1.TriunghiulDefiniie : Figura geometrica determinata de 3 puncte necoliniare se numeste triunghi.C

A

B

Clasificarea tringhiurilor :a) Clasificare dupa laturi : -triunghiulul isoscel Definiie: Triunghiul cu 2 laturi congruente se numeste triunghi isoscel. A

C

B

-triunghiulul echilateral Definitie: Triunghiulul care are toate laturile congruente se numeste triunghi echilateral. A

2

C

B

-triunghilul scalen (oarecere) Definitie:Triunghiul care nu are laturi congruente se numeste triunghi oarecare. A

C b)Clasifirare dupa unghiuri: - triunghiulul ascutit

B

Definitie: Triunghiul cu toate unghiurile ascutite se numeste triunghi ascutitunghic. A Observatie: Triunghiul echilateral este triunghi ascutitunghic. C B -triunghiul dreptunghic Definitie: Triunghiul cu un unghi drept se numeste triunghiul dreptunghic. A Observatie: n triunghiul dreptunghic isoscel catetele sunt congruente, iar ipotenuza este baz. cateta ipotenuza C B

cateta -triunghiul obtuzunghic Definitie: Triunghiul cu un unghi obtuz se numeste triunghi obtuzunghic. A C B Observatie: n triunghiul obtuzunghic isoscel laturile care formeaz unghiul obtuz

3

sunt congruente, iar latura opusa unghiului obtuz este baz.

PerimetrulDefinitie: Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale. PABC = AB+AC+BC Definitie: Semiperimetrul unui triunghi este jumtate din perimetrul triunghiului. p= P:2

2. Congruenta triunghiurilorDefinitie: Doua triunghiuri oarecare sunt congruente daca au toate laturile si toate unghiurile respectiv congruente.

Criterii de congruenta ale triunghiurilor oarecarea)Criteriul L.U.L. Daca 2 triunghiuri au cate doua laturi si unghiurile determinate de ele respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. b)Criteriul U.L.U. Daca doua triunghiuri au cate doua unghiuri si latura determinata de acestea respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. c)Criteriul L.L.L. Daca doua triunghiuri au toate laturile respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. d)Criteriul L.U.U. Daca doua triunghiuri au cate doua unghiuri si cate o latura respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

Metoda triunghilor congruenteMetoda triunghiurilor congruente se foloseste pentru a arata ca doua elemente sunt congruente. Metoda triunghilor congruente consta in urmatoarele etape : - ncadrm cele doua elemente n doua triunghiuri - artam ca cele doua triunghiuri sunt congruente - daca elementele noastre sunt omoloage, atunci ele sunt congruente.

4

3. PerpendicularitateDrepte perpendiculare, drepte obliceDefinitie: Dou drepte concurente care formeaz n punctul lor de intersectie, un unghi drept (cu msura de 900) se numesc drepte perpendiculare. b 4 a 3 2 1

Observatie : Toate unghiurile formate n punctul de intersectie sunt unghiuri drepte. Definitie: Dou drepte concurente care nu sunt perpendiculare se numesc drepte oblice. d

c

O

Definitie: Punctul n care perpendiculara pe o dreapt intersectat acea dreapt se numete piciorul perpendicularei duse din punct pe dreapt. Definitie: Distanta de la un punct la o dreapt este lungimea segmentului determinate de punct si piciorul perpendicularei duse din punct pe dreapt.

5

Congruenta triunghiurilor dreptunghice. Criterii de congruentCriteriul I (C.C.): Dac dou triunghiuri dreptunghice au catetele respectiv congruente, atunci ele sunt congruente. Criteriul II (C.U.) : Dac dou triunghiuri dreptunghice au cte o catet si unghiul alturat ei respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. Criteriul III (I.U.): Dac dou triunghiuri dreptunghice au ipotenuzele si cte un unghi ascusit respectiv congruente, atunci triunghiurile sunt congruente. Criteriul IV(I.C.): Dou triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele si cte o catet respectiv congruente, sunt congruente.

Bisectoarele unui triunghi1) Constructia cu ajutorul compasului

2) Proprietetea punctelor de pe bisectoarea unui triunghi 3) Propriettile bisectoarelor unui triunghi 1)Constructia cu ajutorul compasului

2)Proprietetea punctelor de pe bisectoarea unui triunghiTeorema 1: Orice punct de pe bisectoarea unui unghi se afl la distante egale fat de laturile unghiului.6

Reciproca teoremei 1: Dac un punct din interiorul unui unghi propriu are distantele egale fat de laturile unghiului, atunci el apartine bisectoarei unghiului. Proprietetea punctelor de pe bisectoarea unui unghi: Un punct din interiorul unui unghi apartine bisectoarei ungiului dac si numai dac el are distante egale fat de laturile unghiului.

3)Propriettile bisectoarelor unui triunghiDefinitie: Bisectoarele unui triunghi sunt bisectoarele unghiurilor sale. Observatie: Bisectoarele unui unghi sunt segmente(nu prelungim n exteriorul triunghiului). Teorem: Bisectoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi se noteaz cu I si se numeste centrul cercului nscris triunghiului.

Mediatoarea unui segmentDefinitie; constructie, proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segmentDefinitie: Mediatorea unui segment este perpendiculara pe segment, dus prin mijlocul segmentului.

Teorem: Un punct apartine mediatoarei unui segment dac si nu mai dac el se gseste la distante egale fat de capetele segmentului.

7

Mediatoarele unui triunghiDefenitie: Mediatoarele unui triunghi sunt mediatoarele laturilor sale. Teorem: n orice triunghi, mediatoarele laturilor sunt concurente. Punctul de intersectie al mediatoarelor unui triunghi se noteaz cu O si se numeste centrul cercului circumscris triunghiului. 1. Constructia mediatoarelor unui triunghi ascutitunghic

A

B

C

2. Constructia mediatoarelor unui triunghic dreptunghic

A

C B

8

3. Constructia mediatoarelor unui triunghi obtuzunghic

A

C

B

Observatie: Punctul de intersectie al mediatoarelor unui triunghi, punctul O numit centrul cercului circumscris triunghiului se afl: n interiorul triunghiului, dac triunghiul este ascutit unghic La mijlocul ipotenuzei, dac triunghiul este dreptunghic n exteriorul triunghiului, dac triunghiul este obtuzunghic.

9

4.ParalelismDrepte paraleleDefinitie: Dou drepte coplanare care nu se intersecteaz n nici un punct se numesc drepte paralele. Notm: a ll b Dou drepte coplanare pot fi: - identice - concurente a - paralele b Axioma paralelelor(axioma lui Euclid): n plan, printr-un punct exterior unei drepte putem duce o singur paralel la acea dreapt. a A b Teorem(Tranzitivitatea relatiei de paralelism):Dou drepte distincte, parelele cu a treia sunt paralele ntre ele. d1 d2 d3

Unghiuri formate de dou drepte cu o secantd 1 2 4 3 6 a b 5 8 7

10

Definitie: O dreapt se numeste secanta dreptelor a si b dac intersecteaz dreptele a si b n dou puncte distincte. Unghiuri alterne interne= unghiurile situate ntre cele dou drepte, unul de o parte si unul de cealalt parte a secantei. Unghiuri alterne externe= situate n exteriorul dreptelor, unul de o parte si unul de cealalt parte a secantei. Unghiuri corespondente= unghiurile situate de aceeasi parte a secantei unul exterior si unul interior. Unghiuri interne de aceeasi parte a secantei Unghiuri externe de aceeasi parte a secantei

Criterii de paralelismTeorem (de existent a dreptelor paralele): Dac doua drepte formeaz cu o secant: - fie unghiuri alterne interne - fie unghiuri alterne extrne congruente - fie unghiuri corespondente - fie unghiuri interne si de aceea si parte a secantei suplementare - fie unghiuri externe si de aceeasi parte a secantei, atunci dreptele sunt paralele. Reciproca teoremei de existent a dreptelor parelele: Dac dou drepte sunt paralele, atunci ele formeaz cu o secant: - unghiuri alterne interne congruente, - unghiuri alterne externe congruente, - unghiuri corespondente congruente, - unghiuri interne si de aceeasi parte a secantei suplementare, - unghiuri externe si de aceeasi parte a secantei suplementare.

Parelele intersectate de paraleleDefinitie: Patrulaterul cu laturile opuse dou cte dou se numeste paralelogram. Teorem: Dou drepte paralele determin pe alte drepte paralele ce le intersectecteaz segmente congruente. Sau ntr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente dou cte dou.

Linia mijlocie n triunghiDefinitie: Segmentul determinat de mijloacele a dou laturi ale unui triunghi se numeste linie mijlocie n triunghi. Observatie: n orice triunghi putem duce trei linii mijlocii. Ele formeaz un triunghi numit triunghiul median.11

Teorem: n orice triunghi, linia mijlocie este paralel cu a treia latur si are lungimea egal cu jumtate din lungimea acesteia. Reciproc: Dac n triunghiul ABC, M este mijlocul laturii AB si [MN] este paralel cu BC, atunci N este mijlocul laturii AC, adic [MN] este linie mijlocie in triunghiul ABC.

5.Proprietti ale triunghiurilori. Suma msurilor unui triunghi Unghi exterior unui triunghiTeorem: Suma msurilor unghiurilor unui triunghi este de 1800. Consecie: 1. n orice triunghi dreptunghic unghiurile ascutite sunt complementare. 2. n triunghiul dreptunghic isoscel unghiurile ascutite sunt congruente, fiecare avnd msura de 450. 3. Un triunghi poate avea cel mult un unghi drept sau cel mult un unghi obtuz.

Unghi exterior unui triunghiDefinitie: Unghiul exterior unui triunghi are vrful ntr-un vrf al triunghiului determinat de o latur si prelungirea celeilalte laturi. A

B

C

D

Teorem: Unghiul exterior unui triunghi este suplementul unghiului adiacent lui. Teorem: Msura unghiului exterior unui triunghi este egal cu suma msurilor celor dou unghiuri neadiacente cu el.

nltimile unui triunghiDefinitie: nltimea ntr-un triunghi este segmentul determinat pe perpendiculara dus dintrun vrf al triunghiului, pe latura opus. Observatie: n orice triunghi se pot construi trei naltimi. Teorem: Cele trei nltimi ale unui triunghi sunt concurente. Punctul de intersectie al nltimilor se numeste ortocentrul triunghiului si se noteaz cu H.

12

1. Construiti nltimile ntr-un triunghi ascutitunghic: A Obsevatie: Ortocentrul triunghiului ascutitunghic se afl n interiorul triunghiului. E F H ADBC BEAC CFAB [AD]=nltime [BE]=nltime [CF]=nltime

C

D

B Obsevatie: Ortocentrul triunghiului dreptunghic se afl n vrful unghiului drept al triunghiului. ADBC BAAC CAAB Observatie: n triunghiul dreptunghic, catetele sunt si nltimi

2. Construiti nltimile unui triunghi dreptunghic: A=H

h3 h1

h2

B D 3. Construiti nltimile unui triunghi obtuzunghic: A Secti on I.1

C Obsevatie: Ortocentrul triunghiului obtuzunghic se afl n exteriorul triunghiului. ADBC BEAC CFAB

h1

h2 h3H

C

13

Medianele n triunghiDefinitie: Mediana n triunghi este segmentul determinat de un vrf al triunghiului si mijlocul laturii opuse. Obesrvatie: n orice triunghi exist trei mediane. Teorem: Cele trei medianeale unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersectie se noteaz cu G, si se numeste centrul de greutate al triunghiului. Observatie: Centrul de greutate al unui triunghi (G) se afl n interiorul triunghiului. Teorem: Centrul de greutate al unui triunghi se gseste pe fiecare median la din mediana respectiv fat de vrf si la din median fat de baz(latura opus). Teorema medianei n triunghiul dreptunghic: n triunghiul dreptunghic mediana corespunztoare ipotenuzei are lungimea egal cu jumtate din lungimea ipotenuzei. AD= BC = R(raza cercului circumscris triunghiului) 2

Proprietile triunghiului isoscelDefinitie: Triunghiul cu dou laturi congruente se numeste triunghi isoscel. Teorema 1: n triunghiul isoscel, unghiurile de la baz sunt congruente. Teorema 2: n triunghiul isoscel, mediana corespunztoare bazei este nltime, bisectoare, mediatoare. Teorema 3: n triunghiul isoscel, bisectoarea unghiului de la vrf este median, nltime, mediatoare corespunztoare bazei. Reciproca teoremei 1: Dac un triunghi are dou unghiuri congruente, atunci triunghiul este isoscel. Reciproca teoremei 2: Dac ntr-un triunghi, o median este : fie nltime , fie bisectoare, fie mediatoare , atunci triunghiul este isoscel. Reciproca teoremei 3: Dac ntr-un triunghi, o bisectoare este: fie nltime , fie median, fie mediatoare, atunci triunghiul este isoscel. Obesrvatie: n teoremele (2) si (3) putem nlocui mediana si bisectoarea cu nltimea si mediatoarea. Analog, n reciprocele 2 si 3.

Propriettile triunghiului echilateralDefinitie: Triunghiul cu toate laturile congruente se numeste triunghi echilateral.14

Teorema 1: n triunghiul echilateral toate unghiurile sunt congruente, avnd fiecare msura de 60o. Teorema 2: n triunghiul echilateral, mediana corespunztoare oricrei laturi este bisectoare, nltime, mediatoare. Teorema 3: n triunghiul echilateral, bisectoarea oricrui unghi este median, nltime, mediatoare. Cum putem arta c un triunghi este echilateral?: folosind definitia; folosind reciprocele teoremelor 1-3. Reciproca teoremei 1: Dac un triunghi are toate unghiurile congruente, atunci triunghiul este echilateral. Reciproca teoremei 2: Dac ntr-un triunghi, dou mediane sunt: fie bisectoare, fie nltimi, fie mediatoare, atunci triunghiul este echilateral. Reciproca teoremei 3: Dac ntr-un triunghi dou bisectoare sunt fie mediane, fie nltimi, fie mediatoare, atunci triunghiul este echilateral. Proprietate: Dac un triunghi isoscel are un unghi cu msura de 60o, atunci triunghiul este echilateral.

Proprietatile triunghiului dreptunghicDefinitie: Triunghiul cu un unghi drept se numeste triunghi dreptunghic. Laturile care formeaza unghiul drept se numesc catete, iar latura opusa unghiului drept se numeste ipotenuza. Definitie: Triunghiul dreptubghic cu catetele congruente se numeste triunghi dreptunghic isoscel. Proprietatea 1: Unghiurile ascutite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare. Proprietatea 2: n triunghiul dreptunghic isoscel, unghiurile ascutite sunt congruente avnd fiecare msura de 450. Observatie: n triunghiul dreptunghic, ortocentrul sau (H) se afla in varful unghiului drept, iar centrul centrului circumscris (O) se afla la mijlocul ipotenuzei. Proprietate 3 (teorema medianei in triunghiul dreptunghic): n triunghiul dreptunghic mediana corespunztoare ipotenuzei are lungimea egal cu jumtate din lungimea ipotenuzei. Reciproca teoremei medianei: Dac ntr-un triunghi, o median are lungimea jumtate din lungimea laturii corespunztoare, atunci triunghiul este dreptunghic, iar latura repectiva este ipotenuza. Proprietate 4 (teorema unghiului cu msura de 30o): Cateta opus unghiului cu msura de 30o, ntr-un triunghi are lungimea egal cu jumtate din lungimea ipotenuzei. Reciproca teoremei unghiului cu msura de 300: Dac ntr-un triunghi dreptunghic o catet are lungimea jumtate din lungimea ipotenuzei, atunci unghiul opus ei are msura de 30o.

15

Simetria fat de un punct Simetria fat de o dreaptDefinitie: Punctul A este simetricul punctului A fat de punctul O dac punctul O este mijlocul segmentului [AA]. Regul: Pentru a determina simetricul unui punct O procedm astfel: construim segmentul [AO], prelungim dincolo de O cu un segmentul [OA] congruent cu segmentul [OA]. Definitie: Punctul A este simetricul punctului A fat de dreapta d este mediatoarea segmentului [AA]. Regul: Pentru a determina simetricul unui punct A fat de o dreapt d procedm astfel: ducem perpendiculare din A pe dreapta d prelungim dincolo de dreapta d cu un segment congruent obtinut mai sus. Definitie: O dreapta este axa de simetrie pentru o figura geometrica daca simetricul fiecarui punct al figurii apartine de asemenea acesteia.

Aria triunghiuluiDefinitie: Aria unui triunghi este jumtate din produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea nlimii corespunztoare. Observatie: Produsul dintre lungimea unei laturi si lungimea laturii corespunztoare este aceeasi.

AABC=b h 2Observatie: Mediana ntr-un triunghi mparte triunghiul in doua triunghiuri echilaterale (cu ariile egale, fiecare avnd aria jumtate din aria triunghiului initial ).

16

6. PatrulatereParalelogramulDefinitie:Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele dou cte dou. Proprietate:Suma msurilor unui patrulater convex este de 360o.

D

C

A

Proprieti:1. n orice paralelogram, laturile opuse sunt congruente dou cte dou. 2. n orice paralelogram unghiurile opuse sunt congruente i oricare dou unghiuri consecutive sunt suplementare. 3. n orice paralelogram diagonalele se injumtesc. Pentru a arta c un patrulater convex este paralelogram folosim: definiia reciprocele proprietilor 1-3

Reciprocele:1. Dac ntr-un patrulater convex laturile opuse sunt paralele dou cte dou, atunci el este paralelogram. 2. Dac intr-un patrulater convex, laturile opuse sunt congruente dou cte dou, atunci el este paralelogram. 3. Dac ntr-un patrulater convex, dou laturi opuse sunt paralele i congruente, atunci patrulaterul este paralelogram. 4. Dac ntr-un patrulater convex unghiurile opuse sunt congruente dou cte dou, atunci el este paralelogram. 5. Dac ntr-un patrulater convex, oricare dou unghiuri consecutive sunt suplementare, atunci el este paralelogram. 6. Dac ntr-un patrulater convex diagonalele se njumtesc, atunci el este paralelogram.

17

Paralelograme particulare DreptunghiDefiniie:Paralelogramul cun un unghi drept se numete dreptunghi. Observaie: Toate unghiurile dreptunghiului sunt unghiuri drepte.

Proprieti:1. 2. 3. 4. Laturile opuse sunt paralele dou cte dou, Laturile opuse sunt congruente dou cte dou, Toate unghiurile sunt congruente(unghiuri drepte), Diagonalele se njumtesc. n plus, dreptunghiul are: 5. Diagonalele dreptunghiului sunt congruente.

Pentru a arta c un patrulater este dreptunghi artm mai nti c este paralelogram i apoi artm c este dreptunghi folosind definiia sau reciproca proprietii 5. Reciproca proprietii 5: Dac ntr-un paralelogram diagonalele sunt congruente, atunci el este dreptunghi.

RombulDefiniie:Paralelogramul cu dou laturi consecutive congruente se numete romb. Observaie: Toate laturile rombului sunt congruente. D C

18

Proprietile rombului:1. 2. 3. 4. 5. laturile opuse parelele dou cte dou toate laturile congruente unghiurile opuse sunt congruente, iar cele consecutive sunt suplementare. diagonalele se injumtesc diagonalele rombului sunt perpendiculare si sunt bisectoarele rombului

Pentru a arata ca un patrulater este romb procedam astfel: artm mai nti c este paralelogram, artm apoi c este romb folosind definiia, fie reciproca proprietii 5. Reciproca proprietii 5: Dac ntr-un paralelogram diagonalele sunt perpeendiculare sau diagonalele sun bisectoarele unghiurilor sale, atunci patrulaterul este romb.

19

PtratulDefiniie: a) Dreptunghiul cu dou laturi consecutive congruente se numete patrat. b)Rombul cu un unghi drept se numete ptrat.

Proprieti:1. laturile opuse parelele dou cte dou; 2. toate laturile congruente; 3. toate unghiurile drepte; 4. diagonalele se njumtesc; 5. diagonalele sunt congruente; 6. diagonelele sunt perpendiculare; 7. diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor. Pentru a arta c un patrulater este ptrat procedm astfel: a. artm mai nti c este parelelogram; b. artm c este dreptunghi; c. artm c este romb.

Trapezul-clasificareDefiniie:Patrulaterul convex cu dou laturi opuse paralele i dou neparalele se numete trapez. Laturile parelele ale unui trapez sunt: baza mic; baza mare. Proprietzatea trapezului: Unghiurile alturate uneia din laturile neparalele sunt suplementere.

Clasificare:1) trapezul oarecare 2) trapezul dreptunghic 3) trapezul isoscel

20

Definiie:Trapezul n care una din laturile neparalele este perpendicular pe cele dou baze se numete trapez dreptunghic. Definiie: Trapezul n care laturile neparalele sunt congruente se numete trapezul isoscel. Proprietile trapezului isoscel: 1. n trapezul isoscel unghiurile alturate unei baze sunt congruente. 2. n trapezul isoscel, diagonalele sunt congruente. Regul: Pentru a arta c un trapez este isoscel procedm astfel: - putem folosi definiie(artm c laturile neparalele sunt congruente) - folosim reciprocele celor dou proprieti Reciproca1: Dac unghiurile alturate unei baze sunt congruente ntr-un trapez, atunci trapezul este isoscel. Reciproca2: Dac diagonalele unui trapez sunt congruente, atunci trapezul este isoscel.

Linia mijlocie n trapezDefiniie: Segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele se numete lini mijlocie n trapez. Proprietile liniei mijlocii n trapez: Linia mijlocie n trapez este paralel cu bazele i are lungimea egal cu semisuma acestora.

MP= b : 2MN || AB MN || CD

MN = B + b 2

NQ= b : 2

PQ= B b 2

Proprietile de simetrie ale patrulaterelor1. Simetria fa de un punctDefiniie: Un punct A* este simetricul punctului A fa de punctul O, dac O este mijlocul segmentului AA*. Definiie: Un punct O se numete centru de simetrie al figurii geometrice F, dac simetricul oricrui punct al figurii F fa de punctul o aparine figurii F. Ex: 1. mijlocul unui segment este centru de simetrie al seegmentului 2.punctul de intersecie al diagonalelor unui paralelogram este centru de simetrie al paralelogramului. Punctul A este simetricul punctului A fa de dreapta d.

2. Simetria fa de o dreapt21

Definiie: Punctul A este simetricul punctului A fa de dreapta d, dac dreapta d este mediatoarea segmentului AA.

Definiie: O dreapt d se numete ax de simetrie a figurii F, dac simetricul oricrui punct al figurii F fa de dreapta d aparine tot figurii F. Ex: 1. mediatoarea unui segment este ax de simetrie a segmentului; 2. mediatoarea bazei unui triunghi isoscel este ax de simetrie; 3. n triunghiul echilateral, mediatoarele laturilor sunt axe de simetrie; 4. paralelogramul nu are axe de simetrie; 5. mediatoarele laturilor unui dreptunghi sunt axe de simetrie; 6. diagonalele unui romb sunt axe de ssimetrie; 7. diagonalele i mediatoarele ptratului sunt axe de simetrie. 8. mediatoarea bazelor unui trapez isoscel este axa de simetrie.

22

7.Asemanarea triunghiurilorTeorema lui ThalesDefinitie: O paralela dusa la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi segmente propotionale.

23

Consecinta teoremei lui ThalesTeorema: Mai multe drepte paralele determina pe doua secante segmente proportionale. a) a || b || c, secante d1 si d2 :

b) d || e || g || f, secante: a, b:

Reciproca teoremei lui ThalesDaca o drepta determina pe doua laturi ale unui triunghi segmente proportionale ( punctele de intersectie fiind respectiv analoage), atunci ea este paralela cu a III-a latura a triunghiului. Observatie: Reciproca teoremei lui Thales o folosim pentru a arata ca o dreapta este paralela cu o latura a unui triunghi astfel:

Triunghiuri asemenea24

Definitie: Doua triunghiuri se numesc asemenea daca au toate unghiurile respectiv congruente si laturile corespunzatoare proportionale. ABC ~ DEF daca:(asemenea)

Teorema fundamentala a asemanariiDefinitie: O paralela dusa la una din laturile unui triunghi determina pe celelalte doua laturi un triunghi asemenea cu cel initial. Observatie:Valoarea fiecarui raport din sir se numeste raport de asemanare si se noteaza cu K.

25

Criterii de asemanareCriterii de congruenta: L.U.L. , U.L.U. , L.L.L. , L.U.U. . Criteriul I ( U.U.a ): Daca doua triunghiuri au cate doua perechi de unghiuri congruente, atunci triunghiurile sunt asemenea.

Criteriul II (L.U.L.a): Daca doua triunghiuri au cate doua perechi de laturi respectiv proportionale si unghiurile cuprinse intre ele congruente, atunci triunghiurile sunt congruente.

26

Criteriul III (L.L.L.a): Daca doua triunghiuri toate laturile proportionale, atunci ele sunt asemenea.

8.Relatii metrice in triunghiul dreptunghic Teorema inaltimiiDefinitie: Media geometrica a doua numere reale pozitive este numarul real pozitiv notat mg care se calculeaza astfel: mg= ab ; mg2= ab

Teorema: In orice triunghi dreptunghic inaltimea este media geometrica intre proiectiile catetelor pe ipotenuza. B D

A

C

h2= pr1 pr227

Teorema: In orice triunghi dreptunghic o cateta este media geometrica dintre ipotenuza si proiectia s-a pe ipotenuza. B

Teorema catetei

D

c2= ip pr1

A

C

A doua teorema a inaltimiiTeorema: In orice triunghi dreptunghic lungimea inaltimii se calculeaza facand raportul dintre produsul catetelor si ipotenuza.

h=c1 c2 ip

Teorema lui PitagoraTeorema: In orice triunghi dreptunghic patratul ipotenuzei este egal cu suma patratelor catetelor. B

ip2= c21 + c22D

28

A

C

8.2 Elemente de trigonometrie in triunghiul dreptunghicSinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta, unui unghi ascutit in triunghiul dreptunghicDefinitie: Sinusul masurii unui unghi ascutit intr-un tringhic dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului si lungimea ipotenuzei. Definitie: Cosinusul masurii unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului si lungimea ipotenuzei. Definitie: Tangenta masurii unui unghi ascutit intr-un triunghi dreptunghi este raportul dintre lungimea catetei alaturate unghiului. Definitie:Cotangeta masurii unui unghi ascutit intr-un triunghi drept este raportul dintre cateta alaturata si cateta opusa unghiului. Proprietati: 1. Sinusul masurii unui unghi ascutit egal cu cosinusul complementului sau (analog pt. cosinusul) 2. Tangenta masurii unui unghi ascutit este egala cu cotangenta complementului sinusului.(analog pt.cotangenta) 3. 0 sin x 1 0 cos x 1 4. Valorile tg si ctg sunt si subunitare si supraunitare. 5. tg x = sin x cos x 6. tg x = 1 ctg= 1 ctg x tg x 7. ctg x = cos x sin x 8. sin2x + cos2 x = 1

29

9.Cercul9.1. Cercul; elemente in cercCercul; definitie, elemente unghi la centru, arc de cerc

Definitii:

1. Fie O un punct intr-un plan si r un numar pozitiv. Cercul cu centru O si raza r, notat C(O;r), este multimea tuturor punctelor din plan care se afla la distanta r de punctul O.

30

2. Interiorul unui cerc este multimea tuturor punctelor planului care au distanta fata de centru mai mica decat raza. 3. Exteriorul cercului este multimea tuturor punctelor planului care au distanta fata de centru mai mare decat raza. 4. Cercul reunit cu interiorul lui se numeste disc.

5. Segmentul cu capetele pe cerc se numeste coarda. Coarda care contine centrul cercului se numeste diametru. Diametrul este coarda cu lungimea cea mai mare.

6. Un unghi cu varful in centrul unui cerc se numeste unghi la centru, iar laturile sale sunt raze in cerc. 7. Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc cu centrul in O, atunci intersectia acestui cerc cu interiorul unghiului la centrul AOB, reunita cu punctele A si B, se numesc arcul mic AB, notat AB. OBSERVATII: 1. Punctele A si B se numesc capetele (extremitatile) arcului; coarda [AB] corespuncte lui AB si reciproc.

31

2. Multimea celorlalte puncte ale cercului reunita cu punctele A si B se numeste arcul mare AB si se noteaza ACB. 3. Daca [AB] este diametru, cele doua arce AB se numeste semicercuri, iar A si B puncte diametral opuse. 8. Masura in grade a unui arc mare este egala cu 3600 minus masura arcului mic corespunzator. Masura in grade a unui semicerc este 180o. 9. Doua arce, ale unui cerc sau din cercuri congruente, cu aceeasi masura sunt arce cingruente. 10. Este distanta de la centrul cercului la orice punct de pe cerc se numeste raza. 11. Masura in grade a unui arc mic este masura unghilui la centrul corespunzator.: m(AB)=m(