PIRAMIDA
52
Filip Ionut
description
PIRAMIDA. Filip Ionut. D. C. B. Elementele piramidei. Muchii ale bazei :AB, BC, CD, DA. V. Bază : ABCD. Feţe laterale :. Muchii laterale : VA, VB, VC, VD. Vârf ul piramidei : V. Înălţime : distanţa vârfului piramidei de la planul bazei. O. A. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of PIRAMIDA
Filip Ionut
Elementele piramidei
A B
C
DBază: ABCD
Muchii ale bazei:AB, BC, CD, DA
Feţe laterale: Muchii laterale: VA, VB, VC, VD
Vârful piramidei: V
V
Înălţime: distanţa vârfului piramidei de la planul bazei
O
O piramidă se numeşte piramidă regulată, dacă:
Definiţia 1
Are ca bază un poligon regulat ( triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat, etc) şi piciorul perpendicularei duse din vârful piramidei coincide cu centrul poligonului ( centrul poligonului este centrul cercului circumscris).
Definiţia 2
Are ca bază un poligon regulat şi toate muchiile laterale ale piramidei sunt congruente.
Observaţie:
Toate feţele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente.
Piramida triunghiulară regulată
Piramida patrulateră regulată
Piramida hexagonală regulată
Piramida triunghiulară regulată
O
B
N
C
V
A
Formule pentru arii şi volum
Aria bazei: 4
32lb
Aria laterală:
unde l este latura bazei şi ap
este apotema piramidei
Aria totală:
Volumul:
unde h este înălţimea piramidei
2
3 pl
al
blt
3
hV b
Piramida patrulateră regulată
A B
O
D
V
M
C
Formule pentru arii şi volum
Aria bazei:
Aria laterală:
Aria totală:
Volumul:
2lb
2
4 pl
al
blt
3
hV b
Piramidă hexagonală regulată
MO
V
F
E D
C
BA
Formule pentru arii şi volum
Aria bazei:
Aria laterală:
Aria totală:
Volumul:
4
36
2lb
2
6 pl
al
blt
3
hV b
O piramidă patrulateră regulată VABCD are, apotema VM = 6 cm şi diagonala bazei AC=6√2cm. Se cere:
a) Aria laterală, aria totală, volumul;
b) Distanţa de la centrul bazei la o faţă laterală şi
distanţa de la centrul bazei la o muchie laterală;
c) Unghiul dintre o faţa laterală şi planul bazei;
d) Sinusul unghiului dintre muchia laterală şi planul bazei;
e) Fie un punct P pe muchia VB. Determinaţi lungimea segmentului BP astfel încât perimetrul ΔAPC să fie minim.
Aplicaţie la piramida patrulateră regulată
Rezolvare
a) 2
4 pl
al
cmlllAC 62262 272
2
664cmll
blt 21083672 cmtt
3
hV b
cmVOVO
OMVMVOOmVOM
3336
90)(,
22
222
33363
3336cmVV
b)
VMundeOTOTVMOd
VMOdVBCOdVMVOMVBCCum
VOMVBCVOMBCOMBCVMBC
,);(
);())(,()()(
)()()(,
T
O M
V
cmOTOT
VM
OMVOOTOmVOM
2
33
6
333
90)(,
F
O B
V
cmOF
OFVB
OBVOOFOmVOB
VBOFOFVBOd
5
303
53
233390)(,
,);(
)( 222 OBVOVBunde
c)
60))(),((
60)(2
3
6
33sinsin90)(,
)(),())(),((
)(,
)(,
)()(
ABCDVBCm
MmMVM
VOMOmVMO
VMOOMVMABCDVBC
ABCDOMBCOM
VBCVMBCVM
BCABCDVBC
d) sin(<VB, (ABCD)) = ? Proiecţia dreptei VB pe planul bazei este OB, deci unghiul căutat este unghiul format de dreaptă şi proiecţia ei pe plan, adică <VBO.
5
15)sin(
53
33)sin(
)sin(90)(,
VBOVBO
VB
VOVBOOmVBO
e) Δ APC este triunghi isoscel deoarece AP = CP. Perimetrul triunghiului este minim
atunci când AP este perpendicular pe VB. Vom scrie aria ΔVAB în două moduri:
V
BA
P
T
2,
2
VBAPABVTAVBAVB
Din egalitatea ariilor avem: VT· AB = AP·VB
cmAPAPVB
ABVTAP
5
512
53
66
cmPBPBPB
APABPBPmABP
5
56
25
180
5
5126
90)(,
2
2
22
222
Bibliografie
Manual de Matematică, clasa a VIII-a – Editura Teora, 2010, Dana Radu, Eugen Radu
Culegere de probleme MATE 2000+10/11, clasa a VIII-a – Editura Paralela 45, Sorin Peligrad, Dan Zaharia, Maria Zaharia.
www.didactic.ro http://eprofu.ro/mate/doc/grs12.pdf
