PUTERI

Definiţie

În scriere xn, x este baza şi n este exponentul (sau, într-un limbaj nepretenţios, puterea)

Definim puterile cu exponent pozitiv prin

xn = x x x . . . x (n factori de x)

Proprietăţi

Definiţia de mai sus poate fi extinsă şi la puteri care au exponenţi din alte mulţimi ( de ex., exponenţi întregi). Ştim că

xn xm = xn + m

pentru exponeţi naturali, deoarece putem scrie puterile respective ca produse de termeni egali şi aplicăm asociaativitatea înmulţirii.

Exemplu: 

            x2 x5 = (x x)(x x x x x) = x x x x x x x = x7

Dacă dorim să extindem puterile şi pentru altfel de exponeţi, nu vom mai putea aplica definiţia de mai sus a puterii, deoarece nu putem înţelege cum putem înmulţi un număr cu el însuşi de un număr negativ (sau fracţionar) de ori.

Putem găsi câteva noi proprietăţi ale puterilor aplicând regula de împărţire.

(Vom presupune că   x 0). Acestă regulă este cu adevărat rezonabilă dacă m şi n sunt numere naturale şi m > n. De exemplu:

deoarece 5 – 2 = 3.

Acceptând adevărul descoperit mai sus, să vedem ce se întâmplă dacă o aplicăm formal în cazul în care m < n. Scriem puterile 'desfăşurat' şi simplificăm:

Dar, conform regulii acceptate, avem

Aceasta însemnă că

sau, în general,

        Reţinem că semnul minus de la exponent nu face ca rezultatul să fie negativ, ci el face ca să se obţină inversul puterii pozitive asociate exponentului pozitiv.

Să presupunem că n = m. Fracţia va fi

,

care este 1. Dar regula spune că

Aşadar, pentru consistenţa regulii va trebui să definim

            x0 = 1

pentru orice valoare a lui x (exceptând x = 0, deoarece 00 este nedefinit)

 

Reţineţi

Următoarele reguli sunt adevărate pentru orice numere reale x, y, n, m,cu următoarele excepţii:

1.      00 este nedefinit

2.      Împărţirea la 0 nu este definită

3.      Puterile fracţionare ale numerelor negative nu sunt definite

x1 = x  (xn)m = xnm

x0 = 1

xn xm = xn + m

1. Exerci ț ii cu puter i

1. 63·65= 6?

2. 630:65= 6?

3. (63)5= 6?

4. 36·56= ?6

5. 306:56= ?6

6. (32)3 = ?

7. 323= ?

8. 9432 = ?

9. 741 · 4930 : 34333= ?

10.340+3(1-2713) -30+12=?

11.(314)2 : 279 = ?

Radicalul sau rădăcina pătrată dintr-un număr natural care este pătrat perfect

Fie a un număr natural pătrat perfect. Expresia "radical din a" se notează cu √aRadical din a este acel număr natural b care la pătrat ne dă a, adică √a = b , pentru că a şi b sunt numere naturale şi b2 = a.

Exemple

√25 = 5 pentru ca 5 la pătrat este 25 .    

√81 = 9    

 √36 = 6      

√121 = 11, pentru că 112 = 121.

√ 225 = 15, pentru că 152 = 225      

√ 0 = 0    

 √ 1 = 1 .

Proprietatile radicalului

21.Radicalul produsului

Radicalul produsului este egal cu produsul radicalilor, adică:

1) √ab = √a • √b , dacă a ,b ≥0 (atenție la condiții)Exemplu

√484 = √4• 121= √4• √121 = 2 • 11 = 22 .

2) Caz general : √ab = √|a| • √|b| , dacă a ,b ≥0 sau a ,b ≤0 (atenție la condiții) Exemplu

√484 = √-4• (-121)= √|-4|• √|-121| = √4• √121 = 2 • 11 = 22 .

22.Radicalul câtului

1) Exemplu

Exemplu

23.Aten ț ie

Radicalul sumei nu este egal cu suma radicalilor

De exemplu :      √a+b ≠√a + √b

Exemplu

√a2+b2 ≠√a2+√b2

√16+9 ≠√16+√9

Observați că: √16+9 = √25 =5 pe când √16+√9 = 4+3 = 7.

Aten ț ie

Radicalul diferenței nu este egal cu diferența radicalilor

De exemplu :       √a-b ≠√a-√b

Exemplu

√a2-b2 ≠√a2-√b2

√25-9 ≠√25-√9

Observați că: √25-9 = √16 =4 pe când √25-√9 = 5+3 =2.

24.Scoaterea factorului de sub radical dintr-o putere I. Scoaterea factorului de sub radical dintr-o putere cu exponentul n par

n se împarte exact la 2 rezultă că n : 2 = c , deci √an = ac,

Exemple :

a) √5 6 = ?

6:2=3 , deci √5 6 = 53= 125.

b) √ 7116 = ? Din 16: 2 = 8 rezultă că √ 7116 = 718 .

c) √256 = √28= 24 = 16.

II. Scoaterea factorului de sub radical dintr-o putere cu exponentul n impar

n impar rezultă că n împărţit la 2 ne dă câtul natural c şi restul 1,deci

√an = ac √a, adică n:2=c rest 1.

sau

Exemple :

√57 = 53√5= 125√5 , unde 7 : 2 = 3 rest 1.

b) √7123 = 7111√71, unde 23 : 2 = 11 rest 1

c) √27 = √33= 3 1 √3= 3 √3.

25.Extragerea radicalului din numere naturale care nu sunt pătrate perfecte

Operaţii cu radicali

Operaţiile cu radicali sunt necesare în geometria clasei a VII-a

31.Produsul radicalilor

Radicalul produsului este egal cu produsul radicalilor (atenție la condiții), adică:√a • √b = √ab, dacă a ,b ≥0

Exemplu

√15•√55=√15•55=√3•5•5•11 = 5√33

32.Câtul radicalilor

Radicalul câtului este egal cu câtul radicalilor (atenție la condiții), adică:

Exemplu

Media geometrică

Media geometrică a numerelor nenegative a şi b este √ab şi se notează cu mg(a,b).

Formula mediei geometrice este : mg(a,b) = √ ab .

Exemplu

mg(3,27) = √3•27 = √34=32 =9 sau mg(3,27) = √3•27 = √81 = 9.