ECUAȚIILE ELECTROSTATICII

Regimul static este acel regim în care mărimile câmpului electromagnetic nud

variază în timp (dt

0) si nu au loc transformri de energie din forma electromagnetică

în alte forme. În aceste condiții, legea inducției electromagnetice conduce la:

∮Edl0

Cu forma locală rotE0

Legea fluxului electric este:

(1.1)

(1.1’)

∫DndSq

(1.2)

Cu forma locală:

divDv (1.2’)

O relație între D și E este oferit de lege alegturii între induția electric și intensitatea câmpului electric. Pentru medii liniare, de exemplu, avem

DE (1.3)

Privim relațiile (1.1’), (1.2’), (1.3) ca un system de ecuații care are ca necunoscut câmpulel ectric (D,E). Din punct de vedere matematic, dacă, la aceste ecuații, adugăm și condiii de frontieră correct formulate, atunci câmpul electric (D,E ) este unic determinat). Deci, putem studia component electric (D,E) a câmpului electromagnetic, independent de componenta magnetică (B,H). Partea din electromagnetism care se ocupă de acest studio se numește Electrostatică.

Potenialul electric

În condițiile relației (1.1), este valabilă teorema potenialului electric (există potențialul electric V definit prin relația:

P

V(P)V(P0) ∫EdlP0

(1.4)

unde integrala se face pe orice drum de P0 la P, iar P0 este un punct cu potential dereferință fixat arbitrar. În forma locală, relaia (1.4) se scrie:

EgradVÎnlocuind (1.4’) în (1.3) și apoi în (1.2’), rezultă

(1.4’)

divgradV v (1.5)

q1v1

v q2 v2

q3 v3

Corpuri conductoare fără camp electric imprimat

Deoarece, în electrostatică, nu au loc transformri de energie, din legea transformă rii energiei din forma electromagnetică în alte forme și din legea

conducției rezultă : pEJ=E2=0. Deci, în corpurile conductoare, E=0. Din

(1.3), rezultă că și D=0, iar din (1.2) rezultă că v0.

Sarcina electrică se distribuie doar la suprafața corpurilor conductoare, cu densitatea de suprafța S. În vecintatea corpului conductor, componenta normală a

inducției electrice verifică relația: Dn=S (1,6)iar componentavtangențială a intensiții câmpului electric este nul:

E t 0 (1,7)Corpurile conductoare sunt echipotențiale. Într-adevăr, deoarece E=0, oricare ar fi un drum din interiorul corpului conductor ce leagă punctele P0 și P, din relația (1,4) rezultă că V (P) V (P0).

Teoremă de unicitate

În Anexa B, este formulat și demonstrată o teoremă general pentru câmpurile staționare. Vom prezenta în continuare o consecință a acestei teoreme, utilă pentru problemele de electrostatic ce vor urma.

Fie o incintă cuperetele conductor (Fig.1.1). Peretele poate fii suprafața de la infinit. Deoarece peretele este conductor, el este echipotenial și vom lua pe el potenialul de referință nul (uneori, se mai spune că peretele este “masa”). În interiorul incintei, avem n corpuri

conductoare (pentru simplitate, vomlua n=3), care și ele sunt echipotențiale. În mediul din jurul conductoarelor, sunt cunoscute legtura dintre DiE, pentru simplitate o consider liniar (1.3), precum idensitatea de volum a sarcinii electrice v.

Câmpul electric (D,E) (descries de ecuaiile (1.1’),(1.2’),(1.3)) este unic determinat dacă se dau:

a) sarcinile electrice ale corpurilor conductoare q1, q2, q3;

sau

b) potenialele electrice ale corpurilor conductoare v1,v2,v3.

Observaie. Teorema de unicitate este valabilă și dacă mediuldin incintă este neliniar, dar cu

caracteristică D=f(E) disipativ: f(E')f(E"),E'E"0 ,oricare ar fi E’E” .În această categorie, intră toate tipurile de medii, cu excepția celor cu histerezis.

Teorema de superpozițiePresupunem că mediul din incintă este liniar (1.3).Sarcinilor electrice (',q'

,q',q'

) le corespunde unic câmpul electric (D’,E’),v 1 2 3

iar sarcinilor electrice (",q"

,q",q"

) le corespunde câmpu lelectric (D”,E”). Atunci,v 1 2 3

sarcinilor (v,q1,q2,q3)=’(',q ',q '

,q')+”("

,q",q"

,q")lecorespunde

v 1 2 3 v 1 2 3câmpulelectric(D,E)=’(D’,E’)+”(D”,E”).

Teoremadesuperpoziierezultimediatdinliniaritateaecuaiilor(1.1’),(1.2’),(1.3)idinteoremadeunicitate.Într-adevr,privind,deexemplu,ecuaia(1.2’),avem:

' "divDdiv('D'"D")'divD'"divD"'v"v v

Câmpulelectricdinenun ulteoremeiverificecuaiile(1.1’),(1.2’),(1.3)ieste unic

Dn=Siar componentavtangențială a intensiții câmpului electric este nul:

(1.6)

Et 0 (1.7)

Corpurile conductoare sunt echipotențiale .Într-adevr, deoarece E=0, oricare ar fi un drum

din interiorul corpului conductor ce leagă punctele

P0

V(P) V(P0).

și P, din relația (1.4) rezultă că

q1v1

v q2 v2

q3 v3

Teoremă de unicitateÎn Anexa B, este formulat și demonstrată o teoremă general pentru câmpurile

staționare. Vom prezenta în continuare o consecință a acestei teoreme, utilă pentru problemele de electrostatic ce vor urma.

Fie o incintă cuperetele conductor (Fig.1.1). Peretele poate fii suprafața de la infinit. Deoarece peretele este conductor, el este echipotenial și vom lua pe el potenialul de referință nul (uneori, se mai spune că peretele este “masa”). În interiorul incintei, avem n corpuri

conductoare (pentru simplitate, vomlua n=3), care și ele sunt echipotențiale. În mediul din jurul conductoarelor, sunt cunoscute legtura dintre DiE, pentru simplitate o consider liniar (1.3), precum idensitatea de volum a sarcinii electrice v.

Câmpul electric (D,E) (descries de ecuaiile (1.1’),(1.2’),(1.3)) este unic determinat dacă se dau:

c) sarcinile electrice ale corpurilor conductoare q1, q2, q3;

sau

d) potenialele electrice ale corpurilor conductoare v1,v2,v3.

Observaie. Teorema de unicitate este valabilă și dacă mediuldin incintă este neliniar, dar cu caracteristică D=f(E) disipativ: f(E')f(E"),E'E"0 ,oricare ar fi E’E” .În această categorie, intră toate tipurile de medii, cu excepția celor cu histerezis.

TeoremadesuperpoziiePresupunemc mediuldinincintesteliniar(1.3).Sarcinilorelectrice(',q'

,q',q'

)lecorespundeuniccâmpulelectric(D’,E’),v 1 2 3

iarsarcinilorelectrice(",q"

,q",q"

)lecorespundecâmpulelectric(D”,E”).Atunci,v 1 2 3

sarcinilor (v,q1,q2,q3)=’(',q ',q '

,q')+”("

,q",q"

,q")lecorespunde

v 1 2 3 v 1 2 3câmpulelectric(D,E)=’(D’,E’)+”(D”,E”).

Teoremadesuperpoziierezultimediatdinliniaritateaecuaiilor(1.1’),(1.2’),(1.3)idinteoremadeunicitate.Într-adevr,privind,deexemplu,ecuaia(1.2’),avem:

' "divDdiv('D'"D")'divD'"divD"'v"v v

unic.Câmpulelectricdinenun ulteoremeiverificecuaiile(1.1’),(1.2’),(1.3)ieste

2. RELAIILEDINTRESARCINILESI POTE

NIALELEUNUISISTEMDECONDUCTOARE(MAXWELL).CONDENSATOARE

Fieoincintcupereteleconductorîncareavemncorpuriconductoare(pentrusimplitate,vomluan=3).Mediuldinjurulconductoareloresteliniar(1.3),iardensitatea

devoluma sarciniielectriceestenul v=0.Dac se dausarcinileelectricealeconductoarelor,atuncirezultunic câmpulelectri

c(D,E)i,caurmare,potenialele(v1,v2,v3).Valorilor(q1,q2,q3)=(1,0,0)alesarcinilorelectricel

ecorespundpotenialele ale c ror valori numerice le not m cu (p11,p21,p31); pentru

valorile(q1,q2,q3)=(0,1,0),notm valorilepotenialelorcu (p12,p22,p32); iar

pentru(q1,q2,q3)=(0,0,1),avemvalorile(p13,p23,p33).

Atunci,dinteoremasuperpoziiei(par.2.1),rezultc pentrusarcinileelectrice:

(q1,q2,q3)=(Q1 ,Q2,Q3)=Q1(1,0,0)+Q2(0,1,0)+Q3(0,0,1)avempotenialele:

(V1,V2,V3)=Q1(p11,p21,p31)+Q2(p12,p22,p32)+

sau:

V

1=p11Q1+p12Q2+p13Q3V2=

p21Q1+p22Q2+p23Q3 V3=p31Q1+p32Q2+p33Q3

+Q3(p13,p23,p33)

(2.1)

Relaiile(2.1)constituieprimaformarela iilordintresarcinileipotenialeleunuisistemdeconductoare.Matriceal,relaiile(2.1)sescriu:

V1V2 V3

p

11p

21p

31

p

12p

22p

32

p13

Q1

p23 Q2

p33

Q3

(2.1’)

Coeficienii pij senumesccoeficien idepoten ial.Sepoatearta(v.cap.3)c matricea

coeficienilor de potenial p este simetric pij=pji i pozitiv definit:

QTpQ0,oricarearfimatriceaQ 0.Atunci,eaesteinversabil

iavem:

sau:

Q1Q2 Q3

11

21

31

12

22

32

13

V1

23

V2

33

V3

(2.2)

Q1=11V1+12V2+13V3Q

2=21V1+22V2+23V3

Q3=31V1+32V2+33V3

(2.2’)

v1q1 11

v0 v2 q2 21

v3 q3310

Relaiile(2.2’)constituieadouaform arelaiilordintresarcinileipotenialeleunui

sistemdeconductoare.Coeficienii ij

senumesccoeficienideinfluen.Matricea

coeficien ilordeinflueneste,deasemenea,simetricipozitiv definit.Semnificaia lorseobinedândvaloriparticularepotenialelorînrelaiile(2.2).Deexemplu(Fig.2.1),pentrupoteni

alele(1,0,0),valorilenumericealesarcinilorelectricesunt(11,21,31).

Potenialulelectricpozitivdepeprimulconductorfacecasarcinaelectricadunatpeacestconductors fiepozitiv.Înschimb,peconductoarelevecine,

v1 q1 C10

v0 v2 q2 C20

v3 q3 C30 0

legatelamas,esteatrassarcinaelectricnegativ;ceapozitivesterespins

ipoatep rsiconductoarele,intrândînmas.Cucâtdistaneledintreconductoaresuntmaimici,cuatâtatraciadintresarcinileelectricedesemnecontrariiestemaimarei,caurmare,seadun maimultsarcin negativ,prininfluen.Conductoarele2 i3ausarcinaelectricnegativ .

Înprimadintrerelaiile(2.2),facemurmtorulartificiu:

Q1=(11+12+13)V1-12(V1-V2)-13(V1-V3)Fcândnotaiile:

C10=11+12+13,C12=-12>0,C13=-13,

u12=V1-V2,u13=V1-V3,

obinemrelaia:

Ci0

Q1=C10V1+C12u12+C13u13Procedândasemn torcutoaterelaiiledin(2.2),obinematreiaformarelaiilordintrepotenialele isarcinileelectricealeunuisistemdeconductoare:

Q1=C10V1+C12u12+C13u13Q2=C21u21+C20V2+C23u23

Q3=C31u31+C32u32+C30V3

(2.3)

v1q1 C12

v0 v2 q2

v3 q3 C32 0

q1q

q1q

Suntvalabilerelaiile Cij=Cji i uij=-uji.Coeficienii Cij

senumesccapaciti

pariale.Semnificaialorfizicseobinedândvaloriparticularepotenialelorcorpurilor.Dactoatecorpurileauac

eleai poteniale(Fig.2.2),atunci(Q1 ,Q2,Q3)=(C10,C20,C30).Petoatecorpurile,seadun

sarcin electricdeacelaisemn.Dincauzcacestesarcinielectriceseresping,lapotenialulde1V,sarcinaelectricadunatestefoartemic.Dacpotenialelecorpurilorsunt(0,-1,0),

atuncisarcinileelectricesunt(C12,(C21+C20+C23),C32)

(Fig.2.3).Înacestcaz,sarcinileelectriceadunate pecorpurileconductoaresunt multmaimaridecâtatuncicândtoateauacelaipotenial,maialesdaccorpurilesuntapropiate.Suntsarcinidesemnecontrarii,careseatragpecorpurileconductoare.

Condensatorul

Cij

Fiedouconductoarefoarteapropiateîncomparaiecudistanapânlapereteleincintei,carepoates fiechiarsuprafaadelainfinit.Atreiaformarelaiilorîntresarcinileipotenialelecelorcorpurieste(2.3):

Q

1=C10V1+C12u12Q2

=C21u21+C20V2Deoarececorpurileconductoaresunt foarteapropiate,

capacitile proprii C10,C20 sunt multmai mici

decâtcapacitateadecuplaj C21 ipotfineglijateîn

relaiile de maisus i, pentruc C12=C21=C irelaiilordemaisus,avem: u12= -u21=u, rezult

Q1= -Q2= Q. În loculQ=Cu (2.4)

Numimcondensatorunsistemformatdindoucorpuriconductoare(numitearmturi),careauproprietateac sarcinilelorelectricesuntegaleînmodulidesemnecontrarii.ConstantaCdinrelaia(2.4)senumetecapacitateacondensatorului.Unitateademsuracapacit iiesteFaradul(F),care,dinpcate,dinpunctdevederetehnic,esteuria.Dinacestmotiv,sefolosescdeseorisubmultiplii:

mili…………

.103micro………..1

06nano………...10

9pico………….1012

SimbolulcondensatoruluiesteceldinFig.2.5.Capacitateacondensatorulu

iplan.Fieuncondensator(Fig.2.6),alecruiarmturisuntplaneegale,paralele,dearieA.Distanadintrearmturiested,iarmediulizolantdintrearmturiarepermitivitatea.Peceledou armturi,avemsarcinileelectriceQ i–Q. Câmpuldintrearm turipoateficonsideratomogen.Densitateadesuprafa

asarciniielectricelasuprafaaarmturiicusarcinQeste(1.6):

SDctQ

A(2.5)

Pentrucalculultensiuniielectriceîntreceledou armturi,alegemcadrumdeintegrarechiaroliniedecâmpcîntrearmturi:

u∫Edl∫EdlEdD

d

Qd (2.6)

Deunde:c c

A

CQ

A

u d(2.7)

Capacitatealineic a cabluluicoaxial.Cablul coaxialesteformatdintr-unfirmetalicderaz a iocma metalic de raz b,între careseafl un dielectricdepermitivitate (Fig.2.6).Pe unitateadelungime,seadun sarcina electric Ql. Fie

suprafaaînchisdeformcilindric,coaxialcucablul,cuînlimeade1m icuraza

R. Bazelecilindruluisunt S1 i S2, iarsuprafaa lateral este Sl. Aplicm legea

fluxuluielectricpesuprafaa (v.par.1.9delaParteaI):

∫DndS=∫Dn1dS+ ∫Dn1dS S1 S2

∫DndSQlSl

(2.8)

l l

S1

n2

n1

Sl

Ql

S2

Fig.2.6. Cablulcoaxial.

Dinmotivedesimetrie,putemadmitec induciaelectricaredoarcomponentradial,

constantpesuprafaalateral Sl.Atunci,relaia(2.8)devine:

Ql

∫DdSD∫dS2RQl (2.9)

deundeDQl i:2R

Sl Sl

EQl

2R(2.10)

Pentrucalculultensiuniielectriceîntreceledou arm turi,alegem,cadrumdeintegrare,chiaroliniedecâmpcîntrearm turi:

b Qu∫Edl∫Edl∫Q

dR lnb

deunde:c c a

2R

Cl2ln

b

a

2 a

(2.11)

i1

Relaiau-ilaborneleunuicondensator.Presupunemc sarcina electricseacumuleazpearm

turilecondensatoruluiprinalimentareaacestoracucureni(Fig.2.7).Aplicândteoremaconservriisarcinii electricepe

suprafaa

închis 1ceînconjoarprimaarmtur ,trecândprinmediulizolantdintre armturi(v.(3.18),de laParteaI),rezult

dQ1 i1

dt. Procedândasemntor pentrusuprafaadQ

2,

2 rezult

i2

i2dt

.Deundei1i2i i:

idQdt

(2.12)

Încazulcondensatoruluiliniar,undeestevalabilrelaia(2.4),pentrucazulîncarecapacitateanuvariazîntimp,avem:

iCdu

dt(2.13)

Daclumînconsideraresistemuldecorpuriconductoaredininteriorulincinteii

presupunemcasarcinilelorelectrice crescprin alimentareacucureniielectrici ik,

atunci,prinaplicareateoremeiconservriisarciniielectricepesuprafaaprimuluicorp,deexemplu,rezult,lafelcamaisus:

i1

Utilizândrelaiile(2.2)sau(2.3),obinem:dV1

dQ1dt

dV2

dV3

i,respectivi1=11

dt+12 dt

+13 dt

i1=C10 dV1 dt

+C12d

u1

2dt

+C13d

u1

3dt

Reeledecondensatoare

Reeleledecondensatoaresuntcircuiteelectriceformatedoardincondensatoareisursedetensiune.Dinpunctuldevederealteorieicircuitelorelectrice,reeleledecondensatoareauelementeînexces:exist bucle

Q

3

Q1

Q1

Q3

Q2 Q

2

formatenumaidincondensatoareisursedetensiune.Deci,suntm

odeledecircuite pentrucareexistenasoluiei (u,i)nu esteasiguratîndomeniulfunciilor.Vomvedeatotuic sepoatedeterminaosoluie(u,Q)înregimulstatic.

Teoremaa 2-aa luiKirchhoffpentrureele de condensatoare.Teoremaa 2-a a lu

iKirchhoffpentrucircuiteelectriceestevalabilipentrureelelede

condensatoare:sumatensiunilorlaturiloruneibucleestenul :

∑uk0kbucla

(2.14)

Teoremaa1-aalui Kirchhoffpentrureele de condensatoare.Fieun nod(seciune)decondensatoareifiesuprafaaînchis cetreceprinmediulizolantdintrearmturilecondensatoarelor(Fig.2.8).Aplicmteoremaconservriisarciniielectricepesuprafaa:

di

qdtDeoarece trecedoar prinmediiizolante,Rezult: i 0, iar q Q1Q2Q3.

Q1Q2Q3constant (2.15)

Valoareaconstanteidinmembruldreptalrelaiei(1.15)seobinedinevoluiareeleidecondensatoare.Rezolvare

areelelordecondensatoaresefaceadugândlarelaiileluiKirchhoff(2.14)i(2.15)valoriletensiunilordelabornelesurselordetensiuneirelaiiledintretensiunileisarcinilecondensatoarelor(2.4).Potfifolositeproceduriledesoluionareacircuitelorrezistive.

Exemplu. Condensatorulde capacitatek C1este

înc rcatcu sarcinaelectric Q0, iar condensatorulC2

Q1 Q2C1 C2

estedesc rcat,comutatorulkfiinddeschis.Latimpult=0,se închidecomutatorul,punândînparalelceledoucondensatoare.S

se determinesarcinile i tensiunilecondensatoarelorlat>0.

Q

1

Q2 Dinprimateorem aluiKirchhoff,rezult :

u1u2u (2.16)

iardinteoremaa2-arezult :

Q1Q2 ctQ0 (2.17)

Laînchiderea comutatoruluik, sarcina electric Q0adunatiniialdoarpearm turacondensatoruluiC1seredistribuiepearmturileambelorcondensatoare.Folosindrelaia(2.4),din(2

.17) i(2.16),rezult:

apoi:

u

Q C1Q0

Q

0C1C2

Q C2Q0

1C1

C2 2

C1

C2

Observaie.Vomvedealapar.3c energiacâmpuluielectricalunuicondensator

Q2

verificrelaiaWe .Încazulexempluluidemaisus,undepentrusimplitatevom

2Clua C1C2 C, apareurmtoarea anomalieenergetic: înaintede închiderea

Q

0

C10

Q1v1 C10

C10 C20

Q2v2

C23

Q3v3

C30

comutatoruluik,energiacâmpuluielectriceraWe0

2 0

,iardup închideredevine2C

Q2 Q2We

1 2

2C

2C

Q/22

22C

Q2 0

. O parte din energiea disprut.Este o4C

consecinafaptuluic circuitulareelementeînexces.Teoremaa2-aaluiKirchhoffnuesteverificatdevalorileiniialealetensiunilordelabornelecondensatoarelor;caurmare,niciteoremaluiTellegen(conservareaputerilor)nuesteverificat ,eafiindoconsecinateoremelorluiKirchhoff.Ointerpretarefizicpoatefigsitînfaptulc,laînchidereacomutatorului,încircuitapareunimpulsdecurent,rezistenacircuituluifiindnul .Darprodusuldintreptratulimpulsuluiirezistenacircuituluiesteonedeterminaredeforma0,carepoatefinenul.DacamînseriacuceledoucondensatoareunrezistorderezistenR,atunciamobineunmodelcorectdecircuit,frelementeînexces.Prinrezolvareacircuitului,seobincurentuldinrezistor(care,dedataaceasta,estefuncie),putereadisipatînrezistor ienergiatransformatînc ldurînintervalul(0,).Seobineovaloarecarenudepindedevaloarearezisteneirezistoruluiiesteegal chiarcuenergia

Q2disprut:

0.

4CObservaie.A3-aformarelaiilordintresarcinileipotenialeleunuisistemde

conductoarenesugereazadoptareaschemeidinFig.2.10

.

Conectareacondensatoarelorînparalel.FiencondensatoareconectatecaînFig.2.11.Seobinetotuncondensatorac ruicapacitateechivalenteste:

CeC1C2 ...Cn (2.18)

Q1 Q2 Qn

C1Q2

C2 Cn

Q1 Qn

Într-adevr,dac aplicmlaborneleansambluluitensiuneau,atunciarmturilefiecrui

condensatorkseîncarc cusarcinileelectrice Qk,Qk.Armturilenouluiansamblu

suntformateprinconexiunilearm turilorînc rcatecuQk iQk,deciausarciniegaleînmodulidesemnecontrarii,îndeplinindcondiiilearmturilorunuicondensator:

QQ1Q2...Qn=uC1uC2 ...uCn=u(C1C2 ...Cn)

deunde:

Q

CeuC1C2 ...Cn

Observaii:a)Capacitateaechivalentestemaimaredecâtoricaredincapacitileceformeazansamblul.

b)Dac suntconectateîn paralelcondensatoaredecapaciti egaleC,

atuncicapacitateaechivalentesteCenC.

Conectareacondensatoarelorînserie.Fiencondensatoaredesc rcate,conectate

caînFig.2.12.Seobinetotuncondensatorac ruicapacitateechivalentrelaia: Ceverific

1

1

1Ce C1 C2

...1

Cn

(2.19)

Într-adevr,avândînvederec iniialcondensatoareleaufostdescrcate,dinteoremaa2-

aaluiKirchhoffscris

pentrunodurileborneleansamblului:

A1,A2,…avem,laaplicareatensiunii ula

Q1Q20,Q2Q30,…deunderezultc armturilefiecruicondensatorseîncarccu sarcinile Q i –Q.Armturile nouluiansamblusunt primaarmtur a primuluicondensatori a douaarmtur aultimuluicondensator,careausarciniegaleînmodulidesemnecontrarii(Qi –Q), îndeplinindcondiiilearmturilorunui

condensator.Dactensiunealabornelefiecruicondensatorkesteuk,atunci,dina2-

ateoremaluiKirchhoff rezult :

uu1u2...un

deunde:

Q

Q C1 C2

...Q Q

Cn

1

1C1 C2

...1

Cn

Q1Q1Q2

C1u1

A1

Q2Q3Q3

C2A2C3

u2 u3

1 u

Ce Q 1

1C1 C2

...1

Cn

Qn

Cn

Qn

un

Observaii:a)Capacitateaechivalentestemaimicdecâtoricaredincapacitileceformeazansamblul.

b) Dac suntconectateîn paralelcondensatoaredecapaciti egaleC, atunciC

capacitateaechivalentesteCen

.c) Pentrudou condensatoareconectateînparalel,putemscrie:

Ce C

1C2C1C2

.

Fe1

c1

dq1

q1v1 F1

v0 q2 v2

q3 v3

3. ENERGI

AICOENERGIACÂMPULUIELECTRIC.FOREGENE

RALIZATEÎNCÂMPELECTRIC

3.1. Energiacâmpuluielectric

Fieoincint cupereteleconductor(Fig.3.1).Îninteriorulincintei,avemncorpuriconductoare(pentrusimplitate,v

omluan=3),înc rcatecusarcinileelectriceq1,q2,q3icareaupotenialeleelectrice v

1,

v2, v3.Îninteriorulincintei,avemcâmpelectrica

cruienergiene propunems o determinm. Înacestscop, trebuies imaginm oprocedur princares d menergiesistemuluiformatdincâmpulelectricicorpuriledin

incint.Osoluiearfis lummicisarcinielectrice dqk depepereteleincinteiis le

depunempe corpurilek. În acestfel,vorcretesarcinileelectriceqk i potenialele

electricevk alecorpurilor.Asupramicilorsarcinielectrice dqk seexercitforelede

natur electric:

dFekdqkE (3.1)Deci,forapecaretrebuies oaplicmasupramiciisarcinielectricepentruaodeplasaeste:

dFk dFek(3.2)

iarlucrulmecanicpecare-lefectu

m

transportândmicasarcinînceputulpepereteleincinteiicusfâritulpecorp

ulkeste:

dqk pecurba ckcu

Lk ∫dFkdldqkck

∫Edlvkdqkck

(3.3)

Însumândtoatelucrurilemecaniceefectuatepentrudepunereademicisarcinielectricepetoatecorpurileconductoaredinincint,obinemenergiadatdinexteriorsistemuluiformatdincâmpelectric icorpuri:

dW∑vkdqkk (3.4)

Aceast energieseconsum pentru cretereaenergieicâmpuluielectric dWe,pentruacoperireaunorlucrurimecanicepecarele-arefectuacorpuridinincintprindeplasarealorsubaciuneaforelordenatur electric

dL,pentrucretereaenergieicaloricedin

incint dWcal etc.Neglijmcretereaenergieicaloriceiconsidermc nuaparalte

modificrienergetice,înafardeceaacâmpuluielectricdWemecanicdL:

iaconsumuluidelucru

dWdWedL (3.5)

Observaii:a)Proceduraexpusmaisuspoatefiaplicatchiardacînincintse

aflsubstan .Eliminm,înacestcaz,substanadinimediatavecintateacurbelorck i

transportmsarciniledqk prinvidulacestortubulee(v.par.1.6dinParteaI)

b)Oaltprocedurdeadaenergiesistemuluidinincint ,formatdincâmpelectric

i corpuri,ar puteafiinjectareasarcinii electrice dqk în fiecarecorpconductork,

conectându-llapereteprinintermediuluneisursedecurent.Putereadebitatdesursestedqk

pkvk ik, unde

q3

ikdt

(v.teorema conservriisarciniielectricedin par.3.3,

ParteaI,saurelaia(2.12)).Atunci,energiaprimitdesistemdinparteasursei de

curent esteT(Q1,Q2,Q3)

dWk=pkdt=vkdqk dt

dt=

vkdqk. Menionm c formulaputeriidebitatedesursadecurentse

deducecuajutorulfluxuluivectoruluiPoynting,

careseobine fr a finevoiedeconcluziileacestuiparagraf.

Pentrua determinaenergia

q2câmpului electric, inem

imobilecorpuriledinincintiastfeldL=0.

Dinrelaiile(3.5)i(3.4),rezult:

q1q3q2q3 dWe∑vkdqkk (3.6)

1

Conformteoremei de unicitate(par.2.1),sarcinileelectricealeconductoarelordefinescuniccâmpul electric,deci elesunt variabiledestare pentrucâmpul electric.

Potenialeleelectricevkpentrumediiliniare).

suntfunciidesarcinileelectriceqk (deexemplu,relaiile(2.1)

Pentrua determinaenergiacâmpuluielectricîntr-oanumi

tstareT(Q1,Q2,Q3),seintegreazrelaia(3.6)întrestareadeenergienul(originea)ipunctulT,peor

icecurbdinspaiulst rilor(Fig.3.2):T

We(T)∫∑vkdqk0k

(3.7)

Rezultatulintegralei(3.7)nudepindededrum.Încazulmediilorliniare,celmaicomoddrumde integrareestesegmentulOT,undeunpunctoarecareM are

coordonatele(q1,q2,q3)=(Q1,Q2,Q3),cu 0,1 .Dac,înpunctulT,avem

potenialele(V1,V2,V3),atunci,înpunctulM,avem(v1, v2, v3)=(V1,V2,V3).

Rezult vkVk,dqk=Qkd1

iintegrala(3.7)devine:

1

We(T)∫∑VkQkd∑VkQk∫d0k k 0

Deci:

We ∑VkQk (3.8)

2kObservai

i:a)Deoarecerezultatulintegralei(3.7)nudepindededrum,înrelaia(3.6)avemodiferenial totalexact.Estedecivalabil relaia:

vkWeq (3.9)

kPrimaformarelaiilorîntresarcinileelectriceipotenialeleelectricealeunuisistemdecorpuriconductoareestedeforma(2.1):

v1=p11q1+p12q2+…

v2=p21q1+p22q2+…deunde:

i, inândcontde(3.9):

p12

v1q2

p21 v2q1

We

2We

We 2We

p12qq qq

p21q q qq

2 1 2 1 1 2 1 2deunde p12 p21.Deci,matriceacoeficieniidepotenialestesimetric .

b)Orelaieasemntoarecu(3.8)seobine iatuncicândînincintseaflsarcin

electric distribuit cudensitateadevolum v. Împrim domeniuldintrecorpurile

1 1

∑

We

conductoare în mici subdomenii de volume j cu sarcina electric

qj jj i potenial vj. Putem admitec micilesubdomeniisuntcorpuri

conductoare.Atunci,conformrelaiei(3.8),avem:

We ∑VkQk+ ∑vjjj2k 2 j

1 1We VkQk+ ∫vd (3.10)

2k 2

3.2. Coenergiacâmpuluielectric

Variaiadecoenergieacâmpuluielectricestedefinitde:

*dWed ∑

vkqkk d

We

(3.11)

Fcânddiferenialasumeideprodusei, inândcontderelaia(3.6),rezult:*dWe

∑qkdv

kk

(3.12)

Conformteoremeideunicitate(par.2.1),potenialeleelectricealeconductoarelordefinescuniccâmpulelectric,deci ipotenialelepotfivariabiledestarepentrucâmpul

electric.Sarcinileelectriceqk sunt funciidepotenialeleelectricevk (deexemplu,

relaiile(2.2)pentrumediiliniare).Pentrua determinacoenergiacâmpuluielectricîntr-o

anumitstareT(V1,V2,V3),seintegreaz(3.12)întrestareadecoenergienulipunctulT,peoricecur

b dinspaiulst rilor(v1,v2,v3):

T*

∫∑qkdvkok

(3.13)

Rezultatulintegralei(3.13)nudepindededrum.Încazulmediilorliniare,celmaicomoddrumdeintegrareestesegmentulOT,undeunpunctoarecareMarecoordonatele

(v1,v2,v3)=(V1,V2,V3),cu0,1.Dac,înpunctulT,avem sarcinileelectrice

(Q1,Q2,Q3),atunci,înpunctulM,avem (q1,q2,q3)=(Q1,Q2,Q3).Rezult

qkQk,dvk=Vkd1

iintegrala(3.13)devine:

1

eW*(T)∫∑VkQkd∑VkQk∫d0k k 0

Deci:

*

e

e

We1∑VkQk (3.14)

2kSeobserv c ,încazulmediilorliniare,energiaesteegalcucoenergia.

Observaie.Putem,deasemenea, avea i mrimide stare hibridede tipulcoenergiei(asemn torcu(3.11)):

dW**d p

∑Vkqkk1

dWep

∑qkdVkk1

n

∑Vjdqjjp1

(3.15)

3.3. Densitateadevolumaenergieiicoenergiei

Dacsarcinileconductoarelorauomiccretereqn,atunciimrimileE,Ddin

incintaumicicreteri , .Avem(v.iAnexaA):

n1 n

∫V

dS ∑Vn∫k1 Sk

dS∑Vkqnk1

(3.16)

deoareceVn1=0. Deasemenea,folosindrelaialuiGaussi inândcontdefaptulc în

incint divDv,EgradV,avem:

∫V dA ∫(VD)d ∫DVVDd∫ d

(3.17)Egalândrezultateledinrelaiile(3.16)i(3.17),rezult:

ndWe ∑Vkqk ∫ d

k1 (3.18)

Admitemc energiacâmpuluielectricestedistribuitînvolumcudensitateadevolum

we:

dWe ∫wed

(3.19)

Comparând(3.18)cu(3.19),rezultc variaiadensitiidevolumaenergieicâmpuluielectriceste:

we=EDiardensitateadevolumaenergieicâmpuluielectriceste:

we ∫ 0

(3.20)

Asemn tor,pentrudensitateadevolumacoenergieicâmpuluielectric,seobine:

w* ∫ 0

(3.21)

*

Încazulîncaremediulesteliniar:2

w w*1ED

1E2

1D (3.22)

e e2 2 2

Exemplu.Energiaicoenergiacâmpuluielectricalunuicondensator.S presupunemc

relaiadintresarcinaelectricitensiuneaelectricaunuicondensatoresteneliniar(Fig.3.3).EnergiacâmpuluielectricpentrusarcinaQa condensatoruluieste:

T(Q1,Q2) QWe ∫v1dq1v2dq2=∫v1dqv2dq=

o 0Q Q

∫(v1v2)dq ∫udq0 0

undeam inutcontc sarcinileelectricealearm turilor

verificrelaia q1q2q.Valoareaenergieieste

Uacondensatoruluieste:

datdeariasuprafeeicuprinseîntregraficiaxaoq.Coenergiacâmpuluielectricpentrutensiuneaelectric

T(V1,V2)* T(V1,V2) T(V1,V2) UWe ∫q1dv1q2dv2 ∫qdv1 qdv2 ∫qd(v1 v2)∫qdu

o o o 0Valoareacoenergieiestedatdeariasuprafeeicuprinseîntregraficiaxaou.

Incazulmediuluiliniar,avem:

W W*1Q1V1Q2V2

1QV1QV21QV1V2

e

Deci:

e2

WeWe 1QU

2

1CU2

2

1Q

(3.23)

2 2 2 C

3.4. Foregeneralizateîncâmpelectric

Dinrelaiile(3.4)i(3.5),rezult:

∑vkdqk=dWedLk

(3.24)

2

e

Pentruadeterminaforaîndireciax,lsmcorpuls sedeplasezeomicdistan

dxînaceastdirecie(Fig.3.4).Sevaconsumaunlucrumecanic:

Înlocuindîn(3.24),avem:

dLFxdx

∑vkdqk=dWeFxdxk

(3.25)

(3.26)

Dac deplasareacorpuluisefacecurestricia casarcinilecorpurilors fieconstante,

atuncidqk0 imembrulstângalrelaiei(3.26)seanuleaz.Rezult:

FxWex

qkct.,k1,2,...(3.27)

Observaii:a)Înrelaia(3.27),Fx

idxpotfioricecupludemrimialc

ro

rprodusestelucrumecanic.Deexemplu:forineri

al deplasare,cuplu–unghi,

presiune–volumetc.Dinacestmotiv,Fx

senumet

eforgeneralizat,iardx,coordonatgeneralizat.Relaia(3.27)este prima formulde calcul al

forelorgeneralizateîncâmpelectric.

b)EnergiacâmpuluielectricWe apareînrelaia(3.27)cafunciedem rimilede

stareqk,precum icafunciedecoordonatageneralizatx.

Înlocuimînrelaia(3.26)energiacucoenergia,folosinddefiniiacoenergiei(3.11),irezult:

∑vkdqk=dk

∑vkqkk

dW* Fxdx

Dezvoltânddiferenialasumeideproduse,dupsimplificri,obinem:*

0∑qkdvkk

d

We

Fxdx

Dacdeplasareacorpuluisefacecurestriciacapotenialelecorpurilors fieconstante,

atunci dvk 0 i primul termendin membruldrept al relaiei(3.26)seanuleaz.

Rezult:

e

e

e

r

FxW*

xvkct.,k1,2,...

(3.28)

Observ

aii:a)Relaia(3.28)esteadouaformuldecalculalforelorgeneralizateîncâmpelectric.Aceeaiforpoate

ficalculatatâtcurelaia(3.27),câticurelaia(3.28).

b)CoenergiacâmpuluielectricW*apareînrelaia(3.28)cafunciedem

rimiledestarevk,precumicafunciedecoordonatageneralizatx.

Exemplu

Întrearmturileunuicondensatorplan,cuarm turiledreptunghiularededimensiuniab

esteintrodus,parial,undielectricdepermitivitaterelativ r.Distanadintrearmturi

ested,iartensiunealabornelecondensatoruluiesteU.S

sedetermineforacucareesteatrasdielectriculîntrearm turilecondensatorului(Fig.3.5).

Rezolvare.Pentruaidentificacoordonatageneralizat,selascorpuls

sedeplasezesubaciuneaforeiceurmeazsfiedeterminat. Se observc,

încazulproblemeinoastre,semodificdistana dintredielectrici una dintre

marginilearmturilor.Not maceastdistan cux.Deoarecemediulesteliniar:

WeW*

We1We2

1C1U2

2

1C2U2

2(3.29)

undeC1 iC2suntcapacitilecelordou condensatoarecudielectriculaer irespectiv

cudielectriculd

epermitivitaterelativdielectricului:

r,legateînparalel,cerezultprinintroducerea

axC1=0d C2=0r

a

(bx)d

(3.30)

Deoarecesed tensiunealabornelecondensatoarelor,folosima2-

aformulaforelorgeneralizate(3.28).Înlocuind(3.30)în(3.29)iapoiîn(3.28),rezult:

aU2

Fx02d

(r1)

(3.31)

Observaii: a) Deoarece r1,rezultatuldin relaia(3.31)este negativ.

Interpretmastfel:foracareîncearcs mreasccoordonataxestenegativ ,decieaîncearcs

omicoreze.

b) S admitemurmtoarelevalorinumerice:r=2,8;d=2mm;U=100V;a=20cm.

Varezultaofor Fx8106N.Îngeneral,foreledenatur electricsuntfoartemici

încomparaiecuceledenaturmagnetic(v.ParteaaIV-

a)

.Dinacestmotiv,majoritateasistemelordeconversieelectromecanicsebazeazpeforeledenaturmagnetic

.

4. CÂTEVAMETODEDECALCULALCÂMPULUIELECTRIC

i) CazulR3

4.1.Formulecoulombiene

Fieosarcinelectricpunctualq,situatîntr-unmediuomogennemrginit,depermitivitate.Aplicmlegeafluxuluielectricpeo suprafa sferic

cucentrulînpunctulM,încareseaflsarcinaelectric(Fig.4.1):

∫DndS=q

Dinmotivedesimetriesferic ,Daredoarcomponentradialpeiaceastaesteconstantpe.Atunci,dinrelaiademaisus,rezult :

q∫DdS=D∫dS4r2D

deunde:

k

D=q

4r2

i:

apoi:

D=Drr

qr4r3

E=

qr4r3

(4.1)

DeoareceEestefunciedoarder,putemadmitec iVestefuncieder.Caurmare,(v.AnexaA):

EgradV(r)rV'(r)r

inândcontderelaia(4.1),avem:

deunde:

V'= q

4r2

V =q

C 4r

Impunândvaloareanul pentrupotenialuldelainfinit(r V=0),rezult:

V =q

4r (4.2)

Folosindacestrezultat,putemcalculaE, V produseîntr-unmediuomogen

nemrginit,deodistribuievolumicdesarcinelectric v(Fig.4.2).Împrimdomeniul

D,încareavemsarcinelectric,înmicisubdomeniidevolume vk,încaresarcina

electriceste qk vkvk,unde vk

estedensitateadesarcinelectricîntr-un

punctMk dininteriorulsubdomeniuluik.Intensitateacâmpuluielectric Ek,produs

demicasarcin electric qk înpunctulP descrisdevectoruldepoziie

rk =rPrMkfa depunctulMk ,estedatderelaia(4.1):

vE = k vkrkk4r3

ÎnsumândcontribuiiletuturorsubdomeniilordinD,rezult:

E∑Ek

=∑vk

vkrk3

k k 4rkLimitaexpresieidemaisus,pentruodivizarearbitrardefineste:

Ez

k1

Edl

n1 2D

S1

SlA

RnRDR

S2

n2

E=1∫vr

dv(4.3)

vk

Mk

D

vk

qkvkvk

Lafel:

4D r

3

rk V =1∫vdv (4.4)

P Ek 4D r

(1.5):

Observaie.Ecuaiapotenialuluiînmediulomogen(unde=ct)estedatderelaia

deci:

divgradV div(gradV)V v

Vv

(4.5)

Soluiaecuaiei(4.5)estedat derelaia(4.4).Într-omanier asemn toare,sepotstabiliintensitateacâmpuluielectric

ipotenialulcreatedeosarcinelectricdistribuitpesuprafaaScudensitateadesuprafa

S:

E=1

∫Sr

dS (4.6)

V=1

4S r

3

∫SdS (4.7)

4S rDac sarcinaelectric estedistribuit

C cudensitateal pecurbaC,atunci:

E=1

∫lrdl (4.8)

B 4C r

3

V=1∫ldl (4.9)

4C rObservaii:a)Integralele(4.3),

(4.4)i(4.7)suntabsolutconvergentechiardacpunctulPse aflîndomeniuldeintegrare.

b)Integralele(4.3),(4.6)i(4.8)sefacpecomponente.

ii) CazulR2

Fieunfirrectiliniuinfinitdelung,uniformîncrcatcusarcina

electriccudensitatealineic l iaflatîntr-unmediuomogenimrginit.Problemaaresimetriecilindric i,datoritfaptuluic firulesteinfinitdelung,mrimilenudepindde

coordonatelez i .Aplicm legeainducieielectromagneticepecurba

circular cucentrulpefir,delungimel1:1 de form

∫Edl ∫EdlE ∫dlEl1 01 1 1

irezultc E iDnuaucomponentepecoordonata (E 0,D 0).Aplicm

legeainducieielectromagneticepecurba 2ABCDAdeformdreptunghiular,culaturileBCiDAparalelecufiruli inemcontdefaptulc Enudepindedecoordonatelezi:

∫Edl2

∫ERdlAB

∫Ez(B)dlBC

∫ERdlCD

∫Ez(D)dlDA

=Ez(B) ∫dlEz(D)BC

∫dlEz(B)BCDA

Ez(D)DA0

deunderezult Ez(B)Ez(D) . Deci,componentaluiEpedireciazesteconstant.

ImpunândE0pentruR0,rezult c Ez0. Aplicm legeafluxuluielectricpe

suprafaaînchisdeformcilindric,cuaxapefir,deînlimeh,cubazele S1,S2 i

suprafaalateral

deci:

Sl:

∫DndS=q

∫DzdS S1

∫DzdS+

S2

+∫DRdS=DR2RhlhS1

deunde:

lDDR=2R

i:

E=lR

2R2 (4.10)

Apoi,admiândc potenialulVdepindedoar decoordonataR,avem:

gradV

i, admiândc laR0avemV=0,rezult:

R

V'ER

Dac R0=1m,avem:

V= l2

lnR0

R

V= l2

ln 1

R(4.11)

Remarcm c structuraanalizatmaisusesteindependentde coordonataz.Ingeneral,spunemc o structurdecorpuriareconfiguraieplan-paraleldacexistodirecieprivilegiat,astfelîncâtpentruoriceseciuneperpendicularpeaceastdirecieavemaceeaigeometrieacorpuluiiaceleaiproprietielectrice(sarciniicaracteristiciconstitutive).Deexemplu,structuraR3dinFig.4.3areconfiguraiaplan-paralel,oseciunecuunplanperpendicularpeaxfiinddescrisdeunpunct.Invers,dacseciuneadintr-unplanperpendicularpeax aratcaînFig.4.2.a),atunciînR3structuraestedatînFig.4.4.b).

Deci,unfirîncrcatcusarcinaelectric distribuituniform,cudensitatealineic l,corespundeînR²uneisarcinielectrice"punctuale"l sau,peunitateadelungime,q=

l1.Lafel,pentrucurbedinR²avemdensitatea"lineic " S îC/m²iarpentrudomenii

(suprafee) dinR²avemdensitateade"suprafa"vîC/m3.Putemspunedecic intensitateacâmpuluielectricipotenialulcreatedeosarcin

R2 R3

a) b)

Fig.4.4.Structuri plan-paralele.

"punctual"înR²suntdatedeformulele(4.10)i(4.11).

D

D

C

=

=

=

Dac sarcinaelectric estedistribuitîntr-undomeniuD R² cudensitateade"suprafa"v,atunci:

1E

2 ∫

VRdSR

2

(4.12)

1V

2 ∫ ln

1dS

V R(4.13)

Ambeleintegralesuntabsolutconvergente.

DacsarcinaelectricestedistribuitpecurbaCdinR²cudensitatea"lineic"S,atunci:

E=1∫SR

dl (4.14)

2C R2

1V

2 ∫ ln

1dl

S R(4.15)

Integrala(4.12)esteabsolutconvergent.

4.2.Metodadiferenelorfinite

i) ReeledecoordonateortogonalePentruauuraînelegereametodei,alegemundomeniubidimensional(structurplan-paralel )

R2 (Fig.4.5). Cunoatemdistribuia de sarcin electric i

permitivitatea a materialuluidin

domeniul . Pe o parte SD a

frontierei ,cunoatemvaloareapotenialuluiV(numitcondiiedefrontier Dirichlet).Aceastcondiieesteechivalentcucunoatereacomponentei tangenialea luiE. Pe

restul frontierei SN \SDcunoatem valoarea

componenteinormale ainduciei electrice

DnV

n(numit condiiede

frontier Neumann).Trasm pe do

ufamiliidecurbedecoordonate,depreferinortogonale,carevorgeneraoreeadediferenefinite.Atribuimfiecruinodalreeleiunpotenial.Componenteleintensitiicâmpuluielectricde-alunguldrumurilorcepleacdintr-unnodpotfiaproximateca diferene depotenial. Pentrusimplitate,alegemoreeadediferenefiniteasociateunuisistemdecoordonatecarteziene(Fig.4.6).

Reeauaadjunctesteformatdinmediatoarelesegmentelor P0Pk. Tensiunea

electric peunsegmentP0Pk este:

Pk

V0-Vk= ∫EdlEk|PkP0|P0

(4.16)

unde Ek esteproiecialuiE dinpunctul M k , de-alungullui P0Pk, iar

VkV(Pk).

Legeafluxuluielectricpeconturulînchis=O4O1O2O3O4este:

∫Dndl=q

(4.17)

Dinrelaia(4.16),obinemEk, apoiDk pecele dou prialeluiP0Pk.Deexemplu:' V0-V1

-peporiuneaO4M1: D1=4E1= 4|P

P1|' V0-V1

-peporiuneaM1O1: D1=1E1= 1|P

P1|

P6 P5

N3' N1"

P3, V1

N3" N1 '

P7 P8

Atunci:

0

0

N2" P2,V2 N2'

nV3

O2

2,

M3

2

P0,

M2

V0

n

1,

O1

1

M1 P1,

O3

3,

N4'

3

P4,

M4

V4n

4,

O4

4

N4"

n

4

1O

∫Dndl=V0 V1(4|O4M1|+1|M1O1|)

O4Relaia(4.17)vaconducela:V - V

|P0P1|

0 1(4|O4M1|+1|M1O1|)|P0P1|

V0+

V2(1|O1M2|+2|M2O2|)+

|P0P2|V0-V3

+ (|P0P3|

2|O2M 3|+ 3|M 3O3 |)+

V0-+

V43|O3M4|+4|M4O4|)=

|V0V4|1

= (|P0P1||P0P2|1+|P0P2||P0P3|2+|P0P3||P0P4|3+|P0P4||P0P1|4) (4.18)

P6 N2" P2, V2 N2' P5

n

N3' O2 M2

O1

N1"

2, 2 1, 1n n

P3, V3 M3Dn3

P0, V0 M1Dn1

P1, V1

Scriindecuaiiledeforma(4.18)pentrutoateNnoduriledindomeniu,obinemunsistemdeNecuaiicuNnecunoscute.NoduriledepefrontieraDirichletaupotenialelecunoscute,decinuintrînceleNnoduri.Pentruunnodd

epefrontieraNeumann(Fig.4.7),legeafluxuluielectricscris peconturul=M1O1O2M3M1 conduce la:

V0- V21|M1O1|+V0 V2(1|O1M2|+2|M2O2|)+

|P0P2| |P0P2|

+V0-V3 2|O2M 3|

+Dn3

-

-

-

|M3P0 |Dn1 |P0M1|=

1 0 1 0 2 2 0 2 0 3

V2

G02

G03 G01

V3 V0 V1

G04

V4

=1(|P P||P P |+ |P P ||P P |)4

PentruproblemeledinR3,raionamentulesteanalog:suprafaaînchis estedeform

paralelipipedic,iarnodulP0esteconectatcu6nodurivecine.

Particularitialemetodei:1) Matriceasistemuluiareproprietateac pefiecareliniearedoar 5

(7înR3)elementenule.Potfiutilizatetehnicispecialederezolvareasistemelorcumatricerare.2) Existoanalogieperfectîntreecuaia(4.18)iecuaiapotenialelornodurilor

pentrucircuiteelectrice.Notândcu

G0k

(V0Vk)

coeficientul lui

dinecuaia(4.18)icu

G

00=

∑G0kk

avem

G00V0-∑G0kVk=I0,

kunde I0estemembruldreptal

4) Matriceasistemuluiestesimetric.5) Matriceasistemuluiestepozitivdefinit.

ecuaiei(fig.4.8).3

)Matriceasistemuluiestediagonaldominant:

G00∑|G0k|k

ÎnvecintateafrontiereiDirichlet,inegalitateaestestrict.

6) Dacadmitemc înzona M4N1'N1"M2, E1areaceeaivaloare,atunciE areînfiecarezon dreptunghiular 4 valoridiferite.Deexemplu,în dreptunghiul

P0P1P5P2avem:

V0- V 1 V0- V 2-subzonaP0M1O1M2: E=i

|P0

+jP1| |P0

;

P2|V0- V 1 V1- V 5

-subzonaM1P1N1"O1: E=i|P0

+j ;

P1| |P1P5|V2- V 5 V0- V 2

-subzonaM2O1 N2'P2:E=i|P

+jP5| |P0

;

P2|V2- V 5 V1- V 5

-subzonaO1N1"P5N2' :E=i|P

+j .

P5| |P1P5|

2

2

7) Dezavantajulmetodeiestedatderigiditateaalgoritmuluidedivizare.Estedificilcaoriceformdefrontierspoatfidescrisprinreeauadediferenefinite ortogonale. În

general,

seînlocuietefrontierarealcuunaformatdinsegmentealereeleidediscretizare(Fig.4.9).

ii) Reeletriunghiulare(metodaelementelorfinite)

Pentrusimplitateaexpunerii,vomconsiderac domeniulestebidimensionalR2(Fig.4.10).Împrimdomeniulînsubdomenii

triunghiularei i presupunemc potenialuleste

funciecontinu pe i arevariaieliniar pe

subdomeniilei.Atunci,valorileVk=V(Pk) lui

Vînnodurile Pk definescunicpotenialulînîntreg

domeniul.Fie,deexemplu,subdomeniiledinFig.4.11.Potenialulcuvariaieliniarîn subdomeniultriunghiulariestedeforma:

i

Pk,Vk ri1

i1

i,i,Si,Tr

P,V

ri1 i1,i1,

Si1,Ti1

ri i

Pi1

Vi1 Vi

Pi

V(r)=Vk+Tir

(4.19)

undeTi esteunvectorcareestedeterminatastfelîncâtV(ri)Vi,V(ri1)Vi1,

V(0)Vk:

T=(ri1k)(Vi-Vk)-(rik)(Vi+1-Vk)

. (4.20)2S

Atunci: i

E=gradV =Ti (4.21)

ValorileluiEsuntconstantepesubdomeniilei.Procedmlafel calaparagrafulprecedent.PesegmentulP0Pi(Fig.4.12),avem:

EV0Vi (4.22)

iP0Pi

Construimreeauadual ,formatdinmediatoarelesegmentelordinreeauatriunghiular.

DeoarecenormalalasegmentulOi1Oisegmenteste:

areorientarealui P0Pi,fluxulluiDpeacest

∫DndlOi1Oi

∫DidlOi1Oi

∫i1EidlOi1M i

∫iEidlMiOi

V Vi1Oi1M i iM iOi

( 0 i) P0Pi(4.23)

Aplicândlegeafluxuluielectricpeconturul …Oi1OiOi1…al mediatoarelorsegmentelorce

pleac dinPk,obinem:

(V -V )i-1|Oi-1Mi|+i|MiOi|

(4.24)∑ k ii(k) |Pk Pi|

=qk

Pk, Vk

i1

Oi1

i,i,

Mi

n

Mi1

Si,Ti

Oi

Pi1Vi1

i1,

Si1,

i1, iTi1

Pi1,Vi1 Pi,Vi

undei(k)reprezintindiciituturornodurilorcaresuntconectatecunodulk,iarqk estesarcinaelectricdininteriorulconturului.CazulnodurilordepefrontiereleNeumannsetrateazlafelcaînparagrafulprecedent.Sepoatedemonstracrelaia(4.24)semaipoatepunesubforma:

∑i(k)

[(V

k-V i)(ri+1(ri+1-ri) + 4Si

i ri-1(ri-1-ri)4Si-1i-1)]=qk (4.25)

Scriindecuaiiledeforma(4.25)pentrutoateNnoduriledindomeniu,obinemunsistemdeNecuaiicuNnecunoscute.Dupdeterminareapotenialelorelectricealenodurilor,calculmintensitateacâmpuluielectriccurelaiile(4.20)i(4.21).

Observaii:a)Unadintrecelemaiutilizatemetodedesoluionareaproblemelordecâmp electromagnetic este

MetodaElementelorFinite.Dacaplicmaceastmetodpentrurezolvareaproblemelorde

Pk

i, iOi1

electrostaticifolosimelementenodaledeordinul1,obinemecuaiiledeforma(4.25).Termenullibersemodificîn:

qk1/3∑iSii(k)

M i (4.26)

Oi

i1, i1

Modificareanuesteesenial ,înambelecazurisoluiaaproximativapropiindu-sedesoluiaexact,odatcurafinarea

Pi

reelei(ceamaimarelaturareeleidevinearbitrardemic)b) Matriceacoeficie

nilorsistemuluiesterar,elementenenuledepefiecareliniecorespundnodurilorvecinenoduluicedefinetelinia.

c) Lafel ca i încazulmetodeidiferenelorfinite,ecuaiile(4.24),(4.25)suntanaloageecuaiilorpotenialelornodurilorîntr-uncircuit,conductanauneilaturifiind:

g =r ( r - r )

+r ( r - r )

i+1ki

i+1

i ii-1 i-1

i i-1

4Si4Si-1

Matriceasistemuluiestesimetric i pozitivdefinit. Privindrelaiile(4.24),(4.25),se

observc ,dactriunghiurilesuntobtuz-unghice,atunciesteposibilcacoeficienii gkis

fienegativi.Deexemplu,înFig.4.13,segmentele M iOi i MiOi1 capt valori

negative.Ca urmare,pentrua obine o matricemaibinecondiionat, serecomandfolosireauneireeledetriunghiuriascuit-unghice(sauauneireeledetetraedrecuunghiuridiedreascuite,înR

3).Centrelecercurilorcircumscrisetriunghiuril

orseaflîninteriorulacestora(centrelesferelorcircumscrisetetraedrelorseaflininteriorulacestora).Înacestcaz,matriceasistemuluideecuaiiestediagonaldominant.

d) Spredeosebiredemetodadiferenelorfinite,metodaelementelorfiniteestemultmaimaleabilpentrudescriereafrontierelor.

4.3.Aproximarealiniilordecâmpcusegmentededreapt iarcedecerc

Pentruauuraînelegereaacestuiprocedeu,nevomajutadeunexemplu.Doubare

q -q

dreptunghiulare,infinitlungi(structurplan-paralel)seaflîntr-unmediunemrginit,omogen,depermitivitate0(Fig.4.14).Nepropunemsdeterminmcapacitatealineicacelord

ou bare.Plasmpeceledoubaresarcinileelectriceq i–q(pelungimeade1m).Urmeazs determinmcâmpulelectric,apoitensiuneauîntrebarei,înfinal,capacitatea

qlineic

Clu

. Formulelecoulombienenupotfiaplicate,deoarecenusecunoatedistribuiadesarcinelectric.Metodadiferenelorfinitesepoateaplicadoardacadmitemc celedoubareseaflîntr-oincintmrginitîncareputemdefinioreeadediferenefinite.Chiariînacestcaz,rezolvareaproblemeinecesitelaborareaunuiprogramdecalculpentrugenerareareelei,pentruconstruireasistemuluideecuaii i pentrurezolvareaacestuia.Menionm c problemapoatefirezolvat

convenabilcuproceduraintegralnumit“metodaelementelordefrontier”,carenuestetratatînaceastcarte,darcarenecesit ieaelaborareaunuiprogramdecalculnumeric.

Oprocedurdeosebitdesimpl,multutilizatdeingineriielectricieni,constînaaproximaliniiledecâmpcuarcedecercisegmentededreapt,astfelconstruiteîncâts fieortogonalelasuprafeeleconductoare.Aa cumse vedeînFig.4.14,aceast

procedurpermiteca,întredouliniidecâmp,deexempluPP’iQQ’,“distana”s fieconstant.Atunci,de-alunguluneiliniidecâmp,intensitateacâmpuluielectricesteconstant.Într-adevr,peconturulPQQ”P”Paplicmlegeafluxuluielectric:

∫DndlPQ

∫DndlQQ"

∫DndlQ"P"

∫Dndl=0

P"PCumD0E icumE insuntortogonali de-alungullinieidecâmp,rezult :

∫EndlPQ

∫E"ndl0Q"P"

(4.27)

Admiândc celedouliniidecâmpsuntfoarteapropiateic seciunilePQiP”Q”suntortogonalepeliniiledecâmp,avem EnE pePQi E"nE" peP”Q”. i,

deoarece PQ P"Q",din(4.27)rezultE=E”.ObinematunciimediatvaloarealuiE

de-alunguluneiliniidecâmp:

Eu

lc(4.28)

undelc estelungimealinieidecâmp,iaruestetensiuneaelectricde-alungullinieide

câmp.Încazulexempluluinostru,distingem3zonedupstructuraliniilordecâmp,inândcontidesimetriastructurii: zonaDAA’D’,undeliniiledecâmpsuntsegmentededreaptdeaceeailungimed,deci:

Eu

d(4.29)

zonaABB’A’,undeliniiledecâmpsuntformatedintr-unsegmentdedreaptdelungime

d

i

dindouarcedecercdelungimesegmentulAB

fa depunctulA.Deci:

x ,undexestedistanaunuipunctdepe2

Eu

dx(4.30)

zonaBCC’B’,undeliniiledecâmpsuntformatedintr-unsegmentdedreaptdelungime

d idindouperechidearcedecercdelungimi(by)

2i,respectiv, y

,unde

2yestedistanaunuipunctdepesegmentulBCfa depunctulB,iarbestel imeabarei.Deci:

Eu

dby(4.31)

Conformlegiifluxuluielectric,sarcina q estedublulintegraleiinduciei electricepeconturulDABC:

q20u1 b

∫ dl∫1

dx a/2 1∫ dy =DA

d0dx

0dby

dba

=20u a

1ln

db 1ln 2

2d d d b

deunderezultcapacitatealineic:

dba

Clq20 a

1ln

db 1ln 2

u 2d d db

Observaii: a) Proceduraestefoartesimpl i permiteobinerearapid a unuirezultatsubformauneiformule.

b) Suntmaimulteposibilitideatrasaliniiledecâmp.Deexemplu,dinpunctulP

putemconstruiunarcdecerccudeschidereade ,cares fieorientatspreprelungirea2

segmentuluiopusluiAB,înparteadesusaFig.4.14.Sealegevariantacareconducelaceamaimiclungimealinieidecâmp.

c) Procedurareprezintometodaproximativ“grosolan”dedeterminareacâmpuluielectric.Eapoatefiaplicatîncazuladoucorpuriconductoareechipotenialepoligonale(saupoliedrale,inR3).Mediuldintrecorpuritrebuies fieomogen.