proiect statistica

Universitatea din Pitesti

Facultatea de Stiinte Economice

Specializarea Management

Proiect Statistic

Profesor:

conf.univ.dr. Gheorghe Savoiu

Student:

An I, Gr I

Pitesti

2012

Proiect Statistic

Studiul de caz A

Pentru un număr de 80 de magazine aferente firmei ALFA s-au înregistrat date, în anexa A, privind următoarele variabile:

Nr. Crt Descrierea variabilei studiate Simbol1 Dimensiune magazine (SMCA/PMCA)

-sub media cifrei de afacere/ peste media cifrei de afacereZ

2 Efectivul salariatilor –persoane- X3 Incasari (mii lei) y

După extragerea eşantionului individual [n=25 magazine, prin procedeul de tip pas mecanic de numărare, pornind de la numărul de ordine individual din lista alfabetică nominală a grupei cu un pas de 3 (k= N:n = 80:25=3,2) şi reluând extracţia de la prima unitate, unde este cazul]se vor soluţiona următoarele aspecte:

1. Să se detalieze eşantionul individual sub forma următorului tabel:

N. Crt. Dimensiune magazin (SMCA/PMCA)

Efectivul salariatilor-persoane-

Incasari(mii lei)

0 z x y1…25Total SMCA= PMCA= ∑x= ∑y=

2. Să se sistematizeze, prezinte şi reprezinte datele statistice privind cele 25 de magazine, parcurgând etapele descrise în continuare: a) efectuaţi o grupare simplă pe variante după variaţia fiecărei caracteristici (z, x, y) şi centralizaţi datele; b) efectuaţi grupări pe trei intervale egale pentru caracteristicile x şi y şi centralizaţi datele; c) grupaţi combinat magazinele după caracteristicile statistice luate două câte două [(x,y), (x,z), (y,z)]; d) reprezentaţi grafic rezultatele de la punctele anterioare utilizând diagrama de structură, histograma şi poligonul frecvenţelor, diagrame prin benzi şi coloane.

Comentaţi succint informaţiile grupate, prezentate şi reprezentate. 3. Să se calculeze şi să se reprezinte grafic mărimile relative ce se pot obţine folosind rezultatele de la punctul 2b. 4. Să se caracterizeze distribuţia magazinelor numai după caracteristicile x şi y conform grupărilor de la punctele 2a şi 2b, stabilind şi respectiv estimând: a) valoarea mărimilor medii calculate prin algoritm de calcul şi poziţionale, alegând-o în final pe cea mai potrivită pentru a fi utilizată ulterior, comentând succint şi rezultatele obţinute prin gruparea simplă pe variante, comparativ cu cele obţinute prin gruparea pe intervale egale de variaţie; b) valoarea tuturor indicatorilor variaţiei, precizând după care dintre variabile eşantionul magazinelor este mai omogen (x sau y); c) valoarea principalilor indicatori ai asimetriei, comentând rezultatele obţinute. 5. Să se calculeze media şi dispersia variabilei alternative z (SMCA/PMCA). 6.Determinaţi erorile probabile (medie de reprezentativitate şi limită sau maxim admisibilă) ale sondajului în condiţii de Øz=0,97 (z=2,18) pornind de la eşantionul celor 25 de magazine. Determinaţi cât de mare ar trebui să fie un nou eşantion extras aleatoriu repetat şi nerepetat, dintr-o populaţie de 1.000 de magazine, în condiţii de limite de interval sau = 0,5 şi cu un nivel de siguranţă sau probabilitate de 0,99 (Øz =0,99 sau z =2,58) şi pentru o dispersie egală cu aceea obţinută în calculele de la punctele 4 şi respectiv 5. Comentaţi rezultatele obţinute şi nivelul lor de încredere.

REZOLVARE

1.

Nr. Crt.Dimensiune magazin

(SMCA/PMCA) Nr salariatilor (persoane) incasari (mii lei)0 z x y1 SMCA 8 3.752 PMCA 13 6.943 SMCA 5 2.364 PMCA 14 7.025 PMCA 11 4.546 SMCA 5 2.617 SMCA 9 3.968 SMCA 6 3.29 SMCA 4 2.55

10 SMCA 7 3.6811 PMCA 15 8.512 PMCA 12 7.4413 PMCA 14 6.8814 SMCA 7 3.8615 PMCA 13 6.9116 SMCA 5 2.917 SMCA 7 3.9118 SMCA 6 3.2419 PMCA 12 6.5620 PMCA 14 6.8521 PMCA 12 6.5722 PMCA 11 5.0223 SMCA 7 2.8124 SMCA 4 2.1525 SMCA 4 2.38

TOTAL SMCA=14 PMCA=11 ∑X=225 ∑Y=116.59

2.a) GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA DIMENSIUNII MAGAZINULUI (Z)

Dimensiune magazinz

Nr Magazine (ni) ni*

SMCA 14 0.56

PMCA 11 0.44TOTAL 25 1

GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA EFECTIVULUI DE SALARIATI (X)

Xi 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15Ni 3 3 2 4 1 1 2 3 2 3 1

GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA INCASARILOR (Y)

Yi

2.15

2.36

2.38

2.55

2.61

2.81

2.9

3.2

3.24

3.68

3.75

3.86

3.91

3.96

4.54

5.02

6.56

6.57

6.85

6.88

6.91

6.94

7.02

7.44

8.5

Ni 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

CENTRALIZARE DATE

Dimensiune magazine Nr magazine Nr salariati Incasari (mii lei)

SMCA 14 84 43.36PMCA 11 141 73.23Total 25 225 116.59

2. b)GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE NUMARUL SALARIATILOR (X)

A= Xmax – Xmin = 15 – 4 = 11K= 1+3.322 lg N = 1+3.322 lg10 25 = 1+3.322 ×1.397= 5.64 ≈6≈3

d = 113

= 3.66 ≈

4

[ )

4 - 8

8 - 12

12 - 16

Grupe de magazine dupa efectiv salariati

Nr magazine Incasari(mii lei)

4 – 8 12 35.65

8 – 12 4 17.27

12 – 16 9 63.67

TOTAL 25 116.59

GRUPARE PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE INCASARI (Y)

A = Xmax – Xmin = 8.5 – 2.15 = 6.35

d = 6.35

3 = 2.12

[ )

2.15 - 4.27

4.27 - 6.39

6.39 - 8.51

Grupe de magazine dupa incasari Nr magazine Nr salariati

2.15 - 4.27 14 844.27 - 6.39 2 226.39 - 8.51 9 119TOTAL 25 225

2. c)

GRUPAREA MAGAZINELOR DUPA EFECTIVUL DE SALARIATI SI INCASARI

Efectiv salariati Incasari TOTAL2.15 - 4.27 4.27 - 6.39 6.39 - 8.51

4 - 8 12 0 0 128 - 12 2 2 0 412 - 16 0 0 9 9TOTAL 14 2 9 25

GRUPAREA MAGAZINELOR DUPA DIMENSIUNE SI EFECTIVUL SALARIATILOR

Dimensiune magazin

Efectiv salariati TOTAL4 - 8 8 - 12 12 - 16

SMCA 12 2 0 14PMCA 0 2 9 11TOTAL 12 4 9 25

GRUPAREA MAGAZINELOR DUPA DIMENSIUNE SI INCASARI

Dimensiune magazin

Incasari TOTAL2.15 - 4.27 4.27 - 6.39 6.39 - 8.51

SMCA 14 0 0 14PMCA 0 2 9 11TOTAL 14 2 9 25

2. d)

Histograma dupa dimensiune magazin0

2

4

6

8

10

12

14

16

SMCA; 14

PMCA; 11

SMCAPMCA

Din totalul magazinelor de 25 , 14 se afla sub media cifrei de afacere,iar 11 peste cifra mediei de afacere.

56%

44%

Diagrama de structura dupa dimensiune magazin

SMCAPMCA

Din cele 25 de magazine , 56%sunt reprezentate de cele sub media cifrei de afacere, pe cand 44% dintre magazine se afla peste cifra medie de afacere.

37%

63%

Diagrama dupa structura salariatilor

SMCAPMCA

Din totalul salariatilor 37% lucreaza in magazine sub media cifrei de afacere, pe cand 63% lucreaza in magazine peste cifra medie de afacere.

3.

Structura magazinelor dupa dimensiune, numarul salariatilor si incasari.

Dimensiune magazine

Nr magazine

Nr salariati

Incasari (mii lei)

Struct. fi(%) magazinelor in functie de dim mag.

Struct. salariatilor in functie de dim. mag.

Struct. incasari in functie de dim mag.

Nr. mediusalariati (m.r.i)*

Incasari medii (m.r.i)*

SMCA 14 84 43.36 56 37.34 37.19 6 3.09PMCA 11 141 73.23 44 62.66 62.81 12.81 6.65Total 25 225 116.59 100 100 100 9 4.66

Structura magazinelor in functie de dimensiune:

1. Pentru magazine sub media cifrei de afacere

f1 = nr agMAtotalag

× 100 = 1425×100 = 56 % din totalul magazinelor de 25 se afla sub cifra mediei de

afacere.

2. Pentru magazine peste cifra mediei de afacere

f2 = nr ag AMtotal ag

× 100 = 1125×100 = 44 % din totalul magazinelor de 25 se afla peste cifra mediei

de afacere.

Reprezentare grafica:

SMCA56%

PMCA44%

Structura magazinelor in functie de dimen-siune

Structura salariatilor in functie de dimensiune magazine:


gxi= Xi

∑Xi

❑×100 =

84225

×100 = 37.34 % din totalul salariatilor lucreaza in magazine sub

media cifrei de afacere.2. Pentru magazine peste cifra mediei de afacere

gxi= Xi

∑Xi

❑×100 =

141225

×100 = 62.66 % din totalul salariatilor lucreaza in magazine aflate

peste media cifrei de afacere.


SMCA37%

PMCA63%

Grafic structura salariatilor dupa dimensiune magazin

Structura incasarilor in functie de dimensiunea magazinului:


gyi = Yi

∑Yi

❑×100= 43.36

116,59×100 = 37.19 % din totalul incasarilor sunt realizate de

magazinele sub media cifrei de afacere.2. Pentru magazine peste cifra medie de afacere

gyi = Yi

∑Yi

❑×100= 73.23

116.59×100 = 62.81 % din totalul incasarilor sunt realizate de

magazinele aflate peste media cifrei de afacere.


SMCA37%

PMCA63%

Grafic structura incasarilor in functie de dimensiunea magazinului

Numarul mediu de salariati:


m.r.i = Xi¿

= 8414

= 6 angajati isi desfasoara in medie activitatea intr-un magazin sub media

cifrei de afacere.

2. Pentru magazine peste cifra medie de afacere

m.r.i = Xi¿

= 14111

= 12.81 angajati isi desfasoara in medie activitatea intr-un magazin

peste cifra medie de afacere.

m.r.i = ∑Xi

❑

∑¿

❑ =

22525

= 9 angajati isi desfasoara in medie activitatea intr-un magazine.

Incasari medii:


m.r.i = Y in i

= 43.36

14 = 3.09 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin sub media

cifrei de afacere.

2. Pentru magazine peste cifra medie de afacere

m.r.i = Y in i

= 73.23

11 = 6.65 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazine peste cifra

medie de afacere.

m.r.i = ∑Yi

❑

∑¿

❑ =

116.5925

= 4.66 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazine.

Structura magazinelor in functie de efectivul salariati:

Efectivul de salariati

Numar magazine(ni)

Structura magazine in functie de ef. salariatilor

Xi

Xini

Structura ef. salariati

4 - 8 12 48 6 72 30.258 - 12 4 16 10 40 16.8012 - 16 9 36 14 126 52.95Total 25 100 238 100

fi = ¿

∑¿

❑ ×100 = 1225×100= 48% din totalul magazinelor au un numar de salariati intre 4 si 8.

fi = ¿

∑¿

❑ ×100 = 4

25×100= 16% din totalul magazinelor au un numar de salariati intre 8 si 12.

fi = ¿

∑¿

❑ ×100 = 9

25×100= 36% din totalul magazinelor au un numar de salariati intre 12 si 16.


Intre 4 si 8 salariati



0102030405060

Grafic structura magazinelor in func-tie de efectivul de salariati

Grafic structura maga-zinelor in functie de efec-tivul de salariati

4) Să se caracterizeze distribuţia magazinelor numai după caracteristicile x şi y conform grupărilor de la punctele 2a şi 2b, stabilind şi respectiv estimând: a) valoarea mărimilor medii calculate prin algoritm de calcul şi poziţionale, alegând-o în final pe cea mai potrivită pentru a fi utilizată ulterior, comentând succint şi rezultatele obţinute prin gruparea simplă pe variante, comparativ cu cele obţinute prin gruparea pe intervale egale de variaţie;

MARIMILE MEDII PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA EFECTIVULUI DE SALARIATI (X)

Xi 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 TOTALni 3 3 2 4 1 1 2 3 2 3 1 ∑ni = 25XIni 12 15 12 28 8 9 22 36 26 42 15 ∑Xini = 225¿xi

0.75 0.6 0.33 0.57 0.12 0.11 0.18 0.25 0.15 0.21 0.06 ∑¿Xi = 3.33

Xi2ni

48 75 72 196 64 81 242 432 338 588 225 ∑Xi2ni=

2361ni lg Xi 1.8 2.07 1.57 3.36 0.90 0.95 2.08 3.21 2.22 3.42 1.17 ∑ ni lg Xi =

22.75

x = ∑Xi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 22525

= 9 salariati lucreaza in medie intr-un magazin.

xh = ∑∋ ¿

¿Xi

¿ =

253.33

= 7.50 salariati lucreaza in medie intr-un magazin.

x p = √∑Xi2∋ ¿∑∋¿

¿¿ = √ 236125

= √94.44 = 9.71 salariati lucreaza in medie intr-un magazin.

xg = ∑∋¿∏xi¿ ¿√¿

lgxg = ∑∋lg xi∑∋¿¿

= 22.75

25 = 0.91

xg = antilg 0.91 = 8.12 salariati lucreaza in medie intr-un magazin

xh < xg < x < x p 7.50 < 8.12 < 9 < 9.71

INDICATORII DE POZITIE PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA EFECTIVULUI DE SALARIATI (X)

Xi 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15ni 3 3 2 4 1 1 2 3 2 3 1n↗ 3 6 8 12 13 14 16 19 21 24 25

Loc Me = 11+1

2 = 6 => Loc Me = X9

50% 14 mag 50%50% din magazine au un numar de sub 9 salariati/ peste 9 salariati

Mo = Xni max = 3

MARIMILE MEDII PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA INCASARILOR (Y)

Y i 2.15

2.36

2.38

2.55

2.61

2.81

2.9

3.2

3.24

3.68

3.75

3.86

3.91

3.96

4.54

5.02

6.56

6.57

6.85

6.88

6.91

6.94

7.02

7.44

8.5

tota

l

n i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ni =

25

Y In i

2.15

2.36

2.38

2.55

2.61

2.81

2.9

3.2

3.24

3.68

3.75

3.86

3.91

3.96

4.54

5.02

6.56

6.57

6.85

6.88

6.91

6.94

7.02

7.44

8.5

∑Yin

i = 1

16.5

9

¿yi

0.46

5

0.42

3

0.42

0

0.39

2

0.38

3

0.35

5

0.34

4

0.31

2

0.30

8

0.27

1

0.26

6

0.25

9

0.25

5

0.25

2

0.22

0

0.19

9

0.15

2

0.15

2

0.14

5

0.14

5

0.14

4

0.14

4

0.14

2

0.13

4

0.11

7

∑

=

6.39

9

Y i2 n i

4.62

5.56

5.66

6.50

6.81

7.89

8.41

10.2

4

10.4

9

13.5

4

14.0

6

14.8

9

15.2

8

15.6

8

20.6

1

25.2

0

43.0

3

43.1

6

46.9

2

47.3

3

47.7

4

48.1

6

49.2

8

55.3

5

72.2

5

∑Yi2 n i

= 63

8.66

n i lg

Yi

0.33

0.37

0.37

0.40

0.41

0.44

0.46

0.50

0.51

0.56

0.57

0.58

0.59

0.59

0.65

0.70

0.81

0.81

0.83

0.83

0.83

0.84

0.84

0.87

0.92

∑ n i

lg Y

i = 1

5.61

y= ∑Yi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 116.59

25 = 4.66 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazine.

yh = ∑∋ ¿

¿Yi

¿ =

256.399

= 3.90 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

y p = √∑Yi2∋ ¿∑∋¿

¿¿ = √ 638.6625

= √25.54= 5.05 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

y g = ∑∋¿∏yi¿ ¿√¿

lgy = ∑∋lg yi∑∋¿¿

= 15.61

25 = 0.62

y g = antilg 0.62 = 4.16 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

yh < y g < y < y p

3.90 < 4.16 < 4.66 < 5.05

IMDICATORII DE POZITIE PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA INCASARILOR (Y)

Y i 2.15

2.36

2.38

2.55

2.61

2.81

2.9

3.2

3.24

3.68

3.75

3.86

3.91

3.96

4.54

5.02

6.56

6.57

6.85

6.88

6.91

6.94

7.02

7.44

8.5

tota

l

n i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ni =

25

n↗

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Loc Me = 25+1

2 = 13 => Me = Y13 = 3.91

Mo = 1

MARIMILE MEDII PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE NUMARUL SALARIATILOR (X)

Gr. de magazine dupa ef. de salariati

Numar de magazine(ni)

Xi Xini ¿xi

Xi2ni ni lg Xi

Frecvente cumulate

↗

4 - 8 12 6 72 2 432 9.24 128 - 12 4 10 40 0.40 400 4 1612 - 16 9 14 126 0.64 1764 10.26 25Total 25 238 3.04 2596 23.5

x = ∑Xi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 23825


xh = ∑∋ ¿

¿Xi

¿ =

253.04


x p = √∑Xi2∋ ¿∑∋¿

¿¿ = √ 259625

= √103.84 = 10.19 salariati lucreaza in medie intr-un magazin.

xg = ∑∋¿∏xi¿ ¿√¿

lgxg = ∑∋lg xi∑∋¿¿

= 23.525

= 0.94

xg = antilg 0.94 = 8.70 salariati lucreaza in medie intr-un magazin.

xh < xg < x < x p

8.22 < 8.70 < 9.52 < 10.19

INDICATORII DE POZITIE PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE NUMARUL SALARIATILOR (X)

Loc Me = ∑n+1

2 =

25+12

= 13

Me ϵ 12;16

Me = Xo + h locMe−∑

i=1

Me−1

¿

nMe

= 12 + 4 13−16

9 = 10.66 ≈ 11

Jumatate din cele 25 de magazine au un numar sub 11 angajati.

Mo ϵ 4;8

Mo = Xo +h ∆1

∆1+∆2

= 4 + 4 12

12+8 = 6.4 ≈ 6

Cele mai multe magazine au un numar de 6 salariati.

MARIMILE MEDII PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE INCASARI (Y)

Gr. de magazine dupa incasari

Numar magazine(ni)

Yi Yini ¿

yiYi

2ni ni lg Yi

Frecvente cumulate↗

2.15 - 4.27 14 3.21 44.94 4.36 144.2 7 144.27 - 6.39 2 5.33 10.66 0.37 56.8 1.44 166.39 - 8.51 9 7.45 67.05 1.20 499.5 7.83 25Total 25 - 122.65 5.93 700.5 16.27 -

y = ∑ yi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 122.65

25 = 4.90 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

yh = ∑∋ ¿

¿yi

¿ =

255.93

= 4.21 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

y p = √∑ yi2∋ ¿∑∋¿

¿¿ = √ 700.525

= √28.02 = 5.29 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

y g = ∑∋¿∏yi¿ ¿√¿

lgxg = ∑∋lg yi∑∋¿¿

= 16.27

25 = 0.65

y g = antilg 0.65 = 4.46 mii lei sunt incasarile medii pentru un magazin.

yh < y g < y < y p

4.21 < 4.46 < 4.90 < 5.29

INDICATORII DE POZITIE PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE INCASARI (Y)

Loc Me = ∑n+1

2 =

25+12

= 13

Me ϵ 2.15;4.27

Me = Yo + h locMe−∑

i=1

Me−1

¿

nMe

= 2.15 + 2.12 1314

= 4.11

Jumatate din cele 25 de magazine au incasari sub 4.11 mii lei.

Mo ϵ 2.15;4.27

Mo = Yo +h ∆1

∆1+∆2

= 2.15 + 2.12 14

14+12 = 3.29 ≈ 3

Cele mai multe magazine au incasari de 3 mii lei.

b) valoarea tuturor indicatorilor variaţiei, precizând după care dintre variabile eşantionul magazinelor este mai omogen (x sau y)

INDICATORII VARIATIEI PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA EFECTIVULUI DE SALARIATI (X)

Xi 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 TOTALni 3 3 2 4 1 1 2 3 2 3 1 ∑ni=25di -5 -4 -3 -2 -1 0 2 3 4 5 6 -di(%) -55.55 -44.44 -33.33 -22.22 -11.11 0 22.22 33.33 44.44 55.55 66.66 -dini 15 12 6 8 1 0 4 9 8 15 6 ∑

dini=84di

2ni 75 48 18 16 1 0 8 27 32 75 36 ∑ di2ni=

336

Indicatorii simplii ai variatiei1. Abaterea individuala absoluta

di = Xi - X

x = ∑Xi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 22525

= 9 puncte

di = 4 – 9 = -5

di = 5 – 9 = -4

di = 6 – 9 = -3

di = 7 – 9 = -2

di = 8 – 9 = -1

di = 9 – 9 = 0

di = 11 – 9 = 2

di = 12 – 9 = 3

di = 13 – 9 = 4

di = 14 – 9 = 5

di = 15 – 9 = 6

2. Abaterea individuala relativa

di (%) = d iX× 100

di (%) =−59×100 = -55.55

di (%) =−49×100 = -44.44

di (%) =−39×100 = -33.33

di (%) =−29×100 = -22.22

di (%) =−19×100 = -11.11

di (%) =09×100 = 0

di (%) =29×100 = 22.22

di (%) =39×100 = 33.33

di (%) =49×100 = 44.44

di (%) =59×100 = 55.55

di (%) =69×100 = 66.66

3. Amplitudinea absoluta a variatiei

AX = Xmax – Xmin = 15 – 4 = 11

4. Amplitudinea relativa a variatiei

AX(%) = AxX

× 100 = 119× 100 = 122.22

Datorita faptului ca amplitudinea relativa se situeaza in jurul valorii de 100% , se apreciaza ca populatia statistica prezinta o tendinta de omogenitate sau normalitate.

Indicatorii sintetici ai variatiei5. Abaterea medie liniara

d = ∑i=1

n

|X i−X|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

|di|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

8425

= 3.36 puncte

Abaterea medie liniara de 3.36 puncte subliniaza ca cele 25 de magazine se abat de la media acestora de 9 puncte cu 3.36 puncte la stanga sau la dreapta acestor valori.

6. Dispersia sau imprastierea

σ 2 = ∑i=1

n

(Xi−X )2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

33625

= 13.44

7. Abaterea medie patratica

σ = √¿∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ = √σ2 = √13.44 = 3.66

O medie patratica de 3.66 puncte arata ca cele 25 de magazine se abat de la media de 9 puncte cu 3.66 puncte la dreapta sau la stanga.

8. Coeficientul de omogenitate

Co = σX× 100 =

3.669

× 100 = 40.66 ≈ 40%

Deoarece coeficientul de omogenitate este de 40% , seria este considerate omogena.

INDICATORII VARIATIEI PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA INCASARILOR (Y)

Y i 2.15

2.36

2.38

2.55

2.61

2.81

2.9

3.2

3.24

3.68

3.75

3.86

3.91

3.96

4.54

5.02

6.56

6.57

6.85

6.88

6.91

6.94

7.02

7.44

8.5

tota

l

n i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

∑ni =

25

d i -2.5

5

-2.3

-2.2

8

-2.1

1

-2.0

5

-1.8

5

-1.7

6

-1.4

6

-1.4

2

-0.9

8

-0.9

1

-0.8

-0.7

5

-0.7

-0.1

2

0.36

1.9

1.91

2.19

2.22

2.25

2.28

2.36

2.78

3.84

d i(%

)

-54.

72

-49.

35

-48.

92

-45.

27

-43.

99

-39.

69

-37.

46

31.3

3

-30.

47

-21.

03

-19.

52

-17.

16

-16.

09

-15.

02

-2.5

7

7.75

40.7

7

40.9

8

46.9

9

47.6

3

48.2

8

48.9

2

50.6

4

59.6

5

82.4

0

d in i

2.55

2.3

2.28

2.11

2.05

1.85

1.76

1.46

1.42

0.98

0.91

0.8

0.75

0.7

0.12

0.36

1.9

1.91

2.19

2.22

2.25

2.28

2.36

2.78

3.84

∑ d i

n i =

44.

13

d i2 n i

6.50

5.29

5.19

4.45

4.20

3.42

3.09

2.13

2.01

0.96

0.82

0.64

0.56

0.49

0.01

0.12

3.61

3.64

4.79

4.92

5.06

5.19

5.56

7.72

14.7

4

∑ d i

2 n i =

95.

11


di = Yi - Y

y= ∑Yi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 116.59

25 = 4.66

di = 2.15 – 4.66 = -2.55

di = 2.36 – 4.66 = -2.3

di = 2.38 – 4.66 = -2.28

di = 2.55 – 4.66 = -2.11

di = 2.61 – 4.66 = -2.05

di = 2.81 – 4.66 = -1.85

di = 2.9 – 4.66 = -1.76

di = 3.2 – 4.66 = -1.46

di = 3.24 – 4.66 = -1.42

di = 3.68 – 4.66 = -0.98

di = 3.75 – 4.66 = -0.91

di = 3.86 – 4.66 = -0.8

di = 3.91 – 4.66 = -0.75

di = 3.96 – 4.66 = -0.7

di = 4.54 – 4.66 = -0.12

di = 5.02 – 4.66 = 0.36

di = 6.56 – 4.66 = 1.9

di = 6.57 – 4.66 = 1.91

di = 6.85 – 4.66 = 2.19

di = 6.88 – 4.66 = 2.22

di = 6.91 – 4.66 = 2.25

di = 6.94 – 4.66 = 2.28

di = 7.02 – 4.66 = 2.36

di = 7.44 – 4.66 = 2.78

di = 8.5 – 4.66 = 3.84


di (%) = d iY× 100

di (%) =−2.554.66

×100 = -54.72

di (%) =−2.34.66

×100 = -49.35

di (%) =−2.284.66

×100 = -48.92

di (%) =−2.114.66

×100 = -45.27

di (%) =−2.054.66

×100 = -43.99

di (%) =−1.854.66

×100 = -39.69

di (%) =−1.764.66

×100 = -37.76

di (%) =−1.464.66

×100 = -31.33

di (%) =−1.424.66

×100 = -30.47

di (%) =−0.984.66

×100 = -21.03

di (%) =−0.914.66

×100 = -19.52

di (%) =−0.84.66

×100 = -17.16

di (%) =−0.754.66

×100 = -16.09

di (%) =−0.74.66

×100 = -15.02

di (%) =−0.124.66

×100 = -2.57

di (%) =0.364.66

×100 = 7.75

di (%) =1.9

4.66×100 = 40.77

di (%) =1.914.66

×100 = 40.98

di (%) =2.194.66

×100 = 46.99

di (%) =2.224.66

×100 = 47.63

di (%) =2.254.66

×100 =48.28

di (%) =2.284.66

×100 = 48.92

di (%) =2.364.66

×100 = 50.64

di (%) =2.784.66

×100 = 59.65

di (%) =3.844.66

×100 = 82.40


Ay= Ymax – Ymin = 8.5 – 2.15 = 6.35


AY(%) = AYY

× 100 = 6.354.66

× 100 = 136.26

Datorita faptului ca amplitudinea relativa se situeaza in jurul valorii de 100% , se apreciaza ca populatia statistica prezinta o tendinta de omogenitate sau normalitate


d = ∑i=1

n

|Y i−Y|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

|di|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

44.1325

= 1.76 puncte

Abaterea medie liniara de 1.76 puncte subliniaza ca cele 25 de magazine se abat de la media acestora de 4.66 puncte cu 1.76 puncte la stanga sau la dreapta acestor valori.


σ 2 = ∑i=1

n

(Yi−Y )2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

95.1125

= 3.8


σ = √¿∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ = √σ2 = √3.8 = 1.94 puncte

O abatere medie patratica de 1.94 puncte arata ca cele 25 de magazine se abat de la media de 4.66 puncte cu 1.94 puncte la dreapta sau la stanga.


Co = σY× 100 =

1.944.66

× 100 = 41.66%

Deoarece coeficientul de omogenitate depaseste 40% , seria este considerata eterogena , iar media nu este capabila sa substituie populatia in analiza viitoare.

INDICATORII VARIATIEI PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE NUMARUL SALARIATILOR (X)

Gr. de magazine dupa ef. de salariati

Numar de magazine(ni)

Xi di di(%) dini di2ni

4 - 8 12 6 -3.52 36.97 42.24 148.68

8 - 12 4 10 0.48 5.04 1.92 14.7412 - 16 9 14 4.48 47.05 40.32 180.63Total 25 ∑ dini= 84.48 ∑ di

2ni = 344.05


di = Xi - X

X = ∑Xi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 23825

= 9.52

di = 6 – 9.52 = -3.52

di = 10 – 9.52 = 0.48

di = 14 – 9.52 = 4.48


di (%) = d iX× 100

di (%) =−3.529.52

×100 = 36.97

di (%) =0.489.52

×100 = 5.04

di (%) =4.489.52

×100 = 47.05


AX = Xmax – Xmin = 14 – 6 = 8 puncte


AX(%) = AxX

× 100 = 8

9.52× 100 = 84.03 %

Datorita faptului ca amplitudinea relativa se situeaza in jurul valorii de 100% , se apreciaza ca populatia statistica prezinta o tendinta de omogenitate sau normalitate.


d = ∑i=1

n

|X i−X|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

|di|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

84.4825

= 3.37 puncte



σ 2 = ∑i=1

n

(Xi−X )2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

344.0525

= 13.76


σ = √¿∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ = √σ2 = √13.76 = 3.7 puncte

O medie patratica de 3.7 puncte arata ca cele 25 de magazine se abat de la media de 9.52 puncte cu 3.7 puncte la dreapta sau la stanga.


Co = σX× 100 =

3.79.52

×100 = 38.86

Deoarece coeficientul de omogenitate este sub 40% , seria este considerate omogena.

INDICATORII VARIATIEI PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE INCASARI (Y)

Gr. de magazine dupa incasari

Numar magazine(ni)

Yi di di(%) dini di

2ni

2.15 - 4.27 14 3.21 -1.69 -34.48 23.66 39.984.27 - 6.39 2 5.33 0.43 8.77 0.86 0.366.39 - 8.51 9 7.45 2.55 52.04 22.95 58.52

Total 25 ∑ dini = 47.47 ∑ di2ni = 98.86


di = Yi - Y

y = ∑ yi∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 122.65

25 = 4.90

di = 3.21- 4.90 = -1.69

di = 5.33 – 4.90 = 0.43

di = = 7.45 – 4.90 = 2.55


di (%) = d iY× 100

di (%) =−1.694.90

×100 = -34.48

di (%) =0.434.90

×100 = 8.77

di (%) =2.554.90

×100 = 52.04


Ay= Ymax – Ymin =7.45–3.21= 4.24


AY(%) = AYY

× 100 = 4.244.90

× 100 = 86.53

Datorita faptului ca amplitudinea relativa se situeaza in jurul valorii de 100% , se apreciaza ca populatia statistica prezinta o tendinta de omogenitate sau normalitate


d = ∑i=1

n

|Y i−Y|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

|di|∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

47.4725

= 1.89 puncte



σ 2 = ∑i=1

n

(Yi−Y )2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ =

98.8625

= 3.95


σ = √¿∑i=1

n

di2∋¿

∑i=1

n

¿¿ = √σ2 = √3.95= 1.98 puncte

O abatere medie patratica de 1.98 puncte arata ca cele 25 de magazine se abat de la media de 4.90 puncte cu 1.98 puncte la dreapta sau la stanga.


Co = σY× 100 =

1.984.90

× 100 = 40.40%

Deoarece coeficientul de omogenitate depaseste 40% , seria este considerata eterogena , iar media nu este capabila sa substituie populatia in analiza viitoare.

c) valoarea principalilor indicatori ai asimetriei, comentând rezultatele obţinute.

INDICATORII ASIMETRIEI PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA EFECTIVULUI DE SALARIATI (X)

-1 < Sk1 = X−Moσ < 1

Sk1 = X−Moσ =

9−33.66 = 1.63

(serie cu simetrie pozitiva)

Sk1 ϵ [1; 1.63)∪( 1.63; 1]

INDICATORII ASIMETRIEI PENTRU GRUPAREA SIMPLA PE VARIANTE DUPA VARIATIA INCASARILOR (Y)

Sk1 = Y−Moσ =

4.66−11.94 = 1.88

Sk1 ϵ [-1; 1.88)∪(1.88; 1)

INDICATORII ASIMETRIEI PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE NUMARUL SALARIATILOR (X)

Sk1 = X−Moσ =

9.52−63.7 = 0.95

Sk1 ϵ [-1; 0.95)∪(0.95; 1]

INDICATORII ASIMETRIEI PENTRU GRUPAREA PE TREI INTERVALE IN FUNCTIE DE INCASARI (Y)

Sk1 = Y−Moσ =

4.9−31.98 = 0.95

Sk1 ϵ [-1; 0.98)∪(0.98; 1]

5. Să se calculeze media şi dispersia variabilei alternative z (SMCA/PMCA).

Fie SMCA valoarea de interes:

Dimensiune magazinz

Valoare atribuita

Nr Magazine (ni) zini

SMCA 1 14PMCA 0 11TOTAL 25

z = ∑zi∋¿

∑∋¿¿¿ =

1×m+0×(m−n)m+(n−m) =

mn

= p = 1425

= 0.56

σ 2 =(z p)2 – (z )2 =(z p)2 – p2 = p – p2 = p× (1 – p) = p × q = 0.56 × 0.44 = 0.25

(z p)2 = ∑zi2∋ ¿∑∋¿¿

¿ = 12×m+02×(n−m)

n = mn

= p = 0.56

6.Determinaţi erorile probabile (medie de reprezentativitate şi limită sau maxim admisibilă) ale sondajului în condiţii de Øz=0,97 (z=2,18) pornind de la eşantionul celor 25 de magazine. Determinaţi cât de mare ar trebui să fie un nou eşantion extras aleatoriu repetat şi nerepetat, dintr-o populaţie de 1.000 de magazine, în condiţii de limite de interval sau = 0,5 şi cu un nivel de siguranţă sau probabilitate de 0,99 (Øz =0,99 sau z =2,58) şi pentru o dispersie egală cu aceea obţinută în calculele de la punctele 4 şi respectiv 5. Comentaţi rezultatele obţinute şi nivelul lor de încredere.

Co = √σ2

z × 100 = √0.25

0.56 × 100 = 89.28 %

σw = √ σw2n = √ 0.2525

= √0.01 = 0.1 = 10%

∆w = z × σw = 2.18 × 0.1 = 0.218 = 21.8%

proiect statistica

Documents

Transcript of proiect statistica