Recapitulare: spatii a neoanacon/GE/fisiere/... · Multimea X impreuna cu legile de compozitie de...

Denitii echivalente ale spatiului an. Exemple.Repere ane. Coordonate baricentrice.

Subspatii aneMorsme ane

Recapitulare: spatii ane

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Recapitulare: spatii ane



Table of Contents

1 Denitii echivalente ale spatiului an. Exemple.

2 Repere ane. Coordonate baricentrice.

3 Subspatii ane

4 Morsme ane


Denitie

Denition

Un spatiu an peste corpul comutativ K este un triplet

A =(

X ,−→X ,Φ

)format dintr-o multime nevida X , un spatiu

vectorial−→X peste K si o functie Φ : X × X →

−→X cu proprietatile:

(1) ∃O ∈ X a.i. functia ΦO : X →−→X ,

ΦO(A) = Φ(O,A), ∀A ∈ X , este bijectiva;(2) Φ(A,B) + Φ(B,C ) = Φ(A,C ), ∀A,B,C ∈ X .

Elementele lui X se numesc puncte, ale lui−→X vectori, iar functia Φ

se numeste structura ana. Numim−→X spatiul liniar director al

spatiului an A. Dimensiunea spatiului an A este egala, prindenitie, cu dimensiunea spatiului sau liniar director.

Se poate demonstra ca daca are loc (1), atunci pentru orice

O ∈ X , functia ΦO : X →−→X este bijectiva.

Exemple

Cel mai simplu exemplu este dat de spatiul an geometric.Consider S multimea punctelor spatiului geometric, V spatiul liniarreal al vectorilor liberi si

Φ : S × S → V,

Φ(A,B) =−→AB.

Evident Φ are proprietatile (1) si (2) din denitia anterioara.Datorita acestui exemplu notam in general, pentru un spatiu an

arbitrar, Φ(A,B) =−→AB.

Observam pentru orice u ∈ V, Φ−1A (u) este punctul B unic

determinat de conditia−→AB = u.

Exemple

De asemenea, orice K-spatiu liniar V este spatiu an cu spatiulliniar director V si structura ana data de

Φ : V × V → V ,

Φ(x , y) = y − x , ∀x , y ∈ V .

In particular Kn este K-spatiu an.Observatie Va amintiti ca orice doua spatii ane de aceeasidimensiune nita sunt izomorfe, adica exista un morsm anbijectiv intre spatiile lor de puncte. De aceea spatiul an geometriceste izomorf cu R3.

Spatiul liniar tangent TPXFie P ∈ X xat arbitrar.Denim + : X × X → X si · : K× X → X prin

A + B = Φ−1P (−→PA +

−→PB), ∀A,B ∈ X ,

αA = Φ−1P (α−→PA), ∀α ∈ K, ∀A ∈ X .

Spatiul liniar tangent TPX

Theorem

Multimea X impreuna cu legile de compozitie denite anterior are o

structura de spatiu liniar peste K si ΦP : X →−→X este izomorsm

de spatii liniare.

Structura de spatiu liniar a lui X depinde de alegerea lui P , deaceea notam spatiul liniar obtinut cu TPX si il numimvectorializatul lui X in P sau spatiul liniar tangent la X in P .In caz spatiului geometric observam ca

A + B = C , unde C e unic determinat de−→PA +

−→PB =

−→PC ,

αA = D, unde D e unic determinat de α−→PA =

−→PD.

Adunarea punctelor cu vectori

Denition

Dat spatiul an A =(

X ,−→X ,Φ

), denim o operatie de adunare a

punctelor cu vectori prin

+ : X ×−→X → X

P + u = Φ−1P (u)⇔

P + u = Q ⇔−→PQ = u.

Theorem

Operatia denita anterioar are urmatoarele proprietati:

(1) A + (u + v) = (A + u) + v , ∀A ∈ X , u, v ∈−→X ;

(2) A + 0 = A ∀A ∈ X ;

(3) ∀A,B ∈ X ∃!v ∈−→X a.i . B = A + v .

Observam ca putem deni un spatiu an ca un triplet

A =(

X ,−→X ,+

), cu + : X ×

−→X → X o lege de compozitie ce are

proprietatile (1),(2),(3) din teorema anterioara.

Atunci, consideram Φ : X × X →−→X , denita prin Φ(A,B) = u

unic determinat de conditia A + u = B .Se verica faptul ca Φ este o structura ana pe X .

Actiuni de grupuri (facultativ)

Fie G un grup si X o multime nevida.Numim substitutie a lui X o functie bijectiva f : X → X . Multimeasubstitutiilor lui X are structura de grup in raport cu compunereafunctiilor si se noteaza cu S(X ).

Denition

Spunem ca grupul G actioneaza asupra multimii X daca exista unmorsm de grupuri

ϕ : G → S(X ).

Morsmul ϕ se numeste G -actiune pe X si notamϕ(g)(x) := gx , ∀x ∈ X , ∀g ∈ G .

Notam (G ,X , ϕ) elementele ce determina actiunea unui grup G pemultimea X .



Exemple

(1) Fie V un spatiu liniar real de dimensiune nita siG = Gl(V ) = f : V → V | f − izomorfism liniar grupul liniar allui V . Atunci Gl(V ) actioneaza asupra lui V prin

ϕ : Gl(V )→ S(V ), ϕ(f ) = f , ∀f ∈ Gl(V ).

(2) Daca V este un spatiu liniar euclidian de dimensiune nita,consideram grupul endomorsmelor ortogonale ale lui V ,O(V ) = f : V → V | f − endomorfism ortogonal.Amintim ca f : V → V este aplicatie liniara ortogonala daca< f (x), f (y) >=< x , y > ∀x , y ∈ V ⇔‖ f (x) ‖=‖ x ‖ ∀x ∈ V .Actiunea lui O(V ) asupra lui V este

ϕ : O(V )→ S(V ), ϕ(f ) = f , ∀f ∈ O(V ).


Actiuni de grupuri

Denition

O actiune (G ,X , ϕ) este dela daca ϕ este monomorsm de grupuri⇔ Kerϕ = e, unde e este elementul neutru al lui G .

Observam ca ambele exemple anterioare reprezinta actiuni dele degrupuri.

Denition

O actiune (G ,X , ϕ) este tranzitiva daca ∀x , y ∈ X ∃g ∈ G astfel incaty = gx . Daca g cu aceasta proprietate este unic, spunem ca actiuneaeste simplu tranzitiva.

Theorem

Daca grupul G este abelian, atunci orice actiune dela si tranzitiva este

simplu tranzitiva.

Pentru V -spatiu liniar euclidian nit dimensional, consideram actiuneagrupului O(V ) pe multimea X a bazelor ortonormate ale lui V . Deoarecedate doua baze ortonormate exista o singura aplicatie ortogonala cetransforma o baza in cealalta, actiunea este simplu tranzitiva.

Denitie echivalenta a spatiului an (facultativ)

Fie A =(

X ,−→X ,Φ

)un K - spatiu an. Putem deni actiunea

grupului aditiv(−→

X ,+)pe X prin

ϕ :−→X → S(X ), ϕ(u)(P) = ΦP(u), ∀u ∈

−→X , ∀P ∈ X .

In plus aceasta actiune este dela si simplu tranzitiva.Reciproc, daca se da V un spatiu liniar peste K, o multime nevidaX si (V ,X , ϕ) o actiune dela si tranzitiva a grupului (V ,+) pe X ,atunci putem deni pe X o structura de spatiu an avand pe V caspatiu liniar director:

+ : X × V → X , P + u = ϕ(u)(P), ∀P ∈ X ∀u ∈ V .

Combinatie ana de puncte

Presupunem ca A =(

X ,−→X ,Φ

)este un spatiu an peste K.

Se numeste combinatie ana de puncte o expresie de tipul

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn, cun∑

i=1

αi = 1, αi ∈ K, ∀i ∈ 1, n.

Conditia∑n

i=1αi = 1 este esentiala pentru ca expresia

α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn sa nu depinda de spatiul liniar TPS incare s-a denit.Punctul A = α1A1 + α2A2 + · · ·+ αnAn se numeste baricentrulsistemului de puncte A1,A2, · · · ,An cu ponderile α1, α2, · · · , αn.Daca ponderile sunt egale vorbim de echibaricentru.Fie multimea nevida M ⊂ X .Infasuratoarea (acoperirea/inchiderea) ana a lui M este multimeatuturor combinatiilor ane nite de puncte din M:

< M >af =

m∑i=1

αiPi | Pi ∈ M, αi ∈ K,m∑i=1

αi = 1, m ∈ N

Puncte an (in)dependente

Denitions

(1) Un sistem de puncte P1,P2, · · · ,Pn se numeste andependent daca ∃i ∈ 1, n astfel incat Pi sa e baricentrul cuanumite ponderi ale celorlalte puncte din sistem.(2) Un sistem nit de puncte se numeste an independent dacacontine un singur punct sau daca nu este an dependent .(3) O multime innita de puncte S ⊂ X se numeste anindependenta daca orice sistem nit de puncte ale sale este anindependent.

Theorem

Sistemul de puncte P1, · · · ,Pn este an dependent (respectiv

an independent) daca si numai daca sistemul de vectori−−−→P1P2, · · · ,

−−−→P1Pn

este liniar dependent (liniar independent).

In acest caz sistemul de puncte−−→PiP1, · · · ,

−−−−→PiPi−1,

−−−−→PiPi+1, · · · ,

−−→PiPn

este liniar dependent (liniar

independent), ∀i ∈ 2, n.

Observatii(1) Orice doua puncte an independente sunt distincte. Numimsegment un sistem de doua puncte an independente.(2) Trei puncte sunt an independente daca si numai daca suntnecoliniare. Un sistem de trei puncte an independente se numestetriunghi. De asemenea patru puncte sunt an independente daca sinumai daca sunt necoplanare. Ele formeaza un tetraedru.

Repere ane

Denition

Presupunem ca dimA = n. Un reper an este un sistem de n + 1puncte an independente Ra = A0,A1, · · · ,An ⊂ X .

Theorem

Daca Ra = A0,A1, · · · ,An este un reper an in An, atunci

oricarui punct P ∈ X i se asociaza in mod unic scalarii αi ∈ K,

i ∈ 0, n, cu∑n

i=1αi = 1, astfel incat

P = α0A0 + α1A1 + · · ·+ αnAn.

Denition

Numerele αi , i ∈ 0, n se numesc coordonatele baricentrice ale lui Pin raport cu reperul an Ra.

Coordonate ane versus coordonate carteziene

Observam ca dat un reper an Ra = A0,A1, · · · ,An ⊂ X , iiputem asocia un reper cartezian denit prin Rc = A0; e1, · · · , encu ei =

−−−→A0Ai , i ∈ 1, n, adica o multime formata dintr-un punct

xat A0 numit origine si o baza e1, · · · , en in−→X .

Presupunem ca P = α0A0 + α1A1 + · · ·+ αnAn. Vectorializand

aceasta relatie in A0 obtinem

−−→A0P =

n∑i=1

αi−−→A0Ai =n∑

i=1

αi ei ,

deci P are coordonatele carteziene α1, · · · , αn.

Coordonate ane versus coordonate carteziene

Reciproc, presupunem ca se da un reper cartezianRc =

O; f1, · · · , fn

in An si e punctul P de coordonate

carteziene β1, · · · , βn in raport cu Rc :−→OP =

∑ni=1

βi fi .Denim un reper an astfel. Consider punctele

Qi = O + fi ⇔ fi =−−→OQi , i ∈ 1, n.

Atunci Ra = O,Q1, · · · ,Qn esre un reper an al lui A.Observam ca−→OP =

(1−

∑ni=1

βi)−→

OO +∑n

i=1βi−−→OQi ⇔

P =(1−

∑ni=1

βi)

O + β1Q1 + · · ·βnQn.Deci P are coordonatele baricentrice 1−

∑ni=1

βi , β1, · · · , βn.

Subspatii ane

Denition

Fie A =(

X ,−→X ,Φ

)un spatiu an peste K. O submultime Y ⊂ X

se numeste subspatiu an al lui X daca Y = ∅ sau daca Y 6= ∅ siexista un subspatiu liniar V al lui

−→X astfel incat Φ(Y × Y ) ⊂ V si

(Y ,V ,Φ/Y×Y ) este un spatiu an.

Theorem

(a) Daca Y este subspatiu an nevid al lui X atunci pentru orice

punct O ∈ Y multimea−→

OP | P ∈ Y

este subspatiu liniar al lui−→X si coincide cu

−→Y . In plus

∀O ∈ Y : Y = O +−→Y =

O + u | u ∈

−→Y.

(b) Daca ∅ 6= Y ⊂ X si exista O ∈ Y astfel incat−→

OP | P ∈ Y

este subspatiu liniar al lui−→X , atunci Y este subspatiu an al lui X

si−→Y =

−→OP | P ∈ Y

. In plus Y = O +

−→Y .

Teorema de caracterizare a subspatiilor ane

Theorem

Fie ∅ 6= Y ⊂ X .

(1) Daca CarK 6= 2, Y este subspatiu an al lui X daca si numai

daca ∀P,Q ∈ Y , ∀α ∈ K⇒ αP + (1− α)Q ∈ Y .

(2) Daca CarK = 2, Y este subspatiu an al lui X daca si numai

daca ∀P,Q,R ∈ Y ⇒ 1

3P + 1

3Q + 1

3R ∈ Y .

Corollary

Fie ∅ 6= Y ⊂ X . Atunci Y este subspatiu an al lui X daca si

numai daca Y isi contine toate baricentrele cu orice ponderi

⇔ Y =< Y >af .

Din rezultatul anterior rezulta ca infasuratoarea ana a uneimultimi este un subspatiu an.

Dreapta ana

O dreapta ana este un subspatiu an de dimensiune 1.Fie doua puncte distincte A,B ∈ X . Atunci infasuratoarea ana amultimii formate din cele doua puncte este e o dreapta ana.

< AB >:=< A,B >af = αA + (1− α)B | α ∈ K = A + [−→AB].

Evident A,B este un reper an pe dreapta < AB >, iarA;−→AB

un reper cartezian.

Dreapta ana poate data si printr-un punct al ei si un vectornenul din spatiul sau liniar director

d = A +−→d = A + [a],

unde am notat cu [a] subspatiul liniar generat de vectorul director

a ∈−→d .

Planul an

Un plan an este un subspatiu an de dimensiune 2.Fie A,B,C trei puncte an independente.Atunci < ABC >:=< A,B,C >af =αA + βB + (1− α− β)C | α, β ∈ R este un plan an.

A,B,C este un reper an in planul considerat si

A;−→AB,−→AC

este un reper cartezian.Un plan an π este unic determinat si de un punct A ∈ π arbitrarxat si a, b ∈ −→π doi vectori necoliniari.

π = A +−→π = A + [a, b].

Operatii cu subspatii ane

Theorem

O intersectie arbitrara de subspatii ane este subspatiu an. Daca

intersectia este nevida, atunci spatiul sau liniar director este

intersectia spatiilor liniare directoare ale subspatiilor ane

considerate.

Fie P un punct arbitrar din intersectia subspatiilor aneYi ⊂

s.aX , i ∈ I 6= ∅. Atunci

∩i∈I

Yi = P + ∩i∈I

−→Y i .

Se poate demonstra ca infasuratoarea ana a unei multimi nevideS ⊂ X coincide cu intersectia tuturor subspatiilor ane ale lui X cecontin pe S , de aceea utilizam pentru < S >af si denumirea desubspatiu an generat de S .

Operatii cu subspatii ane

In general, reuniunea a doua spatii ane nu este un spatiu an.De exemplu, Y1 =

(x1, x2) ∈ R2 | x1 + x2 = 1

si

Y2 =

(x1, x2) ∈ R2 | x1 − x2 = 1sunt subspatii ane ale lui R2.

Fie P = (1, 0) si Q = (2, 1). Observam ca1

2P + 1

2Q = (3

2, 1) /∈ Y1 ∪ Y2, deci Y1 ∪ Y2 nu este subspatiu an.

Denition

Suma a doua subspatii ane Y1,Y2 ⊂ X este subspatiul angenerat de reuniunea lor:

Y1 + Y2 =< Y1 ∪ Y2 >af .

Deci Y1 + Y2 este cel mai mic subspatiu an (in sensul incluziunii)care contine pe Y1 ∪ Y2.

Teorema dimensiunii

Theorem

Fie Y1,Y2 subspatii ane ale lui X , avand spatiile liniare directoare−→Y1 si

−→Y2. Atunci spatiul liniar director al spatiului an suma

Y1 + Y2 este

−−−−−→Y1 + Y2 =

−→Y1 +

−→Y2, Y1 ∩ Y2 6= ∅,−→

Y1 +−→Y2 + [

−−−→O1O2], Y1 ∩ Y2 = ∅,

unde O1 ∈ Y1 si O2 ∈ Y2 sunt doua puncte arbitrar alese.

Observatie. Evidentiem proprietatea urmatoare, utila indemonstrarea a numeroase rezultate.Fie Y1,Y2 subspatii ane ale lui X si O1 ∈ Y1, O2 ∈ Y2 douapuncte xate arbitrar. Atunci

Y1 ∩ Y2 6= ∅ ⇔−−−→O1O2 ∈

−→Y1 +

−→Y2.

Teorema dimensiunii

Theorem

Fie Y1,Y2 subspatii ane ale lui X , avand spatiile liniare directoare−→Y1 si

−→Y2. Atunci

dim (Y1 + Y2) =

dimY1 + dimY2 − dim (Y1 ∩ Y2) , Y1 ∩ Y2 6= ∅,dimY1 + dimY2 − dim

(−→Y1 ∩

−→Y2

)+ 1, Y1 ∩ Y2 = ∅.

Consecinte:

data o dreapta ana d si un punct A exterior acesteia, spatiul ansuma d + A este un plan an ; generalizare: dat un subspatiu anY de dimensiune k <∞ si un punct A /∈ Y , atunci Y + A esteun spatiu an de dimensiune k + 1;

date doua drepte ane concurente, d1, d2 ⊂ X , d1 ∩ d2 = P,atunci spatiul an suma d1 + d2 este un plan an;

daca Y1,Y2 ⊂s.a

X , dimX <∞, astfel incat−→X =

−→Y1 ⊕

−→Y2, atunci

Y1 ∩ Y2 = P.

Paralelism an

Denitions

Subspatiile ane Y1 si Y2 sunt paralele daca−→Y1 ⊆

−→Y2 sau

−→Y2 ⊆

−→Y1.

Notam Y1 ‖ Y2.

Observatie:

In particular, doua subspatii ane cu acelasi spatiu liniardirector (deci si aceeasi dimensiune) sunt paralele.

Relatia de paralelism este o relatie de ordine partiala pemultimea subspatiilor ane ale unui spatiu an dat.

Dat Y ⊂s.a

X , Y 6= ∅ si un punct A ∈ X , exista un singur

subspatiu an al lui X paralel cu Y , de aceeasi dimensiune cu

Y , care trece prin A. Acesta este A +−→Y .

Pozitiile relative a doua spatii ane paralele

Theorem

Daca Y1 ‖ Y2 atunci Y1 ∩ Y2 = ∅, sau Y1 ⊆ Y2, sau Y2 ⊆ Y1.

Nu este adevarat ca doua subspatii ane disjuncte sunt paralele.Avem doar situatia particulara:

Theorem

Intr-un spatiu an de dimensiune nita, un subspatiu an si un

hiperplan care nu se intersecteaza sunt paralele.

Ecuatiile subspatiilor ane

Consideram spatiul an real A =(

X ,−→X ,Φ

)de dimensiune nita.

Putem scrie ecuatiile unui subspatiu an Y = A +−→Y al lui X atunci

cand cunoastem un punct al lui Y si o baza in spatiul liniar director.Exemplicam metoda doar pe cazurile particulare ale spatiilor ane3 si 4 dimensionale.Intr-un spatiu an de dimensiune trei, xam un reper cartezianR = O, e1, e2, e3.Consideram d = A +

−→d o dreapta ana. Presupunem ca A are in

raport cu R vectorul de pozitie r0 =−→OA = x1

0e1 + x2

0e2 + x3

0e3 si

a = a1e1 + a2e2 + a3e3 6= 0, a ∈−→d este un vector director al

dreptei.Fie un punct arbitrar P(r) ∈ X de vector de pozitie

r =−→OP = x1e1 + x2e2 + x3e3.

Ecuatiile dreptei ane in A3

Punctul P apartine dreptei d daca si numai daca−→AP ∈ [a]⇔ ∃t ∈ Ra.i .

−→AP = ta, deci vectorul sau de pozitie,

respectiv coordonatele sale in raport cu R verica unul din seturilede ecuatii echivalente:

ecuatia vectoriala: r = r0 + ta, t ∈ R;

ecuatiile parametrice:

x1 = x1

0+ ta1,

x2 = x2

0+ ta2,

x3 = x3

0+ ta3, t ∈ R;

ecuatiile canonice:x1−x10a1

=x2−x20a2

=x3−x30a3

;

ecuatiile dreptei ca intersectie de (hiper)plane:a2x1 − a1x2 + (a1x2

0− a2x1

0) = 0,

a3x2 − a2x3 + (a2x3

0− a3x2

0) = 0.

Fie dreapta d = A + [a], cu A(r0), r0 = 2e1 − 3e2 + 5e3,a = −4e1 + 7e2 − e3.

Ecuatiile parametrice:

x1 = 2− 4t,

x2 = −3 + 7t,

x3 = 5− t, t ∈ R;

Ecuatiile canonice:

x1 − 2

−4=

x2 + 3

7=

x3 − 5

−1;

Ecuatiile dreptei ca intersectie de plane:7x1 + 4x2 − 2 = 0,

x2 + 7x3 − 32 = 0.

Ecuatiile planului an in A3

Fie planul an π = A +−→π ce trece prin A(r0), cu spatiul liniardirector −→π = [a1, a2], a1, a2 ind vectorii unei baze in −→π .In raport cu reperul cartezian R, presupunem car0 = x1

0e1 + x2

0e2 + x3

0e3, a1 = a1

1e1 + a2

1e2 + a3

1e3 6= 0,

a2 = a12e1 + a2

2e2 + a3

2e3 6= 0. Atunci un punct oarecare P ∈ X , ce

are in raport cu R vectorul de pozitie r = x1e1 + x2e2 + x3e3,

apartine planului π daca si numai daca−→AP, a1, a2 sunt coplanari,

deci vectorul sau de pozitie, respectiv coordonatele sale in raport cuR verica unul din seturile de ecuatii echivalente:

ecuatia vectoriala: r = r0 + t1a1 + t2a2, t1, t2 ∈ R;


x1 = x1

0+ t1a1

1+ t2a1

2,

x2 = x2

0+ t1a2

1+ t2a2

2,

x3 = x3

0+ t1a3

1+ t2a3

2, t1, t2 ∈ R;

ecuatia planului sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x1 − x1

0a11

a12

x2 − x2

0a21

a22

x3 − x3

0a31

a32

∣∣∣∣∣∣ = 0;

ecuatia generala a planului, obtinuta din dezvoltareadeterminantului anterior dupa prima coloana:

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0, a2 + b2 + c2 > 0.

De exemplu, ecuatiile planului π ce trece prin A(1, 2, 3), avandspatiul liniar director −→π = [a1, a2], a1(3,−2, 5), a2(1,−4, 2) sunt:


x1 = 1 + 3t1 + t2,

x2 = 2− 2t1 − 4t2,

x3 = 3 + 5t1 + 2t2, t1, t2 ∈ R;

ecuatia sub forma de determinant:

∣∣∣∣∣∣x1 − 1 3 1x2 − 2 −2 −4x3 − 3 5 2

∣∣∣∣∣∣ = 0;

ecuatia generala: 16x1 − x2 − 10x3 + 16 = 0.

Ecuatiile subspatiilor ane in A4

Sa ne reamintim ecuatiile subspatiilor ane intr-un spatiu an dedimensiune patru. Consideram reperul cartezianR = O, e1, e2, e3, e4.Fie dreapta d = A + [a], cu A(2,−1,−3, 5), a(3,−7, 4,−2).

ecuatia vectoriala: r = r0 + ta, t ∈ R;


x1 = 2 + 3t,

x2 = −1− 7t,

x3 = −3 + 4t,

x4 = 5− 2t, t ∈ R;

ecuatiile canonice: x1−23

= x2+1

−7 = x3+3

4= x4−5

−2 ;

ecuatiile dreptei ca intersectie de hiperplane:7x1 + 3x2 − 11 = 0,

4x2 + 7x3 + 25 = 0,

2x3 + 4x4 − 14 = 0.

Observam ca o dreapta intr-un spatiu an de dimensiune neste intersectia a n − 1 hiperplane.

Fie 2-planul α = A + [a1, a2], cu A(2,−1, 3, 5), a1(1, 2,−2, 4),a2(5,−2,−3, 6).

Ecuatia vectoriala: r = rA + t1a1 + t2a2, t1, t2 ∈ R;


x1 = 2 + t1 + 5t2,

x2 = −1 + 2t1 − 2t2,

x3 = 3− 2t1 − 3t2,

x4 = 5 + 4t1 + 6t2;

Ecuatia 2-planului ca intersectie de hiperplane:2x3 + x4 − 11 = 0,

10x1 + 7x2 + 12x3 − 49 = 0.

Observam ca ultimele ecuatii se obtin din cele parametrice prineliminarea parametrilor t1 si t2. In general, un subspatiu dedimensiune p al unui spatiu an de dimensiune n esteintersectia a n − p hiperplane.

In sfarsit, consideram un hiperplan −→π = A + [a1, a2, a3], cuA(1, 2, 3, 4), a1(2,−4, 6,−8), a2(3,−3, 1,−3), a3(−1, 2,−3, 5).

Ecuatia vectoriala: r = r0 + t1a1 + t2a2 + t3a3, t1, t2, t3 ∈ R;


x1 = 1 + 2t1 + 3t2 − t3,

x2 = 2− 4t1 − 3t2 + 2t3,

x3 = 3 + 6t1 + t2 − 3t3,

x4 = 4− 8t1 − 3t2 + 5t3;

Ecuatia sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣∣∣x1 − 1 2 3 −1x2 − 2 −4 −3 2x3 − 3 6 1 −3x4 − 4 −8 −3 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0;

Ecuatia generala: 7x1 + 8x2 + 3x3 − 18x4 + 30 = 0.

Morsme ane

Fie A1 =(

X ,−→X ,Φ1

)si A2 =

(Y ,−→Y ,Φ2

)doua spatii ane peste

acelasi corp comutativ K.Data o functie f : X → Y , ii putem asocia intotdeauna o functie−→f :−→X →

−→Y , numita urma lui f , in modul urmator.

Fixam un punct O ∈ X arbitrar.

Pentru orice u ∈−→X ⇒ ∃!A ∈ X a.i. u =

−→OA. Denim−→

f (u) =−−−−−−→f (O)f (A) ∈

−→Y . Aceasta denitie depinde de alegerea lui

O.

Denition

Aplicatia f : X → Y este aplicatie ana (morsm an) daca∃O ∈ X a.i. urma lui f sa e aplicatie liniara.

Pentru orice aplicatie ana f , urma sa−→f :−→X →

−→Y mai este numita si

aplicatia liniara asociata lui f .Observam ca pentru o aplicatie ana, denitia urmei este independentade alegerea lui O. Fie O ′ 6= O. Atunci, daca−→f (−−→O ′B) =

−→f (−→OB −

−−→OO ′) =

−→f (−→OB)−

−→f (−−→OO ′) =

−−−−−−→f (O)f (B)−

−−−−−−−→f (O)f (O ′) =

−−−−−−−→f (O ′)f (B), pentru orice B ∈ X .

Exemple de morsme ane

Deci pentru f : X → Y morsm an, exista−→f :−→X →

−→Y

aplicatie liniara a.i.

−→f (−→AB) =

−−−−−−→f (A)f (B), ∀A,B ∈ X ⇔ f (A+u) = f (A)+

−→f (u), ∀A ∈ X , ∀u ∈

−→X .

Nu exista o corespondenta biunivoca intre multimea aplicatiilorane si multimea aplicatiilor liniare, deoarece exista morsme anediferite cu aceeasi urma.Ca exemplu putem concidera doua aplicatii constante diferite:

f1, f2 : X → X , f1(A) = P, f2(A) = Q, ∀A ∈ X ,

unde P,Q sunt doua puncte distincte xate in X .

Se deduce imediat ca−→f1 ,−→f2 :−→X →

−→X sunt ambele aplicatii nule:−→

f1 (u) =−→f2 (u) = 0, ∀u ∈

−→X .

Am gasit astfel si un prim exemplu de morsm an, aplicatiaconstanta. Demonstrati ca daca un morsm an f are urma egalacu aplicatia nula, atunci f este o plicatie constanta.

Theorem

O aplicatie ana este unic determinata de urma sa si de o pereche

de puncte corespondente.

Data aplicatia liniara−→f :−→X →

−→Y si punctele O ∈ X , O ′ ∈ Y ,

atunci exista o unica aplicatie ana f : X → Y astfel incat urma

lui f este−→f si f (O) = O ′.

Existenta: denim f : X → Y prin f (A) = O ′ +−→f (−→OA), ∀A ∈ X .

Rezulta ca urma lui f este−→f , iar cum aceasta este liniara rezulta

ca f este morsm an. Mai mult f (O) = O ′.Unicitatea lui f cu proprietatea din enuntul teoremei sedemonstreaza prin reducere la absurd.

Teorema de caracterizare a morsmelor ane

Theorem

Fie A1 =(

X1,−→X1,Φ1

)si A2 =

(X2,−→X2,Φ2

)doua K-spatii ane.

O conditie necesara si sucienta ca aplicatia f : X1 → X2 sa e

morsm an este:

(1) daca CarK 6= 2 : f (αA + (1− α)B) =αf (A) + (1− α)f (B), ∀A,B ∈ X1, ∀α ∈ K;

(2) daca

CarK = 2: f (A + B + C ) = f (A) + f (B) + f (C ), ∀A,B,C ∈ X1.

Consecinta:

Orice morsm an transforma puncte coliniare in punctecoliniare si pastreaza raportul simplu a trei puncte coliniare.

Legatura morsme ane - subspatii ane

Orice morsm an transforma subspatii ane in subspatiiane. Mai exact, daca f : X → Z este morsm an si Y ⊂ X

este un subspatiu an, atunci−−−→f (Y ) =

−→f (−→Y ). In particular

Imf este subspatiu an.

Contraimaginea oricarui subspatiu an printr-un morsm aneste un subspatiu an. In particular Kerf este subspatiu an.Mai exact, daca f : X → Z este morsm an si Y ⊂ Z este

un subspatiu an, atunci−−−−→f −1(Y ) =

(−→f)−1

(−→Y ), daca

f −1(Y ) 6= ∅.Orice morsm an transforma subspatii ane paralele insubspatii ane paralele.

Doua spatii ane nit dimensionale sunt izomorfe daca sinumai daca au aceeasi dimensiune.

Translatii

Denition

Fie A =(

X ,−→X ,Φ

)un K-spatiu an si u ∈

−→X . Translatia de

vector u este aplicatia denita prin

tu : X → X , tu(P) = P + u, ∀u ∈ X

tu(P) = Q ⇔−→PQ = u.

Translatii

Theorem

Orice translatie a spatiului an A =(

X ,−→X ,Φ

)este un morsm

an cu urma egala cu aplicatia identica pe−→X .

Reciproc, orice morsm an cu urma egala cu aplicatia identica pe−→X este o translatie.

O proprietate des folosita in aplicatiile legate de translatii esteurmatoarea:

−−−−→Ptu(P) = u, ∀P ∈ X ⇔

−−−−−−−→tu(P)tu(Q) =

−→PQ, ∀P,Q ∈ X .

Observam ca t0este IdX .

Omotetii

Denition

Fie spatiul an A =(

X ,−→X ,Φ

), punctul O ∈ X si λ ∈ K∗. Omotetia de

centru O si raport λ este aplicatia denita prin

hO,λ : X → X , hO,λ(A) = O + λ−→OA, ∀A ∈ X ,

−−−−−−→OhO,λ(A) = λ

−→OA, ∀A ∈ X ,

hO,λ(A) = (1− λ)O + λA, ∀A ∈ X .

Observam ca omotetia de centru O si raport 1 coincide cu aplicatiaidentitate pe X .Se poate demonstra ca orice omotetie proprie (diferita de IdX ) are ununic punct x, si anume centrul omotetiei.

Omotetii

Omotetii

Theorem

Omotetia de centru O si raport λ este un morsm an cu urma

egala cu omotetia vectoriala hλ :−→X →

−→X , hλ(u) = λu, ∀u ∈

−→X .

Reciproc, orice morsm an f cu urma egala cu omotetia vectoriala

hλ, λ 6= 0, λ 6= 1, este o omotetie de raport λ. In plus centrul

omotetiei este unic determinat.

−−−−−−−−−−−→hO,λ(A)hO,λ(B) = λ

−→AB, ∀A,B ∈ X

hO,λ(A + u) = hO,λ(A) + λu, ∀A ∈ X , ∀u ∈−→X .

Proiectii ane

Fie spatiul an A =(

X ,−→X ,Φ

)peste K si Y 6= ∅ un subspatiu an

al lui A. Fie V ⊂−→X astfel incat

−→X =

−→Y ⊕ V . Atunci, pentru

ecare A ∈ X exista un singur subspatiu an al lui X ce trece prinA si are spatiul liniar director V : YA = A + V . Se stie caintersectia dintre Y si YA este formata dintr-un singur punct.Aceste consideratii ne permit denirea urmatoarei aplicatii.

Denition

Proiectia ana a spatiului an X pe subspatiul an Y , paralela cuV , este aplicatia denita prin

p : X → Y ⊂ X , p(A) = punctul dat de Y ∩ YA, ∀A ∈ X .

Simetrii ane

Fie spatiul an A =(

X ,−→X ,Φ

)peste K si Y 6= ∅ un subspatiu an

al lui A. Fie V ⊂−→X astfel incat

−→X =

−→Y ⊕ V . Pentru ecare

A ∈ X , consideram p(A) ∈ Y proiectia ana a lui A pe Y , paralela

cu V . Deoarece−−−→Ap(A) ∈ V si A ∈ YA = A + V , rezulta ca exista

un unic punct notat s(A) ∈ YA astfel incat−−−→Ap(A) =

−−−−−−→p(A)s(A).

Denition

Simetria spatiului an X fata de subspatiul an Y , paralela cu Veste aplicatia s : X → X care asociaza ecarui punct A ∈ Xpunctul s(A) unic determinat ca mai sus.

Observam ca s = 2p − IdX .

Proiectii si simetrii ane

Theorem

Proiectie ana p : X → X a lui X pe Y , paralela cu V , este un

morsm an idempotent (p2 = p p = IdX ), urma acestuia ind

proiectia vectoriala a spatiului liniar−→X pe

−→Y , paralela cu V .

Orice morsm an idempotent f : X → X este proiectia ana a lui

X pe Imf , paralela cu Ker−→f .

Simetria ana a lui X fata de Y , paralela cu V este un morsm

an involutiv, avand urma egala cu simetria vectoriala a lui−→X fata

de−→Y , paralela cu V .

Reciproc, orice morsm an involutiv f : X → X este simetria

ana a lui X fata de subspatiul an format din toate punctele xe

ale lui f , paralela cu Ker(−→f + Id−→

X).

Grupul an

Theorem

Multimea automorsmelor ane (morsme ane bijective) ale unui

spatiu an X are structura de grup in raport cu compunerea

functiilor, numit grupul an al lui X si notat cu GA(X ). Grupul

automorsmelor ane ale lui X care au un punct x este izomorf cu

grupul Gl(−→X ) al izomorsmelor liniare ale lui

−→X . Izomorsmul este

aplicatia ce asociaza ecarui morsm an urma sa.

Acest rezultat rezulta din:

compunerea a doua morsme ane f : X → Y si g : Y → Z esteun morsm an g f : X → Z cu urma egala cu compunerea

urmelor celor doua morsme ane:−−→g f = −→g

−→f ;

un morsm an este injectiv (respectiv surjectiv/bijectiv) daca sinumai daca urma sa este injectiva (respectiv surjectiva/bijectiva);

daca f : X → Y este izomorsm an atunci f −1 : Y → X este

morsm an cu urma(−→

f)−1

.

Subgrupuri importante ale grupului an

Theorem

Multimea translatiilor T (X ) ale unui spatiu an X are structura de

grup abelian in raport cu compunerea functiilor, grup izomorf cu(−→X ,+

). Mai mult T (X ) este divizor normal al lui GA(X ).

tu tw = tw+u, ∀u, v ∈−→X .

t0

= Id−→X, (tu)−1 = t−u, ∀u ∈

−→X .

Theorem

Multimea HO(X ) a omotetiilor de acelasi centru O ale spatiului

an X are structura de grup abelian in raport cu compunerea

functiilor, grup izomorf cu (K∗, ·).

hO,α hO,β = hO,βα, ∀α, β ∈ K∗.

hO,1 = IdX , h−1O,α = hO,α−1 , ∀α ∈ K∗.

Dilatari

Denition

Se numeste dilatare a unui spatiu an un morsm an care este etranslatie e omotetie.

Theorem

Multimea dilatarilor unui spatiu an Dil(X ) este subgrup al

grupului an.

Compunerea dintre doua omotetii de centre diferite este o omotetie(cand produsul rapoartelor omotetiilor este diferit de 1) sau otranslatie (cand produsul rapoartelor omotetiilor este egal cu 1).

Compunerea dintre o omotetie si o translatie este o omotetie.

Theorem

Fie X un K-spatiu an de dimensiune ≥ 2 si f : X → X o bijectie.

Atunci f este dilatare a lui X daca si numai daca f transforma orice

dreapta ana δ a lui X intr-o dreapta ana paralela cu δ.



Ecuatiile unui morsm an

Theorem

Fie X n,Y m doua K-spatii ane nit dimensionale. Aplicatia

f : X → Y este morsm an daca si numai daca exista reperele

carteziene R1 = O;B si R2 = O ′;B′ in X , respectiv Y astfel

incat ecuatiile lui f in raport cu cele doua repere sa e de forma

Y = AX + B, A ∈Mm,n(K), B ∈Mm,1(K),

unde X e matricea coloana a coordonatelor unui punct arbitrar

P ∈ X in raport cu reperul R1 iar Y este matricea coloana a

coordonatelor punctului f (P) in raport cu reperul R2.




Ecuatiile unui morsm an

In particular, e R = O; e1, · · · , en un reper in X n, punctulΩ(x1

0, · · · , xn

0) si vectorul u = u1e1 + · · ·+ unen.

Ecuatiile translatiei de vector u in raport cu R sunty1 = x1 + u1,

y2 = x2 + u2,

· · · · · ·yn = xn + un.

Ecuatiile omotetiei de centru Ω si raport λ sunty1 = λx1 + (1− λ)x1

0,

y2 = λx2 + (1− λ)x2

0,

· · · · · ·yn = λxn + (1− λ)xn

0.


Recapitulare: spatii a neoanacon/GE/fisiere/... · Multimea X impreuna cu legile de compozitie de...

Documents

Transcript of Recapitulare: spatii a neoanacon/GE/fisiere/... · Multimea X impreuna cu legile de compozitie de...