Probleme Rezolvate Matematica Etapa Locala Clasa a Via

7/22/2019 Probleme Rezolvate Matematica Etapa Locala Clasa a Via

1/10

Probleme pregatitoareETAPA LOCAL? A OLIMPIADEI DE MATEMATICAClasa a VI-a

Enun? Problema nr.1Se consider? un unghi alungit ?i, n acela?i semiplan determinat de dreapta AB seconsider? (n-1) semidrepte distincte care mpart n n unghiuri, n?N, n ? 2. Acesten unghiuri formate au m?surile (n grade sexagesimale) exprimate prin numere naturale diferite.a) S? se g?seasc? valoarea maxim? a num?rului natural n;b) Pentru valoarea lui n g?sit? la punctul a), da?i un exemplu n care s? preciza?i m?surile celor n unghiuri care se formeaz?;c) S? se determine num?rul maxim de unghiuri care se pot forma (n condi?iile precizate n enun?) dac? unul dintre unghiuri este drept.Barem de corectare problema nr. 1a) Pentru ca n (num?rul de unghiuri) s? fie maxim, trebuia ca m?surile acestor unghiuri s? fie ct mai mici. Deoarece masurile acestor unghiuri sunt exprimate prin numere naturale diferite, cele mai mici valori pot fi: 10, 20, , n0. Dar sumam?surilor celor n unghiuri este 1800. nseamn? c? 10+20+ +n0 ? 1800 ==> ==> ?i cum n este num?r natural, n ? 18. Valoarea maxim? a lui n este 18.b) Un exemplu ar putea fi 10, 20, 30, , 160, 170, 270.c) Dac? unul dintre unghiuri este drept, revenim n cazul a) dar cu n-1 unghiuri ac?ror sum? a m?surilor este de 900.10+20+ +(n-1)0 ? 900 ==> ==> ==> n ? 13. Valoarea maxim? a lui n n acest caz e

ste 13.Enun? Problema nr.2

Demonstra?i c? , pentru orice numere naturale m ?i n.Barem de corectare problema nr. 2

Din cele dou? rela?ii rezult? imediat inegalitatea din enun?.Enun? Problema nr.3a) Exist? numere de cinci cifre, cu cifrele distincte dou? cte dou?, formate cu c

ifrele 0, 1, 4, 6, 9 care, prin mp?r?ire la 3, dau restul 1?b) Cte numere de cinci cifre, cu cifrele distincte dou? cte dou?, formate cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9, sunt p?trate perfecte?

Barem de corectare problema nr. 3Se demonstreaz? mai nti c? restul mp?r?irii la 3 (?i respectiv la 9) a unui num?r natural ?i respectiv a sumei cifrelor sale este acela?i (pentru u?urin??, se poate demonstra pentru numere de 5 cifre).Cum ?i , avem . Deci restul mp?r?irii num?rului la 3 ?i respectiv la 9 este egal cu restul mp?r?irii num?rului la 3 ?i respectiv la 9.

a) Numerele de cinci cifre distincte care se pot forma cu 0, 1, 4, 6, 9 au suma cifrelor 20=M3+2. nseamn? c? restul mp?r?irii oric?rui num?r cu forma indicat? la 3 va fi egal cu 2. Nu exist? numere de cinci cifre distincte formate cu 0

, 1, 4, 6, 9 care s? aib? restul mp?r?irii la 3 egal cu 1.b) Orice num?r natural are una din formele: 3k, 3k+1, 3k+2. Avem:

nseamn? c?, orice p?trat perfect are forma M3 sau M3+1. Cum numerele naturale care respect? enun?ul problemei sunt de forma M3+2, va rezulta c? nu exist?p?trate perfecte formate din cinci cifre distincte, cu cifrele 0, 1, 4, 6, 9.Enun? Problema nr.4Pre?ul unui obiect a fost majorat cu p% ?i apoi, noul pre? a fost mic?orat cu q%din el astfel nct obiectul cost? n final ct a costat ini?ial. S? se arate c? ?N.Barem de corectare problema nr. 4


2/10

Fie x lei pre?ul ini?ial al obiectului.Dup? majorarea cu p%, obiectul cot? acumDup? reducerea cu q%din noul pre?, obiectul cost?Pentru c? pre?ul final va fi acela?i cu cel ini?ial, vom avea:==> (100 - q)(100 + p)=10000 ==> 10000+100p-100q-pq=10000 ==> 100(p-q)=pq ==> =100?N.Problema 5Sa se arate ca daca un numar este divizibil cu 197 , atunci dublul numarului rezultat din ultimele doua cifre ale sale , adunat cu de 3 ori numarul ramas prin eliminarea acestor doua ultime cifre , formeaza de asemenea un numar divizibil cu197.Barem Problema 5* Din oficiu ............................................................................................................1p* Scrie ,numar dat, care prin ipoteza este divizibil cu 197 .............................................................................................................................2p* A se mai poate scrie si sub forma .......................................2p* Numarul nou format va fi : ......................................................1p* Deduce ca B se mai poate scrie : ..............................................................................................................................2p

* Intrucat si , deduce ca ..........................................2pProblema 6Sa se determine numerele rationale a, b, c, numerele naturale pare k si numerelenaturale n care satisfac conditiile a+b+c=12 si .Barem Problema 6Din oficiu....................................................................................................................1p* .......1,5p* Din ipoteza, .....................................................................................1,5p* Deoarece , kN.............................................1,5p* Cum kN, k+5 se afla printre elementele multimii {6, 9, 18}....................

......1,5p* Tinand seama de conditia k par (deci k+5 impar) se gaseste k=4, care conduce la n=2... ..................................................................................................................1,5p* Apoi din , gasim a= si analog b=4, c=......................................1,5p

Problema 7Fie numerele nenule a, b, c, d.Stiind ca , sa se calculeze.Barem Problema 7

* Din oficiu.............................................................................................................1p

* Scrie ...........................................................1p* Deduce ca ............2p* Inversand rapoartele avem :

: .....2p* Ob?ine ........................................................................................................2p* Din..........................................2p

Problema 8Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD astfel incat [OB si [OC sunt interioare u


3/10

nghiurilor AOC si respectiv BOD si [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC si respectiv COD. (Punctele B, C, D sunt de aceeasi parte a dreptei OA).a) Aratati ca .b) Daca , aratati ca .c) Daca [ON este si bisectoarea unghiului MOP, dovediti ca .

Barem Problema 8Din oficiu....................................................................

.................................................1pa) Ajunge la .......1pAjunge la ..........................................1pb) Ajunge la ............................................................

..................1,5pc) bisectoarea ............................................1p

bisectoarea ............................................1p.........................................................

...................2pAjunge la si ...............................1p

.................................................................................................0,5p

Problema nr. 9Determina?i numerele nenule a, b, c, invers propor?ionale cu numerele 5, 6 , 10?tiind

c? .Barem pb 9

2p. Avem ?irul de rapoarte egale: , k ? 0, (1p)2p. Avnd 9(a2 + b2 + c2) = 7abc, (1p) ; ob?in

em 9 , (1p)2p. 9k2 (1p) ; 9k2; , k = 30 ,(1p)

1p. Deci a = 6 , b = 5 , c = 3Problema nr. 10Ar?ta?i c? patru numere naturale consecutive nu pot fi termenii unei propor?ii.Ct ar trebui adunat (sau sc?zut) la al patrulea num?r din ?irul anterior, p?strnd ordinea, pentru campreun? cu celelalte trei s? formeze o propor?ie cu termeni naturali ?Barem pb 10

a) 1p. Not?m cele patru numere naturale cu : a , a + 1 , a + 2 , a+ 3 , a?N .

Dac? s-ar forma o propor?ie, primul ?i ultimul ar fi termeni de acela?i fel : extremi sau mezi

1p. Presupunem c? avem propor?ia de forma : ?i a( a + 3 ) = (a

+1)(a + 2),1p. a( a + 3 )= a2 + 3a ; (a +1)(a + 2) = (a+1)t=at +t =a(a+2)+(a+2)= a2 + 2a + a +2 = a2 + 3a + 2, deci

a2 +3a = a2 + 3a + 2. Ultima rela?ie nu poate fi adev?rat?. Patru numere consecutive nu pot forma o propor?ie.b) 1p. Deoarece a2 + 3a < a2 + 3a + 2 rezult? c? trebuie s? adun?mla (a+3) un num?r x pentru a ob?ine egalitate :

1p. a(a + 3+ x) = a2 + 3a + 2, a2 + 3a + ax = a2 + 3a + 2 , ax = 2 ,

este num?rul pentru a se ob?ine propor?ie, ultimul term


4/10

en fiind a + 3 +1p. Pentru a avea termeni naturali trebuie ca a s? fie divizo

r al lui 2 , deci a = 1 sau a = 2????1p. adic? se ob?ine o propor?ie cu termini naturali pentru a

= 1 ?i x = 2 sau a = 2 ?i x = 1

Problema nr.11Fie


5/10

id? cu 7,cu 8 ?i cu 9.Barem Problema nr.13Fie N=. Cum 7|N ; 8|N ; 9|N , rezult? c? 504|N (1)

Ins? N= = 523000+ = 1034504 + 352 + (2)

Din (1) ?i (2) ==> 352+=504k (3)

Pentru k=1 ==>=504-352==>=152

Pentru k=2 ==>=1008-352==>=656

Pentru egalitatea (3) nu mai poate avea loc deoarece ar rezulta c? are mai mult de trei cifre.

Solu?ie

Problema nr. 14II) Fie A= ?i B=

unde sunt cifre ale sistemului zecimal iar n este un num?r natural nenul.S? se demonstreze c? dac? 17|B atunci 17|ABarem Problema nr. 14

Not?m X=; Atunci A=X10 + an +8an ==> A= X10 + 9an .B=X+6an .

17|B ==>17| (X+6an) ==> X+6an=17K ; ==> X=17K - 6an . (1)

Din A= X10 + 9an ?i X=17K - 6an ==> A= 10(17K 6an ) + 9an ==> A=170K - 51an ==>A=17(10K - 3an ) ==> 17|A

Problema nr.15Demonstra?i inegalitatea :Barem Problema nr.15


6/10

Problema nr.16Se consider? unghiul ascu?it XOY . In semiplanul determinat de (OX ?i n care nu se afl? Y se duc perpendicularele (OA ?i OB pe (OX, respectiv pe (OY . Se noteaz?cu (OC bisectoarea unghiului BOX.a) Dac? m(XOC) este cu 20o mai mare dect m(XOY), s? se afle m(XOY).b) Dac? (OX este bisectoarea YOC , atunci m(COY)= m(XOB)Barem Problema nr.16

PROBLEMA IV)

a) Fie m(=ao ?i m(=2bo .

==> b=a+20o (1)(OC este bisectoare ==> m(= m(= bo

Din ipotez? (OB (OY m(=90o

==> 2b+a=90o (2)m(=2b+a

Din (1) ?i (2) ==> 2a+40o + a = 90o ==>3a=50o ==> a= 16o 40

b) (OX bisectoarea ==> m(= m(a=b (3)

(OC bisectoarea ==> m()=2b

m() + m()=90o ==> 2b+a=90o (4)Din (3) ?i (4) ==> a=300

m()=2b ; b=a=30o ==> m()=60o

==>

m()=60o

MODEL DE SUBIECT NR. 11. Determina?i numerele naturale a, b, c astfel nct s? aib? loc rela?ia:


7/10

.

2. Trei vnz?tori au caiete cu acela?i pre?. Primul a m?rit pre?ul cu 20% ?i apoi l-a

mic?orat cu acela?i procent, al doilea a mic?orat mai nti pre?ul cu 20% ?iabia

apoi l-a m?rit cu acela?i procent iar al treilea a l?sat pre?ul neschimbat.

De la care vnz?tor ai cump?ra acum ?i de ce?

3. Fie triunghiul isoscel ABC cu (AB) ? (AC) ?i punctele D, E ?BC, astfel nct B?(DC), C?(BE) ?i (BD) ?(CE). Perpendiculara n D pe AD intersecteaz? perpendiculara nE pe AE n punctul F. S? se arate c? (AF este bisectoarea unghiului .

4. Demonstra?i c? un num?r cu n cifre identice, n>1, nu poate fi p?trat perfect.

BAREM MODEL DE SUBIECT NR. 1Sub.Pct1.0.5egaleaz? rapoartele cu k1c+3=5/k = n natural , de unde k=5/n1a+1 = 4 ?5/n ?i b+2 = 3? 5/n ?i sunt numere naturale2cum 3 ?i 4 sunt prime ntre ele rezult? c? n este divizor al lui 52n= 5 , k = 1 solu?ia (3, 1, 2)0.5n=1, k= 5, c nu este natural

2.3primul vnz?tor scade pre?ul cu 4 %3al doilea vnz?tor scade pre?ul cu 4 %1putem cump?ra de la oricare dintre primii doi pentru c? au acela?i pre? final mai mic dect cel ini?ial

3.1figura complet?2demonstreaz? c? ?ABD??ACE ?i ob?ine AD=AE ?i DAB?EAC , ADB?AEC3demonstreaz? ?ADF??AEF (LLL)?i ob?ine DAF ? EAFobs - daca elevii folosesc teoreme de congruen?? pentru triunghiuri dreptunghicevor primi punctaj maxim1prin diferen?? de unghiuri congruente, BAF?CAF, deci (AF bisectoarea BAC4.1ul?ima cifr? a unui p?trat perfect nu poate fi 2, 3 7 sau 81p?tratele perfecte sunt de forma 4k sau 4k+13verific? ?i deduce c? singura posibilitate r?mas? este 444...42444...44 nu poate fi p?trat perfect deoarece este produsul dintre un p?trat perfect 4 ?i un num?r care nu este p?trat perfect 111...11

SET DE PROBLEME PROPUSE

PROBLEME CU RASPUNS DIRECT1. Dac? , ct la sut? reprezint? z din x? R?spuns .

2. Cte frac?ii de forma se simplific? prin 36? R?spuns .3. Cifra a din rela?ia: 0,(a) + 0,0(a) + 0,00(a) = 0,37 este .4. Valoarea expresiei E = este ..5. Un num?r natural mp?r?it la 7 ?i respectiv 8 d? resturile 6 ?i respectiv 5. Restul mp?r?irii acestui num?r la 56 este 6. Raportul dintre m?sura suplementului ?i m?sura complementului unui unghi este. M?sura unghiului este ..

7. Fie unghiurile adiacente AOB ?i BOC. Dac? m= 700 ?i m?sura unghiului format de bisectoarele celor dou? unghiuri este de 510 atunci m(AOB) este .8. Se consider? 5 puncte distincte astfel nct oricare trei dintre ele sunt necoliniare. Num?rul de triunghiuri determinate de cte trei din aceste puncte este 9. Se d? num?rul 1?2?3? .. ?2003 2. Restul mp?r?irii acestui num?r la 50102 este.

PROBLEME CU RASPUNS ELABORAT (rezolvare completa)

10. Determina?i numerele naturale m ?i n astfel nct5?7m = 7n 2

11. Fie numerele naturale x ?i y astfel nctx 16 = 15?(16 + 162 + 163 + . + 16n-1), n ? 2, n ? N,y 13 = 2p?(5 + 52 + 53 + . + 5p), p ? 1, p ? N.

Stabili?i care din aceste numere este p?trat perfect.12. Unghiurile AOB, BOC, COD, DOE sunt adiacente ?i cu interioarele disjuncte astfel nct punctele A, O ?i E sunt coliniare. M?surile unghiurilor AOB, BOC, COD, DO


8/10

E formeaz? respectiv cu patru numere naturale nenule consecutive, rapoarte egale. S? se demonstreze c? dou? dintre unghiuri sunt complementare.13. Doi elevi, lucrnd separat, au rezolvat mpreun? 520 de probleme, de?i ?i propuseser? s? rezolve 425. ?tiind c? primul a rezolvat cu 25%, iar al doilea cu 20% mai mult dect ?i-au propus, afla?i cte probleme a rezolvat fiecare.14. Determina?i cele mai mici numere naturale consecutive a, b, c, d (0


9/10

orul aceluia?iunghi , atunci unghiurile AOB ?i COD sunt suplementare .

b) Fie C ?i D n interiorul unghiului AOB C?a , D?b . Se ?tie c? m?surile unghiurilor AOB

?i COD ndeplinesc condi?ia .S? se demonstreze c? dac? [ OM ?i [ON sunt bisectoarele unghiurilor AO

D ?i BOC ,atunci [ OD ?i [OC sunt bisectoarele unghiurilor MOC ?i DON .

26. Fie triunghiul isoscel ABC ( AB=AC ) ?i punctelea) Ar?ta?i c? .b) Dac? ar?ta?i c? .27. Mai multe p?trate identice pot fi a?ezate pe 25 de rnduri , fiecare rnd avndcu dou? p?trate mai mult dect cel anterior ( ca n desenul de mai jos).. .a) Cte p?trate sunt pe ultimul rnd ?b) Cte p?trate , identice cu cel de pe primul rnd , sunt n total ?c) Cte dreptunghiuri diferite (dou? dreptunghiuri sunt diferite dac? au dimensiuni diferite ) se pot construi utiliznd toate p?tratele ( justifica?i r?spunsul) ?

28. Se consider? frac?iile de forma : .a) Ar?ta?i c? dac? frac?iile nu sunt ireductibile , atunci ele se simplific? cu19 .

b) S? se determine cele mai mici trei numere naturale n pentru care se ob?in frac?ii reductibile .29.FieAratati ca :

a) si are 7 divizori;b) si este prim;c)

30.Sa se determine bumerele prime x,y,z astfel incat 2x+5y=99 si 3y+4z=10131.Se dau numerele : Comparati cu32.Fie unghiurile si adiacente , cu masurile de a si respectiv b, . Numerele asi b verifica relatiile :

In interiorul unghiului se construiesc semidreptele si astfel incat . Semidreptele si sunt respectiv perpendiculare pe si , fiind situate in acelasi semiplan determinat de dreapta OC.a) Determinati a si b.b) Calculati33.Sa se arate ca daca un numar este divizibil cu 197 , atunci dublul numaruluirezultat din ultimele doua cifre ale sale , adunat cu de 3 ori numarul ramas prin eliminarea acestor doua ultime cifre , formeaza de asemenea un numar divizibilcu 197.34. Sa se determine numerele rationale a, b, c, numerele naturale pare k si numerele naturale n care satisfac conditiile a+b+c=12 si .35.Fie numerele nenule a, b, c, d.Stiind ca , sa se calculeze.36.Se dau semidreptele [OA, [OB, [OC, [OD astfel incat [OB si [OC sunt interioar

e unghiurilor AOC si respectiv BOD si [OM, [ON, [OP sunt bisectoarele unghiurilor AOB, BOC si respectiv COD. (Punctele B, C, D sunt de aceeasi parte a dreptei OA).d) Aratati ca .e) Daca , aratati ca .f) Daca [ON este si bisectoarea unghiului MOP, dovediti ca .Problema nr.37Se considera 10 numere naturale nenule dinstincte cu suma 275,cu proprietatea cadaca produsul a doua numere dintre acestea este multiplu de 5 atunci si suma celor doua numere este multiplu de 5. Atunci :


10/10

a) Daca produsul a doua dintre cele 10 numere este multiplu de 5 atunci ambele sunt divizibile cu 5.b) Sa se determine cele 10 numere stiind ca unul dintre ele este 5.Problema nr.38Se considera trei puncte A,B,C distincte situate pe aceeasi dreapta astfel incatB sa fie situat intre A si C.Fie M mijlocul lui [AB] si N mijlocul lui [BC]. Sase arate ca:

(4p) a)AC=2MN(3p) b)Daca segmentele [MN] si [AC] au acelasi mijloc atunci AB=BC.Problema nr.39Se considera unghiurile AOB, BOC, COD, DOE, EOF si FOA in jurul punctului O. Unghiurile AOB si DOE sunt opuse la varf, iar m(COD)=m(AOF).(3p) a) Sa se arate ca m(BOC)=m(EOF).(4p) b) Daca (OM si(ON sunt bisectoarele unghiurilor AOB, respectiv COD, sa searate ca m(MON)>90?.Problema nr.40Punctele A, B, C, D sunt situate pe o dreapt? d n ordinea dat?. Este adevarat? egalitatea:

Problema nr.41a) S? se arate c? ntre oricare dou? puteri naturale consecutive ale lui 3 se afl?cel pu?in o putere a lui 2.b) Exist? dou? puteri naturale consecutive ale lui 3 ntre care s? g?sim trei pute

ri distincte ale lui 2?Problema nr.42Fie AB si CD dou? drepte concurente, Fie bisectoarea unghiului AOC, bisectoarea unghiului POB si bisectoarea unghiului TOD.a) Dac? afla?ib) Dac? afla?i

Problema nr.43Fiind dat num?rul natural nenul n, demonstra?i c?:

Problema nr.44 Fie unghiul ascu?it AOB ?i semidreptele [OC ?i [OD astfel nct m (

DOB) = 900 ?i m (COA) = 900, iar interioarele unghiurilor AOC ?i BOD sunt disjuncte.a) Ar?ta?i c? unghiurile AOB ?i COD sunt suplementare;b) Dac? [OE este bisectoarea unghiului AOB, iar OF este bisectoarea unghiului COD, ar?ta?i c? punctele E, O, F sunt coliniare.c) Dac? [OM este bisectoarea unghiului BOC, s? se arate c? m?sura unghiului FOMeste constant?, indiferent de m?sura unghiului AOB.Problema nr.45 Numerele x ?i y sunt direct propor?ionale cu 2 ?i 4, iar z estemedia aritmetic? a numerelor x ?i y.a) Afla?i valoarea raportului .b) Afla?i numerele x, y ?i z ?tiind c? suma lor este 36.

Problema nr.46 a) S? se arate c? media aritmetic? a unor numere naturale consecu

tive este un num?r natural dac? num?rul numerelor naturale este impar .b) Media aritmetic? a unor numere consecutive este 4 . Afla?i numerele .Problema nr.47a) Se consider? num?rul natural x = 4n , unde n ?N . Se ?tie c? x are 90de cifre .S? se demonstreze c? o cifr? a lui x se repet? de cel pu?in 10 ori .b) S? se scrie num?rul: 1002008 , sub forma de sum? a patru cuburi perfecte denumere naturale.

Probleme Rezolvate Matematica Etapa Locala Clasa a Via

Documents

Transcript of Probleme Rezolvate Matematica Etapa Locala Clasa a Via