Raspunsul circuitului RC serieRaspunsul circuitului RC serie

+++

i(t)

uC(t)

2

q(t) -q(t)

3+++

---

---R

+

1 i(t)

uR(t)

+ e(t) -

tutute CR

tiRtuR

t

CC dtti

Ctu

dttdu

Cti0

1

t

dttiC

tiRte0

1

In conformitate cu legea a doua a lui Kirckhoff

unde e(t) este o sursa (ideala) de tensiune arei valoare are o evolutie arbitrara in timp (dar de valoare finita atat la -∞ cat si la + ∞; precum si cu derivata finita in raport cu timpul)

Deoarece:

si

Aceasta ecuatie descrie evoulutia curentului in circuitul RC serie, cand la capatele lui se aplica o tensiune e(t).

dt

tdqti

qCdt

dqRte

1

Este o ecuatie integrala care poate fi rezolvata transformand-o intr-o ecuatie diferentiala. Pentru aceasta se aplica substitutia:

Rezulta urmatoarea ecuatie diferentiala:

Aceasta este o ecuatie diferentiala de ordinal intai, liniara, neomogena, cu coeficienti constanti, exceptand termenul neomogen care este o functie de timp.

Aceata ecuatie ate o solutie unica q(t) daca se cunoaste contitia initiala: q=q0 la t=t0 . Solutia este o functie de forma: q=q(t,q0) adica este o functie care depinde atat de timp cat si de valoarea initiala in mod unic.

xcdxdy

bya

x

ba

Aty exp0

Metoada de rezolvare a ecuatiei diferentiale.Metoada de rezolvare a ecuatiei diferentiale.

O ecuatie de forma:

se rezolva astfel:1. se allege o solutie de forma y=y0+y1 , unde y0 este solutia

generala a ecuatiei omogene (adica cazul in care c=0) iar y1 este o solutie particulara a ecuatuei neomogene.

y0 are forma:

unde A este o constanta arbitrara ce se determinta impunand conditia initiala.

x

dxxba

xcxab

bxy

01 expexp

1

x

ba

Adxxba

xcxab

bxy

x

expexpexp1

0

y1 sedetermina folosind substitutia y1=y0×w(x)Aplicand substitutia in ecuatia diferentiala, se ontine solutia:

In consecinta solutia generala a ecuatiei diferentiale este de forma:

t

tdtt

tet

Rtq

0

0expexp1

)3()2()1(

0expexp1

exp0

0

t

tdtt

tet

Rtq

Rte

ti

Folosind aceasta formula obtinem solutia evolutiei sarcinii in circuitul RC.

Solutia curentului este:

(1)termenul ohmic(2)termenul de relaxare(3)termenul de perturbare

Raspunsul la semnal treaptaRaspunsul la semnal treapta

t

RE

ti exp

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Inte

nsit

atea

cur

entu

lui (A

)

Timpul (s)

F2

e(t)

0 t

a) pornirea tensiunii:

(t)= 0 t<0e(t)= E t>0

q(0)=0

t

RE

ti exp

0 2 4 6 8 10-1.1

-1.0

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

Inte

nsit

atea

cur

entu

lui (A

)

Timpul (s)

F1

e(t)

0 t

b) oprirea tensiunii:

e(t)= E t<0e(t)= 0 t>0