5/14/2018 problemedemaximsiminingeometrie - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/problemedemaximsiminingeometrie 1/3

 PROBLEME DE MAXIM SI MINIM IN GEOMETRIE 

Prof. Maria BEER

Şcoala Nr. 37, „M. Eminescu” – Craiova

 Rezolvarea problemelor de minim sau maxim se face prin transformarea acestora in probleme

mai simple care sa înlesnească găsirea soluţiei, sau care sa conducă la o proprietate sau teoremacunoscuta, cum ar fi:

 Intr-un triunghi la unghiul mai mare se opune latura mai mare si invers, laturii mai mari i

 se opune unghiul mai mare.

 Distanta cea mai scurta dintre doua puncte luate pe doua drepte paralele este lungimea

 perpendicularei dintre ele.

 Dintre doua coarde ale unui cerc, cea mai lunga este mai apropiata de centrul cercului

 Pentru rezolvarea problemelor de minim sau maxim, sunt utile si teoremele mai puţin cunoscute

cum ar fi:

 Produsul a doua variabile a căror suma este constanta este maxim când factorii sunt egali,

 sau daca ei nu pot fi egali, când diferenţa lor este minima. Suma a doi termeni al căror produs este constant, este minima, când termenii sunt egali,

 sau daca ei nu pot deveni egali, atunci când diferenţa lor este minima

 Daca suma pătratelor a doua cantitati variabile este constanta, produsul celor doua

variabile este maxim când factorii sunt egali.

 Daca produsul a doua cantitati variabile este constant, suma pătratelor factorilor este

minima când factorii sunt egali.

  Pentru exemplificarea modului de aplicare a acestor teoreme, se propun următoarele

 probleme:

1.  Daca intr-un triunghi se dau doua laturi si variază unghiul dintre ele, aria

maxima o are triunghiul in care cele doua laturi sunt perpendiculare.

 

2. Sa se găsească un punct pe ipotenuza unui triunghi dreptunghic, astfel incat 

suma pătratelor distantelor lui la cele doua catete sa fie minima

1

S  ABC 

=AB⋅ CC 1 /2

 Aria triunghiului ABC este maxima când 

CC 1

este maxima.

 Demonstraţie: in triunghiul ABC, AB si

 AC sunt date si măsura unghiului CAB

este oarecare. Ducem AC’ ⊥  AB si

 AC’=AC. In triunghiul AC 1C avem

 AC>CC 1⇒ AC’>CC 1. Deci maximul luiCC 

1este AC’. In acest caz triunghiul ABC 

este dreptunghic, având laturile date drept 

catete.

C’

C

A C1

B

5/14/2018 problemedemaximsiminingeometrie - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/problemedemaximsiminingeometrie 2/3

3.  Sa se găsească minimul ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, când se cunoaşte

suma lungimilor catetelor.

Cum s este constant, CB va fi minim când AB AC este maxim. Aplicând teorema enunţata anterior 

referitoare la produsul a doua variabile a căror suma este constanta, rezulta ca AB AC este maximcând AB=AC. Deci triunghiul ABC trebuie sa fie isoscel.

4. Dintre toate triunghiurile cu bazele si inaltimile congruente, perimetrul minim îl 

are triunghiul isoscel.

 Fie triunghiul ABC cu baza BC . perimetrul=AB+BC+AC. Cum BC este dat, se caută minimul 

 AB+AC. Inaltimea triunghiului este constanta, Ase misca pe o dreapta DD’||BC situata la o

distanta egala cu inaltimea data fata de BC 

2

AB

C AB+AC=s

S2=AB

2+AC

2+2AB AC

S2=CB

2+2AB AC

 Demonstraţie:

 Fie MB’ ⊥  AB si MC’ ⊥  AC. In

triunghiul MB’C’ avem:

 MB’ 2+MC’ 2=B’C’ 2. AB’MC’ 

este dreptunghi rezulta ca B’C’=AM. Deci:

 MB’ 2+MC’ 2=AM 2. Minimul lui

 AM 2 se realizează pentru M’,

 piciorul perpendicularei din A

 pe BC B

A

B’

C

M’

MC’

A

B C

D’ DE FA’

Triunghiurile BEC si BFC au aceeaşi baza

 BC si vârfurile E si F ∈ DD’. Perimetrul cel mai mare îl are triunghiul a cărui inaltime

este mai depărtata de mijlocul M al lui BC.

 Deci perimetrul min îl are triunghiul isoscel 

cu vârful in A

5/14/2018 problemedemaximsiminingeometrie - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/problemedemaximsiminingeometrie 3/3