PLANUL

Planul. Epura planului

y

z

x

x

z

y

[L]

O

P”

Py

P’P”

P

Px

Pz

Py

Py1

Urmele planului [ P ]

urma orizontală : [P] ∩ [H] = P [H]

urma vericală : [P] ∩ [V] = P’ [V]

urma laterală : [P] ∩ [L] = P” [L]

[P] ∩ [Oy] = Py Oy

[P] ∩ [Ox] = Px Ox

[P] ∩ [Oz] = Pz Oz

Px

Pz

[P]

P’

P

O

[P]

[V]

[H]

Planul. Relaţia punct – dreaptă – plan

x

z

y

[L]

P”

Py

Px

Pz

[P]

P’

P

O

[V]

[H]

M

DV

H

M [P]

D [P]

H P, V P’

M D, D [P]

d

a

c

ă

d

a

c

ă

Planul. Determinarea urmelor unui plan

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P’

P

O

[V]

[H]

- plan definit de două drepte paralele D1 II D2

D1

D2

P = H1 H2

V1

H2 H1

V2

P’ = V1 V2

[P]

P P’ = Px , Px Ox

Planul. Determinarea urmelor unui plan

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P’

P

O

[V]

[H]

- plan definit de două drepte concurente D1 D2 = M

P = H1 H2

P’ = V1 V2

[P]

D1D2

M

P P’ = Px , Px Ox

V1

H2

H1

V2

Planul. Drepte particulare ale planului

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P”

P

O

[V]

[H]

Orizontala planului (dreapta de nivel)

D II [H], D[P]

V d’d”

d

LD

[P]

în epurăd II P

d’ II Ox

P’

Planul. Drepte particulare ale planului

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P’

P

O

[V]

[H]

Frontala planului (dreapta de front)

D II [V], D[P]

H

d’

d”

d

L

D

[P]

în epurăd’ II P’

d II Ox

P”

Planul. Drepte particulare ale planului

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P’

P

O

[V]

[H]

Dreapta de profil a planului

D II [L], D[P]

H

d’

d”

d

V

în epurăd” II P”

d Oz, d’ Oz

[P]

P”D

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

Ry

Rx

R”

R

O

[V]

[H]

1. Plane perpendiculare pe unul din planele de proiecţie

[R] [H]

d

R’

a) Plan proiectant faţă de [H] (plan vertical)

b”

a”

c”

a’

b’

c’

ab

c

A

B

C

R’ Ox, R” Oy[R]

[ABC] [H], [ABC] [P], abc R

b0

([R], [V]) = (R, Ox) = b

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

Qz

Qx

Q”

Q

O

[V]

[H]

1. Plane perpendiculare pe unul din planele de proiecţie

[Q] [V]

Q’

b) Plan proiectant faţă de [V] (plan de capăt )

b”

a”c”

a’

b’

c’

a b

c

Q Ox, Q” Oz

[ABC] [V], [ABC] [Q], a’b’c’ Q’

a0

([Q], [H]) = (Q’, Ox) = a

A

B

C

[Q]

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

Pz

Py

P”

P

O

[V]

[H]

1. Plane perpendiculare pe unul din planele de proiecţie

[P] [L]

P’

c1) Plan proiectant faţă de [L] (plan paralel cu linia de pământ )

b”

a”

c”

a’

b’

c’

P,P’ II Ox

[ABC] [L], [ABC] [P], a”b”c” P”

b0

([P], [V]) = (P”, Oz) = b ([P], [H]) = (P”, Oy) = a

a0a b

c

A

B

C [P]

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

O

[V]

[H]

1. Plane perpendiculare pe unul din planele de proiecţie

[P] [L]

c2) Plan proiectant faţă de [L] (plan axial )

P”

b”

a”

c”

a’

b’

c’

P,P’ Ox

[ABC] [L], [ABC] [P], a”b”c” P”

([P], [H]) = (P”, Oy) = a

a0

ab

c

A

B

C

[P]

P=P’

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

O

[V]

[H]

2. Plane paralele cu un plan de proiecţie

N’ II Ox, N” II Oy

a) Plan paralel cu [H] (plan de nivel )

N”

[N] II [H]

[ABC] II [H], [ABC] [N]

N’ Nz

ab

c

a’b’c’ N’, a”b”c” N”, abc ABC

[N]A

B

C

c’a’ b’

b”a”

c”

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

O

[V]

[H]

2. Plane paralele cu un plan de proiecţie

F II Ox, F” II Oz

b) Plan paralel cu [V] (plan de front )

F”

[F] II [V]

[ABC] II [V], [ABC] [F]

FFy

abc F, a”b”c” F”, a’b’c’ ABC

c’

a’

b’[F]

A

B

C

b”

a”

c”

ba c

Poziţiile particulare ale unui plan faţă de planele de proiecţie

x

z

y

[L]

O

[V]

[H]

2. Plane paralele cu un plan de proiecţie

P II Oy, P’ II Oz

c) Plan paralel cu [L] (plan de profil )

P’[P] II [L]

[ABC] II [L], [ABC] [P]

P

Px

abc P, a’b’c’ P’, a”b”c” ABC

b”

a”

c”

[P]

A

B

C

c’

a’

b’

b

ac

Poziţiile relative

ale elementelor

geometrice

y

z

O

x

Poziţiile relative a două plane

1. Plane paralele

x

z

y

[L]

Py

Px

Pz

P”

P

O

[V]

[H]

[P] II [Q] în epură

P II Q

P’ II Q’

P” II Q”

P’

Qz

Q”

Q’

Qy

Qx

Q

[Q]

[P]

P’P”

P

Pz

Py

Py1

Px

Qz

Qx

Q’

Q

Q”

Qy1

Qy

Poziţiile relative a două plane

2. Plane concurente

x

z

y

[L]

[V]

[H]

[P] [Q] = D (d,d’)în epură

Q

V

P’ Q’ = V

P Q = HD = V H

P’ Q’ = v’

P Q = h d = v h

d’ = v’ h’

Qx

Q’

[Q]

Pz

Py

P”

P

P’[P]

Px

H

OD

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un plana) Dreapta conţinută în plan

y

z

x

x

z

y

[V]

[L]

[H]

O

Px

P

P’

Pz

Py

P’

P

Px

În epură, condiţia necesară şi suficientă ca o dreaptă să aparţină unui plan :

V

H

v’

h

h’

d’

d

v

D [P] hP, v’P’

D [P] HP, VP’

P”

D

O

[ P ]

y

z

O

x

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un planb) Dreapta paralelă cu planul

x

z

y

[L]

[V]

[H]

dacă

P’

P

Px

V

v’

v

d1

D II [P] d1’ II d’

D

Pz

Py

P”

P

P’

Px

H

în epură

D1 II D, D1 [P]

dacă

d1 II d D1 II D D II [P]

h’

h

d’

d

d1’

D1

O

[P]

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un planc) Dreapta concurentă cu planul (folosind plan de capăt)

x

z

y

[V]

[L]

[H]

Px

P

Q’

Pz

Py

V

H

P”[ P ]

O

DD1

I

P’

[ Q ]

Q

D [P] = I(i,i’)

[Q] D, [Q] [V]

[P] [Q] = D1(d1,d1’)

D D1 = I(i,i’)

Poziţiile relative ale unei drepte faţă de un planIntersecţia dintre o dreaptă şi o figură geometrică

x

z

y

[L]

[H]H

O

[V]

a’

b’

c’

Q

Q’

Qx[Q]

I

D

D1

A

B

C

d d1 = i[Q] [D], [Q] [V]

[ABC] [Q] = D1(d1, d1’)

D D1 = I(i,i’)

în epură i’

vizibilitatea dreptei[ABC] D = I

D [ABC]

a

b

c