Notite de curs Disciplina “Structuri și legi de reglare” · 2019. 6. 3. · Notite de curs...
85
Notite de curs Disciplina “Structuri și legi de reglare” MASTER Cadru didactic: S.L. dr. ing. Gilca Gheorghe
Transcript of Notite de curs Disciplina “Structuri și legi de reglare” · 2019. 6. 3. · Notite de curs...
Notite de curs
Disciplina “Structuri și legi de reglare”
MASTER
Cadru didactic: S.L. dr. ing. Gilca Gheorghe
CUPRINS:
CAPITOLUL 1. SISTEME DE REGLARE AUTOMATĂ
CAPITOLUL 2. ALEGEREA ŞI ACORDAREA REGULATOARELOR
AUTOMATE
CAPITOLUL 3. LEGI DE REGLARE
CAPITOLUL 4. METODA LOCULUI RĂDĂCINILOR
CAPITOLUL 5. MODELE MATEMATICE
3
Capitolul I. SISTEME DE REGLARE AUTOMATĂ
I.1 Regimuri şi caracteristici de funcţionare. Aspecte teoretice Ansamblul compus din procesul condus, supus automatizării şi mijloacele
tehnice, respectiv echipamentele ce asigură automatizarea acestuia constituie un sistem automat (Fig.1.1).
Fig.1.1 Sistem automat
Procesul condus, reprezentat ca sistem cu intrările u şi ieşirea y este supus acţiunii mărimii de comandă u generate de sistemul conducător, reprezentat de echipamentul de automatizare şi acţiunii mărimilor exogene p, care reprezintă perturbaţii.
Dacă se descompune procesul condus în mai multe componente în care se evidenţiază blocurile sale funcţionale şi semnalele dintre aceste blocuri, se realizează o structură de sistem închis denumit sistem de reglare automată (S.R.A., Fig.1.2).
Fig.1.2 Sistem de reglare automată
Programul impus pentru evoluţia dorită a procesului este concretizat prin semnalul de referinţă r care se notează
r = yd (1.1)
Variabila fizică din proces (z, mărime de calitate) este măsurată şi
convertită prin traductorul Tr într-un semnal compatibil cu referinţa r. În elementul de comparaţie EC, aceste două semnale sunt de regulă prelucrate conform unei funcţii de scădere, din care rezultă abaterea (eroarea):
(t) = r y(t) = yd y(t) (1.2)
Regulatorul prelucrează eroarea (t) sau/şi referinţa r şi ieşirea măsurată y,
generând comanda u în scopul asigurării evoluţiei mărimii de calitate din proces
conform programului impus prin referinţa r, indiferent de acţiunea mărimilor perturbatoare p.
4
Comanda u asigură prin intermediul elementului de execuţie EE modificarea corespunzătoare a sursei de energie exterioară şi a instalaţiei tehnologice în sensul realizării evoluţiei dorite a mărimii de calitate z. Mărimea de execuţie m obţinută la ieşirea elementului EE defineşte fluxul de energie spre instalaţia tehnologică.
Ansamblul format din regulatorul R, elementul de execuţie EE şi traductorul Tr care asigură controlul procesului, fără intervenţia operatorului uman se numeşte echipament de automatizare.
Prin definiţie regimul staţionar al sistemului este acel regim de funcţionare în care toate variabilele de stare sunt constate. În regim staţionar are loc un echilibru al fenomenelor de acumulare şi disipare al energiilor interne.
Pentru realizarea relaţiei funcţionale intrareieşire a sistemului, fiecare componentă (instalaţia tehnologică, traductorul de măsură, elementul de execuţie, regulatorul automat) intervine prin modelul său funcţional, respectiv prin relaţia dintre intrarea şi ieşirea corespunzătoare. Funcţionarea sistemului poate fi definită printr-un model staţionar, caz în care forma de variaţie în timp a intrării şi a ieşirii este identică, sau printr-un model general, care include elemente acumulatoare şi disipatoare de energie. Un asemenea model general permite caracterizarea funcţionării sistemului în regim dinamic sau regim tranzitoriu.
Caracteristica dinamică asociată regimului tranzitoriu se defineşte prin variaţia mărimii de la ieşire în timp, pentru o formă cunoscută de variaţie a mărimii de intrare.
Semnalele utilizate frecvent în studiul sistemelor liniare sunt: treaptă
unitară, rampă unitară, impuls unitar, semnal sinusoidal, semnale utilizate cu rezultate suficient de bune.
Funcţia sau semnalul treaptă unitară se defineşte prin expresia:
uo (t to ) = 1
00
0
, :
, :
pentru t t
pentru t t
(1.3)
Funcţia rampă unitară v(t) se defineşte prin expresia:
v(t) = u t dt
0 0( ) =
t t pentru t t
pentru t t
0 0
00
, :
, : (1.4)
Funcţia impuls unitar (t) se defineşte prin relaţia:
(t) = lim
t
uo t uo t t
t
0
( ) ( )
( ) (1.5)
I.2 Tipuri de regulatoare. Caracteristici, performanţe Într-un sistem de reglare automată, regulatorul elaborează algoritmul de
reglare a procesului în funcţie de abaterea (t) ce apare în sistem. Regulatorul prelucrează informaţia primită de la proces comparativ cu programul impus şi
5
stabileşte strategia de acţiune a elementului de execuţie în vederea anulării abaterii dintre programul impus sistemului şi valoarea realizată a parametrului reglat. Cele mai utilizate regulatoare cu acţiune continuă liniare sunt de tip proporţional (P), proporţional-integrativ (PI), proporţional-derivativ (PD), proporţional-integral-derivativ (PID).
Regulatorul proporţional (P) Acest regulator este caracterizat printr-o ecuaţie de forma:
u (t) = KR (t) (1.6)
unde: KR reprezintă factorul de amplificare al regulatorului şi este parametrul de acord. Un regulator de tip P este caracterizat de asemenea prin banda de
proporţionalitate definită sub forma BP= 100
KR
.
Răspunsul indicial ideal al acestui regulator este prezentat în figura 1.3.
Fig.1.3 Răspunsul indicial al unui regula tor P
În caz real, în funcţionarea acestui regulator intervine o întârziere de ordinul întâi sau de ordinul doi. Funcţia de transfer a unui regulator P ideal este o constantă egală cu factorul de amplificare, iar a unui regulator P real cu întârziere de ordinul întâi este:
HR (s) = 11
RK (1.7)
Regulatorul P introdus într-o buclă de reglare poate conduce la o funcţionare stabilă însă cu o eroare staţionară a cărei valoare variază invers cu factorul de amplificare al regulatorului, pentru un sistem ce nu conţine poli în origine, la o variaţie treaptă a mărimii de intrare.
Regulatorul integrativ (I ) Acest regulator este caracterizată prin relaţia
u (t) = t
i
dttT 0
)(1
(1.8)
6
cu Ti constanta acţiunii integrale (parametrul de acord al regulatorului) sau
t
i
dttT
udt
du
01 )(1
(1.9)
în cazul în care regulatorul are o întârziere de ordinul întâi, în funcţionarea sa. Răspunsul indicial al unui regulator I este prezentat în figura 1.4.
Fig.1.4 Răspunsul indicial al unui regulator I ideal şi real Regulatorul proporţionalintegrator (PI)
Acest regulator este descris de următoarea relaţie aproximativă intrareieşire, respectiv funcţie de transfer:
u (t) = KR ( )tT
t dti
t
1
0
(1.10)
sTKsH
i
R
1)( (1.11)
În cazul real, în funcţia de transfer a regulatorului PI apare o întârziere de
ordinul întâi sau de ordinul doi. Funcţia indicială a unui PI ideal este reprezentată în figura 1.5.
Fig.1.5 Răspunsul indicial al unui regulator PI ideal Regulatorul proporţionalintegrativderivativ (PID)
Algoritmul de reglare PID este descris de relaţiile:
7
u(t) = KR
dt
dTdtt
Tt d
t
i
0
1)( (1.12)
sT
sTKsH d
i
R
11)( (1.13)
Răspunsul indicial al regulatorului PID ideal este reprezentat în figura
1.6a, iar pentru un regulator PID real, în figura 1.6b.
a - ideal b - real Fig.1.6a,b Răspunsul indicial al regulatorului PID
Algoritmul PID se obţine ca o combinaţie liniară a celor trei moduri de
acţiune: P, I şi D. Astfel, se regăsesc în acest algoritm şi dezavantajele fiecărei componente. Algoritmul PID se recomandă, în general, pentru procese cu două constante de timp predominante, alegând astfel parametrii de acord ai regulatorului încât aceste constante de timp să fie reduse. Elementul de tip D conduce la un impuls la începutul procesului tranzitoriu, asigurând sistemului de reglare un caracter de anticipaţie. Elementul de tip D reduce suprareglajul al sistemului, dar necesită precauţii la acordarea regulatorului în cazul unor procese cu timp mort.
I.3 Performanţele şi analiza stabilităţii sistemelor de reglare automată Utilizarea metodei ecuaţiilor diferenţiale pentru analiza sistemelor
automate liniare permite aprecierea directă din răspunsul sistemului a performanţelor staţionare şi tranzitorii. Etapele analizei sistemelor automate prin metoda ecuaţiilor diferenţiale sunt:
scrierea ecuaţiilor diferenţiale ce descriu funcţionarea sistemului pe baza legilor fizicii, mecanicii, electrotehnicii, etc.;
liniarizarea ecuaţiilor, dacă acestea sunt neliniare, printr-una din metodele cunoscute de liniarizare (alegerea unui punct de funcţionare a sistemului în jurul căruia abaterile mici ale variabilelor conduc la o funcţionare liniară, dezvoltarea Taylor în jurul acestui punct);
evidenţierea variabilelor de la intrare (cauze) şi de la ieşire precum şi a parametrilor caracteristici a sistemului (coeficienţii);
8
specificarea funcţiei aplicate la intrare în scopul analizei, a condiţiilor iniţiale a sistemului şi a intervalului de timp pe care se va cere variaţia mărimii de la ieşire;
calculul răspunsului liber şi forţat al sistemului descris de ecuaţia diferenţială pentru funcţia de la intrare dată;
calculul performanţelor staţionare şi tranzitorii ale sistemului (direct din răspunsul acestuia).
Pornind de la ecuaţia diferenţială a sistemului de reglare se poate analiza comportarea sistemului prin rezolvarea acesteia. Soluţia y(t) a unei ecuaţii diferenţiale ordinare cu coeficienţi constanţi se compune din soluţia liberă y l(t), determinată ca soluţie a sistemului autonom şi soluţia forţată y f(t), determinată de tipul şi amplitudinea intrării :
y(t) y1(t) yf(t) (1.14)
Componenta liberă a sistemului se calculează ca soluţie a ecuaţiei
diferenţiale pentru care termenul drept este zero. Răspunsul liber se obţine ca o combinaţie liniară a unui set fundamental de soluţii y1(t), y2(t) ... yn(t) sub forma:
y1(t) =
n
i 1
Ci yi(t) . (1.15)
În cazul în care la intrare se consideră o funcţie u(t) = (t), răspunsul
sistemului poartă denumirea de funcţie pondere şi caracterizează comportarea liberă a sistemului.
Expresia funcţiei de pondere este:
h(t) = i
n
1
Ci yi(t) pentru t 0 (1.16)
y(t) = 0 pentru t 0 . (1.17)
Răspunsul sistemului la intrarea treaptă unitară se calculează relaţia:
i(t) = 0
t
h(t) u(t ) d ) = 0
t
h( ) d (1.18)
şi poartă denumirea de funcţie indicială a sistemului.
O altă posibilitate de calcul a răspunsului forţat constă din alegerea componentei forţate ca o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale.
Folosirea acestor noţiuni elementare pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale permite determinarea răspunsului sistemelor pentru diverse tipuri de semnale de intrare şi analiza performanţelor acestora în domeniul real, al timpului. Utilizarea acestei metode de analiză prezintă avantajul esenţial că răspunsul sistemului se obţine direct în domeniul real al timpului pentru orice
9
condiţii iniţiale, putând fi studiată influenţa diverşilor parametri asupra performanţelor.
Metoda ecuaţiilor diferenţiale este aplicabilă cu eficienţă pentru analiza sistemelor cu grad redus de complexitate, pe de o parte datorită dificultăţilor de obţinere a ecuaţiei diferenţiale generale a sistemului prin eliminarea variabilelor intermediare, iar pe de altă parte datorită dificultăţilor de rezolvare prin metode clasice ale ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior.
O condiţie necesară dar nu şi suficientă pentru ca un sistem automat să poată fi utilizat în practică este stabilitatea sistemului, respectiv proprietatea sistemului de a stabili prin acţiunea sa un nou regim staţionar în condiţiile în care sub acţiunea variaţiei mărimii de intrare sau a perturbaţiilor a fost scos din regimul staţionar anterior. Astfel, pentru un sistem stabil durata regimului tranzitoriu este limitată.
Un sistem instabil nu este utilizabil deoarece nu poate realiza pe cale automată o lege de dependenţă dorită între mărimea de ieşire şi cea de intrare.
Verificarea stabilităţii unui sistem automat reprezintă cea mai importantă fază a analizei unui sistem, impunându-se a fi efectuate înainte de a începe analiza celorlalte performanţe ale sistemului.
Gradul de stabilitate a unui sistem automat, în general, dă informaţii despre întreaga comportare a sistemului. Stabilitatea relativă a unui sistem caracterizează gradul de stabilitate şi se defineşte în raport cu variaţia unor parametrii ai sistemului.
Acesta permite a determina valorile optime ale parametrilor sistemului care asigură performanţele cele mai bune, fiind o strânsă legătură între rezerva (gradul) de stabilitate şi celelalte performanţe ale sistemului.
Un sistem cu un grad redus de stabilitate (sistemul mai apropiat de limita de stabilitate ) are un suprareglaj mare - la limita de stabilitate rezultă = 100 % - pe când sistem stabil care este departe de limita de stabilitate, deci are un grad (rezervă) de stabilitate ridicat, are suprareglajul redus.
Stabilitatea unui sistem poate fi uşor definită în funcţie de răspunsul liber al sistemului.
lim y1(t ) = 0. (1.19)
Un sistem de reglare automată se caracterizează prin următoarele
proprietăţi: - capacitatea de a reveni într-un regim staţionar, la scoaterea s-a din
regimul de funcţionare, sub acţiunea unor mărimi exogene, (referinţe, perturbaţii externe) sau endogene, adică de a asigura funcţia de stabilitate (S) a sistemului;
- capacitatea de a anula eroarea în regim staţionar de funcţionalitate în condiţiile existenţei unor mărimi externe (referinţe, perturbaţii) ce acţionează asupra obiectului condus, adică de a asigura funcţia de reglare (R) a sistemului.
În afară de cele două proprietăţi fundamentale în aplicaţiile concrete se impun SRA cu proprietăţi care definesc calitatea procesului de reglare. Calitatea procesului de reglare este caracterizată printr-o clasă de indici de calitate care definesc performanţele SRA.
10
I.4 Sisteme de reglare în cascadă. Elemente de bază
Reglarea în cascadă este utilizată atât în cazul proceselor rapide cât şi în cazul proceselor lente. Prezenţa unui număr mare de constante de timp în funcţia de transfer a procesului face dificilă utilizarea unor algoritmi de reglare tipizaţi (PI, PD, PID) impunându-se pentru compensarea acestor constante de timp, algoritmi de reglare care să conţină mai multe binoame de gradul întâi. Date fiind dificultăţile de realizare a unor asemenea regulatoare şi ţinând seama de efectul negativ pe care-l au componentele derivative asupra răspunsului (amplificarea zgomotelor) se recomandă reglarea în cascadă.
Pentru procesele tehnologice la care se pot evidenţia mărimi intermediare măsurabile iar funcţia de transfer a procesului poate fi scrisă ca produs de funcţii de transfer ce nu conţin mai mult de două constante de timp, se recomandă reglarea în cascadă (Fig.1.7).
Fig.1.7 Schema generală de reglare în cascadă
Astfel, în această schemă, pe lângă regulatorul RA 1 destinat reglării
mărimii de ieşire y(t) se introduc în schemă regulatoarele suplimentare, câte unul pentru fiecare mărime intermediară, fiind asigurată o reglare – şi implicit o limitare – simultană a mai multor mărimi din cadrul sistemului, împreună cu mărimea de ieşire. Regulatorul RA2 este destinat reglării mărimii intermediare y1(t). Alegerea mărimilor intermediare trebuie făcută având în vedere accesibilitatea lor, posibilitatea de măsurare cu mijloace tehnice simple precum şi viteza de răspuns la perturbaţii a acestor mărimi. Se impune ca aceste mărimi intermediare să răspundă la perturbaţii mai repede decât mărimea de la ieşire. Respectarea acestor condiţii asigură o creştere a vitezei de răspuns a sistemului şi o compensare a efectului perturbaţiilor ce intervin asupra procesului, asigurându-se un grad de invarianţă al mărimii de ieşire (în raport cu perturbaţiile) mult mai mare decât în cazul unei reglări convenţionale cu un singur regulator. Reglarea în cascadă prezintă şi avantajul unei sensibilităţi mai reduse la variaţia anumitor parametrii ai procesului, sub acţiunea unor perturbaţii parametrice.
Dificultăţile în obţinerea unor performanţe cât mai bune sunt legate de alegerea şi acordarea regulatoarelor, având în vedere că regulatoarele buclelor interioare au referinţa fixată intern ce către un alt regulator. Se recomandă ca bucla interioară să aibă o viteză de răspuns mai mare decât bucla principală.
11
Pentru ca reglarea în cascadă să fie mai eficientă în ceea ce priveşte realizarea unor performanţe superioare faţă de reglarea convenţională, se impune ca:
- perturbaţiile cele mai importante să fie aplicate în cadrul buclei interioare, unde prin acţiunea regulatorului RA2 se reduce rapid efectul lor;
- constantele de timp ale părţii de proces inclusă în bucla interioară să fie reduse în comparaţie cu constantele de timp ale buclei principale; - parametrul intermediar supus reglării să fie legat direct de mărimea de ieşire a procesului. Alegerea regulatoarelor se face începând cu bucla interioară, la acordare considerându-se funcţionarea independentă a acestora, cu satisfacerea unei restricţii de forma impusstst pentru o perturbaţie de tip treaptă şi u regim
tranzitoriu cu minim de oscilaţii până la atingerea regimului staţionar. Regulatorul principal trebuie să asigure o abatere staţionară nulă. Pentru acordarea regulatorului principal, bucla secundară funcţionează ca o parte caracteristică a întregului sistem. Alegerea şi acordarea optimă a regulatoarelor asigură a comportare bună a sistemului atât la variaţiile intrării cât şi la variaţiile perturbaţiilor.
I.5 Elemente de bază ale proiectării SRA Proiectarea unui sistem de reglare automată presupune rezolvarea unor
probleme legate de alegerea şi dimensionarea elementelor componente, precum şi interconectarea lor astfel încât să fie realizate performanţele impuse sistemului.
Prima etapă a proiectării constă în definirea obiectivelor propuse a fi realizate de sistem, ţinând seama de tipul procesului, de condiţiile tehnologice de funcţionare a acestuia, respectiv de restricţiile impuse în funcţionare.
A doua etapă constă în definirea mijloacelor şi a metodelor disponibile pentru realizarea obiectivului respectiv propus.
Găsirea unor soluţii optime pentru sistemul de reglare, ţinând seama de scopul propus, reprezintă cea de-a treia etapă a proiectării.
Cunoaşterea cât mai exactă a procesului supus automatizării, a modelului său matematic reprezintă una din problemele cele mai dificile ale proiectării riguroase a unui sistem de reglare automată.
Se impune cunoaşterea mărimilor de intrare şi a mărimilor de ieşire esenţiale ale procesului, perturbaţiilor care acţionează asupra procesului şi locul unde acestea acţionează.
Se cer de asemenea mărimile prin intermediul cărora se pot obţine informaţii semnificative asupra stării procesului (observabilitatea). Restricţiile funcţionale proprii fiecărui proces pot de asemenea fi precizate, astfel încât informaţia apriorică despre procesul supus automatizării să fie cât mai completă.
În cea ce priveşte stabilirea criteriilor de performanţă ce trebuie satisfăcute, aceasta se face în funcţie de tipul sistemului automat care poate fi de stabilizare, de urmărire sau de conducere optimală. Criteriile de performanţă care trebuie urmărite sunt definite atât pentru regimul staţionar cât şi pentru regimul tranzitoriu de funcţionare.
În general se cer a fi satisfăcute condiţiile referitoare la:
12
- stabilitatea sistemului; - precizia în regim staţionar st; - răspunsul tranzitoriu; - suprareglajul; - timpul tranzitoriu tt; - factorul de amortizare ; - timpul de creştere tc; - timpul de întârziere ti.
iar în domeniul frecvenţelor, referitoare la: - banda de frecvenţă B; - marginea de fază M ; - marginea de câştig Mc; - pulsaţia de rezonanţă r. Criteriile de performanţă se pot defini sub forma menţionată sau sub
formă integrală, putând îngloba nu numai o performanţă ci un grup de performanţe, asigurând astfel o comportare optimă a sistemului atât la variaţia intrării cât şi la variaţia perturbaţiei.
Capitolul II. ALEGEREA ŞI ACORDAREA REGULATOARELOR AUTOMATE
2.1. Formularea problemei de alegere şi acordare a regulatoarelor Procesul care se desfăşoară într-o instalaţie tehnologică trebuie
automatizat şi apoi alese blocurile componente ale regulatorului, astfel: -se stabileşte care tip de regulator este mai indicat, respectiv P, I, PI, PD sau PID; -se determină parametrii regulatorului ales, figura 2.1.
Fig.2.1.
La alegerea tipului de regulator se au în vedere:
-principiul de funcţionare (mecanic, electric, electronic sau combinaţii ale acestora); -caracteristicile procesului ce se desfăşoară în instalaţia reglată; -condiţiile de funcţionare, mediu, regimuri speciale; -caracteristicile statice ale elementelor; -performanţele ce trebuie realizate; -eficacitatea economică a realizării şi instalării unui sistem complex de reglare automată.
Deoarece parametrii regulatorului automat se pot afla în game mult mai largi de valori decât cele necesare la reglarea instalaţiei respective, se impune acordarea regulatorului. Aceasta constă în ajustarea parametrilor DIR TTK ,, ai regulatorului (care de obicei este unul tipizat), astfel ca aceştia să conducă la performanţe dorite în regim staţionar şi dinamic de funcţionare. Dacă această ajustare are în vedere o comportare a procesului reglat, optimă în raport cu un anumit criteriu (durata minimă a procesului tranzitoriu, eroarea minimă, influenţa perturbaţiilor etc.), ea reprezintă acordarea optimă a regulatorului automat. Pentru a pune în evidenţă influenţa tipului de regulator folosit asupra comportării sistemului de reglare, se trasează răspunsurile unui SRA dat, pentru o variaţie la intrare de tip treaptă unitară ( sau rampă ), în condiţiile în care sunt utilizate regulatoarele P, I, PI, PD şi PID. Din comportarea acestor răspunsuri rezultă concluziile legate de alegerea tipului de regulator. Unele din cerinţele de calitate ale sistemelor automate impun variaţii în sensuri contrare ale parametrilor ce tebuie ajustaţi. Astfel, obţinerea unui timp de creştere sau de stabilire pentru mărimea reglată, cât mai mic, conduce la suprareglaj mare, creşterea factorului de amplificare în scopul reducerii erorii
staţionare determină reducerea rezervei de stabilitate, etc. De aceea, criteriile de acordare a regulatoarelor automate recurg la soluţii de compromis.
Procesele electroenergetice şi acţionările electrice formate din maşini electrice (în regim de generator, motor sau transformator), liniile electrice de transport, maşinile mecanice de lucru (maşini unelte, pompe, ventilatoare, etc.) sau procesele electromecanice intră în categoria proceselor rapide, având constante de timp dominante mai mici de 10 secunde şi timpi morţi neglijabili. În general, identificarea acestor procese este mai simplă şi mai exactă decât a proceselor lente, stabilirea parametrilor electrici sau mecanici fiind pretabilă la măsurători precise.
Pentru procesele rapide se utilizează mai multe criterii de alegere şi acordare optimă a regulatoarelor, dintre care prezintă importanţă criteriul modulului (Varianta Kessler) şi criteriul simetriei.
2.2. Alegerea şi acordarea regulatoarelor pentru procese rapide.
2.2.1. Criteriul modulului. Criteriul modulului pleacă de la ideea ca un SRA să aibă o comportare optimă (ideală) atât în raport cu referinţa cât şi în raport cu perturbaţia, în sensul că răspunsul yr în raport cu referinţa să fie identic cu referinţa, iar răspunsul y p în raport cu perturbaţia să fie nul, figura 2.2.
Fig.2.2
Răspunsurile sistemului în raport cu referinţa şi perturbaţia sunt date de relaţiile:
sRsHsYr 0 (2.1)
sPsHsY pp 0 (2.2)
Pentru a asigura o comportare ideală a SRA în raport cu aceste mărimi exogene se cer îndeplinite condiţiile:
1sau1 00 jHsH (2.3)
0sau0 00 jHsH pp (2.4)
Aceste condiţii trebuie îndeplinite pentru întregul domeniul de variaţie al frecvenţei . O asemenea comportare este ideală şi deci nerealizabilă. De aceea se impune utilizarea unor relaţii de proiectare care să permită apropierea comportării SRA de această comportare ideală. Trecând în domeniul modulelor, condiţiile (2.3) şi (2.4) iau forma:
10 jHM (2.5)
000 jHM pp (2.6)
Dezvoltând aceste module în serie în vecinătatea pulsaţiei =0, unde sunt satisfăcute condiţiile anterioare pentru eroarea staţionară nulă, se obţine:
!d
d0
01
i
i
MMM
i
ii
(2.7)
!d
d0
01
0i
00i
MMM
i
ii
p
pp
(2.8)
Comparând aceste expresii se constată că sunt îndeplinite condiţiile (2.5) şi (2.6) dacă sunt satisfăcute relaţiile:
...1pentru 0
d
d si 10
ii
MM
i
(2.9)
...1pentru 0d
d si 00
i
00 i
MM
p
i
p
(2.10)
Cu cât sunt satisfăcute mai exact relaţiile (2.9) şi (2.10) cu atât comportarea SRA se apropie mai mult de comportarea ideală. Pe baza acestor consideraţii a fost elaborat criteriul modulului, utilizat atât pentru procesele rapide, cât şi pentru procesele lente, care au constante de timp predominante peste 10 secunde (fără timp mort).
2.2.2. Varianta Kessler a criteriului modulului pentru procese rapide. În cazul proceselor rapide de tipul maşinilor şi acţionărilor electrice, identificarea este realizată cu un grad de precizie ridicat, fiind cunoscute atât constantele de timp principale Tk cât şi constantele de timp parazite Ti. Funcţia de transfer a procesului condus în aceste condiţii are forma:
m
k
k
n
i
i
f
f
sTsT
KsH
11
11
(2.11)
Având în vedere că Ti nu ating o secundă se poate scrie:
1....11 11
sTTTssT m
m
i
i (2.12)
unde T este suma constantelor de timp parazite (T<<Tk). Introducând (2.12) în (2.11) se obţine prima formă generală a funcţiei de transfer pentru procese rapide:
n
k
k
f
f
sTsT
KsH
1
11
(2.13)
A doua formă generală a proceselor rapide, care conţin un pol în origine,
are forma:
n
k
k
f
f
sTsTs
KsH
1
11
(2.14)
Pentru acest tip de procese, satisfacerea condiţiilor criteriului modulului presupune alegerea unor regulatoare de forma:
s
s
sH
m
k
k
R
1
1 pentru procesul (2.13) (2.15)
respectiv
m
k
k
R
s
sH 1
1
pentru procesul (2.14) (2.16)
Pe baza condiţiilor menţionate se obţin următoarele relaţii de acordare optimă pentru parametrii regulatorului în funcţie de parametrii procesului:
TK
T
nm
f
kk
2
(2.17)
În acest caz, ţinând seama de relaţiile de acordare optimă (2.17), funcţia de transfer a căii directe ia forma:
12
1
sTsTsHsHsH Rfd (2.18)
Această relaţie este frecvent utilizată în proiectare deoarece constanta T este dată, iar funcţia de transfer a regulatorului H R(s) rezultă imediat din (2.18). Funcţia de transfer a sistemului închis rezultă:
22
2
2
2
2
220 22
112
1
122
1
1nn
n
d
d
ss
Ts
Ts
T
sTsTsH
sHsH
(2.19)
Din (2.19) se constată că se obţine un sistem de ordinul II cu următorii parametrii specifici:
T
n2
1 (2.20)
707,0
2
12
1
2
1;
12
TT
TT n
n (2.21)
Performanţele SRA sunt:
Pentru =0,707, se obţine un suprareglaj %3,4 iar durata regimului
tranzitoriu este T
Tt
n
t 87,0
244
.
În regim staţionar eroarea staţionară st este egală cu zero atât pentru referinţă cât şi pentru perturbaţie deoarece există un integrator în structura lui HR(s) sau Hd(s).
Eroarea staţionară la rampă este TsHsK dv
stR 2lim
11 .
Se constată că toate performanţele depind de constanta de timp parazită T, şi întrucât aceasta are valori mici (0,01-0,1 s), performanţele sunt foarte bune. Funcţia H0(s) satisface condiţia (2.3) a criteriului modulului pe domeniu de frecvenţă suficient de mare. Sistemul de ordinul II cu =0,7 are lărgimea de
bandă egală cu pulsaţia naturală
T
nB2
1 . Din această relaţie rezultă că
lărgimea de bandă creşte la scăderea constantei de timp parazite T.
2.3 Criteriul simetriei Acest criteriu este folosit pentru procese rapide şi are ca obiectiv alegerea şi acordarea unui regulator care asigură o eroare staţionară nulă şi la semnale de referinţă de tip rampă. Se consideră procese de forma:
n
k
k
f
f
jTjT
KsH
1
)1(1 (2.22)
la care se fac următoarele aproximaţii în domeniul frecvenţei kk TjTj 1 ,
astfel că funcţia de transfer a procesului devine:
n
k
k
f
f
sTsT
KsH
1
1
(2.23)
Pentru procesul (2.23), criteriul simetriei recomandă un regulator cu următoarea funcţie de transfer:
s
n
c
R
ssH
1
(2.24)
Pentru a asigura o comportare optimă la semnale rampă se recomandă următorii parametri de acord:
n
K
K
n
cf
c
T
TK
Tn
1
2
4
(2.25)
Considerând cazul n=1, se obţine pentru funcţia de transfer a căii directe
expresia:
18
144
2
14
1 22
sTsT
sT
sT
TTK
sT
sTsT
KsHsHsH
K
fK
f
Rfd (2.26)
În relaţia (2.26) se remarcă prezenţa a doi poli în origine care asigură eroarea staţionară nulă la rampă. Funcţia de transfer a sistemului închis are forma:
1488
14
1 22330
sTsTsT
sT
sH
sHsH
d
d (2.27)
Eroarea în regim staţionar este nulă atât pentru intrarea treaptă s
sR1
cât şi pentru intrarea rampă 2
1
ssR , conform relaţiei:
0
1
1lim
sR
dHs
dos
st (2.28)
O asemenea configuraţie a polilor şi zerourilor în H 0(s) asigură un răspuns foarte bun y(t) la un semnal rampă. 2.4. Metode experimentale de acordare a regulatoarelor
Dificultăţile legate de identificarea exactă a proceselor lente au condus la o aplicare limitată a metodelor analitice şi la impunerea unor metode practice de acordare, bazate pe experienţa acumulată în cadrul exploatării SRA. Metodele practice se aplică pe sisteme în funcţiune, cu mărime de referinţă şi mărimile perturbatoare menţinute constante. Prin modificarea parametrilor de acord ai regulatorului se ajunge la limita de stabilitate, regim în care se determină amplitudinea şi frecvenţa oscilaţiilor întreţinute ale mărimii de ieşire. Folosind aceste mărimi caracteristice, se determină valorile optime ale parametrilor de acord ai regulatorului.
Metoda Zeigler – Nichols se aplică la procese lente la care perturbaţiile sunt determinate de sarcină şi au durate mari. Pentru un SRA cu structură convenţională, prevăzută cu un regulator PID având funcţia de transfer de forma:
sT
sTKsH d
iRR
11)( ( 1.21 )
cu factor de interinfluenţă q=0, acordare decurge astfel: - se fixează parametrul iT la valoare maximă ( iT ), parametrul dT la
valoarea minimă ( 0dT ), rezultând un regulator de tip P. Se modifică
factorul de amplificare RK până la o valoare 0RK la care sistemul ajunge la
limita de stabilitate, respectiv mărimea de ieşire a sistemului intră într-un regim de oscilaţii neamortizate cu perioada 0T .
Metoda Offreins se recomandă pentru regulatoarele PI, pentru a asigura un răspuns optim la perturbaţii. Relaţiile Kapelovici stabilesc parametrii optimi de acord care asigură un răspuns tranzitoriu aperiodic cu durata minimă, respectiv
un răspuns cu suprareglaj maxim de 20%. Relaţiile Chien-Hrones-Reswick permit determinarea parametrilor de acord pentru o comportare optimă la variaţia treaptă a intrării, asigurând un răspuns aperiodic cu durata minimă şi suprareglaj de 20%. Adoptarea unor relaţii de acordare, din cele menţionate mai sus, depinde de condiţiile concrete în care funcţionează sistemul de reglare automată.
Algoritmi de reglare recomandaţi şi metode experimentale de acordare a regulatoarelor
Algoritmi de reglare recomandaţi, în funcţie de natura parametrului reglat
Tipul regulatorului /
Parametrul reglat
P PI PID
Temperatură DA DA DA
Presiune
DA, dacă nu există
timpi morţi prea mari
DA
În cazuri speciale
Debit NU DA NU
Nivel
DA, dacă nu există
timpi morţi prea mari
DA
DA
Algoritmi de reglare recomandaţi pentru diverse funcţii de transfer ale procesului condus
Legea de
reglare/ Funcţia de transfer
P PI PD PID
1sT
k
f
f DA DA,
dacă se impun cerinţe asupra
st
DA, dacă Tf este
precis determinat
NU
11 21 sTsT
k
ff
f DA,
cu perform. reduse
DA, cu restricţii
asupra amplificării
Rar utilizat
DA, cu restricţii
asupra amplif.
n
f
f
sT
k
1
1
Rar utilizat, cu perform.
DA
Rar utilizat
DA
reduse
s
f
fe
sT
k 1
DA, când
1,0fT
st este în
lim. admisb.
DA
Foarte rar utilizat
Neconvenabil, când este produs de timpul de
transport şi există zgomot
s
f ek NU NU NU NU
11 21
sTsT
ek
ff
s
f
NU
DA
NU Rar utilizat,
în fct. de şi de efectul comp. D.
Valorile parametrilor de acord, în funcţie de KR0 şi T0 ,
după Zeigler – Nichols
Regulator Parametri de acord
P KR opt = 0,5 KR0 PI KR opt = 0,45 KR0 , Ti opt = 0,8 T0
PID, cu q = 0 KR opt = 0,75 KR0 , Ti opt = 0,6 T0 , Td opt = 0,1 T0 PID, cu q = 1 KR opt = 0,6 KR0 , Ti opt = 0,5 T0 , Td opt = 0,12 T0
Valorile parametrilor de acord, în funcţie de şi Tf,
după Zeigler – Nichols
Regulator Parametri de acord
P
f
f
Ropt
T
kK
1
PI
3,3,
9,0 opti
f
f
Ropt TT
kK
PID, cu q = 1
5,0,2,
2,1 optdopti
f
f
Ropt TTT
kK
PID, cu q = 0
5,0,5,2,
5,1 optdopti
f
f
Ropt TTT
kK
Valorile parametrilor de acord, în funcţie de şi Tf, după Oppelt
Regulator Parametri de acord
P
f
f
Ropt
T
kK
1
PI
3,
8,0 opti
f
f
Ropt TT
kK
PID
42,0,2,
2,1 optdopti
f
f
Ropt TTT
kK
Valorile parametrilor de acord, în funcţie de şi Tf, după Kapelovici
Regulator Răspuns aperiodic cu durată minimă
Răspuns oscilant
cu %20
P
f
f
Ropt
T
kK
3,0
f
f
Ropt
T
kK
7,0
I ffiopt TkT 5,4 ffiopt TkT 7,1
PI
fiopt
f
f
Ropt
TT
T
kK
5,08,0
6,0
fiopt
f
f
Ropt
TT
T
kK
3,0
7,0
PID
4,0
4,2
95,0
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
4,0
2
2,1
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
Valorile optime ale parametrilor de acord la variaţia intrării,
după Chien – Hrones – Reswick
Regulator Răspuns aperiodic cu durată
minimă
Răspuns oscilant
cu %20 şi durată minimă
P
f
f
Ropt
T
kK
3,0
f
f
Ropt
T
kK
7,0
PI
2,1
35,0
iopt
f
f
Ropt
T
T
kK
iopt
f
f
Ropt
T
T
kK
6,0
PID
5,0
6,0
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
47,0
35,1
95,0
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
Valorile optime ale parametrilor de acord la variaţia perturbaţiilor,
după Chien – Hrones – Reswick
Regulator Răspuns aperiodic cu durată
minimă
Răspuns oscilant
cu %20 şi durată minimă
P
f
f
Ropt
T
kK
3,0
f
f
Ropt
T
kK
7,0
PI
4
6,0
iopt
f
f
Ropt
T
T
kK
3,2
7,0
iopt
f
f
Ropt
T
T
kK
PID
42,0
4,2
95,0
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
42,0
2
2,1
dopt
iopt
f
f
Ropt
T
T
T
kK
1
1
Capitolul III
LEGI DE REGLARE
2
• amplificatorul de c.c. (Acc) cu
K0→∞ pe un domeniu larg de
frecven ă, rintr - f. mare,
rie - f. mică;
• circuitul de intrare cu Z1(s);
• circuitul de reac ie cu Z2(s).
Legile de reglare sunt realizate de regulator.
Componenta I poate exista în p. fixată (elem. de exec.).
1. Regulatoare cu amplificatoare opera ionale
1.1. Amplificatorul opera ional
Fig.IV.1
NZ2(s)
Z1(s)
Un amplificator opera ional (fig.IV.1) este format din:
(–)
(+)
Acc
2
C8 (42) 3
Pentru domeniul de liniaritate al Acc se scriu ecua iile:
N2
2
( ) ( )( ) ,
( )X s U s
I sZ s
− (1.3)
N1
1
( ) ( )( ) ,
( )A s U s
I sZ s
− (1.2)
(1.1)
0( ) ( ) .NX s K U s − (1.4)
Fig.IV.1
N
X(s)A(s)
I1(s)
UN(s)
I2(s)Z2(s)
Z1(s)(–)
(+)
Acc
1 2( ) ( ) 0 ,I s I s
4
Se elimină I1(s), I2(s), UN(s) între ecua iile (1.1) – (1.4).
2
21
0 1
1 .( )11 1( )
( )( ) ( )
( ) s
K s
Z sX s A s
ZZ sZ
−
− (1.5)
• factorul de coreccorec ieie:
(1.7)
Se disting:
• func ia de transfer idealăideală a regulatorului:
(1.6)2
1
( )( ) ;
( )iR
Z sG s
Z s −
Se ob ine:
2
0 1
1( ) .( )11 1( )
C sZ s
K Z s
−
3
5
Func ia de transfer a regulatorului:
(1.8)
Din (1.7):0 0
2
0 1
1lim ( ) lim 1 ,( )11 1( )
K KC sZ s
K Z s
→∞ →∞
−
(1.10)
• Cu Z1(s) i Z2(s) se ob in variate func ii de transfer
respectiv diferite legi de reglarelegi de reglare.
• Se introduce i o schimbare de semn intrare – ie ire;
se compensează pe parcursul căii directe.
( ) ( ) ( ).iR RG s G s C s
2
1
( )( ) ( ) .
( )i
R R
Z sG s G s
Z s≅ −
(1.9)
6
SchemaParametriZ2(s) =Z1(s) =Tip G s G sR Ri( ) ( )≅
−k P
12
2
CsR
R kR
R
T R C
P
2
1
2
−
k
Ts
P
1
RCs
21
k
R
R
T R C
P
I
2
1
1
−
sTk
IP
1
Elementele de circuit utilizate: rezisten e i condensatoare.
1.2. Regulatoare uzuale
Tabelul IV.1. Regulatoare PID
kR
RP 2
1P R1 R2
PT1 R1
PI R1
R1 R2
R1R2
C
R1 R2 C
4
7
R
R Cs1
1 1
kR
R
T R C
P
D
2
1
2
sTk DP −
RR
R Cs2
3
3 1
kR R
R
TR R
RC
T R C
P
D
2 3
1
2 3
1
3
1
−
Ts
sTk DP
R
R C s
1
1 1 1R
C s2
2
1
kR
R
C
C
T R C
T R C
P
D
I
2
1
1
2
2 1
1 2
−
sTsTk
IDP
1
SchemaParametriZ2(s) =Z1(s)=Tip G s G sR Ri( ) ( )≅
PD R2
PDT1 R1
PID
R1 R2
C
R1 R2 C
R3
C1
R1 R2 C2
8
1.3. Caracteristici ale regulatoarelor PID (Tabelul IV.2)
PI
PT1
P
Legea reglăriiZerouri i /sau
poli finiţi h t h tR Ri( ) ( )≅
k
Ts
P
1p
T −
1akxxT Pɺ
kT s
PI
1
zk T
p
P I
−
1
0∫
t
I
p
adtT
akx
0
1
kPNu există x = kPa
G s G sR Ri( ) ( )≅
kP
t
kP
tα; tg α= kP /T
kPttg α= 1 /TI
α
5
9
PID
PDT1
PD
Legea reglăriiZerouri i / saupoli finiţi
k T sP Dz
k
T
P
D
− aTakx DP ɺ
k T s
Ts
P D 1
zk
T
pT
P
D −
−1 aTak
xxT
DP ɺɺ
kT s
T sPI
D 1
aTadtT
akx
Dt
I
P
ɺ
∫01
h t h tR Ri( ) ( )≅G s G sR R
i( ) ( )≅
kP
t
TDδ(t)
kP
t
αtg α= (kP – TD/T)/T
kP T > TDDT
T
kP
t
α
tg α= (kP – TD/T)/T
kP T < TD
DT
T
kPttg α= 1 /TI
αTDδ(t)
1,2
21 42
0
P
DP
D I
z k
Tk
T T
p
− ±
−
10
Pentru ob inerea unor rezultate
comparabile se consideră
sistemul automat din fig.IV.4
având ca parte fixată un
element PT2 cu func ia de transfer:
cu ζ ≥ 0, ω > 0,
2.Proprietă i ale SA cu regulatoare PID
21 2 1 2
( ) ,( ) 1FkG s
T T s T T s
(2.2)
Fig.IV.4
_GR(s)
+GF(s)
U(s) Y(s)
sau
(2.1)2
2 2( ) ,
2n
F
n n
kG s
s s
ω
ω ζ ω
1,2 2
1 ,1n
T ω ζ ζ
−∓
cu ζ ≥ 1.
6
11
2.1. Regulatorul P
.0;)( PPR kksG 0
( ) ( )( ) ,
1 ( ) ( )R F
R F
G s G sG s
G s G s
,2
)(2000
2
200
0nn
n
ss
ksG
ωωζ
ω
,10
kk
kkk
P
P
,10 kk Pnn ωω
0 ,1Pk k
ζζ
k0
ωn0
ζ0
1
ζ
ωn
ωn0, ζ0,k0, esp
kP
Fig.IV.50
11 1 .1 1
Psp
P P
k ke k
k k k k − −
esp
2
0 2 2( ) ,
2 ( 1)P n
n n P
k kG s
s s k k
ω
ζω ω
2
2 2( ) ,
2n
F
n n
kG s
s s
ω
ω ζ ω
12
( )s∆
Integratorul de pe calea directă asigură epsp = 0!
2.4. Regulatorul PID
1( ) , 0, 0, 0.R P D P I DI
G s k T s k T TT s
≥ ≥
.12
1)(
2223
22
0InPnDnn
IPDn
TkskksTks
TsksTksG
ωωωζω
ω
Problema BIBO-stabilită ii
.
00
21
012
2
223
In
DnnPnIn
Dnn
Tk
TkkkTk
Tk
ω
ωζωωω
ωζω
H (2.17)
,)()(1
)()()(0
sGsG
sGsGsG
FR
FR
2
2 2( ) ,
2n
F
n n
kG s
s s
ω
ω ζ ω
7
C8 (42) 13
Pt. ζ ≥ 0, SA este BIBO-stabil
dacă i numai dacă: TD > 0 i
Cf. criteriului Hurwitz din (2.17) se ob in condi iile:
detH1 = ωn(2 ζ+ k ωnTD) > 0,
detH2= ωn2[ ωn(2 ζ+ k ωnTD)(kPk + 1) – k/TI] > 0,
detH3=(k ωn2/TI)detH2 > 0.
.(2 )( 1)I
n n D P
kTk T k kω ζ ω
DBIBO-S
TD > 0,
0
TI
kP
.(2 )( 1)I
n n D P
kTk T k kω ζ ω
TD = 0, .2 ( 1)I
n P
kTk kζω
Pentru TD = 0 (regulator PI)
condi iile devin: ζ > 0 i
.2 ( 1)I
n P
kTk kζω
DBIBO-S cre te cu cre terea lui TD .
Fig.IV.7
14
Cf. ts0 = 3T0 ≤ ts0a se alege TD :
Cu zerourile regulatorului PID
se pot compensa polii p. fixate.
22
2 21
( 2 )n DP
D I D n n
k Tks s
T T T s s s
ω
ζω ω
Dn
Dn
FR
FR
Tks
Tk
sGsG
sGsGsG
2
2
0 )()(1
)()()(
ω
ω
0
1 ,1T s
≜ 0 21 .n D
Tk Tω
2 22
2 2 2 21 1( ) ( )
( 2 ) ( 2 )n nD P
R F P DI D I Dn n n n
k kT kG s G s k T s s s
T s s T T Ts s s s
ω ω
ζω ω ζω ω
Fig.IV.4
_GR(s)
+GF(s)
U(s) Y(s)
212 , .Pn n
D I D
k
T T Tζω ω
Apoi se ajustează kP = 2 ζωnTD ,
0 02 20
3 33 .s a D
n D n s a
T t Tk T k tω ω
≤ ⇒ ≥
21 .I
n D
TTω
2
,n Dk T
s
ω
8
15
Capitolul IV
METODA LOCULUI RĂDĂCINILOR
C8 (42) 16
Sinteza regulatorului:
1. Generalită i
1.1. Formularea problemei
Se determină structura i parametrii regulatorului ..
Se alocă polii i zerourile sistemului automat.
Se adoptă indicii de calitate admisibili.
( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s
Calea directă a SA:
Fig.III.16
±
Gt (s)
+
+G(s)
Yp UGp(s)
A Y
–
W Gw (s)
Yr
9
C8 (42) 17
Fig.III.16, cu W(s)=0 i
Gp(s)=G t(s) =kp=k t,
conduce la fig.V.1.
Fig.V.1
1 ( ) 0.dG s (1.4)
Ecua ia (1.4) are ca rădăcini
exact polii sistemului automat.
( ) ( ).d tG s k G s
• Circuitul deschis al SA:
0( )
( ) .1 ( )
d
d
G sG s
G s
• Circuitul închis al SA:
Fig.III.16
kt+
G(s)Yp Y
–
( ) ( ) ( ) ( ).R E IAG s G s G s G s
• Calea directă a SA:±
Gt (s)
+
+G(s)
Yp UGp(s)
A Y
–
W Gw (s)
Yr
C8 (42) 18
,0)(1 sGd (1.4)( )( ) ,
( )d
kM sG s
N s (1.5)
M(s) i N(s) – polinoamele zerourilor i al polilor (prime).
k ≥0 – factorul de amplificare al sistemului în circuit deschis.
Din (1.4), (1.5) rezultă:
Pentru M(s), N(s) fixati, rădăcinile ecua iei (1.7), respectiv
polii sistemului automat (în circuit închis) depind de k ≥0.
( )1 0 ,( )
kM sN s
(1.6) ( ) ( ) 0.N s kM s (1.7)
Graficul corespunzător este locullocul geometric al rădăcinilorgeometric al rădăcinilor.
Este util în analiza SA i, mai ales, în sinteza regulatorului.
10
C8 (42) 19
Pl. s
0
Exemplul 1.1
11
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,1d t R E IA RG k G s G s G s G s G s
Ts
) ( ) , ) ( ) .R RkG s k G ss
a b
Să se studieze dependen a polilor SA de parametrul k ≥0.
a)
Fig.V.2
,0)()( skMsN (1.7)
Ecua ia polilor SA este: Locul rădăcinilor:
kt+
G(s)Yp Y
–
Fig.V.1
( ) , ( ) ,1R d
kG s k G sTs
M(s) = 1, N(s) = Ts + 1.
11 0 kTs k sT → −
k = 0k = +∞x1T
−
10, ;k sT
− , .k s ∞ −∞
C8 (42) 20
1,2s
Fig.V.3
Ecua ia polilor SA este:
Rădăcinile ecua iei polilor sunt :
Locul rădăcinilor:
Discriminantul: ∆= 1 – 4kT
( ) , ( ) ,( 1)R d
k kG s G ss s Ts
( ) 1, ( ) ( 1).M s N s s Ts
Ts2 + s + k = 0.
,0)()( skMsN (1.7)
b)
k = 0
k = +∞
k = +∞
k = 0
Pl. s
0x1T
−1
2T−
14
kT
1 1 4 1, 0 ;42
kT kTT
− ± − ≤ ≤
1 4 1 1, .42
j kTk
TT
− ± −
x
1
2
0,0, 1 .
sk
sT
−
1,21 1, .
4 2k s
T T −
1,2, .k s ∞ ∞
11
C8 (42) 21
Problema: să se determine dependen a polilor sistemului
în circuit închis (SA, rădăcinile ecua iei (1.7))
de parametrul k≥0 al sistemului în circuit deschis.
Rezultatul: locul rădăcinilorlocul rădăcinilor, respectiv locul geometric al
rădăcinilor ecua iei polilor SA (1.7) pentru k≥0.
,0)(1 sGd
( )( ) ,
( )d
k M sG s
N s
( )1 0,
( )k M s
N s
.0)()( skMsN (1.7)
kt+
G(s)Yp Y
–
Fig.V.1Fie sistemul automat:
0( )
( ) ( ), ( ) ,1 ( )
dd t
d
G sG s k G s G s
G s
C8 (42) 22
1.2. Ecua iile fundamentale ale locului rădăcinilor
z α i p β– zerourile i polii sist. în circuit deschis; z α ≠ p β.
Se definesc fazorii:
,)()(1∏ − n
pssN β
Din (1.10) – (1.12):
1
1
1z
p
m jz
n j
p
A ek
A e
α
β
θα
θβ
−∏∏
Fie: 1( ) ( ) ,
mM s s z α −∏
( )1 0,( )
M sk
N s
m ≤n;
.,,1)(
)(
1
1∈∈−
−
−
∏
∏RC ks
ps
zsk
n
m
β
α(1.10)
, 1, ; 0, ;zjz z zs z A e m Aαθ
α α α αα θ− ≥ ∈R (1.11)
, 1, ; 0, .pj
p p ps p A e n Aβθβ β β ββ θ− ≥ ∈R (1.12)
1
1
1 ,m
zn
p
Ak
A
α
β
∏∏
(1.13)
1 1(2 1) , .m n
z p i iα βθ θ π− ∈∑ ∑ Z (1.14)
12
23
Ecua ia (1.14), independetă de k, exprimă proprietatea proprietatea
esenesen ialăială utilizabilă pentru trasarea locului rădăcinilor:
este utilă pentru parametrizarea locului rădăcinilor după k≥0.
.,)12(11
Z∈−∑∑ iin
pm
z πθθ βα (1.14)
Punctul s apar ine locului rădăcinilor dacă i numai dacă
suma argumentelor fazorilor cu originea în zerourile lui Gd(s)
i vârful în s minus suma argumentelor fazorilor cu originea
în polii lui Gd(s) i vârful în s este un multiplu impar de π.
Ecua ia (1.13), pusă sub forma 1
1
,n
p
m
z
Ak
A
β
α
∏∏
(1.15)
24
2. Reguli de trasare a locului rădăcinilor
.0)(1
−∏n
ps β
Locul rădăcinilor porne te din polii sist. în circuit deschis.
0)()( skMsN (1.7)
are n rădăcini.
. Ecua ia polilor
1°°°° Pentru k≥0 cele n rădăcini ale polinomului polilor SA
pornesc din polii i ajung în zerourile lui Gd(s).
,)()(1∏ −n
pssN β (1.9)
cu k = 0, din (1.7) rezultă
Pentru
13
25
.0)(1
−∏m
zs α
Din totalul de n ramuri ale locului rădăcinilor, m ramuri ajung
în cele m zerouri finite ale sistemului în circuit deschis.
Restul de n – m ramuri ale loc. răd. ajung în punctul de la ∞.
1
1
( )1, ,
( )
m
n
s zk m n
s p
α
β
− −
−
∏∏
(1.10)
pentru k → +∞, rezultă |s| → +∞.
Pe de altă parte, din ecua ia
Se înmul e te (1.7) cu k –1 i se ob ine:
Pentru k → +∞ i ∏ −m
zssM1
)()( α din ecua ia ( ) rezultă
1 ( ) ( ) 0.k N s M s− ( )
26
2°°°° Ramurile locului rădăcinilor sunt simetrice două câte douăfa ă de axa reală a planului s.
. Ec. (1.7) are răd. reale sau complex conjugate.
3°°°° În Pl.s se plasează pe axa reală zerourile reale (o) i polii
reali (x) ai lui Gd(s); se notează cu L1, L2, L3,…(de la +∞ la
–∞, incl. multiplicit.). L1L2, L3L4, L5L6,..∈ locului rădăcinilor.
Cf. ec. (1.14), s∈R apar ine loc. răd. ⇔⇔⇔⇔ contribu ia arg. faz.
(1.11) i (1.12) în (1.14) este un multiplu impar de π.
. 1 1 (2 1) , .m n
z p i iα βθ θ π− ∈∑ ∑ Z (1.14)
, 1, ; 0, ;zjz z zs z A e m Aαθ
α α α αα θ− ≥ ∈R (1.11)
, 1, ; 0, .pj
p p ps p A e n Aβθβ β β ββ θ− ≥ ∈R (1.12)
14
27
Contribu ia unei perechi de poli / zerouri complex conjugateeste 2π (fig. V.9).
Fig. V.9 Fig.V.10
Contribu ia unui pol / zero real situat la dreapta / stângalui s este π / respectiv 0 (fig.V.10).
Punctul s, situat pe axa reală, apar ine locului rădăcinilor
dacă i numai dacă la dreapta lui s, pe axa reală, există
un număr impar de poli i zerouri.
Pl. s
0xpsz
θz = 0 θp = πθz1
θp1Pl. s
0
x
p2
z1
x
p1
s
θp2z2
θz2
θz1+θz2= 2π
θp1+θp2= 2π
28
0
Pl. s
–1
În fig.V.11 se plasează pe axa reală de la dreapta la stânga
zerourile (o) –1, –3, –5 i
polii (x) –2 (dublu), –4 (dublu).
Se notează de la dreapta la stânga cu L1, L2,3, L4, L5,6, L7.
Exemplul 2.3
Fie
L1L2, L3L4, L5L6, L7 la –∞ apar in locului rădăcinilor.
Fig. V.11L7 L5,6 L4 L2,3 L1
–5 –3
Să se determine partea reală a locului rădăcinilor.
2 2( 1)( 3)( 5)( ) .( 2) ( 4)d
k s s sG s
s s
–4x
–2x
15
29
4°°°°. Pt. n – m ≥1, n – m ramuri ajung în p. de la ∞, pt. k→+∞,
de-a lungul a n – m asimptoteasimptote, care trec prin centroidulcentroidul :
1 11 n m
cgs p zn m β α −− ∑ ∑ (2.1)
2 1 π, 1, .ii i n m
n mθ − −
−(2.2)
. Se înmul e te ecua ia: 1
1
( )1
( )
m
n
s zk
s p
α
β
− −
−
∏∏
(1.10)
1
1
0 ; 1 .n
m
s pk n m
s z
β
α
− − ≥
−
∏∏
(2.3)
1
1
.n
m
s p
s z
β
α
−
−
∏∏
cu Rezultă
i care au direcdirec iileiile:
Din (2.3) rezultă că pentru k→+∞ se ob ine |s|→+∞.
30
11 1
... 0,m nn m n ms z p s kα β− − − − ∑ ∑ (2.4)
cu rădăcinile si(k), i = 1, ,n m− cu |si(k)|→+∞ pentru k →+∞.
Conform primei formule Viète :
1 1 1( )n m m n
is k z pα β− − −∑ ∑ ∑
centroidul rădăcinilor (centrul de greutate) este:
1 1 11 1( ) .
n m m n
cg is s k z pn m n m α β
− − −− −∑ ∑ ∑
Pentru k i |s| suficient de mari, restul împăr irii din (2.3)
este neglijabil. Din (2.3) se ob ine polinomul:
Pt. k→+∞ i |s|→+∞din (2.4) se ob ine sn–m + k = 0, respectiv
din care rezultă direc iile (2.2).1
(2 1)( )( ) , 1, ,
ijn m n m
is k k e i n m−
− π− − −
16
31
5°°°°.Pe locul răd. situat între două zerouri reale / doi poli reali
există puncte de ramif. date de rădăcini reale ale ecua iei:
În / din p. de ram. sosesc / pleacă două ramuri ale loc. răd.
(2.5).,011
11 R∈−
−−
∑∑ xpxzx
nm
βα
1 1ln ( ) ln ln( ) ln( ) ,m n
dG x k x z x pα β − − −∑ ∑
1 1
( ) 1 1( )
m nd
d
G x
G x x z x pα β
′ −
− −∑ ∑
1
1
( )( )
( )
m
d n
s zG s k
s p
α
β
−
−
∏∏
Se logaritmează i se derivează:
.
= 0.
1+Gd(x) = 0, (1+Gd(x))' = 0, adică
are răd. dublă x∈R.1 ( ) 0dG x Ec. polilor Urmează că
Gd(x) = – 1, G'd(x) = 0.
Adică are loc (2.5).
32
–1,36
Să se traseze locul rădăcinilor.
Exemplul 2.4.
[–4, –1] apar ine loc. rădăcinilor.
2( 4)( ) .
( 1)( 2)d
k sG s
s s
Fie
Între –2 i –1 există un p. de
ramif., rădăcină a ecua iei:
2x2 + 13x + 14 = 0, x2= –1,36 (p. de ramificare), fig. V.12.
1 1 2 0,4 1 2x x x− −
Direc iile asimptotelor: θ1 = π/2, θ2 = 3π/2, fig. V.12.
Cf. 4°°°°, 2 ramuri ajung la ∞, cu scg = (– 1 – 2 – 2 + 4)/2 = – 0,5.
0
Pl. sL1L2,3L4
–4 –2x
–1x
k = +∞–0,5
k = +∞
k = +∞
0
Pl. s
–4 –2x
–1x
Fig.V.12
k = 0,056
17
C8 (42) 33
6°°°°.Din / în polii / zerourile reale multiple pleacă / sosesc
un numar de ramuri egal cu multiplicitatea q
a polilor / zerourilor.
Direc iile tangentelor (în poli / zerouri) sunt:
dacă numărul de zerouri i de poli reali la dreapta
este impar;
2π , 0, 1 ,i
i q i qθ − (2.6)
(2 1)π , 0, 1,i i q i qθ − (2.7)
dacă numărul de zerouri i de poli reali la dreapta
este par.
Este o consecin ă directă a ec. (1.14).
34
Fie
Exemplul 2.5
Locul rădăcinilor este tangent, în origine, la axa imaginară.
Cf. 5°°°° există un punct de ramificare x = –2
(o răd. a ec. 1/(x + 1) – 2/x = 0) , coresp. k = 4, fig.V.13.
Intervalul (–∞,–1] apar ine
locului rădăcinilor.
Din polul dublu s = 0 pornesc 2 ramuri ale căror tangente
în s = 0 au direc iile θ0 = π/2, θ1 = 3π/2.
Fig.V.13
x–2
k = +∞
0
Pl. s
k = 0
k = 4
k = +∞
Să se traseze locul rădăcinilor.
2( 1)( ) .d
k sG s
s
–1
18
35
1 11 arg( ) arg( ) (2 1) , 0, 1,m n
bi b b bbb
p z p p i i nn α βα β βθ ≠
− − − − π − ∑ ∑
Este o consecin ă directă a ecua iei (1.14).
7°°°°a. Din polii (pb) complec i multipli pleac ă un număr
de ramuri egal cu multiplicitatea nb a polilor.
Direc iile tangentelor la ramuri sunt respectiv:
b. In zerourile (za) complexe multiple sosesc un număr
de ramuri egal cu multiplicitatea ma zerourilor.
Direc iile tangentelor la ramuri sunt respectiv:
1 11 arg( ) arg( ) (2 1) , 0, 1,m n
ai a a aaa
z z z p i i mm α βα α βθ ≠
− − − − π − ∑ ∑
36
Această regulă este o consecin ă directă a ec. (1.14).
8°°°°. După determinarea punctelor de ramificare i
a numărului de ramuri care sosesc în i pleacă
din fiecare punct de ramificare (în total 2r ramuri),
rezultă că unghiurile dintre două ramuri alăturate
este 2π/2r = π/r .
9°°°°. Punctele de intersec ie ale locului rădăcinilor cu
axa imaginară:
.0,,0)()( ≥∈ kjkMjN Rωωω (2.10)
. Ecua ia (2.10) se ob ine din (1.7) pentru s = j ω.
19
37
O altă posibilitate – schema Routh (II.6.5) aplicată
polinomului polilor. Elementele antepenultimei linii
se notează cu a(k) i b(k); k i ωse ob in din:
.0)()( 2 kbska
10°°°°.Parametrizarea după k≥0: se măsoară segmentele
pentru anumite puncte ale loc. răd. i calculul lui k cu
1 1.
n m
p zk A Aβ α∏ ∏ (1.15)
.0,,0)()( ≥∈ kjkMjN Rωωω (2.10)
Din (2.10) se ob ine k si ω.
, 1, , , 1, ,z pA m A nα βα β
38
a. (1°°°°) Se plasează în pl. s:
z1= –2, p1= 0, p2= –3, p3= – 8, p4,5= – 4 ± j5.
Pentru k = 0 locul rădăcinilor pleacă din p1,.., p5.
Pentru k = +∞o ramură ajunge în z1 i alte patru ajung
în punctul de la ∞ (fig.V.14).
Exemplul 2.6
)54)(54)(8)(3(
)2()(
jsjssss
sksGd −
Pentru
să se traseze locul rădăcinilor.
b. (2°°°°) Locul rădăcinilor este simetric fa ă de axa reală a pl. s.
20
39
d. (4°°°°) Numărul de ramuri la ∞este n – m = 4.
Centroidul:
scg = (0 – 3 – 8 – 4 + j5 – 4 – j5 + 2)/4 = – 4,25.
Direc iile asimptotelor:
θ1 = π/4, θ2 = 3π/4, θ3 = 5π/4, θ4 = 7π/4.
e. (5°°°°) Punctul de ramificare, x ≅–5,2, rezultă din ecua ia:
1/(x+2) – 1/x – 1/(x+3) – 1/(x+8) – 1/(x+4–j5) – 1/(x+4+j5) = 0.
c. (3°°°°) Se notează L1(0), L2(–2), L3(–3), L4(– 8).
Segmentele L1L2, L3L4 de pe axa reală a apar in
locului rădăcinilor (fig.V.14).
40
x x
x
x
–8 –4 –3 –2 0 p1
Pl. s
p3
p5
p4
–j5
z1
p2
90°
51o 101o 112o 128o
x
j5
Fig.V.15
f. (7o) Unghiurile tangentelor
în p4,5 sunt:
−− o
532114180)( ppppzp θθθθθθ
,78,78 0054
− pp θθ
53211,,,, ppppz θθθθθ
Conform fig.V.15,
se măsoară:
o o o438 360 78 . → − −
i se calculează:
o o o o o o o112 (128 101 51 90 ) 180 438 − − −
g. (8°°°°) Unghiurile dintre 2 ramuri alăturate în p. de ram.:π/2.
21
41
x
x
–8 –4 –3 –2 0
p1
Pl. s
p5
p4
–78°
z1p2
–5,2
–4,25
P
78°
k = 63
–j5
k = 0
k = + ∞
k = + ∞
k = + ∞
j5
k = 0
p3
x
xk = + ∞
k = + ∞
x
Fig. V.14
Locul rădăcinilorLocul rădăcinilor
42
Pt. k = 2165, pct. de intersecţie cu axa imag.: s ≅ ±j4,939.
4 2
5 3
19 643 2 0
153 (984 ) 0
k
k
ω ω
ω ω ω
−
−
h. (9°°°°) Din ecua ia :
i. (10°°°°) Locul rădăcinilor se parametrizează după k, rel. (1.15).
De ex., pt. P (fig.V.14) se măsoară Ap1= |Pp1| = 2,4,
Ap2 = |Pp2| = 2,02, Ap3 = |Pp3| = 4,87, Ap4 = |Pp4| = 1,2,
Ap5 = |Pp5| = 4,42, Az1 = |Pz1| = 1,99. Rezultă k ≅63.
ω0 ≅ ±4,939,
k0 = 2165.
,0)()( skMsN (1.7)
s5 + 19s4 + 153s3 + 643s2 + (948 + k)s + 2k = 0.
Pt. k ≥2165 sistemul automat este BIBO-instabil.
se ob ine:
Pt. s = j ωse ob ine:
Tipuri de modele
Modele de tip proporţionalTratarea separată pe parcursul acestei secţiuni, a modelelor de tip proporţional, va permite să
insistăm asupra problematicii cauzalităţii care este comod de investigat datorită simplităţii descrieriimatematice. Discuţia face apel la exemple binecunoscute în fizică.
Tranziţia cauzală intrare-ieşireSistemele cu comportare proporţională pot fi descrise printr-un model matematic de tip ecuaţie algebrică
liniară de ordinul I de forma:
0, ≠ ctcuty , (2.1.1)
unde u(t) notează mărimea (variabila sau semnalul) cauză (sau de intrare), iar y(t) notează mărimea efect(sau de ieşire). Denumirea de "model de tip proporţional" se datorează faptului că la orice moment detimp t valoarea instantanee a mărimii efect y(t) poate fi determinată din valoarea instantanee a mărimiicauză u(t) prin multiplicare cu factorul (sau coeficientul) de proporţionalitate c ¹ 0. Factorul deproporţionalitate trebuie privit drept o constantă ce caracterizează funcţionarea sistemului fizic modelatprin intermediul ecuaţiei (2.1.1). Unitatea de măsură prin care se exprimă valoarea lui c ¹ 0 este corelatăcu unităţile de măsură ale semnalelor u(t) şi y(t).
Comentarii asupra cauzalităţii unui model de tip proporţionalÎn sens larg, ecuaţia (2.1.1) poate fi privită sub forma implicită:
0,0 ≠− ctcuty , (2.1.2)
unde u(t) şi y(t) sunt două mărimi fizice ale căror valori instantanee sunt proporţionale prin intermediulfactorului c. Una dintre aceste două mărimi este furnizată din exterior către sistem şi reprezintă mărimea cauză,iar cealaltă este furnizată de sistem către exterior şi reprezintă mărimea efect. Deoarece în exprimarea implicită(2.1.2) nu se precizează mărimea cauză, se spune că ecuaţia (2.1.2) constituie o formă acauzală a modelului detip proporţional. Prin convenţie, modul de scriere folosit în (2.1.1.) reprezintă o formă cauzală a modelului detip proporţional şi semnifică faptul că semnalul din membrul drept, adică u(t), este intrare, iar semnalul dinmembrul stâng, adică y(t), este ieşire. Menţionăm că, tot prin convenţie, notaţia u(t) desemnează uzual unsemnal cauză, iar notaţia y(t) desemnează uzual un semnal efect. (Convenţiile la care se face referire mai sus suntspecifice ingineriei sistemelor care operează numai cu descrieri cauzale, precizând ferm mărimile de intrare şirespectiv de ieşire ale modelelor.)
În finalul acestor comentarii, subliniem ideea că în cazul multor sisteme fizice forma acauzalădată de ecuaţia (2.1.2) poate fi utilizată atât cu cauzalitate u → y, cât şi cu cauzalitate y → u. Asemeneasituaţii sunt specifice sistemelor care disipă energie, semnalele u(t) şi y(t) fiind caracterizate prin aceea căprodusul lor, u(t) y(t), are semnificaţie de putere. Atragem însă atenţia asupra faptului că pentru unelesisteme fizice se pot construi numai modele proporţionale cauzale, întrucât orientarea transferului intrare-ieşire este impusă de însăşi funcţionarea obiectului.
Numeroase legi din fizică sunt formulate ca model de tip proporţional, făcând apel la oexprimare acauzală de forma (2.1.2). Odată ce una din cele două mărimi din (2.1.2) este consideratăcauză, cealaltă joacă rolul de efect. Exemplele de mai jos punctează aceste aspecte pentru câteva tipuri desisteme concrete, binecunoscute cititorului în urma studierii disciplinei “Fizică”. Toate sistemele luate îndiscuţie au drept caracteristică comună faptul că, din punct de vedere energetic, disipă o anumită putere,egală numeric cu produsul celor două mărimi (semnale) din descrierea (2.1.2).
Exemplul 2.1.1.Se consideră un rezistor electric având rezistenţa R [ ], parcurs de un curent i(t) [A], între ale
cărui extremităţi există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V], conform fig. 2.1.1.
Modelul de tip proporţional în forma acauzală este dat de legea lui Ohm:
0− tRitu ,
din care se poate obţine forma cauzală rezistivă (rolul constantei este jucat de o rezistenţă):
tRitu
şi forma cauzală conductivă (rolul constantei este jucat de o conductanţă):
tuRti 1 .
Exprimările cauzale evidenţiate mai sus trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare aenergiei electrice utilizate de rezistor. Forma cauzală rezistivă presupune că rezistorul primeşte energia dela o sursă ideală de curent care impune i(t) prin rezistor, iar u(t) rezultă la bornele rezistorului. Formacauzală conductivă presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de tensiune care impune
u(t) la bornele rezistorului, rezultând i(t) care parcurge rezistorul.
Exemplul 2.1.2.Se consideră un amortizor cu frecare vâscoasă, conform fig. 2.1.2. Asupra acestuia se exercită
forţa F(t) [N], iar extremitatea sa liberă se deplasează cu viteza v(t) [m/s]. Mişcarea extremităţii liberepoate fi descrisă cu un model de tip proporţional în
forma acauzală
0− tvtF γ ,
unde γ [Ns/m] notează coeficientul de amortizare vâscoasă. Din exprimarea acauzală se poate obţineforma cauzală rezistivă (rolul constantei de proporţionalitate fiind jucat de coeficientul de amortizarevâscoasă):
tvtF γ
u(t) [V]
i(t) [A] R [Ω]
Fig. 2.1.1. Rezistor electric pentru carese utilizează un model proporţional
F (t) [N]
v (t) [m/s]
γ [Ns/m]
A
Fig. 2.1.2 Amortizor mecanic cu frecarevâscoasă pentru care se utilizează un model
proporţional
şi forma cauzală conductivă (rolul constantei de proporţionalitate fiind jucat de inversul coeficientului deamortizare vâscoasă):
tFtv γ1 .
Exprimările cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a energiei mecaniceutilizate pentru deplasarea extremităţii libere a amortizorului. Forma cauzală rezistivă presupune căenergia este furnizată de o sursă ideală de viteză care impune v(t) drept cauză, iar F(t) rezultă drept efect.Forma cauzală conductivă presupune că energia este furnizată de o sursă ideală de forţă care impune F(t)drept cauză, iar v(t) rezultă drept efect.
Modele de tip integrator sau derivatorUn număr mare de sisteme fizice, de naturi diferite sunt descrise prin legi care evidenţiază
legătura dintre o mărime fizică derivată şi o altă mărime fizică nederivată. Interpretarea tranziţiei cauzaleintrare-ieşire pentru o astfel de lege se poate face apelând la modele de tip integrator sau de tip derivator.Prin parcurgerea acestei secţiuni, cititorului i se crează posibilitatea unui studiu comparativ alaplicabilităţii celor două tipuri de modele (integrator sau derivator) prin referiri la funcţionarea unorsisteme fizice frecvent întâlnite în practica tehnico-inginerească.
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip integratorModele de tip integrator sunt descrise de o ecuaţie diferenţială având forma particulară:
0,0; 0 ≠•
ayytutya , (2.2.1)
unde u(t) este o funcţie continuă, notând mărimea (variabila sau semnalul) cauză (sau de intrare), iar y(t)notează mărimea efect (sau de ieşire). Denumirea "model de tip integrator" se datorează faptului că y(t)poate fi exprimat drept:
010
yduatyt
∫ ττ (2.2.2)
Exprimarea integrală (2.2.2) pune în evidenţă funcţionarea de tip acumulativ în raport cumărimea de intrare u(t), în sensul că integrarea utilizează toate valorile semnalului u de pe întregintervalul [0, t].
Forma integrală (2.2.2) posedă avantajul că poate fi utilizată şi în cazul mai general când u(t)este continuă pe porţiuni (cu discontinuităţi de speţa întâia). De exemplu dacă u(t) este definită cu odiscontinuitate de speţa întâia în t1 prin:
⎩
⎨⎧
≤
≤
tttu
tttutu
12
11
,
0,, (2.2.3)
unde u1(t) şi u2(t) sunt funcţii continue, atunci, conform relaţiei (2.2.2), se poate scrie
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤⎪⎠⎞⎪
⎝⎛
≤
∫ ∫
∫ttydudua
ttyduaty t t
t
t
10 21
0 11
,01
0,01
1
1
ττττ
ττ(2.2.4)
Este evident că acest exemplu poate fi formulat şi în spiritul ecuaţiei (2.2.1), definind modelul astfel:
- pentru 10 tt ≤ , modelul este: 01 0; yytutya •
;
- pentru tt ≤1 , modelul este tytytutya
tt
tt
1
1
lim; 12
→
•
Cu alte cuvinte, condiţia finală de pe intervalul [0, t 1), exprimată prin tyty
tt
tt
1
1
lim1
→ devine
condiţie iniţială pentru intervalul [t1, ∞).În final, facem precizarea că majoritatea textelor inginereşti consideră drept subînţeleasă
posibilitatea ca u(t) să prezinte discontinuităţi de speţa întâia în condiţiile exprimării de forma (2.2.1)(fără a mai furniza explicaţiile anterioare privitoare la transformarea condiţiei finale în condiţie iniţială).
Răspunsul y(t) al modelului de tip integrator la semnalul de intrare u(t) exprimat prin relaţia(2.2.2) evidenţiază două componente şi anume:
- un termen depinzând numai de mărimea de intrare u(t) şi nedepinzând de condiţia iniţialăy(0), de forma:
∫t
f dua
ty0
1ττ (2.2.5)
care poartă denumirea de răspuns forţat la semnalul de intrare u(t) (indicele f din formula de mai susprovine din abrevierea adjectivului "forţat").
- un termen depinzând numai de condiţia iniţială y(0) (fiind chiar identică cu aceasta) şinedepinzând de mărimea de intrare u(t), de forma:
0ytyl , (2.2.6)
care poartă denumirea de răspuns liber.În baza acestei constatări, se spune despre expresia (2.2.2) că defineşte răspunsul complet al
modelului de tip integrator, care reprezintă o superpoziţie (suprapunere) a răspunsului forţat şirăspunsului liber:
tytyty lf (2.2.7)
mai spunându-se despre ty f că descrie componenta de regim forţat, iar despre tyl că descrie
componenta de regim liber.Examinând relaţia (2.2.2) mai putem afirma următoarele:- vom avea de a face cu un răspuns forţat ori de câte ori se va aplica un semnal de intrare
neidentic nul (u(t)¹0 pe anumite intervale de timp), iar condiţia iniţială va fi nulă (y(0) = 0);- vom avea de a face cu un răspuns liber ori de câte ori semnalul de intrare va fi identic nul pe
întreg intervalul de observaţie (u(t) º 0), iar condiţia iniţială va fi nenulă (y(0) ¹ 0).Este evident faptul că, din punct de vedere experimental, dacă atât semnalul de intrare cât şi
condiţia iniţială sunt nenule, nu putem identifica separat componenta de regim forţat şi componenta deregim liber. Totuşi, separat, se pot efectua experimente de regim forţat, de regim liber şi de regim completale căror rezultate să ateste valabilitatea principiului suprapunerii efectelor descris prin relaţia (2.2.7).
Din discuţia de mai sus se degajă şi următoarea observaţie importantă ce caracterizează evoluţiade regim liber a integratorului: în regim liber (adică în absenţa semnalului de intrare), semnalul de ieşirey(t) nu tinde să se anuleze, ci păstrează constantă valoarea sa iniţială y(0).
Descrierea operaţională asociată modelului de tip integratorPrin aplicarea transformării Laplace ecuaţiei (2.2.1), sau echivalent, ecuaţiei (2.2.2), imaginea
semnalului de ieşire L y(t)=Y(s) poate fi exprimată în funcţie de imaginea semnalului de intrareL u(t)=U(s), sub forma:
s
ysUas
sY1
01
(2.2.8)
care furnizează o descriere operaţională, sau o descriere în domeniul complex a transferului intrare-ieşirepentru modelul de tip integrator. Această terminologie punctează faptul că variabila independentă s dinecuaţia (2.2.8) nu mai are semnificaţia temporală a variabilei independente t din ecuaţiile (2.2.1) sau (2.2.2),ecuaţii care constituie descrieri în domeniul timp a transferului intrare-ieşire pentru modelul de tip integrator.Cu alte cuvinte, descrierea operaţională furnizează conexiuni între imaginile semnalelor (prin transformatăLaplace) şi nu conexiuni între semnalele propriu-zise (ca funcţii de variabilă temporală t). Facem precizarea
foarte importantă că, în ciuda unor similitudini de scriere, în ecuaţia (2.2.8), factorul 1/s cu care se înmulţeşte
U(s) corespunde unui operator (sau unei operaţii) în domeniul timp (şi anume, operatorului ∫t
d0τ aplicat
funcţiei u(t)), în timp ce factorul 1/s cu care se înmulţeşte y(0) corespunde unui semnal în domeniul timp (şianume, semnalului treaptă de amplitudine unitate). Cu alte cuvinte relaţia (2.2.8) oferă o descriere de tipoperaţional a dinamicii de regim complet.
În cazul când condiţia iniţială este nulă, y(0)=0, adică avem de a face cu dinamica de regim
forţat, relaţia (2.2.8) se reduce la:
sUas
sY1
, (2.2.9)
unde funcţia raţională
as
sG1
(2.2.10)
în variabila independentă s permite definirea funcţiei de transfer asociate modelului de tip integrator.Această denumire pentru G(s) este justificată de faptul că face posibilă scrierea unei relaţii foarte simple,Y(s) = G(s)U(s), între imaginea semnalului de intrare U(s) şi imaginea semnalului de ieşire Y(s), pentrusituaţia când y(0) = 0, adică în regim forţat.
Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip derivatorModelele de tip derivator sunt descrise de o ecuaţie liniară de forma:
0, ≠•
btubty , (2.2.11)
unde u(t) este o funcţie netedă (de clasă C 1 cu derivata de ordinul I continuă) notând variabila (sausemnalul) cauză (sau de intrare), iar y(t) notează variabila (sau semnalul) efect (sau de ieşire).
Facem precizarea că în unele texte inginereşti exprimarea (2.2.11) este utilizată şi în sensulmai larg când u(t) este derivabilă pe porţiuni, rezultând că y(t) va avea un număr de puncte dediscontinuitate de speţa întâia (corespunzătoare punctelor unghiulare ale lui u(t)). De asemenea,modelul (2.2.11) poate fi folosit şi în cazul când semnalul de intrare u(t) prezintă discontinuităţi deprimă speţă, dar, în acest caz, derivarea trebuie înţeleasă în sensul distribuţiilor (Kecs, 1981).
Exprimarea derivativă (2.2.11) pune în evidenţă funcţionarea de tip anticipativ în raport cumărimea de intrare u(t), în sensul că definiţia derivatei ca limită a raportului incremental
000 /lim0
tttutututt
−−→
•
presupune cunoaşterea valorilor lui u(t) şi la momente de timp
caracterizate prin t > t 0. Cu alte cuvinte, calculul lui 0tu•
face apel la valori ale semnalului u(t) care
nu pot fi cunoscute la momentul curent t 0, decât dacă se acceptă ipoteza anticipării acestor valori.
Descrierea operaţională asociată modelului de tip derivatorPresupunând că în ecuaţia (2.2.11) funcţia u(t) este de clasă C 1 şi satisface condiţia u(0)=0,
prin aplicarea transformării Laplace (vezi Anexa I) imaginea semnalului de ieşire Ly(t)=Y(s) poate fiexprimată în funcţie de imaginea semnalului de intrare L u(t)=U(s), sub forma:
sbsUsY (2.2.12)
Relaţia (2.2.12) furnizează o descriere operaţională, sau o descriere în domeniul complex atransferului intrare-ieşire pentru modelul de tip derivator. Această terminologie punctează faptul căvariabila independentă s din ecuaţia (2.2.12) nu mai are semnificaţia temporală a variabileiindependente t din ecuaţiile (2.2.11), ecuaţie care constituie o descriere în domeniul timp a transferuluiintrare-ieşire pentru modelul de tip derivator. Cu alte cuvinte, descrierea operaţională furnizeazăconexiuni între imaginile semnalelor (prin transformată Laplace) şi nu conexiuni între semnalelepropriu-zise (ca funcţii de variabilă temporală t). Funcţia
G (s) = b s (2.2.13)
în variabila independentă s permite definirea funcţiei de transfer asociate modelului de tip derivator.Această denumire pentru G(s) este justificată de faptul că face posibilă scrierea unei relaţii
foarte simple, Y(s)=G(s)U(s), între imaginea semnalului de intrare U(s) şi imaginea semnalului deieşire Y(s).
Exemplul 2.2.1.
Se consideră un condensator electric având capacitatea C e [F], parcurs de curentul i(t) [A], între
ale cărui terminale există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V], conform fig. 2.2.1. Modelul în
exprimarea acauzală (2.2.14) este de forma:
0−•
tituCe ,
din care se poate obţine modelul de tip integrator (2.2.1):
tituCe •
,
în care i(t) este intrare, iar u(t) ieşire şi modelul de tip derivator (2.2.11):
tuCti e
•
,
în care u(t) este intrare, iar i(t) ieşire.
Exprimările cauzale evidenţiate mai sus trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a
energiei electrice utilizate de condensator. Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de
la o sursă ideală de curent, care impune i(t) prin condensator, iar u(t) rezultă între terminalele
condensatorului conform (2.2.2). Modelul de tip derivator presupune că energia este primită de la o sursă
ideală de tensiune care impune u(t) între terminalele condensatorului, rezultând i(t).
Exemplul 2.2.5.Se consideră un punct material de masă m [kg], care se deplasează liniar, fără frecare, conform
fig. 2.2.6. Deplasarea se caracterizează prin viteza v(t) şi forţa F(t).
Modelul în exprimare acauzală (2.2.14) este de forma:
0−•
tFtvm ,
i(t) [A] Ce [F]
u(t) [V]
Fig. 2.2.1. Condensator electric pentru care seutilizează o descriere de forma (2.2.14)
v(t) [m/s]F(t) [N]
m [kg]
Fig. 2.2.6. Punct material în mişcare pentrucare se utilizează o descriere de forma
(2.2.14)
din care se poate obţine modelul de tip integrator (2.2.1):
tFtvm •
,
în care F(t) este intrare, iar v(t) ieşire şi modelul de tip derivator (2.2.11):
tvmtF•
,
în care v(t) este intrare, iar F(t) ieşire.Exprimările cauzale evidenţiate mai sus trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a
energiei mecanice utilizate în deplasare. Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de lao sursă ideală de forţă, care impune forţa F(t), iar v(t) rezultă ca viteză de deplasare. Modelul de tipderivator presupune că energia este primită de la o sursă ideală de viteză, care impune viteza v(t),rezultând forţa F(t).
Modele liniare de tip ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu coeficienţi constanţi
O serie de sisteme fizice întâlnite frecvent în practică prezintă structuri simple, a cărorfuncţionare poate fi modelată prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I, liniare, cu coeficienţi constanţi. Astfelde modele permit analiza detaliată a dinamicii sistemului fizic atât sub raport calitativ (specificitateacomportării nedepinzând de valori numerice concrete), cât si din punct de vedere cantitativ (descriereaevoluţiei prin informaţii numerice cât mai precise, făcând apel, eventual şi la studii de simulare).
Tranziţia cauzală intrare-ieşireUn model de acest tip este definit printr-o ecuaţie diferenţială de forma:
000101 ,0,0, ytyaatutyatya •
(2.3.1)
unde u(t) este o funcţie continuă, notând mărimea (variabila sau semnalul) cauză (sau de intrare), iary(t) notează mărimea efect (sau de ieşire). Pentru un semnal de intrare u(t) precizat şi o condiţie iniţialăy(t0) = y0, semnalul de ieşire este dat de soluţia problemei Cauchy asociate ecuaţiei diferenţiale (2.3.1):
)[,1
,01
00
1
00
1
0
∞∈ ∫−
−−
−
ttdua
etyetyt
t
ta
att
a
a
τττ
(2.3.2)
In cazuri practice, semnalul de intrare u(t) poate prezenta salturi de amplitudine finită (adică,din punct de vedere matematic, discontinuităţi de speţa întâia). Atare salturi nu sunt resimţite însemnalul de ieşire y(t), datorită inerţiei manifestate de sistemul fizic, semnalul de ieşire păstrândvaloarea din momentul premergător saltului. Această constatare de sorginte experimentală permiteformularea următoarei ipoteze de continuitate asupra semnalului de ieşire y(t) în situaţia când u(t)suferă un salt. Dacă u(t) este definită cu o discontinuitate de speţa întâia în t 1 prin:
⎩
⎨⎧
≤
≤
tttu
ttttutu
12
101
,
,
unde u1(t) şi u2(t) sunt funcţii continue pe intervalele considerate, atunci, y(t) este continuă la stânga în t 1,adică putem scrie egalitatea:
tyty
tt
tt
1
1
lim1
→
Astfel, condiţia impusă neomogenităţii u(t) în teoria ecuaţiilor diferenţiale poate fi relaxată, însensul că este suficient ca u(t) să fie continuă pe porţiuni, cu discontinuităţi de speţa întâia. Relaxarea
considerată dă posibilitatea construirii unui model pentru ),[ 0 ∞∈ tt , în ciuda discontinuităţii lui u(t),
sub forma:
- pentru 10 ttt ≤ , modelul este: 00101 , ytytutyatya •
- pentru tt ≤1 , modelul este: tytytutyatya
tt
tt
1
1
lim, 1201
→
•
Cu alte cuvinte, în baza ipotezei de continuitate a semnalului y(t) în t1, condiţia finală de pe
intervalul [0, t1), exprimată prin tyty
tt
tt
1
1
lim1
→ , devine condiţie iniţială pentru intervalul [t1, ∞).
Facem precizarea că majoritatea textelor inginereşti consideră drept subînţeleasă posibilitatea cau(t) să prezinte discontinuităţi de speţa întâia în condiţiile exprimării de forma (2.3.1) (fără a mai furnizaexplicaţiile anterioare privitoare la transformarea condiţiei finale în condiţie iniţială).
Exemplul 2.3.1.Se consideră un sistem mecanic alcătuit dintr-un resort cu constanta de elasticitate k e, conectat în
paralel cu un amortizor cu frecare vâscoasă, având coeficientul γ, conform fig. 2.3.1În punctul A se aplică o forţă F(t), care se modifică în timp după o lege precizată. Sub
acţiunea lui F(t), punctul A îşi modifică poziţia x(t) măsurată în raport cu punctul fix O (ce corespunde
situaţiei când arcul nu este tensionat 0tF şi resortul este nedeformat). Sensul pozitiv al axei Ox
este dat de alungirea resortului (adică spre dreapta, corespunzând săgeţii asociate lui F(t)).
Construirea unui model cauzal având drept intrare forţa F(t) şi drept ieşire deplasarea x(t), sebazează pe exploatarea egalităţii:
),[, 0 ∞∈ tttFtFtF ar ,
în care txktF er este forţa elastică corespunzătoare deformării resortului, iar
txtvtFa
•
γγ este forţa elastică corespunzătoare amortizorului. Înlocuind aceste expresii, se
obţine ecuaţia diferenţială:
00, xtxtFtxktx e •
γ ,
care este de forma (2.3.1), condiţia iniţială x0 având semnificaţia poziţiei punctului A în momentul t0
(considerat drept moment de început pentru modelarea evoluţiei sistemului mecanic).Utilizând modelul construit şi făcând apel la exprimarea analitică (2.3.2) a soluţiei ecuaţiei
diferenţiale, intrăm în posesia unei dependenţe a deplasării punctului A în raport cu timpul de forma:
),[,1
00
0
0
∞∈ ∫−−−−
ttdFetxetx
t
t
tk
ttk ee
ττγ
τγγ
care evidenţiază rolul următoarelor elemente:- parametrii fizici ai sistemului mecanic (constantele de material ke şi g)
ke
γ
x(t)O x
AF (t)
Fig. 2.3.1. Sistemul mecanic utilizat înExemplul 2.3.1
- deplasarea iniţiala a punctului A (x(t0))- forţa ce acţionează asupra punctului A (F(t)).
Comportare de regim liber şi de regim forţatSoluţia (2.3.2) a ecuaţiei diferenţiale (2.3.1) poate fi descompusă sub forma:
),[, 0 ∞∈ tttytyty fl (2.3.3)
unde prima componentă:
),[, 00
01
0
∞∈−−
tttyetytt
a
a
l , (2.3.4)
defineşte comportarea de regim liber sau răspunsul liber al sistemului (determinat numai de condiţia
iniţială y(t0) = y0, considerând semnalul de intrare nul), iar cea de a doua componentă:
)[,1
,01
0
1
0
∞∈ ∫−−
ttdua
etyt
t
ta
a
f τττ
(2.3.5)
defineşte comportarea de regim forţat sau răspunsul forţat al sistemului (determinat numai de semnalul
de intrare u(t), considerând condiţia iniţială nulă).Descompunerea (2.3.3) pune în evidenţă următoarele aspecte:
- yl(t), exprimat prin (2.3.4), poate fi privit ca soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.3.1) în forma omogenă
(adică 0tu ) cu condiţia iniţială y0, ceea ce conduce la modelul de regim liber:
000101 ,0,0,0 ytyaatyatya ll •
(2.3.6)
- yf (t), exprimat prin (2.3.5), poate fi privit ca soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.3.1) în forma
neomogenă, cu condiţia iniţială nulă (adică y(t0) = 0), ceea ce conduce la modelul de regim forţat:
0,0,0, 00101 •
tyaatutyatya ff(2.3.7)
Astfel, descompunerea (2.3.3), ne arată că modelul (2.3.1) considerat iniţial, constituie un model complet
al comportării sistemului fizic, iar y(t) din (2.3.2) reprezintă răspunsul complet, care cuprinde informaţiileprivitoare atât la evoluţia liberă cât şi la evoluţia forţată. Subliniem faptul că, din punct de vedere practic,observarea semnalului y(t) (prin măsurare, înregistrare etc.) nu permite evidenţierea separată a celor douăcomponente yl(t) şi respectiv yf(t) din descompunerea (2.3.3). Această descompunere are rolul de apreciza la nivel conceptual, faptul că evoluţia în timp a semnalului de ieşire y(t) este datorată structurii
sistemului (sintetizată în coeficienţii a1, a0) asupra căreia acţionează, pe de o parte, condiţia iniţială
(modelul de regim liber (2.3.6)), iar, pe de altă parte semnalul de intrare (modelul de regim forţat (2.3.7)).Trebuie remarcat faptul că descompunerea (2.3.3) este posibilă datorită liniarităţii modelului.
Este evident faptul că, în practică, majoritatea situaţiilor necesită studierea răspunsului complet,dar există şi cazuri când obiectul studiului îl poate constitui fie numai răspunsul liber, fie numai răspunsulforţat.
CAPITOLUL V MODELE MATEMATICE 5.1. MODELE MATEMATICE SUB FORMA ECUATIILOR
DIFERENTIALE.
Pentru un circuit electric (fig. 1.9), ecuatia de functionare se scrie cu ajutorul legilor
lui Ohm si Kirchhoff:
Pentru R, L, C ideale
uR=Ri; uL=Ldi
dt CidtC; u ∫
1
Fig. 1.9.
Pe baza Teoremei a doua a lui Kirchhoff se obtine modelul matematic al circuitului
din fig. 1.9. sub forma:
u1 = uR +uL + uC = Ri + Ldi
dt Cidt ∫
1 (1.1)
Daca consideram tensiunea u1(t) ca variabila de intrare u(t) iar tensiunea u 2(t) = y(t)
ca variabila de iesire ecuatia in forma finala va fi:
LCd y
dtRC
dy
dty t u t
2
2 (1.2)
Forma ecuatiilor diferentiale ce caracterizeaza un sistem defineste tipul siste-mului.
Astfel, ecuatiile diferentiale cu coeficienti independenti de timp caracterizeaza sistemele
invariante, spre deosebire de ecuatiile cu coeficienti variabili in timp care descriu
functionarea sistemelor variante in timp.
O ecuatie diferentiala liniara care consta dintr-o suma de termeni liniari in care
variabila dependenta si derivatele ei intervin numai la puterea intâi, caracterizeaza
functionarea unui sistem liniar.
Un sisTem liniar are proprietatea ca daca o intrare u1(t) produce o iesire y1(t) si
u2(t) produce o iesire y 2(t) atunci o intrare de forma C 1u1(t) + C 2u2(t) produce o iesire de
forma C1y1(t) + C2y2(t).
Un sistem liniar de ordinul intâi este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de
ordinul intâi.
ady
dta y b u1 0 0 (1.3)
Prin impartire cu a0 se obtine: a
a
dy
dty t
b
au t1
0
0
0
⋅ ⋅
Daca se noteaza a
aT1
0
– constanta de timp a sistemului
b
aK0
0
0 – coeficientul de amplificare sau de transfer
ecuatia diferentiala de ordinul intâi se poate scrie astfel
Tdy
dt⋅ + y= K0u(T) (1.4)
Pentru sistemul de ordinul doi, ecuatia diferentiala este:
ad y
dta
dy
dta y b u2
2
2 1 0 0⋅ (1.5)
Prin impartire cu a0 rezulta: a
a
d y
dt
a
a
dy
dty t
b
au t2
0
2
2
1
0
0
0
⋅ (1.6)
Prin introducerea parametrilor caracteristici ai unui sistem de ordinul doi ωn –
pulsatie naturala si ξ – factor relativ de amortizare, ecuatia (1.6) devine:
1 22
2
20
ω
ξ
ωn n
d y
dt
dy
dty t K u t ⋅ sau
d y
dt
dy
dty t K u tn n n
2
2
20
22 ⋅ ⋅ ⋅ξω ω ω
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
unde0
0
0
20
1
2
0
n a
bK;
aa2
a;
a
aξω (1.7)
Daca pulsatia naturala ωn este inlocuita prin inversul constantei de timp proprii
sistemului de ordinul doi, ωnT
1
, se obtine o alta reprezentare matematica:
Td y
dtT
dy
dty t K u t2
2
2 02⋅ ⋅ ⋅ξ (1.8)
In cazul general, un sistem liniar de ordinul n este caracterizat printr-o ecuatie
diferentiala liniara de ordinul n.
d y
dta
d y
dta
dy
dta y t b
d u
dtb
du
dtb u t
n
nn
n
nm
m
m −
−
−1
1
11 0 1 0. . . . . . (1.9)
sau: ∑∑
−
m
0jj
j
j
1n
0ii
i
in
n
dt
udb
dt
yda
dt
yd (1.10)
Variabilele y(T) si u(T) in acest model liniar pot fi reprezentate in anumite cazuri
prin variatii in jurul unui punct static de functionare, iar valabilitatea acestui model se
mentine numai pentru abateri mici ale variabilelor in jurul acestui punct de functionare
normala.
Un sistem neliniar poate fi caracterizat printr-o ecuatie neliniara a carei forma
generala este:
d y
dtf y
dy
dt
d y
dt
d y
dtu
du
dt
d u
dt
d u
dtt
n
n
n
n
m
m
−
−, , ,. .. , , , , , ... , ,
2
2
1
1
2
2 (1.11)
Pentru aceste sisteme nu poate fi utilizat principiul superpozitiei, iar metodele de
rezolvare a ecuatiilor neliniare sunt diferite fata de metodele de rezolvare a ecuatiilor
diferentiale liniare.
Una dintre cele mai uzuale metode este liniarizarea ecuatiilor diferentiale neliniare
prin dezvoltare in serie Taylor in jurul punctului de functionare normala.
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com
Modele liniare de tip reprezentare intrare-stare-ieşire
Reprezentările liniare intrare – stare – ieşire oferă un cadru teoretic general pentru construireamodelelor prin aplicarea legilor fizice care descriu funcţionarea proceselor. După cum reiese şi dindenumire, o descriere matematică de acest gen operează cu trei tipuri de variabile, şi anume: de intrare, destare şi de ieşire.
Modelele astfel obţinute permit analiza detaliată a dinamicii proceselor, ca rezultat (efect) atât alcondiţiilor iniţiale, cât şi al semnalelor de intrare. Sub acţiunea anumitor clase de semnale (uşorrealizabile din punct de vedere tehnic), procesele fizice evidenţiază instalarea regimurilor permanente,când variabilele de stare şi de ieşire reproduc trăsăturile fundamentale ale variabilei de intrare.
Modele intrare-stare-ieşire de ordinul doiDefinirea unui model de acest tip se bazează pe un sistem de două ecuaţii diferenţiale, liniare, de
ordinul I, de forma:
202101
22221212
12121111
0,0 xxxx
tubtxatxatx
tubtxatxatx
•
•
(2.4.1)
sau, în scriere echivalentă:
⎪
⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
•
•
20
10
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
0
0,
x
x
x
xtu
b
b
tx
tx
aa
aa
tx
tx, (2.4.1’)
unde u(t) notează variabila (semnalul) de intrare u(t), iar x 1(t) şi x 2(t) notează variabilele (semnalele) de
stare ale sistemului. Valorile x1(0) = x10 şi x2(0) = x20 reprezintă condiţii iniţiale impuse sistemului deecuaţii diferenţiale.
Variabila (semnalul) de ieşire este definită drept o combinaţie liniară a variabilelor de stare şiintrare:
,2211 tdutxctxcty (2.4.2)
sau, în scriere echivalentă:
tdutx
txccty ⎪
⎦
⎤⎪⎣
⎡
2
121 . (2.4.2’)
Este evident că în particular, putem avea c 1 = 1, c 2 = 0, d = 0 sau c 1 = 0, c 2 = 1, d = 0 cazuri încare variabila de ieşire coincide cu una din variabilele de stare.
În general, un model de forma (2.4.1), (2.4.2) descrie comportarea unui sistem fizic alcătuit din :(i) două elemente care acumulează energie cărora li se asociază variabilele de stare x1(t)
respectiv x2(t), adecvat alese spre a caracteriza funcţionarea în cauzalitate integrală aacestor elemente. (Totodată această alegere asigură continuitatea în raport cu variabilatemporală t şi precizarea condiţiilor iniţiale);
(ii) unul sau mai multe elemente care disipă energie.
Legile fizicii care descriu interconectarea elementelor (i) şi (ii) conduc la sistemul de ecuaţiidiferenţiale (2.4.1).
Variabilele de stare x1(t) şi x2(t) au semnificaţia de mărimi efect în raport cu mărimea cauză u(t).Din punctul de vedere al observării fizice directe (măsurare, înregistrare etc) pot exista situaţii, când să nune intereseze, ca efect, variabilele de stare x1(t) sau x2(t), ci mărimi exprimabile din variabilele de stare cuajutorul unor relaţii statice (sau instantanee) de forma (2.4.2). Acest aspect practic justifică introducereaconceptelor diferenţiate de variabilă de stare, respectiv variabilă de ieşire.
Modele intrare –stare –ieşire de ordinul nÎn cazul sistemelor fizice care conţin n elemente acumulatoare de energie, conectate în
cauzalitate integrală, modelul (2.4.1), (2.4.2) se generalizează sub forma următoarei scrieri vectorial –
matriceale:- ecuaţia de stare (sau ecuaţia stării)
;0; 0xxbAxx •
tutt (2.4.3)
- ecuaţia de ieşire (sau ecuaţia ieşirii):
tdutt T xcy . (2.4.4)
În modelul intrare – stare – ieşire (2.4.3), (2.4.4), semnificaţia notaţiilor este următoarea:- Funcţia vectorială
nt RRx →: (2.4.5)
colectează cele n variabile de stare şi poartă denumirea de vector de stare, sau vectorul variabilelor de
stare.- Vectorul coloană
n
nx
x
Rx ∈
⎪⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪⎪
⎣
⎡
0
10
...0 (2.4.6)
colectează valorile iniţiale ale variabilelor de stare şi poartă denumirea de vector al condiţiilor iniţiale.
- Matricea A este pătrată, de ordinul n, adică:
⎪⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪⎪
⎣
⎡
nnn
n
aa
aa
...
.........
...
1
111
A . (2.4.7)
- Vectorul b este coloană de dimensiune n, adică:
1
1
... ∈
⎪⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪⎪
⎣
⎡
n
nb
b
Rb . (2.4.8)
- Vectorul cT este linie de dimensiune n, adică:
n
n
T cc ∈ 11 ... Rc . (2.4.9)
- Constanta R∈d poate fi nulă, caz în care termenul tdu va dispărea complet din ecuaţia
ieşirii (2.4.4).- Funcţiile u(t), y(t):R+→R au semnificaţia semnalelor de intrare, respectiv ieşire.
Pentru variabila de intrare u(t) se impune condiţia (firească pentru practică) de a fi continuă pe
porţiuni, cu discontinuităţi de speţa întâia. Această condiţie reprezintă o relaxare a condiţiei ca u(t) să fiecontinuă pe R +, care (conform teoriei matematice a sistemelor de ecuaţii diferenţiale) asigură existenţa şiunicitatea soluţiei pe R+ pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale (2.4.3). Relaxarea operează în bazacontinuităţii (de natură fizică) a semnalelor x(t), astfel că, în fiecare punct de discontinuitate t* a lui u(t),condiţia finală (la stânga) x(t* - 0 ) poate fi privită drept o nouă condiţie iniţială x(t*) = x(t* - 0) pentruurmătorul interval de continuitate a variabilei de intrare u(t).
Exemplul 2.4.1.Se consideră un circuit electric alcătuit dintr-un rezistor (cu rezistenţă R e), o bobină (cu
inductanţa L) şi un condensator ( cu capacitatea C e) conectate în serie, conform fig. 2.4.1, cu o sursă detensiune e(t) (care se modifică în timp, după o lege precizată). Tensiunea e(t) furnizată de sursă constituiemărimea de intrare.
Alegem drept variabile de stare tensiunea pe condensator u c(t) şi curentul prin bobină i L(t), cuscopul de a exploata exprimarea de tip integral a legilor ce descriu funcţionarea condensatorului şi abobinei ca acumulatori de energie:
0)0(),( CCC
ce uuti
dt
duC
,
0)0(),( LLL
L iitudt
diL
,
unde iC(t) şi uL(t) sunt curentul prin condensator şi, respectiv, tensiunea pe bobină.Din faptul că elementele circuitului sunt conectate în serie, rezultă că prin toate elementele
circulă acelaşi curent, adică:
)()()( tititi LRC ,
iar tensiunea pe bobină poate fi exprimată (conform legii lui Kirchoff) sub forma:
)()()()()()()( tutiRtetututetu CLeCRL −−−− .
Înlocuind aceste expresii în membrul drept al modelelor de tip integrator de mai sus, se obţinesistemul de două ecuaţii diferenţiale liniare, neomogene:
);(1
tiCdt
duL
e
C
)(1
)()(1
teL
tiL
Rtu
Ldt
diL
eC
L −−.
Astfel intrăm în posesia ecuaţiei vectorial-matriceale de stare, scrierea generală (2.4.3)particularizându-se sub forma:
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡
⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡
⎪⎪⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪⎪⎪
⎣
⎡
−−
⎪⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪⎪
⎣
⎡
0
0
)0(
)0();(1
0
)(
)(
1
10
L
C
L
C
L
C
e
e
L
C
i
u
i
ute
Lti
tu
L
R
L
C
dt
didt
du
.
În funcţie de obiectivul urmărit prin construcţia modelului, rolul mărimii de ieşire poate fiîndeplinit de oricare din semnalele (variabilele) ce apar în descrierea funcţionării circuitului, mai puţin e(t)
uC(t)
iL(t)
e(t)uR(t) uL(t)
Re L
Ce
Fig. 2.4.1. Circuitul electric utilizat în exemplul2.4.1.
(care se presupune a fi cunoscută prin însăşi natura problemei). Astfel, ecuaţia ieşirii având forma generală(2.4.2’) se particularizează conform următoarelor cazuri:(i) Dacă tensiunea pe condensator este considerată drept mărime de ieşire, atunci ecuaţia (2.4.4)
devine:
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡
)(
)(01)(
ti
tutu
L
CC
,arătând că semnalul de ieşire coincide cu prima variabilă de stare aleasă.
(ii) Dacă curentul prin bobină (sau, echivalent, curentul furnizat de sursa circuitului serie din fig.2.4.1) este considerat drept mărime de ieşire, atunci ecuaţia (2.4.4) devine:
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡
)(
)(10)(
ti
tuti
L
CL
,arătând că semnalul de ieşire coincide cu a doua variabilă de stare.
(iii) Dacă tensiunea pe rezistenţă este considerată drept mărime de ieşire, atunci ecuaţia (2.4.4)devine:
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡
)(
)(0)(
ti
tuRtu
L
CeR
,
întrucât avem exprimarea )()( tiRtu LeR .
(iv) Dacă tensiunea pe bobină este considerată drept mărime de ieşire, atunci (2.4.4.) devine:
)()(
)(1)( te
ti
tuRtu
L
CeL ⎪
⎦
⎤⎪⎣
⎡−−
,întrucât, din funcţionarea circuitului, avem exprimarea
)()()()( tututetu CRL −− .
Răspuns complet, răspuns liber şi răspuns forţatExprimarea analitică a mărimii de ieşire y(t) se realizează pornind de la soluţia sistemului de ecuaţii
diferenţiale (2.4.3) care constituie ecuaţia intrare – stare a modelului, şi anume:
τττ dueett
tt bxx AA
∫−
00 (2.4.10)
Recomandăm ca exprimarea (2.4.10) să fie privită drept o generalizare firească a soluţieiecuaţiei diferenţiale de ordin I, cu coeficienţi constanţi, generalizare care face apel la exponenţialamatricială. Afirmaţiile ce urmează vor pune în evidenţă utilitatea înţelegerii unei atare generalizări.
În baza relaţiei (2.4.10), vectorul de stare x(t) poate fi scris sub forma:
ttt fl xxx , (2.4.11)
unde
0xx At
l et (2.4.12)
defineşte componenta liberă (de regim liber) a stării, iar
τττ duett
t
f bx A
∫−
0 (2.4.13)
defineşte componenta forţată (de regim forţat) a stării.Componenta de regim liber x l(t) constituie soluţia ecuaţiei (2.4.3) în forma omogenă cu condiţii
iniţiale nenule, adică:
00, xxAxx •
lll tt (2.4.14)
Componenta de regim forţat xf (t) constituie soluţia ecuaţiei (2.4.3) în forma neomogenă, cu
condiţii iniţiale nule, adică:
00, xxbAxx •
fff tutt (2.4.15)
Astfel, descompunerea (2.4.11) ne arată că modelul (2.4.3) constituie un model complet alcomportării sistemului, iar x(t) din (2.4.10) reprezintă răspunsul complet pe stare, care cuprindeinformaţiile privitoare atât la evoluţia liberă a stării, cât şi la evoluţia forţată a stării.
Luând acum în considerare şi ecuaţia ieşirii (2.4.4) se constată că descompunerea (2.4.11) atragedupă sine posibilitatea descompunerii semnalului de ieşire y(t) sub forma:
tytyty fl , (2.4.16)
unde
0xetty tT
l
T
l
Acxc (2.4.17)
defineşte componenta liberă (de regim liber) a ieşirii, iar:
tduduetduttytt
T
f
T
f −
∫ τττ
bcxcA
0 (2.4.18)
defineşte componenta forţată (de regim forţat) a ieşirii.
Analogii între diverse domenii ale fizicii
Studiul comparativ al mărimilor (variabilelor) specifice diferitelor domenii ale fiziciiFiecare domeniu al fizicii utilizează mărimi (variabile) specifice cu ajutorul cărora se pot descrie
fenomenele fizice care îi sunt caracteristice. Există patru mărimi fundamentale care stau la baza descrieriituturor fenomenelor fizice din fiecare domeniu. Aceste mărimi sunt variabilele puterii (efortul, notat e, şifluxul, notat f ) şi variabilele energiei (impulsul generalizat, notat p, şi deplasarea generalizată, notată q).Variabilele puterii se mai numesc şi variabile coenergetice.
Fiecăreia dintre cele patru variabile generice menţionate îi corespunde o variabilă concretăspecifică domeniului din care face parte după cum urmează:
• variabila efort se regăseşte în domeniul circuitelor electrice sub forma mărimii denumităpotenţial (notat u) sau diferenţă de potenţial (notat DV), în domeniul mişcării mecanice detranslaţie sub forma mărimii denumită forţă (notată F), în domeniul mişcării mecanice de rotaţiesub forma mărimii denumită cuplu (notată M), în domeniul fluidelor necompresibile variabiladenumită presiune sau diferenţă de presiune (notată P sau DP) iar în domeniul sistemelortermice variabila denumită temperatură termodinamică (temperatură absolută) sau variaţie detemperatură (notată T sau DT);
• variabila flux se regăseşte în domeniul circuitelor electrice sub forma mărimii denumită curentelectric (notată i), în domeniul mişcării mecanice de translaţie sub forma mărimii denumităviteză liniară (notată v), în domeniul mişcării mecanice de rotaţie sub forma mărimii denumităviteză unghiulară (notată w), în domeniul fluidelor necompresibile sub forma mărimii debitvolumetric (notată Q) iar în domeniul sistemelor termice sub forma mărimii denumită flux de
căldură (notată •
Q );
În tabelul 1 este prezentată concis o vedere generală asupra corespondenţelor dintre mărimilefizice aparţinând unor domenii fizice diferite împreună cu unităţile de măsură şi relaţiile matematicedintre ele. Tabelul sugerează aspectul unitar al mărimilor necesare descrierii fenomenelor fizice şideschide calea unei abordări simplificate a studiului acestor fenomene bazată pe similitudinile existenteîntre tipurile de mărimi şi între relaţiile dintre ele.
Tabelul 1. Mărimi (variabile) utilizate în modelare - variabilele puterii (VP)Efort (e) Flux (f )
Domenii alefizicii Denumire variabilă
Notaţieuzuală
U.m. S.I.Denumirevariabilă
Notaţieuzuală
U.m. S.I.
Circuite electrice potenţial, tensiune electrică u [V] curent electric i [A]Mişcare detranslaţie
forţă F [N] viteză liniară v [m/s]
Mişcare de rotaţie cuplu M [Nm]vitezăunghiulară
w [rad/s]
Fluidenecompresibile
presiune (diferenţă depresiune)
P
(DP)[N/m2]
debitvolumetric
Q [m3/s]
Sisteme termice
emperatură termo-dinamică (temperaturăabsolută) sau variaţie deemperatură
T
(DT)[K] flux de căldură
•
Q[J/s][W]
Elemente ce realizează acumularea de tip inerţial (inductiv) a energiei (elemente I)Acest tip de element, notat I şi denumit element inerţial sau inductiv, modelează elementele fizice
care acumulează energie printr-un fenomen similar cu acumularea energiei cinetice de către mase (de undedenumirea de acumulare de tip inerţial) ori acumularea energiei într-un câmp magnetic al unei bobine (deunde denumirea de acumulare de tip inductiv).
Elemente ce realizează acumularea de tip capacitiv a energiei (elemente C)Acest tip de element, notat C şi denumit element capacitiv sau condensator, modelează
elementele fizice care acumulează energie printr-un fenomen similar acumulării de energie în câmpulelectric al unui condensator, fapt care justifică denumirea de acumulare de tip capacitiv.
Elemente ce realizează disiparea energiei (elemente R)Disiparea energiei în sisteme este modelată de un element, notat R, şi denumit rezistor sau element
disipativ pentru faptul că modelează disiparea energiei în mod similar cu rezistenţa electrică.
Elemente care funcţionează ca surse ideale de putere (elemente S e şi Sf)Puterea este furnizată sistemelor fizice de aşa numitele surse de putere care sunt reprezentate de
motoare, pompe, surse de căldură etc. Ele sunt alese astfel încât să poată elibera puterea necesarăsistemului pentru ca acesta să-şi poată îndeplini rolul pentru care a fost conceput.
S-au conceput, pe baza observaţiilor de mai sus, două tipuri de surse ideale de putere, şi anume:- surse ideale de efort (notate S e) care au variabila efort prestabilită iar variabila flux rezultând
din funcţionarea sistemului.- surse ideale de flux (notate S f) care au variabila flux prestabilită iar variabila efort rezultând din
funcţionarea sistemului.sunt de două tipuri: joncţiuni zero, notate J0 şi joncţiuni unu, notate J1.
Exemple de sisteme fizice ilustrând analogii comportamentale
Intre diverse domenii ale fizicii există analogii la nivelul elementelor fundamentale cu ajutorulcărora se construiesc sistemele precum şi la nivelul modalităţilor de conectare a acestor elemente. Acesteanalogii vor fi evidenţiate în continuare cu ajutorul unor sisteme aparţinând unor domenii energeticediferite dar care, din punct de vedere structural şi comportamental, sunt analoge.
Sisteme conţinând elemente S e, R, CSe consideră sistemul electric din fig. 4.5.1, sistemul mecanic cu elemente în mişcare de
translaţie din fig. 4.5.2, sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie din fig. 4.5.3, sistemulhidraulic cu curgere laminară din fig. 4.5.4 şi sistemul termic din fig. 4.5.5.
(C )e qe
Rea b
g gFig. 4.5.1. Sistem electric format din elementele
Se, R, C
F
γ
x
aFig. 4.5.2. Sistem mecanic în mişcare de translaţie
format din elementele Se, R, C
( )kt( )γtM θ
aFig. 4.5.3. Sistem mecanic în mişcare de rotaţie
format din elementele Se, R, C
( )Rf
( )Cf
p0
(A)
V
p p P ∆0
a b
g
Fig. 4.5.4. Sistemul hidraulic format din elementeleSe, R, C
( )Rt
( )Ct
T0
T T T ∆0
( )m
Q
a b
g
Fig. 4.5.5. Sistem termic format din elementele Se, R, C
Fiecare dintre ele este alcătuit din: un subsistem generator de putere (un element S e de tip sursăideală de efort) care este o sursă de tensiune de mărime e pentru sistemul electric, un motor liniar carefurnizează o forţă F pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie, un motor rotativ care furnizează uncuplu M pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie, o pompă care furnizează o diferenţă de presiune∆P pentru sistemul hidraulic şi respectiv o sursă de temperatură care furnizează temperatura ∆T pentrusistemul termic; un subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv) care este o rezistenţaelectrică de valoare R e pentru sistemul electric, un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecarevâscoasă γ pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie, un amortizor vâscos rotativ avândcoeficientul de frecare vâscoasă γt pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie, un robinet avândrezistenţa fluidică R f pentru sistemul hidraulic şi respectiv un perete având rezistenţa termică R t pentrusistemul termic; un subsistem acumulator de energie (un element C de tip condensator) care este uncondensator electric de capacitate Ce pentru sistemul electric, un arc liniar având constanta elastică ke
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie, un arc de torsiune având constanta de torsiune k t pentrusistemul mecanic în mişcare de rotaţie, un rezervor de arie constantă A având capacitatea fluidică Cf
pentru sistemul hidraulic şi respectiv o masă de substanţă m dintr-o incintă încălzită având capacitateatermică Ct pentru sistemul termic.
În cadrul celor cinci tipuri de sisteme, elementele Se, C şi R au aceeaşi variabilă de tip f(intensitatea i a curentului pentru circuitul electric, viteza v a punctului a pentru sistemul mecanic înmişcare de translaţie, viteza unghiulară ω din punctul a pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie,
debitul Q pentru sistemul hidraulic şi fluxul de căldură •
Q pentru sistemul termic), prin urmare legătura
între ele poate fi modelată cu ajutorul unei joncţiuni J1. Sursele nu sunt desenate în mod explicit, ci suntsugerate numai eforturile aplicate de ele (tensiunea e, forţa F, cuplul M, presiunea ∆P respectivtemperatura ∆T) care sunt şi mărimile de intrare notate generic cu u. Mărimile de ieşire, care se noteazăgeneric cu y, sunt cantitatea de electricitate q care trece prin circuit şi se acumulează în condensatorpentru sistemul electric (fig. 4.5.1), deplasarea liniară x pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie(fig. 4.5.2), deplasarea unghiulară θ pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie (fig. 4.5.3), volumul delichid V transportat prin conducte şi acumulat în rezervor pentru sistemul hidraulic (fig. 4.5.4) şi respectivcantitatea de căldură Q care străbate peretele şi se acumulează în masa de substanţă din incintă pentrusistemul termic (fig. 4.5.5.).
Pe lângă o structură fizică analogă, care reiese din cele de mai sus, se va arăta că cele cinci tipuride sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie diferenţială generică de forma (2.3.1):
uyk
ykC
R • 1
,
în care parametrii kR şi kC capătă semnificaţii corespunzătoare categoriei energetice procesate de sistem.În cazul sistemului electric din fig. 4.5.1. tensiunea e, furnizată de sursă, este egală cu suma
căderilor de tensiune uR pe rezistenţă şi uc pe condensator:
CR uue .
Pe de altă parte, se pot scrie relaţiile:
•
qRiRu eR şi
qC
ue
C
1 ,
care, după înlocuire, conduc la ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului
eqC
qRe
e • 1
.
Aceasta are forma generică arătată anterior dar cu următoarea semnificaţie a coeficienţilor
eR Rk şi eC Ck .
Pentru sistemul mecanic din fig. 4.5.2 se scrie ecuaţia de echilibru dinamic a lui d´Alembertpentru placa de masă neglijabilă din punctul a
0−− ae FFF ,unde Fe este forţa elastică dezvoltată de arc iar Fa este forţa din amortizor. Dacă pentru x = 0 forţa elasticăeste nulă, atunci se pot scrie relaţiile
xkF ee şi
•
xvFa γγ ,
care, înlocuite în ecuaţia de echilibru dinamic, o aduc la forma
Fxkx e •
γ ,care este de tipul ecuaţiei generice cu precizarea că valorile coeficienţilor sunt
γRk şi e
Ck
k1
.
Sistemul mecanic din fig. 4.5.3 nu conţine mase în rotaţie şi ecuaţia de echilibru dinamic este
0−− ae MMM ,în care M e este momentul elastic al arcului de torsiune iar M a este momentul de amortizare. Dacă pentruθ= 0 momentul elastic este nul, atunci se pot scrie relaţiile
θte kM şi
•
θγωγ ttaM ,care, înlocuite în ecuaţia de echilibru dinamic, o aduc la forma
Mktt •
θθγ ,care este de tipul ecuaţiei diferenţiale generice cu precizarea că semnificaţia coeficienţilor este
tRk γ şi t
Ck
k1
.
În cazul sistemului hidraulic cu curgere laminară din fig. 4.5.4. diferenţa de presiune ∆P creatăde pompă este egală cu pierderea de presiune din robinet ∆P r sumată cu presiunea de la baza rezervorului∆Pv datorată volumului V de lichid, adică
vr PPP ∆∆∆ .
Utilizând relaţiile•
∆ VRQRP ffr şi
VC
Pf
v
1∆
relaţia devine
PVC
VRf
f ƥ 1
,
adică o ecuaţie diferenţială având aceeaşi formă cu a ecuaţiei diferenţiale generice cu precizarea căsemnificaţia coeficienţilor este
fR Rk şi fC Ck .
În sistemul termic din fig. 4.5.5, diferenţa de temperatură ∆T aplicată de sursa de temperaturăeste egală cu suma dintre pierderea de temperatură datorată rezistenţei termice a peretelui ∆T R şi diferenţade temperatură corespunzătoare încălzirii masei de substanţă ∆Tm, adică are loc relaţia
mR TTT ∆∆∆ .
Pe baza relaţiilor
•
∆ QRT tR ,
QC
Tt
m
1∆ ,
se obţine, după înlocuirile corespunzătoare, ecuaţia diferenţială
TQC
QRt
t ƥ 1
care are aceeaşi formă cu ecuaţia diferenţială generică, cu precizarea că semnificaţia coeficienţilor este
tR Rk şi tC Ck .
Pentru toate cele cinci tipuri de sisteme este valabilă aceeaşi schemă bloc reprezentată în fig. 4.5.6care este obţinută pe baza ecuaţiei diferenţiale generice, cu precizarea că semnificaţia mărimilor de intrare,de ieşire şi a parametrilor este corespunzătoare tipului de energie procesat aşa după cum s-a arătat şianterior.
Deoarece sistemele fizice prezentate sunt modelate cu ajutorul unei ecuaţii diferenţiale genericeavând forma
uyk
ykC
R • 1
rezultă că ele pot fi modelate printr-o funcţie de transfer generică:
1
Ts
KsG ,
factorul de amplificare K fiind CkK , iar parametrul T fiind CRkkT .
Într-adevăr, aplicând transformarea Laplace ecuaţiei diferenţiale, rezultă
sUsYk
ssYkC
R 1
,
din care se obţine funcţia de transfer
111
1
Ts
K
skk
k
ksk
sU
sYsG
CR
C
C
R
y& y
– Rk
1
Ck
1
u +∫td0 τ
Fig. 4.5.6. Schema bloc corespunzătoare sistemelor dinfigurile 4.5.1, 4.5.2, 4.5.3, 4.5.4 şi 4.5.5 ?????Kr???
Pentru sistemul electric rezultă
][],[ sCRTFCK eee ;
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie
][,1 2 s
kTkgs
kK
ee
γ ;
pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie
][,1 22 s
kTmkgrads
kK
t
t
t
γ⋅⋅ ;
pentru sistemul hidraulic
][,24 sCRTkgsmCK fff ⋅ ;
iar pentru sistemul termic
][,22 sCRTsKmkgCK ttt ⋅⋅ .
Sisteme conţinând elemente Se, R, IUn alt grup de sisteme fizice având comportament analog este format din sistemul electric din
fig. 4.5.7, sistemul mecanic cu elemente în mişcare de translaţie din fig. 4.5.8, din sistemul mecanic cuelemente în mişcare de rotaţie din fig. 4.5.9 şi din sistemul hidraulic cu curgere laminară din fig. 4.5.10.Fiecare dintre ele este alcătuit dintr-un subsistem generator de putere (un element S e de tip sursă ideală deefort) care este la fel ca la grupul anterior de sisteme din paragraful 4.5.1, dintr-un subsistem disipativ deenergie (un element R de tip rezistiv) care este la fel ca la grupul anterior de sisteme din paragraful 4.5.1şi dintr-un subsistem acumulator de energie (un element I de tip inductor) care este o bobină de inductanţăL pentru sistemul electric, o masă de mărime m pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie, unvolant de moment de inerţie principal central J pentru sistemul în mişcare de rotaţie şi fluidul dintr-oconductă lungă cu curgere laminară de inductanţă fluidică Lf. Nu a fost considerat şi un sistem termicdeoarece la astfel de sisteme nu este definit un element inerţial.
La fel ca în cazul anterior din paragraful 4.5.1 şi la acest grup de sisteme elementele S e, R şi I auaceeaşi variabilă de tip f (reprezentând aceleaşi mărimi fizice) ceea ce face posibilă modelarea legăturiidintre ele tot cu o joncţiune J1.
Mărimile de intrare sunt aceleaşi ca la primul grup de sisteme din paragraful 4.5.1, darmărimile de ieşire diferă, ele fiind intensitatea i a curentului din circuit pentru sistemul electric, vitezav a masei m pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie, viteza unghiulară ω a volantului pentrusistemul mecanic în mişcare de rotaţie şi debitul Q al fluidului pentru sistemul hidraulic.
Aceste patru tipuri de sisteme au o structură fizică analogă şi se va arăta că pot fi modelateprintr-o ecuaţie diferenţială generică de forma (2.3.1):
uykyk RI •
,în care parametrii kI şi kR capătă semnificaţii corespunzătoare categoriei energetice căreia îi aparţinesistemul.
( )Re
(L) i
e
a b
gFig. 4.5.7. Sistem electric format din
elementele Se, R, I
( )mF
( )γv
Fig. 4.5.8. Sistem mecanic în mişcare de translaţie
format din elementele Se, R, I
( )J ( )γt
Mω
Fig. 4.5.9. Sistem mecanic în mişcare de rotaţieformat din elementele Se, R, I
( )Rf( )Lf
p0(A)
( )l
p p P ∆0
Q
gb
Fig. 4.5.10. Sistem hidraulic cu curgere laminarăformat din elementele Se, R, I
La sistemul electric din fig. 4.5.7 tensiunea e furnizată de sursă este egală cu suma căderilor detensiune uR pe rezistenţă şi uL pe bobină:
LR uue .
Cele două tensiuni se pot scrie
iRu eR şi
dt
diLuL ,
care, după efectuarea înlocuirilor corespunzătoare, conduc la ecuaţia diferenţială
eiRdt
diL e
ce are aceeaşi formă cu ecuaţia generică, iar semnificaţia coeficienţilor este
Lk I şi eR Rk .
Pentru sistemul mecanic din fig. 4.5.8 se scrie ecuaţia de echilibru dinamic a lui d’Alembertpentru elementul inerţial de masă m. Aceasta este
0−− ia FFF ,unde Fa este forţa datorată amortizorului
vFa γ ,
iar Fi este forţa de inerţie
dt
dvmmaFi .
După efectuarea substituirilor, ecuaţia de echilibru dinamic devine
Fvdt
dvm γ ,
adică având aceeaşi formă cu ecuaţia generică şi cu următoarele semnificaţii ale coeficienţilor
mk I şi γRk .
Tot o ecuaţie de echilibru dinamic a lui d´Alembert se scrie şi în cazul sistemului mecanic dinfig. 4.5.9, dar pentru volantul având momentul de inerţie mecanic J. Aceasta este
0−− ai MMM ,unde Mi este momentul forţelor de inerţie
dt
dJM i
ω ,
iar Ma este momentul datorat amortizorului rotativ
ωγtaM .
Efectuând substituţiile în ecuaţia de echilibru dinamic, se obţine ecuaţia diferenţială
Mdt
dJ t ωγ
ω
care are aceeaşi formă cu ecuaţia generică iar semnificaţia coeficienţilor este
Jk I şi tRk γ .
În cazul sistemului hidraulic cu curgere laminară din fig. 4.5.10, presiunea pompei ∆P este egalăcu suma dintre căderea de presiune pe robinet ∆Pr şi căderea de presiune pe conducta de lungime l şisecţiune de arie A, ∆Pc, adică
Cr PPP ∆∆∆ .
Cele două căderi de presiune au expresiile
QRP fr ∆ , respectiv
dt
dQLP fC ∆ ,
care, înlocuite în relaţia anterioară, conduc la ecuaţia diferenţială
PQRdt
dQL ff ∆ ,
care are aceeaşi formă cu ecuaţia diferenţială generică cu coeficienţii având semnificaţiile
fI Lk şi fR Rk .
Pe baza ecuaţiei diferenţiale generice
uykyk RI •
se poate determina o funcţie de transfer generică prin aplicarea transformatei Laplace. Se obţine
sUsYkssYk RI din care rezultă funcţia de transfer generică
11
1
Ts
K
sk
k
k
sU
sYsG
R
I
R
în care factorul de amplificare K este
RkK
1
iar parametrul T este
R
I
k
kT .
Pentru sistemul electric rezultă
sR
LT
RkgmsA
RK
eee
Ω − ,11 1232 ;
pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de translaţie
smTkgsK
γγ ,
1;
pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie
sJTmkgradsK
tt γγ⋅⋅ ,
1 2 ;
pentru sistemul hidraulic cu curgere laminară
sR
LTkgms
RK
f
f
f
⋅ ,1 4 .
Sisteme conţinând elemente Se, R, I, CUn ultim grup de sisteme care ilustrează analogiile dintre domeniile fizicii considerate în
Capitolul 3 şi în cel curent este format din sistemul electric reprezentat în fig. 4.5.12, sistemul mecanic cuelemente în mişcare de translaţie reprezentat în fig. 4.5.13, sistemul mecanic cu elemente în mişcare derotaţie reprezentat în fig. 4.5.14 şi sistemul hidraulic cu curgere laminară reprezentat în fig. 4.5.15.
(Re) b
g
ca
e (Ce)
(L)
i
Fig. 4.5.12. Sistem electric format din elementeleSe, R, I, C
x
F
( )ke
( )γ
( )m
Fig. 4.5.13. Sistem mecanic în mişcare de translaţieformat din elementele Se, R, I, C
( )kt ( )J( )γt
Mθ
Fig. 4.5.14. Sistem mecanic în mişcare de rotaţieformat din elementele Se, R, I, C
(Lf )(p0 + Lf ) (Rf )
(Cf )lb ca
g
V
p0
Fig. 4.5.15. Sistem hidraulic format din elementeleSe, R, I, C ???Lf=dP???
Fiecare dintre ele conţine câte un subsistem generator de putere (un element Se de tip sursăideală de efort) care este la fel ca la grupele anterioare de sisteme din paragrafele 4.5.1, 4.5.2, câte unsubsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv) care este la fel ca la grupele anterioare desisteme din paragrafele 4.5.1, 4.5.2, câte un subsistem acumulator de energie de tip capacitiv (un elementC de tip condensator) care este la fel cu cel de la prima grupă de sisteme din paragraful 4.5.1 şi câte unelement acumulator de energie de tip inductiv (un element I de tip inerţial) care este la fel cu cel de la adoua grupă de sisteme din paragraful 4.5.2. La fel ca în cazul din paragraful 4.5.2, nu a fost considerat şiun sistem termic deoarece, la astfel de sisteme, nu a fost definit elementul inerţial.
Elementele componente ale acestor ultime patru sisteme au aceeaşi variabilă de tip f
(reprezentând aceleaşi mărimi fizice) ceea ce face posibilă, şi în acest caz, modelarea legăturii dintreelemente cu o joncţiune J1.
Mărimile de intrare ale fiecărui sistem din grup sunt aceleaşi ca şi în cazurile anterioare dinparagrafele 4.5.1, 4.5.2. Mărimile de ieşire sunt cantitatea de electricitate q pentru sistemul electric,deplasarea x pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de translaţie, unghiul de rotaţie θ¸ pentrusistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie şi volumul de fluid V pentru sistemul hidraulic cucurgere laminară.
Cele patru tipuri de sisteme nu sunt analoge numai din punct de vedere structural ci sunt analogeşi din punct de vedere al comportamentului dinamic în sensul că ele sunt modelate de un set de ecuaţiiintrare-stare-ieşire având forma generică (2.4.3), (2.4.4):
u
kx
x
k
k
kkx
x
II
R
IC
⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
−−⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
•
•
10
110
2
1
2
1 ,
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅
2
101x
xy ,
unde x1 are semnificaţie de variabilă de tip deplasare generalizată (q) pentru domeniul energetic respectiv,iar x2 are semnificaţia de flux (f) pentru acelaşi domeniu, iar parametrii kI, kR, kC, capătă semnificaţiicorespunzătoare.
Pentru sistemul electric din fig. 4.5.12, tensiunea sursei este egală cu suma dintre căderea detensiune pe rezistenţă uR, căderea de tensiune pe bobină uL şi căderea de tensiune pe condensator uC, adicăare loc relaţia
CLR uuue ,unde
qC
uiLdt
diLuiRu
e
CLeR
1,, •
.
După efectuarea substituţiilor, rezultă ecuaţia diferenţială
eL
iL
Rq
LCi e
e
11−−
•
.
Pe de altă parte avem ecuaţia diferenţială iq •
.
Ultimele două ecuaţii se scriu sub forma matriceală
e
Li
q
L
R
LCi
qe
e
⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
−−⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
•
•
10
110
.
Cum variabila de ieşire este cantitatea de electricitate q, se poate scrie ecuaţia de ieşire
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅
i
qq 01 ,
obţinându-se astfel setul de ecuaţii intrare-stare-ieşire pentru sistemul din fig. 4.5.12 sub forma generică
precizată cu qx 1 şi ix 2 şi cu următoarea semnificaţie a coeficienţilor
eRIeC RkLkCk ,, .
În cazul sistemului mecanic cu elemente în mişcare de translaţie reprezentat în fig. 4.5.13,ecuaţia de echilibru dinamic a lui d’Alembert pentru corpul de masă m este
0−−− iae FFFF ,în care Fe este forţa elastică din arc având expresia
xkF ee pentru situaţia în care, în poziţia iniţială, arcul este netensionat, Fa este forţa din amortizor care areexpresia
vFa ⋅ γ ,iar Fi este forţa de inerţie care are expresia
•
vmFi .
După înlocuiri, ecuaţia de echilibru dinamic capătă forma
Fm
vm
xm
kv e 1
−−• γ
Dacă se ţine cont că vx •
, atunci ultimele două ecuaţii diferenţiale pot fi scrise sub formamatriceală
F
mv
x
mm
k
v
xe ⋅
⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
−−⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡•
•
1010
γ .
Cum variabila de ieşire este deplasarea x a masei m, se poate scrie ecuaţia de ieşire
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅
v
xx 01 ,
rezultând astfel setul de ecuaţii intrare-stare-ieşire pentru sistemul din fig. 4.5.13 sub forma genericăprecizată la început, cu următoarea semnificaţie a coeficienţilor
γ RI
e
C kmkk
k ,,1
.
Sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie din fig. 4.5.14 se poate modela prin scriereaecuaţiei de echilibru dinamic a lui d’Alembert pentru volantul sistemului
0−−− iae MMMM ,în care Me este momentul elastic de forma
θte kM ,Ma este momentul din amortizor care are forma
ωγtaM ,iar Mi este momentul de inerţie care are forma
•
ωJM i .
Efectuând substituţiile în ecuaţia de echilibru dinamic, se obţine ecuaţia diferenţială
MJJJ
k tt 1−−
•
ωγ
θω ,
care împreuna cu ecuaţia diferenţială ωθ•
formează sistemul de ecuaţii diferenţiale de stare care sescrie matriceal de forma
M
JJJ
k tt ⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
−−⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡•
•
1010
ω
θγ
ω
θ .
Cum variabila de ieşire este unghiul de rotaţie θ, se poate scrie ecuaţia de ieşire
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅ω
θθ 01 ,
rezultând astfel setul de ecuaţii intrare-stare-ieşire pentru sistemul din fig. 4.5.14 sub forma generică precizată
la început, cu θ1x şi ω2x şi cu următoarea semnificaţie a coeficienţilor
tRI
t
C kJkk
k γ ,,1
.
În cazul sistemului hidraulic cu curgere laminară din fig. 4.5.15 presiunea ∆P creată de pompăeste egală cu suma dintre căderea de presiune pe robinet ∆Pr, căderea de presiune pe conductă ∆Pc şipresiunea de la baza rezervorului ∆Pv datorată volumului V de lichid din rezervor, adică are loc relaţia
vcr PPPP ∆∆∆∆ ,unde
QRP fr ∆ ,•
∆ QLP fc ,
VC
Pf
v
1∆ .
După efectuarea substituţiilor, se obţine ecuaţia diferenţială
PL
QL
RV
LCQ
ff
f
ff
∆−−• 11
,
la care se adaugă ecuaţia QV •
pentru a forma sistemul de ecuaţii diferenţiale de stare care au forma
matriceală
PLQ
V
L
R
LCQ
V
ff
f
ff
∆⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡
−−⎪⎪
⎦
⎤
⎪⎪
⎣
⎡•
•
10
110
.
Cum variabila de ieşire este volumul V din rezervor, atunci se poate scrie ecuaţia de ieşire
⎪⎦
⎤⎪⎣
⎡⋅
Q
VV 01 ,
care, împreună cu sistemul diferenţial anterior, formează setul de ecuaţii intrare-stare-ieşire pentru
sistemul din fig. 4.5.15 având forma generică prezentată la început cu QxVx 21 , şi cu
următoarea semnificaţie a coeficienţilor
fRfIfC RkLkCk ,, .
Pe baza formei generice a sistemului de ecuaţii diferenţiale, se poate desena o schemă bloc
valabilă pentru toate cele patru tipuri de sisteme aşa cum se arată în fig. 4.5.16, cu precizarea căsemnificaţia mărimilor de intrare, de ieşire, de stare şi a parametrilor este corespunzătoare tipului deenergie procesat.
x1= y
–
u +
Ik
1
kR
Ck
1
– x2
∫td0 τ ∫
td0 τ
Fig. 4.5.16. Schema bloc corespunzătoare sistemelor din figurile 4.5.12, 4.5.13, 4.5.14 şi 4.5.15
Tot pe baza sistemului generic de ecuaţii intrare-stare-ieşire fiecare sistem poate fi modelatprintr-o funcţie de transfer de ordinul doi de forma
1222
TssT
KsG
ξ,
în care K, T ,ξ se numesc factor de amplificare, constantă de timp, respectiv factor de amortizare (deexemplu (Ionescu 1985), (Voicu 1998)) şi sunt specifici fiecărui tip de sistem în parte.
Conform (2.4.31), funcţia de transfer va fi
12
1
− −
skkskk
kbscsG
RCIC
CT AI ,
rezultând că factorul de amplificare este CkK , iar parametrii T şi ξ sunt
I
CRIC
k
kkkkT
2
1, ξ .
Factorul de amplificare şi cei doi parametri capătă semnificaţii specifice pentru fiecare tip desistem, astfel că pentru sistemul electric rezultă
L
CRsLCTFCK e
eee 2
1,, ξ [adimensional],
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie rezultă
eee mk
sk
mTkgs
kK
γξ
2
1,,
1 2 [adimensional],
pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie rezultă
t
t
tt Jks
k
JTmkgs
kK
γξ
2
1,,
1 22 ⋅ [adimensional],
iar pentru sistemul hidraulic rezultă
f
f
ffffL
CRsLCTkgsmCK
2
1,,24 ξ [adimensional].
ConcluziiPlasându-ne în domenii energetice diferite şi operând cu sisteme fizice prezentând analogii din
punct de vedere al structurii, vom constata şi analogii la nivel comportamental, modelele matematiceconstruite fiind izomorfe. Analogia la nivel de structură a constat în alegerea unor elemente din domeniifizice diferite care procesează energia într-o manieră similară, iar conectarea lor este realizată în acelaşimod.
Exemplele considerate au fost alese cât mai simple spre a stimula rolul intuiţiei în înţelegereaaspectelor similare ce apar în funcţionarea grupelor de sisteme din fiecare paragraf. Pe de altă parte,această simplitate a permis obţinerea unor descrieri matematice pentru care comparaţiile sunt uşor derealizat şi totodată eficiente în sensul urmăririi tranziţiei cauzale intrare-stare-ieşire (pentru modelul destare) şi intrare-ieşire (pentru funcţia de transfer şi diagrama bloc).
Este evident că, în spiritul exemplelor considerate în cele trei paragrafe, pot fi imaginate şi altegrupuri de sisteme de natură fizică diferită, prezentând analogii atât la nivelul structurii, cât şi aldinamicii.
TABEL CU TRANSFORMATE LAPLACE
Functia in domeniul
real f(t)
Transformata
Laplace F(s)
δ(t) 1
δ (t – nT) e-nTs
u(t)s
1
t 2s
1
t n-1ns
)!1n( −
e-at
as
1
te-at2)as(
1
sin at 22 as
a
cos at 22 as
s
sh at 22 as
a
−
ch at 22 as
s
−
e-at sin bt 22 b)as(
b
e-at cos bt 22 b)as(
as
5.2. FUNCTIA DE TRANSFER A ELEMENTELOR SI
SISTEMELOR AUTOMATE
Pentru sistemul descris de o ecuatie de forma
ad y
dtb
d y
dti
i
ii
n
j
j o
m j
j⋅ ⋅
∑ ∑0
prin aplicarea transformatei Laplace si a proprietatilor acesteia (vezi anexa) atât
membrului drept cât si membrului stâng se obtine:
−
− ∑∑∑ ∑
−
−−
−
−−1j
0k
k)0(
k1jjm
0j
jn
oi
k)0(
1i
0k
k1iii us)s(Usbys)s(Ysa (1.12)
unde yd y
dt
kk
k t 0 0 si ud u
dt
kk
k t 0 0
Pentru cazul in care conditiile initiale ale functiilor y(t) si u(t) si ale derivatelor lor
sunt nule, atunci expresia generala a iesirii unui sistem de ordinul n este:
Y s
b s
a s
U s
jj
j
m
ii
i
n ⋅
∑
∑
0
0
(1.13)
Prin definitie raportul intre variabila Y(s) si U(s), in conditii initiale nule, este
denumit functie de transfer.
H(s) = Y s
U s
(1.14)
Functia de transfer pentru un sistem de ordinul intâi, tinând seama de definitia
acesteia si de relatia (1.4) are forma:
H sK
Ts
0
1 (1.15)
iar pentru sistemul de ordinul doi, tinând seama de (1.7) este:
H sK
s s
n
n n
02
2 22
ω
ξω ω (1.16)
Pentru diferite elemente componente ale unui sistem automat, functiile de transfer
deduse, pornind de la ecuatiile diferentiale ale acestora, au expresiile conform tabelului
1.1.
Tabel 1.1.
Nr.crt.
Tipul elementului EcuaTia diferenTiala FuncTia de transfer
0 1 2 3
1 Element proportional y t K u tp ⋅ H(s) = Kp
2 Element derivativ y t Kdu t
dtd
H(s) = Kds
3 Element integratordy
dtK u ti H s
K
si
4Element de intârziere de
ordinul intâiT
dy
dt+y = K1u(t) H(s) =
K
Ts
1
1
5Element de anticipatie de
ordinul intâiy(t) = Kpu(t) + Kd
du
dtH(s) = Kp + Kds
6Element proportional
integraly(t) = Kpu(t) + Ki udt
t
0
∫ H(s) = Kp + K
s
i
0 1 2 3
7Element proportional
integral diferential
y(t) = Kpu(t) + Ki udtt
0
∫ +
Kddu
dt
H(s) = Kp + K
s
i + Kds
8 Element de intârziere de
ordinul doiT
d y
dtT
dy
dty K u t2
2
22
2⋅ ⋅ ⋅ξ H(s) =
K
T s + 2 Ts +1
2
2 2 ξ
9 Element de anticipatie de
ordinul doiy t T
d u
dtT
du
dtu t ⋅ ⋅ 2
2
22ξ H(s) =T2s2 + 2ξTs + 1
Conform tabelului 1.1.si relatiei generale a functiei de transfer a unui sistem de
ordinul n
H(s) =
b s
a s
B s
A s
jj
j
m
ii
i
n
∑
∑0
0
(1.17)
ecuatiile diferentiale sunt exprimate in domeniul complex prin intermediul unor
polinoame sau rapoarte de polinoame in S.
Functia de transfer poate fi scrisa si sub forma
H(s) = b
a
s z
s p
m
n
i
i
m
k
n⋅
∏
∏
1
(1.18)
unde zi si pk reprezinta zerourile si polii reali ai celor doua polinoame.
Daca notam Ti = 1
z i
si Tk = 1
p k
expresia functiei de transfer devine:
H(s) = K⋅
∏
∏
T s
T s
i
m
k
i
n
1
1
1 (1.19)
unde K = b
a
z
p
m
n
i
m
k
n⋅∏
∏
1
1
reprezinta coeficientul de transfer al sistemului.
Functia de transfer poate fi pusa si sub forma:
H(s) = K
S
P s
P s
K
SG s
α α⋅ 1
2
(1.20)
unde α este numarul polilor in origine ai functiei de transfer, iar polinoamele P1(s) si
P2(s) au ultimul termen egal cu unitatea. Coeficientul de transfer in acest caz, este dat de
relaTia: K = b
a i
0 unde a i poate fi a0, a1, a2, . . . in functie de numarul de poli in origine ai
functiei de transfer.
Functia de transfer are urmatoarele proprietati:
1. Functia de transfer a unui sistem reprezinta transformata Laplace a raspunsului
sistemului la impuls unitar δ(t) aplicat la intrare:
H(s) =
)s(Y)t(
)s(Y
)s(U
)s(Y
δ
L
y(t)=w(t)=L-1[H(s)]=L-1[Y(s)]
unde w(t) poarta denumirea de raspuns pondere.
2. Functia de transfer se obtine din ecuatia diferentiala a a sistemului prin aplicarea
transformatei Laplace acestei ecuatii si neglijând toti termenii care apar datorita
conditiilor initiale.
3. Ecuatia diferentiala a sistemului poate fi obtinuta din functia de transfer prin
inlocuirea variabilei s cu operatorul D = d/dt.
4. Numitorul functiei de transfer egalat cu zero reprezinta ecuatia caracteristica a
sistemului.
5.Radacinile numitorului sunt polii sistemului iar radacinile numaratorului sunt
zerourile sistemului. Aceste singularitati care determina raspunsul sistemului se obtin
prin rezolvarea ecuatiilor:
a sii
i
n
∑ 0
0
; b sjj
j
m
∑ 0
0
(1.21)
5.3. REPREZENTAREA SISTEMELOR IN DOMENIUL FRECVENTELOR
Un alt mod, de reprezentare a sistemelor il constituie reprezentarea in domeniul
frecventelor care are la baza modele matematice scrise ca functii de frecventa.
Reprezentarea in frecventa se obtine prin aplicarea la intrarea sistemului a u-nui
semnal sinusoidal de frecventa ( ω = 2π
T), u=U 0 sin ωt care in cazul sistemelor liniare
determina la iesirea sistemului un raspuns sinusoidal cu amplitudine si faza diferita fata
de semnalul de intrare.
De exemplu, daca la intrarea unui element de ordinul intâi se aplica un sem-nal
sinusoidal a carui transformata Laplace este U(s)=L[U0 sin ωt]= U
s
0
2 2
ω
ω rezulta ca
iesirea acestui element este data de relatia:
Y(s) = 1
1
0
2 2Ts
U
s⋅
ω
ω (1.22)
Prin dezvoltare in fractii partiale se obtine:
Y(s) =
1
1 1
0
2 2
1 2 3T
sT
U
s
C
sT
C
s j
C
s j⋅
−
ω
ω ω ω (1.23)
care va conduce la raspunsul in timp al sistemului prin aplicarea transformatei Laplace
inversa. Iesirea acestui sistem in regim stationar va fi determinata de ultimii doi termeni
din relatia (1.23), tinând seama ca pentru t → ∞ primul termen care este o exponentiala
tinde spre zero. Astfel componenta stationara a iesirii va fi data de relatia:
Yst(s) = U
j Tj s j
U
j Tj s j
0 0
2 1 2 1 ω ω ω ω −− −
(1.24)
sau daca notam prin A = 1
1Tj ω si ϕ = arctg ωt modulul si argumentul functiei de
transfer a elementului de ordinul intâi, prin aplicarea transformatei Laplace inverse se
obtine componenta stationara a iesirii sistemului.
Yst(t) = L_1[Yst(s)] = U0 1
1Tj ω⋅
−
− −e e e e
j
j j t j j tϕ ω ϕ ω
2;
Yst(t) = U0A sin(ωt+ϕ) unde ϕ = arctg ωt
In mod similar, pentru un sistem de ordinul n, a carui functie de transfer este H(s) ai
caror poli sunt situati in semiplanul stâng astfel incât sa se asigure stabili-tatea sistemului
(componenta tranzitorie a raspunsului tinde spre zero când timpul tinde spre infinit) se
obtine raspunsul stationar al sistemului la intrare sinusoidala sub forma:
Yst(t) = L_1⋅−
−−
−
U H j
j s j
U H j
j s j
0 0
2 2
ω
ω
ω
ω = U0⋅ ⋅
−
− −
H je e e e
j
j j t j j t
ωϕ ω ϕ ω
2 =
U0 H j ω sin(ωt+ϕ) unde ϕ = arg H(jω) (1.25)
Rezulta ca un sistem liniar stabil are la iesire un raspuns sinusoidal, când la intrare i
se aplica un semnal sinusoidal, acest raspuns fiind caracterizat prin vectorul H(jω) al
carui modul este H j ω si al carui argument este ϕ(ω) = arg H(jω).
Daca notam B = U0 H j ω atunci raportul intre cele doua amplitudini ale
semnalului de la iesire B si intrare este chiar modulul functiei de transfer a siste-mului
pentru s = jω.
Astfel, pentru aprecierea raspunsului in frecventa a unui sistem definit prin functia
de transfer H(s) se inlocuieste s = jω in expresia functiei de transfer si pentru diverse
valori ale pulsatiei ω, se determina modulul si argumentul functiei H(jω).
Pentru analiza si sinteza sistemelor automate in domeniul frecventelor sunt utilizate
mai multe caracteristici de frecventa si anume: caracteristica amplitudine – faza, sau locul
de transfer; caracteristica amplitudine – pulsatie si faza – pulsa-tie; caracteristicile reala
si imaginara de frecvenata.
Modelul matematic in domeniul frecventelor pentru un sistem liniar se obtine cu
ajutorul functiei de transfer H(s), daca se inlocuieste in expresia functiei de transfer s =
jω.
H(jω) = K⋅
∏
∏
T j
T j
A ei
m
k
n
j
ω
ω
ω ϕ ω
1
1
1
1
sau
H(jω) = K
j
P j
P jA
ω
ω
ωω
α⋅ 1
2
ejϕ(ω) (1.26)
Caracteristica amplitudine – faza sau locul de transfer reprezinta hodograful
vectorului H(jω) reprezentat in planul complex pentru variatii ale pulsatiei cuprinse intre
-∞ si +∞.
Caracteristica amplitudine – pulsatie reprezinta dependenta amplitudinii
A(ω)= H j ω de pulsatia ω pentru valori pozitive ale acesteia (ω = 0 ∞).
Caracteristica faza – pulsatie reprezinta dependenta argumentului ϕ(ω) = arg
H(jω) de pulsatia ω pentru valori pozitive ale acesteia (ω = 0 ∞).
Caracteristica reala si imaginara de frecventa a unui sistem reprezinta de-pendenta
partii reale si imaginare a vectorului H(jω) de pulsatia ω.
BIBLIOGRAFIE
1) Babuţia, I., s.a., Conducerea automată a poceselor, Ed. Facla, Timişoara. 2) Călin, S., Regulatoare automate, E.D.P., Bucureşti, 1976. 3) Dumitrache, I., Tehnica reglării automate, E.D.P., Bucureşti, 1980. 4) Dumitrache, I., Automatizări şi echipamente electronice, E.D.P., Bucureşti, 1982. 5) Călin,S., s.a., Sisteme automate numerice, Ed. Şt. şi Enciclop., Bucureşti, 1984. 6) Călin, S., Dumitrache, I., Regulatoare automate, E.D.P., Bucureşti, 1985. 7) Marin, C., Structuri şi legi de reglare automată, Vol. 1, Ed. Universitaria, Craiova,
2000.
8) Marin, C., Ingineria reglării automate. Elemente de analiză şi sinteză, Ed. SITECH, Craiova, 2004.
9) Marin, C., Sisteme neconvenţionale de reglare automată, Ed. SITECH, Craiova, 2004. 10) Marin, C., Sisteme discrete n timp, Ed. Universitaria, Craiova, 2005.
