MatematicaPrimitive

Marcela V. Mihai

04/14/2023 2

PrimitiveScurt istoricIntroducerea noțiunii de integrală.

Integrala nedefinită a unei funcții continue. Proprietăți.

ExercițiiTest de evaluareExerciții pentru temăBibliografie

04/14/2023 3

SCURT ISTORIC

04/14/2023 4

Fondatorii calcului diferen ial i integral ț ș au fost: G. W. Leibniz (1646 – 1716 ) în Germania, Isac Newton ( 1642 – 1727 ) în Anglia i ș Blaise Pascal ( 1623 – 1662 ) în Fran a. coala românească de matematică a dezvoltat cu ț Șsucces unele aspecte din domeniul ecua iilor diferen iale ț ț

i a aplica iilor acestora prin lucrări valoroase ale unor ș țmatematicieni precum: A. Davidoglu, V. M. Popov, N. Ciorănescu, M. Niculescu, Gr. Moisil, N. Teodorescu, A. Halanay .

04/14/2023 5

INTRODUCEREA NO IUNII ȚDE INTEGRALĂ. INTEGRALA NEDEFINITĂ A UNEI FUNC II CONTINUE. ȚPROPRIETĂ I.Ț

04/14/2023 6

Să considerăm o func ie continuă i crescătoare f : ț șPentru , notăm cu mul imea de puncte, denumită subgraficul func iei, ț țdelimitată de axa Ox, graficul func iei f i dreptele paralele cu axa Oy ț șcare trec prin punctele de coordonate (a, 0), respectiv (.

Definim astfel func ia F : ,ț F(x) = .

F este derivabilă pe i . Vom spune că F este o primitivă a func iei f. ș ț

04/14/2023 7

Defini ia ț Fie func ia un interval. Spunem că f admite primitive dacă țexistă o func ie , care satisface condi iile:ț ț1. F este derivabilă;, . În acest caz F se nume te primitivă a func iei f.ș ț Mul imea tuturor primitivelor func iei f se nume te integrala ț ț șnedefinită a func iei f i se notează . ț ș

04/14/2023 8

Exemplu: Fie . Func ia f admite primitive i o primitivă a ei este , dar ț și este o primitivă a lui f. Astfel apare ideea că o func ie dacă are o ș ț

primitivă, are un număr infinit de primitive.

04/14/2023 9

Proprietate 1. Dacă sunt două primitive ale lui f, atunci există o constantă c , astfel încât . 2. Dacă func iile , sunt func ii care admit primitive pe I i , nesimultan ț ț șzero, atunci func ia admite primitive pe I i mul imea primitivelor este ț ș ț.3. Dacă admite primitive pe intervalul I, atunci f are proprietetea lui Darboux.4. Fie I un interval real i . Dacă nu este interval, atunci f nu admite șprimitive pe I.5. Orice func ie continuă admite primitive pe I.ț

04/14/2023 10

EXERCI IIȚ

04/14/2023 11

1. Să se determine func ia pentru care o primitivă a ei este:ț = . Rezolvare: = = .

2. Să se arate că următoarea func ie admite primitive pe domeniul ei țde defini ie:ț.

Rezolvare: f este func ie continuă pe pentru că este compusă din țfunc ii elementare continue (1).ț  = 2-1 = 1 = f f este continuă în 0 (2).⟹Din (1) i (2) f este continuă pe R f are primitive pe R.ș ⟹ ⟹

04/14/2023 12

TEST DE EVALUARE

04/14/2023 13

1. Să se determine func ia pentru care o primitivă a ei este:ța. F(x) = ,b. F(x) = ln ( 1 - x ) + 10.c. F(x) = x cos ( ).2. Să se arate că func ia admite primitive pe Rț

04/14/2023 14

EXERCI II PENTRU TEMĂȚ

04/14/2023 15

Nivel de bază: 1. Să se determine func ia pentru care o primitivă a ei țeste:,,,,.

2.Să se stabilească, folosind continuitatea, dacă următoarele func ii țadmit primitive:,b. .

3. Să se arate că func ia țF : este primitiva unei func ii constante i să se precizeze această ț șfunc ie. ț

04/14/2023 16

Nivel mediu i ridicatș : I. Să se determine func ia pentru care o țprimitivă a ei este:,,,,

2.Afla i a, b, c astfel încât , să fie o primitivă a func iei .ț ț

04/14/2023 17

3. Să se determine parametrii reali pentru care func iile admit țprimitive pe domeniul de defini ie: ța. ,b.

4. Fie , , unde a, b astfel încât F să fie o primitivă pe a unei func ii . țDacă T = ab, atunci: a) T = 1 – e; b) T = 4e; c) T = ; d) T = ; e) T = .

04/14/2023 18

Link-uri către site-uri legate de no iunile învă ateț ț

http://ro.wikipedia.org/wiki/Primitiv%C4%83

http://experior.ro/http://www.viitoriolimpici.ro/http://www.referat.ro/referate/matematica

/http://ro.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://www.gap-system.org/~

history/Biographies/Leibniz.htmlhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Grigore_C._

Moisil

04/14/2023 19

Bibliografie•http://www.google.ro/search?tbm=isch&hl=ro&source=hp&biw=1920&bih=987&q=mathematic&gbv=2&oq=mathematic&aq=f&aqi=g3g-S4g-sS1g-S2&aql=&gs_sm=e&gs_upl=3023l7559l0l15808l10l8l0l3l3l0l168l585l3.2l5l0•M.Burtea, G. Burtea - Matematică - Manual pentru clasa a XII-a (M1), Editura Carminis, Pitesti, 2001;•Mircea Ganga - Matematică - Manual pentru clasa a XII-a (M1), Editura Mathpress, 2002;•Marcela V. Mihai – Recapitulare 1;•A. Schneider – Culegere de probleme nr.9, Editura Hyperion, Craiova 2002;•A. Vernescu, Marcela V. Mihai- Culegere de probleme pentru clasele IX-XII, Editura Panteon, 2008;•Nicu Boboc, Ion Colojoară, Matematică, Manual pentru clasa a XII-a, Elemente de analiză matematică, Editura didactică i pedagogică, Bucure ti, 1996ș ș•Gheorghe Cenu ă, Veronica Burlacu, Constantin Raischi, Iulian Mircea, Ovidiu șVeghe , Mihaela Covrigș , Teste grilă pentru bac i admiterea la ASE Bucure tiș ș , Editura Plus, 2004;• Dumitru Săvulescu, Mirela Moldoveanu, Oana Udrea, Matematică M2, Manual pentru clasa a XII-a, Grup editorial ART

04/14/2023 20

Concepte esen ialeț

Func ie continuăț ;Func ie derivabilăț ;Func ie care admite primitiveț ;Proprietă ile primitivelorț .