13.03.2012

1

Curs 2

Tematica curs

MODEL-MODELARE

Cerinte de baza ale modelelor utilizate in simulare

Facilitati oferite de modelare

Clasificarea modelelor

13.03.2012

2

13.03.2012

3

13.03.2012

4

13.03.2012

5

13.03.2012

6

13.03.2012

7

Modelarea bazata pe principii fizice (legi de conservare sau legi constitutive

Modelarea bazata pe date experimentale (consta in alegerea unui model care se “ potriveste” cat mai bine datelor experimentale

Modelarea prin teoria similitudinii (model la scara redusa a sistemului)

Modelarea matematica

13.03.2012

8

Simularea înlocuieşte sistemul de studiat folosind o altă formă de reprezentare care se numeşte model.

Un model este o descriere - într-o formă bine definită - a anumitor comportări ale sistemului cu scopul de a prognoza o serie de comportări viitoare pentru seturi de I/ şi perturbaţii.

În mod virtual orice model util simplifică şi idealizează realitatea, adesea limitele unui sistem şi model sunt mai mult arbitrar definite.

Pentru a obţine un model uşor de manipulat, o serie de elemente care acţionează asupra sistemului trebuie neglijate pe baza unei priorităţi apriori, chiar dacă nu se poate demonstra riguros că ce a fost neglijat este nesemnificativ. Pentru ca un model să fie util este esenţial să se definească un sistem-limită şi rezonabil de descriptori.

13.03.2012

9

Un prim beneficiu al efortului modelării este că influenţează o mai bună înţelegere asupra fenomenelor care au loc la nivelul sistemului real

Primul pas în studiul unui sistem sau proces - este realizarea unui model, care poate să fie fizic la alte dimensiuni sau o formalizare matematică a comportării sistemului de studiat

să servească înţelegerii configuraţiei sistemului, nu numai în reprezentarea formalizată a componentelor sale, dar să reprezinte în mod riguros şi interacţiunile dintre acestea. De asemenea configuraţia sistemului să fie uşor modificată prin ajustarea unor parametri sau variabile.

să permită modificări în regim dinamic pentru un nou algoritm de alocare a resurselor sau de planificare în luarea unor decizii riguroase. Modelul trebuie să răspundă prompt şi exact la schimbarea unor elemente de I/ sau stare în comportarea sistemului.

să servească drept mijloc pentru determinarea efectelor unor serii de I/ (intrări) relativ la încărcarea sistemului, la comportările sale interioare, analizele efectuându-se asupra (ieşiri) /E din sistem, care reflectă reacţiile sistemului pentru setul de I/ generate.

13.03.2012

10

asigură un grad de certitudine asupra unor ipoteze făcute intuitiv sau prin observaţii empirice asupra sistemului şi să deducă o serie de implicaţii logice ;

conduce la îmbunătăţirea înţelegerii sistemului;

dă posibilitatea unor detalieri şi adânciri a cunoaşterii unor subsisteme ce alcătuiesc sistemul considerat;

permite observări cu rapiditate a răspunsurilor sistemului la modificări ale /I/ (intrări);

modelul este mai uşor de manipulat decât sistemul real;

studiul sistemului implică un cost mai redus;

permite sesizarea mai multor surse care generează tranziţii de stare pentru sistem decât sistemul real analizat etc.

După natura elementelor ce le alcătuiesc se disting trei mari tipuri de modele, care pot fi exacte (ce produc soluţii exacte) sau modele aproximative (care produc o soluţie ce diferă de soluţia exactă, funcţie de gradul de aproximare): Modelele fizice ale căror elemente sunt de natură fizică

machete, tunele de încercări, avioane, simulatoare, machete de instalaţii tehnologice;

Modelele abstracte sunt modele în care variabilele descriu entităţile, iar funcţiile care le conţin descriu activităţile şi legăturile între diferite componente;

Modelele hibride sunt acelea care îmbină caracteristicile primelor două adică, conţin şi componente ale sistemului real, într-o conexiune cu un calculator numeric pe care se rulează programul de simulare al modelului abstract.

13.03.2012

11

ţinând seama de natura sistemelor şi proceselor de modelat, modelele pot fi: analogice, ce utilizează un set de proprietăţi fizice de o

anumita natură pentru a reprezenta alte proprietăţi fizice de altă natură ;

simbolice sau matematice, în care atributele fizice ale sistemului sunt notate printr-un set de variabile, iar relaţiile între variabile, prin funcţii matematice exprimate cantitativ sau logic;

iconice, ce reprezintă direct sistemul (la alte dimensiuni) sau imaginea sistemului real (harta unei ţări, tren miniatură, rachetă în miniatură etc.). Structura modelului. iconic şi a celui simbolic nu se exclud, ba mai mult, pot fi utilizate simultan.

Modele discrete si continue

Exemplu de model discret poate fi dat de analiza traficului unor entităţi discrete, cum ar fi deplasarea autocamioanelor între depozite, unde în final se simulează în mod gradat schimbări în compoziţie sau stare ale unei mulţimi de agregate.

Modelarea proceselor continue în general constă dintr-un număr de ecuaţii diferenţiale, care în general se pot rezolva cu ajutorul unui calculator analogic, în ultimii ani însă au fost utilizate din ce în ce mai mult calculatoarele numerice.

Simularea sistemelor continue pe calculatoarele numerice este numită uneori modelare în paşi de timp, deoarece ea avansează prin creşterea timpului cu un interval , schimbările de stare fiind calculate la fiecare pas . Simularea sistemelor cu ajutorul calculatoarelor implică o varietate de evenimente, în cadrul acestei categorii de sisteme se întâlnesc două subdiviziuni, între care trebuie să se facă o distincţie în funcţie de natura intrărilor:

13.03.2012

12

- în prima, intrările sunt generate aleator cu ajutorul unei distribuţii probabilistice (simulare stocastică) pe când în alte situaţii sunt prezentate ca o secvenţă de etape de lucru, natura fiecăreia dintre ele fiind explicit definită (simulare deterministă);

- în a doua diviziune se includ modelele de simulare rezultate, în urma instrucţiunilor obţinute prin control (monitoring); astfel de modele sunt adesea numite emulatoare.

modele: descriptive, fizice, matematice, procedurale

Modelele descriptive - care sunt exprimate în limbajul natural au foarte multe limitări, avantajul lor fiind costul redus în procesul de prognozare, fapt care a făcut să fie înainte foarte utilizate dar predicţiile făcute erau foarte probabile, deci precizia extrem de scăzută.

13.03.2012

13

Modelele fizice variază foarte mult în complexitatea lor, iar metodele de optimizare a celor fizice implică o cercetare a diverselor alternative de proiectare după următoarele etape:

- stabilirea criteriilor de performanţă; - estimarea unor combinaţii iniţiale privind variabilele

controlabile; - modelul este atunci utilizat pentru a prognoza valoarea -

găsirea unui criteriu de performanţă ţinând seama de condiţiile impuse;

- utilizarea unei metode de analiză care încorporează toate rezultatele şi datele, atribuite variabilelor controlabile.

Metoda de analiză este proiectată astfel încât să deplaseze variabilele controlabile în direcţia ce va conduce la o mai mare îmbuna lăţire a performanţelor.

În momentul atingerii performanţelor maxime (metoda de analiză a găsit un optim) atunci valorile variabilelor controlabile care au condus la acea stare reprezintă condiţiile de operare dorite.

Un avantaj semnificativ al modelelor fizice este uşurinţa cu care sunt primite şi înţelese de cei ce nu au pregătire adecvată domeniului, dar din punctul de vedere al procesului de luare a deciziei ele suferă de incapacitatea de a reprezenta procesele informaţionale. Mai mult decât acest dezavantaj, modelele fizice implică un cost mare şi, de obicei, modelul poate fi utilizat numai în scopul particular pentru care a fost proiectat.

13.03.2012

14

Cercetările operaţionale, ca şi alte discipline de cercetare, au progresat prin utilizarea modelelor simbolice, ce folosesc într-un mod concis notaţii matematice, pentru a reprezenta stările variabile din sistem şi să descrie modul în care variabilele se schimbă şi interacţionează între ele.

Predicţiile privind comportarea sistemului se fac cu ajutorul reprezentărilor simbolice, prin intermediul procedurilor matematice. O importantă cerinţă a modelelor simbolice constă în alegerea adecvată a structurii formale de axiome, teoreme şi proceduri.

Costul utilizării modelelor simbolice este adesea destul de redus. Axiomele, teoremele şi procedurile matematice dau de asemenea posibilitatea ca o serie de proprietăţi generale ale sistemului cât şi predicţiile să poată fi deduse şi specificate.

În foarte multe cazuri modelele matematice sunt modele continue. Pentru a putea fi prelucrate pe un calculator numeric ele trebuie impuse unui proces de discretizare obţinându-se o soluţie aproximativă. O precizie bună pentru soluţie necesită un pas de discretizare mic şi deci un volum mare de calcule care conduce la un timp calculator mai mare şi deci un cost ridicat.

Pentru rezolvarea aceleiaşi probleme există diverse metode numerice aproximative ce pot oferi posibilităţile de a compara rezultatele

- sunt folosite direct ca simulare. De această dată modelul este o procedură exprimată în simboluri precise, iar termenul de simulare se referă la metoda utilizată în realizarea predicţiilor asupra evoluţiei sistemului sau procesului.

Modelul procedural reprezintă relaţiile dinamice presupuse prin ipoteză că există în cadrul procesului real, folosind o serie de operaţii elementare între variabilele corespunzătoare. De obicei aceste operaţii sunt asemănătoare unei diagrame logice dar adesea pot fi prezentate sub forma unor tabele de decizie, sau prin intermediul unor limbaje procedurale.

13.03.2012

15

La construcţia modelului sistemului apar următoarele întrebări

1. Ce tehnică de proiectare va fi utilizată? iconică sau simbolică, sau ambele

• modelele iconice dau rezultate foarte precise şi se construiesc rapid, dar necesită un timp de procesare destul de mare şi sunt foarte greu de parametrizat ;

• modelele simbolice, au în general, un timp de rulare caracteristic şi sunt mult mai flexibile.

Abordarea ierarhică care utilizează ambele tehnici în procesul modelării reprezintă un compromis util, în sensul că acele componente ale sistemului critice sau cele la care este dificil să li se asigure probabilităţi vor fi tratate iconic, iar celelalte vor fi modelate simbolic

Modele deterministe – modele stohastice

Modele statice – modele dinamice

Modele liniare – modele neliniare

Modele invariante in timp - modele variante in timp

Modele cu paramentri concentrati – Modele cu parametri distribuiti

Etc…

13.03.2012

16

Modelele cauzale descriu comportarea sistemului printr-o legatura intre doua categorii de semnale (semnale de intrare si semnale de iesire). Se folosesc scheme si diagrame bloc

Modelele acauzale leaga cauzal doua sau mai multe marimi (semnale) fara nici-o precizare privind cauzalitatea.

Se poate trece de la modelul acauzal la modelul cauzal prin asignarea semnificatiilor de cauza si efect

2. La ce nivel de detaliu sau rezoluţie se va merge cu simularea?, în acest caz se preferă o abordare la nivel mixt, în care submodelele au grade diferite de rezoluţie.

3. Cât de mult poate un model să fie simplificat fără o pierdere deosebită în direcţia preciziei?

4. Ce metode vor fi utilizate pentru construcţia modelului? Metodele existente includ diversele limbaje de simulare, modelele speciale şi pachetele de simulare de interes general.

5. Cum poate fi un model validat? În general se folosesc tehnicile analitice pentru a demonstra că rezultatele simulării sunt fezabile. Iar dacă sistemul modelat există fizic, este controlat şi măsurat utilizând modelul calibrat.

13.03.2012

17

În analiza, unui sistem se cere determinarea prin calcul a indicatorilor de performanţă ai sistemului dat. Aceasta presupune cunoaşterea modelului matematic al sistemului, adică a relaţiilor dintre mărimile de ieşire şi mărimile exogene. Modelele matematice ale sistemelor (proceselor) se pot obţine în principal prin două metode distincte:

- prin modelare analitică,

- prin identificare experimentală.

Modelarea analitică permite deducerea modelului matematic pe baza datelor de proiectare privind sistemul examinat, fără ca acesta să fie fizic disponibil. Cunoscând structura şi parametrii sistemului, într-o fază preliminară realizării fizice a acestuia, se poate stabili - prin modelare analitică (teoretică).

- modelul matematic al sistemului şi, pe această bază, se pot deduce, anticipativ, performanţele sistemului.

Identificarea experimentală constă în stabilirea modelului matematic pe baza prelucrării datelor de intrare – ieşire măsurate în cadrul sistemului analizat. Identificarea experimentală a unui sistem presupune, existenţa fizică a acestuia şi realizarea unui experiment prin care se obţine înregistrarea mărimilor de intrare - ieşire. Pe această cale se obţin modele matematice care concordă în mai mare măsură cu sistemul examinat, decât cele rezultate prin modelare analitică. Deseori se îmbină cele două căi de obţinere a modelelor matematice: prin modelarea analitică (teoretică) se stabilesc anumite proprietăţi calitative ale sistemului şi structura modelului matematic, iar prin identificare experimentală se precizează parametrii incerţi din model.

13.03.2012

18

Noţiuni introductive

Exprimarea matematică a legăturii dintre mărimile de ieşire şi de intrare din sistem se poate face prin modele foarte variate. Trebuie precizat că din mulţimea formelor de reprezentare a modelelor matematice, sunt foarte importante două tipuri de modele:

- modele funcţionale sau de tip intrare – ieşire, care se exprimă prin ecuaţii diferenţiale ce leagă direct mărimile de funcţionare ale sistemului, adică mărimile de intrare şi de ieşire;

- modele structural - funcţionale sau de tip intrare -stare -ieşire care dau şi unele informaţii suplimentare asupra structurii sistemului. Variabilele de intrare sunt legate prin ecuaţii diferenţiale de variabilele de stare, care caracterizează fenomenele de acumulare de substanţă şi/sau energie din sistemul fizic modelat. Mărimile de ieşire sunt determinate univoc, prin relaţii algebrice, de variabilele de stare ale sistemului.

Modelarea analitică are ca obiectiv obţinerea modelului structural funcţional al unui sistem dat.

Pentru stabilirea modelului analitic al unui sistem se modelează fiecare element component al sistemului şi apoi se cuplează ecuaţiile elementelor în cadrul unui model matematic unitar, al întregului sistem.

Instalaţiile tehnologice pot fi de o mare varietate, chiar şi în cazul unui singur profil tehnologic (de exemplu; tehnologiile metalurgice). Deducerea ecuaţiilor diferenţiale ce leagă mărimile de ieşire, pe de o parte, de mărimile de execuţie şi perturbatoare, pe de altă parte, este o operaţie dificilă şi necesită două categorii de cunoştinţe :

1 - privind metodologia modelării matematice a proceselor; 2 - cunoştinţe de specialitate, în domeniul proceselor care stau

la baza funcţionării instalaţiei tehnologice.

În tematica cursului se accentuează asupra metodologiei modelării matematice a instalaţiilor tehnologice.

13.03.2012

19

Stabilirea corectă a modelelor matematice ale instalaţiilor tehnologice, presupune parcurgerea armatoarelor etape :

1. Stabilirea „conturului”

2. Stabilirea ecuaţiilor de stare

3. Explicitarea variabilelor intermediare

4. Ordonarea ecuaţiilor modelului matematic.

Stabilirea „conturului" obiectului modelat şi a mărimilor de intrare - ieşire. Fie IA1 instalaţia care, într-o primă analiză, s-a considerat obiectul modelării matematice. Se stabilesc, pentru IA1, mărimile de intrare preliminare, cât şi mărimile ce constituie variabile dependente (de ieşire). Se examinează, pentru fiecare intrare din lista preliminară, instalaţia exterioară ce furnizează mărimea de intrare respectivă. Dacă mărimea de intrare preliminară uk(t) este dată de instalaţia IA2 care primeşte la intrare o variabilă, dependentă (de ieşire) din IA1, atunci IA1 şi IA2 trebuie modelate şi analizate ca un sistem unitar .

13.03.2012

20

Este etapa cea mai importantă şi mai dificilă, necesitând analiza proceselor din instalaţie, din punctul de vedere al dinamicii instalaţiei automatizate.

Ecuaţiile de stare sunt ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, care provin din relaţii de bilanţ material sau energetic, unde se consideră variaţia acumulării de masă respectiv energie. Variabilele care apar derivate în ecuaţiile de stare se numesc variabile de stare.

13.03.2012

21

în procesele mecanice:

în procesele electrice

In procesele de schimb de căldură

13.03.2012

22

Pentru stabilirea corectă a ecuaţiilor de stare ale instalaţiei modelate, este necesar să se aibă în vedere următoarele aspecte :

a). Dacă acumulările de substanţă sau energie sunt mici, efectele dinamice produse de variaţiile acestor acumulări sunt nesemnificative şi în ecuaţiile de bilanţ respective se consideră egal cu zero termenul din partea stângă* Ecuaţiile de bilanţ capătă, în acest caz, forma algebrică utilizată curent la tratarea în regim staţionar a proceselor din instalaţie.

Fie x1, x2, …, xn variabilele de stare, adică mărimile ce apar derivate în ecuaţiile de bilanţ cu acumulări variabile. Numărul n al variabilelor de stare reprezintă ordinul sistemului de ecuaţii diferenţiale ce formează modelul matematic. Vectorul numit vector de stare, caracterizează dinamica instalaţiei, obţinută prin modelul matematic al acesteia. Pentru ca acest model să reflecte cât mai bine procesele dinamice reale din instalaţie, este necesar ca ordinul sistemului să fie astfel ales, încât să corespundă acumulărilor ce produc efecte semnificative în dinamica instalaţiei, fără a include - totuşi - acumulările minore, care complică în mod inutil modelul matematic.

Ecuaţia de bilanţ, cu acumulare variabilă de masă sau energie, reprezintă o ecuaţie de stare numai dacă acumularea respectivă nu este consecinţa nemijlocită a unui proces dinamic descris de o altă acumulare dintr-o ecuaţie de bilanţ

Rezultă deci că ordinul modelului, adică dimensiunea vectorului de stare, este egal cu numărul de ecuaţii de bilanţ nereductibile, din ansamblul celor ce conţin acumulări variabile

13.03.2012

23

Explicitarea variabilelor intermediare care apar în ecuaţiile de stare. În partea dreaptă a ecuaţiilor de stare apar şi variabile care nu sunt de intrare sau de stare. Acestea se numesc variabile intermediarei. Ele trebuie explicitate în funcţie de mărimile de intrare şi de stare, utilizând relaţii din domeniul corespunzător proceselor fizice din instalaţie. Adesea, prin expresia unei variabile intermediare, se introduc noi variabile intermediare, care trebuie explicitate la rândul lor.

Se face în aşa fel, încât în partea dreaptă a oricărei ecuaţii din model să intervină: variabile de intrare, variabile de stare, variabile intermediare care deja au fost definite printr-o relaţie scrisă anterior.

Eliminarea, prin substituţii, a variabilelor intermediare şi prezentarea modelului matematic prin două categorii de ecuaţii:

ecuaţii de stare (diferenţiale), care determină evoluţia vectorului de stare, sub acţiunea vectorului mărimilor de intrare;

ecuaţii de ieşire (algebrice), prin care se exprimă mărimile de ieşire în funcţie de mărimile de stare şi, eventual, de intrare. De regulă, mărimile de ieşire sunt fie variabile de stare, fie variabile care au fost considerate - în fazele anterioare - ca variabile intermediare. Prin urmare, problema deducerii ecuaţiilor de ieşire se rezolvă implicit, în cadrul operaţiilor de stabilire a ecuaţiilor de stare.

13.03.2012

24

Procedura prezentată, pentru modelarea matematică a instalaţiilor automatizate, se poate utiliza sub două forme:

- considerând ecuaţiile de bilanţ aplicate unor elemente spaţiale finite, rezultând capacităţi de acumulare finite şi concentrate; în acest caz, modelul matematic se mai numeşte şi sistem cu parametri concentraţi, fiind format din ecuaţii diferenţiale ordinare;

- aplicând ecuaţiile de bilanţ unor elemente spaţiale infinitezimale, rezultând capacităţi de acumulare infinit mici şi distribuite spaţial; în acest caz, modelul matematic se mai numeşte şi sistem cu parametri distribuiţi, având în componenţă şi ecuaţii cu derivate parţiale.

Sistem real

Experimente cu un model

Model matematic

Solutie analitica

Simulare

Model fizic

Experimente cu sistemul real

Date experimentale

13.03.2012

25

Provine din latinescul „simulatio“ care înseamnã capacitatea de a reproduce, reprezenta sau imita ceva.

A simula înseamnã a ajunge la esenta fara realitate

Scopul: Crearea unui mediu in care informatiile despre diferitele variante de actiune pot fi obtinute prin experimente

13.03.2012

26

13.03.2012

27

13.03.2012

28