PRINCIPIUL DE CORESPONDENsfm.asm.md/ftm/vol9nr3-4/2 fizica teoretica si matematica... ·...

14 Fizică teoretică și matematică

FIZICA ŞI TEHNOLOGIILE MODERNE, vol. 9, nr. 3-4, 2011

PRINCIPIUL DE CORESPONDENŢĂ ŞI REGULA DE CUANTIFICARE A LUI NIELS BOHR

Florea ULIU (Craiova, România)

Mihai Marinciuc (Chişinău, R. Moldova)

De regulă, atunci când elevilor sau studenţilor li se prezintă modelul atomic al lui Niels Bohr, mai întâi sunt expuse neajunsurile modelului planetar (al lui Ernest Rutherford), referitoare la mişcarea orbitală a electronilor, după care se prezintă unele rezultate experimentale ale spectroscopiei (cel puţin formula lui Balmer pentru frecvenţele celor patru linii vizibile din spectrul hidrogenului) şi se enunţă postulatele lui Bohr. Abia în a treia etapă se trece la studiul cantitativ al atomilor (ionilor) hidrogenoizi, considerându-se orbite electronice circulare.

Care ar putea să fie pilonii acestei construcţii (ai acestui studiu) ? În primul rând, este necesar să se aibă în vedere că electronul orbital se află în câmpul

atractiv (şi conservativ) al nucleului atomic fix (cu sarcina )Ze , astfel că energia sa totală este

,2

)(2

20

20

20

r

Zevmre

vmEEE pc (1)

unde, prin definiţie, 00 4/ ee este sarcina „raţionalizată” a electronului .

Apoi, condiţia de stabilitate a orbitei electronului ne obligă să egalăm forţa coulombiană de atracţie a electronului spre nucleu cu produsul dintre masă şi acceleraţia centripetă (sau, echivalent, cu forţa centrifugă de inerţie), astfel că

r

vm

r

Ze 20

2

20 . (2)

Pentru comoditate, în continuare, vom introduce notaţia simplificatoare 20Ze . (3)

Din relaţia (2) rezultă că rvm /20 şi apoi, din relaţia (1) obţinem relaţiile

echivalente

,022

202

0

20

vmvm

vmE ( 4 )

sau

.022

rrr

E

( 4 )

Faptul că energia totală a electronului este negativă ne spune că el se află într-o stare legată, adică, atâta timp cât energia sa totală este negativă ( 0 EE ), electronul nu poate

părăsi edificiul atomic. Având în vedere legătura dintre viteza tangenţială ( v ), viteza unghiulară ( 2 ) şi

raza orbitei circulare ( r ), anume

,2

2 rT

rrv (5)

din relaţiile anterioare putem găsi uşor

302

2 4r

mT

, (6)

Fizică teoretică și matematică 15


sau

0

2/3

2/3

0

2

2

1

m

Er

mT . (7)

Toate rezultatele obţinute până aici sunt clasice. De exemplu, relaţia (6) este analogul legii a 3-a a lui Kepler, valabilă în cazul mişcării planetelor în jurul Soarelui (şi cunoscută încă din anul 1618, cu mult înainte ca Newton să descopere legea atracţiei universale şi să formuleze legile dinamicii, 1687).

Cum trebuie să procedăm pentru a „altoi” pe acest edificiu (atomic) clasic ideile cu totul noi, neclasice, ale postulatelor lui Niels Bohr ?

Majoritatea manualelor din ţările noastre invocă încă de la început (după enunţarea postulatelor) aşa-numita regulă de cuantificare, pe care fie nu o argumentează deloc (cum este cazul unor manuale din R. Moldova (vezi Nota finală), fie „o deduc” pornind de la expresia lungimii de undă asociată unui electron, vmhph 0// , căreia i se cere să satisfacă

condiţia de staţionaritate nr 2 , unde ,...3,2,1n este un număr întreg (cum este cazul multor manuale din România). Această condiţie afirmă că în atomul de hidrogen nu pot exista decât orbite circulare staţionare, în circumferinţa cărora lungimea de undă electronică se cuprinde de un număr întreg de ori.

De fapt, este vorba despre o condiţie de cuantificare (discretizare) a valorilor posibile pentru momentul cinetic al electronului, de forma

nvrmrpL 0 , unde 2/h ( h fiind constanta lui Max Planck) (8)

Este oare corect modul acesta de a introduce cuantificarea în atomii hidrogenoizi prin „deducerea” dată mai sus ? Răspunsul este unul nuanţat căci, dacă din punct de vedere didactico-metodic autorii manualelor au o anumită motivaţie („o facem credibilă în ochii elevilor”), din punctul de vedere al istoriei fizicii deducerea de mai sus – din condiţia de staţionaritate- a relaţiei (8) nu poate fi acceptată. Să nu uităm că modelul lui Bohr a fost elaborat în perioada 1912-1913 iar expresia vmhph 0// (invocată de autorii unor

manuale), pe care o datorăm lui Louis de Broglie, a devenit un fundament al fizicii cuantice şi al dualismului universal undă-corpuscul abia începând cu anul 1924 (în cel mai bun caz). Aşadar, rezultă cât se poate de clar că Bohr a ajuns la relaţia (8) într-un alt mod.

Se ştie că ansamblul investigaţiilor lui Bohr din respectiva perioadă avea în vedere explicarea microscopică a regularităţilor spectrale puse în evidenţă de datele experimentale de necontestat. De pildă, încă din anul 1885, profesorul elveţian J. J. Balmer stabilise că frecvenţele radiaţiilor vizibile*) emise de hidrogenul atomic, determinate experimental, se pot calcula cu formula

22

1

2

1

mR , (9)

unde 6,5,4,3m şi în care R este o constantă empirică, ajustată prin tatonări la valoarea 11510.29,3 sR (şi numită ulterior constanta lui Rydberg). Variaţia discretă a numărului

întreg m l-a condus pe Bohr la ideea producerii unor discontinuităţi (salturi) în atomi în timpul emiterii de radiaţie vizibilă. Pe de altă parte, această formulă sugera ideea că legea generală pentru toate frecvenţele emise ar putea fi scrisă punând 2n în locul lui 22 în primul termen din formula (9) şi cerând întregului m să fie mai mare decât întregul ,n adică

...,3,2,1),()(11

22

nnnmmTnT

mnR (10)

Punând în legătură directă această ultimă relaţie cu al doilea postulat Bohr, conform



căruia frecventa radiaţiei emise la trecerea din starea staţionară cu energia mE în starea

staţionară cu energia nE , este dată de formula

),(1

nm EEh

(11)

se desprinde concluzia unei posibile identificări a „termenului spectral” 2/)( nRnT

cu mărimea )/( hEn , adică posibilitatea existenţei unei relaţii de forma

2n

hREn . (12)

Pentru deducerea unei expresii teoretice a factorului empiric, de proporţionalitate ( R ) din formula (12) este necesar să avem în vedere principiul de corespondenţă invocat de Bohr, conform căruia „teoriile fizicii cuantice” (cu procese discrete) trebuie să conducă la aceleaşi rezultate ca şi „teoriile fizicii clasice” (cu procese continue, fără salturi) în domeniul în care acestea din urmă şi-au dovedit valabilitatea (în confruntarea cu ansamblul datelor furnizate de experienţe).

Aşadar, în cazul unor mase mari şi a unor orbite de mari dimensiuni (atomi puternic excitaţi), rezultatele teoriei cuantice trebuie să tindă spre cele clasice (ca în cazul mişcării unor corpuri cereşti, -planete,- în jurul unor centre atractive precum Soarele).

Combinând relaţia (12) cu relaţia clasică ( 4 ) găsim că raza unei orbite permise este

hR

nr

2

2 , (13)

adică ea creşte direct proporţional cu numărul întreg 2n . Să vedem ce concluzii se desprind din relaţia (10) în cazul în care numerele n şi m sunt foarte mari şi foarte apropiate („orbite” vecine). Putem scrie

34222

)(2))((

n

nmR

n

nmnR

mn

nmnmR

. (14)

În această limită cvasi-clasică, cea mai mică frecvenţă emisă de atomul puternic excitat corespunde diferenţei 1 nm . Ea are valoarea

3inf

2

n

R . (15)

Următoarele frecvenţe pe care le poate emite „atomul cvasi-clasic” investigat corespund diferenţelor ,...4,3,2 nm , adică au valorile inf2 , inf3 , inf4 ,... Rezultă că spectrul radiaţiei emise de atom are, potrivit teoriei clasice, aceleaşi caracteristici ca şi spectrul radiaţiei unei particule încărcate (dipol) electric care oscilează cu frecvenţa proprie

2/inf şi are frecvenţele armonice asociate egale cu multiplii întregi ai lui inf . Dacă

din relaţia (15) îl explicităm pe n scriind 3/1inf )/2( Rn , relaţia (12) devine

3/2

3/2inf

3/1

2

hREn sau, invers,

2/12/3

2/3

inf

2

Rh

En . (16)

Comparând formulele (16) şi (7) putem identifica factorii din faţa lui 2/3

E şi găsim

3

40

220

3

220 22

h

eZm

h

mR

. (17)

În cazul hidrogenului ( 1Z ), cu valorile cunoscute ale constantelor universale 0m , 0e

şi h , din formula (17) obţinem pentru R o valoare de 11510.59,3 s , foarte apropiată de cea găsită pe cale experimentală, prin tatonări. Acest fapt ne permite să afirmăm că identificarea care ne-a condus la relaţia (12) este justificată. Mai mult, faptul evidenţiat de formula (17),



valabilă şi pentru ionii hidrogenoizi (de forma He , Li , Be , ... ), pe care o putem scrie şi sub forma HRZR 2 , anume proporţionalitatea lui R cu 2Z (aici HR , constanta Rydberg a hidrogenului, poate fi considerată ca fiind o constantă universală) a fost confirmat ulterior de toate măsurătorile experimentale.

Acum, din relaţiile (17) şi (12) obţinem

22

40

20

22

hn

eZmEn

, ,...3,2,1n (18)

iar din relaţiile ( 4 ) şi ( 4 ) găsim

200

2

22

4 Zem

hnrn

, respectiv nh

Zevn

202

, (19)

care verifică imediat regula de cuantificare (8) nvmrL nn 00 . (20)

Aşadar, în ultimă instanţă, relaţia (20) este o consecinţă a principiului de corespondenţă şi, în niciun caz, un punct de pornire, magic, al teoriei lui Bohr. REFERINŢE BIBLIOGRAFICE 1. R. Lutwak, J. Holley, and others, Phys. Rev. A56, p. 1443, (1997). 2. A. J. Makowski, K.J. Górska, Phys. Rev. A66, 062103, (2002). NOTĂ SUPLIMENTARĂ:

În primăvara anului 2007, după apariţia la Chişinău a Manualului de Fizică pentru clasa

a XII-a (Editura Ştiinţa, 2006), am avut cu profesorul Mihai Marinciuc o discuţie ceva mai aprinsă referitoare la modul în care, la pagina 143 a manualului, era introdusă „regula de cuantificare a lui Bohr” (formula (5.6)). Eu le sugeram autorilor ca, la reeditarea manualului pentru anul şcolar 2007/2008 (şi pentru anii următori), să se facă o mică, dar importantă, completare. Anume, în locul afirmaţiei „Bohr a admis că”, situată, în manual, deasupra chenarului în care este enunţată „regula de cuantificare”, să se scrie: „Invocând aşa-numitul principiu de corespondenţă, specific evoluţiei dialectice a ştiinţelor, Bohr a constatat că”. Chiar dacă substituirea sugerată de mine nu elucida originea respectivei reguli, ea îl făcea pe elevul care citea manualul să înţeleagă că, atunci când Bohr a formulat acea regulă, el s-a bizuit pe ceva fundamental. Altfel, fără acea substituire, elevul ar fi putut rămâne cu impresia că fizica atomică este un fel de „magie neagră” (în care, de pe mânecă, iluzionistul ar putea scoate orice) şi nu o ştiinţă obiectivă cum se pretinde a fi.

Nu ştiu dacă în noul manual de Fizică şi astronomie pentru clasa a XII-a (ediţia 2011) lucrurile sunt prezentate altfel. Ştiu însă că, în cele din urmă, domnul profesor Mihai Marinciuc a fost de acord cu observaţia mea. Mai mult, ca profesionişti preocupaţi şi responsabili de soarta învăţământului din ţările noastre, conveniserăm ca la întâlnirile (simpozioane, colocvii, comisii metodice, ...) cu profesorii de liceu care predau fizica atomică, să prezentăm, fiecare din noi, câte o comunicare cu conţinutul expus în această lucrare. Din păcate, formei finale a lucrării i-a fost dat să apară după dispariţia atât de neaşteptată a profesorului Mihai Marinciuc.

Primit la redacţie: 9 noiembrie 2011



EFECTELE TERMOELECTRICE – FENOMENE FIZICE ŞI APLICAȚII PRACTICE

Prof. univ. Anatolie CASIAN Universitatea Tehnică a Moldovei

Abstract. Thermoelectric effects are those that refer to direct transformation of the temperature difference into an electrical energy and inversely. These are Seebeck and Peltier effects. The physical interpretation of these effects is presented. It is demonstrated that these effects have large practical applications and the thermoelectric devices have very promising prospects in the future.

Cuvinte cheie: efectul Seebeck, efectul Peltier, material termoelectric, baterii termoelectrice. INTRODUCERE

În natură întâlnim o mulţime de efecte şi fenomene fizice: mişcarea şi deformarea corpurilor, dilatarea termică, evaporarea şi fierberea lichidelor, răspândirea câmpurilor electrice şi magnetice, emisia şi absorbţia luminii, descompunerea nucleelor atomilor şi multe altele. Toate aceste fenomene sunt studiate de fizică, aceasta având ca scop de a stabili şi a explica legile naturii care guvernează aceste fenomene. Cu câteva sute de ani în urmă studiile despre efectele şi fenomenele naturii erau atât de reduse încât un singur om era în stare sa le cunoască în mod detaliat. Nu în zădar savantul de pe vremurile acelea era numit “naturfilosof”, avându-ce în vedere că el studiază toate fenomenele naturii. Însă dezvoltarea de mai departe a ştiinţei despre natură, creşterea enormă a cantităţii de informaţii a dus la aceea că ştiinţa despre natură s-a divizat in mai multe ştiinţe: fizică, chimie, biologie, geologie, meteorologie, biofizică etc., toate studiind fenomene ale naturii.

Fizicii i-au revenit cercetările, pe de o parte, mai elementare, dar pe de altă parte mai generale ale efectelor şi fenomenelor naturii. Însă descoperirile care au loc şi astăzi în fizică nu numai că lărgesc cunoştinţele noastre despre procesele care au loc în natură, dar deseori au un rol decisiv în dezvoltarea altor ştiinţe. De exemplu, fizica cuantică a dat posibilitate nu numai fizicienilor de a cunoaşte procesele care au loc in atomi, molecule, stări condensate, ci şi chimiştilor de a înţelege structura materiei şi a prezice reacţiile chimice.

Este ştiut că fizica are legăturile cele mai strânse cu aplicaţiile tehnologice şi anume prin aceasta se explică rolul ei foarte important în societate. Astfel, descoperirea fenomenului de inducţie electromagnetică a condus la crearea generatoarelor şi motoarelor electrice fără de care este de neînchipuit activitatea umană de azi. În orice apartament funcţionează câteva motoare electrice: în frigider, aspiratorul de praf, ventilator, maşina de spălat ş. a. Un alt exemplu, descoperirea tranzistorului a condus la o eră nouă în electronică, telecomunicaţii, televiziune, tehnica de calcul, medicină, dar şi în viaţa noastră de toate zilele. Astăzi, noi nici nu ne putem imagina cum am trăi fără telefon mobil.

Fizica este atractivă nu numai prin aplicaţiile sale tehnice promiţătoare. Omul trăieşte nu numai pentru a beneficia de realizările tehnicii, care desigur îi ameliorează starea materială. Omul mai are şi tendinţa de a cunoaşte ceva nou, de a descoperi tainele încă ascunse ale naturii, care îl face să-şi concentreze raţiunea pentru a-şi satisface setea de cunoaştere. Cum s-a creat Universul? Cum s-au format atomii şi moleculele? Cum a apărut viaţa pe Pământ? Există alte forme de viaţă? Care este soarta Sistemului solar? Acestea şi multe alte întrebări îl preocupă pe om. Fizicienii construiesc noi şi tot mai sofisticate aparate de cercetare, noi telescoape optice cum ar fi telescopul spaţial Hubble, noi acceleratore de particule elementare (Large Hadron Collider), descoperă aşa numitele nanostructuri. Aşadar, fizicienii tind să pătrundă tot mai adânc şi să descifreze tainele naturii.



Efectele termoelectrice [1] sunt fenomenele care se referă la transformarea directă a diferenţei de temperatură (a căldurii) în tensiune electrică şi, invers, la crearea directă a unei diferenţe de temperatură cu ajutorul energiei electrice. Aceasta înseamnă că dacă capetele unui conductor au temperaturi diferite (se spune că este aplicată o diferenţă de temperatură), atunci la capetele lui va apărea şi o tensiune electrică. Şi invers, dacă la capetele conductorului este aplicată o tensiune electrică, atunci va apărea o diferenţă de temperatură. Desigur, imediat apare ideea că aceste efecte ar putea servi pentru a produce energie electrică direct din căldură (fără utilizarea generatorului electric obişnuit), pentru a măsura temperatura corpurilor şi chiar pentru a crea diferenţe de temperatură, cu alte cuvinte, pentru a răci obiecte. Într-adevăr, după cum vom vedea mai departe, efectele termoelectrice sunt utilizate pe larg în tehnică şi au multe perspective foarte promiţătoare de aplicare.

Prin “efecte termoelectrice”, de obicei, se subînţeleg trei efecte separate: efectul Seebeck, efectul Peltier şi efectul Thomson. Uneori se pot întâlni în cărţi referinţe la efectul Seebeck-Peltier sau Peltier-Seebeck, însă acestea sunt totuşi două efecte diferite. Efectul Thomson este mai specific, el constând în faptul că dacă un conductor este parcurs de curent electric, iar capetele lui au temperaturi diferite, atunci în conductor, pe lângă căldura Joule care întotdeauna încălzeşte conductorul, se degajă sau se absoarbe (în dependenţă de material) o căldură suplimentară. Efectul a fost descoperit pe cale teoretică în anul 1851 de către fizicianul englez Thomson (cunoscut şi ca Lord Kelvin). Efectul Thomson are puţine aplicări practice şi aici nu va fi examinat. EFECTUL SEEBECK

Efectul Seebeck constă în apariţia unei tensiuni electrice într-un circuit din doi conductori (semiconductori) diferiţi, atunci când contactele dintre aceştia au temperaturi diferite. A fost descoperit de către fizicianul german de origine estoniană Thomas Seebeck în 1821. Schema circuitului lui Seebeck este prezentată în fig.1. A şi B reprezintă metale diferite. Seebeck a observat o deviere a acului busolei apropiată de circuit atunci când temperaturile T1 şi T2 ale contactelor dintre metale sunt diferite. Seebeck nu a înţeles fenomenul şi l-a numit efect termomagnetic. Doi ani mai târziu, fizicianul danez Hans Oersted a explicat corect experimentul. Metalele reacţionează diferit la diferenţa de temperatură şi în circuit apare un curent electric care creează un câmp magnetic. Acesta din urmă interacţionează cu câmpul magnetic al acului busolei şi duce la devierea lui. Oersted a introdus şi termenul de termoelectricitate.

Fizica contemporană explică în mod exhaustiv efectul Seebeck. Electronii de la capătul fierbinte cu temperatura T1 au energie cinetică mai mare şi de aceea apare un proces de difuzie a lor spre capătul rece, având temperatura T2, al conductorului, T1 > T2 (fig. 2). Concentraţia electronilor la capătul rece creşte, iar la cel fierbinte descreşte. Respectiv, capătul rece se încarcă negativ, iar capătul fierbinte pozitiv. În conductor apare un câmp electric E interior care creează un flux invers de drift al electronilor. În starea staţionară aceste două fluxuri se echilibrează (dinamic). În circuitul deschis apare o diferenţă de potenţial V sau o forţă electromotoare care poate fi măsurată cu un voltmetru. La diferenţe mici de temperatură, ΔT = T1 – T2 , în raport cu T1 şi T2 vom avea V = a12 (T1 – T2), (1)

Fig.1.

II

+ -E

V

T1 T2I T1>T2

Fig. 2.



unde a12 este coeficientul Seebeck al circuitului. Se poate prezenta a12 = a1- a2, unde a1 şi a2 sunt coeficienţii Seebeck ai materialelor I şi respectiv II. Circuitul din fig. 2 nu ne dă posibilitatea de a măsura direct a1 şi a2. În metale coeficientul Seebeck a este mic ~ 1 π 10 mV/K (1 mV = 10-6 V), in semiconductori a este cu mult mai mare ~ 100 π 1000 mV/K. Dacă în fig. 1 vom alege ca material II un metal, iar ca material I un semiconductor, atunci V ≈ a1 (T1 – T2). (2)

În continuare, vom omite indicele 1 la a1 . Din (2) se desprinde sensul fizic al coeficientului Seebeck: a este tensiunea care apare la capetele conductorului atunci când diferenţa de temperatură este de un Kelvin. Se exprimă a, de obicei, în mV/K. În cazul difuziei sarcinilor pozitive (semiconductori de tip p) ap > 0, iar la difuzia sarcinilor negative (semiconductori de tip n) an < 0. Semnul tensiunii V şi deci a coeficientului a serveşte pentru a determina pe cale experimentală semnul purtătorilor de sarcină. La capătul rece al unui semiconductor de tip n apare polul negativ (surplus de electroni), iar al unui semiconductor de tip p apare polul pozitiv (surplus de goluri).

Astfel, un conductor sau un semiconductor, ale cărui capete se menţin la temperaturi diferite, devine o sursă de energie electrică. Ce-i drept, forţa electromotoare a acestei surse este mică. Dacă vom considera un semiconductor cu a = 200 mV/K şi ΔT = 100 K, atunci vom obţine că tensiunea electromotoare a acestei surse V = 20 mV. Dacă însă rezistenţa circuitului este mică, în el pot apărea curenţi de intensitate relativ mare, de ordinul a câţiva amperi. În fig. 3 este prezentată o astfel sursă de curent electric continuu, formată dintr-un singur semiconductor. Sunt indicate direcţia fluxului de purtători de sarcină (a golurilor) şi direcţia fluxului de căldură în semiconductor. La capătul mai rece unde se elimină căldură, avem polul pozitiv.

Pentru a mări tensiunea în circuit pot fi formate baterii prin legarea în serie (polul minus cu polul plus ş. a.m.d.).) a câtorva surse elementare, după cum este ilustrat în fig. 4. Astfel de baterii însă nu sunt eficiente fiindcă, datorită conductivităţii termice, prin conductorii de contact dintre sursele elementare are loc o pierdere suplimentară, pierdere parazit, a unei părţi de căldură faţă de pierderea prin materialul p. Este mult mai eficient de format cupluri din surse de tip n şi de tip p. După cum se vede din fig. 5, la capătul rece, de sus, în sursa n va apărea polul negativ (-), iar la sursa p - polul pozitiv (+) şi deci aceste surse

sunt deja conectate în serie. Pierderea suplimentară a căldurii prin conductorii de contact a fost eliminată. Pierderea de căldură din cauza conductivităţii termice în înseşi materialele n şi p rămâne, dar ea este mai mică, deoarece se aleg materiale termoelectrice cu conductivitate termică joasă. Aceste două materiale, de tip n şi de tip p , formează un termocuplu sau un termoelement. Mai multe termoelemente pot fi, de asmenea, legate în serie pentru a forma termobaterii. În fig. 6 este arătat modul de conectare a termoelementelor în termobaterii

Fig.3.

Fig.4. Fig. 5.



pentru a obţine valori înalte ale tensiunii la bornele termobateriei. Se pot vedea

termoelementele formate din cupluri p şi n. Numărul acestora depinde de valoarea tensiunii pe care dorim să o obţinem. Desigur, la creşterea numărului de termocupluri creşte şi rezistenţa internă a bateriei. De aceea numărul termocuplurilor se optimizează pentru a obţine o putere electrică optimă în circuitul exterior. Procesul de asamblare a termobateriilor este automatizat. EFECTUL PELTIER

Efectul Peltier constă în încălzirea sau răcirea contactelor între doi conductori (semiconductori), atunci când prin circuit trece curent electric. Efectul a fost descoperit de către fizicianul francez Jean-Charles Peltier în 1834 şi este invers efectului Seebeck. Cantitatea de căldură Q care se absoarbe sau se degaja în joncţiunea a doi conductori (semiconductori), I şi II, este proporţională cu intensitatea curentului în circuit I: Q = Π12I, (3) unde Π12 este coeficientul Peltier al joncţiunii. Dacă se inversează sensul curentului, rezultă şi o inversare a efectului: joncţiunea care era fierbinte se răceşte şi invers, de aceea Π12 = - Π21. Efectul Peltier se explică prin faptul că electronii transportă nu numai sarcină electrică, dar şi energie, inclusiv energie cinetică şi energie potenţială. În prezenţa curentului electric, în conductor apare un anumit flux de energie. Intensitatea curentului în întreg circuitul este aceeaşi, însă fluxul de energie este diferit. Dacă la traversarea joncţiunii electronii trec de la energii mai mici într-un conductor la energii mai mari în cel de al doilea conductor, atunci diferenţa de energie este preluată de la joncţiune şi aceasta se răceşte. Dacă însă electronii trec de la energii mai mari la energii mai mici, atunci surplusul de energie se degajă în joncţiune şi aceasta se încălzeşte. Din această cauză căldura este fie absorbită, fie degajată.

Se poate prezenta Π12 = Π1- Π2, unde Π1 şi Π2 sunt coeficienţii Seebeck ai materialelor I şi respectiv II. În metale, coeficientul Peltier este relativ mic, iar în semiconductori este cu mult mai mare. Dacă în circuitul din fig. 8 vom alege ca material II un metal, iar ca material I un semiconductor, atunci Q ≈ Π1I . (4) În continuare vom omite indicele 1 la Π1 . Se poate demonstra că Π = aT. (5)

Astfel, este suficient de a studia numai coeficientul Seebeck a. Termoelementele din figurile 4 şi 5, precum şi termobateriile din figurile 6 şi 7 servesc

la fel şi pentru a obţine diferenţe de temperatură, adică pentru răcire. În acest caz,

Fig. 7. Fig. 6.

II

+ -

T1 T2I T1<T2

Fig.8.



termobateriile trebuie conectate la surse de curent continuu şi atunci, în dependenţă de polaritate, o suprafaţă se va răci, iar alta se va încălzi. Dacă vom schimba sensul curentului (vom schimba polaritatea), atunci suprafaţa care se răcea acum se va încălzi şi invers. Astfel, fiind folosite în climatizoare, termobateriile ne dau posibilitate să trecem de la răcire vara la încălzire iarna printr-o simplă comutare a polilor sursei de curent.

Pentru a obţine o diferenţă de temperatură mai mare se folosesc termobaterii cu mai multe trepte. În fig. 9 este arătată o termobaterie cu o singură treaptă şi alta cu două trepte. În fig. 10 este prezentat modul de asamblare a unei baterii cu trei trepte produse de Firma RMT Ltd (Rusia). Mărimea suprafeţelor treptelor următoare şi numărul de termocupluri în ele se optimizează în funcţie de scopul urmărit: a obţine o diferenţă de temperatură cât mai mare sau a obţine o cantitate de căldură mai mare de la suprafaţa care se răceşte. Iată cum variază acest număr într-o baterie cu trei trepte. În treapta de jos se asamblează 59 de termocupluri, în treapta a doua 17, iar în ultima 4 termocupluri. O termobaterie cu o treaptă creează o diferenţă de temperatură de ~ 70 C, cu două trepte ~ 90 – 100 C, iar cu trei trepte ~ 115 – 125C. Temperatura cea mai joasă obţinută cu o baterie cu multe trepte este de -160C. APLICAŢII PRACTICE

Efectul Seebeck serveşte pentru: - măsurarea temperaturii obiectelor cu ajutorul termocuplurilor (termometre cu şi fără

contact), - detectarea radiaţiei infraroşii (IR) cu ajutorul

detectoarelor de IR. - transformarea directă a energiei termice în energie

electrică (generatoare termoelectrice) Cel mai simplu termocuplu pentru măsurarea temperaturii este prezentat în fig. 11. Avantajele acestuia sunt:

• interval larg de măsurări (0.001 – 2000 C), • nu necesită aplicarea surselor electrice, • absoarbe puţină căldură, nu schimbă temperatura

obiectului, • măsoară foarte rapid, chiar temperatura variabilă, • este ieftin şi simplu în utilizare, • văsoară temperatura la distanţă, chiar şi a obiectelor în mişcare.

Dezavantaje: • pentru diferite temperaturi sunt necesare diferite termocupluri, • calibrare individuală.

Termometrele cu termocupluri se utilizează pe larg în industrie, în laboratoarele ştiinţifice şi în multe alte domenii.

Fig. 9 Fig. 10

Fig. 11.



Pe această bază sunt confecţionate şi termometre pentru măsurarea temperaturii corpului omenesc. În multe ţări termometrul medical de sticlă cu mercur este interzis, pentru că el se poate sparge, iar vaporii de mercur care se poate scurge în acest caz sunt toxici. În afară de aceasta, fiind folosite de diferite persoane, termometrele cu mercur pot contribui la răspândirea unor maladii.

În prezent se utilizează termometre care funcţionează pe baza măsurării prin contact a radiaţiei infraroşii, radiate de artera de la tâmpla omului ( Fig. 12). Măsurarea se face foarte rapid, timp de 6 - 7 secunde, şi cu o precizie de 0,2 C. Există termometre care măsoară temperatura obiectelor la distanţă, fără a fi în contact cu ele. În fig. 13 este arătat un termometru care măsoară temperatura corpului omenesc de la o distanţă de 8 – 15 cm de la fruntea omului. Astfel de termometre au şi memorie pentru a păstra rezultatele a mai multor măsurări. Măsurarea temperaturii la distanţă este foarte importantă în industria metalurgică, de prelucrare a metalelor, unde regimul de temperatură trebuie monitorizat pe tot parcursul procesului tehnologic.

Pe baza sistemelor de termocupluri se construiesc detectoare de radiaţie infraroşie, termovizoare care servesc la obţinerea imaginii termice a obiectelor în domeniul roşu îndepărtat al spectrului, unde alte detectoare nu pot fi aplicate. În prezent, termografia se utilizează pe larg în medicină. Detectoarele de IR au şi multe aplicaţii militare, inclusiv pentru observarea obiectelor în întuneric.

Generatoarele termoelectrice se folosesc, în primul rând, acolo unde alte surse electrice nu existăt, de exemplu, pentru supravegherea şi monitorizarea automată a conductelor de gaze şi petrol în regiunile îndepărtate de liniile electrice, pentru apărarea catodică a ţevilor din conducte. Se ştie că dacă la ţeava de oţel se aplică polul negativ, atunci ţeava nu este supusă coroziunii.

Un alt domeniu de aplicare largă a generatoarelor termoelectrice este cosmosul. Navele cosmice care se îndepărtează de Soare nu au alte surse de energie decât bateriile termoelectrice cu material radioactiv in calitate de sursă de căldură. Se construiesc diferite tipuri de generatoare termoelectrice cu radioizotopi, care pot fi utilizate atât în aparate cosmice, cât şi în cele terestre. În fig.14 este prezentat un asemenea generator GPHS-RTG (General Purpose Heat Source – Radioisotope Thermoelectric Generator). Generatorul termoelectric БЭС - 5 (Rusia) foloseşte izotopul 235U, masa izotopului fiind de 30 kg, iar puterea electrică produsă - de 3000 W, generatorul având masa totală de 1000 kg. Un alt generator destinat pentru aplicaţii terestre foloseşte izotopul Sr2Ti04, masa izotopului fiind de 1.77 kg, puterea electrică produsă de 53 W, iar masa totală a generatorului -de 1234 kg. În acest caz masa este mai mare, fiindcă

Fig. 12.

Fig. 13

Fig. 14



generatorul necesită o protecţie radioactivă în anumite condiţii de exploatare. În ultimii ani, în legătură cu criza energetică a apărut încă un domeniu larg de aplicare a

generatoarelor termoelectrice, şi anume, folosirea lor pentru recuperarea parţială a energiei termice care se pierde fără a fi folosită în metalurgie, în centralele termoelectrice, în motoarele cu ardere internă ş. a. S-a calculat că chiar cu ajutorul bateriilor termoelectrice actuale, nu prea eficiente, s-ar putea recupera o cantitate enormă de energie termică. Înlocuirea generatorului electric obişnuit (care foloseşte puterea motorului şi duce la un consum suplimentar de combustibil) cu un generator termoelectric care foloseşte căldura eliminată de motor, aduce economii de 4% la consumul de combustibil al unui automobil. În fig. 15 este arătat cum se montează un generator termoelectric pe ţeava de eşapament a unui motor. Dacă generatoarele obişnuite ar fi înlocuite cu cele termoelectrice la doar 10% din toate automobilele, avioanele, navele maritime existente, s-ar face economie de o cantitate enormă de combustibil. Scumpirea carburanţilor pe an ce trece îi obligă pe cercetători şi ingineri să rezolve cât mai urgent această problemă. Cercetătorii de la firmele BSST şi BMW (SUA) au şi anunţat despre intenţia lor de a lansa în anul 2013 în reţeaua comercială primul generator termoelectric pentru automobile.

Largi aplicaţii practice are efectul Peltier care este folosit la construirea aparatelor de răcire, a micro- şi minifrigiderelor. Acestea prezintă avantaje evidente: nu au piese în mişcare şi pot servi lung timp, pot avea dimensiuni reduse şi costuri relativ mici, au o funcţionare fără zgomot şi nu necesită deservire tehnică. Multe firme produc o varietate largă de termobaterii care se folosesc la răcirea componentelor radioelectronice, a detectoarelor de radiaţie vizibilă şi infraroşie, a componentelor sistemelor de telecomunicaţie, a componentelor computerelor. Ele sunt cinfecţionate cu una sau mai multe trepte. Au dimensiuni diferite, de la 2μ2 mm până la câţiva cm2 , şi parametrii optimi care variază în dependenţă de construcţie. În fig. 16 sunt prezentate câteva microtermobaterii asamblate de firma RMT Ltd. din Rusia. Pentru comparaţie, este arătată şi rigla milimetrică. De obicei, ele se folosesc la răcirea componentelor din optoelectronică. Termobaterii mult mai puternice se folosesc la confecţionarea micro- şi minifrigiderelor care de mai mulţi ani se pot găsi în reţeaua comercială. Se produc şi minifrigidere portabile care se alimentează de la bateria automobilului. Unele automobile sunt completate chiar de uzină producătoare cu minifrigidere termoelectrice, prevăzute pentru a putea răci două sticle de apă sau două cutii de suc. Se aşteaptă ca piaţa minifrigiderelor termoelectrice să se extindă considerabil în următorii ani.

Actualmente utilizarea pe scară largă a dispozitivelor termoelectrice este limitată de eficacitatea lor joasă. Aceasta este limitată de eficienţa joasă a materialelor termoelectrice existente care, la rândul său, este determinată de valoarea parametrului adimensional de calitate (engl. figure of merit) ZT a materialului (parametrul Ioffe):

ZT = α2σT/k, (6)

Fig. 15

Fig. 16



unde α este coeficientul Seebeck, σ - conductivitatea electrică, T - temperatura, k - conductivitatea termică. În prezent, materialele termoelectrice cele mai comercializate, atât de tip n cât şi de tip p, sunt obţinute pe baza cristalelor Bi2Te3. Ele au ZT ~ 0,7 – 1 ceea ce este prea puţin. Din cauza aceasta frigiderele termoelectrice, comercializate în prezent, au randamentul de 1/6 din valoarea respectivă a frigiderelor obişnuite cu motor electric şi compresor. De aceea dispozitivele termoelectrice se utilizează mai ales acolo unde eficienţa lor nu este parametrul cel mai important, dar se preferă confortul şi comoditatea sau există o strictă necesitate. Pentru ca dispozitivele termoelectrice să fie economic competitive cu cele obişnuite sunt necesare materiale ieftine cu ZT ≥ 3. După cum se vede din (6), se cere ca materialul dat să posede valori cât mai mari ale lui a şi s şi valori cât mai reduse ale lui k la temperatura T. S-ar părea un lucru simplu. Dar natura nu deschide uşor tainele sale şi aceste cerinţe sunt contradictorii pentru un material termoelectric ordinar. Creşterea conductivităţii electrice duce, de regulă, la micşorarea coeficientului Seebeck şi la creşterea conductivităţii termice, iar mărirea coeficientului Seebeck duce la reducerea conductivităţii electrice. Este necesar de a căuta şi a studia materiale noi cu proprietăţi fizice mai complexe, care să permită înlăturarea acestor contradicţii. Cercetătorii lucrează intens în această direcţie. Au fost obţinute şi studiate mai multe materiale şi structuri termoelectrice noi, inclusiv structuri cu dimensiuni reduse ale spectrului purtătorilor de sarcină – bidimensionale (suprareţele cuantice), unidimensionale (fire cuantice), zero dimensionale (cristale cu puncte cuantice) şi materiale masive nanostructurate.

În fig. 17 este prezentată evoluţia creşterii parametrului termoelectric de calitate ZT în ultimii 60 de ani. Se observă că până la mijlocul anilor 90 această creştere a fost destul de modestă. Nu existau stimulenţi evidenţi pentru creşterea lui ZT. În legătură cu criza resurselor energetice care s-a acutizat considerabil în ultimii zece ani, au fost investite sume mari pentru cercetări ştiinţifice orientate spre căutarea şi studierea materialelor termoelectrice noi, mai eficiente. Multe laboratoare din diferite ţări şi-au concentrat activităţile în acest domeniu. După cum se vede din fig. 17, aceste eforturi s-au încununat cu succes. Valoarea lui ZT a atins 3,5 şi chiar 3,8 (ultimul rezultat). E drept că aceste structuri sunt deocamdată foarte sofisticate şi scumpe. Dar este foarte important însuşi faptul că au fost obţinute valori ale lui ZT mai mari ca trei şi chiar aproape de patru. Pe viitor, când vor fi obţinute materiale noi cu eficienţă termoelectrică mult mai ridicată decât în prezent, dispozitivele termoelectrice care pot fi considerate şi pompe de căldură vor fi pe larg utilizate pentru a încălzi clădirile prin pomparea căldurii în ele din bazine subterane, unde căldura a fost acumulată în perioada caldă, sau chiar de afară, de la frig. Transportarea căldurii cu dispozitivele termoelectrice va fi mai ieftină şi mai confortabilă, decât crearea ei prin arderea combustibilului.

Cercetătorii de la Catedra de mecanică teoretică a Universităţii Tehnice a Moldovei (UTM) au efectuat studii teoretice şi au modelat materiale organice cvasiunidimensionale, în care se prezic valori ale parametrului ZT de ordinul 20 [2]. Chiar dacă, din cauza dificultăţilor

Fig. 17.



tehnologice, s-ar realiza valori şi de cinci ori mai mici, adică ZT ~ 4, aceasta ar fi o realizare excepţională. O realizare bună ar fi chiar şi obţinerea unor materiale organice nepoluante şi ieftine având valori ale lui ZT numai cu puţin mai mari decât unu.

Recenti, o echipă de cercetători de la Catedra menţionată a UTM sub conducerea prof. univ. A. Casian, împreună cu o echipă de cercetători de la Institutul de Chimie al Academiei de Ştiinţe a Ucrainei sub conducerea prof. univ. B. Gorelov au câştigat prin concurs un proiect internaţional, finanţat de Uniunea Europeană prin intermediul STCU (Science and Technology Centre in Ukraine), destinat obţinerii şi cercetării materialului organic nanostructurat de iodură de tetratiotetracenă, în conformitate cu parametrii calculaţi la UTM [3]. Proiectul este prevăzut pentru doi ani. Sperăm ca în acest scurt răstimp să obţinem un material termoelectric promiţător.

În concluzie, vom menţiona că studiile teoretice şi experimentale ale efectelor şi materialelor termoelectrice sunt importante şi actuale. Este necesar de a căuta şi studia materiale noi cu valori cât mai înalte posibile ale parametrului termoelectric de calitate ZT. Se aşteaptă că cercetările intense în acest domeniu vor da posibilitatea de a obţine în scurt timp materiale termoelectrice performante şi ieftine.

REFERINŢE 1. http://en.wikipedia.org/wiki/Thermoelectric_effect. 2. A. Casian. Prospects of thermoelectricity based on organic materials, Journal of Thermoelectricity. No. 3, 45-50, 2007. 3. A. Casian, J. G. Stockholm, V. Dusciac, V. Nicic. Low-Dimensional Organic Crystal Tetrathiotetracene–Iodide as Thermoelectric Material: Reality and Prospects, Journal of Nanoelectronics and Optoelectronics- V. 4, 95-100, 2009.

SIMETRIZAREA ECUAŢIILOR TEORIEI CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC. PROPAGAREA UNDELOR

ELECTROMAGNETICE ÎN MEDIILE ANIZOTROPE

Prof. univ. dr habil. Mihai VLADIMIR Universitatea Tehnică a Moldovei, Chişinău

[email protected] ABSTRACT Propagation of electromagnetic waves in anisotropic medium is being studied. Together

with scalar and vectorial potential, we introduce scalar and vectorial currents of electromagnetic field. D'Alembert equations for anisotropic medium are being written.

REZUMAT Se examinează propagarea undelor electromagnetice în mediile izotrope şi anizotrope,

ţinînd cont de simetrizarea ecuaţiilor teoriei câmpului electromagnetic. Se introduc corect din punct de vedere fizic, paralel cu potenţialele scalar şi vectorial ale câmpului electromagnetic, şi curenţii scalar şi vectorial ai câmpului. Cu aceste mărimi auxiliare, ecuaţiile simetrizate Maxwell se transformă în ecuaţii de tip d’Alembert care se scriu pentru medii anizotrope. Problema este actuală,din punctul de vedere al dezvoltării tehnologiilor informaţionale. Rezultatele obţinute sunt noi şi originale.

CUVINTE-CHEIE: simetrizare, ecuaţii, unde, anizotropie, potenţiale, curenţi.



Rezolvarea problemelor electrodinamicii se reduce la aflarea vectorilor intensităţii şi inducţiei câmpurilor electric, respectiv magnetic, integrînd ecuaţiile lui Maxwell. Prezentăm aceste ecuaţii sub formă diferenţială simetrizată:

;;;;00

00

mHdivEdiv

t

HErot

t

EjHrot

(1)

estedensitatea superficială totală a curenţilor de conducţie şi variabili de natură străină,

-densitatea superficială a tensiunii variabile de natură străină, -densitatea volumică a fluxului inducţiei electrice printr-o suprafaţă închisă S, care coincide cu densitatea volumică a sarcinii electrice, -densitatea volumică a fluxului inducţiei magnetice prin suprafaţa închisă S. Atragem atenţia că în ecuaţiile întîia şi a doua din (1) unităţile în sistemul internaţional (SI) sunt respectiv (amper pe metru pătrat) şi (volt pe metru pătrat), iar în ecuaţiile a treia şi a

patra din (1) sunt respectiv - coulomb (egal cu amper-secundă) pe metru cub şi

(volt-secundă pe metru cub). Simetrizarea ecuaţiilor întîia şi a doua din (1) constă în faptul

că în ecuaţia a doua din (1) am inclus densitatea superficială de tensiune variabilă de natură străină (neelectrică), care există şi se utilizează frecvent în teoria antenelor. Simetrizarea ecuaţiilor a treia şi a patra din (1) se efectuează prin introducerea în ecuaţia a patra din (1) a densitaţii volumice a fluxului inducţiei magnetice prin suprafaţa închisă S. Atragem atenţia asupra faptului că mărimea

nu reprezintă o sarcină magnetică liberă , deoarece polii magnetici nu pot fi separaţi, chiar dacă i-am separara pînă la atom. Atomul este caracterizat de un moment magnetic orbital şi un moment cinetic, astfel atomul poate fi examinat ca un magnet elementar. Dacă am separa sarcinile electrice ale atomului (nucleul de electroni) am obţine sarcini electrice libere, în substanţa ionizată, care nu au nimic în comun cu monopolii magnetici. Din sistemul de ecuaţii (1) rezultă că câmpul magnetic este creat de curenţii de conducţie, curenţii moleculari care reprezintă mişcarea de rotaţie (ca mişcare ordonată) a electronilor pe orbite, curenţii de deplasare care apar la trecerea curentului alternativ prin condensatoare şi sunt caracterizaţi de variaţia câmpului electric în timp, de asemenea la apariţia curenţilor variabili de natură străină. Câmpul magnetic are un caracter turbionar (solenoidal, rotaţional) şi posedă linii magnetice închise. Câmpul electric poate fi atât potenţial, cât şi turbionar şi este creat de sarcini electrice libere şi de către variaţia fluxului magnetic în timp care reprezintă tensiunea electromotoare variabilă, precum şi de tensiuni variabile de natură străină. Prezentăm ecuaţiile de continuitate pentru densităţile de curent şi tensiune, care reprezintă în acelaşi timp şi legi de conservare:

(2)

Aceste ecuaţii, de asemenea, sunt simetrice. În SI, unităţile sunt respectiv şi .

Scriem ecuaţiile de legătură dintre vectorii câmpului electromagnetic, care se mai numesc şi ecuaţii materiale, deoarece descriu proprietăţile dielectrice şi magnetice ale substanţei:

; (3)

este vectorul polarizării, -vectorul magnetizării, -permitivitatea (permeabilitatea) relativă dielectrică, respectiv magnetică, -susceptibilitatea dielectrică relativă, respectiv magnetică. Simetria mărimilor electrice şi magnetice în (3) este evidentă. Mărimile



sunt constante absolute, electrică şi magnetică. Prezentăm, de asemenea, legile lui Ohm sub formă diferenţială, care la fel sunt simetrice

(4)

este conductivitatea totală a curentului electric, -rezistenţa ce revine la un metru. Legea este scrisă prin analogie cu , însă esenţa acestei legi este legată de densitatea superficială de tensiune. Astfel, ecuaţiile (1), (2), (3) şi (4) reprezintă conţinutul matematic şi fizic al electrodinamicii clasice, care stă la baza teoriei câmpului electromagnetic.

Câmpul electromagnetic este alcătuit din câmpuri electrice şi magnetice care examinate separat sunt relative. Un câmp unic, invariant, este câmpul electromagnetic care posedă masă, impuls, energie, moment cinetic. Câmpul electromagnetic se propagă sub formă de unde electromagnetice, în spaţiu şi în timp, de la punct la punct cu viteză finită. Rezolvarea problemelor electrodinamicii se reduce la aflarea vectorilor câmpului electromagnetic prin integrarea ecuaţiilor lui Maxwell. Sistemul de ecuaţii (1) reprezintă ecuaţii diferenţiale în derivate parţiale liniare de gradul întîi. Sistemul (1) poate fi rezolvat direct, aflând vectorii câmpului. În acest caz, sistemul (1), prin operaţia rot de la primele două ecuaţii din (1) şi utilizarea pe parcurs a ecuaţiilor a treia şi a patra din (1), se reduce la următorul sistem de două ecuaţii diferenţiale în derivate parţiale, liniare, de gradul doi:

(5)

este indicele absolut de

refracţie, c- viteza luminii în vid. Sistemul de ecuaţii (5) este scris în cazul general, în care mediul, atât cel dielectric cât şi cel magnetic, este anizotrop. Pentru mediul anizotrop, mărimile , sunt funcţii de coordonate ori, ceea ce este acelaşi lucru, funcţii de vectorul de poziţie . Pentru mediul izotrop mărimile - sunt constante. Ecuaţiile (5) pentru mediul izotrop se scriu sub forma:

(6)

Din (6) se observă că pentru mediul izotrop variabilele s-au separat şi am obţinut ecuaţii separate pentru vectorii şi , care au aceeaşi formă (ecuaţii invariante). Ecuaţiile (5) şi (6) pot fi numite ecuaţii de tipul D’Alembert, care în partea dreaptă conţin termeni suplimentari. Examinăm soluţiile ecuaţiilor (5) şi (6), sub formă de unde electromagnetice plane:

(7)

este frecvenţa ciclică, -vectorul de undă, -vectorul de poziţie, -unitatea imaginară, - amplitudinile câmpurilor electric, respectiv, magnetic. Transcriem sistemul (1) sub forma:



(8)

Înlocuind (7) în (8), obţinem:

(9)

Din (9) rezultă Vectorii , formează tripletul drept şi

(10)

Având în vedere (10), din (9) obţinem:

Soluţiile sistemelor (5) şi (6) sub formă de unde electromagnetice plane ne permit să examinăm propagarea undelor electromagnetice în medii anizotrope, respectiv izotrope. În acest sens, alegem geometria propagării undelor. Orientăm vectorul de-a lungul axei OX, vectorul - de-a lungul axei OY, iar vectorul - de-a lungul axei OZ. Introducînd (7) în (5) şi ţinînd cont de geometria aleasă, constatăm că numărul de undă k este complex:

(12)

Mărimea este proporţională cu indicele absolut de refracţie n, iar mărimea este proporţională cu coeficientul de absorbţie . Astfel, pentru mediul anizotrop obţinem:

(13)

;

;

(14)

Pentru mediul izotrop, derivatele parţiale în raport cu x de la constantele ce caracterizează mediul sunt egale cu zero, . Rămîn mărimile şi în care lipsesc şi .Definim energia câmpului electromagnetic ca suma energiilor câmpului electric şi magnetic:

(15)

Din (16) rezultă că funcţia W este direct proporţională cu ; şi cu volumul V. Pentru



undele electromagnetice este valabilă relaţia

HE 00 ; (16)

Utilizând această relaţie pentru energia câmpului electromagnetic, obţinem:

ori , w este densitatea volumică de energie a câmpului electromagnetic. Definim vectorul Poynting:

(17)

Modulul vectorului Sensul fizic al modulului vectorului Poynting, constă în faptul că unda electromagnetică transportă cu sine o cantitate de energie în unitatea de volum cu viteza . Energia câmpului electromagnetic este absorbită de către mediul anizotrop (izotrop) conform formulei:

(18) este versorul vectorului de undă. Astfel, energia câmpului electromagnetic se micşorează exponenţial, fiind absorbită de mediul anizotrop. Adîncimea de pătrundere a câmpului

electromagnetic în mediul anizotrop se defineşte cu ; Sistemul de ecuaţii ale lui Maxwell care descrie câmpul electromagnetic poate fi rezolvat

cu ajutorul funcţiilor auxiliare ce duc la ecuaţii diferenţiale liniare neomogene în derivate parţiale de gradul doi şi care sunt mai simple. Examinăm intensităţile câmpului electric şi magnetic sub forma:

(19)

unde este potenţialul scalar al câmpului electromagnetic, în SI, ; – potenţialul vectorial al câmpului electromagnetic, în SI, ; - intensitatea scalară a curentului electric de natură

straină, în SI, intensitatea vectorială a curentului electric, în SI, AJ e

. Astfel, în

formulele (19) există mărimi fizice auxiliare , , cu ajutorul cărora ecuaţiile sistemului (1)

pot fi transformate. Utilizăm, în paralel cu potenţialul scalar şi vectorial , curenţii scalar şi

vectorial . Introducem (19) în (1) şi obţinem:

(20)

Ecuaţiile (20) sunt scrise pentru medii anizotrope, pentru care Ecuaţiile

(20) sunt de tipul D’Alembert, cu termeni suplimentari în partea dreaptă. Fiecare din ecuaţiile (20) conţine câte două mărimi auxiliare, astfel că există posibilitatea de alegere a acestor mărimi în aşa mod încât ecuaţiile să devină pe cât e posibil mai simple. Alegerea legăturilor dintre mărimile auxiliare se numeşte calibrare. Sunt cunoscute calibrările Lorentz şi Coulomb. Utilizăm calibrările Lorentz:



(21)

Ţinînd cont de (21), ecuaţiile (20) se scriu sub forma:

(22)

Ecuaţiile (22) sunt scrise pentru mediile anizotrope. Primele două ecuaţii din (22) au

variabilele separate. Rezolvând primele două ecuaţii din (22), obţinem potenţialul vectorial şi

curentul vectorial Introducînd soluţiile pentru şi în ecuaţiile a treia şi a patra din (22), obţinem ecuaţii cu variabile separate pentru potenţialul scalar şi curentul scalar . Soluţiile

obţinute pentru potenţialul scalar, şi cel vectorial, , curentul scalar şi cel vectorial trebuie introduse în condiţiile de calibrare (21). Soluţiile care satisfac condiţiile (21) au sens fizic. Pentru mediile izotrope descrise de constantele şi ecuaţiile (22) se transformă în cunoscutele ecuaţii D’Alembert:

; (23)

În aceste mărimi sunt incluse funcţiile de întîrziere care conţin timpul de întîrziere r estedistanţa până la punctul de observaţie, - viteza undei electromagnetice în mediul izotrop.

Utilizăm calibrările Coulomb:

(24)

În acest caz ecuaţiile se scriu astfel:

(25)

Ecuaţiile (25) sunt scrise pentru medii anizotrope şi se rezolvă consecutiv. Aflând, de



exemplu, mărimea ca funcţie de din ecuaţia a patra şi introducînd în prima ecuaţie din

(25), obţinem ecuaţia D’Alembert pentru potenţialul vectorial . La fel se procedează şi cu ecuaţiile

a treia şi a doua din (25), obţinînd ecuaţia D’Alembert pentru curentul vectorial .Soluţiile obţinute

pentru şi se introduc în calibrările Coulomb şi se aleg soluţiile fizice, adică acele soluţii care satisfac condiţiile (24). Calibrările Coulomb se utilizează în teoria cuantică a câmpului electromagnetic. Pentru mediul izotrop ecuaţiile (25) se simplifică şi au forma:

(26)

În cazul câmpului electromagnetic staţionar determinat de condiţiile:

(27)

pentru mediul anizotrop, ecuaţiile (20) se scriu astfel:

(28)

pentru mediile izotrope avem:

(29)

În (28) şi (29) variabilele sunt separate şi putem, de asemenea, utiliza calibrările Lorentz şi Coulomb. Astfel, ecuaţiile se vor simplifica şi mai mult. Pentru câmpul electromagnetic potenţial determinat de condiţiile:

(30)

ecuaţiile (20) se scriu sub forma:

(31)

Ecuaţiile (31) sunt scrise pentru un mediu anizotrop. Pentru un mediu izotrop ecuaţiile (31) au forma:

(32)



În ecuaţiile (31) şi (32) de asemenea pot fi utilizate calibrările Lorentz şi Coulomb. Ecuaţiile (20) pot fi simplificate şi în cazul respectării condiţiilor:

(33)

Astfel, pentru mediul anizotrop avem:

(34) Pentru mediul izotrop ecuaţiile (34) iau forma:

(35) În ecuaţiile (34) şi (35) pot fi utilizate calibrările Lorentz şi Coulomb. După rezolvarea

ecuaţiilor diferenţiale în cazurile câmpului staţionar, câmpului potenţial şi câmpului descris de condiţiile (33), trebuie verificate condiţiile (27), (30) şi (33) şi alese soluţiile care satisfac aceste condiţii şi au sens fizic.

CONCLUZII

Am examinat propagarea undelor electromagnetice în mediile anizotrope şi am obţinut rezultate originale, utilizând ecuaţiile simetrizate ale teoriei câmpului electromagnetic. Punînd

şi in (14), obţinem propagarea undelor electromagnetice în mediile izotrope. Punînd in (5), obţinem propagarea undelor în mediile dielectrice. Pentru simetrizarea

ecuaţiilor am introdus surse de curent şi tensiune de natură străină, care se întîlnesc în liniile de comunicare şi am introdus densitatea volumică de flux magnetic. Ecuaţiile simetrizate ale teoriei câmpului electromagnetic au avantaj atât din punct de vedere matematic, cât şi din punct de vedere fizic. Rezolvarea ecuaţiilor lui Maxwell se efectuează utilizând potenţialele scalar şi vectorial şi curenţii scalar şi vectorial. Aceste mărimi reduc numărul de patru ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi în derivate parţiale la două ecuaţii diferenţiale în derivate parţiale de ordinul doi. Curenţii scalar şi vectorial se introduc ţinînd cont de unităţile mărimilor respective. Soluţiile pentru potenţialele scalar şi vectorial şi curenţii scalar şi vectorial se introduc în formulele (19) şi se află intensitatea câmpului electric şi, respectiv, a celui magnetic.

REFERINŢE 1. Н. Н. Федоров. Основы электродинамики. Изд. “Высшaя школа”, Москва, 1965. (N. N. Fedorov, Bazele electrodinamicii, Editura “Высшaя школа”, Moscova). 2. В. Г. Левич. Курс теоретической физики, т. 1, Изд. “Наука”, Москва,1969. (V. G. Levici, Curs de fizică teoretică, vol. 1, Editura “Наука”, Moscova, 1969).

Primit la redacţie: 16 noiembrie 2011

PRINCIPIUL DE CORESPONDENsfm.asm.md/ftm/vol9nr3-4/2 fizica teoretica si matematica... ·...

Documents

Transcript of PRINCIPIUL DE CORESPONDENsfm.asm.md/ftm/vol9nr3-4/2 fizica teoretica si matematica... ·...