PROBLEME DE MATEMATICĂ - isjvl.ro · 6 6)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din...

1

Gheorghe NECȘULEU Victoria NECȘULEU

PROBLEME DE MATEMATICĂ

DE NIVEL GIMNAZIAL

DATE LA BACALAUREAT

2

Capitolul 1

PROBLEME DATE ÎN ANUL 2017

1. Numere reale

1) Calculați suma numerelor întregi din intervalul 5,5 .

2) Arătați că 1 7

2 : 23 6

.


2 22 5

.

4) Arătați că

31 1 7

1 : 12 4 8

.


2 : 32 2

.


4 24 15

.


025 55

.

8) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre distincte, au cifrele

elemente ale mulțimii 1,2,3,4 .

Soluție. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri. Pentru fiecare alegere a

cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se pot forma

3 2 6 numere.

3

9) Rezolvați în mulțimea numerelor naturale nenule inecuația 3 1 6x .

10) Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu

cifrele 1,2,3,4 și 5.

Indicație. Numerele sunt de forma ab cu 1,2,3,4,5a și 1,3,5b .

2. Funcții și ecuații

1) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 5 23 3x .

2) Arătați că 2

1 2 1 26 1x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației

2 5 4 0x x .

3) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 5 2x .

4) Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 4 1 0x x . Arătați că

1 2 1 24 0x x x x .

Indicație. Se folosesc relațiile lui Viete:1 2

bx x

a ,

1 2

cx x

a , dintre soluțiile

și coeficienții ecuației de gradul al doilea: 2 0, , , , 0ax bx c a b c a .

5) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 12

8

x .

Indicație. Se ține seama că 3

3

12

2

.


1 2

11

x x

x x

, unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 4 3 0x x .

7) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 12 8x .

4

8) Determinați numărul real a pentru care 1 1 2f f , unde

: ,f f x x a .

8) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 33 3 3x x .


10) Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 2 0x mx , unde m este

număr real. Determinați numărul real m, știind că 1 2 1 2 1 0x x x x .

Soluție. Deoarece 1 2 3x x m și 1 2 2x x , relația 1 2 1 2 1 0x x x x , devine

3 3 0m , de unde 1m .

11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 1

44 2

x .

Indicație. Ecuația se mai scrie: 14 4x .

12) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 1x x .

13) Determinați numărul real m , știind că punctul 2,M m aparține graficului

funcției 2: , 3f f x x .

14) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,A m aparține graficului

funcției 2: , 2 3f f x x x .

15) Se consideră funcțiile : , 1f f x x și 2g : ,g 2x x x

Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Indicație. Abscisa x se determină din ecuația f x g x .

16) Se consideră funcția 2: , 1f f x x . Calculați 1 1f f .

17) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,3A aparține graficului

funcției 2: , 2f f x x mx m .

5


funcției 2: ,f f x x m .

19) Se consideră funcția 2: , 6 8f f x x x . Determinați abscisele

punctelor de intersecție a graficului funcției f cu axa Ox .

Indicație. Abscisele sunt soluțiile ecuației 0f x .

2. Procente și probabilități

1) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

1,2,3,...,100A , aceasta să fie multiplu de 11.

2) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea 1,2,3,...,20A

, aceasta să fie multiplu de 5.

3) După o ieftinire cu 25% , prețul unui televizor este 600 de lei. Determinați

prețul televizorului înainte de ieftinire.

4) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor

naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra

unităților.

Indicație. Cazurile favorabile sunt:

12,13,14,15,16,17,18,19,

23,24,25,26,27,28,29,

34,35,36,37,38,39,

45,46,47,48,49,

56,57,58,59,

67,68,69,

78,79,

89.


naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 15.

6

6)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

1,2,3,4,5,6,7,8,9A , aceasta să fie multiplu de 4.

7) Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se

ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10% .


naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 5.

9)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea

11,22,33,44,55,66,77,88,99A , aceasta să fie multiplu de 2.


naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 6.

11) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea

1,2,3,4,5,6,7,8,9A , acesta să verifice egalitatea 2 4 0n n .



3. Geometrie și trigonometrie

1) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,2M și 4,2N .

Determinați coordonatele punctului P, situat pe axa Ox , astfel încât PM PN

Indicație. Ținem seama că avem ,0PP x și folosim formula de calcul a

distanței dintre două puncte ,A AA x y și ,B BB x y :

2 2

B A B AAB x x y y .

2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,5 , 1,3A B și ,1C m ,

unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctul C

aparține dreptei AB .

7

Soluție. Determinăm funcția de gradul întâi : ,f f x ax b care are

ca grafic dreapta AB . Punând condițiile 2 5f și 1 3f obținem

sistemul2 5

3

a b

a b

cu soluția

2

1

a

b

.Deci : , 2 1f f x x .Punem

condiția ca punctul C să aparțină graficului funcției f și obținem 1f m ,

de unde 0m .

3) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0O și 8,6M .

Calculați distanța dintre punctele O și M .

4) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,1 , 3,3A B și 0,2C .

Determinați lungimea medianei din C a triunghiului ABC .

Indicație. Ținem seama că mijlocul M al segmentului AB are coordonatele

,2 2

A B A BM M

x x y yx y

și apoi calculăm distanța CM cu formula

distanței dintre două puncte date prin coordonatele lor.

5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,1 , 1,1A B și 3,aC ,

unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctele ,A B

și C sunt coliniare.

Indicație. Ținem seama că dreapta AB este graficul funcției : ,f

1f x și punem condiția ca punctul C să aparțină graficului funcției f .

6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,3A și 4,0B .

Calculați perimetrul triunghiului OAB .

7) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 3,2O și

3,2B . Determinați distanța de la punctul O la punctul M , unde M este

mijlocul segmentului AB .

8) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 045m C și 2 3AB AC .

Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

8

9) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,2 , 2,4A B și ,0C m ,

unde m este număr real. Determinați numărul real m , știind că punctele ,A B

și C sunt coliniare.

Indicație. Dreapta AB este graficul funcției : ,f 2f x x .

10) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1A și 2, 1B .

Arătați că AO OB .

11) Arătați că 2 0 2 0 1sin 45 cos 60

4 .

12) Calculați lungimea razei cercului circumscris triunghiului dreptunghic ABC

care are catetele 8AB și 6AC .

Indicație. Ipotenuza BC este diametru în cercul circumscris triunghiului

dreptunghic ABC .

13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,3 , N 4,3M și

4,0P . Calculați perimetrul triunghiului MNP .

14) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,1 , N 4,1M și 4,4 .P

Arătați că triunghiul MNP este isoscel.

15) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 6AB și 12BC .

Arătați că 030m C .


Determinați coordonatele punctului M , știind că punctul B este mijlocul

segmentului AM .

17) Calculați aria paralelogramului ,ABCD știind că 6, 3AB BC și

030m ABC .

9


Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB .

Soluție. Reprezentând în reperul cartezian xOy punctele 4,2A și 2,4B ,

în baza simetriei figurii obținute, rezultă că mediatoarea segmentului AB este

dreapta OC cu 0,0O și 2,2C . Deci ecuația cerută este y x .

10

Capitolul 2


1. Numere reale

1) Arătați că 2

5 2 4 5 9 .

2) Arătați că 1

1 : 0,25 04

.


2 3 2 3 22 .

4) Determinați câte numere naturale pare, de trei cifre distincte, se pot forma

cu cifrele 5,7,8 și 9.

Soluție. Numerele căutate sunt: 578, 598, 758, 798, 958, 978. Deci sunt șase

numere .

5) Arătați că 1 1 10

12 5 3

.

6) Arătați că 48 27 3 .

7) Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifre-

le 5, 6, 7, 8 și 9.

Soluție. Numerele căutate sunt de forma ab , cu 5,6,7,8,9a și 6,8b .

Deci se pot forma 5 2 10 numere.


: 13 4 12

.

11


2 1 1 1 52 3 4

.

10) Determinați numărul submulțimilor cu două elemente ale mulțimii

0,1,2,3,4 .

Soluție. Submulțimile căutate sunt: 0,1 , 0,2 , 0,3 , 0,4 , 1,2 ,

1,3 , 1,4 2,3 , 2,4 , 3,4 . Deci sunt 10 submulțimi.

11) Arătați că 1

1 : 0,5 02

.

12) Arătați că 25 64 169 0 .

13) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația 3 2 9x .


1,2,3,4,5,6,7 .

Indicație. Se procedează ca la problema 10.


1 : 14 4

.



2) Determinați numărul real m , știind că punctul , 4M m aparține graficului

funcției : , 2f f x x .

3) Calculați 1 1f f , unde : , 1f f x x .


12

5) Calculați produsul 1 0 1f f f , unde : , 2 2f f x x

6) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 43 3x x x .

7) Determinați numărul real a , știind că punctul 1,0A aparține graficului

funcției : ,f f x x a .


9) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

: , 2 1f f x x și g : ,g 2x x .

Soluție. Punctul ,M x y aparține graficelor celor două funcții dacă și numai

dacă

f x y

g x y

.Din f x g x , obținem 1x și apoi 1 1y f .


11) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

2 31

273

x

.

Indicație. 2 3

2 31 2 31

3 33

xx

x

.

12) Arătați că 1 2 1 24 3 2x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației

2 5 6 0x x .


14) Determinați valorile reale ale lui x , pentru care f x g x , unde

: , 3 2f f x x și g : ,g 4x x .

15) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3 47 7x x .

13


funcției : ,f f x x m .


Indicație. 3 4

3 4 2 6 84 2 2x

x x

.

18) Arătați că 1 2 1 22 1x x x x , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației

2 8 15 0x x .



21) Determinați valoarea maximă a funcției : 1,5 , 3f f x x .

Soluție. Deoarece graficul funcției f este un segment valoarea maximă este

cea mai mare dintre valorile 1f și 5f . Cum 1 2f și 5 2f rezultă

că valoarea maximă este 2 .


Soluție. Deoarece 2 12 0x , pentru orice x , rezultă că radicalul are

sens pentru orice x . Ridicând ambii membri ai ecuației la pătrat obținem 2 212 4 4x x x , de unde 2x , care verifică ecuația inițială.

23) Determinați numărul real a , știind că punctul 1,aA aparține graficului

funcției 2: , 4f f x x .

24) Se consideră funcția 2: , 1.f f x x Calculați 1 1 .f f


14


naturale de două cifre, acesta să fie mai mic sau egal cu 30.


1,2,3,4,5,6,7,8,9M , acesta să fie divizibil cu 2.

3) Un obiect costă 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o

scumpire cu 20% .


1,2,3,...,100M , acesta să fie pătrat perfect.

Indicație. Cazurile favorabile sunt: 2 2 2 21 ,2 ,3 ,...,10 .


10,20,30,40,50,60,70,80,90M , acesta să fie multiplu de 30.


1, 2, 3,..., 25A , acesta să fie număr rațional.

Indicație. Cazurile favorabile sunt: 1, 4, 9, 16, 25 .

7) După o ieftinire cu 10% , prețul unui obiect este 90 de lei. Determinați

prețul obiectului înainte de ieftinire.

8) O firmă folosește 6000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă

5% din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

Indicație. 6000 5% din x , unde x este profitul anual al firmei.


1,2,3,...,40A , acesta să conțină cifra 4.

Indicație. Cazurile favorabile sunt: 4,14,24,34,40 .


1,2,3,4,5,6,7,8A , acesta să fie divizibil cu 2.

15

11) Prețul unui obiect este 1000 de lei. Determinați prețul obiectului după ce

se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte 10% .


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A , acesta să fie multiplu de 3.


1) Se consideră triunghiul ABC , cu 10,AC 10AB și 12BC . Arătați

că 4

sin5

B .

Indicație. Se folosește triunghiul dreptunghic ABD , unde D BC .

2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,4A și 5,4B . Calculați

distanța de la punctul A la punctul B .

3) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,5A și 7,5B . Deter-

minați coordonatele mijlocului segmentului AB .


Arătați că AB BC .

5) Arătați că 0 0 0sin 45 cos45 cos60 1 .

6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 5,1A și 3,1B .Calculați

lungimea segmentului AB .


Calculați perimetrul triunghiului ABC .

16


2 .


Determinați ecuația dreptei AB .

Soluție. Determinăm funcția de gradul I , : ,f f x ax b , care

are ca grafic dreapta AB . Din 1 2f și 4 5f , obținem sistemul

2

4 5

a b

a b

, de unde 1a și 1b . Deci 1f x x și atunci obținem

că ecuația dreptei AB este 1y x .

10) Determinați numărul real m , știind că punctul 1,0M aparține dreptei

de ecuație 2y mx .

Indicație. Punem condiția 2M My mx .

11) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 6,0A și 0,8 .B

Calculați lungimea segmentului AB .

12) Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A ,

știind că 3 2BC și 045m B .

Soluție. Rezultă imediat că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

Notând AB AC x și aplicând teorema lui Pitagora, obținem 22 18x ,

de unde 3x . Deci 3AB .


Arătați că patrulaterul AOCB este paralelogram.

Indicație. Este suficient să arătăm că diagonalele AC și OB au același

mijloc.

14) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 060m A și 6AB AC .

Indicație. Se poate folosi formulasin

2

AB AC AS

.

17

15) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,4A și 1,0 .B

Determinați ecuația dreptei AB .

Indicație. Se determină funcția de gradul I , : ,f f x ax b ,care

are ca grafic dreapta AB și atunci ecuația căutată este y ax b .

16) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 0,5O și 5,0B .

Arătați că triunghiul AOB este isoscel.

17) Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu 4AB și 3.AC

18) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,3 .A Determinați

ecuația dreptei care trece prin punctul A și are panta egală cu 1.

Soluție. Ecuația are forma y ax b , cu panta 1a , deci are forma ,y x b

unde b se determină din condiția ca dreapta să treacă prin punctul A , adică

din condiția A Ay x b , de unde 3b și atunci ecuația este 3y x .

19) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,0A și 1,2B .Deter-

minați ecuația dreptei d care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta

.AB

Soluție. Se observă că ecuația dreptei AB este 1y x . Deoarece d AB , cele

două drepte vor avea aceeași pantă. Deci ecuația dreptei d este de forma

y x b . Punând condiția O d , rezultă 0 0 b , de unde 0b . Atunci

ecuația dreptei d este y x .

20) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,1 .A Determinați

ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta

de ecuație 3 2016y x .

Indicație. Dreapta d va avea o ecuație de forma 3y x b , undeb se deter-

mină din condiția A d .

18

Capitolul 3


1. Numere reale


1,2,3,4,5,6,7 .

Indicație. Sunt 6 5 4 3 2 1 submulțimi.


2 : 52 10

.


5 1 5 1 12 .

4) Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot

forma cu cifrele 2 ,3 și 4.

5) Determinați numărul submulțimilor cu patru elemente ale mulțimii

1,2,3,4,5 .

Soluție. Submulțimile sunt: \ 1 , \ 2 , \ 3 , \ 4 , \ 5A A A A A ,unde

1,2,3,4,5A . Deci numărul lor este 5.


22 5 7

.

7) Arătați că 32 18 2 0 .

Indicație. 32 4 2 , 18 3 2 .

8) Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele

1, 2, 3, 4 și 5.

Indicație. Numerele sunt de forma ab , cu 1,2,3,4,5a și 2,4b

9) Arătați că 2

3 13 1

.

10) Arătați că 1

: 0,5 1 02

.

19

11) Arătați că

41 33

2 : 12 16

.

12) Arătați că media geometrică a numerelor 16a și 9b este egală cu 12.

Indicație. Media geometrică a numerelor reale pozitive a și b este ab .



2) Determinați valoarea minimă a funcției 2: , 9f f x x

Soluție. Deoarece 9,f x pentru orice x și 0 9f , rezultă că

valoarea minimă a funcției f este -9.


Indicație. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat, rezolvăm ecuația astfel

obținută și soluția găsită o verificăm în ecuația inițială.

4) Calculați 2 2f f , unde 2: , 4f f x x .


6) Calculați produsul 1 2 3 4f f f f , unde : , 3f f x x .

7) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 3 35 5x x x .

Soluție. Obținem ecuația echivalentă 2 5 3 3x x x , care se mai scrie 2 2 3 0x x și are soluțiile reale -1 și 3.

Comentariu. Dacă notăm cu 1x și 2x soluțiile ecuației și folosim relațiile

20

1 2

1 2

2

3

bx x

a

cx x

a

,obținem direct 1 21, 3.x x

8) Determinați numărul real a , știind că punctul ,0A a aparține graficului




: , 1f f x x și g : ,g 4 2x x .

Indicație. Abscisa x se determină din ecuația f x g x , iar ordonata y

din relația y f x .


12) Calculați 3f f , unde : , 2 1f f x x .

13) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu

axa Oy , unde 2: , 2 2015f f x x x .

Indicație. Abscisa este 0, iar ordonata este 0f .

14) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 2x


funcției : ,f f x a x .

16) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 28 2x x

Indicație. 4

4 3 12 38 2 2x

x x

.

21

17) Determinați numărul real m , știind că punctul m,0A aparține graficului


18) Calculați 1 0 1f f f , unde 2: ,f f x x x .


20) Determinați numărul real a , pentru care 2 2 4f f , unde

: ,f f x x a .


22) Determinați valoarea maximă a funcției : 1,4 , 1f f x x .

Indicație. Ținem seama că graficul funcției este un segment.


funcției : ,f f x x a .

24) Determinați numărul real m , pentru care 2 0f , unde : ,f

f x x m .




naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.

Indicație. Cazurile favorabile sunt: 7 2,7 3,...,7 14 .


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A , acesta să fie multiplu de 5.

22


10,20,30,40,50,60,70,80,90M , acesta să fie multiplu de 15.




5) După o reducere cu 10% un obiect costă 99 de lei. Calculați prețul obiectului

înainte de reducere.

Soluție. Din 10

99100

x x , unde x este prețul obiectului înainte de reducere,

obținem 10 990x x , de unde 110x .



Indicație. Cazurile favorabile sunt: 10, 20, 30, …,90.


1,2,3,4,5,6,7,8M , acesta să fie divizibil cu 3.

8) Un obiect costă 150 lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30% .

9) Prețul unui obiect este 200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se

scumpește de două ori succesiv, cu câte 10% .

Soluție. După prima scumpire prețul obiectului este 10

200 200 220100

lei.

După a doua scumpire prețul obiectului este10

220 220 242100

lei.

Comentariu: Se observă că nu se obține același rezultat dacă facem direct o

scumpire de 10% 10% 20% .


1,2,3,...,80A , acesta să fie divizibil cu 7.


23


1,2,3,4,5,6,7,8,9A , acesta să fie multiplu de 2.


1) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1A și 0,3B . Determinați

ecuația dreptei AB .

Soluție. Ecuația este y f x , unde f este funcția de gradul I al cărei grafic

este dreapta AB . Considerând f x ax b și punând 2 1f și 0 3f ,

obținem sistemul 2 1

3

a b

b

, de unde 1, 3a b .Deci 3f x x și

atunci ecuația dreptei AB este 3y x .

2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,M 0,4O și 4,0N .

Arătați că triunghiul MON este isoscel.

3) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 10AB și

12AC .

4) Determinați aria triunghiului MNP , știind că 12, 3MN MP și

030 .m M

Indicație. Se folosește formula sin

2

MN MP MS

.

5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 4,2A și 4,6B . Determi-

nați coordonatele mijlocului segmentului AB .

6) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3 ,B 5,3A și 5,6 .C


24

7) Arătați că 0 0 0sin30 sin 45 cos45 1 .

8) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 1,a ,B 3,2A și 2,1 .C

Determinați numărul real a pentru care punctele ,A B și C sunt coliniare.

Soluție. Determinăm funcției de gradul I : ,f f x ax b și apoi

punem condiția ca A să aparțină graficului funcției f .Observăm direct că

1f x x . Punem condiția 1f a și obținem 0a .

9) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,1M și 4,1N . Determi-

nați lungimea segmentului MN .

10) Se consideră triunghiul ABC cu 5, 12AB AC și 13BC . Arătați că

5

sin13

C .

Soluție. Observăm că 2 2 2BC AB AC și atunci folosind reciproca teoremei

lui Pitagora, obținem că triunghiul ABC este dreptunghic cu 090m A .

Deci 5

sin13

ABC

BC .


Determinați distanța de la punctul A la punctul B .

12) Calculați lungimea laturi AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind

că 5AC și 045m B .

13) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 3,4O și 3,4 .B

Determinați distanța de la punctul O la punctul M , știind că M este mijlocul

segmentului AB .

14) Calculați aria triunghiului ABC , știind că 045m B și 2AB AC .

Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel cu catetele AB și AC .

25

15) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 3,3 ,B 6,3A și 4,0 .C

Determinați coordonatele punctului D , știind că ABCDeste paralelogram.

Soluție. Mijlocul diagonalei AC a paralelogramului este punctul ,M MM x y ,

unde7 3

,2 2 2 2

A C A CM M

x x y yx y

. Dar M este și mijlocul diagonalei

BD și deci 7 3

,2 2 2 2

B D B DM M

x x y yx y

, de unde

6 7

3 3

D

D

x

y

.

Rezultă 1Dx și 0Dy .

16) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 0,0 ,A 1,2O și 2, .B a

Determinați numărul real a , știind că punctele O,A și B sunt coliniare.

Soluție. Se observă că ecuația dreptei OA este 2y x . Punem condiția ca

punctul B să aparțină acestei drepte și obținem 2B By x , adică 4a .


Determinați coordonatele mijlocului segmentului AB .

18) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 4 1y x și

punctul 2,0 .A Determinați ecuația paralelei duse prin punctul A la dreapta d

Indicație. Ecuația este de forma y mx n , cu panta 4m .

19) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 0,4A . Determinați

ecuația dreptei d care trece prin punctul A și este paralelă cu dreapta de

ecuație 2 7y x .

20) În reperul cartezian xOy se consideră punctul 1,1M . Determinați

ecuația dreptei care trece prin punctul M și are panta egală cu 2.

26

Capitolul 4


1. Numere reale

1) Determinați câte numere naturale impare de trei cifre distincte se pot forma

cu elementele mulțimii 1,2,3 .

Soluție. Cu elementele mulțimii 1,2,3 se pot forma 6 numere naturale de trei

cifre distincte și anume: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Dintre acestea sunt

impare 4 numere.

2) Arătați că 5 2 3 5 3 10 .

3) Arătați că

21 19

2 : 12 9

.

4) Determinați numărul submulțimilor cu număr impar de elemente ale mulțimii

1,2,3,4A .

Soluție. Submulțimile sunt: 1 , 2 , 3 , 4 , 1,2,3 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 .

Deci numărul lor este 8.

5) Arătați că

21 3

1 12 4

.

6) Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, se pot forma cu cifrele

0, 1, 2 și 3.

7) Pentru 3a arătați că 2 5

2 6

a

a .

8) Scrieți în ordine crescătoare numerele 02014 , 9 și 2 .

9) Arătați că 2

1 2 2 2 3 .

27

10) Determinați câte numere naturale de două cifre distincte se pot forma cu

cifrele 1,3,5 și 7.

Indicație. Numerele sunt: 13, 15, 17, 35, 37, 57,

31, 51, 71, 53, 73, 75.


3 13 3

.



Indicație. Rezultă 3 1 0x sau3 3 0x .


3)Determinați numărul real a știind că 1f a , unde : , 3f f x x

4) Se consideră funcțiile : , 2014f f x x și : ,g

2014g x x . Determinați coordonatele punctului de intersecție a grafice-

lor celor două funcții.

Indicație. Abscisa punctului se determină din ecuația f x g x .


6) Determinați numărul real m știind că punctul .1M m aparține graficului


7) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției

: , 4f f x x cu axa Oy .


: , 1f f x x și : ,g 3 5g x x .

Indicație. Se determină ,M x y din condițiile f x y și g x y .

28

9) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 23 3x x x .

10) Determinați valoarea minimă a funcției 2: , 2 10f f x x x .

Soluție. Pentru orice x avem 2

1 11 11 1f x x f , de unde

rezultă că valoarea minimă este 1 11f

11) Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor

: , 2 3f f x x și : ,g 1g x x .


13) Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției

: , 2 4f f x x și axa Ox .


15) Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției

: , 1f f x x cu axa Ox .



18) Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox a graficului


19) Determinați numărul real m știind că 1f m , unde : ,f

4f x x .


29


1) Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor

naturale de două cifre, acesta să conțină cifra 1.



3) Prețul unui aparat de fotografiat este de 360 de lei. Determinați prețul apara-

tului de fotografiat după o reducere cu 25% .


naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 7.


naturale de o cifră, acesta să fie mai mic sau egal cu 3.


naturale de două cifre, acesta să fie par.

7) Prețul unei imprimante este 120 de lei. Determinați prețul imprimantei după

o scumpire cu 10% .


naturale de două cifre, acesta să fie impar.

Indicație. Pare sunt: 2 5,2 6,...,2 49 .Numărul lor este 49 4 45 .


naturale de o cifră, acesta să fie divizor al lui 8.




30

11) În anul 2013, profitul anual al unei firme a fost de 100000 de lei, ceea ce

reprezintă 4% din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați va-

loarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2013.

Indicație. 100000 4% din x , unde x este valoarea veniturilor anuale ale

firmei în anul 2013.


1) Determinați numărul real a pentru care dreptele de ecuații 1 1y a x și

2 3y x sunt paralele.

2) Determinați raza cercului circumscris triunghiului ABC în care 3AB ,

4AC și 5BC .

Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic.




4 .

5) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,3A și 2,3 .B Determi-

nați coordonatele mijlocului segmentului AB .

6) Determinați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A știind

că 6AC și 3

sin5

B .

7) Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A . Arătați că

sin cos sin cos 1B C C B .

Soluție. 2 2

2sin cos sin cos 1

AC AC AB AB AC ABB C C B

BC BC BC BC BC

.



31

9) Determinați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 6AB și

10BC .

10) Se consideră triunghiul ABC cu 3AB AC și 3 2BC .Determinați

cosC .

Indicație. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

11) În sistemul cartezian xOy se consideră punctele 2,2 , 2,5A B și 6,5C .

Determinați perimetrul triunghiului ABC .

12) Calculați cos A știind că 3

sin2

A și unghiul A este ascuțit.


Arătați că triunghiului ABC este isoscel.

14) Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A știind că 5AB și

13BC .


Arătați că triunghiului ABC este isoscel.

16) Determinați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A ,

știind că 10BC și 030m C .

18) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,0 , 2,0A B și 0,3C

Calculați aria triunghiului ABC .

Indicație. Se reprezintă punctele în reperul cartezian .xOy


Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic.

20) Arătați că 2 0 2 060 45 4tg tg .

32

Capitolul 5


1. Numere reale

1) Arătați că 3 2 2 3 2 6 .

2) Arătați că 3 1 2 18 3 .

3) Arătați că numărul 2

3 1 2 3n este natural

.

4) Arătați că numărul 8 2 2 3 este natural.

5) Arătați că 2 5 2 2 2 10 .

6) Arătați că 3 4 3 3 3 12 .

7) Arătați că 3 1 3 27 3 .

8) Arătați că 2 2 3 2 3 4 .

33

9) Determinați câte numere naturale impare ab se pot forma, știind că

, 2,3,4,5a b și a b .

Indicație. Se vor scrie mai întâi toate numerele naturale ab cu a b și

, 2,3,4,5a b , care sunt în număr de 12.

10) Arătați că numărul 2 7 1 28 este natural.

11) Arătați că 3 2 2 3 2 6 .


1) Se consideră funcția : , 4 1.f f x x Calculați

1 2 ... 10f f f .

Soluție. Avem 1 2 ... 10 4 1 1 4 2 1 ... 4 10 1f f f

10 11

4 1 2 ... 10 10 4 10 220 10 2102

.

2) Calculați 1 2 ... 5f f f pentru funcția : , 2.f f x x


Indicație. Ridicăm ambii membri ai ecuației la pătrat.

4) Calculați 0 2f f pentru funcția : , 1f f x x .


6) Se consideră funcția : , 3.f f x x Arătați că 3 3 6f f .


: , 1f f x x și g : ,g 2 1.x x

Indicație. Abscisa x este soluția ecuației f x g x , iar ordonata este

y f x .

34

8) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 262 2x x .

9) Calculați 3 3f f pentru funcția 2: , 9.f f x x



12) Determinați coordonatele punctului de intersecție cu axa Ox a graficului

funcției 2: , 10 25.f f x x

13) Calculați 4 4f f pentru funcția 2: , 16.f f x x


15) Se consideră funcția : , 3.f f x x Arătați că 3 3 6f f .


17) Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției

2: , 3 2f f x x x cu axa Ox .

Indicație. Rezolvăm ecuația 0f x . Obținem 1,0 , 2,0A B și le repre-

zentăm în reperul cartezian xOy .


19) Calculați 4 4f f pentru funcția : , 4.f f x x


21) Calculați distanța dintre punctele de intersecție cu axa Ox a graficului


Indicație. Distanța este 1 2x x , unde 1 2,x x sunt rădăcinile ecuației 0.f x

35


23) Calculați 1 2 ... 10f f f pentru funcția : , 2 1.f f x x


25) Calculați 2 0f f pentru funcția : , 1f f x x .


1) După o scumpire cu 10% prețul unui produs este de 2200 de lei. Calculați

prețul produsului înainte de scumpire.

Indicație. 10%x din 2200x , unde x este prețul înainte de scumpire.

2) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulțimea

numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să fie egal cu 5.

3) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scum-

pire cu 10% .

4) După o scumpire cu 10% prețul unui produs crește cu 70 de lei. Calculați

prețul produsului după scumpire.

Soluție. Notăm cu x prețul produsului înainte de scumpire. După scumpire

prețul produsului va fi 10%x din x , unde 10% din x este scumpirea. Atunci

10% din x 70 , de unde 10

70100

x și deci 700x .Deducem că prețul după

scumpire este 700 70 770 lei.


numerelor naturale de trei cifre, suma cifrelor acestuia să fie egală cu 2.

36

6) După o ieftinire cu 20% prețul unui produs scade cu 200 de lei. Calculați

prețul produsului după ieftinire.

Indicație.20% din x 200 , unde x este prețul produsului înainte de ieftinire.

7) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o scum-

pire cu 20% .


numerelor naturale de două cifre acesta să fie pătrat perfect.

9) După o ieftinire cu 10% prețul unui produs este 90 de lei. Calculați prețul

produsului înainte de ieftinire.

10) Prețul unui obiect este 100 de lei. Determinați prețul obiectului după o

ieftinire cu 30% .

11) După o scumpire cu 10% prețul unui produs este 220 de lei. Calculați

prețul produsului înainte de scumpire.

12) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din

mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor acestuia să

fie egal cu 4.

13) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulți-

mea 1,2,3,...,20A , acesta să fie divizibil cu 4.


scumpire cu 10% .

15) Calculați probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element din mulți-

mea 1,2,3,...,15A , acesta să fie multiplu de 7.


ieftinire cu 10% .

37




2) În reperul cartezian xOy se consideră punctele 2,7P și 2,9R . Determi-

nați coordonatele mijlocului segmentului PR .

3) Determinați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind

că 40AC și 2

sin .5

B

4) Calculați raza cercului circumscris triunghiului ABC dreptunghic în A , știind

că 8BC .

Soluție. Ipotenuza BC este diametru în cercul circumscris triunghiului ABC .

Deci raza cercului circumscris triunghiului ABC este 42

BCR .

5) Calculați lungimea medianei din A în triunghiul dreptunghic ABC cu

ipotenuza 10.BC

Soluție. Centrul cercului circumscris triunghiului ABC , O , este mijlocul seg-

mentului BC . Atunci mediana 10

52 2

BCAO R .

Comentariu. În general, se știe că lungimea medianei din A în triunghiul

dreptunghic ABC este jumătate din lungimea ipotenuzei BC .



7) În reperul cartezian xOy se consideră dreapta h de ecuație 1y x și

punctul 2,2A . Determinați ecuația dreptei d care trece prin A și este

paralelă cu h .

38

Soluție. Panta dreptei h este 1hm . Deoarece d h obținem că 1d hm m .

Atunci dreapta d va avea o ecuație de forma ,y x n unde n se determină

din condiția A d . Rezultă 2 2 n , adică 0n și astfel ecuația dreptei d

este y x .



9) Calculați cos A , știind că 1

sin2

A și unghiul A este ascuțit.



11) Determinați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A ,

știind că 20BC și 2

cos5

B .

Soluție. Din cosAC

BBC

, obținem 2

20 5

AC , de unde 8AC . Atunci folosind

teorema lui Pitagora avem 2 2 28 20AB , de unde 2 336AB și deci

4 21AB .


Calculați lungimea medianei din B a triunghiului ABC .

Indicație. Lungimea căutată este distanța BM , unde M este mijlocul

segmentului AC .





39

15) Calculați cosB , știind că 5

sinB13

și unghiul B este ascuțit.

Soluție. Folosind formula fundamentală a trigonometriei 2 2sin cos 1B B ,

obținem 225cos 1,

169B de unde 2 144

cos169

B și astfel 12

cos13

B .

40

Capitolul 6


1. Numere reale

1) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația 12 4x .

Indicație. Inecuația din enunț este echivalentă cu inecuația 1 2x .

2) Determinați numărul real m știind că mulțimile 2A și

2| 4 0B x x mx sunt egale.

Soluție. Trebuie să determinăm m pentru care ecuația 2 4 0x mx are o

singură soluție reală și anume 2x . Avem 22 2 4 0m , de unde 4m .

Pentru 4m ecuația devine 2

2 0x și are , într-adevăr numai soluția 2.

3) Arătați că 1 22 2 0,75 .

Indicație. 1 2

1 2

1 12 2

2 2

.

4) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația 2

03x

.

Indicație. Punem condiția ca numitorul să fie strict negativ.

5) Ordonați crescător numerele 12,2 2 și 3 .


1) Determinați coordonatele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor

2: , 2f f x x x și : , 2g g x x .

41

2) Se notează cu 1x și 2x soluțiile ecuației 2 3 0x x a , unde a este un număr

real. Determinați a pentru care 1 2 1 2 5x x x x .

3) Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției

: ,f 2 5 4f x x x cu axaOx .

4) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 13 3 4x x .

Indicație. Notăm 3x y și obținem 3 4y y .

5) Rezolvați sistemul de ecuații5

6

x y

xy

.


funcției : ,f 2 2 3f x x x m .


: , 3f f x x și : , 5g g x x .

8) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 3 12

4

x .


1) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare unul dintre numerele

naturale de două cifre, aceste să fie format doar din cifre impare.

Indicație. Cazurile favorabile sunt toate numerele de forma ab cu

, 1,3,5,7,9a b

2) La o bancă a fost depusă într-un depozit suma de 900 lei, cu o dobândă de

%p pe an. Calculați p , știind că, după un an, în depozit suma este de 1008 lei.

Indicație. 900 %p din900 1008 .

3) Determinați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea 1,2,...,30

acesta să fie divizibil cu 7.

42


1) Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul 3.3A și este paralelă cu

dreapta d de ecuație 3 2 1 0x y .

Soluție. Avem 3 1

3 2 1 0 2 3 12 2

x y y x y x . Deci panta

dreptei d este3

2dm . Fie d dreapta care trece prin A și este paralelă cu

dreapta d . Atunci panta dreptei d este egală cu panta dreptei d . Deci

dreapta d are o ecuație de forma 3

2y x n . Punem condiția A d și

obținem 3

2A Ay x n , adică

33 3

2n , de unde 15n . În concluzie

ecuația dreptei d este 3

152

y x .

2) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0,0O și 2,3A .

Determinați coordonatele punctului B , știind că A este mijlocul segmentului

OB .

3) Determinați măsura x a unui unghi ascuțit, știind că sin 4cos

5cos

x x

x

.

Indicație. Relația din enunț se scrie sin cosx x .

4) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0,0 , 5,1 , 3,5O A B .

Calculați lungimea medianei din vârful O în triunghiul OAB .

Indicație. Mediana are lungimea 2 2

M O M OOM x x y y , unde M

este mijlocul segmentului AB .

5) În reperul cartezian xOy , se consideră punctul 4, 1A . Determinați

coordonatele punctului B , știind că O este mijlocul segmentului AB .

43

6) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1,2A și 3,0B .

Determinați coordonatele simetricului punctului A față de punctul B .

Soluție. Simetricul lui A față de B este punctul C cu proprietatea că B este

mijlocul segmentului AC . Deci 2

A CB

x xx

,

2

A CB

y yy

, adică avem

relațiile 1

32

Cx ,

20

2

Cy , de unde 5, 2C Cx y și deci 5, 2C .

44

Capitolul 7


1. Numere reale

1) Arătați că 2, 5 2 .

Indicație. Avem 1 2 4 5 9 .

2) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, inecuația3 2

2 3

x x

.

Soluție. Inecuația se scrie3 3

2 2

x x

, de unde x x și deci mulțimea

soluțiilor inecuației este intervalul ,0 .


1) Determinați a pentru care funcția 2: , 1 4f f x a x este

constantă.

2) Se consideră funcția : , 5 .f f x x Calculați produsul

1 2 3 ... 10f f f f .

3) Se consideră funcția 2: , .f f x x ax b Determinați numerele

reale a și b pentru care graficul funcției f conține punctele 2,3A și 1,0B .

45



6) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 5 23 3x x x .


Indicație. Ecuația este echivalentă cu 1 2x sau 1 2x .


1) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr din mulțimea

10,11,12,...,99 , acesta să fie divizibil cu 4.

2) După o scumpire cu 5% , prețul unui produs crește cu 12 lei. Calculați prețul

produsului înainte de scumpire.

Soluție. Avem 5% din 12x , unde x este prețul produsului înainte de

scumpire. Rezultă 5

12100

x , de unde 240x .


1) Determinați a pentru care dreptele 1 : 2011 0d ax y și

2 : 2 0d x y sunt paralele.

Indicație. Panta dreptei 1d este a , iar panta dreptei 2d este 1

2 .

46

2) Calculați distanța de la punctul 2,2A la dreapta determinată de punctele

1,0B și 0,1C .

Indicație. Reprezentăm punctele în reperul cartezian xOy și observăm că se

formează triunghiul isoscel ABC cu AB AC .

3) Calculați distanța de la punctul 2,3A la punctul de intersecție a dreptelor

1 : 2 6 0d x y și 2 : 2 6 0.d x y

Soluție.

Din sistemul

2 6 0 4 2 12 0,

2 6 0 2 6 0

x y x y

x y x y

obținem3 18,x de unde 6,x 6y ,

astfel încât 6,6B este punctul de intersecție al dreptelor 1d și 2d . Atunci

2 2 2 2 2 26 2 6 3 4 3 5B A B AAB x x y y .

4) Determinați lungimea laturii unui triunghi echilateral, care are aria egală cu

4 3.

Indicație. Aria unui triunghi echilateral se calculează cu formula2 3

4

lS ,

unde l este lungimea laturii triunghiului echilateral.

5) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 1,4A și 5,0B .

Determinați ecuația mediatoarei segmentului AB .

Indicație. Reprezentând punctele în reperul cartezian xOy obținem triunghiul

dreptunghic isoscel MAB cu 1,0M și ipotenuza AB . Atunci este suficient

să scriem ecuația medianei din M a triunghiului MAB .

6) În reperul cartezian xOy , se consideră punctele 0, 2A și 4,mB , unde

.m Determinați valorile lui m pentru care 5AB .

47

7) Determinați numerele reale m , pentru care punctul 22 1,mA m m se află

pe dreapta : 1 0.d x y

Soluție. Se obține ecuația 22 1 1 0m m , adică 2 0m m , cu soluțiile

reale 1 20, 2m m .

8) Calculați cos x , știind că 0 00 90x și 12

sin13

x .

Soluție. Folosind formula fundamentală a trigonometriei 2 2sin cos 1x x ,

obținem 2144cos 1

169x , de unde 2 25

cos169

x și deci 5

cos13

x .

48

Capitolul 8


1. Numere reale

1) Câte elemente din mulțimea 1,2,3,...,100A sunt divizibile cu numărul 4

sau cu numărul 5 ?

Soluție. Numerele divizibile cu 4 formează mulțimea 4 1,4 2,...,4 25B .

Numerele divizibile cu 5 formează mulțimea 5 1,5 2,...,5 20C . Numerele

din A divizibile cu 4 sau cu 5 formează mulțimea B C și atunci avem relația

25 20 5 40card B C card B card C card B C , deoarece

20,40,60,80,100B C .

2) Determinați x , pentru care 1

1 13

x .

Soluție. Obținem inecuația 3 1 3x sau 4 2x și cum x ,

obținem 4, 3, 2, 1,0,1,2x .



Indicație. Observăm că 22 2 1 1x x x și apoi ridicăm ambii membri ai

ecuației la pătrat.

49

2) Determinați mulțimea valorilor funcției : ,f f x x .

Indicație. Ținem seama că 0x , pentru orice număr real x .

3) Determinați m pentru care ecuația 2 2 0x x m are două soluții reale

egale.

Soluție. Punem condiția 2 21 4 1 0m , de unde 2 1

4m și deci

1

2m .


Indicație. Se obține ecuația echivalentă 2 13 1x .

5) Se consideră funcțiile , : , 2 1, 3f g f x x g x x .Determinați

coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g .

6) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația 21 1

327

x .

Soluție. Obținem21 33 3x , de unde 21 3x , adică 2 4x . Obținem

soluțiile reale 2 și -2.


1) Calculați produsul a b , știind că 150a b și numărul a reprezintă 25%

din numărul b .

Indicație. Obținem 4

ba .

2) Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un element n din mulțimea

1,2,3,4 , acesta să verifice inegalitatea 22n n .

50

Soluție. Pentru 1 2 2 2 3 21 2 1 ; 2 2 2 ; 3 2 3n A n A n F

4 24 2 4 .n A Deci sunt 3 cazuri favorabile, iar numărul total de cazuri

este egal cu numărul elementelor mulțimii 1,2,3,4 . Deci probabilitatea este

3

4P .


1) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 1, 2 , 3, 1M N

și 1,2P . Determinați coordonatele punctului Q astfel încât MNPQ să fie

paralelogram.

Indicație. Ținem seama că diagonalele paralelogramului au același mijloc.

2) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 3,5 ,B 2,5A și

6, 3C . Scrieți ecuația medianei corespunzătoare laturii BC , în triunghiul

ABC .

3) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 2,1 ,B 2,3 ,A

1, 3C și 4,D a , unde .a Determinați a astfel încât dreptele AB și

CD să fie paralele.

Soluție. Ecuația dreptei AB are forma y mx n . Din sistemulA A

B B

y mx n

y mx n

rezultă 1 2

3 2

m n

m n

, de unde 2n și

1

2m care este panta dreptei .AB

Ecuația drepteiCD are forma y px q . Obținem sistemul C C

D D

y px q

y px q

,

care este echivalent cu 3

4

p q

a p q

. Rezultă 3 3p a , de unde

3

3

ap

,

care este panta dreptei CD . Avem 1 3 9

2 3 2

aAB CD m p a

51

4) Un triunghi dreptunghic are catetele 3, 4AB AC . Determinați lungimea

înălțimii duse din A .

Indicație. AB AC

hBC

.

5) Determinați m pentru care punctele 2,3 , 4,5A B și 21,C m m , sunt

coliniare.

Soluție. Ecuația dreptei AB este 1y x . Punem condiția C AB sub forma

1C Cy x . Obținem ecuația 2 2m m , adică 2 2 0m m , cu soluțiile

reale 1 1m și 2 2m .

6) În sistemul de coordonate xOy , se consideră punctele 0,0 ,A 2, 2O și

6,8B . Calculați distanța de la punctul O la mijlocul segmentului AB .

52

Capitolul 9

BREVIARE TEORETICE

1. Numere reale

Scrierea ab se folosește pentru un număr natural de două cifre. Analog

pentru abc etc.

Un număr par este un număr natural cu ultima cifră cu soț.

Un număr impar este un număr natural cu ultima cifră fără soț.

Mulțimea A este o submulțime a mulțimii B , dacă orice element din A se

află și în B . În acest caz scriem A B și spunem că A este inclusă în B sau

că B include A .

Un număr natural a se divide cu un număr natural b dacă există un număr

natural c , astfel încât a b c . Spunem că ,, a este divizibil cu b ” sau că

,,b divide a “. În acest caz, a este un multiplu al lui b și b este un divizor

al lui a .

Numărul natural a este multiplu al numărului natural 0b , dacă și numai

dacă restul împărțirii lui a la b este 0 ( a se împarte exact la b ).

Mulțimea numerelor reale include ( cuprinde) mulțimile , , ,

precum și mulțimea numerelor iraționale.

Cu fracții se pot face operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire și

ridicare la putere cu exponent natural.

53

Fie , 0.a a Prin a înțelegem acel număr real pozitiv x cu

proprietatea că 2x a .

Dacă , 0a a , avem și 1

,n

na

a

unde n 0 1 .a

Raționalizarea numitorului unei fracții se face prin amplificare cu

conjugatul numitorului:

, 0; , 0, 0,a b ca a b a

b b c b cb b cb b c

.

Formule de calcul prescurtat:

22 2 2 2; 2a b a b a b a b a ab b ;

2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab ac bc ,

unde, , ,a b c .

Media aritmetică a numerelor reale pozitive a și b este 2

a b , iar media

geometrică a numerelor reale pozitive a și b este ab și avem

, , , 0, 02

a bab a b a b

( inegalitatea mediilor),

egalitatea realizându-se dacă și numai dacă a b .

54


O funcție :f A B cu ,A B se numește funcție reală de variabilă

reală sau funcție numerică. În acest caz graficul lui f ,

, |fG x f x x A poate fi reprezentat (geometric) în plan în raport cu

un sistem xOy , obținând astfel reprezentarea grafică a funcției f .

Punctele de intersecție ale graficului funcției numerice f cu axa Ox se

determină punând 0y , adică 0f x , iar intersecția cu axa Oy se

realizează punând 0x și calculând 0y f .

Avem ,M M f M MM x y G f x y .

Punctele de intersecție a graficelor a două funcții numerice f și g se

determină din relațiile f x g x și y f x .

Funcția : , , ,f f x ax b a b se numește constantă dacă

0,a liniară dacă 0a și 0b și de gradul I dacă 0a și are ca grafic o

dreaptă numită dreapta de ecuație y ax b sau dreapta soluțiilor ecuației

y ax b .

Funcția : , , ,f f x ax b a b , al cărei grafic este dreapta AB

se determină din sistemul

.

A A

B B

f x y

f x y

Funcția : , , , ,f f x ax b a b , are ca grafic segmentul

,A B , unde ,A f și ,B f .

55

Putem rezolva probleme privind coliniaritatea a trei puncte ,A AA x y ,

, , ,B B C CB x y C x y , determinând funcția de gradul I, f , al cărei grafic

este dreapta AB și verificând dacă ( punând condiția ca) punctul C aparține

graficului funcției f .

Ecuația 0, , , 0ax b a b a , are o singură soluție reală și anume

bx

a .

Ecuația 2 0ax bx c , unde , ,a b c și 0a , are soluții reale dacă și

numai dacă 2 4 0b ac și acestea sunt date de formula1,2

2

bx

a

.

Mai avem 1 2

bS x x

a și

1 2

cP x x

a . Ecuația de gradul al doilea, care

are suma rădăcinilor S și produsul rădăcinilor P este 2 0x Sx P . În

cazul 2 4 0b ac , are loc descompunerea 2ax bx c

1 2a x x x x , unde 1x și 2x sunt rădăcinile ecuației 2 0ax bx c .

Ecuația f x g x

a a , unde , 0a a și f și g sunt funcții de gradul I

sau de gradul al doilea, se rezolvă în , rezolvând ecuația f x g x în .

Ecuația f x g x , unde f este o funcție de gradul I sau de gradul al

II-lea, și 0f x , pentru orice x ,iar g este o funcție de forma

g : , , ,g x ax b a b , se rezolvă în ridicând la pătrat ambii

membrii, rezolvând ecuația 2

f x g x în și verificând soluțiile

obținute în ecuația inițială.

56


Formula 100

pa b , se folosește pentru rezolvarea fiecăreia dintre

următoarele probleme

i aflarea numărului b care reprezintă %p din a ;

ii aflarea numărului a când cunoaștem că %p din el este b ;

iii aflarea raportului procentual %p (cât la sută din el este b ).

Într-un câmp de evenimente egal probabile, probabilitatea unui eveniment se

calculează cu formula

. .

. .

nr caz favorabileP

nr tot cazuri ,

numită formula clasică a probabilității.

57


O mediană în triunghi este un segment de dreaptă care unește vârful

triunghiului cu mijlocul laturii opuse.

O mediatoare în triunghi este o dreaptă perpendiculară pe o latură a

triunghiului, care trece prin mijlocul acelei laturi.

Centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic ABC este chiar

mijlocul ipotenuzei triunghiului.

Mediana din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic are ca

lungime jumătate din lungimea ipotenuzei triunghiului dreptunghic.

Într-un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza BC avem 2 2 2BC AB AC ( teorema lui Pitagora).

Dacă într-un triunghi ABC avem 2 2 2BC AB AC , atunci triunghiul

ABC este dreptunghic cu ipotenuza BC ( reciproca teoremei lui Pitagora).

Într-un triunghi dreptunghic ABC cu 090m A și B x sau C x

avem:

.sin

cat opusăx

ipotenuză ,

.cos

cat alăturatăx

ipotenuză ,

sin cos 1, ,

cos sin

x xtgx ctgx

x x tgx

2 2sin cos 1x x ( formula fundamentală a

trigonometriei pentru unghiuri ascuțite),

0 0sin 90 cos ,cos 90 sinx x x x ,

0 090 , 90tg x ctgx ctg x tgx .

58

Valori importante ale funcțiilor trigonometrice:

0 0 0 0 0 01 3 2sin30 cos60 ;sin 60 cos30 ;sin 45 cos 45

2 2 2 .

0 0 0 0 0 0330 60 , 60 30 3, 45 45 1

3tg ctg tg ctg tg ctg .

Pentru un triunghi ABC în care se cunosc ,AB AC și A avem formulele:

2

AB ACS

, dacă 090A ;

sin

,2

AB AC AS

, dacă A este ascuțit;

0sin 180

,2

AB AC AS

dacă A este obtuz.

Pentru un paralelogram ABCD cu A ascuțit, avem sinS AB AD A .

Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc și reciproc dacă într-un

patrulater convex diagonalele au același mijloc acesta este paralelogram.

Fie punctele ,A AA x y și ,B BB x y . Atunci:

,M Mi M x y este mijlocul segmentului AB dacă și numai dacă

2

A BM

x xx

și

2

A BM

y yy

;

59

ii Distanța dintre punctele A și B este

2 2

B A B AAB x x y y .

Dreptele distincte de ecuații y ax b , respectiv y a x b , sunt paralele

dacă și numai dacă a a , adică dacă și numai dacă au pantele egale.

Punctul ,A AA x y se află pe dreapta de ecuație y ax b dacă și numai dacă

A Ay ax b .

60

Bibliografie

[1] F. Georgescu, F. Smeureanu, A. Cojocaru, M. Crăciun, M.Gușatu,

M. Voinea, A.S. Negulescu, I. Necșuliu: Matematică, culegere de

probleme pentru clasa a IX-a, Editura Fair Partners, București, 2007.

[2] M. Gușatu, Gh. Necșuleu, I. Necșuleu, M. Crăciun, A. Pitea,

D. Cioroboiu, F. Smeureanu: Matematică. Teste Naționale, Editura

Fair Partners, București, 2007.

[3]Gh. Necșuleu: Calcul vectorial și elemente de trigonometrie. Aplicații

în trigonometrie. Aplicații în geometrie, Editura Fair Partners,București,

2007.

[4] Gh. Necșuleu, I. Necșuliu: Matematică manual pentru clasa a VIII-a.

Algebră, Editura Fair Partners, București, 2010

[5] Gh. Necșuleu, I. Necșuliu, M. Gușatu, B. Heroiu, V. Necșuleu, M.

Stroie, D. Eftenoiu: Matematică, variante de subiecte pentru bacalaureat,

Editura Fair Partners, București, 2013.

[6] Gh.Necșuleu, I. Necșuliu, V.Necșuleu: Teme și probleme de matematică

pentru bacalaureat, Partea I, Clasele a IX-a și a X-a, Editura Sitech,

Craiova, 2014.

[7] Gh.Necșuleu, I. Necșuliu, V.Necșuleu: Teme și probleme de matematică

pentru bacalaureat, Partea a II-a, Clasele a XI-a și a XII-a, Editura

Sitech Craiova, 2014.

[8] M. Postolache, M. Crăciun, T. Saulea, M. Gușatu, Gh. Necșuleu, C.

Corcodel: Matematică pentru anul de completare, Editura Fair Partners

București, 2005.

[9] M. Postolache, Gh.Necșuleu, I. Necșuleu, A. Crăciun, L. Bercu: Mate-

matică, manual pentru clasa a X-a, TC, Editura Fair Partners, București,

2005.

[10] I. Țevy, M. Crăciun, T. Saulea, M. Gușatu, A. Pitea, Gh. Necșuleu, I.

Necșuleu, A. Crăciun, L. Bercu, V. Nicula : Matematică,culegere de

probleme pentru clasa a X-a, TC+CD, Editura Fair Partners, București,

2005.

[11] C. Udriște, I. Țevy, Gh.Necșuleu, I. Necșuleu, M. Gușatu, M. Crăciun,

T. Saulea, V. Nicula: Matematică, manual pentru clasa a X-a, TC+CD,

Editura Fair Partners, București, 2005.

61

Cuprins

Prefață…………………………………………………………5

1. Probleme date în anul 2017………………………………...7

2. Probleme date în anul 2016………………………………..15







9. Breviare teoretice…………………………………………..57

Numere reale………………………………………………...57

Funcții și ecuații……………………………………………..59

Procente și probabilități……………………………………...61

Geometrie și trigonometrie…………………………………..62

Bibliografie…………………………………………………….65

PROBLEME DE MATEMATICĂ - isjvl.ro · 6 6)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din...

Documents

Transcript of PROBLEME DE MATEMATICĂ - isjvl.ro · 6 6)Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din...