Recapitulare pentru teza – sem. I - Algebra Con\inuturi Exemple ]i aplica\ii 1 Relaţii între mulţimi Dacă avem: }.5;2;3{C},5;3;2{B},5;4;3;2;1{A

Apartenenţă, , : 2A; 4 …….... A; 4 …….... B Egalitate, =, : B = C; A …….…. C; C ……..… B Incluziune, , , : B A, C …….. A; A ……... B

2 Submulţime Dacă avem: }.5;3;2{},5;4;3;2;1{ BA Mulţimea B este o submulţime a mulţimii A pentru că ....……………………….…….. Submultimile multimii B sunt :…………………..…………………..……………………

3 Operaţii cu mulţimi Dacă avem: }.5;3;2{B},4;3;2;1{A

Reuniunea: }{ BxsauAxxBA ; }5;4;3;2;1{ BA .

Intersecţia: }{ BxsiAxxBA ; }3;2{BA .

Diferenţa: }{ BxsiAxxBA ; }4;1{ BA .

Produsul cartezian: }),{( BysiAxyxBA = {(1,2), (1,3), (1,5), (2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (4,2), (4,3), 4,5)}. Exeercitiu: Pentru A = {a, b, c, d} si B = {b, c, e}, efectuati: a) AB = ………………………………....; b) AB = ………………….……… c) AB = ………………..….. d) AXB = ……………….........................……………………

4 Mulţimi finite şi mulţimi infinite

Mulţime finită este mulţimea cu un număr finit de elemente. Exemple de mulţimi finite: }.5;3;2{},4;3;2;1{ BA

Mulţime infinită este mulţimea cu un număr infinit de elemente. Exemplu de mulţime infinită: ,....}.100,99;...;3;2;1;0{N

5 Mulţimile N, Z, Q, R, R\Q

,....}.100,99;...;3;2;1;0{N Trei exemple de numere naturale mai mari decat 100 : ………………………………..

;...}.3;2;1;0;1;2;3{....Z Trei exemple de numere intregi mai mari decat 10 ......…………….; Trei exemple de numere intregi mai mici decat 10: ………………………

1),(*,, baZbZa

baQ . Trei exemple de numere rationale mai mari

decat 0 si mai mici decat 2: ……………….; Trei exemple de numere rationale mai mici decat 5 si mai mari decat 7 : ………………………………………… R este mulţimea numerelor reale ce cuprinde toate categoriile de numere inclusiv cele scrise sub formă de radicali (irationale). Trei exemple de numere reale cuprinse intre 10 si 12 :……………….. perfectpatratestenuaaQR numere iraţionale. Trei exemple de numere

irationale cuprinse intre 5 si +5: …………... 6 Relaţia NZQR RQZN

Orice număr natural este număr întreg; Trei exemple de numere intregi care sunt naturale: …………… si trei exemple de numere intregi care nu sunt naturale …………..…….

Orice număr întreg este şi un număr raţional; Trei exemple de numere rationale care sunt intregi : ………… si trei exemple de numere rationale care nu sunt intregi: ……..……..

Orice număr raţional este număr real. Trei exemple de numere reale care sunt rationale: ………………; trei exemple de numere reale care nu sunt rationale : ……………

7 Scrierea numerelor naturale în baza zece

De exemplu, un număr natural format din trei cifre se scrie în baza zece astfel: cbaabc 10100 ; Un numar natural de 4 cifre scris in baza zece este: ….....................

8 Fracţii subunitare, echiunitare, supraunitare

Fracţii subunitare ., baba

Un exemplu de fractie subunitara este .....................

Fracţii echiunitare ., baba

Un exemplu de fractie echiunitara este ...................

Fracţii supraunitare ., baba

Un exemplu de fractie supraunitara este ..............

9 Amplificarea şi simplificarea fractiilor

Amplificarea .0,)

mmbma

bam

97 amplificata cu 6 este egala cu ...........

Simplificarea .0,::(

mmbma

ba m

4836 simplificata cu 12 este egala cu ..............

10 Fracţii ireductibile Fracţie ireductibilă este fracţia în care numărătorul şi numitorul sunt numere prime

între ele. Exemplu de obţinere a unei fracţii ireductibile, pas cu pas:

.34

912

1824

3648 3(2(2(

450210 = .....................................................

11 Transformări de fracţii Fracţii zecimale finite

100, abcbca . 3,45 = ......................................

Fracţii zecimale periodice simple 99

)(, aabcbca . 4,(27) = ..........................

Fracţii zecimale periodice mixte 990

)(, ababcdcdba . 3,2(54) = ........................

Exemple:

1532

90192

9021213)3(1,2.

34

912

9113)3(,1.

49

10022525,2

O fracţie ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală prin împărţirea numărătorului la numitorul fracţiei. Exemplu:

).3(,73:223

22 .................

12325........;..........

3329........;..........

2537

12 Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axă a numerelor reale

Compararea numerelor raţionale

Sa comparam numerele 67

a şi 56

b : Aducem numerele date la acelaşi numitor:

3035

67)5

a şi 3036

56)6

b . Se observă că numărul mai mare este numărul b. Se poate să

aducem numerele date şi la acelaşi numărător iar atunci comparăm numitorii.

Dintre numerele 83

a şi 65

b mai mare este numărul ….

Compararea numerelor reale din care cel puţin unul este număr iraţional Sa comparam numerele 73a şi 8b : Introducem factorii sub radical şi obţinem:

6373 a şi 648 b . Se observă că numărul mai mare este numărul b.

Dintre numerele 35a şi 9b mai mare este numărul …................... 13 Rădăcina pătrată a

unui număr natural pătrat perfect

ba dacă .2 ab aa 2 dacă .0a În general aa 2 .

Exemplu: 1515225 2 .

a) 25 = ……..; b) 81 = ……..; c) 289 = ……; 841 = …….. 14 Algoritmul de

extragere a rădăcinii pătrate

Aşadar, radical din 55225 este egal cu 235.

Să calculăm rădăcina pătrată a lui 55225. Despărţim numărul în grupe de câte două cifre, de la dreapta spre stânga. Ne întrebăm: care este cel mai mare număr al cărui pătrat este mai mic sau egal cu 5. Acesta este 2; îl scriem în dreapta sus; Îl ridicăm la pătrat, obţinem 4 şi-l trecem sub 5, aflăm restul scăderii 1. Coborâm grupa următoare de 2 cifre lângă rest, si facem semnul care indica separarea ultimei cifre. Dublăm cifra 2, pusa la rezultat şi ce obtinem scriem la calcule ajutatoare urmat de « _ _ = ». Cuprindem dublul rezultatului in partea ramasa dupa separarea ultimei cifre coborate si scriem cifra gasita pe liniute. Efectuam inmultirea obtinuta.. Pentru ca rezultatul 129 se poate scade din 152, trcem cifra 3 larezultat (langa 2) si pe 129, îl trecem sub 152. Aflăm restul scăderii. Coborâm următoarea grupă de cifre, pe 25, lângă restul 23 si separam ultima cifra. Calculam dublul rezultatului de pana acum (dublul lui 23), care este 46. Scriem 46__ = si cuprindem 46 in 232. Acesta se cuprinde ca 4 in 22 de 5 ori. Punem cifra 5 pe liniute si efectuam inmultirea obtinuta, obtinand rezultatul 2325. Trecem cifra 5 la rezultat, dupa cifrele 2 si 3. Trecem rezultatul 2325 sub numărul 2325 şi efectuăm scăderea. Restul fiind zero, algoritmul s-a terminat. Rezultatul este 235. a) 1024 = …….. b) 6724 = …...; c) 7209,144 = ………..

15 Scrierea unui număr real pozitiv ca radical din pătratul său

Dacă avem 7 atunci acest număr se poate scrie şi 4977 2

a) 9 = ................ .; b) 27 = ...........................

Dacă avem 25

, acest număr se poate scrie şi 425

25

25

2

2 .

.....................

........

........73

16 Reguli de calcul cu radicali

Doi radicali se pot aduna sau scădea numai dacă sunt ,,la fel” adică avem termeni asemenea: Exemplu: 5335)241(552545 .

a) 32353 = ……........……; b) 323227 = ……….....…………

Înmulţirea radicalilor: baba ; 30103 .

a) 105 = ……...............……; b) 14573 = ………………………………….

Împărţirea radicalilor: b:ab:a ; 36:18

a) 3:75 = ………...........………..; b) 7:7 = …………................………. 17 Scoaterea şi

introducerea factorilor sub radical

Scoaterea factorilor de sub radical. Prezentăm una din metodele cele mai utilizate la scoaterea factorilor de sub radical. Se descompune numărul dat în produs de puteri de numere prime – se iau perechi de numere prime egale – dintr-o pereche va ieşi un factor de sub radical – factorii nepereche vor rămâne sub radical – factorii ieşiţi sau rămaşi sub radical se înmulţesc.

Exemplu:

66323232216 33

a) 324 = …………………………

b) 2025 = ………………………..

Introducerea factorilor sub radical se bazează pe operaţia

baba . Dacă avem 53 pentru a introduce pe 3 sub radical, se ridică la puterea 2 numărul 3 după care se înmulţeşte cu 5.

45595353 2 . a) 34 = …..........…….; b) 57 = ……………………..

18 Media aritmetica si media geometrica ma(a, b) =

2ba ; ma(24,5; 36,5) = ........; ma( 53;53 ) = ........

mg(a, b) = ba ; mg(8, 18) = ..........; mg( 627;627 ) = ......... 19 Raţionalizarea

numitorilor Raţionalizarea numitorilor de forma ba .

abbm

bbabm

bam)b

.

463

1269

6269

66269

629

3()6

a) 326 = ……….; b)

3234 = ….......…; c)

32

52:3

31 = ………

Raţionalizarea numitorilor de forma cba . În primul rând conjugatul numărului

cba este numărul cba . Pentru raţionalizarea numitorului de această formă, fracţia se va amplifica cu conjugatul numitorului.

22

)cba

cba)cba(m

)cba()cba()cba(m

cbam

.

23510

4)3510(2

121631020

)32(431020

)324()324()324(5

3245

22

)324

a)52

11

= …....; b)37

2

= ….....; c) 23

123

112

112

1

= …

20 Ecuatii si probleme rezolvate cu ajutorul ecuatiilor [n Q

Rezolvarea unei ecua\ii cu paranteze: Exemplu: 5 (1 – 3x) – 4x + 9 = 2 (x + 2) – 32. Se parcurg umatorii pa]i: 1) Eliminarea parantezelor: 51 – 53x – 4x + 9 = 2x + 22 – 32. 2) Efectuarea [nmul\irilor: 5 – 15x – 4x + 9 = 2x + 4 – 32 3) Separarea termenilor: – 15x – 4x – 2x = 4 – 32 – 5 – 9 4) Reducerea temenilor asemenea: – 21x = – 42

5) Rezolvarea lui x : x = 22142

6) Scrierea mul\imii solu\iilor: S = 2

Exerci\ii: a) 5(1 – 3x) – 4x + 9 = 2(x + 2) – 11; S = ................. b) 4(2x + 1) – 9 – 3x = 2(3x – 2) – 1; S = ................. c) 1 – 5(x + 3) + 2(x + 1) = 2x – 2; S = ................. d) 2(2x + 7) + 3(7 – x) = 4(3x – 5). S = ................. Rezolvarea unei ecua\ii cu frac\ii:

Exemplu : 15

215

2231

xxx .

Se parcurg umatorii pa]i:

1) Scrierea tuturor termenilor sub forma de frac\ie: 11

52

11

52

231

xxx

2) Stabilirea numitorului comun: N.C. = c.m.m.m.c.2, 5, 1 = 10.

3) Stabilirea amplificatorului fiec`rei frac\ii: 11

52

11

52

231 )10)2)10)2)5

xxx

4) Scrierea amplific`rilor ca [nmul\iri ]i eliminarea numitorilor: 5(1 – 3x) – 22x + 101 = 2(x + 2) - 101 5) Se continu` cu pa]ii de la rezolvarea unei ecua\ii cu paranteze.

Exerci\i: a) 2341

372

64 xxx

S = .................

b) xxx

431

413

21

S = .................

c) 1011

223

21

5275

xxx S = .................

d) 3

356

139

522

3

xxxx S = .................

Rezolvarea unei probleme cu ajutorul ecua\iilor: Pentru acestea se parcurg [n general urm`toarele etape: 1) Stabilirea datelor cunoscute ]i a celor necunoscute; 2) Notarea uneia dintre datele necunoscute cu o liter`; 3) Scrierea unei ecua\ii numit` modelul matematic al problemei, folosind legea de leg`tur` dintre datele problemei; 4) Rezolvarea ecua\iei (]i proba rezolv`rii ecua\iei); 5) Analiza solu\iei ]i formularea r`spunsului la cerin\ele problemei (]i proba solu\iei [n problem`). Probleme: 1. Am depus la banc` 2400 lei, cu o dob@nd` anual` de 20%. Ce sum` voi avea [n cont dup` un an? 2. Trei numere au media aritmetic` egal` cu 31. Dac` media aritmetic` a primelor dou` numere este 21, iar media aritmetic` a ultimelor dou` este 40, sa se afle cele trei numere. 3. Suma a dou` numere este 252. Afla\i numerele ]tiind c` unul din ele este 6 ori mai mic dec@t cel`lalt. 4. Un biciclist a parcurs un drum astfel: [n prima zi a parcurs 10% din drum, a doua zi 30% din drum iar a treia zi restul de 54 km. C@\i km are [ntregul drum ? 5. Patru persoane au [mpreun` 750 de lei. Dup` ce prima persoan` cheltuie]te 20% din suma sa, a doua 40% din suma sa, a treia 25% din suma sa, iar a patra 50% din suma sa, s-a constatat c` le-au r`mas sume egale. Ce sum` a avut fiecare la [nceput ? 6. Un container plin cu marf` c@nt`re]te 466,5 kg. Umplut pe jum`tate, containerul c@nt`re]te 258 kg. C@te kg c@nt`re]te containerul c@nd este gol ?