Fişă de lucru 1-opera ii cu numere naturaleț

1.Calculaţi:a. 24⋅7+ 12⋅2b. 34−5⋅4c. 25⋅25d. 123⋅8+ 123⋅2e. 65⋅65−45⋅45

2. Calculaţi:a. 12⋅(123−23−70)b. 12+ 23+ 289+ 8+ 11+ 17c. 321 :3+ 42: 6+ 42: 7d. 576 :24−24e. 6754⋅100−100⋅6754⋅10

3. Calculaţi:a. 2232−23

b. 4324−42

c. 52 :5d. 53⋅51:54

e. 232⋅223

4. Calculaţi:a. 123⋅1050−1230b. 576:576625: 25c. 972 :945⋅15−35⋅1211−4−5d. 237 :236⋅23

5. Scrie i criteriile de divizibilitate cu 2, 5 i 10.ț ș

6. Calcula i:ța. 12300−873b. 132132c. 12⋅12d. 24⋅24−576:576e. 432⋅567: 2⋅164 :4⋅0f. 132 : 4123 :3g. 1723:1024⋅[12−3⋅123:3−4−12]75h. 67525: 25725 :25−75: 25

7. Care dintre următoarele numere sunt divizibile cu 2?12, 14, 23, 32, 110, 35, 27, 48.

8. Scrieţi toate numerele prime până la 25.

1

9. Descompuneţi în factori primi numerele:a. 12 b. 24 c.75 d.164

10.Afla i:ța. numărul cu 9 mai mic decât 100b. numărul de 9 ori mai mare decât 100.c. numărul cu 9 mai mare decât 100.d. numărul de 9 ori mai mic decât 99.

11.Calcula i:ța. 123:3b. 123: 41c. 144 :4d. 6720 :5e. 120 :4+ 120: 5−120 :3f. 100 : 4−100 :5+ 100 : 2g. 5+ 266 : 2−321 :3

12.Rezolva i ecua iile:ț ța. 2x=10b. 2x+ 1=10c. 3x−6=9d. 2x+ 4= x+ 3e. 7− x=3f. 7: x=1g. x : 7=1h. x−7=3

13. 4 kg de mere costă 12lei. Afla i cât costă 7kg. Dar 10kg?ț

14. 8 muncitori termină o lucrare în 10 zile. În cât timp termină lucrare 4 muncitori? Dar 2 muncitori?

15. a. Dacă împăr itorul unui număr este 12 iar deîmpăr itul este 48, afla i câtulț ț ț i restul.ș

b. Dacă împăr itorul unui număr este 12, câtul este 3, iar restul este 4 afla iț ț deîmpăr itul.ț c.Dacă deîmpăr itul unui număr este 16, câtul este 2 iar restul este 0, afla iț ț împăr itorul.ț

2

16.Explica i rolul parantezelor.ț

17.Calcula i:ța. 2+ [(25⋅3)+ 4 ]b. 2⋅(60⋅15): 2c. (60⋅15)−(800 :25)d. [124−(47+ 33)]e. (81+ 12)⋅(5⋅2)f. 27−[(10+ 7)−(15 :3)]+ 28

18. Calcula i în două moduri:ța. 9⋅(15+ 45)b. 14⋅(102+ 37)c. 16⋅(151+ 206)d. (27+ 72)⋅15e. (52−21)⋅18

19.Calcula i:ța. 12+ 23−22

c. 1236 :6d. 22⋅21⋅23

e. 32⋅33

f. 155 :154−44:(41)3

3

Fişă de lucru 2-opera ii cu numere ra ionaleț ț

20.Scrieţi toate numerele prime până la 50.

21.Descompuneţi în factori primi numerele:a. 12 b. 24 c.75 d.164

22.Calculaţi:a. [2 ;6]b. [12 ;8]c. [20 ;30]d. [120 ; 25]

23.Amplificaţi cu 4 următoarele fracţii:a. 2

4b. 5

12c. 123

15d. 432

124e. 450

25

24.Simplificaţi prin 4 următoarele fracţii:a. 124

4b. 56

8c. 124

32d. 576

120

25. Scrieţi trei fracţii echivalente cu fracţiile:a. 12

11b. 5

10c. 42

64

26.Calculaţi:a. 5

725

7−9

74

7

b. 8711

−6711

−311

c. 1224

⋅56

d. 4510

⋅2510

e. 126

:63

27.Calculaţi:a. [12 ; 4]b. [2 ; 3 ;4]c. [ 20 ;10 ;30]d. [5 ; 25 ;10]

4

28.Calculaţi:a. 123⋅16b. 12315−4⋅775⋅10c. 15176125764−1000d. 421⋅100 :100

29.Calculaţi:a. 53−4324

b. 12011−20110

c. 1222124

d. 710 : 77

30. Amplificaţi cu 7 următoarele fracţii:a. 42

11b. 65

75c. 15

24d. 100

121

31.Simplificaţi prin 5 următoarele fracţii:a. 125

40b. 65

85c. 125

30d. 570

120

32.Simplificaţi până obţineţi o fracţie ireductibilă:a. 124

40b. 56

82c. 12

32d. 76

2033. Scrie i următoarele numere ca produs de 2 termeni:ț

6; 7; 15; 8; 2; 3; 5; 11; 13; 21; 17

34.Scrie i toate numerele prime până la 60.ț

35.Descompune i în factori primi numerele:ț6, 12, 20, 30, 50, 75, 77, 80, 90, 100, 120.

36.Scrie i un multiplu comun pentru numerele:ța. 2 ; 3b. 4 ;5c. 6 ;5 ;12d. 3 ;5 ;10e. 7 ; 2 ;14

37. a) Scrie i condi ia de adunare i scădere a două frac ii.ț ț ș ț b) Scrie i condi ia de înmul ire i împăr ire a două frac ii.ț ț ț ș ț ț c) Scrie i condi ia de ridicare la putere a unei frac ii.ț ț ț d) Scrie i care este ordinea efectuării opera iilor.ț ț

5

38.Rezolvaţi următoarele ecuaţii:a. x26=75b. 3⋅x=123c. 176 x=300d. 3x−1=14

39.Stabiliţi care dintre următoarele numere sunt prime:12, 2, 4, 11, 25, 67, 69

40.Descompuneţi în factori primi următoarele numere:

24; 56; 144; 288; 120; 144; 300

41.Calcula i:ț

a. 12+ 3

4

b. 53−4

6

c. 710

−812

+ 920

d. 53⋅49+ 2

3:812

e. 126

−34⋅52−1

2

f. 54−3

4:812

+ 34+ 23+ 32−14

g. (12 )2

+ (22 )

3

−(12 )2

42.Calculaţi c.m.m.d.c pentru următoarele numere:a) 24 şi 56

b) 5, 15, 30 şi 45

c)450 şi 1300

43.Calculaţi c.m.m.m.c pentru următoarele numere:a) 24 şi 56

b) 5, 30 şi 45

c) 4500 şi 130

6

44.Aflati numarul necunoscut din :a+ 879=1000716−b=865c−679=457278+ 645+ d =9000

45. Efectua i:ța. 32 :16 {76−2⋅[204⋅5:5]−3⋅4}b. 333−2222222⋅3:110

46. a)Scrie i mul imea multiplilor lui 3 până la 52.ț țb)Scrie i mul imea multiplilor lui 5 până la 52.ț țc)Scrie i mul imea multiplilor lui 6 până la 52.ț ț

47.Introduce i întregii în frac iile:ț ța. 1 2

3; 4 5

7; 2 9

12

b. 6 75

; 4 25

; 8520

48.Calcula i: ța. 1

25

2

b. 712

4612

24

c. 2 45⋅2 14

20⋅2063

−2830

:1325

49. Scrie i condi iile de divizibilitate cu :ț ța. 2 ; 5 ; 10b. 3 si 9

si dati câte trei exemple pentru fiecare.

50. 16 muncitori termină o lucrare în 8 ore. De câţi muncitori este nevoie pentru a termina lucrarea în 2 ore ? Dar într-o oră?

51.Scrie i care dintre următoarele frac ii sunt zecimale i care sunt ordinare:ț ț șa. 2,3 ; 4

8; 6,7 ; 8,1 ; 1

2; 7

9; 3

4

b. 5,7 ; 45

; 910

;

7

52.Transforma i următoarele frac ii zecimale în frac ii ordinare:ț ț ța. 4,5 ; 7,8 ; 9,1 ; 12,5b. 12,13 ; 6,42 ; 7,8 ; 1,15 ; 123,5c. 1,134 ; 3,45 ; 4,456 ; 1,2

53.Transforma i următoarele frac ii ordinare în frac ii zecimale:ț ț ța. 2

10; 5

10; 12

10; 123

10

b. 5100

; 12100

; 123100

c. 51000

; 121000

; 45610

54.Scrie i toate pătratele perfecte până la 100.ț

55.Scrie i toate cuburile perfecte până la 100.ț

56. Scrie i condi ia de divizibilitate cu 3 i 9. Da i cinci exemple de astfel deț ț ș ț numere.

57. Rezolva i următoarele ecua ii:ț ța. 1

2+ x=4

6

b. 85+ x=8

10

c. 12⋅x=4

8

d. x :12=1

3

58.Descompune i în factori primi numerele:ț20; 45; 125; 90; 21; 75; 210

59.Simplifica i frac iile:ț ța. 4

10; 16

160; 30

25;

b. 1248

; 40120

; 1575

60. Calcula i:ța. 4

8+ 5

6:12

b. 90100

+ 3575

−5150

8

Fişă de lucru 3-opera ii cu frac ii zecimaleț ț

61.Scrie i condi ia de adunare i scădere a numerelor zecimale. Cum trebuieț ț ș a ezate ele?ș

62. Calcula i:ța. 1,2+ 5,6b. 7,8+ 9,21c. 123,2+ 0,02d. 3−2,9e. 5,67+ 4,33−5f. 4+ 4,5+ 5,5

63. a. Scrie i condi ia de ț ț înmul ireț a numerelor zecimale. b. Scrie i condi ia de împăr ire a unei frac ii zecimale la un număr natural.ț ț ț ț c. Scrie i condi ia de împăr ire a numerelor zecimale.ț ț ț

64.Calcula i:ța. 2,2 :2b. 6,3:0,3c. 3 :2+ 2d. 2 :3e. 1,44 :1,2+ 169 :1,3−1,2f. 6,25:0,25+ 0,3:3

65. Transforma i următoarele frac ii zecimale în frac ii ordinare:ț ț ța. 3,4 ; 5,21 ; 0,2 ; 4,11b. 0,001 ; 6,21 ; 9,1234

66. Transforma i următoarele frac ii ordinare în frac ii zecimale:ț ț ța. 1

2; 3

2; 9

4; 10

8

b. 710

; 21100

; 321000

c. 75

; 92

; 450

; 8125

9

Fişă de lucru 4-opera ii cu numere întregiț

67.Scrie i care sunt condi iile de adunare i scădere a două numere întregi.ț ț ș68.Scrie i care sunt condi iile de înmul ire i împăr ire a două numere întregi.ț ț ț ș ț

69.Scrie i opusele numerelor:ț3 ; 14 ; −4 ; −7 ; 1

2

70.Calcula i modul numerelor:ț−3 ; 5 ; −1

3; −9 ; 5

6.

71.Calcula i:ța. 12+ 15−12b. 12−15c. 15−12d. 7−8+ 8e. −1−2−3−4f. 7+ 8+ 9+ 10+ 3+ 2+ 1g. 4−5+ 8−9+ 10−11h. 6−7+ 8i. 12−14−16j. 124−126+ 100−90k. −2+ 2−5+ 5−7+ 7l. −4−5−10−6−5

72.Scrie i regula semnelor pentru înmul irea i împăr irea numerelor întregi.ț ț ș ț

73.Calcula i:ța. (−12)⋅(−3)b. 6⋅8c. (−3)⋅2d. 12⋅(−10)e. 5+ 7⋅(−1)f. 12 :3g. (−12) :(−3)h. (−12):3i. 12:(−6)

10

74. Scrie i ordinea efectuării opera iilor pentru numere întregi.ț ț

75.Calcula i respectând ordinea efectuării opera iilor:ț ța. 2+ 3⋅(−3)2

b. 12−144 :(−12)2

c. 4+ 5 :(−5)+ 320 :(−4)3

d. 240−260+ 20⋅(−3)⋅(−1)e. (−1)⋅(−12)+ 12⋅(−1)12

76.Calcula i:ța. −(−2)+ (−3)b. 4−(−5)+ 2⋅(−3)c. 12−(+ 3)⋅(−2)d. 120 :(−3)−(−5)+ 2⋅(−3)

77.Calcula i:ța. 2−510−6b. −21−−1−6c. 5−712−4−5d. ∣−3∣∣7∣−∣−2−36∣

78.Calcula i:ța. −2011−303525−1610−2−1b. 100−504−15−36c. ∣−4−3−1∣∣325−6∣

79.Completaţi propoziţiile:

a) Suma a două numere întregi pozitive este un număr întreg ...........

b)Suma dintre un număr întreg pozitiv şi un număr întreg negativ este

negativă dacă............

80. Calcula i:ța. 1−37−12b. −20−−11−5c. 6−811−3−5d. ∣−4∣∣6∣−∣−1−37∣

81. Rezolva i ecua iile:ț ța. x+ 12=24b. x−10=20c. x⋅(−2)=(−12)d. x :(−3)=(−2)⋅(−4)

11

Fi a de lucru numărul 5- opera ii cu numere realeș ț

82.Calcula i:ț

a. √25−√36b. √64−√49c. √169−√144

83.Care este condi ia ca un număr să fie pătrat perfect ? Dar cub perfect.ț

84. Scrie i următoarele numere ca pătrate de alte numere la puterea a doua:ța. 81 ; 100 ; 25 ; 144b. 289 ; 361 ; 400 ; 625c. 900 ; 576 ; 216 ; 729

85. Descompune i în factori primi următoarele numere:ța. 12 ; 45 ; 20 ; 40b. 36 ; 75 ; 125 ; 90c. 120 ; 200 ; 300 ; 128

86. Scoate i factori de sub radical:ț

a. √12 ; √20 ; √40b. √75 ; √144 ; √125c. √90 ; √200 ; √300

87.Introduce i factorii sub radical:ț

a. 2√3 ; 4√5 ; 6√7 ; 12√10b. 5√5 ;12√1 ; 1450√0 \

88.Calcula i:ț

a. √2⋅√ 4b. 5√10⋅4√10c. 10√3⋅√21

d. √144625

−√100225

e. √3681

⋅√259

f. √2010⋅√5

5

12

89.Calcula i:ț

a. √72−√62+ √42−√32

b. √102−√100c. √125−5√5

90.Scrie i formulele de calcul prescurtat.ț

91.Calcula i:ț

a. (√2+ √3)2

b. (5+ √5)2

c. (√2−√3)2

d. (5−√5)2

e. (3−√2)(3+ √2)f. (√5+ √2)(√5−√2)

92.Calcula i:ț

a. 2+ √2(√4−√2)b. √125 :(√5)c. √2(√2+ √3)2

d. 2√3(5−√8)2

e. 3√3(29−√729)2

93.Calcula i:ț

a. √122−(3−√1)2+ (√100−√144)2

b. √4 :√8−√24

+ (√2−√4)2

94.Ra ionaliza i frac iile:ț ț ț

a. 3√5

; 6√3

; 5√75

b. 7√100

; 9√30

; 4 √23√2

c. √10√20

; √82√2

; 52√4

d. 3√3−√2

; 4√7−√4

13

Fi a de lucru 6- ș opera ii cu numere reprezentate prin litereț

95.Completaţi propoziţiile:

a) Suma a două numere întregi pozitive este un număr întreg ...........

b)Suma dintre un număr întreg pozitiv şi un număr întreg negativ este

negativă dacă............

96.Calcula i:ța. 12a+ 5a−7ab. 4a−7a+ 3b−bc. 11ab+ 22ab−10ab−3abd. 7x+ 3x2−12x+ 20x+ 3x−3x2

e. 4x+ 5y−6x−6yf. 3x−4xy+ 5y+ 3x+ 4xy

97.Scrie i care sunt condi iile de adunare i scădere a două numere întregi.ț ț ș98.Scrie i care sunt condi iile de înmul ire i împăr ire a două numere întregi.ț ț ț ș ț

99.Completa i:ț

Minusul din fa a unei paranteze schimbă................................din paranteză.ț

100.Calcula i:ța. 3a−(4a+ 5b)−(−4a )+ 6bb. 11a−(3b−3a−4a)+ (−2a−3b+ 3b)c. 10a+ (−2a)+ (−2a+ 5a )d. 2x+ 3x2−5x−(+ 3x2)e. 24x2−(5x−6x−3x2−10x)+ (−3x)⋅(−7)f. x⋅x+ x+ x−x2

g. 4x+ 5x⋅x−25x2: x−5x2

101. Calcula i:ț

a. 12x3

−6x2

b. x+ x⋅√25+ 4x2

c. 20x2 :10x

d. 5x2

−x4

e. 20x7 −

2x21

14

102. Scrie i formulele de calcul prescurtatț

103. Calcula i:ț

a. ( x+ 1)2

b. ( x−2)2

c. (50+ 2)2

d. ( x+ 2)( x−2)e. (60−3)(60+ 3)f. (x+ 3)2−( x−3)2

104. Calcula i:ț

a. (2x)2

b. (3xy )2

c. (2x+ 1)2

d. (3x+ 4y)2

105. Calcula i:ț

a. (√2+ √7)2

b. (x−√2)2

c. ( x√3+ √2)2

106. Rezolva i ecua iile:ț ț

a. x2=4b. x2=9c. 7x2=63d. 5x2=20e. 2x2−32=0

107. Rezolva i ecua iile:ț ța. 2x+ 3=7b. 2x−1=−9c. 6x−5=7d. 3x+ 7=16e. 2x−1= x+ 3f. 3x−2= x+ 6g. 2( x−3)−3=x−2h. 5x+ 9+ 3(2x−1)=2x+ 24

15

Fi a de lucru numărul 7- elemente de geometrieș

108. Scrie i defini ia triunghiului:ț ța. isoscelb. echilateralc. dreptunghic

109. Desena i un triunghi isocel, echilateral i dreptunghic.ț ș

110. Desena i un unghi acu it i unul drept.ț ț ș

111. Completa i:ț

a. Suma măsurilor unghiurilor într-un triunghi este...............

b. Suma măsurilor unghiurilor în jurul unui punct este..........

c. Unitatea de măsură pentru unghiuri este......

d. Măsura unui unghi drept este de.............

112. Desena i două drepte:ț

a. paralele

b. perpendiculare

c. secante

113. Desena i un pătrat, un dreptunghi i un paralelogram i scrie i câte oț ș ș ț

proprietate pentru fiecare.

114. Calcula i perimetrul i aria unui dreptunghi cu dimensiunile de:ț ș

a. 2 i 3 cmș

b. 3 i 10 m.ș

c. 12 i 1,2 cm.ș

115. Calcula i perinetrul i aria unui pătrat cu latura de:ț ș

a. 12 cm

b. 20 m

c. 1,4 cm.

116. Care este condi ia de congruen ă a două segmente? Dar a două unghiuri?ț ț

16

117. Scrie i care sunt liniile importante dinț tr-un triunghi i scrie i defini ia lor.ș ț ț

118. Desena i într-un triunghi o mediană, o bisectoare, o înăl ime i oț ț ș

mediatoare.

119. Scrie i cazurile de congruen ă ale triunghiurilor oarecare. Ce alte cazuriț ț

de congruen ă cunoa te i?ț ș ț

120. Construi i din carton perechi de triunghiuri pentru fiecare din cazurileț

triunghiurilor oarecare.

121. Cum se nume te intrumentul geometric de măsurare a unghiurilor.ș

122. Construi i trei unghiuri i măsura i-le cu ajutorul raportorului.ț ș ț

123. Scrie i defini ia liniei mijlocii dintr-un triunghi.ț ț

124. Dacă într-un triunghi echilateral linia mijlocie este de 5 cm, calcula iț

perimetrul acestuia.

125. Dacă într-un triunghi oarecare ABC ti i că AB=4cm, AC= 3cm i ș ț ș

MN// BC, MN linie mijlocie, MN=2,5 cm, calcula i perimetrul triunghiului.ț

126. Într-un triunghi echilateral ABC, AB=4cm, iar M, N i P mijloaceleș

laturilor sale. Calcula i perimetrul triunghiului MNP.ț

127. Scrie i Teorema lui Pitagora.ț

128. Calcula i ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de 3 i 4 cm.ț ș

129.Calcula i cateta unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 5cm i o ț ș

catetă de 3 cm.

130. Verifica i dacă un triunghi cu laturile de 3, 4 respectiv 5cm este unț

triunghi dreptunghic.

131. Calcula i aria unui triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 100cm i o catetăț ș

de 80cm.

17

INDICA IIȚ

ex 1. -Indicaţii: Mai întâi efectuăm înmulţirea şi apoi adunarea şi scaderea.

Pentru a efectua înmulţirile, înmulţim fiecare cifră a numărului de jos cu fiecare cifră a numărului de sus. În cazul în care fiecare număr are mai multe cifre înmulţirea se desfăşoară pe mai multe linii lăsându-se spaţiu liber sub ultima cifră. În final aduăm rezultatele înmulţirii.Exemplu:

123 7 86 1 am înmulţit 7 cu fiecare cifră a lui 123

123 17 8 6 1 am înmulţit 7 cu fiecare cifră a lui 123 1 2 3 am înmulţit 1 cu fiecare cifră a lui 123 şi am lăsat spaţiu sub ultima cifră 2 0 9 1 am adunat rezultatele.

ex 2. -Indicaţii: -Mai întâi efectuăm înmulţirea şi împărţirea şi apoi adunarea şi scăderea. -Împărţirea ne arată de câte ori este cuprins un număr în alt număr. -Pentru a verifica împărţirea se poate face o înmulţire şi invers. -Înmulţirea cu 10, 100,1000... adaugă vechiului număr un 0, doi de 0, trei de 0...Exemplu: 231⋅10=2310 43⋅100=4300 17⋅1000=17000 ex 3. -Indicaţii: -Ridicarea la putere înseamnă o înmulţire repetată

Exemplu: 23=2⋅2⋅232=3⋅353=5⋅5⋅5=25⋅5=125

REGULI DE CALCUL CU PUTERI: -Când avem de efectuat o înmulţire cu aceeaşi bază, adunăm puterile.Exemplu: 43⋅42=432=45 63⋅64=634=67 -Când avem de efectuat o împărţire cu aceeaşi bază, scădem puterile.Exemplu: 43: 42=43−2=41=4 64⋅62=64−2=62=6⋅6=36 -Când ridicăm o putere totul la o putere, înmulţim puterile:Exemplu: 324=32⋅4=38 235=23⋅5=215

ex 4. -Indicaţie: -Orice număr ridicat la puterea 0 este egal cu 1. Exemplu: 120=1 ; 20110=1 ; 70=1

18

ex 5. -Indicaţie: -Un număr este divizibil cu 2 dacă i numai dacă este par.ș-Un număr este divizibil cu 5 dacă i numai are ultima cifră 0 sau 5.ș-Un număr este divizibil cu 10 dacă i numai are ultima cifră 0.ș

ex 8. -Indicaţii: -Numerele prime sunt numerele care se împart exact doar la ele însele şi la 1.Exemplu: Numere prime : 2,3 ,17,31 ,37...

ex 9. -Indicaţie: Exemplu de descompuneri în factori primi: 8 2 20 2 110 2 123 3 4 2 10 2 55 5 41 41 2 2 5 5 1111 1 1 1 1

ex 10. Indica ii:ț-cu ......mai mare înseamnă adunare-cu ......mai mic înseamnă scădere-de ...... ori mai mare înseamnă înmul ireț-de ......ori mai mic înseamnă împăr ire.ț

ex 12. Indica ii:țo ecua ie este o propozi ie matematică în care apare o singură dată semnul egalț ța rezolva o ecua ie înseamnă a-i găsi mul imea solou iilorț ț țMetodă de a rezolva o ecua ie de gradul I:țîn cazul în care avem o ecua ie de gradul I separăm cunoscutele de necunoscute ( deț obicei necunoscutele se mută în stânga egalului iar cunoscutele se mută în dreapta egalului).Atunci când mutăm un termen de cealaltă parte a egalului îi schimbăm semnul.Ex de rezolvare: 2x+1=11Pentru a rezolva ecua ia trebuie să aflăm valoarea necunoscutei x.țMai întâi mutăm în dreapta egalului vecinul cel mai îndepărtat de x, adică pe 1.Observăm că în stânga are semnul +, a adar în dreapta egalului va avea semnul -.ș2x=11-1, adică 2x=10.Apoi îl mutăm i pe 2 în dreapta cu semn schimbat- înmul irea se va transforma înș ț împăr ire. țx=10:2 adică x=5. Am rezolvat ecua ia fiindcă am aflat valoarea necunoscutei x.țEx 15. -Indicaţii:-se folose te teorema împăr irii cu rest:ș ț

D : Î=C , RD=C⋅Î+ RR< Î

Exemplu 1 :25 :3=8, r=225=8⋅3+ 2

Exemplu 2 :x :6=3, r=5x=6⋅3+ 5

Exemplu 3 :22 : x=4, r=2x⋅4+ 2=23 → x=(22−2): 4

19

Ex 18. -Indicaţii:-prima modalitate este să se efectueze mai întâi calculul din paranteză.-a doua modalitate după formula:

a⋅(b+ c)=a⋅b+ a⋅csaua⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c

adică se folose te distributivitatea înmul irii fa ă de adunare i fa ă de scădere.ș ț ț ș ț

exemplu : 3⋅(17+ 10)=3⋅17+ 3⋅10

Ex 19. -vezi indica ie 3ț

Ex 20- vezi indica ie 8ț

Ex 21- vezi indica ie 9ț

Ex 22- vezi indica ie 41ț

Ex 23- Indica ii:țA amplifica o fracţie cu un număr înseamnă a înmulţi şi numărătorul şi numitorul cu acel număr.

Exemplu: 23

4⋰

=2⋅43⋅4

=8

12 510

7⋰

= 5⋅710⋅7

=3570

Ex 24. -Indica ii:țA simplifica o fracţie cu un număr înseamnă a împărţi şi numărătorul şi numitorul cu acel număr.

Exemplu: 48

⋱2

=4 : 28: 2

=24 4

8

⋱4

=4: 48 :4

=12

ex 25. -Indicaţii:O fracţie echivalentă(egală) cu o altă fracţie se obţine amplificând sau după caz simplificând prima fracţie printr-un număr. Verificarea egalităţii celor două fracţii se face înmulţind mezii cu extremii.

Exemplu: 23

4⋰

= 812

⋱2

= 46

3⋰

=1218

. Fracţiile 23

; 812

; 46

iș 1218 sunt echivalente.

ex 26. -Indicaţii: Pentru a înmulţi două fracţii înmulţim numărătorii între ei şi numitorii între ei.Pentru a împărţi două fracţii înmulţim prima fracţie cu inversul celei de a doua.

ex 27. -vezi indica ie 41ț

ex 30. -vezi indica ie 23ț

20

ex 31 -vezi indica ie 24ț

ex 32. -Indicaţie: O fracţie ireductibilă este o fracţie ce nu se mai poate simplifica.

ex 34. -vezi indica ie 8ț

ex 35. -vezi indica ie 9ț

ex 37. -vezi indica ie 41ț

ex 38. -vezi indica ie 12ț

ex 41. -Indica ie:ț-pentru a aduna sau a scade două frac ii ordinare ele trebuiesc aduse la acela i numitorț ș-se caută cel mai mic multiplu comun pentru numitorii frac iilor:ț

-c.m.m.m.m.c se notează cu [;] şi se calculează astfel:P1-Descompunem numerele în factori primi.P2-C.m.m.m.c va fi egal cu produsul dintre factori comuni la puterea cea mai mare şi factorii necomuni. Exemplu: Calculaţi: a)[12;6], b)[8,10,20] a)P1-Descompunem numerele în factori primi (vezi exerciţiul 6)

12=22⋅36=2⋅3

P2-Înmulţim factorii comun la puterea cea mai mare cu factorii necomuni[12 ;6]=22⋅3

b)P1-Descompunem numerele în factori primi (vezi exerciţiul 6)8=23

10=2⋅520=22⋅5

P2-Înmulţim factorii comun la puterea cea mai mare cu factorii necomuni[8 ;10 ;20]=23⋅5=8⋅5=40

-apoi se amplifică fiecare frac ie cu câtul dintre numitorul comun (c.m.m.m.c găsit) iț ș numotorul fiecărei frac ii.ț

21

ex 42. -Indica ie:ț-c.m.m.m.d.c se notează cu (;) şi se calculează astfel:P1-Descompunem numerele în factori primi.P2-C.m.m.d.c va fi egal cu produsul dintre factori comuni la puterea cea mai mică. Exemplu: Calculaţi: a) (12,6) b) (8,20,36) a)P1-Descompunem numerele în factori primi

12=22⋅36=2⋅3

P2-Înmulţim factorii comuni la puterea cea mai mică.(12,6)=2⋅3=6

b)P1-Descompunem numerele în factori primi 8=23

20=22⋅536=22⋅32

P2-Înmulţim factorii comun la puterea cea mai mare cu factorii necomuni(8,20,36)=22=4

ex 43-vezi indica ie 41ț

ex 47. -Indica ie:ț-pentru a introduce întregii într-o frac ie înmul im întregul cu numitorul i adunăm laț ț ș rezultat numărătorul.-se folose te formula:ș

a bc=a⋅c+ b

c exemplu : 2 45=2⋅5+ 4

5sau

a bc=a+ b

c exemplu : 2 45=2+ 4

5ex 49. -Indica ie:ț-un număr este divizibil cu 2 dacă este număr par-un număr este divizibil cu 5 dacă se termină în 0 sau în 5-un număr este divizibil cu 3 respectiv 9 dacă suma cifrelor sale este un număr divizibil cu 3 respectiv 9.

ex 52. -Indica ie:ț- o frac ie zecimală poate fi scrisă ca frac ie ordinară, având numărătorul egal cuț ț numărul ob inut prin eliminarea virgulei i numitorul o putere al lui zece cu exponentulț ș egal cu numărul de zecimale.

– EX: 2,3=2310

; 3,41=341100

; 12,7=12710

; 5,674=56741000

22

ex 53. -Indica ie:ț– o frac ie ordinară cu numitorul 10, 100, 1000, etc... se scrie ca frac ie zecimală,ț ț

punând virgula la numărul de la numărător, de la dreapta la stânga , după un număr de cifre egal cu numărul zerourilor de la numitor (1 pt 10, 2 pt 100, 3 pt 1000 etc...).

ex 54. -Indica ie:ț-un număr este pătrat perfect dacă se poate scrie ca alt număr la puterea a doua.EX: 9, 36, 121, 144 sunt pătrate perfecte pentru că:

9=32 ; 36=62 ; 121=112 ; 144=122

ex 55. -Indica ie:ț-un număr este cub perfect dacă se poate scrie ca alt număr la puterea a treia.EX: 9, 36, 121, 144 sunt pătrate perfecte pentru că:

9=32 ; 36=62 ; 121=112 ; 144=122

ex 61. -Indica ie:ț-pentru a aduna sau a scade două frac ii zecimale se a ează numerele unele sub alteleț ș astfel încât parte întreagă să fie sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi i a a mai departe.ș ș

ex 64. -Indica ie:ț-a. Două frac ii zecimale le înmul im ca două numere naturale (nu inem cont deț ț ț virgulă), iar produsul ob inut are atâtea zecimale câte au împreună cele două frac iiț ț zecimale-b. Pentru a împăr iț o frac ie zecimală la un număr natural, parcurgem următorii pa i:ț ș pas1.- împăr im partea întreagă la numărul dat i scriem virgula la cât;ț ș pas2.- continuăm împăr irea ca la numerele naturale fără a ine cont de virgulă.ț ț Obs. La unele împăr iri trebuie să adăugăm zerouri la deîmpăr it.ț ț-c. Pentru a împăr i un număr natural la o frac ie zecimală finită i pentru a ț ț ș împăr iț două frac ii zecimale care au un număr finit de zecimale nenule, efectuămț următorii pa i:ș pas1. - înmul im atât deîmpăr itul , cât i împăr itorul cu o putere al lui 10, pentru caț ț ș ț împăr itorul să devină un număr natural;ț pas2. - împăr im deîmpăr itul ob inut la noul împăr itor după regula de împăr ireț ț ț ț ț a unei frac ii zecimale la un număr natural.ț

ex 67. -Indica ie:ț-în cazul adunării i scăderii numerelor întregi, procedăm astfel:ș-dacă numerele au acela i semn, le adunăm i la rezultat copiem semnul.ș șEX: +3+4=+7; 7+11=18 -3-4=-7; -7-11=-18-dacă numerele au semne diferite le scădem i rezultatului îi punem semnul celui maiș

23

mare.EX: +3-4=-1; -7+11=+4; -3+4=+1; 7-11=-4.-obs: dacă un număr nu are nici un semn în fa ă înseamnă că el are semnul +. țEx: 7 are semnul + în fa ă, chiar dacă nu apare.ț

ex 68. -Indica ie:ț-pentru înmul irea i împăr irea numerelor zecimale se aplică regula semnelor.ț ș ț

Regula semnelor:+⋅+ =+−⋅−=++⋅−=−−⋅+ =−

la fel i la împăr ire ș ț

+ : + =+− : −=++ : −=−− : + =−

Regula semnelor ne arată că dacă două numere au acela i semn, în cazul înmul irii sau alș ț împăr irii rezultatul este pozitiv, iar dacă au semne diferite, rezultatul este negativ.ț

ex 69. -Indica ie:ț-opusul unui număr întreg diferit de zero este acel număr cu semn schimbat.EX: Opusul lui 3 este -3.

Opusul lui -12 este +12.Opusul lui 1

2 este −12

ex 70. -Indica ie:ț-modulul unui număr întreg pozitiv este acel număr; modulul numărului întreg 0 este 0.-modulul unui număr întreg negativ este opusul acelui număr.EX: |-3|=+3; |12|=12; |-120|=120; |5|=5.

ex 74. -Indica ie:ț-ordinea efectuării opera iilor pentru numrele întregi este aceea i ca i pentru numereț ș ș naturale:

-mai întâi efectuăm ridicarea la putere, apoi înmul irea i împăr irea iar la sfâr itț ș ț ș adunare i scăderea.ș

Ex 75- Indica ie:țObs: Orice număr negativ ridicat la o putere pară ne dă un număr pozitiv:EX: (−2)2=+ 4 ; (−3)2=+ 9 ; (−1)10=+ 1 ; (−2)4=16 ; (+ 1)2=+ 1Obs: Orice număr negativ ridicat la o putere impară ne dă un număr negativ:EX: (−2)3=−8 ; (−3)3=−27 ; (−1)13=−1 ; (−2)5=−32 ; (+ 1)5=+ 1Obs: Numărul pozitiv ridicat la orice putere î i tot pozitiv va fi.ș

Ex 79- vezi indica ie 67.ț

24

Ex 82- Indica ie:ț-pentru a extrage rădăcina pătrată cu exactitate trebuie ca numărul de sub radical să fie pătrat perfect.

Ex 83- vezi indica ie 54.ț

Ex 86- Indica ie:ț-pentru a scoate factori de sub radical trebuie mai întâi ca numerele de sub radical să fie descompuse în factori primi, apoi grupăm termenii care se repetă doi câte doi, iar unul din doi va ie i în fa a radicalului; ceilal i care nu se repetă, rămân sub radical.ș ț țEX:√12=√22⋅3=2√3

12 2 2 6 2 3 3 1

Formula generală: √a2⋅b=a√b , dacă a> 0Ex 87- Indica ie:ț

– pentru a introduce factorii sub radical, aplicăm formula:a⋅√b=√a2⋅b , unde a⩾0 iș b⩾0

EX: 2√5=√22⋅5=√20

Ex 88- Indica ie:ț– atunci când înmul imi două numere reale cu factori sub radical, înmul im factoriiț ț

din fa a radicalului cu factorii din fa a radicalului i factorii de sub radical cuț ț ș factorii de sub radical.

– EX: 2√3⋅5√7=2⋅5√3⋅7=10√21– la fel i la împăr ireș ț– radicalul se poate distribui pentru o frac ie ordinară i la numărător i la numitor.ț ș ș

– EX:√9

25 =√9√25

=35

√50100

=√50√100

=5√210

25

Ex 90- Indica ie:țFormulele de calcul prescurat cele mai folosite sunt:

(a+ b)2=a 2+ 2ab+ b2

(a−b)2=a 2−2ab+ b2

(a+ b)(a−b)=a2−b2

Ex 94- Indica ie:ț

caz I: a√b

=a√bb prin amplificare cu √b

caz II: a√b±√c

=a(√b∓√c)

b−c prin amplificare cu √b∓√c

Indica ii geometrieț

Proprietãtile triunghiului- suma mãsurilor unghiurilor unui triunghi este egalã cu 1800

- într-un triunghi echilateral, mãsura unui unghi este 600

- într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascutite sunt complementare- într-un triunghi dreptunghic isoscel, unghiurile ascutite au 450

- un triunghi isoscel în care mãsura unuia dintre unghiuri este 600 este echilateral- se numeste unghi exterior al unui triunghi, un unghi care este adiacent si suplementar cu un unghi al triunghiului- mãsura unui unghi exterior al unui triunghi este egalã cu suma mãsurilor celor douã unghiuri ale triunghiului neadiacente cu el

Triunghiul isoscel- se numeste triunghi isoscel triunghiul care are douã laturi congruente- proprietãtile triunghiului isoscel :1. dacã un triunghi este isoscel, atunci unghiurile opuse laturilor congruente, sunt congruente si reciproc2. în orice triunghi isoscel, bisectoarea unghiului din vârf, mediana corespunzãtoare bazei, înãltimea corespunzãtoare bazei si mediatoarea bazei coincid

Triunghiul echilateral- se numeste triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente- proprietãtile triunghiului echilateral :1. unghiurile unui triunghi echilateral sunt congruente2. triunghiul cu toate unghiurile congruente este echilateral3. în orice triunghi echilateral bisctoarele unghiurilor coincid cu medianele, mediatoarele si înãltimile triunghiului

Triunghiul dreptunghic- se numeste triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept

26

- într-un triunghi dreptunghic cateta care se opune unui unghi cu mãsura de 30 o are lungimea egalã cu jumãtate din lungimea ipotenuzei- în orice triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzãtoare ipotenuzei este egalã cu jumãtate din lungimea ipotenuzei

Relatiile între laturile si unghiurile unui triunghi- într-un triunghi, unui unghi mai mare i se opune o laturã mai mare si reciproc.

Profesor Gheorghiţă Adrian Ştefan

27