Programa de Examen - Matematica - Bac 2015

CENTRUL NAIONAL DE EVALUARE I EXAMINARE

PROGRAMA DE EXAMEN

PENTRU DISCIPLINA

MATEMATIC

BACALAUREAT 2015

Anexa nr. 2 la OMEN nr. 4430/29.08.2014 privind organizarea i desfurarea examenului de bacalaureat naional - 2015

Programa de examen pentru disciplina Matematic Examenul de bacalaureat naional - 2015

Pagina 2 din 30

PROGRAMA DE EXAMEN PENTRU DISCIPLINA MATEMATIC

Examenul naional de bacalaureat reprezint modalitatea de evaluare extern sumativ a

competenelor dobndite pe parcursul nvmntului liceal.

Programa de examen este realizat n conformitate cu prevederile programelor colare n vigoare.

Subiectele pentru examenul naional de bacalaureat evalueaz competenele formate/dezvoltate pe parcursul

nvmntului liceal i se elaboreaz n baza prezentei programe.

Se recomand, din punct de vedere didactic, abordarea coninuturilor din perspectiva

formrii/dezvoltrii competenelor specifice care le sunt asociate de program. Acest lucru presupune

centrarea demersului didactic asupra aciunilor care trebuie realizate pentru a forma/dezvolta la elevi

competenele prevzute de programa colar i pentru ca acetia s demonstreze, n cadrul evalurilor,

nsuirea acestora.

n cadrul examenului naional de bacalaureat Matematica are statut de disciplin obligatorie n

funcie de filier, profil i specializare. Astfel, programele de examen se difereniaz, n funcie de filiera,

profilul i specializarea absolvite, n:

programa M_mate-info pentru filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic i

pentru filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic;

programa M_t-nat pentru filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii;

programa M_tehnologic pentru filiera tehnologic: profilul servicii, toate calificrile profesionale;

profilul resurse naturale i protecia mediului, toate calificrile profesionale; profilul tehnic, toate

calificrile profesionale;

programa M_pedagogic pentru filiera vocaional, profilul pedagogic, specializarea nvtor-

educatoare.


Programa de examen pentru disciplina Matematic M_mate-info Examenul de bacalaureat naional - 2015

Pagina 3 of 30

PROGRAMA M_mate-info

Filiera teoretic, profilul real, specializarea matematic-informatic Filiera vocaional, profilul militar, specializarea matematic-informatic

COMPETENE DE EVALUAT I CONINUTURI

CLASA a IX-a - 4 ore/spt. (TC+CD)

Competene specifice Coninuturi

1. Identificarea, n limbaj cotidian sau n probleme de matematic, a unor noiuni specifice logicii matematice i teoriei mulimilor

2. Utilizarea proprietilor operaiilor algebrice ale numerelor, a estimrilor i aproximrilor n contexte variate

3. Alegerea formei de reprezentare a unui numr real i utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale

4. Deducerea unor rezultate i verificarea acestora utiliznd inducia matematic sau alte raionamente logice

5. Redactarea rezolvrii unei probleme, corelnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice i al teoriei mulimilor

6. Transpunerea unei situaii-problem n limbaj matematic, rezolvarea problemei obinute i interpretarea rezultatului

Mulimi i elemente de logic matematic

Mulimea numerelor reale: operaii algebrice cu numere reale, ordonarea numerelor reale, modulul

unui numr real, aproximri prin lips sau prin adaos, partea ntreag, partea fracionar a unui numr real; operaii cu intervale de numere reale

Propoziie, predicat, cuantificatori

Operaii logice elementare (negaie, conjuncie, disjuncie, implicaie, echivalen), corelate cu operaiile i cu relaiile dintre mulimi (complementar, intersecie, reuniune, incluziune, egalitate); raionament prin reducere la absurd

Inducia matematic

1. Recunoaterea unor corespondene care sunt funcii, iruri, progresii

2. Utilizarea unor modaliti variate de descriere a funciilor n scopul caracterizrii acestora

3. Descrierea unor iruri/funcii utiliznd reprezentarea geometric a unor cazuri particulare i raionamentul inductiv

4. Caracterizarea unor iruri folosind diverse reprezentri (formule, grafice) sau proprieti algebrice ale acestora

5. Analizarea unor valori particulare n vederea determinrii formei analitice a unei funcii definite pe prin raionament de tip inductiv

6. Transpunerea unor situaii-problem n limbaj matematic utiliznd funcii definite pe

iruri

Modaliti de a defini un ir, iruri mrginite, iruri monotone

iruri particulare: progresii aritmetice, progresii geometrice, formula termenului general n funcie de un termen dat i raie, suma primilor n termeni ai unei progresii

Condiia ca n numere s fie n progresie aritmetic sau geometric, pentru 3n

1. Identificarea valorilor unei funcii folosind reprezentarea grafic a acesteia

2. Caracterizarea egalitii a dou funcii prin utilizarea unor modaliti variate de descriere a funciilor

3. Operarea cu funcii reprezentate n diferite moduri i caracterizarea calitativ a acestor reprezentri

4. Caracterizarea unor proprieti ale funciilor numerice prin utilizarea graficelor acestora i a ecuaiilor asociate

5. Deducerea unor proprieti ale funciilor numerice prin lectur grafic

6. Analizarea unor situaii practice i descrierea lor cu ajutorul funciilor

Funcii; lecturi grafice

Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de mulimi numerice; condiii algebrice pentru puncte aflate n cadrane; drepte n plan de forma x m sau y m ,

cu m

Funcia: definiie, exemple, exemple de corespondene care nu sunt funcii, modaliti de a descrie o funcie, lecturi grafice. Egalitatea a dou funcii, imaginea unei mulimi printr-o funcie, graficul unei funcii, restricii ale unei funcii

Funcii numerice : ,F f D D ; reprezentarea geometric a graficului: intersecia



Pagina 4 din 30

cu axele de coordonate, rezolvri grafice ale unor ecuaii i inecuaii de forma

, , , ,f x g x ; proprieti ale funciilor numerice introduse prin lectur grafic: mrginire, monotonie; alte proprieti: paritate/imparitate, simetria graficului fa de drepte de forma x m , m , periodicitate

Compunerea funciilor; exemple pe funcii numerice

1. Recunoaterea funciei de gradul I descris n moduri diferite

2. Utilizarea unor metode algebrice i grafice pentru rezolvarea ecuaiilor, inecuaiilor i sistemelor

3. Descrierea unor proprieti desprinse din reprezentarea grafic a funciei de gradul I sau din rezolvarea ecuaiilor, inecuaiilor i sistemelor de ecuaii

4. Exprimarea legturii ntre funcia de gradul I i reprezentarea ei geometric

5. Interpretarea graficului funciei de gradul I utiliznd proprietile algebrice ale funciei

6. Modelarea unor situaii concrete prin utilizarea ecuaiilor i/sau a inecuaiilor, rezolvarea problemei obinute i interpretarea rezultatului

Funcia de gradul I

Definiie; reprezentarea grafic a funciei

:f , f x ax b , unde ,a b , intersecia graficului cu axele de coordonate,

ecuaia 0f x Interpretarea grafic a proprietilor algebrice ale

funciei: monotonia i semnul funciei; studiul

monotoniei prin semnul diferenei 1 2f x f x (sau prin studierea semnului raportului

1 21 2

f x f x

x x

, 1 2,x x , 1 2x x )

Inecuaii de forma 0 ( , , )ax b studiate pe

sau pe intervale de numere reale

Poziia relativ a dou drepte, sisteme de ecuaii de

tipul ax by c

mx ny p

, , , , , ,a b c m n p numere reale

Sisteme de inecuaii de gradul I

1. Diferenierea, prin exemple, a variaiei liniare de cea ptratic

2. Completarea unor tabele de valori pentru trasarea graficului funciei de gradul al II-lea

3. Aplicarea unor algoritmi pentru trasarea graficului funciei de gradul al II-lea (prin puncte semnificative)

4. Exprimarea proprietilor unei funcii prin condiii algebrice sau geometrice

5. Utilizarea relaiilor lui Vite pentru caracterizarea soluiilor ecuaiei de gradul al II-lea i pentru rezolvarea unor sisteme de ecuaii

6. Utilizarea funciilor n rezolvarea unor probleme i n modelarea unor procese

Funcia de gradul al II-lea

Reprezentarea grafic a funciei :f ,

2f x ax bx c , cu , ,a b c i 0a intersecia graficului cu axele de coordonate,

ecuaia 0f x , simetria fa de drepte de forma x m , cu m

Relaiile lui Vite, rezolvarea sistemelor de forma

x y s

xy p

, cu ,s p

1. Recunoaterea corespondenei dintre seturi de date i reprezentri grafice

2. Determinarea unor funcii care verific anumite condiii precizate

3. Utilizarea unor algoritmi pentru rezolvarea ecuaiilor, inecuaiilor i a sistemelor de ecuaii i pentru reprezentarea grafic a soluiilor acestora

4. Exprimarea prin reprezentri grafice a unor condiii algebrice; exprimarea prin condiii algebrice a unor reprezentri grafice

5. Utilizarea unor metode algebrice sau grafice pentru determinarea sau aproximarea soluiilor ecuaiei asociate funciei de gradul al II-lea

Interpretarea geometric a proprietilor algebrice ale funciei de gradul al II-lea

Monotonie; studiul monotoniei prin semnul

diferenei 1 2f x f x sau prin rata creterii

/descreterii: 1 2

1 2

f x f x

x x

, 1 2,x x , 1 2x x ,

punct de extrem, vrful parabolei

Poziionarea parabolei fa de axa Ox , semnul

funciei, inecuaii de forma 2 0ax bx c

( , , ) , , , , 0a b c a , studiate pe sau pe

intervale de numere reale, interpretare geometric:



Pagina 5 din 30

6. Interpretarea informaiilor coninute n reprezentri grafice prin utilizarea de estimri, aproximri i strategii de optimizare

imagini ale unor intervale (proieciile unor poriuni de parabol pe axa Oy )

Poziia relativ a unei drepte fa de o parabol:

rezolvarea sistemelor de forma 2

mx n y

ax bx c y

,

, , , ,a b c m n

1. Identificarea unor elemente de geometrie vectorial n diferite contexte

2. Transpunerea unor operaii cu vectori n contexte geometrice date

3. Utilizarea operaiilor cu vectori pentru a descrie o problem practic

4. Utilizarea limbajului calculului vectorial pentru a descrie configuraii geometrice

5. Identificarea condiiilor necesare pentru ca o configuraie geometric s verifice cerine date

6. Aplicarea calculului vectorial n rezolvarea unor probleme de fizic

Vectori n plan

Segment orientat, vectori, vectori coliniari

Operaii cu vectori: adunarea (regula triunghiului, regula paralelogramului), proprieti ale operaiei de adunare; nmulirea cu un scalar, proprieti ale nmulirii cu un scalar; condiia de coliniaritate, descompunerea dup doi vectori necoliniari

1. Descrierea sintetic sau vectorial a proprietilor unor configuraii geometrice n plan

2. Caracterizarea sintetic sau/i vectorial a unei configuraii geometrice date

3. Alegerea metodei adecvate de rezolvare a problemelor de coliniaritate, concuren sau paralelism

4. Trecerea de la caracterizarea sintetic la cea vectorial (i invers) ntr-o configuraie geometric dat

5. Interpretarea coliniaritii, concurenei sau paralelismului n relaie cu proprietile sintetice sau vectoriale ale unor configuraii geometrice

6. Analizarea comparativ a rezolvrilor vectorial i sintetic ale aceleiai probleme

Coliniaritate, concuren, paralelism - calcul vectorial n geometria plan

Vectorul de poziie a unui punct

Vectorul de poziie a punctului care mparte un segment ntr-un raport dat, teorema lui Thales

(condiii de paralelism)

Vectorul de poziie a centrului de greutate al unui triunghi (concurena medianelor unui triunghi)

Teorema lui Menelau, teorema lui Ceva

1. Identificarea legturilor ntre coordonate unghiulare, coordonate metrice i coordonate carteziene pe cercul trigonometric

2. Calcularea unor msuri de unghiuri i arce utiliznd relaii trigonometrice

3. Determinarea msurii unor unghiuri i a lungimii unor segmente utiliznd relaii metrice

4. Caracterizarea unor configuraii geometrice plane utiliznd calculul trigonometric

5. Determinarea unor proprieti ale funciilor trigonometrice prin lecturi grafice

6. Optimizarea calculului trigonometric prin alegerea adecvat a formulelor

Elemente de trigonometrie

Cercul trigonometric, definirea funciilor

trigonometrice: sin : 0,2 1,1 ,

cos : 0,2 1,1 , tg : 0, \2

,

ctg : 0, Definirea funciilor trigonometrice:

sin : 1,1 , cos : 1,1 , tg : \ D ,

cu 2

D k k

, ctg : \ D , cu

D k k Reducerea la primul cadran; formule

trigonometrice: sin a b , sin a b ,

cos a b , cos a b , sin 2a , cos2a , sin sina b , sin sina b , cos cosa b ,

cos cosa b (transformarea sumei n produs)



Pagina 6 din 30

1. Identificarea unor metode posibile n rezolvarea problemelor de geometrie

2. Aplicarea unor metode diverse pentru determinarea unor distane, a unor msuri de unghiuri i a unor arii

3. Prelucrarea informaiilor oferite de o configuraie geometric pentru deducerea unor proprieti ale acesteia

4. Analizarea unor configuraii geometrice pentru alegerea algoritmilor de rezolvare

5. Aplicarea unor metode variate pentru optimizarea calculelor de distane, de msuri de unghiuri i de arii

6. Modelarea unor configuraii geometrice utiliznd metode vectoriale sau sintetice

Aplicaii ale trigonometriei i ale produsului scalar a doi vectori n geometria plan

Produsul scalar a doi vectori: definiie, proprieti. Aplicaii: teorema cosinusului, condiii de perpendicularitate, rezolvarea triunghiului

dreptunghic

Aplicaii vectoriale i trigonometrice n geometrie: teorema sinusurilor, rezolvarea triunghiurilor

oarecare

Calcularea razei cercului nscris i a razei cercului circumscris n triunghi, calcularea lungimilor unor

segmente importante din triunghi, calcularea unor

arii

CLASA a X-a - 4 ore/spt. (TC+CD)


1. Identificarea caracteristicilor tipurilor de numere utilizate n algebr i a formei de scriere a unui numr real n contexte specifice

2. Determinarea echivalenei ntre forme diferite de scriere a unui numr, compararea i ordonarea numerelor reale

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului cu numere reale sau complexe pentru optimizarea

unor calcule i rezolvarea de ecuaii 4. Alegerea formei de reprezentare a unui numr

real sau complex n funcie de contexte n vederea optimizrii calculelor

5. Alegerea strategiilor de rezolvare n vederea optimizrii calculelor

6. Determinarea unor analogii ntre proprietile operaiilor cu numere reale sau complexe scrise n forme variate i utilizarea acestora n rezolvarea unor ecuaii

Mulimi de numere

Numere reale: proprieti ale puterilor cu exponent raional, iraional i real ale unui numr pozitiv nenul, aproximri raionale pentru numere reale

Radical de ordin n ( n i 2n ) dintr-un

numr, proprieti ale radicalilor

Noiunea de logaritm, proprieti ale logaritmilor, calcule cu logaritmi, operaia de logaritmare

Mulimea . Numere complexe sub form algebric, conjugatul unui numr complex, operaii cu numere complexe. Interpretarea geometric a operaiilor de adunare i de scdere a numerelor complexe i a nmulirii acestora cu un numr real

Rezolvarea n a ecuaiei de gradul al doilea avnd coeficieni reali. Ecuaii biptrate

1. Trasarea prin puncte a graficelor unor funcii 2. Prelucrarea informaiilor ilustrate prin graficul

unei funcii n scopul deducerii unor proprieti algebrice ale acesteia (monotonie, semn,

bijectivitate, inversabilitate, convexitate)

3. Utilizarea de proprieti ale funciilor n trasarea graficelor i n rezolvarea de ecuaii

4. Exprimarea n limbaj matematic a unor situaii concrete i reprezentarea prin grafice a unor funcii care descriu situaii practice

5. Interpretarea, pe baza lecturii grafice, a proprietilor algebrice ale funciilor

6. Utilizarea echivalenei dintre bijectivitate i inversabilitate n trasarea unor grafice i n rezolvarea unor ecuaii algebrice i trigonometrice

Funcii i ecuaii

Funcia putere cu exponent natural: :f D ,

,nf x x n , 2n i

funcia radical: :f D , ,nf x x n

i 2n , unde 0,D pentru n par i D pentru n impar

Funcia exponenial: : 0,f ,

xf x a , 0, , 1a a i

funcia logaritmic: : 0,f ,

logaf x x , 0, , 1a a Injectivitate, surjectivitate, bijectivitate; funcii

inversabile: definiie, proprieti grafice, condiia necesar i suficient ca o funcie s fie inversabil

Funcii trigonometrice directe i inverse

Rezolvri de ecuaii folosind proprietile



Pagina 7 din 30

funciilor: 1. Ecuaii care conin radicali de ordinul 2 sau

de ordinul 3

2. Ecuaii exponeniale, ecuaii logaritmice 3. Ecuaii trigonometrice:

sin x a , cos x a , 1,1a , tgx a , ctgx a , a ,

sin sinf x g x , cos cosf x g x ,

tg tgf x g x , ctg ctgf x g x Not: Pentru toate tipurile de funcii se vor studia:

intersecia cu axele de coordonate, ecuaia 0f x ,

reprezentarea grafic prin puncte, simetrie, lectura grafic a proprietilor algebrice ale funciilor: monotonie, bijectivitate, inversabilitate, semn,

convexitate.

1. Diferenierea problemelor n funcie de numrul de soluii admise

2. Identificarea tipului de formul de numrare adecvat unei situaii-problem date

3. Utilizarea unor formule combinatoriale n raionamente de tip inductiv

4. Exprimarea, n moduri variate, a caracteristicilor unor probleme n scopul

simplificrii modului de numrare 5. Interpretarea unor situaii-problem avnd

coninut practic cu ajutorul funciilor i a elementelor de combinatoric

6. Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situaii practice n scopul optimizrii rezultatelor

Metode de numrare

Mulimi finite ordonate. Numrul funciilor

:f A B , unde A i B sunt mulimi finite

Permutri - numrul de mulimi ordonate care se obin

prin ordonarea unei mulimi finite cu n

elemente

- numrul funciilor bijective :f A B , unde

A i B sunt mulimi finite

Aranjamente - numrul submulimilor ordonate cu cte k

elemente fiecare, k n , care se pot forma cu

cele n elemente ale unei mulimi finite

- numrul funciilor injective :f A B , unde

A i B sunt mulimi finite

Combinri - numrul submulimilor cu cte k elemente, unde 0 k n , ale unei mulimi finite

cu n elemente. Proprieti: formula combinrilor complementare, numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu n elemente

Binomul lui Newton

1. Recunoaterea unor date de tip probabilistic sau statistic n situaii concrete

2. Interpretarea primar a datelor statistice sau probabilistice cu ajutorul calculului financiar, al

graficelor i al diagramelor 3. Utilizarea unor algoritmi specifici calculului

financiar, statisticii sau probabilitilor pentru analiza de caz

4. Transpunerea n limbaj matematic prin mijloace statistice sau probabilistice a unor

probleme practice

5. Analizarea i interpretarea unor situaii practice cu ajutorul conceptelor statistice sau

probabilistice

6. Corelarea datelor statistice sau probabilistice n scopul prediciei comportrii unui sistem prin analogie cu modul de comportare n situaii studiate

Matematici financiare

Elemente de calcul financiar: procente, dobnzi, TVA

Culegerea, clasificarea i prelucrarea datelor statistice: date statistice, reprezentarea grafic a datelor statistice

Interpretarea datelor statistice prin parametri de poziie: medii, dispersia, abateri de la medie

Evenimente aleatoare egal probabile, operaii cu evenimente, probabilitatea unui eveniment

compus din evenimente egal probabile

Not: Aplicaiile vor fi din domeniul financiar: profit, pre de cost al unui produs, amortizri de investiii, tipuri de credite, metode de finanare, buget personal, buget familial.



Pagina 8 din 30

1. Descrierea unor configuraii geometrice analitic sau utiliznd vectori

2. Descrierea analitic, sintetic sau vectorial a relaiilor de paralelism i de perpendicularitate

3. Utilizarea informaiilor oferite de o configuraie geometric pentru deducerea unor proprieti ale acesteia i calcularea unor distane i a unor arii

4. Exprimarea analitic, sintetic sau vectorial a caracteristicilor matematice ale unei

configuraii geometrice 5. Interpretarea perpendicularitii n relaie cu

paralelismul i minimul distanei 6. Modelarea unor configuraii geometrice

analitic, sintetic sau vectorial

Geometrie

Reper cartezian n plan, coordonatele unui vector n plan, coordonatele sumei vectoriale,

coordonatele produsului dintre un vector i un numr real, coordonate carteziene ale unui punct din plan, distana dintre dou puncte n plan

Ecuaii ale dreptei n plan determinate de un punct i de o direcie dat i ale dreptei determinate de dou puncte distincte

Condiii de paralelism, condiii de perpendicularitate a dou drepte din plan; calcularea unor distane i a unor arii

CLASA a XI-a - 4 ore/spt.


1. Identificarea unor situaii practice concrete, care necesit asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceal a unui proces specific domeniului economic sau tehnic

2. Asocierea unui tabel de date cu reprezentarea matriceal a unui proces

3. Aplicarea algoritmilor de calcul n situaii practice

4. Rezolvarea unor ecuaii i sisteme utiliznd algoritmi specifici

5. Stabilirea unor condiii de existen i/sau compatibilitate a unor sisteme i identificarea unor metode adecvate de rezolvare a acestora

6. Optimizarea rezolvrii unor probleme sau situaii-problem prin alegerea unor strategii i metode adecvate (de tip algebric, vectorial,

analitic, sintetic)

ELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL I SISTEME DE ECUAII LINIARE Permutri

Noiunea de permutare, operaii, proprieti

Inversiuni, semnul unei permutri Matrice

Tabel de tip matriceal. Matrice, mulimi de matrice

Operaii cu matrice: adunarea, nmulirea, nmulirea unei matrice cu un scalar, proprieti

Determinani

Determinant de ordin n, proprieti Sisteme de ecuaii liniare

Matrice inversabile din , 4n n Ecuaii matriceale

Sisteme liniare cu cel mult 4 necunoscute, sisteme de tip Cramer, rangul unei matrice

Studiul compatibilitii i rezolvarea sistemelor: proprietatea Kroneker-Capelli, proprietatea

Rouch, metoda Gauss

Aplicaii: ecuaia unei drepte determinate de dou puncte distincte, aria unui triunghi i coliniaritatea a trei puncte n plan

1. Caracterizarea unor iruri i a unor funcii utiliznd reprezentarea geometric a unor cazuri particulare

2. Interpretarea unor proprieti ale irurilor i ale altor funcii cu ajutorul reprezentrilor grafice

3. Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferenial n rezolvarea unor probleme i modelarea unor procese

4. Exprimarea cu ajutorul noiunilor de limit, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor

proprieti cantitative i/sau calitative ale unei funcii

5. Studierea unor funcii din punct de vedere cantitativ i/sau calitativ utiliznd diverse procedee: majorri sau minorri pe un interval

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC Limite de funcii

Noiuni elementare despre mulimi de puncte pe dreapta real: intervale, mrginire, vecinti, dreapta ncheiat, simbolurile i

Funcii reale de variabil real: funcia polinomial, funcia raional, funcia putere, funcia radical, funcia logaritm, funcia exponenial, funcii trigonometrice directe i inverse

Limita unui ir utiliznd vecinti, iruri convergente

Monotonie, mrginire, limite; proprietatea lui



Pagina 9 din 30

dat, proprieti algebrice i de ordine ale mulimii numerelor reale n studiul calitativ local, utilizare a reprezentrii grafice a unei funcii pentru verificarea unor rezultate i/sau pentru identificarea unor proprieti

6. Explorarea unor proprieti cu caracter local i/sau global ale unor funcii utiliznd reprezentarea grafic, continuitatea sau derivabilitatea

Note:

- n introducerea noiunilor de limit a unui ir ntr-un punct i de ir convergent nu se vor introduce

definiiile cu i nici teorema de convergen cu .

- Se utilizeaz exprimarea proprietatea lui ..., regula lui , pentru a sublinia faptul c se face referire la un rezultat matematic utilizat n aplicaii, dar a crui demonstraie este n afara programei.

Weierstrass. Exemple semnificative: nn

a ,

an

n , 1

1

n

nn

(fr demonstraie), numrul

e; limita irului 1

1 nunn

u

, 0nu , 0nu ,

pentru orice numr natural n

Operaii cu iruri care au limit

Limite de funcii: interpretarea grafic a limitei unei funcii ntr-un punct utiliznd vecinti, limite laterale

Calculul limitelor pentru funciile studiate; cazuri exceptate la calculul limitelor de funcii:

0 00 , , , 0 , 1 , , 00

Asimptotele graficului funciilor studiate: asimptote verticale, oblice

Continuitate

Continuitatea unei funcii ntr-un punct al domeniului de definiie, funcii continue, interpretarea grafic a continuitii unei funcii, studiul continuitii n puncte de pe dreapta real pentru funciile studiate, operaii cu funcii continue

Proprietatea lui Darboux, semnul unei funcii continue pe un interval de numere reale, studiul

existenei soluiilor unor ecuaii n Derivabilitate

Tangenta la o curb, derivata unei funcii ntr-un punct, funcii derivabile, operaii cu funcii derivabile, calculul derivatelor de ordin I i al II-lea pentru funciile studiate

Funcii derivabile pe un interval: puncte de extrem ale unei funcii, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange i interpretarea lor geometric, corolarul teoremei lui Lagrange referitor la derivata unei funcii ntr-un punct

Rolul derivatei I n studiul funciilor: monotonia funciilor, puncte de extrem

Rolul derivatei a II-a n studiul funciilor: concavitate, convexitate, puncte de inflexiune

Regulile lui lHospital Reprezentarea grafic a funciilor

Reprezentarea grafic a funciilor

Rezolvarea grafic a ecuaiilor, utilizarea reprezentrii grafice a funciilor n determinarea numrului de soluii ale unei ecuaii

Reprezentarea grafic a conicelor (cerc, elips, hiperbol, parabol)



Pagina 10 din 30

CLASA a XII-a - 4 ore/spt.


1. Identificarea proprietilor operaiilor cu care este nzestrat o mulime

2. Evidenierea asemnrilor i a deosebirilor dintre proprietile unor operaii definite pe mulimi diferite i dintre calculul polinomial i cel cu numere

3.1. Determinarea i verificarea proprietilor structurilor algebrice, inclusiv verificarea

faptului c o funcie dat este morfism sau izomorfism

3.2. Folosirea descompunerii n factori a

polinomelor, n probleme de divizibilitate i n rezolvri de ecuaii

4. Utilizarea unor proprieti ale operaiilor n calcule specifice unei structuri algebrice

5.1. Utilizarea unor proprieti ale structurilor algebrice n rezolvarea unor probleme de

aritmetic 5.2. Determinarea unor polinoame, funcii

polinomiale sau ecuaii algebrice care verific condiii date

6.1. Transferarea, ntre structuri izomorfe, a datelor

iniiale i a rezultatelor, pe baza proprietilor operaiilor

6.2. Modelarea unor situaii practice, utiliznd noiunea de polinom sau de ecuaie algebric

ELEMENTE DE ALGEBR Grupuri

Lege de compoziie intern (operaie algebric), tabla operaiei, parte stabil

Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutri, grupul aditiv al claselor de resturi modulo n

Subgrup

Grup finit, tabla operaiei, ordinul unui element

Morfism, izomorfism de grupuri Inele i corpuri

Inel, exemple: inele numerice ( , , , ),

n , inele de matrice, inele de funcii reale

Corp, exemple: corpuri numerice ( , , ),

p , p prim

Morfisme de inele i de corpuri Inele de polinoame cu coeficieni ntr-un corp

comutativ ( , , , p , p prim)

Forma algebric a unui polinom, funcia polinomial, operaii (adunarea, nmulirea, nmulirea cu un scalar)

Teorema mpririi cu rest; mprirea polinoamelor, mprirea cu X a , schema lui

Horner

Divizibilitatea polinoamelor, teorema lui Bzout; c.m.m.d.c. i c.m.m.m.c. al unor polinoame, descompunerea unor polinoame n

factori ireductibili

Rdcini ale polinoamelor, relaiile lui Vite

Rezolvarea ecuaiilor algebrice avnd coeficieni n , , , , ecuaii binome, ecuaii biptrate,

ecuaii reciproce

1. Identificarea legturilor dintre o funcie continu i derivata sau primitiva acesteia

2. Identificarea unor metode de calcul ale integralelor, prin realizarea de legturi cu reguli de derivare

3. Utilizarea algoritmilor pentru calcularea unor integrale definite

4. Explicarea opiunilor de calcul al integralelor definite, n scopul optimizrii soluiilor

5. Folosirea proprietilor unei funcii continue, pentru calcularea integralei acesteia pe un

interval

6.1.Utilizarea proprietilor de monotonie a integralei n estimarea valorii unei integrale

definite i n probleme cu coninut practic 6.2. Modelarea comportrii unei funcii prin

utilizarea primitivelor sale

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC

Probleme care conduc la noiunea de integral Primitive (antiderivate)

Primitivele unei funcii definite pe un interval. Integrala nedefinit a unei funcii, proprieti ale integralei nedefinite, liniaritate. Primitive uzuale

Integrala definit

Diviziuni ale unui interval ,a b , norma unei diviziuni, sistem de puncte intermediare, sume

Riemann, interpretare geometric. Definiia

integrabilitii unei funcii pe un interval ,a b Proprieti ale integralei definite: liniaritate,

monotonie, aditivitate n raport cu intervalul de

integrare.

Formula Leibniz Newton

Integrabilitatea funciilor continue, teorema de medie, interpretare geometric, teorema de existen a primitivelor unei funcii continue



Pagina 11 din 30

Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin pri, integrarea prin schimbare de variabil. Calculul integralelor de forma

( )

( )

b

a

P xdx

Q x, grad 4Q prin metoda

descompunerii n fracii simple Aplicaii ale integralei definite

Aria unei suprafee plane

Volumul unui corp de rotaie

Calculul unor limite de iruri folosind integrala definit

Not: Se utilizeaz exprimarea proprietate sau regul, pentru a sublinia faptul c se face referire la un rezultat matematic utilizat n aplicaii, dar a crui demonstraie este n afara programei.

Programa de Examen - Matematica - Bac 2015

Documents

Transcript of Programa de Examen - Matematica - Bac 2015