PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

9.1 Introducere

În rezolvarea multor probleme de matematici aplicate apare necesitatea calculării valorilor şi vectorilor proprii ai unor matrici. In general, problemele matriciale de valori proprii constituie reprezentări ale unor probleme operatoriale. Un vector nenul x se numeşte vector propriu al unui operator liniar A dacă prin acţiunea operatorului asupra vectorului x rezultă un vector coliniar (proporţional) cu acesta:

Ax = λx. 9.1)

Scalarul A se numeşte valoare proprie a operatorului A. corespunzătoare vectorului propriu x. Prin urmare, vectorii proprii ai unui operator sunt invarianţi (ca direcţie) faţă de acţiunea operatorului. Utilizând reprezentarea după vectorii unei anumite baze din Rn, operatorului A îi corespunde o matrice A = [aij]nn, iar vectorului x, o matrice coloană x = [xi]n. în acest fel ecuaţia de valori şi vectori proprii (9.1) se scrie matricial

A • x = Ax, (9.2)sau

(9.3)

Ecuaţia (9.2) poate fi rescrisă sub forma

(9.4)

unde matricea A —λE poarta numele de matrice caracteristică. Ecuaţia (9.4) reprezintă propriu-zis un sistem liniar omogen, care are soluţii netriviale dacă şi numai dacă determinantul sistemului, numit determinant caracteristic sau determinant secular, este nul:

(9.5)

Această ecuaţie se numeşte ecuaţie caracteristică sau ecuaţie seculară şi poate fi detaliată sub forma:

(9.6)

Fiind o ecuaţie algebrică de ordinul n în A, ecuaţia seculară are n rădăcini reale sau complexe λ1, λ2,..., λ n, care sunt valorile proprii ale matricii A. Ansamblul tuturor valorilor proprii alcătuiesc spectrul matricii A. Înlocuind valoarea proprie λ = λj în relaţia (9.3), rezultă un sistem omogen, a cărui soluţie x(j) reprezintă vectorul propriu al matricii A corespunzător valorii proprii λj. Se poate proceda în mod analog pentru toate valorile proprii ale matricii, calculând vectorii proprii corespunzători. În practică, însă, această abordare este ineficientă datorită volumului mare de calcule implicate. Daca se notează cu X matricea având pe coloane vectorii proprii x(j), atunci cele n ecuaţii de valori proprii corespunzătoare acestor vectori proprii se scriu sub formă matricială

(9.7)

unde

(9.8)

Matricea X, având pe coloane vectorii proprii ai matricii A, se numeşte matrice modală, iar ecuaţia (9.7) poartă numele de ecuaţie modală.

Teorema 9.1 Daca matricea modală X corespunzătoare unei matrici A este formată din n coloane liniar independente (vectorii proprii ai matricii A sunt liniar independenţi), atunci există X-1 şi ecuaţia modală se scrie sub forma

Intr-adevăr, matricea modală având coloane liniar independente este nesingulară (det X ≠ 0) şi deci admite inversă. În acest caz, dacă se cunosc vectorii proprii ai matricii A, valorile proprii corespunzătoare sunt elementele diagonale ale matricii X-1 ∙A ∙ X.

9.2 Diagonalizarea matricilor prin transformări similare

Două matrici asociate unuia şi aceluiaşi operator relativ la două baze diferite se numesc matrici similare. Teorema 9.2 Două matrici cu elemente reale, , sunt similare dacă şi numai dacă există o matrice nesingulară , astfel ca

, (9.9)Operaţia care se numeşte transformare similară a matricii A.

Demonstraţie. Într-adevăr, presupunând că într-o anumită bază acţiunea operatorului liniar este descrisă de matricea A şi că în noua bază aceeaşi transformare liniară va fi descrisă de o altă matrice B, putem scrie

(9.10)

unde x şi ζ, pe de o parte, şi y şi 77, pe de alta, sunt reprezentările aceloraşi vectori în cele două reprezentări. Fie S matricea nesingulara a trecerii de la noua bază la cea veche, adică

Introducând relaţiile (9.11) în prima ecuaţie (9.10) rezultă şi comparând această relaţie cu cea de a doua ecuaţie (9.10), rezultă (9.9), care dă condiţia necesară şi suficientă ca două matrici să fie similare.

Teorema 9.3 Două matrici similare au aceleaşi valori proprii.

Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie a matricii A şi x vectorul propriu corespunzător. Făcând o schimbare de bază corespunzătoare matricii nesingulare S, are loc şi ecuaţia de valori proprii se poate scrie , ceea ce demonstrează teorema.Prin urmare, două matrici similare au aceleaşi valori proprii, iar vectorii proprii corespunzători se obţin unii din alţii cu ajutorul matricii transformării de similitudine.

Scriind ecuaţia modală sub forma (9.12)

rezultă că matricile A şi Λ sunt similare. Matricile similare cu o matrice diagonală se numesc matrici diagonalizabile. Din cele arătate mai sus rezultă importanţa procesului de diagonalizare a matricilor: daca se poate găsi o transformare care diagonalizează matricea considerată, atunci valorile proprii se vor găsi pe diagonala principală a matricii transformate, iar coloanele matricii transformării (care poate fi identificată cu matricea modală) vor constitui tocmai vectorii proprii corespunzători ai matricii iniţiale.

9.3 Metoda lui Jacobi

Rezolvarea problemelor de valori şi vectori proprii pentru matrici simetrice prezintă interes în multe aplicaţii. Exploatarea proprietăţii de simetrie a matricilor duce, pe de altă parte, la simplificarea considerabilă a metodelor numerice de calcul al valorilor şi vectorilor proprii. Datorită faptului că vectorii proprii corespunzători sunt reali şi ortogonali, diagonalizarea unei matrici reale simetrice A poate fi realizată cu ajutorul unei matrici ortogonale, definită prin

sau

(9.13)

9. PROBLEME DE VALORI ŞI VECTORI PROPRII

Proprietatea de ortogonalitate permite înlocuirea operaţiei de inversare a matricii R cu operaţia mai simplă de transpunere. Astfel, diagonalizarea matricii A se efectuează prin transformarea de similitudine

(9.14) Metoda Jacobi constă, în esenţă, în aplicarea unei succesiuni de transformări similare ortogonale asupra matricii A. Fiecare transformare are forma simpla a unei rotaţii plane, fiind destinată anulării a două elemente extra-diagonale simetrice ale matricii A. Transformările succesive distrug, de fapt, zerourile create anterior, dar în ansamblu se produce o reducere treptată a elementelor extradiagonale, până când matricea devine diagonală în limita erorilor de rotunjire şi poate fi identificată cu matricea A. Produsul matricilor de transformare succesive furnizează în final matricea modală, având pe coloane vectorii proprii ai matricii A, corespunzători valorilor proprii situate pe diagonala principală a matricii A. Considerând mai întâi, pentru simplitate, cazul unei matrici reale simetrice A de ordinul doi, o transformare ortogonală a acesteia poate fi realizată cu ajutorul matricii de rotaţie

(9.15)

care efectuează o rotire de unghi φ a sistemului vectorilor de bază. Matricea R astfel definită este ortogonală indiferent de valoarea unghiului φ şi acesta poate fi determinat din condiţia ca transformarea R să diagonalizeze matricea A. Matricea transformată poate fi scrisă

şi elementele ei au expresiile

unde s-a avut în vedere că transformarea ortogonală conservă caracterul simetric al matricii. Impunând anularea elementelor nediagonale ale matricii A', rezultă ecuaţia

prin a cărei rezolvare în raport cu cotφ se poate exprima

Se pot determina astfel funcţiile şi , care caracterizează matricile R şi A’.

În final, valorile proprii a le matricii A sunt date de elementele diagonale ale matricii transformate A’, iar vectorii proprii corespunzători sunt coloanele matricii de rotaţie R:

După cum se constată, în cazul matricilor de ordinul doi diagonalizarea poate fi realizată exact, prin efectuarea unei singure transformări ortogonale. Într-un spaţiu n-dimensional, matricea de rotaţie poate fi generalizată sub forma

(9.16)

Diferind de matricea unitate de ordinul n numai prin cele patru elemente nenule şi de la intersecţia liniilor şi coloanelor i şi j. Matricea

R(i,j) are rolul de a realiza transformarea ortogonală (9.17)

care anulează elementele extradiagonale şi . Singurele elemente ale matricii A’ care diferă de cele ale matricii A sunt situate pe liniile şi coloanele i şi j, deoarece prin înmulţirea matricii A la stânga cu RT(i,j) se modifică numai liniile i şi j, în timp ce prin înmulţire la dreapta cu R(i,j) sunt afectate doar coloanele i şi j. Într-adevăr, introducând matricea intermediară À, putem rescrie transformarea (9.17) sub forma