proiect_stabilitate DIACRITICE.doc

8/19/2019 proiect_stabilitate DIACRITICE.doc

1/97

UNIVERSITATEA VALAHIA DIN TÂRGOVIŞTE

FACULTATEA DE INGINERIE ELECTRICǍ

SPECIALIZAREA: AUTOMATICǍ ŞI INFORMATICǍ APLICATǍ

LUCRARE DE LICENŢǍ

Coordonator: Absolventǎ:

Ș.l. Dr. Ing. Otilia DRAGOMIR Ștefania

ALEXEANU (ENACHE)

TÂRGOVIŞTEIULIE 2013

1


2/97

Studiul st!ilit"#ii sist$%$l&' li(i'$

)&(ti(u$ )u *ut&'ul )'it$'iil&'

l+$!'i)$ ,i -'$).$(#il$

2


3/97

CUPRINS

INTRODUCERE........................................................................................................

!i"te#e liniare........................................................................................................$

1.1 Problematica [2].................................................................................................. $

1.2 isteme liniare c! tim" contin!! [2].........................................................................%

1.3 isteme liniare c! tim" discret [2]..........................................................................1&

1.# $e"re%entarea sistemelor "rin ec!a&ii de stare [2]'[(]...................................................1$

1.) *eterminarea model!l!i sistemic din sistem!l al+ebric de ec!a&ii La"lace [1]....................1'

1.( ,!nc&ia de trans-er [1]'[].....................................................................................2

1. Polinom!l caracteristic [2]'[(]............................................................................... 21

CAPI/LUL II.........................................................................................................2&

o&i!ni teoretice re-eritoare la stabilitatea sistemelor liniare contin!e......................................2&

2.1 Conce"t!l de stabilitate [1]' [)]' []........................................................................2&

2.1.1. !tailitatea intern* [1], [5]...................................................................2&

2.1.2. !tailitatea e+tern* [1], [5].................................................................2

2.2. Criterii algeri,e -1/ -/ -$......................................................................2%

2.2.1. Criteri0l H0rit3 [5], [6]......................................................................2%

2.2.2. Criteri0l R40t56H0rit [1], [5], [6]....................................................2'

2.&. Criterii fre,7en8iale -9...............................................................................&&

2.&.1. Criteri0l l0i N:;0i"t [2],[4]...................................................................&9

2.&.2. Criteri0l l0i


4/97

3.# Alte -!nc&ii !tile 7n conce"&ia !nei inter-e&e +ra-ice UI [8]...........................................%

3.) Crearea meni!rilor "entr! inter-e&ele +ra-ice [8].........................................................>

CAPI/LUL I9........................................................................................................$

t!dierea stabilit6&ii sistemelor liniare contin!e c! a!tor!l criteriilor al+ebrice i -recven&iale........$

3.1 *escrierea a"lica&iei [3]'[8]..................................................................................$

3.2 ,!nc&ia ;Callbac


5/97

INTRODUCERE

L!crarea de -a&6 "ro"!ne !n instr!ment so-tare reali%at c! a!tor!l UIB 5atlab

destinat st!di!l!i stabilit6&ii sistemelor liniare contin!e c! a!tor!l criteriilor al+ebrice iș

-recven&iale de-ini ia stabilit6 ii interne i eDterne' criteriile al+ebrice: !rit%' $o!t> 4 ț ț ș

!rit% i criteriile -recven iale: FG!ist' Hode i Loc!l +eometric al r6d6cinilor. A"lica&iaș ț ș

vine 7n s"riin!l st!den&ilor de la s"eciali%6rile c! "ro-il te>nic i o-er6 "osibilitatea

-!ndament6rii no&i!nilor de teoria sistemelor re-eritoare la conce"t!l de stabilitate al

sistemelor a!tomate.

tabilitatea este cea mai im"ortant6 "ro"rietate a sistemelor dinamice -iind esen&ial6

"entr! reali%area sco"!l!i "entr! care a -ost conce"!t sistem!lJ 7n sit!a&ia 7n care sistem!l n!

7nde"linete aceast6 "ro"rietate se vor "rod!ce "ractic evol!&ii necontrolate ale acest!ia' ce

vor a-ecta ne+ativ calitatea "rod!s!l!i te>nolo+ic iKsa! si+!ran&a eD"loat6rii "roces!l!i

te>nic.

L!crarea este str!ct!rat6 "e "atr! ca"itole' i an!me :

Ca"itol!l I : *escrierea sistemelor liniare contin!e i discrete. *eterminarea model!l!i

sistemic din sistem!l al+ebric de ec!a&ii La"lace. *escrierea -!nc&iei de trans-er.

Ca"itol!l II : o&i!ni teoretice re-eritoare la stabilitatea sistemelor liniare contin!e.

Pre%entarea criteriilor al+ebrice i -recven&iale de stabilitate.

Ca"itol!l III : Crearea inter-e&elor +ra-ice c! a!tor!l UI ra">ical User Inter-ace 5atlab.

Ca"itol!l I9 : Pre%entarea a"lica&iei 5atlab "entr! st!di!l stabilit6&ii sistemelor liniare

contin!e c! a!tor!l criteriilor al+ebrice i -recven&iale.


6/97


7/97

/01 Sist$%$ li(i'$ )u ti%2 )&(ti(uu [2]

Elementele de-initorii ale no&i!nii de sistem liniar c! tim" contin!! "ot -i sinteti%ate

ast-el:

a 5!l&imea / a momentelor de tim" "e care este de-init6 evol!&ia sistem!l!i considerat

coincide c! m!l&imea ℜ a n!merelor reale' /Mℜ .b "a&i!l st6rilor N este s"a&i!l e!clidian nBdimensional ℜ .

Un element D O N se n!mete stare i se re"re%int6 "rintrB!n vector coloana nB

dimensional DM[D1 'D '2 D n ] T ale c6r!i com"onente constit!ie "rin de-ini&ie variabilele de

stare ale sistem!l!i considerat. ota&ia DtMD oarec!m ab!%iv6 dar comod6 s"!ne "e sc!rtc6 vector!l D ∈ N este starea sistem!l!i la moment!l t' t ∈ ℜ .

c "a&i!l intr6rilor este s"a&i!l e!clidian mBdimensional ℜ m . "a&i!l U al -!nc&iilor

de intrare este m!l&imea -!nc&iilor contin!e "e "or&i!ni !. : ℜQ ℜ m . 9aloarea !t∈

ℜ m la !n moment dat t∈ℜ a -!nc&iei de intrare !.∈ U se n!mete intrare a sistem!l!i

la moment!l t i este !n vector mBdimensional ale c6r!i com"onente !ș 1 t' ! 2 t'! m t

re"re%int6 cele m intr6ri -i%ic distincte ale sistem!l!i considerat' m≥ 1.

d "a&i!l ieirilor este s"a&i!l e!clidian "Bdimensional ℜ p . "a&i!l R al -!nc&iilor de ieire

este m!l&imea -!nc&iilor contin!e F. : ℜQℜ p . 9aloarea Ft ∈ ℜ p la !n moment dat t ∈ℜ a -!nc&iei de ieire F.∈ R se n!mete ieire a sistem!l!i la moment!l t i este !n vector ș

"Bdimensional ale c6r!i com"onente F 1 t' F 2 t'F p t re"re%int6 cele " ieiri ale

sistem!l!i considerat' "≥ 1.

Utili%?nd elementele aBd introd!se mai s!s' "!tem -orm!la 7n mod "recis "rinci"al!l

con&in!t al no&i!nii de sistem liniar c! tim" contin!!.

Definiţia 1. Un sistem c! tim" contin!!' -init dimensional' m!ltivariabil c! m intr6ri i "

ieiri' liniar i constant este de-init "rin ec!a&iile de stare :ș

.

x t M A x t S H!t 1

Ft M C x t 2

%


8/97

7n care vectorii x t ∈ N' !t ∈ ℜ m si Ft ∈ ℜ p s!nt res"ectiv starea' intrarea

i ieirea la moment!l c!rent t ∈ ℜ ' iar A ∈ ℜ nxn ' H ∈ ℜ nxm i Cș ∈ℜ nxp s!ntmatrici constante.

n cele ce !rmea%6 voi "res!"!ne c6 elementele de-initorii aBd s!nt -iDate i 7n +eneral

voi emite cali-icativeleT c! tim" contin!!' -initBdimensional' m!ltivariabil i constant. 9oi

s"!ne' "e sc!rt' c6 tri"let!l de matrici A'H'C de-inete !n sistem liniar V "rin ec!a&iile de

stare 1' 2 i voi nota V M A'H'C n . *imensi!nea n∆

= dim N a s"a&i!l st6rilor NM ℜ n

se n!mete ordin!l sa! dimensi!nea l!i V.

/raiectoria de stare Dt' t≥ 0 a sistem!l!i liniar V cores"!n%6toare st6rii ini&iale

D0MD 0 ∈ N i -!nc&iei de intrare !.∈ U este sol!&ia !nic6 a ec!a&iei di-eren&iale 1 c!sol!&ia ini&ial6 D0MD 0 . Un calc!l sim"l! arat6 ca avem :

Dt M Wt' D 0 ' !. ∆

=e tA D 0 S ∫

−t

At d Bue0

C C τ τ τ 3

A"lica&ia liniar6 7n ra"ort c! !ltimele do!6 ar+!mente W : ℜ D N D UQN de-init6

"rin rela&ia 3' se n!mete -!nc&ie de tran%i&ie a st6rilor l!i V i caracteri%ea%6 com"let

evol!&ia intern6 la nivel!l s"a&i!l st6rilor a sistem!l!i liniar V. *in acest "!nct de vedere'

scrierea 3 a-irm6 "!r i sim"l! c6 sistem!l V M A'H'C a-lat 7n starea ini&ial6 D0M D 0

Ttrece s!b ac&i!nea -!nc&iei de intrare !. 7n starea Dt M Wt' D 0 ' !.' t ≥ 0.

n "artic!lar' tran%i&iile de stare ale sistem!l!i V liber c! intrare n!l6' !. M 0 s!nt

de-inite "rin :

Dt M Wt' D 0 ' 0 M X tD 0 ' 3 a

7n care :

Xt ∆=

e tA M k k

k

Ak

t ∑≥0 Y

#

$e"re%int6 matricea de tran%i&ie de -orma n D n a l!i V.

'


9/97

Observaţia 1. Zin?nd seama de -a"t!l c6 seria matricial6 # conver+e absol!t i !ni-orm

"e orice s!binterval -init al aDei reale' se "oate ar6ta !or c6 -amilia X t' t∈ ℜ are "ro"rietatea de +r!" com!tativ.

X t X t [ M X t [ X t M X tSt [ ' t' t [ ∈ ℜ

*e asemenea este clar c6 X 0 M I n . *e aici re%!lt6 7ntre altele c6 X t este

inversabil6 i X 1− t M X Bt' ∀ t ∈ ℜ . Aceasta 7nseamn6 c6 sistem!l liniar c! tim"contin!! este reversibil' adic6 evol!&ia sa intern6 este de-init6 "rin rela&ia 3 n! n!mai "e

interval!l de tim" viitor t≥ 0' ci i "entr! t \ 0' adic6 7n !ltim6 instan&6 "entr! orice t ∈ ℜ .

,!nc&ia de ieire F.∈ R a sistem!l!i liniar V cores"!n%6toare st6rii ini&iale D0 M D0 i -!nc&iei de intrare !. re%!lt6 din 2 i 3 s!b -orma :

Ft M -t' D 0 ' !. ∆

= C e tA D 0 S ∫

−t

At d BuCe

0

C C τ τ τ )

A"lica&ia liniar6 -: N × U Q R' de-init6 "rin rela&ia )' se n!mete -!nc&ie de intrareBieire a l!i V i caracteri%ea%6 com"ortarea intrareBieire a sistem!l!i liniar V. Alt-el s"!s'

sistem!l V a-lat 7n starea ini&ial6 D0 M D 0 s!b ac&i!nea -!nc&iei de intrare !. "rod!ce sa!

+enerea%6 -!nc&ia de ieire F. M -'D 0 '!. av?nd eD"resia ).

n "artic!lar' "ro"riet6&ile de trans-er ale sistem!l!i a-lat 7n starea ini&ial6 n!la' D 0 M0

s!nt de-inite "rin:

Ft M -t' 0' !. M ∫ −t

d ut T 0

CC τ τ τ ) a

7n care :

/t∆

= C e tA H (

re"re%int6 matricea "ondere de -orma " × n a l!i V. *in # i ( re%!lt6 imediat:

/t M k k

k

Ak

t ∑≥0 Y

H' ( a

!nde matricele :

>


10/97

k

k

dt

t T d C 0=t MCA k H' < 0 ( b

Constit!ie "rin de-ini&ie "arametrii 5ar


11/97

Xs M sI n B A 1− M ∑≥ +0 1k

k

k

s

A # [

re"re%int6 matricea re%olvent6 de -orma n × n a l!i A. Con-orm celor s"!se mai s!s'

Xs este trans-ormata La"lace a matricei de tran%i&ie ca!%ale X + t' "rin de-ini&ie e+al6 c!

Xt M e tA "entr! t 0 i n!l6 "entr! t ̂ 0.ș

e constat6 c6 Xs este o matrice ra&ional6 strict "ro"rie de -orma :

Xs M sI n B A 1− MIC

IC

s

s

χ ' `

!nde χ M det sI n B A este "olinom!l caracteristic a l!i A' iar s re"re%int6 matricea

asociat6 a l!i sI n B A. Amintim c6 "rin de-ini&ie elementele + i! ale l!i s s!nt

com"lemen&ii al+ebrici ai elementelor ' i din matricea sI n B A . Pe de alt6 "arte' este !til

s6 observ6m c6 7n +eneral eD"resia ra&ional6 ` a l!i Xs este red!ctibil6' adic6 "olinoamele

χ s i + i! s' i' M1' 2 '' n a! !n c.m.5.d.c monic cs 1. Un ra&ionament sim"l! arat6

c6 de -a"t cs coincide c! c.m.5.d.c al "olinoamelor + i! s' adic6 al minorilor de ordin n 4 1

ai matricei sI n B A' iar χ s M cs µ s' !nde µ s este "olinom!l minimal al l!i A . Prin

!rmare eD"resia ra&ional6 ired!ctibil6 a matricei Xs este :

Xs M sI n B A 1− MIC

IC

s

s "

µ ' 10

!nde Ls re"re%int6 matricea asociat6 red!s6 a l!i sI n B A. n "artic!lar' eD"resia

ra&ional6 ` este ired!ctibil6' deci χ s M µ s' dac6 i n!mai dac6 matricea A este ciclic6.

Amintim c6 "olinom!l minimal µ s al l!i A este "olinom!l monic de +rad minim c!

"ro"rietatea c6 µ A M 0 sa!' ec>ivalent' µ AD M 0'∀ D ∈ N. *e aceea µ s se main!mete i "olinom!l minimal al s"a&i!l!i N Mℜ n ' 7n ra"ort c! A. /eorema CaFleF 4

amilton a-irm6 c6 χ A M 0' deci 7n orice ca% avem +rad µ s \ n M +rad χ s.

5atricea A se %ice ciclic6 dac6 eDist6 !n vector b∈ N ast-el 7nc?t vectorii b' Ab'...' A1−n b s!nt inde"enden&i. n acest ca% o e+alitate de -orma µ Ab M 0 c! +rad µ s M


12/97

n s-?rit' din 2 [ i 3 [ re%!lt6 :

Fs M CsI n B A 1− D 0 S CsI n B A 1− H!s

7n care :

/s M CsI n B A 1− H ( [

re"re%int6 matricea de trans-er de -orma " × m a sistem!l!i liniar V M A'H'C n .Evident ' /s este trans-ormata La"lace a matricei "ondere ca!%ale / + t' "rin de-ini&ie

e+al6 c! /t M C e tA H "entr! t 0 i n!l6 "entr! t^0.ș

emni-ica&ia 7n acest conteDt al "arametrilor 5ar


13/97

/03 Sist$%$ li(i'$ )u ti%2 dis)'$t [2]

Elementele de-initorii ale no&i!nii de sistem liniar c! tim" discret "ot -i sinteti%ate

ast-el:

a 5!l&imea / a momentelor de tim" "e care este de-init6 evol!&ia sistem!l!i

considerat coincide c! m!l&imea a n!merelor 7ntre+i' / M . n contin!are vom nota c! ℜ

M 0' 1'.

b "a&i!l st6rilor N este s"a&i!l e!clidian nBdimensional ℜ n ' N M ℜ n .

c "a&i!l intr6rilor este s"a&i!l e!clidian ℜ m . "a&i!l U al -!nc&iilor de intrare este

m!l&imea t!t!ror ir!rilor !. : Qℜ m .

d "a&i!l ieirilor este s"a&i!l e!clidian ℜ p . "a&i!l R al -!nc&iilor de ieire este

m!l&imea t!t!ror ir!rilor F. : Q ℜ p .

*e-ini&ia no&i!nii de sistem liniar c! tim" discret "rec!m i inter"retarea sa dinamic6

"re%int6 analo+ii evidente c! de-ini&ia i inter"retarea dinamic6 a no&i!nii de sistem liniar c!ș

tim" contin!! "re%entate 7n "ara+ra-!l anterior.

Definiţia 1. Un sistem c! tim" discret -init dimensional' m!ltivariabil c! m intr6ri i "

ieiri liniar i constant este de-init de ec!a&iile de stare :ș

Dt S 1 M ADt S H!t' 11

Ft M CDt' 12

7n care vectorii Dt∈ N' !t∈ ℜ m i Ft∈ ℜ

p s!nt res"ectiv starea' intrarea i

ieirea la moment!l c!rent t ∈ ' iar A∈ ℜ mn× i C ∈ ℜ n p× s!nt matrici constante.

n cele ce !rmea%6 voi omite ca de obicei cali-icativele -initBdimensional' m!ltivariabil

i constant' iar 7n loc de sistem liniar discret i voi nota V M A'H'C sa! V M A'H'Cș n '

!nde n M dim N este ordin!l sa! dimensi!nea l!i V.

/raiectoria de stare Dt' t ∈ ℜ a sistem!l!i liniar discret V cores"!n%6toare st6riiini&iale D0 M D 0 ∈ N i ir!l!i de intrare !.∈ U este sol!&ia !nic6 a ec!a&iei rec!rente1 c! condi&ia ini&ial6 D0 M D 0 . Prin ind!c&ie re%!lt6 imediat:

1&


14/97

Dt M Wt' D 0 ' !. ∆

= A t D 0 S ∑

−

=

−−1

0

1C

t

k

k t k Bu A 13

7n care :

Xt M A t ' t ∈ ℜ 1#

este matricea de tran%i&ie de -orma n × n a l!i V.

Observaţia 1. *irect din 1# re%!lt6 imediat c6 -amilia Xt' t ∈ ℜ are "ro"rietateade semi+r!" com!tativ:

Xt Xt [ M Xt [ Xt M Xt S t [ ' t' t [ ∈ ℜ

Alt-el s"!s' sistem!l liniar discret V este' 7n +eneral' nereversibil' adic6 evol!&ia sa

intern6 este de-init6 "rin rela&ia 13 n!mai "e interval!l de tim" viitor t 0' dar n! i "entr! t

^ 0. Consecin&ele acest!i -a"t' "rin care sistemele c! tim" discret se deosebesc de cele c!

tim" contin!!' vor -i eviden&iate mai de"arte. *in 1# re%!lt6 imediat c6 V este reversibil'

adic6 X 1− t M X B t eDist6 "entr! orice t ∈ ℜ ' dac6 i n!mai dac6 matricea A estenesin+!lar6.

ir!l de ieire F.∈ R cores"!n%6tor st6rii ini&iale D0 M D 0 i ir!l!i de intrare !.

re%!lt6 din 12 i 13 s!b -orma :

Ft M -t' D 0

' !. ∆=

CA t D 0

S ∑−

=

−−1

0

1C

t

k

k t k BuCA 1)

7n care :

/t M

−

BCAt 1

0

==

'...2'1

0

t

t 1(

este matricea "ondere de -orma " × m a l!i V. bserv6m c6 7n ca%!l discret matricea "ondere /t este de-init6 direct 7n -!nc&ie de "arametrii 5ar


15/97

n "artic!lar' matricea de trans-er /% a sistem!l!i liniar discret V de-init "rin ec!a&iile

de stare 11' 12 este eDact de -orma :

/% M CFI n B A 1− H 1( [

Pe de alt6 "arte' semni-ica&ia 7n acest conteDt al "arametrilor 5ar


16/97

/04 R$2'$5$(t'$ sist$%$l&' 2'i( $)u#ii d$ st'$ [2]$[%]

Un sistem liniar' invariant 7n tim"' "oate -i re"re%entat c! a!tor!l !n!i set de ec!a&iidi-eren&iale de ordin!l I. n s"a&i!l st6rilor' aceste ec!a&ii "ot -i scrise d!"6 c!m !rmea%6:

1

!nde u este vector!l m6rimilor de intrare' x este vector!l variabilelor de stare i y este

vector!l variabilelor de ieire.

Un avanta al metodei re"re%ent6rii 7n s"a&i!l st6rilor este c6 aceast6 -orm6 d!ce !or la

determinarea sol!&iei ec!a&iei "rin metode de calc!l discrete i K sa! analo+ice. n "l!s'

metoda re"re%ent6rii 7n s"a&i!l st6rilor "oate -i !or eDtins6 la anali%a sistemelor neliniare.

Ec!a&ia de stare "oate -i ob&in!t6 dintrBo ec!a&ie di-eren&ial6 de ordin n sa! direct din model!l

sistem!l!i' "rin identi-icarea variabilelor de stare "ro"rii.

V'i!il$ d$ st'$

Pentr! a il!stra mod!l de selec&ie a !n!i set de variabile de stare' voi considera !n

model al !n!i sistem liniar de ordin n descris de !rm6toarea ec!a&ie di-eren&ial6:

18

!nde y&t' este ieirea sistem!l!i i u&t' este intrarea sa. Un model de stare "entr! acest

sistem n! este !nic' -iind de"endent de ale+erea !n!i set de variabile de stare. modalitate de

ale+ere a !n!i set de variabile de stare' este !rm6toarea:

1$


17/97

9oi eD"rima: a"oi vom re%olva "entr! i voi

7nloc!i y i derivatele sale "rin variabilele de stare cores"!n%6toare' re%!lt?nd:

sa! 7n -orm6 matricial6:

1`

ec!a&ia ieirii -iind:

y M [1 0 0 . . . 0] x 20

1%


18/97

/06 D$t$'%i('$ %&d$lului sist$%i) di( sist$%ul l+$!'i) d$ $)u#iiL2l)$ [1]

Pentr! orice sistem descris de o ec!a&ie di-eren&ial6 de -orma :

∑ ∑= =

=n

i

m

! !

!

!i

i

idt

ud b

dt

yd a

0 0

.. 21a

7n care Ft este ieirea iar !t este intrarea sistem!l!i' "rin a"licarea trans-ormatei

La"lace ambilor membri i consider?nd toate condi&iile ini&iale ale -!nc&iilor Ft i !t i ale

derivatelor lor n!le' se ob&ine:

Rs∑ ∑= =

=n

i

m

!

!

!

i

i sb s( sa0 0

C 21b

de !nde i -!nc&ia de trans-er :

s∆

=

IC

IC

s(

s) 21c

La o ec!a&ie de ti"!l 21a se a!n+e: -ie direct' ca !rmare a !nei condi&ii +enerale de

ec>ilibr! ec!a&ii dAlembert "entr! sisteme mecanice' ec!a&ii firc>>o-- 7n instantane! "entr!

circ!ite electrice' etc.' -ie indirect dac6 sistem!l are o str!ct!r6 mai com"licat6' scriind

"entr! cele m6rimi semni-icative marcate 7n sistem incl!siv Ft i !t !n n!m6r de B1

ec!a&ii inte+roBdi-eren&iale inde"endente i "roced?nd a"oi la eliminarea m6rimilor

intermediare' "entr! a a!n+e la o le+6t!r6 de -orma 21c 7ntre !t i Ft.

istem!l de ec!a&ii inte+roBdi-eren&iale' care descri! com"let -!nc&ionarea !n!i

s!bsistem -i%ic' -ormea%6 model!l matematic al acest!iaJ "rin a"licarea trans-ormatei La"lace

ec!a&iilor inte+roBdi-eren&iale' se ob&ine !n sistem de ec!a&ii al+ebrice' care c!"rinde ca

variabile at?t ima+inile La"lace ale intr6rii i ieirii c?t i ima+inile La"lace ale !nor m6rimi

interne' intermediare' necesare descrierii s!bsistem!l!i -i%ic.

*ac6 se "6strea%6 lan&!l ca!%al de la m6rimea de intrare la m6rimea de ieire'

incl!%?nd toate m6rimile intermediare con-orm sistem!l!i de ec!a&ii La"lace' se "oate ob&ine

o str!ct!r6 de sistem c! bloc!ri intrareBieire' care re"re%int6 ;model!l sistemic= al

s!bsistem!l!i -i%ic. 5odel!l sistemic n! re-lect6 str!ct!ra constr!ctiv6 a s!bsistem!l!i -i%ic'

1'


19/97

ci str!ct!ra sa -!nc&ional6' -iind 7n le+6t!r6 direct6 c! model!l matematic scris 7n ima+ini

La"lace.

n determinarea model!l!i sistemic al !n!i s!bsistem -i%ic se "arc!r+ !rm6toarele

eta"e:

B se determin6 sistem!l de ec!a&ii La"lace din ec!a&iile inte+roBdi-eren&iale care

descri! s!bsistem!l -i%ic variabile' B1 ec!a&ii

B 7n -iecare ec!a&ie se se"ar6 dac6 este "osibil' 7n membr!l st?n+' ima+inea

La"lace a derivatei de ordin maDim a !nei variabile' adic6 "rod!s!l in x s s' !nde n este

+rad!l maDim al "olinoamelor din ec!a&ie iM1' B1 n!m6r6 variabilele intermediare

B se 7m"art ambii membri ai noii ec!a&ii c! n s ' ordon?nd membr!l dre"t d!"6

"!terile descresc6toare ale l!i 1K k s


20/97

/07 Fu()#i d$ t'(s-$' [1]$[+]

/ermen!l de -!nc&ie de trans-er se re-er6 la !n sistem liniar invariant 7n tim" dar'

maoritatea sistemelor reale a! "ro"riet6&i neliniare' tot!i asemenea sisteme se "ot liniari%a.

Pentr! cea mai sim"l6 -orm6 tim" contin!al al !n!i semnal de intrare xt i al !n!ia de

ieire yt ' -!nc&ia de trans-er este o a"lica&ie liniar6 "rin trans-ormata La"lace a intr6rii notat6

Ns M LDt' la ieirea notat6 Rs M LFt

avem :

s MLDCtd

LFCtd

C

C=

s *

s) 23a

!nde , s este -u()#i d$ t'(s-$' a sistem!l!i liniar invariant 7n tim".

P!tem scrie aadar :

Rs M s Ns

Pentr! sistemele 7n tim" discret' -!nc&ia de trans-er se scrie :

% MC

C

# *

# ) 23b

2

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_liniar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariant_%C3%AEn_timp&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Neliniare&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Liniariza&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Liniariza&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Timp_continual&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Aplica%C5%A3ie_liniar%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Aplica%C5%A3ie_liniar%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Transformata_Laplacehttp://ro.wikipedia.org/wiki/Transformata_Laplacehttp://ro.wikipedia.org/wiki/Transformata_Laplacehttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Timp_discret&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_liniar&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Invariant_%C3%AEn_timp&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Neliniare&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Liniariza&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Timp_continual&action=edit&redlink=1http://ro.wikipedia.org/wiki/Aplica%C5%A3ie_liniar%C4%83http://ro.wikipedia.org/wiki/Transformata_Laplacehttp://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Timp_discret&action=edit&redlink=1


21/97

/08 P&li(&%ul )')t$'isti) [2]$[%]

,ie A M ia o matrice "6tratic6 de ordin!l n c! coe-icien&i com"leci. At!nci matricea

( )nDIA − se n!mete matricea caracteristic6 a matricii A.

−

−−

=−

Da...aaa

...............

a...aDaa

a...aaDa

DIA

nn3n2n1n

n2232221

n1131211

n

20

Polinom!l ( )nDIAdet − este de +rad!l n.

Prod!s!l elementelor de "e dia+onala "rinci"al6 con&ine termen!l ( ) nn D1− ' oricare alt

"rod!s va con&ine cel m!lt nB2 elemente de "e dia+onala "rinci"al6' deci va con&ine "!terea

2nD − . Coe-icient!l l!i 1nD − este ( ) ( )nn3322111n

a...aaa1 ++++− − ' iar termen!l liber al

"olinom!l!i coincide c! detA.

Definiţie: Polinom!l ( ) ( ) ( )nn

A DIAdet1D " −−= se n!mete "olinom!l caracteristic al

matricii A' iar r6d6cinile sale se n!mesc valori "ro"rii ale acestei matrici.

5atricile A i H se n!mesc matrici asemenea dac6 eDist6 matricea inversabil6 g' ast-el

7nc?t AggH 1−= .

Teoremă: *o!6 matrici asemenea a! acelai "olinom caracteristic i aceleai valori

"ro"rii.

Teoremă: 5atricile AH i HA a! acelai "olinom caracteristic.

Teorema lui Hamilton-Cayley: rice matrice "6tratic6 7i satis-ace "ro"ria ec!a&ie

caracteristic6.

( ) ( )RMn' ∈∀= AO A p n A 2#

Pentr! o matrice "6tratic6 de ordin!l doi avem:

21


22/97

( ) ( ) ( )AdetDAtr DD "aa

aaA

2

A

2221

1211 +⋅−=⇒

= ' !nde ( ) 2211 aaAtr += 2)

Metoda Fadeev de determinare a coe-icien&ilor "olinom!l!i caracteristic:

( ) n1n2n21n1nA cDc...DcDcDD " +++++= −−− 2(

!nde co-icien&ii ci se determin6 c! a!tor!l tabel!l!i 1:

( )

( )

( )

( )

( ) nnnnnnn1nn

n


23/97

CAPITOLUL II

Niu(i t$&'$ti)$ '$-$'it&'$ l st!ilitt$ sist$%$l&' li(i'$

)&(ti(u$

10/ C&()$2tul d$ st!ilitt$ [1]$ []$ [+]

tabilitatea !n!i sistem este "ro"rietatea acest!ia de a r6m?ne 7ntrB!n re+im sta&ionar

at?t tim" c?t as!"ra l!i n! ac&ionea%6 nici o m6rime eDterioar6 sa! de a restabili !n no! re+im

sta&ionar d!"6 7ncetarea ac&i!nii !nei "ert!rba&ii care lBa scos din vec>i!l re+im sta&ionar.

EDist6 do!6 ti"!ri de stabilitate : i(t$'(" n!mit6 i 7n sens Lia"!nov i $9t$'("

n!mit6 i 7n sens intrare m6r+init6' ieire m6r+init6 sa! HIH Ho!nded In"!t'Ho!nded

!t"!t.

2.1.1. Stabilitatea internă [1], [5]

Un sistem liniar este intern asim"totic stabil daca :

∈

∈==

∞→ / t A

0t et undet

t

At

t '

'IC:'0IClim φ φ 2`

t ∈ $ se re-er6 la sisteme c! tim" contin!!

t ∈ @ se re-er6 la sisteme c! tim" discret

Zin?nd cont c6 0IC xt φ re"re%int6 com"onenta de re+im liber din evol!&ia st6rilor !n!i

sistem' rela&ia 0Clim =∞→

t t

φ ' s"!ne c6 !n sistem liniar este intern asim"totic stabil dac6

evol!&ia st6rilor sale tinde c6tre %ero c?nd tQh' 7n absen&a intr6rilor comen%i i "ert!rba&ii:

2&


24/97

0ClimClim 01 =⋅= ∞→∞→ xt t x t t φ 30

*in "!nct de vedere "ractic' veri-icarea stabilit6&ii interne asim"totice se -ace !tili%?nd

!rm6toarea teorem6:

Un sistem este intern asim"totic stabil dac6:

$e iλ ^ 0' t ∈ $ 7n ca%!l sistemelor c! tim" contin!!

iλ ^ 1' t ∈ @ 7n ca%!l sistemelor c! tim" discret' !nde iλ s!nt valori "ro"rii alematricii A din re"re%entarea 7n s"a&i!l st6rilor' adic6 sol!&ia ec!a&iei : det λ I B A M 0.

$ela&iile 2` de-inesc domeniile de stabilitate "entr! sistemele liniare:

bserva&ie: tabilitatea intern6 este determinat6 doar de valorile matricei A' celelalte

matrice neav?nd nici o in-l!en&6.

29


25/97

*ac6 !n sistem contin!! este intern asim"totic stabil' adic6 $e iλ ^ 0' "rin

discreti%area l!i stabilitatea intern6 se "6strea%6 deoarece AT d e A = va avea valorile "ro"rii

0C1( et

d i ∈= λ λ .

2.1.2. Stabilitatea externă [1], [5]

Un sistem este eDtern strict stabil dac6:

∫

∞

〈∞0

ICt 12 ' t ∈ $ 7n ca%!l sistemelor c! tim" contin!! 31

∑∞

=

〈∞0

ICt

d t 1 ' t ∈ @ 7n ca%!l sistemelor c! tim" discret 32

*in "!nct de vedere "ractic' veri-icarea stabilit6&ii eDterne stricte se -ace !rm6toarea

teorem6:

$e " i ^ 0' t ∈ $ 7n ca%!l sistemelor c! tim" contin!! 33

i p ^ 1' t ∈ @ 7n ca%!l sistemelor c! tim" discret 3#

!nde " i s!nt "olii -!nc&iei de trans-er λ MC

C

λ

λ

p

r ' adic6 sol!&iile ec!a&iei "λ M

0.

de-ini&ie alternativ6 a stabilit6&ii eDterne este:

Un sistem este eDtern strict stabil dac6 i n!mai dac6 ∃5 0' ast-el 7nc?t "entr! ∀

!t ^ ' t 0' 3 t y 〈IC .

2


26/97

Alt-el s"!s dac6 sistem!l este eDtern strict stabil la o intrare m6r+init6' ieirea este tot

m6r+init6 HIH. e "oate demonstra c6 aceast6 condi&ie se 7nde"linete n!mai dac6 rela&iile

31 i 32 s!nt res"ectate.

bserva&ie: Zin?nd cont c6 λ M c b A I

A I 2b A I T T

detC

CC 1

−−=−

+−

λ

λ λ "olii -!nc&iei de

trans-er s!nt o s!bm!l&ime a valorilor "ro"rii ale matricei A. Prin !rmare dac6 !n sistem este

intern asim"totic stabil at!nci el este i eDtern strict stabil. n sc>imb este "osibil ca !n sistem

s6 n! -ie intern asim"totic stabil dar s6 -ie eDtern strict stabil. Acest l!cr! se 7nt?m"l6 dac6 7n

!rma ad!cerii λ la -orma ired!ctibil6 se sim"li-ic6 "olii sit!a&i 7n %ona de instabilitate.

Prin criterii de stabilitate se 7n&ele+ criteriile de locali%are a r6d6cinilor !n!i "olinom 7n

interior!l cerc!l!i !nitate.

n "ractica in+inereasc6 se c!nosc de "este 120 de ani criteriile de locali%are a

r6d6cinilor !n!i "olinom 7n semi"lan!l st?n+' criterii ce asi+!r6 stabilitatea sistemelor

analo+ice c! tim" contin!!' descrise de ec!a&ii di-eren&iale.

2$


27/97

2.2. Criterii algebrice [1], [5], [6]

n ca%!l sistemelor L/I Linear /ime Invariant st!di!l stabilit6&ii sistemelor se re-er6 la

re%olvarea ec!a&iei caracteristice cores"!n%6toare sistem!l!i st!diat. *ac6 se consider6 !n

sistem caracteri%at "rin -!nc&ia de trans-er , s M B s K A s ' at!nci ec!a&ia caracteristic6 a

sistem!l!i este:

As M j S j S js S M 0 3)

Prin re%olvarea acestei ec!a&ii se ob&in "olii sistem!l!i' am"lasarea acestor valori 7n "lan!l com"leD va determina !lterior stabilitatea sistem!l!i. C! a!tor!l criteriilor al+ebrice

de stabilitate se determin6 stabilitatea sistemelor -6r6 a re%olva aceast6 ec!a&ie caracteristic6.

2.2.1. Criteriul Hurwitz: [5], [6]

e "oate a"lica n!mai dac6 semn!l coe-icien&ilor n! se modi-ic6' adic6:

si4nan M si4nan kB1 M si4na1 M si4na0 3(

e constr!iete matricea !rit%:

Condi&ia de stabilitate ' con-orma criteri!l!i l!i !rit% este ca to&i minorii d!"6

dia+onala "rinci"al6 s6 -ie "o%itivi:

det D1 0 det D2 0 det Dn 0 . 3

EDem"l! :

,ie "olinom!l caracteristic al sistem!l!i :

P 0 s M k s s s s ++++ 32 23#

2%


28/97

Utili%?nd criteri!l l!i !rit%' s6 se determine 4 18' !rit% 4 18`)' ci n!mai o inter"retare "!r

matematic6 a condi&iilor 7n care !n "olinom de +rad!l n are n!mai r6d6cini ne+ative sa!com"leDBcon!+ate c! "arte real6 ne+ativ6. C!m aceast6 condi&ie re"re%int6 tocmai condi&ia

de stabilitate' dac6 "olinom!l este c>iar ec!a&ia caracteristic6 a sistem!l!i' metoda $o!t>B

!rit% "oate -i inter"retat6 ca !n criteri! de stabilitate.

Consider6m c6 ec!a&ia caracteristic6 a sistem!l!i este !n "olinom de -orma:

0........ 02

2

1

1 =++++ −− aa pa pa pa p

n

n

n

n 38

2'


29/97

*ac6 7n acest "olinom !n!l sa! mai m!l&i coe-icien&i s!nt n!li' sa! dac6 n! to&i

coe-icien&ii a! acelai semn' at!nci 7n mod si+!r eDist6 r6d6cini "o%itive i criteri!l n!

"re%int6 interes. n ca%!l 7n care an M1 at!nci rest!l termenilor treb!ie s6 -ie "o%itivi.

C! a!tor!l coe-icien&ilor "olinom!l!i se -ormea%6 matricea 3`'

............ n

.......... '&n6

........... '&n6 '&n6

.................................................................

............ 2 2 2

b b b

a.........a a a

a a........a a a

n6n6n6

nnn

00 00

00001

0002 2

00

00

0

1

1

21

321

321

1)31

02#2 −−

3`

!nde "rimele do!6 linii s!nt -ormate din coe-icien&ii "olinom!l!i iar !rm6toarele se

calc!lea%6 c! rela&iile:

1

211

1

13)12

1

12311

1

)#12

1

3211

1C

02C1C..........................

JJ.... J

−−−⋅−

=⋅−⋅

=

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=

−−

−−

−

−−−

−

−−−

n

nnn

b

abab2

b

abab2

a

aaaab

a

aaaab

nn

nn

n

nnnn

n

nnnn

#0

/oate loc!rile libere din tabel se vor considera 0 i calc!l!l se contin!6 "?n6 se ob&ine o

linie ce con&ine !n sin+!r termen.

Criteri!l se re-er6 la "rima coloan6 a matricei' adic6:

111111 I1C I2C'........' ' ' nnn2baa nn −−− #1

i "oate -i eD"rimat ast-el: n!m6r!l de sc>imb6ri al termenilor din coloan6 cores"!nde

n!m6r!l!i de r6d6cini c! "arte real6 "o%itiv6 ale "olinom!l!i 38=. $e%!lt6 c6' dac6 38

re"re%int6 ec!a&ia caracteristic6 a sistem!l!i' sistem!l este stabil dac6 7n "rima coloan6 n!

eDist6 sc>imb6ri de semn' 7n ca% contrar e instabil.

La 7ntocmirea matricei 3` "ot interveni do!6 ca%!ri "artic!lare:

2>


30/97

B Prim!l termen dintrBo linie este n!l' ca% 7n care n! se mai "ot calc!la ceilal&i termeni.

Pentr! contin!area calc!lelor se va 7nloc!i termen!l c! !n n!m6r mic' "o%itiv i se vor

contin!a calc!lele.

B /o&i termenii !nei linii s!nt n!li. In acest ca% eDist6 do!6 r6d6cini "!r ima+inare isistem!l este oscilant 7ntre&in!t. Calc!l!l matricei se va contin!a "rin 7nloc!irea liniei de

%ero!ri c! o linie -ormat6 din derivarea "olinom!l!i liniei "recedente' -6c?nd!Bse

"res!"!nerea c6 -iecare linie cores"!nde !n!i "olinom av?nd "!terile n' nB2' nB#'"entr!

"rima linie' nB1' nB3' nB)' "entr! a do!a linie i aa mai de"arte.

La 7ntocmirea tabel!l!i 3`' "entr! !!rarea calc!lelor' se va &ine cont de !rm6toarele

re+!li:

B /o&i termenii !nei linii "ot -i 7nm!l&i&i c! o constant6 "o%itiv6' "entr! sim"li-icare. n

acest sens termenii !nei linii "ot -i de eDem"l! 7nm!l&i&i c! n!mitor!l din rela&iile #0'

sim"li-ic?nd ast-el calc!l!l termenilor dar' semn!l n!mitor!l!i treb!ie "6strat.

B Polinom!l 38 "oate -i sim"li-icat "rintrBo sc>imbare a sc6rii tim"!l!i " M


31/97

M

bb b............................................................. 7

7 bb.............................................................. 7

7 b b............................................................... 7

...................................................................................

7....................a a a 7

7 ................... aa a 7

7....................a a a a

7....................a a a a

72

18

72

96n2nn

n8n1n

% 6n9n62n6n

+ 6nn8n1n

−

−−−

−−−

n con-ormitate c! acest criteri!' :sistemu- este stabi- &t5ţi p5-ii funţiei de transfer

sunt situaţi ;n semip-anu- st , ? 7 @i t5ţi min5rii dup=

dia45na-a prinipa-= sunt p5#itivi.

*ac6 aceast6 condi&ie n! este 7nde"linit6' "entr! -iecare minor


32/97

*atorit6 acestor !ltime "reci%6ri de%avantae criteri!l al+ebric se !tili%ea%6 doar

orientativ' 7nainte de a a"lica alte criterii de stabilitate mai evol!ate.

EDem"l!:

e consider6 !n sistem c! ec!a&ia caracteristic6 de -orma:

E7p+ E1877p% E%$%.179 pE9$1.17 p9E1$8F.17+ p8E%$.17+ p2E8$%.17 pE1$.1717G7

*ac6 se -ace sc>imbarea de scar6 a tim"!l!i " M 10 P i se 7nm!l&ete c! 10B8 avem:

E + E 18 % E %% E91 9 E 1F8 8 E % 2 E 8% E 17 G 7

e 7ntocmete matricea /abe-u- 2:

Tabe-u- 2

istem!l descris de ec!a&ia caracteristic6 dat6 este instabil deoarece eDist6 do!6

sc>imb6ri de semn 7n "rima coloan6 S)' B1' S1'2(' adic6 eDist6 do!6 r6d6cini c! "arte real6

"o%itiv6. 5ai m!lt' eDist6 i do!6 r6d6cini "!r ima+inare indicate de linia de %ero!ri a"6r!t6 7n

matrice la linia P3 i care a -ost 7nloc!it6 c! derivata "olinom!l!i P#. *ac6 ne interesea%6

&2

&

8

) 1 13 41 65180

(P 7 ) 5 66 193 36

0

(P 6 ) -1 12 289 900

0

(P 5 ) 1,26 16,38 45,36 0

0

(P 5 ) 31,4 409,5 1134 0

0

(P 3 ) 0 0 0 0

0

(P 3 ) 126 819 0 0

0

(P 2 ) 2,580 14,29 0 0

0

(P 1 ) 3,13 0 0 0

0

(P 0 ) 14,29 0 0 0

0


33/97

n!mai stabilitatea sistem!l!i' n! i n!m6r!l r6d6cinilor c! "arte real6 "o%itiv6' calc!l!l

termenilor se "oate o"ri la linia P(' adic6 la "rima sc>imbare de semn.

&&


34/97

2.3. Criterii frecvenţiale [4]

$e"re%entarea 7n -recven&6 a !n!i sistem se ob&ine "rin a"licarea la intrare a !n!i semnal

sin!soidal de -recventa2

f ω

π = ' ( )sinr A t ω = . n ca%!l sistemelor liniare c! "arametrii

invariabili 7n tim" sisteme L/I aceasta determin6 a"ari&ia !n!i semnal de sin!soidal c!

am"lit!dine i -a%6 di-erite -a&6 de semnal!l de intrare :

A"recierea r6s"!ns!l!i 7n -recven 6 a sistem!l!i a!tomat s este descris "rinț

)')t$'isti)il$ d$ -'$).$(#":

• arateristia amp-itudine6fa#= sa! -5u- de transfer &5d54rafu- funţiei' H

r e"re%entarea n!m6r!l!i com"leD s 7n "lan!l com"leD [ ] [ ]( )$e C ' Im C , s , s ' "rin

mod!l!l C , s i C , s∠ . Aceast6 caracteristic6 se trasea%6 "entr! sistem!l desc>is' -iind

!til6 i 7n a"recierea stabilit6&ii sistem!l!i 7nc>is c! reac&ie !nitar6 ne+ativ6 criteri!l FG!ist

• arateristii -54aritmieH arateristia amp-itudine6pu-saţie @i fa#=6pu-saţie

c!nosc!te s!b n!mele de caracteristici Bodé .

Prin caracteristicile de -recvent6 "ot -i de-inite c?teva din "er-orman&ele !n!i sistem c!

re+lare a!tomat6 : stabi-itatea re-ativa a sistemu-ui' banda de freventa' freventa de

re#5nanţ=.

intrare ie@ire

(sin A ω ( ) ( )sin A ! t ω ω ϕ × × +H

H(s)( )sin A t ω × ( ) ( )sin A ! t ω ω ϕ × × +H

&9


35/97

2.#.1. Criteriul lui N$%uist [2],[4]

Aceste metode s!nt !tile "entr! c6 o-er6 in-orma&ii i re-eritoare la +rad!l de stabilitate

al sistem!l!i. Pentr! st!di!l stabilit6&ii sistemelor 7n b!cl6 7nc>is6 se "ornete de la!rm6toarea sc>em6:

,i+!ra nr. 1 istem de re+lare a!tomat6 c! reac ie ne+ativ6 !nitar6ț

!nde , d s este -!nc&ia de trans-er a sistem!l!i 7n b!cl6 desc>is6. e st!dia%6

stabilitatea sistem!l!i 7n b!cl6 7nc>is6. ,!nc&ia de trans-er a sistem!l!i 7n b!cl6 7nc>is6 este:

s MC1

C

s ,

s ,

d

d

+#2

*in "!nct de vedere al st!di!l!i stabilit6&ii distin+em do!6 ca%!ri:

C'it$'iul si%2li-i)t: se a"lic6 at!nci c?nd sistem!l 7n b!cl6 desc>is6 este stabil. Pentr!

ca !n sistem liniar invariant 7n tim" L/I stabil 7n b!cl6 desc>is6 s6 -ie stabil 7n b!cl6 7nc>is6

este necesar i s!-icient ca "!nct!l critic de coordonate B1'j0 s6 n! se +6seasc6 7n interior!l

caracteristicii am"lit!dineB-a%6 a sistem!l!i 7n b!cl6 desc>is6 ,d ! jὠ trasat6 "entr!

"!lsa&ia Oὠ Bh'h.

C'it$'iul +$($'li5t: se a"lic6 at!nci c?nd sistem!l este instabil 7n b!cl6 desc>is6. Pentr! ca

!n sistem L/I' instabil 7n b!cl6 desc>is6' s6 -ie stabil 7n b!cl6 7nc>is6 este necesar i s!-icientca "!nct!l critic de coordinate B1'j0 s6 -ie 7ncon!rat 7n sens antiorar de caracteristica

am"lit!dine 4 -a%6 a sistem!l!i 7n b!cl6 desc>is6 ,d ! jὠ "entr! Oὠ Bh'h' de !n n!m6r

&


36/97

de ori e+al c! n!m6r!l "olilor instabili ai sistem!l!i 7n b!cl6 desc>is6.

,i+!ra 2.odo+ra-!l l!i FG!ist

1 4 sistem stabil

2 4 sistem la limita de stabilitate

3 4 sistem instabil

*in re"re%entarea +ra-ic6 re%!lt6 c6 din do!6 sisteme stabile 7n stare desc>is6' n!mai

sistem!l 1 este stabil 7n stare 7nc>is6 deoarece las6 7n st?n+a "!nct!l B1' 0. P!nctele

im"ortante de a"reciere a gradului de stabilitate s!nt cele 7n care sistem!l are am"lit!dinea

mod!l!l -!nc&iei de trans-er 1 i cel 7n care -a%a ϕ este 180p. Pentr! aceste "!ncte se c!nosc

"!lsa&iile res"ective: ωc i ω π q>odo+ra-!l se trasea%6 "rin a"licarea la intrarea !n!i sistem

desc>is a !n!i semnal sin!soidal de -recventa "!lsa&ie variind de la 0 la S∞ i am"lit!dinile

de r6s"!ns care re"re%int6 matematic mod!l!l -!nc&iei de trans-er 7n "!nctele res"ective. e

de-inesc !rm6toarele no&i!ni:

cd

15 M

5ar+ine de c?ti+ sa! de am"lit!dine

( )d c5 M180Sar+ ϕ ω 5ar+ine de -a%6

I#(HG("

)

ϕ

(HG(ω,)

B1)

ω,

ωπ

(61/ )

13

2

HG(ω)B

ωB +∞

ωB

&$


37/97

!nde3 π ω este "!lsa&ia "entr! care -a%a sistem!l!i este 0180ϕ = −

2ω este "!lsa&ia la care mod!l!l vector!l!i ( ) ( ) , s s× este 1.

Pentr! !n sistem stabil Mc > 1 @i M >0.

Cu


38/97

C1KCC0 s , s , s , += este -!nc&ia de trans-er a sistem!l!i a!tomat

CK1C0 s , " s , += este -!nc&ia de trans-er "entr! calc!l!l erorii.

,i+!ra 3. *ia+ramele Hode. Caracteristicile am"lit!dineB"!lsa&ie i -a%aB"!lsa&ie

n cele do!a caracteristici "o%i&ia relativa a l!i ω, i ωπ determina stabilitatea

sistem!l!i:

ω

c F ωπ sistem stabil

ωc ωπ

sistem instabil

ωc B ωπ

sistem la limita de stabilitate

2.#.#. ()ul *emetri) al ră'ă)inilr [2], [7]

A -ost introd!s de Evans 7n 1`#8 7n m!lte l!cr6ri de s"ecialitate' loc!l +eometric al

r6d6cinilor este intit!lat -5u- -ui vans= și este -oarte m!lt !tili%at 7n "roblemele in+inereti

de a!tomatic6 a"licat6.

9oi considera !n sistem de re+lare a!tomat6' 7n -orma clasic6' "entr! care -!nc&ia de trans-er

7n circ!it desc>is este:

H(")BA(ω)=<

B 2 l4g1

H(")

l4g ω

",ara l4garit#i,aω

c

ω

π

61'

l4g ω

",aral4garit#i,a

&'


39/97

IC

IC

IC

1

1

i

n

i

i

m

i

b

p s

# s

J s ,

+

+

⋅=

∏

∏

=

= #)

!nde:

# i 4 re"re%int6 %ero!rile sistem!l!i 7n circ!it desc>isJ

p i 4 "olii sistem!l!i 7n circ!it desc>isJ

J 4 -actor!l de am"li-icare dinamic6.

,!nc&ia de trans-er 7n circ!it 7nc>is va -i de -orma:

ICIC

IC

IC1

ICIC

11

10

i

m

ii

n

i

i

m

i

b

b

# s J p s

# s J

s ,

s , s ,

+++

+⋅=

+=

==

=

π π

π

#(

Polii sistem!l!i 7n circ!it 7nc>is vor -i da&i de r6d6cinile ec!a&iei caracteristice:

0ICICIC11

=+⋅++===

i

m

ii

n

i

# s J p s sK π π #

Loc!l +eometric al r6d6cinilor n! este altceva dec?t distrib!&ia valorilor r6d6cinilor ec!a&iei

caracteristice "entr! diverse valori ale -actor!l!i de am"li-icare total6.

*i-ic!lt6&ile de trasare a loc!l!i r6d6cinilor s!nt +enerate de -a"t!l c6 ec!a&ia caracteristic6

este !na al+ebric6' de +rad s!"erior și sol!&ionabil6 c! +re!tate.

5etoda loc!l!i +eometric al r6d6cinilor' ca metod6 de anali%6 și sinte%6 a sistemelor de

re+lare a!tomat6' sBa im"!s 7ntrBo "erioad6 7n care te>nica de calc!l n! era "ractic accesibil6.

*in acest motiv' "roced!ra de trasare a loc!l!i r6d6cinilor a -ost conce"!t6 ca metod6 +ra-oB

analitic6. Ha%at6 "e o serie de =re+!li de trasare= metoda "ermite "osibilitatea tras6rii

a"roDimative a loc!l!i r6d6cinilor !neori' a"roDima&iile re%!ltate s!nt inacce"tabil de mari.

Aceste re+!li' s!b ra"ort al ob&inerii re"re%ent6rii +ra-ice' s!nt de domeni!l trec!t!l!i. ns6'

&>


40/97

dac6 dorim eD"loatarea +ra-ic!l!i ob&in!t "entr! sinte%a $A sisteme de re+lare a!tomat6'

c!noaterea acestor re+!li devine esen&ial6.

La trasarea loc!l!i r6d6cinilor se !tili%ea%6 !rm6toarele re+!li:

1. P!nctele de "lecare s!nt is. *eci

loc!l are n ram!ri.

2. P!nctele de sosire is. *eci m ram!ri se 7nc>id la distan&a -init6. Celelalte nBm ram!ri se

7nc>id 7n "!nct!l de la in-init.

3. Com"ortarea asim"totic6 a loc!l!i a ram!rilor care mer+ la h

B direc&iile asim"totice

'KC2C mni −⋅= θ B 0'1'2''nBmS1 #8

B "!nct!l de intersec&ie al asim"totelor "e aDa real6

IKCIC1 1

mn # p sn

i

m

i

iimed −−= ∑ ∑〉 =

#`

#. Por&i!nile reale ale loc!l!i r6d6cinilor s!nt acelea care a! la drea"ta lor !n n!m6r

im"ar de "oli i %ero!ri' l!ate la !n loc.

). Intersec&iile c! aDa real6 cores"!n%?nd la r6d6cini reale d!ble' σ se determin6 din

ec!a&ia:

∑ ∑= =

=−−−n

i

m

i

ii # p

1 1

.0KC1KC1 σ σ )0

(. Intersec&iile c! aDa ima+inar6. e determin6 < din ec!a&ia n M0' !nde n Mdet'

-iind matricea care a"are 7n criteri!l de stabilitate !rit% asociat6 l!i P 0 s' < ast-el

determinat se introd!ce 7n ec!a&ia P 0 sM0 re&in?nd!Bse r6d6cinile s i "!r ima+inare.

. Loc!l r6d6cinilor este simetric -a&6 de aDa real6.

9


41/97

CAPITOLUL III

C'$'$ i(t$'-$#$l&' +'-i)$ )u *ut&'ul GUI Mtl!

30/ I(st'u%$(t$l$ 2'&+'%"'ii ;( Mtl! []

Proces!l de a scrie !n cod 7n 5atlab "entr! a crea !n UI Gra">ical User Inter-ace se

n!mete GUI d$si+(. Acesta are o serie de "rinci"ii de care treb!ie s6 se &in6 seama at!nci

c?nd se creea%6 o a"lica&ie: sim"licitate' consisten&6 i -amiliaritate. $e%!ltat!l ce se ob&ine

este o inter-a&6 dinamic6 as!"ra c6reia !tili%ator!l "oate ac&iona 7ntrBo manier6 imediat6'

contin!6 i reversibil6. ns6 7nainte de a im"lementa orice UI acesta treb!ie s6 -ie creat.

Eta"ele cre6rii !n!i UI 7n 5atlab s!nt !rm6toarele:

,i+!ra #. Eta"ele cre6rii !n!i UI

Primele do!6 eta"e ale cre6rii !nei a"lica&ii 7n 5atlab s!nt -oarte di-icile deoarece

!tili%ator!l are de re%olvat o "roblem6 din l!mea real6 "e care treb!ie s6 o abstracti%e%e 7ntrBo

asemenea manier6 7nc?t n!mai cele mai im"ortante in-orma&ii s6 -ie considerate.

Zin?nd cont de aceste l!cr!ri' !tili%ator!l!i n! 7i mai r6m?ne a"oi dec?t s6 scrie cod!l

s!rs6 al "rototi"!l!i. Pot eDista m!lte 7ncerc6ri 7n acest demers' n!m6r!l lor de"in%?nd de

eD"erien&a !tili%ator!l!i 7n ast-el de ca%!ri. Proces!l de desi+n va -i terminat 7n moment!l 7ncare model!l va -i 7n stare s6 satis-ac6 toate cerin&ele noastre.

91


42/97

5A/LAH este !n limba de "ro+ramare care se ba%ea%6 "e o serie de instr!mente

n!mite UI*E care a!t6 !tili%ator!l s6 constr!iasc6 a"lica&ii c?t mai diverse -oarte ra"id.

Ele s!nt:

•P$PE$/R IPEC/$

•HuEC/ H$E$

•ALI HuEC/

•5EIU E*I/$

,i+!ra ). Instr!mente !tile 7n crearea inter-e&ei +ra-ice

P$PE$/R IPEC/$

,iecare obiect 7n 5A/LAH are !n an!mit n!m6r de "ro"riet6&i. *e eDem"l! o -i+!r6 are

"rintre "ro"riet6&ile sale' !na n!mit6 CL$. Pentr! a vi%!ali%a i event!al a modi-ica !na

dintre acestea' 7n linie de comand6 este -oarte di-icil de reali%at deoarece sintaDa comen%ilor

este +re! de &in!t minte. Pro"ertF Ins"ector a!ta 7ns6 !tili%ator!l s6 modi-ice toate aceste

caracteristici 7ntrBo maniar6 interactiv6.

E9$%2lu :

92

Align

Oe,t"

Meni0

E=it4r

r4Jert:

I"Je,t4r

Oe,t


43/97

• n linie de comand6' "entr! a trasa -!nc&ia tjsint treb!ie s6 scriem !rm6tor!l cod:

w tM0:0.1:100J

w "lott't.jsintJ

w +et+c-' Color

ans M 0.8000 0.8000 0.8000

C! a!tor!l l!i Pro"ertF Editor' treb!ie doar s6 +6sim i mai a"oi s6 modi-ic6m

"ro"rietatea obiect!l!i n!mit6 xCL$ 7n -ereastra !rm6toare :

Li4ura %. r5perty Inspet5r

ALI HuEC/

Acest instr!ment "ermite modi-icare aranament!l!i obiectelor +ra-ice con&in!te de o

inter-a&6' -ie 7ntrBo manier6 ori%ontal6 sa! vertical6. Pentr! a "!tea !tili%a aceast6 o"&i!ne

treb!ie ca obiectele s6 aib6 !n an!mit "lasament ini&ial.

5EU E*I/$

C! a!tor!l acest!i instr!ment "!tem ad6!+a !n no! meni! de ti" "!llBdon !nei -i+!ri.

Aceste meni!ri no! ad6!+ate s!nt s!"limentare -a&6 de cele ce a"ar&in de o manier6 im"licit6

-i+!rii create: ,ile' Edit' indo' el". o!l meni! n! va -i a-iat dac6 -i+!ra n! este activ6.

9&

#4=iK,area ,0l4riif*r* a K ne74ie =e a

",rie 0n ,4= =e

Jr4gra#


44/97

301 Fu()#ii 2$(t'u )&(st'ui'$ i(t$'-$#$l&' +'-i)$ GUI Mtl! []

5ani"!l6ri +ra-ice

5atlab "ro"!ne !n set de -!nc&ii de nivelBsc6%!t care "ermite crearea liniilor'

s!"ra-e&elor i a altor obiecte +ra-ice. Acest sistem este den!mit 7n 5atlab' H(dl$ G'2ics din

5atlab. Aceste obiecte s!nt or+ani%ate 7n str!ct!ri ierar>ice care re-lect6 interde"enden aț

obiectelor +ra-ice. *e eDem"l!' obiect!l Linie Line im"!ne eDisten a obiect!l!i ADe ADes.ț

La r?nd!l s6! obiect!l ADe eDist6 n!mai dac6 eDist6 obiect!l ,i+!ra c! obiecte ,i+!re.

biecte +ra-ice

!nt 11 ti"!ri de obiecte +ra-ice or+ani%ate "e # nivele ierar>ice:

R&&t B este obiect!l din to"!l ierar>iei i cores"!nde la screenB!l com"!ter!l!i.

5atlab creea%6 a!tomat acest obiect la 7nce"!t!l -iec6rei sesi!ni.

Fi+u'$ 4 acestea s!nt obiecte de ti" -ereastr6 "lasate 7n obiect!l $oot i create "rin

-!nc&ii +ra-ice eDec!tate 7n -ereastra de comen%i a 5atlab sa! "rin r!larea -iierelor 5B-ile

care le +enerea%6.

Ui)&(t'&l 4 s!nt obiecte de control a inter-e&elor +ra-ice create de !tili%ator careeDec!t6 an!mite -!nc&ii la activarea obiect!l!i. *in aceast6 cate+oriile -ac "arte obiectele:

"!s>b!tton' slider' ListboDe' "!"B!"men!' edit' -rame' c>ec< b!tton' radio b!tton. Ele se

,i+!re

ADes Uicontrol Uimen!

Ima+e Li+>t Line Patc> !r-ace /eDt

$oot

,i+!re ,i+!re

99


45/97

re+6sesc 7n instr!ment!l !ide Control Panel din meni!l ,ile al -erestrei de comen%i din

5atlab i devin dis"onibile odat6 c! trecerea !n!ia din obiectele din lista c! -i+!ri deci a

!n!i obiect de ti" ,i+!re eDistent sa! "roas"6t creat c! Add,i+!re' 7n stare )&(t'&ll$d. Prin

te>nica ;dra+ and dro"=' obiectele "ot -i ad6!+ate 7n ,i+!ra c! obiecte 7n care dorim "lasarea

!nor ast-el de elemente de control.

,i+!ra 8.biectele de control ale inter-e&eiA9$s 4 obiecte care de-inesc re+i!ni din obiect!l -ereastra "entr! "osibile re"re%ent6ri

+ra-ice. El este "e "o%i&ia ierar>ic6 de ;c>ildren=.

Ui%$(u 4 obiectele s!nt meni!l de inter-a&6 creat de !tili%ator "lasat 7n "artea de s!s

a -erestrei -i+!r6.

I%+$ 4 obiecte c! a-iare 7n do!6 dimensi!ni care !tili%ea%6 elementele !nei matrice

rectan+!lare ca indici ai !nei >ar&i de c!loare.

Li($ 4 obiectele s!nt "rimitive +ra-ice "entr! re"re%ent6ri +ra-ice cel "!&in 7n do!6

dimensi!ni.

Pt)' "oate con&ine m!lti"le -a&ete' -iecare colorat6 di-erit c! o n!an&a solid6 sa! "rin c!lori

inter"olate.

Su'-)$ 4 obiecte tridimensionale care s!nt re"re%ent6ri de matrice de date' s!nt

create "rin re"re%entarea +ra-ic6 a !n!i "!nct la 7n6l&ime -a 6 de "lan!l DBF. C! alte c!vinteț

9


46/97

-iecare valoare n!meric6 dintrBo matrice' "oate -i cota % a !n!i "!nct re"re%entat 7n NR@.

,iecare matrice sa! tablo! de valori n!merice are o re"re%entare s"a&ial6 de ti" s!"ra-a&6.

T$9t 4 obiectele s!nt ir!ri de caractere. Ele s!nt +enerate ca obiecte +ra-ice "rin !na

din -!nc&iile care a"lic6 teDt 7n -i+!ri: teDt' +teDt' Dlabel' Flabel' %label' title' le+end' etc.

5ani"!larea obiectelor +ra-ice

,iecare obiect +ra-ic are !n identi-icator !nic' a"elat and-e identifiat5r "e care 5atlab

7l asi+nea%6 a!tomat c?nd obiect!l este creat. re"re%entare +ra-ic6 e-ect!at6 c! !n "lot de

mai m!lte linii' +enerea%6 mai m!lte obiecte +ra-ice' -iecare c! !n identi-icator n!meric

distinct. Identi-icator!l obiect!l!i root este 0. Identi-icator!l !n!i obiect ,i+!re este !n n!m6r

7ntre+ care este a-iat 7n titl!l -i+!rii. Alte obiecte din ierar>ia "re%entat6 mai s!s a! ca

identi-icatori n!mere reale i con&in in-orma&ii !tili%ate de 5atlab "entr! +enerarea i le+area

event!al6 a obiect!l!i de alte obiecte.

EDem"l!: re"re%entarea +ra-ica m!lti"l6 a !nei matrice A +enerate c! -!nc&ia ma+ic'

cond!ce la crearea a 7nc6 "atr! obiecte +ra-ice' ai c6ror identi-icatori s!nt ret!rna&i daca se

-or&ea%6 aceasta "rin asi+narea -!nc&iei "lot la o variabil6:

AMma+ic#J>M"lotAJ

> M .000)

1.0021

#.0011

).000(Aceste valori s!nt irelevante "entr! !tili%ator dar ele s!nt de -a"t ar+!mente ale

-!nc&iilor de mani"!lare +ra-ic6 din 5atlab: gcf, gca, gco. /oate -!nc&iile 5atlab care creea%6

obiecte ret!rnea%6 identi-icatorii acestora. ter+erea !n!i obiect c! delete' im"!ne ca

ar+!ment "entr! aceast6 -!nc&ie identi-icator!l de obiect. *e eDem"l! aDele c!rente se ter+

c! sintaDa:

delete!gca"#

,!nc&ii "entr! crearea obiectelor

9$


47/97

Aceste -!nc&ii a! n!mele 7n -!nc&ie de obiect!l "e care 7l creea%6. Ele se n!mesc -!nc&ii

de nivel sc6%!t i re"re%int6 "rimitive 7n +ener6ri +ra-ice 7n 5atlab. *e eDem"l! ,i+!ra c!

obiecte se creea%6 c! figure' !n obiect teDt este creat c! -!nc&ia te$t iar o linie este +enerat6 c!

line. Pe de alta "arte crearea a!tomat6 a obiectelor -i+!reSaDeSline se e-ect!ea%6 la lansarea

!nei comen%i de ti" 2l&t care eDec!t6 mai m!lte -!nc&ii de nivel sc6%!t. Acest ti" de -!nc&ii

s!nt -!nc&ii de nivel 7nalt. ,!nc&iile de nivel sc6%!t s!nt cele care creea%6 inde"endent !n!l

din cele 11 obiecte din ierar>ia "re%entat6.

EDem"l!: o -!nc&ie de nivel sc6%!t este :

line[1 3 (]' [8 42 0]' Color' red

Pro"riet6&ile obiectelor

/oate obiectele a! "ro"riet6&i de control care "ot -i a-iate. 5atlab "ro"!ne do!6mecanisme "entr! setarea modi-icare K atrib!ire valorilor "ro"riet6&ilor. Pro"riet6&ile

obiectelor "ot -i setate la crearea obiect!l!i sa! sc>imbate c! -!nc&ia s$t daca obiect!l dea

eDista.

EDem"l!:

%i M [!J5oJ/!JeJ/>J,rJa]

tem" M [21.1 22.2 1`.# 23.3

23.` 21.1 20.0]J

- M -i+!re

aMaDesRLim'[1(2(]'Ntic M 1)0.001)J

9%


48/97

''=

)ia obiectelor 7n cadr!l !nei inter-e eț

Pro"riet6&ile obiectelor s!nt accesibile d!"6 crearea obiect!l!i. Este 7ns6 necesar6

crearea obiect!l!i dat i alocarea !nei variabile care sa re&in6 n!m6r!l sa! de identi-icare.

,!nc&ia s$t "ermite modi-icarea oric6reia din "ro"riet6&ile care n! s!nt readBonlF. Ca i

ac&i!ne' ea e-ect!ea%6 de -a"t o editare a atrib!telor !n!i obiect de ti" str!ct!r6. Ca s6 "!tem

ti care atrib!te sa! "ro"riet6&i s!nt setabile editabile "entr! !n an!mit obiect' ca i valorile

"osibile "entr! -iecare "ro"rietate se eDec!t6 comanda: set> care ret!rnea%6 "entr! !n obiect

Line creat 7n eDem"l!l anterior lista !rm6toare:

% set!&"

Color

Erase5ode: [ normal y bac

5ar


49/97

Cli""in+: [ on y o-- ]

Create,cn

*elete,cn

H!sFAction: [ G!e!e y cancel ]

andle9isibilitF: [ on y callbac< y o-- ]

it/est: [ on y o-- ]

Interr!"tible: [ on y o-- ]

Parent

elected: [ on y o-- ]

electioni+>li+>t: [ on y o-- ]

/a+

UIConteDt5en!

User*ata

9isible: [ on y o-- ]

Pentr! a vi%!ali%a lista c! toate "ro"riet6&ile c!rente ale obiect!l!i Line' se a"elea%6

-!nc&ia +$t care ret!rnea%6:

% get!&"

Color M [0 0 1]

Erase5ode M normal

LinetFle M B

Lineidt> M [0.)]

5ar


50/97


51/97

303 C&(st'ui'$ i(t$'-$#$l&' +'-i)$ GUI []

*!"6 c!m am amintit anterior o inter-a&a +ra-ica "ermite introd!cerea !nor elemente de

control care s6 reac&ione%e la an!mite evenimente' 7n sens!l control6rii eDec!&iei "ro+ram!l!i

"entr! care este conce"!t6 de !tili%ator.

Clase de obiecte +ra-ice de control a UI

Cek b5xes

e !tili%ea%6 c?nd !tili%ator!l are do!6 alternative "entr! setarea !nei variabile sa!

ac&i!ni.

ditab-e text

Permit !tili%ator!l!i s6 introd!c6 i s6 modi-ice teDt. e !tili%ea%6 c?nd este necesar6

introd!cereKa-iare de teDt.

Lrames

!nt cadre care +r!"ea%6 vi%!al obiecte din UI. Ele "ot +r!"a decorativ obiectele

d!"6 ti"!l de control "e care 7l a! im"lementat obiecte de control de ti" in"!t sa! o!t"!t.

,rameB!rile n! a! asociate r!tine callbac


52/97

5p6up menus

*esc>ide !n dis"laF de o"&i!ni de-inite c! "ro"rietatea string r5suM4a-benMa-bastru

c?nd este selectat. C?nd n! este desc>is el indic6 ale+erea c!rent6. El este !tili%at c?nd

!tili%ator!l dorete o selec&ie eDcl!siv6 de "ro"riet6&i. Pro"rietatea Vlu$ indic6 care c?m" a

-ost selectat "rin n!m6r!l l!i de ordine dac6 se selectea%6 +alben' val!e ca"6t6 valoarea 2.

us butt5ns

enerea%6 o ac&i!ne c?nd este a"6sat. Pentr! activare se selectea%6 c! clic< de mo!se "e

b!ton ceea ce va lansa 7n eDec!&ie secven&a scris6 la callbac10

0adi5 butt5ns

!nt similare c! C>ecetareKcomentarea obiectelor de control. El

n! o-er6 o"&i!ne de callbac< care s6 asocie%e o r!tina de eDec!&ie.

2bservaţii

!mai an!mite obiectele de control din inter-a&a a! "ro"rietatea callbac1 . biectele

-i+!re' aDe care n! s!nt controale a! "ro"riet6&i s"eci-ice an!mitor evenimente s"eci-ice

acel!i obiect.

Clasele de obiecte a! 7n str!ct!ra "ro"riet6&i s"eci-ice de ti" callbac1 ' corelate c!evenimentele metodele care "ot -i asociate -iec6rei clase. Indicam mai os care s!nt

atrib!tele obiectelor +ra-ice care eDec!t6 an!mite r!tine' at!nci c?nd se "rod!c evenimentele

la care s!nt asi+nate:

2


53/97

obiect!l -i+u'$ : 00000000000000000000000000

biect!l ,i+!re este sensibil la b!ton a"6sat' crearea sa! ter+erea sa' 7nc>iderea

-erestrei +ra-ice n! e la -el c! ter+erea' a"6sarea !nei


54/97

Pro"riet6&ile obiectelor +ra-ice de ti" !icontrol : bserva&ie : "entr! alte obiecte +ra-ice

a"ar&in?nd altor clase -i+!re' aDe ele n! s!nt valabile sa! cel "!&in n! s!nt aceleai s!nt

"re%entate 7n tabel!l 3 +r!"ate "e -!nc&ii. !mele -iec6rei "ro"riet6&i este le+at de o descriere

a acesteia:

Nu%$ 2'&2'i$tt$ D$s)'i$'$

2'&2'i$t"#ii

Vl&'$

2'&2'i$t"#ii

C&(t'&lul stilului ,i s2$)tului &!i$)tului d$ )&(t'&l l i(t$'-$#$i

Haceta l!i !icontrol sa! lista de

etic>ete "entr! list boD sa! lista de

etic>ete "entr! "o"B!" men!

9aloare: strin+

9isible 9i%ibilitate Uicontrol 9aloare: on' o--

Im"licit: on

I(-&'%#ii +$($'l$ d$s2'$ &!i$)t

C>ildren Identi-icator!l co"il!l!i Uicontrol

dac6 are

Enable Control Enable sa! disable 9aloare: on' inactive' o--

Im"licit: on

Parent Identi-icator!l "6rintel!i Uicontrol

dac6 are

9aloare: scalar -i+!re >andle

elected Permite vi%ibilitatea selec&iei 9aloare: on' o--

Im"licit: o--

liderte" Pas!l !n!i slider 9aloare: vector de do!aelemente

9


55/97

Im"licit: [0.01 0.1]

tFle /i"!l de obiect 9aloare: "!s>b!tton'

to++leb!tton' radiob!tton'

c>eci

Im"licit: [20 20 (0 20]

Units Unit6&i care inter"retea%6 vector!l

"o%i&ie

9aloare: "iDels' normali%ed'

inc>es' centimeters' "oints'

c>aracters

Im"licit: "iDelsC&(t'&lul F&(tului ,i Eti)


56/97

inc>es' centimeters' "iDels

Im"licit: "oints

,ontei+>t L6&imea caracterelor teDt 9aloare: li+>t' normal' demi'

boldIm"licit: normal

ori%ontalAli+nment trin+ care indic6 alinierea "e

ori%ontal6

9aloare: le-t' center' ri+>t

Im"licit: de"ends on !icontrol

obect

trin+ Etic>eta de ti" strin+ a obiect!l!i de

control lista "entr! listboD i "o"B!"

9aloare: strin+

C&(t'&lul E9$)u#i$i Ruti($l&' Cll!)>

H!sFAction $!tina Callbac< "entr! 7ntrer!"ere

daca callbac


57/97

5aD 9aloare maDim6 de"inde de obiect!l

!icontrol

9aloare: scalar

Im"licit: obect de"endent

5in 9aloare minim6 de"inde de obiect!l

!icontrol

9aloare: scalar

Im"licit: obect de"endent

9aloare 9aloarea c!rent6 selectat6 "rin

ac&ionarea obiect!l!i de control

9aloare: scalar sa! vector

Im"licit: de"endent de obiect

C&(t'&lul ))$sului l &!i$)t$

andle9isibilitF Identi-icator!l de obiect este accesibil

din linia de comanda

9aloare: on' callbac


58/97

304 Alt$ -u()#ii util$ ;( )&()$2#i u($i i(t$'-$#$ +'-i)$ GUI []

A! -ost dea "re%entate cele do!a -!nc&ii s$t ,i +$t s"eciali%ate 7n editarea "ro"riet6&ilor

obiectelor +ra-ice. Ada!+ la acestea -!nc&ia -i(d&!*0 ,!nc&iile +)? +)& s!nt o -orm6 abreviat6

a a"lic6rii -!nc&iei -indob 7n +6sirea obiectelor ADe i biect c!rent.

,i+!ra 10.,!nc&ii !tile 7n conce"&ia !nei inter-e&e +ra-ice

,!nc&ia -i(d&!* locali%ea%6 !n obiect +ra-ic i ret!rnea%6 identi-icator!l sa!. intaDa

-!nc&iei este !rm6toarea:

& / findob(

& / findob(!* Nu%$P'&2'i$tt$*, .aloare rorietate,000"

& / findob(!ob(&andles,000"

& / findob(!ob(&andles,*flat*,* P'&2$'t=N%$*,roerty.aloare,000"

A do!a -orm6 "ermite +6sirea obiectelor din str!ct!ra +lobal6 root' care cores"!nd

condi&iei de c6!tare: o an!mit6 "ro"rietate are o an!mit6 valoare. e "oate restr?n+e c6!tarea

la o ierar>ie mai mica varianta a do!a care cores"!nde obiectelor listate 7n ob(&andles' sa!

se e-ect!ea%6 c6!tarea n!mai 7n ob(&andles i n! 7n obiectele s!bordonate sa! 7nca"s!late de

acesta.

gcf 4 ret!rnea%6 valoarea "ro"riet6&ii C!rrent,i+!re din root

gca B ret!rnea%6 valoarea "ro"riet6&ii C!rrentADes din -i+!ra c!rent6

Figura

curentagcf

Axe curente

Obiect curent

n!"#

R!!t

Figura

curenta

Axe curente

gca

Obiect

curent

gc!

'


59/97

gco B ret!rnea%6 valoarea "ro"riet6&ii C!rrentbect din -i+!ra c!rent6

$e&in?nd semni-ica&ia lor' aceste -!nc&ii "ot -i -olosite 7n diverse combina&ii "entr!

c6!tareaK+6sireaKeditarea "ro"riet6&ilor !n!i obiect.

EDem"l!:

Ca eDem"l!' se ca!t6 !n obiect +ra-ic 7n 7ntrea+a ierar>ie root i 7n obiectele

s!bordonate ei ADe' Uicontrol' !r-ace' /eDt' ..etc care a! "ro"rietatea ColorB ro!:

findob(!'Color ', 'r'" vor -i +6site toate obiectele care a! Color r sa! [1 0 0].

sa! se ca!t6 obiect!l +ra-ic sa! obiectele n!mai 7n obiect!l ADe:

findob(!gca, 'Color ', 'r'"

set!gco,*Mar1er*,*s3uare*"

get!gca"

Prima variant6 va ret!rna identi-icatorii t!t!ror obiectelor +ra-ice s!bordonate l!i '&&t.

O!s$'.#i$: -indob ret!rnea%6 error dac6 obiect!l re-erit n! eDist6. ,!nc&ia +co

ret!rnea%6 identi-icator!l !ltim!l!i obiect activat de !n eveniment !n clic< de mo!se "e !nobiect 7l trans-orm6 7n obiect c!rent.

Inter-a&a +ra-ic6 7n versi!nea 5atlab (.0 versi!nea (.0 am -olositBo 7n crearea

a"lica&iei. e constr!iete inter-a&a +ra-ic6 c! a!tor!l instr!ment!l!i UI*E UI H!ilder

"!s la dis"o%i&ie 7n -orma +ra-ic6 modi-icat6.

,i+!ra 11.biect!l ,i+!re 7n starea ini&ial6

>


60/97

Inter-a&a +ra-ic6 a !tili%ator!l!i se constr!iete "rin ad6!+area 7n "lan!l obiect!l!i

,i+!re' a elementelor de control ale inter-e&ei "rec!m i a celor dedicate 7mb!n6t6&iriiș

as"ect!l!i acesteia obiectele -rame iar "rin salvarea inter-e&ei constr!ite se +enerea%6 !n

-iier j.-i+ care re ine 7n -ormat binar ima+inea constr!it6' "rec!m i !n -iier -!nc&ie j.m careț ș

con&ine at?t variabilele de ti" str!ct!r6 cores"!n%6toare -iec6r!i obiect +ra-ic dar i s!bBș

-!nc&ii a"elate de aceast6 -!nc&ia +a%d6 a inter-e&ei. Aceste s!bB-!nc&ii s!nt eDec!tate "rin

activarea obiectelor de control ale inter-e&ei ac&ionarea obiect!l!i "rin selec&ie' crearea sa!

ter+erea acest!ia. Ele s!nt deci asociate "ro"riet6&ilor Callbacile "ro"rietate K valoare ca ar+!mente

de intrare. ,iecare o"&i!ne a meni!l!i "oate -i la r?nd!l ei !n meni!' care a-iea%6 !n

s!bmeni!' at!nci c?nd este selectat6.

!bmeni!rile s!nt create "rin a"elarea -!nc&iei ui%$(u? av?nd ca "rim ar+!ment

identi-icator!l meni!l!i "rinci"al. *ac6 n! se s"eci-ic6 nici !n identi-icator al !n!i meni!

eDistent' este creat !n meni! "rinci"al' care se "lasea%6 7n bara s!"erioara de meni!ri la

nivel!l cel mai 7nalt.

$


61/97

CAPITOLUL IV

Studi$'$ st!ilit"#ii sist$%$l&' li(i'$ )&(ti(u$ )u *ut&'ul

)'it$'iil&' l+$!'i)$ ,i -'$).$(#il$

30/ D$s)'i$'$ 2li)#i$i [8]$[]

A"lica&ia 5atlab "e care am creatBo este o inter-a&6 +ra-ic6 reali%at6 c! a!tor!l UI

ra">ical User Inter-ace ce "ermite !tili%atorilor !n control interactiv al re"re%ent6rilor +ra-ice 7n sco"!l anali%ei stabilitatii sistemelor contin!e de re+lare a!tomata.

Pentr! control!l interactiv al re"re%ent6rilor +ra-ice' 7n 5atlab se -olosete "ro+ramarea

c! obiecte. n acest sco"' aa c!m am amintit i 7n ca"itol!l III' s!nt de-inite mai m!lte

elemente de control interactiv:

• b!toane "rin a"6sare "!s> b!tton si to++les b!ttonJ

• casete de editare edit teDt i static teDtJ

• "oten&iometre liniare slidersJ• b!ton sim"l! -rameJ

• lista de o"&i!ni listboD i "o"!" men!J

• trasarea aDelor aDes.

Aceast6 inter-a&6 +ra-ic6 am constr!itBo "rin ad6!+area 7n "lan!l obiect!l!i ,i+!re' a

elementelor de control ale inter-e&ei "rec!m i a celor dedicate 7mb!n6t6&irii as"ect!l!iș

acesteia obiectele -rame.

Prin salvarea inter-e&ei constr!ite sBa +enerat !n -iier 0-i+ care re&ine 7n -ormat binar

inter-a a constr!it6' "rec!m i !n -iier -!nc&ieț 0% care con&ine at?t variabilele de ti"

str!ct!r6 cores"!n%6toare -iec6r!i obiect +ra-ic dar i s!bB-!nc&ii a"elate de aceast6 -!nc&ie

+a%d6 a inter-e&ei. Aceste s!bB-!nc&ii s!nt eDec!tate "rin activarea obiectelor de control ale

inter-e&ei ac&ionarea obiect!l!i "rin selec&ie' crearea sa! ter+erea acest!ia. Ele s!nt deci

asociate "ro"riet6&ilor: Cll!)>? C'$t$F)(? D$l$t$F)(.

Pentr! obiect!l +ra-ic ADe sa! ,i+!re care n! s!nt de control s!nt "rev6%!te alte

evenimente la care se "ot asocia di-erite ac&i!ni. Un clic< drea"ta de mo!se inserea%6

$1


62/97

a!tomat' 7n -iier!l -!nc&ie asociat inter-e&ei' s!bB-!nc&ia cores"!n%6toare control6rii

eveniment!l!i dorit .

*in elementele de control "rede-inite am !tili%at' d!"6 c!m "!tem vedea 7n -i+!ra de

mai os !rm6toarele obiecte:

,i+!ra 12.Inter-a&a +ra-ic6=Anali%a stabilitatii sistemelor de re+lare a!tomata=

o ;tatic /eDt =B "ermite a-i area liniilor de teDt sa! "entr! etic>etarea obiectelor ș

de control i an!me ;n!m6r6tor= i ;n!mitor=. El n! o-er6 o"&i!ne de callbac< care s6

asocie%e o r!tin6 de eDec!&ie.

;Edit teDt=B "ermite introd!cerea !n!i teDt de la tastat!r6' 7n ca%!l de -a&6 "ermit

introd!cerea celor doi vectori re"re%ent?nd n!m6r6tor!l i n!mitor!l -!nc&iei de

trans-er. *!"6 ce acesta a -ost scris 7n caseta' se a"as6 tasta ;Enter= sa! se selectea%6

b!ton!l care lansea%6 eDec!&ia. e !tili%ea%6 7n ca%!l 7n care "ro+ram!l treb!ie s6 "reia

interactiv !n teDt 7n ca%!l de -a&6 se selectea%6 b!toanele "rin a"6sre ;,!nc ia deț

trans-er 7n circ!it desc>is=' ;,!nctia de trans-er 7n circ!it 7nc>is= sa! ;Polinom!l

caracteristic=.

;P!s> b!tton= 4 +enerea%6 "rin a"asarea lor o ac&i!ne' 7nsa n! r6m?ne 7n starea a"6sat.

Pentr! activarea !n!i b!ton "rin a"6sare' se a"as6 i se eliberea%6 b!ton!l mo!seB!l!i.ș

Aceste b!toane se !tili%ea%6 dac6 ac&i!nea "e care o reali%ea%6 n! este de"endent6 de

nici o alt6 ac&i!ne eDec!tabil6 "rin inter-a&6. Prin a"6sarea acest!i b!ton' de eDem"l!'

$2


63/97

s!nt "rel!a&i n!m6r6tor!l i n!mitor!l i este a-iat6 -!nc&ia de trans-er 7n circ!it desc>is

"e !n obiect de control caracteristic tatic teDt .

;ADes= "ermite a-iarea !nor +ra-ice' 7n ca%!l criteriilor -erecventiale de anali%6 sa! a

minorilor !rit% sa! tabelei $o!tB !rit%' 7n ca%!l criteriilor al+ebrice.

;Po"B!" men!= Jer#ite aK"area 0n0i meni! 7n moment!l select6rii. *aca n!

este activat6' se a-iea%6 !n sin+!r b!ton' c! !n teDt care re"re%int6 con-i+!ra&ia c!rent6.

Aceast6 "osibilitate de control +ra-ic se -olosete at!nci c?nd se dorete selectarea !nei

o"&i!ni dintrBo lista m!t!al eDcl!siv6' -6r6 modi-icarea valorilor' ca 7n ca%!l b!toanelor

radio. !nt !tili%ate "entr! a "!tea selecta criteri!l dorit 7n vederea ob&inerii de

in-orma&ii c! "rivire la acesta.

Pentr! citirea i modi-icarea "ro"riet6&ilor -iec6r!i obiect am -olosit r5priety Inspet5r$

care "oate -i vi%!ali%at din meni!l "rinci"al din NiePr5priety Inspet5r sa! "rin clic


64/97

*e asemenea "entr! vi%!ali%area ierar>iei obiectelor se selectea%6 din meni!l "rinci"al

Nie POb!et Br5ser . Ast-el se "ot vi%!ali%a toate obiectele de control -olosite 7n reali%area

inter-e&ei +ra-ice.

,i+!ra 1#.bect Hroser

$9


65/97

301 Fu()#i Cll!)> [8]$[]

*!"6 c!m am amintit anterior "rin salvarea inter-e&ei constr!ite sBa +enerat !n -iier

j.-i+ care re&ine 7n -ormat binar ima+inea constr!it6' "rec!m i !n -iier -!nc&ie j.m careș

con&ine at?t variabilele de ti" str!ct!r6 cores"!n%6toare -iec6r!i obiect +ra-ic dar i o -!nc&ie

;Callbacis sa! circ!it 7nc>is am im"lementat o

secven&6 de "ro+ram ve%i aneDa1 7n Callbacis= i ;,!nc ia de trans-er 7n circ!it 7nc>is= care "ermit calc!larea acestora i a-i areaș ț ș ș

lor. n callbac


66/97

Fu()#i Cll!)> 2$(t'u C'it$'iu lui Hu'it5 [8]

,i+!ra 1(. ecven&6 din cod!l de "ro+ram "entr! criteri!l l!i !rit%

n "rima "arte am scris o secven&6 de "ro+ram "rin care se "reia! cei doi vectori

introd!i de la tastat!r6' vectori care re"re%int6 n!m6r6tor!l i n!mitor!l -!nc&iei de trans-er.Acetia s!nt trans-orma&i din strin4 7n num=r "rin instr!c&i!nea ; str2num=' iar a"oi c!

a!tor!l lor se creea%6 ec!a&ia caracteristic6 necesar6 !rm6toarei "6r&i din "ro+ram i an!meș

secven&a de "ro+ram 7n care este im"lementat al+oritm!l de calc!l al criteri!l!i l!i !rit%.

Acesta const6 7n calc!larea minorilor determinant!l!i ob&in!t. *ac6 este 7nde"linit6 condi&ia

de stabilitate i an!me' ca to&i coe-icien&ii de "e dia+onala "rinci"al6 s6 -ie "o%itivi' "e

inter-a&a +ra-ic6 va a"6rea mesa!l ;T5ate va-5ri-e determinanţi-5r 5bţinuţi sunt p5#itive$ dei

sistemu- este stabi- {' 7n ca% contrar va -i a-iat mesa!l ;(na sau mai mu-te din va-5ri-e

dia45na-ei sunt ne4ative$ dei sistemu- devine instabi- =J de asemenea "e inter-a&6 va -i a-iat6

$$


67/97

matricea !rit% i in-orma&ii c! "rivire la acest criteri!dac6 se dorete acest l!cr! ca 7n

eDem"l!l !rm6tor 7n care a -ost st!diat !n sistem de ordin!l II :

,i+!ra 1. t!dierea stabilit6&ii c! a!tor!l criteri!l!i l!i !rit%

$%


68/97

Fu()#i Cll!)> 2$(t'u C'it$'iu lui R&ut


69/97

,i+!ra 1`. t!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l criteri!l!i l!i $o!t>B!rit%

Fu()#i Cll!)> 2$(t'u C'it$'iul lui N=uist [8]

,i+!ra 20. Cod!l de "ro+ram "entr! criteri!l l!i FG!ist

$>


70/97

e "reia n!m6r6tor!l i n!mitor!l -!nc&iei de trans-er introd!i de la tastat!r6' setrans-orm6 din strin4 7n num=r i se creea%6 -!nc&ia de trans-er. A"oi este st!diat6 stabilitateasistem!l!i c! a!tor!l Criteri!l!i l!i FG!ist sim"li-icat' "entr! -!nc ia 7n circ!it desc>is i c!ț șa!tor!l Criteri!l!i l!i FG!ist +enerali%at' "entr! -!nc ia de trans-er 7n circ!it 7nc>is:ț

,i+!ra 21. t!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l criteri!l!i l!i FG!ist sim"li-icat

,i+!ra 22. t!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l criteri!l!i l!i FG!ist +enerali%at

istem!l este stabil deoarece c!rba "entr! -recven&a 0'h las6 "!nct!l critic B1' 0 last?n+a sa.

%


71/97

Fu()#i Cll!)> 2$(t'u L&)ul +$&%$t'i) l '"d")i(il&' [8]

,i+!ra 23. Cod!l de "ro+ram "entr! Loc!l r6d6cinilor

,i+!ra 2#. t!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l Loc!l r6d6cinilor

*!"6 ce sBa creat -!nc&ia de trans-er sBa trasat Loc!l +eometric al r6d6cinilor a !n!i

sistem de ordin!l II' la intrarea de ti" trea"t6. istem!l este stabil deoarece "olii sistem!l!i se

+6sesc 7n semi"lan!l st?n+ al "lan!l!i com"leD.

%1


72/97

Pe inter-a&6 mai "!tem vi%!ali%a i in-orma&ii c! "rivire la st!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l

Loc!l!i +eometric al r6d6cinilor.

Fu()#i Cll!)> 2$(t'u Di+'% lui J&d$ [8]

,i+!ra 2). Cod!l de "ro+ram "entr! *ia+rama l!i Hode

*!"6 crearea -!nc&iei de trans-er 7n b!cl6 desc>is6 "rel!?nd n!m6r6tor!l i n!mitor!l

introd!i de la tastat!r6 am calc!lat -!nc&ia de trans-er 7n b!cl6 7nc>is6 "rin instr!c&i!nea

5atlab ; feedbak = "entr! a "!tea trasa dia+rama Hode la intrarea de ti" trea"t6.

,i+!ra 2(. t!di!l stabilit6&ii c! a!tor!l dia+ramei l!i Hode

%2


73/97

istem!l este stabil deoarece ω, F ωπ

!nde : ω este "!lsa&ia la care mod!l!l vector!l!i ( ) ( ) , s s× este 1' iar π ω este

"!lsa&ia "entr! care -a%a sistem!l!i este 0180ϕ = − .

Pentr! a a-ia in-orma&ii c! "rivire la criteriile al+ebrice i -recven&iale am im"lementat

o secven&6 de "ro+ram 7n -!nc&ia Callbac< +enerat6 "entr! obiect!l de ti" lista de o"&i!ni

"o"!" men!.

*e eDem"l!' "entr! a vi%!ali%a in-orma&ii c! "rivire la criteriile al+ebrice am

im"lementat !rm6toarea secven&6 de "ro+ram' !nde c! a!tor!l instr!c&i!nii if "!tem ob&ine

in-orma&ii des"re criteri!l selectat:

function crtalg_Callback(hObject, eventdata, handles)

hpop=findobj(gcf,'Tag','crtalg')

val = get(hpop,'Value')

if val == !

set(handles"alg,'string','siste#ul este stabil daca toti #inorii

principali ai #atricii $ur%it& sunt strict po&itivi')

elseif val ==

set(handles"alg,'string','siste#ul este stabil daca in pri#a

coloana nu eista schi#bari de se#n, in ca& contrar siste#ul este

instabil')

end

ntre+!l cod de "ro+ram al a"lica&iei ;t!di!l stabilit6&ii sistemelor liniare contin!e c!

a!tor!l criteriilor al+ebrice i -recven&iale= va -i ataat la aneDa 2.

%&


74/97

303 A(li5 sist$%$l&' ;( !u)l" d$s)


75/97

,i+!ra 2. t!dierea stabilit6&ii sistem!l!i de ordin!l II av?nd -!nc&ia de trans-er "re%entat6

anterior c! a!tor!l criteri!l!i l!i !rit%

Este 7nde"linit6 condi&ia necesar6 i s!-icient6 ca acest sistem s6 -ie stabil i an!me' to&i

minorii determinant!l!i s!nt "o%itivi' deci sistem!l este stabil 7n b!cl6 desc>is6. Pe inter-a&6

mai "!tem vi%!ali%a i in-orma&ii c! "rivire la acest criteri!.

n contin!are voi st!dia stabilitatea acel!iai sistem dar de aceast6 dat6 7n b!cl6 7nc>is6

c! a!tor!l dia+ramei l!i Hode. n -i+!ra 2 "!tem vedea c6 sistem!l este instabil 7n b!cl67nc>is6. Condi&ia necesar6 i s!-icient6 ca sistem!l s6 -ie stabil este ca θ 0 sa! 50' !nde

θ re"re%int6 mar+inea de -a%6' iar 5 re"re%int6 mar+inea de am"lit!dine. Aceast6 condi&ie

n! este 7nde"linit6 7n acest ca%' deci sistem!l st!diat n! este stabil 7n b!cl6 7nc>is6.

,i+!ra 28. t!dierea stabilit6&ii sistem!l!i de ordin!l II av?nd -!nc&ia de trans-er "re%entat6 anterior

c! a!tor!l dia+ramei l!i Hode

%


76/97

30301 Sist$%ul $st$ st!il tKt ;( !u)l" d$s)is6 c! a!tor!l Loc!l!i +eometric alr6d6cinilor. istem!l este stabil deoarece "olii sistem!l!i se +6sesc 7n semi"lan!l st?n+ al "lan!l!i com"leD .

%$


77/97

CONCLUZII

A"lica&ia o-er6 "osibilitatea st!dierii stabilit6&ii sistemelor de re+lare a!tomat6 7ntrB!n

tim" c?t mai sc!rt i "rin mai m!lte metode. C! a!tor!l ei "!tem st!dia stabilitatea 7n tim"

contin!! dar se mai "oate reali%a 7n mod asem6n6tor !n instr!ment so-tare c! a!tor!l c6r!ia

s6 "!tem st!dia stabilitatea sistemelor 7n tim" discret -olosind criterii de stabilitate s"eci-ice

Criteri!l u!rF de eDem"l!.

Inter-a&a +ra-ic6 UI "ermite !n control interactiv al re"re%ent6rilor +ra-ice i se

ba%ea%6 "e "ro+ramarea c! obiecte. Pres!"!ne !tili%area te>nicii ;dra+ and dro"=' obiectele

"rede-inite -iind ad6!+ate 7n ,i+!ra c! obiecte "rin sim"la "lasare a acestora.

A"lica&ia de -a&a anali%ea%6 dac6 !n sistem este stabil sa! n! dar se mai "oate

7mb!n6t6&ii reali%?nd!Bse i sinte%a stabilit6&ii sistemelor liniare.

%%


78/97

$I$%I&'RFI

1. *ra+omir .' *ra+omir ,. 5inca E.' *!mitrac>e C.B /eoria sistemelor a!tomate.,!ndamente teoretice si a"licatii 5atlab' Edit!ra 5atriD$om' H!c!resti' 2010' IH:`8B `3B ))B (#(B 2

2. 5inca E.' *!mitrac>e C.' Hre%ean! I.' te-an 9.' *ra+omir ,.' *ra+omir . BCond!cerea inteli+enta a sistemelor a!tomate. ,!ndamente teoretice vol.I' Edit!ra5atriD$om' H!c!resti' 2010' $e-erenti stiinti-ici : Pro-. A. ,ili"esc!' Pro-. . t.Iliesc!' IH:`8B`3B))B)()B(

3. 5inca E.' *!mitrac>e C.' Hre%ean! I.' te-an 9.' *ra+omir ,.' *ra+omir . BCond!cerea inteli+enta a sistemelor a!tomate. A"licatii vol.II' Edit!ra 5atriD$om'H!c!resti' 2010' $e-erenti stiinti-ici : Pro-. A. ,ili"esc!' Pro-. . t. Iliesc!'IH:`8B`3B))B)((B3

#. oare C.' Iliesc! .t.' /!dor 9.' ,a+arasan! I.' *ra+omir .' *ra+omir ,. BProiectarea asistata de calc!lator in 5atlab si im!linnic H!c!reti' 1`82

(. 9lad Ionesc!' Corneli! Po"eea' Cond!cerea str!ct!ral6 a sistemelor liniare' Edit!ra/e>nic6' H!c!reti' 1`8(

. >tt":KK.mat>oretelor so-t 5atlab'im!lin


79/97

+nexa 1

*fi+area funciei de transfe

proiect_stabilitate DIACRITICE.doc

Documents

Transcript of proiect_stabilitate DIACRITICE.doc