Probleme Cu Arii Si Grafice

5/20/2018 Probleme Cu Arii Si Grafice

1/10

1 Interpretari de arii.Daca intre marimile fizice M1, M2 si M3exista relatia

dimensionala: si in plus , atunci reprezentarea grafica a ultimei

functii, permite urmatoarea interpretare : aria figurii de sub grafic este proportionala ( adesea

numeric egala ) cu marimea M3. In figurile urmatoare prezentam doar cateva exemple.

Aria = deplasare

Aria = variatia vitezei

Aria = variatia impulsului


2/10

Aria = durata

2 Interpretari de unghiuri.Daca intre marimile fizice M1, M2 si M3exista relatia

dimensionala: si in plus , atunci tangenta la graficul acestei functiieste proportionala cu M3. Cateva exemple pentru cazul in care f este functie liniara sunt

aratate in figurile de mai jos.

tg = acceleratie

tg = viteza

tg = deplasare


3/10

tg = putere

Utilizarea acestor observatii, dealtfel banale, permite deseori o rezolvare simpla a

unor probleme care altfel necesita o parte de calcul laborioasa sau chiar sunt inaccesibile

elevilor de liceu. In continuare vom analiza cateva exemple din cinematica, iar in unul din

numerele urmatoare vom reveni cu exemple si din alte capitole ale fizicii.

3 Exemple de probleme

1. Un tren se deplaseaza rectiliniu uniform. La un moment dat se desprinde ultimul

vagon care, miscandu-se uniform incetinit parcurge pana la oprire distanta d = 250 m. Ce

distanta D parcurge in acest timp trenul, considerand ca in urma desprinderii vagonului vitezatrenului nu se modifica?

Solutie:

In figura am reprezentat vitezele trenului, respectiv vagonului in functie de timp, de la

desprinderea vagonului si pana la oprirea acestuia.

Segmentele OC si OA reprezinta viteza initiala comuna a celor doua mobile, respectiv timpul

de la desprinderea vagonului pana la oprirea lui. In acest timp trenul parcurge distanta D =

aria(OABC), iar vagonul d = aria(OAC). Se vede imediat ca D = 2d = 500 m.

2. Un tren care franeaza uniform a parcurs pana la oprire distanta D = 400 m. ce

distanta a parcurs in prima jumatate a timpului de oprire ?

Solutie:


4/10

Segmentul OA reprezinta timpul in care se opreste trenul. Distanta parcursa pana la oprire D

= aria(OAB), iar cea parcursa in prima jumatate a timpului este d = aria(ODCB). Cele doua

triunghiuri sunt asemenea si atunci raportul ariilor lor este egal cu patratul raportului de

asemanare. Avem: . Rezulta ca

3. O saniuta lansata in sus de-a lungul unui plan inclinat, care formeaza unghiul =

45 cu orizontala, revine inapoi la baza planului astfel incat timpul de coborare este de n =1,1 ori mai mare decat timpul de urcare. Care este coeficientul de frecare?

Solutie:

Fie (1) si (2) , acceleratiile la urcare,

respectiv la coborare. Deoarece distanta parcursa la urcare este egala cu cea parcursa lacoborare, ariile OAB si ADC sunt egale si vom avea: (3). Dar cum BO =

tu, AD = tc, BO = OAtg = tua1si DC = ADtg = tca2, relatia (3) devine: .

Folosind conditia impusa , rezulta , de unde folosind (1) si (2) se obtine

4. De un tren de masa M = 100 t care merge rectiliniu uniform, se desprinde la un

moment dat ultimul vagon de masa n = 10 t. Acesta parcurge o distanta d = 9 km pana se

opreste. LA ce distanta de vagon se va gasi in acest moment trenul, daca forta de tractiune alocomotivei a ramas aceeasi?


5/10

Solutie:

In figura de mai sus distanta dintre tren si vagon, in momentul opririi acestuia este

reprezentata prin aria triunghiului ABC. Notand si , avem:

. Distanta parcursa de vagon se poate scrie:

. Eliminand timpul rezulta : .

Daca, problemele anterioare pot fi rezolvate fara un efort deosebit, folosind legile de

miscare, nu la fel stau lucrurile in privinta celor ce urmeaza.

5. O gazela, urmarita de un leu, alearga in linie dreapta plecand de langa un copac,

astfel incat viteza ei este invers proportionala cu distanta pana la copac. Atunci cand gazela se

afla in punctul A la distanta de 100 m de copac viteza ei este 20 m/s. In cat timp ajunge ea din

punctul A pana in punctul B, aflat la 200 m de copac?

Solutie:

In figura de mai jos s-a reprezentat inversul vitezei in functie de distanta. Aria hasurata

reprezinta distanta parcursa din A(x1) pana in B(x2).


6/10

Din se determina viteza din B: . Timpul in care este parcursa

distanta de la A la B este: .

6. La baza unui stalp cilindric vertical cu raza R, fixat pe o suprafata neteda

orizontala, este legat in punctul A capatul unui fir inextensibil, infasurat in jurul stalpului,

avand la celalalt capat un mic corp. Lungimea firului este egala cu circumferinta stalpului. Se

imprima corpului o viteza radiala v0. Dupa cat timp corpul va lovi stalpul? Se neglijeaza

frecarile. Aplicatie numerica: R = 1 m, v0= 2 m/s.

Solutie:

Traiectoria corpului este cea din figura de mai jos (ACDEA). Modulul vitezei ramane v0,

conform legii conservarii energiei mecanice, iar orientarea ei este mereu perpendiculara pe

fir. In timpul desfasurarii firului, distanta de la centrul stalpului la corp OC = r, este variabila.

Viteza de variatie a acestei distante este:

Deci: (1); . Pentru se obtine , iar pentru

rezulta Graficul functiei (1) este reprezentat

mai jos.


7/10

Timpul t1 , necesar desfasurarii complete a firului ( timp in care corpul descrie traiectoria

ACD ), este egal cu aria trapezului hasurat. Se obtine:

Timpul in care corpul descrie semicercul DE,

de raza va fi , iar timpul dupa care corpul va lovi stalpul este

Top-M.10. Doua corpuri de mase m1, respectiv m2, sunt legate de capetele unui resort de

constanta elastica, k. Corpurile se afla pe o suprafata orizontala fara frecare. Apropiem cele

doua corpuri comprimand resortul si apoi lasam sistemul liber. Care va fi perioada de

oscilatie a sistemului?

Top-M.11. O coarda in forma de bucla circulara se roteste pe o masa orizontala fara

frecare, cu viteza tangentiala v0. Sa se afle viteza cu care se propaga undele pe aceasta

coarda.

Top-M.12. Un corp de masa m1= 1 kg sta pe o scandura orizontala de masa m2= 4 kg, fata

de care are coeficientul de frecare la alunecare = 0,2. Scandura la randul ei sta pe o masaorizontala fara frecari. Asupra scandurii se exercita o forta orizontala proportionala cu timpul:

F = ct, unde c = 5 N/s. Care vor fi acceleratiile corpurilor ? (g = 10 m/s 2).

Top-M.13. In sistemul din figura sunt cunoscute masele m1 , m2 , forta F, coeficientii de

frecare 1si 2. Sa se afle acceleratia corpului cu masa m1. Aplicatie numerica: m1= 1 kg, m2= 3 kg, F = 9,8 N, 1= 0,2 si 2= 0,4.


8/10

Top-M.14.Pe o bara orizontala AB este imbracat un cilindru mobil. Bara se misca

accelerat, intr-un plan orizontal, cu acceleratia acare face unghiul cu bara. Dupa cat timp va

parasi cilindrul bara? La momentul initial cilindrul se gaseste la distanta x0 de capatul A, iar

coeficientul de frecare dintre bara si cilindru este .

Fi de lucru

1. Dou mobile ce se mic rectiliniu pe aceeai

dreapt, au reprezentate legile vitezelor n

figura alturat (se cunosc ). S se precizeze:

a. Ce semnificaie are momentul .

b. Dup ct timp se ntlnesc.

2. Un mobil pleac din repaus i se mic

rectiliniu variat, dependena de timp a

acceleraiei fiind reprezentat n figura

alturat. S se precizeze:

a)

Dup ct timp se oprete mobilul.

b) Viteza maxim atins de acesta.

3.

Dou mobile se mic rectiliniu pe aceeai dreapt, graficele legilor de micare fiind

reprezentate n figura de mai jos. S se determine:

a) Legile de micare ale celor dou mobile.

b) Momentul ntlnirii acestora.

c) Viteza celui de-al doilea mobil n momentul ntlnirii.


9/10

35.Doi ciclisti, aflati in varful si la baza unei pante, se indreapta unul catre celalalt. Cal

care coboara are viteza initiala v1= 7,2 km/h si merge uniform accelerat cu a1= 0,3 m/s2, iar

cel care urca are viteza initiala v2=36 km/h si merge uniform incetinit cu a2=0,2 m/s2. Sa se

afle lungimea pantei, stiind ca cei doi ciclisti se intalnesc dupa t=30 s de la inceputul miscarii.

Care ar fi lungimea maxima a pantei pantru care intalnirea este posibila inaintea de oprirea

ciclistului care urca?

36. Doua corpuri intre care exista distanta d=195 m incep sa se deplaseze unul catre

celalalt cu vitezele initiale v1=1,5 m/s si v2=5 m/s, de sensuri contrare si cu aceeasi

acceleratie a=0,2 m/s2, indreptata in sensul lui v1. Sa se afle distantele parcurse de cele doua

corpuri pana la intalnirea lor.37. Doua mobile pornesc de la un interval de timp t=2 s unul dupa celalalt din acelasi

punct, in aceeasi directie, cu miscari uniform accelerate. Viteze initiale si acceleratiilor celor

doua corpuri sunt v1=1 m/s, a1=2 m/s2, respectiv v2= 10 m/s, a2=1 m/s

2. Dupa cat timp si la ce

distanta de punctul de plecare se vor intalni cele doua corpuri ?

38.Doua corpuri pornesc din acelasi loc la un interval de timp t=60 s unul dupa altul si se

deplaseaza cu acceleratie a=0,4 m/s2 fiecare. Sa se calculeze dupa cat timp de la plecarea

primului corp distanta dintre ele este d=2,4 km.

39. Doua automobile pornesc din repaus din acelasi punct la un interval de timp t unul

dupa celalalt si se deplaseaza cu aceeasi acceleratie constanta. Dupa t=2 min de la plecare, cel

de-al doilea automobil a parcurs o distanta de n=2,25 ori mai mare decat dea parcursa pana in

acel moment de primul automobil. Sa se afle t.40.Un om alearga cu viteza constanta v=6 m/s pentru a prinde un autobuz oprit in statie.

Cand se afla la d=25 m de autobuz, acesta pleaca, accelerand uniform cu a=1 m/s2.

Considerand ca omul continua sa alerge cu aceeasi viteza, sa se afle distanta minima la care

se va afla el de autobuz.


10/10

41. In figura este reprezentata dependenta de timp a pozitiei unui punct material; intre

momentele t1si t3graficul este o parabola. Sa se traseze graficul variatiei in functie de timp avitezei punctului material si sa se determine distanta parcursa de acesta

pentru problema 41

42.Doua puncte materiale pornesc in acelasi moment din acelasi punct si se deplaseaza pe

aceeasi dreapta. Dependenta de timp a vitezelor lor este reprezentata in figura. Sa se

determine momentul si locul in care ele se vor intalni din nou.

pentru problema 42

7) Un corp pornete din repaus ntr-o micare uniform acceleratiparcurge un drum d1=6m,

dupcare merge uniform ncetinit distanad2=4m pnla oprire. tiind ctimpul total almicrii a fost t=10s, sse calculeze acceleraiile n cele doumicri.

R: a1=0,33m/s2; a2=0,5m/s2

8) Dintr-un punct pornesc, pe aceeai direcie, doumobile cu vitezele iniiale v01=2m/s iv02=12m/s cu aceeai acceleraie, la un interval de timp =10s. Ct trebuie sfie acceleraia

mobilelorpentru ca sfieposibilrentlnirea lor?R: a>-1m/s2, a

Probleme Cu Arii Si Grafice

Documents

Transcript of Probleme Cu Arii Si Grafice