

Etapa 2 poate fi implementată în mai multe moduri. Pot fi, de exemplu,utilizate filtre adaptive de tip LMS sau RLS, [85]. Se recomandă însă utilizareafiltrelor adaptive neliniare. Sunt deja cunoscute numeroase filtre neliniare carecorespund acestei necesităţi. În continuare se prezintă relaţia intrare-ieşire specificăpentru câteva dintre acestea.

y = x, x

, x R

≥

<

∈ +

λ

λλ

0(538)

( ) ( )y sgn= − ∈ + x x , Rλ λ (539)

9 Aplicaţii 383

( ) ( )y =

x x , x , xsgn − ≥

<

λ λ

λ0(540)

y =

, x

x x , x

0

2

≤

− >

λ

λλ

(541)

( )y =

, x

x x

, x

x , x

0 1

2 1

2 11 2

2

≤

−−

< ≤

>

λ

λ λλ λ

λ λ

λ

sgn (542)

Analiza statistică a filtrelor din relaţiile (538) ÷ (540) este prezentată în [77]. Pentrucelelalte filtre poate fi consultată lucrarea [65]. Majoritatea filtrelor prezentate mai suspot fi transformate în filtre adaptive dacă valoarea parametrului din descrierea lor (deexemplu λ în relaţiile (538), (540)) este făcută să depindă de unul dintre parametriisemnalului care trebuie prelucrat. Acest parametru poate fi de exemplu putereazgomotului perturbator. Dacă, de exemplu, semnalul perturbator este de tipul zgomotalb de valoare medie nulă şi de dispersie σ şi dacă în etapa 1 se foloseşte otransformare "wavelet" discretă ortogonală, atunci puterea zgomotului perturbator îndomeniul transformat (care va fi tot zgomot alb Gaussian), va fi σ 2. Dacă se foloseştefiltrul descris de relaţia (540) atunci, (conform regulii celor 3σ) alegând λ σ> 3 ,practic zgomotul este în întregime suprimat. Evident, raportul semnal pe zgomot alsemnalului de prelucrat trebuie să fie relativ mare, în aşa fel încât înlăturareaeşantioanelor semnalului util din domeniul transformat, mai mici în modul decât 3σ,să nu producă distorsiuni prea mari ale acestui semnal. Prelucrarea descrisă mai suseste exemplificată în paragraful 8.4.3. Semnalul "Blocks" din figura 3.8.4.3 esteperturbat aditiv cu zgomot alb, obţinându-se semnalul din figura 4.8.4.3. Aplicându-seprocedura descrisă mai sus se obţine semnalul reconstruit din figura 6.8.4.3. Seremarcă faptul că fronturile semnalelor din figurile 3.8.4.3. şi 6.8.4.3 apar la aceleaşimomente de timp şi că zgomotul a fost aproape complet eliminat. De asemenea seremarcă faptul că distorsiunile introduse de metoda descrisă nu sunt prea mari. Acestecaracteristici ale metodei descrise fac din ea una din cele mai performante metode deîmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot.

384 9.6.2 Îmbunătăţirea raportului semnal zgomot folosind funcţiile "wavelet"

Justificarea teoretică a afirmaţiilor făcute poate fi găsită în următoarele rapoartetehnice: [35], [45], [46], [47], [48], [49], [50], [51], [53].

În majoritatea acestor lucrări se recomandă utilizarea transformării "wavelet"discretă ortogonală, a filtrului descris de relaţia (540) iar parametrul λ se alege devaloare:

λ σ = N log N2 ⋅unde σ este dispersia zgomotului alb cu care se presupune că este perturbat semnalulutil iar N reprezintă lungimea semnalului de prelucrat.

În [17] se demonstrează că de fapt aceeaşi metodă poate fi utilizată şi dacăsemnalul perturbator este de altă natură decât zgomotul alb. Se prezintă câtevaexemple de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot în prezenţa unor semnaleperturbatoare de diferite tipuri. În figura 1.9.6.2 este prezentat semnalul util. În figurile2.9.6.2, 3.9.6.2 şi 4.9.6.2 sunt prezentate semnale perturbatoare de tip zgomot uniform,de tip impulsuri şi de tip tren de impulsuri. În figurile 5.9.6.2, 6.9.6.2 şi 7.9.6.2 suntprezentate în partea de sus semnalul din figura 1.9.6.2 perturbat aditiv cu zgomoteledin figurile 2.9.6.2, 3.9.6.2 şi 4.9.6.2 iar în partea de jos semnalele corespunzătoareobţinute în urma aplicării metodei de creştere a raportului semnal pe zgomot descrisăîn acest paragraf.

Figura 1.9.6.2. Semnalul util.

Figura 2.9.6.2. Semnal perturbator de tip zgomot uniform.

9 Aplicaţii 385

Figura 3.9.6.2. Semnal perturbator de tip impulsuri.

Figura 4.9.6.2. Semnal perturbator de tip tren de impulsuri.

Figura 5.9.6.2. Imbunătăţirea raportului semnal/zgomot în cazul perturbării cu zgomot uniform.


Figura 6.9.6.2. Imbunătăţirea raportului semnal/zgomot în cazul perturbării cu zgomot înimpulsuri.

Figura 7.9.6.2. Imbunătăţirea raportului semnal pe zgomot în cazul perturbării cu zgomot detip tren de impulsuri.

9 Aplicaţii 387

Se remarcă calitatea bună a procedeului de îmbunătăţire a raportului semnal pezgomot. De asemenea se constată că metoda poate fi utilizată şi pentru realizarea uneicompresii simultan cu procesul de îmbunătăţire a raportului semnal pe zgomot.

În sistemele de telecomunicaţii se cunoaşte, de obicei, la recepţie, putereasemnalului emis dar nu se cunoaşte exact puterea zgomotului care se suprapune, încanal, peste semnal. De aceea în cazul acestor sisteme este mai util ca parametrul λ săfie ales în funcţie de P şi nu de σ . În [72] se prezintă un algoritm adaptiv de alegere apragului λ pornind de la cunoaşterea valorii lui P. În continuare se dă un exemplu deutilizare a acestui algoritm.

În figura 8.9.6.2 este prezentat semnalul util, în figura 9.9.6.2 este prezentatsemnalul perturbat aditiv de zgomot alb. Valoarea raportului semnal/zgomot este de1,8.

Figura 8.9.6.2. Semnalul util.

Figura 9.9.6.2. Semnalul perturbat aditiv de zgomot alb.


În figura 10.9.6.2 este prezentat rezultatul aplicării algoritmului amintit mai sus. Seconstată calităţile metodei de creştere a raportului semnal/zgomot. Valoarea raportuluisemnal/zgomot la ieşire este de 10,5. S-a realizat o îmbunătăţire a raportuluisemnal/zgomot de 5,83.

Figura 10.9.6.2. Semnalul reconstruit în urma aplicării algoritmului descris.

O deficienţă a transformării "wavelet" discretă ortogonală, care se remarcădacă această transformare este folosită în cadrul metodei de îmbunătăţire a raportuluisemnal / zgomot prezentată în acest paragraf, este neinvarianţa sa la translaţii. Înscopul eliminării acestei deficienţe au fost concepute noi transformări "wavelet"discrete invariante la translaţii. Acestea sunt prezentate în: [35], [63] şi [81]. Altemetode de îmbunătăţire a raportului semnal/zgomot bazate pe utilizarea funcţiilor"wavelet" sunt prezentate în [26], [98] şi [102].

9.6.3 APLICAŢIILE REPREZENTĂRILOR TIMP-FRECVENŢĂ LAPRELUCRAREA IMAGINILOR

Unul dintre domeniile cele mai interesante ale telecomunicaţiilor este legat deprelucrarea şi transmiterea imaginilor. După cum s-a văzut în paragraful 8.2.3 existăalgoritmi rapizi pentru calculul transformării "wavelet" discretă a unei imagini. Înparagraful 8.4.3 s-a prezentat un exemplu de aplicare a acestui algoritm.

Tehnica de compresie descrisă în paragraful 9.5.3 poate fi utilizată şi în cazulimaginilor. Rezultate ale aplicării acestei tehnici de compresie la imagini suntraportate în [61] şi în [30].

De obicei în urma aplicării transformării "wavelet" discretă directă, compresiapropriuzisă este realizată prin cuantizare. În sursele bibliografice citate mai sus seutilizează cuantizarea scalară, uniformă respectiv neuniformă.

9 Aplicaţii 389

Michel Barlaud a fost primul care a utilizat cuantizarea vectorială în domeniultransformării "wavelet" discretă. În acest mod el a obţinut factori de compresiesuperiori valorii 100, [96]. Tehnici mai moderne de compresie bazate pe utilizareafuncţiilor "wavelet" sunt prezentate în [118]. O problemă dificilă este apreciereacalităţii compresiei realizate. Cu alte cuvinte este greu de ştiut care este calitateaaproximării unei imagini obţinută prin decompresia variantei compresate (cu unanumit factor de compresie) a imaginii considerate. Această problemă este studiată în[92].

În continuare se prezintă un exemplu de compresie de imagini. În figura1.9.6.3 este prezentată imaginea originală. În figura 2.9.6.3 este prezentată imagineaobţinută după aplicarea procedurilor de compresie şi de reconstrucţie. Compresia afost realizată prin:- aplicarea transformării "wavelet" discretă directă, folosind funcţia "wavelets mother"Daubechies 4,- cuatizarea scalară exponenţială.

S-a obţinut un factor de compresie de 10. Eroarea medie pătratică deaproximare a imaginii din figura 1.9.6.9 prin imaginea din figura 2.9.6.9 este de0,0239, [55].

Figura 1.9.6.3. Imaginea originală. Figura 2.9.6.3. Imaginea comprimată.

Există şi alte domenii ale prelucrării imaginilor în care se utilizează funcţiile"wavelet". De exemplu în cazul imaginilor de tomografie, datorită sistemului deachiziţie folosit medicul nu are acces la imaginea biologică ci doar la transformataRadon a acesteia. Se pune deci problema calcului transformatei Radon inversă aimaginii achiziţionate. În acest scop poate fi utilizată teoria funcţiilor "wavelet" aşacum s-a arătat în [6].

390 9.6.4 Alte aplicaţii în telecomunicaţii

9.6.4 ALTE APLICAŢII ÎN TELECOMUNICAŢII

Una dintre cele mai importante aplicaţii în telecomunicaţii ale teoriei funcţiilor"wavelet" este la transmisia datelor pe linie telefonică, pe canal radio sau pe reţeleATM sau INTERNET. Majoritatea schemelor de transmisie se bazează pe tehniciseparate de codare a sursei şi de codare a canalului. Această tradiţie de a separasarcinile de codare a sursei de sarcinile de codare a datelor care se transmit prin canalizvorăşte din celebrul "principiu de separare" al lui Shannon. Acest principiu afirmă căsepararea sarcinilor de codare a sursei de codarea datelor care se transmit prin canaleste un procedeu optimal. De exemplu, într-o transmisie punct la punct folosind uncanal invariant în timp, cum ar fi de exemplu o linie telefonică, se poate proiecta ceamai bună metodă de codare a canalului pentru a exploata capacitatea acestuia (adică săse obţină o rată de R biţi/sec, astfel încât R ≤ C, unde C este capacitatea canaluluimăsurată în biţi / sec). În acest caz sarcina codorului sursei este de a încerca sărealizeze o compresie în aşa fel încât să se poată obţine rata R. Există câteva motivepentru a nu respecta "orbeşte" principiul separării. În primul rând principiul luiShannon este teoretic. Acesta presupune utilizarea unor coduri de lungime şicomplexitate infinită. Există şi alte motive, chiar şi de natură teoretică pentru a avea învedere tehnici de codare mixte, sursă-canal. Dacă canalul este variant în timp sau dacătransmisia are utilizatori multipli atunci şi teoretic este mai bine să se facă o proiectaremixtă a codoarelor sursei şi canalului. O astfel de codare mixtă sursă-canal poate firealizată şi folosind ideea de multirezoluţie. Transmisia multirezoluţie se bazează pefaptul că un sistem de transmisie poate lucra cu diferite viteze de transmisie, în funcţiede condiţiile din canal. În cazul unor canale puternic perturbate se poate puneproblema ca anumiţi biţi ai mesajului de transmis să fie codaţi în aşa fel încât să li seasigure o imunitate la zgomot superioară faţă de imunitatea care li se asigură altor biţi.Un astfel de sistem de transmisie poate fi realizat folosind diferite tehnici în funcţie detipul canalului. De exemplu pot fi utilizate coduri de lungime diferită pentru diferitecategorii de biţi din mesajul de transmis, protejând mai mult de perturbaţii biţii maiimportanţi. O astfel de schemă de transmisie poate fi combinată cu un codormultirezoluţie al sursei. Un astfel de codor segmentează informaţia sursei într-o parte"importantă" prin reconstrucţia căreia se obţine o primă aproximare a semnalului detransmis şi o parte "de detaliu". Informaţia "importantă" poate fi transmisă în urmacodării cu ajutorul unor cuvinte de cod mai lungi şi va avea o probabilitate mai marede a fi recepţionată fără erori în timp ce informaţia "de detaliu" este transmisă în urmacodării cu ajutorul unor cuvinte de cod mai scurte şi va fi recepţionată fără erori doardacă la momentul transmisiei canalul va fi slab perturbat. În acelaşi fel schema poate figeneralizată pentru mai multe nivele de importanţă ale biţilor din mesajul de transmis.Această adaptare intuitivă a aproximaţiilor succesive ale semnalului sursă la diferiteviteze de transmisie, în funcţie de calitatea canalului este numită codare mixtă canal-sursă multirezoluţie.

Reprezentări timp-frecvenţă 391

BIBLIOGRAFIE

[1] P. Abry, P. Flandrin. On the Initialization of the Discrete Wavelet TransformAlgorithms. IEEE Signal Processing Letters, vol.1, No.2, pp32-34, February1994.

[2] *** ADA 3100/ADA 3100A, User’s Manual, Real Time Devices Inc., USA,1991.

[3] A. N. Akansu, R. A. Hadad. Multiresolution Signal Decomposition. AcademicPress, New York, 1992.

[4] T. Asztalos, A. Isar. An Adaptive Data Compression Method Based on theFast Wavelet Transform. Proceedings of the International Symposium Etc’94,Timişoara, vol III, pp 37-42, Sept. 1994.

[5] T. Asztalos. An Algorithm for the DWT on Block Computation. Proceedingsof the International Symposium Etc’96, Timişoara, vol II, pp.128-133, Sept.1996.

[6] T. Asztalos. Tomography Imaging. Radon Transform Inversion Procedures.Raport de stagiu, Universitatea Paris-Sud, Iulie 1997.

[7] P. Auscher. Wavelets with Boundary Conditions on the Interval. În Wavelets-A Tutorial in Theory and Applications. C. K. Chui (editor), pp.217-236, 1992.

[8] R. G. Baraniuk, L. Fridtjof Wisur-Olssen. Optimal Phase Kernels for Time-Frequency Analysis. Propusa spre publicare în IEEE Transactions on SignalProcessing, Ianuarie 1996.

[9] S. Basu, C. H. Chiang, H. M. Choi. Wavelets and Perfect ReconstructionSubband Coding with Causal Stable IIR Filters. IEEE Trans. On Circuits andSystems II, vol. 42, No.1, January 1995.

[10] M. Belanger. Traitement numérique du signal. Masson 1990.[11] J. Benedetto, A. Teolis. A Wavelet Auditory Model and Data Compression. În

Applied and Computational Harmonic Analysis. No.1, pp.3-28, February1993.

[12] B. Boashash, P. O. Shea, M. J. Arnold. Algorithms for InstantaneousFrequency Estimation: A Comparative Study. Proceedings of SPIE California,July 1990.

[13] B. Boashash. Time-Frequency Signal Analysis. În Advances in SpectrumAnalysis and Array Processing. S. Haykin (editor), pp.418-519, Prentice Hall1991.

[14] B. Boashash, A. Reilly. Algorithms for Time-Frequency Signal Analysis. ÎnTime Frequency Signal Analysis. B. Boashash (editor), pp.141-163, JohnWiley 1992.

392 Bibliografie

[15] B. Boashash, P. O. Shea. Polynomial Wigner-Ville Distributions and TheirRelationship to Time-Varying Higher Order Spectra. IEEE Transactions onSignal Processing, January 1994.

[16] P. J. Boles, B. Boashash. Applications of the Cross-Wigner-Ville Distributionto Seismic Data Processing. În Time-Frequency Signal Analysis. B. Boashash(editor), pp.141-163, John Wiley 1992.

[17] M. Borda, D. Isar. Whitening with Wavelets. Proceedings of “ECCTD. 97”Conference, Budapest, August 1997.

[18] C. M. Bucur. Metode numerice. Ed. Facla Timisoara 1973.[19] J. Bukheit, D. Donoho. Improved Linear Discrimination Using Time-

Frequency Dictionaries. Technical Report, Stanford University, July 1995.[20] J. Bukheit, S. Chen, D. Donoho, I. M. Johnstone, J. Scargle. About WaveLab.

Preprint, Stanford University, November 1995.[21] J. Bukheit, D. Donoho. WaveLab Architecture. Preprint, Stanford University,

November 1995.[22] J. Bukheit, S. Chen, D. Donoho, I. M. Johnstone, J. S. Cargle. WaveLab

Reference Manual. Preprint, Stanford University, December 1995.[23] J. B. Bukheit, D. Donoho. Time-Frequency Tillings which Best Expose the

Non-Gaussian Behaviour of a Stochastic Process. Proceedings of the IEEEConference “TFTS’96”, pp.1-4, Paris, July 1996.

[24] F. Chaplais. Algebras and Nonlinear Multiresolution Analysis that areConsistent with the Strang and Fix Conditions. Proceedings of the IEEEConference “TFTS’96”, Paris, July 1996.

[25] S. S. Chen, D. L. Donoho, M. A. Saunders. Atomic Decomposition by basisPursuit. Technical Report 479, Stanford University, May 1995.

[26] B. S. Chen, C. W. Lin. Multiscale Wiener Filter Bank Approach. IEEETransactions on Signal Processing, vol. 42, No. 11, pp.2972-2982, November1994.

[27] H. I. Choi, W. J. Williams. Improved Time-Frequency Representation ofMulticomponent Signals Using Exponentials Kernels. IEEE Trans. on ASSP,vol. 37, no. 6, pp.862-871, 1989.

[28] C. K. Chui (editor). An Introduction to Wavelets. Academic Press, New York1992.

[29] C. K. Chui (editor). Wavelets. A Tutorial in Theory and Applications.Academic Press, New York 1992.

[30] A. Cohen. Ondelettes et traitement numérique du signal. Masson, 1992.[31] A. Cohen, I. Daubechies, J. C. Feauveau. Biorthogonal Bases of Compactly

Supported Wavelets. Communcations on Pure and Applied Mathematics, vol.XLV, pp.485-560, 1992.

Reprezentări timp-frecvenţă 393[32] A. Cohen, I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported

Wavelets III. Better Frequency Resolution. SIAM Journal Math. Anal., vol.24, No.2, pp. 520-527, March 1993.

[33] A. Cohen, J. P. d’Ales. Nonlinear Approximation of Stochastic Processes. ÎnWavelets and Statistics. A. Antoniadis si G. Oppenheim (editori), SpringerVerlag, pp.129-132, 1995.

[34] R. R. Coifman, N. Saito. The Local Karhunen-Loeve Bases. Proceedings ofthe IEEE Conference “TFTS’ 96", pp.129-132, Paris, July 1996.

[35] R. R. Coifman, D. L. Donoho. Translation Invariant De-Noising. În Waveletsand Statistics. A. Antoniadis si G. Oppenheim (editori), pp.125-150, SpringerVerlag 1995.

[36] P. L. Combettes, J. C. Pesquet. Convex Multiresolution Analysis. Proceedingsof IEEE Conference “TFTS’96”, Paris, July 1996.

[37] F. de Coulon. Théorie et traitement des signaux. Presses polytechniquesromandes. Lausanne 1984.

[38] G. Courbebaisse. Caractérisation d’un systeme d’injection par analyse temps-fréquence. Traitement du signal, vol.12, No.5, pp.509-518, 1995.

[39] R. Cristescu. Analiza functionala. Editura Didactica si Pedagogică, Bucuresti1965.

[40] I. Daubechies. The Wavelet Transform: A Method for Time-FrequencyLocalization. În Advances in Spectrum Analysis and Array Processing.S. Haykin (editor), Prentice-Hall, New-Jersey 1991.

[41] I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets. Comm.Pure Appl. Math., No. 41, pp.909-996, 1988.

[42] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, Philadelphia 1992.[43] I. Daubechies. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets II.

Variations on a Theme. SIAM J. Math. Anal., vol. 24, No. 2, pp. 499-519,March 1993.

[44] B. Deng, B. Jawerth, G. Peters, W. Swelden. Wavelet Probing forCompression Based Segmentation. Proceedings of SPIE, San Diego, July1993.

[45] D. L. Donoho, I. M. Johnstone. Ideal Spatial Adaptation via WaveletShrinkage. Technical Report 400, Stanford University, July 1992.

[46] D. L. Donoho, I. M. Johnstone. Minimax Estimation via Wavelet Shrinkage.Technical Report 402, Stanford University, July 1992.

[47] D. L. Donoho. De-Noising via Soft Thresholding. Technical Report 409,Stanford University, November 1992.

[48] D. L. Donoho, I. M. Johnstone. Unconditional Bases are Optimal Bases forData Compression and for Statistical Estimation. Technical Report 410,Stanford University, November 1992.

[49] D. L. Donoho. Wavelet Shrinkage and W.V.D.-A Ten Minute Tour. TechnicalReport 416, Stanford University, January 1993.

394 Bibliografie

[50] D. L. Donoho, I. M. Johnstone. Adapting the Unknown Smoothness viaWavelet Shrinkage. Technical Report 425, Stanford University, June 1993.

[51] D. L. Donoho. Nonlinear Wavelet Methods for Recovering Signals, Imagesand Densities from Indirect and Noisy Data. Technical Report 426, StanfordUniversity, July 1993.

[52] D. L. Donoho. On Minimum Entropy Segmentation. Technical Report 450,Stanford University, April, 1994.

[53] D. L. Donoho, I. M. Johnstone. Ideal De-Noising in an Orthonormal BasisChosen from a Library of Bases. Technical Report 461, Stanford University,September 1994.

[54] R. J. Duffin, A. C. Schaeffer. A Class of Nonharmonic Fourier Series. Trans.Amer. Math. Soc., No. 72, pp.341-366, 1952.

[55] G. Dumitras. Aplicatii ale transformatei “wavelet”. Realizarea compresieiimaginilor utilizând transformarea “wavelet”. lucrare de dizertatie,Departamentul de Comunicatii, Facultatea de Electronica si Telecomunicatii,Timisoara, Iulie 1996.

[56] P. Duvaut. Traitement du signal-concepts et applications. Hermes, Paris 1991.[57] A. W. M. van den Enden, N. A. M. Verhoekx. Traitement numérique du

signal. Masson, Paris 1992.[58] J. C. Feauveau. Nonorthogonal Multiresolution Analysis using Wavelets. În

Wavelets-A Tutorial in Theory and Applications. C. K. Chui (editor),Academic Press, pp.153-178, 1992.

[59] P. Flandrin. Representation temps-fréquence. Hermes, 1993.[60] D. Forester. Time-Frequency Analysis in Machine Fault Detection. În Time-

Frequency Signal Analysis. B. Boashash (editor), pp. 406-423, J.Willey, 1992.[61] J. Froment. Traitement d’images et applications de la transformée en

ondelettes. Teza de doctorat, Universitatea Paris IX, 1990.[62] J. Froment, S. Parrino. MegaWave 2 User’s Modules Library. vol. I, vol. III,

Preprint CEREMADE, Univ. Paris Dauphine, Novemeber 1994.[63] J. Froment. Introduction a la théorie des ondelettes. curs de vara, Timisoara,

Iunie 1995.[64] L. Gagnon, J. M. Lina, B. Goulard. Application of Complex Daubechies’

Wavelets to Numerical Simulation of a Nonlinear Signal Propagation Model.Preprint of the Labo. de Phys. Nucl. Univ. de Montreal, 1994.

[65] H. Y. Gao. Wavelets Shrinkage Estimate for Heteroscedatic RegressionModels. Preprint MathSoft, 1997.

[66] P. Gavruta, A. Isar. Time-Frequency Representations. A Unitary Presentation.Proceedings of International Symposium Etc’94, vol. 3, pp. 25-30, TimisoaraSeptembrie 1994.

[67] F. Hlawatsch, W. Kozek. Time-Frequency Analysis of Linear Signal Spaces.IEEE Conference ICASSP-91, pp.2045-2048, Toronto, May 1991.


[68] F. Hlawatsch, G. F. Boudreaux-Bartels. Linear and Quadratic Time-FrequencySignal Reprsentations. IEEE S.P.Magazine, pp.21-65, April 1992.

[69] ***. Catalog HP[70] A. Isar, D. Isar. A Generalization of the W.K.S. Theorem Using Orthogonal

Decomposition of L2( R ). Applications in Signal Processing Theory. RevistaATM, anul III, pp.91-97, Bucuresti, 1993.

[71] A. Isar. Nouvelles modalités de décomposition multirésolution. QuatorziemeColloque GRETSI, Juan-Les Pins, pp.363-366, 13-16 Septembre 1993.

[72] A. Isar. L’estimation de la transformée en ondelettes avec bancs de filtres atemps continu. Colloque TOM’94, pp. 34.1-34.4, Lyon, 9-11 Mars 1994.

[73] D. Isar. De-noising adaptatif. Seizieme Colloque GRETSI, pp.1249-1252,Grenoble, 15-19 Septembre 1997.

[74] D. Isar, A. Isar. A New Class of Identity Systems. International Workshop onSampling Theory and Applications, Universidad de Aveiro, June 16-19 1997.

[75] A. Isar. Tehnici de masurare adaptiva cu aplicatii în aparatura de masurarenumerica. Teza de doctorat, Universitatea “Politehnica” Timisoara 1993.

[76] B. Jawerth, W. Swelden. An Overwiev of Wavelet Based MultiresolutionAnalysis. Preprint, Katolike Universiteit Leuven, Belgium 1995.

[77] A. J. Jerry. The Shanon Sampling Theorem-its Extensions and Applications. ATutorial. Proc. IEEE, 65, 11, pp.1565-1596, November 1987.

[78] H. Krim, D. H. Brooks. Feature-Based Segmentation of ECG Signals.Proceedings of IEEE Conference, TFTS’96, pp. 97-100, Paris, July 1996.

[79] M. Kunt, R. Boite. Traitement de la parole. Presses PolytechniquesRomandes, 1987.

[80] M. Kunt. Traitement numérique des signaux. Traité d’Electricité de l’EPFL,vol. XX, 3-eme édition, Presses Polytechniques Romandes, 1984.

[81] M. Lang, H. Guo, J. E. Odegard, C. S. Burrus, R. O. Wells. NonlinearProcessing of a Shift Invariant DWT for Noise Reduction. Proceedings ofSPIE Symposium on OE/Aerospace Sensing and Dual Photonics, Orlando,SUA. April 1995.

[82] P. G. Lemarié-Rieusset. Analyses multi-echelles et ondelettes a supportcompact. În Les ondelettes en 1989. P. G. Lemarié (editor), Springer Verlag,1990.

[83] P. G. Lemarié-Rieusset, G. Malgouyres. Support des fonctions de base dansune analyse multirésolution. C. R. Acad. Sci. Paris, tome 313, serie 5, pp.377-380, 1993.

[84] J. S. Lim, A. V. Oppenheim (editori). Advanced Topics in Signal Processing.Prentice Hall, New Jersey 1988.

[85] O. Macchi. Adaptatif et non stationnaire. Traitement du signal, vol. 6, No.5pp.325-387, 1989.

396 Bibliografie

[86] G. Malgouyres. Analyse multirésolution sur l’intervalle. Algorithme rapide.Preprint, Université Paris-Sud, 1991.

[87] G. Malgouyres. Ondelettes a support compact et analyse multirésolution surl’intervalle. Preprint, Université Paris-Sud, 1992.

[88] G. Malgouyres. Introduction a la théorie des ondelettes. Curs de vara,Timisoara 1994.

[89] S. Mallat. Multifrequency Channel Decomposition. IEEE Trans. on ASSP,vol. 37, No.12, pp. 2091-2110, Octobre 1989.

[90] S. Mallat. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: the WaveletRepresentation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineInteligence, vol. II, No.7, pp.674-693, July 1989.

[91] S. Mallat, Z. Zhang. Matching Pursuits with Time-Frequency Dictionary.IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 41, No.12, pp.3397-3415,December 1993.

[92] S. Mallat, F. Falzon. Understanding Image Transform Codes. Proceedings ofthe SPIE Aerospace Conference, Orlando, April 1997.

[93] H. S. Malvar. Lapped Transforms for Efficient Transform/Subband Coding.IEEE Trans. on ASSP, vol. 38, pp.969-978, June 1990.

[94] A. Mateescu, M. Raducanu, L. Stanciu. Best Basis with Wavelet Packets for aSignal. Proceedings of International Symposium Etc’96 Timisoara, vol. II,pp.106-111, September 1996.

[95] Y. Meyer. Ondelettes, filtres miroirs en quadrature et traitement numérique del’image. În Les ondelettes en 1989. P. G. Lemarié (editor), Springer-Verlag,1990.

[96] Y. Meyer. Ondelettes et algorithmes concurents. Herman, Paris 1993.[97] Y. Meyer. Wavelets and Operators. În Proceedings of Symposia in Applied

Mathematics. I. Daubechies (editor), vol. 47, AMS,1993.[98] P. Moulin. Wavelet Thresholding Techniques for Power Spectrum Estimation.

IEEE Trans. on S.P., vol. 42, No.11, pp. 3126-3136, November 1994.[99] I. Nafornita, A. Câmpeanu, A. Isar. Semnale circuite si sisteme. vol. I, Editura

UPT, 1995.[100] M. Nafornita, A. Isar, D. Isar. A Generalization of the Sampling Theorem.

Rev. Roum. Sci. Tehn.-Electrotehn. Et Energ., 37, pp. 177-183, Bucarest 1992. [101] S. B. Narayanan, J. Mc. Loughlin, Les Atlas, J. Darapo. An Operator Theory

Approach to Discrete Time-Frequency Distribution. Proceedings of the IEEEConference “TFTS’96”, pp. 521-524, Paris 1996.

[102] G. P. Nasson. Wavelet Regression by Cross-Validation. Preprint University ofBristol, March 1994.

[103] *** Catalog National Instruments


[104] V. E. Neagoe. Using Legendre Polynomials to Introduce a New OrthogonalTransform for Significant Feature Selection. Proceedings of PatternRecognition and Image Processing Conference, pp.177-182, Las Vegas, June1982.

[105] J. C. O’Neill, W. J. Williams. New Properties for Discrete Bilinear Time-Frequency Distributions. Proceedings of the IEEE Conference “TFTS’96", pp.505-508, Paris 1996.

[106] A. Oppenheim, R. W. Schaefer. Digital Signal Processing. Prentice Hall,1986.

[107] R. W. Page, N. W. Nelson. Adaptive Sample Rate: A First GenerationAutomatic Time Base. Hewlett Packard Journal, February 1988.

[108] A. Papandreu, F. Hlavatsch, G. F. Boudreaux-Bartels. The HyperbolicClass ofQuadratic Time-Frequency Representations. Part I: Constant-Q Warping, theHyperbolic Paradigm, Properties and Members. IEEE Trans. on SP, vol. 41,No.12, December 1993.

[109] M. Pasquier, P. Gonçalves, R. Baraniuk. Hybrid Linear/Bilinear Time-ScaleAnalysis. Proceedings of IEEE Conference “TFTS’96”, pp.513-516, Paris,July 1996.

[110] D. Pastor, R. Gay. Décomposition d’un processus stationnaire du secondeordre. Propriétés statistiques d’ordre 2 des coefficients d’ondelettes etlocalisation fréquentielle des paquets d’ondelettes. Traitement du signal, vol.12, no. 5, pp. 393-420, 1995.

[111] A. P. Pentland. Interpolation using Wavelet Bases. IEEE Trans. on PAMI,vol.16, no.4, April 1994.

[112 S. M. Phoong, C. W. Kim, P. P. Vaidyanathan, R. Anseri. A New Class ofTwo-Channel Biorthogonal Filter Banks and Wavelet Bases. IEEETransactions on SP, vol. 43, no.3, pp. 649-665, March 1995.

[113] J. W. Pitton, K. Wang, B. H. Juang. Time-Frequency Analysis and AuditoryModeling for Automatic Recognition of Speech. Proceedings of the IEEE,vol. 84, no.9, pp.1199-1214, Sept. 1996.

[114] E. Pop, I. Nafornita, V. Tiponut, L.Toma, A. Mihaescu. Metode în prelucrareanumerica a semnalelor. vol I si vol II, Ed. Facla, Timisoara 1986 si 1989.

[115] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. NumericalRecipes in C. Cambridge University Press, 1995.

[116] F. Preteux. Description et intérprétation des images par la morphologiemathématique. Application a l’image médicale. These de doctorat d’Etat,Université Paris VI, 1987.

[117] S. Qian, D. Chen. Joint Time-Frequency Analysis. Prentice Hall, 1996.[118] K. Ramchandran, M. Vetterli, C. Healey. Wavelets, Subband Coding and Best

Bases. Proceedings of the IEEE vol. 84, No. 4, pp.541-558, April 1996.

398 Bibliografie[119] J. Raz, L. Dickerson, B. Turetsky. A Wavelet Packet Model of Evoked

Potentials. Preprint of School of Public Health, Ann Arbor, Michigan, 1997.[120] O. Rioul, P. Duhamel. Fast Algorithms for Discrete and ContinuousWavelet

Transforms. IEEE Transactions on Information Theory, vol. 28, No. 2,pp.569-586, March 1992.

[121] O. Rioul. A Discrete Time Multiresolution Theory. IEEE Trans. on SP, vol.41, no. 8, pp. 2591-2606, August 1993.

[122] O. Rioul. Ondelettes régulieres: Applications a la compression d’images fixes.these de doctorat, ENST Paris, Mars 1993.

[123] G. Rulea. Prelucrarea optima a semnalului radio. Ed. Tehnica, Bucuresti 1980.[124] R. B. Randall. Applications of B&K Equipment to Frequency Analysis. B&K,

1987.[125] A. De Sabata, A. Isar. Semnale Circuite si Sisteme. Indrumator de laborator,

Litografia UPT, 1993.[126] A. De Sabata, C. Iung, J. F. Aubry. A Variabile Scale DWT. Proceedings of

the International Symposium Etc’94, vol. III, pp.43-48, Timisoara Sept. 1994.[127] R. J. Sclabassi, M. Sun, D. N. Krieger, P. J. Jasukitias, M.S.Scher. Time-

Frequency Domain Problems in the Neurosciencies. În Time-FrequencySignal Analysis. B. Boashash (editor), pp.498-519, John Wiley, 1992.

[128] M.J.Shensa. The Discrete Wavelet Transform: Weding the “A Trous” andMallat Algorithms. IEEE Trans. on S.P. vol 40, No. 10, pp.2464-2482,October 1992.

[129] M. J. T. Smith, T. P. Barnwell III. Exact Reconstruction Techniques for Tree-Structured Subband Coders. IEEE Trans. on ASSP, vol. 34, pp.434-441, 1986.

[130] A. Spataru. Fondements de la théorie de la transmission de l’information.Presses Polytechniques Romandes, Lausanne, 1987.

[131] P. Srinivasan, L. M. Jamieson. Techniques for Variable Rate Speech Codingusing Wavelet Representations. Proceedings of the IEEE Conference“TFTS’96, pp.109-112, Paris, July 1996.

[132] W. Sweldens. Compactly Supported Wavelets which are Biorthogonal withRespect to a Weighted Inner Product. Preprint University of South Carolina,1994.

[133] W. Sweldens. The Lifting Scheme: A Custom-Design Construction ofBiorthogonal Wavelets. Preprint University of South Carolina, 1994.

[134] C. Taswell. Speech Compression with Cosine and Wavelet Packet Near-BestBases. Preprint, Stanford University, 1995.

[135] C. Taswell. Image Compression by Parametrized-Model Coding of WaveletPacket Near-Best Bases. Preprint, Stanford University, 1996.

[136] C. Taswell. Statisficing Search Algorithms for Selecting Near-Best Bases inAdaptive Tree-Structured Wavelet Transforms. În curs de publicare în IEEETransactions on Signal Processing.


[137] P. Tchamitchian. Wavelets and Differential Operators. În Proceedings ofSymposia in Applied Mathematics. I. Daubechies (editor), vol. 47, A.M.S.,1993.

[138] ***. Technology 1991. IEEE Spectrum, January 1991.[139] N. N. Temme. Asymtotics and Numerics of Zeros of Polynomials that are

Related to Daubechies Wavelets. Technical report AM-R9613, NationalResearch Institute for Mathematics and Computer Science, Amsterdam, 1996.

[140] ***. Timeview PM 9629. Application Note. Flucke and Philips Sweden,1992.

[141] L. Tolhuizen, N. Hollmann, T.A.C.M. Kalker. On the Realizability ofBiorthogonal, m-Dimensional Two-Band Filter Banks. IEEE Transactions onSignal Processing, vol. 43, No.3, March 1995.

[142] P. P. Vaidyanathan. Multirate Systems and Signal Processing. Prentice Hall,Englewood Cliffs, 1993.

[143] M. Wechsler. Caracterization of Time Varying Frequency Behaviour usingContinuous Measurement Technology. Hewlett Packard Journal, February1989.

[144] E. Wesfreid, M. V. Wickerhauser. Etudes des signaux vocaux par ondelettesde Malvar. Quatorzieme Colloque GRETSI, Juan-Les-Pins, Septembre 1993.

[145] M. Wickerhauser. Adapted Wavelet Analysis from Theory to Software.A. K. Peters Wesley ,1994.

[146] X. G. Xia, C. C. J. Kuo, Z. Zhang. Wavelet Coefficient Computation withOptimal Prefiltering. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, no.8,pp. 2191-2197, August 1994.

[147] M. H. Yaou, W. T. Chang. M-Ary Wavelet transform and Formulation forPerfect Reconstruction in M-Band Filter Bank. IEEE Transactions on SignalProcessing, pp.3508-3512, vol. 42, No.12, December 1994.

[148] X.-P. Zhang, M. D. Dessai, Y.-N. Peng. Orthonormal Complex Filter Banksand Wavelets: Some Properties and Design. Preprint University of Texas atSan-Antonio, 1996.

REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ

Documents

Transcript of REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ