Oscila¸tiile Ecua¸tiilor Diferen¸tiale Ordinare · O investiga¸tie bazat˘a pe trecerea la...

Octavian G. Mustafa

Oscilatiile Ecuatiilor Diferentiale

Ordinare

Rezultate clasice si moderne

Publicatiile DAL

Craiova

Fisier prelucrat ın data de [December 27, 2017]

Pentru Andrei-Lucian si Doriana

Avertisment

Acest eseu nu a fost raportat vreunui referent. In consecinta, continutul sau trebuie

considerat “ca atare.”

Autorul va asteapta comentariile la adresa lui de e-mail1 si va multumeste antici-

pat pentru efortul depus.

Fiecare proiect de la Publicatiile DAL trebuie considerat “santier” daca nu este

declarat altfel. Versiunea sa este cea a datei de pe pagina cu titlul.

Craiova, Mai 18, 2015 O.G.M.

[email protected]

vii

Prefata [la editia tiparita]

Un subiect important ın analiza ecuatiilor diferentiale ordinare este cel al existen-

tei zerourilor solutiilor acestora. Astfel, o ecuatie diferentiala este considerata os-

cilatorie daca fiecare solutie continuabila a sa poseda un sir nemarginit superior

de zerouri. Prin oscilatii liniare/neliniare ıntelegem oscilatia unei anumite ecuatii

diferentiale liniare/neliniare. De asemeni, o ecuatie diferentiala este neoscilatorie

daca admite cel putin o solutie continuabila cu numar finit de zerouri (sau fara ze-

rouri). Paginile ce urmeaza contin rezultate si demonstratii de baza ın domeniul

oscilatiilor, urmate de o serie de abordari recente ale subiectului.

Numarul impresionant de investigatii dedicate ın literatura de specialitate oscila-

tiilor liniare si neliniare suprima din start orice ıncercare de prezentare exhaustiva a

acestei problematici. De aceea, am optat pentru discutarea catorva articole cu impact

considerabil ın dezvoltarea analizei oscilatiilor si care ar putea fi punct de plecare

ıntr-o cercetare de substanta ın acest domeniu. Insist asupra faptului ca trimiterile

bibliografice de la sfarsitul fiecarui capitol reflecta gustul autorului.

O parte din chestiunile detaliate aici au fost prezentate studentilor ınrolati ın pro-

gramul de studii masterale al Universitatii din Craiova.

Sunt ındatorat prof. C. Avramescu (Craiova), prof. Yu.V. Rogovchenko (Kalmar,

Suedia) si prof. A. Constantin (Dublin, Irlanda) pentru numeroase informatii stiin-

tifice esentiale.

Craiova, martie 2007

O varianta a materialului de fata a fost tiparita la Editura Sitech din Craiova, ın

anul 2007 (ISBN 978-973-746-712-6). Mai multe corecturi de substanta ale acestei

variante au fost efectuate pana ın prezent.

Craiova, [December 27, 2017] O.G.M.

ix

Cuprins

1 Teorema lui C. Sturm si M. Picone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Referinte Bibliografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Teoremele lui W.B. Fite si J.G. Mikusinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Zerourile solutiei unei ecuatii diferentiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Semnul derivatelor. Lemele lui I.T. Kiguradze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Criteriul integral al lui W.B. Fite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Teorema de oscilatie Fite–Mikusinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Abordarea lui C.G. Philos. Lema lui V.A. Staikos. Teorema lui

Y.G. Sficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Excurs de analiza ecuatiilor diferentiale liniare. Sirul extremelor

(W. Osgood). Teorema de tip Milloux a lui D. Willett. Teorema de

neoscilatie a lui W.F. Trench. Integrarea oscilatorului adiabatic . . . . 32


3 Teoremele lui P. Hartman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul I. Existenta solutiilor care

tind la 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Existenta solutiilor oscilatorii ale ecuatiei (3.1) care tind la 0 . . . . . . 55

3.3 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul al II–lea. Teorema de tip

Fite–Mikusinski a lui J.S.W. Wong. Inegalitatile lui J.L. Massera

si J.J. Schaffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4 Conditiile necesare ale lui P. Hartman pentru neoscilatia ecuatiilor

diferentiale liniare. Criteriul de oscilatie al lui C.R. Putnam.

Teorema de liniarizare de tip Utz a lui L.H. Erbe . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 O teorema de tip Kamenev a lui C.G. Philos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 Medii ponderate generale. Criteriile de oscilatie ale lui W.J. Coles.

Teoremele lui J.S.W. Wong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

xi

xii Cuprins

3.7 Conditia necesara si suficienta a lui P. Hartman de existenta a

dezvoltarii asimptotice Poincare–Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.8 Teorema Hartman–Wintner de integrare asimptotica a ecuatiei

(3.121). Metoda lui P. Hartman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103


4 Oscilatii neliniare prin medii integrale: miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . 111


5 Ecuatii diferentiale de tip Emden–Fowler: teoremele lui F.V.

Atkinson si P. Waltman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1 Teorema de oscilatie a lui F.V. Atkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Criteriul de neoscilatie al lui P. Waltman. Teoremele lui J.S.W.

Wong si C.V. Coffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3 Teoria de integrare a lui J.K. Hale si N. Onuchic . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.4 Teorii locale de integrare asimptotica a ecuatiei (5.1) . . . . . . . . . . . . . 149

5.5 Criteriul de oscilatie al lui P. Waltman. Observatia lui J.S.W. Wong . 164

5.6 Perturbatia ecuatiei (5.62). Teorema lui H. Teufel, Jr. Un rezultat

Staikos–Philos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166


6 Teorema lui E. Hille si A. Wintner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179


A Inegalitatea diferentiala Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.1 Perturbarea problemei Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

A.2 Solutia maximala a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0) . . . . . . . . . . . 196

A.3 Constructia unui sir de solutii maximale ın vecinatatea tubulara a

unei solutii maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

A.4 Teorema fundamentala a inegalitatilor diferentiale . . . . . . . . . . . . . . . 202

A.5 O teorema de neoscilabilitate bazata pe inegalitati diferentiale . . . . . 203


Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Capitolul 1

Teorema lui C. Sturm si M. Picone

Rezumat In acest capitol este prezentata teorema de comparatie a lui C. Sturm

si M. Picone pe baza analizei variationale a lui W. Leighton.

Sa consideram ecuatiile diferentiale ordinare liniare

l[x](t)≡ (p(t)x′)′+q(t)x = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (1.1)

si

L[X ](t)≡ (P(t)X ′)′+Q(t)X = 0, t ≥ t0, (1.2)

unde coeficientii functionali p,P : [t0,+∞)→ (0,+∞) sunt de clasa C1 iar coeficientii

functionali q,Q : [t0,+∞)→ R sunt continui.

Urmatorul rezultat este cunoscut ın literatura drept teorema de comparatie a lui

C. Sturm (1836) si M. Picone (1910), cf. [3, p. 53], [14, p. 2], [15, 12]. Enunturi si

completari ale sale pot fi citite ın [3]–[5], [9], [13, 14].

Teorema 1 Fie numerele a < b din [t0,+∞). Presupunem ca p(t) ≥ P(t) si q(t) ≤Q(t) pentru orice t ∈ [a,b]. Daca x(t) este o solutie a ecuatiei (1.1) pentru care

a,b sunt zerouri consecutive, atunci, fiind data solutia X(t) a ecuatiei (1.2), are

loc alternativa: sau exista c ∈ R cu proprietatea ca X(t ′) = c · x(t ′) pentru orice

t ′ ∈ [a,b] sau exista un zero al solutiei X(t) ın (a,b).

Denumirea de teorema de comparatie ıi apartine lui M. Bocher (1898), vezi [1, p.

414]. In formularea originala, p = P ≡ 1 ın [a,b], cf. [13, pp. 3–4]. Cazul p 6= P este

tratat ın [1, 12]. Demonstratia ”tipica” a teoremei de comparatie Sturm-Picone poate

fi citita ın [5, p. 68]. Pentru cazul p = P, q = Q (cunoscut sub numele de teorema

de separatie a lui C. Sturm, cf. [14, p. 5]), vezi [2], [7, p. 224]. Desi ın [15, pp.

158–160] se face referire la ecuatia lui J. Riccati [7, pp. 532–533], M. Bocher este

cel care inaugureaza analiza rezultatelor de tip Sturm cu ajutorul sau [13, p. 7], [4,

p. 136]. O investigatie bazata pe trecerea la coordonate polare (asa-numita abordare

a lui H. Prufer (1926), cf. [8, p. 417]) este realizata de E. Kamke [8], [4, pp. 13–14].

1

2 1 Teorie sturmiana

In [12, p. 20] este data identitatea

x(t)

X(t)[p(t)x′(t)X(t)−P(t)x(t)X ′(t)]

′

= [Q(t)−q(t)] · [x(t)]2 +[p(t)−P(t)] · [x′(t)]2 +P(t)

[

x′(t)− x(t)X ′(t)X(t)

]2

,

valabila ıntr-un interval I ın care solutia X(t) nu se anuleaza. O analiza sturmiana

bazata pe aceasta identitate a lui M. Picone, cf. [13, p. 35], se gaseste ın [7, p. 226].

Introducem functionalele patratice ([10, p. 603], [14, pp. 2,4])

j[u] =∫ b

ap(t)[u′(t)]2 −q(t)[u(t)]2dt, J[u] =

∫ b

aP(t)[u′(t)]2 −Q(t)[u(t)]2dt

si V [u] = j[u]− J[u], unde u(t) este o functie admisibila, adica u ∈ C2([a,b],R) si

u(a) = u(b) = 0.

Teorema 2 (W. Leighton, C.A. Swanson, cf. [4, p. 11, Theorem 8]) Fie functia

admisibila x(t). Admitem ca x(t) nu se anuleaza ın (a,b) si x(t)l[x](t)≥ 0 ın [a,b].De asemeni, consideram functia X(t), unde X ∈ C2([a,b],R), cu proprietatea ca

pentru orice t ′ ∈ a,b, daca X(t ′) = 0, atunci X ′(t ′) 6= 0. In plus, X(t)L[X ](t)≤ 0

ın [a,b]. In sfarsit, presupunem ca

V [x]≥ 0. (1.3)

Atunci, are loc alternativa: sau x(t) verifica ecuatia (1.1), X(t) verifica ecuatia

(1.2) si exista c ∈ R cu proprietatea ca X(t ′′) = c · x(t ′′) pentru orice t ′′ ∈ [a,b] sau

functia X(t) se anuleaza cel putin o data ın (a,b).

Demonstratie. Presupunem ca X(t) nu se anuleaza ın (a,b).Vom folosi doua identitati. Mai precis, fie functiile u ∈ C1([a,b],R) si v ∈

C2([a,b],R). Daca v(t) nu se anuleaza nicaieri ın (a,b), un calcul direct ne permite

sa stabilim relatia

P(t)

v(t)

[

u(t)

v(t)

]′2

+

[u(t)]2P(t)v′(t)

v(t)

′− [u(t)]2

v(t)L[v](t)

= P(t)[u′(t)]2 −Q(t)[u(t)]2, a < t < b.

Prin integrare, pentru a < A < B < b, obtinem prima identitate:

∫ B

A(Pu′2 −Qu2)dt =

∫ B

AP

[

v(u

v

)′]2

dt −∫ B

AvL[v]

(u

v

)2

dt

+ u2 Pv′

v

∣

∣

∣

∣

t=B

t=A

. (1.4)

Afirmatie Avem J[u]≥ 0 pentru orice functie admisibila u.

1 Teorie sturmiana 3

Intr-adevar, ıncepem cu observatia ca, via regula lui L’Hopital,

limtրb

[u(t)]2P(t)X ′(t)

X(t)

=

0, X(b) 6= 0, (avem u(b) = 0!)

limtրb2u(t)u′(t)P(t)X ′(t)+[u(t)]2[P(t)X ′(t)]′

X ′(t) , X(b) = 0

= 0,

respectiv

limtցa

[u(t)]2P(t)X ′(t)

X(t)

= 0.

Apoi, facand ca A ց a si B ր b, identitatea (1.4), unde v = X , ne conduce la

J[u]≥ 0. Afirmatia este probata.

Cea de-a doua identitate este formula lui Green. Mai precis, fiind data functia

u ∈C2([a,b],R), putem scrie ca

∫ b

aul[u]dt + j[u] = puu′

∣

∣

t=b

t=a. (1.5)

Afirmatie Avem j[x]≤ 0.

In mod evident, identitatea (1.5) probeaza Afirmatia.

Cele doua Afirmatii implica V [x] ≤ 0, de unde, via (1.3), obtinem ca V [x] = 0,

respectiv j[x] = J[x] = 0. Mai departe, pe baza identitatilor (1.4), (1.5), rezulta ca

x(t)l[x](t) = 0, X(t)L[X ](t) = 0,

[

x(t)

X(t)

]′= 0 ın (a,b).

Concludem ca x(t) verifica ecuatia (1.1), X(t) verifica ecuatia (1.2) si, ın plus,

exista c 6= 0 astfel ıncat x(t) = c ·X(t) ın [a,b].

Demonstratia Teoremei 1. Este evident ca V [x] ≥ 0 pentru orice solutie x(t)a ecuatiei (1.1) avand numerele a,b drept zerouri consecutive. O solutie X(t) a

ecuatiei (1.2) ındeplineste automat conditia de pe a,b deoarece zerourile solutiei

unei ecuatii diferentiale ordinare liniare omogene sunt izolate, cf. [5, p. 67].

O generalizare a teoremei de separatie a lui Sturm se gaseste ın [11].

Teorema 3 (Leighton, 1952, cf. [11, Theorem 2.2]) Sa presupunem ca p = P si ca

ecuatiile (1.1), (1.2) sunt oscilatorii. De asemeni, admitem ca pentru orice solutie

x(t) a ecuatiei (1.1) si orice solutie X(t) a ecuatiei (1.2) exista limita

limt→+∞

∫ t

t0

[q(s)−Q(s)]x(s)X(s)ds ∈ R

(

adica,

∫ +∞

t0

(q−Q)xXds

)

.

Atunci, zerourile unei solutii a ecuatiei (1.1) se intercaleaza cu zerourile oricarei

solutii a ecuatiei (1.2) care nu este un ”multiplu” al acesteia.


Cu ajutorul Teoremei 2 putem stabili un rezultat extrem de flexibil de oscilatie

liniara.

Teorema 4 (El-Sayed, 1993, cf. [6, Theorems 1,2]) (i) Presupunem ca exista siru-

rile (a±n )n≥1 de numere din [t0,+∞), crescatoare si divergente, si sirurile (c±n )n≥1

de numere din (0,+∞) astfel ıncat

V±n =

∫ a±n + π√c±n

a±n

c±n [1−P(t)]cos2[√

c±n (t −a±n )]

+ [Q(t)− c±n ]sin2[√

c±n (t −a±n )]

dt ≥ 0, n ≥ 1.

Atunci, perturbarea ecuatiei diferentiale (1.2) data de

(P(t)X ′)′+Q(t)X = G(t), t ≥ t0 ≥ 0, (1.6)

unde functia continua G : [t0,+∞)→ R ındeplineste conditiile

G(t)

≥ 0, t ∈[

a+n ,a+n + π√

c+n

]

≤ 0, t ∈[

a−n ,a−n + π√

c−n

] , n ≥ 1,

este oscilatorie.

(ii) Presupunem ca exista sirul (an)n≥1 de numere din [t0,+∞), crescator si di-

vergent, si sirul (cn)n≥1 de numere din (0,+∞) astfel ıncat

Vn =

∫ an+π√cn

an

cn[1−P(t)]cos2[√

cn(t −an)]

+ [Q(t)− cn]sin2[√

cn(t −an)]

dt ≥ 0, n ≥ 1.

Atunci, ecuatia (1.2) este oscilatorie.

Demonstratie. Partea (i). Sa presupunem ca, prin absurd, ecuatia (1.6) admite

solutia eventual pozitiva* X(t). Va exista numarul natural N ≥ 1 cu proprietatea ca

X(t)L[X ](t) = X(t)G(t)≤ 0, t ∈[

a−n ,a−n +

π√

c−n

]

,

pentru orice n ≥ N.

Consideram ecuatia (1.1), unde p(t) ≡ 1, q(t) ≡ c−n , a = a−n si b = a−n + π√c−n

.

Solutia x(t) a ecuatiei (1.1) despre care se vorbeste ın Teorema 2 este x(t) =

sin[√

c−n (t −a−n )], unde n ≥ N.

* In cele ce urmeaza, daca scriem ca proprietatea P(ω), valabila ın mod obisnuit pentru orice

ω ∈ [Ω ,+∞), are loc eventual, atunci proprietatea P(ω) are loc pentru ω ∈ [Ω1,+∞), unde Ω1 ≥Ω este suficient de mare.

1 Teorie sturmiana 5

Cum V [x] = V−n ≥ 0, are loc alternativa din enuntul teoremei. Daca X(t) este

un ”multiplu” de x(t), atunci X(a−n ) = 0. In caz contrar, X(t) se anuleaza ın(

a−n ,a−n + π√

c−n

)

. Ambele situatii contrazic eventual pozitivitatea lui X(t).

Cazul unei solutii eventual negative se elimina ın mod similar.

Partea (ii). Daca, prin absurd, ecuatia (1.2) admite solutia X(t) cu un numar finit

de zerouri (sau fara zerouri), putem presupune, ınlocuind functia X(t) cu −X(t), ca

X(t) este eventual pozitiva. Atunci, X(t)L[X ](t) = 0 si reluam argumentatia.

Teorema 1 permite si studiul oscilatiilor neliniare.

Teorema 5 (J.S.W. Wong, 1968, cf. [16, Theorem 5]) Fie functia f : [t0,+∞)×R→R continua si ecuatia diferentiala neliniara

x′′+ f (t,x) = 0, t ≥ t0 ≥ 0. (1.7)

De asemeni, fie functia q : [t0,+∞)→ R continua si ecuatia diferentiala liniara

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0. (1.8)

(i) Daca ecuatia (1.8) este oscilatorie si

f (t,x)

x≥ q(t) pentru orice x 6= 0, t ≥ t0, (1.9)

atunci ecuatia (1.7) este oscilatorie.

(ii) Daca ecuatia (1.8) este neoscilatorie,

f (t,x)

x≤ q(t) pentru orice x 6= 0, t ≥ t0,

si problema Cauchy formata de ecuatia (1.7) ımpreuna cu datele x(T ) = x′(T ) =0, unde T ≥ t0 este arbitrar, admite doar solutia nula, atunci ecuatia (1.7) este

neoscilatorie.

Demonstratie. Partea (i). Sa presupunem ca, prin absurd, ecuatia (1.7) admite

solutia pozitiva x(t) ın [t0,+∞). Atunci, ın mod evident, aceasta functie este solutie

(neoscilatorie) a ecuatiei diferentiale liniare

X ′′+Q(t)X = 0, t ≥ t0, (1.10)

unde Q(t) = f (t,x(t))x(t) ın [t0,+∞).

Conditia (1.9) devine

Q(t)≥ q(t) pentru orice t ∈ [t0,+∞),

deci, conform Teoremei 1, ecuatia (1.10) este oscilatorie, o contradictie. Existenta

unei prezumtive solutii negative se elimina ın mod asemanator.


Partea (ii). Fie y(t) o solutie pozitiva a ecuatiei (1.8). Conditia privind problema

Cauchy cu date nule atasata ecuatiei (1.7) implica faptul ca zerourile unei solutii os-

cilatorii a ecuatiei (1.7) sunt izolate. Presupunem ca, prin absurd, exista o asemenea

solutie x(t) si numerele t1,2 ≥ t0 cu proprietatea ca

x(t1) = x(t2) = 0, x(t)> 0 ın (t1, t2).

Evident,

x′(t1)> 0, x′(t2)< 0. (1.11)

Atunci, tinand cont ca functia x(t) verifica ecuatia (1.10) ın (t1, t2), putem scrie

ca

d

dt[y(t)x′(t)− y′(t)x(t)] = y(t)x′′(t)− y′′(t)x(t) = [q(t)−Q(t)]x(t)y(t)≥ 0,

unde t ∈ (t1, t2). Mai departe, prin integrare, obtinem

y(t2)x′(t2)− y(t1)x

′(t1)≥ 0. (1.12)

Se observa imediat ca estimarea (1.12) se afla ın conflict cu (1.11).

Existenta unei solutii x(t) cu x(t1) = x(t2) = 0 si x(t)< 0 ın (t1, t2) se elimina ın

mod similar cerand ca functia y(t) sa fie o solutie negativa a ecuatiei (1.8).

Referinte Bibliografice

1. Bocher, M.: Application of a method of D’Alembert to the proof of Sturm’s theorems of

comparison. Trans. Amer. Math. Soc. 1, 414–420 (1900)

2. Bocher, M.: An elementary proof of a theorem of Sturm. Trans. Amer. Math. Soc. 2, 150–151

(1901)

3. Bocher, M.: Lecons sur les methodes de Sturm dans la theorie des equations differentielles

lineaires et leurs developpements modernes. Gauthier-Villars, Paris (1917)

4. Coppel, W.A.: Disconjugacy. Lect. Notes Math. 220, Springer-Verlag, Berlin (1971)

5. Eastham, M.S.P.: Theory of ordinary differential equations. Van Nostrand Reinhold, London

(1970)

6. El-Sayed, M.A.: An oscillation criterion for a forced second-order linear differential equation.

Proc. Amer. Math. Soc. 118, 813–817 (1993)

7. Ince, E.L.: Ordinary differential equations. Dover, New York (1956)

8. Kamke, E.: A new proof of Sturm’s comparison theorems. Amer. Math. Monthly 46, 417–421

(1939)

9. Hartman, P.: Ordinary differential equations. Wiley & Sons, New York (1964)

10. Leighton, W.: Comparison theorems for linear differential equations of second order. Proc.

Amer. Math. Soc. 13, 603–610 (1962)

11. Leighton, W.: On self-adjoint differential equations of second order. J. London Math. Soc. 27,

37–47 (1952)

12. Picone, M.: Sui valori eccezionali di un parametro da cui dipende un’equazione differenziale

lineare ordinaria del secondo ordine. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 11, 1–141 (1910)

13. Reid, W.T.: Sturmian theory for ordinary differential equations. Springer-Verlag, New York

(1980)

14. Swanson, C.A.: Comparison and oscillation theory of linear differential equations. Academic

Press, New York (1968)

15. Sturm. J.C.F.: Memoire sur les equations differentielles lineaires du second ordre, J. Math.

Pures Appl. 1, 106–186 (1836)

16. Wong, J.S.W.: On second order nonlinear oscillation. Funkc. Ekvac. 11, 207–234 (1968)

7

Capitolul 2

Teoremele lui W.B. Fite si J.G. Mikusinski

Rezumat In acest capitol sunt prezentate criterii de pionerat privind oscilatia

ecuatiilor diferentiale ordinare liniare ın care estimarile punctuale ale coeficientilor

functionali sunt ınlocuite cu ipoteze de tip integral.

2.1 Zerourile solutiei unei ecuatii diferentiale liniare

Sa consideram urmatoarea ecuatie diferentiala ordinara liniara de ordinul n, pen-

tru n ≥ 2,

x(n)+q(t)x = 0, t ≥ t0 > 0, (2.1)

unde coeficientul q : [t0,+∞)→ R este o functie continua.

Cu ajutorul formulei lui Taylor putem estima simplist pozitia zerourilor unei

solutii x(t) a ecuatiei (2.1) atunci cand q are semn constant. Mai precis, fie a ≥ t0astfel ca x(a)> 0. Introducem polinomul Pa prin formula

Pa(y) =n−1

∑k=0

x(k)(a)yk

k!, unde x(0) ≡ x,y0 ≡ 1, y ∈ R.

Propozitia 1 Presupunem ca q(t) ia numai valori pozitive. Daca exista b > a

cu proprietatea ca b − a este cea mai mica solutie pozitiva a ecuatiei algebrice

Pa(z) = 0, atunci solutia x(t) a ecuatiei (2.1) are un zero ın (a,b).

Demonstratie. Formula lui Taylor ne permite sa scriem ca

x(t) = Pa(t −a)+ x(n)(tτ)(t −a)n

n!, t ∈ (a,b], (2.2)

unde tτ = a+τ(t −a) si τ ∈ (0,1). Daca x(b)< 0, atunci, cum x(a) ·x(b)< 0, lema

lui Cesaro ne asigura ca x se anuleaza ın (a,b). Daca x(b)> 0, atunci, ınlocuind ın

(2.2) pe t cu b, obtinem

9

10 2 Criterii integrale de oscilatie

x(b) = Pa(b−a)+ x(n)(bτ)(b−a)n

n!

= x(n)(bτ)(b−a)n

n!=−q(bτ)x(bτ)

(b−a)n

n!,

de unde x(bτ) < 0. Astfel, cum x(a) · x(bτ), x(bτ) · x(b) < 0, avem cel putin doua

zerouri ın (a,b). Evident, daca x(b) = 0, atunci bτ este zeroul cautat.

Trebuie spus ca nu orice ecuatie (2.1) cu coeficientul functional q pozitiv are

solutii cu zerouri. Astfel, este cunoscuta ecuatia lui Euler (γ > 0)

x′′+ γt−2x = 0, t > 0, (2.3)

avand solutia generala

x(t) = c1tc + c2t1−c, c2 − c+ γ = 0 (adica, γ ∈(

0, 14

)

);x(t) = c1

√t + c2

√t log t, γ = 1/4;

x(t) = c1

√t cos

(

√

γ − 14

log t

)

+ c2

√t sin

(

√

γ − 14

log t

)

, γ > 1/4,

unde c1,2 ∈ R, cf. [71, p. 4].

Propozitia 2 Presupunem ca q(t) ia numai valori negative. Daca exista b> a astfel

ıncat x(b) = 0, atunci ecuatia algebrica Pa(z) = 0 are o solutie ın (0,b−a).

Demonstratie. Presupunand ca b este cel mai mic zero al solutiei x mai mare

decat a, ceea ce ne conduce la x(bτ) 6= 0, si observand ca solutia x are numai val-

ori pozitive ın (a,b) – adica, x(bτ) > 0 – deducem ca Pa(b− a) < 0. Am folosit

reprezentarea lui x(t) pe baza formulei lui Taylor din demonstratia anterioara. Ast-

fel, Pa(0) ·Pa(b−a)< 0 si concluzia rezulta pe baza lemei lui Cesaro.

Evident, daca ecuatia algebrica Pa(z) = 0 nu admite solutii pozitive, atunci

solutia x(t) a ecuatiei (2.1) nu are zerouri ın (a,+∞). O asemenea situatie (ream-

intim ca q(t)< 0 pentru orice t ≥ t0) se ıntalneste atunci cand x(a)> 0, x(k)(a)≥ 0.

Conditii de acest fel se folosesc, de exemplu, ın teoria ecuatiilor diferentiale ordinare

de tip Emden–Fowler. Mai precis, o astfel de ecuatie are proprietatea S daca pentru

orice t1 suficient de mare din domeniul de definitie [t0,+∞) al coeficientilor exista

numarul η(t1)> 0 astfel ıncat toate solutiile x, definite ın t0, ale ecuatiei respective

sa verifice relatiile x(i)(t1)≥ 0, unde 0 ≤ i ≤ n−2, si x(n−1)(t1)≥ η(t1), cf. [28, p.

68].

Sa analizam acum o problema mai complicata. Daca solutia x(t) a ecuatiei (2.1)

are n zerouri ın [a,b], atunci, conform teoremei lui Fermat, derivata x′(t) are n− 1

zerouri ın [a,b], . . . , derivata x(n−1)(t) are un zero ın [a,b]. Este natural sa ıntrebam:

cat de mic poate fi un interval ce contine macar cate un zero al functiilor x, x′, . . . ,

x(n−1), unde x(t) este solutia unei ecuatii diferentiale ordinare liniare omogene de

ordinul n?

Rezultatul urmator, dat ıntr-un cadru general, ofera un raspuns ıntrebarii noastre.

Mai precis, sa consideram sistemul diferential (m ≥ 2)

2.1 Zerourile solutiei unei ecuatii diferentiale liniare 11

dx1dt

= f1(t,x1, . . . ,xm). . . . . . . . . . . . . . . . . .

dxmdt

= fm(t,x1, . . . ,xm).

(2.4)

Functiile fi : [a,b]×Rm → R sunt lipschitziene,

| fi(t,y1, . . . ,yn)− fi(t,x1, . . . ,xn)| ≤n

∑k=1

Lk|yk − xk|, t ∈ [a,b], xi,yi ∈ R,

unde Lk > 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ m.

Teorema 6 (W.B. Fite, [14, Theorem VII]) Sa presupunem ca (x1(t), . . . ,xm(t)) si

(y1(t), . . . ,ym(t)) sunt solutii distincte ale sistemului (2.4). Daca exista punctele

(ti)i∈1,m ın (a,b) astfel ıncat xi(ti) = yi(ti), unde 1 ≤ i ≤ m, atunci

b−a >1

m

∑k=1

Lk

. (2.5)

Demonstratie. Conform teoremei Leibniz-Newton, avem

|yi(t)− xi(t)|= |(yi − xi)(t)− (yi − xi)(ti)|=∣

∣

∣

∣

∫ t

ti

d(yi − xi)

ds(s)ds

∣

∣

∣

∣

≤∣

∣

∣

∣

∫ t

ti

| fi(s,y1(s), . . . ,ym(s))− fi(s,x1(s), . . . ,xm(s))|ds

∣

∣

∣

∣

≤(

m

∑k=1

LkMk

)

· (b−a), t ∈ [a,b],

unde Mk = supτ∈[a,b]

|yk(τ)− xk(τ)|, respectiv

Mi ≤(

m

∑k=1

LkMk

)

· (b−a), 1 ≤ i ≤ m.

Prin sumare, obtinem

m

∑i=1

LiMi ≤(

m

∑k=1

LkMk

)(

m

∑i=1

Li

)

(b−a).

In concluzie, saum

∑k=1

LkMk = 0, ceea ce ınseamna ca solutiile coincid pe ıntreg

intervalul [a,b], sau are loc (2.5).

In cazul particular cand fi(t,0, . . . ,0) = 0 pentru orice t ∈ [a,b], unde i ∈ 1,m,

Teorema 6 stabileste o margine inferioara a lungimii intervalului pe care toate com-

ponentele unei solutii (vectoriale) a sistemului (2.4) se pot anula macar o data.


Situatia se ıntalneste scriind ecuatia diferentiala liniara omogena de ordinul n ca

un sistem liniar (m = n). Aceste rezultate au fost inaugurate de W.B. Fite ın 1917,

vezi [14, p. 350]. Pentru ecuatia (2.1) cand n = 2, Teorema 6 ofera o estimare a

intervalului compact de disconjugare, vezi [9, Chapter 1].

Asemenea chestiuni au condus la probleme privind focalitatea/disfocalitatea

ecuatiilor diferentiale ordinare. Astfel, ın sensul lui J.S. Muldowney [46, p. 49],

ecuatia diferentiala liniara

x(n)+n

∑k=1

qk(t)x(n−k) = 0 (2.6)

este disfocala la dreapta pe intervalul I daca singura solutie care satisface conditiile

x(i−1)(ti) = 0, i ∈ 1,n, unde t1 ≤ . . . ≤ tn se gasesc ın I, este solutia nula. In [13,

Theorem 2.5] este dat urmatorul rezultat de disfocalitate.

Teorema 7 (Eloe, Henderson, 1988) Daca functiile continue qk : [t0,+∞) → R

verifica formulele

∫ +∞

t0

tk−1|qk(t)|dt =+∞,

atunci exista a > t0 astfel ıncat ecuatia (2.6) sa fie disfocala la dreapta pe [a,+∞).

Rezultate interesante ın problema duala, cea a focalitatii la dreapta pe intervalul

I, pentru o clasa de ecuatii diferentiale neliniare pot fi citite ın [1].

Un rezultat ilustrativ ın cazul coeficientului functional q(t) fara semn predefinit

se gaseste ın [41, Proposition 1, Theorem 2].

Teorema 8 (Markvorsen, 1988) Fie problema valorii initiale

(r(t)x′)′+q(t)x = 0, t ≥ a,x(a) = 1, x′(a) = 0,

(2.7)

unde functia r : [a,+∞)→ (0,+∞) este de clasa C1 iar functia q : [a,+∞)→R este

continua.

Daca exista k > 0 astfel ıncat r(t)q(t)≤ k2 si

∣

∣

∣

∣

∫ t

a

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds

∣

∣

∣

∣

<π2

pentru orice t ∈ [a,b], (2.8)

atunci solutia x(t) a problemei (2.7) nu are nici un zero ın (a,b].In schimb, daca ınlocuim estimarea (2.8) cu

∫ b

a

q(s)

kds ≥ π

2,

atunci solutia x(t) a problemei (2.7) are un zero ın (a,b].

2.1 Zerourile solutiei unei ecuatii diferentiale liniare 13

Demonstratie. Exista un mic interval (maximal) I ⊆ [a,b] pe care x(t) > 0.

Atunci, putem introducem marimea de tip Prufer

y(t) = arctan

(−r(t)x′(t)kx(t)

)

, t ∈ I.

Evident, y(a) = 0.

Clasic, transformarea Prufer (metoda coordonatelor polare) este data prin

ρ(t) =√

[x(t)]2 +[r(t)x′(t)]2

φ(t) = arctan(

x(t)r(t)x′(t)

)

,

vezi [19, p. 332].

Presupunem prin absurd ca ar exista un zero al solutiei x(t) ın (a,b], ceea ce

ınseamna ca i⋆ = sup I /∈ I (I este maximal), respectiv i⋆ ≤ b. De asemeni, x(i⋆) = 0.

Deoarece problema Cauchy atasata ecuatiei diferentiale are solutie unica, deducem

ca x′(i⋆) 6= 0. Daca am avea x′(i⋆) > 0, atunci x ar lua valori negative pe un mic

interval situat la stanga lui i⋆, adica ın I, contradictie. Asadar, x′(i⋆) < 0, deci

limtրi⋆

y(t) = π2

.

Afirmatie Vom dovedi ca y(t)< π4

pentru orice t ∈ I.

Prin calcul direct obtinem relatiile

cos2 y(t) =k2[x(t)]2

k2[x(t)]2 +[r(t)]2[x′(t)]2, sin2 y(t) =

[r(t)]2[x′(t)]2

k2[x(t)]2 +[r(t)]2[x′(t)]2.

In continuare,

y′(t) =q(t)

kcos2 y(t)+

k

r(t)sin2 y(t)

=1

2

[

q(t)

k+

k

r(t)

]

+1

2

[

q(t)

k− k

r(t)

]

cos2y(t).

Remarcam ca a doua paranteza patrata din formula lui y′ este nepozitiva pentru orice

t ∈ I. Astfel, daca avem cos2y(t)≥ 0, atunci y′(t)≤ 12

[

q(t)k

+ kr(t)

]

.

Deoarece y(a) = 0 putem vorbi de existenta (eventuala) a unui a⋆ < i⋆ astfel ıncat

|y(t)|< π4

pentru t ∈ [a,a⋆) si |y(a⋆)|= π4

. Cu alte cuvinte, a⋆ este momentul ın care

y(t) ar atinge pentru prima data una din valorile ±π4

. In caz contrar, demonstratia se

ıncheie.

Estimarea

y(t) =∫ t

ay′(s)ds ≤ 1

2

∫ t

a

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds <π4, t ∈ [a,a⋆],


conform (2.8), arata ca y(t) este majorat strict de π4

atat timp cat el ia valori mai

mari sau egale cu −π4

(adica, cos2y(t)≥ 0). In particular, y(a⋆) =−π4

.

Asadar, ın [a⋆, i⋆) raman de investigat urmatoarele situatii: (1) y(t)≤−π4

pentru

orice t; (2) y(t)≥−π4

pentru orice t; (3) exista [α,β ) astfel ıncat |y(t)|< π4

pentru

t ∈ [α,β ) si y(α) =−π4

(adica, y(t) reintra ın[

−π4, π

4

]

).

Atunci, noua estimare

y(t) = y(α)+∫ t

αy′(s)ds ≤−π

4+

1

2

∫ t

α

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds

=

−π4− 1

2

∫ α

a

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds

+1

2

∫ t

a

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds

<1

2

∫ t

a

[

k

r(s)+

q(s)

k

]

ds <π4, t ∈ [α,β ),

probeaza Afirmatia.

Partea a doua a demonstratiei se bazeaza pe observatia ca

y′(t) =q(t)

k+

[

k

r(t)− q(t)

k

]

sin2(t)≥ q(t)

k, t ∈ I,

si pe metoda reducerii la absurd.

O serie de cercetari mai avansate (teste tip C. de la Vallee Poussin pentru esti-

marea intervalului de disconjugare, analize ale existentei unui sistem fundamental

de solutii ın sensul lui A.Yu. Levin) pot fi citite ın [39, 69].

2.2 Semnul derivatelor. Lemele lui I.T. Kiguradze

Vom presupune ca, ın cele ce urmeaza, coeficientul q al ecuatiei (2.1) ia numai

valori pozitive. Daca x este o solutie cu semn constant nenul a acestei ecuatii, atunci,

cum x(n) nu va admite zerouri ın intervalul sau de existenta (vezi formula ecuatiei),

sirul lui Rolle ne asigura ca functia x′ se poate anula de cel mult n− 1 ori. Astfel,

solutia cu semn constant nenul x este eventual monotona.

Lema 1 ([14, Theorem IV]) Fie x o solutie netriviala a ecuatiei (2.1). Daca∫ +∞

t0q(t)x(t)dt = +∞, atunci x oscileaza. In plus, ea trece de la valori pozitive la

valori negative de o infinitate de ori ın intervalul de existenta.

Demonstratie. Sa presupunem ca, prin absurd, x trece de la valori pozitive la

valori negative de (cel mult) un numar finit de ori. Atunci, x(t) ≥ 0 pentru orice

t ≥ t1 suficient de mare (putem avea zerouri). Evident, semnul lui q si valoarea

integralei din enunt ne arata ca x(t) nu poate deveni eventual nepozitiv.

Integrand (2.1) pe [t1, t], obtinem

x(n−1)(t) = x(n−1)(t1)−∫ t

t1

q(s)x(s)ds →−∞ cand t →+∞,

2.2 Semnul derivatelor. Lemele lui I.T. Kiguradze 15

de unde, conform regulii lui L’Hopital, avem

limt→+∞

x(n−1)(t) = (n−1)! · limt→+∞

x(t)

tn−1=−∞.

In particular, solutia x devine eventual negativa, o contradictie.

O consecinta imediata a Lemei 1 se refera la cazul cand, ın afara semnului impus,

coeficientul q verifica si conditia

∫ +∞q(t)dt =+∞. (2.9)

Astfel, nu poate exista o solutie x a ecuatiei (2.1) cu liminft→+∞

x(t) = x⋆ > 0. Cum liniar-

itatea ecuatiei ne permite sa ıl ınlocuim pe x cu −x, o concluzie asemanatoare se

trage si pentru eventualele solutii x cu proprietatea ca limsupt→+∞

x(t) = x⋆ < 0. Asadar,

daca exista solutii cu semn constant nenul ale ecuatiei (2.1), ın ipoteza ca (2.9) are

loc, acestea vor tinde la 0 eventual monoton.

Cu o mica modificare a demonstratiei de la Lema 1, putem deduce si faptul

urmator. Daca x este o functie de clasa Cn cu valori reale astfel ıncat liminft→+∞

x(t) ≥M > −∞, atunci limsup

t→+∞x(n)(t) ≥ 0. O atare concluzie se obtine ınlocuind tehnica

bazata pe regula lui L’Hopital cu o integrare iterata.

Lema 2 Fie x : [t0,+∞) → R o functie de clasa Cn avand proprietatea ca liminft→+∞

x(t)≥ M >−∞. Daca x(n) nu este identic nula pe niciun subinterval al domeniului

de existenta si stim ca

x(k)(t)≤ 0 pentru orice t ≥ t0,

unde 2 ≤ k ≤ n este fixat, atunci vom avea

x(k−1)(t)> 0 pentru orice t ≥ t0.

Demonstratie. Sa presupunem ca ar exista t1 ≥ t0 cu proprietatea ca x(k−1)(t1)<0. Ipoteza privind x(k) ne arata ca functia x(k−1) este monoton necrescatoare, deci

x(k−1)(t) ≤ x(k−1)(t1) < 0 pentru orice t ≥ t1. De aici rezulta ca limsupt→+∞

x(k−1)(t) ≤

x(k−1)(t1) si, conform observatiei de dinaintea Lemei 2, limt→+∞

x(t) = −∞, ceea ce

este o contradictie. Deci, x(k−1)(t)≥ 0 pentru orice t ≥ t0. Daca exista t2 ≥ t0 astfel

ıncat x(k−1)(t2) = 0, atunci x(k−1)(t) ≤ 0 pentru orice t ≥ t2, de unde x(k−1) ≡ 0 ın

[t2,+∞). Aceasta ınseamna ca x(n) devine identic nula pe [t2,+∞), o contradictie.

Un rezultat dual are loc.

Lema 3 Fie x : [t0,+∞) → R o functie de clasa Cn avand proprietatea ca limsupt→+∞

x(t)≤ M <+∞. Daca x(n) nu este identic nula pe niciun subinterval al domeniului

de existenta si stim ca


x(k)(t)≥ 0 pentru orice t ≥ t0,

unde 2 ≤ k ≤ n este fixat, atunci vom avea

x(k−1)(t)< 0 pentru orice t ≥ t0.

Urmatoarele doua leme permit aprofundarea discutiei.

Lema 4 Fie x : [t0,+∞)→ [0,+∞) o functie de clasa Cn. Daca stim ca

x(k)(t)≥ 0 pentru orice t ≥ t0,

unde 2 ≤ k ≤ n este fixat, atunci are loc urmatoarea alternativa:

sau (i)

x(k−1)(t)≤ 0 si x(k−2)(t)≥ 0 pentru orice t ≥ t0.

In plus, limt→+∞

x(k−1)(t) = 0 si limt→+∞

x(k−2)(t) ∈ [0,+∞).

sau (ii) exista t1 ≥ t0 astfel ıncat

x(k−1)(t),x(k−2)(t)> 0 pentru orice t ≥ t1.

Aici, limt→+∞

x(k−1)(t) ∈ (0,+∞], limt→+∞

x(k−2)(t) = +∞.

Demonstratie. Cum x(k−1) este monoton nedescrescatoare ın [t0,+∞) deducem

ca limt→+∞

x(k−1)(t) = lk−1 ∈ [0,+∞]. Apar doua situatii: (1) lk−1 = 0, respectiv (2)

lk−1 > 0.

In situatia (1) avem x(k−1)(t) ≤ lk−1 = 0 pentru orice t ≥ t0. Atunci, x(k−2) este

monoton necrescatoare ın [t0,+∞), deci x(k−2)(t)≥ lk−2 ≥ 0, unde limt→+∞

x(k−2)(t) =

lk−2 ∈ [0,+∞).In situatia (2) exista T ≥ t0 astfel ıncat 0< x(k−1)(t)≤ lk−1 ≤+∞ pentru orice t ≥

T . Atunci, x(k−2) este monoton crescatoare ın [T,+∞), deci exista limt→+∞

x(k−2)(t) =

lk−2 ∈ [0,+∞]. In plus, conform regulii lui L’Hopital,

limt→+∞

x(k−2)(t)

t= lk−1 > 0, (2.10)

deci exista t1 ≥ T astfel ıncat x(k−2)(t) > 0 pentru orice t ≥ t1. In plus, lk−2 = +∞.

Lema 5 Fie x : [t0,+∞)→ [0,+∞) o functie de clasa Cn. Daca stim ca

x(k)(t)≤ 0 pentru orice t ≥ t0,

unde 2 ≤ k ≤ n este fixat, atunci are loc urmatoarea alternativa:

sau (i)


x(k−1)(t)≥ 0 si x(k−2)(t)≤ 0 pentru orice t ≥ t0.


x(k−1)(t) = limt→+∞

x(k−2)(t) = 0.

sau (ii)

x(k−1)(t)≥ 0 pentru orice t ≥ t0

si exista t1 ≥ t0 astfel ıncat

x(k−2)(t)> 0 pentru orice t ≥ t1.

Aici, limt→+∞

x(k−1)(t) ∈ [0,+∞) si limt→+∞

x(k−2)(t) ∈ (0,+∞].

Demonstratie. Cum x(k−1) este monoton necrescatoare ın [t0,+∞), avem x(k−1)

(t) ≥ lims→+∞

x(k−1)(s) = lk−1 ∈ [0,+∞). Astfel, functia x(k−2) este monoton nedes-

crescatoare ın [t0,+∞). Exista lk−2 = limt→+∞

x(k−2)(t) ∈ [0,+∞]. Apar doua situatii:

(1) lk−2 = 0, respectiv (2) lk−2 > 0.

In situatia (1) avem obligatoriu lk−1 = 0. Intr-adevar, daca lk−1 > 0 atunci are

loc (2.10). Ceea ce ınseamna ca x(k−2) devine eventual pozitiva, ın contradictie cu

x(k−2)(t)≤ lk−2 = 0 ın [t0,+∞). Estimari de acest fel au condus la urmatoarele rezultate fundamentale, cunoscute

sub numele de lemele lui I.T. Kiguradze*.

Lema 6 ([29, p. 177]) Fie x : [t0,+∞)→ [0,+∞) o functie de clasa Cn avand pro-

prietatea ca x(n)(t)≤ 0 pentru orice t ≥ t0. Atunci, exista t1 ≥ t0 si numarul natural

L, unde 0 ≤ L ≤ n−1, avand paritatea diferita de cea a lui n, astfel ıncat

x(n)(t)≤ 0,x(n−1)(t)≥ 0,x(n−2)(t)≤ 0,x(n−3)(t)≥ 0, . . . ,x(L+1)(t)≤ 0 (2.11)

si

x(t),x′(t), . . . ,x(L)(t)≥ 0 (2.12)

pentru orice t ≥ t1. In plus, avem

x(L−i)(t)≥ (t − t1)i

i!x(L)(t), 0 ≤ i ≤ L, (2.13)

ın (t1,+∞).

Demonstratie. Existenta lui L se datoreaza Lemelor 4, 5. Din (2.11) deducem ca

numerele L+1 si n au aceeasi paritate.

Pentru a stabili inegalitatea (2.13), aplicam formula lui Taylor, si anume

x(L−i)(t) =L−1

∑k=L−i

x(k)(t1)(t − t1)

k−(L−i)

[k− (L− i)]!+ x(L)(tτ)

(t − t1)L−(L−i)

i!

* Sunt ındatorat dlui. ing. Roland Svart pentru o serie de lamuriri privind textul original.


≥ x(L)(tτ)(t − t1)

L−(L−i)

i!, t > t1,

unde tτ = t1 + τ(t − t1) si τ ∈ (0,1). Am tinut seama de (2.12). Inegalitatea (2.13)

rezulta din estimarea precedenta daca remarcam ca functia x(L) este monoton

necrescatoare, vezi (2.11).

Functia x din Lema 6 este adesea numita de grad L, vezi e.g. [15, p. 150] ori

[48, p. 2]. Facem observatia ca marimea t1 din (2.11), (2.12) nu poate fi, ın general,

ınlocuita cu t0. Acest fapt este ilustrat de functia x : [1,+∞)→ [0,+∞) cu formula

x(t) = (t −2)2 + t ln t. Avem x(t)> 0, x′′(t)> 0 si x′′′(t)< 0 ın [1,+∞). In schimb,

x′(1)< 0 si limt→+∞

x′(t) = +∞.

Lema 7 ([30, p. 996]) Daca x : [t0,+∞)→ [0,+∞) este o functie de grad L atunci,

pastrand notatiile Lemei 6, are loc inegalitatea

x(t)≥ (t − t1)n−1

(n−1) · · ·(n−L)x(n−1)(2n−1−Lt) pentru orice t ≥ t1. (2.14)

Demonstratie. Conform Lemei 5, avem lk = 0 † pentru orice k ∈ L+1,n−1 si

lL ∈ [0,+∞).Aplicand teorema Leibniz-Newton, deducem ca

−x(n−2)(t) = −ln−2 +∫ +∞

tx(n−1)(s)ds =

∫ +∞

tx(n−1)(s)ds

≥∫ 2t

tx(n−1)(s)ds ≥ tx(n−1)(2t), t > t1.

Am tinut seama de semnul si monotonia functiei x(n−1), cf. (2.11). Analog, avem

x(n−3)(t) ≥ −∫ +∞

tx(n−2)(s)ds ≥

∫ +∞

tsx(n−1)(2s)ds

≥∫ 2t

tsx(n−1)(2s)ds ≥ x(n−1)(4t) · 3

2t2

≥ t2x(n−1)(4t), t > t1.

Se ajunge la

x(L)(t)≥ lL + tn−1−Lx(n−1)(2n−1−Lt)≥ tn−1−Lx(n−1)(2n−1−Lt) (2.15)

pentru orice t > t1.

O noua integrare, pe baza (2.12), (2.15), ne conduce la

x(L−1)(t) = x(L−1)(t1)+∫ t

t1

x(L)(s)ds ≥∫ t

t1

sn−1−Lx(n−1)(2n−1−Ls)ds

†Asemenea estimari ale limitelor derivatelor se gasesc la Kneser [33, p. 435], cf. [14, p. 347, nota

de subsol (*)].


≥∫ t

t1

(s− t1)n−1−Lx(n−1)(2n−1−Ls)ds,

respectiv la (vezi (2.11))

x(L−1)(t)≥ x(n−1)(2n−1−Lt) ·∫ t

t1

(s− t1)n−1−Lds =

(t − t1)n−L

n−Lx(n−1)(2n−1−Lt).

Repetand procedeul de L−1 ori, obtinem inegalitatea (2.14).

Combinand concluziile Lemelor 2, 3, 6, obtinem rezultate intermediare.

Lema 8 (Grammatikopoulos, Sficas, Staikos, 1979, cf. [17, Lemma 1]) Fie x :

[t0,+∞) → (0,+∞) o functie de clasa Cn avand proprietatea ca x(n) este nepozi-

tiva si nu devine identic nula pe niciun subinterval al lui [t0,+∞). Atunci, exista

t1 ≥ t0 si numarul natural L, unde 0 ≤ L ≤ n−1, avand paritatea diferita de cea a

lui n, astfel ıncat

x(n−1)(t)> 0,x(n−2)(t)< 0, . . . ,x(L)(t)> 0 (2.16)

si

x′(t), . . . ,x(L−1)(t)> 0 (cand L ≥ 2) (2.17)

pentru orice t ≥ t1.

Aplicatii interesante ale lemelor lui Kiguradze ın teoria oscilatiilor pentru ecuatii

diferentiale ordinare si functionale pot fi citite, de exemplu, ın [38, 35, 48].

Investigarea existentei si/sau comportamentului unor solutii ale diverselor fami-

lii de ecuatii diferentiale ordinare si functionale ce sunt caracterizate de proprietati

ın genul celor din (2.11), (2.12), desi nu neaparat ın legatura cu contributia lui Kig-

uradze, constituie un subiect important de cercetare. Vezi clasele MNν de solutii din

[20], Nl si Pl din [35, 36] (acestea legate de lemele lui Kiguradze), Sk± din [37], A,B

din [42] ori Iµ , IIµ din [4].

Asemenea consideratii (Lemele 2–5) – legate de asa-numitele proprietati A si B,

respectiv solutiile Kneser, cf. [31, pp. 1, 179–180, 212] – origineaza din lucrarile lui

A. Kneser, vezi [33, 34], [72, p. 592].

Caracterizari interesante ale ecuatiei (2.1) ın cazul unui coeficient functional q cu

valori nepozitive se datoreaza lui A. Wintner [72, 74]. Mai precis, daca q : [0,+∞)→(−∞,0] este continua, atunci ecuatia x′′+ q(t)x = 0, pentru t ≥ 0, poseda o solutie

care se scrie astfel

x(t) = c+∫ +∞

0X(s)cos(ts)ds, t ≥ 0, (c ∈ R)

unde c = limt ′→+∞

x(t ′) si X este o functie continua ce ia numai valori pozitive (vezi

[72, Appendix]). In plus, c = 0 daca si numai daca∫ +∞

0 tq(t)dt =−∞.

De asemeni, daca q este de clasa Cm si (−1) jq( j)(t)≤ 0 ın [t0,+∞) pentru orice

j ∈ 0,m, atunci ecuatia poseda o solutie x cu proprietatea ca (−1)kx(k)(t)≥ 0 pentru


orice t ≥ t0 si orice k ∈ 0,m+1, cf. [74, (7m), p. 93], [19, p. 514]. Solutia admite

reprezentarea integrala

x(t) =∫ +∞

0e−(t−t0)rdφ(r), t ≥ t0,

unde φ : [0,+∞)→ [0,+∞) este o aplicatie monotona, nu neaparat marginita, vezi

[74, p. 91].

Urmatorul rezultat, ın spiritul discutiei de pana acum, ıi apartine lui M. Svec [62,

pp. 8, 10–11].

Lema 9 Presupunem ca n ≥ 3 este impar si q(t) ia numai valori nenegative ın

[t0,+∞). Atunci, ecuatia (2.1) admite o solutie x astfel ıncat

sau ”(−1)ix(i)(t)> 0 pentru orice t ≥ t0, 0 ≤ i ≤ n−1”

sau ”(−1)ix(i)(t)< 0 pentru orice t ≥ t0, 0 ≤ i ≤ n−1”

si

limt→+∞

x(i)(t) = 0, 0 ≤ i ≤ n−1, si limt→+∞

x(t) = x∞ ∈ R.

In plus, x∞ = 0 daca si numai daca∫ +∞

t0tn−1q(t)dt = 0.

In demonstratia sa, M. Svec [62, pp. 8–9] obtine estimari de tipul (2.11), (2.12)

(pentru L = 0) analizand ce se ıntampla cu semnul derivatelor ın trecutul de forma

[t0, t0 +m] al unui sir de solutii (xm)m≥1 ale ecuatiei (2.1). Solutia cautata va fi chiar

limita acestui sir special construit. Contributia lui M. Svec [62, II] cu privire la

comportamentul pe termen lung al solutiilor cu alura predefinita ale unei clase largi

de ecuatii diferentiale neliniare este extrem de interesanta din punctul de vedere al

chestiunilor discutate ın [47, Capitolul 3].

O clasificare importanta a solutiilor ecuatiilor diferentiale ordinare liniare din

punctul de vedere al semnului derivatelor se gaseste ın [12]. Alte rezultate si o

discutie privind asemenea clasificari pot fi citite ın [7].

2.3 Criteriul integral al lui W.B. Fite

In 1918, W.B. Fite [14, Theorem V] stabileste primul criteriu integral de

oscilatie a unei ecuatii diferentiale ordinare liniare, cf. [77, p. 417].

Teorema 9 (Fite) Daca q(t) ia numai valori pozitive si

∫ +∞

t0

q(t)dt =+∞, (2.18)

2.3 Criteriul integral al lui W.B. Fite 21

atunci orice solutie x a ecuatiei (2.1) va oscila (i.e. va avea o infinitate de zerouri

ın [t0,+∞)) cand n este par, respectiv sau va oscila sau va tinde eventual monoton

catre 0 cand n este impar.

Demonstratie. Faptul ca solutiile (eventuale) cu semn constant nenul tind mono-

ton la 0 rezulta din discutia de la Lema 1. Sa presupunem ca x este o astfel de solutie

a ecuatiei (2.1). Mai precis, x(t) > 0 pentru orice t ≥ T ≥ t0. Daca n este par, con-

form Lemelor 2, 3, x′′(t) < 0 (avem x(n)(t) = −q(t)x(t) < 0), respectiv x′(t) > 0

pentru orice t ≥ T . Astfel, functia x este crescatoare ın [T,+∞). Cum x(T ) > 0,

vom obtine liminft→+∞

x(t) ≥ x(T ) > 0. Evident, am ajuns la o contradictie, deci toate

solutiile au cate o infinitate de zerouri ın [t0,+∞). In schimb, cand n este impar, apli-

carea iterata a Lemelor 2, 3 ne conduce la x′(t)< 0 pentru orice t ≥ T . Din aceasta

afirmatie nu rezulta nici o contradictie. Are loc, asadar, alternativa din enunt.

Faptul ca nu putem renunta la aceasta alternativa este ilustrat de exemplul

urmator. Ecuatia

x(3)+ x = 0, t ≥ t0 = 1,

are solutia x1(t) = e−t care tinde monoton la 0 cand t → +∞, respectiv solutia

x2(t) = et/2 sin(√

32

t)

nemarginita si oscilatorie (cf. [43, p. 34]).

Semnul coeficientului q nu este necesar ın chestiunea oscilatiei pentru ecuatia

(2.1), fapt stabilit de Wintner [73] ın 1949: daca ipoteza (2.9) este ınlocuita cu forma

mai flexibila privitoare la media sa, si anume

limT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτ =+∞, (2.19)

atunci ecuatia (2.1) ın cazul n = 2 este oscilatorie. Astfel sunt inaugurate criteri-

ile de medie integrala ın teoria oscilatiilor pentru ecuatiile diferentiale ordinare si

functionale, cf. [54, p. 260]. Trebuie mentionat ca, atunci cand q(t) este nenegativ

ın [t0,+∞), pentru ca ecuatia (2.1) sa fie neoscilatorie este necesar ca integrala din

(2.9) sa fie convergenta, vezi [74, p. 96].

Exemplul oferit de ecuatia (2.3) ın cazul γ > 14

arata ca, pentru un coeficient

functional q(t) nenegativ, absenta conditiei (2.18) nu exclude oscilatiile ecuatiei

(2.1). In schimb, distanta dintre doua zerouri consecutive ale unei solutii oscilatorii

tinde catre infinit pe masura ce zerourile cresc, cf. [16, p. 178]. Vezi si [19, p. 511].

Teorema 10 (Gagliardo, 1953, cf. [16, Teorema II]) Daca functia continua q(t)ia numai valori nenegative,

∫ +∞t0

q(t)dt < +∞ si (tm)m≥1 este sirul de zerouri ale

solutiei oscilatorii x a ecuatiei (2.1) ın cazul n = 2, atunci seria ∑m≥1

1tm+1−tm

este

convergenta.


2.4 Teorema de oscilatie Fite–Mikusinski

In aceeasi lucrare, Fite [14, Theorem VI] arata ca concluziile Teoremei 9 privind

ecuatia (2.1) raman valabile daca ınlocuim conditia integrala (2.9) cu o restrictie

permisiva dar de tip punctual, adica cu

q(t)≥ c

tmpentru t ≥ t0, (2.20)

unde c > 0 si 0 ≤ m < n. Optimalitatea acestei estimari a numarului m este dovedita

cu ajutorul unui exemplu ın situatia m = n = 4, cf. [14, p. 349].

Mai precis, fie 1 ≤ p ≤ n− 1 numar natural astfel ıncat n− p sa fie impar si fie

q ∈ (p−1, p). Coeficientul functional al ecuatiei (2.1) dat de

q(t) = −q(q−1) · · ·(q−n+1) · 1

tn

= q(q−1) · · ·(q− p+1)(p−q) · · ·(n−1−q) · 1

tn, t ≥ t0,

verifica inegalitatea (2.20) ın cazul m = n. Insa ecuatia admite solutia neoscilatorie

nemarginita x(t) = tq ın [t0,+∞).Rezultatul lui Fite constituie o generalizare a teoremelor de oscilatie privitoare

la cazul m = 0 (i.e. q(t)≥ c > 0) obtinute de Sturm [64] ın 1836 (n = 2), respectiv

Kneser [33] ın 1893 (n ≥ 3).

In 1951, J.G. Mikusinski [43, Eq. (8)] ınlocuieste conditia (2.20) cu o ipoteza

integrala.

Conditia lui Mikusinski Fie M > 1 si A : [t0,+∞) → [0,+∞) o functie continua

astfel ıncat pentru orice t1 > t0 si α ∈ [0,1) exista t2 > t1 si K > 0 cu proprietatea

ca

∫ t

t1

∫ t

s(τ − s)M−2+αA(τ)dτds ≥ K(t − t2)

α , t ≥ t2. (2.21)

Un caz particular este dat de restrictia

tMA(t)≥C > 0, t ≥ t0.

Intr-adevar, pentru t ≥ t1 putem scrie ca

∫ 4t

t1

∫ 4t

s(τ − s)M−2+αA(τ)dτds ≥

∫ t

t1

∫ 4t

2t

(τ2

)M−1 A(τ)(τ − t1)1−α dτds

≥ C

2M−1(t − t1)

∫ 4t

2t

dττ(τ − t1)1−α =

C ln2

2M−1· t − t1

(4t − t1)1−α ,

ceea ce ne conduce imediat la (2.21).

2.4 Teorema de oscilatie Fite–Mikusinski 23

Teorema 11 (Fite, Mikusinski) Presupunem ca functia q : [t0,+∞) → [0,+∞) ve-

rifica conditia lui Mikusinski (2.21) pentru M = n− ε , unde ε ∈ (0,1) este fixat.

Atunci, daca n este impar orice solutie a ecuatiei (2.1) sau oscileaza sau tinde even-

tual monoton la 0. In schimb, daca n este par, atunci toate solutiile oscileaza ın

[t0,+∞).

Demonstratie. Imbunatatirea adusa de Mikusinski demonstratiei originale a lui

Fite [14, pp. 347–349] consta ıntr-o estimare bazata pe functia Γ a lui Euler ‡.

Astfel, find dat α ∈ (0,1), daca functia f : [t0,+∞)→ R este continua avem

∫ t

t0

f (s)ds =sinπα

π

∫ t

t0

1

(t − s)α

∫ s

t0

f (u)

(s−u)1−α duds, t ≥ t0. (2.22)

Pe baza (2.22), Mikusinski [43, p. 36] arata ca (2.21) este o consecinta a conditiei §∫ +∞

tM−1A(t)dt =+∞.

Sa presupunem ca exista o solutie x a ecuatiei (2.1) astfel ıncat

x(t)≥ k > 0, t ≥ T > t0.

Atunci,

x(n−1)(t ′) = x(n−1)(t)−∫ t ′

tq(s)x(s)ds

≤ x(n−1)(t)− k

∫ t ′

tq(s)ds, t ′ ≥ t ≥ T.

Apar doua situatii: (1)∫ +∞

q(s)ds = +∞, respectiv (2)∫ +∞

q(s)ds < +∞. In (1),

la fel ca ın demonstratia Lemei 1, deducem ca limt ′→+∞

x(n−1)(t ′) = −∞, fapt ce va

implica eventual negativitatea functiei x si ıncheierea demonstratiei principale.

Sa consideram ca, de-acum ınainte, ne aflam ın situatia (2). Calculul anterior ne

conduce la

k

∫ +∞

tq(s)ds ≤ k

∫ +∞

tq(s)ds+ lim

t ′→+∞x(n−1)(t ′)≤ x(n−1)(t), t ≥ T.

Din nou,

x(n−2)(t ′)≥ x(n−2)(t)+ k

∫ t ′

t

∫ +∞

sq(τ)dτds, t ′ ≥ t ≥ T.

Apar doua situatii: (2.1) limt ′→+∞

x(n−2)(t ′)> 0, respectiv (2.2) limt ′→+∞

x(n−2)(t ′) = 0.

‡O prezentare usor de urmarit a proprietatilor functiei Γ se gaseste ın tratatul de calcul al lui

Serret [59, Chapitre III].

§ In forma sa originala, contributia lui Mikusinski contine erori. Astfel, ipoteza [43, Eq. (6)] este

verificata de contraexemplul prezentat anterior. Apoi, ın ultimul rand al sirului de relatii [43, Eq.

(9)] primul semn ”≥” trebuie ınlocuit cu ”≤”, fapt ce compromite estimarea. In schimb, ipoteza

[43, Eq. (7)], si anume∫ +∞

tn−1−ε q(t)dt =+∞, ramane de pionierat, cf. [53, p. 177].


Lasand-o pe prima deoparte pentru moment, sa observam ca ın (2.2) avem ‖

k

∫ +∞

t(s− t)q(s)ds = k

∫ +∞

t

∫ +∞

sq(τ)dτds ≤−x(n−2)(t)<+∞, t ≥ T.

In particular,∫ +∞

sq(s)ds <+∞. O noua integrare ne conduce la

k

2

∫ +∞

t(s− t)2q(s)ds+ lim

t ′→+∞x(n−3)(t ′)≤ x(n−3)(t), t ≥ T.

Apar doua situatii: (2.2.1) limt ′→+∞

x(n−3)(t ′)> 0, respectiv (2.2.2) limt ′→+∞

x(n−3)(t ′) = 0.

Discutia ne arata ca are loc urmatoarea alternativa:

(A) pentru orice 0 ≤ i ≤[

n−22

]

avem x(n−2i−1)(t)≥ k(2i)!

∫ +∞t (s− t)2iq(s)ds si x(n−2i)

(t)≤− k(2i−1)!

∫ +∞t (s− t)2i−1q(s)ds (cand i ≥ 1) ın [T,+∞);

(B) exista 1 ≤ j ≤[

n−22

]

astfel ıncat limt ′→+∞

x(n−2 j)(t ′) > 0 si comportamentul deri-

vatelor de ordin superior ın [T,+∞) este dat de inegalitatile de la (A) pentru 0 ≤ i ≤j−1.

(A). Daca n este impar, atunci avem

x′′(t)≥ k

(n−3)!

∫ +∞

t(s− t)n−3q(s)ds, t ≥ T,

pentru i =[

n−22

]

. Functia x′ fiind monoton nedescrescatoare, apar doua situatii:

(A.1) limt ′→+∞

x′(t ′) > 0, respectiv (A.2) limt ′→+∞

x′(t ′) = 0. Prima va fi tratata ın (B).

Cea de-a doua implica

x′(t) ≤ x′(t ′)− k

(n−3)!

∫ t ′

t

∫ +∞

s(τ − s)n−3q(τ)dτds, t ′ ≥ t ≥ T,

respectiv

x′(t)≤− k

(n−2)!

∫ +∞

t(s− t)n−2q(s)ds, t ≥ T.

Astfel, prin integrare, obtinem

k ≤ x(t)≤ x(t ′)− k

(n−2)!

∫ t

t ′

∫ t

s(τ − s)M−2+αq(τ)dτds

≤ x(t ′)−K(t − t2)α

pentru t ≥ t2 > t ′ ≥ T , unde α = ε . Facand t →+∞, ajungem la o contradictie.

Daca n este par, avem

‖Vezi [47, Lema 18, p. 111].

2.4 Teorema de oscilatie Fite–Mikusinski 25

x′(t)≥ k

(n−2)!

∫ +∞

t(s− t)n−2q(s)ds, t ≥ T, (2.23)

pentru i =[

n−22

]

. In mod analog,

x(t)≥ x(t ′)+K(t − t2)α ≥ K(t − t2)

α

pentru t ≥ t2 > t ′ ≥ T , unde α = ε . Aceasta estimare ne conduce la

x(n)(t) =−q(t)x(t)≤−K(t − t2)ε q(t), t ≥ t2. (2.24)

Utilizam un procedeu recursiv: ne ıntoarcem la ınceputul demonstratiei princi-

pale cu estimarea (2.24). Aceasta ne va conduce la o noua estimare (ramanand ın

situatia (A)!), si anume

x(n)(t) =−q(t)x(t)≤−K2(t − t3)2ε q(t), t ≥ t3 > t2.

Cum exista numarul natural P astfel ıncat 1− ε ≤ Pε < 1, integrand cea de-a doua

dintre inegalitatile de la (A), oprim recursiunea la

x′(t) ≤ x′(tP+1)−Kp−1

(n−3)!

∫ t

tP+1

∫ +∞

s(τ − s)n−3+Pε q(τ)dτds

≤ x′(tP+1)−Kp−1

(n−3)!

∫ t

tP+1

∫ t

s(τ − s)M−2+αq(τ)dτds

≤ x′(tP+1)−Kp(t − tP+2)α , t ≥ tP+2 > tP+1,

unde α = (P+1)ε −1. Din nou, obtinem limt→+∞

x′(t) =−∞, o contradictie.

(B). Exista T ′ > T astfel ıncat x(n−2 j)(t)≥ x(n−2 j)(T ′)> 0 ın [T ′,+∞). Integrand

de n−2 j ori prima parte a dublei inegalitati, deducem ca

x(t)≥ k′(t −T ′)n−2 j ≥ k′(t −T ′′)n−2 j,

respectiv

x(n)(t)≤−k′(t −T ′′)n−2 jq(t), (2.25)

unde k′ = x(n−2 j)(T ′)2(n−2 j)! , pentru orice t ≥ T ′′ > T ′ suficient de mare.

Estimarea (2.25) fiind de acelasi tip cu (2.24), aplicam metoda recursiva descrisa

anterior pentru a ajunge la limt→+∞

x(n−2 j+1)(t) =−∞, o contradictie.

O varianta a Teoremei 11 pentru o clasa larga de ecuatii diferentiale neliniare,

incluzand complementara unei β−conditii, vezi [47, p. 39], a fost stabilita de A.G.

Kartsatos [24, Section 4] ın 1969.


2.5 Abordarea lui C.G. Philos. Lema lui V.A. Staikos. Teorema

lui Y.G. Sficas

In aceasta sectiune vom arata ca concluziile Teoremei 11 raman valabile daca

exista ε ∈ (0,1) astfel ıncat

∫ +∞tn−1−ε q(t)dt =+∞.

Am vazut deja ca aceasta ipoteza a fost introdusa ın 1951 de J.G. Mikusinski ın

cazul cand n este par, cf. [43, Eq. (7)].

Lema urmatoare, continand estimari de tipul (2.13), (2.14), ıi este atribuita lui

V.A. Staikos [53, p. 178]. Pentru o varianta a sa, vezi [17, Lemma 2].

Lema 10 (Staikos, 1976) In conditiile Lemei 8, fie θ ∈ (0,1). Exista t2 ≥ t1θ 2 astfel

ıncat

x(θ t)≥ [θ(1−θ)]n−1

(n−1)!tn−1x(n−1)(t), t ≥ t2. (2.26)

Daca, ın plus, limt ′→+∞

x(t ′)> 0, atunci exista t3 > t2 astfel ıncat

x(t)≥ θ(n−1)!

tn−1x(n−1)(t), t ≥ t3. (2.27)

Demonstratie. Pentru a stabili inegalitatea (2.26), aplicam formula lui Taylor, si

anume

x(L)(s) =n−1

∑k=L

x(k)(t)(s− t)k−L

(k−L)!+ x(n)(tτ)

(s− t)n−L

(n−L)!

=n−1

∑k=L

[(−1)k−Lx(k)(t)](t − s)k−L

(k−L)!− x(n)(tτ)

(t − s)n−L

(n−L)!

≥ (t − s)n−1−L

(n−1−L)!x(n−1)(t), t ≥ s ≥ t1, (2.28)

unde tτ = s+τ(t − s) si τ ∈ (0,1). Am tinut seama de semnul derivatelor din (2.16)

si de faptul ca numerele L si n au paritati diferite. Inlocuind pe s cu θ t, obtinem

x(L)(θ t)≥ (1−θ)n−1−L

(n−1−L)!tn−1−Lx(n−1)(t), t ≥ t1

θ. (2.29)

Daca L = 0 am ajuns deja la (2.26). Cand L ≥ 1, ın schimb, avem

x(t) =L−1

∑k=0

x(k)(t1)

k!(t − t1)

k +∫ t

t1

(t − s)L−1

(L−1)!x(L)(s)ds

2.5 Abordarea lui C.G. Philos. Lema lui V.A. Staikos. Teorema lui Y.G. Sficas 27

≥ 1

(L−1)!

∫ t

t1

(t − s)L−1x(L)(s)ds, t ≥ t1,

conform (2.17). Folosind (2.28), obtinem

x(t) ≥ 1

(L−1)!· x(n−1)(t)

∫ t

t1

(t − s)n−2

(n−1−L)!ds,

≥ (t − t1)n−1

(n−1)!x(n−1)(t), t ≥ t1. (2.30)

Pentru t ≥ t1θ avem t − t1 ≥ (1−θ)t, astfel ca (2.30) implica

x(t)≥ (1−θ)n−1

(n−1)!tn−1x(n−1)(t), t ≥ t1

θ.

Inlocuind pe t cu θ t si tinand seama de monotonia functiei x(n−1) ajungem la

(2.26) pentru t ≥ t2 ≥ t1θ 2 .

De asemeni, luand t ≥ t3 > max

t2, t1

(

1−θ1

n−1

)−1

ın (2.30) vom obtine

(2.27).

Ramane sa stabilim (2.27) ın cazul L = 0. Astfel, ınlocuind pe θ cu 1−θ1

2(n−1)

ın (2.29), avem

x

((

1−θ1

2(n−1)

)

t

)

≥√

θ(n−1)!

tn−1x(n−1)(t), t ≥ t ′3 > t1. (2.31)

Cum limt ′→+∞

x(t ′) ∈ (0,+∞), exista t3 > t ′3 astfel ıncat

x(t)

x

((

1−θ1

2(n−1)

)

t

) ≥√

θ , t ≥ t3. (2.32)

Concluzia rezulta combinand (2.31), (2.32).

Incepem discutia cu cazul solutiilor marginite.

Teorema 12 Daca coeficientul q(t) ia numai valori nenegative si

∫ +∞

t0

tn−1q(t)dt =+∞, (2.33)

atunci orice solutie marginita x a ecuatiei (2.1) va oscila cand n este par, respec-

tiv sau va oscila sau va tinde ımpreuna cu primele n− 1 derivate ale ei eventual

monoton catre 0 cand n este impar.

Demonstratie. Sa presupunem ca x(t) ≥ k > 0 ın [T,+∞), unde T ≥ t0. Daca n

este par, atunci, conform Lemelor 2, 3, ajungem la (2.23). Mai precis, la varianta (A)


de la pagina 24. Solutiile fiind marginite, varianta (B) nu va avea loc! Prin integrare,

obtinem

k

(n−1)!

∫ +∞

t(s− t)n−1q(s)ds ≤ sup

t ′≥T

x(t ′)<+∞,

o contradictie.

Daca n este impar, ın schimb, atunci se ajunge la

−x′′(t)≥ k

(n−3)!

∫ +∞

t(s− t)n−3q(s)ds,

respectiv

k

(n−1)!

∫ +∞

t(s− t)n−1q(s)ds ≤ x(t)<+∞,

din nou o contradictie.

Limita primelor n− 1 derivate ale solutiei x este 0 conform celor discutate la

Lemele 4, 5.

Un rezultat similar a fost obtinut de V.A. Staikos si Y.G. Sficas [63] ın 1975

pentru cazul ecuatiilor diferentiale functionale liniare. Rezultate generale ın cazul

ecuatiilor diferentiale functionale neliniare cu neliniaritati de tip monoton au fost

stabilite de C.G. Philos [52] ın 1978 si M.K. Grammatikopoulos, Y.G. Sficas si V.A.

Staikos [17] ın 1979. Mentionam, de asemeni, rezultatele fundamentale obtinute de

L. Licko si M. Svec [40] ın 1963, A.G. Kartsatos [24, 25] ın 1969, 1971 si H. Onose

[49] ın 1970.

Sa consideram ecuatia diferentiala functionala (cu ıntarziere) liniara

x(n)(t)+q(t)x(p(t)) = 0, t ≥ t0 > 0, (2.34)

unde coeficientul functional q : [t0,+∞)→ [0,+∞) este continuu si neidentic nul pe

vreun subinterval al lui [t0,+∞) iar argumentul functional (retardul) p : [t0,+∞)→(0,+∞) este o functie de clasa C1, neidentic nula pe vreun subinterval al lui [t0,+∞),care ındeplineste conditiile

p(t)≤ t, p′(t)> 0 pentru orice t ≥ t0, limt ′→+∞

p(t ′) = +∞.

Evident, daca p(t) = t ın [t0,+∞) atunci ecuatia (2.34) coincide cu (2.1). Rezul-

tatul lui Staikos si Sficas [63] stabileste ca concluziile Teoremei 12 sunt valabile

pentru ecuatia (2.34). In cazul dual, i.e. integrala (2.33) este convergenta, exista un

interes major pentru natura solutiilor neoscilatorii. Astfel, daca p(t) = t−τ(t), unde

functia τ : [t0,+∞)→ [0,τ∞], τ∞ < +∞, este de clasa C1, τ ′(t) ∈ [0,1) pentru orice

t ≥ t0, atunci ecuatia diferentiala cu ıntarziere (2.34) admite o solutie x(t) cu alura

asimptotica x(t) = ctn−1 + o(

tn−1)

, c 6= 0, cand t → +∞, cf. [11, Theorem 3]. Un

rezultat similar ın cazul neliniar se gaseste ın [38, Theorem 2.1].


Urmatoarele doua teoreme, stabilite de C.G. Philos ın 1984, adauga analizei de

la Teorema 12 informatii privind solutiile nemarginite.

Teorema 13 ([53, Theorem 1]) Presupunem ca exista θ ∈ (0,1) pentru care ecuatia

diferentiala

(

y′

[p(t)]n−2 p′(t)

)′+

θ(n−2)!

q(t)y = 0, t ≥ t0, (2.35)

sa fie oscilatorie. Atunci, daca n este par, orice (eventuala) solutie neoscilatorie x a

ecuatiei (2.34) verifica restrictiile

limt→+∞

x(t) ∈ [−∞,0)∪ (0,+∞]

limt→+∞

x(i)(t) = 0, i ∈ 1,n−1eventual monoton.

Daca n este impar, atunci orice (eventuala) solutie nemarginita a ecuatiei (2.34)

este oscilatorie.

Demonstratie. Fie x o solutie pozitiva a ecuatiei (2.34) definita ın [T,+∞), unde

p(T ) ≥ t0. Presupunem ca, ın plus, x este nemarginita cand n este impar. Conform

Lemei 8, exista L ∈ 0,n−1 astfel ınat x sa fie o functie de grad L. Cum L si n au

paritati diferite, daca n este par atunci L ≥ 1. In schimb, daca n este impar atunci

nu putem avea x′(t) < 0 pentru t ≥ t1 (cum s-ar ıntampla daca L = 0) caci x este

nemarginita. Asadar, si ın acest caz L ≥ 1, adica x′ este eventual pozitiva. Mai mult,

data fiind paritatea lui n, avem L ≥ 2.

In concluzie, daca n este impar sau n este par si L ≥ 2, Lema 4 (ii) arata ca

limt→+∞

x′(t)> 0 (am luat k = 2). In schimb, daca n este par si L = 1, Lema 5 (ii) arata

ca limt→+∞

x′(t) ∈ [0,+∞), respectiv limt→+∞

x(t) ∈ (0,+∞].

Cu ajutorul Lemei 10 se poate dovedi ca ipoteza limt→+∞

x′(t) > 0 conduce la o

contradictie. Intr-adevar, relatia (2.27), unde x este ınlocuit cu x′ si n cu n−1, arata

ca

x′(t)≥ θ(n−2)!

tn−2x(n−1)(t), t ≥ T ′ > T suficient de mare.

Punand p(t) ın loc de t si tinand seama de monotonia functiei x(n−1), ajungem la

x′(p(t))≥ θ(n−2)!

[p(t)]n−2x(n−1)(t), t ≥ T ′.

Introducem marimea, cf. [53, p. 181],

w(t) =x(n−1)(t)

x(p(t)), t ≥ T ′.

Atunci,


w′(t) =x(n)(t)

x(p(t))− x(n−1)(t)

[x(p(t))]2x′(p(t))p′(t)

≤ −q(t)− θ(n−2)!

[p(t)]n−2 p′(t)

[

x(n−1)(t)

x(p(t))

]2

= −q(t)− [w(t)]2

rθ (t), rθ (t) =

θ(n−2)!

[p(t)]n−2 p′(t)

−1

. (2.36)

Inegalitatea Riccati (2.36) implica faptul ca ecuatia diferentiala (rθ (t)y′)′+q(t)y

= 0, unde t ≥ T ′, este neoscilatorie, vezi [9, pp. 6–7] sau Teorema 90. Dat fiind ca

ecuatia (2.35) oscileaza, am ajuns la o contradictie.

Daca impunem o margine superioara subunitara parametrului θ din Teorema 13

rezultatul poate fi ımbunatatit.

Teorema 14 ([53, Theorem 2]) Presupunem ca ecuatia (2.35) oscileaza pentru

θ = θmax =(n−1)n−1(n−2)n−2

(2n−3)2n−3.

Atunci, daca n este par, ecuatia (2.34) oscileaza.

Demonstratie. La fel ca ın demonstratia anterioara, x′(t) ia valori pozitive pe un

anumit interval [T ′,+∞) (avem L ≥ 1) si, conform (2.26), putem scrie ca

x′(θ t)≥ [θ(1−θ)]n−2

(n−2)!tn−2x(n−1)(t), t ≥ T ′.

Punand p(t) ın loc de t si tinand seama de monotonia functiei x(n−1), ajungem la

x′(θ p(t))≥ [θ(1−θ)]n−2

(n−2)![p(t)]n−2x(n−1)(t), t ≥ T ′.

Marimea, cf. [53, p. 182],

w(t) =x(n−1)(t)

x(θ p(t))

verifica inegalitatea Riccati

w′(t) ≤ −q(t)x(p(t))

x(θ p(t))− [w(t)]2

Rθ (t)

≤ −q(t)− [w(t)]2

Rθ (t), Rθ (t) =

θ n−1(1−θ)n−2

(n−2)![p(t)]n−2 p′(t)

−1

,

pentru orice t ≥ T ′.


Cantitatea θ n−1(1−θ)n−2 are ca maxim ın [0,1] numarul(n−1)n−1(n−2)n−2

(2n−3)2n−3 , atins

pentru θ = n−12n−3

. Observam ca R n−12n−3

= rθmax, unde rθ este dat de (2.36).

Pe baza Teoremelor 12, 13, 14 poate fi dat urmatorul rezultat de oscilatie pentru

ecuatia diferentiala functionala (2.34).

Teorema 15 (Sficas, 1973, Philos, 1984, cf. [60, 53] ¶) Presupunem ca exista ε ∈(0,1) astfel ıncat

∫ +∞

t0

[p(t)]n−1−ε q(t)dt =+∞. (2.37)

Atunci, orice solutie a ecuatiei (2.34) va oscila cand n este par, respectiv sau va

oscila sau va tinde ımpreuna cu primele n− 1 derivate ale ei eventual monoton

catre 0 cand n este impar.

Demonstratie. Ecuatia (2.35) se scrie ca

(r(t)y′)′+Q(t)y = 0, t ≥ t0, (2.38)

unde

r(t) =

[p(t)]n−2 p′(t)−1

, Q(t) =θ

(n−2)!q(t).

Conform unei teoreme din 1955 a lui R.A. Moore [45, Theorem 2], ecuatia (2.38)

oscileaza daca exista β ∈ (0,1) astfel ıncat

∫ +∞

t0

dt

r(t)= +∞ si

∫ +∞

t0

1+∫ t

t0

ds

r(s)

βQ(s)ds =+∞. (2.39)

In cazul de fata, cea de-a doua dintre conditiile (2.39) devine

∫ +∞

t0

[p(t)](n−1)β q(s)ds =+∞. (2.40)

Data fiind formula lui r(t), este obligatoriu ca limt→+∞

p(t) = +∞ pentru ca prima

dintre conditiile (2.39) sa aiba loc.

Alegem β astfel ıncat β > 1− εn−1

. Atunci, (n−1)β > n−1−ε si (2.37) implica

(2.40).

Un rezultat intermediar se deduce din Teoremele 12, 13.

Teorema 16 ([53, Theorem 1, (I)]) Presupunem ca n este par, restrictia (2.33) este

valabila si exista θ ∈ (0,1) astfel ıncat ecuatia (2.35) sa oscileze. Atunci, orice

(eventuala) solutie neoscilatorie x a ecuatiei (2.34) verifica restrictiile

¶ Pentru alta abordare, vezi [31, Corollary 1.9, p. 29].


limt→+∞

x(t) =±∞

limt→+∞

x(i)(t) = 0, i ∈ 1,n−1eventual monoton.

2.6 Excurs de analiza ecuatiilor diferentiale liniare. Sirul

extremelor (W. Osgood). Teorema de tip Milloux a lui D.

Willett. Teorema de neoscilatie a lui W.F. Trench. Integrarea

oscilatorului adiabatic

Urmatorul rezultat priveste extremele locale ale unei solutii oscilatorii.

Teorema 17 Sa presupunem ca q : [t0,+∞)→ (0,+∞) este de clasa C1 si q′(t)≤ 0

ın [t0,+∞). Daca x este o solutie oscilatorie a ecuatiei diferentiale ordinare liniare

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (2.41)

iar (tn)n≥1 reprezinta sirul zerourilor sale ın [t0,+∞), fie (mn)n≥1, unde mn = x(tn),tn ∈ (tn, tn+1), sirul valorilor extreme (locale) ale acesteia.

Atunci, sirul (|mn|)n≥1 este monoton nedescrescator.

Demonstratie. Inmultind ecuatia (2.41) cux′(t)q(t) ın ambii membri si integrand

rezultatul pe [tn, tn+1], obtinem

∫ tn+1

tn

d

dt

[

(x′(t))2

2

]

dt

q(t)+

[x(tn+1)]2

2− [x(tn)]2

2= 0,

respectiv

[x′(tn+1)]2

2q(tn+1)− [x′(tn)]2

2q(tn)+

∫ tn+1

tn

[x′(t)]2

2· q′(t)[q(t)]2

dt +m2

n+1

2− m2

n

2= 0.

Tinand seama de teorema lui Fermat si de semnul lui q′(t), concludem ca

m2n+1 −m2

n =−∫ tn+1

tn[x′(t)]2

q′(t)[q(t)]2

dt ≥ 0 (2.42)

pentru orice n ≥ 1.

Conditia ca q′(t) ≤ 0 ın [t0,+∞) nu poate fi eliminata, cf. [68, Theorem 4] –

unde este dat un exemplu de coeficient q pozitiv pentru care ecuatia (2.41) admite

o solutie oscilatorie care tinde la 0 cand argumentul sau tinde la +∞. In particular,

sirul (mn)n≥1 descreste, vezi [68, p. 356].

O varianta a Teoremei 17 ın cazul ecuatiilor diferentiale neliniare se gaseste ın

[23, Lemma 2], fiind un ingredient esential ın demonstrarea urmatorului rezultat.

2.6 Excurs de analiza ecuatiilor diferentiale liniare 33

Teorema 18 (Heidel, 1969, cf. [23, Theorem]) Sa presupunem ca functia q : [t0,+∞)→ (0,+∞) este de clasa C1 si q′(t)≤ 0 ın [t0,+∞).

Atunci, daca

∫ +∞tq(t)dt <+∞, (2.43)

ecuatia Emden-Fowler subliniara (γ ∈ (0,1))

x′′+q(t)xγ = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (2.44)

nu admite solutii oscilatorii.

Aceasta este varianta subliniara a unei teoreme din 1955 a lui F.V. Atkinson [2,

Theorem 2]. In plus, ın [2, Theorem 1] se stabileste ca restrictia (2.43) implica

existenta unei solutii x(t) a ecuatiei (2.44) (γ > 1) avand alura asimptotica x(t) =1+o(1) cand t → +∞, cf. [2, Eq. (2.6)]. Referindu-se la analiza oscilatiilor pentru

solutiile ecuatiilor de tip Emden-Fowler, Atkinson introduce termenul de oscilatii

neliniare de ordinul al II-lea, cf. [77, p. 417].

Revenind la ecuatia (2.41), se cuvin mentionate rezultate duale. Mai precis, sa

presupunem ca coeficientul functional continuu q admite reprezentarea q(t)= b(t)+ψ(t) ın [t0,+∞), unde

b ∈C1, b′(t)≥ 0, limt ′→+∞

b(t ′) = +∞, ψ ∈C∩BVloc,∫ +∞

t0

|dψ(t ′′)|b(t ′′)

<+∞.

Acestor cerinte li se adauga conditia de crestere regulata tip Sansone, cf. [50, p. 87],

[19, p. 514], a functiei lnb(t). Aceasta ınseamna ca nu exista niciun sir de subinter-

vale disjuncte (Tn,Tn)n≥1 ale lui [t0,+∞) cu proprietatea ca limsup

n→+∞

1T n

n

∑i=1

(T i−Ti)∈

(0,+∞) pe complementara reuniunii carora lnb(t) sa aiba crestere finita. In 1958,

Z. Opial [50, Theoreme 5] stabileste ca pentru toate solutiile x(t) ale ecuatiei (2.41)

avem limt→+∞

x(t) = 0. Aceasta caracteristica a ecuatiei (2.41) se mai numeste si pro-

prietatea Armellini-Tonelli-Sansone. Pentru rezultate asemanatoare privind ecuatia

(2.44), vezi [31, Chapter V].

Teorema 19 Sa presupunem ca q : [t0,+∞)→ (0,+∞) este de clasa C2 si q′(t)≥ 0,[

1q(t)

]′′≥ 0 ın [t0,+∞). Fiind data functia continua f : [t0,+∞) → (0,+∞) astfel

ıncat f ∈ L1((t0,+∞),R), se considera perturbarea liniara a ecuatiei (2.41) cu for-

mula

x′′+q(t)x = f (t), t ≥ t0 ≥ 0. (2.45)

Ecuatia x′′+q(T )x = 0, t ≥ T , este oscilatorie. Atunci, cum q(t)≥ q(T ) ın [T,+∞), teorema de

separatie a lui Sturm [19, p. 335] ne asigura ca ecuatia neperturbata ( f (t) ≡ 0) este oscilatorie la

randul ei.


Daca x e o solutie neoscilatorie a ecuatiei (2.45), atunci x ∈ L1((t0,+∞),R).

Demonstratie. Fie x o solutie neoscilatorie a ecuatiei (2.45) cu x(t) > 0 ın

[T,+∞), unde T ≥ t0. Presupunem ca, prin absurd,∫ +∞

T x(s)ds =+∞.

Impartind ecuatia (2.45) ın ambii membri cu q(t) si integrand rezultatul pe [T, t],ajungem la

x′(t)q(t)

−∫ t

Tx′(s)

[

1

q(s)

]′ds+

∫ t

Tx(s)ds =

x′(T )q(T )

+∫ t

T

f (s)

q(s)ds,

respectiv la

x′(t)q(t)

+x(t)q′(t)[q(t)]2

+∫ t

Tx(s)

[

1

q(s)

]′′ds+

∫ t

Tx(s)ds (2.46)

≤ x′(T )q(T )

+x(T )q′(T )[q(T )]2

+1

q(T )

∫ +∞

Tf (s)ds <+∞, t ≥ T.

Suma din (2.46) fiind marginita superior, obtinem ca limt→+∞

x′(t)q(t) = lim

t→+∞x′(t) =

−∞, ceea ce, pe baza regulii lui L’Hopital, implica eventual negativitatea solutiei

x(t), o contradictie.

Un exemplu este dat de ecuatia x′′+ tx = 1t2 +

12t5 , t ≥ t0 = 1, care admite solutia

neoscilatorie x(t) = 1t3 . Ecuatia neperturbata are solutiile exprimabile ca serii de

puteri, cum ar fi x(t) = 1− 13!

t3 + 1·46!

t6 − 1·4·79!

t9 + · · ·.O varianta a Teoremei 19 pentru clasa ecuatiilor diferentiale functionale liniare

perturbate de ordinul al II–lea se gaseste ın [11, Theorem 4].

Un rezultat stabilit de D. Willett [70] ın 1966 probeaza necesitatea unor conditii

suplimentare (ın afara monotoniei coeficientului functional q(t)) pentru a avea loc

proprietatea Armellini-Tonelli-Sansone. Asemenea investigatii par sa origineze de

la contributia lui H. Milloux [44]. Pentru probleme conexe, vezi [22, 5, 8, 3].

Teorema 20 ([70, Theorem]) Fiind data functia Q : [t0,+∞)→ (0,+∞) continua si

monoton nedescrescatoare, exista o functie q : [t0,+∞)→ (0,+∞), de clasa C1, cu

proprietatea ca q′(s)≥ Q(s) pentru orice s ≥ t0 astfel ıncat ecuatia (2.41) sa admita

o solutie x(t) pentru care limsupt→+∞

|x(t)|> 0.

Demonstratie. Fixam c > 3. Definim functia q1 : [t0,+∞)→ (0,+∞) cu ajutorul

formulei

q1(t) = (cπ)2 +∫ t

t0

Q(s)ds, t ≥ t0.

Fie problema valorii initiale

In particular, avem liminft→+∞

|x(t)| = 0. Aceasta este o concluzie standard ın analiza perturbatiilor

ecuatiilor diferentiale oscilatorii, vezi [55, Theorem 4], [32, Theorem 4].


y′′+q1(t)y = 0, t ≥ t0,y(t0) = x0 > 0, y′(t0) = 0.

(2.47)

Atunci, derivata de ordinul ıntai a solutiei y1(t) are un zero, notat t1, ın intervalul(

t0 +1c, t0 +

3c

)

. Intr-adevar, cum q1(t)≥ (cπ)2, teorema de comparatie a lui Sturm

[19, p. 335] ne asigura ca solutia y1(t) admite macar cate un zero ın fiecare din in-

tervalele[

t0 +1c, t0 +

2c

]

,[

t0 +2c, t0 +

3c

]

. Deci exista τ1 si τ2 – zerouri consecutive

ale functiei y1 ın[

t0 +1c, t0 +

3c

]

. Teorema lui Fermat implica existenta punctului de

extrem t1 ∈ (τ1,τ2) cautat.

Definim o noua problema a valorii initiale, si anume

y′′+q2(t)y = 0, t ≥ t1,y(t1) = y1(t1), y′(t1) = 0 (= y′1(t1)!),

(2.48)

unde functia q2 ındeplineste o suita de conditii tehnice. Mai precis, fixand α >q1(t1)+Q(t1 +1) si s1 ∈

(

t1, t1 +1c

)

cu 1 > 12(s1 − t1)

2α , definim functia continua

q2 : [t1,+∞)→ (0,+∞) cu ajutorul formulei

q2(t) =

∫ tt1

Q(s)ds+[

α − ∫ s1t1

Q(s)ds]

sin2(

π2· t−t1

s1−t1

)

+q1(t1)cos2(

π2· t−t1

s1−t1

)

, t ∈ [t1,s1];

α +∫ t

s1Q(s)ds, t ≥ s1.

Este evident ca q2(t1) = q1(t1) si q2(s1) = α . De asemeni, cum functia Q(t) este

monoton nedescrescatoare, putem scrie ca∫ s1

t1Q(s)ds≤ ∫ s1

t1Q(t1+1)ds<Q(t1+1).

Aceasta estimare ne conduce la

q′2(t) = Q(t)+π

2(s1 − t1)sin

(

2πt − t1

s1 − t1

)(

α −∫ s1

t1

Q(s)ds−q1(t1)

)

≥ Q(t)

pentru orice t ∈ [t1,s1].In mod analog, notand cu y2(t) solutia problemei (2.48), deducem ca exista t2 ∈

(

t1 +1c, t1 +

3c

)

astfel ıncat y′2(t2) = 0.

Afirmatie Cupland problemele (2.47), (2.48), sa definim functiile q : [t0, t2] →(0,+∞) si y : [t0, t2]→ R cu formulele

q(t) =

q1(t), t ∈ [t0, t1],q2(t), t ∈ [t1, t2],

y(t) =

y1(t), t ∈ [t0, t1],y2(t), t ∈ [t1, t2].

Atunci, y este o solutie a ecuatiei x′′+q(t)x = 0 ın intervalul [t0, t2].

Afirmatie (W. Osgood, cf. [65, Exercise 11, p. 76], [51, 6, 66]) Valorile extreme

absolute ale solutiei y descresc nestrict ♯.

♯ Intr-un caz particular, detalii privind fractii si arii legate de aceste marimi pot fi citite ın [75, pp.

391–393].


Prima Afirmatie se probeaza cu argumente standard, vezi [26, Theorem 3.6].

Pentru cea de-a doua, tinand seama de faptul ca q′(t)≥ Q(t)≥ 0 ın [t0, t2], se reface

calculul care a dus la relatia (2.42) ın demonstratia Teoremei 17.

Facem observatia ca t1 este punct de extrem local al solutiei y (avem y(t1) 6= 0 –

altfel y1(t)≡ 0, ceea ce este o contradictie!). Atunci, ultima Afirmatie implica

|y2(t1)| ≥ |y2(t)|, t ∈ [t1, t2]. (2.49)

Formula lui Taylor ne permite sa scriem ca

y2(s1) = y2(t1)+1

2(s1 − t1)

2y′′2(c) pentru un anumit c ∈ (t1,s1),

de unde, conform (2.49),

|y2(s1)| ≥ |y2(t1)|−1

2(s1 − t1)

2q2(c)|y2(c)| ≥[

1− 1

2(s1 − t1)

2q2(c)

]

× |y2(t1)| ≥[

1− 1

2(s1 − t1)

2q2(s1)

]

|y2(t1)|. (2.50)

Deoarece y′′2 + q2(t)y2 = 0 ın [t1, t2], ınmultind ın ambii membri cu y′2(t) si in-

tegrand rezultatul pe intervalul [s1, t2], obtinem

−[y′2(s1)]2 +q2(t2)[y2(t2)]

2 −q2(s1)[y2(s1)]2 −

∫ t2

s1

q′2(s)[y2(s)]2ds = 0,

respectiv (reamintim ca q2(s1) = α)

[y2(t2)]2 ≥ q2(s1)

q2(t2)[y2(s1)]

2 =q2(s1)

α +∫ t2

s1Q(s)ds

[y2(s1)]2

≥ αα +Q(t1 +1)

[y2(s1)]2. (2.51)

Combinand estimarile (2.50), (2.51), ajungem la

[y2(t2)]2 ≥ α

α +Q(t1 +1)

[

1− 1

2(s1 − t1)

2α]2

[y2(t1)]2. (2.52)

Forma particulara a coeficientului marimii [y2(t1)]2 ın (2.52) ne permite sa

adaugam o caracteristica speciala estimarii. Mai precis, putem mari eventual nu-

marul α astfel ca αα+Q(t1+1) >

√3

2. Apoi, putem micsora eventual numarul s1 pentru

ca[

1− 12(s1 − t1)

2α]2

>√

32

. In concluzie, va exista ε1 ∈(

0, 14

)

cu proprietatea ca

[y2(t2)]2 ≥ (1− ε1)[y2(t1)]

2.

In mod inductiv este stabilita existenta unui sir de numere (tn)n≥1 si a doua

siruri de functii (qn)n≥1, (yn)n≥1 caracterizate de relatiile care urmeaza: tn+1 ∈(

tn +1c, tn +

3c

)

, qn(tn) = qn+1(tn), yn(tn) = yn+1(tn), y′n(tn) = y′n+1(tn) = 0 si [yn+1


(tn+1)]2 ≥ (1− εn)[yn+1(tn)]

2 pentru orice n ≥ 1. In plus, εn ∈(

0, 14

)

si seria ∑n≥1

εn

este convergenta.

Putem ın acest moment defini coeficientul functional q : [t0,+∞) → (0,+∞)cerand ca q = qn ın [tn−1, tn], respectiv solutia x : [t0,+∞)→ R impunand ca x = yn

ın [tn−1, tn] pentru orice n ≥ 1.

Am observat deja, analizand solutia y ın [t0, t2], ca sirul (|x(tn)|)n≥1 de ex-

treme locale este monoton necrescator. Concluzia teoremei decurge din Afirmatia

urmatoare.

Afirmatie Limita sirului (|x(tn)|)n≥1 este pozitiva.

Putem scrie ca

[x(tn+1)]2 = [yn+1(tn+1)]

2 ≥ (1− εn)[yn+1(tn)]2 ≥ ·· ·

≥[

n

∏j=1

(1− ε j)

]

· [y2(t1)]2 > 0, n ≥ 1.

Deoarece

ln

[

n

∏j=1

(1− ε j)

]−1

=n

∑j=1

ln

(

1

1− ε j

)

≤n

∑j=1

(

1

1− ε j−1

)

=n

∑j=1

ε j

1− ε j≤ 4

3

n

∑j=1

ε j, n ≥ 1,

deducem ca

limn→+∞

[x(tn+1)]2 ≥ exp

(

−4

3

∞

∑j=1

ε j

)

[y2(t1)]2 > 0.

Afirmatia este probata.

Un rezultat de integrare asimptotica, extrem de flexibil, a fost demonstrat de W.F.

Trench ın 1963.

Teorema 21 ([67, Theorem] ♣) Fiind date functiile continue f ,g : [t0,+∞) → R,

consideram ecuatia diferentiala ordinara liniara

z′′+ f (t)z = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (2.53)

si perturbarea sa liniara

u′′+[ f (t)+g(t)]u = 0, t ≥ t0. (2.54)

♣ In cazul particular cand solutiile z1,2 ale ecuatiei (2.53) sunt marginite, o varianta a rezultatului

a fost stabilita de A. Wintner [76, (iv 0), p. 267] ın 1947, vezi si [19, p. 370].


Presupunem ca z1,2 sunt solutii liniar independente ale ecuatiei (2.53) iar functia

g(t) verifica restrictia

∫ +∞y(t)|g(t)|dt <+∞, (2.55)

unde y(t ′) = max

[z1(t′)]2, [z2(t

′)]2

, t ′ ≥ t0.

Atunci, fiind date constantele a,b ∈R, exista o solutie u(t) a ecuatiei (2.54) care

admite reprezentarea

u(t) = α(t)z1(t)+β (t)z2(t), t ≥ t0,

unde α(t), β (t) sunt functii continue cu proprietatea ca limt→+∞

α(t) = a, respectiv

limt→+∞

β (t) = b.

Demonstratie. Incepem cu observatia ca, pe baza teoremei lui Liouville [19, p.

46], wronskianul z′1(t)z2(t)− z1(t)z′2(t) are valoarea constanta W ın [t0,+∞).

Apoi, ecuatia (2.54) este o perturbatie a ecuatiei (2.53) cu ”termenul liber”

−g(t)u. Urmand prezentarea din [47, pp. 98–99], cautam o solutie de forma u(t) =c1(t)z1(t)+ c2(t)z2(t), unde functiile c1,2 sunt de clasa C2.

Sistemul diferential descris ın [47, Eq. (3.23)] devine ın acest caz

c′1 =− g(t)z2(t)W

[z1(t)c1 + z2(t)c2]

c′2 =g(t)z1(t)

W[z1(t)c1 + z2(t)c2],

t ≥ t0. (2.56)

Matricea sistemului diferential (2.56) are urma nula, asadar, aplicand ınca o data

teorema lui Liouville, putem afirma ca orice matrice fundamentala a acestuia are

determinantul constant ın [t0,+∞), vezi [67, p. 14].

Integrand prima ecuatie din sistemul (2.56), obtinem

|c1(t)| ≤ |c1(t0)|+1

|W |

∫ t

t0

|g(s)||z2(s)|[|z1(s)||c1(s)|+ |z2(s)||c2(s)|]ds

≤ |c1(t0)|+1

|W |

∫ t

t0

y(s)|g(s)|[|c1(s)|+ |c2(s)|]ds. (2.57)

Cea de-a doua ecuatie din sistemul (2.56) ne conduce la o inegalitate similara

care, adunata termen cu termen estimarii (2.57), implica

|c1(t)|+ |c2(t)| ≤ |c1(t0)|+ |c2(t0)|+2

|W |

∫ t

t0

y(s)|g(s)|[|c1(s)|+ |c2(s)|]ds


Pe baza inegalitatii Gronwall-Bellman [19, p. 24], tinand seama de (2.55), putem

scrie ca

|c1(t)|+ |c2(t)| ≤ M = [|c1(t0)|+ |c2(t0)|]exp

(

2

|W |

∫ +∞

t0

y(s)|g(s)|ds

)

<+∞.


Astfel,

∫ t

t0

|g(s)z2(s)[z1(s)c1(s)+ z2(s)c2(s)]|ds ≤ M

∫ +∞

t0

y(s)|g(s)|ds <+∞, t ≥ t0,

deci integrala∫ +∞

t0g(s)z2(s)[z1(s)c1(s)+ z2(s)c2(s)]ds este convergenta si

limt→+∞

c1(t) = l1 = c1(t0)+1

W

∫ +∞

t0

g(s)z2(s)[z1(s)c1(s)+ z2(s)c2(s)]ds ∈ R.

In mod analog, limt→+∞ c2(t) = l2 ∈ R.

Am stabilit ın acest moment ca toate solutiile sistemului diferential (2.56) au

limita finita cand argumentul lor tinde la +∞.

Notam cu (a1(t),b1(t)), (a2(t),b2(t)) acele solutii ale sistemului (2.56) avand

datele initiale

a1(t0) = 1,b1(t0) = 0, respectiv a2(t0) = 0,b2(t0) = 1.

Introducem si limitele acestor solutii, adica limt→+∞

ai(t) = a∞i si lim

t→+∞bi(t) = b∞

i , unde

i = 1,2. Deoarece matricea fundamentala a sistemului (2.56) formata cu solutiile

(a1,b1), (a2,b2) are determinantul constant (valoarea acestuia, calculata ın t0, este

1) deducem ca a∞1 b∞

2 −a∞2 b∞

1 = 1.

Functiile (α,β ) cautate alcatuiesc o solutie a sistemului diferential (2.56). Ele

sunt definite drept o combinatie liniara a solutiilor (a1,b1), (a2,b2). Mai precis,

avem

(

α(t)β (t)

)

= (b∞2 a−a∞

2 b)

(

a1(t)b1(t)

)

+(ba∞1 −ab∞

1 )

(

a2(t)b2(t)

)

=

∣

∣

∣

∣

a a∞2

b b∞2

∣

∣

∣

∣

(

a1(t)b1(t)

)

+

∣

∣

∣

∣

a∞1 a

b∞1 b

∣

∣

∣

∣

(

a2(t)b2(t)

)


Urmatorul rezultat este un caz particular al Teoremei 21. In literatura, el este

cunoscut drept teorema lui A. Wintner de integrare a oscilatorului adiabatic, vezi

[75, 76, 57, 18, 56]. Analize conexe ın cazul sistemelor liniare se gasesc ın [58, 61].

Teorema 22 (Kelman, 1962, cf. [27, Theorem]) Fie numarul ρ >−1 fixat si functia

f : [t0,+∞)→ [ρ ,+∞) de clasa C1 pentru care∫ +∞ | f ′(t)|dt <+∞.

Atunci, ecuatia diferentiala liniara

x′′+[1+ f (t)]x = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (2.58)

admite solutiile x1,2(t) cu dezvoltarile asimptotice date de

x1(t) = [1+o(1)]sin[F(t)+o(1)], x′1(t) = [1+o(1)]F ′(t)cos[F(t)+o(1)]

si


x2(t) = [1+o(1)]cos[F(t)+o(1)], x′2(t) =−[1+o(1)]F ′(t)sin[F(t)+o(1)],

unde F(t) =∫ t

t0

√

1+ f (s)ds ♦, cand t →+∞.

Demonstratie. Introducem functiile r : [t0,+∞) → (0,+∞) si θ : [t0,+∞) → R

de clasa C1 cerand ca functia x(t) data de formulele de tip Prufer

x(t) = r(t)sin[F(t)+θ(t)], x′(t) = r(t)F ′(t)cos[F(t)+θ(t)], (2.59)

unde t ≥ t0, sa fie solutie a ecuatiei (2.58).

Derivam prima dintre relatiile (2.59). Astfel, avem

x′(t) = r(t)F ′(t)cos[F(t)+θ(t)]+r(t)θ ′(t)cos[F(t)+θ(t)]+ r′(t)sin[F(t)+θ(t)].

Derivand a doua relatie (2.59), obtinem (observam ca [F ′(t)]2 = 1+ f (t)!)

x′′(t) = −[1+ f (t)]x(t)+[r′(t)F ′(t)+ r(t)F ′′(t)]cos[F(t)+θ(t)]− r(t)F ′(t)θ ′(t)sin[F(t)+θ(t)].

In concluzie, marimiler′(t)r(t) si θ ′(t) verifica sistemul algebric de tip cramerian

cos[F(t)+θ(t)] r′(t)r(t) − sin[F(t)+θ(t)]θ ′(t) =−F ′′(t)

F ′(t) cos[F(t)+θ(t)],sin[F(t)+θ(t)] r′(t)

r(t) + cos[F(t)+θ(t)]θ ′(t) = 0,

de unde

r′(t)r(t) =−F ′′(t)

F ′(t) cos2[F(t)+θ(t)],θ ′(t) = 1

2· F ′′(t)

F ′(t) sin[2(F(t)+θ(t))],t ≥ t0. (2.60)

Deoarece f ∈ BV deducem ca

∫ +∞

t0

∣

∣

∣

∣

F ′′(t)F ′(t)

∣

∣

∣

∣

dt =1

2

∫ +∞

t0

| f ′(t)|1+ f (t)

dt

≤ 1

2(1+ρ)

∫ +∞

t0

| f ′(t)|dt <+∞. (2.61)

Forma speciala a celei de-a doua ecuatii din (2.60) ne conduce, via (2.61), la∫ +∞ |θ ′(t)|dt < +∞. Deci, lim

t→+∞θ(t) ∈ R. Plecand de la aceasta observatie, vom

considera ca functiile r(t), θ(t) sunt acele solutii ale sistemului diferential neliniar

♦Estimarea | f (t ′)− f (t)| ≤∫ +∞

mint,t ′ | f ′(s)|ds, unde t, t ′ ≥ t0, arata ca limt→+∞

f (t) ∈ [ρ ,+∞) via

criteriul Bolzano-Cauchy ( f ∈ BV ). In particular,√

1+ρ(t − t0) ≤ F(t) ≤√

1+‖ f‖∞(t − t0) ın

[t0,+∞). Ecuatia (2.58) trebuie, asadar, ınteleasa ca x′′+[ε +o(1)]x = 0, unde ε = 1+ limt→+∞

f (t)>

0.


(2.60) care verifica sistemul integral

r(t) = exp(

∫ +∞t

F ′′(s)F ′(s) cos2[F(s)+θ(s)]ds

)

θ(t) =− 12

∫ +∞t

F ′′(s)F ′(s) sin[2(F(s)+θ(s))]ds

(2.62)

ın [t0,+∞).Existenta riguroasa a solutiei (r,θ) poate fi stabilita fie prin aplicarea tehni-

cilor de punct fix descrise ın [47] sistemului (2.62) fie prin utilizarea metodei

aproximatiilor succesive (Picard) la integrarea sistemului (2.60) ca ın [10]. Obtinem

limt→+∞

r(t) = 1, respectiv limt→+∞

θ(t) = 0, ceea ce ne conduce la solutia x1.


1. Anderson, D.R., Davis, J.M.: Multiple solutions and eigenvalues for third-order right focal

boundary value problems. J. Math. Anal. Appl. 267, 135–157 (2002)

2. Atkinson, F.V.: On second order nonlinear oscillation. Pacific J. Math. 5, 643–647 (1955)

3. Avis, R. , Naulin, R.: Asymptotic instability of nonlinear differential equations. Electr. J. Dif-

ferential Equations 16, 1–7 (1997)

4. Bilchev, S.J., Grammatikopoulos, M.K., Stavroulakis, I.P.: Oscillation criteria in higher order

neutral equations. J. Math. Anal. Appl. 183, 1–24 (1994)

5. Bownds, J.M.: Stability implications on the asymptotic behavior of second order differential

equations. Proc. Amer. Math. Soc. 39, 169–172 (1973)

6. Butlewski, Z.: Sur les integrales d’une equation differentielle du second ordre. Mathematica

(Cluj) 12, 36–48 (1936)

7. Cecchi, M., Marini, M., Villari, Gab.: Integral criteria for a classification of solutions of linear

differential equations. J. Differential Equations 99, 381–397 (1992)

8. Chiou, K.L.: Stability implications on the asymptotic behavior of nonlinear systems. Internat.

J. Math. & Math. Sci. 5, 105–112 (1982)


10. Cotton, E.: Sur les solutions asymptotiques des equations differentielles. Ann. Ec. Norm. Sup.

28, 473–521 (1911)

11. Dahiya, R.S., Singh, B.: Certain results on nonoscillation and asymptotic nature of delay equa-

tions. Hiroshima Math. J. 5, 7–15 (1975)

12. Elias, U.: A classification of the solutions of a differential equation according to their asymp-

totic behavior. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Ser. A 83, 25–38 (1979)

13. Eloe, P.W., Henderson, J.: Integral conditions for right disfocality of a linear differential equa-

tion. J. Math. Anal. Appl. 131, 441–450 (1988)

14. Fite, W.B.: Concerning the zeros of the solutions of certain differential equations. Trans. Amer.

Math. Soc. 19, 341–352 (1918)

15. Foster, K.E., Grimmer, R.C.: Nonoscillatory solutions of higher order delay equations. J.

Math. Anal. Appl. 77, 150–164 (1980)

16. Gagliardo, E.: Sul comportamento asintotico degli integrali dell’equazione differenziale y′′+A(x)y = 0 con A(x)≥ 0. Boll. U.M.I. 8, 177–185 (1953)

17. Grammatikopoulos, M.K., Sficas, Y.G., Staikos, V.A.: Oscillatory properties of strongly su-

perlinear differential equations with deviating arguments. J. Math. Anal. Appl. 67, 171–187

(1979)

18. Harris Jr., W.A., Lutz, D.A.: Asymptotic integration of adiabatic oscillators. J. Math. Anal.

Appl. 51, 76–93 (1975)


20. Hartman, P.: Positive and monotone solutions of linear ordinary differential equations. J. Dif-

ferential Equations 18, 431–452 (1975)

43

44 Referinte Bibliografice

21. Hartman, P.: On disconjugacy criteria. Proc. Amer. Math. Soc. 24, 374–381 (1970)

22. Hartman, P., Wintner, A.: Oscillatory and non-oscillatory linear differential equations. Amer.

J. Math. 71, 627–649 (1949)

23. Heidel, J.W.: A nonoscillation theorem for a nonlinear second order differential equation.


24. Kartsatos, A.G.: Contributions to the research of the oscillation and the asymptotic behaviour

of solutions of ordinary differential equations. Bull. Soc. Math. Grece 10, 42–50 (1969)

25. Kartsatos, A.G.: On the maintenance of oscillations of n–th order equations under the effect

of small forcing term. J. Differential Equations 10, 355–363 (1971)

26. Kartsatos, A.G.: Advanced ordinary differential equations. Mariner Publ., Tampa, Florida

(1980)

27. Kelman, R.B.: Short proof of a theorem of Wintner on asymptotic integrations of the adiabatic

oscillator. Proc. Amer. Math. Soc. 13, 663–664 (1962)

28. Kiguradze, I.T., Kvinikadze, G.G.: On strongly increasing solutions of nonlinear ordinary

differential equations. Ann. Mat. Pura Appl. 130, 67–87 (1982)

29. Kiguradze, I.T.: On the oscillation of solutions of the equation dnudtn +a(t)|u|msign u = 0. Mat.

Sbornik 65, 172–187 (1964) (ın rusa)

30. Kiguradze, I.T.: The problem of oscillation of solutions of nonlinear differential equations.

Differentsial. Uravneniya 1, 995–1006 (1965) (ın rusa)

31. Kiguradze, I.T., Chanturia, T.A.: Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordi-

nary differential equations. Kluwer, Dordrecht (1993)

32. Kirane, M., Rogovchenko, Yu.V.: Oscillation results for a second order damped differential

equation with nonmonotonous nonlinearity. J. Math. Anal. Appl. 250, 118–138 (2000)

33. Kneser, A.: Untersuchungen uber die reellen nullstellen der integrale linearer differentialgle-

ichungen. Math. Ann. 42, 409–435 (1893)

34. Kneser, A.: Untersuchung und asymptotische darstellung der integrale gewisser differential-

gleichungen bei grossen reellen werthen des arguments I. J. Reine Angew. Math. 116, 178–212

(1896)

35. Kusano, T., Naito, M.: Unbounded nonoscillatory solutions of nonlinear ordinary differential

equations of arbitrary order. Hiroshima Math. J. 18, 361–372 (1988)

36. Kusano, T., Naito, M.: Positive solutions of a class of nonlinear ordinary differential equations.

Nonlinear Anal. TMA 12, 935–942 (1988)

37. Kusano, T., Naito, M., Swanson, C.A.: On the asymptotic behavior of solutions of nonlinear

ordinary differential equations. Czechoslovak Math. J. 38, 498–519 (1988)

38. Ladas, G.: Oscillation and asymptotic behavior of solutions of differential equations with re-

tarded argument. J. Differential Equations 10, 281–290 (1971)

39. Levin, A.Yu.: Nonoscillation of solutions of the equation x(n)+ p1(t)x(n−1)+ . . .+ pn(t)x = 0.

Uspekhi Mat. Nauk. 24, 43–96 (1969)

40. Licko, L., Svec, M.: Le caractere oscillatoire des solutions de l’equation y(n) + f (t)yα = 0,

n > 1. Czechoslovak Math. J. 13, 481–491 (1963)

41. Markvorsen, S.: A note on disfocality. J. Math. Anal. Appl. 131, 106–112 (1988)

42. Marini, M., Zezza, P.: On the asymptotic behavior of the solutions of a class of second-order

linear differential equations. J. Differential Equations 28, 1–17 (1978)

43. Mikusinski, J.G.: On Fite’s oscillation theorems. Colloq. Math. 2, 34–39 (1951)

44. Milloux, H.: Sur l’equation differentielle x′′+ xA(t) = 0. Prace Mat. Fiz. 41, 39–54 (1934)

45. Moore, R.A.: The behavior of solutions of a linear differential equation of second order, Pacific

J. Math. 5, 125–145 (1955)

46. Muldowney, J.S.: A necessary and sufficient condition for disfocality. Proc. Amer. Math. Soc.

74, 49–55 (1979)

47. Mustafa, O.G.: Integrarea asimptotica a ecuatiilor diferentiale ordinare ın cazul neautonom.

Ed. Sitech, Craiova (2006)

On-line la adresa: under construction

48. Naito, M.: Nonoscillatory solutions of linear differential equations with deviating arguments.

Ann. Mat. Pura Appl. 136, 1–13 (1984)

Referinte Bibliografice 45

49. Onose, H.: Oscillatory property of ordinary differential equations of arbitrary order. J. Differ-

ential Equations 7, 454–458 (1970)

50. Opial, Z.: Sur l’equation differentielle u′′+a(t)u = 0. Ann. Polon. Math. 5, 77–93 (1958)

51. Osgood, W.F.: On a theorem of oscillation. Bull. Amer. Math. Soc. 25, 216–221 (1919)

52. Philos, C.G.: Oscillatory and asymptotic behavior of the bounded solutions of differential

equations with deviating arguments. Hiroshima Math. J. 8, 31–48 (1978)

53. Philos, C.G.: Some comparison criteria in oscillation theory. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 36,

176–186 (1984)

54. Philos, C.G., Purnaras, I.K.: On the oscillation of secon order nonlinear differential equations.

Arch. Math. (Basel) 59, 260–271 (1992)

55. Philos, C.G.: Oscillation of sublinear differential equations of second order. Nonlinear Anal.

TMA 7, 1071–1080 (1983)

56. Pinto, M.: Asymptotic integration of second-order linear differential equations. J. Math. Anal.

Appl. 111, 388–406 (1985)

57. Rab, M.: Asymptotische eigenschaften der losungen der differentialgleichung y′′+A(x)y = 0.

Czechoslovac Math. J. 8, 513–518 (1958)

58. Rab, M.: Uber lineare perturbationen eines system von linearen differentialgleichungen.

Czechoslovac Math. J. 8, 222–229 (1958)

59. Serret, J.A.: Cours de calcul differentiel et integral, ed. VI, vol. II: Calcul integral. Gauthier-

Villars, Paris (1911)

60. Sficas, Y.G.: On oscillation and asymptotic behavior of a certain class of differential equations

with retarded argument. Utilitas Math. 3, 239–249 (1973)

61. Spigler, R., Vianello, M.: Liouville-Green asymptotic approximation for a class of matrix

differential equations and semi-discretized partial differential equations. J. Math. Anal. Appl.

325, 69–89 (2007)

62. Svec, M.: Monotone solutions of some differential equations. Colloq. Math. 18, 7–21 (1967)

63. Staikos, V.A., Sficas, Y.G.: Oscillatory and asymptotic characterization of the solutions of

differential equations with deviating arguments. J. London Math. Soc. 10, 39–47 (1975)

64. Sturm, J.C.F.: Memoire sur les equations differentielles lineaires du second ordre, J. Math.

Pures Appl. 1, 106–186 (1836)



66. Taam, C.T.: An extension of Osgood’s oscillation theorem to a nonlinear differential equation.


67. Trench, W.F.: On the asymptotic behavior of solutions of second order linear differential equa-

tions. Proc. Amer. Math. Soc. 14, 12–14 (1963)

68. Utz, W.R.: Properties of solutions of u′′ + g(t)u2n−1 = 0 II. Monatsh. Math. 69, 353–361

(1965)

69. Willett, D.: Disconjugacy tests for singular linear differential equations. SIAM J. Math. Anal.

2, 536–545 (1971)

70. Willett, D.: On an example in second order linear ordinary differential equations. Proc. Amer.

Math. Soc. 17, 1263–1266 (1966)

71. Wiman, A.: Uber die reellen losungen der linearen differentialgleichungen zweiter ordnung.

Ark. Mat. Astr. Fys. 12, 1–22 (1917)

72. Wintner, A.: A priori Laplace transformations of linear differential equations. Amer. J. Math.

71, 587–594 (1949)

73. Wintner, A.: A criterion of oscillatory stability. Quart. Appl. Math. 7, 115–117 (1949)

74. Wintner, A.: On the Laplace-Fourier transcendents occuring in mathematical physics. Amer.

J. Math. 69, 87–97 (1947)

75. Wintner, A.: The adiabatic linear oscillator. Amer. J. Math. 68, 385–397 (1946)

76. Wintner, A.: Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator. Amer. J. Math. 69, 251–272

(1947)

77. Wong, J.S.W.: On an oscillation theorem of Waltman. Canad. Appl. Math. Quart. 11, 415–432

(2003)

Capitolul 3

Teoremele lui P. Hartman

Rezumat In acest capitol sunt prezentate doua rezultate clasice, datorate lui P.

Hartman, privind comportamentul pe termen lung al solutiilor ecuatiilor diferentiale

ordinare liniare de ordinul al II–lea: teorema de integrare asimptotica din 1948,

respectiv rezultatul de oscilabilitate ”−∞ < liminf < limsup ≤ +∞” din 1952.

Demonstratiile se bazeaza pe analiza solutiilor ecuatiei diferentiale a lui Riccati

care se ataseaza ecuatiilor diferentiale de ordinul al II–lea ın cazul neoscilatoriu.

3.1 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul I. Existenta solutiilor

care tind la 0

Sa consideram urmatoarea ecuatie diferentiala ordinara neliniara de ordinul I

x′ = f (x)+g(t), t ≥ t0 ≥ 0, (3.1)

unde functiile f : R→ R si g : [t0,+∞)→ R sunt continue.

In 1948, P. Hartman [16, (I)] stabileste un rezultat privind solutiile care tind la 0

ale ecuatiei (3.1).

Teorema 23 (Hartman) Sa presupunem ca f ındeplineste conditiile

x f (x)< 0 pentru orice x 6= 0 si limx→±∞

f (x) =∓∞.

Atunci, o conditie necesara si suficienta ca toate solutiile x ale ecuatiei (3.1) sa

existe ın [t0,+∞) si limt→+∞

x(t) = 0 este data de

limu→+∞

(

supv≥0

1

1+ v

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

)

= 0. (3.2)

Demonstratie. Necesitatea. Integrand ecuatia (3.1), obtinem

47

48 3 Analiza riccatiana I

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ |x(u+ v)− x(u)|+∫ u+v

u| f (x(t))|dt, u ≥ t0, v ≥ 0.

Cum limt→+∞

x(t) = 0, criteriul Bolzano-Cauchy ne asigura ca pentru orice ε > 0

exista uε > t0 astfel ıncat (observam ca f (0) = 0)

|x(t ′)− x(t)| ≤ ε , | f (x(t))| ≤ ε pentru orice t ′ ≥ t ≥ uε .

Printr-o noua integrare ajungem la

∫ u+v

u| f (x(t))|dt ≤ εv < ε(1+ v), u ≥ uε , v ≥ 0.

De asemeni, ınlocuind pe t, t ′ cu u, u+ v, deducem ca

1

1+ v

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ |x(u+ v)− x(u)|1+ v

+ ε < 2ε

pentru orice v ≥ 0 si u ≥ uε . De aici rezulta (3.2).

Suficienta. Fie x(t) o solutie oarecare a ecuatiei (3.1). Teorema de explozie ın

timp finit a lui A. Wintner [47, pp. 174–175] ne spune ca, daca solutia nu este

prelungibila la infinit, atunci

limtրt∞

|x(t)|=+∞, t∞ <+∞,

unde [t0, t∞) este intervalul maximal de existenta.

Sa presupunem ca limtրt∞

x(t) = +∞. De aici rezulta ca limtրt∞

f (x(t)) = −∞ si, cum

functia g este marginita ın [t0, t∞] fiind continua, ajungem la limtրt∞

x′(t) = −∞. Ast-

fel, solutia x(t) este eventual monoton descrescatoare, adica o contradictie. Cazul

limtրt∞

x(t) = −∞ se exclude ın mod analog. Existenta globala ın viitor a solutiilor

ecuatiei (3.1) este probata.

Afirmatie Vom dovedi ca are loc dubla inegalitate

liminft→+∞

x(t)≤ 0 ≤ limsupt→+∞

x(t). (3.3)

Proprietatile lui f (x) ne permit sa introducem functia continua* f ⋆ : (0,+∞)→(0,+∞) cu formula

f ⋆(r) = inf|x|>r

| f (x)|, r > 0.

Intr-adevar, este clar ca | f (x)| > 1 cand |x| este suficient de mare. Pozitivitatea lui

f ⋆ rezulta din faptul ca functia f (x) nu are decat un singur zero, si anume 0.

* Vezi [31, Lema 8, p. 44]

3.1 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul I. Existenta solutiilor care tind la 0 49

Sa presupunem acum ca, prin absurd, liminft→+∞

x(t) ∈ (0,+∞]. Vor exista ε0 > 0 si

t1 > t0 astfel ıncat x(t)≥ ε0 pentru orice t ≥ t1.

Fixam ε ∈ (0, f ⋆(ε0)). Atunci exista tε ≥ t1 cu proprietatea ca

1

1+ v

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

< ε , u ≥ tε , v ≥ 0. (3.4)

Tinand seama de semnul lui f putem scrie ca f (x(t)) ≤ − f ⋆(ε0) ın [tε ,+∞), de

unde

x′(t)≤− f ⋆(ε0)+g(t), t ≥ tε ,

respectiv, prin integrare si conform (3.4),

x(u+ v)− x(u)≤− f ⋆(ε0)v+ ε(1+ v), v ≥ 0,

pentru orice u ≥ tε . Facandu-l pe v sa tinda la +∞ ajungem la limt→+∞

x(t) =−∞, ceea

ce reprezinta o contradictie.

In mod analog se exclude cazul limsupt→+∞

x(t) ∈ [−∞,0), fapt care probeaza Afir-

matia.

Afirmatie Vom dovedi ın continuare ca are loc dubla inegalitate

limsupt→+∞

x(t)≤ 0 ≤ liminft→+∞

x(t). (3.5)

Astfel, dat fiind ca liminft→+∞

x(t)≤ limsupt→+∞

x(t), relatiile (3.3), (3.5) ne vor conduce

la limt→+∞

x(t) = 0.

Sa presupunem ca, prin absurd, limsupt→+∞

x(t) ∈ (0,+∞]. Atunci exista ε1 > 0 si un

sir crescator si nemarginit superior (tn)n≥2, situat ın [t0,+∞), astfel ıncat x(tn)≥ ε1

pentru orice n ≥ 2. Deoarece liminft→+∞

x(t) ≤ 0, vezi (3.3), ın [t0,+∞) va exista si un

sir crescator si nemarginit superior (tn)n≥2 cu proprietatea ca x(tn)≤ ε14

pentru orice

n ≥ 2. Trecand eventual la subsiruri, vom considera ca tn ∈ (tn, tn+1).Solutia x fiind continua (deci cu proprietatea lui Darboux), exista ınca doua siruri,

(un)n≥2 respectiv (vn)n≥2, astfel ıncat

x(un) =ε1

3, x(un + vn) =

ε1

2, un ∈ (tn, t

n+1), vn ≥ 0

si

x(t)≥ ε1

3pentru orice t ∈ [un,un + vn].

Aceasta implica f (x(t))≤− f ⋆( ε1

3

)

ın [un,un + vn].


Fixam ε ∈(

0,min ε1

6, f ⋆( ε1

3

))

. Va exista tε > t0 pentru care sa aiba loc (3.4).

Integrand ecuatia (3.1), obtinem

ε1

6= x(un + vn)− x(un)<

∫ un+vn

un

f (x(t))dt + ε(1+ vn)

≤ − f ⋆(ε1

3

)

vn + ε(1+ vn),

adicaε16+ f ⋆

( ε13

)

vn < ε(1+ vn) – o contradictie!

In mod analog, conditia liminft→+∞

x(t) ∈ [−∞,0) ne va conduce, ımpreuna cu (3.3),

la alte doua siruri (tn)n≥2, (tn)n≥2 si ın cele din urma la o noua contradictie. Ex-

cluzand aceasta ultima situatie, Afirmatia este probata.

Un rezultat dual are loc.

Teorema 24 ([16, (II)]) Sa presupunem ca f ındeplineste conditiile

x f (x)> 0 pentru orice x 6= 0 si limx→±∞

f (x) =±∞

iar g verifica (3.2).

Atunci, exista o solutie x a ecuatiei (3.1) definita ın [t0,+∞) cu proprietatea ca

limt→+∞

x(t) = 0.

Demonstratie. Pentru n ≥ 1 introducem urmatoarea problema a valorii finale

x′ = f (x)+g(t), t ≤ t0 +n,x(t0 +n) = 0.

(3.6)

Teorema de existenta a lui G. Peano [37] ne asigura ca problema (3.6) admite (cel

putin) o solutie xn definita ıntr-o vecinatate a punctului t0 +n.

Afirmatie Vom dovedi ca solutia xn este definita ın [t0, t0 +n].

Presupunem ca, prin absurd, xn nu poate fi prelungita la stanga pana ın t0, adica,

via teorema de explozie ın timp finit [47], putem scrie ca

limtցtn

|xn(t)|=+∞ pentru un anumit tn ∈ [t0, t0 +n).

Repetand rationamentul de la demonstratia Teoremei 23 (practic, limtցtn

xn(t) = +∞

implica limtցtn

x′n(t) =+∞, ceea ce ınseamna ca functia xn, plecand de la +∞, ar trebui

sa ”creasca” eventual pana la 0!), decidem cu usurinta ca solutia xn poate fi prelun-

gita la stanga pe tot domeniul de existenta al functiei g. Afirmatia a fost probata.

Afirmatie Vom dovedi ın continuare ca, fiind dat sirul crescator si nemarginit su-

perior (tn)n≥1 astfel ıncat tn ∈ (t0, t0 +n), are loc relatia

limn→+∞

xn(tn) = 0. (3.7)


Prespunem ca, prin absurd, exista ε0 > 0 si un sir (tn)n≥1, cu tn ∈ (t0, t0 + n),astfel ıncat sau (A) xn(tn)≥ ε0 pentru orice n ≥ 1 sau (B) xn(tn)≤−ε0 pentru orice

n ≥ 1.

In situatia (A) exista sirul (vn)n≥1 cu proprietatea ca (vn > 0)

xn(tn + vn) =ε0

2si xn(t)>

ε0

2ın [tn, tn + vn).

Cum xn(t0 + n) = 0 vom avea tn + vn < t0 + n pentru orice n ≥ 1. In particular,

f (xn(t))≥ f ⋆( ε0

2

)

pentru orice t ∈ [tn, tn+vn], unde f ⋆ reprezinta functia definita la

pagina 48.

Fixand ε ∈(

0,min ε0

2, f ⋆( ε0

2

))

, exista tε ≥ t0 pentru care are loc (3.4).

Pentru n ≥ nε ≥ 1 suficient de mare ca tn > tε putem scrie ca

xn(tn + vn)− xn(tn) >∫ tn+vn

tn

f (xn(t))dt − ε(1+ vn)

≥ f ⋆(ε0

2

)

vn − ε(1+ vn),

respectiv

ε(1+ vn)> f ⋆(ε0

2

)

vn + xn(tn)−ε0

2≥ f ⋆

(ε0

2

)

vn +ε0

2,

ceea ce reprezinta o contradictie.

Situatia (B) se exclude ın mod analog, Afirmatia fiind astfel probata.

Sa remarcam ca ipoteza (3.2) implica existenta unui numar M > 0 avand propri-

etatea ca∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ M(1+ v) pentru orice u ≥ t0, v ≥ 0.

Afirmatie Are loc inegalitatea

M ≥ supn≥1

min

Mn

2, f ⋆(

Mn

2

)

, unde Mn = supt∈[t0,t0+n]

|xn(t)|.

Afirmatia poate fi probata adaptand demonstratia Afirmatiei precedente. Am

obtinut ın acest moment o estimare apriorica fundamentala pentru sirul de solutii

(xn)n≥1, mai precis

|xn(t)| ≤C = 2maxM,M∞, t ∈ [t0, t0 +n], n ≥ 1,

unde M∞ = supr > 0 : f ⋆(r) ≤ M. Existenta lui M∞ este asigurata de faptul ca

functia monoton nedescrescatoare f ⋆ are proprietatea ca limr′→+∞

f ⋆(r′) = +∞.

Functiile (xn)n≥1 fiind solutii ale ecuatiei (3.1), deducem ca pentru orice N ≥ 1

sirul derivatelor acestora, (x′n)n≥N , va fi uniform marginit ın [t0, t0 +N]. Efectiv,


|x′n(t)| ≤C′ = sup|r|≤C

| f (r)|+ supt ′∈[t0,t0+N]

|g(t ′)|, t ∈ [t0, t0 +N], n ≥ N.

Astfel, sirul (xn)n≥N ındeplineste conditiile teoremei Ascoli-Arzela [31, p. 77], deci

va avea un subsir, notat tot cu (xn)n≥N , ce este uniform convergent ın [t0, t0 +N].Aplicand, de exemplu, [18, Theorem 2.4], rezulta ca limita subsirului, notata x,

verifica ecuatia (3.1) ın [t0, t0 +N].Consideratiile anterioare, pe baza unui proces diagonal standard [18, p. 4], ne

permit sa afirmam ca sirul (xn)n≥1 poseda un subsir, cu aceeasi notatie, care con-

verge local uniform ın [t0,+∞) la solutia x.

Afirmatie Vom dovedi, ın final, faptul ca limt→+∞

x(t) = 0.

Intr-adevar, ın caz contrar ar exista ε1 > 0 si un sir crescator si nemarginit supe-

rior (tn)n≥1, situat ın [t0,+∞), astfel ca |x(tn)| ≥ ε1 pentru orice n ≥ 1. Convergenta

local uniforma a sirului (xn)n≥1 la x ne conduce la existenta unui sir crescator si

nemarginit superior (tn)n≥1 din [t0,+∞) cu proprietatea ca |xn(tn)| ≥ ε12

. Insa o atare

concluzie vine ın contradictie cu (3.7). Ultima Afirmatie este probata.

Ecuatia diferentiala

x′ = x3, t ≥ t0 = 1,

ındeplineste conditiile Teoremei 24. In acest caz, problema valorii finale (3.6) are

solutia unica xn ≡ 0. In plus, ecuatia admite solutia x(t) = 1√2(2−t)

pentru orice

t ∈ [1,2). Un alt exemplu, oferit de ecuatia liniara x′ = x pentru t ≥ t0 = 0, ne permite

sa scriem ca, ın afara solutiei globale descrisa ın Teorema 24, ecuatia (3.1) poate

avea solutii cu explozie ın timp finit, respectiv solutii nemarginite.

Se cuvine facuta urmatoarea observatie: functia f avand un unic zero, putem

modifica ipotezele Teoremelor 23, 24 astfel ıncat acest zero sa fie numarul α 6= 0, cf.

[16, p. 571]. In consecinta, ın Teorema 23 vom avea conditia de semn (x−α) f (x)<0 pentru orice x 6= α iar concluziile celor doua teoreme vor privi solutiile x(t) ale

ecuatiei (3.1) pentru care limt ′→+∞

x(t ′) = α .

Intarind ipotezele Teoremei 24, vom regasi concluziile Teoremei 23.

Teorema 25 (Hartman, 1952, cf. [17, Lemma 1]) Fiind data functia continua f :

R → R cu f (0) = 0, sa presupunem ca exista functia monoton nedescrescatoare

F : [0,+∞)→ [0,+∞) cu proprietatea ca

| f (x)| ≥ F(|x|)> 0 pentru orice x 6= 0 si

∫ +∞ dx

F(x)<+∞.

Atunci, restrictia (3.2) este o conditie necesara si suficienta pentru ca orice solutie

x, definita ın vecinatatea lui +∞, sa satisfaca limt→+∞

x(t) = 0.

Demonstratie. Partea de necesitate se stabileste la fel ca ın demonstratia Teore-

mei 23.


Suficienta. Incepem cu observatia ca limr→+∞

F(r) = +∞. In caz contrar, integrala

din enunt este divergenta.

Fie x(t) o solutie a ecuatiei (3.1) definita ın [T,+∞), unde T ≥ t0.

Afirmatie Vom dovedi ca are loc dubla inegalitate

liminft→+∞

x(t)≤ 0 ≤ limsupt→+∞

x(t). (3.8)

Sa presupunem, fara a restrange generalitatea, ca x(t) ≤ −ε0 < 0 pentru orice

t ≥ T . Atunci, | f (x(t))| ≥ F(ε0) ın [T,+∞). Cum functia f x are proprietatea lui

Darboux, estimarea precedenta ne arata ca ea are semn constant nenul ın [T,+∞).Tinand seama de acest lucru, prin integrarea ecuatiei (3.1), se ajunge la

|x(u+ v)− x(u)| ≥∣

∣

∣

∣

∫ u+v

uf (x(t))dt

∣

∣

∣

∣

−∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

=

∫ u+v

u| f (x(t))|dt −

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

. (3.9)

Pentru ε ∈ (0,F(ε0)) fixat exista tε ≥ T astfel ıncat sa aiba loc inegalitatea (3.4).

Atunci, conform (3.9), putem scrie ca

|x(u+ v)− x(u)| ≥ F(ε0)v− ε(1+ v) = [F(ε0)− ε ]v− ε , u ≥ tε , v ≥ 0.

Facand ca v sa tinda la +∞, obtinem limt→+∞

x(t) =−∞ (am tinut seama de faptul ca x

ia numai valori negative!).

Inlocuim ın inegalitatea (3.9) marimile u, u+ v cu tε si t. Astfel, ajungem la

|x(t)| ≥ F(ε0)− εF(ε0)

∫ t

tε| f (x(s))|ds+

εF(ε0)

∫ t

tε| f (x(s))|ds

− ε(1+ t − tε)−|x(tε)|

≥ F(ε0)− εF(ε0)

∫ t

tεF(|x(s)|)ds− ε −|x(tε)|

Cum limr→+∞

F(r) = +∞ si limt→+∞

|x(t)|=+∞, exista Tε > tε pentru care

F(ε0)− ε2F(ε0)

∫ Tε

tεF(|x(s)|)ds > ε + |x(tε)|.

De aici rezulta ca

|x(t)| ≥ λ∫ t

tεF(|x(s)|)ds, t ≥ Tε , (3.10)

unde λ = F(ε0)−ε2F(ε0)

.


Notam cu y(t) integrala din (3.10). Atunci, y(Tε)> 0. Monotonia functiei F im-

plica

y′(t) = F(|x(t)|)≥ F(λy(t)),

respectiv

∫ +∞

λy(Tε )

dz

F(z)≥∫ λy(t)

λy(Tε )

dz

F(z)≥ λ (t −Tε), t ≥ Tε . (3.11)

Facand ca t sa tinda la +∞ ın (3.11), ajungem la o contradictie. In mod analog,

putem stabili prima parte a dublei inegalitati (3.8).

Afirmatie Are loc dubla inegalitate

limsupt→+∞

x(t)≤ 0 ≤ liminft→+∞

x(t). (3.12)

Aceasta Afirmatie este probata pe baza argumentelor de la demonstratia ine-

galitatii (3.5).

Putem renunta la functia F din enuntul Teoremei 25 daca impunem, ın schimb, o

conditie de crestere asupra functiei f .

Teorema 26 (Hartman, 1948, cf. [16, (II*)]) Sa presupunem ca f verifica ipotezele

Teoremei 24 iar g satisface conditia (3.2). In plus, cerem ca

∫ +∞ dz

f (z)+

∫

−∞

dz

| f (z)| <+∞

si

0 < c1 ≤| f (x+ y)|| f (x)| ≤ c2 <+∞ (3.13)

pentru orice x,y ∈ R cu |x| ≥ 2, |y| ≤ 1.

Atunci, orice solutie x a ecuatiei (3.1), definita ın vecinatatea lui +∞, are pro-

prietatea ca limt→+∞

x(t) = 0.

Demonstratie. Fie x(t) o solutie a ecuatiei (3.1) definita ın [T,+∞), unde T ≥ t0.

Afirmatie Vom dovedi ca are loc dubla inegalitate (3.3).

Sa presupunem, fara a restrange generalitatea, ca x(t)≥ ε0 > 0 pentru orice t ≥ T .

In particular, f (x(t))≥ f ⋆(ε0) ın [T,+∞).Conform Teoremei 24, exista o solutie x1(t) a ecuatiei (3.1) cu lim

t ′→+∞x1(t

′) = 0.

Cum f (0) = 0, putem presupune ca

|x1(t)|< min

1,ε0

2

si | f (x1(t))|<1

2minc1 f ⋆(2), f ⋆(ε0)

3.2 Existenta solutiilor oscilatorii ale ecuatiei (3.1) care tind la 0 55

pentru orice t ≥ T .

Astfel, avem

x(t)− x1(t)≥ε0

2si x′(t)− x′1(t) = f (x(t))− f (x1(t))≥

f ⋆(ε0)

2. (3.14)

Cea de-a doua inegalitate (3.14) ne arata ca functia x− x1 este monoton crescatoare

ın [T,+∞). In plus, prin integrare, aceeasi inegalitate ne conduce la limt ′→+∞

[x(t ′)−x1(t

′)] = +∞, adica limt ′→+∞

x(t ′) = +∞.

Fie acum T1 ≥ T pentru care x(t)≥ 3 ın [T1,+∞). Cum x(t)−x1(t)≥ 2, ınlocuind

pe x, y din (3.13) cu x(t)− x1(t), respectiv x1(t), obtinem

f (x(t))− f (x1(t))

f (x(t)− x1(t))≥ c1 −

f (x1(t))

f (x(t)− x1(t))≥ c1 −

f (x1(t))

f ⋆(2)≥ c1

2, t ≥ T1.

Prima schimbare de variabila ne conduce la (vezi identitatea din (3.14)!)

∫ +∞

ε02

dz

f (z)≥∫ x(t)−x1(t)

x(T1)−x1(T1)

dz

f (z)=∫ t

T1

f (x(t))− f (x1(t))

f (x(t)− x1(t))dt ≥ c1

2(t −T1).

Impunand ca t sa tinda la +∞ ajungem la o contradictie. Cea de-a doua parte a

inegalitatii (3.3) se stabileste analog.

Afirmatie Are loc dubla inegalitate (3.12).

Aceasta Afirmatie se probeaza reluand demonstratia inegalitatii (3.5).

Variante ale Teoremelor 23, 24, 26 ın cazul sistemelor diferentiale ordinare de

ordinul I au fost stabilite de V.A. Staikos [44, Section 2] ın 1966.

3.2 Existenta solutiilor oscilatorii ale ecuatiei (3.1) care tind la 0

Teorema 23 stabileste ca toate solutiile x(t) ale ecuatiei (3.1) tind la 0 cand

t → +∞. In anumite situatii, unele dintre solutii sunt oscilatorii. Vom stabili acest

lucru printr-o clasa de exemple.

Sa consideram functia continua a : [t0,+∞)→ [A1,A2], unde A2 ≥ A1 > 0. Fixand

λ > 1, introducem inecuatia integrala

α(t)<∫ +∞

ta(τ)[α(τ)]λ dτ , t ≥ t0. (3.15)

Aici, αλ = |α|ε α , unde λ = 1+ ε .

Doua rezultate auxiliare sunt necesare ın discutie.

Lema 11 ([1, p. 149]) Fie c1,c2,K1,K2,m ∈ R astfel ıncat c1 < c2 si m ≥ 2. Fiind

dat Q = (1+m)c1+c2

2+m, introducem functiile fm,gm : [c1,c2]→ R cu formulele


fm(t) = fm(c1,c2;K1,K2)(t) =1

(c2 − c1)m[exp(gm(t))−1] (3.16)

si gm(t) = K1(c2 − t)m(t − c1)−K2(c2 − t)(t − c1)m pentru orice t ∈ [c1,c2].

Atunci, fm are proprietatile urmatoare:

(i) fm(c1) = fm(c2) = 0, ( fm)′+(c1) = K1 si ( fm)

′−(c2) = K2;

(ii) pentru orice t ∈ [c1,c2],

| fm(t)| ≤1

(c2 − c1)m

[

exp(

γ(|K1|+ |K2|) · (c2 − c1)1+m)

−1]

,

unde γ =(

m1+m

)1+m;

(iii) daca K1 ·K2 < 0, atunci sgn fm(t) = sgn K1 pentru orice t ∈ (c1,c2);(iv) daca K1 > 0,K2 < 0, atunci f ′m(t) ≥ η ·K1 pentru orice t ∈ [c1,Q], unde

η = 12+m

(

21+m

)m−1.

Cel de-al doilea rezultat ne ajuta sa modelam solutiile oscilatorii ale inecuatiei

(3.15).

Lema 12 Fie s∈(

11+ε ,

1ε)

si C > 0. Atunci, exista numarul natural N =N(ε ,s,C)≥1 cu proprietatea ca

∞

∑k=n+2

(

1

ks

)1+ε>

C

ns, n ≥ N.

Demonstratie. Fixand numarul natural k ≥ 1, avem

∫ k+1

k

ds

xs(1+ε) ≤(

1

ks

)1+ε

si

∞

∑k=n+2

(

1

ks

)1+ε≥∫ +∞

n+2

ds

xs(1+ε) =1

s(1+ ε)−1· (n+2)1−s(1+ε).

Inegalitatea

1

[s(1+ ε)−1]C>

(n+2)s(1+ε)−1

ns

este valabila pentru orice n suficient de mare deoarece membrul sau drept are alura

asimptotica O(

nsε−1)

= o(1) cand n →+∞.

Are loc urmatorul rezultat.

Teorema 27 ([32, Theorem 1]) Fixam s ∈(

11+ε ,

1ε)

. Atunci, inecuatia integrala

(3.15) admite o solutie α(t) de clasa C1, definita pentru orice t ≥ T0 = T0(A1,A2,ε ,s,m)> 1, cu semn variabil si avand rata de descrestere data de inegalitatea


|α(t)|< 3

(t −1)s, t ≥ T0. (3.17)

Demonstratie. Fie m ≥ 2 si I ∈ (0,1), cel de-al doilea numar avand de verificat

o restrictie care va fi specificata ulterior.

Introducem, pentru a defini o functie fm ca ın Lema 11, marimile

an = n+1, bn = an +m+2

m+2+ I, Qn = an +

1

m+2+ I,

unde n ≥ t0 este un numar natural, respectiv

K1,n =1

(n+1)s, K2,n =−1

2K1,n.

Observand ca putem scrie Q = c1 +c2−c12+m

, vom ajunge la formula lui Qn daca

luam c1 = an si c2 = bn.

Fie functia

α(t) =

fm(an,bn;K1,n,K2,n)(t), t ∈ [an,bn],fm(bn,an+1;K2,n,K1,n+1)(t), t ∈ [bn,an+1],

n ≥ N.

Numerele N si T0 = aN vor fi presupuse suficient de mari pentru a putea folosi

concluzia Lemei 12.

Prima estimare. Cum α(t)≥ 0 ın [an,bn], vezi Lema 11 (iii), deducem ca

∫ Qn

an

a(τ)[α(τ)]1+εdτ ≥∫ Qn

an+Qn2

a(τ)[α(τ)]1+ε dτ

≥ A1

∫ Qn

an+Qn2

[

(K1,nη) ·(

s− an +Qn

2

)]1+εds

= A1(K1,nη)1+ε · 1

2+ ε

(

Qn −an

2

)2+ε.

Am utilizat Lema 11 (iv). Mai departe, introducem marimea pozitiva P =P(A1,m,ε) data de

P =A1

2+ ε·η1+ε ·

(

1

2(m+3)

)2+ε.

Cum I ∈ (0,1), tinand seama de formula lui Qn −an, avem

∫ Qn

an

a(τ)[α(τ)]1+εdτ ≥ P ·K1+ε1,n .

A doua estimare. Inegalitatea elementara |ex −1| ≤ 2|x| are loc pentru |x| ≤ ln2.

Pentru a o utiliza, vom cere ca (reamintesc Lema 11 (ii))


γ(K1,n + |K2,n|) · (bn −an)1+m < K1,n + |K2,n|< ln2,

γ(|K2,n|+K1,n+1) · (an+1 −bn)1+m < |K2,n|+K1,n+1 < ln2.

Acest inegalitati au loc cand n ≥ N este suficient de mare. Acum, deoarece avem

K1,n + |K2,n|=3

2K1,n, |K2,n|+K1,n+1 ≤

3

2K1,n,

vom conclude ca

|α(t)| ≤ 3γK1,n · (bn −an), t ∈ [an,bn],|α(t)| ≤ 3γK1,n · (an+1 −bn), t ∈ [bn,an+1],

ceea ce implica (γ ∈ (0,1))

|α(t)| ≤ 3K1,n · (an+1 −an) = 3K1,n

pentru orice t ∈ [an,an+1].A treia estimare. In [bn,an+1] avem α(t)≤ 0. Astfel, ın baza calculului anterior,

deducem ca

∫ an+1

bn

a(τ)|α(τ)|1+ε dτ ≤ A2[3K1,n · (an+1 −bn)]1+ε · (an+1 −bn),

respectiv, dat fiind ca an+1 −bn =I

m+2+I≤ I

m+2,

∫ an+1

bn

a(τ)|α(τ)|1+ε dτ ≤ A2

(

3I

m+2·K1,n

)1+ε· I

m+2

= R · I2+ε ·K1+ε1,n ,

unde R = R(A2,m,ε)> 0.

O margine superioara pentru I. Vrem ca

∫ an+1

an

a(τ)|α(τ)|ε α(τ)dτ > 0 pentru orice n ≥ N.

Acest lucru ar avea loc daca, tinand seama de semnul functiei α(t), am cere ca

1

2·∫ Qn

an+Qn2

a(τ)[α(τ)]1+εdτ >

∫ an+1

bn

a(τ)|α(τ)|1+εdτ , n ≥ N. (3.18)

Legand estimarea (3.18) de calculele precedente, cerem ca

1

2·P ·K1+ε

1,n > R · I2+ε ·K1+ε1,n ,

ceea ce ne conduce la


I2+ε < min

1,P

2R

.

A patra estimare. Dorim sa stabilim ın acest moment ca exista numarul natural

N ≥ 1, suficient de mare, astfel ıncat

|α(t)|+∫ an+1

ta(τ)|α(τ)|1+ε dτ <

∫ +∞

an+1

a(τ)|α(τ)|ε α(τ)dτ , t ∈ [an,an+1],

pentru orice n ≥ N. Aceasta este o forma mai tare a inecuatiei (3.15), fapt care

rezulta din

α(t)−∫ an+1

ta(τ)|α(τ)|ε α(τ)dτ ≤ |α(t)|+

∫ an+1

ta(τ)|α(τ)|1+ε dτ

<

∫ +∞

an+1

a(τ)|α(τ)|ε α(τ)dτ

cand t ∈ [an,an+1].Tinand seama de (3.18), cerem ca

|α(t)|+∫ an+1

ta(τ)|α(τ)|1+ε dτ <

1

2·

∞

∑k=n+2

∫ Qk

ak

a(τ)[α(τ)]1+εdτ .

Conform estimarilor de pana acum, aceasta ultima inegalitate poate fi dedusa din

3K1,n +A2(3K1,n)1+ε <

P

2·

∞

∑k=n+2

K1+ε1,k .

Se ajunge la

C1 ·1

(n+1)s+C2 ·

[

1

(n+1)s

]1+ε<

C

(n+1)s<

∞

∑k=n+2

[

1

(k+1)s

]1+ε. (3.19)

Aici, C1 =6P

, C2 =2A2P

·31+ε , C =C1 +C2 =C(A1,A2,ε ,m).Existenta lui N astfel ıncat sa aiba loc (3.19) pentru orice n ≥ N este asigurata de

Lema 12.

Descresterea lui α(t). Avem

|α(t)| ≤ 3K1,n ≤3

(t −1)spentru orice t ∈ [an,an+1].

Demonstratia este ıncheiata.

Marimea

G(t) = α(t)−∫ +∞

ta(τ)[α(τ)]λ dτ , t ≥ T0,

are alura asimptotica G(t) = O(t−(sλ−1)) = o(1) cand t →+∞.


Functia α(t) verifica ecuatia diferentiala

x′ =−a(t)xλ +g(t), t ≥ t0, unde g = G′.

Pentru a(t) ≡ A > 0 regasim ecuatia (3.1). Conditia (3.2) rezulta din estimarea

urmatoare

1

1+ v

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

uG′(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ |G(u+ v)−G(u)| (3.20)

pe baza criteriului Bolzano-Cauchy de existenta a limitei functiei G.

3.3 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul al II–lea. Teorema de

tip Fite–Mikusinski a lui J.S.W. Wong. Inegalitatile lui J.L.

Massera si J.J. Schaffer

Teorema 26 ne ofera prilejul unei digresiuni. Astfel, exista un interes major pen-

tru analiza ecuatiilor diferentiale ordinare ın care fie solutiile fie neliniaritatile (ori

coeficientii functionali ın cazul liniar) verifica conditii de crestere/monotonie.

In [5, p. 638], R.P. Boas Jr. scrie ca functia ϕ : (0,+∞)→ (0,+∞) cu proprietatea

caϕ(cx)ϕ(x) ≤ M pentru orice x > 0 si c ∈ [a,A], unde numerele a ∈ (0,1) si A > 1 sunt

fixate, ıi apartine clasei K. Aceasta contine functiile cu crestere regulara ın sens

larg ale lui J. Karamata [24], [15, pp. 9–11]. Asemenea dezvoltari sunt legate de

teoriile tauberiene [14, 15] dar, ıncepand cu rezultatul lui V.A. Avakumovic din

1947 privind ecuatia diferentiala Thomas-Fermi, conduc la concluzii spectaculoase

ın cadrul analizei ecuatiilor diferentiale ordinare, cf. [29]†.

O serie de rezultate privind ecuatiile diferentiale ordinare liniare cu coeficienti

functionali reprezentabili prin transformari de tip integral (avand drept caz particular

situatia coeficientilor monotoni) pot fi citite ın [19] si referintele sale.

Fiind data ecuatia diferentiala

x′′+ f (t,x) = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (3.21)

J.S.W. Wong [50, p. 208] numeste neliniaritatea f (t,x) tare inferior semi-continua

la stanga ın x0 daca f este continua‡ ıntr-o vecinatate a punctului (t,x0) si, ın plus,

pentru orice ε ∈ (0,1) exista δ > 0 si xδ ∈ [x0 −δ ,x0] astfel ıncat (1− ε) f (t,xδ )≤

† In [29, Definition 0.6, p. 5] este data o varianta a clasei K sub titulatura de clasa functiilor regular

marginite la +∞. Mai precis, exista m ∈ (0,1) si c0,M > 1 astfel ıncat m ≤ ϕ(cx)ϕ(x) ≤ M pentru orice

x ≥ x0 > 0 si c ∈ [1,c0].

‡ In lucrarea de fata ne referim doar solutiile clasice (C2) ale ecuatiilor diferentiale. Chiar daca, ın

prezenta continuitatii unei functii, semi-continuitatea acesteia devine superflua, am ales sa pastram

si partea (iii) a teoremei urmatoare, care priveste solutiile absolut continue (generalizate) ale unei

ecuatii diferentiale ordinare.

3.3 Ecuatii diferentiale neliniare de ordinul al II–lea 61

f (t,x) pentru orice x ∈ [x0−δ ,x0]. Tare superior semi-continuitatea la dreapta ın x0

a functiei f se defineste ın mod analog. Mai precis, f (t,x)≤ (1+ ε) f (t,xδ ) pentru

orice x ∈ [x0,x0 +δ ], unde xδ ∈ [x0,x0 +δ ].

Teorema 28 (Wong, 1968, cf. [50, Theorem 1]) Sa presupunem ca f : [t0,+∞)×R→ R este continua, are semnul dat de

x f (t,x)> 0 pentru orice x 6= 0 si t ≥ t0 (3.22)

si, ın plus, verifica una dintre conditiile urmatoare:

(i) exista λ ∈ (0,1) astfel ıncat

∫ +∞tλ inf

|x|≥δ

(

f (t,x)

x

)

dt =+∞ pentru orice δ > 0; (3.23)

(ii) pentru orice δ > 0 are loc relatia

∫ +∞inf|x|≥δ

| f (t,x)|dt =+∞; (3.24)

(iii) functia f (t,x) este tare inferior semi-continua la stanga ın x pentru orice x>0, tare superior semi-continua la dreapta ın x pentru orice x < 0, verifica conditia

∫ +∞| f (t,x)|dt =+∞ pentru orice x 6= 0 (3.25)

si poseda functia auxiliara continua F : [0,+∞)→ [0,+∞) data de conditiile

| f (t,x)| ≥ F(|x|) pentru orice t ≥ t0,∫ +∞

0F(x)dx =+∞. (3.26)


Demonstratie. Cazul (i). Presupunem ca, prin absurd, ecuatia (3.21) admite

solutia pozitiva x definita ın [T,+∞), unde T > t0. Atunci, din relatiile (3.21),

(3.22) rezulta ca x′′(t) < 0 pentru orice t ≥ T . Astfel, functia x′ este monoton de-

screscatoare, ia valori pozitive ın [T,+∞) si limt ′→+∞

x′(t ′) = L ∈ [0,+∞) (vezi Lemele

2, 5 din capitolul anterior). In particular, x(t)≥ x(T )> 0 pentru orice t ≥ T .

Introducem marimea

v(t) =x′(t)x(t)

, (v(t)> 0)

de unde

v′(t)+ [v(t)]2 +f (t,x(t))

x(t)= 0 (3.27)

pentru orice t ≥ T .


Inmultind ecuatia (3.27) ın ambii membri cu tλ si integrand rezultatul pe [T, t],obtinem

tλ v(t)−λ∫ t

Tsλ−1v(s)ds+

∫ t

Tsλ [v(s)]2ds

+∫ t

Tsλ f (s,x(s))

x(s)ds = T λ v(T ) (3.28)

si

∫ t

Tsλ f (s,x(s))

x(s)ds ≤ T λ v(T )+λ

∫ t

Tsλ−1v(s)ds. (3.29)

Facem urmatoarea estimare

∫ t

Tsλ inf

|y|≥x(T )

(

f (t,y)

y

)

dt ≤∫ t

Tsλ inf

y≥x(T )

(

f (t,y)

y

)

dt ≤∫ t

Tsλ f (s,x(s))

x(s)ds.

Este evident ca, daca∫ +∞

T tλ−1v(t)dt < +∞, relatia (3.29) se afla ın contradictie

cu (3.23) (aici, δ = x(T )).Cand

∫ +∞T tλ−1v(t)dt =+∞ inegalitatea Cauchy-Schwarz ne conduce la

[

∫ t

Tsλ−1v(s)ds

]2

≤∫ +∞

T

ds

s2−λ ·∫ t

Tsλ [v(s)]2ds

=1

(1−λ )T 1−λ

∫ t

Tsλ [v(s)]2ds, t ≥ T. (3.30)

Exista T1 > T pentru care

∫ t

Tsλ−1v(s)ds ≥ λ

(1−λ )T 1−λ , t ≥ T1.

Atunci, (3.30) implica

λ∫ t

Tsλ−1v(s)ds ≤

∫ t

Tsλ [v(s)]2ds, t ≥ T1.

Revenind la (3.28), putem scrie ca

∫ t

Tsλ f (s,x(s))

x(s)ds ≤ T λ v(T )

pentru orice t ≥ T1, relatia aflata ın contradictie cu (3.23). Existenta solutiilor even-

tual negative se exclude ın mod analog.

Cazul (ii). Presupunem ca, prin absurd, ecuatia (3.21) admite solutia pozitiva x

definita ın [T,+∞), unde T ≥ t0. Atunci, la fel ca ın cazul anterior, x′(t) este pozitiva

si marginita iar x(t)≥ x(T )> 0 pentru orice t ≥ T .


Prin integrarea ecuatiei (3.21) se ajunge la ( f (t,y)> 0 cand y > 0!)

∫ t

Tinf

|y|≥x(T )| f (t,y)|dt ≤

∫ t

Tinf

y≥x(T )f (t,y)dt

≤ x′(t)+∫ t

Tf (s,x(s))ds = x′(T ),

relatie aflata ın contradictie cu (3.24). Existenta solutiilor eventual negative se ex-

clude ın mod analog.

Cazul (iii). Presupunem ca, prin absurd, ecuatia (3.21) admite solutia pozitiva x

definita ın [T,+∞), unde T ≥ t0. La fel ca pana acum,

0 < x′(t)≤ x′(T ), t ≥ T, si limt ′→+∞

x(t ′) = L ∈ (0,+∞].

Daca L < +∞, atunci exista T1 > T astfel ıncat x(t) ∈ [L − δ ,L] pentru orice

t ≥ T1, unde δ este luat din definitia tare inferior semi-continuitatii la stanga ın

x0 = L a neliniaritatii f (t,x) pentru ε = 12.

Integrand ecuatia (3.21) pe [T1, t], putem scrie ca

x′(t)+1

2

∫ t

T1

f (s,xδ )ds ≤ x′(t)+∫ t

T1

f (s,x(s))ds = x′(T1),

relatie aflata ın contradictie cu (3.25).

Daca L = +∞, atunci, ınmultinand ecuatia (3.21) ın ambii membri cu x′(t) si

integrand rezultatul pe [T, t], vom obtine

[x′(t)]2

2+∫ t

Tf (s,x(s))x′(s)ds =

[x′(T )]2

2, t ≥ T. (3.31)

Dat fiind semnul neliniaritatii, cf. (3.22), putem scrie ca

∫ t

Tf (s,x(s))x′(s)ds ≥

∫ t

TF(x(s))x′(s)ds =

∫ x(t)

x(T )F(y)dy. (3.32)

Combinand (3.31), (3.32), avem

∫ x(t)

x(T )F(y)dy ≤ [x′(T )]2

2, t ≥ T,

relatie aflata ın contradictie cu (3.26). Existenta solutiilor eventual negative se ex-

clude ın mod analog.

Afirmatie ([11, p. 26]) Conditia lui Hartman (3.2) poate fi reformulata ca

limu→+∞

(

supu≤u1≤u2≤u1+1

∣

∣

∣

∣

∫ u2

u1

g(t)dt

∣

∣

∣

∣

)

= 0. (3.33)


Intr-adevar, au loc estimarile

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

ug(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ (sgn [v])[v]−1

∑k=0

∣

∣

∣

∣

∫ u+k+1

u+kg(t)dt

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

u+[v]g(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ (sgn [v])

(

[v] supu≤u1

∣

∣

∣

∣

∫ u1+1

u1

g(t)dt

∣

∣

∣

∣

)

+

∣

∣

∣

∣

∫ u+v

u+[v]g(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤ ([v]+1)

(

supu≤u1≤u2≤u1+1

∣

∣

∣

∣

∫ u2

u1

g(t)dt

∣

∣

∣

∣

)

,

ceea ce probeaza Afirmatia. In particular, conditia (3.33) este verificata de orice

functie continua g(t) pentru care

limt ′→+∞

∫ t ′+1

t ′|g(t)|dt = 0. (3.34)

O serie de estimari ale derivatelor unei functii netede x (solutie a unei ecuatii

diferentiale ordinare liniare perturbate, cu fortajul f ) pe baza cantitatilor integrale∫ t+δ

t |x(s)|ds si∫ t+δ

t | f (s)|ds, unde δ > 0, pot fi citite ın [20, pp. 399–400] ori [18,

pp. 373–374].

Teorema 29 (Massera, Schaffer, 1958, cf. [30, Lemma 3.1, p. 524]) Fixam T ≥ t0.

Fiind data functia continua g : [t0,+∞)→ R, introducem marimile (t ≥ T )

I(λ ,T,g)(t) = e−λ t∫ t

Teλ s|g(s)|ds si J(λ ,T,g)(t) = eλ t

∫ +∞

te−λ s|g(s)|ds,

unde λ > 0.

Atunci, pentru orice t ≥ T au loc inegalitatile urmatoare

maxI(λ ,T,g)(t),J(λ ,T,g)(t) ≤ eλ

eλ −1sups≥T

∫ s+1

s|g(τ)|dτ , (3.35)

respectiv

∫ t+1

t|g(s)|ds ≤ eλ maxI(λ ,T,g)(t +1),J(λ ,T,g)(t). (3.36)

Demonstratie. Putem scrie ca

e−λ t∫ t

Teλ s|g(s)|ds ≤ e−λ t

∫ t−[t−T ]

Teλ s|g(s)|ds

+(sgn [t −T ])[t−T ]−1

∑j=0

e−λ t∫ t− j

t− j−1eλ s|g(s)|ds


≤ e−λ t

eλ (t−[t−T ])+(sgn [t −T ])[t−T ]−1

∑j=0

eλ (t− j)

supt≥T

∫ t+1

t|g(s)|ds

≤ e−λ t+∞

∑j=0

eλ (t− j) supt≥T

∫ t+1

t|g(s)|ds =

eλ

eλ −1supt≥T

∫ t+1

t|g(s)|ds

si

eλ t∫ +∞

te−λ s|g(s)|ds ≤ eλ t

+∞

∑j=0

e−λ (t+ j)∫ t+ j+1

t+ j|g(s)|ds

≤ eλ

eλ −1supt≥T

∫ t+1

t|g(s)|ds,

ceea ce conclude (3.35).

Apoi,

∫ t+1

t|g(s)|ds ≤ eλ (t+1)

∫ t+1

te−λ s|g(s)|ds ≤ eλ J(λ ,T,g)(t).

Prima parte a inegalitatii se stabileste ın mod analog.

Utilizand tehnica de la demonstratia Teoremei 29, putem stabili un rezultat mai

cuprinzator.

Afirmatie Sa presupunem ca functia h : [0,+∞)→ (0,+∞) este continua, monoton

nedescrescatoare si super-multiplicativa, i.e. h(t + s)≥ h(t)h(s) pentru orice t,s ≥t0 ≥ 0. In plus, seria ∑

n≥0

1h(n) este convergenta. Atunci,

1

h(t)

∫ t

t0

h(s)|g(s)|ds ≤[

+∞

∑n=0

1

h(n)

]

sups≥t0

∫ s+1

s|g(τ)|dτ .

Un exemplu este dat de functia h(t) = exp(

∫ T+tT H(s)ds

)

, unde H(s)≥ m > 0 si

T ≥ 0, functia H fiind continua si monoton nedescrescatoare, cf. [12, Remark 2].

Lema 13 Fie λ > 0, T ≥ t0 date. Cu notatiile Teoremei 29, relatia (3.34) are loc

daca si numai daca limt→+∞

I(λ ,T,g)(t) = limt→+∞

J(λ ,T,g)(t) = 0.

Demonstratie. Necesitatea. Pentru ε > 0 exista tε ≥ t0 avand proprietatea ca∫ t+1

t |g(s)|ds ≤ eλ−1

2eλ ε pentru orice t ≥ tε . Conform (3.35) pentru T = Tε , putem

scrie ca

e−λ t∫ t

tεeλ s|g(s)|ds ≤ ε

2. (3.37)

Exista Tε ≥ tε suficient de mare astfel ıncat


e−λ t∫ tε

Teλ s|g(s)|ds ≤ ε

2, t ≥ Tε . (3.38)

Combinand (3.37), (3.38), ajungem la I(λ ,T, t)≤ ε ın [Tε ,+∞).Suficienta. Concluzia rezulta din (3.36).

Teorema 30 ([16, (III)], [41, Lemma 3] §) Fie v : [t0,+∞)→ R o functie continua.

Atunci, v ındeplineste conditia (3.34) daca apartine (cel putin) uneia din clasele

urmatoare:

(A) functii care tind la 0 cand t →+∞ ‖;

(B) functii din Lp((t0,+∞),R) pentru un anumit p ≥ 1. In plus, daca v ∈ Lp((t0,+∞),R), avem I(λ , t0,v),J(λ , t0,v) ∈ Lp((t0,+∞),R) pentru orice λ > 0.

Un rezultat mai cuprinzator decat Teorema 30 poate fi stabilit. El este descris ın

Lema 14 si Teorema 31. Cf. [4, p. 1306], sa consideram functiile F,G : [t0,+∞)→(0,+∞) de clasa C1 cu proprietatea ca

limt→+∞

F ′(t)F(t)

= µF < 0, limt→+∞

G′(t)G(t)

= νG > 0.

Afirmatie ([1, Lemma 14]) Fie λ ∈ (0,1) si η ∈ [1,λ−1) date. Atunci, functiile F,

G verifica relatiile

limt→+∞

F(t)

[F(λ t)]η= lim

t→+∞

[G(λ t)]η

G(t)= 0. (3.39)

Intr-adevar, introducand marimea H(t) = [G(λ t)]η

G(t) , obtinem

H ′(t) = H(t)

[

ληG′(λ t)

G(λ t)− G′(t)

G(t)

]

, t ≥ t0.

Cum termenul din paranteza patrata tinde la (λη −1)νG < 0 cand t → +∞, de-

ducem ca H ′(t) devine eventual negativa, astfel ca exista limt ′→+∞

H(t ′)= lH ∈ [0,+∞).

Presupunand ca lH > 0, regula lui L’Hopital ne conduce la

lH = λη limt→+∞

H(t)

[

G′(λ t)

G(λ t)· G(t)

G′(t)

]

= λη lH < lH ,

o contradictie. Afirmatia este probata.

Lema 14 ([1, Proposition 15]) Fie v : [t0,+∞)→ R o functie continua din Lp((t0,+∞),R), unde p ≥ 1. Atunci,

§ In [16, (III)] se stabileste ca functiile descrise la (B) verifica conditia (3.2).

‖Estimarea (3.20) arata ca derivatele de ordinul ıntai ale unor functii de clasa C1 aflate ın (A)

sau, mai general, ale unor C1−functii V (t) cu limita finita cand t → +∞ verifica (3.2), vezi [1,

Proposition 15]. In schimb, daca liminft ′→+∞

e−λ t ′ ∫ t ′t0

eλ s|V ′(s)|ds > 0, functia v(t), unde v = V ′, va

satisface conditia (3.2) dar nu si conditia (3.34). Vezi Teorema 32.


(i) limt→+∞

1G(t)

∫ tt0

G(s)|v(s)|ds = 0;

(ii) limt→+∞

1F(t)

∫ +∞t F(s)|v(s)|ds = 0.

Demonstratie. Fie p,q > 1 cu 1p+ 1

q= 1. Putem scrie ca

∫ t

t0

G(s)

G(t)|v(s)|ds =

∫ λ t

t0

G(s)

G(t)|v(s)|ds+

∫ t

λ t

G(s)

G(t)|v(s)|ds

≤ ‖v‖Lp

(

∫ λ t

t0

[

G(s)

G(t)

]q

ds

)1/q

+

(

∫ +∞

λ t|v(s)|pds

)1/p(∫ t

λ t

[

G(s)

G(t)

]q

ds

)1/q

Aplicand regula lui L’Hopital si tinand seama de (3.39), avem

limt→+∞

∫ λ t

t0

[

G(s)

G(t)

]q

ds = 0,

respectiv

limt→+∞

∫ t

λ t

[

G(s)

G(t)

]q

ds = limt→+∞

∫ t

t0

[

G(s)

G(t)

]q

ds =νG

q<+∞.

Restul situatiilor se discuta analog.

Urmatorul rezultat generalizeaza situatia descrisa ın [4, Lemma 2].

Teorema 31 Presupunem ca functiile continue K1,K2 : [t0,+∞)→ (0,+∞) ındepli-

nesc conditiile urmatoare

K2(t)

∫ +∞

t[K1(s)]

pds ≤ c[K1(t)]p−1, K1(t)

∫ t

t0

[K2(s)]pds ≤ c[K2(t)]

p−1 (3.40)

respectiv

∫ +∞

t[K1(s)]

pds

∫ t

t0

[K2(s)]qds

p−1

+

∫ t

t0

[K2(s)]pds

×

∫ +∞

t[K1(s)]

qds

p−1

≤ M <+∞ (3.41)

pentru orice t ≥ t0, unde c > 0, p,q > 1 si 1p+ 1

q= 1.

Atunci, fiind data functia f ∈C∩Lp, au loc estimarile

∥

∥

∥

∥

K2(·)∫ +∞

(·)K1(s) f (s)ds

∥

∥

∥

∥

Lp

≤C(p,M)‖ f‖Lp (3.42)

si

∥

∥

∥

∥

K1(·)∫ (·)

t0

K2(s) f (s)ds

∥

∥

∥

∥

Lp

≤C(p,M)‖ f‖Lp , (3.43)


unde C(p,M) = [(pc)p + pM]1/p.

Demonstratie. Vom stabili inegalitatea (3.43). Astfel, au loc relatiile

∫ t2

t1

[

K1(t)∫ t

t0

K2(s)| f (s)|ds

]p

dt ≤

∫ +∞

t1

[K1(t)]pdt

[

∫ t1

t0

K2(t)| f (t)|dt

]p

+p

∫ t2

t1

K2(t)∫ +∞

t[K1(s)]

pds

| f (t)|[

∫ t

t0

K2(s)| f (s)|ds

]p−1

dt,

respectiv, via (3.40), (3.41) si inegalitatea lui Holder (aici, q(p−1) = p),

≤

∫ +∞

t1

[K1(t)]pdt

∫ t1

t0

[K2(t)]qdt

p−1

‖ f‖pLp + pc‖ f‖Lp

×

∫ t2

t1

[

K1(t)∫ t

t0

K2(s)| f (s)|ds

]p

dt

1/q

.

Am ajuns la

uq ≤ M‖ f‖pLp + pc‖ f‖Lp u, u =

∫ t2

t1

[

K1(t)∫ t

t0

K2(s)| f (s)|ds

]p

dt

1/q

.

Inegalitatea lui Young implica pc‖ f‖Lp u ≤ (pc)p

p‖ f‖p

Lp + uq

q, astfel ca ¶

uq ≤ q

q−1

(

M‖ f‖pLp +

(pc)p

p‖ f‖p

Lp

)

= [C(p,M)‖ f‖Lp ]p.

Inegalitatea (3.42) se stabileste analog.

Un exemplu este oferit de K1(t)≡ e−λ t , K2(t)≡ eλ t , unde λ > 0.

De asemeni, printr-o clasa de exemple, putem completa concluziile Teoremei 30.

Cateva rezultate auxiliare, elementare, sunt colectate ın Propozitia ce urmeaza.

Propozitia 3 (i) Fiind date numerele m,λ > 0, exista λ1,2 > 0 astfel ıncat λ1 ≤1−emx

1−e−mλx ≤ λ2 pentru orice x > 0.

(ii) Pentru orice ω > 0 si ε ∈ [0,1) avem limxց0

eωx3−ε/2−1x2 = 0.

(iii) Fiind date numerele α,β , unde 0 < α < β , are loc dubla inegalitate 0 ≤ eαx −1 ≤ βx pentru orice x ∈ [0,α−1 ln(α−1β )].(iv) Pentru orice α ∈ R si x ≥ 0 avem |eαx −1| ≤ e|α |x −1.

Teorema 32 ([1, Theorem 11]) Exista o functie w : [t0,+∞)→ R de clasa C1, nei-

dentic nula pe vreun subinterval al domeniului de definitie, integrabila ın [t0,+∞),astfel ıncat:

(a) w oscileaza ın [t0,+∞). Mai precis, exista sirul crescator si nemarginit superior

(tn)n≥1, cu limn→+∞

(tn+1 − tn) = 0, pentru care w(tn) = 0.

¶ Estimarea nu este optimala. De exemplu, inegalitatea u2 ≤ c1 + c2u implica |u| ≤ √c1 + c2.


(b) limt→+∞

w(t) = 0, limsupt→+∞

w′(t) = +∞ si liminft→+∞

w′(t) =−∞.

(c) limsupt→+∞

[

e−mt∫ t

t0ems|w′(s)|ds

]

=+∞ pentru orice m > 0.

Demonstratie. Fixam numerele λ > 5 si ε ∈ (0,1). Consideram sirul (un)n≥1 de

numere pozitive, cu limn′→+∞

un′ = 0, pentru care un > 2λ (n+2) si un+1 < un ≤ 2un+1,

n ≥ 1. De asemeni, presupunem ca seria ∑n≥1

un diverge iar seria ∑n≥1

u2−ε/2n converge.

Un exemplu de asemenea sir este dat de (1/n)n≥1.

Introducem sirurile (Tn)n≥0, (tn)n≥1, (pn)n≥1 si (Kn)n≥1 cu ajutorul relatiilor

Tn+1 = Tn +λun+1, T0 = t0, n ≥ 0,tn = Tn −un, pn = Tn +2un, n ≥ 1,

respectiv Kn = u−ε/2

n+1 pentru orice n ≥ 1. Se observa ca limn′→+∞

Tn′ =+∞ si

un+1 +2un ≤ 5un+1 < λun+1 si (λ −5)un+1 ≤ tn+1 − pn < (λ −3)un+1,

unde n ≥ 1.

Pentru t ∈ [tn, tn+1] si n ≥ 1, definim marimea w(t) prin (vezi (3.16))

w(t) =

f2(tn, pn;Kn,−Kn)(t), t ∈ [tn, pn];f2(pn, tn+1;−Kn,Kn+1)(t), t ∈ [pn, tn+1].

Completam formula anterioara cu valorile functiei w pe intervalul [t0, t1] astfel ıncat

sa se asigure netezimea (C1!). De exemplu, w = f2(t0, t1;0,K1).Conform Lemei 11 (iii), (iv), putem scrie ca

0 ≤ w(t)≤ 1

(pn − tn)2

[

exp

(

16

27Kn(pn − tn)

3

)

−1

]

, t ∈ [tn, pn],

respectiv

1

(tn+1 − pn)2

[

1− exp

(

8

27(Kn +Kn+1)(tn+1 − pn)

3

)]

≤ w(t)≤ 0

cand t ∈ [pn, tn+1].In plus, deducem ca

Kn(pn − tn)3 ≤ 216u

3−ε/2

n+1 , (Kn +Kn+1)(tn+1 − pn)3 ≤ 5

2(λ −3)3u

3−ε/2

n+1 ,

de unde

|w(t)| ≤(

9−1 +(λ −5)−2)

[

exp(

(

130+(λ −3)3)

u3−ε/2

n+1

)

−1]

u−2n+1.

Din Propozitia 3 (ii) rezulta ca limt→+∞

|w(t)|= 0.


Cum w(tn) = 0, w′(tn) = Kn si w′(pn) =−Kn, concluziile (a), (b) vor rezulta din

faptul ca limn′→+∞

Kn′ =+∞ .

Exista numarul natural N ≥ 1 cu proprietatea ca

0 < u3−ε/2

n+1 < c =ln2

64+(λ −3)3, n ≥ N,

ceea ce conduce la

(pn − tn)3 ≤ 27ln2

8Knsi (tn+1 − pn)

3 ≤ 27ln2

4(Kn +Kn+1), n ≥ N. (3.44)

Apoi,

∫ tn+1

tn

|w(s)|ds = In + Jn,

unde

In =∫ pn

tn

|w(s)|ds ≤ 1

pn − tn

[

exp

(

16

27Kn(pn − tn)

3

)

−1

]

si

Jn =∫ tn+1

pn

|w(s)|ds ≤ 1

tn+1 − pn

[

exp

(

8

27(Kn +Kn+1)(tn+1 − pn)

3

)

−1

]

.

Utilizand Propozitia 3 (iii), unde 2α = β = 32Kn/27, si (3.44), obtinem

∫ pn

tn

|w(s)|ds ≤ 32

27Kn(pn − tn)

2 ≤ 44u2−ε/2

n+1 . (3.45)

In mod similar, luand 2α = β = 32Kn/27, ajungem la

∫ tn+1

pn

|w(s)|ds ≤ 16

27(Kn +Kn+1)(tn+1 − pn)

2 ≤ 2(λ −3)2u2−ε/2

n+1 . (3.46)

Estimarile (3.45), (3.46) implica

∫ tn+1

tn

|w(s)|ds ≤ ln2

cu

2−ε/2

n+1 , n ≥ N,

de unde

∫ +∞

tN

|w(s)|ds ≤ ln2

c

+∞

∑n=N

u2−ε/2

n+1 <+∞,

De altminteri, pentru a avea concluzia (c) este necesar ca functia w′(t) sa fie nemarginita.


adica w ∈ L1((t0,+∞),R).Pentru a stabili concluzia (c), fixam m > 0 si introducem marimea

Vn = e−mTn

∫ Tn

t0

ems|w′(s)|ds, n ≥ 1.

Putem scrie ca

w(t) =1

(p j − t j)2[exp(K j(p j − t j)(p j − t)(t − t j))−1], t ∈ [t j,Tj],

de unde

w′(t) =K j

p j − t j(p j + t j −2t)

[

1+(p j − t j)2w(t)

]

≥ K j

p j − t j(p j + t j −2Tj) =

K j

3.

Astfel, avem

V2n ≥ e−mT2n

2n

∑j=n

∫ Tj

t j

ems|w′(s)|ds ≥ Kn

3me−mT2n

2n

∑j=n

∫ Tj

t j

d

ds(ems)ds

=Kn

3me−mT2n

2n

∑j=n

(

emTj − emt j)

.

Conform Propozitiei 3 (i) exista un numar λ1 = λ1(m)> 0 astfel ca

emTj − emt j

emTj − emTj−1=

1− e−m(Tj−t j)

1− e−m(Tj−Tj−1)=

1− e−mu j

1− e−mλu j≥ λ1, j ≥ 1,

fapt care ne conduce la

V2n ≥ Knλ1

3me−mT2n

2n

∑j=n

(

emTj − emTj−1)

= Knλ1

3m[1− exp(−m(T2n −Tn−1))], n ≥ 1.

Marimea din paranteza patrata are un minorant pozitiv, care se obtine pe baza

estimarii

T2n −Tn−1 = λ2n

∑j=n

u j ≥ λ (n+1)u2n > 1, n ≥ 1,

deci concluzionam ca limsupn′=+∞

Vn′ =+∞.


3.4 Conditiile necesare ale lui P. Hartman pentru neoscilatia

ecuatiilor diferentiale liniare. Criteriul de oscilatie al lui C.R.

Putnam. Teorema de liniarizare de tip Utz a lui L.H. Erbe

Sa considera ecuatia diferentiala liniara

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0 ≥ 1, (3.47)

unde coeficientul functional q : [t0,+∞)→ R este continuu.

In 1952, P. Hartman [17] stabileste conditii necesare pentru ca ecuatia (3.47) sa

nu admita solutii oscilatorii. Prezentarea lor se bazeaza pe urmatoarele doua rezul-

tate tehnice.

Teorema 33 ([17, (B)]) Presupunem ca ecuatia (3.47) este neoscilatorie. Atunci,

conditia lui Hartman (3.2), unde g = q, este necesara si suficienta pentru ca toate

solutiile ecuatiei (3.47) sa aiba comportamentul asimptotic dat de

limt→+∞

x′(t)x(t)

= 0. (3.48)

De asemeni, o solutie a ecuatiei (3.47) verifica (3.48) daca si numai daca toate

solutiile verifica aceasta relatie.

Demonstratie. Introducem marimea (numita si derivata logaritmica, vezi [17, p.

392])

y(t) =x′(t)x(t)

, t ≥ t0. (3.49)

Atunci, functia y(t) verifica ecuatia (3.1) pentru f (y)≡−y2 si g=−q. Concluzia

rezulta din Teorema 25.

Teorema 34 ([17, (A)]) Presupunem ca ecuatia (3.47) este neoscilatorie.

Conditia

limT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds = Mq ∈ R (3.50)

este necesara si suficienta pentru ca toate solutiile ecuatiei (3.47) sa aiba compor-

tamentul asimptotic dat de

∫ +∞

t0

[

x′(t)x(t)

]2

dt <+∞. (3.51)

De asemeni, o solutie a ecuatiei (3.47) verifica (3.51) daca si numai daca toate

solutiile verifica aceasta relatie. In plus, exista un control al convergentei din (3.50)

dat de

3.4 Conditiile necesare ale lui P. Hartman pentru neoscilatia ecuatiilor diferentiale liniare 73

limT→+∞

1

T

∫ T

t0

[

Mq −∫ s

t0

q(τ)dτ]2

ds = 0. (3.52)

Demonstratie. La fel ca ın demonstratia anterioara, derivata logaritmica y(t) din

(3.49) verifica ecuatia (3.1).

Astfel, prin integrare, putem scrie ca

y(t)+∫ t

t0

[y(s)]2ds = y(t0)−∫ t

t0

q(s)ds, t ≥ t0. (3.53)

Necesitatea. Cum y ∈ L2((t0,+∞),R), relatia (3.53) devine

y(t)−∫ +∞

t[y(s)]2ds =C−

∫ t

t0

q(s)ds, C = y(t0)−∫ +∞

t0

[y(t ′)]2dt ′. (3.54)

Regula lui L’Hopital ne conduce la

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

∫ +∞

s[y(τ)]2dτds = lim

t→+∞

∫ +∞

t[y(τ)]2dτ = 0. (3.55)

De asemeni, conform [31, Eq. (2.43)], avem

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

s[y(s)]2ds = limt→+∞

1

t

∫ t

t0

[y(s)]2ds = 0. (3.56)

Inegalitatea Cauchy-Schwarz si (3.56) implica faptul ca

[

1

t

∫ t

t0

y(s)ds

]2

≤ 1

t

∫ t

t0

[y(s)]2ds = O(t−1) = o(1) cand t →+∞. (3.57)

Atunci, prin medierea relatiei (3.54) pe baza estimarilor (3.55), (3.57), putem

scrie ca

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

Q(s)ds = 0, Q(s) =C−∫ s

t0

q(τ)dτ , (3.58)

ceea ce implica (3.50) pentru Mq =C.

Pentru a stabili formula de control (3.52), se ridica la patrat egalitatea (3.54)

si se refac calculele. Se observa ca (3.52) implica (3.50) via inegalitatea Cauchy-

Schwarz.

Suficienta. Presupunem ca exista solutia x(t) a ecuatiei (3.47) astfel ıncat∫ +∞

[y(t)]2dt =+∞.

Atunci, conform relatiei (3.53), avem

−1

t

∫ t

t0

y(s)ds = −y(t0)t − t0

t+

1

t

∫ t

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds+S(t)

t

= marginit +S(t)

t, t ≥ t0, (3.59)


unde

S(s) =∫ t

t0

∫ s

t0

[y(τ)]2dτds.

Regula lui L’Hopital arata ca limt→+∞

S(t)t

=∫ +∞

t0[y(τ)]2dτ =+∞, deci, pentru t1 >

t0 suficient de mare, putem scrie ca

1

t

∫ t

t0

|y(s)|ds ≥−1

t

∫ t

t0

y(s)ds ≥ 1

2· S(t)

t, t ≥ t1.

Mai departe, aplicand inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem

S′(t) =∫ t

t0

[y(s)]2ds ≥ 1

t

[

∫ t

t0

|y(s)|ds

]2

≥ 1

4t[S(t)]2,

ceea ce, prin integrare, ne conduce la

1

S(t1)≥ 1

4ln

(

t

t1

)

ın [t1,+∞),

o contradictie.

Teorema 35 (Hartman, 1952, cf. [17, (II)]) Pentru ca ecuatia (3.47) sa fie neoscila-

torie este necesar fie ca

liminfT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds =−∞, (3.60)

fie ca

limT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds ∈ R. (3.61)

Demonstratie. Presupunem ca nu are loc conditia (3.60). Atunci, (3.59) se re-

scrie ca

−1

t

∫ t

t0

y(s)ds = (o cantitate ≥ c >−∞)+S(t)

t≥ 1

2· S(t)

t

ın [t1,+∞). Calculul care urmeaza dupa relatia (3.59) ın demonstratia Teoremei 34

arata ca, ın mod necesar, avem

∫ +∞[y(t)]2dt <+∞.

Acest fapt, via (3.50), ne conduce la (3.61).

Intr-o serie de cazuri particulare, conditiile Teoremei 35 pot fi simplificate.


Teorema 36 ([17, (III)]) Fie ε , C > 0. Sa presupunem ca

∫ u+v

uq(t)dt ≥−C, u ≥ t0, v ∈ [0,ε ]. (3.62)

Atunci, pentru ca ecuatia (3.47) sa fie neoscilatorie este necesar fie ca

∫ +∞

t0

q(t)dt =−∞, (3.63)

fie ca (3.61) sa aiba loc.

Demonstratie. Daca (3.63) nu are loc, atunci exista D > 0 si un sir de numere

(tn)n≥1 din [t0,+∞), crescator si divergent, astfel ıncat tn+1 − tn > ε si

∫ tn

t0

q(s)ds ≥−D, n ≥ 1.

Acest fapt implica

∫ t

t0

q(s)ds ≥−(C+D), t ∈ In = [tn, tn + ε ].

Relatia (3.53) ne conduce la

|y(t)| ≥ −y(t)≥∫ t

t0

[y(s)]2ds−|y(t0)|− (C+D), t ∈ In,


Astfel, daca y∈ L2((t0,+∞),R), Teorema 34 ne conduce la (3.61). In caz contrar,

deducem ca

[y(t)]2 ≥ 1

2

∫ t

t0

[y(s)]2ds

2

, t ∈ In, (3.64)

pentru orice n ≥ N = N(y(t0),C,D)≥ 1 suficient de mare.

Conform (3.64), putem scrie ca

1

Y (tN)=∫ +∞

tN

Y ′(t)[Y (t)]2

dt ≥n

∑p=N

∫

Ip

Y ′(t)[Y (t)]2

dt, unde Y (t) =∫ t

t0

[y(s)]2ds,

≥ 1

2

n

∑p=N

(tp + ε − tp) = (n−N +1)ε2, n ≥ N,

o contradictie.

Teorema 37 ([17, (I)]) Sa presupunem ca are loc (3.2) cu g = q. Atunci, pentru ca

ecuatia (3.47) sa fie neoscilatorie este necesar fie ca (3.63) sa aiba loc, fie ca


∫ +∞

t0

q(t)dt ∈ R. (3.65)

Demonstratie. Deoarece conditia lui Hartman (3.2) implica (3.62), deci ne gasim

ın ipotezele Teoremei 36, ramane de aratat doar faptul ca (3.61) implica (3.65).

Intr-adevar, cand are loc (3.61), Teorema 34 ne conduce la (3.54). Conform Teo-

remei 33, limt→+∞

y(t) = 0, deci

limt→+∞

∫ t

t0

q(s)ds =C,

ceea ce ıncheie demonstratia.

Printr-o serie de exemple, P. Hartman [17, (II) bis] stabileste ca, fiind dat a ∈R∪±∞, exista ecuatii (3.47) neoscilatorii care verifica simultan (3.60) si

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds = a. (3.66)

In concluzie, Teorema 35 stabileste ca ecuatia diferentiala (3.47) al carei coe-

ficient functional q(t) ındeplineste asa-numita conditie ”−∞ < liminf < limsup ≤+∞”, adica

−∞ < liminfT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds < limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds ≤+∞, (3.67)

este oscilatorie. De exemplu, coeficientul functional q(t) = t sin t, unde t ≥ t0 ≥ 1,

ındeplineste conditia (3.67), cf. [51, p. 421]. Mai precis,

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds = t0 cos t0 − sin t0 − sinT +o(1) cand T →+∞.

Analiza acestui tip de coeficienti functionali pare sa origineze de la contributia

din 1946 a lui M. Yelchin [53] privind oscilatia ecuatiei (3.47) cu q(t) ≡ sin t,

cf. [26, p. 711], [51, p. 418]. Remarcam faptul ca acest coeficient functional nu

verifica conditia (3.67) (cele doua limite au valoarea comuna cos t0) ınsa satisface

urmatoarea slabire a conditiei lui Fite (2.18), numita conditia Zlamal-Olech-Opial-

Wazewski de oscilatie. Mai precis, q(t) este (macar) marginita inferior sau superior

si

−∞ ≤ liminft→+∞

∫ t

t0

q(s)ds < limsupt→+∞

∫ t

t0

q(s)ds ≤+∞, (3.68)

cf. [54, 35] si [46, pp. 606, 612].

Am precizat deja ca ipoteza (3.66) pentru a=+∞ nu poate asigura de una singura

oscilatia ecuatiei (3.47). In schimb, conditia (3.67) ofera un set complet de ipoteze

pentru oscilatie, complementar conditiei de oscilatie (2.19) stabilita de A. Wintner

[48] ın 1949. Rezultatul urmator contine o alta completare a conditiei (3.66).


Teorema 38 (C.R. Putnam, 1955, cf. [43, (**), p. 951]) Sa presupunem ca are loc

(3.66) pentru a =+∞. In plus, exista C > 0 astfel ıncat

∫ t

t0

q(s)ds >−exp(Ct), t ≥ t0. (3.69)


Demonstratie. Folosim tehnica din [48]. Astfel, ıncepem prin a introduce asa-

numita transformare Bohl [6].

Afirmatie (P. Bohl, 1906, cf. [46, p. 602], [11, p. 19]) Fie functia r : [t0,+∞) →(0,+∞) de clasa C1 si functia q : [t0,+∞) → R continua. Presupunem ca y1(t) si

y2(t) sunt solutii liniar independente ale ecuatiei diferentiale ordinare liniare

(r(t)y′)′+q(t)y = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (3.70)

astfel ıncat

r(t)[y1(t)y′2(t)− y2(t)y

′1(t)] = 1, t ≥ t0. (3.71)

Atunci, functia Y : [t0,+∞) → (0,+∞) cu formula Y (t) =√

[y1(t)]2 +[y2(t)]2

verifica ecuatia diferentiala neliniara

(r(t)Y ′)′+q(t)Y =1

r(t)Y 3, t ≥ t0. (3.72)

In plus, orice solutie y(t) a ecuatiei (3.70) admite reprezentarea

y(t) = AY (t)sin

(

∫ t

t0

ds

r(s)[Y (s)]2+α

)

, A, α ∈ R, (3.73)

ın [t0,+∞).

Intr-adevar, putem scrie ca

Y ′(t) =1

Y (t)[y1(t)y

′1(t)+ y2(t)y

′2(t)],

respectiv

[r(t)Y ′(t)]′ =y1(t)

Y (t)[r(t)y′1(t)]

′+y2(t)

Y (t)[r(t)y′2(t)]

′

+r(t)

y′1(t)

[

y1(t)

Y (t)

]′+ y′2(t)

[

y2(t)

Y (t)

]′

=− q(t)

Y (t)[y1(t)]

2 +[y2(t)]2

+r(t)

[Y (t)]3[y′1(t)]2 +[y′2(t)]

2[Y (t)]2 − [y1(t)y′1(t)+ y2(t)y

′2(t)]

2


=−q(t)Y (t)+r(t)

[Y (t)]3[y′1(t)y2(t)− y1(t)y

′2(t)]

2,

ceea ce ne conduce la (3.72). Partea a doua a Afirmatiei se probeaza analog.

Afirmatie Ecuatia (3.47) este oscilatorie daca si numai daca

∫ +∞

t0

dt

[Y (t)]2=+∞, (3.74)

unde y1(t), y2(t) sunt doua solutii ale ecuatiei (3.70) pentru r(t) ≡ 1 care satisfac

(3.71). In plus, cf. [48, Eq. (7)], [43, p. 951], exista C1,2 > 0 cu proprietatea ca

[Y (t)]2 ≤C1 exp

(

C2t −2

∫ t

t0

(t − s)q(s)ds

)

, t ≥ t0. (3.75)

Prima parte a Afirmatiei rezulta din reprezentarea Bohl (3.73). Vezi si analiza din

[21, p. 483]. Pentru partea a doua, introducem derivatele logaritmice zi(t) =y′i(t)yi(t)

.

Integrarea ecuatiei lui Riccati atasata ecuatiei (3.47) ne conduce la

zi(t) = zi(t0)−∫ t

t0

[zi(s)]2ds−

∫ t

t0

q(s)ds ≤ |zi(t0)|−∫ t

t0

q(s)ds, t ≥ t0.

Apoi,

d

dt

[yi(t)]2

= 2[yi(t)]2zi(t)≤ [yi(t)]

2

[

2(|zi(t0)|−2

∫ t

t0

q(s)ds

]

≤ [yi(t)]2

[

2(|z1(t0)|+ |z2(t0)|)−2

∫ t

t0

q(s)ds

]

, i = 1,2,

de unde, sumand dupa i si apoi integrand, ajungem la (3.75) cu C1 = [Y (t0)]2 si

C2 = 2(|z1(t0)|+ |z2(t0)|). Afirmatia este probata.

Fie c > 0 si T ≥ t0. Introducem functia Q : [t0,+∞)→ R cu ajutorul formulei

Q(t) =1

t

∫ t

t0

(t − s)q(s)ds, t ≥ t0,

si multimea (deschisa) E(c,T ) = t ∈ (T,+∞) : Q(t)> c.

Atunci, pentru orice c >C2, estimarea (3.75) ne conduce la (vezi [43, (*)])

∫ +∞

t0

dt

[Y (t)]2≥ 1

C1

∫ +∞

Texp([2Q(t)−C2]t)dt

≥ 1

C1exp(cT ) ·meas (E(c,T )). (3.76)

Conform (3.66) cu a =+∞, exista sirul de numere (tn)n≥1 din [t0,+∞), crescator

si divergent, astfel ıncat Q(tn) ≥ n+1 pentru orice n ≥ 1. De asemeni, introducem


sirul (tn)n≥1 pe baza formulei

tn − tn = exp(−Ctn),

unde C satisface ipoteza (3.69). Cum limn′→+∞

tn′ = +∞, avem si limn′→+∞

tn′ = +∞, re-

spectiv limn′→+∞

(tn′ − tn′) = 0.

Fie t ∈ [tn, tn]. Integrand inegalitatea (3.69), obtinem

tQ(t)− tnQ(tn)>−∫ t

tn

exp(Cs)ds >−(tn − tn)exp(Ctn) =−1,

de unde

Q(t) >tn

tnQ(tn)−1 ≥ (n+1)

(

1− 1

tn exp(Ctn)

)

−1

>n

2>C2 pentru orice n ≥ N suficient de mare. (3.77)

Cum (3.77) implica faptul ca [tn, tn]⊂ E

(

n2, tn −1

)

, ajungem la

exp(n

2(tn −1)

)

·meas(

E(n

2, tn −1

))

≥ exp(n

2(tn −1)

)

· (tn − tn)

= exp(n

2(tn −1)−Ctn

)

> exp((n

2−C)

(tn −1)−2C)

, n ≥ N.

In sfarsit, luand c= n2, respectiv T = tn−1 ın (3.76), stabilim ca are loc estimarea

(3.74).

Transformarea Bohl (3.73) poate fi ilustrata folosind miscarea unei particule ıntr-

un camp gravitational central cu legea de atractie de tip ”puterea ıntai”, cf. [42, p.

10]. Vezi si prezentarea din [33, p. 136]. Mai precis, sa consideram ca un punct

material P se misca ın planul (x,y) sub actiunea fortei f (Y ) ≡ µY . Atunci, ecuatia

(3.70) (pentru r(t)≡ 1, q(t)≡ µ) reprezinta expresia matematica a legii lui I. New-

ton, verificata de coordonatele x(t), y(t) ale particulei P, ın timp ce (3.72) este

ecuatia lui J. Binet [42, Eq. (6.4)]. Cea de-a doua lege a lui J. Kepler [42, p. 3],

adica [Y (t)]2θ(t) ≡ constant, unde Y (t) =√

[x(t)]2 +[y(t)]2, devine (3.71) si arata

ca marimea∫ t

t0ds

[Y (s)]2din (3.73) este de fapt θ(t)− θ(t0), adica unghiul facut de

vectorul de pozitie al particulei ın miscare cu o dreapta fixa din plan. Transformarea

Bohl reprezinta trecerea de la coordonatele carteziene (x,y) ale particulei P la coor-

donatele polare (Y,θ), si anume x(t) = Y (t)cosθ(t), y(t) = Y (t)sinθ(t). Miscarea

ın cauza are loc pe o elipsa centrata ın sursa atractiei gravitationale, cf. [42, Exercise

6.2].

Exista o vasta literatura dedicata slabirii conditiilor (2.19), (3.67), (3.68) si

transpunerii acestui tip de rezultate ın cazul neliniar, cf. prezentarilor din [46, 26,

38, 51].

In particular, fie ecuatia diferentiala ordinara neliniara


x′′+q(t) f (x) = 0, t ≥ t0 ≥ 1, (3.78)

unde neliniaritatea f : R→ R, de clasa C1, ındeplineste conditiile

x f (x)> 0 pentru orice x 6= 0 si f ′(x)≥ k > 0. (3.79)

Teorema 39 (M.K. Kwong, J.S.W. Wong, 1983, cf. [26, Corollary 1]) Sa pre-

supunem ca au loc (3.66), unde a = +∞, si (3.69). Atunci, ecuatia (3.78) este os-

cilatorie.

Alt rezultat arata ca conditia lui Putnam (3.69) poate fi slabita ın cazul neliniar.

Teorema 40 (H. Onose, 1975, cf. [36, Theorem 3]) Sa presupunem ca are loc

(3.66), unde a=+∞, si, ın afara de (3.79), neliniaritatea f (x) este supusa restrictiei

−∞ <∫ −ε

−∞

dx

f (x),

∫ +∞

ε

dx

f (x)<+∞ (3.80)

pentru un anumit ε > 0.

Atunci, daca ıi impunem coeficientului functional q(t) sa verifice conditia

liminft→+∞

∫ t

t0

q(s)ds ≥−λ , λ ∈ (0,+∞),

ecuatia (3.78) devine oscilatorie.

Urmatorul rezultat liniarizeaza ecuatia diferentiala (3.78) cu ajutorul ecuatiei

x′′+λq(t)x = 0, t ≥ t0, λ ∈ R, (3.81)

pentru a-i stabili caracterul oscilatoriu. Asemenea investigatii origineaza de la

contributia lui W.R. Utz [45], cf. [26, p. 706]. Vezi si articolul [2].

Teorema 41 (L.H. Erbe, 1970, cf. [13, Theorem 4]) Fie neliniaritatea f (x) care

verifica, ın locul conditiei (3.79), restrictia

f ′(x)≥ f (x)

x> 0 pentru orice x 6= 0. (3.82)

Mai departe, sa presupunem ca

(i) pentru orice T ≥ t0 exista T1 ≥ T cu proprietatea ca

∫ t

T1

q(s)ds > 0 pentru orice t > T1; (3.83)

(ii) pentru orice T ≥ t0 exista T2 ≥ T cu proprietatea ca

∫ t

Tq(s)ds > 0 pentru orice t > T2. (3.84)


Atunci, daca ecuatia (3.81) este oscilatorie pentru orice λ > 0, ecuatia (3.78)

devine oscilatorie.

Un exemplu [13, p. 814] este dat de coeficientul functional q(t) oscilatoriu cu

formula

q(t) =ρt2

+µt

sinνt, t ≥ t0 =2πν,

unde ρ ,µ ,ν > 0 si ρ > 2µν . Intr-adevar, putem scrie ca

∫ t

2πν n

q(s)ds = ρ

(

12πν n

− 1

t

)

+µν

(

12πν n

− cosνt

t

)

− µν

∫ t

2πν n

cosνs

s2ds

≥ ρ

(

12πν n

− 1

t

)

+µν

(

12πν n

− 1

t

)

− µν

∫ t

2πν n

ds

s2

= ρ

(

12πν n

− 1

t

)

> 0, t > T1 =2πν

n, n =

[

νT

2π

]

+1.

Mai mult, luand ε ∈(

2µν ,ρ

)

, avem

∫ t

Tq(s)ds ≥ ρ

(

1

T− 1

t

)

− µν

( |cosνT |T

+|cosνt|

t

)

− µν

∫ t

T

|cosνs|s2

ds

≥ ρ(

1

T− 1

t

)

− µν

(

1

T+

1

t

)

− µν

(

1

T− 1

t

)

≥(

ρ −2µν

) 1

T− ρ

t≥(

ε −2µν

) 1

T> 0

pentru orice t ≥ T2 = T1− ε

ρ. De asemeni, observam ca

∫ +∞t0

q(s)ds < +∞, deci nu

putem aplica criteriul de oscilatie al lui P. Waltman (Teorema 73).

Demonstratia Teoremei 41. Fie x(t) o (prezumtiva) solutie pozitiva a ecuatiei

(3.78).

Afirmatie Avem x′(t)> 0 pentru orice t ≥ t0 suficient de mare.

Intr-adevar, ın caz contrar, apar doua situatii: (a) exista t1 ≥ t0 astfel ıncat x′(t)<0 ın [t1,+∞); (b) functia x′ este oscilatorie.

In cazul (a), tinand seama de (3.83), putem scrie ca (T1 ≥ T ≥ t1)

x′(t)− x′(T1) = −∫ t

T1

q(s) f (x(s))ds

= − f (x(t))

∫ t

T1

q(s)ds+

∫ t

T1

f ′(x(s))x′(s)

(

∫ s

T1

q(τ)dτ)

ds ≤ 0,

respectiv


x′(t)≤ x′(T1)< 0 pentru orice t ≥ T1,

fapt care ne conduce la limt ′→+∞

x(t ′) =−∞, o contradictie.

In cazul (b), introducem sirul (tn)n≥2, crescator si divergent, de zerouri din

[t0,+∞) ale functiei x′ si marimea v(t) cu formula

v(t) =− x′(t)f (x(t))

, t ≥ t0.

Atunci,

v′(t) = q(t)+

[

x′(t)f (x(t))

]2

≥ q(t),

de unde, prin integrare, obtinem

0 =∫ tn+k

tn

v′(s)ds ≥∫ tn+k

tn

q(s)ds (3.85)

pentru orice numere naturale n ≥ 2 si k ≥ 1. Cum limk→+∞

tn+k = +∞, relatia (3.85)

contrazice (luand T = tn) ipoteza (3.84).

In mod similar, stabilim ca orice (prezumtiva) solutie eventual negativa are

derivata de ordinul ıntai eventual negativa.

Afirmatie Revenind la solutia neoscilatorie (pozitiva) x(t), are loc relatia

limt→+∞

f (x(t))

x(t)= 0. (3.86)

Mai ıntai, pe baza (3.82), sa observam ca

d

dx

[

f (x)

x

]

=1

x

[

f ′(x)− f (x)

x

]

≥ 0, x > 0.

Astfel, deoarece limt→+∞

x(t) ∈ (0,+∞] (vezi monotonia functiei x(t)!), obtinem ca

limt→+∞

f (x(t))x(t) ∈ [0,+∞]. Presupunand ca aceasta limita nu este 0, exista λ > 0 si T ≥ t0

pentru care

x′(t)> 0,f (x(t))

x(t)≥ λ , t ≥ T.

Fie y(t) solutia ecuatiei (3.81) cu proprietatea ca y(T ) = 0 si y′(T ) = 1. Notam cu

T1 primul zero din (T,+∞) al functiei y′(t). Existenta sa este asigurata de oscilatia

solutiei y(t). In particular, y(t) este crescatoare si pozitiva ın (T,T1].Putem scrie ca


∫ T1

T

[

f (x(t))

x(t)−λ

]

· [y′(t)]2dt ≥ 0,

de unde, integrand prin parti, ajungem la

∫ T1

T

[

f (x(t))

x(t)−λ

]

· [y′(t)]2dt =−∫ T1

Ty(t)

d

dt

y′(t)

[

f (x(t))

x(t)−λ

]

dt

= λ∫ T1

Tq(t)[y(t)]2

[

f (x(t))

x(t)−λ

]

dt −∫ T1

Ty(t)y′(t)

d

dx

[

f (x)

x

]∣

∣

∣

∣

x=x(t)

×x′(t)dt ≤ λ∫ T1

Tq(t)[y(t)]2

[

f (x(t))

x(t)−λ

]

dt

= λ∫ T1

T

y(t)

x(t)[y(t)q(t) f (x(t))−λq(t)y(t)x(t)]dt

= λ∫ T1

T

y(t)

x(t)[−y(t)x′′(t)+ y′′(t)x(t)]dt = λ

∫ T1

T

y(t)

x(t)[y′(t)x(t)− y(t)x′(t)]′dt

=−λx′(T1)

x(T1)[y(T1)]

2 −λ∫ T1

T

[

y′(t)x(t)− y(t)x′(t)x(t)

]2

dt ≤−λx′(T1)

x(T1)[y(T1)]

2

< 0,

o contraditie. Afirmatia este probata.

In sfarsit, cum

d

dt

[

f (x(t))

x(t)

]

=x′(t)x(t)

[

f ′(x(t))− f (x(t))

x(t)

]

≥ 0, t ≥ T,

deducem caf (x(t))

x(t) ≥ f (x(T ))x(T ) > 0 ın [T,+∞). Aceasta concluzie este aflata ın conflict

cu (3.86).

O analiza a ipotezelor (3.83), (3.84) este realizata ın [27].

Lema 15 ([27, Theorem 5]) Ipotezele (3.83), (3.84) sunt echivalente cu urmatoarea

alternativa: fie∫ +∞

t0q(t)dt =+∞, fie

∫ +∞t0

q(s)ds ∈R si∫ +∞

t q(s)ds > 0 pentru orice

t ≥ t0.

Demonstratie. Introducem marimea

Q(t) =∫ t

Tq(s)ds, t ≥ T ≥ t0.

Necesitatea. Presupunem ca, prin absurd, liminft→+∞

Q(t) = −∞, ceea ce implica

existenta unui sir de numere (tn)n≥1 din [T,+∞), crescator si divergent, cu pro-

prietatea ca Q(tn)≤−n pentru orice n ≥ 1.

Notam cu N0 ≥ 1 cel mai mic numar natural pentru care tn > T1 cand n ≥ N0

(vezi ipoteza (i) a Teoremei 41).

Putem scrie ca


0 <∫ tn

T1

q(s)ds = Q(tn)−Q(T1)≤−n−Q(T1)→−∞ cand n →+∞,

o contradictie.

Daca liminft→+∞

Q(t) = +∞, obtinem prima parte a alternativei. De aceea, sa pre-

supunem ca, prin absurd, −∞ < α = liminft→+∞

Q(t)< β = limsupt→+∞

Q(t)≤+∞.

Ne vom referi numai la cazul β <+∞. Exista sirurile de numere (tn)n≥1, (tn)n≥1

din [T,+∞), crescatoare si divergente, astfel ıncat limn→+∞

Q(tn) = α , limn→+∞

Q(tn) = βsi

Q(tn) ∈ [α − ε ,α + ε ], Q(tn) ∈ [β − ε ,β + ε ]

pentru orice n ≥ N1 ≥ 1 suficient de mare, unde ε ∈(

0, β−α4

)

este fixat.

Tinand seama de ipoteza (ii) a Teoremei 41, putem scrie ca

0 <∫ tn

tmq(s)ds = Q(tn)−Q(tm)≤ α −β +2ε <−β −α

2< 0

cand tm = T , tn > T2 si m,n ≥ N1, o contradictie.

Asadar, exista limt→+∞

Q(t) = L ∈ (−∞,+∞]. Mai mult, deducem ca

∫ t

Tq(s)ds =

(

∫ 2T2

T+∫ t

2T2

)

q(s)ds >∫ 2T2

Tq(s)ds > 0

pentru orice t ≥ T ∗2 , unde T ∗

2 este acel ”T2” dat de ipoteza (ii) pentru T = 2T2.

In concluzie, L ≥ ∫ 2T2T q(s)ds > 0.

Suficienta. Fie T ≥ t0. Cum limt ′→+∞

∫ t ′T q(s)ds =

∫ +∞T q(s)ds > 0, exista T2 ≥ T

astfel ıncat∫ t

T q(s)ds ≥ 12

∫ +∞T q(s)ds > 0 pentru orice t ≥ T2. Am stabilit partea (ii).

La (i), sa presupunem ca, prin absurd, exista T ≥ t0 cu proprietatea ca pentru

orice T1 ≥ T exista t > T1 astfel ıncat∫ t

T1q(s)ds ≤ 0.

Atunci, fixand T1 = T , exista t1 > T pentru care∫ t1

T q(s)ds ≤ 0.

Multimea S = t > T :∫ t

T q(s)ds ≤ 0 este nevida. Cum∫ +∞

T q(s)ds > 0, exista

T ⋆ = supS < +∞. Evident,∫ T ⋆

T q(s)ds ≤ 0. Acum, luand T1 = T ⋆, exista t2 > T ⋆

cu∫ t2

T ⋆ q(s)ds ≤ 0, de unde∫ t2

T q(s)ds =(

∫ T ⋆

T +∫ t2

T ⋆

)

q(s)ds ≤ 0, adica t2 ∈ S. Am

ajuns la o contradictie.

Un exemplu interesant de functie f supusa restrictiei (3.82) este dat de f (x) =x ln(1+ |x|) pentru orice x ∈ R. In particular,

∫ +∞

1

dx

f (x)=−

∫ −1

−∞

dx

f (x)= +∞.

Concluziile Lemei 15 sunt completate de contributia lui G.J. Butler [7] din 1975.

3.5 O teorema de tip Kamenev a lui C.G. Philos 85

Teorema 42 (cf. [7, 27]) Sa presupunem ca neliniaritatea f (x) a ecuatiei (3.78)

verifica ipoteza (3.79) si

∫ +∞

1

dx

f (x)<+∞,

∫ −1

−∞

dx

f (x)>−∞.

(i) Daca∫ +∞

t q(s)ds ≥ 0 pentru orice t ≥ t0, atunci

∫ +∞

t0

Q(t)+∫ +∞

t[Q(u)]2du

dt =+∞, unde Q(t) =∫ +∞

tq(s)ds,

este o conditie necesara si sufienta pentru oscilatia ecuatiei (3.78).

(ii) Indiferent de semnul functiei Q(t), relatia

∫ +∞

t0

|Q(t)|+∫ +∞

t[Q(u)]2du

dt =+∞

este o conditie necesara pentru oscilatia ecuatiei (3.78).

3.5 O teorema de tip Kamenev a lui C.G. Philos

In 1978, I.V. Kamenev [23] ınlocuieste conditia (3.66) cu restrictia

limsupt→+∞

1

tn

∫ t

t0

(t − s)nq(s)ds =+∞, n ∈ N\0,1. (3.87)

Calculul din [51, pp. 418–419] arata ca numarul natural n poate fi ınlocuit cu orice

numar real α > 1.

Pentru ecuatia (3.70), conditia lui Kamenev (3.87) devine

limsupt→+∞

1

[R(t)]n

∫ t

t0

[R(t)−R(s)]nq(s)ds =+∞, n ≥ 2,

unde R(t)=∫ t

t0ds

r(s) ın [t0,+∞), cf. [40, Theorem 1]. O conditie similara functioneaza

pentru ecuatiile diferentiale retardate, vezi [40, Theorem 4].

Vom stabili oscilatia ecuatiei diferentiale liniare (3.47) atunci cand coeficientul

functional q(t) ındeplineste o varianta ponderata a conditiei (3.87).

Teorema 43 (C.G. Philos, 1983, cf. [39, Theorem]) Fie α > 1 fixat. Presupunem

ca exista functia ρ : [t0,+∞)→ (0,+∞) de clasa C1 astfel ıncat

limsupT→+∞

1

T α

∫ T

t0

(T − t)α−2

ρ(t)[αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)]2dt <+∞.

Atunci, daca coeficientul functional q(t) ındeplineste conditia


limsupT→+∞

1

T α

∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)q(t)dt =+∞,

ecuatia (3.47) este oscilatorie.

Demonstratie. Fie x(t) o (eventuala) solutie pozitiva a ecuatiei (3.47). Derivata

sa logaritmica, w(t) = x′(t)x(t) , verifica ecuatia lui Riccati

q(t) =−w′(t)− [w(t)]2, t ≥ t0. (3.88)

Inmultind relatia (3.88) ın ambii membri cu (T − t)α ρ(t) si integrand prin parti

rezultatul, obtinem

∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)q(t)dt =−∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)w′(t)dt −∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)[w(t)]2dt

= (T − t0)α ρ(t0)w(t0)+

∫ T

t0

(T − t)α w(t)ρ ′(t)dt −α∫ T

t0

(T − t)α−1w(t)ρ(t)dt

−∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)[w(t)]2dt.

Formam patratul unui binom pentru a construi un majorant al cantitatii

1

T α

∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)q(t)dt

care sa nu contina functia w(t). Mai precis,

∫ T

t0

(T − t)α w(t)ρ ′(t)dt −α∫ T

t0

(T − t)α−1w(t)ρ(t)dt

−∫ T

t0


=−∫ T

t0

(T − t)α−1w(t)[αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)]dt −∫ T

t0


=−∫ T

t0

2

[

(T − t)α−2

2αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)

2√

ρ(t)

]

·[

(T − t)α2

√

ρ(t)w(t)]

dt

−∫ T

t0


=−∫ T

t0

[

(T − t)α−2

2αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)

2√

ρ(t)+(T − t)

α2

√

ρ(t)w(t)

]2

dt

+∫ T

t0

[

(T − t)α−2

2αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)

2√

ρ(t)

]2

dt, T ≥ t0.

3.6 Medii ponderate generale 87

Am ajuns la

∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)q(t)dt ≤ (T − t0)α ρ(t0)|w(t0)|

+∫ T

t0

[

(T − t)α−2

2αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)

2√

ρ(t)

]2

dt,

de unde

1

T α

∫ T

t0

(T − t)α ρ(t)q(t)dt ≤ ρ(t0)|w(t0)|

+1

4T α

∫ T

t0

(T − t)α−2

ρ(t)[αρ(t)− (T − t)ρ ′(t)]2dt,

fapt care ne conduce la o contradictie.

Rezultate de oscilatie ın ipoteza (3.87) pentru clase de ecuatii diferentiale nelini-

are au fost date de J.S.W. Wong [52] ın 1993, respectiv M. Naito [34] ın 1994.

3.6 Medii ponderate generale. Criteriile de oscilatie ale lui W.J.

Coles. Teoremele lui J.S.W. Wong

Plecam de la un exemplu [9, p. 758]. Astfel, daca ecuatia diferentiala liniara

(3.47) are coeficientul functional q(t) = t2 sin t pentru orice t ≥ t0 = 1, atunci

liminfT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

q(τ)dτds = liminfT→+∞

[−T sinT +O(1)] =−∞.

Nu putem, asadar, folosi Teorema 35 pentru a decide oscilatia/neoscilatia ecuatiei

(3.47). In schimb, exista numarul natural N ≥ 1 pentru care

∫ s

t0

q(τ)dτ >s2

2, s ∈U =

⋃

n≥N

[

2nπ +3π4,(2n+1)π

]

,

ceea ce implica o generalizare a conditiei de oscilatie (2.19), si anume

limT→+∞

1

meas (S(T ))

∫

S(T )

(

∫ s

t0

q(τ)dτ)

dL1(s) = +∞, (3.89)

unde S(T ) =U ∩ [t0,T ].In 1968, W.J. Coles [9, Corollary 1] stabileste oscilatia ecuatiei (3.47) pe baza

conditiei (3.89). Pentru a prezenta rezultatele sale, introducem functia–pondere con-

tinua f : [t0,+∞)→ [0,1] cu proprietatea ca


f (t) = 1, t ∈U, si f (t) = 0, t ∈V =⋃

n≥N

[

2nπ +π4,2nπ +

π2

]

.

Constructia functiei f se bazeaza pe lema lui Urason [25, p. 115].

Mai departe, fie a ∈U si η ∈ [0,1). Luand t ≥ a, putem scrie ca

∫ t

af (s)

(

∫ st0

f (τ)dτ)η

∫ st0[ f (τ)]2dτ

ds ≥∫ t

a

f (s)(

∫ st0

f (τ)dτ)1−η ds ≥

∫ ta f (s)ds

(

∫ tt0

f (τ)dτ)1−η

=F(t)− c

[F(t)]1−η , F(t) =∫ t

t0

f (s)ds, c = F(a).

Cum limt ′→+∞

F(t ′) = +∞, coeficientul functional q(t) verifica urmatoarea conditie

a lui W.J. Coles, cf. [9, Eq. (6)], si anume

limT→+∞

∫ Tt0

f (s)∫ s

t0q(τ)dτds

∫ Tt0

f (s)ds=+∞, (3.90)

unde functia continua f : [t0,+∞)→ [0,+∞) satisface restrictia

∫ +∞f (t)

(

∫ tt0

f (τ)dτ)η

∫ tt0[ f (τ)]2dτ

dt =+∞. (3.91)

Remarcam faptul ca exemplul anterior poate fi tratat si cu ajutorul Teoremei 38.

Pentru relatia dintre criteriul lui Putnam si diversele teoreme de tip Coles-Willett,

vezi [46, pp. 610–611].

Teorema 44 ([9, Theorem 1]) Sa presupunem ca au loc relatiile (3.90), (3.91).


Demonstratie. Observam ca ipoteza (3.91) implica∫ +∞

t0f (s)ds =+∞. Deci ex-

ista a ≥ t0 pentru care

∫ T

t0

f (s)ds > 0, T ≥ a.

Introducand derivata logaritmica y(t) a (prezumtivei) solutii pozitive x(t), ecuatia

lui Riccati ne conduce, via integrare, la

∫ T

t0

[y(s)− y(t0)] f (s)ds+∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds+∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

q(τ)dτds = 0,

respectiv la (vezi ipoteza (3.90))

∫ T

t0

y(s) f (s)ds+∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds (3.92)


=

[

y(t0)−∫ T

t0f (s)

∫ st0

q(τ)dτds∫ T

t0f (s)ds

]

·∫ T

t0

f (s)ds →−∞ cand T →+∞.

Fixam t1 ≥ a astfel ıncat suma din (3.92) sa fie negativa pentru orice T ≥ t1.

Acest fapt implica

[R(T )]2 =

∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds

2

≤[

−∫ T

t0

y(s) f (s)ds

]2

≤∫ T

t0

[y(s)]2ds ·∫ T

t0

[ f (s)]2ds, T ∈ [t1,+∞). (3.93)

Mai departe, pentru t2 ≥ t1 fixat si T ≥ t2, avem

f (T )∫ T

t0[ f (s)]2ds

(

∫ T

t2

f (s)ds ·∫ t2

t0

[y(s)]2ds

)η

≤ f (T )∫ T

t0[ f (s)]2ds

∫ T

t2

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds

η≤ f (T )∫ T

t0[ f (s)]2ds

[R(T )]η

=R′(T )

∫ Tt0[ f (s)]2ds · ∫ T

t0[y(s)]2ds

[R(T )]η ,

respectiv, pe baza estimarii (3.93),

f (T )∫ T

t0[ f (s)]2ds

(

∫ T

t2

f (s)ds ·∫ t2

t0

[y(s)]2ds

)η≤ R′(T )

[R(T )]2−η . (3.94)

Integrand inegalitatea (3.94), deducem ca

∫ T

t2

f (s)

(

∫ st2

f (τ)dτ)η

∫ st0[ f (τ)]2dτ

ds ≤(

∫ t2

t0

[y(s)]2ds

)−η· 1

1−η

[

1

R(t2)

]1−η<+∞,

unde T ≥ t2, respectiv

∫ T

nt2

f (s)

(

∫ st0

f (τ)dτ)η

∫ st0[ f (τ)]2dτ

ds ≤∫ T

nt2

f (s)

(

2∫ s

t2f (τ)dτ

)η

∫ st0[ f (τ)]2dτ

ds

≤ 2η∫ T

t2

f (s)

(

∫ st2

f (τ)dτ)η

∫ st0[ f (τ)]2dτ

ds

pentru n ≥ 1 suficient de mare ca∫ t2

t0f (τ)dτ <

∫ nt2t2

f (τ)dτ . Concluzia se afla ın

conflict cu (3.91).

Teorema 45 ([9, Theorem 2]) Sa presupunem ca limita din (3.50) sau nu exista sau

nu este finita. De asemeni, sa consideram ca, ın locul conditiei lui W.J. Coles (3.90),


avem

liminfT→+∞

∫ Tt0

f (s)∫ s

t0q(τ)dτds

∫ Tt0

f (s)ds>−∞,

unde functia f verifica restrictia (3.91).

Atunci, ecuatia (3.47) devine oscilatorie.

Demonstratie. Reluand calculul din demonstratia Teoremei 44, ajungem la (vezi

(3.92)!)

∫ T

t0

y(s) f (s)ds+∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds ≤ K ·∫ T

t0

f (s)ds, T ≥ a,

pentru un anumit K ∈ (0,+∞).Deoarece nu are loc conditia (3.50), Teorema 34 implica

∫ +∞t0

[y(s)]2ds = +∞.

Astfel, conform regulii lui L’Hopital, avem

limT→+∞

∫ Tt0

f (s)∫ s

t0[y(τ)]2dτds

∫ Tt0

f (s)ds=∫ +∞

t0

[y(τ)]2dτ =+∞,

de unde

∫ T

t0

y(s) f (s)ds+1

2

∫ T

t0

f (s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds

≤[

K − 1

2·∫ T

t0f (s)

∫ st0[y(τ)]2dτds

∫ Tt0

f (s)ds

]

·∫ T

t0

f (s)ds →−∞

cand T →+∞.

Generalizari ale Teoremelor 44, 45 se gasesc ın [10, 28].

In 1977, P. Hartman [22] extinde aceste rezultate introducand nuclee generale

ın media coeficientului functional q(t), cf. [51, p. 421]. Mai precis, consideram ca

functia continua K : D = (t,s) : t ∈ [t0,+∞),s ∈ [t0, t]→ [0,+∞) ındeplineste (se-

lectiv) urmatoarele conditii:

(a) pentru orice functie continua f : [t0,+∞)→ R cu limt ′→+∞

f (t ′) = 0,

limt→+∞

∫ t

t0

K(t,s) f (s)ds = 0; (3.95)

(b) pentru orice functie continua f : [t0,+∞)→ R cu limt ′→+∞

f (t ′) = +∞,

limt→+∞

∫ t

t0

K(t,s) f (s)ds =+∞; (3.96)

(c) pentru orice functie continua f : [t0,+∞)→ R cu f ∈ L2σ ((t0,+∞),R),


limt→+∞

∫ t

t0

K(t,s) f (s)ds = 0, (3.97)

unde σ ∈ [1,2] este fixat;

(d) exista functiile continue k,m : [t0,+∞) → [0,+∞) si κ ,K0 : D → (0,+∞)astfel ıncat

κ(t,s)≥ [k(t)]2m(t)

∫ t

t0

[K(t,u)]2−α

K0(t,u)du

[K(t,s)]α K0(t,s) (3.98)

pentru un anumit α ∈ [0,2] si

κ(t,s) =∂∂ t

[

k(t)

∫ t

sK(t,u)du

]

,

unde t ≥ s ≥ t0. In plus,

limsupt ′→+∞

k(t ′)∫ +∞

t ′m(s)ds > 0. (3.99)

O varianta a Teoremei 34 este data de rezultatul care urmeaza.

Teorema 46 ([22, Theorem]) Presupunem ca ecuatia (3.47) este neoscilatorie.

(i) Daca nucleul K(t,s) ındeplineste conditiile (a), (c) si are loc (3.51), atunci exista

Mq ∈ R astfel ıncat, pentru orice η ∈ [1,σ ], sa avem

limt→+∞

∫ t

t0

K(t,s)

∣

∣

∣

∣

Mq −∫ s

t0

q(τ)dτ∣

∣

∣

∣

ηds = 0. (3.100)

In particular,

liminft→+∞

∫ t

t0

K(t,s)∫ s

t0

q(τ)dτds >−∞. (3.101)

(ii) Daca nucleul K(t,s) ındeplineste conditiile (a), (b), (d) si are loc (3.101), atunci

toate solutiile ecuatiei (3.47) satisfac (3.51).

Demonstratie. Partea (i). Observam ca, fiind date numerele reale v,w, are loc

inegalitatea

|v+w|σ ≤ (2max|v|, |w|)σ ≤ 2σ (|v|σ + |w|σ )

Atunci, pe baza (3.54), deducem ca

∣

∣

∣

∣

C−∫ t

t0

q(s)ds

∣

∣

∣

∣

σ≤ 2σ

|y(t)|σ +

∫ +∞

t[y(s)]2ds

σ

= 2σ [ f1(t)+ f2(t)]

ın [t0,+∞).


Mai departe, tinand cont de faptul ca f1 ∈ L2σ ((t0,+∞),R) si f2(t

′) = o(1) cand

t ′ →+∞, avem

∫ t

t0

K(t,s)

∣

∣

∣

∣

C−∫ s

t0

q(τ)dτ∣

∣

∣

∣

σds = o(1) cand t →+∞. (3.102)

Fie acum η ∈ [1,σ). Inegalitatea lui Holder ne conduce la (p = ση , q = σ

σ−η )

∫ t

t0

K(t,s)

∣

∣

∣

∣

C−∫ s

t0

q(τ)dτ∣

∣

∣

∣

ηds

=∫ t

t0

[

K(t,s)

∣

∣

∣

∣

C−∫ s

t0

q(τ)dτ∣

∣

∣

∣

σ] ησ[K(t,s)]

σ−ησ ds

≤

∫ t

t0

K(t,s)

∣

∣

∣

∣

C−∫ s

t0

q(τ)dτ∣

∣

∣

∣

σds

ησ[

∫ t

t0

K(t,s)ds

]σ−η

σ, (3.103)

unde t ≥ t0.

Afirmatie Marimea∫ t

t0K(t,s)ds este marginita ın [t0,+∞).

Intr-adevar, sa presupunem ca, prin absurd, exista sirul de numere (tn)n≥1 ın

[t0,+∞), crescator si divergent, cu proprietatea ca

∫ tn

t0

K(tn,s)ds = n

pentru orice n ≥ N suficient de mare. Funtia f : [t0,+∞) → (0,+∞) cu formulele

f (t)≡ 1N

ın [t0, tN ] si

f (t) =1

n+

1

n(n+1)· tn − t

tn+1 − tn, t ∈ [tn, tn+1], n ≥ N,

este continua si limt ′→+∞

f (t ′) = 0. Insa,

∫ tn

t0

K(tn,s) f (s)ds ≥ 1

n

∫ tn

t0

K(tn,s)ds = 1

pentru orice n ≥ N, ceea ce contrazice (3.95). Afirmatia este probata.

In concluzie, (3.100), unde C = Mq, rezulta din (3.103). La randul sau, pe baza

Afirmatiei precedente, concluzia (3.101) provine din (3.100) pentru η = 1.

Partea (ii). Presupunem ca solutia x(t) a ecuatiei (3.47) nu satisface conditia

(3.51). Egalitatea (3.53) ne conduce la

∫ t

t0

K(t,s)y(s)ds+S(t) = y(t0)∫ t

t0

K(t,s)ds−∫ t

t0

K(t,s)∫ s

t0

q(τ)dτds,

unde


S(t) =∫ t

t0

K(t,s)∫ s

t0

[y(τ)]2dτds →+∞ cand t →+∞. (3.104)

Am tinut cont de ipoteza (b), luand f (t) =∫ t

t0[y(s)]2ds ın [t0,+∞).

Asadar,

∫ t

t0

K(t,s)|y(s)|ds ≥ −∫ t

t0

K(t,s)y(s)ds = (o cantitate ≥ c >−∞)+S(t)

≥ 1

2S(t)> 0 (3.105)

pentru orice t ≥ t1 suficient de mare.

Doua relatii auxiliare sunt necesare ın acest moment. Prima rezulta din inegali-

tatea Cauchy-Schwarz, si anume

[

∫ t

t0

K(t,s)|y(s)|ds

]2

≤∫ t

t0

[K(t,s)]2−α

K0(t,s)ds ·

∫ t

t0

[K(t,s)]α K0(t,s)[y(s)]2ds

=

∫ t

t0

[y(s)]2

∫ t

t0

[K(t,u)]2−α

K0(t,u)du

[K(t,s)]α K0(t,s)ds (3.106)

ın [t0,+∞). Cea de-a doua, obtinuta printr-o integrare prin parti, este

S(t) =∫ t

t0

[y(s)]2∫ t

sK(t,u)duds, t ≥ t0.

Astfel, pe baza (3.98), (3.106), (3.105), deducem ca

[k(t)S(t)]′ =∫ t

t0

[y(s)]2∂∂ t

[

k(t)∫ t

sK(t,u)du

]

ds =∫ t

t0

κ(t,s)[y(s)]2ds

≥ [k(t)]2m(t) ·[

∫ t

t0

K(t,s)|y(s)|ds

]2

≥ m(t)

4[k(t)S(t)]2, t ≥ t1.

In sfarsit, prin integrare, ajungem la

4

S(t)≥ k(t)

∫ t ′

tm(s)ds, t ′ ≥ t ≥ t1,

respectiv la

4

S(t)≥ k(t)

∫ +∞

tm(s)ds

ın [t1,+∞), o relatie aflata ın conflict cu (3.99), (3.104).

Pe baza Teoremei 46 refacem concluziile Teoremei 35.

Teorema 47 Sa presupunem ca nucleul K(t,s) ındeplineste conditiile (a)–(d). A-

tunci, pentru ca ecuatia (3.47) sa fie neoscilatorie este necesar fie ca


liminft→+∞

∫ t

t0

K(t,s)∫ s

t0

q(τ)dτds =−∞

fie ca

limt→+∞

∫ t

t0

K(t,s)

[

Mq −∫ s

t0

q(τ)dτ]

ds = 0

pentru un anumit Mq ∈ R.

Rezultate de oscilatie cu medii generale pentru ecuatia (3.78) au fost obtinute ın

2003 de J.S.W. Wong [51]. Astfel, sa presupunem ca neliniaritatea f : R → R, de

clasa C1, ındeplineste urmatoarea varianta a conditiei de semn (3.79)

x f (x)> 0 si f ′(x)> 0 pentru orice x 6= 0. (3.107)

In plus, are loc (3.80) si exista numarul c( f )> 1 astfel ıncat

f ′(x)∫ +∞

x

dy

f (y)≥ c( f ) cand x > 0 (3.108)

si

f ′(x)∫ x

−∞

dy

f (y)≤−c( f ) cand x < 0. (3.109)

Fie h : D = (t,s) : t ∈ [t0,+∞),s ∈ [t0, t]→ [0,+∞) o functie continua, de clasa

C2 ın raport cu cea de-a doua variabila, astfel ıncat

(a) h(t, t) = 0, ∂h∂ s(t,s)≤ 0 si ∂ 2h

∂ s2 (t,s)≥ 0 pentru orice t ≥ s ≥ t0;

(b) exista η > 0 si C ≥ 1 pentru careh(t,t0)

h(t,(1+η)t0)≤C ın [t0,+∞);

(c) 1h(t ′,t0)

· ∂h∂ s(t ′,s)

∣

∣

∣

s=t0= o(1) cand t ′ →+∞;

(d) exista c1 ∈ (0,c( f )) pentru care

[

∂h

∂ s(t,s)

]2

≤ c1∂ 2h

∂ s2(t,s)h(t,s), t ≥ s ≥ t0.

Teorema 48 ([51, Theorem 3]) Daca

limsupt→+∞

1

h(t, t0)

∫ t

t0

h(t,s)q(s)ds =+∞, (3.110)


Demonstratie. Introducem marimea u(t) = − x′(t)f (x(t)) , unde x(t) este prezumtiva

solutie pozitiva a ecuatiei (3.78). Atunci,

u′(t) = q(t)+ f ′(x(t))[u(t)]2, t ≥ t0,


de unde, tinand seama de (a), putem scrie ca

−h(t, t0)u(t0)−∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)u(s)ds =

∫ t

t0

h(t,s)q(s)ds (3.111)

+∫ t

t0

h(t,s) f ′(x(s))[u(s)]2ds.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz, pe baza (d), implica

[

∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)u(s)ds

]2

≤

√c1

∫ t

t0

√

∂ 2h∂ s2 (t,s)

f ′(x(s))·√

h(t,s) f ′(x(s))|u(s)|ds

2

≤ c1

∫ t

t0

∂ 2h∂ s2 (t,s)

f ′(x(s))ds ·

∫ t

t0

h(t,s) f ′(x(s))[u(s)]2ds.

Putem scrie, via (3.108), ca

∫ t

t0

∂ 2h∂ s2 (t,s)

f ′(x(s))ds ≤ 1

c( f )

∫ t

t0

∂ 2h

∂ s2(t,s)

[

∫ +∞

x(s)

dy

f (y)

]

ds

=1

c( f )

[

∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t

∫ +∞

x(t)

dy

f (y)− ∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t0

∫ +∞

x(t0)

dy

f (y)

−∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)u(s)ds

]

≤ 1

c( f )

[

− ∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t0

∫ +∞

x(t0)

dy

f (y)−∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)u(s)ds

]


Mai departe, pentru t ≥ (1+η)t0, deducem ca

h(t, t0)∫ t

t0h(t,s) f ′(x(s))[u(s)]2ds

≤ h(t, t0)∫ (1+η)t0


≤ h(t, t0)

h(t,(1+η)t0)∫ (1+η)t0

t0f ′(x(s))[u(s)]2ds

≤ C∫ (1+η)t0

t0f ′(x(s))[u(s)]2ds

≤C1 <+∞.

Folosind notatia

K(t) =−∫ t

t0∂h∂ s(t,s)u(s)ds

∫ tt0

h(t,s) f ′(x(s))[u(s)]2ds, t ≥ (1+η)t0,

ajungem la


[K(t)]2 ≤ c1

c( f )

∫ +∞

x(t0)

dy

f (y)

[

− 1

h(t, t0)

∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t0

]

× h(t, t0)∫ t


+K(t)

=c1

c( f )K(t)+o(1),

respectiv la

|K(t)| ≤ c1

c( f )+o(1) cand t →+∞.

Astfel, fiind dat ε ∈(

0,1− c1c( f )

)

, exista tε ≥ (1+η)t0 pentru care

|K(t)| ∈(

0,c1

c( f )+ ε)

, t ≥ tε .

Revenind la (3.111), deducem ca

h(t, t0)|u(t0)| ≥ −h(t, t0)u(t0)

≥(

1− c1

c( f )− ε)

∫ t

t0

h(t,s) f ′(x(s))[u(s)]2ds+∫ t

t0

h(t,s)q(s)ds,

respectiv

|u(t0)| ≥1

h(t, t0)

∫ t

t0

h(t,s)q(s)ds, t ≥ t1,

o relatie aflata ın conflict cu (3.110).

Teorema 49 ([51, Theorem 4]) Sa admitem ca neliniaritatea f : R → R, de clasa

C1, a ecuatiei diferentiale (3.78) satisface conditia de semn (3.107) ımpreuna cu

restrictiile

∫ x

0+

dy

f (y)<+∞ cand x > 0

si

∫ 0−

x

dy

f (y)>−∞ cand x < 0.

Atunci, daca coeficientul functional q : [t0,+∞)→ R verifica ipoteza (3.110) iar

functia h : D → [0,+∞) este supusa constrangerilor (a) si (e), unde

(e) 1h(t ′,t0)

· ∂h∂ s(t ′,s)

∣

∣

∣

s=t0= O(1) cand t ′ →+∞,

ecuatia (3.78) devine oscilatorie.

3.7 Conditia necesara si suficienta a lui P. Hartman 97

Demonstratie. Presupunand ca x(t) este o solutie pozitiva a ecuatiei (3.78), in-

troducem marimea v(t) = x′(t)f (x(t)) pentru orice t ≥ t0. Atunci, avem

v′(t)+ f ′(x(t))[v(t)]2 +q(t) = 0,

de unde, tinand seama de (3.107), rezulta ca

∫ t

t0

h(t,s)v′(s)ds+∫ t

t0

h(t,s)q(s)ds ≤ 0 (3.112)

ın [t0,+∞).Integrand prin parti, ajungem la

∫ t

t0

h(t,s)v′(s)ds =−h(t, t0)v(t0)−∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)v(s)ds

=−h(t, t0)v(t0)−∫ t

t0

∂h

∂ s(t,s)

d

ds

[

∫ x(s)

0+

dy

f (y)

]

ds =−h(t, t0)v(t0)

− ∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t

∫ x(t)

0+

dy

f (y)+

∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t0

∫ x(t0)

0+

dy

f (y)

+∫ t

t0

∂ 2h

∂ s2(t,s)

∫ x(s)

0+

dy

f (y)ds,

respectiv la

1

h(t, t0)

∫ t

t0

h(t,s)v′(s)ds ≥−|v(t0)|+[

1

h(t, t0)

∂h

∂ s(t,s)

∣

∣

∣

∣

s=t0

]

∫ x(t0)

0+

dy

f (y)

= O(1) cand t →+∞.

Insa relatiile (3.110), (3.112) implica

liminft→+∞

1

h(t, t0)

∫ t

t0

h(t,s)v′(s)ds =−∞,

o contradictie.

3.7 Conditia necesara si suficienta a lui P. Hartman de existenta

a dezvoltarii asimptotice Poincare–Perron

Sa revenim la ecuatia liniara (3.47). Are loc urmatorul rezultat.

Teorema 50 (Hartman, 1948, cf. [16, (IV)]) Ecuatia (3.47), unde q(t) =−[1+g(t)]pentru orice t ≥ t0 si functia g : R → R este continua, admite o solutie x(t) care

satisface dezvoltarea asimptotica Poincare–Perron


limt→+∞

x′(t)x(t)

= 1

(

sau limt→+∞

x′(t)x(t)

=−1

)

(3.113)

daca si numai daca are loc (3.2).

Demonstratie. Incepem discutia facand observatia ca orice solutie x(t) a ecuatiei

(3.47) pentru care dezvoltarea Poincare–Perron ia forma

limt→+∞

x′(t)x(t)

= 1 (3.114)

are proprietatea ca

|x(t1)|e12 (t−t1) ≤ |x(t)| ≤ |x(t1)|e

32 (t−t1), t ≥ t1,

unde t1 ≥ t0 este suficient de mare. In particular, integrala∫ +∞

t1du

[x(u)]2este conver-

genta.

Functia

y(t) = x(t)∫ +∞

t

du

[x(u)]2, t ≥ t1,

desemneaza o solutie a ecuatiei diferentiale (3.47) care admite, via regula lui

L’Hopital, dezvoltarea Poincare–Perron

limt→+∞

y′(t)y(t)

=−1. (3.115)

De asemeni, fiind data solutia y(t) cu dezvoltarea (3.115), functia

x(t) = y(t)∫ t

t1

du

[y(u)]2, t ≥ t1,

este o solutie a ecuatiei (3.47) care satisface (3.114). Asadar, dezvoltarile (3.114),

(3.115) au loc simultan, cf. [16, (V)]. In plus,

limt→+∞

x(t)y(t) =1

2. (3.116)

Afirmatie Daca exista solutiile x1,2(t) ale ecuatiei (3.47) astfel ıncat x1(t) sa sat-

isfaca relatia (3.114) iar x2(t) sa satisfaca relatia (3.115), atunci toate solutiile x(t)ale ecuatiei (3.47) satisfac alternativa (3.113).

Intr-adevar, solutiile x1,2(t) fiind liniar independente (vezi (3.116)), solutia x(t)este o combinatie liniara a lor, deci putem scrie ca


x′(t)x(t)

=c1x′1(t)+ c2x′2(t)c1x1(t)+ c2x2(t)

=

x′1(t)

x1(t)+

c2x′2(t)

c1x1(t)

1+c2x2(t)c1x1(t)

=

x′1(t)

x1(t)+o(1)

1+o(1) , c1 6= 0,

x′2(t)x2(t)

, c1 = 0,

unde c1,2 ∈R, pentru t →+∞, ceea ce ne conduce la (3.113). Afirmatia este probata.

Necesitatea. Revenind la solutia x(t) cu comportamentul asimptotic descris de

(3.114), introducem derivata logaritmica z(t) = x′(t)x(t) , unde t ≥ t0, presupunand ca

x(t)> 0 ın [t0,+∞). Mai mult chiar, admitem ca

1

2≤ z(t)≤ 3

2, t ≥ t0.

Functia f1 : R→ R avand formula

f1(z) =

1− z2, z ≥ 0,1− z, z < 0,

(3.117)

este continua si ındeplineste conditiile

(z−1) f1(z)< 0 pentru orice z 6= 1, limz→±∞

f1(z) =∓∞. (3.118)

Reamintind comentariul de la pagina 52, concludem ca functia f1(z) satisface

conditiile Teoremei 23. Astfel, cum ecuatia diferentiala

z′ = f1(z)+g(t), t ≥ t0, (3.119)

admite solutia z(t) cu comportamentul asimptotic dat de limt ′→+∞

z(t ′) = 1, functia g(t)

va trebui sa ındeplineasca conditia (3.2).

Suficienta. Ecuatia diferentiala (3.119), unde f1(z) are formula (3.117), verifica

ipotezele Teoremei 23, mai precis (3.118) si (3.2). Atunci, toate solutiile z(t) ale

sale exista ın [t0,+∞) si se supun restrictiei

limt→+∞

z(t) = 1. (3.120)

Fixand o asemenea solutie z(t), va exista numarul t1 ≥ t0 suficient de mare ca

z(t) > 0 ın [t1,+∞). Acest fapt decurge din (3.120). Deci, pentru t ≥ t1, ecuatia

(3.119) devine o ecuatie Riccati iar functia

x(t) = exp

(

∫ t

t1

z(s)ds

)

, t ≥ t1,

este o solutie a ecuatiei (3.47) caracterizata de dezvoltarea (3.114).

Plecand de la o tehnica din [3, pp. 16–17], se poate stabili urmatoarea varianta a

Teoremei 50.


Teorema 51 ([1, Theorem 7]) Fie g : R→ R o functie continua si ecuatia diferen-

tiala ordinara liniara

x′′− [1+g(t)]x = 0, t ≥ t0 ≥ 0. (3.121)

Atunci, ecuatia (3.121) admite solutia x(t) cu dezvoltarea Poincare–Perron (3.114)

daca si numai daca

limt→+∞

e−ct∫ t

t0

ecsg(s)ds = 0 (3.122)

pentru orice c > 0.

Demonstratie. Necesitatea. Fie x(t) o solutie a ecuatiei (3.121) cu dezvoltarea

(3.114). Vom considera ca x(t)> 0 ın [T,+∞) pentru un anumit T ≥ t0.

Functia data de formula

w(t) =x′(t)x(t)

−1, t ≥ T,

verifica identitatea

1+g(t) =x′′(t)x(t)

= 1+w′(t)+2w(t)+ [w(t)]2,

de unde g(t) = w′(t)+2w(t)+ [w(t)]2 ın [T,+∞).Fixam c > 0. Pe baza regulii lui L’Hopital putem scrie ca

limt→+∞

e−ct∫ t

Tecs[w(s)]ids =

1

clim

t→+∞[w(t)]i = 0, i = 1,2. (3.123)

Mai departe, integrand prin parti, avem

e−ct∫ t

Tecsw′(s)ds = w(t)−w(T )ec(T−t)− ce−ct

∫ t

Tecsw(s)ds, t ≥ T,

de unde obtinem ca

limt→+∞

e−ct∫ t

Tecsw′(s)ds = 0. (3.124)

In mod evident, (3.123), (3.124) implica (3.122).

Suficienta. Conditia (3.122) poate fi reformulata.

Afirmatie Mai precis, pentru orice numere c,ε > 0 exista L0 = L0(c,ε) ≥ t0 cu

proprietatea ca

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

Wecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

< ε (3.125)


pentru orice t ≥W ≥ L0.

Intr-adevar, sa presupunem ca are loc (3.122). Atunci, pentru c,ε > 0 fixate exista

T = T (c,ε)≥ t0 astfel ıncat

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

<ε2, t ≥ T.

Apoi, luand t ≥W ≥ T , avem

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

Wecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

≤ e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ W

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

+ e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

≤ e−cW

∣

∣

∣

∣

∫ W

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

+ e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

< ε .

Reciproc, daca are loc (3.125), atunci, fixand c,ε > 0, putem scrie ca

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

Wecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

<ε2

(3.126)

pentru orice t ≥W ≥ L0 = L0

(

c, ε2

)

.

In plus, exista T = T (c,ε)≥ L0 pentru care

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ L0

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

<ε2, t ≥ T. (3.127)

Facand W = L0 ın (3.126) si tinand cont de (3.127), deducem ca

e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

≤ e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ L0

t0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

+ e−ct

∣

∣

∣

∣

∫ t

L0

ecsg(s)ds

∣

∣

∣

∣

< ε

ın [T,+∞). Afirmatia este probata.

Fixam ε ∈ (0,1) si introducem marimea L1 = L0

(

2, ε2

)

.

Afirmatie Problema la limita

w′+2w+w2 = g(t), t ≥ L1,w(L1) = 0, |w(t)|< ε pentru orice t ≥ L1,lim

t→+∞w(t) = 0

(3.128)

admite cel putin o solutie.

Sa presupunem ca, prin absurd, exista L∗ <+∞ cu proprietatea ca

|w(t)|< ε ın [L1,L∗), |w(L∗)|= ε . (3.129)

Privind ecuatia Riccati


w′+2w = g(t)− [w(t)]2, t ≥ T, (3.130)

ca perturbarea ecuatiei diferentiale liniare omogene w′+2w = 0, deducem ca

|w(t)| ≤ e−2t

∣

∣

∣

∣

∫ t

L1

e2sg(s)ds

∣

∣

∣

∣

+ e−2t∫ t

L1

e2s[w(s)]2ds

<ε2+ ε2

∫ t

L1

e2(s−t)ds < ε , (3.131)

unde t ∈ [L1,L∗].

Daca facem t = L∗ ın (3.131) vom intra ın conflict cu (3.129). Asadar, ecuatia

diferentiala din problema (3.128) admite o solutie w(t) definita ın [L1,+∞), cu

w(L1) = 0, astfel ıncat |w(t)|< ε ın ıntreg domeniul de definitie.

Pentru a stabili descresterea la 0 a acestei solutii odata cu cresterea argumentului

sau ne bazam pe un procedeu iterativ. Astfel, fie

L2 = L1 +L0

(

2,ε2

4

)

.

Integrand ecuatia (3.130) pe [L2, t], obtinem

|w(t)| ≤ |w(L2)|e−2(t−L2)+ e−2t

∣

∣

∣

∣

∫ t

L2

e2sg(s)− [w(s)]2ds

∣

∣

∣

∣

≤ |w(L2)|e−2(t−L2)+ e−2t

∣

∣

∣

∣

∫ t

L2

e2sg(s)ds

∣

∣

∣

∣

+ e−2t∫ t

L2

e2s[w(s)]2ds

≤ εe−2(t−L2)+ε2

4+ ε2

∫ t

L2

e2(s−t)ds < εe−2(t−L2)+3

4· ε2.

Definim marimile

L3 =12

ln(

4ε)

+L2

L4 = L3 +L0

(

2, ε4

4

)

.

Se observa imediat ca |w(t)|< ε2 ın [L3,+∞).In continuare, integrand ecuatia (3.130) pe [L4, t], obtinem

|w(t)| ≤ |w(L4)|e−2(t−L4)+ε4

4+ ε4

∫ t

L4

e2(s−t)ds

< ε2e−2(t−L4)+3

4ε4.

Fiind dat n ≥ 2, definim marimile

3.8 Teorema Hartman–Wintner de integrare asimptotica 103

L2n+1 =12

ln(

4

ε2n

)

+L2n

L2n+2 = L2n+1 +L0

(

2, ε2n+1

4

)

.

In mod inductiv, concludem ca |w(t)| < ε2nın [L2n+1,+∞). Afirmatia este pro-

bata.

Functia

x(t) = exp

(

t +∫ t

L1

w(s)ds

)

, t ≥ L1,

este solutia cautata.

3.8 Teorema Hartman–Wintner de integrare asimptotica a

ecuatiei (3.121). Metoda lui P. Hartman

Se considera ecuatia diferentiala liniara

x′′− [1+ f (t)]x = 0, t ≥ t0 ≥ 1, (3.132)

unde functia f : [t0,+∞)→ R este continua si ındeplineste conditia

∫ +∞

t0

| f (t)|pdt <+∞ pentru un anumit p ∈ [1,2].

Teorema 52 ([16, (VII)]) Ecuatia (3.132) admite solutiile x1,2(t) cu dezvoltarile

asimptotice

x1(t)∼ exp

(

t +1

2

∫ t

t0

f (s)ds

)

, x′1(t)∼ x1(t) (3.133)

si

x2(t)∼ exp

(

−t − 1

2

∫ t

t0

f (s)ds

)

, x′2(t)∼−x2(t) (3.134)

cand t →+∞.

Demonstratie. Concluzia va fi stabilita prin probarea a trei Afirmatii.

Afirmatie Sa presupunem ca functia f ındeplineste conditia (3.2). Atunci, toate

solutiile x(t) ale ecuatiei (3.132) au proprietatea ca

limt→+∞

x(t)exp

(

−t − 1

2

∫ t

t0

f (s)ds

)

= lx ∈ R. (3.135)


Intr-adevar, daca x(t) este o solutie a ecuatiei (3.132), atunci, conform Teoremei

50, are loc alternativa (3.113). In particular, exista T ≥ t0 astfel ıncat functia x(t) sa

nu se anuleze ın [T,+∞).Introducand functia w : [T,+∞)→ R continua cu ajutorul formulei

x(t) = x(T )exp

(

∫ t

T[1+w(s)]ds

)

, t ≥ T, (3.136)

putem scrie ca

w(t) =x′(t)x(t)

−1, limt ′→+∞

w(t ′) ∈ 0,−2, (3.137)

respectiv

w′+2w+w2 = f (t) (3.138)

ın [T,+∞).De asemeni, conform (3.136), avem

Lx(t) = x(t)exp

(

−t − 1

2

∫ t

t0

f (s)ds

)

= c · exp

(

∫ t

T

[

w(s)− 1

2f (s)

]

ds

)

, (3.139)

unde c = x(T )exp(

−T − 12

∫ Tt0

f (s)ds)

, pentru orice t ≥ T .

Integrantul din relatia (3.139) poate fi exprimat cu ajutorul ecuatiei (3.138), astfel

ca

Lx(t) =C · exp

(

−1

2

w(t)+

∫ t

T[w(s)]2ds

)

, (3.140)

unde C = cexp(

w(T )2

)

, ın [T,+∞).

Tinand seama de limita din (3.137) ın (3.140), ajungem la (3.135). Afirmatia este

probata.

Sa presupunem ca limt→+∞

w(t) = 0 (adica, limt→+∞

x′(t)x(t) = 1!). Exista T1 ≥ T astfel

ıncat

|w(t)| ≤ |2w(t)+ [w(t)]2| ≤ 3|w(t)|, t ≥ T1. (3.141)

In particular, conform (3.138), avem

δw(t) = sgn (w(t)) = sgn (2w(t)+ [w(t)]2) = sgn ( f (t)−w′(t))

pentru orice t ≥ T1. De asemeni, aplicand formula schimbarii de varibile [8, p. 117,

Theorem 2], obtinem

3.8 Teorema Hartman–Wintner de integrare asimptotica 105

∫

[T1,t]δw(s)|g(w(s))|p−1w′(s)dL

1(s) =∫ w(t)

w(T1)sgn (s)|g(s)|p−1ds

→∫ 0

w(T1)sgn (s)|g(s)|p−1ds ∈ R, (3.142)

unde g(w) = 2w+w2, w ∈ R, cand t →+∞.

Afirmatie Are loc relatia

∫ +∞

T1

|2w(t)+ [w(t)]2|pdt <+∞. (3.143)

Intr-adevar, pe baza (3.142), putem scrie ca

∫ t

T1

|g(w(s))|pds =∫ t

T1

|g(w(s))|p−1δw(s)[ f (s)−w′(s)]ds

≤∫ t

T1

|g(w(s))|p−1| f (s)|ds+O(1), t ≥ T1.

Aplicand inegalitatea lui Holder, avem

∫ t

T1

|g(w(s))|p−1| f (s)|ds ≤[

∫ t

T1

|g(w(s))|pds

]p−1

p[

∫ t

T1

| f (s)|pds

] 1p

≤ ‖ f‖Lp

[

∫ t

T1

|g(w(s))|pds

]p−1

p

,

de unde

∫ t

T1

|g(w(s))|pds ≤ c1 ·[

∫ t

T1

|g(w(s))|pds

]p−1

p

+ c2, c1,2 ∈ (0,+∞).

Aceasta ultima estimare ne conduce la (3.143). Afirmatia este probata.

Afirmatie Functia w(t) se gaseste ın L2((T1,+∞),R).

Intr-adevar, deoarece p ∈ [1,2], via (3.141), deducem ca

∫ +∞

T1

2w(t)+ [w(t)]22dt ≤[

3 supt ′≥T1

|w(t ′)|]2−p

×∫ +∞

T1

|2w(t)+ [w(t)]2|pdt <+∞,

respectiv

∫ +∞

T1

[w(t)]2dt ≤∫ +∞

T1

2w(t)+ [w(t)]22dt,


ceea ce probeaza Afirmatia.

Formula (3.140) ne conduce la lx 6= 0. Atunci, functia x1(t) =1lx

x(t) ındeplineste

conditiile (3.133) iar functia

x2(t) = 2x1(t)

∫ +∞

t

du

[x1(u)]2, t ≥ T1,

ındeplineste conditiile (3.134).

O varianta a acestui rezultat ın cazul p = 2 a fost stabilita de A. Wintner [49].

Printr-o familie de exemple se dovedeste ca Teorema 52 nu este valabila pentru p >2, cf. [16, (IX)]. Teorema, ıntr-o forma generala, ramane valabila pentru ecuatiile

diferentiale functionale [41].


1. Agarwal, R.P., Mustafa, O.G., Rogovchenko, Yu.V.: Existence and asymptotic behavior of

solutions of a boundary value problem on an infinite interval. Math. Comput. Modelling 41,

135–157 (2005)

2. Agarwal, R.P., Grace, S.R., O’Regan, D.: Linearization of second order sublinear oscillation

theorems. Commun. Appl. Anal. 8, 219–235 (2004)

3. Ascoli, G.: Sul comportamento asintotico degli integrali dell’equazione y′′ = (1+ f (t))y in un

caso notevole. Riv. Mat. Univ. Parma 4, 11–29 (1953)

4. Avramescu, C., Mustafa, O.G., Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Yu.V.: Conditional stability

for a class of second-order differential equations. Appl. Math. Lett. 18, 1304–1311 (2005)

5. Boas Jr., R.P.: Asymptotic relations for derivatives. Duke Math. J. 3, 637–646 (1937)

6. Bohl, P.: Uber eine differentialgleichung der storungstheorie. Z. Reine Angew. Math. 131,

268–231 (1906)

7. Butler, G.J.: On the oscillatory behavior of a second order nonlinear differential equation.

Ann. Mat. Pura Appl. 105, 73–92 (1975)

8. Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions. CRC Press, Boca

Raton (1992)

9. Coles, W.J.: An oscillation criterion for second–order linear differential equations. Proc. Amer.

Math. Soc. 19, 755–759 (1968)

10. Coles, W.J., Willett, D.: Summability criteria for oscillation of second order linear differential

equations. Ann. Mat. Pura Appl. 79, 391–398 (1968)


12. Ehrnstrom, M., Mustafa, O.G.: On positive solutions of a class of nonlinear elliptic equations.

Nonlinear Anal. TMA 67, 1147–1154 (2007)

13. Erbe, L.H.: Oscillation theorems for second order nonlinear differential equations. Proc. Amer.

Math. Soc. 24, 811–814 (1970)

14. Feller, W.: An introduction to probability theory and its applications, vol. I. J. Wiley & Sons,

New York (1968)

15. Geluk, J.L., Haan, L.: Regular variation, extensions and tauberian theorems. CWI Tract 40,

Amsterdam (1987)

16. Hartman, P.: Unrestricted solution fields of almost–separable differential equations. Trans.

Amer. Math. Soc. 63, 560–580 (1948)

17. Hartman, P.: On non-oscillatory linear differential equations of second order. Amer. J. Math.

74, 389–400 (1952)


19. Hartman, P.: On differential equations, Volterra equations and the function J2µ +Y 2

µ . Amer. J.

Math. 95, 553–593 (1973)

20. Hartman, P.: On dichotomies for solutions of n−th order linear differential equations. Math.

Ann. 147, 378–421 (1962)

107


21. Hartman, P., Wintner, A.: On the assignment of asymptotic values for the solutions of linear

differential equations of second order. Amer. J. Math. 77, 475–483 (1955)

22. Hartman, P.: On nonoscillatory linear differential equations of second order. Proc. Amer. Math.

Soc. 64, 251–259 (1977)

23. Kamenev, I.V.: An integral criterion for oscillation of linear differential equations of second

order. Mat. Zametki 23, 249–251 (1978)

24. Karamata, J.: Sur un mode de croissance reguliere des fonctions. Mathematica (Cluj) 4, 38–53,

194–195 (1930)

25. Kelley, J.L.: General topology. D. Van Nostrand Comp., New York (1970)

26. Kwong, M.K., Wong, J.S.W.: Linearization of second-order nonlinear oscillation theorems.

Trans. Amer. Math. Soc. 279, 705–722 (1983)

27. Kwong, M.K., Wong, J.S.W.: An application of integral inequality to second order nonlinear

oscillation. J. Differential Equations 46, 63–77 (1982)

28. Macki, J.W., Wong, J.S.W.: Oscillation theorems for linear second order ordinary differential


29. Maric, V.: Regular variation and differential equations. Lect. Notes Math. 1726, Springer-

Verlag, Berlin (2000)

30. Massera, J.L., Schaffer, J.J.: Linear differential equations and functional analysis I. Ann. Math.

67, 517–573 (1958)




32. Mustafa, O.G.: On oscillatory solutions of certain first order ordinary differential equations.

Appl. Math. Comput. 190, 1290–1295 (2007)

33. Mustafa, O.G.: Elemente de mecanica punctului material si a solidului rigid. Ed. Didact. Ped-

agogica, Bucuresti (2006)


34. Naito, M.: Integral averaging techniques for the oscillation and nonoscillation of solutions of

second order ordinary differential equations. Hiroshima Math. J. 24, 657–670 (1994)

35. Olech, C., Opial, Z., Wazewski, T.: Sur le probleme d’oscillation des integrales de l’equation

y′′+q(t)y = 0. Bull. Acad. Polon. Sci. 5, 621–626 (1957)

36. Onose, H.: Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations. Proc. Amer.

Math. Soc. 51, 67–73 (1975)

37. Peano, G.: Demonstration de l’integrabilite des equations differentielles ordinaires. Math.

Ann. 37, 182–228 (1890)

38. Philos, C.G., Purnaras, I.K.: On the oscillation of second order nonlinear differential equa-

tions. Arch. Math. (Basel) 59, 260–271 (1992)

39. Philos, C.G.: Oscillation of second order linear ordinary differential equations with alternating

coefficients. Bull. Austral. Math. Soc. 27, 307–313 (1983)

40. Philos, C.G.: On a Kamenev’s integral criterion for oscillation of linear differential equations

of second order. Utilitas Math. 24, 277–289 (1983)

41. Pituk, M.: The Hartman-Wintner theorem for functional differential equations. J. Differential

Equations 155, 1–16 (1999)

42. Pollard, H.: Mathematical introduction to celestial mechanics. Prentice-Hall, Inc., New Jersey

(1966)

43. Putnam, C.R.: Note on some oscillation criteria. Proc. Amer. Math. Soc. 6, 950–952 (1955)

44. Staikos, V.A.: Remarks on a paper of Ph. Hartman concerning the asymptotic behavior of the

solutions of almost-separable differential equations. Bull. Soc. Math. Grece 7, 135–143 (1966)

45. Utz, W.R.: Properties of solutions of u′′+g(t)u2n−1 = 0. Monatsh. Math. 66, 55–60 (1962)

46. Willett, D.: Classification of second order linear differential equations with respect to oscilla-

tion. Adv. Math. 3, 594–623 (1969)

47. Wintner, A.: The infinities in the non-local existence problem of ordinary differential equa-

tions. Amer. J. Math. 68, 173–178 (1946)

48. Wintner, A.: A criterion of oscillatory stability. Quart. Appl. Math. 7, 115–117 (1949)


49. Wintner, A.: Asymptotic integrations of the adiabatic oscillator in its hyperbolic range. Duke

Math. J. 15, 55–67 (1948)



(2003)

52. Wong, J.S.W.: An oscillation criterion for second order nonlinear differential equations with

iterated integral averages. Diff. Integral Equations 6, 83–91 (1993)

53. Yelchin, M.: Sur les conditions pour qu’une solution d’un systeme lineaire du second ordre

possede deux zeros. Dokl. Akad. Nauk SSSR 51, 573–576 (1946)

54. Zlamal, M.: Oscillation criteria. Casopis Pest. Mat. Fyz. 75, 213–217 (1950)

Capitolul 4

Oscilatii neliniare prin medii integrale:miscellanea

Rezumat In acest capitol sunt prezentate cateva rezultate privind oscilatia

ecuatiilor diferentiale ordinare neliniare. Demonstratiile se bazeaza pe medierea

unor inegalitati de tip Riccati.

Sa consideram ecuatia diferentiala ordinara neliniara

x′′+q(t) f (x) = 0, t ≥ t0 > 0, (4.1)

unde neliniaritatea f : R→ R, de clasa C1, ındeplineste conditia de semn

x f (x)> 0, f ′(x)> 0 pentru orice x 6= 0

ımpreuna cu restrictiile

∫

0+

dy

f (y)<+∞,

∫ 0− dy

f (y)>−∞ (4.2)

si

min

infx>0

[

f ′(x)∫ x

0+

dy

f (y)

]

,−supx<0

[

f ′(x)∫ 0−

x

dy

f (y)

]

> 0. (4.3)

In terminologia din [18, p. 419], o ecuatie (4.1) cu neliniaritatea f (x) descrisa de

(4.2), (4.3) este strict subliniara.

Teorema 53 (C.G. Philos, I.K. Purnaras, 1992, cf. [12, Theorem 1]) Sa presupunem

ca coeficientul functional continuu q : [t0,+∞)→ R verifica conditia Butler-Erbe-

Mingarelli [4]

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

[

∫ t

t0

q(s)ds

]2

dt =+∞ (4.4)

ımpreuna cu

111

112 4 Oscilatii neliniare

limsupT→+∞

1

T m

∫ T

t0

(T − t)mq(t)dt >−∞ (4.5)

pentru un anumit numar natural m ≥ 1.


Demonstratie. Introducem marimea w(t) cu formula

w(t) =∫ x(t)

0+

dy

f (y), t ≥ t0,

unde x(t) este o solutie pozitiva a ecuatiei (4.1). Astfel,

w′′(t) =−q(t)− f ′(x(t))[w′(t)]2 (4.6)

ın [t0,+∞).

Afirmatie Daca∫ +∞

t0f ′(x(t))[w′(t)]2dt <+∞, atunci lim

T→+∞w(T )

T= 0.

Intr-adevar, fie ε > 0 fixat. Conditia (4.3) implica existenta numarului d( f ) > 0

pentru care f ′(x(t))w(t)≥ d( f ) ın [t0,+∞). De asemeni, consideram t1 ≥ t0 suficient

de mare ca

∫ +∞

t1

f ′(x(t))[w′(t)]2dt <ε4·d( f ).

Aplicand inegalitatea Cauchy-Schwarz, putem scrie ca

|w(t)−w(t1)|2 ≤[

∫ t

t1

|w′(s)|ds

]2

≤∫ t

t1

f ′(x(s))[w′(s)]2ds ·∫ t

t1

ds

f ′(x(s)),

respectiv

w(t)≤ w(t1)+

√

εd( f )

4

∫ t

t1

ds

f ′(x(s)), t ≥ t0. (4.7)

Daca integrala din (4.7) este marginita, probarea Afirmatiei se ıncheie. In caz

contrar, exista t2 ≥ t1 cu proprietatea ca

w(t)≤√

εd( f )∫ t

t1

ds

f ′(x(s))pentru orice t ≥ t2,

de unde, tinand seama de definitia numarului d( f ), obtinem

w(t)≤√

ε∫ t

t1

w(s)ds. (4.8)

4 Oscilatii neliniare 113

La fel ca anterior, daca integrala din (4.8) este marginita, discutia se ıncheie. Sa

consideram deci ca∫ t

t1w(s)ds > 0 pentru orice t ≥ t2 ≥ t1. Inegalitatea (4.8) implica

d

dt

[√

∫ t

t1

w(s)ds

]

≤√

ε2

, t ≥ t2.

Prin integrare, ajungem la

√

∫ t

t1

w(s)ds ≤√

εt, t ≥ t3, (4.9)

pentru t3 ≥ t2 suficient de mare.

Estimarile (4.8), (4.9) ne conduc la limsupT→+∞

w(T )T

≤ ε , fapt care, dat fiind ca

numarul ε este arbitrar, probeaza Afirmatia.

Demonstratia se bazeaza pe analiza urmatoarelor doua cazuri.

Cazul∫ +∞

t0f ′(x(t))[w′(t)]2dt <+∞. Integrand relatia (4.6), deducem ca

[

∫ t

t0

q(s)ds

]2

=

w′(t0)−w′(t)−∫ t

t0

f ′(x(s))[w′(s)]2ds

2

≤ 3c+3[w′(t)]2 +3

∫ t

t0

f ′(x(s))[w′(s)]2ds

2

≤ C+3[w′(t)]2, t ≥ t0,

unde c = [w′(t0)]2 si C = 3

[w′(t0)]2 +∫+∞

t0f ′(x(s))[w′(s)]2ds

.

Mai departe,

1

T

∫ T

t0

[

∫ t

t0

q(s)ds

]2

dt ≤C+3

T

∫ T

t0

f ′(x(t))w(t) · [w′(t)]2

f ′(x(t))w(t)dt

≤C+3

T d( f )

∫ T

t0

f ′(x(t))

[

sups≥t0

w(s)

s· t]

[w′(t)]2dt

≤C+3

d( f )sups≥t0

w(s)

s·∫ T

t0

f ′(x(t))[w′(t)]2dt, t ≥ t0. (4.10)

Cantitatea din (4.10) fiind marginita, ne gasim ın conflict cu (4.4).

Cazul∫ +∞

t0f ′(x(t))[w′(t)]2dt =+∞. Plecand de la (4.6), prin integrare, deducem

ca

∫ T

t0

(T − t)mq(t)dt =−∫ T

t0

(T − t)m f ′(x(t))[w′(t)]2dt +(T − t0)mw′(t0)

−m

∫ T

t0

(T − t)m−1w′(t)dt, T ≥ t0. (4.11)


Mai departe, avem estimarile

∫ T

t0

(T − t)m−1w′(t)dt =

w(T )−w(t0) pentru m = 1,−(T − t0)

m−1w(t0)

+(m−1)∫ T

t0(T − t)m−2w(t)dt pentru m ≥ 2

≥ −[1+(T − t0)m−1]w(t0), T ≥ t0. (4.12)

Aplicand regula lui L’Hopital de m ori, obtinem ca

limT→+∞

1

T m

∫ T

t0

(T − t)m f ′(x(t))[w′(t)]2dt =∫ +∞

t0

f ′(x(t))[w′(t)]2dt

= +∞. (4.13)

Introducand (4.12), (4.13) ın (4.11), concludem ca

1

T m

∫ T

t0

(T − t)mq(t)dt = − 1

T m

∫ T

t0

(T − t)m f ′(x(t))[w′(t)]2dt +O(1)

→ −∞ cand T →+∞,

o relatie aflata ın conflict cu (4.5).

Ecuatia (4.1) are ca model ecuatia Emden-Fowler subliniara (γ ∈ (0,1))

x′′+q(t)xγ = 0, t ≥ t0 > 0. (4.14)

Aici, d( f ) = γ1−γ .

Ipoteze fundamentale de oscilatie pentru (4.14) au fost stabilite de S. Belohorec

[3] ın 1961, si anume

∫ +∞tβ q(t)dt =+∞ pentru un anumit β ∈ [0,γ ], (4.15)

respectiv de I.V. Kamenev [6] ın 1971, si anume

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ t

t0

q(s)dsdt =+∞. (4.16)

Reamintim ca (4.16) nu implica oscilatia ecuatiei diferentiale liniare omogene de

coeficient functional q(t)!In 1982, T. Kura [8] unifica conditiile (4.15), (4.16).

Teorema 54 ([8, Theorems 1, 2]) Sa presupunem ca are loc una dintre ipotezele de

mai jos:

(i) exista β ∈ [0,γ ] astfel ıncat

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ t

t0

sβ q(s)dsdt =+∞; (4.17)


(ii) exista β ∈ [0,γ) si functia continua f : [t0,+∞)→ R pentru care

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t

∫ s

tτβ q(τ)dτds ≥ f (t),

∫ +∞

t0

[ f+(t)]2

tdt =+∞, (4.18)

unde f+(t) = max f (t),0 pentru orice t ≥ t0.


Variante ale rezultatelor lui Kura pentru clasa de ecuatii (4.1) se gasesc ın [14,

15]. Vezi Teorema 56.

Urmatorul rezultat, bazat pe o ipoteza de tip (4.18), generalizeaza contributii ale

lui H. Onose [11] din 1983 si C.G. Philos [13] din 1990 privind ecuatia (4.1).

Teorema 55 ([1, Theorem 2]) Fixam β ∈ (0, I f ], unde I f =d( f )

1+d( f ) . Fie functia ϕ :

[t0,+∞)→ (0,+∞), de clasa C2, astfel ıncat

ϕ ′(t)> 0, ϕ ′′(t)≤ 0 pentru orice t suficient de mare

si

limt→+∞

t

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]

= w1 > 0 si limt→+∞

t

[

ϕ ′′(t)ϕ ′(t)

]

= w2,

unde

w1 −w2 = 1. (4.19)

Presupunem ca

limT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

[ϕ(τ)]β q(τ)dτds exista ın R (4.20)

si definim

Qβ (t) = limT→+∞

1

T

∫ T

t

∫ s

t[ϕ(τ)]β q(τ)dτds, t ≥ t0.

Mai mult, facem supozitia ca*

∫ ∞

t0

[Qβ (t)+ r(t)]2

tdt =+∞ (4.21)

pentru orice functie continua r : [t0,+∞)→ R cu proprietatea ca limt→+∞

r(t) = 0.


Demonstratie. Incepem cu un comentariu privind numerele w1,2.

* O serie de ipoteze de acest fel sunt discutate ın [7, pp. 711–712].


Afirmatie Daca exista limitele desemnate prin numerele w1,2, atunci are loc

(4.19).


w21 −w2w1 = lim

t→+∞

[

tϕ ′(t)ϕ(t)

]2

−[

tϕ ′′(t)ϕ ′(t)

][

tϕ ′(t)ϕ(t)

]

= limt→+∞

t2

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]2

− ϕ ′′(t)ϕ(t)

= limt→+∞

ddt

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]

ddt

(

1t

) .

Apoi, pe baza regulii lui L’Hopital, avem

w21 −w2w1 = lim

t→+∞

[

tϕ ′(t)ϕ(t)

]

= w1.

In sfarsit, cum w1 > 0, ajungem la (4.19). Afirmatia este probata.

Un exemplu imediat este oferit de ϕ(t) = t(ln t)−1 pentru t ≥ t0 > e2. Aici, w1 =1, w2 = 0.

Introducem variabilele

w(t) = [ϕ(t)]β F(x(t)) si W (t) = 1+1

F(x(t)) f ′(x(t)), t ≥ t0,

unde

F(x) =∫ x

0+

dy

f (y)cand x > 0 si F(x) =−

∫ 0−

x

dy

f (y)cand x < 0.

Prin calcul direct stabilim ca

w′(t) = β[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]

w(t)+ [ϕ(t)]βx′(t)

f (x(t))

si

w′′(t) = [ϕ(t)]βx′′(t)

f (x(t))(4.22)

+ β

ϕ ′′(t)ϕ(t)

− [1−βW (t)]

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]2

w(t)

− 1

w(t)

[

w′(t)−βW (t)ϕ ′(t)ϕ(t)

w(t)

]2

F(x(t)) f ′(x(t))


In continuare, ınlocuim marimea x′′(t) cu −q(t) f (x(t)) si integram expresia lui

w′′(t) de doua ori pe [t,T ]. Vom obtine ca


−w(T )

T+

w(t)

T+(

1− t

T

)

w′(t) =1

T

∫ T

t

∫ s

t[ϕ(τ)]β q(τ)dτds

+1

T

∫ T

tH1(s)ds+

1

T

∫ T

tH2(s)ds, (4.23)

unde

H1(s) = β∫ s

t

[1−βW (τ)][

ϕ ′(τ)ϕ(τ)

]2

− ϕ ′′(τ)ϕ(τ)

w(τ)dτ

si

H2(s) =∫ s

t

1

w(τ)

[

w′(τ)−βW (τ)ϕ ′(τ)ϕ(τ)

w(τ)]2

F(x(τ)) f ′(x(τ))dτ

pentru orice s ≥ t ≥ t0.

Cum integrantii functiilor H1,2(s) sunt functii cu valori nenegative, exista lims→+∞

H1,2(s) = l1,2 ∈ [0,+∞]. De aici, via regula lui L’Hopital, deducem ca

limT→+∞

1

T

∫ T

tHi(s)ds = li, i = 1,2.

Daca macar una dintre aceste limite ar fi +∞, atunci, conform (4.23), am obtine

ca

+∞ >w(t)

t+ |w′(t)|+ lim

T→+∞

∣

∣

∣

∣

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

[ϕ(τ)]β q(τ)dτds

∣

∣

∣

∣

≥ l1 + l2 =+∞,

o contradictie.

Aceasta observatie implica (A) convergenta integralelor

l1

β=

∫ ∞

t0

[1−βW (t)]

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]2

− ϕ ′′(t)ϕ(t)

w(t)dt (4.24)

si

l2 =∫ ∞

t0

1

w(t)

[

w′(t)−βW (t)ϕ ′(t)ϕ(t)

w(t)

]2

F(x(t)) f ′(x(t))dt, (4.25)

respectiv (B) existenta cantitatii limT→+∞

w(T )T

finite (ceea ce ınseamna, practic, ca

w(t)t

≤ k pentru orice t ≥ t0 si un anumit k > 0) si (C) existenta urmatoarei

reprezentari integrale

w′(t) = limT→+∞

w(T )

T+Qβ (t)+g(t), (4.26)


unde

g(t) = β∫ ∞

t

[1−βW (s)]

[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

− ϕ ′′(s)ϕ(s)

w(s)ds

+∫ ∞

t

1

w(s)

[

w′(s)−βW (s)ϕ ′(s)ϕ(s)

w(s)

]2

F(x(s)) f ′(x(s))ds


Mai departe, introducem functia

r(t) = limT→+∞

w(T )

T+g(t)−w(t)

[

ϕ ′(t)ϕ(t)

− ϕ ′′(t)ϕ ′(t)

]

, t ≥ t0.

Este evident ca limt→+∞

r(t) = 0.

Afirmatie Integrala

∫ ∞

t0

[

1−βW (s)− ϕ ′′(s)ϕ(s)[ϕ ′(s)]2

]2 [ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

w(s)ds

este convergenta.

Intr-adevar, notand-o cu I(t0), putem scrie ca

I(t0)≤∫ ∞

t0

2 [1−βW (s)]

[1−βW (s)]

[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

− ϕ ′′(s)ϕ(s)

w(s)ds

+∫ ∞

t0

[

ϕ ′′(s)ϕ ′(s)

]2

w(s)ds.

Deoarece

0 ≤ 1− βI f

≤ 1−βW (t)≤ 1

si

[

ϕ ′′(t)ϕ ′(t)

]2

=−ϕ ′′(t)

ϕ(t)·

−t

[

ϕ ′′(t)ϕ ′(t)

]

· 1

t[

ϕ ′(t)ϕ(t)

]

≤ c · −ϕ ′′(t)ϕ(t)

pentru orice t ≥ t0, unde numarul c > −w2w1

este suficient de mare, convergenta in-

tegralei (4.24) ne permite sa stabilim ca marimea I(t0) este finita, ceea ce probeaza

Afirmatia.

Luand T0 ≥ t0 suficient de mare, are loc dubla inegalitatea


3w1

2s≥ ϕ ′(s)

ϕ(s)≥ w1

2s, s ≥ T0.

Putem scrie ca

∫ t

T0

1

w(s)

[


w(s)

]2


≥ 2I f

3kw1(1− I f )

∫ t

T0

ϕ ′(s)ϕ(s)

[


w(s)

]2

ds

=2I f

3kw1(1− I f )

∫ t

T0

ϕ ′(s)ϕ(s)

[Qβ (s)+ r(s)]

+

[1−βW (s)]ϕ ′(s)ϕ(s)

− ϕ ′′(s)ϕ ′(s)

w(s)

2

ds

≥ 2I f

3kw1(1− I f )

∫ t

T0

ϕ ′(s)ϕ(s)

[Qβ (s)+ r(s)]2ds+4I f

3kw1(1− I f )

×∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]

[1−βW (s)]

[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

− ϕ ′′(s)ϕ(s)

w(s)ds

≥ I f

3k(1− I f )

∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2

sds+

4I f

3kw1(1− I f )

×∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]

[1−βW (s)]

[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

− ϕ ′′(s)ϕ(s)

w(s)ds,

pentru orice t ≥ T0.

Aplicand inegalitatea Cauchy-Schwarz, avem

∫ t

T0

∣

∣Qβ (s)+ r(s)∣

∣

[1−βW (s)]

[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

− ϕ ′′(s)ϕ(s)

w(s)ds

=∫ t

T0

∣

∣Qβ (s)+ r(s)∣

∣

ϕ ′(s)ϕ(s)

√

w(s)

×[

1−βW (s)− ϕ ′′(s)ϕ(s)[ϕ ′(s)]2

]

ϕ ′(s)ϕ(s)

√

w(s)ds

≤

∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2[

ϕ ′(s)ϕ(s)

]2

w(s)ds

1/2√

I(T0)

≤ 3

2w1

√

I(T0) ·

∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2

s· w(s)

sds

1/2

≤ 3

2w1

√

k · I(T0)

∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2

sds

1/2


≤ 3

4w1

√

k · I(T0) ·

1+∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2

sds

.

In concluzie, am ajuns la

∫ t

T0

1

w(s)

[


w(s)

]2


≥ Q ·∫ t

T0

[Qβ (s)+ r(s)]2

sds−P, t ≥ T0, (4.27)

unde

Q =I f

3k(1− I f )[1−3

√

k · I(T0)] si P =I f

1− I f

√

I(T0)

k.

Marimea I(T0) fiind finita, este clar ca ıl putem mari pe T0 suficient de mult

pentru ca Q > 0. Apoi, facand t →+∞ ın (4.27), contrazicem (4.25).

Teorema 56 ([14, Theorem 1]) Sa presupunem ca are loc (4.17) pentru un anumit

β ∈ (0, I f ]. Atunci, ecuatia (4.1), unde neliniaritatea f (x) verifica (4.2), (4.3), este

oscilatorie.

Demonstratie. Folosim notatiile Teoremei 55. Astfel, luand ϕ(t) = t ın [t0,+∞),ajungem la (4.23), de unde

1

T

∫ T

t

∫ s

tτβ q(τ)dτds ≤ w(t)

T+(

1− t

T

)

w′(t), T ≥ t ≥ t0,

respectiv

limsupT→+∞

1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

τβ q(τ)dτds ≤ w′(t0)<+∞,

o contradictie.

Facem observatia ca, prin medierea relatiei (4.26), obtinem

w(t)−w(t0)

t= lim

T→+∞

w(T )

T· t − t0

t+

1

t

∫ t

t0

Qβ (s)ds+1

t

∫ t

t0

g(s)ds.

Dat fiind ca limt→+∞

g(t) = 0, via regula lui L’Hopital, ajungem la

limt→+∞

w(t)

t= lim

T→+∞

w(T )

T+ lim

t→+∞

1

t

∫ t

t0

Qβ (s)ds,

de unde

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

Qβ (s)ds = 0. (4.28)


O estimare a lui M. Naito [10] explica aparitia relatiei (4.28).

Lema 16 ([10, Lemma 2.1]) Fie a : [t0,+∞) → R o functie continua astfel ıncat

limT→+∞

1T

∫ Tt0

∫ st0

a(τ)dτds ∈ R si

A(t) = limT→+∞

1

T

∫ T

t

∫ s

ta(τ)dτds pentru orice t ≥ t0.

Atunci, functia A : [t0,+∞) → R este de clasa C1, A′(t) = −a(t) ın [t0,+∞) si, ın

plus,

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

A(s)ds = 0. (4.29)

Reciproc, daca exista functia B : [t0,+∞)→ R, de clasa C1, cu B′(t) =−a(t) ın

[t0,+∞) si

limt→+∞

1

t

∫ t

t0

B(s)ds = 0,

atunci limT→+∞

1T

∫ Tt0

∫ st0

a(τ)dτds ∈ R si

B(t) = limT→+∞

1

T

∫ T

t

∫ s

ta(τ)dτds pentru orice t ≥ t0. (4.30)

Demonstratie. Fie T ≥ t ≥ t0. Putem scrie ca

1

T

∫ T

t

∫ s

ta(τ)dτds =

1

T

∫ T

t

[

∫ s

t0

a(τ)dτ −∫ t

t0

a(τ)dτ]

ds

=1

T

(

∫ T

t0

−∫ t

t0

)

∫ s

t0

a(τ)dτds−(

T − t0

T− t − t0

T

)

∫ t

t0

a(τ)dτ

=1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

a(τ)dτds+1

T

∫ t

t0

[

∫ t

t0

a(τ)dτ −∫ s

t0

a(τ)dτ]

ds

−T − t0

T

∫ t

t0

a(τ)dτ =1

T

∫ T

t0

∫ s

t0

a(τ)dτds

+1

T

∫ t

t0

∫ t

sa(τ)dτds− T − t0

T

∫ t

t0

a(τ)dτ ,

de unde, cand T →+∞, obtinem

A(t) = A(t0)−∫ t

t0

a(s)ds, t ≥ t0. (4.31)

Estimarea (4.29) rezulta din (4.31) prin mediere.

Reciproc, plecand de la B′(t) =−a(t), avem


B(s) = B(t)−∫ s

ta(τ)dτ , s ≥ t ≥ t0,

respectiv

0 = limT→+∞

1

T

∫ T

tB(s)ds = B(t)− lim

T→+∞

1

T

∫ T

t

∫ s

ta(τ)dτds,

adica (4.30).

Sa consideram o ecuatie diferentiala mai generala decat (4.1), si anume

(r(t)x′)′+ p(t)α(x)x′+q(t) f (x) = 0, t ≥ t0 ≥ 0. (4.32)

O serie de restrictii tehnice vor fi impuse asupra elementelor functionale din

(4.32). Astfel, coeficientul functional r : [t0,+∞) → (0,+∞) este de clasa C1,

coeficientul functional q : [t0,+∞) → [0,+∞) este continuu iar functia continua

α : R→ [0,+∞) verifica inegalitatile

0 < α(x)≤ 1

C<+∞,

α(x)

β (x)≥ 1

C1> 0 pentru orice x 6= 0.

Aici, functia auxiliara continua β : R→ [0,+∞), de clasa C1 ın R−0, are propri-

etatea ca

β ′(x)F(x)

β (x)α(x)≤ 1− ε , x 6= 0,

pentru un anumit ε ∈ (0,1], unde F(x) =∫ x

0 α(u)du.

Introducem cantitatile

d = infx∈R−0

β (x), D = supx∈R−0

β (x), Vβ = D−d

si

E = supx∈R−0

β (x)[

1C− β (x)

C1

]

1− β ′(x)F(x)β (x)α(x)

≤ C1

4εC2<+∞.

Un exemplu [9, p. 617] este dat de

α(x) =x2

x2 +1· c1|x−a|+ c2

|x−a|+1, β (x) =

x2

x2 +1, x ∈ R,

unde a 6= 0 si c1,2 > 0 cu2c23

< c1 ≤ c2. Avem C = 1c2

, C1 =1c1

si ε = 1− 2c23c1

.

In plus, introducem functia continua H : D = (t,s) : t ∈ [t0,+∞),s ∈ [t0, t] →[0,+∞), de clasa C2 ın raport cu a doua variabila, caracterizata de

(a) H(t, t) = 0 pentru orice t ≥ t0 si H(t,s)> 0 pentru orice t > s ≥ t0;


(b) pentru orice t > t0, ∂H∂ s

(t,s)≤ 0;

(c) exista functia continua h : D → [0,+∞) astfel ıncat

−∂H

∂ s(t,s) = h(t,s)

√

H(t,s), (t,s) ∈ D.

Teorema 57 ([9, Theorem 6]) Sa presupunem ca functia continua f : R→ R satis-

face conditiile

x f (x)> 0,β (x) f (x)

F(x)≥ K > 0, x 6= 0.

Sa presupunem, de asemeni, ca exista λ ∈ (0,1) si functia ρ : [t0,+∞)→ (0,+∞),de clasa C1, pentru care

limsupt→+∞

1

H(t, t0)

∫ t

t0

H(t,s)Θ(s)− C1ρ(s)r(s)4λε

[Q(t,s)]2

ds =+∞, (4.33)

unde

Θ(s) = ρ(s)

Kq(s)−(

E +V 2

βC1(1−λ )ε

)

[p(s)]2

4r(s)

,

Q(t,s) = h(t,s)+[

Dp(s)C1r(s) −

ρ ′(s)ρ(s)

]

√

H(t,s).


Demonstratie. Introducem marimea

v(t) = ρ(t)r(t)β (x(t))x′(t)

F(x(t)), t ≥ t0,

unde x(t) este o (prezumtiva) solutie pozitiva a ecuatiei (4.32).

Prin calcul direct, obtinem

v′(t) =ρ ′(t)ρ(t)

v(t)+β ′(x)F(x)

[β (x)]2· [v(t)]2

ρ(t)r(t)−ρ(t)

α(x)β (x)F(x)

p(t)x′

− ρ(t)β (x) f (x)

F(x)q(t)−ρ(t)α(x)β (x)r(t)

[

x′

F(x)

]2

,

de unde

v′(t) ≤ −Kq(t)ρ(t)+ρ ′(t)ρ(t)

v(t)

− α(x)

β (x)· 1

r(t)

p(t)β (x)v(t)+1

ρ(t)

[

1− β ′(x)F(x)

α(x)β (x)

]

[v(t)]2

,

respectiv


v′(t) ≤ −Kq(t)ρ(t)+ρ ′(t)ρ(t)

v(t)

− α(x)

β (x)· 1

r(t)

p(t)

2β (x)

√

α(x)β (x)ρ(t)α(x)β (x)−β ′(x)F(x)

+

√

1

ρ(t)

[

1− β ′(x)F(x)

α(x)β (x)

]

· v(t)2

+[α(x)β (x)]2

α(x)β (x)−β ′(x)F(x)· [p(t)]

2

4r(t)ρ(t).

Astfel, avem

v′(t) ≤ −Kq(t)ρ(t)+ρ ′(t)ρ(t)

v(t)

− 1

C1r(t)

p(t)

2β (x)

√

α(x)β (x)ρ(t)α(x)β (x)−β ′(x)F(x)

+

√

1

ρ(t)

[

1− β ′(x)F(x)

α(x)β (x)

]

· v(t)2

+α(x)[β (x)]2

C[α(x)β (x)−β ′(x)F(x)]· [p(t)]

2

4r(t)ρ(t)

si

v′(t) ≤ −Kq(t)ρ(t)+ρ ′(t)ρ(t)

v(t)

+[p(t)]2

4r(t)ρ(t)

α(x)[β (x)]2

α(x)β (x)−β ′(x)F(x)

[

1

C− β (x)

C1

]

− D

C1r(t)p(t)v(t)+

D−β (x)C1r(t)

p(t)v(t)

− 1

C1r(t)ρ(t)

[

1− β ′(x)F(x)

α(x)β (x)

]

[v(t)]2,

de unde

v′(t) ≤ −ρ(t)

Kq(t)−E[p(t)]2

4r(t)

−[

Dp(t)

C1r(t)− ρ ′(t)

ρ(t)

]

v(t)− ε [v(t)]2

C1r(t)ρ(t)

+D−β (x)

C1r(t)p(t)v(t),

respectiv

v′(t)≤−Θ1(t)−Ψ1(t)−Ψ2(t), t ≥ t0, (4.34)


cu

Θ1(t) = ρ(t)

Kq(t)−E[p(t)]2

4r(t)

,

Ψ1(t) =λε [v(t)]2

C1r(t)ρ(t) +[

Dp(t)C1r(t) −

ρ ′(t)ρ(t)

]

v(t),

Ψ2(t) =(1−λ )ε [v(t)]2

C1r(t)ρ(t) − D−β (x)C1r(t) p(t)v(t).

In (4.34), termenulε [v(t)]2

C1r(t)ρ(t) a fost ”rupt” cu ajutorul lui λ si ımpartit marimilor

Ψ1,2(t) pentru a putea fi formate patrate de binoame ulterior.

Prin integrare, tinand cont de proprietatile functiei H(t,s), obtinem

∫ t

t0

H(t,s)Θ1(s)ds ≤ v(t0)H(t, t0)−∫ t

t0

[v(s)h(t,s)√

H(t,s)+H(t,s)Ψ1(s)]ds

−∫ t

t0

H(t,s)Ψ2(s)ds. (4.35)

Putem scrie ca

∫ t

t0

[v(s)h(t,s)√

H(t,s)+H(t,s)Ψ1(s)]ds

=∫ t

t0

[

v(s)

√

λεH(t,s)

C1r(s)ρ(s)+

Q(t,s)

2

√

C1r(s)ρ(s)λε

]2

ds

−∫ t

t0

C1r(s)ρ(s)4λε

[Q(t,s)]2ds, (4.36)

respectiv

∫ t

t0

H(t,s)Ψ2(s)ds

=∫ t

t0

H(t,s)

[

v(s)

√

(1−λ )εC1r(s)ρ(s)

− D−β (x)2

p(s)

√

ρ(s)C1(1−λ )εr(s)

]2

ds

−∫ t

t0

H(t,s)ρ(s)[D−β (x)]2

C1(1−λ )ε· [p(s)]

2

4r(s)ds. (4.37)

Introducand estimarile (4.36), (4.37) ın (4.35), deducem ca

∫ t

t0

H(t,s)Θ1(s)ds ≤ v(t0)H(t, t0)+C1

4λε

∫ t

t0

r(s)ρ(s)[Q(t,s)]2ds

+1

4C1(1−λ )ε

∫ t

t0

H(t,s)ρ(s)[D−β (x)]2 · [p(s)]2

r(s)ds ≤ v(t0)H(t, t0)

+C1

4λε

∫ t

t0

r(s)ρ(s)[Q(t,s)]2ds+V 2

β

4C1(1−λ )ε

∫ t

t0

H(t,s)ρ(s)[p(s)]2

r(s)ds,


respectiv

∫ t

t0

H(t,s)

Θ1(s)−V 2

β ρ(s)[p(s)]2

4C1(1−λ )εr(s)

− C1r(s)ρ(s)4λε

[Q(t,s)]2

ds

≤ H(t, t0)|v(t0)|, t > t0,

o estimare aflata ın conflict cu (4.33).

Un exemplu [9, Example 10] pentru Teorema 57 este dat de ecuatia diferentiala

ordinara quasiliniara

(

cos3 t +49

3cos2 t +4x′)′

+ sin t3x2

3x2 +4x′+

(cos3 t +49)(10−3cos2 t)

(3cos2 t +4)2x = 0,

cu solutia particulara x(t) = cos t ın [0,+∞).Pentru semnificatia acestui tip de ipoteze, vezi [16]. O serie de rezultate generale

pot fi citite ın [2, 5, 17].


1. Agarwal, R.P., Avramescu, C., Mustafa, O.G.: On the oscillation of a second order strictly

sublinear differential equation. Canad. Math. Bull. 53, 193–203 (2010)

2. Ayanlar, B., Tiryaki, A.: Oscillation theorems for nonlinear second order differential equations

with damping. Acta Math. Hungar. 89, 1–13 (2000)

3. Belohorec, S.: Oscillatory solutions of certain nonlinear differential equations of second order.

Mat.-Fyz. Casopis Sloven. Akad. Vied. 11, 250–255 (1961) (ın ceha)

4. Butler, G.J., Erbe, L.H., Mingarelli, A.B.: Riccati techniques and variational principles in

oscillation theory for linear systems. Trans. Amer. Math. Soc. 303, 263–282 (1987)

5. Cakmak, D.: Integral averaging technique for the interval oscillation criteria of certain second-

order nonlinear differential equations. J. Math. Anal. Appl. 300, 408–425 (2004)

6. Kamenev, I.V.: Some specifically nonlinear oscillation theorems. Mat. Zametki 10, 129–134

(1971) (ın rusa)

7. Kwong, M.K., Wong, J.S.W.: Linearization of second-order nonlinear oscillation theorems.

Trans. Amer. Math. Soc. 279, 705–722 (1983)

8. Kura, T.: Oscillation theorems for a second order sublinear ordinary differential equation.


9. Mustafa, O.G., Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Yu.V.: On oscillation of nonlinear second-

order differential equations with damping term. J. Math. Anal. Appl. 298, 604–620 (2004)

10. Naito, M.: Integral averages and the asymptotic behavior of solutions of second order ordinary

differential equations. J. Math. Anal. Appl. 164, 370–380 (1992)

11. Onose, H.: On Butler’s conjecture for oscillation of an ordinary differential equation. Quart.

J. Math. Oxford 34, 235–239 (1983)

12. Philos, C.G., Purnaras, I.K.: On the oscillation of second order nonlinear differential equa-

tions. Arch. Math. (Basel) 59, 260–271 (1992)

13. Philos, C.G.: On oscillation of second order sublinear ordinary differential equations with

alternating coefficients. Math. Nachr. 146, 105–116 (1990)

14. Philos, C.G.: Oscillation of sublinear differential equations of second order. Nonlinear Anal.

TMA 7, 1071–1080 (1983)

15. Philos, C.G.: Integral averaging techniques for the oscillation of second order sublinear ordi-

nary differential equations. J. Austral. Math. Soc. 40, 111–130 (1986)

16. Rogovchenko, S.P., Rogovchenko, Yu.V.: Oscillation of second order differential equations

with damping. Dynam. Cont. Discr. Impuls. Syst. 10, 447–461 (2003)

17. Tiryaki, A., Zafer, A.: Oscillation criteria for second order nonlinear differential equations

with damping. Turk. J. Math. 24, 185–196 (2000)


(2003)

127

Capitolul 5

Ecuatii diferentiale de tip Emden–Fowler:teoremele lui F.V. Atkinson si P. Waltman

Rezumat In acest capitol sunt prezentate rezultate clasice de analiza a ecuatii-

lor diferentiale ordinare neliniare de ordinul al II–lea cu neliniaritati de tip putere

datorate lui F.V. Atkinson (1955) si P. Waltman (1964, 1965). De asemeni, se discuta

teoria de integrare asimptotica a ecuatiilor diferentiale de ordin arbitrar elaborata de

J.K. Hale si N. Onuchic ın 1963.

5.1 Teorema de oscilatie a lui F.V. Atkinson

Fie ecuatia diferentiala ordinara neliniara ın cazul superliniar (λ > 1)

x′′+q(t)xλ = 0, t ≥ t0 ≥ 1, (5.1)

unde coeficientul functional q : [t0,+∞) → (0,+∞) este presupus continuu, iar

xλ = |x|ε x pentru λ = 1+ε . Ecuatia (5.1) si variantele sale cu argumente functionale

modificate sunt adesea numite ecuatii Emden-Fowler, ecuatii Lane-Emden sau

ecuatii Thomas-Fermi, dupa o serie de cazuri particulare fundamentale ale lor, cf.

[21]. Detalii privind analiza unor asemenea ecuatii diferentiale pot fi citite ın mono-

grafiile [4, 31, 1].

Pentru a studia intervalul de existenta a solutiilor ecuatiei (5.1) avem nevoie de

lema urmatoare.

Lema 17 Fie numerele t0, T ≥ 1 si x⋆, x0 ≥ 0. Fiind date functia continua f :

[t0,T ] → R si functia continuu diferentiabila, descrescatoare x : [t0,T ) → (x⋆,x0]astfel ıncat x(t0) = x0, lim

tրTx(t) = x⋆ si lim

tրTx′(t) =−∞, are loc relatia

∫ T−

t0

f (t)x′(t)dt ∈ R.

129

130 5 Ecuatii Emden-Fowler

Demonstratie. Inversa aplicatiei x, si anume t : (x⋆,x0] → [t0,T ) are derivata

laterala nula ın x⋆,

limxցx⋆

dt

dx= lim

tրT

1dxdt

= 0.

Astfel, ea poate fi prelungita sub forma t : [x⋆,x0]→ [t0,T ] ın x⋆ ca functie de clasa

C1, unde t(x⋆) = T si t ′(x⋆) = 0.

Au loc relatiile

∫ T

t0

f (s)x′(s)ds = limεց0

∫ T−ε

t0

f (s)x′(s)ds

= limεց0

∫ T−ε

t0

( f x−1)(x(s))x′(s)ds

= limεց0

∫ x(T−ε)

x0

( f x−1)(ξ )dξ =−∫ x0

x⋆

g(ξ )dξ ∈ R,

unde g = f x−1 = f t este o functie continua ın [x⋆,x0]. Un exemplu imediat este oferit de x(t) =

√2− t, unde t ∈ [1,2).

Lema 18 Fie t1 ≥ t0 si T < +∞. Nu exista nicio solutie x : [t1,T ) → (0,+∞)a ecuatiei (5.1) pentru care lim

tրTx′(t) = −∞, respectiv nicio solutie y : [t1,T ) →

(−∞,0) a ecuatiei (5.1) pentru care limtրT

y′(t) = +∞.

Demonstratie. Presupunand ca asemenea solutie x ar exista, sa observam ca

x′′(t) < 0 ın [t1,T ), adica functia x′ este descrescatoare, de unde limtրT

x′(t) ∈ [−∞,

x′(t1)). Fara a restrange generalitatea, vom considera ca x′(t)< 0 ın [t1,T ). Functia

x fiind descrescatoare, avem limt ′ցT

x(t ′) = x⋆ ≥ 0. Notam tot cu x prelungirea acesteia

la [t1,T ].Inmultim ecuatia (5.1) cu x′(t). Atunci,

[x′(t)]2

2=

x21

2+∫ t

t1

f (s)x′(s)ds, x1 = x′(t1),

de unde, conform Lemei 17 pentru f (t) =−q(t)[x(t)]λ , ajungem la

limtրT

[x′(t)]2

2=

x21

2−∫ x0

x⋆

( f x−1)(ξ )dξ ∈ R, x0 = x(t1).

Functia x′ este, asadar, marginita ın [t1,T ), ceea ce contrazice presupunerea ini-

tiala.

Inexistenta solutiei y se probeaza analog, adaptand Lema 17.

5.1 Teorema de oscilatie a lui F.V. Atkinson 131

Lema 19 Fie t1 ≥ t0 si T < +∞. Daca ecuatia (5.1) are o solutie x : [t1,T ) → R

necontinuabila la dreapta lui T , atunci exista sirul (tn)n≥1 ⊂ [t1,T ) de zerouri ale

functiei x astfel ıncat limn→+∞

tn = T .

Demonstratie. Teorema de explozie ın timp finit, datorata lui A. Wintner [47,

pp. 174–175], ne conduce la estimarea

limtրT

√

[x(t)]2 +[x′(t)]2 =+∞. (5.2)

La fel ca anterior, daca solutia x este pozitiva ın [t1,T ), atunci limtրT

x′(t) ∈ [−∞,

x′(t1)). Presupunand ca limtրT

x′(t) > −∞, deducem ca functia x′ este marginita. Ine-

galitatea

|x(t)| ≤ |x(t1)|+‖x′‖∞ · (T − t1)<+∞ (5.3)

contrazice relatia (5.2).

Cazul solutiei pozitive x pentru care limtրT

x′(t) =−∞ este eliminat folosind Lema

18.

Prezenta unei solutii negative y se exclude ın mod analog.

Sa presupunem ca solutia x, definita pe intervalul maximal [t1,T ), are semn vari-

abil. Cum aplicatia x 7→ xλ este de clasa C1, problema Cauchy atasata ecuatiei

Emden-Fowler are solutie unica. De aici rezulta ca zerourile solutiei x sunt izolate,

respectiv multimea lor, notata Z , este cel mult numarabila.

Daca t∗ = supZ < T , atunci solutia x are semn constant nenul ın[

t∗+T2

,T)

.

Reluam argumentatia bazata pe (5.2), (5.3), respectiv Lema 18 pentru a ajunge la o

contradictie.

In cazul unui coeficient functional q(t) nepozitiv, ecuatia Emden-Fowler (5.1)

poate avea si solutii cu explozie ın timp finit si semn constant nenul, vezi [35, p.

22].

Solutiile cu existenta ın viitor (continuabile sau prelungibile pana la +∞) ale

ecuatiei (5.1) se gasesc, evident, ıntr-una din clasele urmatoare de functii: solutii

eventual pozitive, solutii eventual negative, respectiv solutii oscilatorii. In schimb,

conform Lemei 19, solutiile necontinuabile sunt oscilatorii. Teorema urmatoare dis-

cuta cazul inexistentei solutiilor continuabile neoscilatorii.

Teorema 58 (Atkinson, 1955, cf. [2, Theorem 1]) O conditie necesara si suficienta

pentru ca ecuatia (5.1) sa fie oscilatorie este data de

∫ +∞tq(t)dt =+∞. (5.4)

Demonstratie. Suficienta. Avem∫ +∞

tq(t)dt = +∞. Sa presupunem ca x este o

solutie pozitiva a ecuatiei (5.1) ın [t0,+∞). Cum xλ = |x|λ−1x, daca x este solutie,


atunci si −x este solutie! Astfel, cum x′′(t)< 0 pentru orice t ≥ t0, Lema 2 ne asigura

ca x′(t)≥ limt ′→+∞

x′(t ′)≥ 0.

Integrand ecuatia (5.1), obtinem

x′(t ′)− x′(t)+∫ t ′

tq(s)[x(s)]λ ds = 0, t ′ ≥ t ≥ t0,

respectiv

limt ′→+∞

x′(t ′)− x′(t)+∫ +∞

tq(s)[x(s)]λ ds = 0

si

x′(t)≥∫ +∞

tq(s)[x(s)]λ ds (5.5)


O integrare termen cu termen a inegalitatii (5.5) ne conduce la

x(t)− x(t0) ≥ t

∫ +∞

tq(s)[x(s)]λ ds− t0

∫ +∞

t0

q(s)[x(s)]λ ds

+∫ t

t0

sq(s)[x(s)]λ ds = (t − t0)∫ +∞

tq(s)[x(s)]λ ds

+∫ t

t0

(s− t0)q(s)[x(s)]λ ds,

de unde

x(t)∫ t

t0(s− t0)q(s)[x(s)]λ ds

≥ 1, t ≥ t1 = t0 +1,

si

(t − t0)q(t)

x(t)∫ t

t0(s− t0)q(s)[x(s)]λ ds

λ

=(t − t0)q(t)[x(t)]

λ

∫ tt0(s− t0)q(s)[x(s)]λ ds

λ

≥ (t − t0)q(t).

Prin integrare si aplicand prima metoda de schimbare de variabila, obtinem

+∞ >1

λ −1

∫ t1

t0

(s− t0)q(s)[x(s)]λ ds

1−λ

≥ 1

λ −1

[

∫ t1

t0

(s− t0)qxλ ds

]1−λ−[

∫ t2

t0

(s− t0)qxλ ds

]1−λ

5.1 Teorema de oscilatie a lui F.V. Atkinson 133

≥∫ t2

t1

(s− t0)q(s)ds pentru orice t2 ≥ t1,

fapt din care decurge convergenta integralei∫ +∞

sq(s)ds. Am ajuns la o contradictie,

deci ecuatia este oscilatorie.

Necesitatea. Ecuatia (5.1) este oscilatorie. Marindu-l eventual pe t0, presupunem

ca ([2, p. 646])

η = λ∫ +∞

t0

tq(t)dt < 1. (5.6)

Afirmatie Daca are loc (5.6), atunci problema la limita

x′′+q(t)xλ = 0, t ≥ t0,lim

t→+∞x(t) = 1, lim

t→+∞x′(t) = 0 (5.7)

admite cel putin o solutie.

Utilizam metoda aproximatiilor succesive. Astfel, introducem sirul de functii

(xn)n≥1 cu ajutorul formulelor x1(t)≡ 0 si

xn+1(t) = 1−∫ +∞

t(s− t)q(s)[xm(s)]

λ ds, n ≥ 1,


Se stabileste usor, printr-un procedeu inductiv care tine seama de semnul coefi-

cientului functional q(t), ca xn(t) ∈ [0,1] ın [t0,+∞) pentru orice n ≥ 1.

Apoi, aplicand teorema valorii intermediare, putem scrie ca

∣

∣

∣[xn+1(t)]λ − [xn(t)]

λ∣

∣

∣≤ λ [ξ (t)]λ−1|xn+1(t)− xn(t)|, (5.8)

unde ξ (t) ∈ [minxn+1(t),xn(t),maxxn+1(t),xn(t)], respectiv

|xn+2(t)− xn+1(t)| ≤ λ∫ +∞

t(s− t)q(s)|xn+1(s)− xn(s)|ds

≤ η‖xn+1 − xn‖∞.

Deoarece sirul (an)n≥1, unde an = ‖xn+1 − xn‖∞, ındeplineste conditiaan+1

an≤

η < 1, criteriul raportului ne asigura ca seria ∑n≥1

an este convergenta.

Mai departe, cum |xn+1(t)− xn(t)| ≤ an pentru orice t ≥ t0, M–testul lui Weier-

strass implica absolut si uniform convergenta seriei telescopice de functii ∑n≥1

(xn+1−

xn) ın [t0,+∞).In final, deducem ca sirul de functii (xn)n≥1 converge uniform ın [t0,+∞) la

solutia x(t) a problemei la limita (5.7). Afirmatia este probata.

Am ajuns la o contradictie.


Observam ca ecuatia lui Euler (2.3) ındeplineste conditia (5.4) indiferent de va-

loarea numarului γ . Este esential, asadar, faptul ca, via Teorema 58, cazul neliniar al

ecuatiilor diferentiale ordinare de ordinul al II–lea cu coeficient functional pozitiv

poseda o conditie necesara si suficienta de oscilatie, fenomen care nu are corespon-

dent ın cazul liniar, cf. [2, p. 643]. Vezi si comentariul din [9, p. 128].

Alt rezultat datorat lui F.V. Atkinson are drept varianta subliniara Teorema 18.

Teorema 59 ([2, Theorem 2]) Fie λ = 2n− 1, unde numarul n ≥ 2 este natural.

Sa presupunem ca functia q : [t0,+∞) → (0,+∞) este de clasa C1 si q′(t) ≤ 0 ın

[t0,+∞).Atunci, daca

∫ +∞t2n−1q(t)dt <+∞, (5.9)

ecuatia (5.1) nu admite solutii oscilatorii.

Demonstratie. Estimarea (5.3) implica faptul ca orice solutie x a ecuatiei (5.1)

pentru care functia x′ este marginita poate fi prelungita pana la +∞. Avem relatia

d

dt[V (t,x(t),x′(t))] =

1

2nq′(t)[x(t)]2n ≤ 0, t0 ≤ t ≤ T ≤+∞,

unde V (t,x,y) = 12n

q(t)x2n + y2

2, x,y ∈ R, pentru orice solutie a ecuatiei (5.1).

Aceasta estimare ne conduce la*

|x′(t)| ≤ ‖x′‖∞ ≤√

[x′(t0)]2 +1

nq(t0)[x(t0)]2n, t ≥ t0.

Presupunem ca, prin absurd, ecuatia (5.1) admite solutia oscilatorie x(t) avand

zerourile (tm)m≥1†. Tinand cont de faptul ca, odata cu x, ecuatia (5.1) admite si

solutia −x, vom considera ca x′(t1)> 0. Atunci, evident, x′(t2)< 0, x′(t3)> 0, etc.

Notam cu (tm)m≥1, unde tm ∈ (tm, tm+1), punctul ın care solutia x(t) ısi atinge

extremul ın [tm, tm+1]. Astfel, x′(tm) = 0 pentru orice m ≥ 1.

Putem scrie ca

x′(t2m−1)− x′(t2m−1)+∫ t2m−1

t2m−1

q(t)[x(t)]2n−1dt = 0,

de unde

x′(t2m−1) =∫ t2m−1

t2m−1

q(t)[x(t)]2n−1dt, m ≥ 1. (5.10)

* Exista o vasta literatura privind analiza solutiilor ecuatiilor diferentiale ordinare si functionale

prin atasarea uneia sau mai multor cantitati functionale V , vezi e.g. monografiile [32, 43, 6] ori

lucrarile [24, 11].

† Deoarece problema Cauchy formata de ecuatia (5.1) ımpreuna cu datele x(T ) = x′(T ) = 0, unde

T ≥ t0, admite doar solutia nula, zerourile solutiei x sunt izolate.

5.2 Criteriul de neoscilatie al lui P. Waltman. Teoremele lui J.S.W. Wong si C.V. Coffman 135

Mai departe, cum x′′(t)< 0 ın (t2m−1, t2m), adica x′ descreste, deducem ca x′(s)<x′(t2m−1) ın (t2m−1, t

2m−1). Teorema valorii intermediare ne conduce la

x(t) = x(t)− x(t2m−1) = x′(s)(t − t2m−1)≤ x′(t2m−1)(t − t2m−1) (5.11)

ın [t2m−1, t2m−1].

Introducand (5.11) ın (5.10) obtinem

x′(t2m−1)≤ [x′(t2m−1)]2n−1

∫ t2m−1

t2m−1

q(t)(t − t2m−1)2n−1dt,

respectiv

1 ≤ [x′(t2m−1)]2n−2

∫ t2m

t2m−1

t2n−1q(t)dt ≤ ‖x′‖2n−2∞

∫ +∞

t2m−1

t2n−1q(t)dt = o(1)

cand m →+∞, o contradictie.

Pentru varianta liniara a Teoremei 59, vezi [42, Lemma 1.2].

Conditia (5.9) permite stabilirea alurii asimptotice a unora dintre solutiile ecuatiei

(5.1).

Teorema 60 (R.A. Moore, Z. Nehari, 1959, cf. [33, Theorem III]) Ecuatia (5.1),

unde coeficientul functional q(t) este continuu si pozitiv, admite solutii x(t) cu pro-

prietatea ca

limt→+∞

x(t)

t= α ∈ (0,+∞) (5.12)

daca si numai daca are loc conditia (5.9).

O investigatie privind solutiile ecuatiei (5.1) care satisfac (5.12) este realizata ın

urmatoarele trei sectiuni. In particular, vezi Teorema 72.

5.2 Criteriul de neoscilatie al lui P. Waltman. Teoremele lui

J.S.W. Wong si C.V. Coffman

In 1964, P. Waltman [49] extinde Teorema 60, renuntand la semnul coeficientului

q(t).

Teorema 61 (Waltman, cf. [49, Theorem 1]) Daca functia q : [t0,+∞) → R este

continua si verifica restrictia

∫ +∞

t0

t2n−1|q(t)|dt <+∞,

atunci ecuatia (5.1) admite solutia x(t) care satisface (5.12).


Demonstratie. Folosim tehnica de la demonstratia Teoremei 21. Astfel, vom

privi ecuatia (5.1) ca o perturbatie neliniara a ecuatiei (2.53), adica a ecuatiei

z′′ = 0, t ≥ t0. (5.13)

Un sistem fundamental de solutii pentru (5.13) este dat de functiile z1(t) ≡ 1 si

z2(t) ≡ t. Asadar, cautam o solutie a ecuatiei (5.1) de forma x(t) = c1(t)+ c2(t)t,unde functiile c1,2 sunt de clasa C2.

Sistemul diferential (2.56) devine ın aceasta situatie (W =−1)

c′1(t) = q(t)t[c1(t)+ tc2(t)]2n−1

c′2(t) =−q(t)[c1(t)+ tc2(t)]2n−1,

t ≥ t0.

Introducand marimea w(t) = x(t)t

= c2(t)+c1(t)

t, cf. [49, p. 919], putem scrie ca

∣

∣

∣w(t)− c1

t− c2

∣

∣

∣≤ 2

∫ t

t0

s2n−1|q(s)||w(s)|2n−1ds, (5.14)

unde c1 = c1(t0), c2 = c2(t0), pentru orice t ≥ t0.

Afirmatie Daca are loc restrictia (n ≥ 2)

∫ +∞

t0

t2n−1|q(t)|dt < min

1

2

(

|c2|−|c1|t0

)

,c2−2n −1

4(n−1)

,

unde c = |c2|+ |c1|t0

, atunci exista si sunt finite limitele

limt ′→+∞

c1(t′)

t ′, lim

t ′→+∞c2(t

′), limt ′→+∞

x(t ′)t ′

6= 0. (5.15)

Intr-adevar, cum (5.14) implica

|w(t)| ≤ c+2

∫ t

t0

s2n−1|q(s)||w(s)|2n−1ds, (5.16)

putem considera problema valorii initiale

z′ = 2t2n−1|q(t)| · z2n−1, t ≥ t0,z(t0) = c,

a carei solutie o notam cu z(t). Apoi, aplicand estimarii (5.16) fie inegalitatea

lui I. Bihari [35, p. 17] fie teorema generala de comparatie (Z. Opial, 1957, B.

Viswanatham, 1963) [25, Corollary 4.4, p. 29], vezi discutia din [35, p. 38], de-

ducem ca |w(t)| ≤ z(t) ın [t0,+∞). Mai mult chiar,

1 <C0 = c2−2n −4(n−1)∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds


≤ c2−2n −4(n−1)∫ t

t0

s2n−1|q(s)|ds = z(t)2−2n ≤ c2−2n,

respectiv c ≤ z(t)≤ 1 pentru orice t ≥ t0.

Astfel, din (5.14) rezulta ca

|w(t)| ≥C1 = |c2|−|c1|t0

−2

∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds > 0,

deci cea de-a treia limita (5.15), ın ipoteza ca ar exista, verifica estimarea

limt ′→+∞

w(t ′) ∈ R\ (−C1,C1).

Functia c2(t) satisface relatia

c2(t) = c2 −∫ t

t0

s2n−1q(s)

[

c1(s)

s+ c2(s)

]2n−1

ds, t ≥ t0,

de unde, dat fiind ca

∫ t

t0

∣

∣

∣

∣

∣

s2n−1q(s)

[

c1(s)

s+ c2(s)

]2n−1∣

∣

∣

∣

∣

ds ≤∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds <+∞,

deducem existenta celei de-a doua limite (5.15).

La randul sau, relatia

c1(t)

t=

c1

t+

1

t

∫ t

t0

sQ(s)ds, (5.17)

unde Q(s) ≡ s2n−1q(s)[

c1(s)s

+ c2(s)]2n−1

si Q ∈ L1((t0,+∞),R), implica, via [35,

Eq. (2.43)], faptul ca

limt ′→+∞

c1(t′)

t ′= 0.


A doua demonstratie a Teoremei 61. Folosim teoria de integrare asimptotica

elaborata de T. Kusano si W.F. Trench [35, pp. 101–107]. Mai precis, cum ecuatia

(5.13) este disconjugata, vom lua ın [35, Teorema 31] valorile p= n= 2, v0p(t)≡ 2t

si v1p(t)≡ 1. Atunci, ipotezele Kusano–Trench devin

∫ t

t0

s|q(s)|[(θ0 + c)s]2n−1ds+ t

∫ +∞

t|q(s)|[(θ0 + c)2s]2n−1ds ≤ 2ct, (5.18)

respectiv


∫ +∞

t|q(s)|[(θ0 + c)2s]2n−1ds ≤ c (5.19)


Facand t = t0 ın (5.19), obtinem

∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds ≤ c

[2(θ0 + c)]2n−1. (5.20)

Este evident ca (5.20) implica (5.19). Mai departe, observam ca

∫ t

t0

s|q(s)|[(θ0 + c)s]2n−1ds+ t

∫ +∞

t|q(s)|[(θ0 + c)2s]2n−1ds

≤[

t

∫ t

t0

s2n−1|q(s)|ds+22n−1t

∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds

]

(θ0 + c)2n−1

≤ 2t[2(θ0 + c)]2n−1∫ +∞

t0

s2n−1|q(s)|ds ≤ 2ct, t ≥ t0,

adica (5.20) implica (5.18).

In concluzie, conform [35, Teorema 31], daca are loc (5.20), atunci, pentru orice

numar real θ , cu |θ | ≤ θ0, ecuatia (5.1) admite solutia xθ (t) avand alura asimptotica

xθ (t) = θ t +o(t), x′θ (t) = θ +o(1) cand t →+∞.

Demonstratia s-a ıncheiat.

In mod asemanator se construieste un rezultat de tip Trench pentru perturbatiile

neliniare ale ecuatiei (2.53).

Teorema 62 (Waltman, cf. [49, Theorems 3,4]) Fiind date functiile continue f ,g :

[t0,+∞)→R, presupunem ca z1,2 sunt solutii liniar independente ale ecuatiei (2.53)

iar functia g(t) verifica restrictia

∫ +∞y(t)|g(t)|dt <+∞ (5.21)

pentru y(t ′) = max

[z1(t′)]2n, [z2(t

′)]2n

, t ′ ≥ t0.

De asemeni, consideram perturbarea neliniara a ecuatiei (2.53) data de ecuatia

u′′+ f (t)u+g(t)u2n−1 = 0, t ≥ t0. (5.22)

(i) Atunci, exista o solutie u(t) a ecuatiei (5.22) care admite reprezentarea

u(t) = α(t)z1(t)+β (t)z2(t), t ≥ t0,

unde α(t), β (t) sunt functii continue pentru care limt ′→+∞

α(t ′) = c1 si limt ′→+∞

β (t ′) =

c2, cu c1,2 ∈ R si c21 + c2

2 > 0.


(ii) In cazul particular dat de f (t) ≡ 0, ecuatia (5.22) admite o solutie x(t) cu

alura asimptotica

x(t) = at +b+o(1) cand t →+∞, unde a,b ∈ R.

Demonstratie. Pastrand notatiile de la demonstratia Teoremei 61, observam ca,

ın cazul (ii), avem limt ′→+∞

c1(t′) ∈ R.

Intr-adevar, (5.21) devine

∫ +∞

t0

t2n|q(t)|dt <+∞,

deci estimarea (5.17) ne conduce la limt ′→+∞

c1(t′) = b= c1(t0)+

∫+∞t0

sQ(s)ds, respec-

tiv

|c1(t)−b| ≤∫ +∞

ts|Q(s)|ds = o(1) cand t →+∞.

Apoi, introducand marimea a = limt ′→+∞

c2(t′), deducem ca

t|c2(t)−a| ≤ t

∫ +∞

t|Q(s)|ds ≤

∫ +∞

ts|Q(s)|ds = o(1) cand t →+∞.

Concluzia rezulta din reprezentarea x(t) = c1(t)+ c2(t)t = b+at +[c1(t)−b]+t[c2(t)−a] = at +b+o(1) cand t tinde la +∞.

Un rezultat stabilit de J.S.W. Wong [53] ın 1968 sintetizeaza argumentele-cheie

din demonstratia Teoremei 59.

Teorema 63 ([53, Theorem 2]) Sa presupunem ca functia continua f : [t0,+∞)×R→ R verifica urmatoarele ipoteze:

(A) este monoton nedescrescatoare ın raport cu cea de-a doua variabila, ındepli-

neste conditia de semn (3.22) si orice problema a valorii initiale cu data nula

atasata ecuatiei (3.21) admite solutie unica (functia identic nula) ‡;

(B) este de clasa C1 ın raport cu prima variabila si, ın plus, x · ∂ f∂ t(t,x)≤ 0 pentru

orice t ≥ t0 si x ∈ R;

(C) pentru orice β > 0 avem∫ +∞

t0f (t,β t)dt <+∞;

(D) exista β0 > 0 si functia continua χ : [t0,+∞) → [0,+∞), integrabila pe

[t0,+∞), astfel ıncat

‡ De exemplu, vezi [9, p. 128], [10, Appendix], f (t,x) = F(t,x2)x, unde functia continua F :

[t0,+∞)× [0,+∞) → [0,+∞) este monoton necrescatoare ın a doua variabila. Atunci, daca x(t),cu t ∈ [t0,T ], este o solutie a problemei valorii initiale formata de ecuatia (3.21) ımpreuna cu

datele x(t0) = x′(t0) = 0, deducem ca |x(t)| ≤ ∫ tt0

a(s)|x(s)|ds, unde a(s) = (T −s)F(s,0), ın [t0,T ].

Inegalitatea lui Gronwall implica |x(t)| ≡ 0, adica problema valorii initiale admite solutie unica.

Aceasta proprietate ramane valabila si daca functia F este monoton nedescrescatoare ın cea de-a

doua variabila, vezi [10, p. 423].


f (t,β t)≤ β · χ(t), t ≥ t0, pentru orice β ∈ (0,β0).

Atunci, ecuatia (3.21) nu admite solutii oscilatorii.

Demonstratie. Fie x(t) o (eventuala) solutie oscilatorie a ecuatiei (3.21). Canti-

tatea functionala

W (t,x,y) =y2

2+∫ x

0f (t,u)du, t ≥ t0, x,y ∈ R,

este nenegativa si, ın plus,

d

dt[W (t,x(t),x′(t))] = x′(t)[x′′(t)+ f (t,x(t))]+

∫ x(t)

0

∂ f

∂ t(t,u)du

=∫ x(t)

0

∂ f

∂ t(t,u)du ≤ 0,

de unde rezulta ca |x′(t)| ≤ β =√

2W (t0,x(t0),x′(t0)) ın [t0,+∞).Introducem sirurile (tm)m≥1, (tm)m≥1 ca ın Teorema 59. Atunci, repetand ratio-

namentul, avem

0 < x′(t2m−1) =∫ t2m−1

t2m−1

f (s,x(s))ds ≤∫ t2m−1

t2m−1

f (s,x′(t2m−1)(s− t2m−1))ds,

respectiv

x′(t2m−1) ≤∫ t2m−1

t2m−1

f (s,x′(t2m−1)s)ds (5.23)

≤∫ t2m−1

t2m−1

f (s,β s)ds ≤∫ +∞

t2m−1

f (s,β s)ds,

relatie care ne conduce la limm→+∞

x′(t2m−1) = 0.

Exista numarul natural M ≥ 1 suficient de mare astfel ıncat∫ +∞

t2M−1χ(t)dt < 1 si

x′(t2m−1)< β0 pentru orice m ≥ M. Atunci, pe baza estimarii (5.23), putem scrie ca

1 ≤∫ t2M−1

t2M−1

f (s,x′(t2M−1)s)

x′(t2M−1)ds ≤

∫ +∞

t2M−1

f (s,x′(t2M−1)s)

x′(t2M−1)ds

≤∫ +∞

t2M−1

χ(s)ds,

o contradictie.

Adaptand tehnica din [34, p. 409], se poate stabili o varianta a Teoremei 59.

Teorema 64 (C.V. Coffman, J.S.W. Wong, 1972, cf. [9, Theorem 3]) Sa pre-

supunem ca functia continua F : [t0,+∞)× [0,+∞) → (0,+∞) este monoton ne-

crescatoare ın fiecare din cele doua variabile. Atunci, daca


∫ +∞tF(t,β )dt <+∞ pentru orice β > 0,

ecuatia diferentiala quasiliniara §

x′′+F(t,x2)x = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (5.24)

nu admite solutii oscilatorii.

Demonstratie. La fel ca ın demonstratia Teoremei 63, pentru o prezumtiva

solutie oscilatorie x(t) consideram sirurile (tm)m≥1, (tm)m≥1 cu

x′(t2m−1)> 0, x′(t2m)< 0, x′(tm) = 0,

respectiv

x(t2m−1) = maxs∈[t2m−1,t2m]

x(s)> 0, x(t2m) = mins∈[t2m,t2m+1]

x(s)< 0.

Observam ca functiile x : [t2m−1, t2m]→ [0,x(t2m−1)] si x : [t2m, t2m]→ [x(t2m),0]

sunt descrescatoare si bijective. Aceasta ınseamna ca aplicatiile t 7→ [x(t)]2 definite

pe [t2m−1, t2m] si [t2m, t2m] sunt bijective.

Notam cu η1 : [0,(x(t2m−1))2] → [t2m−1, t2m] si η2 : [0,(x(t2m))2] → [t2m, t2m]

inversele acestora. Functia η1 este continua ın [0,(x(t2m−1))2] si de clasa C1 ın

[0,(x(t2m−1))2) (derivata laterala devine −∞). Functia η2 are proprietati similare.

Inmultind ecuatia (5.24) ın ambii membri cu x′(t) si integrand rezultatul, obtinem

[x′(t2m)]2 =−2

∫ t2m

t2m−1x(s)x′(s)F(s, [x(s)]2)ds

=−2

∫ t2m

t2m−1x(s)x′(s)F(η1([x(s)]

2), [x(s)]2)ds =∫ [x(t2m−1)]2

0F(η1(y),y)dy,

respectiv

[x′(t2m)]2 = 2

∫ t2m

t2m

x(s)x′(s)F(s, [x(s)]2)ds =∫ [x(t2m)]2

0F(η2(y),y)dy.

Afirmatie Sirul (|x(tm)|)m≥1 este monoton nedescrescator.

Intr-adevar, daca am avea |x(t2m)|< |x(t2m−1)|, atunci η1(y)≤ t2m ≤ η2(y) pen-

tru orice y∈ [0,(x(t2m))2], de unde, dat fiind ca functia F este monoton necrescatoare

ın prima variabila, va rezulta ca

[x′(t2m)]2 =

∫ [x(t2m−1)]2

0F(η1(y),y)dy >

∫ [x(t2m)]2

0F(η1(y),y)dy

§ Aceasta neliniaritate poate fi privita ca o regularizare a neliniaritatii ecuatiei (5.1) ın cazul sub-

liniar. Mai precis, fiind date numerele λ ∈ (0,1) si ε > 0, putem lua F(t,y) = q(t)yγ pentru orice

y ≥ ε , respectiv F(t,y) = εγ q(t) cand y ∈ [0,ε), unde γ = λ−12

. In plus, vom impune ca q ∈C1 si

q′(t)≤ 0 ın [t0,+∞).


≥∫ [x(t2m)]2

0F(η2(y),y)dy = [x′(t2m)]

2,

o contradictie. Asadar, |x(t2m−1)| ≤ |x(t2m)|. Inegalitatea |x(t2m)| ≤ |x(t2m+1)| se

stabileste analog, ceea ce probeaza Afirmatia.

Afirmatie ([9, Theorem 1]) Pentru orice C > 0 ecuatia (5.24) admite o solutie z(t)crescatoare cu lim

t→+∞z(t) =C.

Fixam numerele C > c > 0 si T > t0 astfel ıncat

C

∫ +∞

TtF(t,c2)dt <C− c

si introducem sirul de functii (xn)n≥1 cu x1(t)≡C si relatia de recurenta

xn+1(t) =C−∫ +∞

t(s− t)F(s, [xn(s)]

2)xn(s)ds, t ≥ T.

In mod inductiv se stabileste ca c ≤ xn(t)≤C ın [T,+∞) pentru orice n ≥ 1. Mai

departe, cum

0 < α(t)≤ x′n+1(t) =∫ +∞

tF(s, [xn(s)]

2)xn(s)ds ≤ β (t)≤C− c,

unde

α(t) = c

∫ +∞

tF(s,C2)ds, β (t) =C

∫ +∞

tF(s,c2)ds, t ≥ T,

deducem ca sirul (xn)n≥1 ındeplineste ipotezele criteriului Avramescu de compacti-

tate relativa ın X2(T ;1), cf. [35, pp. 78–79] ‖.

Asadar, exista functia z : [T,+∞) → [c,C] de clasa C1, cu α(t) ≤ z′(t) ≤ β (t),astfel ıncat z ∈ closX2(T ;1)((xn)n≥1) si

z(t) =C−∫ +∞

t(s− t)F(s, [z(s)]2)z(s)ds, t ≥ T,

fapt care probeaza Afirmatia.

Revenind la solutia oscilatorie x(t) a ecuatiei (5.24), exista C > 0 cu proprietatea

ca

2C < limm→+∞

|x(tm)| ≤+∞.

Aceasta implica existenta sirurilor (sm)m≥M , (Sm)m≥M cu

‖Am folosit ın mod esential monotonia coeficientului functional F(t,x2) din ecuatia (5.24). Pentru

o abordare ın cazul ın care monotonia neliniaritatii unei ecuatii diferentiale este ınlocuita cu o

restrictie de tip local Lipschitz, vezi Teorema 69.

5.3 Teoria de integrare a lui J.K. Hale si N. Onuchic 143

x(sm) = z(sm), x′(sm)≥ z′(sm), sm ∈ (t2m−1, t2m−1),

respectiv

x(Sm) = z(Sm), x′(Sm)< z′(Sm), Sm ∈ (t2m−1, t2m), (avem x′(Sm)< 0!)

unde m ≥ M satisface restrictia x(t2m−1)≥ 3C2

si t2M−1 ≥ T . In plus,

x(t)≥ z(t), t ∈ [sm,SM].

Afirmatie Numerele sm, Sm sunt date de formulele

sm = inft ∈ (t2m−1, t2m−1) : x(τ)> z(τ) pentru orice τ ∈ [t, t2m−1]

si

Sm = supt ∈ (t2m−1, t2m) : x(τ)> z(τ) pentru orice τ ∈ [t2m−1, t].

Intr-adevar, presupunand ca am avea x′(sm) < z′(sm), va exista o mica vecina-

tate situata la dreapta lui sm pe care z(t) > x(t), fapt ce contrazice definitia lui sm.


Introducand wronskianul

w(x,z)(t) = x(t)z′(t)− x′(t)z(t),

observam ca

d

dt[w(x,z)(t)] = x(t)z(t)F(t, [x(t)]2)−F(t, [z(t)]2) ≤ 0, t ∈ [sm,Sm],

de unde, prin integrare, ajungem la

0 ≥ x(Sm)[z′(Sm)− x′(Sm)]− x(sm)[z

′(sm)− x′(sm)]

≥ x(Sm)[z′(Sm)− x′(Sm)]> 0,

o contradictie.

O serie de generalizari ale rezultatelor precedente pot fi citite ın lucrarea din 1969

a lui S. Belohorec [5].

5.3 Teoria de integrare a lui J.K. Hale si N. Onuchic

Aceasta sectiune este dedicata unei metode generale de integrare asimptotica.

Sa consideram problema la limita data de ecuatia diferentiala ordinara neliniara

(k+ r ≥ 1)

u(k+r+1) = P(t,u,u′, · · · ,u(k+r)), t ≥ t0 ≥ 1, (5.25)


unde functia P : [t0,+∞)×Rk+r+1 → R este continua, ımpreuna cu datele

u(i)(t0) = ak−i, i ∈ 0,k−1, (cand k ≥ 1)

limt→+∞

u(k)(t) = c,

limt→+∞

[t ju(k+ j)(t)] = 0, j ∈ 1,r (cand r ≥ 1)

(5.26)

pentru ak−i,c ∈ R fixate.

Conform [23, p. 62], vom stabili un rezultat de existenta pentru problema (5.25),

(5.26) transformand-o ıntr-un sistem integrodiferential (r+1)–dimensional.

Daca u(t) este o solutie a ecuatiei (5.25), atunci putem scrie ca

u(p)(t) = Qp(t,u(k)), t ≥ t0,

unde

Qp(t,x) =k−p

∑j=1

a j(t − t0)

k−p− j

(k− p− j)!+∫ t

t0

(t − s)k−p−1

(k− p−1)!x(s)ds, x ∈C([t0,+∞),R),

pentru orice p ∈ 0,k−1. In cazul k = 0, luam Qp(t,x)≡ x.

Astfel, pentru x = u(k), ecuatia (5.25) se rescrie ca ecuatia integrodiferentiala

x(r+1) = P(t,Q0(t,x),Q1(t,x), . . . ,Qk−1(t,x),x,x′, . . . ,x(r)). (5.27)

Mai departe, introducand functia y = col (y1, · · · ,yr+1) prin formulele

y1 = x, y2 = x′, . . . ,yr+1 = x(r),

ecuatia (5.27) devine (vezi [35, p. 98])

y′ = Ay+P[t,x,y], t ≥ t0,

unde

A =

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1

0 0 0 · · · 0

si P[t,x,y] =

0...

0

P

.

Schimbarea de variabila sugerata ın [35, Eq. (3.22)], si anume y = eAtz, unde

z = col (z1, . . . ,zr+1), ne conduce la

yi(t) =r+1

∑l=i

t l−i

(l−i)! zl(t),

zi(t) =r+1

∑l=i

(−1)l−i t l−i

(l−i)! yl(t),(5.28)


unde 1 ≤ i ≤ r+1. Am tinut cont de faptul ca (eAt)−1 = e−At pentru t ≥ t0.

Introducem functia R(t,z) cu ajutorul formulei

R(t,z) = P

t,

(

Qp

(

t,r+1

∑q=1

tq−1

(q−1)!zq

))

p∈0,k−1

,

(

r+1

∑l=d

t l−d

(l −d)!zl

)

d∈1,r+1

.

In acest moment, conditia eAtz′ = P[t,x,y], cf. [35, Eq. (3.23)], s-a transformat ın

sistemul integro-diferential

dzi

dt= (−1)r+1−i tr+1−i

(r+1− i)!R(t,z), 1 ≤ i ≤ r+1. (5.29)

Pentru a stabili existenta unei solutii a problemei (5.25), (5.26) impunem o suita

de conditii tehnice atat asupra datelor ak−i,c cat si asupra neliniaritatii P.

In acest scop fixam numerele M > 0, s0 ∈ (0,1) si sd ∈ [s0,1) astfel ıncatr+1

∑d=1

sd =

1. Fie, de asemeni, functia continua K : [t0,+∞)→ [0,+∞) cu proprietatea ca

∫ +∞

t0

K(s)ds ≤ s0M. (5.30)

Notam cu ZM acea submultime a spatiului [X2(t0;1)]r+1 (dotat cu norma, respec-

tiv topologia produs), vezi [35, p. 76], care contine toate functiile vectoriale z(t) cu

proprietatea ca

|z1(t)− c| ≤ s1s0

∫ +∞t K(τ)dτ

|zi(t)| ≤ sis0

∫ +∞t

K(τ)τ i−1 dτ , i ∈ 2,r+1,

ın [t0,+∞).Conditia tehnica fundamentala a metodei Hale-Onuchic este data de inegalitatea

tr|R(t,z)| ≤ K(t), z ∈ ZM, (5.31)


Teorema 65 (Hale, Onuchic, 1963, cf. [23, Theorem 1]) Sa presupunem ca au loc

restrictiile (5.30), (5.31). Atunci, sistemul (5.29) admite cel putin o solutie ın ZM .

Demonstratie. Fie operatorul T : ZM → [X2(t0;1)]r+1 cu formula T (z) = w, unde

w = col (w1, . . . ,wr+1) si

w1(t) = c− ∫+∞t (−1)r sr

r!R(s,z)ds

wi(t) =−∫+∞t (−1)r+1−i sr+1−i

(r+1−i)! R(s,z)ds, i ∈ 2,r+1.


Multimea ZM este marginita, ınchisa si convexa. Adaptand tehnica din [35, Capi-

tolul 3], deducem ca operatorul T este uniform continuu iar multimea T (ZM) este

relativ compacta.

Este usor de observat ca

|w1(t)− c| ≤∫ +∞

tK(τ)dτ ≤ s1

s0

∫ +∞

tK(τ)dτ ,

respectiv

|wi(t)| ≤∫ +∞

t

K(τ)τ i−1

dτ ≤ si

s0

∫ +∞

t

K(τ)τ i−1

dτ ,

ceea ce implica T (ZM)⊆ ZM . Concluzia rezulta din teorema de punct fix Schauder-

Tikhonov.

Propozitia 4 Fie z ∈ ZM solutia sistemului (5.29) stabilita la Teorema 65. Atunci,

functiile (yi)i∈1,r+1 date de prima dintre formulele (5.28) satisfac estimarile

|y1(t)− c| ≤ ψ(t) si |yi+1(t)| ≤ψ(t)

t i, (5.32)

unde ψ(t) = 1s0

∫ +∞t K(τ)dτ , ın [t0,+∞). In plus,

y( j)1 = y j+1, 0 ≤ j ≤ r.


|y1(t)− c| ≤ |z1(t)− c|+r+1

∑l=2

t l−1

(l −1)!|zl(t)| ≤ ψ(t)

r+1

∑l=1

sl

(l −1)!≤ ψ(t),

respectiv

|yi(t)| ≤ψ(t)

t i−1

r+1

∑l=i

t l−1

(l −1)!|zl(t)| ≤

ψ(t)

t i−1

r+1

∑l=i

sl

(l −1)!≤ ψ(t)

t i−1, 2 ≤ i ≤ r+1.

Apoi, pentru j ∈ 1,r fixat, verificam faptul ca

y′j(t) =r

∑q= j

tq− j

(q− j)!zq+1(t)+

r+1

∑l= j

t l− j

(l − j)!z′l(t)

= y j+1(t)+ tr+1− jR(t,z)r+1

∑l= j

(−1)r+1+l

(l − j)!(r+1− l)!= y j+1(t)

deoarece


r+1

∑l= j

(−1)r+1+l

(l − j)!(r+1− l)!=

1

(r+1− j)!

r+1− j

∑d=0

(

d

r+1− i

)

(−1)d = 0,

conform binomului lui Newton.

Concluziile Propozitiei 4 ne permit sa afirmam ca problema (5.25), (5.26) admite

o solutie x(t). Mai mult, relatiile (5.32) descriu rata de tindere a derivatelor acestei

solutii catre c, respectiv 0 cand t →+∞.

Conditia (5.31) este, ın cazul general, extrem de complicata. Insa pot fi date

restrictii mult mai simple care sa conduca la (5.31).

Teorema 66 ([23, Theorem 2]) Sa consideram ecuatia diferentiala quasiliniara

u(k+r+1)+k+r+1

∑j=1

f j(t,u,u′, . . . ,u(k+r))u(k+r+1− j) = 0, t ≥ 1, (5.33)

unde coeficientii functionali f j : [1,+∞)×Rk+r+1 →R continui verifica inegalitatea

| f j(t,u,u′, . . . ,u(k+r))| ≤ h j(t)L j(|u|, |u′|, . . . , |u(k+r)|)

ın ıntreg domeniul de definitie. Sa presupunem, ın plus, ca functiile de comparatie L j

sunt continue, monoton nedescrescatoare ın fiecare argument si satisfac restrictia

∫ +∞t j−1h j(t)L j(β tk,β tk−1, . . . ,β t−r)dt <+∞

pentru orice β > 0.

Atunci, fiind date numerele c, (a j) j∈1,k, exista t0 ≥ 1 si o solutie u(t) a ecuatiei

(5.33) definita ın [t0,+∞) care satisface conditiile la limita (5.26).

Demonstratie. Fixam M > 0 si introducem β = |c|+M+k

∑j=1

|ai|. Fara a preciza

momentan o limita inferioara pentru t0, deducem ca (z ∈ ZM)

∣

∣

∣

∣

∣

Qp

(

t,r+1

∑q=1

tq−1

(q−1)!zq(t)

)∣

∣

∣

∣

∣

≤k−p

∑j=1

|a j|tk−p−1 +∫ t

t0

(t − s)k−p−1

(k− p−1)!

×(

r+1

∑q=1

sq−1

(q−1)1|zq(s)|

)

ds ≤k−p

∑j=1

|a j|tk−p−1 +

[

|c|+M

(

r+1

∑q=1

sq

(q−1)!

)]

×∫ t

t0

(t − s)k−p−1

(k− p−1)!ds ≤ β tk−p, (5.34)

respectiv

∣

∣

∣

∣

∣

r+1

∑l=d

t l−d

(l −d)!zl(t)

∣

∣

∣

∣

∣

≤ |z1(t)|+r+1

∑l=d

sgn (l −1)t1−d

(l −d)![t l−1|zl(t)|]


≤ (|c|+M)t1−d ≤ β t1−d (5.35)

pentru orice t ≥ t0 si 0 ≤ p ≤ k−1, 1 ≤ d ≤ r+1.

Apoi,

tr|R(t,z)|

≤r+1

∑j=1

tr∣

∣

∣ f j

(

t,(Qp(t,x))p∈0,k−1,(x(i))i∈0,r

)∣

∣

∣ |x(r+1− j)(t)| (5.36)

+r+k+1

∑j=r+2

tr∣

∣

∣ f j

(

t,(Qp(t,x))p∈0,k−1,(x(i))i∈0,r

)∣

∣

∣ |Qk+r+1− j(t,x)|, (5.37)

unde, conform Propozitiei 4, avem

x(i)(t) = yi+1(t) =r+1

∑l=i+1

t l−i−1

(l − i−1)!zl(t).

Estimarile (5.34), cu p = k+ r+ 1− j, si (5.35), cu d = r+ 2− j, ne permit sa

majoram oricare dintre termenii sumei (5.36), respectiv ai sumei (5.37) cu cantitatea

(vezi [23, p. 68])

β t j−1h j(t)L j(β tk,β tk−1, . . . ,β t−r), t ≥ t0.

Definim functia K : [t0,+∞)→ [0,+∞) drept suma

K(t) = βk+r+1

∑j=1

t j−1h j(t)L j(β tk,β tk−1, . . . ,β t−r),

unde t0 ≥ 1 verifica restrictia (5.30).

Semnificatia conditiei (5.31) este ca, ıntr-o serie de cazuri neacoperite de Teo-

rema 66, neliniaritatea ecuatiei diferentiale (5.25) nu trebuie sa fie neaparat ”mica”

ci doar sa devina astfel de-a lungul anumitor solutii ale sale, cf. [23, p. 61]. Vezi

exemplul din [35, p. 50].

Rezultate generale de existenta pe intervale nemarginite privind probleme la

limita asociate unor ecuatii diferentiale neliniare se gasesc ın [26, 27]. Mentionam,

ın aceeasi privinta, monografiile [13, 6] si lucrarile [47, 8].

Investigatii ın acest spirit, legate de chestiunea disconjugarii, pentru ecuatii

diferentiale quasiliniare pot fi citite ın [44, 45, 17]. Existenta famiilor de solutii spe-

ciale (sisteme Cebasev sau Descartes) este stabilita cu ajutorul teoremelor de punct

fix ale aplicatiilor multivoce (teorema Fan-Glicksberg, [44, p. 82]). In integrarea

asimptotica a ecuatiilor (sistemelor) diferentiale quasiliniare acest tip de abordare ıi

este atribuit lui A.G. Kartsatos, cf. [45, p. 911].

Detalii privind existenta solutiilor unor probleme la limita generale pe intervale

marginite pot fi citite ın articolul [3].

5.4 Teorii locale de integrare asimptotica a ecuatiei (5.1) 149

5.4 Teorii locale de integrare asimptotica a ecuatiei (5.1)

Sa consideram ecuatia Emden-Fowler (5.1) presupunand ca coeficientul functio-

nal q : [t0,+∞)→ [0,+∞) admite (eventual) zerouri izolate.

Vom analiza ın continuare alura asimptotica a anumitor solutii ale sale (neoscila-

torii) folosind rezultate de tip Hale-Onuchic. Prin teorii locale ıntelegem, ın spiritul

conditiei (5.31), acele rezultate ın ipotezele carora comportamentul neliniaritatii

unei ecuatii diferentiale este descris pe o familie de functii date (cu care comparam

fie solutia cautata fie alte marimi functionale legate de aceasta) si nu pe ıntreg dome-

niul de definitie.

Rezultatele se bazeaza pe observatia facuta de S.G. Dube si A.B. Mingarelli [15,

Eq. (2.1)], conform careia putem asocia ipotezelor de tip (5.31) o conditie Lipschitz

(locala) privind neliniaritatea ecuatiei diferentiale. In acest fel se simplifica analiza

functionala necesara investigatiei ın cazul general.

Teorema 67 (Dube, Mingarelli, 2004, cf. [15, Theorem 2.1]) Fie f : [t0,+∞)×R→[0,+∞) o functie continua avand proprietatea ca

∫ +∞

t0

(t − t0) f (t,u(t))dt ≤ M (5.38)

pentru orice u ∈ XM , unde M > 0 este fixat si

XM = u ∈C([t0,+∞),R) : 0 ≤ u(t)≤ M pentru orice t ≥ t0.

Presupunem ca exista functia k : [t0,+∞)→ [0,+∞) continua astfel ıncat

η =∫ +∞

t0

(t − t0)k(t)dt < 1 (5.39)

si

| f (t,u2(t))− f (t,u1(t))| ≤ k(t)|u2(t)−u1(t)|, t ≥ t0, u1,2 ∈ XM. (5.40)

Atunci, ecuatia diferentiala

x′′+ f (t,x) = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (5.41)

admite o solutie x(t) definita ın [t0,+∞) cu alura asimptotica data de

limt→+∞

x(t) = M. (5.42)

Demonstratie. Introducem operatorul integral T : XM → C([t0,+∞),R) cu aju-

torul formulei

T (u)(t) = M−∫ +∞

t(s− t) f (s,u(s))ds, u ∈ XM,


pentru orice t ≥ t0. Este usor de remarcat ca, printr-o dubla derivare ın raport cu

argumentul t, orice (eventual) punct fix al operatorului T verifica ecuatia (5.41) ın

[t0,+∞).In mod evident, T (XM)⊆ XM , conform conditiei Hale-Onuchic (5.38).

Perechilor (u1,u2) de elemente din XM le asociem ın mod natural ”distanta” d

data de

d(u1,u2) = supt≥t0

|u1(t)−u2(t)|. (5.43)

Se stabileste ın mod standard, vezi [27, Chapter I], ca spatiul metric SM = (XM,d)este complet.

Urmatoarele estimari

|T (u2)(t)−T (u1)(t)| ≤∫ +∞

t(s− t)| f (s,u2(s))− f (s,u1(s))|ds

≤∫ +∞

t(s− t0)k(s)|u2(s)−u1(s)|ds

≤∫ +∞

t(s− t0)k(s)ds ·d(u2,u1), (5.44)

unde u1,2 ∈ XM si t ≥ t0, implica d(T (u2),T (u1))≤ ηd(u1,u2), adica operatorul T

este o contractie ın SM .

Principiul contractiei (S. Banach) [27, pp. 19–20] ne asigura ca ecuatia (5.41)

admite solutia cautata.

In esenta sa, ”filozofia” Hale-Onuchic de integrare asimptotica a ecuatiilor dife-

rentiale neliniare se reduce la transformarea problemei la limita date ın problema

existentei unui punct fix al unui operator integral T , fapt comun abordarilor din acest

domeniu, si la identificarea unei multimi invariante (ZM , XM , etc) ın care sa se poata

folosi, cu efort minim, o teorema de punct fix. De aceea, ıntr-o abordare de tip Hale-

Onuchic, verificarea conditiilor unei atari teoreme este lejera, greutatea constand ın

precizarea operatorului integral (asociat unei probleme integro-diferentiale interme-

diare), respectiv ın detectarea multimii invariante. Unii autori, poate prea radicali

ın aceasta privinta, exclud verificarea ipotezelor teoremelor de punct fix din cadrul

investigatiei, e.g. [16, p. v].

Tinand seama de estimarea data de (5.8) si luand M = 1, k(t) ≡ λq(t) si

f (t,u) ≡ q(t)uλ , Teorema 67 stabileste existenta unei solutii a problemei la limita

(5.7). Rezultatul este ımbunatatit de teorema care urmeaza.

Teorema 68 Sa presupunem ca are loc conditia (5.6). Atunci, exista p > 1 astfel

ıncat, pentru orice c∈ (0,1] ¶, ecuatia (5.1) sa admita cel putin o solutie x(t) definita

¶ Impunem aceasta restrictie asupra lui c doar pentru a putea folosi ipoteza (5.6). In caz contrar,

fie numarul C astfel ıncat C > λ (C−|c|)> 0 si Cλ ∫ +∞t0

t|q(t)|dt ≤C−|c|. Reluand discutia de la

demonstratia Teoremei 64, putem scrie ca operatorul T : C → X2(t0;1) dat de formula (5.47), unde

C = u ∈ X2(t0;1) : |u(t)| ≤C pentru orice t ≥ t0, este o contractie de coeficient λ C−|c|C

. Punctul

sau fix ın C este solutia cautata.


ın [t0,+∞) cu proprietatea ca

c

p≤ x(t)≤ c, t ≥ t0. (5.45)

Alura asimptotica a acestei solutii este data de formulele x(t) = c+o(1), respec-

tiv x′(t) = o(t−1) cand t →+∞.

Demonstratie. Introducem spatiul metric complet S = (X ,d), unde

X =

u ∈C([t0,+∞),R) :c

p≤ u(t)≤ c pentru orice t ≥ t0

iar distanta d este data de (5.43). Aici, numarul p > 1 este fixat astfel ıncat sa avem

(η ∈ (0,1)!)

∫ +∞

t0

tq(t)dt <1

λ≤ p−1

p< 1. (5.46)

Neliniaritatea f (t,u) ≡ q(t)uλ ındeplineste conditia (5.40) pentru k(t) ≡ λq(t).La randul sau, operatorul T : X →C([t0,+∞),R) cu formula

T (u)(t) = c−∫ +∞

t(s− t)q(s)[u(s)]λ ds, u ∈ X , t ≥ t0, (5.47)

satisface estimarea (5.44), adica este o contractie de coeficient η .

Putem scrie ca

c ≥ c−∫ +∞

t(s− t)q(s)

(

c

p

)λds

≥ T (u)(t) = c−∫ +∞

t(s− t)q(s)[u(s)]λ ds

≥ c− cλ∫ +∞

t(s− t)q(s)ds ≥ c

[

1−∫ +∞

t0

sq(s)ds

]

≥ c

p, u ∈ X , t ≥ t0,

adica T (X)⊆ X .

Conform principiului contractiei, operatorul T are un punct fix ın X , notat x(t).Evident, x(t) = c+o(1) cand t →+∞. In plus,

0 ≤ x′(t) =∫ +∞

tq(s)[x(s)]λ ds ≤ cλ

∫ +∞

tq(s)ds ≤

∫ +∞

tq(s)ds = o(t−1)

cand t →+∞. Vezi [35, p. 120].

Concluzia Teoremei 68 poate fi obtinuta si prin alta abordare locala. Pentru ınce-

put, stabilim un rezultat care slabeste restrictiile din [36, Theorem 1].


Teorema 69 Fie M ∈ R fixat si α,β : [t0,+∞) → R doua functii continue, ab-

solut integrabile ın [t0,+∞), cu α(t) ≤ β (t) pentru orice t ≥ t0 si astfel ıncat

limt ′→+∞

α(t ′) = limt ′→+∞

β (t ′) = 0.

Fiind date multimile

CM =

u ∈C([t0,+∞),R) : M−∫ +∞

tβ (s)ds ≤ u(t)

≤ M−∫ +∞

tα(s)ds pentru orice t ≥ t0

si

D = v ∈C([t0,+∞),R) : α(t)≤ v(t)≤ β (t) pentru orice t ≥ t0,

presupunem ca are loc dubla inegalitate

α(t)≤∫ +∞

tf (s,u(s),v(s))ds ≤ β (t), t ≥ t0, (5.48)

pentru orice u ∈CM si v ∈ D, unde functia f : [t0,+∞)×R2 → R este continua. In

plus,

| f (t,u2(t),v2(t))− f (t,u1(t),v1(t))| ≤ k1(t)|u2(t)−u1(t)|+ k2(t)|v2(t)− v1(t)|

pentru orice u1,2 ∈CM , v1,2 ∈ D si t ≥ t0. Aici, aplicatiile k1,2 : [t0,+∞)→ [0,+∞)sunt continue si exista ζ > 0 pentru care

χ = ζ∫ +∞

t0

k1(t)dt +∫ +∞

t0

(t − t0)k1(t)dt

+∫ +∞

t0

k2(t)dt +1

ζ

∫ +∞

t0

(t − t0)k2(t)dt < 1.

Atunci, problema la limita

x′′+ f (t,x,x′) = 0, t ≥ t0 ≥ 0,lim

t→+∞x(t) = M

α(t)≤ x′(t)≤ β (t), t ≥ t0,

(5.49)

admite solutie unica.

Demonstratie. Definim distanta d ıntre doua elemente v1 si v2 ale multimii D

prin formula

d(v1,v2) = ‖v1 − v2‖L1((t0,+∞),R)+ζ supt≥t0

|v1(t)− v2(t)|.


Teorema de convergenta dominata (Lebesgue), vezi [19, pp. 20–21], ne asigura ca

spatiul metric S = (D,d) este complet.

Definim operatorul T : D →C([t0,+∞),R) cu formula

T (v)(t) =∫ +∞

tf

(

s,M−∫ +∞

sv(τ)dτ ,v(s)

)

ds, v ∈ D, t ≥ t0.

Restrictia (5.48) arata ca T (D) ⊆ D deoarece M − ∫ +∞(·) v(s)ds ∈ CM pentru orice

v ∈ D.

Afirmatie Operatorul T : D → D este o contractie de coeficient χ .


ζ |T (v2)(t)−T (v1)(t)| ≤ ζ∫ +∞

tk1(s)

∫ +∞

s|v2(τ)− v1(τ)|dτds

+∫ +∞

tk2(s)[ζ |v2(s)− v1(s)|]ds

≤[

ζ∫ +∞

t0

k1(s)ds+∫ +∞

t0

k2(s)ds

]

d(v1,v2)

si

∫ +∞

t|T (v2)(s)−T (v1)(s)|ds ≤

∫ +∞

t(s− t)k1(s)

×∫ +∞

s|v2(τ)− v1(τ)|dτds+

1

ζ

∫ +∞

t(s− t)k2(s)[ζ |v2(s)− v1(s)|]ds

≤[

∫ +∞

t0

(s− t0)k1(s)ds+1

ζ

∫ +∞

t0

(s− t0)k2(s)ds

]

d(v1,v2).

Astfel,

∫ +∞

t|T (v2)(s)−T (v1)(s)|ds+ζ |T (v2)(t)−T (v1)(t)| ≤ χd(v1,v2)

pentru orice v1,2 ∈ D si t ≥ t0, fapt care probeaza Afirmatia.

Notam cu v0(t) punctul fix al operatorului T ın D. Atunci, functia x(t) ≡ M −∫ +∞

t v0(s)ds este solutia cautata.

Corolarul 1 Fie g : [t0,+∞)→ [0,+∞) o functie continua, integrabila ın [t0,+∞) si

astfel ıncat limt→+∞

g(t) = 0. Sa presupunem ca, ın enuntul Teoremei 67, ipoteza (5.38)

este ınlocuita de restrictiile

∫ +∞

tf (s,u(s))ds ≤ g(t), u ∈ XM, t ≥ t0, si

∫ +∞

t0

g(t ′)dt ′ ≤ M.

Atunci, daca functia f (t,x) ındeplineste conditiile (5.39), (5.40), va exista o

solutie x(t) a ecuatiei (5.41) cu alura asimptotica (5.42) astfel ıncat


0 ≤ x′(t)≤ g(t), t ≥ t0.

Demonstratie. Luam α = 0, β = g, k1 = k, k2 = 0 si ζ ∈ (0,1) cu proprietatea

ca

ζ < (1−η)(

∫ +∞

t0

k(t)dt

)−1

. (5.50)

Cum χ = ζ∫ +∞

t0k(t)dt +η < 1, concluzia rezulta din Teorema 69.

A doua demonstratie a Teoremei 68. Vom utiliza Teorema 69. Astfel, fixam

numerele p > 1, ζ ∈ (0,1) pentru care sa aiba loc (5.46), (5.50).

Definim functiile

α(t) =

(

c

p

)λ ∫ +∞

tq(s)ds, β (t) = cλ

∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ t0.

De asemeni, introducem k1 = k, k2 = 0.

Putem scrie ca

∫ +∞

t0

β (t)dt = cλ∫ +∞

t0

(t − t0)q(t)dt ≤ c

∫ +∞

t0

tq(t)dt < c

(

1− 1

p

)

. (5.51)

Conform [36, p. 183], tinand seama de (5.51), dubla inegalitate (5.48) rezulta din

estimarile urmatoare

α(t) =∫ +∞

tq(s)

(

c

p

)λds ≤

∫ +∞

tq(s)

(

c−∫ +∞

sβ (τ)dτ

)λds

≤∫ +∞

tq(s)[u(s)]λ ds =

∫ +∞

tf (s,u(s))ds, u ∈Cc, (aici, M = c ∈ (0,1]!)

≤∫ +∞

tq(s)

(

c−∫ +∞

sα(τ)dτ

)λds ≤ cλ

∫ +∞

tq(s)ds = β (t)


Asadar, prin aplicarea Teoremei 69 stabilim existenta unei solutii cu formula

x(t) ≡ c− ∫+∞t v0(s)ds a problemei la limita (5.49), unde v0 este punctul fix al op-

eratorului T ın D.

Estimarea (5.45) se deduce din (5.51). Intr-adevar,

c

p≤ c

[

1−∫ +∞

t0

(t − t0)q(t)dt

]

≤ c− cλ∫ +∞

t0

∫ +∞

t ′q(s)dsdt ′

≤ c−∫ +∞

tβ (t ′)dt ′ ≤ c−

∫ +∞

tv0(t

′)dt ′ = x(t)≤ c, t ≥ t0.

Demonstratia s-a ıncheiat.


Alt rezultat local priveste solutiile pseudo-liniare ale ecuatiei (5.1), cf. [35, p.

41].

Teorema 70 ([37, Theorem 2.1]) Fie t0 ≥ 1, A,x0 ∈ R, ν ∈ [0,1) si functiile

continue α,β : [t0,+∞) → R astfel ıncat α(t ′) ≤ β (t ′) pentru orice t ′ ≥ t0 si

α(t),β (t) = o(t−ν) cand t →+∞.

Consideram multimea EA,x0ca fiind

EA,x0= u ∈C1([t0,+∞),R) : u(t0) = x0, α(t)≤ u′(t)−A

≤ β (t) pentru orice t ≥ t0

si presupunem ca

α(t)≤∫ +∞

tf (s,u(s))ds ≤ β (t), u ∈ EA,x0

, t ≥ t0,

unde functia continua f : [t0,+∞)×R → R este neliniaritatea ecuatiei (5.41). In

plus,

| f (t,u2(t))− f (t,u1(t))| ≤k(t)

t|u2(t)−u1(t)|

pentru orice u1,2 ∈EA,x0si t ≥ t0. Aici, aplicatia k : [t0,+∞)→ [0,+∞) este continua

si

ϖ =1

1−ν

∫ +∞

t0

k(t)dt < 1. (5.52)


x′′+ f (t,x) = 0, t ≥ t0,x(t0) = x0,x(t) = At +o(t1−ν) cand t →+∞

admite o singura solutie x(t) cu proprietatea ca

α(t)≤ x′(t)−A ≤ β (t), t ≥ t0.

In particular, daca∫ +∞ α(t)dt =+∞, avem lim

t→+∞[x(t)−At] = +∞.

Demonstratie. Definim distanta dintre doua elemente u1 si u2 ale multimii EA,x0

cu formula


tν |u′1(t)−u′2(t)|.

Se observa usor ca spatiul metric S = (EA,x0,d) este complet.

Fie operatorul T : EA,x0→C1([t0,+∞),R) dat de formula


T (u)(t) = x0 +A(t − t0)+

∫ t

t0

∫ +∞

sf (τ ,u(τ))dτds, u ∈ EA,x0

, t ≥ t0.

In mod evident, T (EA,x0)⊆ EA,x0

.

Din estimarile urmatoare, si anume

|[T (u2)]′(t)− [T (u1)]

′(t)| ≤∫ +∞

t

k(s)

s|u2(s)−u1(s)|ds

≤∫ +∞

t

k(s)

s

∫ s

t0

|u′2(τ)−u′1(τ)|dτds

≤∫ +∞

t

k(s)

s

∫ s

t0

dττν ds ·d(u1,u2)

≤ t−ν(

1

1−ν

∫ +∞

t0

k(s)ds

)

d(u1,u2),

putem conclude ca operatorul T este o contractie de coeficient ϖ (reamintim

restrictia (5.52)!). Punctul sau fix ın EA,x0, notat x, este solutia cautata.

Relatiile

x(t) = T (x)(t)≥ x0 +A(t − t0)+∫ t

t0

α(s)ds, t ≥ t0,

ne permit sa stabilim ultima cerinta a teoremei.

Corolarul 2 Fie t0,λ ≥ 1, ν ∈ [0,1) si A > 0. Sa presupunem ca functia continua

q : [t0,+∞)→ [0,+∞) ındeplineste conditiile

λcν(A+ cν)λ−1 < 1−ν si

∫ +∞

t0

tλ q(t)dt <cν

(A+ cν)λ , (5.53)

unde cν =∫ +∞

t0tλ+ν q(t)dt.

Atunci, ecuatia (5.1) admite solutia x(t) cu alura asimptotica x(t) = At +ω(t) =At +o(t1−ν) cand t →+∞, unde

Aλ∫ t

t0

∫ +∞

sτλ q(τ)dτds ≤ ω(t)≤ (A+ cν)

λ∫ t

t0

∫ +∞

sτλ q(τ)dτds


O simplificare a conditiilor (5.53) se gaseste ın ([37, Corollary 2.4]). Pentru o

alta varianta, sa consideram ca(

2− 1λ)

ν < 1.

Afirmatie Conditiile

λ∫ +∞

t0

tλ+(2− 1λ )ν q(t)dt < 1−ν si (A+1)λ < tν

0

implica (5.53).


Intr-adevar, cum λ , t0 ≥ 1, avem

cν ≤ λ tν λ−1

λ0

∫ +∞

t0

tλ+ν q(t)dt ≤ λ∫ +∞

t0

tλ+(2− 1λ )ν q(t)dt < 1−ν < 1,

respectiv

λcν(A+ cν)λ−1 < λcν(A+1)λ−1 ≤ λ t

ν λ−1λ

0

∫ +∞

t0

tλ+ν q(t)dt < 1−ν .

Pentru cea de-a doua dintre restrictiile (5.53), sa observam ca

∫ +∞

t0

tλ q(t)dt ≤ t−ν0

∫ +∞

t0

tλ+ν q(t)dt = t−ν0 cν < cν(A+1)−λ

< cν(A+ cν)−λ .


Demonstratia Corolarului 2. Fie x0 = At0. Introducem aplicatiile

α(t) = Aλ∫ +∞

tsλ q(s)ds, β (t) = (A+ cν)

λ∫ +∞

tsλ q(s)ds,

unde t ≥ t0. Cea de-a doua relatie (5.53) implica β (t)≤ cν ın [t0,+∞). De asemeni,

este evident ca avem α(t),β (t) = o(t−ν) cand t → +∞. Aceasta deoarece β (t) ≤(A+ cν)

λ t−ν ∫ +∞t sλ+ν q(s)ds.

Pentru u ∈ EA,x0putem scrie ca

α(t)≤∫ +∞

tq(s)

(

As+∫ s

t0

α(τ)dτ)λ

ds ≤∫ +∞

tq(s)[u(s)]λ ds

= [T (u)]′(t)−A ≤∫ +∞

tq(s)

(

As+∫ s

t0

β (τ)dτ)λ

ds

≤∫ +∞

tq(s)[(A+ cν)s]

λ ds = β (t), t ≥ t0.

Mai departe, conform teoremei valorii intermediare, avem

| f (t,u2(t))− f (t,u1(t))|= tλ q(t)

∣

∣

∣

∣

∣

(

u2(t)

t

)λ−(

u1(t)

t

)λ∣

∣

∣

∣

∣

≤ λ tλ q(t)

[

1

t

(

At +∫ t

t0

β (s)ds

)]λ−1 |u2(t)−u1(t)|t

≤ λ (A+ cν)λ−1tλ q(t)

t|u2(t)−u1(t)|, u1,2 ∈ EA,x0

,

ın [t0,+∞).


Prima relatie (5.53) implica (5.52) pentru k(t)≡ λ (A+cν)λ−1tλ q(t), daca tinem

cont ca t0 ≥ 1.

Teorema 71 ([38, Theorem 2.3]) Fie t0 ≥ 1, a,b ≥ 0, c ∈ (0,1] si functiile continue

si marginite α,β : [t0,+∞)→ [0,+∞) astfel ıncat α(t ′)≤ β (t ′) pentru orice t ′ ≥ t0.

Introducem multimea Fa,b,c prin

Fa,b,c = u ∈C([t0,+∞),R) : at +b+ t

∫ +∞

t

α(s)

s1+cds ≤ u(t)

≤ at +b+ t

∫ +∞

t

β (s)s1+c

ds pentru orice t ≥ t0

si presupunem ca

α(t)≤ 1

t1−c

∫ t

t0

s f (s,u(s))ds ≤ β (t), u ∈ Fa,b,c, t ≥ t0,

unde functia f : [t0,+∞)×R→ [0,+∞) este continua. In plus,

| f (t,u2(t))− f (t,u1(t))| ≤k(t)

t|u2(t)−u1(t)|

pentru orice u1,2 ∈Fa,b,c si t ≥ t0. Aici, aplicatia k : [t0,+∞)→ [0,+∞) este continua

si

ς =1

c

∫ +∞

t0

k(t)dt < 1. (5.54)


x′′+ f (t,x) = 0, t ≥ t0,x(t)≥ b, t ≥ t0x(t) = at +O(t1−c) cand t →+∞

(5.55)

admite o singura solutie x(t) cu proprietatea ca

α(t)≤ tc

[

x(t)−b

t− x′(t)

]

≤ β (t), t ≥ t0. (5.56)

Demonstratie. Introducem multimea G prin

G = v ∈C([t0,+∞),R : −t−cβ (t)≤ v(t)≤−t−cα(t) pentru orice t ≥ t0.

Distanta dintre doua elemente v1 si v2 ale multimii D are formula

d(v1,v2) = supt≥t0

tc|v1(t)− v2(t)|

iar spatiul metric S = (G,d) este complet.


Definim operatorul T : G →C([t0,+∞),R) pe baza consideratiilor din [39, The-

orem 8]. Mai precis,

T (v)(t) =−1

t

∫ t

t0

s f

(

s,as+b− s

∫ +∞

s

v(τ)τ

dτ)

ds, v ∈ G, t ≥ t0.

Este usor de observat ca T (G)⊆G, caci aplicatia t 7→ at+b−t∫ +∞

tv(s)

sds se gaseste

ın Fa,b,c pentru orice v ∈ G.

Estimarile date de

tc|T (v2)(t)−T (v1)(t)| ≤1

t1−c

∫ t

t0

sk(s)

∫ +∞

s

|v2(τ)− v1(τ)|τ

dτds

≤ 1

ct1−c

∫ t

t0

s1−ck(s)ds ·d(v1,v2)≤1

c

∫ t

t0

k(s)ds ·d(v1,v2)

arata ca operatorul T este o contractie de coeficient ς ın S.

Notand cu v0 punctul sau fix, unde v0 ∈ G, solutia cautata are formula x(t) ≡at +b− t

∫ +∞t

v0(s)s

ds.

Facem observatia ca, ın ipotezele Teoremei 71, daca impunem ca limt→+∞

t1−cα(t)

= limt→+∞

t1−cβ (t) = d ∈ [0,+∞), toate elementele multimii Fa,b,c, deci, ın particular,

solutia problemei (5.55), (5.56), au alura asimptotica u(t) = At +B+o(1) cand t →+∞, unde A = a si B = b+d. In plus,

∫ +∞t0

s f (s,u(s))ds = d pentru orice u ∈ Fa,b,c.

Corolarul 3 Fie t0,λ ≥ 1, a,b≥ 0, c∈ (0,1) si ε ∈ (0,1). Sa presupunem ca functia

continua q : [t0,+∞)→ [0,+∞) ındeplineste conditiile

λ (a+ ε)λ−1Ic < ctc0 si

b

t0+(a+ ε)λ Ic

ctc0

< ε ,

unde Ic =∫ +∞

t0tλ+cq(t)dt.

Atunci, ecuatia (5.1) admite solutia x : [t0,+∞)→ [b,+∞) cu alura asimptotica

x(t) = at +o(t1−c) cand t →+∞ pentru care

aλ · 1

t

∫ t

t0

sλ+1q(s)ds ≤ x(t)−b

t− x′(t)≤ (a+ ε)λ · 1

t

∫ t

t0

sλ+1q(s)ds, t ≥ t0.

In particular,x(t)

t− x′(t) = o(t−c) cand t →+∞.

Demonstratie. Introducem aplicatiile

α(t) =aλ

t1−c

∫ t

t0

sλ+1q(s)ds, β (t) =(a+ ε)λ

t1−c

∫ t

t0

sλ+1q(s)ds, t ≥ t0.


Evident, β (t)≤ (a+ ε)λ Ic ın [t0,+∞) si α(t), β (t) = o(1) cand t →+∞.

Putem scrie ca

α(t) =1

t1−c

∫ t

t0

sq(s) · (as)λ ds

≤ 1

t1−c

∫ t

t0

sq(s)

[

as+b− s

∫ +∞

s

v(τ)τ

dτ]λ

ds

=−tcT (v)(t)

≤ 1

t1−c

∫ t

t0

sq(s)

(

as+b+ s

∫ +∞

s

‖β‖∞

τ1+cdτ)λ

ds

≤ 1

t1−c

∫ t

t0

sq(s)

[(

a+b

t0+

(a+ ε)λ Ic

ctc0

)

s

]λ

ds

≤ 1

t1−c

∫ t

t0

sλ+1q(s)(a+ ε)λ ds = β (t), v ∈ D, t ≥ t0,

respectiv

| f (t,u2(t))− f (t,u1(t))| ≤ λ tλ q(t)

1

t

[

at +b+ t

∫ +∞

t

β (s)s1+c

ds

]λ−1

×|u2(t)−u1(t)|t

≤ λ tλ q(t)(a+ ε)λ−1 |u2(t)−u1(t)|t

≤ λ (a+ ε)λ−1

tc0

·[

tλ+cq(t)]

· |u2(t)−u1(t)|t

=k(t)

t|u2(t)−u1(t)|

pentru orice u1,2 ∈ Fa,b,c si t ≥ t0.

Pentru o varianta a Corolarului 3, vezi [37, Theorem 1.7]. O serie de explicatii

privind acest tip de rezultate sunt date ın [35, Capitolul 2]. Solutia x(t) a ecuatiei

(5.1) descrisa ın Corolarul 3 verifica, ın mod evident, inegalitatea

x′(t)<x(t)

t, t > t0. (5.57)

In schimb, o asemenea estimare nu rezulta automat pentru solutia x(t) data la Coro-

larul 2. Mai precis, avem

x(t)

t= A+

1

t

∫ t

t0

∫ +∞

sq(τ)[x(τ)]λ dτds

= A+

∫ +∞

tq(τ)[x(τ)]λ dτ +

1

t

∫ t

t0

sq(s)[x(s)]λ ds− t0

t

∫ +∞

t0

q(τ)[x(τ)]λ dτ

= x′(t)+o(1) cand t →+∞,

Observam ca, fiind data functia continua i : [t0,+∞)→ [0,+∞), integrabila ın intervalul (t0,+∞),lim

t→+∞1

tδ

∫ tt0

sδ i(s)ds = 0 pentru orice δ ∈ (0,1). Aici, i(t) = tλ+cq(t), t ≥ t0, si δ = 1− c.


conform [35, Eq. (2.43)].

O teorema generala, de tip Hale–Onuchic, privind existenta solutiilor unei ecuatii

diferentiale neliniare care satisfac inegalitatea (5.57) poate fi citita ın [35, p. 59].

Rezultatul urmator constituie o adaptare a acesteia pentru ecuatia (5.1).

Teorema 72 Fie t0,λ ≥ 1 si c ≥ 0, d > 0 astfel ıncat

max

λ (c+d)λ−1,(c+d)λ

d

·∫ +∞

t0

tλ q(t)dt < 1,

unde functia q : [t0,+∞) → [0,+∞) este continua si are (eventual) zerouri izolate.

Atunci, ecuatia (5.1) admite solutia x(t) definita ın [t0,+∞) cu proprietatea ca

c−d ≤ x′(t)<x(t)

t≤ c+d, t > t0.

In plus, solutia are alura asimptotica x(t) = ct +o(t) cand t →+∞.

Demonstratie. Fie S = (D,d) spatiul metric complet dat de formulele

D = u ∈C([t0,+∞),R) : ct ≤ u(t)≤ (c+d)t pentru orice t ≥ t0

si


|u1(t)−u2(t)|t

, u1,2 ∈ D.

Pentru operatorul T : D →C([t0,+∞),R) cu formula

T (u)(t) = t

c+∫ +∞

t

1

s2

∫ s

t0

τq(τ)[u(τ)]λ dτds

, u ∈ D, t ≥ t0,

au loc estimarile

c ≤ T (u)(t)

t= c+

∫ +∞

t

1

s2

∫ s

t0

τλ+1q(τ)[

u(τ)τ

]λdτds

≤ c+(c+d)λ∫ +∞

t

1

s2

∫ s

t0

τλ+1q(τ)dτds

≤ c+(c+d)λ[

1

t

∫ t

t0

τλ+1q(τ)dτ +∫ +∞

tτλ q(τ)dτ

]

≤ c+(c+d)λ∫ +∞

t0

τλ q(τ)dτ < c+d

si

|T (u2)(t)−T (u1)(t)|t


≤∫ +∞

t

1

s2

∫ s

t0

τλ+1q(τ)

∣

∣

∣

∣

∣

(

u2(τ)τ

)λ−(

u1(τ)τ

)λ∣

∣

∣

∣

∣

dτds

≤∫ +∞

t

1

s2

∫ s

t0

τλ+1q(τ)[

λ (c+d)λ−1] |u2(τ)−u1(τ)|

τdτds

≤ λ (c+d)λ−1

[

1

t

∫ t

t0

τλ+1q(τ)dτ +∫ +∞

tτλ q(τ)dτ

]

d(u1,u2)

≤ λ (c+d)λ−1∫ +∞

t0

τλ q(τ)dτ ·d(u1,u2) = ϑ ·d(u1,u2).

Acestea arata ca T (D)⊆ D, respectiv T : S → S este o contractie de coeficient ϑ .

Notand cu x, unde x ∈ D, punctul fix al operatorului T , putem scrie ca

x′(t) = [T (x)]′(t) =x(t)

t− 1

t

∫ t

t0

τq(τ)[x(τ)]λ dτ <x(t)

t

si

x′(t)≥ c− 1

t

∫ t

t0

τq(τ)[x(τ)]λ dτ ≥ c− (c+d)λ∫ t

t0

τλ q(τ)dτ

pentru orice t > t0.

Pentru a da o aplicatie Teoremei 72, sa consideram ecuatia eliptica semiliniara

∆u+ f (x,u)+g(|x|)x ·∇u = 0, |x|> A > 0, ın Rn, n ≥ 3. (5.58)

Folosind notatia GA = x ∈ Rn : |x|> A, presupunem, ın acord cu [41, 12, 18],

ca functia f : GA ×R→R este local Holder continua iar g : [A,+∞)→ [0,+∞) este

de clasa C1. De asemeni, avem

0 ≤ f (x,u)≤ a(|x|)u, x ∈ GA, u ∈ [0,ε ],

pentru un anumit ε > 0. Aici, functia a : [A,+∞)→ [0,+∞) este continua si

∫ +∞ta(t)dt <+∞.

Conform detaliilor din [38, Section 3], [14, Theorem 1] sau [35, p. 46], daca

u2(x) este o solutie radial simetrica pozitiva a ecuatiei eliptice liniare

∆u+a(|x|)u = 0, |x|> A, (5.59)

astfel ıncat x ·∇u2(x)≤ 0 ın GA iar u1(x) este o solutie radial simetrica nenegativa a

ecuatiei eliptice liniare

∆u+g(|x|)x ·∇u = 0, |x|> A, (5.60)


satisfacand inegalitatea u1(x) ≤ u2(x) ın GA, ecuatia (5.58) va admite o solutie, nu

neaparat radial simetrica, pentru care

u1(x)≤ u(x)≤ u2(x), |x|> A.

Introducand marimile u1,2(x) =h1,2(s)

s, unde

|x|=(

s

n−2

) 1n−2

= β (s),

existenta solutiei u2 a ecuatiei (5.59) presupune existenta solutiei h2(s) a ecuatiei

h′′+β (s)β ′(s)(n−2)s

a(β (s))h = 0, s ≥ s0 ≥ 1, (aici, β (s0)> A)

astfel ıncat, ın [s0,+∞),

ρC ≤ h′(s)<h(s)

s≤C pentru C ∈ (0,ε), ρ ∈ (0,1) date. (5.61)

Cum

∫ +∞

s0

s

[

β (s)β ′(s)(n−2)s

a(β (s))]

ds =1

n−2

∫ +∞

β (s0)τa(τ)dτ <+∞,

ne gasim ın ipotezele Teoremei 72. Asadar, exista supersolutia u2(x) a ecuatiei

(5.58).

La randul sau, problema existentei subsolutiei u1(x) care verifica ecuatia (5.60)

se reduce la aceea a existentei solutiei nenegative h1(s) a ecuatiei

h′′+ k(s)

(

h′− h

s

)

= 0, s ≥ s0,

unde k(s) ≡ β (s)β ′(s)g(β (s)) este o functie continua nenegativa. Fixand h0 ∈(0,s0ρC) – vezi (5.61), putem scrie ca

h1(s) = s

(

h0

s0+∫ s

s0

H(τ)τ2

dτ)

, H(τ) =−exp

(

−∫ τ

s0

k(ξ )dξ)

pentru orice s ≥ τ ≥ s0. Astfel,

h0 −1

s0≤ h1(s)

s≤ h0

s0, s ≥ s0.

In concluzie, am stabilit ca ecuatia (5.58) admite o solutie u marginita cu propri-

etatea ca


h0 −1

s0≤ u(x)≤C, x ∈ Gβ (s0).

Pentru alte detalii, vezi [38].

5.5 Criteriul de oscilatie al lui P. Waltman. Observatia lui J.S.W.

Wong

In 1965, P. Waltman [50, Theorem] stabileste oscilatia ecuatiei (5.1) — cazul

λ = 2n−1, unde n≥ 2 este numar natural — fara a impune restrictii de semn asupra

coeficientului functional q(t). Metoda sa functioneaza aproape fara modificari pe o

clasa mult mai larga de ecuatii diferentiale neliniare, cf. [51, p. 724].

Fie ecuatia diferentiala

x′′+a(t) f (x)g(x′) = 0, t ≥ t0 ≥ 0, (5.62)

unde functia f : R → R este de clasa C1, monoton nedescrescatoare si satisfacand

conditia de semn

x f (x)> 0 pentru orice x 6= 0, (5.63)

iar functia g : R→ (0,+∞) este continua.

Teorema 73 (Waltman, 1965, Wong, 1966, cf. [50, 51]) Daca functia continua a :

[t0,+∞)→ R are proprietatea ca

∫ +∞

t0

a(t)dt =+∞, (5.64)


Demonstratie. Sa presupunem ca, prin absurd, solutia x(t) a ecuatiei (5.62) este

pozitiva ın [t0,+∞).Putem scrie ca

−∫ t

t0

a(s)ds =∫ t

t0

x′′(s)f (x(s))g(x′(s))

ds =∫ t

t0

1

f (x(s))· d

ds

[

∫ x′(s)

0

du

g(u)

]

ds

=G(x′(t))f (x(t))

− G(x′(t0))f (x(t0))

+∫ t

t0

G(x′(s))f ′(x(s))x′(s)[ f (x(s))]2

ds, t ≥ t0, (5.65)

unde

G(α) =∫ α

0

du

g(u), α ∈ R.

5.5 Criteriul de oscilatie al lui P. Waltman. Observatia lui J.S.W. Wong 165

Cum αG(α) ≥ 0 si f ′(β ) ≥ 0 pentru orice α,β ∈ R, integrala din (5.65) este

nenegativa ın [t0,+∞). Astfel, pe baza (5.64), inegalitatea

G(x′(t))f (x(t))

≤−∫ t

t0

a(s)ds+ constant

ne conduce la

limt→+∞

G(x′(t))f (x(t))

=−∞, (5.66)

deci, ın particular, la faptul ca functia x′ este eventual negativa. Vom lua x′(t)< 0 ın

[T0,+∞), unde T0 ≥ t0.

Afirmatie ([50, p. 440], [51, p. 725]) Au loc relatiile

limt→+∞

x(t) = 0, limsupt→+∞

x′(t) = 0. (5.67)

Cum solutia x(t) este pozitiva, eventual negativitatea derivatei sale implica

limt→+∞

x(t) = l ∈ [0,+∞). Daca, prin absurd, l > 0, atunci limt→+∞

x′(t) =−∞, conform

(5.66) .

Sa admitem ca exista M > 0 si t1 ≥ T0 astfel ıncat

x′(t)≤−M, t ≥ t1. (5.68)

Observam ca estimarea (5.68) include si negatia celei de-a doua relatii (5.67).

In mod evident, integrand (5.68),

x(t)≤ x(t1)−M(t − t1), t ≥ t1,

de unde limt ′→+∞

x(t ′) =−∞, o contradictie. Afirmatia este probata.

A doua relatie (5.67) implica existenta numarului natural N ≥ 1 si a numarului

real TN > T0 pentru care x′(TN) = − 1N

. In mod inductiv, introducem sirul (Ti)i≥N ,

nemarginit superior, caracterizat prin

x′(Ti) =−1

isi x′(t)<− 1

i+1pentru t ∈ [Ti,Ti+1).

Rescriind ecuatia (5.62) sub forma

x′′

g(x′(t))=−a(t) f (x(t)), t ≥ T1,

deducem ca

In ipoteza ca∫ 0−∞

dug(u) <+∞, avem lim

t→+∞f (x(t)) = 0. Aplicatia f are, data fiind conditia de semn

(5.63), un singur zero, mai precis f (0) = 0. De aici rezulta prima dintre relatiile (5.67).


G(x′(Ti))−G(x′(t)) =∫ Ti

tf (x(s)) · d

ds

[

∫ Ti

sa(τ)dτ

]

ds

=− f (x(t))

∫ Ti

ta(τ)dτ −

∫ Ti

tf ′(x(s))x′(s)

[

∫ Ti

sa(τ)dτ

]

ds

ın [Ti−1,Ti], unde i ≥ N +1.

Am ajuns la urmatoarea ecuatie integrala liniara

y(t) = ψi(t)+∫ Ti

tχ(s)y(s)ds, t ∈ [Ti−1,Ti], (5.69)

unde

y(t) = f (x(t))∫ Ti

ta(τ)dτ , ψi(t) = G(x′(t))−G(x′(Ti)) (5.70)

si

χ(t) =− f ′(x(t))x′(t)f (x(t))

.

Functia G este crescatoare, deci ψi(t)< 0 ın [Ti−1,Ti) pentru orice i ≥ N +1. De

asemeni, χ(t)≥ 0 ın [TN ,+∞).Solutia ecuatiei (5.69) are formula

yi(t) = ψi(t)+∫ Ti

tψi(s)χ(s)exp

(

∫ s

tχ(τ)dτ

)

ds, t ∈ [Ti−1,Ti],

si, ın plus, yi(t) < 0 ın [Ti−1,Ti). Acest fapt arata ca, daca tinem seama de formula

lui yi(t) din (5.70), avem estimarea

yi(Ti−1)

f (x(Ti−1))=

∫ Ti

Ti−1

a(s)ds < 0, i ≥ N +1. (5.71)

Din (5.71) rezulta ca

∫ +∞

TN

a(s)ds =+∞

∑i=N+1

∫ Ti

Ti−1

a(s)ds ≤ 0,

adica o contradictie.

5.6 Perturbatia ecuatiei (5.62). Teorema lui H. Teufel, Jr. Un

rezultat Staikos–Philos

Sa consideram perturbatia ecuatiei (5.62) data de ecuatia diferentiala neliniara

5.6 Perturbatia ecuatiei (5.62). Teorema lui H. Teufel, Jr. Un rezultat Staikos–Philos 167

x′′+F(t,x,x′) = f (t), t ≥ t0 ≥ 0, (5.72)

unde fortajul f : [t0,+∞)→R este continuu iar neliniaritatea continua F : [t0,+∞)×R

2 → R ındeplineste conditia

0 < A(t)xN(x)≤ xF(t,x,y) pentru orice t ≥ t0, x 6= 0, y ∈ R. (5.73)

Aici, functia A : [t0,+∞)→ (0,+∞) este continua si functia N :R→R este continua

si monoton nedescrescatoare.

O conditie tehnica leaga ıntre ele functiile A si f . Mai precis, exista numerele

δ ,∆ > 0 si sirul (In)n≥1 de subintervale disjuncte ale lui [t0,+∞), unde In = [tn −∆ , tn +∆ ] si tn+1 − tn > ∆ , pentru care

f (t)<−δ cand t ∈ I2n−1, (5.74)

respectiv

f (t)> δ cand t ∈ I2n (5.75)

si

∫ t

t0

f (s)ds = o

(

∫

I(t)A(s)ds

)

pentru t →+∞, (5.76)

unde I(t) = [t0, t]∩⋃

m≥1

Im.

Lungimea intervalelor In fiind 2∆ , un caz particular de dublet (A, f ) este format

de A(t) ≡ 1 ımpreuna cu orice functie continua f cu supt≥t0

∣

∣

∣

∫ tt0

f (s)ds

∣

∣

∣

< +∞ care

verifica (5.74), (5.75), vezi [48, Theorem 1].

Teorema 74 (Teufel Jr., 1972, cf. [48, Theorem 2]) Daca perechea (A, f ) satisface

conditiile (5.74)–(5.76) si

∫

⋃

n≥1In

A(t)dt =+∞, ♯


Demonstratie. Presupunem ca, prin absurd, exista solutia x a ecuatiei (5.72) cu

x(t)> 0 ın [t0,+∞). Apar doua situatii:

(A) exista ε0 > 0 astfel ıncat x(t) > ε0 pentru orice t ∈ J2n−1, unde Jn =[

tn − ∆2, tn

+ ∆2

]

, si n ≥ 1;

♯Observam ca aceasta conditie implica∫ +∞

t0A(t)dt =+∞. Conform Teoremei 73, cazul particular

al ecuatiei (5.72) dat de (5.62) este o ecuatie oscilatorie. Asadar, teorema lui H. Teufel Jr. descrie

o situatie ın care o ecuatie oscilatorie ramane, ın urma unui fortaj oscilatoriu, oscilatorie. Vezi si

discutia de la Teorema 19.


(B) pentru orice ε > 0 exista numarul natural nε ≥ 1 si numarul t⋆ ∈ J2nε−1 astfel

ıncat 0 < x(t⋆)≤ ε .

(A). Pe baza (5.73), ecuatia (5.72) implica

x′′(t)+N(ε0)A(t)≤ x′′(t)+A(t)N(x(t))≤ f (t), t ≥ t0,

respectiv

x′(t)− x′(t0) ≤∫ t

t0

f (s)ds−N(ε0)

∫ t

t0

A(s)ds

≤∫ t

t0

f (s)ds−N(ε0)∫

I(t)A(s)ds

=

∫

I(t)A(s)ds · [−N(ε0)+o(1)] cand t →+∞.

In particular, limt→+∞

x′(t) = −∞, de unde, via regula lui L’Hopital, rezulta ca solutia

x(t) este eventual negativa, o contradictie.

(B). Fixam ε ∈(

0, 18δ∆ 2

)

. Are loc inegalitatea

x′′(t)<−δ , t ∈ I2nε−1.

De asemeni, sa presupunem ca x′(t⋆) ≤ 0. Prin integrare pe [t⋆, t], unde t ≤t2nε−1 +∆ , obtinem ca

x′(t)≤ x′(t)− x′(t⋆)≤−δ (t − t⋆),

respectiv

x(t)≤ x(t⋆)− 1

2δ (t − t⋆)2. (5.77)

Pentru t = t2nε−1 +∆ , relatia (5.77) implica

x(t2nε−1 +∆)≤ ε − 1

2δ (t2nε−1 +∆ − t⋆)2 ≤ ε − 1

8δ∆ 2 < 0,

o contradictie.

Daca x′(t⋆)> 0, ın mod analog, deducem ca

0 <(

x′(t⋆)≤)

x′(t)−δ (t⋆− t),

respectiv

1

2δ (t⋆− t)2 ≤ x(t⋆)− x(t)< x(t⋆) (5.78)

pentru orice t ∈ [t2nε−1 −∆ , t⋆]. Facand t = t2nε−1 −∆ ın (5.78), ajungem la


1

8δ∆ 2 ≤ 1

2δ (t⋆− t2nε−1 +∆)< x(t⋆)≤ ε ,

o contradictie.

In rezultatul urmator, oscilatia suficient de puternica a unei perturbatii produce

solutii oscilatorii chiar daca ecuatia neperturbata nu este oscilatorie.

Fie functia continua h : [t0,+∞)→R astfel ıncat∫ +∞

t|h(t)|dt <+∞. Introducem

functia H : [t0,+∞)→ R cu formula

H(t) =∫ +∞

t(s− t)h(s)ds, t ≥ t0,

si marimea ‖H‖= supt≥γ

|H(t)| pentru γ > t0 fixat.

Consideram ecuatia diferentiala neliniara

x′′+ f (t,x) = h(t), t ≥ t0 ≥ 0, (5.79)

unde f : [t0,+∞)×R→ R este continua si presupunem ca exista numarul R > ‖H‖astfel ıncat

∫ +∞

t0

ϕ(t)dt <+∞, ϕ(t) = sup|v|≤R

∫ +∞

t| f (τ ,v)|dτ

, t ≥ t0.

De asemeni, introducem functia Φ : [t0,+∞)→ [0,+∞) cu formula

Φ(t) =∫ +∞

tϕ(s)ds, t ≥ t0.

Teorema 75 ([40, Theorem 3.1]) Fie ε ∈ (0,R−‖H‖). Daca avem

liminft→+∞

H(t)

Φ(t)<−1 si limsup

t→+∞

H(t)

Φ(t)> 1, (5.80)

atunci exista T (ε) > γ , o solutie x(t) a ecuatiei (5.79) definita ın [T (ε),+∞), un

numar natural N(ε) ≥ 1 si doua siruri crescatoare divergente (sn)n≥1 si (tn)n≥1

pentru care

x(sn)< 0 si x(tn)> 0, n ≥ N(ε). (5.81)


x(t) = 0 si

|x(t)−H(t)|< ε , t ≥ T (ε).

Demonstratie. Fie T (ε)> γ cu proprietatea ca Φ(t)< ε ın [T (ε),+∞).Luam multimea C = u ∈ X2(T (ε);1) : ‖u−H‖ < ε si definim operatorul T :

C → X2(T (ε);1) cu ajutorul formulei


T (u)(t) = H(t)−∫ +∞

t(s− t) f (s,u(s))ds, u ∈C, t ≥ T (ε).

Se observa usor ca

|T (u)(t)−H(t)| ≤∫ +∞

tsup

|v|≤‖H‖+ε

∫ +∞

s| f (τ ,v)|dτ

ds

≤∫ +∞

tϕ(s)ds = Φ(t)< ε , (5.82)

de unde T (C)⊆C.

Urmand pasii din [35, pp. 52–55], stabilim, via teorema Schauder-Tikhonov,

existenta unui punct fix x ∈C al operatorului T .

Mai departe, ipoteza (5.80) implica existenta sirurilor crescatoare divergente

(sn)n≥1, (tn)n ≥ 1 astfel ıncat

H(sn)+Φ(sn)< 0 si H(tn)−Φ(tn)> 0, n ≥ 1. (5.83)

In plus, avem numarul natural N(ε)≥ 1 pentru care sn, tn ≥ T (ε) cand n ≥ N(ε).Combinand (5.82), adica

|x(t)−H(t)|= |T (x)(t)−H(t)| ≤ Φ(t),

cu (5.83), ajungem la (5.81).

In cazul liniar, putem ınlocui ipotezele (5.80) cu conditii foarte simple.

Corolarul 4 ([40, Corollary 3.3]) Fie functiile a,b : [t0,+∞)→ R continue cu pro-

prietatea ca

∫ +∞

t0

t2|a(t)|dt <+∞,∫ +∞

t0

t|b(t)|dt <+∞.

Daca

liminft→+∞

∫ +∞t (s− t)b(s)ds∫ +∞

t (s− t)|a(s)|ds=−∞ si limsup

t→+∞

∫ +∞t (s− t)b(s)ds∫ +∞

t (s− t)|a(s)|ds=+∞,

atunci ecuatia diferentiala liniara

x′′+a(t)x = b(t), t ≥ t0 ≥ 1, (5.84)

admite solutia oscilatorie x(t) cu limt ′→+∞

x(t ′) = 0.

In plus ♣, pentru orice c1,2 ∈ R, ecuatia (5.84) admite solutia y(t) cu alura

asimptotica data de y(t ′) = c1t ′+ c2 +o(1) cand t ′ →+∞.

♣De fapt, Teorema 75 cere doar∫ +∞

t|a(t)|dt <+∞!


Demonstratie. Existenta solutiei asimptotic liniare y(t), vezi [35, p. 41], este

stabilita conform analizei din [4, p. 114]. Vezi si abordarea din [35, p. 29].

Rezultate generale privind influenta perturbatiilor ın chestiunea oscilatiilor se

gasesc ın [28, 29, 46, 30, 20].

Teorema 76 (Staikos, Philos, 1978, cf. [46, Theorem 1]) Consideram functiile a,b :

[t0,+∞)→ R continue cu proprietatea ca

∫ +∞

t0

t|a(t)|dt <+∞ si

∫ +∞

t0

t|b(t)|dt <+∞.

Daca x(t) este o solutie oscilatorie marginita ♦ a ecuatiei diferentiale neliniare

x′′+a(t)F(x) = b(t), t ≥ t0 ≥ 0, (5.85)

unde functia F : R→ R este continua, atunci

limt→+∞

x(t) = limt→+∞

x′(t) = 0.

Demonstratie. Solutia x(t) fiind oscilatorie, derivata sa x′ este oscilatorie.

Notand cu (tn)n≥1 un sir de zerouri ale functiei x′, putem scrie ca (t < tn)

−x′(t)+∫ tn

ta(s)F(x(s))ds = x′(tn)− x′(t)+

∫ tn

ta(s)F(x(s))ds

=

∫ tn

tb(s)ds,

respectiv

|x′(t)| ≤∫ tn

t|a(s)|ds · ‖F x‖∞ +

∫ tn

t|b(s)|ds

≤ ‖F x‖∞

∫ +∞

t|a(s)|ds+

∫ +∞

t|b(s)|ds (5.86)

= o(1) cand t →+∞.

Mai departe, fie (vn)n≥1 un sir de zerouri ale solutiei x. Pe baza (5.86) deducem

ca (t < vn)

|x(t)| = |x(vn)− x(t)| ≤∫ vn

t|x′(s)|ds

≤ ‖F x‖∞

∫ +∞

t(s− t)|a(s)|ds+

∫ +∞

t(s− t)|b(s)|ds,

ceea ce ıncheie demonstratia.

Exista si alta demonstratie a rezultatului Staikos–Philos. Ea decurge din Lema

urmatoare.

♦Teorema 75 da conditii pentru existenta unei asemenea solutii.


Lema 20 In ipotezele Teoremei 76, orice solutie marginita a ecuatiei (5.85) satis-

face relatiile

limt→+∞

x′(t) = 0 si limt→+∞

x(t) ∈ R.

Demonstratie. Adaptam tehnica din [22]. Astfel, pentru t ′ ≥ t ≥ t0, avem

|x′(t ′)− x′(t)| ≤∫ t ′

t|x′′(s)|ds

≤ ‖F x‖∞

∫ +∞

t|a(s)|ds+

∫ +∞

t|b(s)|ds.

Criteriul Bolzano-Cauchy ne asigura ca limt→+∞

x′(t) = c ∈ R. Via regula lui

L’Hopital, obtinem c = 0 (solutia x(t) este marginita!).

Integrand ecuatia (5.85), putem scrie ca

x′(t) =∫ +∞

ta(s)F(x(s))ds−

∫ +∞

tb(s)ds,

ceea ce implica (5.86).

O noua integrare ne conduce la

|x(t ′)− x(t)| ≤ ‖F x‖∞

∫ +∞

ts|a(s)|ds+

∫ +∞

ts|b(s)|ds.

Concluzia rezulta prin aplicarea criteriului Bolzano-Cauchy.

Teorema 77 ([46, Theorem 3]) Presupunem ca sunt valabile ipotezele Teoremei 76.

Daca exista K > 0 astfel ıncat

|F(x)| ≤ K|x|, x ∈ R,

atunci orice solutie nemarginita este neoscilatorie.

Demonstratie. Presupunem ca, prin absurd, solutia nemarginita x(t) este oscila-

torie. Atunci, exista sirurile (tn)n≥1, (vn)n≥1 crescatoare si divergente pentru care

x(vn) = x′(tn) = 0, tn ∈ (vn,vn+1),

respectiv

|x(tn)|= maxs∈[vn,vn+1]

|x(s)|, limm→+∞

|x(tm)|=+∞.

Reluand calculul anterior, putem scrie ca

|x′(t)| ≤ K maxs∈[vn,tn]

|x(s)|∫ tn

t|a(τ)|dτ +

∫ tn

t|b(τ)|dτ ,


respectiv

|x(t)| ≤ K maxs∈[vn,tn]

|x(s)|∫ t

vn

∫ tn

ξ|a(τ)|dτdξ +

∫ t

vn

∫ tn

ξ|b(τ)|dτdξ

≤ K maxs∈[vn,tn]

|x(s)|∫ +∞

vn

(τ − vn)|a(τ)|dτ +∫ +∞

vn

(τ − vn)|b(τ)|dτ

≤ K maxs∈[vn,vn+1]

|x(s)|∫ +∞

vn

τ |a(τ)|dτ +∫ +∞

vn

τ |b(τ)|dτ

pentru orice t ∈ [vn, tn].Fixam numarul natural N ≥ 1 astfel ca

∫ +∞

vn

τ |a(τ)|dτ <1

2K,

∫ +∞

vn

τ |b(τ)|dτ <1

2, n ≥ N.

Atunci, |x(tn)|= maxs∈[vn,tn]

|x(s)|= maxs∈[vn,vn+1]

|x(s)|< 1 pentru orice n ≥ N, o contra-

dictie.


1. Agarwal, R.P., Grace, S.R., O’Regan, D.: Oscillation theory for second order linear, half-

linear, superlinear and sublinear differential equations. Kluwer, Dordrecht (2002)

2. Atkinson, F.V.: On second order nonlinear oscillation. Pacific J. Math. 5, 643–647 (1955)

3. Avramescu, C.: Sur l’existence des solutions pour un probleme aux limites general. Ann. Mat.

Pura Appl. 82, 69–82 (1969)

4. Bellman, R.: Stability theory of differential equations. McGraw–Hill, New York (1953)

5. Belohorec, S.: Monotone and oscillatory solutions of a class of nonlinear differential equa-

tions. Mat. Casopis 19, 169–187 (1969)

6. Brauer, F.: Some stability and perturbation problems for differential and integral equations.

I.M.P.A., Monogr. Mat. 25, Rio de Janeiro (1976)

7. Burton, T.A.: Stability and periodic solutions of ordinary and functional differential equations.

Academic Press, New York (1985)

8. Cecchi, M., Marini, M., Zezza, P.L.: Boundary value problems for nonlinear differential

equations on non-compact intervals. In: Mottoni, P., Salvadori, L. (Ed.) ”Nonlinear differ-

ential equations. Invariance, stability, and bifurcation”, pp. 85–96. Academic Press, New York

(1981)

9. Coffman, C.V., Wong, J.S.W.: Oscillation and nonoscillation theorems for second order ordi-

nary differential equations. Funkc. Ekvac. 15, 119–130 (1972)

10. Coffman, C.V., Wong, J.S.W.: Oscillation and nonoscillation of solutions of generalized

Emden–Fowler equations. Trans. Amer. Math. Soc. 167, 399–434 (1972)

11. Constantin, A.: Global existence of solutions for perturbed differential equations. Ann. Mat.

Pura Appl. 168, 237–299 (1995)

12. Constantin, A.: Positive solutions of quasilinear elliptic equations. J. Math. Anal. Appl. 213,

334–339 (1997)

13. Coppel, W.A.: Stability and asymptotic behavior of differential equations. D.C. Heath &

Comp., Boston (1965)

14. Djebali, S., Moussaoui, T., Mustafa, O.G.: Positive evanescent solutions of nonlinear elliptic

equations. J. Math. Anal. Appl. 333, 863–870 (2007)

15. Dube, S.G., Mingarelli, A.B.: Note on a non-oscillation theorem of F.V. Atkinson. Electr. J.

Differential Equations 22, 1–6 (2004)

16. Eastham, M.S.P.: The asymptotic solution of linear differential systems. Applications of the

Levinson Theorem. Clarendon Press, Oxford (1989)

17. Edelson. A.L., Schuur, J.D.: Asymptotic and strong asymptotic equivalence to polynomials

for solutions of nonlinear differential equations. In: ”Equadiff 82”, pp. 157–160. Lect. Notes.

Math. 1017, Springer-Verlag, Berlin (1983)

18. Ehrnstrom, M.: Positive solutions for second-order nonlinear differential equations. Nonlinear

Anal. TMA 64, 1608–1620 (2006)

175



Raton (1992)

20. Graef, J.R., Grammatikopoulos, M.K., Kitamura, Y., Kusano, T., Onose, H., Spikes, P.W.:

Nonoscillation theorems for functional differential equations of arbitrary order. Internat. J.

Math. & Math. Sci. 7, 249–256 (1984)

21. Graef, J.R., Grammatikopoulos, M.K., Spikes, P.W.: On the decay of oscillatory solutions of

a forced higher order functional differential equation. Math. Nachr. 117, 141–153 (1984)

22. Grammatikopoulos, M.K., Kulenovic, M.R.: On the nonexistence of L2–solutions of n–th or-

der differential equations. Proc. Edinburgh Math. Soc. 24, 131–136 (1981)

23. Hale, J.K., Onuchic, N.: On the asymptotic behavior of solutions of a class of differential

equations. Contributions Diff. Eqns. 2, 61–75 (1963)

24. Hara, T., Yoneyama, T., Sugie, J.: Continuation results for differential equations by two Lia-

punov functions. Ann. Mat. Pura Appl. 133, 79–92 (1983)


26. Kartsatos, A.G.: The Leray–Schauder theorem and the existence of solutions to boundary

value problems on infinite intervals. Indiana Univ. Math. J. 23, 1021–1029 (1974)


(1980)

28. Kartsatos, A.G.: On the maintenance of oscillations of nth order equations under the effect of

a small forcing term. J. Differential Equations 10, 355–363 (1971)

29. Kartsatos, A.G.: Recent results on oscillations of solutions of forced and perturbed nonlinear

differential equations of even order. In: ”Stability of dynamical systems. Theory and applica-

tions”, pp. 17–72. Proc. Reg. Conf. Mississippi State Univ. 1975. Marcel Dekker, New York

(1977)

30. Kartsatos, A.G.: The oscillation of a forced equation implies the oscillation of the unforced

oscillation–small forcing. J. Math. Anal. Appl. 76, 98–106 (1980)

31. Kiguradze, I.T., Chanturia, T.A.: Asymptotic properties of solutions of nonautonomous ordi-

nary differential equations. Kluwer, Dordrecht (1993)

32. LaSalle, J., Lefschetz, S.: Stability by Liapunov’s direct method. Academic Press, New York

(1961)

33. Moore, R.A., Nehari, Z.: Nonoscillation theorems for a class of nonlinear differential equa-

tions. Trans. Amer. Math. Soc. 93, 30–52 (1959)

34. Moroney, R.M.: Note on a theorem of Nehari. Proc. Amer. Math. Soc. 13, 407–410 (1962)




36. Mustafa, O.G.: Positive solutions of nonlinear differential equations with prescribed decay of

the first derivative. Nonlinear Anal. TMA 60, 179–185 (2005)

37. Mustafa, O.G., Rogovchenko, Yu.V.: A note on asymptotic integration of second order non-

linear differential equations. Bol. Soc. Mat. Mexicana 12, 207–213 (2006)

38. Mustafa, O.G., Rogovchenko, Yu.V.: Positive solutions of second-order differential equations

with prescribed behavior of the first derivative. In: Agarwal, R.P., Perera, K. (Ed.) Proc. Conf.

Differential&Difference Eqns. Appl. (Melbourne, Florida, August 1–5, 2005), pp. 835–842.

Hindawi Publ. Corp., New York (2007)

39. Mustafa, O.G.: On the existence of solutions with prescribed asymptotic behaviour for per-

turbed nonlinear differential equations of second order. Glasgow Math. J. 47, 177–185 (2005)

40. Mustafa, O.G., Rogovchenko, Yu.V.: Oscillation of second-order perturbed differential equa-

tions. Math. Nachr. 278, 460–469 (2005)

41. Noussair, E.S., Swanson, C.A.: Positive solutions of quasilinear elliptic equations in exterior

domains. J. Math. Anal. Appl. 75, 121–133 (1980)

42. Potter, R.L.: On self-adjoint differential equations of second order. Pacific J. Math. 3, 467–491

(1953)

43. Sansone, G., Conti, R.: Non–linear differential equations. Pergamon Press, Oxford (1964)

44. Schuur, J.D.: A class of nonlinear ordinary differential equations which inherit linear-like

asymptotic behavior. Nonlinear Anal. TMA 3, 81–86 (1979)


45. Schuur, J.D.: Qualitative behavior of ordinary differential equations of the quasilinear and re-

lated types. In: Lakshmikantham, V. (Ed.) ”Nonlinear phenomena in mathematical sciences”,

pp. 911–915. Academic Press, New York (1982)

46. Staikos, V.A., Philos, C.G.: Non-oscillatory phenomena and damped oscillations. Nonlinear

Anal. TMA 2, 197–210 (1978)

47. Talpalaru, P.: Quelques problemes concernant l’equivalence asymptotique des systemes diffe-

rentiels. Boll. U.M.I. 4, 164–186 (1971)

48. Teufel Jr., H.: Forced second order nonlinear oscillation. J. Math. Anal. Appl. 40, 148–152

(1972)

49. Waltman, P.: On the asymptotic behavior of solutions of a nonlinear equation. Proc. Amer.

Math. Soc. 15, 918–923 (1964)

50. Waltman, P.: An oscillation criterion for a nonlinear second order equation. J. Math. Anal.

Appl. 10, 439–441 (1965)

51. Wong, J.S.W.: On two theorems of Waltman. SIAM J. Appl. Math. 14, 724–728 (1966)


(2003)


Capitolul 6

Teorema lui E. Hille si A. Wintner

Rezumat In acest capitol este prezentata teorema de comparatie pentru ecuatii

neoscilatorii a lui E. Hille (1948) si A. Wintner (1957).

Fie ecuatiile diferentiale ordinare liniare

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0 ≥ 1, (6.1)

si

X ′′+Q(t)X = 0, t ≥ t0, (6.2)

unde coeficientii functionali q,Q : [t0,+∞)→ R sunt continui.

Teorema 78 ([7, 12]) Sa presupunem ca ecuatia (6.2) este neoscilatorie si

0 ≤∫ +∞

tq(s)ds ≤

∫ +∞

tQ(s)ds <+∞ pentru orice t ≥ t0.

Atunci, ecuatia (6.1) este neoscilatorie.

Demonstratie. Ne vom limita la cazul coeficientilor functionali q,Q nenegativi,

cf. [7, Theorem 7]. Cazul general este tratat ın [12], [11, pp. 60–62].

Ecuatia (6.2) fiind neoscilatorie, ecuatia integrala

U(t) =∫ +∞

t[U(s)]2ds+

∫ +∞

tQ(s)ds, t ≥ T,

admite o solutie nenegativa U⋆(t), vezi [7, Theorem 4], [3, p. 27, Lemma 6] sau

Teorema 35, unde T ≥ t0 este suficient de mare. Aici, U⋆(t) este derivata logarit-

mica a uneia dintre solutiile ecuatiei (6.2) cu semn constant nenul ın [T,+∞).Intr-adevar, daca ecuatia (6.2) este neoscilatorie, are loc relatia (3.61), de unde,

via (3.51), ajungem la U⋆ ∈ L2((T,+∞),R). Cum Q(t) ≥ 0, deducem ca Q ∈L1((T,+∞),R). Astfel, ecuatia integrala este o reformulare a relatiei (3.54).

179

180 6 Analiza riccatiana II

Introducem sirul (un)n≥0 de functii din C([T,+∞),R) date cu ajutorul relatiei de

recurenta

un(t) =∫ +∞

t[un−1(s)]

2ds+∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ T,

unde u0 =U⋆.

Astfel, putem scrie ca

q⋆(t) =∫ +∞

tq(s)ds ≤ u1(t) =

∫ +∞

t[U⋆(s)]2ds+

∫ +∞

tq(s)ds

≤∫ +∞

t[U⋆(s)]2ds+

∫ +∞

tQ(s)ds

= U⋆(t) = u0(t)

ın [T,+∞). In mod inductiv, stabilim ca

U⋆(t)≥ u1(t)≥ ·· · ≥ un(t)≥ un+1(t)≥ ·· · ≥ q⋆(t), t ≥ T, n ≥ 1.

Teorema Beppo-Levi [6, p. 20, Theorem 2] implica faptul ca limita punctuala a

sirului (un)n≥0, notata u(t), se gaseste ın L2((T,+∞),R) si verifica ecuatia

u(t) =∫

(t,+∞)[u(s)]2dL

1(s)+∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ T. (6.3)

Conform [10, p. 92, Proposition 23; p. 95, Problem 40], functia t 7→ ∫

(t,+∞)[u(s)]2

dL 1(s) este continua, de unde, via (6.3), rezulta ca aplicatia u este continua, res-

pectiv

u(t) =∫ +∞

t[u(s)]2ds+

∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ T. (6.4)

In concluzie, u(t) este o functie de clasa C1 iar marimea

x(t) = exp

(

∫ t

Tu(s)ds

)

, t ∈ [T,+∞), (6.5)

desemneaza o solutie neoscilatorie a ecuatiei (6.1).

Generalizari ale Teoremei 78 se gasesc ın [13, 2].

Teorema 79 (G.J. Butler, 1979, cf. [2, Theorem 2.1]) Fie ecuatiile diferentiale

neliniare

(p(t)x′)′+q(t) f (x) = 0, t ≥ t0, (6.6)

si

(P(t)X ′)′+Q(t) f (X) = 0, t ≥ t0, (6.7)

6 Analiza riccatiana II 181

unde coeficientii functionali p,P : [t0,+∞)→ (0,+∞) sunt de clasa C1, coeficientii

functionali q,Q : [t0,+∞)→ R sunt continui si

∣

∣

∣

∣

∫ +∞

tq(s)ds

∣

∣

∣

∣

≤∫ +∞

tQ(s)ds <+∞, t ≥ t0.

De asemeni, admitem ca neliniaritatea f : R → R, de clasa C1, verifica ipotezele

Teoremei 42.

Atunci, daca ecuatia (6.7) este neoscilatorie, ecuatia (6.6) este neoscilatorie.

Un caz particular al Teoremei 78 trebuie remarcat.

Teorema 80 ([7, Corollary 1]) Presupunem ca functia continua q : [t0,+∞) →[0,+∞) ındeplineste conditia

t

∫ +∞

tq(s)ds ≤ 1

4, t ≥ t0. (6.8)

Atunci, ecuatia (6.1) este neoscilatorie.

Demonstratie. Introducem functia Q(t) = 14t2 pentru orice t ≥ t0. Atunci, ecuatia

(6.2) admite solutia neoscilatorie X(t) =√

t.

Exemplul (2.3) arata ca valoarea γ = 14

a constantei din (6.8) nu poate fi marita.

Observam ca, ın ipotezele Teoremei 80, solutia u(t) a ecuatiei integrale (6.4)

satisface inegalitatile

q⋆(t)≤ u(t) =x′(t)x(t)

≤U⋆(t) =X ′(t)X(t)

=1

2t, t ≥ t0, (6.9)

unde x(t) este dat de (6.5). Asadar, daca are loc (6.8), atunci ecuatia (6.1) admite o

solutie pozitiva x(t) cu proprietatea ca

x′(t)≤ c · x(t)

t, t ≥ t0, (6.10)

unde c = 12. Aceasta inegalitate ne conduce la (5.57). Pentru a aplica asemenea

rezultate ın analiza ecuatiei (5.58), formulam urmatoarea varianta a inegalitatii

functionale (6.10).

Teorema 81 ([1, Section 1]) Fie c : [t0,+∞)→ [0,1] o functie continua cu proprie-

tatea ca supt ′≥t0

c(t ′) =C < 12

si

t

∫ +∞

t

c2(τ)τ2

dτ + t

∣

∣

∣

∣

∫ +∞

tq(τ)dτ

∣

∣

∣

∣

≤ c(t), t ≥ t0.

Atunci, ecuatia (6.1) are o solutie x(t) pozitiva astfel ıncat

x′(t)≤ c(t) · x(t)

t, t ≥ t0.


Demonstratie. Fie multimea

Z = z ∈C([t0,+∞),R) : |z(t)| ≤ c(t) pentru orice t ≥ t0 .

Introducand distanta

d(z1,z2) = supt≥t0

|z1(t)− z2(t)|, z1,2 ∈ Z,

obtinem spatiul metric complet Z = (Z,d).Definim operatorul T : Z → Z pe baza formulei

T (z)(t) = t

∫ +∞

t

z2(τ)τ2

dτ + t

∫ +∞

tq(τ)dτ , t ≥ t0,

pentru orice z ∈ Z.

Operatorul T : Z → Z este o contractie de coeficient 2C. Intr-adevar, putem

scrie ca

|(T z1)(t)− (Tz2)(t)| ≤ t

∫ +∞

t

2c(τ)τ2

|z1(τ)− z2(τ)|dτ

≤ 2C ·d(z1,z2),

unde z1,2 ∈ Z. In consecinta, T are punctul fix z0 ın Z.

Functia x(t) = x0 exp(

∫ tt0

z0(τ)τ dτ

)

, unde x0 > 0 este fixat, constituie solutia

cautata.

Discutia cazului C = 12

poate fi facuta fie prin utilizarea unor argumente de mono-

tonie, ca ın demonstratia Teoremei 78, fie prin apelarea la teoria punctului fix – ın

spiritul investigatiei din [2]. Vezi si rezultatul de mai jos.

Teorema 82 ([8, Theorem 2.1]) Fie x0 > 0, γ ∈(

0, 14

]

si c ∈(

0, 12

]

cu γ = c− c2.

Atunci, exista o solutie pozitiva a problemei la limita

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0x(t0) = x0, x(t) = o(t) cand t →+∞

care verifica relatia (6.10) daca

t

∫ +∞

tq(s)ds ≤ γ , t ≥ t0, (6.11)

iar functia q ia numai valori nenegative ın [t0,+∞).

Demonstratie. Fie A(t0) spatiul liniar real al functiilor v : [t0,+∞)→R continue

cu proprietatea ca

limt→+∞

v(t) = lv ∈ R.

Dotat cu norma sup ‖ · ‖, A(t0) este un spatiu Banach.


Introducem multimea

X =

b ∈ A(t0) : 0 ≤ b(t)≤ c

tpentru orice t ≥ t0

.

Evident, lb = 0 cand b ∈ X . Multimea este marginita, ‖b‖ ≤ c (reamintim ca t0 ≥ 1),

convexa si ınchisa.

Definim operatorul T : X → A(t0) via [7, Eq. (3.7), p. 243], adica

(T b)(t) =∫ +∞

tb2(s)ds+

∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ t0,

pentru orice b ∈ X . Fireste, lT b = 0 cand b ∈ X .

Estimarea

(T b)(t)≤ c2∫ +∞

t

ds

s2+∫ +∞

tq(s)ds ≤ 1

t· (c2 + γ) =

c

t,

arata ca T X ⊆ X . Deci operatorul T este bine definit.

Continuitatea operatorului T : X → X rezulta din calculul urmator. Fie ε > 0.

Exista Tε > t0 astfel ıncat

c2

Tε+∫ +∞

Tεq(s)ds <

ε4.

Fie b1,2 ∈ X cu ‖b2 −b1‖ ≤ η(ε) = ε(4cTε)−1. Avem

|(T b2)(t)− (Tb1)(t)| ≤ 2c

∫ Tε

t0

|b2(s)−b1(s)|ds+2c2∫ +∞

Tε

ds

s2

≤ ε


Mai departe, vom stabili ca multimea T X este relativ compacta ın A(t0). Pentru

aceasta verificam ipotezele criteriului Avramescu [9, p. 12]. Fiind o submultime a lui

X , T X este marginita. Pentru a proba echicontinuitatea, fixam numerele t2 ≥ t1 ≥ t0.

Putem scrie ca (avem (T b)′(t)≤ 0)

0 ≤ (T b)(t1)− (T b)(t2) =∫ t2

t1

[b2(s)+q(s)]ds ≤ c2

t1+∫ +∞

t1

q(s)ds <ε4

daca t1 ≥ Tε . In schimb, daca t1 ≤ t2 ≤ Tε , atunci

0 ≤ (T b)(t1)− (T b)(t2)≤(

c2 + sups∈[t0,Tε ]

q(s)

)

(t2 − t1).

Ultimul caz este dat de t1 ≤ Tε ≤ t2. Aici, combinand estimarile precedente, obtinem

(T b)(t1)− (Tb)(t2) = [(T b)(t1)− (T b)(Tε)]+ [(Tb)(Tε)− (T b)(t2)]


≤(

c2 + sups∈[t0,Tε ]

q(s)

)

(Tε − t1)+ε4.

Echiconvergenta rezulta din

0 ≤ (T b)(t)≤ c2

t+

∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ t0.

Toate ipotezele teoremei Schauder-Tikhonov sunt ındeplinite. Notand cu b0 ∈ X

punctul fix al operatorului T , solutia cautata este x(t) = x0 exp(

∫ tt0

b0(s)ds)

, unde

t ≥ t0. Inegalitatea (6.10) implica x(t) = O(tc) = o(t) cand t →+∞.

Modelul solutiei din Teorema 82 este dat de tc. Se pune problema existentei unor

solutii marginite x(t) care sa satisfaca inegalitatea (6.10), vezi discutia din [9, p. 47].

Propozitia 5 Fiind date c ∈ (0,1) si functia continua r : [t0,+∞) → [0,+∞) care

este integrabila ın [t0,+∞), presupunem ca

∫ +∞

t0

1

tc

∫ +∞

t

r(s)

s1−cdsdt <+∞. (6.12)

De asemeni, fie functia b : [t0,+∞) → [0,+∞) continua astfel ıncat b(t) ≤ ct

ın

[t0,+∞). Daca

b(t)≤∫ +∞

tb2(s)ds+ r(t), t ≥ t0,

atunci b ∈ L1((t0,+∞),R).


b(t)≤ c

∫ +∞

t

b(s)

sds+ r(t).

Notand integrala cu z(t) si derivand-o, ajungem la

(z(t) · tc)′ ≥− r(t)

t1−c, t ≥ t0.

Printr-o integrare ın [t,+∞) (avem t · z(t)≤ c !), obtinem

z(t)≤ 1

tc

∫ +∞

t

r(s)

s1−cds.

Concluzia este evidenta.

Inlocuim ipoteza (6.11) cu

∫ +∞

t0

sq(s)ds <+∞. (6.13)


Se observa imediat ca, marindu-l eventual pe t0, (6.13) implica (6.11).

Astfel, pentru r(t) =∫ +∞

t q(s)ds, avem

∫ +∞

t0

1

tc

∫ +∞

t

r(s)

s1−cdsdt =

1

c

1

1− c

[

∫ +∞

t0

τq(τ)dτ − t1−c0

∫ +∞

t0

τcq(τ)dτ]

−∫ +∞

t0

(τ − t0)q(τ)dτ

<+∞.

Conform Propozitiei 5, solutia Teoremei 82 este marginita. Mai precis,

limt→+∞

x(t) = x0 exp

(

∫ +∞

t0

b0(s)ds

)

<+∞.

Urmatorul rezultat constituie o varianta a Teoremei 81 ın cazul c(t) = (ln t)−1.

Teorema 83 ([4, Lemma 2]) Fie c,ε > 0. Presupunem ca functia q : [t0,+∞) →[0,+∞) continua nu devine identic nula pe niciun subinterval al lui [t0,+∞). De

asemeni, admitem ca exista λ ∈ (0,1] si T0 ≥ maxe4, t0 astfel ıncat

t ln t

∫ +∞

tq(s)ds ≤ λ (6.14)

pentru orice t ≥ T0. Fixam ε1 ∈ (0,1−λ ) daca λ < 1 si ε1 ∈ (0,1) ın cazul limita

λ = 1.

Atunci, ecuatia

x′′+q(t)x = 0, t ≥ t0, (6.15)

admite o solutie x(t) care ındeplineste conditiile de mai jos:

(i) pentru orice t ≥ T1, unde T1 ≥ T0 este suficient de mare, au loc relatiile

x(t)≥ c,x(t)

t< ε

si

x′(t)≤ λ + ε1

ln t· x(t)

t<

1

2· x(t)

t, x′(t)≥ c

∫ +∞

tq(s)ds;

(ii) pentru λ ∈ (0,1),

x(t) = o(ln t) , x′(t) = O(

t−1 (ln t)λ+ζ−1)

= o(

t−1)

cand t →+∞, (6.16)

unde ζ ∈ (0,1−λ ); pentru λ = 1,

x(t) = O(ln t) , x′(t) = O(

t−1)

cand t →+∞. (6.17)

Demonstratie. Cazul λ ∈ (0,1). Luam c1 ∈(

0, ε1λ c)

, T1 ≥ T0 astfel ıncat


lnT1 >c1 + c

c1,

c

t+ c1

ln t

t< ε (6.18)

pentru orice t ≥ T1.

Fie multimea C = y ∈ C([T1,+∞),R) : 0 ≤ ty(t) ≤ c1 pentru orice t ≥ T1. Pe

C introducem metrica

d(y1,y2) = sups≥T1

(s |y1(s)− y2(s)|) , y1,2 ∈C.

Astfel, (C,d) este un spatiu metric complet. De asemeni, cum elementele multimii

C sunt functii nenegative, observam ca

t |y1(t)− y2(t)| ≤ t ·maxy1(t),y2(t), t ≥ T1,

de unde |y1 − y2| ∈C pentru orice y1,2 ∈C.

Introducem operatorul T : C →C cu formula

T (y)(t) =∫ +∞

ty(s)

(

∫ +∞

sq(σ)dσ

)

ds

+

(

∫ +∞

tq(s)ds

)(

c+∫ t

T1

y(s)ds

)

, (6.19)

unde y ∈C and t ≥ T1.

Estimarile

∫ +∞

ty(s)

(

∫ +∞

sq(σ)dσ

)

ds ≤ λt ln t

d(y,0)

si

(

∫ +∞

tq(s)ds

)(

∫ t

T1

y(s)ds

)

≤ λt

(

1− lnT1

ln t

)

d(y,0)

implica

T (y)(t)≤[

λ (c1 + c)

ln t+λc1

(

1− lnT1

ln t

)]

1

t≤ λc1

t≤ c1

t.

Deci T este bine definit.

Deoarece d(y1,y2) = d(|y1 − y2| ,0) pentru y1,2 ∈C, deducem ca

|T (y1)(t)−T (y2)(t)| ≤λt

(

1+1− lnT1

ln t

)

d(y1,y2)

≤ λt

d(y1,y2).

Astfel,


d(T (y1),T (y2))≤ λ ·d(y1,y2).

Conform principiului contractiei, T are un punct fix ın C, notat X0.

Solutia x0(t) = c +∫ t

T1X0(s)ds, unde t ≥ T1, a ecuatiei (6.15) satisface ine-

galitatile

c ≤ x0(t)< c+ c1 ln t < εt

si

x′0(t) = X0(t) = T (X0)(t)≥ c

∫ +∞

tq(s)ds > 0.

In particular,

x0(t) = O(ln t) cand t →+∞. (6.20)

Data fiind alegerea numerelor c1, ε1 si tinand seama de (6.14), avem si estimarile

0 < x′0(t) ≤λc1

t ln t+

(

∫ +∞

tq(s)ds

)

x0(t)

≤ cε1

t ln t+

λx0(t)

t ln t≤ x0(t)ε1

t ln t+

λx0(t)

t ln t

≤ λ + ε1

ln t· x0(t)

t<

1

ln t· x0(t)

t(6.21)

≤ 1+ ε1

ln t· x0(t)

t<

2

lnT0· x0(t)

t

(caci T0 ≥ e4) ≤ 1

2· x0(t)

t, t ≥ T1.


x′0(t)≤λ + ε1

t ln t· x0(t),

de unde

x0(t) = O(

(ln t)λ+ε1

)

= o(ln t) cand t →+∞,

respectiv

0 ≤ tx′0(t) ≤ (λ + ε1)x0(t)

ln t

≤ (1+ ε1) ·x0(t)

ln t(6.22)

= o(1) cand t →+∞.


Am stabilit cea de-a doua estimare a lui x′0(t) din (6.16).

Pentru prima estimare a lui x′0(t), introducem functiile α , β , unde

X0(t) = T (X0)(t)

= α(t)+β (t)(

c+∫ t

T1

X0(s)ds

)

, (6.23)

cu formulele

α(t) =∫ +∞

tX0(s)

(

∫ +∞

sq(τ)dτ

)

ds, β (t) =∫ +∞

tq(s)ds, t ≥ T1.


X0(t) = α(t)+β (t)exp

(

∫ t

T1

β (s)ds

)

·[

c+∫ t

T1

α(s)exp

(

−∫ s

T1

β (τ)dτ)

ds

]

≤ α(t)+β (t)exp

(

∫ t

T1

β (s)ds

)

·[

c+

∫ t

T1

α(s)ds

]

≤ λc1

t ln t+

λt ln t

·(

ln t

lnT1

)λ [

c+λc1 ln

(

ln t

lnT1

)]

=1

t

[

λc1

ln t+O

(

(ln t)λ+ζ−1)

]

= O(

t−1 (ln t)λ+ζ−1)

cand t →+∞.

Cazul λ = 1. Luam c1 ∈ (0,ε1c), T1 ≥ T0 astfel ıncat sa aiba loc (6.18) si C,

T : C →C la fel ca anterior.

O ordine partiala ın C este data de ordinea punctuala obisnuita ”≤ ”, adica scriem

y1 ≤ y2 daca si numai daca y1(t) ≤ y2(t) pentru orice t ≥ T1, unde y1,2 ∈ C. Cum

q(t) este nenegativa, aplicatia T este izotona, adica T (y1) ≤ T (y2) cand y1 ≤ y2, si

verifica inegalitatea 0 ≤ T (0).Vom folosi tehnica din demonstratia teoremei de punct fix Tarski-Kantorovitch

[5, p. 15, Theorem (4.2)] la constructia unui punct fix ın C, notat X0, al aplicatiei T .

Astfel, fie sirul ( fn)n≥0 ⊂C dat de relatiile

f0 = 0, fn+1 = T ( fn), n ≥ 0.

Au loc inegalitatile

0 = f0(t)≤ f1(t)≤ ·· · ≤ fn(t)≤ fn+1(t)≤ ·· · ≤ c1

t, t ≥ T1, n ≥ 0.

Teorema Beppo-Levi [6, p. 20, Theorem 2] implica faptul ca limita punctuala X0

a sirului ( fn)n≥0 este masurabila Lebesgue si satisface relatiile

T ( fn)(t) =∫

(t,+∞)fn(s) ·

(

∫ +∞

sq(τ)dτ

)

dL1(s)


+∫ +∞

tq(s)ds ·

(

c+∫

(T1,t)fn(s)dL

1(s)

)

→∫

(t,+∞)X0(s) ·

(

∫ +∞

sq(τ)dτ

)

dL1(s)

+∫ +∞

tq(s)ds ·

(

c+∫

(T1,t)X0(s)dL

1(s)

)

cand n →+∞,

respectiv

T ( fn)(t) = fn+1(t)

→ X0(t) cand n →+∞

pentru orice t ≥ T1. De unde,

X0(t) =

∫

(t,+∞)X0(s) ·

(

∫ +∞

sq(τ)dτ

)

dL1(s)

+∫ +∞

tq(s)ds ·

(

c+∫

(T1,t)X0(s)dL

1(s)

)

, t ≥ T1.

Conform [10, p. 92, Proposition 23; p. 95, Problem 40], membrul drept al egali-

tatii anterioare este o functie continua ın [T1,+∞). Atunci, X0 ∈C si X0 = T (X0).Reluam pasii din primul caz. Estimarile (6.17) rezulta din (6.20), (6.22).

Fixam α > 0. Solutia generala a ecuatiei diferentiale liniare

x′′+α[

1

t2 ln t− α −1

t2(ln t)2

]

x = 0, t ≥ maxe1+α , t0, (6.24)

se dezvolta asimptotic sub forma

x(t) = c1(ln t)α + c2 [1+o(1)]t

(ln t)α (6.25)

= c2 ·t

(ln t)α +o(t(ln t)−α) cand t →+∞,

unde c1,2 ∈ R. Aici,

limt→+∞

t ln t

∫ +∞

tq(s)ds = α.

Desi unica solutie marginita a ecuatiei (6.24) este cea identic nula, daca α ∈ (0,1]exista solutii nemarginite care ındeplinesc concluzia (ii) a Teoremei 83 (luam c2 = 0

ın (6.25)). Cum pentru α > 1 ecuatia (6.24) nu are solutii care sa satisfaca (6.16) ori

(6.17), putem considera ca ipoteza (6.14) este optimala pentru obtinerea acestui tip

de comportament asimptotic la solutiile ecuatiei (6.15).


1. Agarwal, R.P., Mustafa, O.G.: A Riccatian approach to the decay of solutions of certain semi-

linear PDE’s. Appl. Math. Lett. 20, 1206–1210 (2007)

2. Butler, G.J.: Hille–Wintner type comparison theorems for second–order ordinary differential



4. Djebali, S., Moussaoui, T., Mustafa, O.G.: Positive evanescent solutions of nonlinear elliptic

equations. J. Math. Anal. Appl. 333, 863–870 (2007)

5. Dugundji, J., Granas, A.: Fixed point theory, Vol. I. Polish Sci. Publ., Warszawa (1982)


Raton (1992)

7. Hille, E.: Non-oscillation theorems. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 234–252 (1948)

8. Mustafa, O.G.: Hille’s non-oscillation theorem and the decay of solutions to a class of semi-

linear PDE’s. Arch. Math. (Basel) 89, 452–458 (2007)




10. Royden, H.L., Fitzpatrick, P.M.: Real analysis, Fourth edition. Prentice Hall, New York (2010)



12. Wintner, A.: On the comparison theorem of Kneser–Hille. Math. Scand. 5, 255–260 (1957)

13. Taam, C.T.: Non-oscillatory differential equations. Duke Math. J. 19, 493–497 (1952)

191

Anexa A

Inegalitatea diferentiala Riccati

Rezumat In aceasta anexa este stabilita neoscilabilitatea ecuatiei diferentiale li-

niare si omogene de ordinul al doilea cu ajutorul inegalitatii diferentiale Riccati. De-

monstratia se bazeaza pe teoria solutiei maximale a unei probleme Cauchy scalare.

A.1 Perturbarea problemei Cauchy

Fie numerele reale t0, x0, a, b, cu a, b > 0. Introducem multimea B = [t0, t0 +a]× [x0 − b,x0 + b] si functia continua f : B → R. Fie numarul M f cu proprietatea

ca

| f (t,u)| ≤ M f , (t,u) ∈ B. (A.1)

Fixam numerele U0,V0 ∈ (0,b) si consideram problema Cauchy

(PC (t0,x0,U,V ))

x′ = f (t,x)+U,x(t0) = x0 +V,

(A.2)

unde numerele reale U,V sunt restrictionate de |U | ≤U0 si |V | ≤V0.

Teorema 84 Fiind date sirurile de numere reale (Un)n≥1, (Vn)n≥1, convergente la 0,

astfel ıncat |Un| ≤U0 si |Vn| ≤V0, n ≥ 1, orice sir (xn)n≥1 de solutii ale problemelor

Cauchy (PC (t0,x0,Un,Vn))n≥1 admite cel putin cate un subsir uniform convergent

ın intervalul

[t0, t0 +α], α = min

a,b−V0

M f +U0

, (A.3)

la o solutie x a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0).

Demonstratie. Introducem multimea

193

194 A Inegalitatea diferentiala Riccati

C(V ) = [t0, t0 +a]×u ∈ R : |x0 +V −u| ≤ b−V0 , |V | ≤V0.

Observam ca

C(V )⊆ B. (A.4)

Intr-adevar, pentru orice (t,u) ∈C(V ), avem

|x0 −u| ≤ |x0 +V −u|+ |−V | ≤ (b−V0)+V0 = b.

Estimarile (A.1), (A.4) ne conduc la

| f (t,u)+Un| ≤ M f + |Un| ≤ M f +U0, (t,u) ∈C(Vn),

pentru orice n ≥ 1. Atunci, pe baza teoremei de existenta a lui G. Peano [4], dedu-

cem ca problema Cauchy PC (t0,x0,Un,Vn), cu functia f restransa la compactul*

C(Vn), admite o solutie xn definita ın [t0, t0 +α], n ≥ 1.

Afirmatie Sirul (xn)n≥1 ındeplineste ipotezele teoremei Ascoli-Arzela [3, p. 77].

Mai precis, (t,xn(t)) ∈C(Vn), de unde (t,xn(t)) ∈ B, deci

|xn(t)| ≤ |x0 − xn(t)|+ |x0| ≤ b+ |x0|, t ∈ [t0, t0 +α],

si

|xn(t)− xn(s)| ≤ supτ∈[t0,t0+α ]

∣

∣x′n(τ)∣

∣ · |t − s|= supτ∈[t0,t0+α ]

| f (τ ,xn(τ))+Un| · |t − s|

≤(

M f +U0

)

· |t − s|, t, s ∈ [t0, t0 +α],


Afirmatia a fost probata, asadar sirul (xn)n≥1 este o multime relativ compacta a

spatiului Banach (C([t0, t0 +α],R),‖⋆‖). Aici, ‖q‖ = supt∈[t0,t0+α ]

|q(t)| pentru orice

q ∈C([t0, t0 +α],R).In consecinta, sirul (xn)n≥1 are un subsir uniform convergent ın [t0, t0 +α], notat

tot cu (xn)n≥1. De asemeni, subsirurile corespunzatoare ale sirurilor (Un)n≥1, (Vn

)n≥1, notate la fel, vor converge la 0.

Fie x ∈C([t0, t0 +α],R) limita uniforma a sirului (xn)n≥1.

Afirmatie Functia x este solutie a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0).

Intr-adevar, au loc inegalitatile — avem (t,x(t)) ∈ B pentru orice t ∈ [t0, t0 +α]—∣

∣

∣

∣

x(t)−[

x0 +∫ t

t0

f (s,x(s))ds

]∣

∣

∣

∣

* In topologia euclidiana a planului real. Aceeasi topologie va fi folosita, fara a mai preciza, peste

tot ın aceasta anexa.

A.1 Perturbarea problemei Cauchy 195

=

∣

∣

∣

∣

x(t)−

xn(t)− (x0 +Vn)−∫ t

t0

[ f (s,xn(s))+Un]ds

−[

x0 +∫ t

t0

f (s,x(s))ds

]∣

∣

∣

∣

≤ |x(t)− xn(t)|+ |Vn|+∫ t

t0

|Un|ds+

∫ t

t0

| f (s,xn(s))− f (s,x(s))|ds

≤ |x(t)− xn(t)|+ |Vn|+ |Un| ·a+∫ t

t0

| f (s,xn(s))− f (s,x(s))|ds, t ∈ [t0, t0 +α].

Fie ε > 0 fixat. Uniform continuitatea functiei f ın compactul B implica existenta

numarului δ = δ (ε)> 0 astfel ıncat

| f (t1,u1)− f (t2,u2)|< ε

pentru orice (t1,u1), (t2,u2) ∈ B cu |t1 − t2|< δ si |u1 −u2|< δ . In particular,

| f (s,xn(s))− f (s,x(s))|< ε , s ∈ [t0, t0 +α],

pentru orice n ≥ N ≥ 1, unde N = N(ε) este suficient de mare ca

|xn(s)− x(s)|< minε ,δ , s ∈ [t0, t0 +α],

daca n ≥ N.

Am ajuns la

∣

∣

∣

∣

x(t)−[

x0 +∫ t

t0

f (s,x(s))ds

]∣

∣

∣

∣

< ε + |Vn|+ |Un| ·a+∫ t

t0

εds

< (1+a)(ε + |Un|)+ |Vn|, t ∈ [t0, t0 +α], n ≥ N,

de unde, prin trecere la limita dupa n →+∞ si apoi dupa ε ց 0, concludem ca

x(t) = x0 +∫ t

t0

f (s,x(s))ds, t ∈ [t0, t0 +α].

Afirmatia a fost justificata.

Urmatoarea varianta a Teoremei 84 va fi utilizata ın cadrul discutiei din aceasta

anexa.

Teorema 85 Fie numerele reale U0,V 0, α , unde |U0| < U0 si |V 0| < V0 iar α are

formula (A.3). Fiind date sirurile de numere reale (Un)n≥1, (Vn)n≥1, convergente la

U0, respectiv la V 0, si astfel ıncat |Un| ≤ U0 si |Vn| ≤ V0, n ≥ 1, orice sir (xn)n≥1

de solutii ale problemelor Cauchy (PC (t0,x0,Un,Vn))n≥1 admite cel putin cate un

subsir uniform convergent ın intervalul [t0, t0+α] la o solutie x a problemei Cauchy

PC (t0,x0,U0,V 0).

Demonstratie. La fel ca anterior, introducem sirul (xn)n≥1 si limita sa uniforma

x ∈C ([t0, t0 +α],R).Au loc inegalitatile


∣

∣

∣

∣

x(t)−

(

x0 +V 0)

+∫ t

t0

[

f (s,x(s))+U0]

ds

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

x(t)−

xn(t)− (x0 +Vn)−∫ t

t0

[ f (s,xn(s))+Un]ds

−

(

x0 +V 0)

+∫ t

t0

[

f (s,x(s))+U0]

ds

∣

∣

∣

∣

≤ |x(t)− xn(t)|+∣

∣Vn −V 0∣

∣+

∫ t

t0

∣

∣Un −U0∣

∣ds+

∫ t

t0

| f (s,xn(s))− f (s,x(s))|ds

≤ |x(t)− xn(t)|+∣

∣Vn −V 0∣

∣+∣

∣Un −U0∣

∣ ·a+∫ t

t0

| f (s,xn(s))− f (s,x(s))|ds

< (1+a)(

ε +∣

∣Un −U0∣

∣

)

+∣

∣Vn −V 0∣

∣ , t ∈ [t0, t0 +α], n ≥ 1.

Trecem la limita dupa n →+∞ si apoi dupa ε ց 0.

A.2 Solutia maximala a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0)

Fie t0, y0 ∈ R, intervalul I ⊆ R ın care y0 sa fie punct interior, t1 ∈ R cu t0 <t1 ≤ +∞, functia continua g : [t0, t1)× I → R si x ∈C1([t0,T ), I), unde t0 < T ≤ t1,

o solutie a problemei Cauchy PC (t0,y0,0,0) date de formula (A.2) pentru f = g.

Propozitia 6 ([2, Theorem 5.4, p. 82]) Fie t2 ∈ R si functia u ∈C1([t0, t2), I), unde

t0 < t2 ≤ T . Daca u(t0)< y0 si

u′(t)< g(t,u(t)), t ∈ [t0, t2),

atunci

u(t)< x(t), t ∈ [t0, t2).

Demonstratie. Sa presupunem ca, prin reducere la absurd, exista t3 ∈ [t0, t2) ast-

fel ıncat u(t3)≥ x(t3). Evident, t3 > t0 caci u(t0)< x(t0).Introducem multimea M = t ∈ [t0, t2) : u(t)≥ x(t). Cum t3 ∈M , deci M este

nevida, fie m = infM .

Afirmatie Avem u(m) = x(m).

Intr-adevar, daca u(m) < x(m) atunci va exista un mic interval la dreapta lui

m pe care u(t) < x(t), ceea ce va contrazice faptul ca oricat de aproape de m se

gasesc elemente din M . Daca, ın schimb, u(m) > x(m) atunci m > t0 — stim ca

u(t0)< x(t0) — si va exista un mic interval la stanga lui m pe care u(t)> x(t), ceea

ce ne va conduce la elemente din M mai mici decat m. Afirmatia este probata.

Cum u(t0)< x(t0), deci m > t0, au loc inegalitatile

u(t)< x(t), t ∈ [t0,m),

A.2 Solutia maximala a problemei PC (t0,x0,0,0) 197

respectiv

u(m)−u(t)

m− t>

x(m)− x(t)

m− t, t ∈ [t0,m).

Trecand la limita dupa t ր m, ajungem la

g(m,x(m)) = g(m,u(m))> u′(m)≥ x′(m) = g(m,x(m)),

adica la o contradictie.

Teorema 86 (Solutia maximala, [2, Theorem 5.5, p. 83]) In contextul Teoremei 84,

problema Cauchy PC (t0,x0,0,0) admite o singura solutie x, definita ın intervalul

[t0, t0 +β ] dat de expresia

β = min

a,b

2M f +b

, (A.5)

cu proprietatea ca

u(t)≤ x(t), t ∈ [t0, t0 + γ ], (A.6)

pentru orice solutie u ∈ C1([t0, t0 + γ ],R) a problemei PC (t0,x0,0,0), unde γ ∈[0,β ]. Aici, (t,u(t)) ∈ B pentru orice t ∈ [t0, t0 + γ ].

Demonstratie. Unicitatea. Presupunand ca, prin reducere la absurd, ar exista do-

ua solutii x1, x2 care sa verifice estimarea (A.6), atunci, ınlocuind pe rand functia u

cu x1 si x2, am ajunge la x1(t) = x2(t) peste tot ın intervalul [t0, t0 + γ ].Existenta. Fixam numerele U0 =

b2, V0 ∈

(

0, b2

)

. Fie sirurile de numere reale (Un

)n≥1, (Vn)n≥1, convergente la 0, astfel ıncat

0 <Un <U0, 0 <Vn <V0, n ≥ 1. (A.7)

Via Teorema 84, construim solutiile (xn)n≥1, respectiv x ale problemelor Cauchy

PC (t0,x0,Un,Vn) si PC (t0,x0,0,0). Ele sunt definite ın intervalul [t0, t0+α], unde

— vezi (A.3) —

α =b−V0

M f +b2

> β .

Conform Propozitiei 6, cu g = f +Un, y0 = x0 +Vn, I = [x0 − b,x0 + b] si t2 =t0 + γ ,

u(t)< xn(t), t ∈ [t0, t0 + γ), n ≥ 1.

Tinand seama de continuitatea aplicatiilor u, xn, rezulta ca

u(t)≤ xn(t), t ∈ [t0, t0 + γ ], n ≥ 1. (A.8)


Concluzia se obtine trecand la limita dupa n →+∞ ın (A.8).

Urmatoarea varianta a Teoremei 86 va fi utilizata ın cadrul discutiei din aceasta

anexa.

Teorema 87 (Invarianta la mici perturbari a intervalului de existenta al solutiei ma-

ximale) In contextul Teoremei 85, unde U0,V 0 ∈[

0, b2

)

, problema Cauchy PC (

t0,x0,U0,V 0) admite o singura solutie x, definita ın intervalul [t0, t0 + β ] dat de

expresia (A.5), care verifica inegalitatea (A.6) pentru orice solutie u ∈ C1([t0, t0 +γ ],R) a problemei PC (t0,x0,U

0,V 0), unde γ ∈ [0,β ]. Aici, (t,u(t)) ∈ B pentru

orice t ∈ [t0, t0 + γ ].

Demonstratie. Inlocuim restrictiile (A.7) cu

U0 <Un <U0, V 0 <Vn <V0, n ≥ 1.

Se reiau rationamentele demonstratiei de la Teorema 86.

A.3 Constructia unui sir de solutii maximale ın vecinatatea

tubulara a unei solutii maximale

Fie numerele reale t0, t1, x0, χ , ε , cu χ , ε > 0. Introducem functia x ∈ C1([t0,t1 + χ ],R), cu x(t0) = x0, si “tubul”

K = K(t0, t1) = (s,u) : s ∈ [t0, t1 + χ ], |x(s)−u| ≤ ε . (A.9)

Evident, multimea K este compacta.

Fie intervalul I ⊆R astfel ıncat K ⊆ [t0, t1 +χ ]× I si functia continua f : [t0, t1 +χ ]× I → R.

Presupunem ca, ın cele ce urmeaza, functia x este solutia maximala a proble-

mei Cauchy PC (t0,x0,0,0) din (A.2), adica are loc (A.6) pentru orice solutie u ∈C1([t0, t0 + γ ], I) a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0). Aici, 0 ≤ γ ≤ t1 − t0 + χ .

Fixam numerele b ∈(

0, χ2+M f

)

si a = (2+M f ) ·b, unde

(2+M f )2 ·b < ε (A.10)

si M f este dat de (A.1) — cu K ın loc de B —.

Definim multimile

D+a (t) = [t, t +a]× [x(t)−a,x(t)+a], t ∈ [t0, t1].

Propozitia 7 Avem

D+a (t)⊆ K.

A.3 Solutii maximale ın tub 199

Demonstratie. Au loc relatiile

|x(s)−u| =∣

∣

∣

∣

[

x(t)+∫ s

tf (τ ,x(τ))dτ

]

−u

∣

∣

∣

∣

≤ |x(t)−u|+∫ s

t| f (τ ,x(τ))|dτ ≤ a+

∫ s

tM f dτ

≤(

1+M f

)

·a < (2+M f )2 ·b

(vezi (A.10)) < ε

pentru orice s ∈ [t, t +a]⊂ [t0, t1 + χ ]. Via Teorema 87, cum

a

2=

(

1+M f

2

)

·b > b,

deducem ca problema Cauchy PC (t,x(t),U0,V 0), cu U0,V 0 ∈ [0,b), are solutia

maximala xm definita ın intervalul [t0, t0 +β ], unde

β = min

a,a

2M f +a

, (A.11)

pentru orice t ∈ [t0, t1]. De asemeni,

(s,xm(s)) ∈ D+a (t), s ∈ [t, t +β ], t ∈ [t0, t1]. (A.12)

Teorema 88 ([2, Lemma 5.9, p. 85]) Fiind date sirurile de numere reale (Un)n≥1,(Vn)n≥1, convergente la 0, astfel ıncat Un,Vn ∈ (0,b), exista subsiruri ale lor, notate

la fel, cu proprietatea ca solutiile maximale ale problemelor Cauchy PC (t0,x0,Un,Vn) sunt definite ın intervalul [t0, t1] si converg uniform, pe acest interval, la functia

x.

Demonstratie. Renumerotam sirurile din enunt,

U(1)n =Un, V

(1)n =Vn, n ≥ 1.

Fie N = ⌈ t1−t0β ⌉+1, unde β este dat de (A.11), si sirul (Tk)k∈0,N cu formula Tk =

t0 + k ·β . Evident,

TN−1 ≤ t1 < TN < t1 + χ .

Fie sirul (x(1)n )n≥1 de solutii maximale, definite ın [T0,T1], ale problemelor Cau-

chy PC (t0,x0,U(1)n ,V

(1)n ). Conform Teoremelor 84, 86 si Propozitiei 6, acesta ad-

mite un subsir, notat la fel, care converge uniform la solutia maximala x(1) a pro-

blemei Cauchy PC (t0,x0,0,0). Evident, ın virtutea unicitatii solutiei maximale,

functia x(1) este restrictia functiei x la intervalul [T0,T1].Exista N1 ≥ 1 suficient de mare astfel ıncat


0 < x(1)n (s)− x(1)(s) =

∣

∣

∣x(1)(s)− x

(1)n (s)

∣

∣

∣< b, s ∈ [T0,T1], n ≥ N1. (A.13)

Egalitatea din (A.13) rezulta din Propozitia 6. Renumerotam sirurile (U(1)n )n≥1 si (

V(1)n )n≥1 astfel ca inegalitatea dubla din (A.13) sa aiba loc pentru orice n ≥ 1.

Introducem sirurile (U(2)n )n≥1, (V

(2)n )n≥1 cu formulele

U(2)n =U

(1)n , V

(2)n = x

(1)n (T1)− x(1)(T1), n ≥ 1.

Repetand argumentatia, fie sirul (x(2)n )n≥1 de solutii maximale, definite ın [T1,T2],

ale problemelor Cauchy PC (T1,x(1)(T1),U

(2)n ,V

(2)n ). Acesta admite un subsir, no-

tat la fel, care converge uniform la solutia maximala x(2) a problemei Cauchy PC (

T1,x(1)(T1),0,0). Din sirul (x

(1)n )n≥1 pastram doar subsirul, notat la fel, care cores-

punde datelor Cauchy ale problemelor PC (T1,x(1)(T1),U

(2)n ,V

(2)n ).

Trecand, eventual, la subsiruri pentru (x(1)n )n≥1, (x

(2)n )n≥1, impunem ca

0 < x(2)n (s)− x(2)(s) =

∣

∣

∣x(2)(s)− x

(2)n (s)

∣

∣

∣< b, s ∈ [T1,T2], n ≥ 1, (A.14)

Asadar, de aici ıncolo inegalitatile (A.13), (A.14) au loc simultan.

Functiile (Fn)n≥1, definite ın intervalul [T0,T2] de formula

Fn(t) =

x(1)n (t), t ∈ [T0,T1],

x(2)n (t), t ∈ [T1,T2],

n ≥ 1,

sunt solutii ale problemelor Cauchy PC (t0,x0,U(1)n ,V

(1)n ). Ele converg uniform pe

[T0,T2] la functia F cu formula

F(t) =

x(1)(t), t ∈ [T0,T1],

x(2)(t), t ∈ [T1,T2],

care este solutie a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0).

Afirmatie Functia F este solutia maximala, ın intervalul [T0,T2], a problemei Cau-

chy PC (t0,x0,0,0).

Pentru a proba afirmatia, fie v o solutie a problemei Cauchy PC (t0,x0,0,0) de-

finita ın [t0, t0 + γ ], cu γ ≤ T2 − t0. Aplicand Propozitia 6 pentru u = v si x = Fn,

deducem ca v(t)≤ Fn(t) peste tot ın [t0, t0 + γ ]. Prin trecere la limita dupa n →+∞,

obtinem ca

v(t)≤ F(t), t ∈ [t0, t0 + γ ].

Afirmatia a fost justificata. In particular, functia x(2) este restrictia functiei x la

intervalul [T1,T2].

A.3 Solutii maximale ın tub 201

Afirmatie Pentru orice n ≥ 1, functia Fn este solutia maximala, ın intervalul [T0,

T2], a problemei Cauchy PC (t0,x0,U(1)n ,V

(1)n ).

Intr-adevar, fie n = n0 ≥ 1 fixat. Introducem sirurile (u(1)m )m≥1, (v

(1)m )m≥1, con-

vergente la U(1)n0

, respectiv la V(1)n0

, astfel ıncat

U(1)n0

< u(1)m < b, V

(1)n0

< v(1)m < b, m ≥ 1.

Conform Teoremei 85 — pentru U0 =U(1)n0

si V 0 =V(1)n0

— si Propozitiei 6, putem

considera ca solutiile (y(1)m )m≥1, definite ın [T0,T1], ale problemelor Cauchy PC (t0,

x0,u(1)m ,v

(1)m ) converg uniform la solutia maximala x

(1)n0

a problemei Cauchy PC (t0,

x0,U(1)n0

,V(1)n0

).Trecand, eventual, la un subsir, impunem ca — vezi (A.13) —

0 < y(1)m (s)− x

(1)n0(s)< b− max

τ∈[T0,T1]

[

x(1)n0(τ)− x(1)(τ)

]

, s ∈ [T0,T1], m ≥ 1.

In particular,

x(1)(s)< x(1)n0(s)< y

(1)m (s)< x(1)(s)+b, s ∈ [T0,T1], m ≥ 1.

Introducem sirurile (u(2)m )m≥1, (v

(2)m )m≥1, convergente la U

(2)n0

=U(1)n0

, respectiv la

V(2)n0

= x(1)n0(T1)− x(1)(T1), astfel ıncat

u(2)m = u

(1)m , v

(2)m = y

(1)m (T1)− x(1)(T1), m ≥ 1.

La fel ca anterior, putem considera ca solutiile (y(2)m )m≥1, definite ın [T1,T2], ale

problemelor Cauchy PC (T1,x(1)(T1),u

(2)m ,v

(2)m ) converg uniform la solutia maxi-

mala x(2)n0

a problemei Cauchy PC (T1,x(1)(T1),U

(2)n0

,V(2)n0

).Functiile (hm)m≥1, definite ın intervalul [T0,T2] de formula

hm(t) =

y(1)m (t), t ∈ [T0,T1],

y(2)m (t), t ∈ [T1,T2],

m ≥ 1,

sunt solutii ale problemelor Cauchy PC (t0,x0,u(1)m ,v

(1)m ). Ele converg uniform pe

[T0,T2] la functia h cu formula

h(t) =

x(1)n0(t), t ∈ [T0,T1],

x(2)n0(t), t ∈ [T1,T2],

care este solutie a problemei Cauchy PC (t0,x0,U(1)n0

,V(1)n0

).


Repetand rationamentul prin care am stabilit ca functia F este solutie maximala,

deducem ca functia h = Fn0este solutia maximala a problemei Cauchy PC (t0,x0,

U(1)n0

,V(1)n0

) ın intervalul [T0,T2].Afirmatia a fost probata.

Reluand deductiile precedente, prelungim functia F la intervalul [T0,T3] si sta-

bilim existenta unui subsir al sirului (Fn)n≥1, notat la fel, ale carui elemente pot fi

prelungite la intervalul [T0,T3].Demonstratia se continua inductiv. Constructia functiilor F = x, (Fn)n≥1 pe fie-

care interval [Tk,minTk+1, t1], unde k ∈ 0,N −1, este realizata, asadar, ıntr-un nu-

mar finit de etape.

Graficele functiilor Fn se gasesc ın multimea — vezi (A.12) —

N−1⋃

k=0

D+a (Tk)⊆ K


A.4 Teorema fundamentala a inegalitatilor diferentiale

Lucram ın contextul Propozitiei 6 si presupunem ca functia x este solutia maxi-

mala a problemei Cauchy PC (t0,y0,0,0) pentru f = g. De asemeni, consideram

ca exista ε > 0 astfel ıncat

Vε = (s,u) : s ∈ [t0,T ), |x(s)−u| ≤ ε ⊆ [t0, t1)× I.

Teorema 89 ([2, Theorem 5.10, p. 86]) Fie t2 ∈R si functia u ∈C1([t0, t2), I), unde

t0 < t2 ≤ T . Daca u(t0)≤ y0 si

u′(t)≤ g(t,u(t)), t ∈ [t0, t2),

atunci

u(t)≤ x(t), t ∈ [t0, t2).

Demonstratie. Pentru t fixat, exista numerele reale t3, χ cu proprietatea ca

t ≤ t3 < t3 + χ < t2 ≤ T.

Introducem tubul K(t0, t3) via (A.9). Evident, K(t0, t3)⊂ Vε . Conform Teoremei

88, exista sirurile de numere pozitive (Un)n≥1 si (Vn)n≥1, convergente la 0, pentru

care solutiile maximale (xn)n≥1 ale problemelor Cauchy (PC (t0,y0,Un,Vn))n≥1 —

aici, f = g — converg uniform pe intervalul [t0, t3] la solutia maximala x a problemei

Cauchy PC (t0,y0,0,0).Din Propozitia 6 rezulta ca

A.5 Inegalitati diferentiale si neoscilabilitate 203

u(s)≤ xn(s), s ∈ [t0, t3], n ≥ 1.

Concluzia se obtine trecand la limita dupa n →+∞.

A.5 O teorema de neoscilabilitate bazata pe inegalitati

diferentiale

Fie 0 ≤ t0 < t1 ≤ +∞ si functiile p : [t0, t1) → (0,+∞), de clasa C1, respectiv

g : [t0, t1)→ R continua.

Teorema 90 ([1, Theorem 4, p. 6]) Daca inecuatia diferentiala Riccati

y′+q(t)+y2

p(t)≤ 0, t ∈ [t0, t1),

are o solutie ın [t0, t1), atunci ecuatia diferentiala

(p(t)x′)′+q(t)x = 0, t ∈ [t0, t1), (A.15)

admite o solutie pozitiva pe ıntreg intervalul de definitie.

Demonstratie. Introducem functiile continue g1,2 : [t0, t1)×R→R, cu formulele

g1(t,u) =−q(t)− u2

p(t), g2(t,u) =−q(t), (t,u) ∈ [t0, t1)×R,

si problemele Cauchy

(PC (gi))

u′ = gi(t,u), t ∈ [t0, t1),u(t0) = y(t0),

i ∈ 1,2,

unde y ∈C1([t0, t1),R) verifica inecuatia Riccati.

Functiile g1,2 fiind de clasa C1 ın cea de-a doua variabila, problemele Cauchy

PC (g1,2) admit cate o singura solutie zg1,2 . Aceste solutii, definite pe intervalele

maximale [t0,T1,2), unde T1,2 ≤ t1, sunt si solutiile maximale ale problemelor Cau-

chy ın cauza. Conform Teoremei 89, au loc inegalitatile

y(t)≤ zg1(t)≤ zg2

(t), t ∈ [t0,T1),

unde T2 = t1 si

zg2(t) = y(t0)−

∫ t

t0

q(s)ds, t ∈ [t0, t1).

Restrictiile functiilor continue y, zg2la intervalul [t0, t2], unde t2 < t1, fiind margi-

nite, teorema de explozie ın timp finit a lui A. Wintner [5, pp. 174–175] ne conduce


la T1 = t1, deci ecuatia diferentiala Riccati

z′+q(t)+z2

p(t)= 0, t ∈ [t0, t1),

admite solutia zg1pe ıntreg intervalul [t0, t1).

Functia x, cu formula

x(t) = exp

(

∫ t

t0

zg1(s)

p(s)ds

)

, t ∈ [t0, t1),

este solutia cautata pentru ecuatia (A.15).




(1980)




4. Peano, G.: Demonstration de l’integrabilite des equations differentielles ordinaires. Math.

Ann. 37, 182–228 (1890)

5. Wintner, A.: The infinities in the non-local existence problem of ordinary differential equa-

tions. Amer. J. Math. 68, 173–178 (1946)

205

Index

binomul lui Newton, 147

conditia −∞ < liminf < limsup ≤+∞, 76

conditia Butler-Erbe-Mingarelli, 111

conditia Hale-Onuchic, 150

conditia lui Coles, 88

conditia lui Hartman, 63

conditia lui Kamenev, 85

conditia lui Mikusinski, 22

conditia lui Putnam, 80

conditia Zlamal-Olech-Opial-Wazewski, 76

conditie de crestere, 54

crestere regulara Karamata, 60

crestere regulata Sansone, 33

criterii de medie integrala, 21

criteriu integral, 20

criteriul Avramescu, 142

criteriul Bolzano-Cauchy, 60

dezvoltarea Poincare-Perron, 97

disfocalitate, 12

ecuatia lui Euler, 10

ecuatie eliptica, 162

ecuatie neoscilatorie, ix

ecuatie oscilatorie, ix

estimare apriorica, 51

focalitate, 12

formula lui Green, 3

formula lui Taylor, 9

functia Γ , 23

functie admisibila, 2

functie de grad L, 18

functie-pondere, 87

functionala patratica, 2

identitatea lui Picone, 2

inecuatia lui Riccati, 203

inegalitatea Gronwall-Bellman, 38

inegalitatea lui Bihari, 136

inegalitatea lui Riccati, 30

interval de disconjugare, 12

lema lui Cesaro, 9

lema lui Staikos, 26

lema lui Urason, 88

lemele lui Kiguradze, 17

liniarizare, 80

M-testul lui Weierstrass, 133

matrice fundamentala, 38

medie generala, 94

mediere, 73

metoda aproximatiilor succesive, 41

neliniaritate strict subliniara, 111

nucleu general, 90

oscilatorul adiabatic, 39

problema Cauchy, 5

procedeu iterativ, 102

proces diagonal, 52

proprietatea S, 10

proprietatea Armellini-Tonelli-Sansone, 33

quasiliniar, 126

regularizare, 141

reprezentarea Bohl, 77

Rolle, sirul lui, 14

semnul derivatelor, 20

serie telescopica, 133

solutie continuabila, ix

solutie pseudo-liniara, 155

207

208 Index

solutia Kneser, 19

solutia maximala, 197

sirul lui Rolle, 14

sirul valorilor extreme, 32

teorema Ascoli-Arzela, 52

teorema Beppo-Levi, 180, 188

teorema de comparatie, 1

teorema de convergenta dominata, 153

teorema de explozie ın timp finit, 48

teorema de separatie, 1

teorema generala de comparatie, 136

teorema Leibniz-Newton, 11

teorema lui Fermat, 10

teorema lui Liouville, 38

teorema lui Moore, 31

teoria Kusano-Trench, 137

teorie locala, 149

termenul liber, 38

transformarea Bohl, 77

transformarea Prufer, 13

valabilitate eventuala, 4

valori extreme, sirul lor, 32

vecinatate tubulara, 198

zerouri izolate, 3

Oscila¸tiile Ecua¸tiilor Diferen¸tiale Ordinare · O investiga¸tie bazat˘a pe trecerea la...

Documents

Transcript of Oscila¸tiile Ecua¸tiilor Diferen¸tiale Ordinare · O investiga¸tie bazat˘a pe trecerea la...