Proiect la fizică

Mişcarea oscilatorieAcest proiect a fost realizat de:

Cătălin Murgoci

Veronica Burlacu

Adrian Neicu

Adrian Botezan

Gabriel Măglaşu

Mădălin Savancea

Mişcarea oscilatorie

Experimente:

1. De un fir lung şi inextensibil , suspendăm un corp (bilă) pe care-l lovim astfel încât să nu-i imprimăm o deviaţie prea mare faţă de poziţia de repaus. Un astfel de sistem mecanic este numit pendul gravitaţional.

2. De un resort de oţel, suspendăm un corp şi prin intermediul lui tragem resortul in jos. Sistemul începe să se mişte în sus şi în jos. Un astfel de sistem este numit pendul elastic.

3.Fixăm o bandă de oţel la unul din capete şi apoi o deviem din poziţia iniţială. Sistemul se numeşte pendul cu arc lamelar .

4.Turnăm apă intr-un tub îndoit , din sticlă, cu diametrul de căţiva cm. Astupăm unul dintre capetele cu un dop de plută şi suflăm aer la celălalt capăt. În acest fel coloana de apă este pusă în mişcare.

5.Pe marginea unui disc fixăm intr-o poziţie oarecare o bilă. Rotim discul cu viteză unghiulară constantă. Cu ajutorul unei lămpi de proiecţie, proiectăm pe un ecran mişcarea bilei de pe disc.Vom constata că umbra bilei are o mişcare alternativă, dus-întors.

În toate cazurile studiate mai sus are loc o mişcare continuă de o parte şi de alta (dus întors) a poziţiei iniţiale (de repaus) a corpului ( sau a umbrei sale în cazul experimentului 5 ).

Această mişcare prezintă următoarele caracteristici:a ) dupa intervale de timp egale, procesul individual de

mişcare, se repetă, este un proces periodic;b ) mişcare are loc de fiecare dată simetric faţă de o anumită

poziţie, poziţia de repaus sau de echilibru a oscilatorului.

Mişcarea unui corp sau a unui sistem material , care se repetă la intervale de timp egale şi care se face simetric faţă de o poziţie de repaus se numeşte mişcare oscilatorie sau oscilaţie mecanică.

Pentru studiul mişcarii oscilatorii se definesc urmatoarele mişcari fizice:

Perioada mişcării oscilatorii T, reprezinta tiparul necesar efectuării unei oscilaţii complete

Daca notăm cu n numarul de oscilaţtii efectuate de un oscilator în intervalul de timp t atunci avem:

tT

n

Unitatea de masură in S.I. este:

Frecvenţa mişcării v este numărul de oscilaţii efectuate în unitatea de timp :

11 1SI

v s Hz

nv

t

Unitatea de masură pentru frecvenţă în S.I. este hertzul ( Hz ) :

1SI

T s

Din relaţiile de definiţie ale frecvenţei şi perioadei rezultă relaţia:

1vT

Elongaţia mişcării notată x sau y reprezintă deplasarea (depărtarea) oscilatorului faţă de poziţia de repaus la un moment dat.

Din definiţia elongaţiei rezultă că ea variază în timp. Aceeastă mărime are o direcţie, o valoare şi un sens, deci poate fi reprezentată printr-un vector sau . În S.I. unitatea de măsură pentru elongaţie este metrul:

x

y

1SI

x m

Amplitudinea mişcării A este elongaţia maximă pe care o poate avea oscilatorul în cursul oscilaţiei.

Dacă în experimentele anterioare 1,2,3,4 se lasă sistemele (corpurile ) să oscileze un intervalde timp mai mare , se observă că amplitudinea mişcarii oscilatorii nu rămâne constanta in timp . În experimentul 5 , însă, amplitudinea mişcarii (a proiecţiei mişcarii) rămâne neschimbată. Distingem deci două cazuri:

a) mişcare oscilatorie (oscilaţia) este neamortizată, amplitudinea rămâne neschimbată de la o oscilaţtie la alta;

b) mişcarea oscilatorie (oscilaţia) este amortizată, amplitudinea scade de la o oscilaţtie la alta.

Oscilatorul liniar armonic

Să analizăm un resort elastic care are lungimea l în stare nedeformată (fig.a). După legea lui Hooke deformarea unui resort elastic este proporţională cu forţa care acţionează asupra resortului. Forţa elastică care ia naştere în resort este de asemenea proporţională cu deformarea resortului dar de

sens opus acesteia. Avem, deci: sau scalar

unde sunt considerate pozitive valorile citite începând de la punctul cel mai de jos al

resortului netensionat, in jos.

ykFe

kyFe

Dacă se suspendă de resort cu corp cu masa m, el se va alungi cu datorită forţei

(fig.b) şi de aici rezultă:

0y G mg

0 0eG mg ky F

relaţie valabilă pentru poziţia de repaus a pendulului elastic.

Scoţând pendulul din poziţia de repaus el începe să oscileze vertical, forţa îndreptată în jos îşi păstrează valoarea, în timp ce forţa elastică din resort variază în funcţie de alungirea y a acestuia (fig.c,d). Suma vectorială a celor două forţe sau diferenţa valorilor lor ca rezultantă forţa care la orice moment tinde să aducă pendulul spre poziţia de repaus. Se obţine pentru aceeastă forţă expresia :

G

eF

)( 00 yykykykGFF e

sau:

0( )F k y y

Aşadar forţa carea acţionează asupra pendulului elastic în timpul oscilaţiei este proporţională cu deplasarea (depărtarea) faţă de poziţia de repaus, şi de sens contrar

acesteia adică este o forţă de tip elastic. Un punct material care se mişcă rectiliniu sub acţiunea

unei forţe de forma (sau ) se numeşte oscilator liniar armonic. Mişcarea sa de oscilaţie este numită mişcare oscilatorie armonică.

Oscilatorul liniar armonic este un oscilator ideal.

Pentru a stabili legea mişcării oscilatorului armonic, dependenţa elongaţiei y de timp, y=y(t), ne vom folosi de mişcarea circulară uniformă a unui punct material şi de

proiecţia acestei mişcări pe unul din diametrele traiectoriei.

kyF kxF

Să urmărim, în acelaşi timp, mişcarea circulară uniformă cu viteza unghiulară ω, pe un cerc de rază R = A, a unui punct material P de masă m şi mişcarea proiecţiei sale P’, proiecţie ortogonală pe axa Oy (diametrul B1B2 în figură)

Proiecţia ortogonală a mişcării circulare uniforme a punctului P pe unul din diametrele traiectoriei (B1B2)

În timp ce P face o rotaţie completă plecând din A1 în sensul indicat pe figura anterioară, proiecţia sa P’ efectuează o oscilaţie cu amplitudine constantă A, plecând din O, aşa cum arată figura. Se observă: că componenta pe axa y a deplasării lui P este totdeauna aceeaşi cu deplasarea lui P’ ; componenta pe axa y a vitezei lui P este totdeauna aceeaşi cu viteza lui P’; componenta pe axa z a acceleraţiei lui P este totdeauna aceeaşi cu acceleraţia lui P`. Deci mişcarea oscilatorie a punctului P’ poate fi descrisă ca proiecţia pe diametrul Oy a mişcarii circulare uniforme a punctului P. Să arătăm că această mişcare oscilatorie este o mişcare oscilatorie armonică.

Se ştie ca in mişcarea circulară uniformă acceleraţia centripetă are valuarea ω2R. Componenta sa pe diametrul B1 B2 din figură reprezintă acceleraţia mişcarii punctului P’ si are valoarea :

cPa

sin2Ra

Din figură se observă că putem scrie:sinRy

În acest caz relaţia

devine: sau

sin2Ra

ya 2 ya 2

Unde semnul minus semnifică faptul că acceleraţia şi elongaţia au sensuri opuse.

a

y

Punctul P’ se mişcă la fel ca şi când ar fi un punct material de masă m si asupra lui ar acţiona o forţă F care să-i imprime acceleraţia.

Deci: ymmaF 2

Pentru valori determinate ale masei m şi ale vitezei unghiulare constante ω, produsul mω2 = k şi relaţia devine:

ymmaF 2

kyF

Aşadar mişcarea punctului P’ se face ca şi în cazul în care forţa sub acţiunea căreia are loc mişcarea este o forţă de tip elastic şi deci acest punct material descrie o mişcare oscilatorie armonică. Ştiind că φ = ωt şi că R = A este amplitudinea mişcării oscilatorii, relaţia devine:

y = A sin ωt

sinRy

Această relaţie reprezintă ecuaţia elongaţiei oscilatorului liniar armonic, adică reprezintă legea de mişcare a oscilatorului, dependenţa y=y(t).

Dacă proiecţia mişcării punctului P se face pe diametrul A1A2 atunci se obţine pentru ecuaţia elongaţiei expresia:

x = A cos ωt

Putem formula acum o altă definiţie a mişcării oscilatorii armonice: orice punct material care se mişcă rectiliniu, faţă de un S R, astfel încât legea de mişcare este de forma:

y =A sin ωt sau x = A cos ωt,

descrie o mişcare oscilatorie armonică. Ţinând seama de relaţia y = A sin ωt şi de relaţia sau

expresia acceleraţiei devine acum:

a= -ω2 A sin ωt

ya 2

ya 2

Componenta vitezei tangenţiale vt = ωA, pe diametrul B1B2 reprezintă viteza de mişcare a lui P’, adica viteza mişcarii oşcilatorii armonice:

v=ωA cos ωt

Faza si perioada mişcarii oscilatorii armonice.Argumentul funcţiei y=A sin ωt, φ = ω t, se numeşte faza mişcarii oscilatorii. Faza se măsoara in radiani si este una dintre măarimile de stare ale oscilatorului. Dacă in figură osclatorul P’ ar fi fost la momentul iniţial in P’o (corespunzator punctului Po de pe cerc). Faza la momentul to = 0 ar fi fost φo. Atunci , la momentul t faza este φ =φo + ωt. Ecuaţia elongaţiei se va scrie în acest caz:

y =A sin (ωt + φo)

Pentru mişcarea oscilatorie marimea ω se numeşte pulsaţtie si reprezinta viteza de variaţie a fazei. Această marine se masoara in S.I. in rad/s.

Ca şi la mişcarea circulară intre frecvenţa v , perioada T si pulsaţia ω, sunt marimi caracteristice mişcarii oscilatorii, sunt variabile relaţiile:

ω = 2πυ

Din relaţia k = mω2 ţinând seama de relaţia anterioară obţinem:

k = m 4 π2 / T2 de unde rezultă: 2

mT

k

Această relaţie reprezintă perioada oscilatorului liniar armonic şi arată ca perioada unui oscilator depinde de proprietetile sale inerţiale , prin masa m si de cele elastice , prin constanta elastica k si nu depinde de condiţiile initiale in care se afla oscilatorul.

Energia oscilatorului armonic

După cum ştiţi, un punct material de masă m,sub acţiunea unei forţe elastice F= -ky, descrie o mişcare oscilatorie armonică. La un moment dat t, elongaţia este y=A sin ωt iar viteza mişcării v=ωA cos ωt (considerând φo=0) Cum energia de poziţie în câmpul forţelor

elastice este ,

Pentru oscilatorul liniar armonic avem::

2

2kyEP

tkAkyE p 222 sin2

1

2

1

Iar pentru energia cinetică a oscilatorului:

tkAtAmmvEc 222222 cos2

1cos

2

1

2

1

(pentru că ) .km 2

Energia mecanică totală a oscilatorului liniar armonic este:

mAvAmkAttkAEEE CP222222222 2

2

1

2

1)cos(sin

2

1

Din relaţia de mai sus deducem că energia totală a oscilatorului liniar armonic este constantă în timp - este un invariant.

Se folosesc două moduri de reprezentare a energiei unui oscilator:

a) se reprezintă grafic energia în funcţie de frecvenţa (energia pe ordonată şi frecvenţa pe abscisa). Se obţine astfel un spectru al procesului respectiv. O oscilatie armonică se reprezintă printr-o linie spectrală.

Spectrul unei oscilaţii 

b) printr-o schemă de nivele de energie. Intr-o schemă de nivele de energie,energia oscilatorului se reprezintă printr-o dreaptă orizontală situată la o înalţime corespunzătoare valorii energiei. Se spune că oscilatorul se află pe un anumit nivel de energie.

Schema nivelelor de energie a două oscilaţii

Pendulul gravitaţional. Rezonanţa.

Pendulul gravitaţional. Un pendul gravitaţional este un corp idealizat redus la un punct material de masă m, suspendat de un fir inextensibil şi de masă neglijabilă. Dacă pendulul este deplasat din poziţia sa de echilibru şi este lăsat liber, el oscilează într-un plan vertical datorită forţei de greutate. În figură este reprezentat un pendul de lungime l, masă m, care formează cu verticala un unghi numit elongaţie unghiulară. Forţele care acţionează asupra lui sînt: , forţa de greutate şi tensiunea din fir. Componenta lui G pe direcţia razei este Gn= mg cos θ iar componenta tangenţială Gt = mg sin θ. Componenta tangenţială este forţa de restabilire sau de revenire care acţionează asupra pendulului spre a-l reduce în poziţie de echilibru. Aşadar, forţa de restabilire este:

gmG

T

sintF G mg

Forţele care acţionează asupra unui pendul gravitaţional

Remarcăm că forţa F nu este proporţională cu elongaţia unghiulară θ ci cu sin de θ. Mişcarea pendulului nu este deci o mişcare oscilatorie armonică. În acest caz nu se mai poate vorbi de o perioada propie de oscilaţie. Două oscilaţii cu amplitudine diferiţă au perioade diferite, oscilaţiile sunt izocrone.

Dacă unghiurile θ sunt mici atunci sin θ este goarte apropiat de θ exprimat în radiani. Analizând tabelul următor observăm că pentru unghiuri sub putem scrie că sin θ ≈ θ în radiani.

5o

Sin

Unghiul θ sin θ

grade radiani

0o 0,0000

0,0000

2o 0,0349

0,0349

5o 0,0873

0,0872

Dacă exprimăm unghiul θ în radiani avem şi vom obţine

înlocuind sin θ cu , unde, semnul

minus indică faptul că aceeastă forţă este totdeauna de sens opus elongaţiei.

l

x

x mg : F = -mg = -mg = -

l lx kx

Aşadar pentru unghiuri mici forţa de revenire spre poziţia de echilibru este aproximativ de tip elastic (forţă cvasielastică) şi mişcarea pendulului gravitaţional poate fi considerată în acest caz o mişcare oscilatorie armonică.

Cum , perioada proprie de oscilaţie a pendulului devine:

kl

mg

g

l

l

mgm

k

mT 222

Din relaţia anterioară reţinem că perioada pendulului gravitaţional este independentă de masa pendulului. Deoarece pentru unghiuri mici, perioada pendulului gravitaţional este independentă de amplitudine, pendulul este folosit ca indicator de timp.

Pendulul gravitaţional oferă o metodă simplă pentru determinarea valorii acceleraţiei gravitaţionale g, măsurând cu eroare cât mai mică lungimea l şi perioada proprie T a pendulului.

Bibliografie

Imaginile şi textele au fost preluate din manualul de fizică clasa a XI - a