Permutari, combinari, aranjamente, binomul lui Newton
7
PERMUTARI.ARANJAMENTE.COMBINARI BINOMUL LUI NEWTON Notatie: n! = 1 2 3… (n-1) n,n ∙∙ ∙ ∙ ∈N*,0!=1 ARANJAMENTE.PERMUTARI Numarul tuturor submultimilor ordonate de k elemente a unei multimi cu n elemente se noteaza cu . A n k A n k = n! ( n−k ) ! ,n≥k,n,k∈N Observatie: A n 0 =1 A n 0 =n A n n =n!,A n n =P n P n = permutari de n elemente P n = n! Notati e
description
Notiuni teoretice pentru clasa a-XIa.
Transcript of Permutari, combinari, aranjamente, binomul lui Newton
PERMUTARI.ARANJAMENTE.COMBINARI
BINOMUL LUI NEWTON
Notatie: n! = 1∙2∙3…∙(n-1)∙n,n∈N*,0!=1
ARANJAMENTE.PERMUTARI
Numarul tuturor submultimilor ordonate de k elemente a unei multimi cu n elemente
se noteaza cu.Ank
Ank= n !
(n−k )!, n≥ k ,n , k∈N
Observatie:
An0=1
An0=n
Ann=n ! , An
n=Pn
Pn = permutari de n elemente
Pn = n!
Permutari.Aranjamente.Combinari.Binomul lui Newton.
Notatie
COMBINARI
Numarul submultimilor de k elemente ale unei multimi cu n elemente se noteaza cu
Cnk=¿
n!(n−k )! ∙ K !
,n≥ k ,n , k∈N
Observatie:
Cn0=1
Cn1=n
Cnn=1
Cnk = Ank
Pk
Proprietatile combinarilor:
P1. Cnk=Cn
n−k
P2. Cnk=Cn−1
k +Cn−1k−1
P3. Cn0+Cn
2…+Cnn−1+Cn
n=2n
P4.Cn0+Cn
2+Cn4+¿...¿2n−1
P5.Cn1+Cn
3+Cn5+Cn
7+.….=2n−1
PROBLEME DE NUMARARE (metoda arborelui)
Exemple:
1.Sa se determine cate numere de 4 cifre se pot forma cu cifrele 4,5,6,7,2,1
abcd
a. 4 5 6 7 2 1
b. 4 5 6 7 2 1 4 5 6 7 2 1 4 5 6 7 2 1 4 5 6 7 2 1 4 5 6 7 2 1 4 5 6 7 2 1
c. 4 5 6 7 2 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
d. 4 5 6 7 2 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Exista 6 numere de 4 cifre care se pot forma cu cifrele 4,5,6,7,2,1.
2. Cate functii se pot definii pe {a,b,c}→{1,2,3,...,2007}?
f(a) 1 2 3_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2007
f(b) 1 2...2007_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f(c) 1 2...2007_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
20073 functii se pot define pe {a,b,c}→{1,2,3,...,2007}.
Permutari.Aranjamente.Combinari.Binomul lui Newton.
3. Cate functii de 9 cifre diferite de 0 exista?
a1a2a9.
a1: 1 2 3...9
a2: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
Exista 99 numere de 9 cifre diferite de 0.
4. Cate numere de 4 cifre distinct se pot forma cu 4,5,6,7,2,1?
abcd→Numarul este gal cu numarul tuturor submultimilor ordonate de 4 elemente ale unei
multimi cu 6 elemente.
→ A64=6 !2 !
= 3∙4∙5∙6=360→ 360 de numere de 4 cifre distinct se pot forma cu numerele 4,5,6,7,2,1.
5. Cate functii injective se pot defini pe f: {a,b}→{1,2,3,4}?
f(a) 1 2 3 4
f(b) 1 2 3 1 3 4 1 2 4 1 2 3
→ 12 functii injective se pot define pe f : {a,b}→{1,2,3,4}?
BINOMUL LUI NEWTON
¿= Cn0=an+Cn
1 ∙ an−1 ∙ b+Cn2 ∙ an−2 ∙ b2+…Cn
n .bn ,n≥1 , n∈N
Observatii:
1.Dezvoltarea dupa formula lui Newton contine n+1 termeni.
2.Termenul Tk+1=Cnk ∙ an−k ∙ bk se numeste termenul general al dezvoltarii.
3.Numerele Cn1,Cn1,...,Cnn se numesc coeficienti binominali.
4.Cn0,Cn1,..,Cn2+...Cnn=2n (suma coeficientilor binominali reprezinta numarul total al
submultimilor unei multimi cu n elemente si este egala cu 2n).5. Cn0+Cn2+Cn4+¿...=Cn1+Cn3+Cn5+...=2n−1 (suma coeficientilor binominali de rang par este
egala cu suma coeficientilor binominali de rang impar si este egala cu 2n-1).6. Tk+2= n−k
n+2∙ Tk +1¿relatia de legatura intre 2 termeni consecutive in dezvoltare dupa
formula lui Newton).
Permutari.Aranjamente.Combinari.Binomul lui Newton.
