Progresi aritmetice si geometrice · Progresii aritmetice şi geometrice 2 Termeni echidistanŃi de...
6
Progresii aritmetice şi geometrice 1 Progresii 1. Progresii aritmetice DefiniŃia. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a 1 , a 2 , a 3 , …,a n , … în care fiecare termen, începând cu a 2 , se obŃine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raŃia progresiei . Se noteazã ÷a 1 , a 2 , a 3 , …a n , … Dacã a 1 este primul termen, a n cel de-al n-lea termen (termenul general), r raŃia, n numãrul termenilor şi S n suma celor n termeni, atunci avem: a n = a n-1 + r, n≥2 definiŃie a n = a 1 + (n – 1)r, n≥2 termenul general 1 1 , 2 2 k k k a a a k − + + = ≥ media aritmetică 1 , 1 k k r a a k + = − ≥ obŃinerea raŃiei S n = a 1 + a 2 + …+ a n , S n = 1 ( ) 2 n a a n + , 1 2 ( 1) 2 n a n r S n + − = Termenii echidistanŃi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor echidistanŃi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: a k + a n-k+1 = a 1 + a n . ObservaŃie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, a m+1 , astfel încât 2a m+1 = a 1 + a 2m+1 . CondiŃia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c. 2. Progresii geometrice DefiniŃia. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere b 1 ,b 2 ,b 3 ,…,b n ,… în care fiecare termen, începând cu b 2 , se obŃine din cel precedent prin înmulŃirea acestuia cu un acelaşi numãr q (q≠0) numit raŃie . Se noteazã ⋅⋅ ⋅⋅ b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b n ,… Dacã b 1 este primul termen, b n cel de-al n-lea termen (termenul general), q raŃia, n numãrul termenilor şi S n suma celor n termeni, atunci avem: b n = qb n-1 , n≥2 definiŃie b n = b 1 q n-1 , n≥2 termenul general 1 , 1 k k b q k b + = ≥ obŃinerea raŃiei 1 1 , 2 k k k b b b k − + = ⋅ ≥ media geometrică S n = b 1 + b 2 + …+ b n , S n = 1 1 1 n q b q − − ; S n = 1 , 1 1 n b bq q q − ≠ −
Transcript of Progresi aritmetice si geometrice · Progresii aritmetice şi geometrice 2 Termeni echidistanŃi de...
Progresii aritmetice şi geometrice
1
Progresii
1. Progresii aritmetice
DefiniŃia. Se numeşte progresie aritmeticã un şir de numere a1, a2, a3, …,an, … în care fiecare termen, începând cu a2, se obŃine din cel precedent prin adãugarea unui numãr constant numit raŃia progresiei. Se noteazã ÷a1, a2, a3, …an, … Dacã a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), r raŃia, n
numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: an = an-1 + r, n≥2 definiŃie an = a1 + (n – 1)r, n≥2 termenul general
1 1 , 22
k kk
a aa k− ++= ≥ media aritmetică
1 , 1k kr a a k+= − ≥ obŃinerea raŃiei
Sn = a1 + a2 + …+ an, Sn = 1( )
2na a n+
, 12 ( 1)
2n
a n rS n
+ −=
Termenii echidistanŃi de extremi. Într-o progresie aritmeticã suma termenilor echidistanŃi de extremi este egalã cu suma termenilor extremi: ak + an-k+1 = a1 + an.
ObservaŃie. Dacã numãrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci existã un termen în mijloc, am+1, astfel încât 2am+1 = a1 + a2m+1.
CondiŃia necesarã şi suficientã pentru ca trei termeni a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie aritmeticã, este sã avem 2b = a + c.
2. Progresii geometrice
DefiniŃia. Se numeşte progresie geometricã un şir de numere b1,b2,b3,…,bn,… în care fiecare termen, începând cu b2, se obŃine din cel precedent prin înmulŃirea acestuia cu un
acelaşi numãr q (q≠0) numit raŃie. Se noteazã ⋅⋅⋅⋅
b1,b2,b3,…bn,…
Dacã b1 este primul termen, bn cel de-al n-lea termen (termenul general), q raŃia, n numãrul termenilor şi Sn suma celor n termeni, atunci avem: bn = qbn-1, n≥2 definiŃie bn = b1q
n-1, n≥2 termenul general
1 , 1k
k
bq k
b
+= ≥ obŃinerea raŃiei
1 1 , 2k k kb b b k− += ⋅ ≥ media geometrică
Sn = b1 + b2 + …+ bn, Sn = 11
1
nqb
q
−−
; Sn = 1 , 11
nb b qq
q
−≠
−
ClaudiuSchiopu
Progresii aritmetice şi geometrice
2
Termeni echidistanŃi de extremi. Într-o progresie geometricã, produsul a doi termeni echidistanŃi de extremi este egal cu produsul termenilor extremi:
bpbn-p+1 = b1bn. ObservaŃie. Dacã numãrul termenilor este impar (n=2m+ 1) atunci existã un termen
la mijloc, bm+1, astfel încât 21 1 2 1m mb b b+ += .
CondiŃia necesarã şi suficientã ca trei numere a,b,c, luate în aceastã ordine, sã formeze o progresie geometricã este sã avem b2
= ac.
ClaudiuSchiopu
