Ecuatii diferentiale

1. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale cu variabile separabile:

a) x =t2

x2;

b) x = 1 + x2, x(0) = 0;

c) x = 1 + x2, x(0) = 1, t (3pi/4, pi/4);d) xx + (1 + x2) sin t = 0, x(0) = 1;

e) (t2 1)x + 2tx2 = 0, x(0) = 1;f) 2t2xx + x2 = 2.

2. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale omogene:

a) tx = x tex/t;b) 2t2x = t2 + x2;

c) x =2t+ 4x 6t+ x 3 ;

d) x =x t+ 1x t+ 2;

e) tx x = (t+ x) ln t+ xt

.

3. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii liniare:

a) x + xtg t = sec t;(

sec t =1

cos t

);

b) tx+ et = tx;

c) x + 2tx = 2tet2;

d) tx = 2x+ t3 cos t.

4. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii de tip Bernoulli:

a) x = x4 cos t+ x tg t;

b) (t+ 1)(x + x2) = x;c) tx2x = t2 + x3;

d) tx 2t2x = 4x;e) txx = x2 + t;

f) tx + 2x+ t5x3et = 0.

5. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii de tip Riccati, cunoscand solutia particulara

mentionata:

a) x + x2 sin t =2 sin t

cos2 t, (t) =

1

cos t;

b) x + x2 = 1 + t2, (t) = t;

c) 2(t t2t)x + 2t x2 x t = 0, (t) = t;d) x = x2 +

x

t+

1

t2, (t) = 1

t;

1

e) x = x2 xt

+4

t2, (t) = 2

t.

6. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale cu diferentiale totale:

a) (2 9tx2)t dt+ (4x2 6t3)x dx = 0;b) ex dt (2x+ tex) dx = 0;c)x

tdt+ (x3 + ln t) dx = 0;

d) 3t2(1 + ln x) dt(

2x t3

x

)dx = 0;

7. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii de tip Lagrange:

a) t(x)2 + (x 3t)x + x = 0;b) x = t(1 + x) + (x)2;

c) x =3

2tx + ex

;

d) x = t(x)2 1x

;

e) x = t(x)2 + 2(x)3.

8. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale de tip Clairaut:

a) x = tx +1

(x)2;

b) x = tx +

1 + (x)2;

c) x = tx 1 (x)2;d) x = tx + (x)3;

e) x = tx +1

5(x)5;

f) x = tx lnx;g) x = x(t+ sin(x)).

9. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale de ordin superior, notand derivata

de ordin minim a functiei x(t) cu y(t):

a) 2txx = (x)2 1;b) tx(4) + x = et;

c) (x)3 + tx = x;

d) x tx + (x)3 = 0.10. Sa se rezolve urmatoarele ecuatii diferentiale de ordin superior, notand x(t) =

p(t) si apoi considerand p = p(x):

a) x3x = 1;

b) x4 x3x = 1;c) x(x)2 = (x)3;

d) x2 + (x)2 2xx = 0, x(0) = x(0) = 1;e) xx + 3xx = 0;

f) xx 2xx lnx = (x)2.

2

11. Sa se integreze urmatoarele ecuatii diferentiale cu coeficienti variabili, folosind

solutia particulara indicata si formula pentru wronkian:

a) (2t+ 1)x + 4tx 4x = 0, x1(t) = t;b) tx (t+ 1)x 2(t 1)x = 0, x1(t) = e2t;c) x + 2

tx + x = 0, x1(t) = sin tt .

12. Sa se integreze urmatoarea ecuatie diferentiala folosind metoda variatiei con-

stantelor:

(t2 + 1)x 2tx + 2x = t(t2 + 1), (t > 0),stiind ca ecuatia omogena are solutia x1(t) = t.

13. Sa se integreze urmatoarele ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

omogene:

a) x 5x + 4x = 0;b) x x = 0;c) x(4) 4x + 4x = 0;d) x 3x + 2x = 0;e) x(4) + 2x + 3x + 2x + x = 0;

f) x(7) + 3x(6) + 3x(5) + x(4) = 0;

g) 64x(8) + 48x(6) + 12x(4) + x = 0.

14. Sa se integreze urmatoarele ecuatii diferentiale liniare cu coeficienti constanti

neomogene:

a) x + x = t sin t;

b) x 5x = 3t2;c) x 5x = sin 5t;d) x + 7x + 10x = te2t cos 5t;

e) x + 3x + 2x = 11+et

;

f) x + x = tg t;

g) x + x = 1cos t

;

h) x + x = 2t3

+ ln t.

15. Sa se integreze urmatoarele ecuatii diferentiale de tip Euler:

a) t2x 2tx + 2x = 0, t > 0;b) t3x + tx x = 0, t > 0;c) 12t3x 25t2x + 28tx 6x = 0, t > 0;d) t2x 3tx + 4x = t, t > 0;e) t2x + 4tx + 2x = cos t, t > 0;

f) t3x + 3t2x + tx x = t, t > 0.

3