Regulatoare Automate

3.Stabilizarea sistemelor utiliznd o lege de comand dup stare

Scop:

Stabilizarea sistemelor, printr-o lege de comand dup stare;

Controlabilitate i alocabilitate

Algoritmului Ackermann pentru calculul unei legi de comand dup stare;

Regulatoare Automate

O lege de comand dup stare este o relaie de forma:

3.1. Legea de comand dup stare

xKu = mRu - comanda sistemuluinRx - starea sistemuluimxnRK - calcul K determina o lege de comand

( )

xCyuKBAx

==&

Evoluia strilorsistemului rezultant: ( ) ( )( )

=

Zt xKBA

Rt xetx

t

tKBA

0

000 )( == ttxx

starea iniial

- matricea mrimilor de starea sistemului rezultant

BKAA =1Scopul unei legi de comand dup stare este de-a impune care s fie valorile proprii ale sistemului rezultant

Regulatoare Automate

Caz particular: Sisteme cu o singur mrime de comand xku T = nRk 1

[ ]

=

n

n

x

x

x

kkkuM

L 21

21

( )nn xkxkxku +++= L2211

u y ( )CB,A,

nK

1K

2K

_ _

...M

1x 2x nx_

RuLegea de comand dup stare pentru cazul m=1,

( ) =

=xcy

xkbAxT

T&Sistemul rezultant :

Prin aplicarea unei legi de comand dup stare se poate obine:- stabilizarea sistemelor (dac erau iniial instabile) - mbuntirea performanelor

Regulatoare Automate

3.2 Controlabilitate. Alocabilitate

Def. :Un sistem este controlabil dac pentru orice stare x1 dat, exist o comand u(t) care conduce la o evolutie a strii de la valoarea iniial la valoarea x(t)=x100 )( == ttxx

Testatea controlabilitrii unui sistem:

matricea de controlabilitate [ ] )(12 mnnn xRBABABABR + = L dac nRrang =)(

n -dimensiunea sistemuluisistemul este controlabil

Caz particular: Sistem cu o singur mrime de comand, m=1

[ ] nnn xRbAbAbAbR = 12 L matrice ptraticNot: n Matlab, matricea de controlabilitate se obine cu funcia ctrb i rangul unei matrici cu funcia rank

Exemplu:>>A=[0 1 0;0 0 1;2 1 2];>>b=[0;0;1];>>R=ctrb(A,b)R =

0 0 10 1 21 2 5

>> rank(R)ans =

3 Dac un sistem este controlabil, atunci el este i alocabil.

Pentru orice mulime de valori proprii dorite:

se poate determina o lege de comand dup stare

{ }n= ...,,, 21( ) = BKA

xKu =Spectrul matricei sistemului rezultant, adic mulimea valorilor ei proprii.

Regulatoare Automate

3.3 Algoritmul AckemannSisteme cu o singur mrime de comand

Date de intrare:1, nxnxn RbRA } ..., , ,{ n21 =

Legea de comand dup stare se obine cu relaia

( ) )...( 0111 ++++== AAAqAqk nnnTdTT011 ,,..., n - coeficienii polinomului caracteristic dorit pentru sistemul rezultant

Polinomul coracteristic dorit se obine cu relaia:( ) ( ) ( ) ( ) 011121 ... ++++== nnnnd L

=

1...00

qRT [ ] 11...00 = RqT[ ] nnn xRbAbAbAbR = 12 L

Tq soluia ecuaiei:

- matricea de controlabilitate

Regulatoare Automate

Din punct de vedere practic

- Se obine polinomului caracteristic dorit pentru sistemul rezultant ( )d- Se rezolv sistemul de ecuaii:

=

1

00

MqRT [ ]nT qqqq L21=

nRrang =)(- Se calculeaz prin nmuliri succesive produsele [ ]

[ ][ ][ ]

[ ] 1

..............................

...

11

22

1

021

==

===

nTn

nT

T

Tn

T

Aq

Aq

Aq

Aq

qqqq

- Se obine nTkTn

kk

T AqAqk += =

11

1

Obs: Sistemul are o soluie unic numai dac matricea R este inversabil

Regulatoare Automate

Not: n cazul cnd perechea (A, b) a sistemului comandat este n form standard controlabil, prin aplicarea unei legi de comand dup stare matricea

[ ] k...kk - A 1-n10n

=

1

00

10

010

110

1 MKOOOM

10

010

10

010

'1

'1

'0111100

1

=

=

nnn kkk

A

KOOOM

KOOOM

polinomul cararacteristic dorit( ) '0'11' 1 ... ++++= nnndDeterminarea [ ] [ ]101 1'0 ...... = nnTk

1,...,0,' = nii - coeficienii polinomului caracteristic dorit1,...,0, = nii - coeficienii polinomului caracteristic al sistemului controlat

Not: n Matlab, calculul unei legi de comand dup stare se poate face cu funcia acker care aplic algoritmul Ackermann.

Regulatoare Automate

Sisteme cu mai multe mrimi de comand

Cazul sistemelor cu m mrimi de comand

- Se aleg aleator mxnRK 0mRg

Se poate demonstra c dac perechea (A,B) este controlabili perechea este controlabil),( 0 BgBKA

- Se calculeaz Tk

))(()( 011TT gkKBAkbA += TgkKK += 0

mxnRK

= )( 11 TkbA

01 BKAA = Bgb =1

Regulatoare Automate

ExempleS se calculeze o lege de comand dup stare care plaseaz valorile proprii ale sistemului

[ ]010100

,212100010

=

=

= TcbA { }1 ,1 ,1 =

Polinomul caracteristic dorit

( ) ( )( )( ) ( ) 1331111 233 +++=+=+++= dPerechea (A,b) este n form standard controlabil

[ ] [ ] [ ]543212331 ==Tk

Regulatoare Automate

S se calculeze o lege de coamnd dup stare care plaseaz valorile proprii ale sistemului discretizat

]100[,010

,101001010

=

=

= ddd cbA { }0 ,0 ,0=

Soluia 1. Polinomul caracteristic dorit ( ) 3=dMatricea de controlabilitate [ ]

==

100101010

2ddddd bAbAbR

Se rezolv ecuaia:

=

100

qRT

=

100

101001010

3

2

1

qqq

100

3

2

1

===

qqq

Se construiesc produsele urmatoare,

[ ][ ][ ][ ]

[ ] 1121 112

0 111

0 101

0 100

3

2

=====

T

dT

dT

dT

T

k

Aq

Aq

Aq

qi se nmulesc cu coeficienii polinomului caracteristic dorit

Soluia 2. Utiliznd Matlab>>A=[0 1 0;1 0 0;-1 0 1];>>b=[0;1;0];>>P=[0 0 0]; % Valorile proprii dorite>>k=acker(A,b,P) % Apelare algoritm Ackermannk =

2 1 -1