titlul lecţiei:

Progresia geometrică

Obiectivele urmărite în lecţie:

• să poată identifica o progresie geometrică• să poată determina orice termen al unei

progresii geometrice, având anumite ipoteze

• să utilizeze legătura cu media geometrică a termenilor unei progresii geometrice• să calculeze suma primilor n termeni ai

unei progresii geometrice, în diverse ipoteze

DefiniţieUn şir de numere reale al cărui prim termen este nenul, iar fiecare termen începând cu al doilea se obţine din termenul precedent prin înmulţirea cu acelaşi număr nenul se numeşte progresie geometrică.

Aşadar progresia geometrică este un şir definit prin relaţia de recurenţă

unde q este un număr real nenul fixat, numit raţie.

qaa nn 1

1nna

Exemple de progresii geometrice

• 1,3,9,27,81,243,.... cu raţia q = 3

• 16,8,4,2,1,... cu raţia q = 0,5

• 1,5,25,125,625,... cu raţia q = 5

• 1,-1,1,-1,1,-1,... cu raţia q = -1

Proprietăţile unei progresii

geometrice

P1) Un şir de termeni pozitivi este o progresie geometrică dacă şi numai dacă orice termen începând cu al doilea este medie geometrică a vecinilor săi,

adică pentru n ≥ 2 avem:

1nna

11 nnn aaa

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 4 şi = 9.

Să se afle şi raţia q.

Soluţie: Avem:

Termenii consecutivi cunoscuţi sunt: 4,6,9, adică q =

1nna

8a 10a

9a

6949 a

2

3

P2) Într-o progresie geometrică termenul general este dat de formula:

1nna

11

nn qaa

Exemplu

Fie o progresie geometrică pentru care avem = 24 şi q = 2.

Să se afle

Soluţie:

1nna

1a4a

192824224 144 a

P3) Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice este dată de formula:

1

1... 1

321

q

qaaaaaS

n

nn

1nna

Exemplu

Să se calculeze suma

S = 1+2+4+8+16+...+256.

Soluţie: Avem o progresie geometrică cu raţia

q = 2 şi cu numărul de termeni n = 9. Atunci:

511151212

12

121 99

S

Exerciţii orale

• 1) Care din următoarele şiruri este progresie geometrică:

a) 1, 4, 16, 64, 256, ...

b) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Exerciţii orale

2) Care este raţia unei progresii geometrice cu

=10 şi = 301a 2a

Exerciţii orale

• 3) Să se determine x real pentru care tripletul 4, x, 36 formează o progresie geometrică.

Muncă independentă

Manual pag: 85 ex E2, E3

Prof: Tulvan Emilia