Probleme scurte - Astrofiz.ro · viteze ar trebui să aibă sateliții lui pentru a părăsi...

Olimpiada de Astronomie şi Astrofizică

Etapa Națională 2017

Proba Teoretică -Seniori

OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

Probleme scurte

1. 1pÎn diagrama din figură este

reprezentată comparativ aceeaşi

mărime caracteristică X pentru o serie

de planete din sistemul solar. Care

este această mărime caracteristică X:

a. Excentricitatea orbitei

b.Perioada de rotaţie;

c. Masa;

d. Densitatea;

2. 1pÎn figură este reprezentată harta pe

care sunt indicate poziţiile a 5

observatori A, B, C, D şi E prin longitudine şi respectiv

latitudine.

A. Care va fi altitudinea Stelei Polare deasupra orizontului pentru

observatorul A:

a. 00;b. 10

0 ; c. 80

0; d.90

0

B. Care pereche de observatorivorînregistraacelaşitimp solar:

a. A şi C; b. B şi C; c. B şi E; d. D şi E

3. 1pÎn figură este reprezentat modelul mişcării orbitale a

Pământului în jurul Soarelui. Literele A, B, C şi D indică

poziţiile începutul anotimpurilor.

A. Care poziţie reprezintă prima zi a verii în emisfera nordică:

a. A; b. B; c. C; d. D

B. În schema din figură este reprezentat cum este iluminat

Pământul de Soare aşa cum ar fi văzut de un observator aflat deasupra

Polului Nord. În care poziţie orbitală este valabilă schema:

a. A; b. B; c. C; d. D

4. 1pCare dintre graficele de mai jos reprezintă evoluţia altitudinii

Soarelui pe parcursul zilei de 21 decembrie înregistrată de un

observator aflat la 420 N.Răspuns D




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

5. 1pO stea cu magnitudinea 3 se află la distanța de 50 de ani lumină. O stea cu magnitudinea 8 se

află la distanța de 5000 de ani lumină. De câte ori este mai luminoasă a doua stea?

a. 10; b. 100; c. 1000 ; d. 10000

6. 1pStelele variabile din Cepheide își schimbă luminozitatea datorită ionizării următorului element

a. Carbon; b. Heliu; c. Hidrogen; d. Neon;

7. 1pPrezenţa a două linii spectrale intense, apropiate, în regiunea culorii galbene a spectrului

luminos indică prezenţa următorului element:

a. Carbon; b. Hidrogen; c. Sodiu;d. Oxigen;

8. 1p A. Dacă raza orbitei unei planete creşte de 100 de ori, cu ce factor se modifică perioada orbitală?

a. 100; b. 1000; c.10000 ;d. 100000;

B. Care este cu aproximaţie viteza relativă a Pământului în raport cu Soarele?

a. 86904 Km/h; b. 98491Km/h; c. 110079Km/h; d.121666Km/h ;

9. 1p A. Care „mare” Lunară este plasată între Mare Serenitatis şi Mare Nectaris?

a.MareCrisium; b. Mare Imbrium; c. Mare Tranquillitatis; d. Mare Vaporum;

B. Care nu este satelit al lui Uranus?

a. Amalthea; b. Oberon; c. Titannia; d. Umbriel

10. 1pCare este mărirea unui telescop cu diametrul de 20 cm având un obiectiv f5 şi un ocular de 10

mm.

a. 10; b. 50; c. 100; d.500;

Probleme Lungi

1. Marte, Deimos şi Phobos - 10 puncte

Din analiza evoluţiei satelitului Phobos al planetei Marte rezultă că în viitor ar putea să dispară.S-a

constatat că raza orbitei (considerată circulară) a lui Phobos în jurul planetei Marte scade cu

aproximativ 1,8m/secol. Acest lucru poate duce la un moment dat fie la ciocnirea satelitului de planeta

Marte, fie la ruperea satelitului datorită forțelor mareice şi formarea din materia acestuia a unui inel ce

orbitează înjurul planetei Marte.

Calculează după cât timp t ar fi posibilă formarea inelului din substanţa satelitului Phobos în jurul

planetei? Se cunosc raza planetei Marte este RM=3393Km, raportul dintre densitatea planetei și a

satelitului se presupune (M/P)1/3

=2.

b)Care ar fi trebui să fie orientarea razei vectoare a lui Phobos față de direcția după care sunt alinitate

Soarele, Marte și Deimos, pentru a avea același modul al vitezei relative față de Soare ca și Deimos, în

următoarele două situaţii: când se află în opoziție şi respectiv în conjuncție față de Marte. Se

consideră că traiectoriile sateliților sunt sferice. Se cunosc:TPhobos=TP=7h40min; TDeimos=TD=30h;

dDeimos-Mars= dDM=23500km; dPhobos-Mars=dPM=9380km; vMars-Sun=vMS=24,13km/s.

c) Pe sateliții Deimos și Phobosse plasează aparatură ce permite observarea astronomică. Se presupun

cunoscute distanțele dintre centrele sateliților și centrul planetei Marte dPM=9380 km, respectiv

dDM=23500km. Să se determine: 1)deschiderea unghiulară maximă dintre centrul planetei Marte și

Phobos, măsurată de pe Deimos; 2)intervalul de timp dintre opoziția și cvadratura lui Deimos măsurat

de pe Phobos, dacă se cunosc TP=7h40min și TD=30h.




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

d)Presupunem că orbita lui Marte și a sateliţilor lui sunt circulare. Dacă Marte ar dispărea bruscce

viteze ar trebui să aibă sateliții lui pentru a părăsi Sistemul Solar? Calculați vitezele sateliților în

situația în care au valorile maxime față de Soare. Care ar fi soarta celor doi sateliți?

Se știe că: (KMSun/dMars-Sun)1/2

=24,13km/s.

Rezolvare:

a)Se deduce matematic expresia forței mareice Fm, ce se exercită asupra unui corp de masă m aflat pe

suprafața satelitului, sau se utilizează direct relația cunoscută:

Efectuând calculul și considerând că Rp<<dPM, obținem:

Egalând forța mareică cu forța de atracție gravitațională a corpului de către PhobosFPC, obținem:

;

;2

2

3

P

PPC

PM

PMm

R

KmMF

d

RmMKF

;223

P

P

PM

PM

R

KmM

d

RmMK

;223

P

P

PM

PM

R

M

d

RM

;)( 22

PM

M

PPM

Mm

d

mMK

Rd

mMKF

0,5 p

0,25

p

0,25

p 0,25

p

0,25

p

0,25

p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

B)Calculăm vitezele liniare pentru Phobos și Deimos pe traiectoriile considerate circulare din jurul lui

Marte:

1) Când Deimos este în opoziție cu Marte:

;3

4 3RVM

;3

4

3

4

22

3

3

3

P

PP

PM

SM

M

R

R

d

RR

;22

3

3

3

P

PP

PM

PMM

R

R

d

RR ;

2 33

P

MMPM

Rd

;5,84822.3393.25,12 33 kmRd

P

MMPM

;10.18018,0100

1.8,1 6 kmmani

animx

;10.5010.86,4910.18

5,84829380 66

6anianianit

;t

dv

;366,12

s

kmd

Tdv DM

D

DMDDM

;136,22

s

kmd

Tdv PM

P

PMPPM

0,25 p

Oricare

desen

0,5 p

0,25 p x 2= 0,5 p

0,25

p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

Se identifică două puncte simetrice față de axă.

2)Când Deimos este în conjuncție cu Marte:

;cos2222 MPMPR vvvvv

;MDR vvv

;2

cos222

MP

MPR

vv

vvv

;13,24.13,2.2

]13,2413,2)13,2436,1[(cos;

2

)(cos

2

2222222

km

km

vv

vvvv

MP

MPMD

.41,52;41,5261,0arccos

;6124,0cos

00

0,25

p 0,25

p

0,25

p

0,25

p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

Se identifică două puncte simetrice față de axă.

c)Rezolvare:

1)

;'cos2222' MPMPR vvvvv

;'

DMR vvv

;2

cos222'

'

MP

MPR

vv

vvv

;13,24.13,2.2

]13,2413,2)36,113,24[('cos

;2

)(cos

2

2222

222'

km

km

vv

vvvv

MP

MPDM

.71,48

;71,4829,131180'180

;29,131)66,0arccos('

;66,0cos

0'

0000'

0

'

;sinDM

PM

d

d

0,25

p

0,25

p

0,25

p

0, 5 p

0,25

p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

2)

d)Compunem vitezele liniare pentru Phobos și Deimos în jurul lui Marte, determinate anterior, cu

viteza lui Marte în jurul Soarelui, în momentul dispariției planetei. Obținem vitezele lor față de Soare:

Pentru a evada din Sistemul Solar, trebuie indeplinită condiția:

hst

t

t

d

d

tTT

t

DM

PM

DP

DP

86,110.7,610504912

342792

;10.9808,2

50491215,1

;)108000

1

240025200

1(2

;48,66399,0arccos;399,0cos

;)11

(2)(

34

9

0

;PMMSPS vvv ;DMMSDS vvv

;02

2

SunSatSat

SunSat

SunSat vM

d

MMk

SunSat

SunSunSat

d

kMv

2

052,23399,0arcsin

;399,023500

9380sin

0,25

p

0,5 p

0,5 p

0,25

p

0,25

p

0,25

p 0,25

p

0,5 p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

Din echilibrul forțelor Marte-Soare, rezultă:

Aproximăm că distanțele sateliți-Soare ar fi egale cu distanța Marte-Soare:

Sateliții lui Marte au viteze mici, fiind inferioare vitezelor de evadare, de aceea ei nu pot evada nici

în cazul configurațiilor cele mai favorabile. Vitezele sateliților sunt cele mai mari în raport cu Soarele

când sunt la opoziție cu planeta Marte.

2.10 puncte

O navă călătoreşte cu viteza constantă v

comparabilă cu viteza luminii, măsurată în raport cu o stea

fixă suficient de depărtată pentru ca influenţa gravitaţională să fie neglijabilă – sistem de referinţă fix

– SR0. Nava are simetrie cilindrică, diametrul ei fiind neglijabil cu lungimea ei ( v

este orientată pe

direcţia axei de simetrie a navei). Nava intră într-un nor de praf cosmic rarefiat ale cărui particule

considerate identice sunt în repaus faţă de stea. Particulele de praf aderă la peretele navei (doar pe

suprafaţa laterală). Rata cu care se lipeşte praful de navă este : m

t

- într-un interval de timp

foarte mic măsurat in SR0, se depune masa m . Masa de repus a navei este 0M

Presupunând că imediat după intervalul t impulsul nerelativist total al sistemului se conservă,

calculaţi:

1. Variaţia masei de repaus a navei în intervalul de timp t

2. Calculează în sistemul de referinţă SR0 forţa pe care ar trebui să o dezvolte sistemul de

propulsie a navei pentru ca nava să îşi păstreze viteza constantă. Se va considera că propulsia navei

;2

2

MS

SunSatM

MS

SunM

d

vM

d

MMk

MS

SunMS

d

kMv

;DSPSMS ddd ;02,3413,24.41,12

2

s

km

s

Kmv

d

kMv MS

MS

SunSunSat

;26,26s

kmvvv PMMSPS ;49,25

s

kmvvv DMMSDS

;02,34s

kmvEvadare

EvadarePSDS vvv

0,5 p

0,5 p

0,5 p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

este asigurată prin captarea energiei provenite de la stea (nu se consumă combustibil aflat la bordul

navei). Se vor folosi următoarele aproximaţii:

2 2

2

0

t1

M

şi

1

21

1 a 1 a, pt. a 12

3. Care va fi energia suplimentară în unitatea de timp pe care va trebui să o asigure sistemul de

propulsie pentru a menţine constantă viteza navei. De unde provine această energie ştiind că sistemul

de propulsie este sub forma „velelor solare”.

4. Calculează viteza cu care nisipul se lipeşte de navă, în raport cu sistemul de referinţă legat de

navă.

Rezolvare

Calculul masei de repaus a navei după lipirea unei cantităţi m de nisip.

Exprimăm energia şi impulsul sistemului navă – praf 2

0N

2

2

M cE

v1

c

Folosind notaţia 2

2

1

v1

c

2

N 0E M c

Energia prafului în SR0 este chiar energia de repaus 2

1E t c

Energia sistemului

2 2 2

t 0 0E M c t c c M t

Impulsul total va fi egal cu impulsul navei, deoarece nisipul este în repaus în SR0

t 0p M v

După scurgerea intervalului t considerat foarte mic energia totală a navei pe care s-a depus

cantitatea m de praf energia totală a navei va fi 2

t1 0E M c

Unde 0M este noua masă de repaus a navei.

Folosim relaţia impuls energie

2

2 2 2 2

t1 0E M c p c

Unde p este impulsul navei după ce s-a depus praful. Se presupune că masa depusă este

foarte mică în raport cu masa navei. Impulsul navei după depunerea prafului rămâne

aproximativ acelaşi.

2 2

2 2 2 2 2

0 0 0M c M c t c ( M v) c

0,25 p

0,25 p

0,25 p

0,25 p

0,25 p

0,25 p

0,5 p

0,5 p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

2

2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 2 2

0 0 0 0M c M c t c 2 M t c M v c

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0M M c t c 2 M t c M v

2 2 2 2 2 2

0 0 02

1M M 1 v 2 M t t

c

Termenii pătratici în timp se neglijează

1

22 2 2 2 2

0 0 02

1M M 1 v 2 M t t

c

1

2 2 2 20 0 0M M 2 M t t

1

2 2 2

0 0 2

0 0

2 t tM M 1

M M

Se vor face următoarele aproximaţii: 2 2

2

0

t1

M

1

21

1 a 1 a, pt. a 12

Rezultă că

0 0

0

tM M 1

M

Rezultă că variaţia în timp a masei de repaus va fi

0 0M M

t

Deci variaţia impulsul total va fi

20 0M Mv v

t

3. Energia suplimentară pe care trebuie să o asigure sistemul de propulsie în unitatea de timp va fi

diferenţa dintre creşterea totală a masei: 2 2

tE c

Şi energia pe care o generează praful : 2

prafE c

2 2

suplimE c

Energia suplimentară necesară propulsiei este asigurată prin creșterea suprafeței velelor care

captează fotonii proveniți de la stea.

1 p

0,5 p

2 p




OLIMPIADA DE

ASTRONOMIE ŞI

ASTROFIZICĂ

4. În raport cu nava nisipul are viteza v

, nava fiind considerată în repaus.

Astfel în raport cu nava, intervalul de timp se va „dilata”: `t t

Deci

'

'

m 1

t

Variaţia impulsului prafului va fi:

' 1

2 p

Probleme scurte - Astrofiz.ro · viteze ar trebui să aibă sateliții lui pentru a părăsi...

Documents

Transcript of Probleme scurte - Astrofiz.ro · viteze ar trebui să aibă sateliții lui pentru a părăsi...