Câmp electromagnetic și câmp termic

În problemele de calcul ale câmpurilor electrice, magnetice şi termice se urmăreşte determinarea într-un domeniu considerat, a valorilor uneia sau mai multor funcţii necunoscute cum sunt: intensitatea câmpului electric, intensitatea câmpului magnetic, inducţia electrică, inducţia magnetică, potenţialul electric, potenţialul magnetic vector, gradient de temperatură, flux termic.

Fenomenele fizice de natură electromagnetică sunt descrise din punct de vedere matematic de ecuaţiile lui Maxwell, iar fenomenele fizice de natură termică sunt descrise de legea lui Fourie (transmisia căldurii prin conducţie), legea Stefan-Boltzmann (transmisia căldurii prin radiaţie), relaţia lui Newton (transmisia căldurii prin convecţie).

Metodele analitice sunt utilizabile numai în situaţii suficient de simple (cum ar fi configuraţiile care prezintă anumite simetrii) încât calculele să fie posibile.

Principalele metode analitice sunt următoarele: Metoda separării variabilelor, Metoda funcţiunii lui Green, Metoda funcţiunilor analitice de variabilă complexă (în cazul problemelor

bidimensionale), Metoda ecuaţiilor integrale, Metoda transformărilor integrale. Metodele numerice se bazează, în general, pe ideea înlocuirii ecuaţiilor cu

derivate parţiale prin ecuaţii algebrice, în funcţie de valorile mărimilor necunoscute în anumite puncte, care formează nodurile unei reţele de discretizare.

Principalele metode numerice sunt următoarele: Metoda diferenţelor finite, Metoda elementelor finite, Metoda elementelor de frontieră, Metoda volumelor finite.

După configuraţia geometrică a domeniului studiat, problemele ce urmează a fi rezolvate sunt: Probleme bidimendionale (2D), Probleme tridimensionale (3D).

Câmpul electromagnetic În studiul macroscopic al fenomenelor electromagnetice se disting câteva grade de

aproximare a situaţiilor reale, numite regimuri: Regimul static este caracterizat de invarianţa în timp a mărimilor şi de absenţa

transformărilor energetice. În acest caz, fenomenele electrice apar ca independente de cele magnetice şi ele se pot studia separat, ca regim electrostatic, respectiv magnetostatic.

Regimul staţionar este caracterizat numai prin invarianţa în timp a mărimilor. Regimul cvasistaţionar este caracterizat printr-o variaţie suficient de lentă în

timp a mărimilor, astfel încât să fie neglijabil fenomenul de radiaţie electromagnetică.

Regimul general variabil este regimul caracterizat de mărimi variabile în timp fără restricţii.

Câmpul termic Problemele de câmp termic prezintă două regimuri principale:

Regimul termic permanent de funcţionare, care constă în determinarea câmpului termic corespunzător unor mediilor cu surse de căldură şi fără surse de căldură.

Regimul termic de scurtcircuit, în strânsă corelaţie cu regimul de scurtcircuit al aparatelor şi instalaţiilor electrice, caracterizat prin: durată scurtă (0,2...2s) ca urmare a funcţionării sistemului de protecţie care deconectează reţeaua avariată, supratemperatura admisibilă de 2...3 ori mai mare decât supratemperatura în regim nominal de funcţionare, curenţi de scurtcircuit de 10...20 ori, sau chiar mai mari, decât curenţii în regim nominal.

Metode pentru determinarea câmpurilor electromagnetice şi termice În practica inginerească, problemele de câmp electromagnetic sunt de două tipuri principale:

Probleme de analiză, care consistă în determinarea câmpului electromagnetic şi a câmpului termic corespunzător unor condiţii de unicitate date.

Probleme de sinteză, care consistă în determinarea configuraţiilor capabile de a produce un câmp electromagnetic sau termic cu anumite caracteristici. În principiu, o problemă de sinteză poate fi rezolvată printr-o tehnică iterativă, repetând rezolvarea unor probleme de analiză, pentru configuraţii adaptate în urma unor rezultatelor unor simulări de analiză precedente.

Instrumentul de bază utilizat în toate simulările numerice este metoda elementelor finite (MEF).

Din punct de vedere aplicativ, MEF stă la baza a unor programe specializate, comerciale sau

necomerciale, cum ar fi: ANSYS, CST, FLUX , COMSOL, QUICKFIELD, FEMM. MEF se aplică pentru orice configurație de câmp electromagnetic sau termic cu o

eroare ce depinde de metoda de calcul aplicată și de capacitatea calculatorului utilizat.

Multe arii din ingineria electrică necesită soluţionarea unei probleme în care ecuaţiile câmpului electromagnetic sunt cuplate cu alte ecuaţii cu derivate parţiale, cum ar fi cele care descriu comportarea termică, curgerea fluidelor sau de rezistenţă. Aceste fenomene sunt descrise de ecuaţii care sunt cuplate. Cuplajul între cele două câmpuri, electromagnetic şi termic, este un fenomen natural fiind întâlnit în foarte multe aplicații din domeniul ingineriei electrice.

ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ Se consideră un domeniu DΣ mărginit de o suprafaţă închisă Σ în interiorul căreia

se găsesc corpuri şi câmp electromagnetic. Experienţa arată că o parte din energia internă a sistemului depinde de starea

câmpului electromagnetic. Această parte reprezintă energia electromagnetică. Bilanţul energetic pentru câmp, ţinând seama de diversele căi prin care are loc

schimbul de putere dintre câmp şi corpuri este exprimat prin relaţia:

numită teorema energiei electromagnetice.

ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ Variaţia energiei electromagnetice într-o transformare elementară în cazul în care

câmpurile au variaţiile dB şi dD este:

Coenergia electrică şi magnetică sunt definite ca:

Ilustrarea teoremei energiei electromagnetice

PJ

Pmec

Psupl

D

câmp

em

D D

d v demW E D H B w vd d d d

d d dem e mw w w E D H Bd d

J J

D D

P p v EJ vd d

2

W;

mP S A S = E× Hd

supl

D

P p vd

supl

Σ

Σ

P = S(E,D,B,H)δA

, , ,em em

D

W w E D B H vd

mec mec

D

P p vd

D B

D 0 B 0

Bem e mw w w E D Hd d

s.a s.a

s.r s.r

Bem e mw w w E D Hd d

em

D D

d v demW E D H B w vd d d d

d d dem e mw w w E D H Bd d

H

B

wm

E

D

we

Densităţile de volum ale energiilor electrică şi magnetică în materiale neliniare

TRANSFERUL DE CĂLDURA PRIN CONDUCŢIE TERMICĂPrin conducţie termică se nivelează diferenţele între energiile cinetice ale moleculelor, produse de oscilaţia, translaţia şi rotaţia celor mai mici particule de materie în medii solide. Dacă materia este cu structură regulată şi fără interstiţii, ca în cazul metalelor, nivelarea energiilor cinetice, şi deci a temperaturilor, se efectuează cu multă rapiditate. Dacă, dimpotrivă, materia are goluri şi discontinuităţi, ca în cazul ceramicii refractare, uniformizarea temperaturilor se face mai lent.Transmisia căldurii prin conducţie are loc conform legii lui Fourie:

REGIMURILE TERMICE ALE ECHIPAMENTELOR ELECTRICE REGIMUL TERMIC AL CONDUCTORULUI DREPT CU SECŢIUNE CONSTANTĂ

2 2 2

2 2 2 2 2 2e m

ED E D HB μH Bw w = = =

μ

2

e mw D E w B Hd d d( ) d( ), d( ) d(* *

e e m mw + w ED w + w HB )

h - intensitatea fluxului termic, sau fluxul termic specific, în W/m2;dq - cantitatea de căldură elementară, în Ws;dA - aria elementară de transmitere, în m2; c – căldura speifică masică [Ws/kg •grd] - conductivitatea termică, în W/m·grad; - densitatea [kg/m3] - temperatura corpului, °C sau K; a - difuzibilitatea căldurii [m2/s] t - timpul curent, s; n - versorul normal la suprafaţa de transmitere; c1=c, p1 - puterea specifică dezvoltată în unitatea de volum în W/m2; a = /c1 c1 - căldura specifică volumică, în Ws/m3·grd;

11

1

cc

p

tdVdtgraddivdtdV

tcdVdtp

VV V

)(11

V

dVgraddivdt

dq)(

dAgrad

dt

dq)(

graddtdA

dqnh

REGIMUL DE SCURTCIRCUIT

Regimul de scurtcircuit poate fi considerat din punct de vedere practic adiabatic, adică fără schimb de căldură cu mediul exterior.

21

1

10

01

01

2

max0

max0

max0max 1

J

cT

l

AcT

TT

TTT

l

AJ

pR

p

p

p

R

0T

t

ie

01

1

TAc

l

dt

d p

)1( 0max

T

t

o e

)]exp(1[1 10

01

max0

max0 tTT

TT

R

])(exp[11

2

12

2

tc

J

Ac

l

AJl

AJ pRp

pRp

p

1

2

1

2

1

)(c

J

c

J

Ac

l

dt

d pRpp

)1( Rp

Ac

l

cc

J

dt

d p

111

2

dtdxlAdxdtdtt

AdxcAdxdtp p

11 Curbe exponențiale de încălzire și răcire

Conductor drept cu secțiune constantă

0 – rezistivitatea conductorului la 0 0C;R – coeficientul de variație al rezistivității cu temperatura; c01 – căldura specifică volumică a conductorului la 0 0C; - coeficientul de variație al căldurii specifice cu tempratura;2 – temperatura condutorului în regim nominal de funcționare (la trecerea curentului nominal);sc - supratemperatura la scurtcircuit;Jec – densitatea de curent echivalentă;A – aria secțiunii transversale a conductorului;ka – factor de majorare a rezistenței în curent alternativ.

2

2

0

01

1

)(1ln

R

scR

Ra

ec

k

c

tIA

2

2

0

1

1

)(1ln

R

scR

Ra

oec

tk

cJ

]1[exp1 2

01

02

ec

Ra

R

sc Jc

k

tJtA

Idt

A

iec

ect

o

22

22

tRa

R

sc dtJc

k

0

2

01

02 1]exp[

1

taRa

R

scR dtJc

k

0

2

012

2

1

)(1ln

dtJc

kd

R

2

01

00

2 )(1

)1(01

0

1

Rcc

)(1

)(1

2011

20

ccR

1

2

c

Jk

dt

d a

1max

2

S

RiS = lpl

Determinarea numerică a câmpului magnetic în camera de stingere a unui întreruptor limitator de curent continuu

ÎNTRERUPTORUL LIMITATOR DE CURENT CONTINUU

OTIMIZAREA SISTEMULUI DE STINGERE LA ÎNTRERUPTOARELE CU COMUTAȚIA ÎN AER

În continuare sunt prezentate soluții de optimizare a sistemului de stingere a arcului electric la întreruptoarele limitatoare de curent continuu de 1250 A și 750 V.

Pentru a calcula mărimile ce caracterizează câmpul magnetic din camera de stingere se utilizează pachetul de programe ANSYS Multiphysics.

Acest program are la bază metoda elementului finit pentru rezolvarea ecuațiilor Maxwell ce descriu comportarea câmpului electromagnetic.

Funcționala energetică a câmpului magnetic este dată de expresia:

1,2 – calea de curent3 – contactele de regim permanent4 – contactele de arc5,6 – rampe7 – plăcuțe feromagnetice8 – plăci izolante9 – profile feromagneticeA, B – bornele aparatuluiunghiul rampelor

Schița întreruptorului limitator de curent continuu

In – curentul nominalIc – curentul calibrati1 – curentul prezumati2 – curentul limitatil – valoarea maximă a curentului limitattpa –timpul de prearcta – durata arcului electric

Diagrama curentului în procesul de întrerupere

Condițiile câmpului magnetic staționar sunt:

OTIMIZAREA SISTEMULUI DE STINGERE LA ÎNTRERUPTOARELE CU COMUTAȚIA ÎN AER

După aplicarea condițiilor de existență ale câmpului magnetic staționar, ecuația devine:

SIMULAREA NUMERICĂ Simularea numerică s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe ANSYS. Acest program implică trei faze de lucru: preprocessor, solver and postprocessor. Procedura de analiză a câmpului magnetic constă în următorii pași importanți:

- crearea mediului fizic- construirea modelului fizic și al rețelei de discretizare- alocarea atributele fizice pentru fiecare regiune în cadrul modelului- aplicarea condițiilor de frontieră și a încărcării (excitația) - obținerea soluției- vizualizarea rezultatelor

Definirea mediului fizic a modelului supus analizei presupune următoarele etape:- definirea titlului analizei- definirea tipului elementelor- definirea sistemului de coordonate- definirea setului de constante reale- definirea tipului de material

- densitatea fluxului electric

A

D

sJ

B - densitatea fluxului magnetic - potențialul magnetic vector

- densitatea curentului electric de suprafață

- reluctivitatea magntică

E - intensitatea câmpului electric

H

Jv

- intensitatea câmpului magnetic

- densitatea de volum a sarcinii electrice - densitatea curentului electric

0Adiv

0v

0DE

0/ t

VNd

N nn

AAvdVAJgradAvA3

1

22

kJkA 3,2,1k

NrrNf

Nn

A ,

- Ecuația Poisson pentru potențialul magnetic vector

- Condiții de frontieră de tip Neumann

Funcționala energetică în coordonate cateziene 3D este:

NNdzA

Nn

zAyA

Nn

yAxA

Nn

xAvdxdydzAJ

z

A

zyx y

A

x

Av

DA )(]}2)(

,,2)(2)[(

2{)(

DEFINIREA TIPULUI DE ELEMENT ANSYS include o varietate de elemente care pot fi folosite în modelarea

fenomenelor electromagnetice. Tipurile de elemente stabilesc caracteristicile fizice ale problemei. În funcție de natura problemei, într-o aplicație se poate defini unul sau mai multe

tipuri de elemente pentru a modela diferite regiuni ale modelului fizic. În prezenta aplicație, pentru modelarea câmpului magnetic staționar se alege tipul

de element SOLID97, care permite modelarea câmpului magnetic tridimensional în probleme plane cu simetrie axială.

Elementul este definit de opt noduri și are șase grade de libertate pe nod:-potențialul magnetic vector (AX, AY, AZ) -potențialul electric (VOLT) -curentul electric (CURR)-forța electromotoare (EMF)

DISCRETIZARE MODELULUI CU ELEMENTE TRIUNGHIULARE Următorul pas în faza de preprocesare este generarea rețelei de discretizare și

aplicarea sarcinilor pe elementele. Rețeaua de discretizare are 3335 noduri și 1606 elemente triunghiulare.

Modelul discretizat în elemente triunghiulareREZULTATE

ANSYS pachet software poate fi folosit pentru investigarea distribuției câmpului magnetic (densitatea de flux magnetic, intensitatea câmpului magnetic și a potențialului magnetic vector) și caracteristicilor electromagnetice de bază (inductanța și forța electromagnetică) din camera de stingere.

În faza de postprocesare se poate vizualiza spectul inducției magnetice sub forma unui contur grafic.

În cele trei figuri este reprezentat spectrul inducției magnetice pentru trei materiale feromagnetice diferite.