Patrulatere nscrise n cercPoligoane regulateDefiniiiAplicaiiConstruciiFormulecoala cu clasele I-VIII Petfi Sndor, Tg.SecuiescProf. Istk va

Un poligon este nscris ntr-un cerc dac toate vrfurile poligonului se afl pe circumferina cercului.ABCDEMNPQA, B, C, D, E puncte conciclice

Un poligon se numete inscriptibil ntr-un cerc, dac exist un cerc care trece prin fiecare vrf al su.Orice triunghi este inscriptibil, centrul cercului circumscris fiind punctul de intersecie al mediatoarelor.Nu orice patrulater este inscriptibil !Teoreme

Fie ABCD un patrulater oarecare nscris ntr-un cerc.ABCDA, B, C, D vrfuri, puncte concicliceAB, BC, CD, DA laturi, coarde ale cerculuiUnghiurile patrulaterului sunt unghiuri nscrise n cerc, deci au ca msur jumtate din msura arcului subntins.Teorem: Unghiurile opuse ale unui patrulater inscriptibil sunt suplementare.

Fie ABCD un patrulater oarecare nscris ntr-un cerc.ABCDFie AC i BD diagonalele patrulaterului.La fel se demonstreaz urmtoarele congruene:Teorem: ntr-un patrulater inscriptibil unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul format de latura opus i cealalt diagonal.Teoreme reciproce

i reciprocele teoremelor precedente sunt adevrate, deci ele desemneaz proprieti caracteristice patrulaterelor iscriptibile.Condiii necesare i suficiente pentru ca un patrulter s fie inscriptibil:Unghiurile opuse sunt suplementare.Unghiul format de o latur i o diagonal este congruent cu unghiul format de latura opus i cealalt diagonal.

PATRULATERE PARTICULARE INSCRIPTIBILE N CERC:DreptunghiPtratTrapez isoscelParalelogramul, rombul, trapezul oarecare i trapezul dreptunghic NU sunt inscriptibile!!

DefiniiiAplicaiiConstruciiFormule

Poligonul cu toate laturile i toate unghiurile congruente se numete poligon regulat.Triunghi regulat = triunghi echilateralPatrulater regulat = ptratPoligon regulat cu ase laturi = hexagon regulatCentrul poligonului regulat coincide cu centrul cercului circumscris/nscrisTriunghi echilateral: intersecia mediatoarelorPtrat i hexagon regulat: intersecia diagonalelor !!Dreptunghiul i rombul NU sunt poligoane regulate!!

Distana de la centrul cercului de la laturile poligonului regulat se numete apotema poligonului.ntr-un poligon regulat cu n laturi avem relaiile:Perimetrul:Aria:Msura unghiurilor:

Aplicaii:Utiliznd formula precedent determinai msurile unghiurilor unui triunghi echilateral, al unui hexagon regulat i al pentagonului regulat. (pentagon = poligon cu cinci laturi)

2. tiind c un pligon regulat are unghiurile de msur 150, determinai numrul laturilor.Determinai msurile unghiurilor la centru ce se formeaz la unirea centrului unui cerc cu vrfurile poligonului regulat cu opt laturi nscris n cerc! Cum se poate utiliza rezultatul gsit n construcia acestui poligon?

Construcii:Ptrat1. Fie AC i BD dou diagonale perpendiculare ale unui cerc.

2. Unind punctele A, B, C i D obinem un ptrat.OA=OB=OC=OD=R3. Perpendiculara dus din O pe latura AD se numete apotem.OE=Ap

Hexagon regulatFie un cerc de raz R i centru O. Cu ajutorul compasului cercul se mparte n ase arce congruente. R

2. Unind punctele de diviziune consecutive obinem un hexagon regulat;AB=BC=CD=DE=EF=FA=R3. Perpendiculara dus din O pe latura AB este o apotem a hexagonului.OM=ApM

Triunghi echilateralCostrucia este identic cu cea a hexagonului, dar nu se vor uni punctele de diviziune consecutive.2. Perpendiculara dus din O pe latura AB este o apotem a triunghiului.OE=ApOA=OB=OC=R

Triunghi echilateralFie O centrul cercului circumscris triunghiului echilateral ABC.AB=BC=AC=aOA=OB=OC=ROE=Ap

PtratFie ABCD un ptrat nscris n cercul de centru O i raz R; OA=OB=OC=OD=ROE=ApAB=BC=CD=DA=a

Hexagon regulatFie ABCDEF hexagon regulat nscris n cercul de centru O i raz ROA=OB=OC=OD=OE=OF=RAB=BC=CD=DE=EF=FA=R=a (din construcie)OM=Ap

Tabel centralizator ln ; Apn sunt notaii pentru latura, respectiv apotema poligonului regulat cu n laturi.

**************