Universitatea de Stiinte Agronomice si Medicina Veterinara BucurestiFacultatea de Imbunatatiri Funciare si Ingineria MediuluiSpecializarea: Masuratori Terestre si Cadastru

Proiect

Proiectii Cartografice

An III Semestrul al II-lea

Proiectiile Azimutale

Intocmit de:Burlacu Veronica (9301)Toma Nicoleta (9301)Stoian Elena (9303)Badulescu Bianca (9301)Custura Narcis (9301)

Proiectiile Cartografice

Proiecţia cartografică reprezinta procedeul matematic folosit pentru transpunerea în plan a suprafeţei sferice a Pământului.

Harta este o imagine deformată a suprafeţei Pământului cu tot ceea ce este pe ea.

Deformările hărţilor pot afecta trei elemente geometrice:- lungimi- unghiuri- arii

Pentru alegerea celei mai potrivite proiecţii trebuie să cunoaştem felul şi mărimea deformaţiilor induse, precum şi modul în care sunt răspândite.

Pe fiecare reţea cartografică există un punct sau o linie pe care nu se afla deformări, acestea numindu-se puncte sau linii de deformare zero (nulă).

Clasificarea proiecţiilor cartografice:- După intersecţia planului de proiecţie cu Globul;- După aspectul reţelei cartografice normale;- După caracterul deformărilor;- După poziţia pe Glob a centrului reţelei cartografice.

După intersecţia planului de proiecţie cu Globul:- Tangente;- Secante.

După aspectul reţelei cartografice normale :

Azimutale Cilindrice Conice

2

După caracterul deformărilor:- Conforme (echiunghiulare, ortoforme, unde ω=0);- Echivalente (homalografice, unde φ0 = 1);- Arbitrare (afilactice sunt echidistante pe anumite directii).

După poziţia pe Glob a centrului reţelei cartografice:

normale φ0 = 90° Transversale φ0 = 0° oblice 0°< φ0 < 90°

Proiectiile Azimutale

Numele provine de la proprietatea de a nu deforma unghiurile dintre liniile care pleacă din punctul central al reţelei cartografice.

Proiecţia azimutală se realizează pe suprafaţă plană.În proiecţiile azimutale, Pământul, considerat de obicei sferă, se reprezintă

pe un plan care poate fi tangent sau secant la sferă. Poziţia planului tangent se stabileşte prin coordonatele φo şi λo ale polului proiecţiei Q0. Poziţia planului secant se stabileşte prin coordonatele φ0, λ0 şi prin distanţa zk, a almucantaratului de secţionare:

3

Există 2 modalităţi de contact între plan şi suprafaţa terestră:

Un alt criteriu de clasificare a proiectiilor azimutale este dupa utilizarea legilor perspectivei liniare. Din acest punct de vedere, ele pot fi:

- neperspective, cand nu utilizeaza legile perspectivei liniare;- perspective, cand imaginea plana se obtine prin utilizarea perspectivei

liniare.In proiectiile azimutale drepte, reteaua normala coincide cu reteaua de

meridiane si paralele, care se reprezinta astfel:- meridianele, ca drepte concurente intr-un punct, care este imaginea

plana a polului geografic si a polului QO; unghiurile dintre aceste drepte sunt egale cu diferentele de longitudine dintre meridianele respective;

- paralelele, ca cercuri concentrice, cu centrul in pol; razele ρ ale acestor cercuri variaza de la o proiectie azimutala la alta, functie de caracteristicile proiectiei azimutale respective.

In cazul proiectiilor azimutale oblice si al celor transversale, reteaua normala coincide cu imaginile plane ale verticalurilor (A=const) si ale almuncantaratelor (z=constant). Aspectul general al retelei este acelasi, numai ca:

- verticalurile se reprezinta prin drepte concurente in polul QO sub unghiurile egale cu diferentele dintre azimutele respective de pe sfera;

- almuncantaratele se reprezinta prin cercuri concentrice, cu cercul in polul QO si raze ρ.

Secant Tangent

4

Aspectul general al retelei normale in proiectiile azimutale

In proiectiile azimutale oblice si in cele transversale, reteaua de meridiane si paralele se reprezinta prin curbe, care se construiesc prin puncte. Meridianul mediu (λO) se reprezinta printr-un segment de dreapta, care este axa de simetrie si axa x x’ pentru coordonatele plane rectangulare.

Directiile principale, pe care modulii de deformatie liniara au valori extreme, corespund directiilor retelei normale si vor fi notati: m(pe meridian), n (pe paralel), respectiv μ1 (pe vertical), μ2 (pe almuncantarat).

In proiectiile azimutale, punctele din plan(harta) se determina fie prin coordonate plane polare, fie prin coordonate plane rectangulare.

Coordonatele plane polare se noteaza:δ – unghiul polar;ρ – raza vectoare.

Ca axa polara, in cazul proiectiilor azimutale drepte, se poate considera imaginea oricarui meridian (de exemplu, a meridianului de origine sau a celui opus lui). In cazul proiectiilor azimutale oblice si al celor transversale, ca axa polara, se ia dreapta prin care se reprezinta meridianul λ0 al polului QO.

Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane, xOy, se alege astfel incat originea sa coincida cu imaginea polului proiectiei, iar axa xx’ sa coincida cu axa polara.

Tinand cont de aspectul general al retelei normale si de modul de definire a sistemului de referinta pentru coordonatele plane, pot fi deduse formule generale, variabile pentru diferite grupe de proiectii azimutale.

5

In cazul proiectiilor azimutale drepte, formele generale ale coordonatelor plane polare sunt:

δ = λ; ρ = f (φ);

in care λ trebuie considerat ca o diferenta de longitudine, masurata de la meridianul luat ca axa polara.

Coordonatele plane rectangulare pot fi calculate functie de cele plane polare, cu formulele generale:

sistem de axe pentru coordonatele plane in proiectiile azimutale

Pentru deducerea unor formule generale ale modulilor de deformatie, folosim figura de mai jos , in care:

B(φ,λ)este un punct oarecare de pe sfera de raza R;B B1 este un arc elementar de meridian, pe sfera;B B2 este un arc elementar de paralel, pe sfera;B’, B1’, B2 ’ sunt imaginile plane ale punctelor B, B1, B2 de pe sfera.

Pentru modelul de deformatie liniara pe meridiane, rezulta:

m = ds’m/dsm = B’B1’/BB1 = -dρ/Rdρ sau m = dρ/Rdψ

in care semnul minus din prima formula se datoreaza faptului ca atunci cand φ creste ρ descreste. Pentru modulul de deformatie liniara pe paralele rezulta:

n = ds’ρ/dsρ = B’B’2/BB2 = ρdδ/rdλ = ρ/r = ρ/Rcosφdeoarece δ = λ.

6

Arce de meridian si de parale: pe sfera (a) si pe planul de proiectiei (b)

Formula generala a modulului de deformatie areolara in proiectiile azimutale drepte se deduce din formula generala:

p = m * n * sin i

in care se ia sin i = 1, pentru ca imaginile plane ale meridianelor sunt perpendiculare pe imaginile paralelelor, si rezulta:

p = m * n

Pentru calculul deformatiilor unghiulare maxime se utilizeaza formulele generale cunoscute, valabile pentru toate proiectiile.

Formulele generale ale proiectiilor azimutale drepte, pentru reprezentarea sferei de raza R, sunt:

δ = λ ;ρ = f(φ);x = ρ*cos δ;y = ρ*sin δ;m = - dρ/Rdφ = dρ/Rdψ; n = ρ/r = ρ/R cosφ;p = m*n;

sin (ω/2) = (a-b)/(a+b) sau tg(45°+ ω/4) = √(a/b)

Pentru reprezentarea elipsoidului de rotatie in proiectiile azimutale drepte, formulele generale difera de cele ale sferei, prin expresiile modulilor de deformatie liniara, adica:

m = - dρ/MdB = dρ/Mdψ;n = ρ/r = ρ/N*cosB;

in care B este latitudinea pe elipsoid, iar ψ este colatitudinea.

7

Clasificarea proiectiilor perspective:

- Ortograficeo Polarăo Ecuatorialăo Orizontală

- Stereograficeo Polarăo Ecuatorialăo Orizontală

- Centrale (gnomonice)o Polarăo Ecuatorialăo Orizontală

Clasificarea proiectiilor neperspective:

- Echidistantă Postel Guillaume(lui Hatt)o Polarăo Ecuatorialăo Orizontală

- Echivalentă a lui Lamberto Polarăo Ecuatorialăo Orizontală

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică polară

Are punctul de vedere situat la infinit.

Razele proiectante sunt paralele între ele şi perpendiculare pe planul de proiecţie.

Reţeaua cartografică este formată din cercuri concentrice (paralele) şi din razele acestor cercuri (meridianele).

Proiecţia este echidistantă pe paralele.

Se foloseşte pentru construcţia hărţilor circumpolare.

8

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică polară

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică ecuatorială

Paralelele se prezintă ca şi linii drepte cu distanţe din ce în ce mai mici spre poli.

Meridianele sunt arce de elipsă.Se poate reprezenta doar o emisferă (vestică sau estică).

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică ecuatorială

9

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică oblică

Planul de proiectare este tangent într-un punct diferit de 0°sau 90°.

Paralele şi meridianele sunt arce de elipsă.

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică oblică

Proiecţia azimutală perspectivă ortografică

Aceste proiecţii se mai numesc proiecţii vizuale întrucât reţeaua cartografică apare asemenea reţelei de meridiane şi paralele văzută de la mare distanţă.

Se folosesc mai mult pentru prezentarea cartografică a unor corpuri cereşti (Luna, planete, Soare).

Sunt puţin folosite la reprezentarea Pământului din cauză că dau deformări mari spre margini.

10

Proiecţia azimutală perspectivă stereografică polară

Distanţele cresc de la pol spre ecuator.

Cercul care reprezintă ecuatorul are de 2 ori raza Pământului redusă la scară.

Se foloseşte la hărţile de navigaţie la latitudini mari unde proiecţia Mercator nu poate fi folosită.

Proiecţia azimutală perspectivă stereografică polară

Proiecţia azimutală perspectivă stereografică ecuatorială

Meridianele şi paralele apar ca şi arce de cerc.Ecuatorul şi meridianul central se prezintă ca şi linii drepte perpendiculare.Se foloseşte pentru prezentarea emisferelor estică sau vestică sau a unor

emisfere având alte meridiane centrale.

11

Proiecţia azimutală perspectivă stereografică ecuatorială

Proiecţia azimutală perspectivă stereografică orizontală

Reţeaua cartografică este formată din arce de cerc.

Este folosită la hărţi la scară mare pentru reprezentarea ţărilor cu formă rotundă, de la latitudini medii.

12

Proiecţia azimutală –Stereo 30

Folosită în România între 1933-1951.Punctul central fiind situat la 30 km N-V de Braşov.Elipsoidul de referinta este Hayford.Punct astronomic fundamental: pilastrul de vest al Obs. Militar din Dealul

Piscului.Dacă punctul ar fi tangent deformările ar fi de 1 m / km la 400 km

depărtare.Prin secanţă deformările erau de -0,332 m/kmîn pct. central şi de + 0,65

m/kmpe margine.Armata incepuse sa lucreze in acest sistem neoficializat, inca din anul

1930.Chiar din denumire : ,,stereografica” , reiese ca proiectia este conforma,

calitate care permite ca masuratorile geodezice si topografice, sprijinite pe reteaua geodezica, sa poata fi prelucrate direct in planul de proiectie, dupa aplicarea unor corectii de reducere la plan.

Coordonatele geografice ale punctului central sunt:

- latitudinea : φ0= 51G00c00cc,000 Nord (=45 ͦ 54’ 00” , 0000 );- longitudinea : λ0 = 28G21c38cc,510 Est Greenwich (=25 ͦ 23’ 32” , 8772 );

Harta tarii , in proiectia stereografica, urma sa se sprijine pe o triangulatie noua, pentru care s-a adoptat elipsoidul international Hayfort (1910) , ai caror parametrii geometrici au valorile :

a = 6 378 388,000 m;b = 6 356 911,946 m ;f = 1 : 297 = 0.003 367 0034;e2 = 0.006 722 6700;e’2 = 0.006 768 1702.

Coeficientul de reducere a scarii, de la planul tangent Brasov la planul unic secant, are valoarea: c= 1- ( 1/3 000) = 0,999 666 67,Iar coeficientul pentru revenire la scara normala ( la planul tangent) este:

c’ = (1/c) = 1,000 333 44.

In aceasta proiectie se deformeaza distantele si ariile. Exceptie fac punctele situate pe cercul de deformatie nula, a carui raza este r0=233 km , si al carui centru este originea axelor de coordonate plane. A rezultat raza de 233 km si coeficientul de reducere a scarii : c = 0.999 666 67.

Formula generala pentru calculul excesului sferic este : ɛ = S/R2

13

Corectia este nula, atunci cand punctul de statie, punctul vizat si originea axelor de coordonate sunt coliniare.

Cadranele din proiectia stereografica pe planul unic secant Brasov

Fiecare foaie fundamentala contine 40 sectiuni topografice sau sectiuni cadastrale, dispuse pe 5 coloane, numerotate de la 1 la 5 , in sensul in care creste valoarea absoluta a coordonatei X, si 8 linii ( zone) , numerotate de la 1 la 8 , in sensul in care creste valoarea absoluta a coordonatei Y.

Fiecare sectiune topografica are dimensiunile ΔX=1600 m , ΔY= 1250 m si aria S=200 ha, in planul unic secant Brasov.

14

Nomenclatura unei sectiuni cadastrale este alcatuita din nomenclatura foii fundamentale geodezice, urmata de o fractie avand la numarator numarul coloanei ( cuprins intre 1 si 5), iar la numitor numarul zonei ( cuprins intre 1 si 8), in care este situata sectiunea respectiva.

Scheletul foilor fundamentale geodezice (fragment) din proiectia stereografica pe planul unic secant Brasov

15

Proiecţia azimutală –Stereo 70

Folosită in Romania după 1973.Se menţine elipsoidul de referinţă Krasovski (1940), orientat la Pulkovo ca

şi în cazul proiecţiei Gauss-Kruger. El are paramertrii geometrici : -semiaxa mare a =6 378 245 ,000 m -turtirea geometrica f = 1/298,3

Polul Q0 al proiecţiei, denumit şi “centrul proiecţiei” are coordonatele geografice: φ = 46° Lat. N si λ= 25° est Greenwich , raza = 201,7 km.

Planul secant e coborât cu 3 502 m.Sistemul de axe de coordonate plane rectangulare xOy are ca origine

imaginea plana a polului proiectiei, axa Ox este imaginea plana a meridianului de 25 ͦ si are sensul pozitiv spre Nord iar axa Oy are sensul pozitiv spre Est.

De retinut ca aceste axe de coordonate sunt notate invers fata de cele din proiectia stereografica din anul 1933.

Coeficientul de reducere a scarii c=1-(1/4 000)= 0,999 750 000Coeficientul de revenire la scara normala, de la planul secant la cel

tangent este : c’= 1/c = 1,000 250 063 Proiectia stereografica 1970 este conforma, permitand ca masuratorile

geodezice sa fie prelucrate direct in planul de proiectie, fara a se calcula coordonate geografice, cu conditia aplicarii prealabile a unor corectii de reducere a masuratorilor la planul de proiectie.

Proiectia deformeaza distantele si ariile, functie de departarea acestora fata de polul proiectiei asa cum se va arata in cele ce urmeaza.

Proiectia stereografica 1970 se aseamana principal cu cea din 1933 , dar deosebirile privind elipsoidul, polul Qo, orientarea sistemului de axe xOy,

16

coeficientul de reducere a scarii nu permite ca orice formula a proiectiei setereografice din 1933 sa fie aplicata celei din 1970, incepanad chiar cu formulele lui Roussilhe.

Calculul coordonatelor stereografice 1970 , functie de coordonatelor geografice de pe Elipsoid

Calculul coordonatelor rectangulare plane stereografice 1970, functie de cele geografice (B,L) de pe Elipsoidul Krasovski 1940 , se face cu ajutorul unor formule cu coeficienti constanti, in functie de diferenta de latitudine si respentiv de longitudine, dintre polul proiectiei si punctul de reprezentat.

In acest calcul se pot deosebi doua etape:-calculul coordonatelor stereografice in planul tangent, functie de

cele geografice de pe elipsoid (este etapa cea mai laborioasa);-transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent in cel

secant , prin modificarea scarii, cu coeficientul subunitar c, de reducere a scarii. Pentru stabilirea formulelor, s-a pornit de la urmatoarele conditii de baza

puse reprezentarii:-conditia 1: reprezentarea plana sa fie conforma;-conditia 2: meridianul L0 , care trece prin Q0 ,sa se reprezinte printr-un

segment de dreapta , fiind axa de simetrie si axa xx’ cu sensul pozitiv spre Nord; -conditia 3: originea sistemului de coordonate plane stereografice este

imaginea polului Q0 si orice punct D(B, L0), situat pe meridianul acestui pol, are coordonata xm data de relatia :

xm=2R0*tg(β/2R0), unde :R0 = raza medie de curbura a elipsoidului la latitudinea B0;β = un arc de cerc meridian , a carui lungime este egala cu lungimea

arcului de meridian de pe elipsoid, cuprins intre latitudinea B0 si B.Relatia de mai sus este expresia razei vectoare din proiectia stereografica

a unei sfere pe un plan tangent, (β/2R0) reprezentand distanta zenitala a punctului D. Dar , ea nu poate fi valabila decat pe meridianul central , motiv pentru care „proiectia stereografica 1970” este considerata ca fiind ,,cvasistereografica” ( aproape stereografica).

Deoarece reprezentarea este conforma, trebuie ca ( x+iy) sa fie o functie analitica de variabila complexa (q+il) : (x+iy)= f( q+il), in care q este latitudinea izometrica, a carei dieferenta este : dq= M dB/ N cos B, iar l este lungimea punctului masurata de la meridianul central L0. dβ/dq = N cos B

17

Nomenclatura

Hartile topografice in proiectia Stereografica 1970 au cadru de tip geografic , alcatuit din doua arce de meridian si doua arce de paralel , care , pe elipsoid, delimiteaza un trapez. Scarile sunt standardizate , dimensiunile trapezelor de pe elipsoid depind de valorarea scarii si fiecare trapez are o nomenclatura corelata cu pozitia sa geografica si cu scara.

Datorita deformatiilor inegale din planul de proiectie, trapezul de pe elipsoid se deformeaza inegal, ai colturile sale devin varfurile unui patrulater oarecare, luat drept cadru pentru foaia de harta respectiva.

Dimensiunile teoretice ale cadrului se calculeaza intai pe elipsoid, apoi se reduc la planul de proiectie, apoi se reduc la scara hartii, exprimand rezultatele finale in cm, cu doua zecimale. Laturile de Nord si de Sud se calculeaza ca arce de paralel. Laturile de Vest si de Est se calculeaza ca arce de meridian.

In cazul hartii topografice la scari mai mici, cand curbura laturilor depasesc tolerantele grafice, este nevoie ca, in afara celor 4 colturi ale cadrului, sa se raporteze prin coordonate si puncte intermediare.

Caroiajul kilometric apare rotit fata de cadru , cu unghiul de convergenta meridiana din proiectia stereografica 1970.

Proiecţia azimutală perspectivă stereograficăPunctul de perspectivă se găseşte pe sferoid în poziţia cea mai

îndepărtată de planul de proiecţie.Răspândirea deformărilor este mai egală pe cuprinsul reprezentării.Este conformă.Deformează lungimile de pe marginea reţelei de două ori.

Proiecţia azimutală perspectivă centrală polarăDistanţele dintre paralele cresc de la pol la ecuator.Distanţele cresc foarte repede iar ecuatorul nu poate fi reprezentat:

18

Proiecţia azimutală perspectivă centrală polară

Proiecţia azimutală perspectivă centrală ecuatorialăMeridianele sunt reprezentate prin linii drepte deoarece sunt cercuri mari

ale sferei.Deformările cresc foarte mult către margini:

Proiecţia azimutală perspectivă centrală orizontalăMeridianul central al proiecţiei şi ecuatorul sunt linii drepte perpendiculareMeridianele sunt linii drepte care converg către pol

19

Paralele sunt reprezentate prin parabole sau hyperboleSe folosesc pentru realizarea de hărţi la scară mică ce redau porţiuni mari

din suprafaţa terestră:

Proiecţia azimutală Neperspectivă

Nu se obţin prin proiectare propriu-zisă, utilizând legile perspectivei liniare.Se construiesc pornind de la stabilirea condiţiilor pe care trebuie să le

îndeplinească harta.

Proiecţia azimutală neperspectivă echidistantă Postel polară

Meridianele sunt linii drepte care converg către pol iar paralele sunt cercuri concentrice.

Distanţele între paralele sunt nedeformate.

20

Proiecţia azimutală neperspectivă echidistantă Postel ecuatorială

Meridianele şi paralele sunt curbe oarecare.Distanţele între meridiane pe ecuator şi între paralele pe meridianul

central al proiecţiei sunt egale.

Proiecţia azimutală neperspectivă echidistantă Postel ecuatorială

Proiecţia azimutală neperspectivă echidistantă Postel orizontală

Proprietatea de păstra neschimbate distanţele de la centrul proiecţiei către toate celelalte puncte o face foarte practică.

Se folosesc mult de către aviatori şi seismologi.Este singura proiecţie azimutală care permite reprezentarea întregului

Glob.

Proiecţia azimutală neperspectivă echidistantă Postel orizontala

21

Proiecţia azimutală neperspectivă echivalentă Lambert

Aspectul este aproape identic cu cel al reprezentărilor din proiecţia Postel, diferă doar scara de reprezentare.

Se folosesc în special în atlasele şcolare, pentru hărţi la scări mici.

Bibliografie:

Cartografie Matematica, Gheorghe Munteanu; http://earth.unibuc.ro/download/?keywords=atlas ; http://www.bibnat.ro/Cartografie-s68-ro.htm.

22