CAP4 - Masurarea P Si Q

7/31/2019 CAP4 - Masurarea P Si Q

1/25

4. Msurarea puterii active i reactive n circuite trifazate

Circuitele trifazate sunt circuite cu 3 conductoare, adic fr conductor neutru sau suntcircuite cu 4 conductoare, adic cu conductor neutru. Sistemul de tensiuni de alimentare este unsistem simetric de tensiuni sau nesimetric. n primul caz tensiunile de faz formeaz o steasimetric, iar tensiunile de linie formeaz un triunghi echilateral. Receptorul trifazat poate fiechilibrat sau dezechilibrat. Implicit curenii sunt echilibrai sau dezechilibrai.

Msurarea puterii active se face cu wattmetrul electrodinamic (sau ferodinamic).Schemele de msurare a puterii active difer n funcie de sistemul tensiunilor de

alimentare i de caracterul echilibrat sau dezechilibrat al receptorului.Teoretic msurarea puterii reactive se poate face cu varmetrul, dup scheme de montaj

similare cu cele ale wattmetrului. Practic prezint interes msurarea puterii n situaia n caresistemul de alimentare este simetric. n acest caz sunt consacrate scheme de montaj de msurare aputerii reactive cu wattmetrul.

4.1. Teorema lui Blondel

Considerm un circuit polifazat z, format dintr-o reea liniar avnd n noduri. Fie curenii

),1( nkIk = injectai n noduri numii i cureni de faz. Fie N un punct de potenial oarecare.Notm cu kNU diferenele de potenial complexe ale nodurilor k fa de punctul N (fig.4.1).

Fig. 4.1 Receptor polifazat

Puterea aparent complex asociat reelei liniare z este:

1U1N

2U2N

3U3N

kUkN

n

UnN

N

Z


2/25

**22

*11

1

* ... nnNNNn

k

kkNIUIUIUIUS +++==

=

(4.1)

Puterea activ consumat este:

====

n

kknkkN

n

kkkN IUIUIUSP

11

* ),(cos)Re(}Re{ (4.2)

S-a artat n capitolul 1, relaia (1.x) c puterea msurat cu wattmetrul, avnd tensiuneai curentul aplicate bobinelor de tensiune i de curent wU i wI este :

}Re{ *wwwIUP =

Revenind la relaia (4.2) rezult c utiliznd n circuit n wattmetre avnd bobinele detensiune alimentate cu tensiunile kNU i bobinele de curent alimentate cu curenii kI se poate

msura puterea wP . Ecuaia de msurare este:

}Re{...}Re{}Re{... *,*22

*1121 nnnNNNwnwww IUIUIUPPPP +++=+++= (4.4)

Mai mult, se deduce c eroarea de metod este nul, adic:

wPP

Puterea reactiv este:

====

n

kkNkkN

n

k

kkNmmIUIUIUISIQ

11

* ),(sin)(}{ (4.3)

Consecinele teoremei lui Blondel

1. Msurarea puterii active se poate face utiliznd n wattmetre monofazate care vor ficonectate n circuit conform figurii 4.2.

Fig. 4.2 Msurarea puterii active n circuite polifazate cu n wattmetre

Regula de conectare este: bobina de curent se conecteaz nct s fie strbtut decurentul de pe faza k (avnd indicele k formula (4.2)) acestea intrnd n borna polarizat (cu

*1

*

*

2 **

k * *

n *

N ( )

= n

kkNeIUP

1

*

Z

W1

W2

Wk


3/25

asterisc), iar bobina de tensiune se conecteaz cu borna polarizat la faza k i cu borna de ieire lapunctul de potenial comun N.

n mod analog se conecteaz i varmetrele n circuit pentru msurarea puterii reactive

utiliznd n varmetre monofazate fig. 4.3.

Fig. 4.3 Msurarea puterii reactive n circuite polifazate cu n varmetre

Puterea activ total P consumat n circuit se determin ca suma puterilor active

msurate cu cele n wattmetre, relaia (4.4), pe care o rescriem:==n

wkwPPP

1

(4.4)

Puterea reactiv total Q consumat n circuit este suma puterilor reactive msurate cucele n varmetre:

==n

wkwQQQ

1

(4.5)

2. Msurarea puterii active cu (n-1) wattmetre i msurarea puterii reactive cu (n-1)varmetre.

Prin alegerea punctului N pe una din faze se elimin un aparat, wattmetru, respectivvarmetru. n figura 4.4 s-a ales punctul N identic cu faza n.

*1

*

*

2* *

k* *

n*

N ( )

= n

kkNmIUQ

1

*

Z

Var1

Var2

Vark

Varn


4/25

Fig. 4.4 Msurarea puterii active a) i reactive b) cu (n-1) aparate. (s-a ales nN)

Regula de conectare a aparatelor este aceeai, ea rezult scriind:

}...Re{}Re{ * 1,1*22

*11 +++== nnnnn IUIUIUSP (4.6)

respectiv

}...Im{}Im{ * 1,1*22

*11 +++== nnnnn IUIUIUSQ (4.7)

Puterea activ total Q este egal cu suma celor (n-1) puteri active msurate:==1

1

n

wkw PPP (4.8)

n mod analog puterea reactiv total Q este suma celor (n-1) puteri reactive msurate:

==1

1

n

wkw QQQ (4.9)

Observaii importantea) Teorema lui Blondel este general valabil pentru orice circuit polifazat indiferent de

gradul de nesimetrie al tensiunilor de alimentare i de gradul de dezechilibru al curenilorde faz.

*

1* *

2*

*n-1

*n

nN

a) ( )

=1

1

*n

kkNe IUP

*

1 * *2

* *n-1

*n

nN

b) ( )

=1

1

*n

kkNm IUQ

Z

W1

W2

Wn-1

Z

Var1

Var2

Varn-1


5/25

b) Teorema lui Blondel este independent de structura reelei receptorului z.c) Indicaiile wattmetrelor (sau varmetrelor) luate n parte nu au semnificaie fizic, la modul

general. Aceste indicaii se schimb n funcie de alegerea punctului N. Dar suma

indicaiilor aparatelor reprezint puterea activ total, respectiv reactiv total (relaiile(4.6) (4.9)).

d) Numrul maxim de aparate care pot fi utilizate (wattmetre, respectiv varmetre) lamsurarea puterii active, respectiv reactive este n, iar numrul minim este (n-1) ntr-uncircuit polifazat cu n conductoare.

4.2. Msurarea puterii active n circuite trifazate

Vom considera c un circuit trifazat este cu 4 conductoare, adic are conductor de nul ieste cu 3 conductoare, adic fr conductor de nul.

n continuare vom nota conductoarele cu indicii 1, 2, 3, 0. Se pot face notaii folosind

indicii R, S, T, O.

4.2.1. Msurarea puterii active n circuite trifazate fr conductor de nul

Vom aplica teorema lui Blondel pentru n=3, i:a) pentru N identic cu una din faze, msurarea puterii active se va face cu 3-1=2 wattmetre,

iar,b) pentru N oarecare msurarea puterii se va face cu 3 wattmetre.

a) Msurarea puterii active prin metoda celor 2 wattmetre

Lum punctul N identic cu faza 2. Teorema lui Blondel se scrie:),(cos),(cos 332332112112 IUIUIUIUP += (4.10)Formula de mai sus arat i modul de conectare a celor 2 wattmetre, conform figurii 4.5.


6/25

Fig. 4.5. Msurarea puterii active cu dou wattmetre

a) schema de montaj, b)diagrama fazorial

Puterea total msurat este suma puterilor msurate de wattmetrele de pe fazele 1 i 3

31 www PPP += (4.11)Caz particular: tensiuni de alimentare simetrice, cureni echilibrai (Notm tensiunile de

linie UUUU === 312312 , curenii de faz IIII === 321 ).Modul de conectare a wattmetrelor rmne acelai.Se pot deduce relaii suplimentare pentru calculul factorului de putere i a puterii reactive.

Din diagrama fazorial reprezentat n figura 4.6.

I1 *1 Punctul N ales pe faza a doua

I2*

2I3

* P = Pw1 + Pw2

3*

a)

I3I1

3 U31

U32 1 Metoda este valabil la modul general:U12 tensiuni simetrice saunesimetrice

cureni echilibrai sau dezechilibrai2 N

I2

b)

Z

W3

W1


7/25

Fig. 4.6. Diagrama fazorial la msurarea puterii cu 2 wattmetre (tensiuni simetrice, cureniechilibrai)

Se deduce:

)30(),(

)30(),(0

332

0112

=

+=

IU

IU

unde este defazajul dintre tensiunile de faz i curenii de faz.Expresia (4.10) se poate scrie:

)30cos()30cos(332112

++= IUIUP Notm:

)30cos(1121 += IUPw

)30cos(3323 = IUPw Dup calcule simple se deduce:

cos331 UIPPP www =+= (4.12)

sin3)(3 13 UIPPQ ww == (4.13)Din relaiile de mai sus se deduce:

13

133

ww

ww

PP

PP

P

Qtg

+

= (4.14)

Observaii: n cazul n care receptorul trifazat este strict rezistiv 0= cele dou wattmetreindic la fel. Deci este suficient un singur wattmetru pentru msurarea puterii active. Putereatotal fiind:

UIPPww 32 1 == ,

puterea reactiv fiind egal cu zero: 0=Q .

b). Msurarea puterii active prin metoda celor 3 wattmetre n circuite trifazate cu 3 conductoare fr conductor neutru

I3 U323

30

0

U31 U12

U30300 U10

U23 1

I2 U20 I1 U12

U03)30(),(

)30(),(0

332

0112

=

+=

IU

IU


8/25

Se alege punctul N oarecare. Ecuaia de msurare se scrie:),(cos),(cos),(cos 333322221111 IUIUIUIUIUIUP NNNNNN ++= (4.15)

Schema de montaj este ilustrat n figura 4.7.

Fig. 4.7. Msurarea puterii prin metoda celor 3 wattmetre n circuite trifazate fr fir neutru

Puterea total msurat este:

321 www PPPP ++= (4.16)Aa cum se tie indicaia fiecrui wattmetru luat n parte nu are semnificaie fizic.

Observaii:1. Dac wattmetrele sunt identice, deci i bobinele de tensiune au aceeai rezisten, punctul

N va avea potenialul centrului de greutate al triunghiului tensiunilor de linie

312312 ,, UUU , dup cum se arat n figura 4.7.b.

* I11

* * I2

2*

* I33

*

N 321 WWW PPPP ++=

Indicaiile wattmetrelor nu au semnificaie fizic

a)

I2

3

U31

U3NU23 N U1N

1 N este centrul de greutateI3 U2N al triunghiului 1 2 3

U12 I1 dac wattmetrele W1, W2,W3 sunt identice.

2b)

Z

W1

W2

W3


9/25

2. Dac receptorul Z este n stea i punctul comun al stelei este accesibil, iar dac N se vaalege n acest punct figura 4.8, legtura punctat, n acest caz indicaia fiecruiwattmetru luat n parte va avea semnificaia puterii active consumate pe faza respectiv.

- Receptorul Z este n stea cu nulul N accesibil- Indicaiile wattmetrelor au semnificaia puterilor active consumate pe faz

Fig. 4.8. Msurarea puterii prin metoda celor 3 wattmetre n circuit trifazat fr conductor de nul,cu receptor n stea cu nul accesibil

Caz particular: tensiuni de alimentare simetrice, cureni echilibrai.Modul de conectare a wattmetrelor poate rmne acelai, dar se pot face simplificri.n acest caz dac wattmetrele sunt identice, tensiunile

312312 ,, UUU formeaz o stea

simetric. De asemenea curenii sunt simetrici i formeaz o stea simetric.Dac schema de msurare rmne cea din figura 4.7.a., indicaiile fiecrui wattmetru vorfi aceleai. n acest caz va fi suficient conectarea unui singur wattmetru. Dar va fi necesarcrearea unui nul artificial. Acest lucru este ilustrat n figura 4.9.

* I1 Z1

* * I2

2*

* I33

*

N N 321 WWW PPPP ++=


10/25

Fig. 4.9. Caz particular de msurarea puterii n circuite trifazate cu 3 conductoare - princrearea unui nul artificial

Rezistenele nulului artificial vor fi 321 ,, RRR unde RRR == 32 i wnRRR =1 , wnR

fiind rezistena bobinei de tensiune a wattmetrului1W. n acest caz puterea total msurat este:

13 ww PP = (4.17)Observaie Metoda prezint dezavantajul nulului artificial. De aceea n practic se prefer

metoda celor 2 wattmetre.

* I1

1* I2

2I3 P = 3Pw

3

R1 R2 R3 R2 = R3 = R

R1 = R RWu

N

a)

I33

U3N

U1N

1

N

I1

I2U2N

2

b)

W


11/25

4.2.2. Msurarea puterii active n circuite trifazate cu 4 conductoare cu conductor

neutru

Vom aplica teorema lui Blondel pentru n=4 i:a) pentru N ales identic cu conductorul de nul, msurarea puterii active se va face cu

3141 ==n wattmetreb) pentru N ales oarecare, msurarea puterii active se va face cu 4 wattmetre.

a) Msurarea puterii prin metoda celor 3 wattmetre n circuite trifazate cu 4 conductoare

Dac punctul N se va alege identic cu conductorul de nul 0N teorema lui Blondel se scrie:

),(cos

),(cos),(cos

330330

220220110110

IUIU

IUIUIUIUP

+

++=(4.18)

Schema de montaj este ilustrat n figura 4.10.

Fig. 4.10. Msurarea puterii cu 3 wattmetre n circuite trifazate cu conductor de nul

Puterea total msurat este:PPPPP

WWWW =++= 321 (4.19)Caz particular: tensiuni simetrice, cureni echilibrai. In acest caz, des intlnit in practic,

att tensiunile de alimentare ct i curenii de faz formeaz stele simetrice i

=== )()()( 330220110 IUIUIU Puterea total va fi de 3 ori puterea msurat pe una dintre faze, i schema de montaj

WPP 3= (4.20)

se reduce la un singur wattmetru, montat pe una dintre faze - fig. 4.11.

* I11

* * I2

2*

* I33 *

I0

0321 WWW PPPP ++=

W1

W2

W3Z


12/25

Fig. 4.11. Msurarea puterii n circuite trifazate simetrice i echilibrate cu conductor de nulutiliznd un singur wattmetru

Observaie: se poate aplica metoda lund punctul N identic cu una dintre faze - deexemplu N3. n acest caz teorema lui Blondel se scrie

)(cos)(cos)(cos

003003

223223113113

IUIU

IUIUIUIUP

+++= (4.21)

Puterea total msurat va fi:PPPPP

WWWW =++= 021 (4.22)Schema de montaj este ilustrat in figura 4.12

Fig. 4.12. Metod teoretic de msurare a puterii utiliznd wattmetru i pe conductorul de nul, ncircuite trifazate cu 4 conductoare

* I11 I3

* I2 3

2 U30I3

3U10

0 I0 N 1

WPP 3= I1

I2 U202

* I11

* * I2

2* I3

3 *

0 * I0

021 WWW PPPP ++=

W

Z

W1

W2

W0

Z


13/25

Metoda este corect dar nu este practic. Ea este ilustrat cu titlu teoretic. Se observ c

wattmetrele sunt alimentate la tensiuni de valori diferite ceea ce nu este practic.

b) Metoda celor 4 wattmetre este o metod teoretic. Ea se obine lund punctul Noarecare. n acest caz teorema lui Blondel se scrie:

)(cos)(cos

)(cos)(cos

00003333

22221111

IUIUIUIU

IUIUIUIUP

NNNN

NNNN

++

++=(4.23)

Schema de montaj este ilustrat n figura 4.13

Fig. 4.13. Metod teoretic de msurare a puterii active cu 4 wattmetre, n circuite trifazate cuconductor de nul

Observm c este montat wattmetru i pe conductorul de nul. Puterea total msurat este:

0321 WWWW PPPPP +++= (4.24)Desigur metoda nu este utilizat n practic.

4.2.3 Wattmetrul trifazat

Wattmetrul trifazat este realizat sub dou forme constructive: a) wattmetrul trifazat dublucu 2 bobine de tensiune mobile i dou bobine de curent destinat msurrii puterii n circuitetrifazate cu 3 conductoare dup schema celor 2 wattmetre; i b) wattmetrul trifazat triplu cu 3bobine mobile i 3 bobine de curent, destinat msurrii puterii active in circuite trifazate cu 4conductoare- dup schema de montaj a celor 3 wattmetre. Bobinele mobile sunt solidare cu axulde rotaie care se rotete sub aciunea momentului rezultant, moment proporional cu putereaactiv total a circuitului.

n figura 4.14 este reprezentat schematic construcia wattmetrului trifazat pentru circuitetrifazate fr conductor neutru.

* I11

* * I2

2 * * I33 * *

0 * I0

N 0321 WWWW PPPPP +++=

W1

W2

W3Z

W0


14/25

Fig. 4.14. Construcia schematic a wattmetrului trifazat dublu pentru circuite cu 3 conductoare

Deviaia rezultant este proporional cu puterea totalPkIUIUIUIUk WW =+= )](cos)(cos[ 332332112112 (4.25)

n figura 4.15 este prezentat conectarea n circuit a wattmetrului.

1 **

2

3 *

*

wattmetru trifazat dublu

* *

* *

I11

I22

3 I3

Z

32311211 1 2 3

Z


15/25

Fig. 4.15. Conectarea n circuit a wattmetrului trifazat dublu pentru circuite trifazate cu 3conductoare

Bornele bobinelor de curent sunt notate 11, 12 pentru faza 1, i 31, 32 pentru faza 3;bornele bobinelor de tensiune sunt notate 1, 2 pentru conexiune ntre fazele 1, 2 si 3, 2 pentruconexiunile ntre fazele 3, 2.

Important: Wattmetrul trifazat dublu poate fi utilizat i n circuit monofazat, prin legarean serie a bobinelor de curent i n paralel a bobinelor de tensiune. Constanta wattmetrului sedetermin cu relaia

n

nnW

IUC

2=

n mod analog, wattmetrul trifazat triplu are schema de montaj similar cu schema celor 3wattmetre n circuite cu conductor neutru. Ea este ilustrat n figura 4.16

Fig. 4.16. Conectarea n circuit a wattmetrului trifazat triplu pentru circuite trifazate cu 4conductoare

Wattmetrele trifazate sunt foarte ntlnite n practica msurrii puterii active n circuiteletrifazate. Ele se ntlnesc i n scheme de msurare indirecte sau semidirecte, cu transformatoarede msur.

wattmetru trifazat triplu

* * *

* * *

I11

I22

I33

0 I0

Z

111 1 2221 2 3231 3


16/25

4.3. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate alimentate cu t ensiuni simetrice

Msurarea puterii reactive n circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice se face n

exclusivitate cu wattmetre electrodinamice (ferodinamice).Principiul metodei: wattmetrele se conecteaz n circuit: cu bobinele de curent montate pe

fazele de curent cu tensiuni auxiliare defazate cu 90o n urm fa de tensiunile din schemeledestinate msurrii puterii active. Indicaiile fiecrui wattmetru vor fi proporionale cu putereareactiv:

maWQkP =

unde ka reprezint raportul dintre modulul tensiunii auxiliare i al tensiunii din circuitul dela msurarea puterii active.

Deci regula de msurare a puterii reactive este urmtoarea: se scrie expresia puterii active,conform teoremei lui Blondel, dup care se gsesc tensiunile auxiliare, coeficientul de raport ka i

n final se exprim puterea reactiv msurat Qm n funcie de indicaiile wattmetrelor.

W

a

mP

kQ

1= (4.26)

4.3.1. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate cu 3 conductoare, alimentatecu tensiuni simetrice

a) Metoda celor dou wattmetreScriem expresia puterii active, lund punctul N identic cu faza a 2-a, N2 :

{ }332112 IUIURP e +=

Pentru tensiunile 3212,UU cutm din diagrama fazorial a tensiunilor de linie i faz,

tensiunile auxiliare- fig. 4.17.a


17/25

Fig. 4.17. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate cu 3 conductoare- prin metoda celor 2wattmetre

Astfel :

02112 UUU a =>

10232 UUU a => Vom scrie:

3

U31

U32 U23 U30

U10 1

U20

U122

U03

a)

1 * I1

2* I2

*3

* I3

R2 = RR1 R2 R3 R1 = R RWN

R3 = R RWN

N

b)

1203

3210

3

13

1

UjU

UjU

=

=

{ }

( )31

310103

3

3

WW

e

PP

IUIUQ

+=

+=

Z

W2

W1


18/25

32232103

1

3

1 UjeUjU

==

3221203

31

31 UjeUjU

==

Wattmetrele vor fi conectate n circuit conform figurii 4.17.b. Primul wattmetru va aveabobina de curent conectat la faza 1, bobina de tensiune se conecteaz cu nceputul la nul isfritul la faza a 2-a. Wattmetrul al doilea va avea bobina de curent conectat la faza a 3-a,bobina de tensiune cu nceputul la faza 1 i sfritul la nul.

Deci trebuie creat un nul artificial din trei rezistene legate n stea de valori;;; 321 WuWu RRRRRRRR ===

Puterea total indicat de wattmetre este:

{ }

[ ] m

jj

eeW

QIUIUIUIU

IUIUIUIU

IeUIeURIUIURP

31

),(sin),(sin3

1

)),(2

cos()),(2

cos(3

1

3

1

3

1

332332112112

332332112112

3

2

321

2

12310103

=+=

=

+=

=

+=+=

n final:

{ } )(33 31310103 WWem PPIUIURQ +=+= Observaie impor tantMetoda expus mai sus este valabil pentru circuite n care receptorul poate fi

dezechilibrat. Ea are un caracter mai general fa de cazul particular al metodei msurrii puteriiactive n circuite trifazate i echilibrate, descris la punctul 4.2.1 a).

Caz particular: cureni echilibrai. n acest caz, curenii de faz formeaz o stea simetric,aa cum se arat n figura 4.6.

Observm c:= 60),( 103 IU

= 60),( 310 IU Rezult:

)30sin()60cos(),(cos 103 +== IU

)30sin()120cos(),(cos 310 == IU Astfel indicaia primului wattmetru (montat in circuit dup schema din figura 4.17) va fi :)30sin()30sin(1031 +=+== IUIUP faz aW

iar a wattmetrului de pe faza a 3-a :)30sin()30sin(3103 == IUIUP faz aW

Observm c exist relaiile: sinsin331 UIIUPP faz aWW ==+

cos3

1sin31 UIIUPP fa zaWW ==


19/25

Rezult:

31

31

3

1

WW

WW

PP

PPtg

+= (4.28)

Puterea activ msurat Pm i puterea reactiv msurat se calculeaz cu expresiile

)(3 31 WWm PPP += (4.28.a)

)(3 31 WWm PPQ = (4.28.b)Observaie: Acest caz particular nu se utilizeaz n practic deoarece este mai complicat

dect cazul particular similar descris la msurarea puterii active cu 2 wattmetre (paragraful4.2.1.a), deoarece trebuie creat punctul de nul artificial i pe de alt parte scrierea ecuaiilor cereo ateni e suplimentar.

b) Metoda celor 3 wattmetreScriem expresia puterii active, lund fictiv punctul N identic cu punctul de nul al stelei

tensiunilor de faz (N0):{ }330220110 IUIUIURP e ++= (4.29)

Din steaua i triunghiul tensiunilor de faz i de linie deducem tensiunile auxiliarecorespunztoare tensiunilor 302010 ,, UUU :

23110 UUU a => i 1023 3UU =

31220 UUU a => i 2031 3UU =

12330 UUU a => i 3012 3UU = i n acest caz puterea indicat de wattmetre este:

{ }

321312312

231231123123

312231123

),(cos

),(cos),(cos

WWW

eW

PPPIUIU

IUIUIUIU

IUIUIURP

++=+

++=

=++=

(4.30)

Dar:

),(sin),(cos

),(sin),(cos

),(sin),(cos

330312

220231

110123

IUIU

IUIU

IUIU

=

=

=

nct se poate scrie :

m

W

QIUIU

IUIUIUIUP

3)],(sin

),(sin),(sin[3

330330

220220110110

=+

++=(4.31)

adic puterea reactiv msuratm

Q este:

{ }*312*231

*123

3

1IUIUIURQ

em ++= (4.32)

sau

)(3

1

3

1321 WWWWm PPPPQ ++== (4.32.a)

unde 321 ,, WWW PPP , aa cum se tie reprezint puterile citite la cele trei wattmetre.Schema de montaj este dat n figura 4.18


20/25

Fig. 4.18. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate cu 3 conductoare- prin metoda celor 3wattmetre

Ecuaia dup care se fac conexiunile este (4.30) n care sunt explicitate tensiunileauxiliare.

Observatie: ntre metoda celor 2 wattmetre i metoda celor 3 wattmetre n practic sealege cea de-a doua, deoarece nu este necesar crearea unui neutru artificial, iar pe de alt partetensiunile auxiliare se deduc uor.

Desigur, metoda celor 3 wattmetre este valabil i pentru cureni echilibrai saudezechilibrai.

Caz particular: Cureni echilibrai.n acest caz wattmetrele vor avea indicaii identice. Deci schema de montaj se va reducela un singur wattmetru- fig 4.19.

Fig. 4.19. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate simetrice i echilibrate fr conductor denul cu ajutorul unui wattmetru

innd cont de relaia (4.3.1) se obine:

* I1

1 ** I2

2 ** I3

3 *

{ } ( )321312231123 33 WWWe PPPIUIUIUQ ++=++=

I1 *1

I2*

13 WPQ = 2

I33

W1

W2

W3

Z

W1

Z


21/25

13 WPQ = (4.33)unde WP este puterea indicat de wattmetrul singular, montat pe faza 1.

Metoda are o mare aplicabilitate atunci cnd consumatorul Z este un motor electric sau unalt receptor trifazat echilibrat.

4.3.2 Msurarea puterii reactive n circuite trifazate cu 4 conductoare, alimentate cutensiuni simetrice

La msurarea puterii active n circuite trifazate cu 4 conductoare (cu conductor neutru) seputeau folosi metoda celor 3 wattmetre i teoretic metoda celor 4 wattmetre.

n cazul msurrii puterii reactive n circuite trifazate cu 4 conductoare metoda celor 4wattmetre nu poate fi realizat deoarece este imposibil de realizat 4 tensiuni auxiliare defazate nurm cu 90o . Prin urmare se utilizeaz o singur metod a celor 3 wattmetre. Metoda este n

ntregime similar cu metoda msurrii puterii reactive n circuite trifazate fr conductor neutru.Astfel scriind teorema lui Blondel, pentru N0, avem:{ }330220110 IUIUIURP e ++= (4.34)

relaie similar cu (4.29). Prin urmare schema de montaj ilustrat in figura 4.20 va fisimilar cu cea prezentat n figura 4.19.

Fig. 4.20. Msurarea puterii reactive n circuite trifazate simetrice i echilibrate cu conductor denul cu ajutorul unui singur wattmetru

Diferena este c apare i conductorul neutru. Deci puterea reactiv se va calcula cu relaia(4.32) pe care o rescriem

)(3 321 WWWm PPPQ ++= (4.35)Metoda este valabil pentru cureni neechilibrai sau echilibrai.n cazul particular al curenilor echilibrai se utilizeaz un singur wattmetru, montat de

obicei pe faza 1. n acest caz puterea reactiv total este cea dat de relaia (4.23) pe care orescriem:

13 Wm PQ = Metoda are de asemenea o mare aplicabilitate practic.

* I11

* I2

2 13 WPQ = I3

3I0

0

W1

Z


22/25

Observaie: Dei cele dou metode a celor 3 wattmetre aplicate la circuite frconductor neutru respectiv la circuite cu conductor neuntru sunt identice atunci cnd sistemultensiunilor este simetric, ele dau rezultate diferite atunci cnd sistemul tensiunilor este nesimetric.

Acest lucru se datoreaz faptului c la circuitele fr conductor de nul componenta homopolar acurentului este egal cu zero pe cnd n circuitele cu conductor neutru aceast component estediferit de zero.

Erorile care afecteaz cele dou metode vor fi analizate la paragraful 4.3.3ConcluziiMsurarea puterii active n circuite trifazate cu 3 sau 4 conductoare se face practic:- prin metoda celor 2 wattmetre (n circuite cu 3 conductoare fr fir neutru)- prin metoda celor 3 wattmetre (n circuite cu 4 conductoare cu conductor neutru)Dac receptorul este echilibrat este de preferat metode celor 2 wattmetre (n circuite cu 3

conductoare) i metoda cu 1 wattmetru (n circuite cu 4 conductoare).Msurarea puterii reactive n circuite trifazate simetrice, echilibrate sau dezechilibrate, se

face practic:- prin metoda celor 3 wattmetre, n circuite trifazate cu sau fr fir neutru. (Metodacelor 2 wattmetre complic crearea neutrului artificial)

n cazul particular al receptorului echilibrat se prefer:- metoda celor 2 wattmetre n circuitele cu 3 conductoare dup schema de msurare a

puterii active, unde exist relaiile particulare de calcul al puterii reactive (4.13) i afactorului de putere (4.14).

- i metoda unui singur wattmetru, att n circuite cu 3 ct i cu 4 conductoare

4.3.3 Eroarea de msurare a puterii reactive cu ajutorul wattmetrelor n circuiteelectrice trifazate alimentate cu tensiuni simetrice

Considerm un receptor trifazat dezechilibrat Z, alimentat cu un sistem de tensiuninesimetrice

NNNUUU 321 ,, (tensiuni raportate la un punct N). Curenii de faz sunt dezechilibraii

321 ,, III .Considerm n continuare circuitul ca fiind fr conductor neutru pentru un caz de analiz

i cu conductor neutru pentru al doilea caz de analiz.Vom analiza erorile la msurarea puterii reactive prin metoda celor 3 wattmetre.Algoritmul de analiz este urmtorul- se deduce expresia puterii reactiveQ aplicnd teorema lui Blondel :

== 3

1

*)(}{ kkNmm IUISIQ (4.36)

- se deduce expresia puterii reactive msurate cu wattmetrul

== 3

1

* )(}{1

kkaeae

a

mIURSR

kQ (4.37)

undea

S este puterea aparent calculat nlocuind expresiile tensiunilor auxiliareka

U .

- se exprim Q i mQ n funcie de puterile reactive dQ , iQ i hQ corespunztoarecomponentelor directe, inverese, homopolare ale tensiunii i curentului.

n final eroarea se calculeaz cu expresia:QQ

mQ= (4.38)


23/25

a) Eroarea de msurare a puterii reactive n circuite trifazate fr conductor neutru.Metoda celor 3 wattmetre.

ntr-un circuit trifazat alimentat cu tensiuni nesimetrice NNN UUU 321 ,, , parcurs de curenidezechilibrai 321 ,, III , puterea complex are expresia:

*33

*22

*11 IUIUIUS NNN ++= (4.39)

Dac hid UUU ,, i hid III ,, sunt componentele directe, indirecte i homopolar asistemului de tensiuni NNN UUU 321 ,, , respectiv a sistemului de cureni 321 ,, III , putereacomplex S se poate scrie (vezi anexa A):

*** 333 hhiidd IUIUIUS ++= (4.40)

sau

hid SSSS 333 ++= (4.41)Pentru un circuit fr conductor neutru avem:

[ ] 03

1 *3

*2

*1

* =++= IIIIn i 0=hS

n acest caz rezult:

iiddIUIUS 33 += (4.42)

Puterea reactiv este:{ } { }

idiimddmmQQIUIIUISIQ 3333}{ +=+== (4.43)

undedQ este puterea reactiv corespunztoare componentelor directe de tensiune i curent

i iQ este puterea reactiv corespunztoare componentelor inverse de tensiune i curent.n cazul msurrii puterii prin metoda celor 3 wattmetre ecuia de msurare este dat derelaia (4.32) pe care o rescriem:

{ }*312*231

*123

3

1IUIUIURQ

em++=

Din diagrama fazorial a circuitului trifazat, figura 4.2.1 se poate scrie in continuare:

NNNNNN UUUUUUUUU 211213313223 ;; ===


24/25

Fig. 4.21. Diagrama fazorial a circuitului trifazat

Tensiunile i curenii se vor nlocui n funcie de componentele lor simetrice directe,inverse i homopolare (vezi Anexa A)

idhN UUUU ++=1

idhN UaUaUU ++=2

2

idhN UaUaUU

2

3 ++=

idhIIII ++=1

idh IaIaII ++=2

2

idh IaIaII2

3 ++= Se ine cont c 0=nI , pentru circuite fr conductor de nul (deoarece

( ) 03

1321 =++= IIIIn ).

n continuare se calculeaz valorile complex conjugate ale curenilor (se ine cont c

( ) aaaa == *22* , ):***

1 id III += **2*

2 id IaIaI += *2**

3 id IaIaI += Dup nlocuire expresia puterii msurate

mQ devine:

{ })(3 **iiddemIUIUjRQ =

se ine cont c

dddddjQPSIU +==*

3

I3 U31

I1

1

U23 N

U12

2

I2


25/25

iiiiijQPSIU +==*

n care dd QP , sunt puterile activ respectiv reactiv, introduse de componentele directe de

tensiune i curent i ii QP , sunt puterile activ respectiv reactiv, introduse de componenteleinverse de tensiune i curent.

Dup nlocuiri se obine:{ }

idiiddemQQjQPjQPjRQ 33)(3 =+= (4.44)

Eroarea se calculeaz din relaiile (4.43) i (4.44):

iididmQQQQQQQQ 6)33()33( =+== (4.45)

Deci eroarea este negativ, adic puterea reactiv msurat cu ajutorul wattmetrelor estemai mic dect puterea reactiv total. Se poate face corecia:

imQQQ 6+= (4.46)

b) Eroarea de nsurare a puterii reactive n circuite trifazate cu conductor neutru.Metoda celor 3 wattmetre

Deosebirea fa de cazul precedent const n prezena conductorului neutru, ceea ceinseamn c exist componenta homopolar de curent 0hI .

Puterea complex are expresia:*** 333iiddhhIUIUIUS ++= (4.47)

Puterea reactiv va fi

idhmQQQSIQ 333}{ ++== (4.48)

De observat c apare componenta homopolar a puterii reactive.

Puterea reactiv msurat dup metoda celor 3 wattmetre are expresia{ }*312

*231

*123

3

1IUIUIURQ

em++=

Printr-un calcul similar ce cel de la punctul b) lund de aceast dat n considerare ifaptul c 0hI , se obine:

idmQQQ 33 =

Eroarea absolut la msurarea puterii reactive este

ihidhidmQQQQQQQQQQ 63)333()33( =++==

i n acesta caz eroarea de msurare este negativ, deci puterea reactiv msurat este maimic dect puterea reactiv real. Se poate face corecia

himQQQQ 36 ++=

n mod similar se poate determina eroarea Q n cazul msurrii puterii reactive cu metodacelor 2 wattmetre (vezi paragraful 4.31.a)- n circuite trifazate fr cconductor neutru. Prelucrndexpresia (4.27) de msurare a puterii reactive cu 2 wattmetre se obine:

iQQ6=

aceeai ca i la punctul a).

CAP4 - Masurarea P Si Q

Documents

Transcript of CAP4 - Masurarea P Si Q