proiectii diacritice

25
BUCURESTI 2014 STUDIUL LOXODROMEI SI ORTODROMEI PE SFERA SI ELIPSOID Navigaţia este ştiinţa care se ocupa cu metodele şi practicile cele mai eficiente pentru asigurarea deplasării navelor şi aeronavelor în deplină siguranţă. În antichitate, navigaţia era cât se poate de periculoasă din cauza fragilităţii şi deplasării încete a ambarcaţiunilor, a puţinelor cunoştinţe despre mare şi vânturi şi din lipsa hărţilor detaliate şi a instrumentelor. În lipsa hărţilor şi a instrumentelor de navigaţie, ghidarea se făcea prin observarea astrelor, iar înaintarea, prin exploatarea fenomenelor naturale. Astfel, vikingii excelau în orientarea în funcţie de sensul vânturilor sezoniere şi de direcţia generală a hulei. Infrastructura a căpătat importanţă cu câteva secole înainte de era noastră. S-au construit porturi, porţiunile periculoase au fost balizate cu prajini înfipte în fundul mării, turnuri văruite în alb, în care erau aprinse focuri care furnizau repere de pe înalţimi. Primul instrument de navigaţie, folosit de 1 ASTROLAB Sextant Astrolab Busola

description

cxzsdfghjmkjhgf

Transcript of proiectii diacritice

BUCURESTI 2014

STUDIUL LOXODROMEI SI ORTODROMEI PE SFERA SI ELIPSOID

Navigaia este tiina care se ocupa cu metodele i practicile cele mai eficiente pentru asigurarea deplasrii navelor i aeronavelor n deplin siguran.

n antichitate, navigaia era ct se poate de periculoas din cauza fragilitii i deplasrii ncete a ambarcaiunilor, a puinelor cunotine despre mare i vnturi i din lipsa hrilor detaliate i a instrumentelor. n lipsa hrilor i a instrumentelor de navigaie, ghidarea se fcea prin observarea astrelor, iar naintarea, prin exploatarea fenomenelor naturale. Astfel, vikingii excelau n orientarea n funcie de sensul vnturilor sezoniere i de direcia general a hulei.Infrastructura a cptat importan cu cteva secole nainte de era noastr. S-au construit porturi, poriunile periculoase au fost balizate cu prajini nfipte n fundul mrii, turnuri vruite n alb, n care erau aprinse focuri care furnizau repere de pe nalimi.

Primul instrument de navigaie, folosit de egipteni, a fost o prajin lung, gradat; aceasta a fost urmat de o sond alctuit dintr-o sfoar cu o piatr la capt. A urmat astrolabul, un instrument folosit pentru a masura miscarea astrilor pe bolta cereasc, mai exact, nlimea stelelor in raport cu linia orizontului, bastoanele lui Jacob, predecesorii sextantului, pentru msurarea nlimii astrelor. La sfritul evului mediu a aprut busola iar ncepnd cu secolul al XVI-lea se cunotea metoda destabilire a latitudinii cu o eroare admisibil. John Harrison

Odat cu dezvoltarea flotelor militare i civile, problema stabilirii exacte a longitudinii a cptat o astfel de importan, nct cei mai mari savani ai secolului al XVII-lea s-au interesat de acest aspect i pretutindeni n lume s-au oferit premii fabuloase pentru gsirea unei soluii satisfctoare. Primul ctigtor a fost un dulgher englez, John Harrison, care a construit n 1736 primul cronometru de marin .

n 1837, cpitanul american Th. Summer a inventat metoda latitudinii, singura metod astronomic aplicat pn n zilele noastre.

n secolul al XX-lea, la nceput radiogoniometria, apoi sondajul cu ultrasunete, metodele de radar i de radionavigaie aprute n timpul celui de-al doilea rzboi mondial, au revoluionat metodele tradiionale de navigaie Dimensiunile Pamantului

Pamantul face parte din categoria planetelor mijlocii, fiind a cincea ca marime intre planetele Sistemului Solar. Raza sa medie este de 6371 km. Circumferinta la Ecuator este de 40.076 km. Suprafata Pamantului este de 510 milioane km2.

Orientarea pe Glob

Pentru a stabili poziia unui punct pe planet trebuie s pornim de la nite repere. Acestea sunt polii i Ecuatorul. Polii (Polul Nord i Polul Sud) sunt cele dou puncte imaginare prin care axa Pmntului strpunge suprafaa terestr. Cei doi poli au poziii opuse iar in funcie de ei se stabilesc punctele cardinale.

Axa este linia imaginar care strbate Pmntul de la nord la sud, trecnd prin centrul su. n jurul ei se efectueaz rotaia planetei. Axa nu este vertical, ci nclinat spre est cu 23 30.

Ecuatoruleste cercul imaginar situat la jumtatea distanei dintre cei doi poli. El mparte planeta n dou pri egale, numite emisfere: Emisfera Nordic (sau Boreal) i Emisfera Sudic (Austral).

Pentru a ti cu precizie poziia unui punct pe globul terestru nseamn a-i aflacoordonatele geografice, adic latitudinea i longitudinea. Pentru aceasta avem nevoie de o reea de linii imaginare: paralelele i meridianele.

Paralelelesunt cercuri imaginare paralele cu Ecuatorul. Lungimea lor scade de la Ecuator spre poli. Numerotarea paralelelor se face de la Ecuator (paralela de 0) spre poli (90 la Polul Nord i la Polul Sud).

Meridianelesunt semicercuri care unesc cei doi poli. Numerotarea lor se face ncepnd cu meridianul care trece prinb Greenwich(cartier al Londrei). Acesta este meridianul de 0. Meridianele se numeroteaz ctre vest sau ctre est fa de meridianul Greenwich, de la 0 la 180. Meridianul de 180 este opusul meridianului Greenwich.

Coordonatele geografice reprezint distanele unui punct fa de Ecuator i fa de meridianul Greenwich. Pentru c suprafaa Pmntului este sferic, aceste distane se msoar n grade, minute i secunde.

Latitudineaeste distana, msurat n grade, de la Ecuator pn n punctul respectiv. Latitudinea poate fi nordic sau sudic i este indicat de paralel pe care se afla punctul (ex. 43 Nord).

Longitudineaeste distana, msurat n grade, de la primul meridian pn la un anumit punct de pe scoara terestr. Longitudinea poate fi estic sau vestic i este indicat de meridianul pe care se afla punctul respectiv (ex. 20 Est). Poziia unui punct se afla, aadar, prin msurarea latitudinii i longitudinii (n exemplul dat, 43 N i 20 E).

n afar de Ecuator, patru alte paralele prezint o importan deosebit. Ele sunt cele dou tropice i cele dou cercuri polare. Tropicele sunt paralelele aflate la 2330 latitudine nordic i sudic (Tropicul Racului, n nord, iTropicul Capricornului, n sud). Cercurile polare (Cercul Polar de NordiCercul Polar de Sud) sunt paralelele aflate la latitudinea de 6630, n ambele emisfere.

Proiecia cilindric Normal conform Mercator

Gerardus Mercator (1512 1594), un celebru cartograf, matematician i filosof flamand, este cunoscut pentru contribuiile aduse n domeniul cartografiei, i mai ales pentru ntocmirea, n anul 1569, a unei hri a lumii n care sunt reprezentate traseele de navigaie. A fost prima persoan care a folosit cuvntul atlas pentru a desemna o colecie de hri.

Proiecia cilindric normal conform a fost imaginat n 1569 de Mercator

Se poate obine att pe cilindru tangent la Ecuator sau secant dup dou paralele,harta rezultat se nscrie ntr-un dreptunghi, avnd meridianele i paralele rectilinii i perpendiculare unele pe altele, formnd o reea de dreptunghiuri. Linia de deformri nule este Ecuatorul(dac cilindrul este tangent la Ecuator) sau paralele de secanta (dac cilindrul este secant).

Proiecia cilindric normal conform Mercator este o proiecie conforma dar deformeaz foarte mult suprafeele n sensul creterii latitudinii(de exemplu la latitudinea de 75N i S suprafeele sunt mrite de 16 ori), ceea ce face c regiunile polare situate mai la nord de 75N i S s nu se mai poat reprezenta.O caracteristic principal a acestei proiecii consta n faptul c loxodromele sunt reprezentate prin linii drepte.

Este o proiecie folosit pentru hri de navigaie marin, hri ale reginunilor intertropicale i ale bazinelor oceanice.

Pentru pstrarea conformitii, Mercator a mrit scrile pe meridian conform mririi scrilor pe paralele.

Loxodroma i ortodroma

Guvernarea navei ntre dou puncte de pe suprafaa Pmntului, se asigur meninnd drumul compas corespunztor drumului adevrat ce leag cele dou puncte.

Drumul compas este unghiul din planul orizontului adevrat msurat de la direcia nord compas pn la axul prova al navei;

Considernd c drumul navei se menine constant, se deduce natura geometric a traiectoriei descrise de nav pe suprafaa Pmntului n deplasarea ei de la un punct la altul: o linie care taie toate meridianele sub acelai unghi.

Curba de pe suprafaa Pmntului care taie toate meridianele sub acelai unghi se numete loxodrom.

Fa de cele artate, drumul adevrat al navei mai poate fi definit deci ca unghiul constant format ntre loxodroma parcurs de nav i meridianele intersectate. De aceea, drumul urmat de nav n deplasarea ei de la un punct la altul pe sfera terestr mai este denumit i drum loxodromic.

Navigaia efectuat de nav de-a lungul unei loxodrome este denumit navigaie loxodromic.Lungimea loxodromei care leag dou puncte de pe suprafaa terestr nu reprezint distana cea mai scurt. Distana cea mai scurt ntre dou puncte pe sfera terestr este arcul de cerc mare.

Arcul de cerc mare care unete dou puncte de pe suprafaa sferei terestre se numete ortodrom.

Studiul ortodromei, conduce la concluzia c ortodroma taie meridianele sub unghiuri diferite, cu excepia cazurilor cnd aceasta se confund cu ecuatorul sau cu meridianele.

Dei loxodroma nu reprezint drumul cel mai scurt dintre dou puncte de pe suprafaa Pmntului, totui navigaia nu este posibil practic dect pe loxodrom, fapt impus de modul de guvernare a navei, care se face meninnd

un drum constant cu ajutorul compasului.

Cazuri particulare ale loxodromei sunt generate n drumurile de 0,180, 90 i 270, cnd nava se deplaseaz de-a lungul unui meridian, paralel sau pe ecuator.

Considernd loxodroma ce trece printr-un punct Z i care taie meridianul punctului respectiv ntr-un unghi oarecare D, diferit de 0, 180, 90 i 270 - prelungit la infinit, aceasta se apropie de cei doi poli teretri n form de spiral, fr a-i atinge. Drumul care permite atingerea polilor teretri, n mod teoretic, este de 0 sau 180, cnd s-ar naviga pe meridian.

Cnd distana dintre punctul de plecare i punctul de sosire este relativ redus, cum este spre exemplu n cazul navigaiei n Marea Neagr, Marea Mediteran sau Marea Roie, diferena dintre distana loxodromic i distana ortodromic este practic nensemnat.

Dac ns, distana dintre punctul de plecare i cel de sosire este mare i punctele se afl la o mare diferen de longitudine, cum este n cazul traversadelor oceanice, diferena dintre distana loxodromic i cea ortodromic poate fi considerabil: n acest caz, dac factori de ordin hidrometeorologic nu impun altfel, pentru a reduce distana de parcurs, se navig pe loxodrome scurte ce leag puncte intermediare ale ortodromei; acest mod de a naviga ntre dou puncte aflate la mare distan se numete navigaie ortodromic.

Navigaia de-a lungul ortodromei nu este practic posibil, deoarece ar impune o schimbare continu a drumului navei

Aproximarea suprafeei terestre cu suprafaa unei sfere de raza medieeste utilizat i n momentulde fata datorit faptului c poziia unui punct pe sfera se exprima foarte uor n raport cu un sistemde axe de coordonate cartezian spaial avnd originea n centrul sferei (raza sferei medii utilizate nmomentul de fat n geodezie i cartografie este de 6367.435 km).

Elipsoidul de rotaie este un corp geometric obinut prin rotirea unei elipse n jurul axei sale mici.

Sfera de raza medie i elipsoidul de rotaie, cu care se poate aproxima forma Pmntului sunt corpuri care pot fi definite n raport cu un sistem de coordonate carteziene spaial, Oxyz.

Sferan raport cu sistemul cartezian care are originea n centrul su geometric areecuaia:

x2+y2+z2-R2=0

Elipsoiduln raport cu sistemul cartezian avnd originea n centrul geometric al acestuiaare ecuatia:

unde a = semiaxa mare (ecuatorial) i b = semiaxa mic (polar) ale elipsei meridiane.Cercul meridian, n cazul sferei sau elipsa meridian n cazul elipsoidului se obin prin interseciaacestor corpuri cu un plan care conine axa Oz a sistemului cartezian (care coincide cu axa polar a Pmntului). Intersecia acestor corpuri cu planul care conine axele Ox i Oy da cercul ecuatorial.

Orice punct, A, de pe suprafaa sferei sau elipsoidului are poziia determinat princoordonatele cartezienexA, yA, zA.

Exist nsa posibilitatea ca poziia punctului A de pe suprafaa sferei sau de pe elipsoid sfie exprimat prin dou valori unghiulare numitecoordonate geografice.

n cazul sferei se considera semicercul meridian de origine, care conine axele Oxi Oz i semicercul meridian care conine axa Oz i punctul A. Aceste dou semicercuri seintersecteaz dup axa Oz, formnd unghiul diedruXa,denumitlongitudine geografic astronomic.

Normala la sfer n punctul A, trece prin centrul sferei i formeaz cu proiecia sa pe planulecuatorului unghiulBa, denumitlatitudine geografic astronomic.

n cazul elipsoidului se considera semielipsa meridiana de origine, care conine Oxi Oz i semielipsa meridiana a punctului A, care conine axa Oz i punctul A. Aceste dou semielipse se intersecteaz dup axa Oz i formeaz unghiul diedruX,denumitlongitudinegeografic elipsoidica.

Normala la suprafa elipsoidului n punctul A, intersecteaz axa polilor ntr-un punct diferit de centrul geometric al elipsoidului i formeaz cu proiecia sa pe planulecuatorului unghiul cp, denumitlatitudine geografic elipsoidica.

NAVIGAIA ORTODROMIC PE ELIPSOID

Generaliti privind navigaia ortodromic

Ortodroma (Great Circle) este arcul de cerc mare 1 - 2 care unete dou puncte de pe suprafaa terestr. Acest arc de cerc este situat la intersecia dintre sfera terestr i orice plan care trece prin centrul pmntului.

Ortodroma este caracterizat de faptul c reprezint distana cea mai scurt ntre dou punctede pe glob i de faptul c taie meridianele sub unghiuri diferite.

Prima caracteristic a ortodromei este un avantaj, dar ntruct n inerea navigaiei se folosesc cu precdere hrile n proiecie Mercator se prefer navigaia pe loxodroma (Rhumb Line).Pe o hart Mercator, loxodroma apare ca o linie dreapt care taie meridianele sub acelai unghi (drumul navei).

Ortodroma pe o hart Mercator apare ca un arc de cerc.Ea apare ns ca o linie dreapt pe hrile gnomonice, pe care se poate face navigaie ortodromic.

Deplasarea navei de-a lungul ortodromei nu este ns practic posibil (excepia constituind-o deplasarea navei pe drumurile de 0, 180su dea lungul ecuatorului) deoarece, aa cum am precizat, aceasta taie meridianele sub unghiuri diferite, iar guvernarea navei se face prin meninerea unui unghi constant fa de direcia nord, egal cu drumul loxodromic D.

n practic, navigaia ortodromic se realizeaz pe segmente de loxodroma, ct mai apropiate de ortodroma. Practic se calculeaz latitudinea unor puncte de pe ortodroma, fie la distane multiplu de 5sau 10de o parte i de alta a punctului de latitudine maxim (punct numit Vertex) fie punctele de intersecie ale ortodromei cu meridianele multiplu de 5sau 10intre punctul de plecare i punctul de destinaie. ntre dou astfel de puncte consecutive, se traseaz segmentele de loxodroma corespunztoare pe harta Mercator.

Segmentul de ortodroma dintre dou locuri situate de aceeai parte a ecuatorului, este n orice punct mai aproape de polul emisferei respective dect orice punct de pe loxodroma dintre cele dou locuri.

Dac dou puncte sunt situate n emisfere diferite, ortodroma dintre ele schimba curbura n raport cu segmentul de loxodroma, la ecuator. Dac cele dou puncte sunt situate pe ortodroma la distane egale de o parte i de alta a ecuatorului, atunci ortodroma va intersecta loxodroma dintre ele pe ecuator.

n triunghiul sferic PNAB din Figura 2. observm elementele ortodromei:

Distanta ortodromica M (lungimea arcului de cerc mare AB);

Drumul iniial Diegal cu unghiul sferic PNAB;

Drumul final Dfegal cu unghiul sferic PNBA;

Vertexul V care este punctul de pe ortodroma care este cel mai apropiat de polul geografic (punctul cu cea mai mare latitudine);

Punctele intermediare Z1, Z2, Z3ntre care se va naviga pe segmente de loxodroma.

Determinarea elementelor ortodromei pentru elipsoid, ca model matematic al Pmntului, presupune un calcul foarte laborios. ns rezultatele astfel obinute sunt mult mai exacte, deci mult mai apropiate de realitate. De asemenea, sistemele electronice moderne de navigaie (GPS, DGPS) utilizeaz, ca model matematic al Pmntului, elipsoidul (WGS 84).

1 Lungimea arcului de meridian pe elipsoid

Lungimea arcului de meridian (diferena de latitudine dintre dou puncte) pe elipsoidul de referin, este dat de formula:

unde:

Blatitudinea geografic pe elipsoidul de referin, n radiani.

Exprimndraza de curbur n funcie de semiaxa mare (a), excentricitate (e) i latitudine, formula devine:

iar dezvoltat n serie Taylor are form:L=a(A0B A2sin2B + A4sin4B A6sin6B+.)

Coeficienii dezvoltrii n serie au valorile:

2 Latitudinea crescnd (meridional parts)

Calculul latitudinii crescnde, pentru orice elipsoid, se face cu formula:

care se poate scrie:

n tablele nautice DH-90 pentru calculul latitudinii crescnde pe elipsoidul Krassovski se utilizeaz formula:

3 Drumul loxodromic, distanta loxodromica i deplasarea est-vest pe elipsoid

Valoarea drumului loxodromic este dat de formula:

, unde Distana loxodromic se calculeaz cu formula:

Deplasarea est-vest pe elipsoid are urmtoarea formula:

, unde ce reprezint factorul paralelului.

4 Distana ortodromic pe elipsoid

Pentru determinarea distanei minime dintre dou puncte pe elipsoid (distana ortodromic) se utilizeaz formule complexe n care latitudinea se exprima sub form de parametru de latitudine. Una dintre cele mai utilizate formule este datade metoda Andoyer Lambert, n care distana ortodromic i drumul iniial se calculeaz mai nti pe o sfer de raz egal cu semiaxa mare a elipsoidului de referin utilizat. Valorilor obinute li se adaug apoi corecii pentru obinerea corespondentului lor pe elipsoid. Erorile de determinare cu aceast metod sunt pentru distan de 1m la 500 Mm (mile marine) i 7m la 6 000 Mm, iar pentru drum iniial de o secund.

Latitudinea exprimat sub form de parametru de latitudine are formula:

Unde a i b sunt semiaxale elipsoidului de referin.

Distana ortodromic pe sfer echivalent este dat de relaia

Coreciile elipsoidale au form:

Distana ortodromic pe elipsoid va avea formula: (n radiani)

(n mile marine) , unde f este turtirea elipsoidului

5 Drumul iniial pe elipsoid

Valoarea drumului iniial (relevmentul de la punctul de plecare la punctul de sosire) se determina cu formula:

5 Concluzii

Pentru exemplificare, tabelul 3 prezint valorile distanelor loxodromice i ortodromice obinute pentru deplasarea din portul Honolulu n portul Callao.

Tabelul 3

Punct plecarePunct sosireSferaElipsoid

m (Mm)M (Mm)m Mm (Mm)M (Mm)m M

Honolulu

B=21020N

L=157030WCallao

B=12000S

L=077020W5159,25124,834,45135,65131,54,1

Din analiza rezultatelor se deduc urmtoarele:

distanta loxodromica pe sfera este mai mare dect distana loxodromica pe elipsoid;

distanta ortodromica pe sfera este mai mic dect distana ortodromica pe elipsoid;

diferena m M pe sfera este mai mare dect diferena pe elipsoid.Calculul elementelor ortodromei

1.Calculul distanei ortodromice M:

Distana ortodromica M se obine aplicnd n triunghiul sferic APNB formula cosinusului laturilor. Rezult:

M rezulta n minute de arc de ortodroma care se considera egale cu o mile marine.

2.Calculul drumului iniial Dii a drumului final Dfal ortodromei:

Drumul iniial se obine aplicnd formula cotangentelor n triunghiul sferic ABPN pentru: Di, (900-BA), (900-BB) obinndu-se:

Aplicnd aceeai formul n triunghiul sferic BAPNse va obine:

Drumul iniial i cel final se vor calcula la precizie de zecime de minut (0'.1)

3.Calculul coordonatelor vertexului:

Latitudinea vertexului se obine din formula:

Longitudinea vertexului se obine din:

unde: 4.Calculul latitudinii punctelor intermediare

ntruct punctele intermediare se obin prin intersecia ortodromei cu meridianele separate de o diferen de longitudine constant, longitudinea punctelor intermediare este practic determinat.Pentru determinarea longitudinii se aplic formula:

unde : Punctele intermediare astfel determinate se trec pe harta Mercator, i unite ntre ele printr-o curb cu extremitile n A i B determina ortodroma AB.Segmentele de dreapta AZ1, Z1Z2, Z2Z3, etc. ce unesc punctele intermediare ale ortodromei reprezint loxodrome pe care nav urmeaz s se deplaseze din A n B .

Algoritmul pentru calculul n cele din urm a coordonatelor punctelor intermediare va cuprinde urmtoarele secvene:

a)Calculul diferenei de longitudine diferenei de latitudine i a diferenei de latitudine crescnd b)Calculul distanei ortodromice M

c)Calculul diferenei de distanta m M

Se calculeaz drumul loxodromic ntre cele dou puncte:

Se calculeaz distanta loxodromica ntre cele dou puncte:

Se calculeaz distanta m - M

d)Calculul drumului iniial Di i a drumului final Df care se vor obine n sistem cuadrantal, trebuind convertite n sistem circular Sistemul cuadrantal. In acest sistem:Unghiurile seexprimaprecizand cadranul de orizont in care acestea se gasesc.Directia dereferintaestedirectianord adevarat(pentruunghiurisituatein cadranele I si IV) sausud adevarat(pentru unghiuri cu valori in cadraneleIIsi III),sensul de masurare poatefidirectsau retrograd,iar valoarea unui unghi exprimat cuadrantal nupoate depasi 0-900(valoarea unui cadran).e)Se calculeaz coordonatele vertexului

f)Se calculeaz coordonatele punctelor intermediare Zi(Bi,Li) considerndu-le puncte de intersecie dintre ortodroma i meridiane de longitudine multiplu den0(de exemplu multiplu de 50sau 100)

Aplicaie

Se navigheaz de laCasablanca(B1= 3330' N ;L1= 00737.0' W) laMiami(B2= 2540' N ;L2= 08010.0' W). Se cere s se determine elementele ortodromei i coordonatele punctelor de intersecie ale ortodromei cu meridianele multiplu de 10cuprinse ntre punctul de plecare i punctul de sosire.

Rezolvare:

a)Calculul B, L, BC

B2= 2540' -L2=- 08010.0' -Bc2= 1590.0 -

B1= 3330'-L1= + 00737.0'Bc1= 2129.9

----------------------------------------------------------

B= -750.0'L=- 7233.0'BC= 539b)Calculul distanei ortodromice

M = 3735.4 Mmc)Drumul loxodromicD = SW 8255' = 262.9

m = 3824.9 Mm

m - M = 89.9 Mmd)Drumul iniialDi = N 7605.9' W = 283.9

Drumul finalDf = S 6352.2' W = 243.9e)Coordonatele vertexului

Bv= 3602.9' N

Lv= 2405.8' W

Lv= 3142.8' Wf)Coordonatele punctelor intermediare:

LatitudineLongitudine

Z13404.0' N01000.0' W

Z23528.6' N02000.0' W

Z33602.2' N03000.0' W

Z43545.8' N04000.0' W

Z53438.8' N05000.0 W

Z63239.4' N06000.0 W

Z72944.3' N07000.0 W

Z82550.5' N08000.0 W

ASTROLAB

Sextant

Primul cronometru de marin

Elementele sferei terestre

EMBED Equation.3

Elementele elipsoidului

Diferenta intre ortodroma (great circle) si loxodroma (rhumb line)

Astrolab

Busola

18

_1461579331.unknown