Mihai Monea

Stelula Monealoan $erdean

Adrian Zanoschi

Bacalaureat 2017

Matematice

M st-nat-,

M- tehnologic

Teme recapitulative78 de teste, dupl modelul M.E.N.C.S.

(10 teste fdrd solulii)

Cuprins

Cuvilnbfuainte .,........".... ..................,.4

Enunluri SoluliiTEME RECAPITULATIVEClasa a IX-a

l. Multimigi elemente de logic[ matematic[ ....,.,5..,......2682, $iruri, Progresii..., ..,. 10...,.,,,,2693, Funcfii .., 15...,,....2704, Funclia de gradul I.,..,...,........ .,,...21..,.,..,,2715. Functia gi ecuafia de gradul al ll-lea 25.,,.,.,..2716. Veetori in plan 30.,,,.,.,.2727. Elemente de trigonometrie gi aplicalii ln geometrie 35..,...,.,273

Chsa a X-al. Numere rea1e.,.,,.,.... ..41.,.,,.,.,2752. Funclii qi ecualii..... ,..44..,.,,,.,2763. Probleme de numdrare gi combinatoric[...........,. 52,,,.,..,.2774. Matematici aplicate. Probabili6fi .....,..,...,..... .55....,.,,,2775. Geometrie analitic . 60 ..,,...,.27 8

6. Numere complexe* ,.,65.........279

Clasa a XI-al. Matrice ,..69.........2802. Determinanti.....,...... ,76.........2813. Aplicalii ale determinanfilor in geometrie ......81.........2814. Inversa unei matrice. Ecualii matriceale,. .......84,,.......2825. Sisteme de ecuafii liniare 89....,....2836. Probleme de sintez6 * algebr6.,.. ..95.,,......2847. Limite de functii. Asimptote.. ......99.........2878. Funcfii continue .,.,.. 104....,....2879. Derivata unei func{ii 109.........28810. Rolul derivatelor de ordinul I 9i de ordinul al ll-lea in studiulfuncfiilor..,. I 16.,..,....28911. Probleme de sintez6 - analizd matematic[. .120.........290

Clasa a XII-al. Legi de compo2i1ie................ .,... 124.........2922. Structuri algebrice. Morfisme .... 129.........2923, PoIinoame....,....,....... 134.........2934. Probleme de sintezl - algebr[..,. 141.........2935. Primitive......r,.ri,r.r,.. 144.........2956. Integrala definit[..,.,. 150....,....2967. Aplicafii ale integralei definite..... 155....,....2978. Probleme de sintezE -analizdmatematicI. ... 159.,.......298

TESTE PENTRU BACALAUREAT 2017, DUPA MODELUL M.E.N.C.S.

1. Suslpcrp PROPUSE LA EXAMENUL DE BICIIAUNNITln ppRrolpl2009-2016 165.........3012. MoDELE DE TESTE REZOLVATE PENTRU EXAMENUL DE

Blclr,luREAT 2017.... .,233.,.,.,.,.3373. MODELE DE TESTE PROPUSE PENTRU EXAMENUL DE

BAcALAUREAT 2017.... ...........,..,...... 255

Bibliogra/ie ....,..,..........349

Teme recapitulative

Clasa a lX-a1. Mullimi 9i elemente de logici matematici

1.1. Noliuniteoretice

1,1.1. Elemente de logici matematiciDefinifie: Se numegte propozigie un enunt despre care gtim care este valoarea sa deadevdr.

Deflnlfle: Se numeqte predlcat un enunf eare depinde de una sau mai multe variabilesl care se transform6 ln propozilie prin valori date variabilelor.

Variabile 0peratie Notatle Citire Valoare de adevilrp Negalia -tp non p OBusE propozitiei p.

P,Q Conjurncfia p^q p$q Este adevdratE ednd propoziliile psi a sunt adev6rate,

P'4 Disjunelia pvq psaaq Este adev6rat6 ednd eel pufin unadintre proBozitii este adev6ratd.

P, el Impliealia p+q p impliadq Estc falsd ednd p estc adev6rat6 qi

a falsd.

P,4 Eehivalenfa peq p eehivalent

etaEste adev6rat6 e 6nd ambele auaeeeaqi valoarc dc adev6r,

Variablle Oneratie Notatle Cltire Obscrvatii

p(x) Propoziliauniversal6

Yx, p(x) Pentru orice xare locp(x).

Demonstrarea valorii de adev6rse face prin calcule cu caractergeneral qi nu prin exemplu. Unexemplu poate fi suficientpentru a demonstra cd aceast[propozitie este fals6.

5

EnunlurioClasaalX-a

p(x) Propozifiaexistential6

3.x, p(x)Existl x astfelincdt are locp(x).

Demonstrarea valorii de adevlrse realizeaz6 prin determinareaunui exemplu. Acesta poate fichiar ghicit, dar trebuie verificatcI este convenabil.

1.1.2. Tipuri speciale de ralionamentMetoda reducerii la absurd: Pentru a demonstra o implicalie de tipul p 1Q, putem

presupune concluzia p ca frind falsd gi apoi impreuni cu ipoteza construim unralionament care conduce la contradicfie.Metoda induc(iei matematice: Se aplici pentru propozilii universale de formaYn2 n, p(n). Se verifici valoarea de adevlr a propoziliei ob{inute in cazul n = no ) se

presupune ca fiind adevirat[ propozilia obfinuti in cazul n = k $i se demonstreazlvaloarea de adevlr a propozigiei obfinute pentru n = k +1.

1.1.3. Mullimi 9i cardinale

Relatie sau operatie Notatie DefinitieIncluziunea Ac. B AcB <+(Vx eA+xeB)Esalitatea A=B A=BeAcB si BcAIntersecfia AaB AnB ={xlx eAnxe B)

Reuniunea AvB AvB={xlxeAvxeB\Diferenla A\B A\B={xlxe AnxeB\Produsul cartezian AxB AxB={(o,t)laeAnbeB\

Teoreml: Orice mullime A cu n elemente, unde r e N, admite 2" submul{imi.Definifie: Pentru o mullime finitb A numim cardinalul s[u gi not6m Card (A)

numlrul s6u de elemente.Proprietl{i: Sunt adevlrate urmltoarele proprietIti:Pl. Card (A) = 0 daci gi numai dacl A - A;P2. Dacb A c B, atunci Card (B - A) = Card (B) - Card (A);P3. Card (Av B) = Card (l) + Card (B) - Card (A n B);P4. Card (Ax B) = Card (A)'Card (B).

1.1.4. Mulfimea numerelor reale]RDefini{ie: Numim modulul unui numSr real x qi notrm lxl distanta de la origineaaxelor lapozilia num6rului pe ax6.Proprietilfile modulului:rt. lxl>0, V xelR; rz. lxl=0<+x=0; rs. lxl=lylo ,=!y:6

l, Mullimi gi elemente de logicE matematicE

n+. lxl <c, c)0<+x e(-c; c); fS. lxl )c, c)0ere(-o; -c)u(c; co);

nzrr [x,daclx)0 , r^,rr Ig@), dac6E(x)>016' lxl =

{-x,dac[, < 0 9i lE(x)l = t-rtrl, au.a r,irj < o, pentru orice expresie

E(x), x e IR;

vt.lx.yl=lrl.lyl, V x,yelR; ra. lx'l=lrl', v xelR, YneZ;

- l;l=]fl,

o xerR,.y€R.; pro. ll{-lyll.l,tyl<l,l+l,vl,vx,yerR.Definifie: Numim parte intreagi a numirului real .x gi not[m [.r] cel mai mare numdrintreg, mai mic sau egal cu x.Proprietlfile pirfii intregi: Pentru orice r e lR, au loc proprietIlile:Pl. [x]= r <+ x eZ; P2. [x] = k eZ <+ .x € fk, k +l);P3.fm*xl= m+fxf,Y meZ; P4. x-l<[x]<x<[x]+1.Definifie: Numim parte fracfionartr a numirului real x gi notdm {.r} diferenla dintre

numlr qi partea sa intreagE.Propriettrfile plrfii fracfionare: Pentru orice x e IR, au loc proprietltile:

rt. {x}=0e xeZ; 12. {x}e[o,t); P3. {m+x\ ={x},v meZ.

1.2. Probleme de iniliere11. Determinafi numirul de submulfimi ale mul]imii A = lo, b, c, d).12. Determinali num[rul de subrnullimi nevide ale mul{imii A = ta, b, c, d, e\,13. Reuniunea a doul mullimi cu cdte 20 de elernente fiecare are 30 de elemente.

Determinali numirul de elemente comune ale celor dou6 mullimi.

14. Stabilili valoarea de adev[r a propoziliei: p'(16 + t)' + (.16 - r)' . x,

15. Fie propoziliile p : 2 * 2:5 9i q : 1 + 2 + 3 + .,. + 100 : 5050. Preciza(i valoa-rea de adevlr a propoziliei pv q.

15. Determinati numerele reale a, b dacdavem egalitatea de intervale:

la- b; a+ b) = [; 7].17, Fie A = {1,2,3,4, 5 }. Determina}i numlrul de elemente ale mullimii:

B = {x e R. I x : (n - l) . (n -2)(n - 3) + 4, n e A\,

18. Determinati intersecfiamullimilor A=(1,5) li B=[f, tt].B. Arita{i cE numirul a =2 .[0,(3) + 0,1(6)] este natural.

!I0. Rezolvali in R ecualia lx - 21= 5.

7

EnunturirClasaalX-a

1.3. Problemo de consolidareCl. Fie mullimea A = {a, b, c, d}. Determinati numErul de submulfimi ale lui I

care il conlin pe d. (Variante Bac,2la1)

C2, O mullime admite 3l de submullimi nevide. Determinati numlrul de elemente

ale acestei mullimi. (Variante 8ac,2008)

C3. Doui multimi cu cdte 2008 elemente fiecare au 1000 de elemente comune.

Determinafi num6rul de elemente ale reuniunii lor. (Variante 1ac,2008)

C4. Fie mulfimea A : {1,2,3, 4}. Determinali numirul de submullimi care conlinsimultan pe I qi pe 3. (Variante 8ac,2008)

C5. Consider6m propoziliile p i 2s > 52 qi q, J1, 2.Precizalivaloarea de adevira propoziliei p n q. (Variante Bac, 2008)

C6. Determinali elementele mullimii { -.zl}-.zl .' t lzx+t )

C7. Determinafi toate valorile reale ale num[rului x dac6 2

de elevi ai clasei.

C9. Determinafi cel mai

B= [5, l0],C10. Detenninati

B = (0, 5),

Cl3. Fie num6rul ralional

C14. Fie numErul rafional

(Variante Bac, 2008)

De e6te ori apare eifra 3 printre

(Variante Bac, 2004)

ct1o2...ctn... . Calculafi:

e (4x-2;2x+6).(Variante 1ac,2008)

C8. Elevii unei clase sunt angrena{i fiecare intr-o activitate sportiv[, 12la volei, iar25 la fotbal. $tiind c[ 7 dintre ei practicl ambele sporturi, determinafi numErul

(Variante 1ac,2008)

mare numtrr natural al mullimii A\8, dacd I = [5, 6] qi

lVariante Bac, 2008)

e6te elemente lntregi confine mulfimea Av B, unde I = (-2, 3) gi

(Variante Bac, 2008)

Cl 1. Ordonafi orese6tor numerele a = 2,0lA,b = 2,0(10) gi e = 2,(010),

Cl2. Determinali eardinalul mulfimii n = {*

.zl4.z}. Uariante,Ba:, 2008)

1l _,9

11 =6

2, 6gt2,,,ctn,,,,

cifrele ot; dz, ,,,, ozsoq?

Cl5. Se considerl numdrul rafiional 2 = O,' l5S=ar t dz*,..*azoos. (Variante Bac,2A09)

Cl6. petermina{i cardinalul rnullimii (l \ 8) n Z, unde A = (-3, 41, iarB = (1, 51.

(Variante 9ac,2009)

I