Probleme propuse:

1)146. Sa se studieze continuitatea functiilor f:D→R :

a) f(x)=xx−1

D=R\{1}=(-∞ ;1¿∪(1 ,∞)

f(x)=x este continua ca functie elementara.

f(x)=x-1 este continua ca functie elementara⇛ f ( x )= xx−1 este continua in punctul a=1.

b)f(x)= x2

x+1

D=R\{1}=(-∞ ,−1¿∪(-1,∞ ¿ .

f(x)=x2 este continua ca functie elementara.

f(x)=x+1 este continua ca functie elementara⇛f(x)=x2

x+1 este continua in a=-1.

c)f(x)=1

x2+1+ex

D=R

Este continua ca o suma de doua functii elementare.

X0∈D , f ( x 0 )= 1

x 02+1+e x0

limx→x 0

1

x2+1+e

x + 1x 02+1+ex=f ( x 0 )⇛ f continua in x0 ⇛f continua pe D.

d)f(x)=x+√ x

D=(0,∞ ¿ ;

limX→0

x+√ x=0=f (0)⇛ f continua in punctul a=0.

e)f(x)=xln x

x∈ (1 ,∞ )

f(x)=x este continua ca functie elementara.

f(x)=ln x−e este continua ca functie elementara ⇛f continua ca functie elementara in punctul a=1.

f)f(x)=+3√ x

D=(0,∞ ¿limX→ 0

x+ 3√ x=0=f(0)⇛ f continuanin punctul a=0.

2)Sa se studieze continuitatea urmatoarelor functii:

a)f(x)={x2+3x , x←1−4 , x=−1x−3 , x>−1 ;

Daca x∈ (−∞ ,−1 ) , f ( x )=−x2+3x si este continua ca functie elementara.

Daca x∈ (−1,∞ ) , f ( x )=x−3 , este continua ca functie elementara.

limx→−1x←1

−x2+3 x=−4 limx→−1x>−1

f ( x )= limx→−1x>−1

x−3=4

Cum:f(-1-)=f(-1+)=f(-1)⇛ f este continua in punctual a=1.

b)f(x)={ e x X<0

1−x x∈[0,1]1 x>1

D=(-∞ ,0¿∪ [0,1 ]∪(1 ,∞)

Daca x ∈ (−∞ ,0 ) f (x )=ex este continua ca functie elementara.

Daca x∈ (0,1 ) , f (x )=1−x este continua ca functie elementara .

limx→0x<0

ex=1

limx→0x >0

fx ¿=limx→ 0x>0

1−x=1¿,

Functie continua la stanga lui 0.

f(D-)=f(D+)=f(D)⇛ functie continua in punctual a=0.

limx→1x <1

f ( x )=limx→1x<1

1−x=0 limx→1x>1

f ( x )=1⇛∄ limx→1

❑

f(1)=0; f(1-)≠f(1+)≠f(1)⇛ f nu este continua in punctual a=1 deoarece este punct de discontinuitate de speta I

c)f(x)={ ln x , x ≥1x−1 , x<1

Daca x∈ [1 ,∞ ] , f ( x )=lnx este continua ca functie elementara.

Daca x∈ (−∞ ,1 ) , f ( x )=x−1 este continua ca functie elementara.

limx→1x <1

f ( x )=limx→1x<1

x−1=0

limx→1x ≥1

f ( x )=limx→1x ≥1

lnx=0

f(1-)=f(1+)=f(1)⇛ f este continua in punctual a=1

d)f(x)={ ex x ≤0lnx x>0

Daca x∈ (−∞ ,0 ) , f ( x )=ex este continua ca functie elementara.

Daca x∈ (0 ,∞ ) , f ( x )=lnx este continua ca functie elementara.

limx→0x>o

f ( x )=limx→0x >0

lnx=−∞ limx→0x <0

f ( x )=limx→0x <0

ex=1.

3)Sa se cerceteze continuitatea functiei in punctual a=0

f:R→R , f ( x )={√ x2+sin3 xx

, x≠0

1 , x=0

limx→0x <0

√ x2+sin3 xx

=limx→0x<0

x √1+sinxx

=√1=1

limx→0x >0

√ x2+sin3 xx

=limx→0x>0

x √1+sinxx

=√1=1

f(0-)=f(0+)=f(0)=1⇛ f continua in punctual a=1.

4) Sa se determine numarul real a astfel incat functiile f:R→Rde mai jos, sa fie continue:

a)f(x)={ x+1 , x ≤13ax+3 , x>1 ;

limx→1x <1

x+1=2 limx→1x>1

3ax+3=3a+3

⇛3a+3=2⇛3a=-1⇛a=−13

;

f(2-)=f(2+)=f(2)⇛f continua.

6)Sa se studieze continuitatea urmatoarelor functii:

a)f(x)={ex+x−1 , x ≤1

31

x−1 ,x ¿1

limx→1x <1

ex+ x−1=e limx→1x>1

31x−1

=∞⇛f nu este functie continua.

b)f(x)=¿

limx→0

x2+¿ x∨ ¿x2−¿ x∨¿

¿¿=0;

f(0-)=f(0+)=f(0) ⇛ f continua in punctual a=0.

7)Sa se scrie parametrul reala astfel incat functiile urmatoare sa fie continue pe R:

a)f(x)=¿

limx→0

¿¿

¿

ln l=lnlimx→0

¿=limx→0

x+lnx( xex

+1)

x=limx→0

¿1+ 1e x

∗limx→0

ln (1+ xex

)

x=1+1∗1=2

b)f(x)={√x+3√ x−2x−1

, x>1

ax+1 , x ≤1

limx→1x >1

√ x+ 3√x−2x−1

=00=lim

x→1x>1

√x−1x−1

+ limx→1x>1

3√x−1x−1

=¿ limx→1x>1

(√x−1 )(√x+1)( x−1 )(√x+1)

+ limx→1x>1

x−1(x−1 )( 3√x2+√ x+1)

=12+ 13=56

limx→1x <1

ax+1=a+1, f continua daca si numai daca a+1=

56

a=⇛5−16

=−16

8)Sa se determine a,b∈R ,a>−3 , astfel incat functia sa fie continua pe (-a,+∞ ¿ :

f(x)={ ln (x+a)x−3, x∈(−a ,3)

b , x≥3

limx→3x <3

ln ( x+a )x−3

=b ; x−3= y

limy→0y<0

ln( y+3+a )

y=b ; a=−2⇛b=1 ;

f:D→R are x0zerou daca f(x0)=0.

9)Sa se determine constantele a si b astfel incat functia:f:R→R , f ( x )={x2+a , x≤2ax+b , x>2 sa fie

continua pe R si in plus sa existe limx→2

f (x )−f (2)x−2

.

f (x)={x2+a , x≤2ax+b , x>2

limx→−2x<2

x2+a=4a limx→2x>2

ax+b=2a+b

4a=2a+b⇛a=4-b.

2(4-b)-b=0⇛8-2b+b=0⇛b=8⇛2a=-8⇛a=-4

limx→2x <2

x2−4=0 limx→2x >2

8−4 x=0

⇛f nu este continua deoarece f(0-)=f(0+)=f(0).

limx→2

f (x )−f (2)x−2

⇛f(2-)=f(2+).

limx→2x <2

f (x )−f (2)x−2

=¿ limx→2x <2

x2−4−f (2)x−2

=limx→2x <2

( x−2 )( x+2)x−2

=limx→2x <2

−4 x+8x−2

¿=−4 (x−2)x−2

=−4 f (2 ) .

12)Sa se studieze continuitatea functiilor:

a)f(x)=|1-x|.⇛f continua peR fiind o compunere dintre f modul cu o functie continua.

b)f(x)=|x2−4∨ .⇛ f continua peR ca fiind o compunere dintre f modul cu o functie continua.

c)f(x)=max(x,x2¿ ; ⇛f continua deoarece functiile g(x)=x,h(x)=x2 sunt continue pe R .

d)f(x)=min(ex , e−x ¿ .⇛ f continua deoarece functiile g(x)=ex si h(x)=e− x sunt continue pe R

.

e)max(x,ex ¿ ;⇛ f continua deoarece functiile g(x)=x si h(x)=ex sunt continue pe R .

f)f(x)=max(|x|,|x∨¿3¿ .⇛ f continua deoarece f(x)=|x|, g(x)=|x∨¿3¿ sunt continue pe R .

15)Sa se arate ca urmatoarele functii au proprietatea Darboux:

a)f(x)={x3+1 , x∈[−2,0]x+1, x∈ ¿

limx→−2x>−2

x3+1=9 limx→−2x <2

x+1=3⇛ f are proprietatea lui Darboux.

b)f(x)={ ex+x−1 , x∈¿3−x√ x2

ex , x∈ (1 ,∞ ) .

f(x)=ex+x−1

c=0∈ [−∞,1 ]⇛ f (0 )=0

f(x)=3−x √x2

ex ,x∈ (1 ,∞ ) ;

x=2⇛f(2)¿0⇛ f are proprietatea lui Darboux.

16)Sa se arate ca ecuatiile urmatoare au solutii pe intervalele specificate:

a)ln x+x=0 pe(1e¿,1) .¿

f(x)=ln x+x

f( 1e )=ln1e+ 1e=−1+1

e<0

f(1)=ln1+1=1¿0

f( 1e )∗f (1 )<0 , f continua ⇛∃ c∈( 1e ,1)a . i f (c )=0.

b)x4+x3−2 x2+x+2=0 pe (−1,0 ) .

f(x)=x4+x3−2 x2+x+2f(-1)=-1f(0)=2f(1-)*f(1+)¿0 f continua ⇛ ∃ c∈ (−1,0 )a .i f (c )=0.

c)(x2−1¿2x=1 pe (1,2 ) .

f(x)=(x2−1)2x

f(1)=0

f(2)=12¿0

f(1)*f(2)=0 f continua ⇛∃ c∈ (1,2 )a . i f (c )>0.

d)2cos2 x−1=0 pe (0 , π ) .

f(x)=2cos2 x-1f(0)=1

f(𝜋)=1f(0)*f(π

2)¿0 f continua ⇛∃ c∈(0 , π2 )a . i f (c1 )=0.

F( π2 )∗f (π )<0⤇∃ f (c2 )∈( π2 ,1)a . i f ( c2 )=0

18)Sa se arate ca pentru orice ℷ∈ [2,4 ] , ecuatia x3−5 x+ ℷ=0 are in intervalul [0,2] doua solutii reale, una subunitara si alta supraunitara.

Fie f:R→R, f (x )=x3−5x+ ℷ .este functie continua

f(0)=ℷ

f(1)= -4+ℷ

f(2)= -2+ℷ

Daca f(0)*f(1)≤0 ,⇛ f are in fiecare dintre intervalele [0,1];[1,2] cel putin cate o solutie reala.

ℷ ( ℷ−4 )≤0 si (ℷ−4 ) (ℷ−2 )≤0⇛ℷ∈ [2,4 ] .

20)Dati exemplu de o functie care are proprietatea lui Darboux:

f(x)={ x+1 , x∈¿√x , x∈(0 ,∞)

21)Aratati ca ecuatiile urmatoare au cel putin o solutie:

a)x=sin x

x-sin x=0

limx→−∞

f (x )=−∞

limx→∞

f (x )=∞

f (-∞ ¿<0 ; f (∞ )>0 ⇛∃ c∈Ra . i f (c )=0

b)2x=1−x2x-1+x=0

limx→−∞

f (x )=−∞

limx→∞

f (x )=∞

F este continua deoarece este o suma de doua functii continue.

c)1x=lnx

1x−lnx=0

limx→−∞

f (x )=−∞ ¿0

limx→∞

f (x )=∞ ¿0

F este continua deoarece este diferenta de doua functii continue

⇛∃ c∈Ra . i f (c )=0.

22) Sa se arate ca ecuatia are solutie in intervalul (0,1) sis a se incadreze aceasta

solutie intr-un interval de lungime mai mica decat 110.

a)x3+x−3=0

f(x)=x3+x−3

f(0)= -3

f(1)= -1

x3+x−3<0

-3¿ x3+ x−3<−1 f(x)⇛ ∈ (−3 ,−1 )∀ x∈ (0,1 )⇛∄ c∈ (0,1 ) cu f(x)=0.

b)x3+3x−3=0

f(x)=x3+3x−3

f(0)= -3

f(1)=1

f(0)*f(1)¿0∃ c∈ (0,1 ) .

f( 12 )=18+ 32−3<0

f( 710 )= 3431000

+ 2110

−3<0

f( 810 )= 5121000

+ 2410

−3<0

f( 910 )= 7291000

+2710

−3<0 ; c∈ (0,8 ;0,9 ) .

cf(c)=ab.