PROGRESII

Progresiile aritmetice

Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel precedent prin adaugarea unui numar constant “ r ” ,numit ratie ,se numeste progresie aritmetica.

An+1=A n + r

Numerele a1, a2, a3,...,an, se numesc termenii progresiei aritmetice.

Din definiţie, rezultă că ȋntr-o progresie aritmetică diferenţa dintre orice termen şi predecesorul său este egală cu acelaşi număr r.Pentru a pune ȋn evidenţă, că şirul a1, a2, a3,...,an, este o progresie aritmetică, se foloseşte notaţia ÷ a1, a2, a3,...,an.O progresie aritmetică este bine determinată, dacă se cunosc primul termen a1 şi raţia r.Se spune că numerele a1, a2, a3,...,an sunt ȋn progresie aritmetică dacă ele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

EXEMPLE:

1) Dacă a1= 0, r = 1, se obţine progresia: 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … , n , … adică şirul numerelor naturale. 2) Dacă a1 = 2, r = 2, se obţine progresia: 2 , 4 , 6 , … , 2n , … adică şirul numerelor naturale pare. 3) Dacă a1 = 1, r = 2, se obţine progresia: 1 , 3 , 5 , … ,2n + 1, … adică şirul numerelor naturale impare. 4) Dacă a1 = -2 şi r = - 4, rezultă progresia aritmetică : -2 , -6 , -10 , -14 , … 5) Dacă a1 = - 2 şi r = 3, obţinem progresia aritmetică : -2 , 1 , 4 , 7 , …

EXERCITIU

SĂ SE DETERMINE PRIMII PATRU TERMENI, AI UNEI PROGRESII ARITMETICE (AN), DACĂ: A) A1 = - 1, R =

2

3

Rezolvare : a) a2 = a1 + r = - 1 + = ; a3 = a2 + r = + = 2 ; a4 = a3 + r = 2 + = . b) a1 = ; a2 = 2 = .

Rezolvare : Determinăm raţia : r = a2 – a1 = - = 2. Din formula de recurenţă, care defineşte progresia aritmetică : ak = ak-1 + r , k ≥ 2 , pentru k = 3, respectiv 4, se obţine : a3 = a2 + r = + 2 = ; a4 = a3 + r = + 2 = .

2

3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

7

2

1

2

1

2

5

2

5

2

5

2

1

2

9

2

9

2

13

Progresiile geometrice

Definitie: O functie definita pe multimea IN* a numerelor naturale nenule cuvalori intr- o multime E se numeste sir de elemente ale multimii E.

Definitie: Un sir de numere al carui prim termen este nenul, iar fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, se obtine din cel precedent prin inmultirea cu un acelasi numar nenul.Exemplu: un sir de numere b1, b2, b3, …, bn, …(b1¹0)Este o progresie geometrica daca, pentru orice k³1, avem b k+1 = bk×q, unde q¹0 este un numar constant pentru sirul dat.Intr-o progresie geometrica catul dintre orice termen si predecesorul sau este egal cu acelasi numar q.Numarul q se numeste ratia progresiei geometrice.Progresia geometrica (bn) este complet determinata daca se cunosc primul termen b1 si ratia q.Numerele b1, b2, b3, …, bn sunt in progresie geometrica daca ele sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice

Orice termen al unei progresii geometrice cu termini pozitivib1, b2, …, b n-1, bn, b n+1, …,

incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui.Pentru orice n ³ 2, bn =√ b n-1 b n+1

 

Reciproca: Daca un sir de numere cu termeni pozitivi are proprietatea ca fiecare termen al sau, incepand cu al doilea, este media geometrica a termenilor vecini lui, atunci acest sir este o progresie geometrica. Formula termenului general al unei progresii geometriceFie b1 primul termen al progresii geometrice si q ratia sa. Deducem:b2 = b1×q,b3 = b2 ·q = (b1·q)· q = b1·q2,b4 = b3 · q = (b1 · q2) · q = b1 · q3 s.a.m.d. Termenul general al unei progresii geometrice este dat de formula: bn= b1 · q n-1

 Formula sumelor primilor n termini ai unei progresii geometriceFie (bn) o progresie geometrica de ratie q si fie Sn suma primilor n termini ai sai:Sn = b1 + b2 + b3 + …+ b n-1 + bn

Numerele b1 , b2 , b3 ,…, b n-1 , bn sunt in progresie geometrica. Ca si pentru numere in progresie aritmetica, pentru numerele b1 , b2 , b3 ,…, b n-

1 , bn , care sunt in progresie geometrica, are loc o relatie analoaga: bkb n-

k+1 = b1bn

Produsul oricaror doua numere egal departate de numerele extreme este egal cu produsul numerelor extreme.