Proiectii Cartografice

7/21/2019 Proiectii Cartografice

http://slidepdf.com/reader/full/proiectii-cartografice-56f783c4f3b43 1/269

PROIECŢII

CARTOGRAFICE

Sef. lucr. dr. Mihai Valentin HERBEI



OBIECTUL ŞI IMPORTANŢA

CARTOGRAFIEI



• Cartografia este ştiinţa care studiază baza matematică a hărţilor,metodele lor de construcţie şi multiplicare.

• Fiind o ştiinţă aplicată, ea are ca scop executarea diferitelor genuri de operecartografice necesare nevoilor economiei naţionale şi apărării naţionale. De

aceea, în problemele cartografiei intră de asemenea şi stabilirea metodelorde întocmire, pregătire pentru editare, editarea şi redactarea hărţilor,precum şi principiile organizării şi planificării producţiei cartografice.

• Cartografia este ştiinţa care se ocupă cu întocmirea şi utilizarea hărţilor . Cu

timpul a devenit o ştiinţă independentă, cu următoarele ramuri: – cartologia - se ocupă cu analiza hărţilor, inclusiv cu evoluţia istorică a acestora; – cartografia matematică sau teoria proiecţiilor - se ocupă cu studiul diferitelor

sisteme de a reprezenta elipsoidul terestru pe un plan; – întocmirea hărţilor - studiază metodele necesare pentru întocmirea originalului

hărţii;

– cartoreproducerea - studiază metodele şi procedeele tehnice de editare aoriginalului hărţii şi de multiplicare a lui; – cartometria - este ramura cartografiei care studiază instrumentele şi metodele

cu ajutorul cărora se pot face diferite măsurători pe hartă.



• Obiectul de studiu al cartografiei l-a constituit la început, reprezentarea suprafeţei terestre pe osuprafaţă plană, care este harta.

• Cartografia este legată de alte ştiinţe naturale, tehnice,filozofice etc., cu care se găseşte într-o interdependenţă

evolutivă. Cartografia a preluat concepte ale altorştiinţe, dar a şi contribuit la dezvoltarea acestora.

• O deosebită importanţă o au legăturile cu ştiinţelePământului (geoştiinţele) şi ale planetelor care includ:geodezia, topografia, fotogrammetria, teledetecţia,geografia, ecologia, astronomia, planetologia etc.



ISTORICUL CARTOGRAFIEI



Reprezentareacartografică petăbliţă de argilă de

la sfârşitul mil.III

Papirusul policrom( Egipt) (1200 î.Hr)

Reprezentare a

traseelor cu aur dinEgiptul Antic, acumla Torino, din timpulregelui Seti I(1350-1205 î.Hr.).



7

Anaximandru din Milet (611-546 î.e.n.)



Lumea cunoscuta pe vremea luiEratostene, in forma plata



9

T urnul din Alexandria, umbra şi raza solară formează un triunghidreptunghic (portocaliu). Cunoscând catetele, Eratostene a calculatvaloarea unghiului A, 7.2 grade. Dar cum unghiul A este egal cu B,acesta din urmă are aceeaşi valoare.

7,2 grade …… 793.80 km360 grade …… ? (circumferinţa – 36.690km)

Circumferinta reala 40.075,24 km



Claudiu Ptolemeu(87 d.Hr. – 165 d.Hr.)



Fragment din harta lui Claudius Ptolomaeus (sec. II p. Chr.) privind teritoriulDaciei între munţii Carpaţi şi Balcani

b l



Tabula Peutingeriana

Transilvania

l d l fâ i l l l i l l

http://ro.wikipedia.org/wiki/Secolul_al_XIII-lea








Portulan de la sfârșitul secolului al XIII-lea

G h d K M









Gerhard Kremer – Mercator(1512-1594)

Harta lumii - 1569



Atlasul lui Mercator – Transilvania - 1585



Abraham Ortelius (1527 –1598)



Harta Transilvaniei(1570)



Harta Cassini(fragment-regiunea pariziană)



OBSERVATORUL ASTRONOMIC DE LAGRADISTEA DE MUNTE (SARMIZEGETUSA)



Harta Stolnicului Cantacuzino (1701)



r ma ar a o ove(Dimitrie Cantemir)

d l ( )

http://istoriiregasite.wordpress.com/2010/05/19/inventii-in-istorie-cartografia/72100_dimitrie-cantemir/



Porţiune din Harta lui Cuza (Satmari)1864 (Bucuresti)

H t Ti i i i i j i il d l



Harta Timisoarei si a imprejurimilor de la1769

http://3.bp.blogspot.com/-wgNMfosgVvg/TW1YKVjOoLI/AAAAAAAAAd4/OmzFPfyzxFg/s1600/timisoara0.jpg



Harta cetatii Timisoara - Scara 1:28.800

Ti i 1910

http://1.bp.blogspot.com/-AY4lmjBqIoM/TW1JHLrhmaI/AAAAAAAAAdo/qUdjpwNy1PE/s1600/timisoara1.jpg



Timisoara 1910



PLANURI DIRECTORALE DE TRAGERE



FORMA ŞI APROXIMAREAPĂMÂNTULUI



SUPRAFETE DE REFERINTASUPRAFAŢA FIZICĂ

TERESTRA (TOPO)

SUPRAFAŢA DEREFERINŢĂ

GEOIDUL

Ă



ELIPSOIDUL DE REFERINŢĂ

Prin elipsoid de referinţă se înţelege elipsoidul terestru general, adoptat

convenţional, care aproximează cel mai bine geoidul.Suprafaţa acestui elipsoid este o suprafaţă pur geometrică şiconvenţională, faţă de care se defineşte poziţia geoidului şi faţă de carese determină poziţia unor puncte de pe teren prin coordonate

geografice.

P(xp, yp, zp) - punct aparţinând elipsoidului

Prin intermediul celor două semiaxe se definesc:

prima excentricitate, notată cu “e”;a doua excentricitatea, notată cu “e' “ ;

turtirea, notată cu “α” sau „f” ;



Elipsoizi utilizaţi în România

Denumireaelicoidului

de referinţă

Anuldeterminării

Semiaxamare (m)

Turtireageometrică

Perioada deutilizare în

România

Bessel 1841 6377397,115 1:299,153 1873 - 1916

Clarke 1880 6378249,145 1:293,465 1919 – 1930

Hayfort 1909 6378388,000 1:297,000 1930 – 1951

Krasovski 1940 6378245,000 1:298,300 1951

WGS84 1984 6378137,000 1:298,257 1992

SISTEME DE REFERINŢĂ ŞI DE



SISTEME DE REFERINŢĂ ŞI DECOORDONATE

Un sistem de referinţă şi de

coordonate este constituit dintr-undatum şi un sistem de coordonate.



Datum geodezic • Datumul geodezic este un set de convenţii (set de

parametrii, deci fără erori) care stabileşte relaţii spaţiale între un sistem de coordonate şi Pământ. Acesta defineşteforma şi dimensiunile Pământului precum şi originea şiorientarea unui sistem de coordonate utilizat la

reprezentarea suprafeţei terestre.• În România s-a adoptat datum-ul “Pulkovo 42” (ce poate fi

găsit şi sub denumirea “Dealul Piscului”), derivat dinelipsoidul Krasovsky. Pe viitor se doreşte pentruconformitatea cartografică cu Europa, să se adoptedatumul “WGS84” (bazat pe sferoidul GRS80).

• DATUM = ELIPSOID + PUNCT DE

CONSTRANGERE



Sisteme de coordonate

• Un Sistem de coordonate reprezintă un cadrude referință bidimensional sau tridimensional,alcătuit din:

• Set de puncte, linii și / sau suprafețe

• Set de reguli utilizate pentru definirea pozițieipunctelor din spațiu

• Există trei tipuri de coordonate:



• Există trei tipuri de coordonate:

• Altitudinea sau înălţimea (mai puţin utilizattermenul de cotă) exprimă distanţa pe verticală între o poziţie şi o suprafaţă „orizontală” definită careferinţă;

• Coordonate geografice exprimă în termeni de

latitudine şi longitudine poziţia unui obiect pe sferăsau elipsoid;

• Coordonate carteziene sau coordonate în sistemul

de proiecţie al hărţii care exprimă poziţia unuiobiect, în termeni de nord şi est, pe un plan pe carea fost proiectată suprafaţa terestră.



COORDONATE CARTEZIENE

• Sistemul de coordonate carteziene este sistemul acărui axe sunt ortogonale.

• Sistemul de referinţă cartezian este folosit lasuprafeţele plane de proiecţie.



COORDONATE GEOGRAFICE

• Sistemul de Coordonatele geografice estesistemul de coordonate care utilizeazălatitudinea și longitudinea pentru definirea

locației punctelor de pe suprafața terestră.

• Prin intersecţia planelor ce conţin axa polilor şi



• Prin intersecţia planelor ce conţin axa polilor şisuprafaţa terestră, rezulta meridianele.

• Prin intersecţia globului terestru cu planele paralele

la Ecuator, rezultă paralelele

• Din infinitatea de meridiane se considera în mod



Din infinitatea de meridiane, se considera în modconvenţional ca meridian „0” meridianul care trece prinobservatorul Greenwich

• Unghiul diedru format de planul meridian ce trece prinGreenwich, şi planul meridian al locului, se numeştelongitudine, notată cu „”

• Longitudinea poate fi

W sau E



• Paralela 0” sau paralela medie este considerată



• Paralela „0 sau paralela medie este consideratăEcuatorul EE'. Unghiul format de verticala locului şiproiecţia acesteia pe planul ecuatorial, se numeşte

latitudine, notată cu „ ”• Latitudinea poate fi N sau S

P' V



P

P

E'E

O

V

O

1

P0

Sistemul Terestru de Referinţă Internaţional - International



Sistemul Terestru de Referinţă InternaţionalTerrestrial Reference System

ELEMENTE DE DEFINIRE A ELIPSOIDULUI



ELEMENTE DE DEFINIRE A ELIPSOIDULUIDE REFERINŢĂ

PARAMETRII ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

Considerăm suprafața elipsoidului de referință ca suprafață a unui elipsoidde rotație ; atunci se poate admite că acesta rezultă prin rotația unei elipsemeridiane în jurul axei mici. Fie elipsa meridiană ce generează elipsoidul derotație situată în planul xOz

O

b

a

x

E'

P'

E

P

P'0

P0

P

zP

x

z

12

2

2

2

b

z

a

x

•a - semiaxa mare ecuatorială a elipsoidului ;•b - semiaxa mică polară a elipsoidului.Prin intermediul celor două semiaxe se definesc:•prima excentricitate, notată cu “e”;•a doua excentricitatea, notată cu “e' “ ;•turtirea, notată cu “α” ;

2 2 2 2

2 22 2

; ;a b a b a be ea b a

Parametrii a, b, e, e', α sunt parametrii de bază caredetermină elipsa meridiană, problema fiind rezolvabilă în cazul

în care sunt cunoscuți doi dintre aceștia (din care un

parametru fiind o lungime).

2 22 2

1 1 1b a b



2 2

2 2

2 22 2

2 2

22 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1 ; 1; 1

1 ;1 ;1

1 11 ;1 ;(1 )

1 1

1 11 ; 1;1 21 1

; ;1 1 2

e ea b a

b a be e

a b ab

e ee e a

be ee e a

e e ee e

e e

2 0 (S-a considerat fiind foarte mic).

Un parametru întâlnit foarte frecvent în calculelegeodezice îl constituie şi raza de curbură polară C exprimatăprin relația:

2

2

b

aC

ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSOIDULUI DE



ECUAŢIILE PARAMETRICE ALE ELIPSOIDULUI DEREFERINŢĂ

• EE1 diametrul cercului ecuatorului;

• PGP’ meridianul origine;

• E'E'1 diametrul paralelului punctului oarecare Mo;

• normala la suprafaţa elipsoidului a punctului Mo;

• tangenta în Mo la curba meridiana ;

• tangenta în Mo la paralelul punctului Mo

V

mT

pT

O

P'

Pz

EE y

r E'1E'

Tp

Tm

V

M0

S

F

1

O'1

O

x

Gr

1

• A stabili ecuațiile parametrice ale elipsoidului de referința înseamnă a



stabili o corespondenta între cele doua sisteme de coordonate, de forma :x f ( , )

y g( , )

z h( )

În acest scop considerăm elipsa meridiană ce trece prin Mo. Punctul Mo fiind punct curent pe elipsameridiană va avea coordonate r,z care verifica relaţia:

12

2

2

2

b

z

a

r

z

x

O1

O

O2 r=x M0

M'0

EE

1

d

M''0

dz

P'

P

Notăm : W e 22sin1

2

cos

(1 )sin

ar

W

a e z

W

W

ea

z

W

a y

W

a x

sin)1(

sincos

coscos

2

ecuațiile parametrice aleelipsoidului de referință

ecuațiile parametrice aleelipsei meridiane



RAZE DE CURBURĂ ÎNTR-UN PUNCT SITUAT PESUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE REFERINŢĂ

• Expresia razei mici de curbură Mz

x

O'

O1

M0

M'0

EE

1

d

ds

P'

P

M

3

2 )1(

W

ea M

22

2

2 2 2

2 22

2

2 2( ) ( )

ds Md

ds M d

ds dr dz

dr dz M

d

dr dz M

d d

• Raza mare de curbură N



Raza mare de curbură Nz

x

O

1O

O2 M0

EE

1

P'

P

r

Ncos

r

N SAU W

a

N

•Expresia razei de curbură după o direcţie oarecare

z

x

O

O1

0

EE

1

P'

P

0

MR

V

22 sincos M N

MN R

• Expresia razei medii de curbură Rm



Expresia razei medii de curbură Rm

O'

M

N

O

P C

meridian

ecuator

V-verticala

MN RG

LUNGIMEA ARCULUI DE MERIDIAN



LUNGIMEA ARCULUI DE MERIDIAN

Considerăm egalitatea cu ajutorul căreia

putem stabili lungimea arcului de meridian cuprinsa între doua puncte P1si P2 de latitudinea φ1 şi φ2

situate pe aceasta şi scriem :

Md ds

2

1

2

121

Md dsS

P

P 3

2)1(

W

ea M

d eeaS 2

3

222

21 )sin1()1(2

1

Practic, pentru a calcula arcul de meridiande lungime finită folosim relaţia:

),0(),0(),( 1221 mmm S S S

În care:

LUNGIMEA ARCULUI DE PARALEL



LUNGIMEA ARCULUI DE PARALEL• Pe un paralel de raza r şi de latitudine φ se

consideră două puncte P1 şi P2 situate la o distanţăd φ. In această situaţie vom longitudinea λ-dλ, deci între cele doua puncte exista diferenţa delongitudine dλ.

• Pentru arcul elementar de parale poate fi scrisarelaţia:

• Când punctele P1P2 la distanţa finită, longitudinile

lor fiind λ1şi λ2 se poate stabili lungimea arcului deparalel integrând egalitatea de mai sus respectiv

d rdl

2

1

)( 21

21

r d r l

• Practic, arcul de paralel finit se calculează cu relaţia:



act c, a cu de pa a e t se ca cu ea ă cu e aţ a

O

P'

P

E'E

r E'1E'

1

O2

d

dl d

SCARA HĂRŢII MODULI DE DEFORMARE



SCARA HĂRŢII. MODULI DE DEFORMARE

SCARA HĂRŢII• Să consideră, elipsoidul de rotaţie nu în mărime reală ci micşorat de N ori, de atâtea ori câteste necesar ca o regiune din suprafaţa sa să se poată reprezenta pe o foaie de hârtienormală servindu-ne de ecuaţiile hărţii.

• Notăm cu ds, elementul liniar dintre două puncte oarecare ale elipsoidului micşorat şi cu ds0

distanţa corespunzătoare de pe suprafaţa elipsoidului terestru(neredus). Vom nota cu 0 şi

vom numi scară principală sau generală a hărţii raportul:

• Sau:

00

ds

ds

N

10

0

( )

ds

N ds

MODULUL DE DEFORMARE LINIARĂ



• Deformaţia liniară este exprimată, de obicei, prin raportul dintreelementul liniar din planul de proiecţie şi elementul de arc de pesuprafaţa folosită pentru aproximarea formei Pământului.

• Notăm cu ’ şi vom numi modul de deformare liniară, raportul dintreelementele liniare omoloage ds’, ds de pe hartă şi de pe elipsoidulterestru(redus), deci:

ds

'ds'

MODULII DE DEFORMARE AREOLARĂ ŞIĂ



UNGHIULARĂ• Vom însemna cu p şi vom numi modulul de deformare areolară raportul între elementele de

arie omoloage dS’, dS din plan şi de pe suprafaţa terestră:

• Vom însemna cu şi vom numi modulul de deformare unghiulară relativ la direcţia ,

diferenţa între unghiurile şi corespunzătoare, de pe elipsoid şi din plan:

dS

dS

p

'

CURBE PE SUPRAFAŢA ELIPSOIDULUI DE



ŢREFERINŢĂ

ELEMENTUL DE ARC AL UNEI CURBE TRASATE PE SUPRAFAŢA TERESTRĂ

Se dă suprafaţa S ale cărei ecuaţii parametrice sunt:

Elementul de arc al unei curbe trasată pe suprafaţa S este dat de expresia:

Diferenţiind avem:

( , )

( , )

( , )

x x

y y

z z

2222

dz dydxds

2 2 2 2( ) ( ) ( )

dx dxdx d d

d d

dy dy dx dx dy dy dz dz dy d d ds d d d d d d d d d d d d d d

dz dz dz d d

d d

• sau cu notaţia lui Gauss:222

)()()( d

dz ddy

ddx E



ţ

222)()()(

d

dz

d

dy

d

dxG

d

dz

d

dz

d

dy

d

dy

d

dx

d

dx F

d d d

2222 Gd d Fd Ed ds

• În cazul când suprafaţa S este un elipsoid de rotaţiea cos



• Derivând parţial pe X, Y,Z în raport cu şi obţinem:

unde M şi N sunt razele de curbură principale, ale căror valori sunt date de expresiile:

W

ea Z

W

aY

W

a X

sin)1(

sincos

coscos

2

22sin1 eW

2

2 2 3/2

2 2

2 2 1/2

(1 )

(1 sin )

; 0; ( cos )(1 sin )

a e M

e

a N E M F G N

e

• Deci elementul de arc al curbei trasată pe suprafaţa elipsoidului de rotaţie este dat deexpresia:



expresia:

• Pe paralel avem =const. şi d=0, deci elementul de arc de paralel are forma următoare:

iar pe meridian =const., d=0 şi avem:

• Dacă presupunem că suprafaţa Pământului este sferică, atunci meridianele vor fi cercuri marişi vom avea, dacă notăm cu R raza sferei:

22222 d r d M ds

rd dsd r ds

p

p

222

Md ds

d M ds

m

m

222

cos Rr

R M

])(cos[2222 d d Rds

d Rds p cos

Rd dsm

(2.62

(2.3)

UNGHIUL CURBELOR PARAMETRICE



EG

E Z Z Y Y X X

EG

)(

1cos

2

sin EG F H

EG EG

2 F EG H

UNGHIUL A DOU CURBE TRASATE PESUPRAFAŢA TERESTRĂ



SUPRAFAŢA TERESTRĂ

• Vom însemna cu şi vom numi azimut , unghiul pe care-l face elementul de arc ds cu direcţiile pozitive aliniei de coordonate =const., în punctul M(,) (adică unghiul pe care-l face elementul ds în direcţianord a meridianului).

•Cosinuşii

directori ai elementului ds=MM1 seobţin împărţind

cu ds membrii ai doilea airelaţiilor

:

1 1cos ( ) ( ) ( )

dx dxdx d d

d d

dy dy X X X Y Y Y Z Z Zdy d d

d d s s s E E

dz dz dz d d

d d

sau având în vedere expresiile: 222 )()()( d

dz ddy

ddx E



vom obţine:

222 )()()(

d

dz

d

dy

d

dxG

d

dz

d

dz

d

dy

d

dy

d

dx

d

dx F

d d d

2 2

2 2

22

cos

( )sin 1 cos

2

E d E

s ds E

Ed Ed Eu F Eds Ed Fd

Eds Eds E Eu Fu G

ELEMENTUL DE ARIE AL SUPRAFEŢEI



TERESTRE

ELIPSA DEFORMAŢIILOR



• Prin elipsa de deformație se înțelege imaginea unui cerc infinit mic de pe suprafaţaelipsoidului sau a sferei în planul unui sistem de proiecţie cartografică, unde deformaţiileliniare depind şi de azimut. Se consideră pe elipsoidul de rotaţie o suprafaţa elementaraABCD, în care se înscrie un cerc cu raza ds = 1 (Figura 1) , căreia în planul de proiecţie îi va

corespunde patrulaterul A'B'C'D', iar cercului ii va corespunde o elipsa (Figura 2).

Figura 1. Cerc infinit mic pe suprafaţa elipsoidului

(R=ds=1 ; R=OV=OT)

Figura 2 Elipsa de deformaţie în planul de proiecţie (a=O’V’ ; b=O’T’)

• Se observă că, prin proiecţia cercului infinit mic de pe elipsoid în planul de proiecţie, rezultă în general, o elipsa alecărei semiaxe (a,b) indica direcţiile principale (I'-I) şi (n'-n') pe care se produc deformaţiile maxime şi, respectiv,deformaţiile minime



deformaţiile minime .

• Direcţiile principale de pe suprafaţa elipsoidului (I-I) şi ( II-II ) şi din planul de proiecţie (I'-I') şi (n'-n') pe care se producdeformaţiile şi mărimea acestora sunt perpendiculare între ele. În unele cazuri axa mare coincide cu direcţiameridianului de longitudine λ , iar axa mica cu direcţia paralelului de latitudine φ sau invers, dar în general, acestedirecţii au o poziţie diferită (Figura 2).

• Dacă suprafaţa elipsei de deformaţie este mai mare sau mai mică decât suprafaţa cercului de pe elipsoid rezultă că înurma reprezentării, suprafeţele s-au modificat în sens pozitiv sau în sens negativ, iar unghiurile au deformaţii înproiecţie.

• Dacă cercul de pe elipsoid se reprezintă tot prin cerc rezultă că, deformaţiile sunt uniforme pe cele doua direcţiiprincipale, iar proiecţiile sunt conforme.

• Din punct de vedere practic, repartizarea deformaţiilor de pe o harta se poate analiza cu ajutorul unor tabele de

deformaţii, ce se anexează la harta respectivă sau cu ajutorul izocolelor , ce se reprezintă sub forma unor cercuri

concentrice sau a unor linii care unesc punctele egale ale deformaţiilor de pe o harta.• Modulul într-un punct M(,) în general este funcţie de azimutul ; pentru diferite azimute 1, 2,… vom avea

diferiţi moduli ’1, ’2,… în reprezentarea pe plan, în punctul M’(x,y) azimutelor1, 2,… le vor corespunde unghiurile1, 2,…. Vom lua imaginea meridianului care trece prin M drept meridian axial. Ducem din punctul M’(x,y) diferitedirecţii care formează cu tangenta la imaginea meridianului axial, unghiurile 1, 2,…măsurăm pe aceste direcţii,

începând de la punctul M’, diferite segmente egale cu valorile modulilor de deformare liniară corespunzători direcţiilorrespective şi apoi unim extremităţile acestor segmente cu o linie curbă continuă. Vom demonstra că această curbăeste o elipsă.

Determinarea elipsei deformaţiilor



sin

cos

y

x

ELEMENTELE UNUI SISTEM DE



ELEMENTELE UNUI SISTEM DEPROIECŢIE

• planul de proiecţie P este suprafaţa pe care se faceproiectarea porţiunii de pe elipsoid. Planurile deproiecţie pot fi suprafeţele plane, tangente sau secantela suprafaţa de reprezentat, de pe glob, suprafeţedesfăşurabile sub formă de cilindru sau con;

• punctul central al proiecţiei C este punctul din centrulzonei de proiectat faţă de care se face proiecţia acestei

zone. Acest punct poate fi materializat sau fictiv

• punctul de vedere 0 este punctul în care se considerăaşezat ochiul observatorului când priveşte zona deproiecţie;

• reţeaua geografică este reţeaua de meridiane şi paralelede pe globul terestru care se proiectează pe hartă;

• reţeaua cartografică este reţeaua de linii drepte saucurbe rezultate din proiecţia în plan a meridianelor şiparalelelor globului pământesc;

• reţeaua rectangulară este formată din drepteechidistante paralele cu sistemul de axe rectangulareplane Ox şi Oy .

• scara reprezentării



CLASIFICAREA PROIECŢIILOR

CARTOGRAFICE



• După caracterul deformaţiilor

• După suprafaţa pe care se face proiectarea

• După poziţia pe glob a centrului reţelei cartografice• Dupa intersectia planului de proiectie

• După utilizarea proiecţiilor în construcţia hărţilor

CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE



DUPĂ CARACTERUL DEFORMAŢIILOR

1. Proiecţii conforme – sunt proiecţiile care păstreazănedeformate unghiurile.

^^

'

2 Proiecţii echivalente sunt cele care păstrează



2. Proiecţii echivalente – sunt cele care păstreazănedeformate suprafeţele.

3. Proiecţii echidistante –nu deformează distanţele.



CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE DUPĂ SUPRAFAŢA PE



Ţ ŢCARE SE FACE PROIECTAREA ŞI ASPECTUL REŢELEI CARTOGRAFICE

• proiecţii azimutale;

• proiecţii cilindrice;

• proiecţii conice;

• proiecţii pseudocilindrice;

• proiecţii pseudoconice;

• proiecţii policonice;• proiecţii circulare.



Proiecţii azimutale

• proiectarea se face pe un plan, iar reţeauacartografică poate avea paralelele sub formăde cercuri, iar meridianele sub formă de linii

drepte• Se folosesc mai ales pentru reprezentarea

suprafeţei terestre pe emisfere (E, V, N, S) şi

pentru reprezentarea unor teritorii cu aspectmai mult sau mai puţin circular.



Proiecţii azimutale şi aspectul reţelei normale in proiecţiile azimutale drepte



Proiecţii cilindrice

• proiectarea se face pe suprafaţa laterală a unuicilindru, care apoi se desfăşoară prin tăierea înlungul unei generatoare.

• Meridianele şi paralelele sunt linii drepte, paralele între ele şi perpendiculare unele pe celelalte.



Proiecţii cilindrice şi aspectul reţele normale în cazulproiecţiilor echidistante

P i ii i



Proiecţii conice

• proiectarea se face pe suprafaţa laterală aunui con. Paralelele sunt arce de cerc, iarmeridianele linii drepte ce se întâlnesc într-un

punct corespunzător cu vârful conului.



Proiecţii conice şi aspectul general al rețelei normale inproiecţiile conice drepte

• Proiecţii poliedrice



• Proiecţii pseudocilindrice

• Proiecţii pseudoconice

• Proiecţii circulare

• Proiecţii derivate

CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE DUPĂ POZIŢIAPE GLOB A CENTRULUI REŢELEI CARTOGRAFICE



PE GLOB A CENTRULUI REŢELEI CARTOGRAFICE

1. Proiecţii normale sau drepte – sunt cele în care axa polilor,deci axa globului, coincide cu axa conului sau cilindrului, încazul proiecţiilor conice şi cilindrice, iar în cazul proiecţiilorazimutale, planul de proiecţie este tangent în pol şi deciparalel cu planul ecuatorului.

2. Proiecţii transversale sau ecuatoriale – sunt proiecţii în careaxa cilindrului sau conului este perpendiculară pe axapolilor, iar în cazul proiecţiilor azimutale, planul de proiecţieeste tangent la ecuator şi prin urmare este paralel sau se

confundă cu planul meridianului.3. Proiecţii oblice – sunt acelea în care axa cilindrului sau

conului face cu axa polilor un unghi mai mic decât un unghidrept, iar în cazul proiecţiilor azimutale, planul de proiecţie

face un anumit unghi <900 cu axa polilor.




a) Proiecţii drepte b) Proiecţii oblice c) Proiecţii transversale


Proiecţii cilindrice




ţ

Proiecţii conice




CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE DUPĂ



CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE DUPĂINTERSECŢIA PLANULUI DE PROIECŢIE CU GLOBUL

• Proiecţii tangente• Proiecţii secante

CLASIFICAREA PROIECŢIILOR CARTOGRAFICE DUPĂMODUL DE UTILIZARE LA ÎNTOCMIREA HĂRŢILOR



MODUL DE UTILIZARE LA ÎNTOCMIREA HĂRŢILORproiecţii cartografice utilizate pentru întocmirea hărţilor universale:

• proiecţia AITOV-HAMMER;

• proiecţia GRINTEN;

• proiecţia MERCATOR;

• proiecţia MOLLWEIDE;

• proiecţia SANSON – FLAMSTEED.

proiecţii cartografice utilizate pentru întocmirea hărţilor emisferelor:

• proiecţia azimutală ecuatorială LAMBERT;

• proiecţia azimutală ecuatorială POSTEL

• proiecţia azimutală ecuatorială STEREOGRAFICA;• proiecţia azimutală ecuatorială ORTOGRAFICA;

• proiecţia sferică sau globulară;

• proiecţia MOLLWEIDE.

proiecţii cartografice utilizate pentru întocmirea hărţilor continentale:

• proiecţia azimutală orizontală LAMBERT;

• proiecţia azimutală ecuatorială LAMBERT;• proiecţia azimutală orizontală POSTEL;

• proiecţia azimutală polară POSTEL;

• proiecţia SANSON – FLAMSTEED;

• proiecţia pseudoconică echivalentă BONNE;

• proiecţia cilindrică transversală conformă GAUSS – KRUGER.

PROIECŢII CILINDRICE DREPTE



Ecuaţiile generale ale hărţii



Deformaţiile în cazul reprezentării elipsoidului de rotație

• Modulul de deformare liniară pe direcţia



• Modulul de deformare liniară pe direcţiameridianului (m)

• Modulul de deformare liniară pe direcţiaparalelului (n)



paralelului (n)



• Modulul de deformare areolara (p)



• Modulul de deformare unghiulara ( )

• Formulele generale ale proiecţiilor cilindrice dreptepentru reprezentarea elipsoidului:



pentru reprezentarea elipsoidului:

• Formulele generale ale proiecţiilor cilindrice dreptepentru reprezentarea sferei :

, unde constant

; si

sau 452 2

x f

y

dxm n p m n Md Ncos

a b a sin tg

a b b

, unde constant

; si

sau 452 2

x f

y

dxm n p m n

Rd Rcos

a b a sin tg

a b b

PROIECŢIA CILINDRICĂ DREAPTA CU REŢEAUAPĂTRATICĂ



• Proiecţia cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane (m = 1), cu reţeaua pătratică, în cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre se calculează şi se

construieşte grafic, pe baza următoarelor formule:

0

0

φ100

100

cm

cm

x s R

y s R



PROIECŢIA CILINDRIC DREAPT CU REŢEAUADREPTUNGHIULARĂ



PROIECŢIA CILINDRICĂ DREAPTA ECHIVALENTA LAMBERT (P = 1), CULATITUDINI DESCRESCANDE



Proiecţia cilindrică dreapta echivalenta Lambert (p = 1), cu latitudini

descrescânde, în cazul cilindrului tangent la ecuatorul sferei, denumita şi"izocilindrică", se calculează cu ecuaţiile:

Deformaţiile proiecţiei se exprimă cu formulele :

0

0

100

100

cm

cm

x s R sin

y s R

1

1

p mn

m cos

ncos

1 45

4

a n

b m

tg cos



PROIECŢIA CILINDRICĂ

TRANSVERSALĂ GAUSS-KRÜGER

1 ISTORIC



• Acest sistem de proiecţie a fost conceput în anii 1825-1830 de cătrecelebrul matematician german Karl Friedrich Gauss (1777-1855), iarmai târziu Johannes Krüger (1857-1923), a elaborat, în anul 1912,formulele necesare pentru trecerea coordonatelor punctelor de peelipsoidul de rotaţie în planul de proiecţie. Astfel ca fost adoptata

denumirea de "proiecţia Gauss - Krüger" , precum şi "reprezentareaconformă Gauss" , iar în practica curentă "proiecţia Gauss".

• În România, proiecţia Gauss a fost introdusa în anul 1951, când s-aadoptat şi elipsoidul de referinţă Krasovski - 1940. Sistemul de

proiecţie Gauss s-a folosit la întocmirea planului topografic de baza lascara 1:10.000, a hărţii topografice de baza la scara 1:25.000, precumşi a hărţilor unitare la diferite scări, pana în anul 1973.

1. ISTORIC

• Proiecţia GAUSS KRUGER se caracterizează prin aceea că o anumită porţiune din2. CARACTERISTICI



ţ p p ţsuprafaţa terestră se reprezintă pe suprafaţa unui cilindru tangent şi transversal lasuprafaţa de referinţă considerată sferică

• Pentru reprezentarea unitară a elipsoidului terestru în planul de proiecţie au foststabilite meridianele de tangenţă pentru întregul Glob, rezultând un număr de 60de fuse geografice de câte 6° longitudine, începând cu meridianul de origineGreenwich;

3. REŢEAUA CARTOGRAFICĂ



• Reţeaua cartografica în proiecţia Gauss este formata din imaginea plana a meridianului axial al fiecăruifus de 6° longitudine, a ecuatorului şi a celorlalte meridiane şi paralele ce se reprezintă după cumurmează:

• Meridianul axial al fusului de 6° longitudine se reprezintă în plan printr-o linie dreapta (NS), careconstituie axa de simetrie a fusului şi totodată axa absciselor (XX');

• Arcul de ecuator cuprins între meridianele marginale ale unui fus de 6 ° longitudine se reprezintă printr-un segment de dreapta (WE), perpendicular pe proiecţia meridianului axial (NS), fiind considerat ca axa aordonatelor (YY');

• Meridianele se reprezintă prin linii curbe convergente la poli, având concavitatea îndreptată spremeridianul axial al fusului considerat, fiind simetrice faţă de imagine plana a acestuia (NS);

• Paralelele se reprezintă prin linii curbe cu concavitatea îndreptată spre polii geografici, fiind simetrice

faţă de imaginea plana a ecuatorului (WE).

4. NUMEROTAREA FUSELOR• Numerotarea fuselor de 6° se face cu cifre arabe, de la 1, 2,..., la 60,

î â d f l 1 li it t d idi l d 180° i d 174°



începând cu fusul 1 limitat de meridianele de 180° şi de -174°longitudine vestica. Numerotarea fuselor se continuă spre est până la

fusul nr. 30 (cuprins intre -6° longitudine vestica şi 0° - meridianulGreenwich).

• Se continua numerotarea fuselor de 6° longitudine cu fusul 31

(cuprins intre meridianul Greenwich de 0° longitudine şi meridianulde 6° longitudine estica) şi până la fusul 60, limitat de meridianul de174° longitudine estică şi de meridianul de 180° .

• Teritoriul României se reprezintă cartografic în doua fuse de cate 6°longitudine cu numerele 34 şi 35 cu meridianele axiale de 21° şi 27°longitudine est Greenwich

• Prin trasarea de paralele la ecuator din 4 în 4 grade pe latitudine s-arealizat împartirea globului în zone(benzi) geografice care s-aunumerotat cu literele A,B,C,……,V, respectiv SA,SB….SV, începand de laecuator pîna la paralelul de +80o la nord şi respective -88o la sud .



60



5. SISTEMUL ŞI ORIGINEA AXELOR• În proiecţia Gauss, se consideră pentru fiecare fus de 6° longitudine un sistem propriu axe de

coordonate rectangulare plane, a cărui origine O se găseşte la intersecţia meridianului axial, care



g p , g g ş ţ ,reprezintă axa OX, cu Ecuatorul, ce reprezintă axa OY . Deci, pentru reprezentarea întregii suprafeţe aGlobului terestru, se vor utiliza un număr de 60 sisteme de coordonate rectangulare plane.

• Coordonatele rectangulare plane ale unui punct oarecare P(x p ,y p ) din emisfera nordica a Globului

terestru, se vor exprima, în cazul absciselor X numai prin valori pozitive, care la latitudinea României suntmai mari de 5000km.

• Valorile ordonatelor y, sunt pozitive sau negative, în funcţie de poziţia punctelor faţă de meridianul axial,care sunt situate în dreapta (ordonate pozitive) sau în stânga (ordonate negative).

• Pentru pozitivarea valorilor negative ale ordonatelor Y din stânga meridianului axial al unui fus de 6°longitudine, s-a efectuat translarea originii sistemului de axe cu +500 km spre vest. Deci, ordonatele

tuturor punctelor se vor modifica prin adăugarea valorii de + 500 km, funcţie de coordonatele originiitranslate :

• O ' ( X0 =0,000m şi Y0 = 500 000, 000 m ).

• Deoarece este posibil ca din punct de vedere practic sa se obţină aceeaşi valoare a ordonatei Y pentrumai multe puncte, ce sunt situate în fuse diferite, s-a convenit sa se scrie în faţă valorii ordonatei Y şinumărul de ordine al fusului de 6°. Cifrele (4) şi (5) înscrise în faţa ordonatei Y, semnifică numărul de

ordine al fusului 34 şi 35.• Spre exemplu, coordonatele plane Gauss ale unui punct din dreapta meridianului axial al fusului 35, au

valorile :Xp=5 244 670,219 m şi Yp = (5) 556 687, 082 m.



6 NOMENCLATURA HĂRŢILOR ÎN



6. NOMENCLATURA HĂRŢILOR ÎNPROIECŢIA GAUSS - KRÜGER

Definiţie:Prin sistem de nomenclatură se întelege sistemul de notaţie alcătuit din cifre şi litere,cu ajutorul căruia se defineşte pozitia unei foi de hartă în cuprinsul unui teritoriu sau

a întregii suprafeţe terestre.

La Congresul Internaţional de Geodezie şi Geofizică din anul 1924 a fost propus şiadoptat un sistem internaţional de nomenclatură pentru harta lumii la scara1:1.000.000, sistem adoptat şi de România pentru hărţile în sistemul de proiecţieGauss-Krüger. Acest sistem se utilizeaza şi în prezent la hărţile în proiecţiestereografică.Sistemul international de nomenclatură se bazează pe împărţirea globului terestru înzone sferice trasate din 4º în 4º de latitudine şi fuse sferice trasate din 6º în 6º delongitudine.

SCARA 1:1.000.000



φ= 4º

λ= 6º

NOMENCLATURA:L-34



• Pentru harta 1:500.000 s-a împărţit trapezul 1:1.000.000 în4 părţi şi fiecare parte s-a notat prin primele 4 litere mari

l lf b l i A C i di i il i f i



ale alfabetului: A, B, C, D. Deci, dimensiunile acestei foi vorfi 20/30, iar nomenclatura uneia va fi de exemplu: L-34-D.

φ= 2º

λ= 3º

NOMENCLATURA:L-34-D



Pentru harta 1:100.000 s-a împărţit trapezul 1:1.000.000 în 144părţi, deci fiecare latură a trapezului în 12 părţi. S-au obţinut astfelfoile la 1:100.000 cu dimensiunile 20/30, iar pentru nomenclatură



foile la 1:100.000 cu dimensiunile 20 /30 , iar pentru nomenclaturăs-a stabilit a se numerota fiecare planşă cu cifre arabe de la 1 – 144,de exemplu L – 34 – 144.

φ=20’λ= 30’

NOMENCLATURA:

L-34-144



Pentru harta 1:50.000 s-a împărţit harta 1:100.000 în 4părţi, notându-se aceste părţi cu primele 4 litere mari ale

lf b t l i E l L 34 1 A di i il 10/15



alfabetului. Exemplu: L – 34 – 1 – A, cu dimensiunile 10/15.

φ=10’λ= 15’

NOMENCLATURA:

L-34-1-A



• Pentru harta 1:25.000 s-a împărţit trapezul 1:50.000 în 4părţi, notându-se acestea cu primele 4 litere mici alealfabetului Exemplu: L 34 1 A c cu dimensiunile



alfabetului. Exemplu: L – 34 – 1 – A – c, cu dimensiunile5/730.

φ=5’λ= 7’30’’

NOMENCLATURA:

L-34-1-A-c

• Pentru harta 1:10.000 s-a împărţit trapezul 1:25.000 în 4 părţi, notându-se prin primele 4 cifre arabe. De



exemplu: L – 34 – 1 – A – c – 4, dimensiunile fiind

230/345.

φ=2’30’’λ= 3’45’’

NOMENCLATURA:

L-34-1-A-c-4

• Pentru harta 1:5.000 se împarte trapezul 1:10.000 în 4 părţi. Fiecare trapez rezultat va avea



dimensiunea 1’15’’/1’52’’,5 notându-se cu cifre

romane I,II,III şi IV.• De exemplu L-34-1-A-c-4-IV

• Pentru harta 1:2.000 fiecare trapez 1:5.000 se împarte în 4 trapeze notate cu cifre 1,2,3,4.Dimensiunile sunt 25’’/37’’,5.

• De exemplu L-34-1-A-c-4-IV-4

7. UNGHIULUI DE CONVERGENŢĂ AL MERIDIANULUI

• Unghiul de convergenţă al meridianelor într-un punct al proiecţiei este unghiul format de tangenta la



g g ţ p p ţ g gmeridianul punctului şi paralela la meridianul axial dusă prin punct.

• Convergenţa meridianelor poate fi exprimată în funcţie de coordonatele geografice sau în funcţie de

coordonatele plane.

• Valorile unghiurilor de convergenţă ale meridianelor în diferite puncte se pot găsi în tabelespeciale, dar pe scurt, pot fi calculate şi cu ajutorul următoarei formule:



În care:

• ∆λ – diferenţa de longitudine dintre longitudinea punctului şi a meridianului axial al fusuluirespectiv;

• – latitudinea punctului dat.

sin

• Importanţa deosebită a unghiului de convergenţă al meridianelor constă în aceeacă serveşte la determinarea unghiului ce trebuie să existe între liniile verticale decaroiaj şi nordul magnetic;

C id ă d ă t l it t î d t idi l i i l i lăl lt î



• Considerăm două trapeze, unul situat în dreapta meridianului axial, iar celălalt înstânga meridianului axial.

În figură s–a notat:

OO1 – meridianului axial al fusului;OM – meridianul mediu al trapezului-paralela la meridianul axial(caroiajulrectangular al trapezului);- δ - unghiul de declinaţie magnetica

• Unghiul de declinaţie magnetică se determină pentru fiecare trapez şi anume în punctul ce reprezintăcentrul acestuia.

• Daca figurăm pentru cazul trapezului din dreapta meridianului axial (a) cele trei direcţii(direcţiacaroiajului, direcţia nordului magnetic şi direcţia meridianului geografic), se poate scrie simplu că:



• Δ este unghiul dintre liniile verticale de caroiaj şi nordul magnetic.

• Acelaşi lucru pentru cazul trapezului situat în stânga meridianului axial (b) cu deosebirea că aici:

8. DEFORMAŢII ÎN PROIECŢIA GAUSS KRUGER• modulul de deformare liniară se exprimă prin raportul dintre

mărimea elementelor omologe, din planul de proiecţie şi de pe



mărimea elementelor omologe, din planul de proiecţie şi de pesuprafaţa terestră 2

21 [ / ]

2 m

ds ycm km

dS R

In proiecţia Gauss deformaţiile liniare relative sunt pozitiveşi direct proporţionale cu distanţa faţa de meridianul axial.

Calculul de ormaţiilor lungimilor, n uncţie de coordonatelegeografice

• Se considera modulul de deformare liniară în cazul general al reprezentării unuielement de distanta de pe elipsoid (ds) în planul proiecţiei (dS) de forma :



element de distanta de pe elipsoid (ds) în planul proiecţiei (dS), de forma :

• Deformaţia relativă a lungimilor se poate calcula cu expresia :

ds

m dS 2 2 2

2 2 2 2 2 2

dS dx dy

ds M d N cos d

''2 ''4

2 2 2 4

''2 ''41 1 5 4

2 24

l l m cos t cos

''2 ''2

2 2 2 2

''2 ''21 1 1 1 1

2 2l l km D m cos sau D cos

km

• Calculul deformaţiilor lungimilor, în funcţie de coordonatelerectangulare

Dacă se exprimă coordonatele geografice (φ,λ) din relaţia (4.64) prin



p g g (φ, ) ţ ( ) pcoordonatele Gauss (x,y), rezultă o altă formulă de calcul a modulului

de deformare liniară (m):

Deformaţia liniară relativă se obţine cu relaţia :

2 4

2 412 24 y ym R R

2 4

2 4

12 24

y y km D m

R R km

• Pentru exemplificarea modului de variaţie a deformaţiilor liniare relative (D m/km), în funcţie de depărtarea (y=d) faţă de meridianul axial (1=0) şi (y=0), se considerapunctele : 1,2,... ,7 situate pe paralelul cu latitudinea φ = 46°



• Calculul deformaţiilor areolare

Modulul de deformare areolara (p) din proiecţia Gauss se determină



Modulul de deformare areolara (p) din proiecţia Gauss, se determinăpe principiul reprezentării conforme, pornindu-se de la formula

generala :

• Deformaţiile areolare sunt nule pe meridianul axial, După care cresc,pe măsura depărtării faţă de meridianul axial.

• Ariile trapezelor de lângă meridianul axial sunt egale cu cele de pe

elipsoid, fiind considerate suprafeţe de control în lucrările decadastru general.

p=m n sin i

m=n

sin i sin 90 1

2

p m2

2

21

y p m

R

2 2 4

2 2 41 1

2 4

y y y p

R R R

Pe harta lumii la sc. 1:1000000, teritoriul tarii noastre este acoperit de fusul 34 la vest demeridianul de 24o long. estica si fusul 35 la est de acelasi meridian. Meridianele axialeale celor 2 fuse au long. estica de 21o si respectiv 27o si reprezinta meridianele de

deformare zero. Rezulta ca cele mai mari deformaţii vor apare între meridianele de



23o - 25o si 29o - 30o long. estica.

ZONE CU DEFORMŢII

MAXIME



CALCULUL COORDONATELOR PLANE GAUSS N FUNCŢIE DE COORDONATELEGEOGRAFICE PRIN METODA FUNCŢIILOR ANALITICE

1( , ) x f



2( , ) y f

• Considerăm două puncte infinit vecine P1 şi P2 pe suprafaţa de referinţă şicorespunzătoare acestora în planul de proiecţie.

• Coordonatele punctului P1 sunt α ş iλ , iar coordonatele lui P2 şi

• Fie OE, ecuatorul elipsoidului şi OP meridianul axial al zonei dereprezentat, (meridianul axial fiind şi meridianul original).

d , d

• Pe planul de proiecţie aceste două linii curbe ale suprafeţei se reprezintă prin două liniidrepte perpendiculare între ele şi formează axele de coordonate.

• Notăm aceste axe prin O'X- axa absciselor şi O'Y axa ordonatelor.

• Distanţa elementară între punctele P1 şi P2 o Notăm cu ds , iar corespunzătoare acesteia în



ţ p 1 ş 2 , pplanul de proiecţie, deci distanţa între punctele cu dS.

• Examinând figura se observa că triunghiul P1P2P3 este un triunghi dreptunghic cu :

• Raportul notat cu se numeşte modul de deformare liniara şi se exprima astfel :

• Înlocuind expresiile elementelor liniare obţinem :

d N P P

Md P P

ds P P

)cos(31

32

21

222

)cos()( d N Md ds

ds

dS

2

22

ds

dS

22

222

)cos()(

d N Md

dydx

2 22

2 2 2( cos ) ( )

cos

dx dy

Md N d

N

2 22

2 2 2

cos ( cos ) ( )

Md dx dydq

N N dq d

• Se ştie din teoria funcţiilor de variabilă complexă că raportul :

nu este funcţie de atunci când este o funcţie analitică de variabilăcomplexă adică când există o legătură de forma :

)(

)(

iy xd

iY X d

dx dy)( iyx



complexă adică când există o legătură de forma :

Scriem expresia pătratului modulului de deformare liniară sub forma complexă :

conform cu proprietatea enunţată a funcţiilor analitice trebuie ca :

Aşadar, proiecţia este conformă atunci când este îndeplinită condiţia

)( iy x

)( iy x f iY X

))((cos

))((22

2

id dqid dq N

idydxidydx

)()(cos

)()(22

2

iqd iqd N

iy xd iy xd

)( iq f iy x

)( iq f iy x

)( iq f iy x

2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

d 1 d) ...

1! 2! 3! 4! dq 5!

idx i X i d X X i d X x iy X

dq dq dq dq

CALCULUL COORDONATELOR GEOGRAFICE ÎN FUNCŢIE DE COORDONATELEPLANE GAUSS PRIN METODA FUNCŢIILOR ANALITICE

```` 2242242 yy



)9435(242

2

1

2

1

4

1

2

1

2

113

11

1

11

1

t t t N M

yt

N M

y

Transformarea coordonatelor geografice în coordonaterectangulare plane Gauss prin metoda coeficienţilor constanţi

• Se cunosc:



• φ0= longitudinea meridianului axial al fusului în care se reprezintă punctul;

• φ,λ= coordonatele geografice ale punctului, elipsoidul Krasovski 1940.

• Toate coordonatele geografice sunt în gradaţie sexagesimală.

• Formulele de calcul cu coeficienţi constanţi sunt:4

0

4

0

0

o

( )" 10

( )" 10

x 5096175.747

f

l

X x x

43

34

42

24

4

14

40

04

24

42

23

32

22

22

212

202

0440

0330

0220

010

0000

l f al f al f al f al f al f al f a

l f al f al f al f al f al f al f a x

52

25

5

15

5

05

34

43

33

33

32

23

3

13

30

03

4

41

3

31

2

2111

0

01

l f bl f bl f bl f bl f bl f b

l f bl f bl f bl f bl f bl f bl f b y

43

34

2

2414

0

04

24

42

3

32

2

221202

04

40

3

30

2

2010

0

00

)()

()(

l f a f a f a f al f a

f a f a f a f al f a f a f a f a f a x

52

251505

34

43

3

33

2

2313

0

03

4

41

3

31

2

2111

0

01

)()

()(

l f b f b f bl f b f b

f b f b f bl f b f b f b f b f b y

2 4

0 2 4 0 2 5

3 5

1 3 5 1 3 5

x S S l S l R R R

y S l S l S l R R R

Şablonul de calcul este următorul:



Transformarea coordonatelor rectangulare plane Gauss în coordonategeografice prin metoda coeficienților constanţi

• Se cunosc coordonatele rectangulare Gauss ale unui punct oarecare A şi longitudineameridianului axial al fusului (λ0).

S ă l l d l fi (φ λ) l l i ă



• Se cere să se calculeze coordonatele geografice (φ, λ) ale punctului corespunzător pesuprafaţa elipsoidului de referinţă.

• Formulele de calcul cu coeficienţi constanţi utilizate pentru această transformare sunt:

• unde l este diferenţa de longitudine a punctului, faţă de meridianul axial.

0

o

5

0

0

x 5096175.747

10

40

x X x

Y y

l

2 3 4 5

00 10 20 30 40 50 02 12

2 3 4 4 2 2 3 4

22 32 42 52 04 14 24 34

6

06 16

( ) (

) ( )

( )

A A x A x A x A x A x A A x

A x A x A x A x Y A A x A x A x Y

A x A x Y

70

07

53

35

2

251505

34

43

3

33

2

23

13036

615

514

413

312

211101

)()()

()(

Y x BY x B x B x B BY x B x B x B

x B BY x B x B x B x B x B x B Bl

2 4 6

0 2 4 6 0 2 4 6

3 5 7

1 3 5 7 1 3 5 7

" " " " "

" " " " "

S S Y S Y S Y R R R R

l S Y S Y S Y S Y R R R R

Şablonul de calcul este următorul:



CALCULUL COORDONATELOR PLANE GAUSS PRIN METODAREDUCERII LA COARDĂ

• Să presupunem că pe elipsoid în punctul P1 s – au măsurat: azimutul T12 şi distanţa s12.Având cunoscute coordonatele Gauss – Krüger ale punctului P1 , ne propunem să



determinam coordonatele punctului P2.

• Din figură se vede că pentru a determina pe x2

şi y2

ne sunt necesare elementele “S12

” şi“t12”.

2

m

2221

21

1212

R6

yyyy1sS

• Această proiecţie este o variantă particulara a proiecţiei Gauss - Krüger , utilizată înStatele Unite ale Americii şi în alte ţări, având o importanţă deosebită în ultimulti i t R â i d t ită i t ă ii î il t t i liti i ilit

PROIECŢIA UTM



timp şi pentru România datorită integrării în noile structuri politice şi militare.

• În sistemul UTM (Universal Transversal Mercator) proiecţia suprafeţei Pământului

se face pe un cilindru a cărui axă este perpendiculară pe axa polilor.

• Pentru reprezentarea în această proiecţie, elipsoidul se împarte în zone (fuse)şi

benzi. Pe longitudine, elipsoidul este împărţit în 60 de zone, delimitate demeridiane

marginale a căror longitudini sunt multiplu de 60. Zonele astfel rezultate sunt

numerotate consecutiv de la 1 (delimitat de meridianele marginale 180o şi 174o

longitudine vestică) până la 60 (delimitat de meridianele marginale 174o şi 180o

longitudine estică), spre est

• Pentru a evita coordonatelor false, şi anume folosirea coordonatelor negative, s-aintrodus utilizarea :

' 10.000.000 ( )

' ( )

' 500.000

N m N emisfera sudica

N N emisfera nordica

E m E



• Elipsoidul de referință adoptat pentru reprezentarea suprafeței Pământului înplanul proiecției este elipsoidul internațional WGS – 84



Împartirea Europei pe

zone de proiectie U.T.M.



Nr. punct x y1 502.000 5.092.000

România se află parţial în fusul 34 (18°-24°) şi parţial în 35 (24°-30°).



• Sistemul U.T.M. se pretează la întreg globul terestru având avantajul ca reduceerorile de reprezentare în plan datorita introducerii unui factor de scara, care faceca deformările liniare de la marginea fusului proiectat în plan sa se reducă la

jumătate.

• Adoptându-se sistemul de reprezentare pe fuse de 6° longitudine, reprezentarea înplan este destul de fidela.

• Un dezavantaj al reprezentării pe fuse duce la o îngreunare a calculelor în zona devecinătate a fusului, dar acest lucru se poate îmbunătăţi cu ajutorul tehniciimodeme de calcul.

• Proiecţia UTM este conformă, deci unghiuriled f ă l t î l l

DEFORMAŢII ÎN PROIECŢIA UTM



nu se deformează la reprezentarea în planul

de proiecţie.• Deformaţiile liniare se studiază cu ajutorul

modulului de deformaţie liniară:

0/ ]UTM GAUSS

dsk cm km

dS



PROIECŢIA CILINDRICĂ DREAPTĂ CONFORMĂMERCATOR (CU LATITUDINI CRESCÂNDE)• A fost studiată şi aplicată în anul 1569 de către cartograful olandez Gerard Kremer Mercator,

unul din principalii fondatori ai geografiei matematice. Proiecţia studiată de el se maiă f ă



numeşte şi proiecţia mercatoriană. Proiecţia Mercator este o proiecţie conformă

• Această proiecţie presupune reprezentarea globului pe suprafaţa desfăşurată a unui cilindrua cărui axă coincide cu axa de rotaţie a Pământului şi tangent de-a lungul ecuatorului.

• Pe direcţia paralelelor nu avem deformări• Pe direcţia meridianelor deformările se prezinta sub forma unor

alungiri

d f ă t i ţi t t i t



• un cerc de pe sferă se va reprezenta pe proiecţie tot printr-un cerc

rezultă că elipsele deformărilor vor fi cercuri, însă de suprafaţădiferită



Importanţa rţ or n pro ecţ aMERCATORPe o hartă în proiecţia Mercator, linia dreaptă AB reprezintă



p ţ p ploxodroma (LINIA CARE TAIE TOATE MERIDIANELE SUB ACELAŞI

UNGHI), iar linia curbă AB ortodroma (adică distanţa cea mai scurtădintre 2 puncte de pe glob).



•Hărţile în această proiecţie au o mare importanţă în navigaţia maritimă şi aeriană,deoarece proiecţia fiind conformă, iar reţeaua cartografică formată din liniiperpendiculare, loxodroma va fi o linie dreaptă. Această linie face cu fiecare dinproiecţiile meridianelor acelaşi azimut.

• Această caracteristică importantă a hărţilor în proiecţia Mercator constituie un



• Această caracteristică importantă a hărţilor în proiecţia Mercator, constituie unmare avantaj pentru conducerea vaselor şi avioanelor în ceea ce priveştecomoditatea orientării lor pe parcurs.

• Mergând de la A spre B şi folosind o hartă în proiecţia Mercator, direcţia de înaintare să facă cu proiecţia meridianelor acelaşi unghi

.

• Pentru aceasta el va trebui să meargă după loxodroma AB care pe harta

mercatoriană se proiectează după linia dreaptă AB, dar care, pe glob, are un traseuocolit, deci este mult mai mare ca linia dreaptă – ortodroma, linia cea mai scurtă ceuneşte 2 puncte de pe glob şi care este un arc al cercului mare ce trece prin aceste2 puncte – ortodromă care în proiecţia Mercator se reprezintă printr-o linie curbăAB.

• De exemplu: distanţa Moscova – San Francisco după ortodromă – arcul cercului

mare ce trece prin aceste 2 localităţi – este de 9476 km, iar loxodroma în proiecţia

Mercator, deşi se reprezintă în aceste hărţi printr-o linie dreaptă, are o lungime de

10.051 km, deci cu 575 km mai lungă decât ortodroma.

Loxodroma. Stabilirea ecuaţiei loxodromei

• Se consideră pe glob distanţa AB, punctele A şi



p g ţ , p ş

B fiind situate pe meridiane şi paralele diferite

AB

C

1

2= 1+d

B

C



A

B

1

2= 1+d

Considerăm în planul de proiecţie loxodroma cuprinsă între punctele de coordonate A(x1, y1) şi B(x2, y2); din triunghiul ABC, rezultă:

' '' '

B C tg A C

2 1 2 1

2 1 2 1

y ytg

x x D D

A(x1, y1)

B(x2, y2)



Calculul şi construcţia reţelei cartografice



• Pe direcţia meridianelor nu avem deformări, deoarece:

• Pe direcţia paralelelor deformările se prezentau sub forma unor

alungiri, deoarece:

1

1 1 1 0

m b

v b

secn a 1 sec

1 1v a

• Aspectul reţelei cartografice în proiecţia Mercator derivă din cel al proiecţiei

cilindrice pătrate, ţinând însă seama că proiecţia Mercator este o proiecţieconformă şi că această condiţie cere ca în orice punct al proiecţiei elipsadeformărilor să devină un cerc, deci ca:

m n r



• Deformaţii în proiecţia Mercator

– Deformaţiile liniare

– Deformaţiile direcţiilor şi unghiurilor

Rezultă că proiecţia Mercator este o proiecţie conformă, întrucât atât direcţiile,cât şi unghiurile nu sunt deformate şi, ca atare, un cerc de pe sferă se va

reprezenta pe proiecţie tot printr-un cerc rezultă că elipsele deformărilor vor ficercuri, însă de suprafaţă diferită.

m n r

1secv

1Cv

0a2

0

ba

basin



PROIECŢII AZIMUTALE

• CLASIFICAREA PROIECŢIILOR AZIMUTALEDupă poziția planului de proiecție faţă de sfera terestră dată de valoarea latitudinii 0 a polului proiecţiei

Q 0(0,λ0) se disting:

• Proiecţii azimutale drepte (normale sau polare) pentru latitudinea = 900;



• Proiecţii azimutale oblice pentru latitudinea 00 900

• Proiecţii azimutale transversale pentru latitudinea = 00

• După caracterul deformaţiilor, proiecţiile azimutale se împart în trei grupe:

• Proiecţii azimutale conforme (w = 0);

• Proiecţii azimutale echivalente (p = 1);

• Proiecţii azimutale echidistante pe anumite direcţii (m = 1).

După modul de proiectare pe o suprafaţă plană, proiecţiile azimutale au fost împărţite în următoarele douacategorii:

• Proiecţii azimutale neperspective, ce se obţin în urma unor proiectări teoretice a suprafeţei Pământuluipe o suprafaţă plană, unde se consideră condiţiile de reprezentare pe care trebuie sa Ie îndeplinească unsistem de proiecţie: conformitate, echivalenţă sau echidistanţă pe ambele direcţii, fiind impuse demodul de construcţie al reţelei cartografice şi de mărimea deformaţiilor.

• Proiecţii azimutale perspective, la care proiectarea suprafeţei Pământului pe un plan de proiecţie se faceprintr-o proiectare propriu-zisă, pe baza utilizării legilor perspectivei liniare, unde punctul de vedere estesituat pe unul din diametrele sferei sau pe prelungirea acestuia, iar planul de proiecţie esteperpendicular pe diametrul sferei terestre.

În funcţie de poziţia punctului de vedere, proiecţiile azimutale perspective pot fi împărţite

în:

• ortografice, când punctul de perspectivă se consideră la infinit, iar razele proiectoare suntparalele şi perpendiculare pe planul de proiecţie; sunt proiecţii afilactice, păstrând



nedeformate distanţele pe anumite direcţii şi sunt folosite pentru realizarea de

mapamonduri;• stereografice, în situaţia în care razele proiectoare pornesc dintr-un punct diametral opus

celui de tangenţă; sunt proiecţii conforme, deformează foarte mult suprafeţele şi formele şise utilizează pentru hărţii ale regiunilor polare sau pentru mapamonduri;

• centrale, când razele proiectoare pornesc din centrul sferei; sunt proiecţii afilactice,deformează foarte mult distanţele spre exterior, ajungând la infinit pe margini şi sunt folositepentru hărţi ale navigaţiei, având în vedere că ortodroma se reprezintă printr-o linie dreaptă;

• exterioare, dacă razele proiectoare pornesc dintr-un punct exterior Terrei, la o distanţă maimare decât diametrul acesteia şi mai mică de infinit, opus planului de proiecţie; suntafilactice, dar cu deformaţii mai mici decât proiecţiile ortografice şi stereografice.

PROIECŢII AZIMUTALE DREPTE• În cazul proiecţiilor azimutale, suprafaţa terestră sau o porţiune din aceastăsuprafaţă se reprezintă în planul de proiecţie, după anumite condiţii alereprezentării pentru proiecţiile neperspective şi după legile perspectivei liniarepentru cele perspective.



p p p

ASPECTUL GENERAL AL REŢELEI NORMALE



• Meridianele se reprezintă prin drepte convergente într-un punct, care este imaginea plană a

polului geografic (PN), ce se intersectează sub unghiuri egale cu diferenţele de longitudinedintre meridianele considerate:

• Paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice cu centrul comun în punctul de intersecţie adreptelor care reprezintă meridianele, fiind echidistante sau neechidistante, funcţie decondiţiile de baza ce se impun proiecţiilor azimutale.

2 1...

SISTEMUL DE AXE DE COORDONATE PLANE POLARE ŞIRECTANGULARE

• Poziţia punctelor din planul proiecţiilor azimutale se determina atât prin coordonate plane polare (d,r),cât şi prin coordonate plane rectangulare (x, y), în cazul sistemului de axe de coordonate plane.

• în sistemul de coordonate plane polare al proiecţiilor azimutale drepte se consideră că axa polară una dind l i ă i i l ă idi l i d i i l i i l i



dreptele care reprezintă imaginea plană a meridianului de origine sau a celui opus, iar ca pol se ia

imaginea plană a polului geografic (a).• • în sistemul de coordonate plane polare al proiecţiilor azimutale oblice sau transversale se ia ca axapolară dreapta care reprezintă imaginea plană a meridianului de longitudine λ0 al polului Q 0(0,λ0),acărui imagine plană reprezintă originea sistemului de coordonate plane.

• • Sistemul de axe de coordonate plane rectangulare se stabilește cu originea în polul sistemului decoordonate polare, cu axa XX' în coincidenta cu axa polara. (b).

FORMULELE DE CALCUL ALE COORDONATELOR PLANE POLAREŞI RECTANGULARE



F( )

x cos

y sin

FORMULELE DE CALCUL ALE MODULILOR DE DEFORMARE



1 1

( , ); ( , ); ( , )

m

p

A B d C d

r O A O C

AB ds Rd

AC ds rd

'

'

' '

' '

m

p

OA

OB d

A B dS d

A C dS d

• modulul de deformare liniara pe meridiane (m):

• unde semnul minus de la numărător (-dr) este stabilit de faptul că, pe măsura creşteriil i di ii φ ( ) i ă

' '

m

m

dS A B d d m m

ds AB Rd Rd



latitudinii φ, raza vectoare (r) se micşorează.

• modulul de deformare liniară pe paralele (n):

unde : în cazul proiecţiilor azimutale drepte.

• modulul de deformare areolara (p):

' ' p

p

dS AC d n

ds AC rd

dδ dλ

r Rcos n Rcos

90 p m n sini m n sin p m n

Formulele generale ale proiecţiilor azimutale drepte pentrureprezentarea sferei terestre de raza R

f

x cos

y sin



Formulele generate ale proiecţiilor azimutale drepte, pentrureprezentarea elipsoidului de rotatie terestru

Ψ

f

d d m

Rd Rd

nr Rcos

2

454

p m n

a b sin

a b

atg

b

Ψ

f d d

m Md Md

n

r Ncos

2

454

x cos

y sin

p m n

a b sin

a b

atg

b

PROIECŢII AZIMUTALE OBLICE ŞI TRANSVERSALE

• În cazul proiecţiilor oblice, care reprezintă cazul general al proiecţiilor azimutale seefectuează următoarele operaţii de calcul:



• Suprafaţă elipsoidului de rotaţie se reprezintă pe suprafaţă unei sfere;

• Coordonatele geografice de pe sfera terestră de rază R(φ,λ) se transformă încoordonate sferice polare (A, Z);

• Se determină coordonatele plane polare (d,r), în funcţie de coordonatele sfericepolare (A, Z);

• Se determina coordonatele plane rectangulare (x, y) în funcţie de coordonateleplane polare(d,r);

• Se determina modulii de deformare (m, n, p) şi deformaţia unghiulara maxima (w).

FORMULELE GENERALE ALE PROIECŢIILOR AZIMUTALEOBLICE ŞI ALE CELOR TRANSVERSALEF or mulele gener ale ale proiecţiilor a zi m u t a l e o b l i c e şi a le c elor t r ans v er s ale ,

se obţin în cazul reprezentării sferei terestre de raza R din formulele proiecţiilor a im tale drepte în care se efect ea ă rmătoarele înloc iri



1

2

1 2 1 2

90

90

A

f Z F Z

d

RdZ

Rsinz

p sin

2

454

x cos

y sin

a b sina b

atg

b

azimutale drepte, în care se efectuează următoarele înlocuiri:

•longitudinea λ cu azimutul (A);•latitudinea φ cu diferenţa (90°-Z);•colatitudinea Ψ cu distanta zenitala (Z);•modulul de deformare liniară pe meridiane (m) cu modulul deformare liniară pe

verticaluri µ1•modulul de deformare liniară pe paralele (n) cu modulul de deformare liniară pe

almucantarate µ2

PROIECŢII AZIMUTALE NEPERSPECTIVE

• În proiecţiile azimutale neperspective, ecuaţiile proiecţiilor şi reţeauacartografică se determină pe baza condiţiilor de confor-mitate, echivalenţă



cartografică se determină pe baza condiţiilor de confor mitate, echivalenţă

sau echidistanţare.• În cazul proiecţiilor azimutale neperspective drepte sau polare,,meridianele sunt drepte convergente într-un punct ce reprezintă chiarimaginea polului geografic, intersectându-se sub unghiuri egale cudiferenţa longitudinilor meridianelor corespunzătoare. Paralelele sereprezintă prin cercuri concentrice având centrul comun în punctul deconvergenţă al meridianelor şi pot fi echidistanţate sau neechidistanţate

în funcţie de condiţiile ce se impun proiecţiei

• Reţeaua cartografică de meridiane şi paralele constituie reţeaua principalăa proiecţiei, spre deosebire de reţeaua normală care corespunde celei maisimple reprezentări într-o proiecţie dată a reţelei de linii de coordonate,proprie unui sistem determinat de coordonate.



• formule generale ale proiecţiilor azimutaleneperspective drepte( )

x cos

i

f

sin

p m n

a b



• formule generale ale proiecţiilor azimutaleneperspective oblice şi transversale

y sin

cos

d m

Rd

n R

0

sin

2

(45 )4

a ba

tg b

1

2

( )

x cos

y sin

sin

a

f z

d

Rdz

R z

1 2

0

sin2

(45 )4

p

a b

a b

atg

b

PROIECŢII AZIMUTALE PERSPECTIVE• În cazul proiecţiilor azimutale perspective se consideră următoarele principii

caracteristice ale reprezentării punctelor de pe sfera, în planul de proiecţie



•Pământul se considera sfera de raza R;•Planul de proiecţie, pe care se facereprezentarea cartografică mai poartă denumireaşi de planul tabloului (T);•Polul proiecţiei Q0(0,λ 0) se alege aproximativ înmijlocul teritoriului de reprezentat, care în cazul

României este punctul Q 0(0 = 46°00'00" şi λ 0=25°00’00 ‘’);•Diametrul QQ 0 al sferei de raza R poarta denumirea

de diametru principal , iar pe lungimea sau peprelungirea lui se alege un punct de vedere (V);•Distanţa dintre punctul de vedere (V) şi centrul sfereide raza R se notează cu D, iar distanţa dintre punctulde vedere (V) faţă de planul de proiecţie (T) se noteazăcu K, cu menţiunea ca planul T este perpendicular pediametrul principal QQ 0;•Dreptele care pornesc din punctul de vedere (V) şitrece prin diferite puncte de pe suprafaţa sferei

terestre poarta denumirea de drepte proiectante (VB);•Punctul B de coordonate geografice şi λ de pesfera se proiectează î n punctul B' de coordonateplane polare d şi r sau de coordonate planerectangulare x şi y, pe planul tabloului (T), în caredreapta proiectanta VB ce trece prin B înţeapă planulde proiecţie.

• Proiecţiile azimutale perspective se clasifica în baza criteriilor prezentate în cazul

proiecţiilor azimutale, la care se adaugă şi clasificarea după poziţia punctului de vedere (V)fata de centrul sferei terestre O1, fiind evidenţiată de mărimea distanţei D dintre cele douăpuncte În funcţie de distanţa D,

dintre punctul de vedere V, carepoate fi V1, V2, V3, V4 şi V5 şicentrul O1 al sferei terestre,se



1disting:• Proiecţii azimutaleperspective centrale, cu V1=O1şi D=0 ;• Proiecţii azimutaleperspective interioare, cu V2 şi0<D<R ;• Proiecţii azimutaleperspective stereografice, cuV3=Q şi D=R ;• Proiecţii azimutaleperspective exterioare, cu V4 şi

R<D<∞ ;• Proiecţii azimutaleperspective ortografice, cu V5=∞şi D=∞ ;

PROIECŢIA PERSPECTIVĂ ORTOGRAFICĂ• Proiecţia perspectivă ortografică este acea proiecţie perspectivă în care punctul devedere se consideră la infinit faţă de centrul sferei, razele ce vin spre zona deproiectat se consideră deci paralele



D

K

• paralelele se reprezintă prin cercuri concentricecu centrul în proiecţia polului geografic; pe măsura

depărtării de centrul proiecţiei spre margini, distanţeledintre cercurile ce reprezintă paralelele globului, semicşorează;• meridianele se reprezintă prin drepte radiale,convergente în proiecţia polului geografic; acestedrepte paralele fac între ele unghiuri egale cu

dif ţ l l it di ii l

• formulele generale pentru construcţia reţelei cartografice

; sinA R z



0 0

1 2

2

; sin

sin cos cos sin cos

sin cos

cos ; 1

cos

sin2

A R z

x R l

y R l

z

p z z

tg

DEFORMAŢII



• Facem următoarele notaţii:

• 1 – modulul de deformare liniară după vertical;

• 2

– modulul de deformare liniară după almucantarat.

• Valorile modulelor 1 şi 2 de deformare liniară după vertical şi almucantarat vor fi

1

0 0

2

0

' ' ''cos

' '1

M V VV z

M V M V

A M

AM

• Modulul de deformare areolară: în care: a = 2 şi b = 1 = cos z, deci:

• Deformaţia unghiurilor:

sin p a b i 2 1

1 2

sin

1 cos cos

p i

p z z

22sin

1 cos 2

z z z



• Deformaţia unghiurilor: 22 1

22 1

1 cos 2sin1 cos 22cos

2

z z tg

z z

PROIECŢIA PERSPECTIVĂ CENTRALĂ• Proiecţia perspectivă centrală este acea proiecţie perspectivă în care punctul devedere se consideră situat în centrul sferei



În acest caz: D = 0, K = R.

Rezultă că, dacă pe o hartă întocmită în această proiecţie se unesc printr-o liniedreaptă 2 puncte, această linie reprezintă distanţa cea mai scurtă pe glob dintreaceste 2 puncte (ortodroma).

Proiecţiile azimutale perspective centrale se împart în:- normale;- oblice;- transversale.

Aspectul reţelei cartograficeConsiderăm proiecţia perspectivăcentrală normală. În această proiecţie:

l l l i tă i i



• paralelele se reprezintă prin cercuri

concentrice cu centrul comun înproiecţia polului geografic; distanţeledintre proiecţiile paralelelor se mărescfoarte mult pe măsura îndepărtării dela centrul proiecţiei spre margini.

Ecuatorul nu se poate reprezenta• meridianele se reprezintă prin drepte

radiale, cu punctul de convergenţă înproiecţia polului geografic; acestea fac între ele unghiuri egale cu diferenţele

de longitudini ale meridianelor

Formule pentru construirea reţelei cartografice

• Cazul proiecţiei perspective centrale oblice:



p ţ p p

•Cazul proiecţiei perspective centrale normale:

0 0

0 0

0 0

sin cos cos sin cos

cos cos sin sin cos

sin sin

cos cos sin sin cos

l x R

l

l y R

l

sin coscos

cos

sin sinsin

cos

x R R tg

y R R tg

cos

sin

x R tg tg

y R tg

Deformaţii• Determinarea modulului de deformare 12

2

1

secsec

a b A B z z

A B A B



A B A B

• Determinarea modulului de deformare 2

2

sin

1cossec

sin sin cos

z

a c R tg z d A z z

AC R z d A z z



• Determinarea modulului p:

• Determinarea deformaţiilor direcţiilor

2 3

1 2sec sec sec p z z z

2

2

2

2sin1 cos 2sin1 cos 2

2cos2

z z z

tg z z

Formulele generale ale proiecţiilor azimutaleperspective oblice exterioare

• Pentru calculul coordonatelor plane polare (d,r) şiplane rectangulare (x, y) se consideră reprezentareaîn proiecția azimutala perspectivă oblică exterioară



în proiecția azimutala perspectivă oblică exterioară

(R<D<∞), care constituie şi cazul general al acestorproiecţii.

• Calculul coordonatelor plane polare

Se consideră secţionarea sferei terestre de raza R cuplanul verticalului unui punct oarecare B de pesfera, poziţia punctului de vedere V pe prelungireadiametrului principal Q 0Q şi imaginile plane O şi B'ale punctelor Q 0(0,λ0) ŞI B(,λ) de pe sferă

o

A

F 90 Z F Z

K

RsinZ D RcosZ

KRsinZ

D R Z

• Calculul coordonatelor rectangulare, în funcţie de coordonatelesferice polare



in care:

• (A,Z) - coordonatele sferice polare ce definesc pe sfera terestră pozițiapunctului considerat, în raport cu polul proiecţiei Q 0(0,λ0);

• (D,K) - parametri constanţi care caracterizează principiul de reprezentare alproiecţiei azimutale perspective.

KR

x cos sinZcosA D RcosZ

KR y sin sinZsinA

D RcosZ



PROIECŢIA STEREOGRAFICĂ 1970• Proiecția azimutală perspectivă stereografică oblică conformă, cu planul de proiecţie secantunic 1970, fiind denumita şi „ Proiecţia STEREO - 70 ", a fost folosită începând cu anul 1973la întocmirea planurilor topografice de baza la scările 1 : 2 000, 1 : 5 000 şi 1 : 10 000,precum şi a hărţii cadastrale la scara 1 : 50 000. Acest sistem de proiecţie s-a adoptat, având



la baza elementele elipsoidului Krasovski -1940 şi planul de referinţă pentru cote MAREANEAGRA - 1975.

• La adoptarea proiecţiei stereografice - 1970 s-au avut în vedere o serie de principii, caresatisfac atât cerinţele de precizie, cat şi avantajele reprezentărilor cartografice, din care semenţionează :

• Teritoriul de reprezentat are o forma aproximativ rotundă, ce poate fi încadrat într-un cere

cu raza de circa 300 km ;• Suprafaţă teritoriului României se poate reprezenta pe un singur plan de proiecţie,

obţinându-se un sistem unic de coordonate plane rectangulare, cu originea în punctulcentral al proiecţiei;

• Suprafaţă terestra se proiectează după legile perspectivei liniare

• Proiecţia fiind conformă, îndeplineşte condiţiile de simetrie faţă de meridianul delongitudine λ0 al punctului central;



• Coordonatele geografice ale punctului C sunt:

• Punctul C este situat în apropierea oraşului Făgăraş.

0

0

0

0

46λ 25



Parametrii Elipsoidului de referințăKrasovski - 1940• Elipsoidul de referinţă Krasovski - 1940, care s-a folosit în

proiecţia Gauss, în perioada 1951 - 1973, a fost menţinut şi



în proiecţia Stereografica - 1970, fiind orientat la PULKOVO(RUSIA) şi având următorii parametrii de baza :

• Semiaxa mare: a = 6 378 245,000 000 m

• Semiaxa mică: b = 6 356 863,018 770 m• Turtirea geometrică: α= 0,003 352 329 869

• Prima excentricitate: e2=0, 006 693 421 623

• Raza medie de curbură: Ro

=6 378 956, 681 m

Adâncimea planului de proiecţie secant unic -1970



În vederea reducerii deformaţiilor s-a adoptat planulsecant unic - 1970, la adâncimea H = 3 189,478 m faţă deplanul tangent

În urma intersectării sferei de raza Ro cu planul secant, a

rezultat un cerc al deformaţiilor nule, cu raza

ro = 201,718 km.

Deformaţiile lungimilor şi suprafeţelor• Deformaţia regională pe unitatea de lungime (1 km) în planul secantunic - 1970, din punctul central al proiecţiei Q o(o, o), este de -0,25m/km, după care scade în valoare negativă până la distanţa de ro =201 718 km unde este nula



201,718 km, unde este nula.

• În exteriorul cercului de deformaţie nula deformaţia liniara relativacreste în valoare pozitiva pana la valori de + 0,215 m/km la distantad=285 km de punctul central al proiecţiei şi respectiv, până la + 0,637m/km la distanta de d=385 km.



Sistemul axelor de coordonate rectangulare plane

• Originea sistemului (O) reprezintă imaginea plană a punctului centralal proiecţiei Q o(o, o), fiind situat aproximativ în centrul tarii, unde :



• axa absciselor (XX') orientata pe direcţia Nord - Sud reprezintăimaginea plană a meridianului punctului central Q o, de longitudine o= 25°;

• axa ordonatelor (YY') orientata pe direcţia Est - Vest reprezintă

tangenta la proiecţia paralelei punctului central Q o, de latitudine o =46°.

• Pentru lucrările topo-cadastrale şi pentru unele calcule cartograficese foloseşte sistemul convenţional de axe, care a rezultat din

translarea sistemului cu originea în punctul O (Xo = 0,000 m şi Yo =0,000 m) cu cate + 500 000, 000 m spre vest şi respectiv spre sud,obţinându-se punctul O' cu Xo = 500 000,000 m şi Yo = 500 000,000 m

XX'



500 000 m

5 0 0 0 0 0 m

-X

Y-Y

Y'O

O

Sistemul de axe de coordonate plane, în proiecţia stereografica -1970

• Modulul sau coeficientul de reducere la scaraPentru transformarea coordonatelor plane stereografice (X<70>;Y <70>)din planul tangent - 1970, în planul secant unic - 1970, paralel cu celtangent se efectuează înmulţirea acestora cu modulul sau coeficientulde reducere la scară:



de reducere la scară:

• Modulul sau coeficientul de revenire la scaraPentru transformarea inversă a coordonatelor plane stereografice(X<70>;Y<70>) din planul secant unic - 1970, în planul tangent - 1970, seefectuează înmulţirea acestora cu coeficientul de revenire la scara :

1C=1 0,999 750 000

4000

1 1C' 1,0002500630,999750000C

Calculul elementelor geometrice ale PROIECŢIEI

STEREOGRAFICE 1970 – H, r0



Elementele geometrice ale reprezentării stereografice pe planul tangent şi pe planul secant unicQo (o, o) ; O(xo,yo); QQo=2Ro ; OD= Ro ; QoC=H ; CD=r o ;



Calculul razei cercului de secanta (ro)• În funcţie de adâncimea planului secant (H) s-a calculat şi raza cercului (ro), după

care planul secant intersectează sfera de raza medie Ro.

• Din triunghiul dreptunghic OCD se poate scrie :



2 2 2

2 2 2 2 2

o o o o

CD OD OC

r R OC R (R ) H

2

2

0 0 00

22 1

sr R R R

x

22 2

0 2

22

0 0 02

4

2 2

o

s sr R

x x

s sr R R C C x x

0r 201,718 km

In funcţie de valoarea coeficientului de reducere la scara (C)şi de mărimea razei de curbura a sferei terestre (Ro), s-a obţinut:

DeformaţiiProiecţia stereografică cu plan tangent

' ' : 22 2 2

S O CP tg S Rtg

R

31

( )tg



ss R

R

( ...)2 2 3 8

tg

3

3

3 3

3 2

2

2

2

2

2

2

22

12 ( ...)

2 3 8

2 2

2 24 12

3

12

4

1

sS Rtg

R

s sS R

R R

Rs Rs sS s

R R R

s

dS ds ds R

dS ds s

ds R

dS s

ds

Deformaţii Proiecţia stereografică cu plan secant' '' '' : (2 )

2 2 2

S S

S O O P tg S R y tg

R y

3

1...tg



2 2 3 8 ss R

R

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

(2 )( )2 24

12 2

3

12 2

(1 )4 2

14 2

1( )2 4000

S

S

S

S

S

s sS R y

R R

s s

S s y R R

s ydS ds ds ds

R R

s ydS ds

R R

dS s y

ds R R

y

R

•Se observă că în planul secant deformaţia este mai micădecât în planul tangent cu 1/4.000



• Deformaţiile liniare locale în funcţie de depărtarea faţă de punctulcentral al proiecţiei Stereo 1970 sunt redate în tabelul următor(R0=66378956,681 m).

S[km]

Deformația regionala[cm/km]

Deformația relativa



[km] [cm/km]0 -25 1/40001 -25 1/4000

10 -24.94 1/401020 -24.75 1/404030 -24.45 1/4090

--------- ------------------------- ------------------------

200 -0.42 1/38000201.718 0 -

210 2.09 1/47800220 4.74 1/21000230 7.5 1/13000

--------- ------------------------- --------------------------

430 88.6 1/1100

• Curba deformaţiilor regionale (locale) pe plansecant unic este redată în Figura:



Calculul coordonatelor rectangulare plane STEREO 70 dincoordonatele geografice

• Q o(φo=46°, λo= 25°)

• Pentru exemplificare, se considera coordonatele geografice (φ,λ) ale



punctului P din cadrul unui trapez la scara 1 : 5 000.• Operaţiile de transformare a coordonatelor (φ,λ) în coordonateSTEREO (x, y), se efectuează mai întâi pe planul tangent (xtg,ytg) şi apoipe planul secant (X<70>,Y<70>), în următoarea succesiune:

• Se calculează diferenţele:

• care se transforma în secunde şi apoi se scriu sub forma :

p o

0

p o

( ) 1 15'00"

( ) 2 00' 00"

4

4

10 0.450

10 0.720

f

l

e efectuează următoarele calcule:

2 3 4 5 6

00 10 20 30 40 50 60

2 3 4

2 02 12 22 32 42

138 962.277 869 768

3 705.819 802 754

oS a a f a f a f a f a f a f

S a a f a f a f a f



24 04 14 24

6 06

2 3 4 5

1 01 11 21 31 41 51

0.307 955 570

0.000 057 500

210

S a a f a f

S a

S b b f b f b f b f b f

2 3

3 03 13 23 33

5 05 15

307.645 858 051

24.054 646 024

0.008 421 895

S b b f b f b f

S b b f

Se efectuează produsele dintre sumele So, S2, S4, S6 şi termenii l, l2, l4, l6

si respectiv, dintre S1, S3, S5 şi l, l3, l5 pe baza cărora se obţin rezultateleparţiale ro, r2 r4, r6 şi r1, r3, r5:

o o

1 1

r S 1,000 138 962, 277 869 768

r S 151 421,505 017 797l



Se însumează algebric rezultatele parţiale (r) şi se exprima coordonateledin planul tangent de proiecţie stereografica 1970 :

22 2

3

3 4

4

4 4

5

5 5

6

6 6

r S 1 921,096 985 748

r S 8,978 348 519

r S 0.082 759 536

r S 0,001 629 567

r S I 0,000 008 011

l

l

l

l

tg o 2 4 6

tg 1 3 5

x =r r r r =140883,458my r r r =151 412,525m

Calculul coordonatelor geografice din coordonatele rectangulare planeSTEREO 70

2 3 4 5

00 10 20 30 40 50

2 3 4 2 2 4 6

02 12 22 32 42 04 14 24 06

'' (A A X A X A X A X A X ) 1,000

A A X A X A X A X Y A A X A X Y A Y ...



02 12 22 32 42 04 14 24 06

2 3 4 5

01 11 21 31 41 51

2 3 3 5

03 13 23 33 05 15

l" B B X B X B X B X B X Y

(B B X B X B X ) Y B B X Y ...

Calculul coordonatelor stereografice prin metoda

reducerii la coardă• Metoda reducerii la coardă utilizată la calculul coordonatelor

stereografice, constă ca şi în proiecţia Gauss în reducerea direcţiilormăsurate şi distanţelor la planul de proiecţie.



• Dacă se consideră direcţia AB pe elipsoid sau sferă în planul deproiecţie va fi A’B’ după linia curbă de lungime AB

• A reduce direcţia considerată înseamnă a stabili corecţiile de reducere la coardăA’B’ notate cu AB şi BA şi distanţa dintre punctele A’ şi B’ luată după coarda A’B’notată cu SAB.

Reducerea direcţiilor la planul de proiecţie• Suma unghiurilor în triunghiurile ABC şi A’B’C este aceeaşi (proiecţia

este conformă), deci putem scrie:A B C a b c AB BA



• La distanţe mici curba A’B’ este un arc de cerc şi

= 2 si

180 e 180 AB BA

AB= BA=

2

''

2 2

''''

1

12

1

A A

ABC

B B

C C

y xS y x R R

y x

2

2

''''

''''

2

4

A B B A

A B B A

y y x x R

y y x x R



Cadrul şi dimensiunile trapezelor pe elipsoidul de referință şi

în planul de proiecţie stereografic 1970• Hărţile şi planurile topografice în proiecţia STEREOGRAFICA 1970 au un cadru

geografic, ce rezulta din imaginile plane ale unor arce de meridiane şi de paralele,care pe elipsoidul de referinţă delimitează trapeze curbilinii, denumite şi trapeze



geodezice sau în mod curent trapeze, iar în planul de proiecţie poartă denumireade foi de harta sau foi de plan

Convergenţa mer ane or n PR IECŢIA TERE RAFIC

1970• Unghiul de convergenta a meridianelor în proiecția stereografica - 1970 este

unghiul γ format de tangenta la meridianul ce trece prin punctul dat (A'M') cuparalela dusa prin același punct (A') la axa absciselor (A'X'), care reprezintăimaginea plană a meridianului centrului de proiecţie



0' ' ' 90 ; ' ' '; ' ' ';i M A B M A X B A C

• Din definirea convergentei meridianelor care esteidentica cu cea prezentata in proiecţia Gauss,rezulta :

x y

tg yq q



2 2 3 2

1 2 3 3 4 4

2 3 3

2 3 4 4 54

2 3 3 4 12

2 6 12 4 20

xa a q a q a l a q a q

q

ya l a ql a q l a l a q l

q

'' 2 3 3 301 11 21 03 31 13tg l f l f l l f l f l

''4 '' 4

0

''4 '' 4

0

10 10

10 10

f

l

01 0 0

1; cos ;

2n sin coeficienti constanti

'' ''0.999 750 000 sec tg

Proiecţia Stereografică utilizând planul secant local• Proiecţia stereografică 1970, pe plan secant unic, fiind o proiecţie conformă perspectivapăstrează nealterate unghiurile figurilor de pe teren şi deformează pe plan tangent radiallungimile; în acest fel satisface majoritatea reprezentărilor în plan pentru scările 1:10 000, 1:5 000, iar în anumite zone şi pentru scara 1:2 000, unde deformaţia lungimilor nu depăşeşte10 cm. Pentru zonele de mare importanţa economică, cum ar fi: zone industriale, centre



populate, construcţii hidrotehnice, lucrări miniere etc. unde multitudinea detaliilor impunesă se întocmească planuri topografice la scări mari 1:500- 1:2 000, proiecţia stereografică1970 pe plan unic secant nu mai satisface ca precizie. În aceste cazuri se adoptă un plansecant local în funcţie de situaţia zonei ce trebuie ridicată topografic în plan. Prin aplicareaplanului unic secant, se micşorează deformaţia cu 33 cm/km. În unele părţi ale periferiei ţăriiexistă totuşi o deformaţie de +67 cm/km. În oraşe unde se creează o precizie mai mare,

instrucţiunile prevăd folosirea unui plan secant local paralele cu planul unic secant, dacădeformaţia liniară în oraşul respectiv depăşeşte +- 15 cm/km. Planul secant local va treceprintr-un punct de triangulaţie al oraşului, fie că el a fost determinat mai înainte, fie că se vadetermina din nou. Se va calcula coeficientul de transcalculare a coordonatelor care esteraportul dintre distanţa în planul secant local şi cea corespunzătoare în planul unic secant, înfelul următor:

• Fie punctul P2(x2,y2) ale cărui coordonate sunt date în planul unic secant. Acestui punct îicorespunde punctul P pe sferă şi punctul P1 în proiecţia stereografică cu plan tangent.

• Cu ajutorul coordonatelor x2 şi y2 se va calcula distanţa d2. Această distanţă se va împărţi cucoeficientul 0,99966667 obţinându-se distanţa d1 în planul stereografic tangent;

• Se va calcula apoi distanţa ON în mod aproximativ:

ON RTN 0

22

0 d RON

d d d d d d 2221



TL

TNaprox LT d d d d

TL

TN LT d d d d

TNaprox LT NLTL

prov

))((

))((

21

2

21

2

22

0 d RON

ON RTN 0

PROIECŢII CONICE



a) Proiectii drepte b) Proiectii oblice c) Proiectii transversale

• Proiecţii conice se numesc acele proiecţii în care o zonă de pe suprafaţa globului este proiectată pe

suprafaţa desfăşurabilă a unui con tangent sau secant la zona dată.• Reţeaua cartografică, în proiecţia conică este o reţea formată din:

• proiecţiile meridianelor, care se reprezintă prin linii drepte concurente în acelaşi punct(vârful conului) şicare fac între ele unghiurile ’ proporţionale cu longitudinile ;

• proiecţiile paralelelor, care se reprezintă prin arce de cerc concentrice având ca centru punctul deintersecţie a meridianelor



• Paralelul de tangenţă(paralelul mediu al zonei) este paralelul după care conul atinge globul.• Caracteristica principală a paralelului de tangenţă este că, după desfăşurarea conului, aceste paralele îşi

păstrează lungimea.

• Paralelele de secţionare sunt cele 2 paralele determinate de conul care intersectează sfera, după o zonăoarecare.

• Coeficientul de proporţionalitate este raportul dintre unghiul ’ format de cele 2 apoteme

corespunzătoare celor 2 meridiane şi unghiul - diferenţa de longitudine dintre aceste 2 meridiane:

• Când =1, ’=, adică proiecţia conică se transformă în proiecţie azimutală cu planul tangent în punctulP de convergenţă a meridianelor în care caz, se reduce la planul tangent în P.

•

',

'

A0B0D0 – paralelul de tangenţă

0 – latitudinea paralelului de tangenţă egalăcu latitudinea punctului B0

- longitudinea punctului B0

’ – unghiul dintre cele 2 apoteme ale conuluicorespunzătoare celor 2 meridiane ce face între ele unghiul '



ρ0 – raza paralelului de tangenţă- distanţa polară a punctului A0 de pe paralelulde secţionare:

A0B0 C0D0 – zona de reprezentat în proiecţiaconică A0B0 , C0D0 – paralelele extreme ale zonei dereprezentatP1 P2 – paralelul de tangenţă sau paralelulmediu al zonei

0

090

REŢEAUA CARTOGRAFICĂ ŞI FORMULELEGENERALE ALE PROIECŢIILOR CONICE

• Reteaua normala se reprezinta sub forma de arce de arcuri concentrice si

d



drepte concurente in centrul comun al arcelor de cerc, drepte ce formeazaintre ele unghiuri egale.

O – punctul central al proiecţieiP1’P2’ - paralelul de tangenţă A’B’, C’D’ – paralelele extreme ale zonei de

reprezentatS1, S2, S3…S6 – proiecţiile diferitelormeridiane1, 2 – latitudinea paralelelor extreme0 – latitudinea paralelului mediu

Rezultă că reţeaua cartografică va fi formată din:

•proiecţiile meridianelor – linii drepteconvergente;•proiecţiile paralelelor – arcuri de cercuriconcentrice, cu centrul în punctul comun S, razele ale acestor cercuri sunt funcţii de latitudinea

sau de distanţa polară

Formulele generale ale proiecţiilor'



)()( 21 f f Proiecţiile conice aplicate în cartografia matematică sunt:

proiecţii conice echidistante:pe con tangentpe con secant

proiecţii conice conforme

proiecţii conice echivalente

Deformatii

dd



Rd d

dX d m

sinsin N Rn

inm p sin



PROIECŢII CONVENŢIONALE ŞI

PROIECŢII DERIVATE



Reţeaua cartografică şi harta lumii în proiecţia Sanson



Reţeaua cartografică şi harta lumii în proiecţia Mollweide

Repartizarea deformaţiilor



Planiglobul în proiecţie Sanson şi Mollweide



Harta lumii în proiecţia sinusoidală Eckert



Harta lumii în proiecţia Robinson

Reţeaua cartografică în Proiecţia pseudoconică Bonne



Harta lumii în proiecţia Grinten



Proiecţia Aitov



Harta lumii în proiecţia Aitov-Hammer



Harta lumii în proiecţia despicată Mollweide-Goode



Harta lumii în proiecţia despicată Eckert - Goode

Hărţi ale lumii în proiecţia stelată



PROIECŢII CARTOGRAFICE UTILIZATE ÎNEUROPA

•Proiecţie stereografică oblică: Olanda, Polonia, România•Proiecţia cilindrică conformă oblică: Ungaria, ElveţiaProiecţie G K ü B lgaria Croaţia Germania Slo enia



•Proiecţie Gaus s-Krüger : Bulgaria, Croaţia, Germania, Slovenia;•Proiecţie transversală conformă Merc ator : Albania, Austria,Bulgaria, Finlanda, Grecia, Irlanda, Italia, Lituania, Luxemburg,Irlanda de Nord, Marea Britanie, Norvegia, Polonia, Portugalia,

România, Rusia, Suedia, Turcia, Ucraina ;•Proiecţie Universală Transversală Mercator : Cipru,Danemarca, Gibraltar, Islanda, Italia, Malta, Norvegia, Portugalia,Spania, Turcia;

•Proiecţie conică c o n f o r m : Lambert : Belgia, Estonia, Franţa ;•Proiecţie conică conformă oblică: Republica Cehă, RepublicaSlovacă ;•Proiecţie B o n n e : Portugalia

PROIECŢII CARTOGRAFICE RECOMANDATE DE

UNIUNEA EUROPEANĂ

În momentul actual în Uniunea Europeană se utilizează cinci elipsoizi de

referinţă diferiţi şi opt tipuri de proiecţii cartografice



referinţă diferiţi şi opt tipuri de proiecţii cartografice. În viitor se doreşte introducerea unui singur sistem de proiecţie şi a unui

singur sistem de stocare a datelor spaţiale pentru întreg continental. Astfel, se recomandă din partea Comisiei Europene a se utiliza următoarele

tipuri de proiecţii cartografice:

• Proiecţia azimutală echivalentă Lambert: pentru analizele statistice;• Proiecţia conică conformă Lambert: pentru realizarea hărţilor la scărimai mici sau egale cu 1:500.000;• Proiecţia conformă UTM: pentru întocmirea hărţilor la scări mai mari de1:500.000.



263

HĂRȚI NEOBIȘNUITE(Unusal maps)

H RȚI CU TENTA POLITICA



264

The Eagle Map of theUnited States 1832



265

Franța1796



266



267



268

BIBLIOGRAFIE SELECTIVA

•Bonea, I. , Dima, N., Cartografie matematică, Litografia I.M.P., Petroşani, 1968

•Gagea, L . , Hanig , E., Bitir, E., Cartografie, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1993



•Herbei O., Herbei M., Proiectii Cartografice, Editura Universitas, 2010

•Herbei, O., Cartografie matematică, î ntocmirea şi redactarea hărţilor , Editura Eurobit,

Timişoara. 2002

•Herbei, O., Herbei, M., Sisteme Informatice Geografice. Fundamente teoretice şi aplicaţii,

Editura Universitas, Petroşani, 2010

•Moroşanu, B., Deformaţiile liniare relative î n sistemele de proiecţie Stereografic 1970,Gauss - Kr üger , UTM şi comparaţii î ntre acestea, 2007

•Munteanu, C., - Cartografie matematică, Editura MatrixROM, Bucureşti, 2003

•Năstase A Curs de cartografie Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti 1963

http://earth.unibuc.ro/articole/deformatii-liniare-in-sistemele-proiectie























Proiectii Cartografice

Documents

Transcript of Proiectii Cartografice