PAGE 13

CERCETAREA EXPERIMENTAL A OPERATIILOR TEHNOLOGICEProiectarea experimentului

In strategia experimentrii sunt cuprinse doua direcii succesive de lucru :

1. programarea experienelor 2. analiza datelor experimentale.O idee principala care va fi urmrita mai departe este ca din aceste dou direcii prima este esenial.

Programarea experienelor furnizeaz datele necesare pentru analiza statistica. Dar numai anumite date sunt utile analizei statistice. Daca acestea lipsesc, orict de eficient ar fi analiza statistica, rezultatul va fi slab sau nul. Invers, dac experimentul este corect programat, chiar o analiza statistica rudimentara (uneori si o simpla inspecie vizual) va duce la informaii valoroase.Pentru conducerea unui experiment statistic programat este important sa se disting care sunt variabilele dependente ale procesului (numite si rspunsuri) si care independente.Decizia privind alegerea rspunsului care trebuie considerat drept o msura a succesului experimentrii nu este totdeauna uoar. Astfel dei obiectivul general este, uzual, minimizarea costului produciei, numai rar se poate determina costul arjelor separate, intr-o instalaie complex. Randamentul n greutate al unui produs sau consumul unei materii prime pot constitui rspunsuri alternative, pentru aceeai problem de optimizare. Uneori poate fi necesar ca o variabila calitativa sa fie utilizata drept rspuns.Cu toate acestea este mai uor sa se decid care rspuns trebuie considerat semnificativ, dect sa se decid care variabile trebuie operate (variate) in timpul experimentrii. Este posibil sa nu se cunoasc care sunt variabilele importante ale unui proces, sau sa se aprecieze greit ca unele variabile sunt mai importante dect altele.Etapele necesare aplicrii unui program statistic de organizare a experienelor sunt urmtoarele :1. Formularea ct mai clara a problemei si a chestiunilor la care trebuie sa rspund programul experimental.2. Trierea, dintre variabilele posibile, a acelora bnuite ca pot influenta rspunsul experienei; este preferabil sa se retina mai multe variabile. dect prea puine, deoarece variabilele nesemnificative vor fi eliminate prin evaluarea statistica ulterioara, iar experiena in care variabilele respective au variat vor fi utilizate pentru a msura precizia rspunsului.3. Selecionarea intervalului de variaie, permis tehnologic, pentru fiecare variabila.4. Alegerea n aceste intervale a unor puncte discrete (numite niveluri ,sau puncte experimentale) importante pentru evaluarea variabilelor; uzual se alege un nivel inferior i unul superior situate la distante egale (pas, unitate de variaie), de un nivel central, luat drept origine ; mulimea punctelor discrete selecionate formeaz un program experimental (numit si matrice de programare, iar in sens mai larg experiment).5. Determinarea mrimii erorii experimentale : independent de program, daca se dispune de experiene anterioare; n cadrul programului, repetnd mai multe experiene (replicate) in punctul central.6. Executarea experienelor specificate n program ntr-o ordine ntmpltoare.7. Msurarea rspunsului sau rspunsurilor simultane ale fiecrei experiene ; randament, puritate etc.8. Analiza statistica a datelor culese si dezvoltarea unor relaii funcionale ntre variabilele independente si cele dependente (rspunsuri); aceste relaii sunt in general de forma polinomiala.9. Interpretarea sensului tehnologic al rezultatelor analizei statistice.Un program experimental n care intervin k variabile, fiecare putnd lua numai 2 niveluri, n modul specificat mai departe, este denumit program factorial; numrul experienelor coninute n acest program este 2k.Exemplul 1 :Experiment factorial 23, un singur rspuns.ExperienaVariabile independenteTransparena filmului

(variabila dependent)

X1X2X3

1---Clar

2+--Clar

3-+-Translucid

4++-Translucid

5--+Clar

6+-+Clar

7-++Translucid

8+++Translucid

Se studiaz dependena dintre proprietile unui film de polimer i componentele latexului din care a fost format.

Variabilele independente sunt componentele latexului: cantitile a doi emulgatori, A i B, i concentraia catalizatorului.

Variabila dependent, rspunsul este transparena filmului.

Au fost preparate opt latexuri de polimer dup un experiment factorial 23, artat n tabel. Aici 2 reprezint numrul nivelurilor fiecrei variabile, iar 3 numrul variabilelor, deci 23 = 8 experiene. Ordinea executrii experienelor este ntmpltoare. Din fiecare latex s-a turnat cte un film pe o lamel de microscop. Din cele opt probe rezultate, patru s-au uscat formnd un film clar, iar celelalte patru au format un film opac.Din tabel, reiese c variabila X2, cantitatea de emulgator B, este aceea care influeneaz puternic transparenta.

X1 emulgator A 2 % - 3 %

X2 emulgator B 0 % 2 %

X3 catalizator 0,5% - 1 %

Exemplu 2. Experiment factorial 23 cu trei rspunsuri

Se studiaz aspectul unei soluii care poate fi influenat de trei variabile: cantitatea de monomer, tipul de regulator de lan i cantitatea de regulator de lan. De observat c una din aceste variabile este calitativ. Pentru fiecare variabil se atribuie dou niveluri.

ExperienaVariabile independenteRspuns (variabile dependente)

X1X2X3OpalescentVscosGalben

1---DaDaNu

2+--Nu DaNu

3-+-DaDaNu

4++-NuDaUor

5--+DaNuNu

6+-+NuNuNu

7-++DaNuNu

8+++NuNuUor

X1 cantitatea de monomer 10 % 30 %

X2 tipul regulatorului de lungime caten A B

X3 cantitatea regulatorului de caten 1 % - 3 %

Analiza datelor const n examinarea aspectului soluiilor. Rezult c variabila X1 determin aspectul soluiei,(opalescent sau clar), variabila X3 este corelat cu vscozitatea, iar culoarea galben rezult din interaciunea variabilelor 1 i 2. Nici una din variabile nu produce n sine culoarea galben, dar cnd ambele sunt la nivelul +, efectul apare.

Dac variabilele ar fi fost studiate n mod uzual cte o variabil pe rnd, acest aspect ar fi trecut neobservat.

1.EXEMPLU DE STUDIU TEORETIC AL UNUI PROCES

Regimuri de lucru la separarea pe suprafee plane oscilante

Ciururile plane oscilante constau din una sau mai multe rame metalice sau din lemn, de form dreptunghiular, nclinate fa de orizontal la un unghi cuprins n domeniul 1- 18o.

Ramele suprafeelor de separare, sunt fixate pe un batiu susinut prin intermediul unor tije articulate i antrenat de un mecanism biel-manivel.

Asupra unei particule de mas m situat pe suprafaa de separare (fig.2.10.), acioneaz n timpul lucrului urmtoarele fore: G = m.g - fora datorit greutii particulei; N reaciunea normal a suprafeei de separare; F=f .N fora de frecare dintre particul i suprafaa de separare; U=-m.jx = -m.r.2.cos .t - fora de inerie n micare longitudinal de revenire, orientat pe direcia axei x x ce formeaz cu orizontala unghiul .

Fora de inerie, care ia natere ca rezultat al micrii batiului dup un arc de cerc n jurul punctului de suspendare,se neglijeaz,deoarece raportul dintre amplitudinea oscilaiei i lungimea suspensiei este foarte mic i cu suficient precizie se poate considera c micarea se execut dup o dreapt.

Fig.2.10.Schema acionrii ciururilor cu micare oscilatorie longitudinal

Caracterul micrii relative a unei particule, fa de suprafaa de separare cu micare de oscilaie, depinde de:

mrimea acceleraiei pe direcia x x, nclinat la unghiul , jx = r.2.cost. unghiul de nclinare a suprafeei de separare fa de orizontal . unghiul de frecare dintre particul i suprafaa de separare = arctg f.Pentru studierea micrii relative a particulei, se iau n considerare ecuaiile difereniale ce caracterizeaz micarea dup direcia i respectiv perpendicular pe aceasta , considernd unghiul de frecare ;

cost.cos(+) g.sin F(2.24)

cost.sin(+) + g.cos + N

(2.25)

unde: i sunt coordonatele particulei n sistemul de axe legat de suprafaa de separare

unghiul de nclinare a suprafeei de separare fa de orizontal

unghiul dintre direcia de oscilaie i orizontal

N reaciunea normal

F fora de frecare

Dac N0 , particula este n contact cu suprafaa de lucru, adic =0.

Fora de frecare are expresia:

F = f . N = m [2.r.cost.sin(+) + g .cos] tg

(2.26)

Dup nlocuirile i transformrile de rigoare, se obine:

[2.r.cost - g](2.27)

n care semnele superioare corespund pentru deplasarea relativ a particulei n sus pe suprafaa de separare, iar cele inferioare n jos.

Dac se noteaz :

g = c1 i g = c2(2.28)

atunci acceleraia relativ cu care se deplaseaz particula n sus se anuleaz pentru orice unghi t corespunztor cruia c1 > r.2 i respectiv se anuleaz la deplasarea n jos pe suprafaa de lucru cnd c2 > r.2.

Rezult c acceleraia particulei se anuleaz la deplasarea n sus pe suprafaa de separare, la orice indice cinematic k < ks. Indicele ks este definit ca indice cinematic limit la deplasarea n sus i are expresia:

ks =

(2.29)

Pentru deplasarea particulei n jos,acceleraia relativ se va anula pentru orice indice cinematic k < kj. Indicele kj numit indice cinematic limit la deplasarea n jos are expresia:

kj = =

(2.30)

Condiia de separare este ca particula s rmn n contact cu suprafaa de lucru fr desprindere. Pentru aceasta este necesar s fie ndeplinit condiia N > 0:

N=m[2.r.cost.sin(+)+g.cos]=m.g[cos+k sin(+)cost]>0 (2.31)

Din relaia 2.31 se constat c N=f(k), ceea ce nseamn c pot apare situaii limit cnd N= 0 i particula pierde legtura cu suprafaa de separare,desprinzndu-se de aceasta, corespunztor acestei situaii, din relaia 2.31. rezult:

cos + k.sin(+).cost = 0

(2.32)

de unde:

k = -

(2.33)

Situaiile limit, apar cnd t = 2 pentru deplasarea n jos i respectiv t = la deplasarea n sus,corespunztor crora cost = 1, iar regimul corespunztor se caracterizeaz prin :

Ko =

(2.34)

n care semnul + se ia pentru t = , iar semnul - se ia pentru t = 2.

In concluzie, pe suprafeele plane antrenate n micare oscilatorie de un mecanism biel-manivel, n funcie regimul cinematic k, se pot realiza urmtoarele tipuri de deplasri relative ale particulelor:

1. deplasare ntr-un singur sens: - deplasare n jos kj < k < ks- deplasare n sus ks < k < kj

2. deplasri n ambele sensuri:

- deplasare n sus i n jos,mai mult n jos k > ks > kj; - deplasare n sus i n jos,mai mult n sus k > kj > ks- deplasare n sus i n jos,cu valori egale k > ks = kj3. salturi cu desprinderea de suprafaa de separare

k > ko4. starea de repaus relativ pe suprafaa de separare

k kj ; k ks ;

MODELAREA MATEMATIC A PROCESELOR TEHNOLOGICE

Modelul matematic al unui proces , constituie o relaie funcional ntre un rspuns Y i n variabile independente X1..Xn care pot fi exact msurate i controlate.

Msurnd rspunsurile ntr-un numr suficient de puncte experimentale, potrivit plasate n regiunea experimental, se pot obine estimaiile coeficienilor de regresie.

Se pot propune pentru analiz, urmtoarelor forme de relaii de regresie multipl:

n care:

este variabila dependent

X1,X2,X3 variabilele independente

a1,a2 a3 a7 coeficienii ecuaiilor de regresie

Termenii de ordinul 2 de forma Xi Xj i superiori Xi Xj Xk servesc att pentru recunoaterea unor eventuale interaciuni ale variabilelor independente ct i pentru evaluarea erorii experimentale.

Pot fi propuse i alte forme de relaii matematice.

Relaiile propuse se supun prelucrrii statistice prin metoda experimentului factorial complet, n vederea stabilirii modelului matematic adecvat, dup efectuarea analizei dispersionale.

Analiza dispersional a modelului matematic

Analiza dispersional, cunoscut sub numele prescurtat ANOVA -(de la englezescul Analysis of Variance) constituie un set de metode statistice n cadrul procedeelor de studiere a datelor experimentale.

Metodele ANOVA se bazeaz pe anumite ipoteze de lucru, care privesc variaia rezidual ( ce reprezint erorile care influeneaz experimentul):

erorile sunt variabile aleatoare, repartizate normal

valoarea medie teoretic a fiecreia dintre aceste variabile este zero

erorile au toate aceeai dispersie

Analiza dispersional presupune calculul unor mrimi caracteristice. Se ncepe prin a determina valoarea medie pentru fiecare ncercare.

v = 1,2,r

u = 1,2,.N

r = nr. de repetri

N = nr de ncercri

Dispersia fiecrui experiment i eroarea medie ptratic se determin cu relaiile:

EMBED Equation.3

Se determin dispersia reproductibilitii i eroarea total a experimentului

Dac rezultatul uneia din ncercrile n paralel se deosebete semnificativ de celelalte i produce incertitudine, acest rezultat trebuie verificat cu una din metodele statistice i n caz de necesitate se elimin ( testele Gebs, Irvin, Romanovschi)

Pentru verificarea uniformitii dispersiilor pentru ncercrile executate n paralel se utilizeaz testul Cochran (testul G)

Dac calculat cu relaia anterioar este mai mare dect G tab (pentru un nivel de siguran de 95 % ) atunci ipoteza omogenitii dispersiilor este respins. n acest caz, va trebui refcut ncercarea pentru care Gp > Gtab

Calculul coeficienilor ecuaiei de regresie ce reprezint modelul matematic al procesului studiat, se face cu relaiile:

Dup determinarea valorilor coeficienilor ecuaiei de regresie se trece la stabilirea semnificaiei lor statistice cu ajutorul criteriului t (Student) cu relaiile:

t0 = |a0| / S(a0)

ti = |ai| / S(ai)

tij = |aij| / S(aij)

unde

S(a0) = S(ai) = S(aij) = S(y)/ sunt erorile coeficienilor ecuaiei de regresie

Mrimile calculate ale criteriului Student se compar cu cele tabelate pentru nivelul dat de semnificaie i numrul corespunztor de grade de libertate. Dac unul din coeficienii ecuaiei se dovedete statistic nesemnificativ, atunci el poate fi eliminat, fr a mai recalcula pe cei rmai ( datorit ortogonalitii planificrii).

Se verific apoi dac ecuaia obinut este adecvat pentru descrierea fenomenului studiat (testul Fischer). Pentru aceasta se determin abaterea valorilor variabilei dependente obinute prin ecuaia de regresie cu coeficienii calculai, fa de valorile determinate experimental pentru fiecare linie a matricei plan de experiment i se calculeaz dispersia de adecvan cu relaia:

unde este numrul coeficienilor semnificativi n ecuaia de regresie

Se construiete statistica F,

Dac F < Ftab, atunci ipoteza modelului adecvat este admis pentru gradele de libertate

f1= N- ; f2 = N(r-1) i nivelul de semnificaie este acceptat.

ELEMENTE MATEMATICE ALE MODELARII EMPIRICE

Metodele matematice pe care sunt axate construcia modelelor empirice i analiza acestora decurg din dou capitole ale statisticii matematice : regresia i analiza dispersional. nainte de a da o formulare mai general unor probleme ale strategiei experimentrii se urmrete ca prin exemple simple s se ilustreze metodele utilizate. Este de menionat c literatura matematic romn, teoretic i aplicat, dispune de excelente manuale i publicaii care conin fundamentarea tiinific a propoziiilor afirmate, dar nedemonstrate, care urmeaz.

Modelul statistic al unui proces nlocuiete un model ipotetic, real(( adevrat). Acesta ar putea fi obinut numai prin efectuarea unui numr infinit de experiene. Limitnd experienele la numai o selecie din ntreaga populaie problema devine una de inducie de la parte la ntreg, metod de inferen statistic.

Deoarece modelul adevrat nu poate fi atins se prefer s se gseasc dou limite, una inferioar - alta superioar, n care s se ncadreze rspunsul exact. Chiar aceste limite nu pot fi gsite cu exactitate, ci numai cu o anumit probabilitate. De aceea se exprim c limitele ncadreaz rspunsul exact cu probabilitatea respectiv, de ex.0,95,care poate fi deliberat aleas. Limitele respective definesc un interval de ncredere.

Model cu o singur variabil independent.

Exemplul . Se caut o relaie format ntre o variabil dependent y i una independent x. Datele experimentale de care se dispune conin 25 de observaii (msurtori) efectuate la valori cunoscute ale lui x i apar n tabelul 1. Reprezentarea grafic a determinrilor experimentale, fig.1, sugereaz posibilitatea existenei unei relaii de ordinul 1, numit linie de regresie de forma :

( = (0 + (1x

(1)

Relaia nu poate fi exact determinat, deoarece dup cum se vede uor pe figur, datele experimentale sunt dispersate n cmpul diagramei; ceea ce se poate ncerca este de fapt un model

y = (0 + (1x + (

(2)

unde ( reprezint abaterea lui y fa de linia de regresie. Parametrii modelului (0, (1 i abaterea ( sunt necunsocui; dei (0 i (1 au o valoare fix, ( variaz de la determinare la determinare. Parametrii (0 i (1 ar putea fi cunoscui, n principiu, dac am dispune de un numr infinit de date experimentale, distribuite pe domeniul de existen al lui x. Deoarece dispunem numai de un numr limitat de date experimentale, nu pot fi cunoscute dect estimaiile lui (0 i (1, notate b0 i b1. Cu estimaiile b0 i b1 modelul (2) are forma

(3)

n care este valoarea prezis a lui y pentru x dat.

Coeficienii b0 i b1se determin prin metoda celor mai mici ptrate. Pentru fiecare determinare experimental, i, 1 ( i ( 25, ec. (2) poate fi scris:

yi = (0 + (1xi + (i

(4)

Tabelul 2.1. Rezultatele unei experiene

Numrul observaieixy

Fig.1.Reprezentarea grafic a datelor experimentale

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

2535,3

29,7

30,8

58,8

61,4

71,3

74,4

76,7

70,7

57,5

46,4

28,9

28,1

39,1

46,8

48,5

59,3

70

70

74,5

72,1

58,1

44,6

33,4

28,611,2

10,5

13

9,0

10

9,2

8,0

8,0

8,3

8,85

8,5

12,19

11,2

10,01

11,2

9,08

11,0

8,4

7,83

8,51

8,11

8,93

8,53

11,2

11,32

Suma ptratelor abaterilor fa de linia real este:

(5)

Coeficienii b0 i b1 se aleg drept acele valori, care substituite lui (0 i (1 n ec.(5), dau valoarea minim a lui S. Pentru aceasta se difereniaz ec.(5) n raport cu (0, respectiv (1:

(6)

i deci estimaiile b0 i b1 vor fi date de ecuaiile:

(7)

Substituia b0 n locul lui (0, respectiv b1 n locul lui (1 se face numai n expresia derivatei egalat cu zero. Dezvoltarea ecuaiilor (7) duce la sistemul:

(8a)

(8b)

numit ecuaiile normale. Soluiile sunt:

(9)

n care mrimile barate reprezint medii.

Introducnd valoarea lui b0 n modelul (3) rezult:

(11)

nlocuind n (9) i (10) valorile numerice din tabelul 2.1. se obine:

b1 = - 0,080397

(12)

b0 = 13,6260

(13)

Ecuaia ajustat datelor experimentale este

(14)

i reprezint dreapta din fig.1. n tabelul 2 se dau pentru cele 25 de observaii valorile y, msurate, valorile prezise de modelul (14) i abaterile (), numite reziduale.

Tabelul 2. Rspuns experimental, prezis de model i reziduale

Nr.

exp.yi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

2510,88

11,60

12,42

8,68

9,02

8,52

6,86

8,25

8,02

9,38

8,03

12,35

11,43

9,76

10,56

9,23

10,31

7,92

6,13

8,95

7,93

8,25

8,97

10,11

11,3710,78

11,23

11,14

8,89

8,68

7,89

7,64

7,45

7,94

9,00

9,91

11,30

11,36

10,48

9,86

9,72

8,85

7,99

7,99

7,63

7,82

8,95

10,04

10,94

11,320,09

0,36

1,27

0,21

0,33

0,62

-0,78

0,79

0,07

0,37

-1,88

1,04

0,06

0,72

0,69

-0,49

1,45

-0,07

-1,86

1,31

0,10

-0,70

-1,07

-0,83

0,04

_1082475312.unknown

_1082730425.unknown

_1159853850.unknown

_1159854666.unknown

_1159857071.unknown

_1159857282.unknown

_1159857457.unknown

_1159857475.unknown

_1159857233.unknown

_1159856720.unknown

_1159856822.unknown

_1159854848.unknown

_1159854164.unknown

_1159854564.unknown

_1159854069.unknown

_1159852018.unknown

_1159853360.unknown

_1159853683.unknown

_1159852110.unknown

_1082731207.unknown

_1082731322.unknown

_1082730873.unknown

_1082728729.unknown

_1082729274.unknown

_1082729621.unknown

_1082729782.unknown

_1082729526.unknown

_1082729063.unknown

_1082729177.unknown

_1082728839.unknown

_1082728038.unknown

_1082728414.unknown

_1082728582.unknown

_1082728089.unknown

_1082475848.unknown

_1082476186.unknown

_1082475433.unknown

_1015913533.unknown

_1015949911.unknown

_1015995183.unknown

_1015995634.unknown

_1015949966.unknown

_1015927367.unknown

_1015949276.unknown

_1015921775.unknown

_1015860094.unknown

_1015860379.unknown

_1015913368.unknown

_1015860136.unknown

_1015857810.unknown

_1015858418.unknown

_1015845907.unknown