INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32

05www.satmar.rowww.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa aVII-a

1. a) Arătați că 1

1∙2=

1

1−

1

2 și

1

2∙3=

1

2−

1

3.

b) Efectuați: 1

1∙2+

1

2∙3+

1

3∙4+ ⋯ +

1

999∙1000.

c) Determinați numărul natural x pentru care 1

1∙2+

1

2∙3+

1

3∙4+ ⋯ +

1

𝑥∙(𝑥+1)=

2018

2019.

prof. Ionela Turturean

2. Se dau numerele a=2√5și b=5√5.

a) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor a și b

b)Să se determine suma tuturor numerelor naturale cuprinse între numerelereale a și b.

prof. Cristian Guț

3. Terenul de sport al unei şcoli este reprezentat în figură.

Acesta este format din dreptunghiul ABCD,triunghiul BMC,

pătratul CNRF, iar NRPD reprezintă o zonă în care se află

groapa cu nisip şi o grădină cu flori. Se ştie că

m(ABM̂)=1500, m(MCF̂)=120, N ∈ CD, R ∈ FP, perimetrul

dreptunghiului ABCD este 70 m, lăţimea BC este 40% din

lungimea AB, iar CN

ND=

3

2.

a) Arătaţi,că triunghiul MBC este echilateral.

b) Calculaţi aria dreptunghiului ABCD.

c) Câţi metri parcurge un elev la ora de educaţie fizică pe

traseul𝐴 → 𝐵 → 𝑀 → 𝐶 → 𝐹 → 𝑅 ?

prof. Posz Andrea

4. Fie B un punct situat în interiorul segmentului AC și un punct O AB. O paralelă la AB

intersectează segmentele OA, OB și OC în M, N, respectiv P . Dacă OM = 3, AM = x+1,

ON = 5 și NB = 2x + 1, x- număr natural, arătați că OP = CP.

prof. Bianca Nica

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.

SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa a VII-a

1. a) Mutasd ki, hogy 1

1∙2=

1

1−

1

2 és

1

2∙3=

1

2−

1

3.

b) Végezd el: 1

1∙2+

1

2∙3+

1

3∙4+ ⋯ +

1

999∙1000.

c) Határozd meg azt az x természetes számot, 1

1∙2+

1

2∙3+

1

3∙4+ ⋯ +

1

𝑥∙(𝑥+1)=

2018

2019.

prof.Turturean Ionela

2. Adottak az a=2√5 és b=5√5 számok.

a) Számítsd ki az a és b számok számtani és mértani középarányosát.

b) Számítsd ki az a és b számok közötti természetes számok összegét.

prof.Guț Cristian

3. A mellékelt ábra egy iskola sportpályájának telkét ábrázolja. Ez ABCD téglalapból, BMC

háromszögből, CNRF négyzetből egy homokos területet, valamint NRPD egy virágoskertet

ábrázol. Adott, hogy m(𝐴𝐵�̂�)=1500, m(𝑀𝐶�̂�)=1200, 𝑁 ∈ 𝐶𝐷, 𝑅 ∈ 𝐹𝑃, kerülete ABCD

téglalapnak 70 m, BC szélessége 40%-a AB hosszúságnak, valamint𝐶𝑁

𝑁𝐷=

3

2 .

a) Mutasdki, hogy MBC háromszög egyenlőoldalú.

b) Számítsd ki ABCD téglalap területét.

c) Hány métert fut le 𝐴 → 𝐵 → 𝑀 → 𝐶 → 𝐹 → 𝑅 útvonalon

egy tanuló testnevelés órán?

prof.Pósz Andrea

4. Legyen B az AC szakasz egy belső pontja és O egy pont úgy, hogy O AB. Az AB

egyeneshez húzott párhuzamos az OA, OB és OC szakaszokat az M, N illetve P pontokban

metszi. Tudva azt, hogy OM = 3, AM = x+1, ON = 5 és NB = 2x + 1, x- természetes szám,

mutasd ki, hogy OP = CP.

prof. Bianca Nica

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.

SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa aVII-a

barem de corectare

punctaj

1. a) 1

1−1

2=2−1

1∙2=

1

1∙2

1

2−1

3=3−2

2∙3=

1

2∙3

1p

b) scrie fiecare termen al sumei cf. pct. a 1p

reduce termenii 1p

finalizează, 1

1−

1

1000=

999

1000 1p

c) procedează ca mai sus și reduce termenii

1

1−

1

𝑥+1=2018

2019

1p

𝑥

𝑥 + 1=2018

2019 1p

x=2018

1p

2. a) 𝑚𝑎 = (𝑎 + 𝑏): 2 =7√5

2 2p

𝑚𝑔 = √𝑎 ∙ 𝑏 = √50 = 5√2

2p

b) 4<a<5 , 11<b<12 1p

Numerele cuprinse între a și b sunt: 5, 6, …, 11; 1p

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Suma, 5+6+7+8+9+10+11=56 1p

3. a) m(𝑀𝐵�̂�)=m(𝑀𝐶�̂�)=600⇒ ∆ 𝑴𝑩𝑪–echilateral

1p

b) BC=0,4AB

PABCD=70 m ⇒2AB+2BC=70 m

1p

AB=25 m , BC=10 m

1p

AABCD = AB ∙ BC= 250 m2

1p

c) 𝐶𝑁

𝑁𝐷=3

2⇒𝐶𝑁+𝑁𝐷

𝑁𝐷=3+2

2⇒

25

𝑁𝐷=5

2⟹𝑁𝐷 = 10 𝑚

𝐶𝑁 = 15 𝑚

2p

AB+BM+MC+CF+FR=25+10+10+15+15=75 m 1p

4. Construiește figura 1p

In ∆ OAB , MN || AB 𝑇.𝑇ℎ.⇒

𝑂𝑀

𝑀𝐴=

𝑂𝑁

𝑁𝐵 =>

3

𝑥+1 =

5

2𝑥+1 1p

3(2𝑥 + 1) = 5(𝑥 + 1), 6𝑥 + 3 = 5𝑥 + 5 1p

6𝑥 − 5𝑥 = 5 − 3

𝑥 = 2 => MA = 2 + 1 = 3, NB = 2 ∙ 2 + 1 = 5 2p

In ∆ OBC , NP || BC 𝑇.𝑇ℎ.⇒

𝑂𝑁

𝑁𝐵=

𝑂𝑃

𝑃𝐶

5

5 =

𝑂𝑃

𝑃𝐶 1p

5 ∙ 𝑂𝑃 = 5 ∙ 𝑃𝐶 | : 5 => 𝑂𝑃 = 𝑃𝐶

1p

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32

05www.satmar.rowww.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa aVII-a

1. a) Fie numărul 𝑎 = √2,3(5) + 3,5(2) + 5,2(3). Arătați că a∈ Q.

b) Arătați că numărul A=(1 + 1) (1 +1

2) (1 +

1

3) ∙ … ∙ (1 +

1

2018) este număr întreg.

prof. Bianca Nica,prof. Erdei Andrea

2. a) Calculați media aritmetică și media geometrică a numerelor reale x și y care verifică relația:

|𝑥 − 2√2| + |𝑦 −2

√2| ≤ 0.

b) Arătaţi că: 1

11

1

1

kkkk , *Nk și apoi folosind egalitatea, calculaţi suma:

20192018

1...

12

1

6

1

2

1

.

prof. Ionela Turturean, prof. Schradi Edit

3. Mariei îi plac florile; împreună cu mama ei a

aranjat grădina ca în figura alăturată în care

pătratele DETS și FGVU sunt plantate cu

panseluțe, dreptunghiul TEFU, cu gazania iar

trapezele dreptunghice STOM și VUON cu

begonia. Restul suprafeței dreptunghiulare

PARC este plantată cu gazon. Știind că PA=16

m, PC=9 m, DE=FG=SM=VN=3m, și măsurile

unghiurilor ∢TOM și ∢UON sunt de 45, determinați:

a) Câți metri pătrați au fost plantați cu panseluțe.

b) Câți metri pătrați au fost plantați cu begonia.

c) Câți metri pătrați au fost plantați cu gazania.

d) Câți metri pătrați au fost plantați cu gazon.

prof. Ionela Turturean

4. Fie ΔABC oarecare cu m(∢B)=72, m(∢A)=57, punctul G este centrul de greutate al

triunghiului, iar punctele E și F aparțin laturilor AB, respectiv AC astfel încât 3AE=2AB și

m(∢GFC)=129.

a) Să se arate că EG BC.

b)Să se arate că punctele E, G, și F sunt coliniare.

prof. Cristian Guț

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie. SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa a VII-a

1. a) Legyen 𝑎 = √2,3(5) + 3,5(2) + 5,2(3). Mutasd ki, hogy a∈ Q.

b) Bizonyítsd be, hogy

2018

11...

3

11

2

1111A

egy egész szám.

prof.Nica Bianca, prof. Erdei Andrea

2. a) Számítsd ki az x és y valós számok számtani és mértani középarányosát, ha tudjuk, hogy:

|𝑥 − 2√2| + |𝑦 −2

√2| ≤ 0.

b) Mutasd ki, hogy: 1

11

1

1

kkkk , *Nk aztán, felhasználva az előző egyenlőséget,

számítsd ki a következő összeget 20192018

1...

12

1

6

1

2

1

.

prof. Ionela Turturean, prof. Schradi Edit .

3. Mária szereti a virágokat; az édesanyjával együtt a mellékelt ábra szerint ülteti be a kertet: a

DETS és FGVU négyzetekbe árvácskát, a TEFU téglalapba gerberát, a STOM és VUON

derékszögű trapézokba pedig begóniát ültettek.

A PARC téglalap többi részét befüvesítik.

Tudva azt, hogy PA=16 m, PC=9 m,

DE=FG=SM=VN=3 m, a MOT ˆ szög és NOU ˆ

szög mértéke 45 , határozd meg:

a) Hány négyzetméteren ültettek árvácskát?

b) Hány négyzetméteren ültettek begóniát?

c) Hány négyzetméteren ültettek gerberát?

d) Hány négyzetméter a füves terület?

prof.Turturean Ionela

4. Legyen az ABC -ben m(B∢)=72⁰,m(A∢)=57⁰. Legyen G a háromszög súlypontja, E és F az

AB illetve AC oldal egy-egy pontja úgy, hogy 3AE=2AB és m(GFC∢)=129⁰.

a) Mutasd ki, hogy EG II BC.

b) Mutasd ki, hogy E,G és F kollineáris pontok.

prof. Cristian Guț

Notă: Timp de lucru 2 ore.

Rezolvarea fiecărei probleme este obligatorie.

SUCCES!

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

Concursul Național de Matematică pentru clasele a IV-a - a VIII-a

„Olimpiada Satelor din România”

23.02.2019

Clasa a VII-a

barem de corectare

punctaj

1. a) 𝑎 = √2

35−3

90+ 3

52−5

90+ 5

23−2

90 1p

𝑎 = √232

90+ 3

47

90+ 5

21

90 𝑎 = √

212

90+

317

90+

471

90 1p

𝑎 = √1000

90 = √

100

9 1p

= √100

√9 =

10

3 ∈ Q 1p

b) Efectueză sumele din paranteze 1p

Simplifică 1p

Finalizează, rezultat A=2019 1p

2a. a) |𝑥 − 2√2| ≥ 0, |𝑦 −2

√2| ≥ 0, 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑑𝑒,

𝑥 = 2√2, 𝑦 =2

√2

1p

ma=𝑥+𝑦

2=

3√2

2

1p

mg=√𝑥 ∙ 𝑦 = √4 = 2 1p

INSPECTORATUL

ŞCOLAR

JUDEŢEAN

SATU MARE

___________________________________________________________________________

Str. 1 Decembrie 1918 nr. 6 Str. General Berthelot nr. 28-30,

Cod 440010 Satu Mare Sector 1, 010168, Bucureşti

Tel. +40 (0)261712175 Tel: +40 (0)21 405 57 06

Fax: +40 (0)261713441 Fax: +40 (0)21 310 32 05

www.satmar.ro www.edu.ro

2b.

11

1

1

1

111

kkkk

kk

kk

kk

; 1p

2

1

1

1

21

1

2

1

3

1

2

1

32

1

6

1

4

1

3

1

43

1

12

1

.............................

2019

1

2018

1

20192018

1

2p

2019

2018

2019

1

1

1

20192018

1...

6

1

2

1

1p

3. a) Apătrat=l2=9 m2, Apanseluțe=18 m2 1p

b) htrapez=3 m, MO=6 m 1p

Atrapez=3(3+6):2=13,5 m2, Abegonia=27 m2 1p

c) UT=6 cm, Agazania=36=18 m2. 2p

d) APARC=916=144 m2 1p

Agazon=APARC- Apanseluțe- Abegonia- Agazania=144-18-27-18=81 m2 1p

4. a) Din 3AE=2AB rezultă că 𝐴𝐸

𝐴𝐵=

2

3 1p

G centru de greutate, de unde rezultă că 𝐴𝐺

𝐴𝑀=

2

3 ,M este mijlocul [BC] 1p

Rezultă că 𝐴𝐸

𝐴𝐵=

𝐴𝐺

𝐴𝑀 , de unde pe baza reciprocei teoremei lui Thales rezultă că

EG BC

2p

b) Calcularea m(∢C)=51⁰

Calcularea m(∢GFA)=51⁰

1p

Din faptul că (∢C,∢GFA) reprezintă o pereche de unghiuri corespondente

congruente , rezultă că GF BC 1p

EG BC si GF BC de unde pe baza axiomei lui Euclid rezultă că punctele

E, G, F sunt coliniare 1p