Probleme Tipice Pentru Bacalaureat1.1

Probleme tipice pentru bacalaureat

[Alegeţi data]

Cuprins Probleme tipice din variantele pentru bacalaureat 2009 ......................................................................................... 3

1.Şiruri definite ca soluţie a unei ecuaţii f(x)=n ..................................................................................................... 3

Exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) .............................................................................................................................. 3

Exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) ............................................................................................................................. 3

Exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1) ............................................................................................................................. 3

Exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1) ............................................................................................................................... 3

Exerciţiul 5.(Sub.III.Var90.1) ............................................................................................................................... 3

Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1 ................................................................................................................................ 4

Rezolvare exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1) ............................................................................................................. 5

Rezolvare exerciţiul 2. (Sub.III.Var.14.1) ........................................................................................................... 6

Rezolvare exerciţiul 3. (Sub.III.Var.15.1) ........................................................................................................... 7

Rezolvare exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1) .............................................................................................................. 8

Rezolvare exerciţiul 5.(Sub.III.Var23.1) .............................................................................................................. 9

Rezolvare exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1) ............................................................................................................ 10

Exerciţiul 6.(Sub.III.Var98.1 .............................................................................................................................. 10

Test de autoevaluare ........................................................................................................................................... 11

Subiectul I ......................................................................................................................................................... 11

Subiectul II ........................................................................................................................................................ 11

Subiectul III ....................................................................................................................................................... 11

Probleme tipice din variantele pentru bacalaureat 2009

1.Şiruri definite ca soluţie a unei ecuaţii f(x)=n

Exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1)

Se consideră funcţia f: R→R, f(x)=x-sinx.

a) Să se arate că f este crescătoare.

b) Admitem că pentru fiecare n N ecuaţia f(x)=n are soluţie unică xn. Să se arate că şirul (xn)n N* este

nemărginit.

c) Să se calculeze lim n

n

x

n unde (xn) este definit la b).


Pentru n N*, n≥3, se consideră funcţia fn: R→R, fn(x)=sinn(x) şi se notează cu xn abscisa punctului de inflexiune

din intervalul 0;2

, al graficului funcţiei fn .

a) Să se arate că 2''( ) ( 1)sin sin , , 3 şi n nf x n n x n x n n x*N R

b) Să se arate că 1

sin , 3.n

nx n

n

c) Să se calculeze lim ( ).n nn

f x


Pentru n N*, n≥3, se consideră funcţia fn: [0; )→R, fn(x)=xn-nx+1.

a) Să se arate că fn este strict descrescătoare pe [0;1] şi strict crescătoare pe [1; ).

b) Să se arate că ecuaţia fn(x)=0,x>0 are exact două rădăcini an (0;1) şi bn (1; )

c) Să se calculeze lim nn

a unde (an) este definit la b).

Exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1)

Se consideră funcţia f: R→R, f(x)=x3+x+1 .

a) Să se arate că, pentru orice , ecuaţia 1

( ) 3 ,3

f x nn

N are soluţie unică R


lim 1, unde este soluţia ecuaţiei ( ) 3 ,1

n nn

x x f x nn

N .

c) Să se determine 1

lim ( 1), unde este soluţia ecuaţiei ( ) 3 ,1

n nn

n x x f x nn

N.


Se consideră funcţiile fn : (0; )→R, +lnx, n N.

a) Să se arate asimptotele graficului funcţiei f1 .

b) Să se demonstreze că funcţiile gn : (0; )→R, 1

( ) ( )n n ng x f x fx

sunt convexe.

c) Admitem că ecuaţia fn(xn)=2n admite soluţia unică xn. Să se arate că şirul (xn)n N* este convergent la 2.


Pentru fiecare n N, n≥2 se defineşte funcţia fn : [0; )→R, fn(x)=xn-nx-1.

a) Să se arate că, pentru orice , n≥2, funcţia fn este convexă.

b) Să se arate că, pentru orice , n≥2, ecuaţia fn (x)=0 admite soluţie unică.


x unde xn este soluţia unică a ecuaţiei fn (x)=0.

Rezolvare exerciţiul 1. (Sub.III.Var.9.1)

a) Calculăm derivata funcţiei : f ’(x)=1-cosx ≥0 , deci f este crescătoare pe R.

b) Din ipoteză rezultă că sinn nx x n .

Dar , 1 sin 1| 1 sin 1n nx n xn n n

Din sin 1 şi -1nx n n n obţinem: lim sin lim( 1) . limn nn n n

x n n x , deci şirul

este nemărginit.

c) Conform punctului b) 1 1

1 sin 1 |: nn

xn nn x n n n

n n n. Deci:

1 1lim lim lim 1 lim 1

deci lim 1.

n n

n n n n

n

n

x xn n

n n n n

x

n


Se consideră funcţia f: R→R, f(x)=x-sinx.

a) Să se arate că f este crescătoare.

b) Admitem că pentru fiecare n N ecuaţia f(x)=n are soluţie unică xn. Să

se arate că şirul (xn)n N* este nemărginit.

c) Să se calculeze lim n

n

x

n unde (xn) este definit la b).

Comentariu [N1]: Pentru studierea monotoniei unei funcţii calculăm derivata funcţiei. Pe intervalul pe care derivata este pozitivă funcţia este strict crescătoare; Pe intervalul pe care derivata este negativafuncţia este strict descrescătoare.

Comentariu [N2]: Criteriul majorării.

Comentariu [N3]: Trecerea la limită în inegalităţi Lema ,, cleştelui”


a) '

1( ) sin cosn

nx n x xf

"1 '

1 1

2 1

2 2

2 2

2 2

2

2

2 2

( ) ( sin cos )

sin 'cos sin (cos )"

( 1)sin cos cos sin ( sin )

sin [( 1)c sin ]

sin [(

os

1 sin1)( ) sin ]

sin ( 1 sin ) ( 1)sin sin .

n

n

n n

n n

n

n

n n n

x n x x

n x x n x x

n n x x x n x x

n x n x

n x n x

n x n n x n n x n x

x

x

f

b) "

( ) 0, 0;2

n nn

x xf obţinem

2 2 2 1 1( 1)sin sin 0 sin sinn n

n n

n nn n x n x x x

n n

c) Din 1

sin n

nx

n rezultă

1( ) (sin )

n

n

n n

nf x x

n

1

2

11 2

12 1

2

1 1lim ( ) lim(sin ) lim lim

1 1 1lim 1 1 lim 1

n

n

n nn n n n

nn n

n n

n nf x x

n n

ne

n n e


Pentru n N*, n≥3, se consideră funcţia fn: R→R, fn(x)=sinn(x) şi se notează cu xn

abscisa punctului de inflexiune din intervalul 0;2

, al graficului funcţiei fn .

a) Să se arate că 2''( ) ( 1)sin sin , , 3 şi n nf x n n x n x n n x*N R


sin , 3.n

nx n

n

c) Să se calculeze lim ( ).n nn

f x

Comentariu [N4]: (un)’=nun-1

·u’ (sinx)’=cosx

Comentariu [N5]: (fg)’=f’g+fg’ sin2x+cos2x=1

Comentariu [N6]: Abscisele punctelor de inflexiune anulează derivata a doua.


a)

1'

1 1

1

pentru [0;1) ( ) 0 ,deci este strict descrescătoare( ) ( 1)

0 pentru (1; ) ( ) 0 ,deci este strict crescătoare

n nn

n

n

x xx n x n n x

x x x

ff

f

b) fn este funcţie continua (fiind funcţie polinomială) , strict descrescătoare pe [0;1] şi fn(0)· fn(1)<0, deci fn

are o rădăcină în (0;1);

fn este funcţie continua (fiind funcţie polinomială) , strict crescătoare pe [1; ) şi fn(1)<0,

'

lim ( )nn

xf deci fn are o rădăcină în (1; ).

c) Din fn(0)=1>0 şi

2 2 2 21 1 0

1 1 2 2 2deoarece 3 1 1

3 3

n n

n

n

nn n n n

nn n n

f


Pentru n N*, n≥3, se consideră funcţia fn: [0; )→R, fn(x)=xn-nx+1.

a) Să se arate că fn este strict descrescătoare pe [0;1] şi strict

crescătoare pe [1; ).

b) Să se arate că ecuaţia fn(x)=0,x>0 are exact două rădăcini

an (0;1) şi bn (1; )


a unde (an) este definit la b).

Comentariu [N7]: Dacă 0<x<1, atunci 0<xn<1 Dacă x>1, atunci xn>1

Comentariu [N8]: Dacă o funcţie este contină pe intervalul [a;b] şi f(a)f(b)<0 atunci ecuaţia f(x)=0 are cel puţin o rădăcină în intervalul respectiv; dacă în plus este şi strict monotonă rădăcina este unică

Rezolvare exerciţiul 4.(Sub.III.Var23.1)

a) f ’(x)=3x2+1>0, x R , deci funcţia f este strict crescătoare, deci injectivă.

lim ( ) , lim ( )x x

f x f x şi f continuă, deci f este şi surjectivă

Funcţia f este bijectivă şi ecuaţia f(x)=y va avea soluţie reală unică y R .

În particular pentru 1

3 ,3

y nn

N avem soluţie unică pe care o vom nota cu nx .

b) Notăm cu lim .nn

l x Avem

3 2

2

1 11 3 1 1 0.

1 1

Trecând la limită ( -1)( 1) 0,cu singura soluţie reală

1.

n n n n nn n

l l l

l

x x x x x

c)

2

2 2

2 2

1Din 1

( 1)( 2)

1( 1)

( 1)( 1) 1 2

1 1 1 1lim ( 1) lim lim lim 1

1 2 1 2 4 4

n

n n

n

n n n n

nn n n n

n n n n

xn x x

n nn x

n x x n x x

n nn x

n x x n x x


Se consideră funcţia f: R→R, f(x)=x3+x+1 .

a) Să se arate că, pentru orice , ecuaţia 1

( ) 3 ,3

f x nn

N are soluţie unică R


lim 1, unde este soluţia ecuaţiei ( ) 3 ,1

n nn

x x f x nn

N .

c) Să se determine 1

lim ( 1), unde este soluţia ecuaţiei ( ) 3 ,1

n nn

n x x f x nn

N.

x - +

f’(x) +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

f(x) -

Comentariu [N9]: Funcţiile strict monotone sunt injective


a) Calculăm limitele: 0 0

10

lim ( ) lim( ln ) ln 0x x

n nf x x x deci x=0 este asimptotă verticală.

1lim ( ) lim( ln )x x

f x x x nu există asimptotă orizontală.

1

x x x x

1x x x

11ln '( ) ln

lim lim lim lim 1' 1

lim( ( ) ) lim ln lim ln

x xf x x x xmx x x

n f x mx x x x x

funcţia nu are nici asimptotă oblică

b)

1

1 1 1( ) ( ) ln ln

ln ln ln ln .

n

n

n n n

n n n n n n

g x f x f x xx x x

x x x x x x x x x x

' 1 1

" 2 2

( ) ;

( ) ( 1) ( 1) 0pentru orice R;

n n

n

n n

n

g x nx nx

g x n n x n n x x

Deci funcţiile gn sunt convexe.

c) Considerăm funcţia hn : (0; )→R, ( ) ln 2n n

nh x x x , n N*.

Deoarece hn este continuă şi 00

lim ( ) , lim ( )x

n nx x

h x h x rezultă că ecuaţia hn (x)=0 are cel puţin o

soluţie. Cum ' 1 1( ) 0 este strict crescătoare.n

n nh x nx hx

Din hn(1)<0, hn(2)>0, obţinem

(1;2)nx

xn fiind soluţie a ecuaţiei fn(x)=2n rezultă

1

ln ln2 ln 1 , 1

2 2 2 2

n n

n

nn

n n n nn n n

x xx xx x n N . Cum

1

ln lnlim 0 lim lim 1 1 lim 2

2 2 2

nn n n

nn nn n n n

x x xx


Se consideră funcţiile fn : (0; )→R, ( ) lnn

nf x x x , n N*.

a) Să se arate asimptotele graficului funcţiei f1 .

b) Să se demonstreze că funcţiile gn : (0; )→R, 1

( ) ( )n n ng x f x fx

sunt convexe.

c) Admitem că ecuaţia fn(xn)=2n admite soluţia unică xn. Să se arate că şirul

(xn)n N* este convergent la 2.


a)

' 1 " 2

"

( ) ; ( ) ( 1)

Cum 0 ( ) 0, deci este convexă.

n n

n n

n

f x nx n f x n n x

x f x f

b) Avem

' 1 '( ) ; pentru 1, ( ) 0,

deci este strict crescătoare pe (1; ), deci injectivă.

(1) 0, (2) 2 2 1 0pentru 3

cum este continuă pe (1; ) există şi este unic

(1;2) astfel încâ

n

n n

n

n

n n

n

f x nx n x f x

f

f n f n n

f

x t ( ) 0n nf x

,.

c) Avem:

2

2

22

2

(1) 0, ( ) 1 0, pentru n 3,

1< .

Din 1 1 1

1 ( 1)1 lim lim 1 lim 1

1

Conform lemei cleştelui lim 1

n

n n

n

nnn n

n

nn n n

nn

f n f n n n

x n

x nx x n

nx n

n

x


Pentru fiecare n N, n≥2 se defineşte funcţia fn : [0; )→R, fn(x)=xn-nx-1.

a) Să se arate că, pentru orice , n≥2, funcţia fn este convexă.

b) Să se arate că, pentru orice , n≥2, ecuaţia fn (x)=0 admite soluţie unică pe intervalul (1; )


x unde xn este soluţia unică a ecuaţiei fn (x)=0.

Test de autoevaluare

Subiectul I

1. Calculaţi 4 4

1 1

(1 ) (1 )i i.

2. Rezolvaţi în R inecuaţia |x+8|≤3x-1.

3. Rezolvaţi în R ecuaţia log4(x+12)·logx2=1.

4. Calculaţi 3

sin 2arcsin5

5. Fie A={1;2;3;4;5;6}. Câte funcţii bijective f:A→A au proprietatea f(1) 2?

6. Fie ABC un triunghi, cu AB=AC=10cm.Determinaţi lungimea înălţimii BD (D AC)

Subiectul II

1. Fie matricele 1 1

şi , unde , ,1 0 1

a cA B a b c

bR.

a) Rezolvaţi ecuaţia 2, ( )BX A X M R .

b) Determinaţi matricea 2

2 ( ) astfel încât ... , ( )nC M C B B B n *R N

c) Determinaţi tripletele (a;b;c), ştiind că (A+B)2=A2+2AB+B2 .

2. Fie polinomul 4 3 1 [ ], 0.f aX bX X aC

a) Determinaţi rădăcinile lui f, dacă a=-1 şi b=0;

b) Calculaţi suma pătratelor rădăcinilor polinomului f.

c) Determinaţi a şi b, astfel încât (X-1)2 să dividă pe f.

Subiectul III

1. Pentru fiecare , considerăm funcţia :[0; ) , ( ) x

n n

x nn f f x e

x n

*N R .

a) Arătaţi că fn este strict crescătoare şi calculaţi lim ( )nx

f x .

b) Demonstraţi că 1 2 1,ne n n *N . Arătaţi că fn (x)=0 are soluţie unică un [n;n+1] .

c) Calculaţi lim şi lim .nn

n n

uu

n

2. Se consideră şirul (In)n≥1, cu termenul general

1

0

11 , .

!

n x

nI x e dx nn

*N

a) Calculaţi I1.

b) Demonstraţi că n

1 10 1 , , şi determinaţi lim .

!n nI n I

n e

*N

c) Arătaţi că 1

1, .

1 !n nI I n

n

*N

Probleme Tipice Pentru Bacalaureat1.1

Documents

Transcript of Probleme Tipice Pentru Bacalaureat1.1