MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

Mulţimea numerelor raţionale se notează Q.Q este o mulţime infinită.Un număr raţional este un număr care se poate scrie ca un raport de numere întregi a,bєZ unde b≠0.În reprezentarea zecimală un număr raţional, are partea zecimală formată dintr-un număr finit de zecimale nenume, sau formată dintr-un număr infinit de zecimale, nenule, dispuse periodic.

.

Orice număr natural este şi număr raţional.Rezultă N Q .Orice număr întreg este şi număr raţional. Rezultă Z Q .Se mai notează: Q+ mulţimea numerelor raţionale pozitive (mulţimea numerelor fracţionare);

Q- mulţimea numerelor raţionale negative;Q* mulţimea numerelor raţionale fără 0 (Q*=Q\{0} ).

Orice număr raţional are o reprezentare unică pe axa numerelor.În Q se pot efectua cu orice elemente operaţiile de adunare, scădere , înmulţire şi puteri iar împărţirea cu orice număr diferit de zero.În Q nu este posibilă extragerea rădăcinii pătrate decât din anumite elemente. Exemplu :

iar nu este posibilă rezultatul nefiind număr raţional.În Q fiecare element cu excepţia lui 0 are un opus şi un invers.În Q adunarea şi înmulţirea sunt operaţii comutative şi asociative.În Q înmulţirea este distributivă faţă de adunare şi scădere.În Q oricare ar fi elementele x şi y avem x ≤y sau x≥y şi astfel pe Q există o relaţie de ordonare totală.Orice număr raţional are două reprezentări echivalente: sub formă de fracţie ordinară şi sub formă de fracţie zecimală (cu virgulă), astfel:

- dacă numitorul unei fracţii ordinare ireductibile are numitorul descompus în factori primi de forma 2m·5n (m,nєN) , atunci fracţia ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală exactă (cu un număr finit de zecimale nenule);

- dacă numitorul unei fracţii ordinare ireductibile are numitorul un produs de factori primi diferiţi de 2 sau 5, atunci fracţia ordinară se poate transforma într-o fracţie zecimală periodică simplă;

- dacă numitorul unei fracţii ordinare are numitorul un produs de factori 2 sau 5 sau 2 şi 5, cu llţi factori primi, atunci fracţia ordinară se poate transform într-o fracţie zecimală periodică mixtă.

Metode de a dovedi că un număr este raţional

- se arată că numărul este o sumă, o diferenţă, un produs sau un cât de numere raţionale;

- se arată că numărul este o putere a unui număr raţional;- se arată că numărul este soluţie a ecuaţiei x2=a2, unde a este număr raţional;- se arată că numărul este de forma , iar a este pătratul unui număr raţional;- se arată că numărul are un număr finit de zecimale nenule;- se arată că numărul este un număr zecimal periodic.

Prof.Valer Pop Şc.Gen.Şanţ,Bistriţa-Năsăud