Notiuni Termodinamice de Baza - Legile Gazului Ideal - Principiile Termodinamicii

NOIUNI TERMODINAMICE DE BAZ. LEGILE GAZULUI IDEAL. PRINCIPIILE TERMODINAMICIINoiuni, legi i formule. Indicaii metodice

1. Prin fenomen termic se nelege orice fenomen fizic legat de micarea termic a particulelor (atomi, molecule, ioni).

Termodinamica studiaz fenomenele termice fr a ine seama de structura intern a corpurilor.

2. Orice corp macroscopic sau ansamblu de corpuri macroscopice formeaz un sistem termodinamic (S.T.).

Corpurile care nu fac parte din sistem se numesc corpuri exterioare sau mediu exterior.

Sistemul termodinamic este izolat, dac nu interacioneaz i nu schimb substan cu mediul exterior.

Sistemul termodinamic este nchis, dac nu schimb substan cu mediul exterior, dar schimb energie.

In termodinamic se studiaz interaciunea dintre sistem i mediul exterior.

3. Totalitatea proprietilor sistemului termodinamic la un moment dat reprezint starea sistemului.

Parametrii de stare reprezint ansamblul mrimilor fizice msurabile ce caracterizeaz n mod unic starea sistemului termodinamic.

Exemple de parametri de stare: temperatura, densitatea, capacitatea caloric, volumul, presiunea etc.

Parametrii de stare pot fi:

a) independeni - pot lua valori arbitrare;

b) dependeni - pot fi exprimai n funcie de parametrii independeni cu ajutorul unor relaii matematice.

4. Starea unui sistem termodinamic se numete stare staionar, dac toi parametrii de stare ce o caracterizeaz nu variaz n timp.Starea staionar se numete stare de echilibru termodinamic, dac ea nu se datoreaz unor fenomene care au loc n mediul exterior.

De exemplu, unul din capetele unei tije metalice este introdus ntr-un amestec de ap i ghea, aflat la presiune atmosferic normal (la temperatura de 0C), iar cellalt capt este introdus n ap n fierbere. n acest caz, temperaturile celor dou capete nu se modific n timp, dar starea staionar a tijei nu este o stare de echilibru termodinamic, deoarece pentru meninerea constant a temperaturilor de la capetele tijei, tija primete energie sub form de cldur de la apa aflat n fierbere i cedeaz energie amestecului de ap i ghea sub form de cldur.

Termodinamica studiaz n principal sisteme termodinamice aflate n stare staionar, precum i transformrile ntre astfel de stri.

Dac parametrii de stare se modific n timp, atunci starea sistemului termodinamic este nestaionar.

5. Starea de echilibru termodinamic a sistemului este determinat de ctre parametrii principali de stare.

Pentru un sistem chimic omogen, parametrii de stare principali sunt: volumul specific (vs), presiunea (p) i temperatura (T). Volumul specific reprezint volumul unitii de mas.6. In starea de echilibru termodinamic:

a) parametrii de stare ai sistemului termodinamic sunt egali cu parametrii de stare corespunztori ai mediului exterior;

b) parametrii de stare p, vs i T iau aceleai valori n tot sistemul termodinamic.

ntre cei trei parametri de stare principali exist o relaie matematic de

legtur, numit ecuaie termic de stare: p= f(v,,T). 7. Trecerea sistemului dintr-o stare n alta se numete proces sau

transformare de stare.

Dac parametrii de stare variaz n timp att de lent, nct n orice moment sistemul poate fi considerat n echilibru, atunci transformarea se numete cvasistatic.

Transformrile cvasistatice pot fi reprezentate grafic.

Transformarea n urma creia sistemul termodinamic trece dintr-o stare iniial de echilibru ntr-o stare final de echilibru, fr a trece succesiv prin stri intermediare de echilibru, se numete transformare necvasistatic.

Transformrile necvasistatice nu pot fi reprezentate grafic, deoarece n acest caz nu se mai poate vorbi despre parametri principali de stare (p, vs, T), care iau aceleai valori n orice punct al sistemului termodinamic.

Dac starea final a sistemului termodinamic coincide cu starea iniial, atunci transformarea se numete ciclic.

8. O transformare n care n urma schimbrii semnului de variaie a parametrilor de stare, sistemul termodinamic evolueaz de la starea final spre starea iniial trecnd prin aceleai stri intermediare de echilibru prin care a trecut n transformarea de la starea iniial la cea final, se numete transformare reversibil.

O transformare care nu este reversibil se numete ireversibil. Transformrile necvasistatice sunt ireversibile. Procesele din natur sunt ireversibile, adic se desfoar ntr-un anumit sens i nu se pot desfura de la sine n sens opus.

9. Lucrul mecanic n termodinamic

n procesul de interaciune a sistemului termodinamic cu mediul exterior, forele exterioare provoac aciuni mecanice n urma crora:

a) starea sistemului termodinamic nu se modific, realizndu-se numai o deplasare mecanic a ntregului sistem;

b) sistemul termodinamic prsete starea de echilibru termodinamic, efectund o transformare n care unii parametrii de stare variaz n timp.

n termodinamic se ia n considerare numai lucrul mecanic schimbat de sistemul termodinamic cu mediul exterior ntr-o transformare.

Parametrii de poziie sunt parametri de stare care depind de dimensiunile sistemului i a cror variaii n timp arat c sistemul prsete starea de echilibru n urma schimbului de lucru mecanic cu exteriorul, permind evaluarea lucrului mecanic dac se cunosc forele interne. La fluide exist un singur parametru de poziie, volumul.Prin convenie, lucrul mecanic efectuat de sistemul termodinamic asupra mediului exterior se consider pozitiv i lucrul mecanic efectuat de mediul exterior asupra sistemului termodinamic se consider negativ. Cu aceast convenie, lucrul mecanic se definete n termodinamic cu relaia:

L = pe-AV unde pe = ct. reprezint presiunea exterioar, iar AV reprezint variaia

volumului sistemului termodinamic. In cazul n care presiunea exterioar nu este constant (pe = ct.), se definete lucrul mecanic elementar pentru o variaie foarte mic a volumului (dV) sistemului termodinamic, n care variaia presiunii exterioare poate fi neglijat.

n acest caz: L = pedV .10. Cldura reprezint o form a schimbului de energie n care se realizeaz schimbul direct de energie ntre particulele care se mic haotic, ale corpurilor aflate n interaciune. n acest caz, se intensific micarea dezordonat a particulelor, deci crete energia intern.

Procesul de transfer al energiei interne, fr efectuare de lucru mecanic, se numete schimb de cldur. n procesul de schimb de cldur nu are loc transformarea unei forme de energie n alta: n acest proces, o parte din energia intern a unui corp se transfer altui corp, sau unor pri ale aceluiai corp.

Cldura (Q) reprezint energia transmis sistemului termodinamic n urma schimbului de cldur. Ca relaie matematic de definiie a cldurii se folosete expresia matematic a principiului I al termodinamicii:

Q = L + AU. innd cont de convenia de semn adoptat pentru lucrul mecanic n termodinamic, rezult c dac sistemul primete energie n urma schimbului de cldur, atunci Q > 0 J, iar dac sistemul cedeaz energie n urma schimbului de cldur, atunci Q < 0 J . n majoritatea manualelor de fizic de liceu sau gimnaziu i chiar n unele lucrri de specialitate, se afirm c sistemul primete cldur dac el primete energie n urma schimbului de cldur cu mediul exterior i c sistemul cedeaz cldur dac el cedeaz energie n urma schimbului de cldur cu mediul exterior.

O transformare n care sistemul termodinamic nu schimb energie sub form de cldur cu exteriorul (Q = 0 J) se numete transformare adiabtica.

11. Energia total a sistemului termodinamic (W) este egal cu suma dintre:

a) energia cinetic a micrii macroscopice ca un ntreg a sistemului termodinamic (Zsc.);b) energia potenial datorat cmpurilor conservative de fore externe I^O*'-) j. 2 exemplu: cmpul electric, cmpul gravitaional, cmpul forelor

elastice;

c) energia intern (U).

Deci, W = EC+Epext+U. Energia intern (U) a sistemului termodinamic este energia care depinde numai de starea termodinamic a sistemului, de caracterul micrii i

interaciunii particulelor din sistem. Ea se compune din:

energia cinetic a particulelor sistemului, datorat micrii termice;

energia potenial de interaciune a particulelor, datorat forelor intermoleculare;

energia potenial n cmpul forelor externe a tuturor particulelor din sistem, dac se modific starea de echilibru a sistemului;

energia electronilor din nveliurile electronice ale atomilor, moleculelor sau ionilor;

energia nucleului.

n majoritatea proceselor termodinamice, ultimele dou forme de energie rmn constante, deoarece nu se modific structura particulelor din sistem. Din aceast cauz, ele nu se iau n discuie, iar n manualul de fizic de liceu nici nu sunt introduse n definiia energiei interne a sistemului termodinamic.

Energia intern este o mrime de stare, adic variaia energiei interne la trecerea dintr-o stare de echilibru n alta, nu depinde de strile intermediare prin care trece sistemul i de caracterul reversibil sau ireversibil al transformrii, ci doar de cele dou stri.

Energia intern este o mrime aditiv, adic energia intern a sistemului termodinamic este egal cu suma energiilor interne ale prilor componente ale sistemului.

n termodinamic prezint interes practic numai variaia energiei interne (AU) i nu energia intern. Din aceast cauz, alegerea strii cu energia intern egal cu zero nu are importan.

12. Dou sisteme termodinamice A i B se afl n contact termic, dac sistemul (A + B) nu schimb cu exteriorul energie sub form de cldur sau sub form de lucru mecanic, iar ntre sistemele A i B exist schimb de energie numai sub form de cldur (nu i sub form de lucru mecanic).

Dou sisteme termodinamice aflate n contact termic sunt n echilibru termic, dac nu schimb ntre ele energie sub form de cldur.Principiul echilibrului termic. Dup un interval de timp mai lung sau mai scurt, sistemul termodinamic atinge o stare de echilibru termodinamic (termic).

Principiul tranzitivitii echilibrului termic. Dac sistemele termodinamice A i B sunt n echilibru termic, iar sistemul termodinamic B este n echilibru termic cu sistemul termodinamic C, atunci sistemul A este n echilibru termic cu sistemul C.

Temperatura empiric este un parametru de stare, care mpreun cu parametrii de poziie determin complet starea de echilibru termic a sistemului.

In termodinamic, temperatura este o mrime fizic ce caracterizeaz sensul schimbului de cldur ntre corpuri. In starea de echilibru termodinamic, temperatura tuturor corpurilor din sistemul termodinamic discutat este aceiai.

Termostatul este un sistem termodinamic a crui temperatur nu variaz n urma contactului termic cu alt sistem termodinamic. Pentru ca un sistem termodinamic s fie termostat, trebuie ca masa i energia lui s fie foarte mari n comparaie cu masa i energia sistemului termodinamic cu care se afl n contact termic.

Pentru msurarea temperaturii se folosete faptul c la variaia temperaturii corpurile i modific aproape toate proprietile fizice: lungime i volum, densitate, conductibilitate electric etc. Ca baz pentru msurarea temperaturii poate fi luat variaia oricrei proprieti fizice a corpului termometrie (lichid, gaz, rezistor etc), dac pentru ea se cunoate dependena proprietii fizice respective de temperatur (mrimea fizic respectiv se numete mrime termometrica). Pentru msurarea temperaturii, termometrul este adus n contact termic cu corpul a crui temperatur se msoar.

Temperatura msurat cu ajutorul unui termometru avnd scara stabilit cu ajutorul a dou temperaturi de reper {puncte termometrice) se numete temperatur empiric.

Scara de temperatur folosit cel mai mult este scara Celsius, la care cele dou temperaturi de reper sunt:

temperatura corespunztoare strii de echilibru dintre apa pur i gheaa care se topete la presiunea atmosferic normal, care n mod convenional se ia egal cu 0;

temperatura corespunztoare strii de fierbere a apei pure la presiunea atmosferic normal, care n mod convenional se ia egal cu 100.

Gradul Celsius (C) se obine mprind intervalul de pe scala termometrului, cuprins ntre reperele 0 i 100, n o sut de pri egale.In Sistemul Internaional de uniti de msur mrimea fizic fundamental este temperatura absolut (7), iar unitatea de msur a temperaturii

absolute este Kelvinul (K).

Legtura dintre temperatura absolut (T) i temperatura n scara Celsius

este dat de relaia: T(K) = 273,15 + t (C). 13. Legile gazului ideal

13.1. Legea Boyle-Mariotte sau legea transformrii izoterme (v = ct; r= ct):

ntr-o transformare izoterm, presiunea unui gaz ideal variaz invers proporional cu volumul ocupat de el: p V = ct."

n sistemul de coordonate (p, V) este o hiperbol echilateral . Hiperbola echilateral este simetric fa de prima bisectoare a sistemului de coordonate discutat.

13.2. Legea Gay-Lussac sau legea transformrii izobare (v = ct.; p = ct.): a) ntr-o transformare izobar variaia relativ a volumului unui gaz idealeste direct proporional cu temperatura lui:= t, (1.11), unde:

Vq este volumul ocupat de gaz la temperatura de 0 C;

V este volumul gazului la temperatura de / (C);

t este temperatura gazului exprimat n C;

este coeficientul de dilatare izobar.

Coeficientul de dilatare izobar () este numeric egal cu variaia relativ a volumului gazului ideal, atunci cnd temperatura lui variaz cu un grad.

Coeficientul de dilatare termic izobar are aceeai valoare pentru toate

gazele i este egal cu = b) ntr-o transformare izobar volumul gazului ideal crete liniar cu temperatura: V(t) = V0(1+t)c) ntr-o transformare izobar, raportul dintre volumul gazului ideal i

temperatura absolut a lui este constant: = ct

Figura 1 Dac dreptele 1 i 2 reprezint transformarea izobar pentru aceeai mas din acelai gaz ideal, atunci p> p2.

13.3. Legea lui Charles sau legea transformrii izocore (v = ct; V= ct.): a) ntr-o transformare izocor, variaia relativ a presiunii unui gaz ideal este direct proporional cu temperatura lui.Coeficientul termic al presiunii este numeric egal cu variaia relativ a presiunii gazului, atunci cnd temperatura lui variaz cu un grad.Coeficientul termic al presiunii are aceeai valoare pentru toate gazele i

este egal cu =b) Intr-o transformare izocor, presiunea unui gaz ideal crete liniar cutemperatura lui.

c) ntr-o transformare izocor, raportul dmtre presronea gazulm ideal i

temperatura absolut a lui este constant: - ct.n figura 2 sunt date cteva reprezentri grafice ale transformrii izocore n diferite coordonate.

Figura 2 Dac dreptele 1 i 2 reprezint transformarea izocor pentru aceeai mas din acelai gaz ideal, atunci Vi>V2.

13.4. Ecuaia Clapeyron-Mendeleev sau ecuaia termic de stare stabilete o dependen ntre parametrii principali de stare ai gazului ideal,

aflat ntr-o stare de echilibru: pV = RT ,unde:

m este masa gazului ideal (kg);

este masa molar a gazului (kg/mol);

R este constanta universal a gazelor i are valoarea egal cu R = = 8,31 J/(mol-K).

Dac m = ct., atunci ecuaia devine:= ct.Din ecuaia Clapeyron-Mendeleev rezult dependena densitii gazului ideal de temperatur: p(T) = => p(T) = ct , sau dependena densitiigazului de densitatea lui n condiii normale de presiune i temperatur. Gazul ideal se definete ca fiind un gaz care verific riguros legile Boyle-Mariotte, Gay-Lussac i Charles, n orice condiii de temperatur i presiune. Gazele reale (aerul, azotul, oxigenul, hidrogenul, heliul etc.) se supun legilor de mai sus atunci cnd se afl la temperaturi cu mult mai mari dect temperatura de lichefiere a lor i la presiuni apropiate ca valoare de presiunea atmosferic.

14. Ecuaia caloric de stare d dependena energiei interne a sistemului termodinamic de temperatur i de parametrii de poziie:

U = U(t,aua2,...,an). n cazul gazelor: U == U(t, V). (1.19) n conformitate cu experiena lui Joule energia intern a unui gaz ideal depinde numai de temperatura gazului: U=U(T). (1.20)

15. Principiul I al termodinamicii

Principiul nti al termodinamicii reprezint legea de conservare i transformare a energiei sistemului, aplicat fenomenelor termice.

Enunul 1: n orice transformare, variaia energiei interne (U) a unui sistem termodinamic, aflat n repaus mecanic, depinde numai de strile iniial i final ale sistemului, fiind independent de strile intermediare prin

care trece sistemul termodinamic: U=Q-L.

Enunul 2: Cldura primit de un sistem termodinamic este egal cu suma dintre variaia energiei interne a sistemului i lucrul mecanic efectuat de sistem: Q = L + U .

16. Mrimile fizice, care stabilesc o legtur cantitativ ntre cldura (Q) primit sau cedat de un corp i variaia temperaturii sale (T), se numesc coeficieni calorici. Coeficienii calorici depind de natura corpului i de condiiile fizice n care are loc schimbul de cldur.Capacitatea caloric (C) se definete ca raportul dintre cldura primit sau cedat de un corp (Q) i variaia corespunztoare a temperaturii lui (T), atunci cnd T -> 0 K:

C= . Unitatea de msur a capacitii calorice este [C]SI = J/K .Capacitatea caloric este o caracteristic a corpului i nu a substanei din care este alctuit.

Cldura specific (c) se definete ca raportul dintre cldura (Q) primit sau cedat de un corp i produsul dintre masa corpului (m) i variaia corespunztoare a temperaturii lui (T).

17. Calculul lucrului mecanic, cldurii i variaiei energiei interne n transformrile simple

a) ntr-o transformare izoterm lucrul mecanic, cldura i variaia energiei interne se calculeaz cu formulele: L = vRTlnb) ntr-o transformare izocor lucrul mecanic, cldura i variaia energiei interne se calculeaz cu formulele:

Lv =0J; Qv =v-CvT sau Qv =mcvT; AU = Qy. c) ntr-o transformare izobar lucrul mecanic, cldura i variaia energiei interne se calculeaz cu formulele:

Lp = pV sau Lp =vRT; U = vCv-T sau U = mcvT;

Qp=vCpT sau Qp=mcpT.d) ntr-o transformare adiabtica cldura, variaia energiei interne i lucrul mecanic se calculeaz cu formulele:

g = 0J; U=vCyT sau U = mcv T; L = -U . Ecuaia transformrii adiabatice cvasistatice se numete ecuaia Poisson i are forma p V = ct., Deoarece la gaze Cp > Cv, rezult c exponentul adiabatic este supraunitar ( > 1) i n coordonate Clapeyron graficul adiabatei este mai nclinat dect graficul izotermei.

18. Calorimetra se ocup cu msurarea cldurii i a cldurii specifice.

n cazul n care mai multe corpuri se afl ntr-un sistem Izolat, energia intern total a sistemului se conserv. Dac n acest sistem nu se efectueaz lucru mecanic, atunci n conformitate cu principiul nti al termodinamicii variaia energiei interne a fiecrui corp este egal cu cldura primit sau cedat de corpul respectiv pn la stabilirea echilibrului termodinamic (Ui=Qi).19. Principiul al doilea al termodinamicii

Formularea lui Thomson: ntr-o transformare ciclic monoterm sistemul nu poate efectua lucru mecanic. Dac transformarea ciclic monoterm este i ireversibil, atunci sistemul primete lucru mecanic din exterior."20. Ciclul Carnot este o transformare ciclic biterm, reversibil, format din dou izoterme i dou p adiabate (vezi figura 3).

Teoremele lui Carnot:

T.l. Randamentul unei maini termice care funcioneaz dup un ciclu Carnot depinde numai de temperaturile celor dou termostate i nu depinde de construcia mainii i de substana de lucru folosit.

T.2. Randamentul unei maini termice care funcioneaz dup un ciclu ireversibil ntre dou termostate de temperaturi date este mai mic dect randamentul unei maini ideale care ar funciona dup un ciclu Carnot reversibil ntre aceleai termostate.Teorema lui Clausius:

Intr-un ciclu oarecare, suma cldurilor reduse nu depinde de forma ciclului i este mai mic sau egal cu zero:Semnul egal corespunde cazului n care ciclul este reversibil, iar semnul mai mic corespunde unui ciclu ireversibil. Relaia de mai sus este cunoscut sub denumirea de inegalitatea lui Clausius.

21. Cu ajutorul inegalitii lui Clausius, aplicat proceselor reversibile, se poate defini entropia. Entropia este o funcie de stare, determinat cu o precizie pn la o constant. Valoarea acestei constante nu are importan, deoarece n termodinamic are semnificaie fizic numai variaia entropiei.

Variaia entropiei sistemului ntre dou stri de echilibru 1 i 2 se definete ca fiind egal cu cldura redus pe care trebuie s o primeasc sistemul pentru a trece din starea 1 n starea 2 n orice proces cvasistaticLegea creterii entropiei: Entropia unui sistem termodinamic izolat adiabatic nu poate s scad; ea crete sau rmne constant." Entropia unui sistem termodinamic este o mrime aditiv. Aplicatii:

Problema 1. Un gaz ideal sufer o transformare 1 - 2, care este reprezentat n figur. n care din cele dou stri (1 sau 2) volumul ocupat de gaz este mai mare? Se vor discuta cazurile n care p0 > 0Pa, respectiv p0 < 0 Pa . Masa gazului ideal se pstreaz constant n acest proces.

Soluie: Metoda 1. Problema poate fi rezolvat cel mai simplu grafic. Dac prelungirea segmentului de dreapt ce descrie procesul 1 > 2 ar trece prin origine, atunci procesul suferit de gaz ar fi izocor i volumul ocupat de gaz ar rmne constant.

In cazul acestei probleme prelungirea segmentului de dreapt 1 - 2 nu trece prin origine i, din aceast cauz, volumul gazului variaz. Pentru a rspunde la ntrebarea pus n enun, ducem prin punctele 1 i 2 dou drepte care trec prin origine . Aceste drepte reprezint dou izocore ale aceleiai mase de gaz, aflat la volumele Vx = ct., respectiv V2 = ct.

n coordonate (p, T) pantele acestor dou drepte sunt egale cu , respectiv cu, Din figura 1.10 se observ c dac p0>0Pa (figura1.10a), atunci panta dreptei Vl=ct este mai mare dect panta dreptei V2 = ct. i, din aceast cauz Vx < V2 . n cazul n care p0 V2.

Metoda 2. Problema poate fi rezolvat i analitic. Pentru aceasta scriem ecuaia dreptei care trece prin punctele 1 i 2: p(T)=a-T + bDeoarece masa gazului nu variaz n acest proces, din ecuaiile termice de stare ale gazului ideal scrise pentru cele dou stri rezult:=.

Problema 2. Intr-un tub sub form de U, nchis la unul din capete, se afl mercur. Lungimea coloanei de aer din tubul nchis este egal cu 2L, iar nivelul mercurului n ramura deschis este cu L mai sus fa de nivelul mercurului din ramura nchis. Tubul se afl ntr-o rachet care ncepe s urce vertical cu acceleraia g. S se calculeze diferena dintre nivelele mercurului n cele dou ramuri, dac n interiorul rachetei se menine presiunea iitmosferic normal.

Soluie

Deoarece tubul cu lichid urc vertical cu acceleraia a = g , presiunea hidrostatic exercitat de o coloan de lichid de nlime h este egal cu p = p(g + a)h (vezi capitolul Mecanica fluidelor din lucrarea Metode de rezolvare a problemelor de fizic, volumul I, Mecanic).

Inainte de pornirea rachetei, aerul din ramura nchis a tubului este comprimat i presiunea lui este egal cu suma dintre presiunea atmosferic i presiunea hidrostatic a coloanei de mercur de lungime L: pl = pa + p g L .

In momentul n care racheta ncepe s urce vertical cu acceleraia a = g, presiunea hidrostatic a coloanei de mercur de lungime L crete i aerul din ramura nchis se comprim. Denivelarea mercurului din cele dou ramuri se micoreaz pn cnd se stabilete un nou echilibru (vezi figura 1.22a).

Figura 1.22a corespunde situaiei n care racheta se afl n repaus, iar figura 1.22b corespunde situaiei n care racheta urc cu acceleraia a = g .

Aerul aflat n ramura nchis sufer o transformare izoterm, deoarece masa aerului i temperatura lui rmn constante. Conform legii Boyle-Mariotte:p1 S 2L=S.

p2=pa+p(g + a)y. (1.13.2)

avnd n vedere c P2 = Pa + g L , se obine:

(pa+ gL)2L = [pa+ (g + a)y](2L- Deoarece pa = p-g-H0 (unde H0 = 76cm) i a = g , ecuaia devine: 4 (H0+L)L = 3L H0 +2y2 +6Ly =>2y2 +6LyL(H0+4L) = 0 .

Soluiile ecuaiei sunt yl2 = Din aceste dou soluii are semnificaie fizic numai soluia cu semnul plus n faa radicalului.n figura 1 sunt prezentate cteva dependene grafice n transformarea izobar.

P

T

P