Quanser Experiments Models (Curs 4 6)

7/21/2019 Quanser Experiments Models (Curs 4 6)

1/22

Experimentul 0: Motorul de curent continuu SRV02a. Modelul matematic servomotorului (SRV-02)

Sistemul de control al poziiei este un sistem care convertete o comand a intrrii (referinei) poziieintr-un rspuns al ieirii poziiei.Primul pas n construirea sistemului de control este modelarea matematic a sistemului fizic.

Modelarea servoinstalatiei

Pentruservomotorul SRV-0 sunt disponi!ile dou rapoarte e"terne de viteze # low gear ratioi high gearratio#

$onfi%uraia &'o %ear $onfi%uraia &*i%+ %ear

Parametrii confi%uraiei high gear ratiosunt #

ParametrulSimbol Valoare nitate

Rezistena armturii R a , nductana armturii 'a 0,/ m*$onstanta de tensiune a motorului 1m 0,0022 V3(rad3 sec)$onstanta de torsiune a motorului 1 0,0022 V3(rad3 sec)neria armturii 4m 5,26/0-2 7%6m

Raportul +i%+ %ear (vitez mare) 1% 20neria vitezei la roata dinat cudiametrul /0

4/0 ,26/0-8 7%6m

neria vitezei la roata dinat cudiametrul 2

42 /,96/0- 7%6m

neria vitezei la roata dinat cudiametrul 9

49 /,06/0-2 7%6m

neria sarcinii 4':4/0;42;49

,86/0-8 7%6m

e? 96/0-5 @m3(rad3 sec)

Randamentul motorului datoratpierderilor de rotaie mr 0,2Randamentul cutiei de vitez %! 0,8Aensiunea ma"im Vma" VRezistena poteniometrului R s /0 1Aensiunea de offset V! ;3-/ VRezistena de offset R ! 2,/8 1Bama @3C ;3-/2 BradeSenzitivitatea S 0,09 7%6m

Dn continuare se va lucra pe confi%uraia high gear ratio.

Pentru deducerea modelului matematic, vom reprezenta sc+ematic ecuaiile de funcionare#


2/22

Sc+ema servoinstalaiei

E"ist dou tipuri de ecuaii care se vor com!ina n determinarea modelului # ecuaiile electrice i celemecanice. Ele au o structur asemntoare.

Cstfel, pentru partea electric putem scrie#

( ) ( ) ( ) )t(utidt

d'tiRtu 0i ++=

n care u(t) este tensiunea ( ( )tu i este tensiunea de intrare iar ( )tuo este cela de ieire), i(t) este curentul iar Ri ' sunt rezistena respectiv inductana.Pentru partea mecanic putem scrie o ecuaie asemntoare#

( ) ( ) ( )ttdt

d4t>)t( oi ++=

n care ( )t este cuplul (de intrare sau de ieire), > este un coeficient de frecare v=scoas iar 4 este momentulde inerie rotativ, ( )t( este viteza un%+iular.

Fac ne situm n cazul confi%uraiei high gear, atunci ( ) ( )tt mm = este viteza un%+iular amotorului cuplat la roata dinat GmicH (@m) care transmite micarea la roata dinat GmareH (@'). Cceasta se vanv=rti cu viteza un%+iular ( ) ( )tt oo = .

Ecuaiile se vor scrie in=nd cont de cele de mai sus precum i de alte relaii care fac le%tura dintremrimile electrice (cureni) i cele mecanice (cupluri de rotaie).

$ircuitul electric al motorului n domeniul comple"

( ) ( ) ( ) ( )sEss'RsV maaai ++=

( ) )Is(E)s(VJs'R

/s.

mi

aa

a +

= (/)

Pentru un motor de c.c cu e"citaie separat cu c=mp electric constant sau un motor de c.c. cu ma%netpermanent, armtura produce un cuplu care este proporional cu curentul prin circuit, )t(.1 a . Randamentulcutiei de viteze ca i randamentul motorului datorate pierderilor de rotaie ar putea afecta cuplul de rotaie.Randamentul cutiei de viteze nu este constant, fiind luat n considerare o valoare medie %! : 0.8.

)t(i1)t( am =

Knde # 25L8,0)8,0)(2,0(mr%! === .Dn domeniul 'aplace avem #

)s(.1)s(A amm = unde =11m ()Aensiunea contra-electromotoare a motorului este proporional cu viteza un%+iular i intensitatea c=mpuluielectric de e"citaie. $u un c=mp electric constant (e"citaie separat sau ma%net permanent) contra-

electromotoare a motorului este dat prin )t(1)t(e mmm = sau n domeniul 'aplace #


3/22

)s(1)s(Emmm

= (5)Fatorit analo%iei ntre ecuaiile electrice i cele mecanice, partea mecanic se poate modela precum unaelectric, unde tensiunea este nlocuit de cuplul ( )t , rezistena de coeficientul de frecare v=scoas >,inductana de cuplul de rotaie 4 iar curentul de viteza de rotaie ( )t .

/

s'R

/s* ++

=

( ) ( )

( ) %mm

''

>7

/

s4>

s4>s*

++

=

/>

F

i

o

7/

s4>s4>7

s4>/

s'R//

7

7

s4>

/

s'R

/

s*s*/

s*s

V

*

+++

+++

++=

=


4/22

( )( )( ) ( )( )

%

''aa

mmmaa

%

m

i

o

7

/s4>s'R7s4>s'R

7

7

sV

*

++++++

=

( )( ) ( ) ( ) ( )

''aa

%

mmmaa

%

%m

i

o

s4>s'R77s4>s'R7

77s

V*

++++++

=

( )

( ) ( )''

a

a

a

%

m

mm

a

a

%

a

%m

i

o

s4>R

's/

R

77s4>

R

's/7

R

77

sV

*

+

++

++

+

=

Feoarece aa R'

R

77

447sR

77>>7

R

77

s4>R

77s4>7

R

77

sV

*

+

+

=

++

++

++

++

=

( )

s4R

77

4

>

4R

77

sV

*

e?a

%

m

e?

e?

e?a

%m

i

o

+

+

=

Cstfel, ne%liM=nd inductana armturii o!inem funcia de transfer n circuit nc+is #

++

=

e?a

%

m

e?

e?

e?a

%m

i

0

4R

11

4

>s

4R

11

)s(V

)s(

m

m

i

0

!s

a

)s(V

)s(

+=


5/22

undee?a

%

m

e?

e?

m

e?a

%m

m4R

11

4

>!i

4R

11a

+=

=

Kn%+iul de ieire n domeniul 'aplace este #

)s(s

/00 =

s(s

4R

11

)s(V

)s(

e?a

%

m

e?

e?

e?a

%m

i

0

++

=

sau

)!s(s

a

)s(V

)s(

m

m

i

0

+=

Experimentul !: "lexible #oint ($rticula%ia "lexibil&)

a. Modelul matematic al experimentului Flexible JointDn


6/22

Nai Mos se prezint parametrii folosii n continuare precum i semnificaia lor.Parametrii !raului fle"i!il au urmtoarele semnificaii#

R distana de la articulaia braului la punctul de ancorare de pe bra

L1, L2 Olungimile arcurilor

dO distana de la articulaie la punctul de ancorareF1, F2 Oforele corespunztoare arcurilorrO distana de fixare (r = !"# cm$k constanta elastic a arcurilor

'poziia unghiular la arborele motorului (radiani$

L lungimea arcului netensionat

deflecia braului flexibil (radiani$

M % momentul de revenire

Dn


7/22

& Fr este fora de reacie din fiecare arc! 'rcurile nu se vor alungi nainte de aplicarea forei Fr!

Referindu-ne la


8/22

b. eterminarea Sistemului de Ecua%ii inamice

Feoarece dispunem de un model liniar pentru articulaia fle"i!il, sistemul de ecuaii dinamice sepoate o!ine folosind formulele Euler-'a%ran%e. Se o!ine ener%ia cinetic i potenial a sistemului#Ener*ia Poten%ial&O Sin%ura ener%ie potenial din sistem se re%sete n arc#

Ener*ia +inetic&O Ener%ia cinetic provine din !aza rotaional i din !raul articulaiei#

Se formeaz ,a*ran*ianul#

$ele dou coordonate %eneralizate sunt ' i . !inem astfel dou ecuaii#

Rezolv=nd ecuaiile de mai sus se o!ine#

Se tie de la modelarea sistemului electric (SRV0) formula cuplului de ieire furnizat de motor#

Dn final, prin com!inarea ecuaiilor se o!ine reprezentarea de stare complet a sistemului#

Experimentul 2: all on eam (ila pe bar&)

a. Modelul matematic al experimentuluiBall on Beam

!iectivul acestui e"periment Tuanser este acela de a proiecta un controller pentru controlulmodulului )ila pe barastfel nc=t !ila s fie poziionat pe !ar cu precizie n poziiile dorite iimpuse prin mrimea de referin.Specificaiile constructorului asupra parametrilor e"perimentului sunt#

- $ali!rated >ase Fimensions 80 " .8 cm- >eam 'en%t+ 9.8 cm-

'ever Crm 'en%t+ / cm- Support Crm 'en%t+ / cm


9/22

- >all Fiameter .89 cm- >eam Sensor >ias Poer U/ Volts- >eam Sensor Neasurement Ran%e U8 Volts- SS-0/ Sensor >ias Poer U/ Volts- SS-0/ Neasurement Ran%e U8 Volts-

>all >eam Nodule mass 0.8 1%- >all mass 0.09 1%

E"perimentul Tuanser)all on )eam

Pentru o!inerea modelului matematic vom considera structura fizic prezentat mai Mos.

Nodulul)all on )eam cuplat la SRV0

Dn fi%ura urmtoare sunt puse n eviden mrimile fizice de msur i de comand care se vor lua nconsideraie la descrierea modelului matematic al e"perimentului.

lustrarea matematic a e"perimentului)all on )eam


10/22

Vom ncepe prin a e"amina forele care acioneaz asupra !ilei. Cvem fora de translaie datorat%ravitaiei i mai avem o for rotaional datorat cuplului produs de acceleraia rotaional a !ilei.$ele dou fore sunt#

- sR4 77sV s tmmme?me?ttm%

m

'

++ = ()

Feoarece nu avem dec=t confi%uraia cu raport mare de transmisie (/i*-1ear) pentru SRV0 imodulul >all >eam, putem rescrie funcia de transfer %lo!al a sistemului su! forma#

( )( ) s/.58s

89.-/

sV

s

m

'

+= (L)

Experimentul : "lexible ,in3 (ra% "lexibil)a. Modelul matematic al experimentului Flexible Link


11/22

Modelul neliniar ,i cel liniarizat al braului flexibil

E"perimentul cu !raul fle"i!il este compus dintr-un su!sistem mecanic i unul electric de acionare.Nodelarea su!sistemului mecanic se folosete pentru descrierea matematic a dinamicii defle"iei

captului li!er i a micrii de rotaie a !azei de acionare.Nodelul su!sistemului electric presupune modelarea funcionrii servomotorului de curent continuu ce

lea% dinamic voltaMul de intrare (comand) cu cuplul de ieire, aplicat su!sistemului mecanic.Nodulul !ra fle"i!il (


12/22

unde mlin1este masa total a !raului fle"i!il iar ' este lun%imea total a !raului fle"i!il.

Pentru un sistem cu un sin%ur %rad de li!ertate, frecvena natural de oscilaie este le%at de ri%iditatea latorsiune i de ineria rotaional n felul urmtor.

lin1

stiff

n

4

7= ()

Knde n se afl e"perimental i 7stiffeste constanta de arc torsionat ec+ivalent aa cum se prezint n fi%uraurmtoare

Dn plus, orice efect de atenuare prin frecare ntre !aza rotativ i !raul fle"i!il se presupune ne%liMa!il.

Pasul urmtor const n determinarea ecuaiilor dinamice %eneralizate pentru un%+iul de torsiune i cel al!azei de rotaie folosind ecuaiile de ener%ie 'a%ran%e n termenii unui set de varia!ile %eneralizate i ,unde este un%+iul de defle"ie iar este un%+iul de rotaie al !azei rotative, o!in=nd#

=

+

=

+

TPAA

t

TPAA

t

(5), (9)

unde A este ener%ia cinetic total a sistemului iar P este ener%ia potenial total a sistemului iar T ieste cea de-a Wi-a for %eneralizat a %radului de li!ertate Wi.

Ener%iile cinetice ale !azei rotaionale i a !raului fle"i!il sunt date de#

( )

=

=

lin1lin1

!ase!ase

4

/A

4

/A

(8), ()

Ener%ia cinetic total a mecanismului se calculeaz ca sum ntre (8) i ()

( )lin1!ase 4

/4

/A += (2)

Ener%ia potenial a sistemului dat de arcul torsional este

stiff7

/P = ()

Dnlocuind ecuaiile (2) i () n (5) i (9) rezult urmtoarele ecuaii dinamice#

( )

=++

=+

T744

T444

stifflin1lin1

lin1lin1!ase

(L), (/0)


13/22

Se calculeaz apoi cantitatea virtual de lucru mecanic, X, aplicat sistemului. Cceast cantitate de lucrumecanic este dat de#

+= 0X (//)

unde este cuplul aplicat !azei rotaionale. Rescriind ecuaia (//) n forma %eneral a lucrului mecanic

+= TTX

(/)Se o!serv c forele virtuale aplicate n coordonatele %eneralizate Ti T, vor fi respectiv#

=

=

0T

T (/5), (/9)

Fup decuplarea termenilor de acceleraii din (L) i (/0), ecuaiile dinamice pentru su!sistemul dinamic sunt#

+

+=

+=

!ase!aselin1

stiff

!ase!ase

stiff

4

/

4

/

4

/7

4

/

4

7

(/8), (/)

Rescriind ecuaiile (/8) i (/) ntr-o form $auc+Y n spaiul strilor o!inem#

+

+

=

!ase

!ase

!aselin1

stiff

!ase

stiff

4/

4

/0

0

004/

4/70

004

70

/000

0/00

(/2)

b! Modelarea subsistemului electric

$um intrarea de control a su!sistemului mecanic din ecuaia (/2) este cuplul , vom avea nevoie de un sistemde ecuaii dinamice pentru su!sistemul electric care s fac le%tura ntre voltaMul de intrare i cuplul necesar deieire.

Nai nt=i cuplul aplicat !azei de rotaie, aflat n partea dreapt a ecuaiei (/2) este convertit n cuplulaplicat de servomotorul de curent continuu an%renaMului de roi dinate prin intermediul raportului detransformare 7% dat de#

m%7 = (/)

unde m este cuplul furnizat de servomotor.$ircuitele interne ale servomotorului constau n rezistene, inductane i surse de tensiune e"terne precum

i de o tensiune electromotoare invers (!ac1 emf) plasat ntr-un circuit serie.$ircuitul din fi%ura urmtoare descrie cele spuse anterior#


14/22

Sc+ema de principiu a servomotorului

Cplic=nd le%ea de tensiune a lui 7irc+off pe fi%ura de mai sus, o!inem#

( ) ( ) ( ) ( )tVdt

td.'Rt.tV

!P$ ++= (/L)

unde este curentul din circuitul nfurrii, R este rezistena circuitului, ' este inductana circuitului, V! estetensiunea electromotoare invers iar VP$este voltaMul furnizat de placa de ac+iziii introdus n calculator (de laP$).

Servomotorul de curent continuu este un dispozitiv electromecanic care furnizeaz un cuplu proporionalcu intensitatea curentului. Relaia de proporionalitate este caracterizat de factorul de proporionalitate 7A ieste dat de ecuaia#

( ) ( ) Am

7t.t = (0)Dn plus, tensiunea contraelectomotoare (!ac1 emf) este un voltaM aplicat de flu"ul din motor circuitului electrici este direct proporional cu viteza de rotaie a motorului#

( ) ( )t7tVm!!

= (/)unde 7! este constanta tensiunii contraelectomotoare iar meste viteza un%+iular (de rotaie) a motorului.

$orel=nd viteza de rotaie a motorului cu viteza un%+iular a !azei o!inem#( ) ( ) ( )t77t77tV %!!%!! == ()Su!stituind ecuaiile (0) i (/) n (/L) o!inem#

( ) ( ) ( )

( )t77dt

td

7

'

7

RttV

A!

m

AA

mP$ +

+= (5)

$um efectul inductanei n circuit este relativ mic n comparaie cu efectul celorlalte componente de circuit,termenul derivativ al cuplului poate fi ne%liMat i eliminat pentru a o!ine o ecuaie simplificat care lea%voltaMul de comand de provenit de la P$ cu cuplul furnizat su!sistemului mecanic prin intermediul vitezeiun%+iulare#

( ) ( ) ( )t777

RttV A!

A

mP$ += (9)

Fin ecuaia (9) se o!ine ecuaia diferenial pentru cuplul motor su! forma#

( ) ( ) ( )tR

777tV

R

7t

%A!

P$

A

m = (8)

$a rezultat, modelul su!sistemului mecanic dat de relaia (/2) se poate rescrie pentru a utiliza ca mrime decomand voltaMul furnizat de placa de proces din P$#


15/22

P$

!ase

%A

!ase

%A

!ase

%!A

!aselin1

stiff

!ase

%!A

!ase

stiffV

R4

77

R4

770

0

0R4

777

4

/

4

/70

0R4

777

4

70

/000

0/00

+

+

=

()

Dn final, se va face o transformare care lea% defle"ia un%+iular de cea liniar, sesizat de marca tensiometric.


16/22

E"perimentul Tuanser &Self-erectin% inverted pendulum

Sc+ema pendulului rotativ invers ataat la servomecanismul SRV-0 i modelul simplificat

$onsider=nd modelul simplificat din fi%ura de mai sus, menionm c lpeste Mumtate din 'p, lun%imea actuala pendulului (lp:0.8'p).Ecuaiile difereniale neliniare care descriu dinamica sistemului pendul invers rotativ sunt#

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=+

=++

0sinl%mlmrsinlmrcoslm

Asinlrmcoslrm4rm

pppppppp

p

ppp!

p

undeA # cuplul motor de intrare ( @m )mp# masa pendulului (7%)lp# poziia centrului de %reutate al pendulului (m) (Mumtate din lun%imea total)4!# ineria !raului director i a an%renaMelor cu roi dinate (7%m ) # deflecia !raului de la poziia iniial considerat zero (Rad) # deflecia (a!aterea) pendulului de la poziia vertical n poziia SKS (Rad)Prin liniarizarea ecuaiilor difereniale neliniare de mai sus o!inem urmtorul set de ecuaii difereniale liniarereprezentate n form $auc+Y#


17/22

A

4lr

4

/0

0

004l

rm4%0

004

%rm0

/000

0/00

!p

!

!p

p!

!

p

+

+

=


18/22

Pe de alt parte, atunci c=nd vom simula comportamentul sistemului de re%lare implementat, vom folosimodelul neliniar al pendulului invers pentru ca modelul folosit s fie c=t mai apropiat de cel real.

Experimentul 7: 89o e*ree o5 "reedom Robot (2-" Robot) (Robot cu dou& *rade de

libertare)

a. Modelul matematic al experimentului 2-" Robot

E"perimentul este reprezentat n fi%ura de mai sus i const n din motoare de acionare a 9!rae ri%ide. Crticulaia din miMloc (E) se cere a fi poziionat dup anumite cerine.

Este un sistem multivaria!il, care este compus din 8 articulaii din care numai dou suntcomandate (C i >). Crticulaia din miMloc (E) este sin%ura li!er i poziia sa se poate determina dincomenzile pe care le aplicm celor dou motoare.


19/22

Parametrii modelului sunt reprezentai n ta!elul de mai sus.

a. $alculul poziiei articulaiei (E) folosind cinematica direct

:Z


20/22

:Z

!. $alculul comenzilor folosind cinematica invers.Se pornete de la valorile dorite ale coordonatelor E"respectiv EY, i se calculeaz mrimile decomand ale motorului, adic >C , .

Proiectarea re*ulatoarelor pentru bra%ul 5lexibil ;i pendulul invers.Proiectarea unui controller este un su!iect deose!it de comple". Pentru controlul celor dou

e"perimente ale%em o metod foarte utilizat n practica re%lrii automate# re%larea dup stare. Cceast metod

presupune c reacia dup stare este#9955//

"1"1"1"1u =


21/22

unde 95/ ",""," sunt strile sistemului, n cazul nostru

=

9

5

/

"

"

"

"

Re%larea dup stare presupune accesul (msura) tuturor varia!ilelor de stare, ceea ce nu este cazul nostru, ncare sin%urele msuri sunt#

=

/

"

"

Pentru a o!ine derivatele, vom folosi o metodsoftwarede calcul a acestora, adic vom implementa o

derivare real de forma1s

s1

+

Pentru !raul fle"i!il, o!iectivul controlului const n poziionarea !raului fle"i!il n poziia un%+iulardorit n timp c=t mai scurt, cu precizie c=t mai mare i cu suprimarea vi!raiilor captului li!er al !rauluifle"i!il.

Pentru pendulul invers, o!iectivul controlului const n poziionarea !raului orizontal (suport) npoziia un%+iular dorit n timp c=t mai scurt, cu precizie c=t mai mare i cu meninerea vertical (n ec+ili!ru)a pendulului.

Pentru atin%erea acestui o!iectiv se poate folosi o reacie dup stare n care componentele vectorului dereacie dup stare se pot calcula folosind metoda ,u)t(C")t(" =+=

unde n)t(" vectorul de stare iar m)t(u este vectorul de intrare.

Pro!lema este determinarea unei matrici de reacie dup stare n"m7 astfel nc=t le%ea de reacie dup stare)t(7")t(u =

satisface urmtoarele criterii#


22/22

. Sistemul n !ucl nc+is este asimptotic sta!il. $riteriul de performan

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

=

+=

=

1"71u

1uR1u1"T1"7401

AA

este minimizat. le%e de control implementat cu o reacie dup stare este reprezentat de#

( ) ( )

( ) ( )( )

=98

1",1"

1"71u

Natricile de ponderare T i R penalizeaz evoluia strii i a comenzii astfel nc=t ele devin parametri deproiectare.

Natricea ne-ne%ativ definit 8"8T determin ponderile asupra fiecrei componente de stare.

Natricea ne-ne%ativ definit /R determin ponderile ce penalizeaz intrarea de control.Feoarece metodele de determinare a le%ii de re%lare nu fac o!iectul de studiu, vom preciza numai c=teva

detalii de calcul i implementare.Vectorul de reacie dup stare se calculeaz dup formula#

a

/

a PR7 =

unde Rai Pasunt definite ca#

=

+=

CP>P

>P>RR

A

a

A

a

astfel nc=t matricea ne-ne%ativ definit P satisface urmtoarea ecuaie Ricatti#

a

/

aa

APRPTCPCP +=

Soluia numeric a ecuaiei este furnizat de NCA'C>.Pentru e"perimentul disponi!il n la!orator, un%+iul !raului este furnizat de un traductor poteniometric

iar defle"ia d este furnizat de o marc tensiometric. Vitezele un%+iulare i de deflecie nu sunt msurate de un

traductor real ci sunt calculate numeric folosind un difereniator trece Mos de forma0s

s0

+

, ca parte a sc+emei

de control %enerale. Pentru a putea calcula controllerul 'TR 7 avem nevoie de matricile de stare C i >.Este important de su!liniat c, atunci c=nd dorim s comparm rezultatele unei simulri cu cele ale unui

e"periment de timp real, este necesar s utilizm n modelare un model c=t mai e"act al prii fi"e reale. Ccestlucru se poate face, n cazul nostru, prin folosirea unor ecuaii dinamice ce descriu evoluia e"act a modulelorcomponente i prin cunoaterea cu c=t mai mare e"actitate a parametrilor acestor modele.

Quanser Experiments Models (Curs 4 6)

Documents

Transcript of Quanser Experiments Models (Curs 4 6)