ANALIZA a 11- a - 1 -
Culegere
Limite de siruri 1
1 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn axn
n :
- Fie sirul xn n 0 , definit prin : ax
n
n , unde Ra , fixat .
- Limita acestui sir are urmatoarele cazuri :
axn
nn
nlimlim
1 daca ,
1,1 daca , 0
1 daca ,
1 daca , 1
a
a
a
a
.
Exercitii :
1) ?3
1lim
n
n
…………………………………………………………………………………….
2)
3
2
2
1lim
2
nn
nnn =…………………..…………………………………………………..
3)
2
5
1lim
n
n
nn =……………..……………………………………………………………...
4) 54
32lim nn
nn
n
=…………………………………..………………………………………………...
5) 563
532lim 2 nn
nn
n n
n
=……………………………………………………………………………..
6)
2
11
2
11
2
11
2
11lim 242
.....n
n
= ……………………………………………
7) 23
35lim
n
n
n
=……………………………….……………………………………………………
ANALIZA a 11- a - 2 -
Culegere
Limite de siruri 2
2 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn nPxn :
- Fie sirul xn n 0 , definit prin : nPxn , unde P este o functie reala polinomiala :
ananananax kk
kkk
n nP
1
2
2
1
10 ..... , 00 a .
- Limita acestui sir definit printr-o functie polinomiala este limita termenului de grad maxim :
0 daca , -
0 daca ,
0
0
0limlimlima
anax
k
nnn
n
nP .
Exercitii :
1) 432lim2
nnn
=? ; …………………………………………………………………..
2) 6536lim45
nnnn
=? ; ………………………………………………………………
3) 100043lim36 nn
n
=? ; ………………………………………………………………..
4) nn
01.0lim3
=? ; ………………………………………………………………………….
5) nn
0001.0lim5
=? …………………………………………………………………………..
ANALIZA a 11- a - 3 -
Culegere
Limite de siruri 3
3 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn
nQ
nPxn :
- Fie sirul xn n 0 , definit prin :
nQ
nPxn , unde P si Q sunt functii polinomiale reale :
bnbnbnbnb
ananananax
mm
mmm
kk
kkk
nnQ
nP
1
2
2
1
10
1
2
2
1
10
.....
..... , unde k ,m 1 .
- Limita acestui sir definit printr-un raport de functii polinomiale : este limita raportului
termenilor de grad maxim ale celor doua functii :
mk
mk
mk
nQ
nP
b
a
b
a
nb
nax m
k
nnn
n
daca , 0
daca ,
daca ,
0
0
0
0
0
0limlimlim
Exercitii :
1) 14
25lim 2
3
nn
nnn
=? ; ……………………………………………………………………..
2) 1456
323lim 234
24
nnn
nnnn
=? ; ………………………………………………………………..
3) 5310
365lim 3
2
nn
nnn
=? ; ……………………………………………………………………
4) 1
lim 2
2
n
n
n
=? ; ……………………………………………………………………………...
5) 53
32lim 2
2
n
nn
=? ; ……………………………………………………………………………
6) nnn
nnnn
23
23
6
1523lim =? ; ………………………………………………………………..
7)
211lim
2
22!sin
n
n
n
n
n
n nn
=? ; ………………………………………………….
8)
nn
nnn
n32
1...3221...21lim =? ; ………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 4 -
Culegere
Limite de siruri 4
9) 53
53lim 11
nn
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………..
10)
n
n
n
nnn
n 5
14
15
1lim =? ; ………………………………………………………………..
11)
3
1
3
1
3
11
2
1
2
1
2
11lim ..........
22 nnn
=? ; ………………………………….
12) 13
13lim 1
n
nn
n
n
=? ; ………………………………………………………………………...
13)
12
1
13lim cos
3
2
n
n
n
nn
n
n =? ; ……………………………………………………
14)
n
n
n
nn
3
222
3
222 123121lim
......=? ; …………………………………………
15) 352
32lim 11
nn
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………..
16)
11
lim
nn
nn
n
=? , unde 0, ; ……………………………………………………...
17)
32
315lim 2
2
n
nnn
n
=? ; ………………………………………………………………...
18) 15
15lim 21
2
n
nn
n
n
=? ; ………………………………………………………………………...
19)
5
132lim 2
2
n
n
nn
nn
=? ; …………………………………………………………………
20)
2
1
63
2lim 2
2n
n n
n =? . …………………………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 5 -
Culegere
Limite de siruri 5
4 Limita uunneeii ppuutteerrii :
- Daca 0an , aan , 0a si xxn , atunci : aaxx
nn , adica :
lim lim lim
aa nn
xxn
n
nn
n
- Limita unei puteri se distribuie si bazei si exponentului .
Exercitii :
1)
2
1lim
12
n
n
n
=? ; ……………………………………………………………………………….
2)
3
1lim
14
35
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………..
3)
1lim
12
n
n n
n
n
=? ; ……………………………………………………………………………
4)
n
nn
n
1lim
32
=? ; …………………………………………………………………………….
5)
433
32lim
1
nn
nn n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………...
6)
3
1lim
132
52
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………
7)
4
1lim
23
12
2
n
n
n
=? ; ……………………………………………………………………………..
8)
nn
nn
n
n 3lim 2
2 13
2
=? ; ………………………………………………………………………...
9)
n
n n
nn
n
1lim
1
12
=? ; …………………………………………………………………………
10)
534
53lim
132
2
nn
nn n
n
n
=? . ……………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 6 -
Culegere
Limite de siruri 6
5 Limita rraaddiiccaalluulluuii :
- Daca xxn , 0xn , Nk , 2k , atunci : kkn xx adica :
lim lim k nn
kn
nxx
- Limita radicalului este egala cu radicalul limitei .
Exercitii :
1) 1
limn
n
n
=? ; …………………………………………………………………………………
2) 52
2
12
3lim
nn
nnn
=? ; ………………………………………………………………………….
3) 5443
32lim
nn
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………….
4) 5lim3
2
2
15 n
n
n
=? ; …………………………………………………………………………………
5)
3
1lim
325
162
2
nn
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………….
6) n
n
n
1lim
=? ; …………………………………………………………………………………
7) 33
23
36
13lim
nn
nnn
=? ; ………………………………………………………………………..
8) 635
6352lim 1
nn
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………….
9) 3lim5
24
34
12
6532
nn
nn
n
=? ; ……………………………………………………………………………
10)
5
1lim
52
63
3
nn
nn
n
=? . …………………………………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 7 -
Culegere
Limite de siruri 7
6 Limita llooggaarriittmmuulluuii :
- Daca xxn , 0xn , 0x atunci : 1 , 0 , log log aaxx ana
adica :
lim log log lim xx nn
anan
- Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .
Exercitii :
1)
12
1loglim
2
1
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………….
2)
5100
110lim 2
2
lgn
nn
=? ; ……………………………………………………………………….
3)
n
nn
n
1lim
53
ln =? ; ………………………………………………………………………..
4)
32
1loglim 5
nn
nn
n
=? ; ……………………………………………………………….
5)
5723
532loglim 3 nn
nn
n
=? ; …………………………………………………………………….
6)
13
1loglim 3 n
n
n
=? ; …………………………………………………………………………..
7)
152
3loglim 2
2
5nn
nnn
=? ; ………………………………………………………………….
8)
n
n
n
11lim
34
ln =? ; ………………………………………………………………………..
9)
nn
nn
n 54
32loglim 2
=? ; …………………………………………………………………….
10)
1093
1053lim 11
lgnn
nn
n
=? . ……………………………………………………………………..
ANALIZA a 11- a - 8 -
Culegere
Limite de siruri 8
1 Adunarea :
- Fie xn si yn
doua siruri .
- Tinand seama de aritmetica din R se poate rezuma in tabelul de mai jos limita sumei a doua
siruri :
xnn
lim yn
nlim yx nn
n
lim
Nu are sens
Important :
- Daca sirurile xn si yn
au limita (finita sau infinita) si daca suma limitelor are sens ,
atunci sirul yx nn are limita si limita sumei este egala cu suma limitelor , adica :
yxyx nn
nn
nnn
limlimlim .
Exercitii :
1)
n
n
n
n
2
1
3lim =? ;
2) 32limnn
n
=? ;
3)
32
1
1lim
2
n
n
n
nn
=? ;
4)
2
2
1lim
n
n
n
=? ;
5)
13lim
n
nn
n
=? .
ANALIZA a 11- a - 9 -
Culegere
Limite de siruri 9
2 Produsul :
- Procedand ca in cazul adunarii , limita produsului a doua siruri este prezentata in tabelul de
mai jos :
xnn
lim yn
nlim yx nn
n
lim
0
0
0
0
0 Nu are sens
Important :
- Daca sirurile xn si yn
au limita (finita sau infinita) si daca produsul limitelor are sens ,
atunci sirul yx nn are limita si limita produsului este egala cu produsul limitelor , adica :
)lim()lim(lim yxyx nn
nn
nnn
.
Exercitii :
1) 21
lim 2
3
n
n n
n
=? ;
2) 123
5lim
n
nn
n
=? ;
3) nn
n
n
2
46
13lim
=? ;
4) 1
1lim
2
3 3
n
nn
n
=? ;
5) 21lim2 n
nn =? .
ANALIZA a 11- a - 10 -
Culegere
Limite de siruri 10
3 Catul :
- Tabelul de mai jos sintetizeaza limita catului a doua siruri :
xnn
lim yn
nlim
y
x
n
n
nlim
0 0
0
0
0
0
Nu are sens
0 0 Nu are sens
Important :
- Daca sirurile xn si yn
au limita (finita sau infinita) si daca raportul limitelor are sens ,
atunci sirul
y
x
n
n are limita si limita catului este egala cu catul limitelor , adica :
)lim(
)lim(
limy
x
y
x
nn
nn
n
n
n
.
- In cazul operatiei 0
1 avem urmatoarele rezultate :
1. Daca 0 xn si 0lim xnn
, atunci : xn
n
1lim .
2. Daca 0 xn si 0lim xnn
, atunci : xn
n
1lim .
ANALIZA a 11- a - 11 -
Culegere
Limite de siruri 11
Exercitii :
1) 3
12lim n
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………..
2) n
nnn 3
lim
2 =? ; ……………………………………………………………………………..
3) 1
3
2
lim
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………….
4) 1
3lim
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………….
5) 1
3
1
lim
n
n
n
=? . ………………………………………………………………………………..
ANALIZA a 11- a - 12 -
Culegere
Limite de siruri 12
4 Radicali :
- Se demonstreaza urmatorul rezultat :
a) Daca xn , atunci knx , 2 , kNk .
b) Daca - xn , atunci - 12knx , 2 , kNk .
Deci si aici avem regula :
Limita radicalului este egala cu radicalul limitei , adica :
k nn
kn
nxx limlim .
Important :
- De retinut ca : 1lim
n
n
n .
Exercitii :
1) nnn
3lim2 =? ; …………………………………………………………………………….
2) 5 353lim nnn
n
=? ; ……………………………………………………………………..
3) 1
limn
n
n
=? ; ………………………………………………………………………………..
4) 1
lim 2n
n
n
=? ; ……………………………………………………………………………….
5) 1
lim
2
n
n
n
=? . ………………………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 13 -
Culegere
Limite de siruri 13
5 Puteri :
- Se considera sirurile : yx nn , cu 0 , 0 , xx nn .
- In acest caz tabelul contine informatiile :
xnn
lim yn
nlim xn
y
n
n
lim
1
0
10
0
0
0 0
0 0
0
0 0 Nu are sens
0 Nu are sens
1 Nu are sens
Important :
- Daca xn
yn are sens pentru orice n , iar sirurile xn si y
n au limite (finite sau infinite)
si daca xnn
yn
nlimlim
are sens , atunci sirul xn
yn are limita si mai mult :
limn
xn
yn = xn
n
yn
nlimlim
adica limita se distribuie in baza si exponent .
ANALIZA a 11- a - 14 -
Culegere
Limite de siruri 14
Exercitii :
1) 1lim1
nn
n
=? ; ……………………………………………………………………………….
2)
n
n
n
n
11lim
1
3
=? ; ……………………………………………………………………………...
3)
n
n
n
n
12lim
1
4
=? ; ……………………………………………………………………………..
4) 21lim n n
n
=? ; .........................................................................................................................
5) 13lim 13
1
n n
n
n
=? . …………………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 15 -
Culegere
Limite de siruri 15
6 Logaritmi :
- Se adopta urmatoarele conventii :
I. loga
si 0loga
, daca 1a .
II. loga
si 0loga
, daca 1,0a .
Cu aceste conventii :
a) Daca 0xn si xn , atunci :
1,0 daca , -
1 daca , log
a
axna
.
b) Daca 0xn si 0xn , atunci :
1,0 daca ,
1 daca , - log
a
axna
.
Regula unificatoare in acest caz se poate formula astfel :
Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei , adica :
)lim(logloglim xx nn
anan
.
Exercitii :
1) )1
(lnlim 2n
n
n
=? ; …………………………………………………………………………….
2) )1
log(lim
2
2n
n
n
=? ; …………………………………………………………………………..
3) )1
3log(lim 2
2
3
n
nnn
=? ; ……………………………………………………………………….
4) )12
log(lim 23
1
nn
n
n
=? ; ...............................................................................................................
5) )510
3log(lim
10
1
n
n
n
=? . ……………………………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 16 -
Culegere
Limite de siruri 16
In cadrul acestui capitol vom studia si urmatoarele tipuri de siruri remarcabile la
care prin aplicarea metodelor mai sus amintite si discutate , folosite pt. calcularea limitelor , se
ajunge la cazul de nedeterminare : 1
.
Pentru a rezolva aceste limite si a inlatura acest caz de nedeterminare vom utiliza
formulele de mai jos specifice fiecarui sir remarcabil in parte .
1 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn
xn
x n
11 ccuu xn :
- Se arata ca :
exn
xn
n
11lim , daca
xn
nlim sau altfel scris : e
xn
x
x
n
n
11lim .
2 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn xnx n11
ccuu 0xn ,, 0xn ssaauu 0xn :
- Se arata ca :
exxxex n x
xx
n x n
n
n
n nnnn
1lim : scris altfelsau 0 , 0lim daca , 1lim1
00
1
.
exxxex n x
xx
n x n
n
n
n nnnn
1lim : scris altfelsau 0 , 0lim daca , 1lim1
00
1
.
ANALIZA a 11- a - 17 -
Culegere
Limite de siruri 17
Exercitii :
1)
1
11lim
32
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………….
2)
1
11lim 2
32
n
nn
n
=? ; …………………………………………………………………….
3)
1
11lim
12
n
n
n
=? ; ………………………………………………………………………
4)
11lim 2
5
n
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………
5)
nn
nn
n2
11lim
63
=? ; ……………………………………………………………………….
6)
43
21lim
2
nn
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………...
7)
1
2lim
13
n
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………….
8)
n
nn
n
1lim
12
=? ; ……………………………………………………………………………..
9)
n
n
n
nnn
n 3
131lim
121
=? ; ……………………………………………………………….
10)
n
n
n
nnn
n
1
5
15lim
3546
=? ; ……………………………………………………………...
11)
nn
nn
n
11
1
11lim
12
=? . ………………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 18 -
Culegere
Limite de siruri 18
3 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn x
x
n
nsin ccuu 0xn :
- Se arata ca :
1sin
lim x
x
n
n
n
daca 0xn sau altfel scris : 1sin
lim0
x
x
n
n
xn
.
4 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn x
x
n
n tg
ccuu 0xn :
- Se arata ca :
1lim x
xtg
n
n
n
daca 0xn sau altfel scris : 1lim0
x
xtg
n
n
x n
.
5 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn x
a
n
x n
1 ccuu 0xn ,, 0a :
- Se arata ca :
ax
a
nn
xn
ln1
lim
daca 0xn sau altfel scris : ax
a
n
x
x
n
n
ln1
lim0
.
ANALIZA a 11- a - 19 -
Culegere
Limite de siruri 19
Exercitii :referitoare la cele trei tipuri de siruri mai sus studiate
1) 1
sin13
32lim 2
2
n
n
n
n
n
=? ; …………………………………………………………………
2) n
tgnn
1lim =? ; ………………………………………………………………………………..
3) n
tgn
nnn
2
2 11sin13lim =? ; …………………………………………………………..
4) 1
2sin
2
1lim 2
2
n
n
n
n
n
=? ; …………………………………………………………………...
5) 1
1sin3lim
2
nnn
n
=? ; ………………………………………………………………..
6)
3
1sin4lim
n
n
n
=? ; …………………………………………………………………………..
7) 21
13lim
nn
ntgn
n
=? ; ………………………………………………………...
8) 12lim1
n
n
n =? ; ……………………………………………………………………………...
9) 33lim 1
112
nn
nn =? ; …………………………………………………………………………..
10) 13lim1
n
n
n =? ; ………………………………………………………………………………
11)
13lim
12
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………….
12) 15lim 1
12 nn
nn =? ; …………………………………………………………………………
13) 151lim1
n
n
n =? ; ………………………………………………………………………
14) 12lim 32
2
n
n
n
n =? . …………………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 20 -
Culegere
Limite de siruri 20
1 Cazul :
- De obicei in aceste cazuri , in care apar radicali de diferiti ordini , limita se rezolva
rationalizand radicalii , se dau factori comuni termenii de grad cel mai mare , se amplifica fractiile cu
conjugatele aferente fiecarei expresii pana se ajunge la o forma mai simpla eliminandu-se astfel cazul
de nedeterminare : .
Exercitii :
1) 351lim nn
n
=? ; ………………………………………………………………………..
2) 11lim2 nn
n
=? ; ……………………………………………………………………
3) 11lim22 nnnn
n
=? ; …………………………………………………………
4) nnnnn
lim =? ; ……………………………………………………………….
5) 3221lim nnnn
=? ; ………………………………………………………..
6) nnnnn
1lim23 3
=? ; ………………………………………………………………...
7) annnnn
3 2313lim =? , unde Ra ; …………………………………………...
8) 32limnn
n
=? ; ………………………………………………………………………………...
9) 3
.....21lim 2
222 n
n
n
n
=? ; ……………………………………………………………….
10) 34
12lim
nn
nn
n
=? ; ……………………………………………………………………
11) nn
n
53lim =? ; ………………………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 21 -
Culegere
Limite de siruri 21
12) nnn
1lim =? ; …………………………………………………………………………
13) nnnnn
22lim =? ; …………………………………………………………………
14) nnnnn
223lim =? ; ………………………………………………………………..
15) nnnn
1lim2
=? ; ………………………………………………………………………
16) nnnn
1lim =? ; ……………………………………………………………………
17) nnnnnn
211lim =? ; ……………………………………………………..
18) nnnnn
lim =? ; ……………………………………………………………….
19) nnnnnn
22lim =? ; ………………………………………………………...
20) nnnn
3 23lim =? ; ………………………………………………………………………...
21) 3 233 23lim nnnn
n
=? ; …………………………………………………………………
22) 3 33 23312lim nnn
n
=? ; …………………………………………………………..
23) 12
1lim
nn
nn
n
=? ; …………………………………………………………………….
24) 33 1
1lim
nn
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………
25) 2limn
n
n =? ; ………………………………………………………………………………
26) n
nnnnnn
1sinlim =? ; ………………………………………………
27) nnnnn
23ln3lnlim22 =? . ……………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 22 -
Culegere
Limite de siruri 22
2 Cazul
:
- Acest caz de nedeterminare se elimina aducand expresiile la o forma mai simpla , se restrang
sumele , se simplifica dupa caz , se dau factori comuni fortati .
Exercitii :
1) 13
...321lim 2
nn
n
n
=? ;
2)
213
1
lim1
nnn
kkn
k
n
=? ;
3) 22
lim1
n
n
kn
k
n
=? ;
4)
nnn
n
n
lim =? ;
5) 5 2
3
1lim
n
nnn
=? ;
6) nnn
nnnn 2
lim2
2
=? ;
7) 3523
32lim
nn
nn
n
=? ;
8)
n
en
n
1lnlim =? ;
9) e
en
n
n
1ln
1lnlim
3
=? ;
10) nn
nnn
3ln
1lnlim 8
2
=? ;
11) en
enn
n
n24
2
ln
lnlim
=? ;
12) n
n
n 3ln1
2ln1lim
=? ;
13) nn
kn
k
n
1lim 22
1
3
=? ;
14)
n
k
n
k
n kk
kk
1
1
3
2
lim =? ;
15)
C
kk
n
n
k
n3
3
1
3
lim
=? ;
16) 2
lim 5
1
3
n
knn
k
n
=? ;
17) 43
32lim
nn
nn
n
=? ;
18)
n
en
n
1lnlim
2
=? ;
19) e
en
n
n
1ln
1lnlim 2
5
=? ;
20)
nnn
nnn
2ln
1lnlim 36
3
=? ;
21) en
enn
n
n36
23
ln
lnlim
=? ;
22) 121
2lim
2
nnnn
nnnn
=? .
ANALIZA a 11- a - 23 -
Culegere
Limite de siruri 23
3 Cazul 0 :
- In acest caz de nedeterminare vom folosi metodele si formulele mai sus studiate , de fapt o
combinatie intre tot ce s-a studiat pana acum .
Exercitii :
1) nn
n
n
1sin
1lim
2
=? ; ……………………………………………………………………………
2)
1
2
1lim
n
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………
3) 12lim 1
1
n
n
n =? ; …………………………………………………………………………….
4) 13lim 1
1
nn
n
n =? ; ………………………………………………………………………...
5) e
n
nn
n 1
132lim =? ; ……………………………………………………………………….
6)
32
2lnlim
n
nn
n
=? ; …………………………………………………………………………
7) n
tgnn
1lim
3 =? ; …………………………………………………………………………….
8)
1
2lim 2
2
nn
nnn
n
=? ; …………………………………………………………………..
9)
1lim 1enn nn
n
n
=? ; …………………………………………………………………...
10) 1ln2lnlim222 nnn
n
=? ; …………………………………………………………
11)
3
1
3
1lim
2
nn
n
nn =? . ………………………………………………………………...
ANALIZA a 11- a - 24 -
Culegere
Limite de siruri 24
4 Cazul 1 :
- In acest caz de nedeterminare se recomanda utilizarea structurii :
eyn
y
y
n
n
1lim1
0
Exercitii :
1)
en
n
n2lim
1
=? ; ………………………………………………………………………………
2)
n
n
n
1sin1lim =? ; ……………………………………………………………………………
3)
n
nn
n 2
1lnlim 2
2
=? ; …………………………………………………………………………...
4)
1
1lim 2
2 1
12
n
nn n
nn
n
=? ; …………………………………………………………………...
5)
3lim
111
cba nnn
n
n
=? ; ………………………………………………………………………..
6)
12
32lim 2
21
2
nn
n n
n
n
=? ; …………………………………………………………………….
7)
1ln1lim
n
nn
n
=? ; ………………………………………………………………………….
8)
n
kn
n
sin1lim =? ; ……………………………………………………………………………
9)
n
an
n
n
coslim
12
=? ; …………………………………………………………………….
10) nnnnn
n
132lim 22 =? . …………………………………………………………..
ANALIZA a 11- a - 25 -
Culegere
Limite de siruri 25
Exercitiul 1 :
Sa se determine parametrii reali a , b si c astfel incat :
1)
321
lim
222
n
nna
n
; ………………………………………………………………….
2)
211
lim 2
242
an
nna
n
; ……………………………………………………………….
3)
3
2
15
11lim
22
n
n
an
na ; ……………………………………………………………………..
4) 113lim 3 23 annnnn
; ………………………………………………………….
5) 22142lim2 bannn
n
; ……………………………………………………
6) 01lim 3 3 bannn
; ………………………………………………………………….
7) 3
1756249lim
2234 cbnannnnn
; …………………………………...
8) 12lim2 cnbnann
n
; ………………………………………………………….
9) cnbannn
2lim =3 ; ………………………………………………………………...
10) 02lim234 cbnannn
n
; ……………………………………………………...
11) 1113lim23 23 bnnan
n
, 0, ba . …………………………………………
ANALIZA a 11- a - 26 -
Culegere
Limite de siruri 26
Exercitiul 2 :
Sa se determine functiile RDf : , precizand domeniile lor de definitie :
1) e
xexxf
nx
nx
n
1lim
2
; ………………………………………………………………………..
2) 4
168lim 2
22
xx
xxxxf
n
n
n
; ……………………………………………………………
3)
1
41lim
2
xx
xxxf
n
n
n
; ………………………………………………………………...
4) x
xfnn
n
n
2
2lim , 0x ; ………………………………………………………………..
5) xxx
xxxxxf
n
n
n22
232
...1
...1lim
. …………………………………………………….
ANALIZA a 11- a - 27 -
Culegere
Limite de siruri 27
Teorema lluuii CCeessaarroo SSttoollzz :
- Fie an n 1 si bn n 1
doua siruri de numere cu proprietatile :
1). 0 < b1 < b2 < ……. < bn (sir strict crescator ) ;
2). lim
bnn
;
3). R -
-
1
1lim
lbb
aa
nn
nn
n
atunci :
lim lb
a
n
n
n
Exercitii :
Utilizand lema lui Stolz-Cesaro sa se calculeze limitele sirurilor :
1)
nnn
1...
3
1
2
11
1lim =? ; ……………………………………………………….
2)
nnn ln
1...
3ln
1
2ln
11lim =? ; ………………………………………………………….
3) 121
...33321lim
2322
nnn
nnn
n
=? ; …………………………………………………….
4)
dnc
bna
dc
ba
dc
ba
nn
...2
21lim =? ; ……………………………………………
5) nn
n
n
...321lim =? ; ……………………………………………………………..
6) n
np
ppp
n1
...21lim
=? , Np * ; …………………………………………………………
7) n
nn
n
n
...321lim
32
=? ; …………………………………………………………………
ANALIZA a 11- a - 28 -
Culegere
Limite de siruri 28
8)
nn
nn
n 2
...33221lim
=? ; ………………………………………………………...
9) n
CCC nnn
n2
2
2
3
2
2
1 ...lim
=? ; ………………………………………………………...
10)
n
np
pppp
n1
12...531lim
=? , Np * ; ……………………………………………..
11)
n
kn k
k
n 1 ...321
1lim =? ; ………………………………………………………..
12)
33
1...
2
11
1...
2
11
lim
n
nn
=? ; …………………………………………………………………..
ANALIZA a 11- a - 29 -
Culegere
Limite de siruri 29
Teorema CCrriitteerriiuull CCaauucchhyy –– dd’’AAlleemmbbeerrtt (( ccrriitteerriiuull rraappoorrttuulluuii )) :
- Fie sirul xn cu 0xn , () n N* , pentru care exista : ax
x
n
n
n
1lim
- Atunci sirul : nnx are limita si mai mult :
1limlim a
x
xx
n
n
n
nn
n
.
Exercitii :
Utilizand lema lui Cauchy-d’Alembert sa se calculeze limitele sirurilor :
1) n
n
nlim =? , 2n ;
2)
n
n
n n
n
!3
!3lim
33
=? ;
3)
nn
n n
nnn 2...21lim
=? ;
4)
n
n n
naaa
!
...21lim
=? ;
5) nn
n n
nnln
lnlim =? ;
6) n
nn
n
!lim =? ;
7) 8!2
!lim
2
n
nn
n
=? ;
8)
n
n
n n
n
!2lim
12
=? ;
9)
n
n n
n
!2
!4lim 2
=? ;
10) n
n
kn kn
1
sin!lim
=? ;
Clasa a XI-a Analiza - 30
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 1 :
Sa se calculeze limitele urmatoare :
1). 4
3lim
n
n
n
=……………………………………………………………………………………………
2). 23
13lim
n
n
n
=………………………………………………………………………………………
3). 14
13lim
n
n
n
=……………………………………………………………………………………….
4). 24
14lim
1
n
n
n
=…………………………………………………………………………………….
5). 12lim n
nn =………………………………………………………………………………..
6).
3
22lim n
nn
n
=…………………………………………………………………………………..
7). 10
sinlimn
n
=………………………………………………………………………………………
8). 10
coslimn
n
=………………………………………………………………………………………
9). 4
lim
tgn
n
=………………………………………………………………………………………...
10). 3
lim
tgn
n
=………………………………………………………………………………………...
11). 1lim2 n
n
=……………………………………………………………………………………..
12). nnn
2lim =…………………………………………………………………………………...
13). 100lim2 nn
n
=…………………………………………………………………………...
14). nnn
23 61lim =………………………………………………………………………………
Clasa a XI-a Analiza - 31
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
15). 23
56lim 2
2
n
nnn
=…………………………………………………………………………………...
16). 83
lim 2
2
n
n
n
=……………………………………………………………………………………..
17).
n
nn
n4
4411
lim
=…………………………………………………………………………….
18).
n
nn
n222 ...21
...21lim
=……………………………………………………………………………
19). n
n
n3
222 ...21lim
=…………………………………………………………………………….
20).
n
n
nnn222
...21
lim =………………………………………………………………………..
21).
nn
110lim
2
=……………………………………………………………………………………
22).
n
n
n
110lim =……………………………………………………………………………………
23).
n
n
n
2
1lim
3=……………………………………………………………………………………...
24).
1
3
25lim
n
n
=……………………………………………………………………………….
25).
nn
nn
n 7443
213lim
=…………………………………………………………………………...
26). 22
...21lim
n
n
n
n
=………………………………………………………………………….
Exercitiul 2 :
Sa se calculeze limita urmatoarelor siruri :
1). 501,03
1lim
n
nn
=……………………………………………………………………………
2).
1
5
23lim
n
n
=……………………………………………………………………………….
Clasa a XI-a Analiza - 32
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
3). 12
12lim
1
n
n
n
=……………………………………………………………………………………..
4). 52
52lim 11
nn
nn
n
=……………………………………………………………………………………
5). 57433
53423lim
nnn
nnn
n
=…………………………………………………………………………….
6).
11
lim
nn
nn
n
=? , 0, .......................................................................................................
Exercitiul 3 :
Sa se discute si sa se calculeze dupa parametrul 0 :
1).
1lim n
n
n
=………………………………………………………………………………………...
2).
1lim 2n
n
n
=……………………………………………………………………………………….
3).
nn
nn
n
lim =…………………………………………………………………………………….
Exercitiul 4 :
Sa se calculeze limitele :
1). n
n
n
1
32lim 2
=………………………………………………………………………………………
2). 62
43lim 2
2
n
nn
=…………………………………………………………………………………….
3). 1
432lim 2
2
n
nnn
=……………………………………………………………………………...
4).
3417
124lim
nn
nn
n
=……………………………………………………………………………
5). 5
2lim 2
3
nn
n
n
=…………………………………………………………………………………
6). nnn
nn
n 32
172lim 34
23
=……………………………………………………………………………...
Clasa a XI-a Analiza - 33
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 5 :
Sa se calculeze limitele :
1).
21
1...3221lim
nnn
nn
n
=? ; …………………………………………………………….
2). 1
...321lim
nn
n
n
=? ; ………………………………………………………………………
3).
3
...21lim 2
222n
n
nn
=? ; ……………………………………………………………….
4).
n
n
n3
222 12...31lim
=? . ………………………………………………………………….
Exercitiul 6 :
Sa se afle termenul general an , iar apoi sa se determine limitele urmatoarelor siruri :
1). 1412...3133222 nnnan ; …………………………………………......
2). 1212
...53
2
31
1222
nn
nan ; …………………………………………………….
3). 31
1...
532
1
421
1
nnnan ; ……………………………………………….
4). 19
1
11
1...
19
1
11
1
19
1
11
122 nnna ; ………………………………………………….
5). !1!...2!21!1 nnnan ; ………………………………………………………….
6). 2 , !
1...
!4
3
!3
2
!2
1
n
n
nan ; ……………………………………………………
7). 2...321321
nnCCCCa
nn
nnnnn . ………………………………………………….
Exercitiul 7 :
Sa se determine limitele urmatoarelor siruri :
1). n
n
n
nnn
n 5
14
15
1lim
=? ; ………………………………………………………………......
Clasa a XI-a Analiza - 34
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
2). 12
1cos
13lim 3
2
n
nn
n
nn
n
=? ; …………………………………………………………
3). nnnnn
22lim =? ; …………………………………………………………………...
4). 2222lim22 nnnn
n
=? ; …………………………………………………….
5). nnn
3 31lim =? ; …………………………………………………………………………......
6). nnnnnn
211lim =? ; ………………………………………………………..
7). 21lim423
nnnnn
=? ; ……………………………………………………………
8). nnnnmn
n
...lim 21 =? , Rk …………………………………………
Exercitiul 8 :
Sa se determine limita urmatoarelor siruri :
1). 3
2
n
nan ; …………………………………………………………………………………...
2). 32
2
132
2
nn
nnan ;………………………………………………………………………….
3). 635
63521
nn
nn
na ;……………………………………………………………………………...
4). 132
5232
32
nn
nnnan ;………………………………………………………………………...
5). 2
653 2
n
nnan ;……………………………………………………………………………
6).
nnn
nnan
4 3
21
;……………………………………………………………………………
7). 3 23
2
3
13
nnn
nnan
……………………………………………………………………………
Clasa a XI-a Analiza - 35
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 9 :
Sa se calculeze limitele sirurilor :
1).
2
1lim
122
3
n
n
n
=…………………………………………………………………………………….
2).
3
1lim
34
13
3
n
n
n
=…………………………………………………………………………………….
3).
12
1lim 3
3 23
5
n
n n
n
n
=………………………………………………………………………………..
4).
572
47lim
342
2
nn
nn n
n
n
=…………………………………………………………………………….
5). 7lim5
3
3
1
1332
n
nn
n
=…………………………………………………………………………………...
Exercitiul 10 :
Sa se calculeze limita sirurilor :
1). 23
1log
2
2
3
1
n
nan =……………………………………………………………………………....
2). 235
12log
3
3
5
nn
nnan =…………………………………………………………………….........
3). 24
1log
7
nn
nnan =……………………………………………………………………
4). 1
log2
2
1
n
nan =………………………………………………………………………………...
5). 12
lg3
2
nn
nan =……………………………………………………………………………...
6). 2
32log
3
2
n
nn . ………………………………………………………………………………….
Clasa a XI-a Analiza - 36
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 11 :
Sa se calculeze limitele sirurilor :
1). nnan 24 ; …………………………………………………………………………….......
2). 3 232 nnnan ; …………………………………………………………………………
3). 12
2
3
n
nan . …………………………………………………………………………………
Exercitiul 12 :
Sa se calculeze limitele sirurilor :
1).
1lim
12
n
n n
n
n
=……..……………………………………………………………………………
2).
n
nn
n
1lim
32
=…………….……………………………………………………………………..
3).
12
32lim
1
n
nn
n
=…………………………………………………………………………………..
4).
2
1lim 2
23
n
nn
n
=…………………………………………………………………………………..
5).
n
n
n
nnn
n
1
5
15lim
3546
=…………………………………………………………….............
6).
nn
n
n
11
1
11lim
12
=………………………………………………………………..
Exercitiul 13 :
Sa se calculeze limitele sirurilor :
1). 13lim1
n
nn =……………………………………………………………………………………
2). 33lim 1
112
nn
nn =…………………………………………………………………………………
3). 13lim1
2
n
nn =……………………………………………………………………………………
4). 151lim1
n
n
n =…………………………………………………………………………….
Clasa a XI-a Analiza - 37
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 14 :
Sa se calculeze limitele sirurilor :
1). n
ea
n
n
1ln ;…………………………………………………………………………………..
2). e
ea
n
n
n
1ln
1ln 3
; …………………………………………………………………………………
3). en
ena
n
n
n 24
2
ln
ln
;……………………………………………………………………………….
4). n
nan
3ln1
2ln1
; ………………………………………………………………………………….
5). 1
132
ea
n
nn
n ; …………………………………………………………………………...
6). 32
2ln
n
nnan ………………………………………………………………………………….
Exercitiul 15 :
Sa se calculeze limitele :
1). 1
lnlim 21
21
n
nen
n
n
=………………………………………………………………………………….
2).
n
k
k
n
k
k
n
e
1
1lim
=…………………………………………………………………………………………
3).
?
21
1
lim1
nnn
kkn
k
n
………………………………………………………………………….
4). ?11
lim1
3
n
kn
kkn
……………………………………………………………………………..
5).
?21
1lim
1
n
kn kkk……………………………………………………………………….
6). ?...21
1lim
1222
n
kn k……………………………………………………………………..
7). ?34
1682lim
12
23
2
n
kn kk
kkknn ..................................................................................
Clasa a XI-a Analiza - 38
Cap. II : Limite de siruri
Limite de siruri
Exercitiul 17 :
Sa se calculeze limitele :
1).
?2
1lim
1
n
kn kk……………………………………………………………………………….
2). ?...21
lim 222
n
n
nnn
……………………………………………………………………..
3).
?2121
2lim
11
1
n
kkk
k
n
………………………………………………………………………...
4).
?1
12lim
122
n
kn kk
k………………………………………………………………………………
5). ?23
13lim
12
2
n
kn kk
kkn …………………………………………………………………..
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